rasgele deĞİŞkenlerİn daĞilimlari - İnşaat...

3-1 BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı

Bölüm 3 RASGELE DEĞİŞKENLERİN DAĞILIMLARI

Bir rasgele değişkene ait rasgele olayların dağılımlarını toplu bir şekilde dağılım

fonksiyonu ile ifade edebiliriz. Bu fonksiyonun gösterilişi değişkenin kesikli yada

sürekli oluşuna göre farklıdır. Basit rasgele olayların olasılıklarının tanımlanması

açısından rasgele değişkenleri iki sınıfa ayırarak incelemek gerekir.

Kesikli rasgele değişkenler; Örnek uzayındaki eleman sayısı (basit olay) sonlu olan

(bir kavşağa 1 dakikada gelen araba sayısı, 1 yıldaki yağışlı günlerin sayısı gibi)

olasılık kütle fonksiyonu (o.k.f); kesikli rasgele değişkenlere ait basit olayların

olasılıklarının düşey çizgilerle gösterim şeklidir. Düşey çizgilerin uzunluklarının

toplamı daima 1 e eşittir. Diğer bir gösterim şekli de rasgele değişkenin belli bir değere

eşit yada daha küçük olma olasılığının [F(xi)=P(Xxi)] çizilmesidir. Pratikte önem

taşıyan bu fonksiyona eklenik (birikimli) dağılım fonksiyonu (e.d.f) denir.

Sürekli rasgele değişkenler; Örnek uzayındaki eleman sayısı (basit olay) sonsuz olan

(bir noktadaki rüzgar hızı, bir akarsudaki akımın debisi gibi)

Mühendislikte karşılaşılan rasgele değişkenlerin çoğu sürekli niteliktedir. Ancak ölçüm

araçlarının sınırlı bir presizyonu olması dolayısıyla bu değişkenlerin alabildikleri

değerler sonlu sayıda gibi düşünülmekte, bu nedenle kesikli rasgele değişkenler olarak

ele alınmaktadırlar.

Sürekli bir rasgele değişkenin alabileceği değerlerin sayısı sonsuz, bu değerleri alma

olasılıklarının toplamı ise 1’ e eşit olacağından X=x şeklindeki basit olayların

olasılıkları sıfıra gidecektir. Bu nedenle sürekli rasgele değişkenlerde basit olayların

olasılıklarından söz etmek yerine, değişkenin x ile x+dx arasındaki bir aralıkta kalması

şeklindeki bir bileşik olayın olasılığını tanımlamak yoluna gidilir. Bunun için olasılık

yoğunluk fonksiyonu (o.y.f) f(x) şu şekilde tanımlanır.

f(x). dx= P (x<Xx+dx)

f(x) eğrisi altındaki taralı alan değişkenin

(x, x+dx) aralığında bir değer alması olasılığını

göstermektedir.

0 1 2 3 4 5 6 7 x

p(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 x

F(x)

E.D.F O.K.F

0 x

f(x)

f(x).dx

x x+dx

o.y.f.


Sürekli değişken halinde de birikimli dağılım fonksiyonunun tanımı değişmez. Bağıntı

(F(x)) rasgele değişkenin belirli bir değere eşit olması ya da ondan küçük olması

olasılığını belirtir

Bir X rasgele değişkenine ilişkin olasılık dağılımı çoğunlukla birikimli olasılık dağılım

fonksiyonu yada kısaca dağılım fonksiyonu ile tanımlanabilir.

X kesikli rasgele değişken ise;

dağılım fonksiyonu; )()()(

xlertümx

i

i

xXPxXPxF

X sürekli rasgele değişken ise;

dağılım fonksiyonu;

x

duufxXPxF )()()(

Bir rasgele değişkenin temel tanımlayıcıları – Dağılımların Parametreleri

Bir rasgele değişkenin olasılıksal özellikleri (karakteristikleri); dağılım fonksiyonunun

yada eşdeğer şekilde olasılık yoğunluk ya da kütle fonksiyonunun biçimi ile

parametreleri kesinlikle belirlenebiliyorsa tam olarak tanımlanabilir. Olasılıksal

özellikleri tanımlayan temel büyüklüklerin en önemlileri; rasgele değişkenin merkezsel

değeri ve değerlerin dağılımının ölçüsüdür. Dağılımın simetrik olmadığı biliniyorsa,

kaykılmanın ölçüsü de önem kazanır ve bilinmesi yararlı olur.

