control de procesos - semana 3 - 4

3. Técnicas Matemáticas

3.1 La Transformada de Laplace

Analizando el problema de control del tanque de calentamiento en el Capítulo 1, es evidente que la solución de las ecuaciones diferenciales será una de nuestras mayores tareas. El método de la transformada de Laplace proporciona una vía eficiente para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales con coeficientes constantes. Transformando una ecuación diferencial resulta una ecuación algebraica con la variable s reemplazando al tiempo como variable independiente. Resolviendo esta ecuación algebraica y haciendo la transformación inversa da la solución de la ecuación original.

3.1.1 El Concepto de una Transformada

Un ejemplo familiar de una transformada es un logaritmo. Por ejemplo, considerar la multiplicación de dos números tales como (643) (2,68) = ...

Para resolverlo mediante logaritmos es necesario lo siguiente:

1. Tomar los logaritmos (hacer la transformación). 2. Sumar los logaritmos (solucionar el problema en un dominio matemático

diferente). Notar que la complejidad del problema se ha reducido: La adición reemplaza a la multiplicación.

3. Tomar el antilogaritmo (hacer la transformación inversa).

El problema transformado es resuelto en el paso 2, y luego en el paso 3 esta solución es convertida al dominio del problema original. Las transformadas de Laplace son transformadas integrales y son transformadas para funciones en lugar de números.

Definimos:

f(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t < 0 s: una variable compleja, s = σ + iω, (σ y ω son variables reales e i = 1− ) L: un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que procede debe

transformarse por la integral de Laplace ∫∞ −

0dte st

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

Entonces la transformada de Laplace de f(t) está dada por

[ ] ∫∞ −==

0)()()( dtetfsFtfL st (3.1)

donde L es el símbolo para “La transformada de Laplace de”. Así pues, aplicar una transformada de Laplace a una ecuación diferencial equivale pasar del dominio del tiempo t a la variable compleja σ + jω en el dominio de la s. La recurrencia de esta transformada se presenta en la figura 3.1.

Apuntes de Control de Procesos – 2008; Ing. Eder Vicuña Galindo – FQIQ - UNMSM

Fig. 3.1 Dominios t y s

Una vez que se ha obtenido la solución de la expresión algebraica en función de la variable s, bastará buscar la transformada inversa de Laplace (antitransformada) con el fin de obtener la solución de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo. Se expresa del modo siguiente:

L-1 [F(s)] = f(t) (3.2)

Ejemplo 3.1 Encontrar la transformada de Laplace de la función: f(t) = 1.

De acuerdo a la Ec. 3.1

ss

edtesFt

t

stst 1)1()(

00

=−==∞=

=

−∞ −∫ ; entonces L[1] = s1

Análogamente, la transformada de una constante será

[ ]sk

skedtekkL

t

t

stst =−==

∞=

=

−∞ −∫0

0)( (3.3)

En la Tabla 3.1 se encuentran resueltas las transformadas de las funciones más comunes.

3.1.2 Consideraciones importantes de la Transformada de Laplace

Hay varios factores importantes que se deben considerar:

1. La transformada de Laplace F(s) no contiene información acerca del comportamiento de f(t) para t < 0. Esto no es una limitación para el estudio de sistemas de control ya que t representa la variable tiempo y el estudio del comportamiento de sistemas se hace solamente para t > 0. En realidad, las variables y sistemas son definidos usualmente tal que f(t) = 0 para t < 0.

2. Puesto que la transformada de Laplace es definida en la Ec. (3.1) por una integral impropia, esta no existirá para todas las funciones f(t).

3. La transformada de Laplace es lineal. En notación matemática será:

L[Af1(t) + Bf2(t)] = AL[f1(t)] + BL[f2(t)] (3.4)

Donde A y B son constantes, y f1, f2 son dos funciones de t.

Apuntes de Control de Procesos – 2008; Ing. Eder Vicuña Galindo – FQIQ - UNMSM 2

4. El operador de Laplace transforma una función de la variable t a una función de la variable s. La variable t es eliminada mediante la integración.

TABLA 3.1. Tabla de transformadas de Laplace


3.1.3 Transformada de una Derivada

Consideremos hallar la transformada de dtdvtf =′ )( , usando la definición de transformada

tendremos [ ] ∫∞ −=′≡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

0)( dte

dtdvtfL

dtdvL st .

Considerando u = e-st y dtdt

tdfdv )(= , e integrando por partes resulta

[ ] ( ( ))0()()()0(

)()()(

0

0000

fssFdtetfsf

dtsetftfevduuvtfL

st

stst

−=+−

=−−=−=′

∫∫∫

∞ −

∞ −∞−∞∞

(3.5

Esta última fórmula, aplicada reiteradamente a una derivada enésima, daría

L[fn(t)] = snF(s) - sn – 1f (0) - sn – 2 f’(0) - . . . - f n-1(0) (3.6)

y con las condiciones iniciales supuestas nulas resulta:

L[f n(t)] = sn F(s) (3.7)

Ejemplo 3.2. Encontrar la transformada de Laplace de la función x(t) la cual satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales siguientes:

0)0(con22540

2

2

02

2

3

3

====+++dt

xddtdxxx

dtdx

dtxd

dtxd

Es permisible matemáticamente tomar la transformada de Laplace de una ecuación diferencial e igualarlos, ya que igualdad de funciones implica igualdad de sus transformadas. Haciendo esto, se obtiene


s3X(s) – s2x(0) – sx′ (0) – x′′ (0) + 4[s2X(s) – sx(0) - x′ (0)] +5[sX(s) – x(0)] + 2X(s) = s2

donde X(s) = L[x(t)]. Se ha hecho uso de la propiedad de linealidad y del hecho de que solamente son de interés valores positivos de t. Insertando las condiciones iniciales y

resolviendo para X(s) da ( )2542)( 23 +++

=ssss

sX .

3.1.4 Transformada de una Integral

Para el caso de una integral se hace uso nuevamente de la definición de la transformada de Laplace:

ssFtf

se

sedttfdtedttftfL

stststtt )()()()()(

00

00 00=

−−

⎜⎜

⎝

⎛

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∫∫∫ ∫∫

∞ −∞∞ −

−∞ (3.8)

Es decir, la transformada de Laplace convierte la operación de derivar en una multiplicación por la variable s y la operación de integrar en una división por la misma variable s, siempre que naturalmente las condiciones iniciales sean nulas.

3.1.5 Transformada Inversa

En las secciones previas se ha dado f(t) y el problema ha sido determinar su transformada de Laplace F(s). En esta sección se considera el problema de hallar f(t) cuando se conoce F(s); el proceso es conocido como inversión. Esta operación es comúnmente denotada por:

f(t) = L-1[F(s)] (3.9)

En la mayoría de los casos, la transformación inversa se puede obtener de la tabla de transformadas tales como las mostradas en la Tabla (3.1). En esta tabla, dos funciones de t no tienen la misma transformada de Laplace o dos funciones de s no tienen la misma transformada inversa. En general, la transformada inversa es única si no son tomadas en cuenta las funciones nulas, tales como las funciones cuya integral con respecto al tiempo es cero.

