RARAČUN PREDIKATA I ČUN PREDIKATA I REDAREDA

O potrebi predstavljanja znanja u sistemima VI O potrebi predstavljanja znanja u sistemima VI Račun predikata I Račun predikata I redareda SintaksaSintaksa SemantikaSemantika Pravila zaključivanja, teoreme i dokaziPravila zaključivanja, teoreme i dokazi UnifikacijaUnifikacija RezolucijaRezolucija Primena rezolucijePrimena rezolucije O logičkim osnovama indukcijeO logičkim osnovama indukcije

O POTREBI PREDSTAVLJANJA ZNANJA U O POTREBI PREDSTAVLJANJA ZNANJA U SISTEMIMA VISISTEMIMA VI

Jedna od bitnih odrednica inteligentnog ponašanja uz Jedna od bitnih odrednica inteligentnog ponašanja uz zaključivanje (ili rezonovanje) je i znanje.zaključivanje (ili rezonovanje) je i znanje.

Znanje je najčešće deskriptivno i zato se najadekvatnije Znanje je najčešće deskriptivno i zato se najadekvatnije predstavlja u predstavlja u deklarativnoj formideklarativnoj formi, kroz niz deklaracija , kroz niz deklaracija (izjava) o svetu koji nas okružuje.(izjava) o svetu koji nas okružuje.

U formalizaciji znanja datog u deskriptivnoj formi prvi U formalizaciji znanja datog u deskriptivnoj formi prvi korak je konceptualizacija.korak je konceptualizacija.

KonceptualizacijaKonceptualizacija daje opis osnovnih objekata i njihove daje opis osnovnih objekata i njihove relevantne medjusobne odnose.relevantne medjusobne odnose.

Pojam Pojam objekatobjekat se mora shvatiti u najširem smislu, od se mora shvatiti u najširem smislu, od konkretnih (knjiga, učionica), pa do apstraktnih i fiktivnih konkretnih (knjiga, učionica), pa do apstraktnih i fiktivnih (pravda, skup celih brojeva, biće, Homer Simpson)(pravda, skup celih brojeva, biće, Homer Simpson)

Objekat može biti bilo šta o čemu (želimo da) znamo ili Objekat može biti bilo šta o čemu (želimo da) znamo ili sopštimo nešto.sopštimo nešto.

Formalizacija i reprezentacija znanja ne zahteva da Formalizacija i reprezentacija znanja ne zahteva da razmatramo sve moguće objekte, već samo one koji su za razmatramo sve moguće objekte, već samo one koji su za nas relevantni. Skup objekata od interesa o kojima se nas relevantni. Skup objekata od interesa o kojima se izražava neko znanje se naziva izražava neko znanje se naziva domen razmatranjadomen razmatranja..

PrimerPrimer

blokovski svetblokovski svet

skup objekata = skup objekata = {{a,b,c,d,ea,b,c,d,e}}

aa

bb

cc ee

dd

Drugi element konceptualizacije je opis medjuzavisnosti u Drugi element konceptualizacije je opis medjuzavisnosti u skupu razmatranih objekata. Uobičajeno je da se one skupu razmatranih objekata. Uobičajeno je da se one opisuju funkcijama i relacijama.opisuju funkcijama i relacijama.

Primer za funkciju : funkcija d koja dodeljuje svakom Primer za funkciju : funkcija d koja dodeljuje svakom objektu iz domena samo jedan objekat koji ga dodirujeobjektu iz domena samo jedan objekat koji ga dodiruje

{{(a,b),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)(a,b),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)}} Relacija je mnogo generalniji oblik medjuzavisnosti.Relacija je mnogo generalniji oblik medjuzavisnosti. Primer za relaciju: relacija iznadPrimer za relaciju: relacija iznad

{{(a,b),(b,c),(a,c),(d,e)(a,b),(b,c),(a,c),(d,e)}}.. Funkcija je specijalan tip relacije u kojoj je svakom Funkcija je specijalan tip relacije u kojoj je svakom

elementu domena korespondiran tačno jedan element.elementu domena korespondiran tačno jedan element. Relacija nad n objekata (n Relacija nad n objekata (n >>1) se zadaje skupom uredjenih n 1) se zadaje skupom uredjenih n

– torki.– torki.

