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Progetto IDIFO

PROPOSTE DIDATTICHE SULLA FISICA MODERNASTRUMENTI PER UNA DIDATTICA LABORATORIALE

a cura di Marisa Michelini

UNIVERSITÀ DEGLI STUDIDI UDINE

M.I.U.R.Ministero dell’Istruzionedell’Università e della Ricerca

PLSProgetto LaureeScientifi che

Progetto IDIFO

Proposte didattiche sulla fi sica moderna

Strumenti per una didattica laboratoriale

a cura diMarisa Michelini

Università degli Studi di UdineDipartimento di Fisica



Università degli Studi di UdineDipartimento di Fisica



Progetto IDIFO

Proposte didattiche sulla fi sica modernaMateriali per studenti

Il Progetto IDIFO del Progetto Lauree Scientifiche ha realizzato dal 2006 al 2009, oltre ad un Master biennale per insegnanti in rete telematica, tre Workshop per insegnanti e studenti, Laboratori didattici e sperimentali per studenti, la Prima Scuola Estiva nazionale di Fisica Moderna per studenti (estate 2007). Quest’ultima è stata gestita dall’Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell’Università degli Studi di Udine e ripetuta nell’estate 2009. È stata l’occasione per preparare materiali per stu-denti, che mettano a frutto i risultati della ricerca in didattica della fisica per l’apprendimento dei concetti più importanti della fisica dell’ultimo secolo. Questo volume raccoglie i contributi più significativi alle attività per studenti della scuola estiva, in forma adatta ad essere utilizzati in attività scolastiche o direttamente dai ragazzi in autonomia.

CuratoreMarisa Michelini, Università degli Studi di Udine

Comitato scientificoCompagno Cristiana, Rettore dell’Università degli Studi di UdineColombo Mario, Università degli Studi di UdineCorni Federico, Università degli Studi di Bolzano e Università degli Studi di Modena e Reggio EmiliaCorvaja Pietro, Direttore del Dottorato di Ricerca in matematica e fisica, Università degli Studi di UdineFabbro Franco, Preside della Facoltà di Scienze della Formazione, Università degli Studi di UdineFerraro Speranzina, Direzione Generale dello Studente, MIURGervasio Mario, Università degli Studi di UdineHonsell Furio, Sindaco di UdineMarcolini Lorenzo, Segretario Sezione AIF di UdineMichelini Marisa, Università degli Studi di UdineMichelutti Gian Luigi, Università degli Studi di UdineMossenta Alessandra, Università degli Studi di UdinePastore Giorgio, Università degli Studi di TriestePeressi Maria, Università degli Studi di TriestePiccinini Livio Clemente, Direttore della Scuola Superiore, Università degli Studi di UdineRocca Filomena, Direzione Generale degli Ordinamenti Scolastici, MIURSanti Lorenzo, Università degli Studi di UdineSciarratta Isidoro, Segretario Sezione AIF di PordenoneStefanel Alberto, Università degli Studi di UdineTarantino Giovanni, ANSAS PalermoTasso Carlo, Preside della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali, Università degli Studi di UdineToppano Elio, Responsabile PLS – Matematica, Università degli Studi di UdineVercellati Stefano, Università degli Studi di UdineViola Rossana, Università degli Studi di Udine

Segreteria redazionaleCristina CassanDonatella CeccolinChiara Geretti

IIª Edizione dicembre 2010IIª Edizione luglio 2011

© Copyright Università degli Studi di Udine

ISBN 978-88-97311-04-1

Indice

Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag. 5Marisa Michelini, Responsabile dell’Unità di Ricerca in Didattica della Fisica e del Progetto IDIFO

Capitolo 1. Ricerche

La fisica dei raggi cosmici, la rivelazione dei fotoni gamma e l’espansione dell’Universo . » 11Alessandro De Angelis, Barbara De Lotto, Francesco de Sabata e Massimo Persic Gruppo MAGIC-GLAST, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

Astrofisica gamma e futuro dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 21Valeria Scapin, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

LHC e l’esperimento ATLAS: alle origini della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 25Marina Cobal, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

Equazioni alle differenze finite: stabilità ed evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 32Livio Clemente Piccinini, Dipartimento di Biologia Economia Agro-Industriale, Università di Udine

Gruppi di simmetria sul piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 46Pietro Corvaja, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine

Modelli e Ontologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 60Elio Toppano, Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine

Per una storia del principio di Relatività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 69Stefano Bordoni, Università di Bergamo

Appunti dalla relazione sul problema del corpo nero: entrare nel merito per capire . . . . . » 82Giovanni Luigi Michelutti, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

La Fisica della Superconduttività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 88Rosanna Viola, URDF, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Tavola sinottica. La storia della superconduttività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 96Rosanna Viola, URDF, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Capitolo 2. Fare scienza con il computer

Fare scienza con il computer: il moto browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 111Giovanni Pastore e Maria Peressi, Università di Trieste e Centro Nazionale di Simulazione Numerica CNR-INFM Democritos

Capitolo 3. Esperimenti

La misura del numero di Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 119Diego Cauz, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

Misura della velocità della luce: metodo dello spostamento di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 122Lorenzo Santi e Stefano Vercellati, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

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Diffrazione: appunti a supporto dell’attività sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 127Marisa Michelini, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

La legge di Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 142Alberto Stefanel, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Coefficiente di trasmissione di un polaroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 147Alberto Stefanel, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 153Isidoro Sciaratta, CIRD, Università di Udine

Esperimento di Franck-Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 166Isidoro Sciarratta, CIRD, Università di Udine