3.1.6 Propiedades de las Transformadas

Las propiedades de la transformada de Laplace son las siguientes:

- Linealidad: L[f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s) (3.10)

- Permutabilidad: L[kf(t)] = kL[f(t)] (3.11)

- Derivada: [ ] [ ]∫

∞ −+

=′0

)()( dtedt

tfdtfL st (3.12)


3.1.6.1 Teorema del valor inicial

Permite conocer el valor de una función en el origen sin necesidad de calcular su antitransformada y sustituir en ella la variable independiente por 0. Se sabe que, conocida la función y(t), la transformada de Laplace de su derivada es:

dtedtdffssF

dtdfL st∫

∞ −=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

0)0()( (3.13)

y tomando los límites para s → ∞, resulta en: [ ] dtedtdffssF st

ss ∫∞ −

∞→∞→ =−0

lim)0()(lim ,

luego

f(0) = lims→∞ [sF(s)] (3.14)

3.1.6.2 Teorema del valor final

De una forma análoga a la anterior se desea saber el valor de una función en el infinito; esto puede no ser posible o bien no se desea calcular su transformada inversa.

Procediendo como antes se busca la transformada de Laplace de su derivada y se toman

límites para s → 0, con lo cual resulta: [ ] dtedtdffssF st

ss ∫∞ −

→→ =−000 lim)0()(lim , luego

f(∞) = lims→0 [sF(s)] (3.15)

3.1.6.3 Teorema del retardo puro

Cumple la igualdad: L[f(t – t0)] = ) , siendo el retardo puro la función f = y t0 una constante.

(0 sFe st− 0ste−

En efecto según el desarrollo de Taylor se verifica:

...!3!2

)()( 3

330

2

220

00 +−+−=−dt

fdtdt

fdtdtdfttfttf (3.16)

y

( )[ ] [ ] [ ] ...)0()0()(!2

)0()()( 22

000 −−−+−−=− fsfsFs

tfssFtsFttfL (3.17)

Si se impone que las condiciones iniciales son nulas en la función primitiva y en sus derivadas, resulta:

( )[ ] stesFst

st

stsFttfL 0)(...!3!2

1)( 33

022

000

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−=− (3.18)


La transformada de Laplace de la función e-atf(t) es

L[e-atf(t)] = F(s + a) (3.19)

o bien deshaciendo la transformación

L-1[F(s + a)] = e-atf(t) = e-atL-1[F(s)] (3.20)

que puede considerarse homónima del teorema del retardo puro, cambiando los dominios t y s.

Ejemplo 3.3 Hallar los valores inicial y final de una función f(t) cuya transformada de

Laplace es )(

1)(ass

sF+

=

Aplicando el teorema del valor inicial y final se tiene:

0)(

1lim)0( =+

= ∞→ asssy s , el valor inicial

aass

sy s1

)(1lim)( 0 =+

=∞ → , el valor final

3.2 Solución de Ecuaciones Diferenciales

En el método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales, la función es convertida a sus transformadas y las ecuaciones resultantes son resueltas algebraicamente para la función desconocida. Esto es mucho más fácil que resolver una ecuación diferencial. Nosotros obviamente no podemos esperar construir una tabla conteniendo las transformadas de Laplace de cada función f(t) la cual posee una transformada. En cambio podríamos desarrollar métodos para expresar transformadas complicadas, tal como X(s) del ejemplo 3.3, en términos de transformadas simples las cuales pueden encontrarse en la Tabla 3.1. Por ejemplo, se puede verificar fácilmente que la solución a la ecuación diferencial y condiciones de frontera del ejemplo 3.3 es

x(t) = 1 - 2te-1 - e-2t (3.21)

La transformada de Laplace de x, usando la Ec. (3.1) y la Tabla (3.1), es

2

1)1(

121)( 2 +−

+−=

ssssX (3.22)

La ecuación X(s) = 2/[s(s3 + 4s2 + 5s + 2)] es el resultado de poner la ecuación (3.22) sobre un denominador común y muchas veces es dificultoso encontrar x(t) a partir de esta ecuación, requiriéndose un método para expandir la forma de denominador común a la forma separada dada en la ecuación. (3.22). Este método es dado por la técnica de fracciones parciales que se verá más adelante.


3.2.1 Inversión por fracciones parciales

En problemas de análisis de teoría de control, F(s), la transformada de Laplace de f(t), frecuentemente es de la forma

)()()(

sAsBsF = (3.23)

donde las A(s) y B(s) son polinomios en s, y el grado de B(s) es menor de A(s). Si F(s) se descompone en sus componentes,

F(s) = F1(s) + F2(s) +. . . + Fn(s) (3.24)

y si las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s) , . . . , Fn(s) son obtenidas fácilmente, entonces

L-1[F(s)] = L-1[F1(s)] + L-1[F2(s)] + . . . + L-1[Fn(s)]

= f1(t) + f2(t) + . . . + fn(t) (3.25)

donde f1(t), f2(t), . . ., fn(t) son las transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s), . . . , Fn(s), respectivamente. La transformada inversa de Laplace así obtenida para F(s) es única, excepto posiblemente en puntos donde la función de tiempo es discontinua.

La ventaja del procedimiento de expansión en fracciones parciales es que los términos individuales de F(s), resultantes de la expansión en forma de fracciones parciales, son funciones muy simples de s. En consecuencia no es necesario recurrir a una tabla de transformadas de Laplace, si se memorizan algunos pares de transformadas de Laplace simples. Conviene señalar, sin embargo, que al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales en búsqueda de la transformada inversa de Laplace de F(s) = B(s)/A(s) deben conocerse previamente las raíces del polinomio denominador A(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el polinomio denominador.

En la expansión de F(s) = B(s)/A(s) en forma de fracciones parciales, es importante que la potencia más elevada de s en A(s) sea mayor que la potencia de s en B(s). Si ese no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el denominador A(s) para producir un polinomio en s más un resto (una relación de polinomios en s cuyo numerador sea de grado menor que el denominador).

3.2.2 Expansión en fracciones parciales cuando F(s) contiene únicamente polos distintos reales

Sea F(s) escrita en su forma factorizada

)())...()(())...()((

)()()(

21

21 nmpspspszszszsK

sAsBsF

n

m <++++++

== (3.26)


donde p1, p2, . . ., pn y z1, z2, . . ., zm son cantidades reales o complejas, para cada complejo p ó z, debe aparecer el respectivo conjugado de pi o zi. Si F(s) contiene solamente polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples, es decir:

n

n

psa

psa

psa

sAsBsF

+++

++

+== ...

)()()(

2

2

1

1 (3.27)

donde ak (k = 1, 2,. . ., n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo en el polo de s = -pk. El valor de ak puede hallarse multiplicando ambos miembros de la ecuación (3.8) por (s + pk) y haciendo s = -pk, lo que da

kps

kn

k

kk

kkk

psk

apsps

a

psps

aps

psa

psps

asAsBps

k

k

=⎥⎦

⎤+

+++

+++

++++

++⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

−=

)(...