Unarna relacija odgovara pojmu atributa. Dakle objekti Unarna relacija odgovara pojmu atributa. Dakle objekti domena imaju atribute – svojstva.domena imaju atribute – svojstva.

Formalno, konceptualizacija se definiše kao trojka koja se Formalno, konceptualizacija se definiše kao trojka koja se sastoji od objekata, skupa funkcija i relacija.sastoji od objekata, skupa funkcija i relacija.

Za primer blokovskog sveta, jedna koceptualizacija je data saZa primer blokovskog sveta, jedna koceptualizacija je data sa

[{[{a,b,s,d,ea,b,s,d,e}}, , {{dd}},,{{na,iznadna,iznad}]}].. Kada je jedna konceptualizacija bolja od drugeKada je jedna konceptualizacija bolja od druge?? Svaka konceptualizacija je podložna promeni i menjajući je Svaka konceptualizacija je podložna promeni i menjajući je

mi se odlučujemo za onu koja će najbolje poslužiti našim mi se odlučujemo za onu koja će najbolje poslužiti našim namerama i potrebama.namerama i potrebama.

RAČUN PREDIKATARAČUN PREDIKATA Znanja se izražavaju posebnim tipom rečenica koje imaju neki Znanja se izražavaju posebnim tipom rečenica koje imaju neki

smisao i koje se pod odredjenim uslovima nazivaju sudovima i smisao i koje se pod odredjenim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.predikatima.

Sud ili iskazSud ili iskaz je afirmativna (izjavna) rečenica koja ima smisao i je afirmativna (izjavna) rečenica koja ima smisao i koja je ili istinita ili neistinita.koja je ili istinita ili neistinita.

PredikatPredikat je afirmativna rečenica koja ima smisla, koja sadrži je afirmativna rečenica koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više promenljivih parametara i koja postaje sud kada jedan ili više promenljivih parametara i koja postaje sud kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrednosti.parametri iz rečenice dobiju konkretne vrednosti.

Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se dužina dužina (arnost) predikata(arnost) predikata

Primer: Q(x,y), R(x Primer: Q(x,y), R(x 11,x ,x 22,x ,x 33,...,x ,...,x nn).).

SINTAKSA RAČUNA PREDIKATASINTAKSA RAČUNA PREDIKATA Komponente:Komponente: Postoje dva tipa simbola: Postoje dva tipa simbola: promenljive i konstantepromenljive i konstante konstantekonstante se dele na se dele na funkcijske, relacijske i objektnefunkcijske, relacijske i objektne, koje , koje

se koriste za označavanje funkcija, relacija i objekata iz se koriste za označavanje funkcija, relacija i objekata iz datog domena.datog domena.

PredikatPredikat dužine n na skupu D je svaka n-arna relacija skupa dužine n na skupu D je svaka n-arna relacija skupa D.D.

TermiTermi::1.1. Svaka promenljiva i konstanta se naziva term.Svaka promenljiva i konstanta se naziva term.

2.2. Ako su tAko su t11,t,t22, ..., t, ..., tnn termi i p funkcijska konstanta, tada je i niz termi i p funkcijska konstanta, tada je i niz simbola p (tsimbola p (t11,t,t22, ..., t, ..., tnn) term.) term.

3.3. Termi se dobijaju samo na osnovu konačno mnogo puta Termi se dobijaju samo na osnovu konačno mnogo puta primenjenih pravila 1 i 2 ove definicije.primenjenih pravila 1 i 2 ove definicije.

formuleformule Ako su tAko su t11,t,t22, ..., t, ..., tnn termi i r relacijska konstanta, onda je niz simbola r(t termi i r relacijska konstanta, onda je niz simbola r(t11,t,t22, ..., , ...,

ttnn ) ) elementarna formulaelementarna formula (atom). (atom). Pod logičkim formulama podrazumevaćemo formule koje se formiraju Pod logičkim formulama podrazumevaćemo formule koje se formiraju

kombinacijom elementarnih formula sa nekim od logičkih simbolakombinacijom elementarnih formula sa nekim od logičkih simbola

Definicija Definicija logičkih formulalogičkih formula

1.1. Svaka elementarna formula je logička formula.Svaka elementarna formula je logička formula.

2.2. Ako su s i r logičke formule, onda je i svaki od nizova simbola Ako su s i r logičke formule, onda je i svaki od nizova simbola

logička formula i naziva se redom negacija, konjukcija, disjunkcija, logička formula i naziva se redom negacija, konjukcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencijaimplikacija i ekvivalencija..