Ayrıca dağılım fonksiyonu bilinse bile, pratik uygulamalar için önemli olan bilgileri

sağlamaları nedeniyle, temel büyüklüklerin bilinmesi gereklidir. Değişkenin dağılım

fonksiyonunun belli özelliklerini yansıtan bu büyüklüklere dağılımın parametreleri

denir. Parametrelerin eldeki verilerden tahmin edilmesi ve kullanılması dağılım

fonksiyonunun tahmin edilip kullanılmasına göre çok daha kolay olur. Bu nedenle

yaklaşık ta olsa çabuk cevapların elde edilmesi gereken mühendislik problemlerinde

parametreleri kullanmak gerekir.

Yukarıda da ifade edilmiş olduğu gibi parametreler dağılımın şu gibi özelliklerini belirtirler;

Dağılımın merkezini, yani rasgele değişkenin çeşitli gözlemlerde alabileceği değerlerin

çevresinde kümelendiği değeri

Çeşitli gözlemlerde rasgele değişkenin alacağı değerlerin, bu merkez çevresindeki

yayılmasının büyüklüğünü

Dağılımın çarpıklığını

Dağılımın sivriliğini

Bir rasgele değişkenin dağılımının bu gibi özelliklerinden herhangi birinin ölçüsü olan bir

parametreyi çeşitli şekillerde tanımlamak mümkündür. Ancak bunların arasında en çok

kullanılan istatistik moment tipindeki parametrelerdir (ortalama değer, varyans).


Ortalama değer (beklenen değer, merkezsel değer); Bir rasgele değişkenin olabilir değerleri

bir dizi oluşturur. Dolayısıyla bu dizinin merkezsel değeri ile ilgilenmemiz doğaldır

(ortalama değer gibi). Özellikle rasgele değişkenin farklı değerleri farklı olasılıklara yada

olasılık yoğunluklarına sahip olduğu için “ağırlıklı ortalama” ile ilgileniriz. Olasılık

teorisinde ağırlıklı ortalama, ortalama değer yada beklenen değer terimiyle adlandırılır ve

çoğunlukla mx yada E(X) simgesiyle belirtilir. Diğer taraftan bazı kitaplarda x simgesiyle de

gösterilmektedir.

X, olasılık kütle fonksiyonu p(xi) olan bir kesikli rasgele değişken ise;

X, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan sürekli bir rasgele değişken ise;

bağıntılarından görüldüğü gibi, ortalama değer yada beklenen değer: kesikli rasgele

değişkenler için değişkenin her değeri ile bu değerin karşılığı olasılığın çarpılması ve böylece

belirlenen çarpım sonuçlarının toplanmasıyla elde edilir; sürekli değişkenler için ise toplamlar

yerine entegral alınır.

Bu tanımlardan görüleceği gibi, kesikli rasgele değişkenlerde ortalama, xi noktalarına

yerleştirilen p(xi) kütlelerinin ağırlık merkezinin absisidir. Sürekli rasgele değişkenlerde ise

ortalama, o.y.f. ile x ekseni arasında kalan alanın ağırlık merkezinin absisidir.

Bir rasgele değişkenin merkezsel değerini belirten öteki büyüklükler de mod ve medyandır.

Mod, x~ , bir X rasgele değişkeninin en muhtemel; başka bir deyişle, olasılığı yada olasılık

yoğunluğu en fazla olan değeridir. Medyan, xm, bir X rasgele değişkeninin, altındaki ve

üstündeki değerlerinin olasılığı eşit olan değeridir (F(xm)=0.50 ).