...)(...)()()()()(

2

2

1

1

Como puede verse, todos los términos expandidos desaparecen, excepto ak. Entonces se halla que el residuo es

kpskk sA

sBpsa−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

)()()( (3.28)

Nótese que, como f(t) es una función real del tiempo, si p1 y p2 son complejos conjugados, los residuos de a1 ó a2 también son complejos conjugados. Sólo uno de los conjugados, a1 ó a2 debe evaluarse, ya que el otro se conoce automáticamente.

Como tpk

k

k keaps

aL −− =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

1 , f(t) se obtiene como

[ ] )0(...)()( 2121

1 ≥+++== −−−− teaeaeasFLtf tpn

tptp n (3.29)

Ejemplo 3.4 Hallar la transformada inversa de Laplace de )2)(1(

3)(++

+=

ssssF

La expansión de F(s) en fracciones parciales es

21)2)(1(3)( 21

++

+=

+++

=sa

sa

ssssF

donde a1 y a2 se determinan utilizando la Ec. (3.28)


1

23

)2)(1(3)2(

223

)2)(1(3)1(

222

111

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

−=−=

−=−=

ss

ss

ss

ssssa

ss

ssssa

Entonces

f(t) = L-1[F(s)] = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−−

21

12 11

sL

sL = 2e-t – e-2t (t ≥ 0)

3.2.3 Expansión en fracciones parciales cuando F(s) contiene polos complejos conjugados

El procedimiento sigue los primeros pasos dados anteriormente complementándose con propiedades de números complejos. En el siguiente ejemplo se verá esta metodología.

Ejemplo 3.5 Obtener la transformada inversa de Laplace de 52

122)( 2 +++

=ss

ssF

Nótese que el polinomio denominador puede factorizarse como

s2 + 2s + 5 = (s + 1 + i2)(s + 1 - i2)

212152122)( 21

2 isa

isa

ssssF

−++

++=

+++

=

a1 y a2 se determinan utilizando la Ec. (3.9)

4104

4410

21122

)21)(21(122)21(

4104

4410

21122

)21)(21(122)21(

21212

21211

ii

iis

sisis

sisa

ii

iis

sisis

sisa

isis

isis

−=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++

+−+=

+=

−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++

+++=

+−=+−=

−−=−−=

Podemos observar que los coeficientes asociados a las fracciones parciales son también complejos conjugados. Retornando a la función transformada

f (t) = L-1[F(s)] =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

214

104

214

10411

is

i

Lis

i

L = ( ) ( )titi eiei 2121

4104

4104 −−+− −

++

Desarrollando y combinando los términos del resultado se tiene:


[ ] [ ]titittitit eeeieeetf 2222

4101)( −−−− −++=

Ahora usaremos las propiedades trigonométricas siguientes asociadas a los números complejos:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

+=

−

−

ieex

eex

ixix

ixix

2)(sen

2)cos(

(3.30)

)(sen)cos()cos()(sen)(sen ttt ωθωθθω +=+ (3.31)

Si sen(θ) ≡ B y cos(θ) ≡ C, entonces CB1tan −=θ y 22 CBD += . Al usar la ecuación

3.30, f(t) se transforma en

)2(sen5)2cos(2)( tetetf tt −− +=

y finalmente, de la ecuación 3.31:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += −−

52tan2sen29)( 1tetf t

Otra manera conveniente es poner la expresión como la suma de una función seno y una función coseno amortiguadas.

Considerando que s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22 y manipulándolos comparativamente con las transformadas de Laplace de e-atsenωt y e-∝tcosωt, los cuales son:

[ ]

[ ] 22

22

)()cos(

)()(sen

ωααω

ωαωω

α

α

+++

=

++=

−

−

ssteL

steL

t

t

(3.32)

De aquí que:

f(t) = L-1[F(s)] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+ −−22

122

1

2)1(25

2)1(12

sL

ssL

)2(sen5)2cos(2)( tetetf tt −− += (t ≥ 0)

Luego se procede como en el caso anterior. Este método requiere mucho manejo algebraico, en otras situaciones, para poder hacer una similitud de la función original en la


forma de las transformadas de Laplace de e-atsenωt y e-∝tcosωt, lo cual puede ser difícil o no factible en determinadas situaciones.

3.2.4 Expansión en fracciones parciales cuando F(s) tiene polos múltiples

En lugar de tratar el caso general, se utiliza un ejemplo para mostrar cómo obtener la expansión de F(s) en fracciones parciales.

Ejemplo 3.6 Sea la siguiente función de transferencia 3

2

)1(32)(

+++

=s

sssF

La expansión en fracciones parciales de esta F(s) cubre tres términos

1)1()1()()()( 1

22

33

++

++

+==

sb

sb

sb

sAsBsF

donde b1, b2 y b3 se determinan como sigue. Multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (s + 1)3, se tiene

2123

3 )1()1()()1( ++++=+ sbsbbsFs (3.33)

Aplicando límites cuando s → -1, entonces

31

3

)()()1( b

sAsBs

s

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

(3.34)

Al diferenciar ambos miembros de la ecuación (3.14) con respecto a s se obtiene

)1(2)()()1( 12

3 ++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ sbb

sAsBs

dsd

Si se hace s → -1 en la ecuación anterior, entonces

21

3

)()()1( b

sAsBs

dsd

s

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

(3.35)

Diferenciando por dos veces la ecuación (3.33) respecto a s, el resultado es

13

2

2

2)()()1( b

sAsBs

dsd

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ (3.36)

Del análisis precedente se puede ver que los valores b1, b2 y b3 pueden consecuentemente determinarse del siguiente modo:


( ) 232)()()1( 1

2

1

33 =++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+= −=

−=s

s

sssAsBsb

( ) 0)22(32)()()1( 1

1

2

1

32 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+= −=

−=−=s

ss

sssdsd

sAsBs

dsdb

( ) 1)2(2132

21

)()()1(

21

1

22

2

1

32

2

1 ==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

−=−= ss

ssdsd

sAsBs

dsdb

Así, se tiene

f(t) = L-1[F(s)] = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−−

11

)1(0

)1(2 1

21

31

sL

sL

sL

= t2e-t (0) + 0 + (1)e-t = (t2 +1) e-t (t ≥ 0)

3.3 La Función de Transferencia

Nuestro principal uso de la s transformaciones da Laplace en control de procesos involucra la representación de la dinámica del proceso en términos de las denominadas Funciones de Transferencia. Estas son relaciones de salida-entrada y se obtienen mediante la transformada de Laplace de ecuaciones algebraicas y diferenciales.

Al examinar un sistema de control de lazo abierto, se plantea inmediatamente la posible relación existente entre las variables de entrada y las de salida. Al cociente entre las expresiones matemáticas de las variables de salida y de entrada en función del tiempo se le denomina función de transferencia o transmitancia y se representa por el símbolo G(p) o G(s), que recibe también el nombre de transmitancia isomorfa.

