QUINTA CONFERENCIALugar: Oficinas GeneralesFecha: 15 de Diciembre de 2007Conferencista: Prof. Carlos Betancourt Monroy

Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de

México

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica combina letras y números, mediante operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, y radicación ﴾extracción de raíces ﴿ siguiendo las leyes numéricas.

Ejemplos:

2

3

2 2

2 23

3 24 2

4 2

53 ; 0

4 5 184 (Definida para valores de , , tales que 7 0)

7

5 2 3 18 5 19 0

5 19

x x xx

xy xx y x y x

x y x

x x xx x

x x

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Algunas operaciones son:   3 4 3 2 4 3 2

2 3 2 2

3 2

3 5 18 5 2 5 5 18

1 2 2 8 2 5 44 5 4 2 2 16 2 4 10

3 3 9 3 3 3

2 8 4 2 216 2 5 4 10

9 3 3

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x

POLINOMIOS

De las expresiones algebraicas, los polinomios son sin duda, los mas importantes, ya que son en esencia las funciones mas simples y en las cuales otras ﴾ las llamadas funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales...﴿ se pueden calcular ﴾esto es, obtener sus valores numéricos﴿ aproximándolas mediante polinomios.

POLINOMIOS

Def. si a i € R, para cada i = 1,2..,h., un polinomio de grado n ﴾ n entero positivo﴿ esta dado por la expresión algebraica:

1 20 1 2 1... ; 0n n

n n np x a x a x a x a x a a

Polinomios

Se denomina un polinomio en la indeterminada X

Nótese que un polinomio es una suma de productos de potencia de X

Los polinomios se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, usando las leyes de los números ﴾reales﴿ un proceso importante en el conjunto de polinomios es la posibilidad de factorizarlos como producto de polinomios de menor grado

Polinomios

Ejemplos:    Se puede factorizar como el

producto de polinomios de grado 1:

23 5 2x x

2 2 2

2

5 2 5 25 2 253 5 2 3 3

3 3 3 36 3 36

5 1 5 13 3

6 36 6 6

43 1 1 3 2

6

p x x x x x x x

x x

x x x x

Polinomios En ciertos casos, no es posible la

factorización de polinomios en el campo de los reales.

Consideremos el polinomio: , no es el cuadrado de

una suma o la diferencia de cuadrados

24 1p x x

Polinomios ; dado que el discriminante

de la ecuación es las raíces son complejas y no existe factorización en los reales.

Problema : obtener tres enteros pares consecutivos tales que el cubo del primero mas el cubo del segundo mas 8, es igual al cubo del tercero menos el cuadrado del primero menos el cuadrado del tercero. Si los tres enteros son: 2n, 2n+2, 2n+4, entonces de acuerdo con el enunciado del problema, resulta:

, simplificando resulta:

esto es

2 6 10 0p x x x 2

6 4 1 10 36 40 4

3 3 3 2 22 2 2 8 2 4 2 2 4n n n n n

3 28 16 56 32 0n n n

3 22 7 4 0p n n n n

Polinomios Si esta ecuación tiene una raíz entera,

digamos α entonces α es divisor de – 4; así puesto que los divisores de 4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4; sustituyendo n = -1 resulta

p(-1) = -1-2-7(-1)-4=0, luego n = -1 es una raíz; además p(n) es divisible entre

n – (-1) = n + 1 ; por lo que entendemos el cociente de p(n) entre n + 1; se obtiene:

2

3 2

3 2

2

2

3 41 2 7 4

3 7 4

3 3

4 4

4 4

0

n nn n n n

n n

n n

n n

n

n

Polinomios

; ( decimos que n = -1 es una raíz doble) , luego las raíces de los polinomios son

-1, -1, 4 y por lo tanto, los enteros pares consecutivos que resuelven el problema son los conjuntos siguientes para n = -1; -2, 0, 2: para n = 4; 8, 10, 12

3 22 7 4 1 1 4n n n n n n

Problemas

Obtener dos números x, y, tales que 3 veces el mayor es 3 veces el más pequeño y la diferencia entre ellos es 8.

Sean x, y los números y supongamos x >y, luego 3x = 4y; x – y = 8; de la primera condición obtenemos ; sustituyéndola en la segunda, resulta ; o sea y por lo tanto y = 24 así el mayor x = 8 + y =32; los números son: 32, 24 (la verificación es simple)

4

3x y

48

3y y 1

83y

Problemas Obtener los valores de x que cumplen la

condición: Sabemos que ; lo que

se demuestra con la ley multiplicativa del orden.

(Sería conveniente demostrar esta propiedad) volviendo al problema:

y puesto que o < x, resulta Se dice que el conjunto solución de la

desigualdad original en el intervalo

0 2x x

2 20 a b a b

2 2 2 20 2 2 esto es 4 0 4 4 1x x x x x x x x x x

10 4 1

4x x

1

4x

Problemas

Calcular la suma notamos que

luego verifiquemos esta suma para valores de n; para demostrar esta propiedad usamos el PIM (principio de la inducción matemática)

La propiedad establece que: Para n = 1, ya se verifico que se supone que la suma es valida para el entero positivo k esto es , a continuación se verifica si para el entero k + 1 , la suma

es valida; en efecto: por demostrar pero , y

dado que por hipótesis , luego sustituyendo en ., así hemos demostrado que si

es valida entonces . es valida y por el PIM la formula para S es valida para todos los enteros positivos

2 3 2 11 2 2 2 ... 2 2n nS 2 3 2 1

2 3 4 1

2 2 1 2 2 2 ... 2 2

2 2 2 2 ... 2 2

n n

n n

S

2 1 2 2 1n nS S S

11 1 2 1 1n S 2 2 11 2 2 ... 2 2 2 1n n nS n

11 2 1 1

2 11 2 2 ... 2 2 1k ks k 1S k

11 2 1kS k 2 11 1 2 2 ... 2 2 2k k ks k S k 2 1kS k

11 2 1 2 2 2 1 2 1k k k kS k 1S k