questões resolvidas de matemática
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Questões Resolvidas de Matemática Celso do Rosário Brasil Gonçalves
1
(01) Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo em que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?
Solução
Pela semelhança de triângulos, temos:
(02) Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a Rua 01 e para a Rua 02, como você vê na ilustração abaixo. As laterais dos terrenos são paralelas. Calcule os valores de x, y e z.
𝑥
𝑦
5
𝑧
5
5
𝑦 8
5 𝒚 𝟏𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝑧 8
5 𝒛 𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
Solução
Aplicando o Teorema de Tales, temos:
x = 540
45 𝒙 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
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2
(03) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz, conforme mostra figura abaixo. A cruz é compacta e construída com cubos de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir somente a cruz foi de: a) 5,12 m³ b) 4,80 m³ c) 4,48 m³ d) 4,16 m³ e) 3,84 m³
(04) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: a) 3.750. b) 37.500. c) 375.000. d) 3.750.000. e) 37.500.000.
𝑉𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝑎3 𝑉𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 8 3
𝑉𝑑𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 5. . 𝑐𝑚³ 𝑽𝒅𝒂 𝒄𝒓𝒖𝒛 𝟓,𝟏𝟐 𝒎³
Solução
A cruz é formada por 10 cubos de aresta 80 cm
cada um.
Resposta: letra (a)
𝑉 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑉 5 . 5.3 𝑉 375 𝑚3
𝑉 3.75 . 𝑑𝑚³
Solução
A piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo,
logo:
Como: 1 dm³ = 1 litros
Resposta: 3.750.000 litros, letra (d).
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(05) Calcule área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas na figura abaixo.
Solução
Sabemos que quando conhecemos os três lados (diferentes) de um triângulo, a área
dessa região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron.
Vejamos:
(1) Cálculo do semiperímetro do triângulo:
3 8
3
,
(2) Cálculo da área do triângulo:
√ (Fórmula de Heron)
√ 5,5 5,5 3 5,5 8 5,5
√ 5,5 ,5 7,5 5,5
√ 598, 375
,
(06) Qual é a área da região triangular limitada pelo triângulo cujas medidas estão indicadas na figura abaixo?
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4
Solução
Quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado por eles, a área
da região triangular é dada por:
.
. ̂ (“a” e “b” são os lados conhecidos e ̂ o ângulo formado por eles).
Logo:
.
. ̂
.
. 3 5 ,5
(07) Sabe-se que é a medida (em graus) de um dos ângulos internos de um
triângulo retângulo. Se sen
, cos e a hipotenusa do triângulo mede 20
cm, determine sua área. Solução
Note que:
0, logo:
5
cos
Note que cos
0
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑘
𝑘
𝑘 𝑘
𝑘
𝑘 𝑘 𝑘
5𝑘 𝑘 3
∆ 6 ∆ 6
𝑘 ± 6
𝑘
± 8
𝑘′
3
5, 𝑘" 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑘
𝑠𝑒𝑛 𝜃
35
𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝟒
𝟓
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5
3
5
Cálculo da área do triângulo:
.
6.
(08) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos
considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual é a
estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4.000 m² que tenha
ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação?
Solução
Esse problema pode ser solucionado através de uma regra de três simples:
(09) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um losango que tem um ângulo de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. determine a área desse município. Dado: 3 ,7.
Solução
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Note que a área do município equivale ao dobro da área de um triângulo equilátero
de lado igual a 40 km:
. 3
.
3
6 3
8 3 8 . ,7
(10) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa ordem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono.
Solução
PG (L, 3L,
)
3
3 3
3 3
3
3 6
Cálculo do apótema:
No triângulo vermelho, temos:
(
)
3
3( 3)
3. .3
9
𝑆 6.𝐿 3
𝑺 𝟑
𝑳 𝟑
𝟐
Lado = L
Semiperímetro = 3L
Área do hexágono:
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7
(11) Calcule a área da região colorida na figura abaixo.
(2) Área da região triangular:
. 6.6. 5
. 36.
(3) Área do segmento circular:
9
9
9 8
√
(12) O perímetro do quadrado ABCD da figura abaixo é 32 cm. Calcule a área da região colorida (amarelo) da figura.
(2) Cálculo da área do círculo de raio igual a 4 cm.
.
𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋𝑅 𝛼
36 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝜋. 6 . 5
36
𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝜋. 36. 5
36 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
5𝜋
𝑺𝒔𝒆𝒕𝒐𝒓
𝟗𝝅
𝟐
A área colorida é conhecida como “segmento
circular”. Ela pode ser obtida pela diferença
entre a área do setor circular e a da região
triangular:
(1) Área do setor circular:
𝑆 𝐿 𝑺 𝟔𝟒 𝒄𝒎
Solução
(1) Cálculo do lado do quadrado:
Perímetro = 32
𝐿 3 𝑳 𝟖 𝒄𝒎 ∴
Área do quadrado de lado igual a 8 cm:
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8
(3) Área da região colorida:
6 6
(13) Calcule a área do setor circular da figura abaixo.
Podemos usar o seguinte raciocínio:
.
.
(14) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles e por fundo um quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos metros quadrados de madeira foram necessários para fabricar essa cesta de lixo?
Solução
Temos na figura ao lado: raio = 4 cm e
comprimento do arco = 10 cm. Logo, devemos
calcular a área do setor circular em função
dessas duas dimensões:
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9
Solução
A área total da cesta é dada por:
.