Para determinar la función de transferencia, consideremos un caso general en el cual las señales de entrada y salida de un sistema se expresarán mediante ecuaciones diferenciales lineales (una ecuación diferencial lineal es la formada por la suma de términos lineales, es decir por la suma de términos que son de primer grado con relación a las variables independientes).

1

1 0 11 ... ...n n m n

n n m mn n m

d y d y d r d ra a a y b bdt dt dt dt

−

− −−+ + + = + + 02 b r+ (3.37)

donde ai y bi: coeficientes constantes r: entrada o fuerza impulsora y: salida

representando la función derivada por el operador p = d/dt resulta:

(an pn + an-1 pn-1 + ...+ a0)y = (bm pm + bm-1 pm-1 + ... + b0)r (3.38)


y de aquí

)()(

......

)()(

01

1

01

1

pDpNG

apapabpbpb

trty

nn

nn

mn

mm ==

++++++

= −−

−− (3.39)

que es la relación entre las señales de salida y(t) y entrada r(t), ambas como funciones del tiempo. Esta relación recibe el nombre de función de transferencia del sistema.

En la expresión anterior, N(p) representa el numerador de la función de transferencia y D(p) representa el denominador, ambos en función del operador p. En caso de que la señal de entrada o de excitación del sistema sea nula, r(t) = 0 y el sistema evoluciona libremente de acuerdo con la expresión siguiente

D(p) = an pn + an-1 pn-1 + ... + a0 = 0 (3.40)

que se llama ecuación característica y cuyas raíces son p1, p2, p3, ... pi y se denominan polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador N(p) igualado a cero se denominan ceros de la función de transferencia.

De este modo, la ecuación característica puede expresarse como

an(p - p1)(p - p2) ... (p - pi )(p - pn) = 0 (3.41)

o bien, siendo en general pí raíces imaginarias, la expresión anterior pasa a ser

D(p) = y(t) = c1 ept + c2 ept + ... + ci ept + ... + cn ept = 0 (3.42)

Para que el sistema sea estable, la curva y(t) debe ser de evolución amortiguada al crecer el tiempo, y por tanto las raíces pi deben tener su parte real negativa, ya que entonces el término general ciept = cie(-r + ji)t-----> 0 en el tiempo. Esta es una de las condiciones de estabilidad que se verá más adelante

Consideramos de nuevo la ecuación (3.37) como ecuación diferencial lineal que relaciona las señales de entrada y de salida a un sistema definido por la función de transferencia G.

Aplicando la transformada de Laplace a los dos miembros y considerando valores iniciales nulos en la función y en las derivadas resulta:

ansnY + an-1sn- 1Y + . . . + a0Y = bmsmR + bm-1sm-1R + . . . + b0R (3.43)

y de aquí

1

11

1 0

...( )( )( ) ...

m mm m

n nn n

b s b s bY sG sR s a s a s a

−−

−−

+ + += =

+ + +0 (3.44)

Expresión equivalente a la ecuación (3.39) sin más que cambiar el operador diferencial p en el dominio del tiempo por la variable compleja s en el dominio de las s. Así pues, al ser las dos expresiones equivalentes, la función de transferencia se puede expresar también por


el cociente de las transformadas de Laplace, siempre que se mantengan nulas las condiciones iniciales en la variable y sus derivadas. Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n.

El valor de la salida se obtiene multiplicando la entrada por la función de transferencia.

3.3.1 Elementos de la Función de Transferencia

Para una ecuación que describe un sistema físico real ecuación (3.37), el orden del lado derecho, m, no puede ser mayor que el orden del lado izquierdo, n. Este criterio para una factibilidad física es:

n ≥ m (3.45)

Esta condición puede ser determinada intuitivamente por el siguiente razonamiento. Tomando un caso donde m = 1 y n = 0.

0 1 0dra y b b rdt

= + (3.46)

Esta ecuación dice que tenemos un proceso cuya salida y depende del valor de la entrada r y el valor de la derivada de la entrada. Entonces el proceso debe ser capaz de diferenciar, perfectamente, la señal de entrada. Pero es imposible para todo sistema real diferenciar perfectamente. Esto tomaría que un cambio de escalón en la entrada produzca una punta infinita en la salida. Esto es físicamente imposible.

Este ejemplo puede ser generalizado a cualquier caso donde m ≥ n para mostrar que diferenciación debe requerir. Por lo tanto, n siempre debe ser mayor o igual a m. La transformada de Laplace de la ecuación (3.46) da:

01

0 0

( )( )

bbY s sR s a a

= + (3.47)

Este es un adelanto de primer orden. Esto no es físicamente realizable; es decir, un dispositivo no puede ser construido que tenga exactamente esta función de transferencia

Considere el caso donde n = m = 1.

1 0 1dy dra a y b bdt dt

+ = + 0r (3.48)

La ecuación (3.48) puede ser arreglada, agrupando los términos de derivada:

( )1 1 0 0d dza y b r b r a ydt dt

− = = − (3.49)


El lado derecho de esta ecuación contiene funciones del tiempo pero no derivadas. Esta EDO puede ser integrada mediante la evaluación del lado derecho (la derivada) en cada punto en el tiempo e integrando para conseguir z en el nuevo punto en el tiempo. Entonces, el nuevo valor de y es calculado a partir del valor conocido de r:

y = (z + b1r)/a1 (3.50)

No se requiere diferenciación y esta función de transferencia es físicamente realizable. Recordar, la naturaleza siempre integra, nunca diferencia!

La transformada de Laplace de la ecuación (3.49) da la función de transferencia salida/entrada

1

1 0

( )( )

b s bY s 0

R s a s a+

=+

(3.51)

Este es llamado un elemento de adelanto- retraso (lead-lag) y contiene un retraso de primer orden y un adelanto de primer orden.

Los sistemas de procesos fluidos y térmicos, manifiestan varias características dinámicas distintas, pero muchas de ellas se pueden describir por combinaciones de cinco funciones de transferencia:

K Elemento proporcional

sτ1 Elemento de capacitancia

11+sτ

Elemento de primer orden

121

22 ++ ss ςττ Elemento de segundo orden

ste 0− Elemento de tiempo muerto (retardo en el tiempo)

11

++

ss

d

F

ττ

Elemento de adelanto-retraso

3.3.2 Modelamiento Matemático de Sistemas Dinámicos

Para estudiar los sistemas de control una etapa principal es modelar y analizar las características dinámicas del proceso a ser controlado. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con exactitud, o al menos, razonablemente bien. Un sistema dado puede tener muchos modelos matemáticos.

La dinámica de muchos sistemas se pueden describir en términos de ecuaciones diferenciales, y la respuesta del sistema a una entrada se puede obtener si se resuelven las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema.