Bir X rasgele değişkenine ilişkin ortalama değer, mod ve medyan genelde farklıdır. Ancak

olasılık yoğunluk fonksiyonunun simetrik olması halinde bu üç değer birbiriyle çakışır;

mx= x~ =xm

Varyans ve standart sapma (dağılımın ölçüsü); Merkezsel değerden sonra bir rasgele

değişkene ilişkin en önemli büyüklük dağılımın ölçüsü ya da değişkenliğidir. Bu rasgele

değişken değerlerinin merkezsel değer dolayında ne ölçüde kümelendiği ya da dağıldığı

anlamına gelir. Böyle bir ölçünün ise merkezsel değerden sapmaları belirten bir fonksiyon

olacağı açıktır. Buna bağlamda ortalama değere göre karesel sapmaların ağırlıklı ortalaması

varyans [Var(X)] terimiyle adlandırılır.

lertümx

iix

i

xpxmXE )(.)(

dxxfxmXE x ).(.)(


X, kesikli rasgele değişken ise; lertümx

ixi

i

xpmxXVar )(.)()( 2

X, sürekli rasgele değişken ise;

dxxfmxXVar x )(.)()( 2

Tanımlardan varyansın, rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu ile x ekseni arasında

kalan alanın ağırlık merkezinden geçen düşey bir eksene göre atalet momenti (ikinci

merkezsel moment) olduğu görülmektedir. Yukarıdaki ifadelere göre varyans; rasgele

değişkenin ortalamasından farkının karesinin beklenen değeridir;

Varyansın büyük olması değişkenin ortalama çevresindeki yayılmasının büyük olduğunu

gösterir. Alttaki şekilde X1 ve X2 değişkenlerinin ortalamaları aynı olmakla birlikte X1 in

varyansı daha büyüktür. Bu durum çeşitli gözlemlerde ortalamadan uzak değerler alma

olasılığının X1 için daha büyük olduğunu göstermektedir.

Yukarıdaki varyans bağıntısındaki entegralin kareli terimi açılırsa, varyans için şu kullanışlı

bağıntı elde edilir;

Bu bağıntıdaki E(X2) terimi X in karesel ortalama değerini belirtir.

Boyut bakımından fiziksel bir anlamı olabilmesi için dağılımın ölçüsü bağlamında varyansın

karekökü ile tanımlanan standart sapmanın () kullanılması uygundur.

0 x

f(x)

Var(X1)>Var(X2)

mx1=mx2

1

2

22)()( xmXEXVar

2/1)]([ XVarx

))(()( 2

xmXEXVar


Varyasyon (değişim) katsayısı; Daha önceki bölümde de belirtildiği gibi, bir dağılımın

kapsamı (yayılma alanı) hakkında yalnızca varyans ya da standart sapma ile bilgi edinemeyiz.

Bu nedenle, dağılım kapsamı ölçüsünün merkezsel değere göre bağıl şekilde belirtilmesi; ve

standart sapmanın ortalama değere bölünmesiyle elde edilen varyasyon katsayısının (V)

kullanılması daha anlamlı ve yararlı olur;

xxx mV / (Bazı kitaplarda Cx ile gösterilir)

Varyasyon katsayısı ortalamaları farklı olan iki rasgele değişkenin yayılımlarını

karşılaştırmamıza imkan verir. Hangi değişkenin varyasyon katsayısı daha büyük ise o

değişkenin yayılması ortalamasının daha büyük bir yüzdesine eşit demektir.

Kaykılmanın ölçüsü (Çarpıklık katsayısı); Bir rasgele değişkenin başka bir özelliği de

olasılık dağılımının simetrik olması yada olmamasıdır. Düşey bir eksene göre simetrik

olmayan bir dağılım için asimetrinin derecesi ve yönü bağlamındaki özelliğidir. Bir

asimetrinin yada kaykılmanın ölçüsü üçüncü merkezsel moment ile tanımlanır.

X kesikliyse; lertümx

ixx

i

xpmxmXE )(.)()( 33

X sürekli ise;

dxxfmxmXE xx )(.)()( 33

Olasılık dağılımının ortalamaya göre simetrik olması halinde E=(X-mx)3=0 olacağı hemen

görülebilir. Çarpılmanın boyutsuz ölçüsü bir çarpıklık (kaykılma) katsayısı ile tanımlanır.

= E(X-mx)3 / x

3 (bazı kitaplarda CsX ile gösterilir)

nın pozitif olması dağılımın pozitif çarpık olduğunu (sağa doğru uzayan bir kuyruğu

bulunduğunu), negatif olması ise dağılımın negatif çarpık olduğunu (sola doğru uzayan bir

kuyruğu bulunduğunu) gösterir.