3.3. Logičke formule se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primena Logičke formule se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primena pravila 1. i 2. ove definicije.pravila 1. i 2. ove definicije.

,,,,,

rsrsrsrss ,,,,

I(f) I(g) I(~f) I(f g) I(f g) I(f g) I(f g) 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1

I(.)- Istinosna vrednost ({1,0}, {T,F})I(.)- Istinosna vrednost ({1,0}, {T,F})

I(f * g)=I(f)*I(g)I(f * g)=I(f)*I(g)

I(~f)=~I(f)I(~f)=~I(f)

KVANTIFIKOVANJEKVANTIFIKOVANJE

Kvantifikovane formuleKvantifikovane formule (re (rečenicečenice)), omogućavaju da se govori o , omogućavaju da se govori o svim svim objektima iz domena razmatranja ili da se ustanove objektima iz domena razmatranja ili da se ustanove osobine individualnih objekata bez njihovog eksplicitnog osobine individualnih objekata bez njihovog eksplicitnog navodjenja.navodjenja.

Univerzalno kvantifikovanje- ,Univerzalno kvantifikovanje- , Rečenica kvantifikovana na ovaj način je istinita bez obzira Rečenica kvantifikovana na ovaj način je istinita bez obzira

kojim objektima iz domena je instancirana (konkretizovana) kojim objektima iz domena je instancirana (konkretizovana) promenljiva x. promenljiva x.

)(xfx

)))()((( xCrvenaxJabukax

()

)))()((( xCrvenaxJabukax

Egzistencijalno kvantifikovanjeEgzistencijalno kvantifikovanje Postoji barem jedan objekat iz domena razmatranja za koje Postoji barem jedan objekat iz domena razmatranja za koje

vavaži g(x)ži g(x)

Primeri:Primeri:

Kvantifikovana rečenicaKvantifikovana rečenica (formula) je rečenica u kojoj je (formula) je rečenica u kojoj je prisutan ili egzistencijalni ili univerzalni kvantifikator.prisutan ili egzistencijalni ili univerzalni kvantifikator.

PrimerPrimer

)(xgx

)))()((( xCrvenaxJabukax

))),((())),(((

)))(())((((

yxVolixyyxVoliyx

xKruskaxxJabukax

Prvom rečenicom se saopštava da svaka osoba nekog voli, Prvom rečenicom se saopštava da svaka osoba nekog voli, dok druga tvrdi da postoji osoba koju svi vole.dok druga tvrdi da postoji osoba koju svi vole.

Budući da kvantifikovanju ne podležu funkcijske i relacijske Budući da kvantifikovanju ne podležu funkcijske i relacijske konstante – ovaj račun se naziva konstante – ovaj račun se naziva kvantifikatorski račun prvog kvantifikatorski račun prvog

redareda.. Sva pojavljivanja neke promenljive mogu bitiSva pojavljivanja neke promenljive mogu biti

– slobodnaslobodna

– vezanavezana Pojavljivanje promenljive x je Pojavljivanje promenljive x je vezanovezano ako je ono locirano iza ako je ono locirano iza

kvantifikatora ili ako se nalazi u zoni dejstva nekog kvantifikatora ili ako se nalazi u zoni dejstva nekog kvantifikatorakvantifikatora

Sva pojavljivanja promenljive x koja nisu vezana, nazivamo Sva pojavljivanja promenljive x koja nisu vezana, nazivamo slobodnimslobodnim pojavljivanjem. pojavljivanjem.

PrimerPrimer

Prvo i drugoPrvo i drugo pojavljivanje promenljive x i pojavljivanje promenljive x i drugo i trećedrugo i treće pojavljivanje promenljive z su vezane promenljive. Ostala pojavljivanje promenljive z su vezane promenljive. Ostala pojavljivanja promenljivih su slobodna.pojavljivanja promenljivih su slobodna.