. ( 7 9 3
) 9
. 6. 5 36
75 36 3 ,
(15) Dado um triângulo equilátero de lado L. Qual a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita nesse triângulo? Solução
(3) Área da coroa:
*( 3
3)+
[( 3
6)
] (3
9 3
36)
𝐿 𝑅 3 𝑅 𝐿
3 𝑹
𝑳 𝟑
𝟑
𝐿 𝑟 3 𝑟
𝐿 3
3 𝒓
𝑳 𝟑
𝟔
(1) Se R é o raio da circunferência circunscrita, então:
(2) Se r é o raio da circunferência inscrita, então:
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10
( 3
36) (
9
36)
(16) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96 m². Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC. Solução
(17) Na figura ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O
segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE
no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Calcule a área do triângulo CDE.
(3) Logo, a razão entre as áreas é:
( 3
)
9
9
A razão entre os lados dos triângulos ABC e
AMN é k = 2.
A razão entre suas áreas é:
k² = 4 96
𝑆 𝑺 𝟐𝟒 𝒄𝒎
Então a área do trapézio BMNC é:
96 – 24 = 72 cm²
𝑆𝐶𝐴𝐵 .5
𝑺𝑪𝑨𝑩 𝟏𝟎 𝒄𝒎
𝑘 𝐶𝐹
𝐶𝐺 𝑘
6
𝒌
𝟑
𝟐
Solução
(1) O triângulo menor CDE é semelhante ao maior CAB, pois
�̂� é comum e as bases 𝐷𝐸 𝑒 𝐴𝐵 são paralelas. Assim, a área
do triângulo CAB é:
(2) A razão entre os segmentos CF e CG é:
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(18) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Assim sendo, calcule a área real, em m², de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12 cm e 14 cm.
Solução
(19) Em uma metalúrgica, uma talhadeira industrial recorta 24 discos de uma chapa metálica, como mostra a figura abaixo. A sobra vai para a reciclagem para a produção de novas chapas. Quantas sobras são necessárias para produzir uma nova chapa com as mesmas dimensões? Dado: π = 3,14.
Solução
(1) Área da chapa
. ,8
.
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12
(2) Diagonal do círculo:
,
6
, ∴ ,
(3) Como são 24 discos, a área recortada da chapa é:
. . , .3, . , ,
(4) Área da sobra:
,96 ,7536 , 6
5 Sobras necessárias para uma nova chapa:
,96
, 6
Resposta: Serão necessárias sobras de 5 chapas para produzir uma nova
chapa.
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(20) O triângulo inscrito na circunferência da figura abaixo de raio 1 cm é
isósceles de raio 1 cm. Calcule a área da região pintada de vermelho.
Solução
(2) Área do triângulo
.
3
3
(3) Área do segmento:
(a) Cálculo da área do setor:
Observe que no triângulo equilátero de lado 1, cada ângulo interno vale 60°,
portanto:
𝑆𝑐 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋𝑟 𝑆𝑐 𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜋. 𝑺𝒄 𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 𝝅
A área da região pintada de vermelho é igual à área do
círculo de raio 1 cm menos à área do triângulo isósceles
menos a área do segmento circular.
(1) Área do círculo:
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14
. 6
36
. . 6
36
(b) Cálculo da área do triângulo equilátero de lado 1:
3
3
(c) Área do segmento:
(4) Área da região pintada:
- ( + )
*( 3
) (
6 3
)+
(3 3 3 3
)
6
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(21) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero e tem área 3 cm². As circunferências têm centro em A, B e C. Calcule a área da região pintada de amarelo.
Como:
R =
(2) Área amarela:
3. 3.
3. ( ) 3.
. ( ) . 6
36 6
(22) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Calcule a área da região pintada de azul.
Solução
𝑆𝑡𝑟𝑖 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐿 3
3
𝐿 3
𝐿 8 𝑳 𝟐 𝟐
Solução
Observe que o raio de cada círculo vale a metade do lado
do triângulo ABC, logo:
R = 𝐿
(1) Área do triângulo ABC = 3 cm².
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(1) O quadrado ABCD de lado 1, tem área igual a:
(2) Cálculo da área do triângulo ADE:
3
3
O ângulo ̂ é o complemento do ângulo ̂ que mede 60°, então med ( ̂
3 . Da mesma forma, a medida do ângulo ̂ é 30°.
Assim podemos visualizar a seguinte figura:
(3) Quando subtrairmos da área do quadrado, a área do triângulo ADE e as áreas
dos dois setores circulares (BAE e CDE), encontraremos a área procurada:
( 3
6)
𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴𝐸 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐷𝐸 𝜋𝑅 .𝛼
36 𝜋. . 3
36
𝜋
Note que na figura ao lado:
Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2. 𝜋
𝜋
6
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(23) (Variação do problema anterior) - O quadrado da figura abaixo tem lado unitário. Calcule o valor da área colorida.
Solução
𝑆𝐴𝐷𝐸 𝐿 3
𝑆𝐴𝐷𝐸
3
𝑺𝑨𝑫𝑬
𝟑
𝟒
𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵𝐴𝐸 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐶𝐷𝐸 .𝜋𝑅 .𝛼
36 .
𝜋. . 6
36 .
𝜋
6 𝝅
𝟑
𝑆𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑆𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑆𝑡𝑟𝑖 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜
𝑺𝒄𝒐𝒍𝒐𝒓𝒊𝒅𝒂 𝝅
𝟑 𝟑
𝟒
O triângulo ADE é equilátero. Logo, a área destacada é a área do
triângulo equilátero somada a 2 segmentos circulares de 60°.
Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2. 𝜋
𝜋
6
𝑺𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝝅
𝟔
𝟑
𝟒
𝑆𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎 3
4
𝝅
𝟔
𝟑
𝟒