Un sistema es una sección de la realidad que es el foco primario de un estudio, consiste de componentes interrelacionados y es, en un sentido, una entidad cerrada, considerada como independiente (mentalmente) de todo lo que le rodea. Un sistema puede realizar una función que no es realizable por sus componentes individuales. El conjunto de actividades que se llevan a cabo dentro de un sistema se denomina proceso. Un sistema puede ser o físico o simbólico, sólo uno de los dos. Las ciencias matemáticas y lógicas trabajan con estos últimos. Los objetos o componentes que forman parte del sistema se denominan entidades, por ejemplo un reactor está compuesto por el tanque, la chaqueta de enfriamiento, el agitador, etc. Estas entidades poseen propiedades denominadas atributos, por ejemplo: la velocidad del agitador, y se relacionan entre sí a través de relaciones o funciones. Estas relaciones pueden ser:

• Estáticas o estructurales: El reactor tiene un determinado volumen. • Dinámicas o funcionales: el reactor consume energía cuando opera.

Los valores considerados por los atributos de las entidades en un momento dado determinan el estado del sistema. El estado puede ser estático o estacionario si se mantiene constante en el tiempo; o por el contrario, puede ser dinámico o transitorio si evoluciona con el tiempo. Un sistema puede presentar los dos tipos de conductas; generalmente, cuando inicia su funcionamiento pasa por un estado dinámico y luego alcanza un estado estacionario o de régimen.

Un estado estacionario es estable si el sistema retorna a él luego de una perturbación. Por el contrario, un estado estacionario es inestable si el sistema se aleja de él luego de una perturbación. Este alejamiento puede dar lugar a una respuesta acumulativa (crece o decrece continuamente, o alcanza otro estado estacionario) o a una respuesta oscilatoria (crece y decrece continuamente). Un ejemplo de estado estable, es un péndulo en su posición de reposo; en cambio, el péndulo invertido es un ejemplo de estado inestable. Si el péndulo no tiene fricción, la respuesta a una perturbación será oscilatoria; en cambio, si existe fricción la respuesta será amortiguada.

Sistema químico.- Un sistema químico es un conjunto de procesos físicos y químicos interrelacionados y medios físicos que lo implementan (equipos de proceso).

Fig. 3.2 Sistema y Variables

Todo sistema tiene entradas y salidas, figura 3.2; las entradas pueden ser materia prima, su composición, temperatura, etc. Un sistema está usualmente sujeto a perturbaciones, y a fin de compensar estas, se hace uso de acciones de control (o correcciones).


Los atributos también se denominan variables o parámetros (Figura 1-1). Los parámetros (P) son atributos que se fijaron durante el diseño del sistema ya sea por el diseñador o por la naturaleza, por ejemplo: la cilindrada del motor, la aceleración de la gravedad. Las variables se clasifican a su vez en:

• Variables de entrada o exógenas (U y D): Son fijadas por el medio ambiente del sistema. Pueden ser manipulables si se fijan a voluntad, o no manipulables en caso contrario. Un ejemplo del primer caso es la temperatura de la alimentación a un reactor, y del segundo caso es la temperatura de los alrededores. Una variable de entrada no manipulable se denomina perturbación. En Estudios de control de procesos, las variables manipulables se representan con el vector U, y las perturbaciones se representan con el vector D. La única manera de actuar sobre el sistema es a través de las variables manipulables, por eso son utilizadas para controlar el proceso.

• Variables de salida (Y): Son las variables de estado, o combinación de ellas, que son medidas o traspasan la frontera del sistema; por ejemplo, la concentración de salida del reactor. Las variables de salida se representan con el vector Y. Es la única información que sale del sistema, por eso son utilizadas para supervisar el proceso.

• Variables internas: Son las variables del sistema que no son variables de entrada, variables de salida, ni parámetros.

• Variables de estado (X): Conforman el conjunto mínimo de variables internas del sistema necesarias para describir completamente su estado interno en un momento dado. Mientras las otras variables internas pueden ser determinadas a partir de los parámetros y de las variables de entrada, para determinar el valor de las variables de estado es necesario recurrir a la historia del sistema. Por ejemplo, la cantidad de un determinado componente dentro de un reactor en un momento dado; es imposible determinar esta cantidad a partir de solo los valores de otras variable para dicho momento, porque además se deberían conocer cuánto fue la cantidad inicial de componente, cuánto se alimento, cuánto reacciono, cuanto se sacó, etc.

Modelado (modelamiento) es el proceso de construcción de un modelo. Un modelo es una representación de un objeto, sistema, o idea. Usualmente, su propósito es ayudar explicar, entender o mejorar un sistema.

Modelos Basados en los Principios de Fenómenos de Transporte

Nivel de descripción fisicoquímico

Utilización por los ingenieros

Descripciones matemáticas

Parámetros típicos para análisis

Atómico y molecular Formación fundamental

Trata cantidades discretas: mecánica cuántica, mecánica estadística, teoría cinética

Funciones de distribución; integrales de colisión

Microscópico Aplicable solamente a casos especiales

Fenómenos de transporte laminar, teorías estadísticas de la turbulencia

Coeficientes fenomenológicos; coeficientes de viscosidad, difusión, conducción calorífica; coeficiente de Soret


Gradiente múltiple Aplicable solamente a casos especiales

Fenómenos de transporte laminar y turbulento; transporte en medios porosos

Coeficientes de transporte “efectivo

Gradiente máximo Utilizado para sistemas de flujo continuo; “flujo de pistón”

Fenómenos de transporte laminar y turbulento, diseño de reactores

Coeficientes de transporte de interfase, constantes cinéticas

Macroscópico Utilización muy amplia

Ingeniería de procesos, operaciones básicas; termodinámica y cinética clásicas

Coeficientes de transporte de interfase; constantes cinéticas macroscópicas; factores de fricción

Ecuación Fundamental:

Acumulación neta en el

volumen del sistema

= Transporte neto de entrada a través de

la superficie del sistema

- Transporte neto de entrada a través de

la superficie del sistema

+Generación neta en el

volumen del sistema

- Consumo neto en el volumen

del sistema

La ecuación anterior se utiliza usualmente desde el nivel microscópico hasta el macroscópico. Para el uso adecuado de esta ecuación se debe tener una clara definición del proceso y del sistema en el que se desarrolla; para ello se deben establecer claramente todos los componentes (equipos, dimensiones, formas, etc.) y su funcionalidad (agitar, intercambiar calor, aislar, etc.) y para situaciones imprecisas o inciertas es necesario situar las presunciones necesarias para que el proceso se desarrolle de una determinada manera.

Ejemplo 3.7 Modelamiento matemático de un intercambiador de calor.

Fig. 3.3 Sistema de control de Un Intercambiador de Calor


Para ilustrar el modelamiento del proceso, consideraremos el caso de control de temperatura en un intercambiador de calor de doble tubo. En un sistema de intercambio de calor, generalmente se tiene como objetivo calentar (o enfriar) un fluido de proceso hasta una temperatura determinada Tp (de salida) para ser alimentado a una etapa posterior en el proceso, para cumplir con este objetivo se debe usar una corriente de fluido de calentamiento (o enfriamiento) el cual debe operar en un rango de temperaturas entre la entrada Tc0 y la salida Tc y a una velocidad de flujo Fc, la cual depende de los requerimientos del proceso.

Si el objetivo del proceso de transferencia de calor es el calentamiento (o enfriamiento) de la corriente de proceso, el objetivo del sistema de control es mantener la temperatura de salida de la corriente de proceso en un valor especificado o en estado estacionario ante cualquier perturbación que pueda alterar el proceso.