Formula u kojoj su sve promenljive vezane naziva se zatvorena Formula u kojoj su sve promenljive vezane naziva se zatvorena formulaformula

Formula u kojoj nema ni slobodnih ni vezanih promenljivih Formula u kojoj nema ni slobodnih ni vezanih promenljivih naziva se osnovna formula (ground).naziva se osnovna formula (ground).

Vezana promenljiva se u svim svojim pojavljivanjima može Vezana promenljiva se u svim svojim pojavljivanjima može zameniti simbolom neke druge promenljive koja se ne pojavljuje zameniti simbolom neke druge promenljive koja se ne pojavljuje u formuli. Pri tome se značenje formule ne menja.u formuli. Pri tome se značenje formule ne menja.

Primer Primer

Obe formule imaju isto značenje.Obe formule imaju isto značenje.

),(),( yxyPyxxP

),( yxxP),( yzzP

)(~)()()(~ xfxxfx

)(~)()()(~ xfxxfx

)()()()( yfyxfx

KORISNE EKVIVALENCIJE

LOGIČKE EKVIVALENCIJELOGIČKE EKVIVALENCIJE

SEMANTIKA RAČUNA PREDIKATASEMANTIKA RAČUNA PREDIKATA

Neformalno, Neformalno, semantika semantika je posebno preslikavanje izmedju je posebno preslikavanje izmedju elemenata konceptualizacije i simbola prirodnog jezika.elemenata konceptualizacije i simbola prirodnog jezika.

IstinitostIstinitost neke rečenice zavisi od njene interpretacije, koja je neke rečenice zavisi od njene interpretacije, koja je odredjena ako je navedeno značenje njenih odredjena ako je navedeno značenje njenih konstanti,funkcijskih i relacijskih simbola u odnosu na domen konstanti,funkcijskih i relacijskih simbola u odnosu na domen razmatranja, odnosno interpretaciju.razmatranja, odnosno interpretaciju.

Interpretacija rečenice p, označava se sa I(p).Interpretacija rečenice p, označava se sa I(p). Ako je neka pravilno definisana formula (pdf), tačna pri barem Ako je neka pravilno definisana formula (pdf), tačna pri barem

jednoj interpretaciji I i za neku vrednost promenljivih U, naziva jednoj interpretaciji I i za neku vrednost promenljivih U, naziva se se ispunljiva ili zadovoljivaispunljiva ili zadovoljiva..

Ta interpretacija se naziva Ta interpretacija se naziva modelmodel pdf. pdf.

Činjenica da je rečenica f zadovoljiva za I i U se zapisuje saČinjenica da je rečenica f zadovoljiva za I i U se zapisuje sa

i kaže se da je pdf f tačna u odnosu na interpretaciju I i vrednost i kaže se da je pdf f tačna u odnosu na interpretaciju I i vrednost promenljivih U.promenljivih U.

Pdf koja je netačna pri svim interpretacijama je Pdf koja je netačna pri svim interpretacijama je neispunljivaneispunljiva ((kontradiktorna, nezadovoljivakontradiktorna, nezadovoljiva).).

Pdf je Pdf je valjanavaljana ako je istinita za sve moguće interpretacije i ako je istinita za sve moguće interpretacije i vrednosti promenljivih.vrednosti promenljivih.

PrimerPrimer

][| UfI

)(~)( APAP

Zadovoljivost logičkih rečenica zavisi od logičkog operatora i Zadovoljivost logičkih rečenica zavisi od logičkog operatora i zadovoljivosti komponentnih rešenica.zadovoljivosti komponentnih rešenica.

Navedene definicije zadovoljivosti, modela i nezadovoljivosti Navedene definicije zadovoljivosti, modela i nezadovoljivosti mogu se proširiti i na skup rečenica.U slučaju da je skup rečenica mogu se proširiti i na skup rečenica.U slučaju da je skup rečenica nezadovoljiv ravnopravno se koristi i termin nezadovoljiv ravnopravno se koristi i termin nekonzistentan.nekonzistentan.

