PYTHAGOROVA VĚTA

• Prezentace slouží k výkladu Pythagorovy věty, nebo k samostudiu.

Pravoúhlý trojúhelník

odvěsna přepona

odvěsna

přepona - nejdelší stranou v trojúhelníku

- leží naproti pravému úhlu

odvěsny - kolmice, svírají pravý úhel

PYTHAGORAS

Pythagoras ze Samu

byl slavný řecký filozof

a matematik, který se narodil

kolem roku 570 př.n.l.

Na ostrově Somos,

který leží mimo

západní pobřeží Malé Asie.

Pythagorova věta

Pythagorova věta –

obsah čtverce

sestrojeného nad přeponou

se rovná součtu

obsahů čtverců

sestrojených

nad jeho odvěsnami.

Pythagorova věta

a2 + b2 = c2

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

25 = 25

B

C A

Zjisti, zda je trojúhelník pravoúhlý:

5, 12, 13 cm

7, 9, 10 cm

Zjisti, zda je trojúhelník pravoúhlý:

5, 12, 13 cm a2 + b2 = c2 52 + 122 = 132 25 + 144 = 169 169 = 169 - je pravoúhlý

7, 9, 10 cm a2 + b2 = c2 72 + 92 = 102 49 + 81 = 100 130 ≠ 100 - není pravoúhlý

Dopočítej třetí stranu v pravoúhlém trojúhelníku ABC, s přeponou c:

a = 12 cm, b= 16 cm, c = ? a = 8 dm, b = ?, c = 17 dm a = ?, b = 24 mm, c = 25 mm

B

C A

Dopočítej třetí stranu v pravoúhlém trojúhelníku ABC, s přeponou c:

a = 12 cm, b= 16 cm, c = ? c2 = a2 + b2 c2 = 122 + 162 = 144 +256 = 400

c = 400 = 20 cm a = 8 dm, b = ?, c = 17 dm b2 = c2 - a2 b2 = 172 – 82 = 289 – 64 = 225

b = 225 = 15 dm a = ?, b = 24 mm, c = 25 mm a2 = c2 - b2 a2 = 252 – 242 = 625 – 576 = 49

a = 49 = 7 mm

B

C A

Vypočítej délku uhlopříčky v čtverci:

u= ?

a = 6 cm

Vypočítej délku uhlopříčky v čtverci:

c2 = a2 + b2

c2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72

c = 72 = 8, 49 cm

u= ?

a = 6 cm

Vypočítej délku uhlopříčky v obdélníku:

a = 8 cm, b = 5 cm

5 cm

8 cm

Vypočítej délku uhlopříčky v obdélníku:

a = 8 cm, b = 5 cm

c2 = a2 + b2

c2 = 82 + 52 = 64 + 25 = 89

c = 9,43 cm

u = 9,43 cm

5 cm

8 cm

Vypočítej výšku v rovnostranném trojúhelníku, potom urči obsah:

a = 10 cm, v = ?

S = ?

M

10 cm 10 cm

K L a = 10 cm

Vypočítej výšku v rovnostranném trojúhelníku, potom urči obsah:

a = 10 cm, v = ? S = ? a2 = c2 - b2 a2 = 102 – 52 a2 =100 – 25 = 75

a = 75 = 8,66 cm v = 8,66 cm

S = 𝑎 .𝑣

2 =

10 . 8,66

2 = 43,3 cm2

M M

10 cm 10 cm 10 cm

K P L P L 5 cm 5 cm 5 cm

Vypočítej obsah v rovnoramenném trojúhelníku:

základna 5 cm, ramena 7 cm

Vypočítej obsah v rovnoramenném trojúhelníku:

základna 5 cm, ramena 7 cm a2 = c2 - b2 a2 = 72 – 2,52 = a2 = 49 – 6,25 = 42,75

a = 42,75 = 6,54 cm v = 6,54 cm

S = 𝑎 .𝑣

2 =

5 . 6,54

2 = 16,35 cm2

Pravoúhlý lichoběžník

Pravoúhlý lichoběžník má základny dlouhé

a = 10,3 cm, c = 6,7 cm a délku šikmého ramena b = 8,5 cm. Vypočítej obsah lichoběžníku.

c = 6,7 cm

b = 8,5 cm

a = 10,3 cm

Pravoúhlý lichoběžník

Pravoúhlý lichoběžník má základny dlouhé

a = 10,3 cm, c = 6,7 cm a délku šikmého ramena b = 8,5 cm. Vypočítej obvod, obsah lichoběžníku.

c = 6,7 cm

b = 8,5 cm

a = 10,3 cm

v = ?

8,5 cm

10,3 – 6,7 =3,6 cm

Nejdřív vypočítáme výšku v, potom obvod, kde strana d = v, potom obsah.

v2 = 8,52 – 3,62

v2 = 72,25 – 12,96

v2 = 59,29

v = 59,29 = 7,7cm

o = a+b+c+d = 10,3 + 8,5 + 6,7 + 7,7 = 33,2 cm

S = 𝑎+𝑐 .𝑣

2 =

10,3+6,7 .7,7

2= 65,45 cm2

c = 6,7 cm

d = 7,7 cm v= 7,7 cm b = 8,5 cm

a = 10,3 cm

Samostatná práce:

1) Urči, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý: a = 9 cm, b = 40 cm, c = 41 cm a = 10 cm, b = 20 cm, c = 25 cm

2) Vypočítej délku přepony c pravoúhlého trojúhelníku ABC, znáš-li jeho odvěsny: a= 2,5 cm, b = 60 cm 3) Vypočítej výšku v rovnoramenném trojúhelníku, když je daná základna z = 6 cm a rameno r = 10 cm. A vypočítej ještě obsah trojúhelníku. 4) Pravoúhlý lichoběžník má základny dlouhé a = 8,2 cm, c = 9,7 cm a výšku d = 6,5 cm

vypočítej velikost šikmého ramene vypočítej obsah lichoběžníku

5)Žebřík 10 m dlouhý je opřen o zeď tak, že jeho spodní okraj je vzdálen od zdi 6 m. Jak vysoko sahá žebřík?

Řešení:

1) a) ANO, trojúhelník je pravoúhlý b) NE, trojúhelník není pravoúhlý

2) c = 625 + 3600 = 4225 = 65 cm

3) v = 100 − 9 = 91 = 9,54 cm

S = 𝑎.𝑣

2=

6 .9,54

2= 28,62 cm2

4) b = 42,25 + 2,25 = 44,5 = 6,67 cm

S = 𝑎+𝑐 .𝑣

2=

8,2+9,7 .6,5

2 = 58,175 cm2

5) x = 100 − 36 = 64 = 8 m. Žebřík sahá do výšky 8 metrů.

Zdroje:

• http://www.40fathomgrotto.com/css/images/about/map_oythagoras.jpg

• http://www.jadidtarin.com/danestani/images/pythagoras.jpg

• http://www.is.wayne.edu/mnissani/a&s/Pythagoras.gif