Kurtosis katsayısı; 4. mertebeden merkezsel momente dayalı olarak dağılımın sivriliğini

gösteren bir katsayıdır. Katsayının değeri dağılımın o.y.f. nun sivriliği ile birlikte artar.

kx = E(X-mx)4 / x

4

0 x

f (x)

<0

0 x

f (x)

=0

0 x

f (x)

>0


Çok Değişkenli Dağılımların Parametreleri;

X ve Y gibi iki rasgele değişkenin ortak dağılımında, X ve Y nin marjinal dağılımlarının

ortalama, varyans gibi parametrelerinden başka X ve Y nin merkezsel çarpım momentini de

göz önüne almak gerekir. Bu momente kovaryans adı verilir.

Cov(X,Y)= E[(X-mx) (Y-my)]

Kovaryansın boyutu X ve Y değişkenlerinim boyutlarının çarpımı gibi olduğundan, boyutsuz

bir katsayı elde etmek için kovaryans X ve Y nin standart sapmalarının çarpımına bölünerek

korelasyon katsayısı tanımlanır.

yx

YX

YXCov

.

),(,

Bu katsayının değeri -1 ile 1 arasında değişebilir. X,Y nin mutlak değerinin 1 e yaklaşması,

ileride gösterileceği gibi, X ile Y arasındaki doğrusal bağımlılığın kuvvetlenmesini ifade eder.

X ve Y nin bağımsız olması halinde ise kovaryansın 0 a eşit olduğu kolayca gösterilebilir.

Kovaryansın 0 a eşit olmayıp pozitif değer alması, X in ortalamadan büyük değerlerine

genellikle Y nin ortalamadan büyük değerlerinin, X in ortalamadan küçük değerlerine de Y

nin ortalamadan küçük değerlerinin karşı geldiğini gösterir. Bu durumda X ve Y bağımsız

olmayıp aralarında bir bağımlılık vardır. Kovaryansın negatif değer alması da rasgele

değişkenlerin bağımlı olduğunu gösterir, ancak bu durumda değişkenlerden biri artarken

diğeri azalmaktadır.

Korelasyon katsayısının mutlak değerinin 1 e eşit olması X ile Y arasında y=a+bx şeklinde

doğrusal fonksiyonel bir bağımlılık olduğunu gösterir. Bağımlılığın fonksiyonel olmakla

birlikte doğrusal olmaması halinde ise korelasyon katsayısı 1 e eşit olmayabilir. Örneğin

y=ax2 fonksiyonel bağıntısı X ile Y arasında sıfıra yakın bir korelasyon katsayısı verir. Buna

göre korelasyon katsayısı iki rasgele değişken arasındaki doğrusal bağımlılığın bir ölçüsüdür.

dxdyyxfmymxYXCov yx ),().).((),(


[Uygulama 1] Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi

verilmiş olsun;

f(x) = ax2 0 x 10

f(x) = 0 başka yerde

(a) Bu fonksiyonun a’ nın hangi değeri için geçerli olabileceğini araştırınız ve X’ in 5 ten

büyük olma olasılığını hesaplayınız.

(b) X rasgele değişkeninin ortalama değerini, varyansını, standart sapmasını ve varyasyon

katsayısını, mod ve medyanını belirleyiniz.

(a) 0.1

10

0

2 dxax ve dolayısıyla a (10)3 / 3=1.0 ve a=3/1000 olmalıdır.

P(X>5) = 1- P(X5) = 1- dxx5

0

2 )1000/3( =1 – (53 / 1000) = 0.875

(b)

10

0

2 5.7)1000/3()( dxxxXE

75.3)1000/3()5.7()( 2

10

0

2 dxxxXVar

X=(3.75)1/2

=1.94, Vx=1.94/7.5=0.26

Yukarıda çizilen dağılım fonksiyonunun şekline göre mod değeri x~ =10 olur.

mx

dxx0

2 50.0)1000/3( , dolayısıyla xm3=500, xm=7.94 (medyan)

[Uygulama 2] 50 km uzunluğundaki bir yol üzerinde trafik kazalarının üniform olarak

dağıldığı (f(x)=C) kabul ediliyor. Yolun 20 km si ile 30 km si arasında bir kaza meydana

gelmesi olasılığı nedir?