Rezimirajmo osnovne ideje reprezentacije znanja u računarima:Rezimirajmo osnovne ideje reprezentacije znanja u računarima: 1.korak1.korak: konceptualizacija domena razmatranja: konceptualizacija domena razmatranja 2.korak2.korak: definišu se simboli za konstante, kao i funkacijske i : definišu se simboli za konstante, kao i funkacijske i

relacijske konstanterelacijske konstante 3.korak3.korak: : “o“oživljavanježivljavanje”” definisanih konstanti preslikavanjem u definisanih konstanti preslikavanjem u

elemente, funkcije i relacije uvedene konceptualizacijeelemente, funkcije i relacije uvedene konceptualizacije 4.korak4.korak: formalizacija deklarativnog znanja pisanjem rečenica : formalizacija deklarativnog znanja pisanjem rečenica

koristeći definisane konstante i sintaksu jezika predikata.koristeći definisane konstante i sintaksu jezika predikata.

ZAKLJUČIVANJEZAKLJUČIVANJE Zaključivanje je proces izvodjenja zaključaka na osnovu premisa.Zaključivanje je proces izvodjenja zaključaka na osnovu premisa. Sposobnost da se izvedu zaključci je esencijalni deo inteligencije.Sposobnost da se izvedu zaključci je esencijalni deo inteligencije. Zaključivanje je proces koji se izvodi u više koraka.Zaključivanje je proces koji se izvodi u više koraka. Svaki korak u zaključivanju je karakterisan nekim pravilom Svaki korak u zaključivanju je karakterisan nekim pravilom

zaključivanja.zaključivanja. Pravilo zaključivanja se sastoji od Pravilo zaključivanja se sastoji od

skupa rečenica koji se naziva usloviskupa rečenica koji se naziva uslovi drugog skupa rečenica koji se naziva zaključcidrugog skupa rečenica koji se naziva zaključci

Modus ponenesModus ponenes

g

f

gf

Modus tolensModus tolens

Pravilo i eliminacijePravilo i eliminacije

Pravilo i formiranjaPravilo i formiranja

g

f

gf

~

~

g

f

gf

gf

g

f

Univerzalno instanciranjeUniverzalno instanciranje

Term t slobodan za promenljivu x u f.Term t slobodan za promenljivu x u f.

Omogućava zaključivanje od opšteg ka posebnom.Omogućava zaključivanje od opšteg ka posebnom.

PrimerPrimer Pravilo egzistencijalnog instanciranjaPravilo egzistencijalnog instanciranja

Omogućava eliminaciju egzistencijalnog kvantifikatora.Omogućava eliminaciju egzistencijalnog kvantifikatora.

Term s je nova funkcijska konstanta, a yTerm s je nova funkcijska konstanta, a y11,y,y22,...,y,...,yk k slobodne slobodne

promenljive u rečenici f.promenljive u rečenici f.

PrimerPrimer

txf

fx

/

),...,,(/ 21 kyyysxf

fx

)),(,()),(,()( BAfAPslediBxfxPxiz

)),(,())(()),(,()( xygyQxysledixAgAQxiz

PrimerPrimer

Kao ilustracija koncepta razmotrimo sledeći primer. Zna se da su Kao ilustracija koncepta razmotrimo sledeći primer. Zna se da su konji brži od pasa i da postoji hrt koji je brži od svakog zeca. Zna konji brži od pasa i da postoji hrt koji je brži od svakog zeca. Zna se da je Soko konj, a Ralf zec. Izvesti da je Soko brži od Ralfa.se da je Soko konj, a Ralf zec. Izvesti da je Soko brži od Ralfa.

),()()( yxBrziyPasxyKonjx

)),()(()( zyBrzizZeczyHrty

)()( yPasyHrty

),(),(),( zxBrzizyBrziyxBrzizyx

)(SokoKonj

)(RalfZec

),( RalfSokoBrzi

Premise

Zaključak

Prvo se formalizuju premise. Prvo se formalizuju premise. Primetimo da su dodate dve činjenice koje nisu Primetimo da su dodate dve činjenice koje nisu

eksplicitno sadržane u formulaciji problema:eksplicitno sadržane u formulaciji problema:– Da su hrtovi psiDa su hrtovi psi– Da je relacija Brži tranzitivnaDa je relacija Brži tranzitivna

Izvodjenje zaključka obavićemo nizom od 19 rečenica.Izvodjenje zaključka obavićemo nizom od 19 rečenica.