Con lo expuesto anteriormente podemos establecer que la variable controlada es la temperatura de salida del fluido de proceso (Tp), y la variable manipulada es la velocidad de flujo del fluido de calentamiento (Fc). Las perturbaciones pueden presentarse debido a cambios en la temperatura de entrada (Tp0), la velocidad de flujo (Fp) del fluido de proceso, variación de temperatura del medio ambiente, resistencias a las incrustaciones, etc.

Presunciones:

• No hay pérdida de calor hacia el ambiente. • Las propiedades físicas como las capacidades caloríficas, así como las masas

retenidas en el intercambiador permanecen constantes. • Se desarrolla un flujo en pistón, esto quiere decir que no hay dispersión ni

retromezcla. • El perfil de temperatura solo dependen de la dirección axial del intercambiador,

los términos asociados a la dirección radial y angular no son importantes.

Para el sistema de control del intercambiador de calor dado en la figura 3.3, por modelamiento matemático, se llega a las ecuaciones. (3.52) y (3.53)

( )c

ccccc

MCpTTAtUtTTtF

dttdT /)()()()(

2)( 0 Δ−−

= (3.52)

( )p

ppppp

MCpTTAtUtTTtF

dttdT /)()()()(

2)( 0 Δ−−

= (3.53)

donde: Tc: temperatura de salida del fluido caliente Tc0: temperatura de entrada del fluido caliente Tp: temperatura de salida del fluido de proceso (variable que se va a controlar) Tp0: temperatura de entrada del fluido de proceso Fc: flujo de masa del fluido caliente (variable que se va a manipular) Fp: flujo de masa del fluido de proceso U: coeficiente total de transferencia de calor A; área de transferencia de calor


ΔT: diferencia verdadera de temperaturas Cpc: capacidad calorífica del fluido caliente Cpp: capacidad calorífica del fluido de proceso Mc: masa del fluido caliente dentro del intercambiador Mp: masa del fluido de proceso dentro del intercambiador t: tiempo

T = (Tc, Tc0, Tp, Tp0) es un vector de temperaturas de los fluidos de entrada y salida, ΔT(T) es la diferencia media efectiva de temperaturas, la cual puede ser la diferencia media aritmética de temperaturas (DMAT).

ΔT(T) = [(Tp – Tco) + (Tpo –Tc)]/2 (3.54)

o, como en la mayoría de los casos prácticos, la diferencia media logarítmica de temperaturas (DMLT).

)ln()ln()()(

)(00

00

pcpc

pcpc

TTTTTTTT

TT−−−

−−−=Δ (3.55)

La dependencia del tiempo del coeficiente de transferencia de calor es importante para variaciones en el área de transferencia de calor. En este caso presumimos que U(t) ≠ 0, t ≥ 0 y Tco > Tpo ó (Tco < Tpo respectivamente). Las asunciones precedentes implican que bajo condiciones normales de operación, Tco > Tc o (Tco < Tc respectivamente), de modo que el sistema de control está bien definido para todo t > 0.

Ejemplo 3.8 Modelamiento matemático de tres reactores en serie

Fig. 3.4 Reactores CSTR en serie

La figura 3.4 muestra una batería de tres reactores en serie. El producto B es formado y el reactante A es consumido en cada uno de los tres reactores perfectamente mezclados mediante una reacción de primer orden llevándose a cabo en el líquido. Por el momento asumimos que las temperaturas y retenciones (volúmenes) de los tres tanques pueden ser diferentes, pero tanto las temperaturas y el volumen de liquido en cada tanque se presumen a ser constantes (isotérmico y a volumen constante). Se presume densidad constante a lo largo del sistema, el cual es una mezcla binaria de A y B. Con estas presunciones en mente, podemos formular nuestro modelo.

Las ecuaciones que describen los cambios dinámicos en las cantidades de reactante A en cada tanque son (con unidades de kg-mol de A/min)


( )

( )

( ) 333323

1

222212

2

111101

1

AAAA

AAAA

AAAA

CkVCCFdt

dCV

CkVCCFdt

dCV

CkVCCFdt

dCV

−−=

−−=

−−=

(3.56)

La velocidad de reacción específica kn está dada por la ecuación de Arrhenius

kn = α n = 1, 2, 3 (3.57)

si las temperaturas en los reactores son diferentes, los k son diferentes. La n se refiere al número de la etapa.

El volumen Vn puede ser sacado fuera de la derivada del tiempo debido a que es constante. Si el flujo F es constante y las retenciones y temperaturas son las mismas en todos los tanques (los kn son un mismo valor), las ecuaciones (3.56) serán

233

112

011

11

11

11

AAA

AAA

AAA

CCkdt

dC

CCkdt

dC

CCkdt

dC

ττ

ττ

ττ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

(3.58)

donde τ = V/F, con unidades de minutos

Existe solamente una función impulsora o variable de entrada CA0.

3.3.3 Sistemas Lineales y No Lineales

3.3.3.1 Sistemas lineales

Un sistema en el que se aplica el principio de superposición se denomina lineal. El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras (perturbaciones) distintas, es la suma de las respuestas individuales. Por lo tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas entradas se puede calcular tratando una entrada a la vez, y añadiendo o sumando los resultados.

La primera interrogante que debe ser contestada es justamente cuando una ecuación diferencial es lineal. Básicamente es la que contiene variables solamente elevadas a la primera potencia en cualquiera de los términos de la ecuación. Ejemplo de EDO lineal:

1 0 ( )dxa a x fdt

+ = t (3.59)


donde a0 y a1 son constantes o funciones del tiempo solamente, no de las variables dependientes o sus derivadas.

3.3.3.2 Sistemas no lineales

Los procesos reales generalmente se modelan mediante ecuaciones algebraicas y/o diferenciales no lineales. Si en la ecuación aparecen raíces cuadradas, cuadrados, exponenciales, productos de variables, etc., la ecuación, es no lineal.

Ejemplos de EDO no lineal

)(21 tfxadtdxa =+ (3.60)

)(221 tfxa

dtdxa =+ (3.61)

)(21 tfeadtdxa x =+ (3.62)

)()()()(212

11 tftxtxa

dttdxa =+ (3.63)

donde x, x1 y x2 son variables dependientes

3.3.4 Linealización

Matemáticamente, una ecuación diferencial lineal es una para la cual se cumplen las siguientes propiedades:

1. Si x(t) es una solución, entonces cx(t) es también una solución, donde c es una constante.

2. Si x1 es una solución y x2 es también una solución, entonces x1 + x2 es una solución.

La linealización es muy simple. Todo lo que se tiene que hacer es tomar las funciones no lineales, expandirlas en una serie de expansión de Taylor alrededor de la operación al estado estacionario, y despreciar todos los términos después de las primeras derivadas parciales.