50

0

1.50 CCdx C=0.02

x x

xdxdxxfxF0 0

02.002.0)()(

P(20<X30) = F(30) – F(20) = 0.02*30 – 0.02*20 = 0.20

0 x

f(x)

f(x)=3x2/1000

10

3/10


OLASILIK DAĞILIMLARI / OLASILIK MODELLERI

Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken

büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli

fonksiyon bulunmaktadır. Ne var ki seçilen fonksiyon yani teorik dağılım ilgili rasgele

değişkene ilişkin deneysel dağılımı (histogram) olabildiğince gerçekçi biçimde yansıtmalıdır

(betimlemelidir).

Bu bağlamda, örneğin bir sürekli X rasgele değişkenine ilişkin f(x) fonksiyonunun yalnızca

biçiminin tahmin edilmiş olmasının, fonksiyona ilişkin eğrinin altında kalan alanlarla

belirlenen olasılıkların hesaplanmasını sağlamayacağı göz önünde bulundurulmalıdır. Çünkü

söz konusu alanların hesaplanabilmesi için anılan eğrinin denkleminin de belirlenmiş olması

gerekir.

Olasılıksal problemlerin çözümünde ise, model (fonksiyon) belirlendikten sonra, modele

ilişkin parametreler, örnekleme sonucu sağlanan istatistiksel verilerle tahmin edilir; örnek

ortalama değeri, örneğin standart sapması gibi. Bu bağlamda en uygun modelin seçimi,

varolan fonksiyonların özelliklerinin çok yakından bilinmesini gerektirir. Özetle model

konusunda en uygun kararın verilmesi, mühendisin bu konudaki bilgisine, deneyimine ve

mühendislik sezgisine bağlıdır.

Mühendislik alanında karşılaşılan rasgele değişkenlerin deneysel dağılımlarının çoğunu çok

yakından betimleyen çözümsel modellerin başlıcaları;

- Normal dağılım

- Lognormal dağılım

- Binom dağılımı

- Poisson dağılımı

- Üssel dağılım

- Gamma dağılımı

- Khi-kare dağılımı

- Geometrik dağılım

- t tağılımı

- F dağılımı

- Üniform dağılım

- Beta dağılım

- Weibull dağılımı

Normal dağılım (Gauss dağılımı)

İstatistiğin tüm alanlarında rastlanan geniş ölçüde kullanılan en önemli sürekli olasılık

dağılımı normal dağılımdır. Doğada, sanayide, bilimsel araştırmalarda ve tüm mühendislik

alanlarında karşılaşılan rasgele değişkenlerin deneysel dağılımlarının pek çoğunun yapısına

uyar. Dağılımın normal eğri terimiyle adlandırılan grafiği çan biçimindedir.

x

2

2

1exp

2

1)(

xxf


Normal değişkenin olasılık dağılımını tanımlayan matematiksel bağıntı iki parametreye bağlı

değişir; ortalama değer (), standart sapma ().

Normal dağılımın özellikleri;

→ X ekseni ile normal eğri arasında kalan alan bire eşittir.

→ Normal dağılım ortalamaya göre simetriktir.

→ Normal dağılımda; değerlerin % 68.26 sı 1 aralığında, % 95.44 ü 2 aralığında

ve % 99.74 ü 3 aralığında yer almaktadır.

→ Normal dağılım simetrik olduğundan çarpıklık katsayısı sıfırdır

→ Normal dağılımın basıklık katsayısı 3 dür.

→ Eklenik dağılım fonksiyonu doğrusal bir çizgidir.

→ Dağılım simetrik olduğundan ortalama, mod ve medyan değerleri eşittir.