1. 1. PremisePremise

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

7. 7.

8. 8.

9. 9.

),()()( yxBrziyPasxyKonjx

)),()(()( zyBrzizZeczyHrty )()( yPasyHrty

),(),(),( zxBrzizyBrziyxBrzizyx

)(SokoKonj

)(RalfZec

)),()(()( zGregBrzizZeczyHrt

)(GregHrt

),()( zGregBrzizZecz

2,EI

7,E

7,E

10. 10.

11. 11.

12.12.

13. 13.

14. 14.

15. 15.

16. 16.

),()( RalfGregBrziRalfZec

),( RalfGregBrzi

)()( GregPasGregHrt

)(GregPas

),()()( GregSokoBrziGregPasSokoKonj

)()( GregPasSokoKonj

),( GregSokoBrzi

9,UI

10,6, MP

3, UI

12,8 MP

1,UI

15,13,IF

14,15, MP

17. 17.

18. 18.

19. 19.

Proces izvodjenja je u potpunosti mehanički.Proces izvodjenja je u potpunosti mehanički. Svaki zaključak sledi iz prethodnih zaključaka mehaničkom Svaki zaključak sledi iz prethodnih zaključaka mehaničkom

primenom nekog pravila zaključivanja. primenom nekog pravila zaključivanja. U toku ovog procesa se odbacuju mnoga alternativna rešenja.U toku ovog procesa se odbacuju mnoga alternativna rešenja. Selekcija alternativa koja vode ka rešenju su glavni problem Selekcija alternativa koja vode ka rešenju su glavni problem

automatizacije procesa zaključivanja.automatizacije procesa zaključivanja.

),(),(),( RalfSokoBrziRalfGregBrziGregSokoBrzi

),(),( RalfGregBrziGregSokoBrzi

),( RalfSokoBrzi

4,UI

16,11,IF

17,19,MP

SEMANTIČKA POSLEDICASEMANTIČKA POSLEDICA Skup rečenica G Skup rečenica G logički impliciralogički implicira rečenicu f (rečenica f je rečenicu f (rečenica f je

semantička posledicasemantička posledica skupa G) ako i samo ako pri svakoj skupa G) ako i samo ako pri svakoj interpretaciji i vrednosti promenljivih za koju su sve rečenice interpretaciji i vrednosti promenljivih za koju su sve rečenice skupa G tačne je i rečenica f tačna.skupa G tačne je i rečenica f tačna.

Procedura Procedura (pravilo) z(pravilo) zakljuaključčivanja je ivanja je valjanavaljana – – logičnalogična (sound) (sound) ako i samo ako je svaka reako i samo ako je svaka rečenica izvedena ovom procedurom iz čenica izvedena ovom procedurom iz KB ujedno i njena semantička posledica.KB ujedno i njena semantička posledica.

Procedura zaključivanja je Procedura zaključivanja je kompletnakompletna (potpuna) ako i samo ako (potpuna) ako i samo ako se svaka rečenica koja je semantička posledica KB može dobiti se svaka rečenica koja je semantička posledica KB može dobiti primenom ove procedure zaključivanja. primenom ove procedure zaključivanja.

][|][|| UfimpliciraUGfG II

Teorija je skup rečenica zatvoren u odnosu na semantičke Teorija je skup rečenica zatvoren u odnosu na semantičke posledice.posledice.

Teorija Teorija TT je kompletna (potpuna) ako i samo ako svaka je kompletna (potpuna) ako i samo ako svaka rečenica ili njena negacija pripada rečenica ili njena negacija pripada T.T.

Primeri:Primeri: {P} |= P{P} |= P {P, P {P, P Q} |= QQ} |= Q P Q |= PP Q |= P Značaj logičkog impliciranja u VI leži u tome što na osnovu Značaj logičkog impliciranja u VI leži u tome što na osnovu

ovog principa, na osnovu nekog skupa tačnih stavova, ovog principa, na osnovu nekog skupa tačnih stavova, možemo generisati neke druge tačne stavove od interesa, koji možemo generisati neke druge tačne stavove od interesa, koji nisu direktno dostupni u skupu polaznih stavova.nisu direktno dostupni u skupu polaznih stavova.