Presumiendo que tenemos una función no lineal de variables del proceso x1 y x2: f(x1, x2). Por ejemplo, x1 podría ser fracción molar o temperatura o razón de flujo. Denotando los valores de estas variables en estado estacionario como:

x1s = valor en estado estacionario de x1 x2s = valor en estado estacionario de x2

Ahora expandiendo la función f(x1, x2) alrededor de sus valores al estado estacionario f(x1s, x2s)


( ) ( )

( ) ( )...

!2!2

),(),(

222

,2

2

2211

,2

1

2

22,2

11,1

2121

2121

2121

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=

s

xx

s

xx

sxx

sxx

ss

xxx

fxxx

f

xxxfxx

xfxxfxxf

ssss

ssss (3.64)

La linealización consiste en truncar la serie después de las primeras derivadas parciales.

( ) ( sxx

sxx

ss xxxfxx

xfxxfxxf

ssss

22,2

11,1

2121

2121

),(),( −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+≅ ) (3.65)

Así se ha aproximado la función real a una función lineal.

Ejemplo 3.10 Considerar la dependencia del flujo saliendo de un tanque a la raíz cuadrara de la altura de líquido en el tanque:

hKhF =)( (3.66)

La expansión de Taylor alrededor del valor de h en estado estacionario, el cual es hs o h en nuestra nomenclatura, es:

...)(!2

1)()()( 22

2

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+= hhhFhh

hFhFhF

ssss

(3.67)

)(21)()( 2/1 hhKhhFhF

ss

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≅ − (3.68)

)(21)( hh

hKhKhF −+= (3.69)

Ejemplo 3.11 El producto de dos variables dependientes es una función no lineal de dos variables:

f(CA, F) = CAF (3.70)

Linealizando

( ) ( sFC

AsAFCA

sAsA FFFfCC

CfFCfFCf

sAssAs

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+≅,,

),(),( ) (3.71)

CA(t)F(t) ≅ CAsFs +Fs[CA(t) - CAs] + CAs[F(t) - F(s)] (3.72)

Notar que la linealización convierte la función no lineal (el producto de dos variables dependientes) en una función lineal de dos términos.

3.3.5 Variables de Desviación


Nosotros encontraremos de mucha utilidad en prácticamente todos los casos de estudio de dinámica y control de sistemas lineales tomar la variable de desviación del estado estacionario en lugar de las variables absolutas

Fig. 3.5 Variables de desviación

Como las variables totales son funciones del tiempo, x(t), su desviación de los valores del estado estacionario xs también serán funciones del tiempo como muestra la figura 6.4.

Esta desviación del estado estacionario se denomina desviación o variables de desviación. Nosotros usaremos letras mayúsculas para denotar las variables de desviación. Entonces, la variable de desviación X es definida como:

X = x(t) - xs (3.73)

Las ecuaciones que describen al sistema lineal pueden ser ahora expresadas en términos de estas variables de desviación. Cuando se hace esto, dos resultados muy útiles ocurren

1. Los términos que son constantes en la ecuación diferencial ordinaria son eliminados.

2. Las condiciones iniciales para las variables de desviación son todas iguales a cero si el punto de inicio es la condición de operación al estado estacionario.

3.3.6 Función de Transferencia de los Elementos de un Sistema de Control

Para el análisis de sistemas de control, se considera la carga constante y se varía el punto de consigna, y el sistema de control debe llevar el valor de la variable de salida al valor dado del punto de consigna. Con esta consideración, el sistema de control del intercambiador de calor dado en el ejemplo 3.7, puede representar mediante un diagrama de bloques para una operación servo.


Fig.3.6 Diagrama de bloques del sistema de control

Como se puede observar en la figura 3.6, el sistema de control es un sistema de lazo cerrado con retroalimentación, en el cual se mide la variable controlada (salida) para compararlo con el valor deseado de esta variable (valor de referencia), esto se hace en el comparador y debido a que en la comparación la variable medida entra con signo negativo, este sistema se conoce como “feedback negativo”.

Para un sistema de retroalimentación (feedback) negativo, la señal medida proveniente del sensor ingresa con signo negativo al comparador por lo que el error está dado por:

Error = valor de referencia o en el ss (punto de consigna) – señal medida (3.74)

En este texto usaremos la siguiente nomenclatura:

a) En el dominio del tiempo

r(t): punto de consigna ym(t): variable medida e(t): error e(t) = r(t) – ym(t) (3.75)

b) En el dominio de Laplace y usando las variables de desviación:

R(s): punto de consigna Ym(s): variable medida E(s): error E(s) = R(s) – Ym(s) (3-76)

Si hay diferencia se produce una señal de error la cual va al controlador para accionar la válvula de control y regular el flujo del fluido de calentamiento según lo requerido por el proceso.

Como muestra este sistema de control, los elementos básicos son: - Proceso - Elemento de medida (Sensor)


- Controlador - Elemento final de control (Válvula) - Elementos de transporte de señal

Siendo estos los elementos del sistema, veremos en el presente capítulo como deducir las funciones de transferencia de cada elemento.

3.3.6.1 Función de transferencia del proceso

La función de transferencia para el proceso controlado relaciona en el dominio de Laplace a la variable controlada (salida) a la variable manipulada (entrada).

Ejemplo 3.12 Función de transferencia de un intercambiador de calor

La función de transferencia para el proceso controlado llevado a cabo en el intercambiador de calor debe relacionar en el dominio de Laplace a la variable de salida (controlada) Tp a la variable de entrada (manipulada) Fc. De la ecuación (6.16) (para el fluido de proceso), considerando constante el flujo de entrada

dttdT

FM p

p

p )(2

= [Tp0 – Tp(t)] + U(t)AΔT(T)/FpCpp (3.77)

sip

p

FM2

= τp (tiempo) y AΔT(T)/FpCpp = k1 (ganancia)

La ecuación (6.25) se puede escribir como

dttdTp

p

)(τ + Tp(t) = Tp0 + k1U(t) (3.78)

En el estado estacionario, la ecuación (3.77) será:

Tps = Tp0s + k1Us = 0 (3.79)

Donde el subíndice s indica en estado estacionario. Restando la ecuación (3.79) de la ecuación (3.78) se tiene, introduciendo un artificio matemático en la derivada,

[ ]dt

TtTd pspp

−)(τ + [Tp(t) - Tps] = (Tp0 - Tp0s) + k1[U(t) – Us] (3.80)

Definiendo las variables de desviación para el intercambiador de calor:

Tp = (Tp - Tps)

U = (U – Us)


Además, Tp0 = Tp0s la temperatura de entrada es la misma en cualquier instante. Con lo cual la ecuación (3.80) será:

dttd p

p

)(Tτ + Tp(t) = k1U(t) (3.81)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (3.81) se tiene:

τp[sTp(s) – Tp(0)] + Tp(s) = k1U(s) (3.82)

Donde Tp(0) = 0, ya que en el tiempo cero recién se inicia el proceso y no hay variación del estado estacionario (las variables de desviación son 0 en t = 0). Simplificando la ecuación (3.82) se tiene