1)( xdxf

50.0)()( xx dxfdxf

E

(

u

)

=

0

% 68,26

-

s

+

s

+

2

s

-

2

s

+

3

s

-

3

s

% 95.44

% 99.74

+ -

+2 -2

+3 -3


Normal dağılımın parametreleri olan ve değerlerinin tanım aralıklarının gereği olarak,

teorik olarak, sonsuz sayıda normal dağılım düşünülebilir. İstatistikte normal dağılıma sahip

bir X değişkeninin belirli bir değere eşit veya daha küçük, belirli bir değere eşit veya daha

büyük yada belirli iki değer arasındaki değerleri alma olasılıklarının hesaplanması sık

gereksinim duyulan bir durumdur. Sözü edilen bu olasılıkların hesaplanması için integral

işlemi gereklidir. Ancak teorik olarak sonsuz sayıda olan normal dağılımlardan sadece bir

tanesi için integral değerlerinden bazıları hesaplanarak tablo halinde yayınlanmıştır. Bu

tablolar ortalaması sıfır ve standart sapması bir olan normal dağılım için hazırlanmıştır. =0

ve =1 olan normal dağılım standart normal dağılım olarak bilinir.

Standart normal dağılmış olan Z sürekli değişkenine ait olasılıkların standart normal

dağılım tablosundan bulunması;

Örnek 1; Z standart normal değişkeninin 1.06 ya eşit veya daha küçük değerler alma olasılığı

nedir?

Örnek 2; Z standart normal değişkeninin 3.25 değerine eşit veya daha büyük değerler alma

olasılığı nedir?

Örnek 3; Z standart normal değişkeninin -0.19 değerine eşit veya daha küçük değerler alma

olasılığı nedir?

Örnek 4; Z standart normal değişkeninin 1.02 ve 2.12 veya bu aralıktaki değerleri alması

olasılığı nedir ?

E

(

u

)

=

0

0 1.06

Tablodan; P(Z1.06)= 0.8554

E

(

u

)

=

0

0 3.25

Tablodan;

P(Z3.25) = 1 – P(Z3.25) = 1 – 0.9994 = 0.0006

-

3

s

E

(

u

)

=

0

0 -0.19 0.19

Tablodan;

P(Z-0.19) = 1 – P(Z0.19) = 1- 0.5713 = 0.4287

-

3

E

(

u

0 1.02 2.12

Tablodan;

P(1.02 Z 2.12) = P(Z 2.12) – P(Z 1.02)

= 0.9830 – 0.8461

= 0.136


Standart normal dağılım Tablosu

Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,O8 ,09

,0 ,5000 ,5040 ,5080 ,5120 ,5160 ,5199 ,5239 ,5279 ,5319 ,5359

,1 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5743

,2 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 6103 ,6141

,3 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517

,4 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879

,5 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224

,6 ,7257 ,7291 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549

,7 ,7580 ,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852

,8 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133

,9 ,8159 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389

1,0 ,8413 ,8438 ,8461 ,8485 ,8508 ,8531 ,8554 ,8577 ,8599 ,8621

1,1 ,8643 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830

1,2 ,8849 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8997 ,9015

1,3 ,9032 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177

1,4 ,9192 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319

1,5 ,9332 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 ,9441

1,6 ,9452 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545

1,7 ,9554 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633

1,8 ,9641 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706

1,9 ,9713 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 ,9767

2,0 ,9772 ,9778 ,9783 ,9788 ,9793 ,9798 ,9803 ,9808 ,9812 ,9817

2,1 ,9821 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857

2,2 ,9861 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890

2,3 ,9893 ,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916

2,4 ,9918 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,9936

2,5 ,9938 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952

2,6 ,9953 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964

2,7 ,9965 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974

2,8 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981

2,9 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986

3,0 ,9987 ,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,9990

3,1 ,9990 ,9991 ,9991 ,9991 ,9992 ,9992 ,9992 ,9992 ,9993 ,9993

3,2 ,9993 ,9993 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9995 ,9995 ,9995

3,3 ,9995 ,9995 ,9995 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9997

3,4 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9998

E

(

u

)

=

0

A Z

Z

dzZfA )(


Standart normal dağılım dışındaki normal dağılımlar için alan hesaplamalarında

kullanılacak hazır tablolar yoktur. Ancak her normal dağılım,

doğrusal dönüştürmesi ile standart normal dağılıma dönüşür. Bu dönüştürmeden sonra

olasılık hesaplarında standart normal dağılım tablosundan faydalanılır.

Örnek 5; X değişkeni ortalaması 100 ve varyansı 144 olan bir normal dağılım göstermektedir.

Rassal olarak seçilecek bir birimin değerinin 112 yada daha küçük olma olasılığı nedir ?

