Quantifier Exchange

What to do when a - precedes a quantifier.

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A

$x(Hx>-Ix) GOAL

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) -(Ha>-Ia) 3 $O

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

ILLEGAL!Rules apply to

main connectivesonly!

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x-

Not all people are tall =Some people are not tall

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-#x = $x-

Not some people are tall =all people are not tall

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE

The part after the quantifier stays the same.

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE ??? TILT ??? #x without & next!

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE

??? TILT ??? #x without & next!

Not to worry! We have -(Hx>-Ix) here.

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O

What to do with this step?

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha&Ia 5 AR

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha&Ia 5 AR9) Ha 8 &O10) Ia 8 &O

?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha&Ia 5 AR9) Ha 8 &O10) Ia 8 &O11) Ga 6, 9 >O12) -Ia 7,11 >O ?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

Quantifier Exchange1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha&Ia 5 AR9) Ha 8 &O10) Ia 8 &O11) Ga 6, 9 >O12) -Ia 7,11 >O13) Ia&-Ia 10,12 &I14) $x(Hx>-Ix) 3-13 -O

QuantifierExchange:

-$x = #x--#x = $x-

A Fancy Trick1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O How to use -(Ha>-Ia)? ?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

A Fancy Trick1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha>-Ia 6,7 CH ?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

A>BB>CA>C CHain

A Fancy Trick1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha>-Ia 6,7 CH ?&-? ?,? &I $x(Hx>-Ix) 3-? -O

A Fancy Trick1) $x(Hx>Gx) A2) $x(Gx>-Ix) A3) -$x(Hx>-Ix) PA4) #x-(Hx>-Ix) 3 QE5) -(Ha>-Ia) 4 #O6) Ha>Ga 1 $O7) Ga>-Ia 2 $O8) Ha>-Ia 6,7 CH9) (Ha>-Ia)&-(Ha>-Ia) 8,5 &I10) $x(Hx>-Ix) 3-9 -O

QE Strategy

It is a good idea to apply rules in the following order:

QE#O$O

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