1)()( 1

+=

sk

ss

p

p

τUT

(3.83)

donde: τp = Constante de tiempo del proceso (usualmente minutos o segundos)

k1 = Ganancia enl estado estacionario

Usando el mismo procedimiento para la ecuación (3.52) (fluido de calentamiento) y aplicando la propiedad de traslación de la transformada, para lo cual se sabe que:

Q = Fc(Tc - Tc0) = UAΔT (3.84)

se tiene la función de transferencia para el fluido de calentamiento

1)()( 2

+=

sk

ss

cτcFU (3.85)

Considerando que los dos procesos se llevan a cabo en serie, por lo cual la función de transferencia del proceso total será el producto de las funciones de transferencia individuales, y haciendo k1k2 = Kp, τc = τ 1 y τp = τ 2, se tiene:

( )( )11)()(

)()(

)()(

21 ++===

ssK

ss

ss

ss

G p

c

p

c

pp ττF

TFU

UT

, τ 1, τ 2 > 0 (3.86)

La ecuación (3.86), relaciona la variable de salida TP (variable controlada) a la variable regulada Fc (entrada o carga), donde τ 1 y τ 2 son los tiempos característicos del proceso. Esta función de transferencia es de segundo orden.

Ejemplo 3.13 Función de transferencia de un sistema de nivel de liquido

Al analizar sistemas que consideran el flujo de fluidos, se hace necesario dividir el régimen de flujo en régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento, de acuerdo con la


magnitud del número de Reynolds. Si el número de Reynolds es mayor que aproximadamente 3000 - 4000, el flujo es turbulento.

Fig. 3.7 Sistema de control de nivel de un líquido

donde: q0: caudal de entrada, en m3/s q: caudal de salida, en m3/s. H: nivel de liquido, en m. R: resistencia a la salida A: área de sección transversal del tanque, m2 V: volumen de liquido en el tanque, m3

Si el número de Reynolds es menor que aproximadamente 2000, el flujo es laminar. En el caso laminar el flujo de fluido se produce en tuberías sin turbulencia. Los sistemas que implican flujo turbulento suelen requerir, para representarse, de ecuaciones diferenciales no lineales, mientras que los sistemas que corresponden a flujo laminar, pueden representarse por ecuaciones diferenciales ordinarias. (En los procesos industriales frecuentemente se tiene flujos en tuberías y tanques. En esos procesos el flujo es frecuentemente turbulento y no laminar).

a) Caso lineal

Como se ha mencionado anteriormente, un sistema se puede considerar lineal si el flujo es laminar. En este caso la resistencia al caudal de salida es lineal y estará dado por:

q = R h (3.87)

El sistema debe mantener constante el nivel de líquido en el tanque (salida) para lo cual debe regular el caudal de entrada (entrada). Por lo tanto la función de transferencia debe relacionar en el dominio de Laplace el nivel de líquido al caudal de entrada.

)()()(

sQsHsG = (3.88)


1. Haciendo un balance de materiales en estado no estacionario

entrada – salida = acumulación (3.89)

dtdVqq =−0 (3.90)

si

V = Ah; dV = Adh y q = h/R, entonces dtdhA

Rhqqq =−=− 00 , y

0RqhdtdhAR =+ (3.91)

definiendo la constante de tiempo, AR = τ, la ecuación (3.91) se escribe:

0qRhdtdh

=+τ (3.92)

2. Haciendo un balance de materiales en estado estacionario

0qRhdthd

=+τ (3.93)

donde h : nivel de liquido en el estado estacionario 0q : caudal de entrada en el estado estacionario

3. Definiendo las variables de desviación, para lo cual restamos la ecuación (3.93) de la ecuación (3.92) se tiene:

[ ]dt

hthd −)(τ + [h(t) - h ] = R [ ]00 )( qtq − (3.94)

Las variables de desviación están dadas por:

[h(t) – h ] = H [ ]00 )( qtq − = Q

con lo cual la ecuación (3.94) se escribe:

RQHdt

dH=+τ (3.95)

4. Tomando la transformada de Laplace a la ecuación (3.95) se tiene:

τ [sH(s) - H(0)] + H(s) = RQ(s)


Como se ha visto anteriormente, H(0) = 0 con lo cual se tiene:

τ sH(s) + H(s) = RQ(s)

H(s)[τs + 1] = RQ(s)

1)()(

+=

sR

ss

τQH (3.96)

Función de transferencia que relaciona el nivel del líquido al caudal de entrada

b) Caso no lineal

Supongamos que el tanque del ejemplo anterior opera en régimen turbulento por lo que posee una resistencia no lineal en la salida, y el caudal de salida está dado por:

q = Rh1/2 (3.97)

De igual manera que en el caso anterior, la función de transferencia del proceso debe relacionar en el dominio de Laplace el nivel de liquido al caudal de entrada.

Función de transferencia:

)()()(

sQsHsG = (3.98)

Haciendo un balance de materiales al estado no estacionario igual que en el caso lineal

dtdVqq =−0 (3.99)

si V = Ah; dV = Adh y q = Ch1/2

q0 – q = q0 - Ch1/2 = dtdhA (3.100)

Como existe él término no lineal Ch1/2, trae dificultades al momento de tomar la transformada de Laplace, por lo que esta ecuación debe linealizarse.

Para esto hacemos uso de la serie de expansión de Taylor y la función q(h) puede ser expresada en las proximidades del estado estacionario para valores de h próximos a h . Entonces

q = q( h ) + hdh

dq (h - h ) + ( 22

2

21 hh

dhqd

h

− ) (3.101)


donde hdh

dq : es la primera derivada de q evaluada en h .

hdh

qd2

2

21 : es la segunda derivada de q0 evaluada en h , constante.

Si tomamos solamente los términos lineales, el resultado es:

q = q( h ) + hdh

dq (h - h ) (3.102)

Si sabemos que q = Ch1/2, entonces

hdhdq = 2/1

21 −hC

Reemplazando el valor de q’(hs) en la ecuación (6.66) tenemos:

)(21)( 2/1 hhhChqq −+= − (3.103)

Haciendo q( h ) = q y 2/111 2

1 −− = hCR , tendremos

)(1

1

hhR

qq −+= (3.104)

Sustituyendo la ecuación (3.104) en (3.101)

dtdhAhh

Rqq =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+− )(1

10

luego

dtdhAhh

Rqq =−−− )(1

10 (3.105)

1. Haciendo un balance de materiales en estado estacionario.

dthdAqq =−0 (3.106)

2. Restando las ecuaciones (3.105) - (3.106)

( )dt

hhdAhhR

qqqq −=−−−−− )(1)(

100 , simplificando


( )dt

hhdAhhR

qq −=−−− )(1

100 (3.107)

Introduciendo las variables de desviación

Q = q0 – 0q y H = h - h , luego

dtdHA

RHQ =−

1

Definiendo la constante de tiempo τ = AR1 se tiene:

dtdHHQR τ=−1 (3.108)

Tomando la transformada de Laplace

R1Q(s) - H(s) = τ [sH(s) - H(0)]

R1Q(s) - H(s) = τ sH(s)

1)()( 1

+=

sR

ss

τQH (3.109)


control de procesos - semana 3 - 4

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