Örnek 6; Bir beton toplumunu göz önüne alalım. X betonun basınç mukavemeti olsun.

İstatistiksel deneyler sonucu normal dağılım parametreleri m=32 MPa ve =3 MPa tahmin

edilmiş bulunsun. Bu bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplandıralım.

a) Beton basınç mukavemetinin 25 MPa ile 40 MPa arasında değer alması olasılığı ne

olur?

P(25 X 40) = P(Z (40-32)/3) - P(Z (25-32)/3) = P(Z 2.67) - P(Z -2.33)

Tablodan;

P(Z 2.67) – [1- P(Z 2.33)]

P(25 X 40) = 0.0062 -[1- 0.9900] = 0.9863

b) mukavemetin en az 20 MPa olması ihtimali nedir?

P(X 20) = 1 – P(Z (20 -32)/3) = 1 – P(Z -4) = 1- [1- P(Z4)]= 0.9999

Örnek 7; Bir kabuk çatı A, B ve C gibi üç mesnede oturmaktadır. Mesnetlere gelen yükler

duyarlılıkla tahmin edilebilmekte; fakat mesnetlerin altındaki zemin koşulları tam

kestirilememektedir. A, B ve C mesnetlerinde oluşan A, B ve C oturmalarının sırayla,

ortalama değerleri 20 mm, 25 mm, 30 mm; ve varyasyon katsayıları 0.20, 0,20, 0,25 olan

bağımsız normal değişkenler olduğunu kabul edelim ve şu soruları cevaplandırmak isteyelim;

a) Maksimum oturmanın 40 mm yi aşması olasılığı ne olur ?

b) A ve B mesnedinin sırayla 25 mm ve 35 mm oturduğu biliniyorsa; maksimum oturma

farkının 8 mm yi aşmaması olasılığı nedir? Maksimum oturma farkının 15 mm yi

aşmaması olasılığı nedir?

X

E

(

u

)

=

0

100 112

Tablodan;

P(X112) = P(Z 144

100112 ) = P(Z 1) = 0.8413

A B

C


(a) P(max > 40 mm) = 1- P(max 40 mm) = 1-P(A40 B 40 C40)

= 1- P(A40) . P(B40) . P(C40)

= 1- P[Z (40-20)/4] . P[Z (40-25)/5] . P[Z (40-30)/7.5]

= 1- P[Z 5] . P[Z 3] . P[Z 1.333]

= 1 – (1) . (0.9986) . (0.9087) = 0.092

(b) A ve B mesnetlerinin oturmaları arasındaki fark AB=35-25= 10 mm > 8 mm olduğu için

C ne olursa olsun, P(max 8 mm) = 0 olur. Yani max 8 mm oluşması olayı mutlak

imkansız olaydır.

C < 10 mm yada C > 40 mm olması durumunda AC> 15 mm (A=25 mm olduğu için)

C < 20 mm yada C > 50 mm olması durumunda BC> 15 mm (B=35 mm olduğu için)

olacaktır. Bu iki koşula göre;

C oturmasına ilişkin kabul edilebilir bölge (20mm C 40 mm) olur. Bu bölgenin dışında

kalan C değerleri için maksimum oturma farkı 15 mm yi aşar. O halde;

P(max 15 mm) = P( 20 mm C 40 mm) = P[Z (40-30)/7.5] - P[Z (20-30)/7.5]

= P(Z 1.333) – P(Z -1.333) = P(Z 1.333) – [1- P(Z1.333)]

= 0.9087 – (1- 0.9087) = 0.8174

Formüller

)()()(

xlertümx

i

i

xXPxXPxF ve

x

duufxXPxF )()()(

lertümx

iix

i

xpxmXE )(.)( ve

dxxfxmXE x ).(.)(

lertümx

ixi

i

xpmxXVar )(.)()( 2 ve

dxxfmxXVar x )(.)()( 2

))(()( 2

xmXEXVar / 22)()( xmXEXVar

2/1)]([ XVarx / xxx mV /

= E[(X-mx)3] / x

3 / kx = E[(X-mx)

4] / x

4

rasgele deĞİŞkenlerİn daĞilimlari - İnşaat...

Documents