)()KB( MM

Baza znanja (nowledge base) KB M(KB) - skup svih modela za KB

M(a) - skup svih modela za a

xx

xxx

xx x

x

xx

x x

xx

x

x x

x

xx

xx

xx

x

x x x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

x x

x

α logički sledi iz KB

M(KB)

DOKAZIVOSTDOKAZIVOST Problem provere za neku rečenicu da li je semantička Problem provere za neku rečenicu da li je semantička

posledica zadatog skupa premisa, je u nužnosti provere za posledica zadatog skupa premisa, je u nužnosti provere za sve moguće interpretacije, što praktično znači beskonačan sve moguće interpretacije, što praktično znači beskonačan broj mogućih interpretacija.broj mogućih interpretacija.

Prema jednoj teoremi matematičke logike, kad god je f Prema jednoj teoremi matematičke logike, kad god je f semantička posledica skupa premisa G, postoji konačan semantička posledica skupa premisa G, postoji konačan dokaz za rečenicu f, koji počinje rečenicama iz G.dokaz za rečenicu f, koji počinje rečenicama iz G.

Ukoliko su pravila zaključivanja logična i kompletna, Ukoliko su pravila zaključivanja logična i kompletna, možemo principijelno odrediti da li neka pdf sledi iz nekog možemo principijelno odrediti da li neka pdf sledi iz nekog zadatog skupa, iznalaženjem dokaza, umesto korišćenja zadatog skupa, iznalaženjem dokaza, umesto korišćenja tablica istinosnih vrednosti. tablica istinosnih vrednosti.

Ukoliko je neko pravilo zaključivanja logično i ukoliko Ukoliko je neko pravilo zaključivanja logično i ukoliko nadjemo dokaz da f sledi iz G na osnovu primene ovog nadjemo dokaz da f sledi iz G na osnovu primene ovog pravila, istovremeno znamo da f logički sledi iz G.pravila, istovremeno znamo da f logički sledi iz G.

Ukoliko je neko pravilo zaključivanja kompletno, znamo da Ukoliko je neko pravilo zaključivanja kompletno, znamo da ćemo biti u stanju da potvrdimo da f sledi iz G (ukoliko je to ćemo biti u stanju da potvrdimo da f sledi iz G (ukoliko je to zaista tako) koristeći kompletnu pretragu svih mogućih zaista tako) koristeći kompletnu pretragu svih mogućih dokaza.dokaza.

Zamena metode tablica istinosnih vrednosti metodom Zamena metode tablica istinosnih vrednosti metodom dokaza, po pravilu daje veliku računarsku uštedu.dokaza, po pravilu daje veliku računarsku uštedu.

U opštem slučaju problem da li neka pdf logički sledi iz U opštem slučaju problem da li neka pdf logički sledi iz zadatog skupa pdf, ili se može dokazati na osnovu tog skupa zadatog skupa pdf, ili se može dokazati na osnovu tog skupa pdf, predstavlja NP težak problem.pdf, predstavlja NP težak problem.

LogiLogiččkkii aksiom je re aksiom je reččenica koja je taenica koja je taččna na zza sve interpretacije a sve interpretacije (valjana formula)(valjana formula)..

Proširivanjem polaznih premisa sa logičkim aksiomima Proširivanjem polaznih premisa sa logičkim aksiomima omogućava odbacivanje svih pravila zaključivanja i omogućava odbacivanje svih pravila zaključivanja i zadržavanje samo modus ponensa, kao logičnog pravila zadržavanje samo modus ponensa, kao logičnog pravila zaključivanja.zaključivanja.

Ako postoji dokaz rečenice f iz premisa G, Ako postoji dokaz rečenice f iz premisa G, pri pri ččemu se emu se koriste samo modus ponens i logikoriste samo modus ponens i logiččke aksiome, ke aksiome, tada se kaže tada se kaže da je rečenica f da je rečenica f dokazivadokaziva iz G ili da je teorema skupa G, u iz G ili da je teorema skupa G, u oznacioznaci

G G ||── f f Ekvivalentnost dokazivosti i logičke posledice prvi je Ekvivalentnost dokazivosti i logičke posledice prvi je

dokazao Gdokazao Göödel 1930. godine i može se zapisati sadel 1930. godine i može se zapisati sa

fGfG ||