Effetto Ramsauer-Townsend in una valvola contenente Xenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 171Lorenzo Santi, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Misura del rapporto e/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 175Isidoro Sciarratta, CIRD, Università di Udine

Effetto Termoelettronico e Valvole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 181Isidoro Sciarratta, CIRD, Università di Udine

Misure di resistenza elettrica dei materiali in funzione della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . » 188Marisa Michelini e Lorenzo Santi, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 194Mario Gervasio, Marisa Michelini e Lorenzo Santi, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Capitolo 4. Percorsi

Avvicinarsi alla teoria della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 199Marisa Michelini e Alberto Stefanel, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Mettersi in gioco nell’esplorare ed interpretare fenomeni di superconduttività . . . . . . . . . . » 228Marisa Michelini e Rossana Viola, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Capitolo 5. Schede per una didattica esplorativa

Dall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantistica.Schede studente 1-15 e questionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 233Marisa Michelini e Alberto Stefanel, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Esplorare la superconduttività. Schede studente 1-6 e problem solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 279Marisa Michelini e Rossana Viola, Unità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

PresentazioneMarisa Michelini Responsabile dell’URDF e del Progetto IDIFO

Il Progetto IDIFO (Innovazione Didattica in Fisica e Orientamento) è nato come iniziativa delle unità di ricerca in didattica della fisica delle Università degli Studi di Bologna, Milano, Milano Bicocca, Napoli, Palermo, Pavia, Roma La Sapienza, Torino e Udine, con la collaborazione delle Università degli Studi di Bari, Bolzano, Lecce, Modena e Reggio Emilia, Trento, Trieste, coordinata dall’unità di ricerca in didattica della fisica (URDF) dell’Università di Udine per il Progetto Lauree Scientifiche (PLS). Esso è illustrato alla pagina http://www.fisica.uniud.it/URDF/laurea/index.htm. Ha realizzato nella sua prima edizione dal 2006 al 2009 un Master biennale per insegnanti sulla fisica moderna, affrontando la sfida ancora aperta sulle modalità con cui la fisica del novecento diventi parte del curriculum di scuola secondaria. Il Master, condotto per lo più in rete telematica, è stato arricchito da tre Workshop in presenza e dalla prima Scuola Estiva Nazionale di Fisica Moderna per studenti (SEN-FM), che ha visto la partecipazione a Udine nell’estate 2007 di 50 studenti selezionati dalle oltre 450 domande ricevute. Si sono aggiunte le Università della Basilicata e della Calabria nella prosecuzione del Progetto (IDIFO2 descritto alla pagina http://www.fisica.uniud.it/URDF/laurea/ftp/pls2/idifo2.pdf) per la realizzazione di un Corso di Perfezionamento per insegnanti e della seconda edizione della Scuola Estiva SEN-FM, che, come la prima, ha raccolto ampio interesse da parte di giovani di tutta Italia. Sono 18 le istituzioni che hanno deciso di cooperare dal 2010 con il coordinamento dell’URDF di Udine per il Progetto IDIFO3 e tra esse vi sono 17 università e l’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN).Ci sembra utile illustrare in questa sede il Progetto IDIFO nel suo complesso.Il Master IDIFO (1-7), di durata biennale da marzo 2006 a giugno 2008 per complessivi 60 crediti universitari (cfu) di attività didattiche in presenza e a distanza, si è posto l’obiettivo di formare un insegnante esperto in:a) didattica della fisica moderna (soprattutto fisica quantistica, relativistica, statistica e della materia,

con elementi di fisica nucleare, delle particelle elementari e cosmologia);b) formazione al pensiero teoretico in fisica;c) attività sperimentale sugli esperimenti cruciali e fondamentali per la fondazione del modo di

pensare quantistico;d) impostazione del pensiero relativistico moderno;e) spiegazione delle principali applicazioni moderne della fisica quantistica e relativistica;f) formazione di altri insegnanti sull’innovazione didattica in fisica nella scuola secondaria;g) progettazione e realizzazione di materiali ed attività per l’orientamento formativo in fisica.Il progetto di Master si è strutturato in 4 Aree Formative (generale, caratterizzante, progettuale e situata) articolate in 5 Moduli tematici: A. fisica quantistica (18 cfu); B. relatività ristretta e generale (12 cfu); C. fisica statistica e della materia (15 cfu); D. fisica nucleare, delle particelle e cosmologia (2 cfu); E. orientamento e problem solving come sfida operativa orientante (6 cfu). Grande spazio è stato riservato alla discussione di proposte didattiche, all’analisi ed al confronto di scelte su questioni messe in luce dalla ricerca didattica sui vari temi affrontati: è stata favorita la riflessione individuale e di gruppo. La ricerca didattica è stata sorgente e modalità di realizzazione del Master. La valutazione degli esiti formativi del Master IDIFO ha coinvolto i corsisti nella preparazione di 4 project work sui Moduli Didattici A, B, C&D ed E) e la tesi finale, che è consistita in un elaborato scritto su una sperimenta-zione lunga effettuata con ragazzi di scuola secondaria. Ciascuno dei 4 project work ha comportato a sua volta un’attività di sperimentazione didattica. La tesi si è configurata come un approfondimento di uno dei Project Work ed è stata discussa davanti ad una Commissione designata dal Consiglio del Master. L’impegno richiesto ai corsisti è stato molto alto. I corsisti d’altra parte si sono rivelati di alto livello culturale e professionale, profondamente interessati a diventare professionisti competenti nella

6 Presentazione

tematica affrontata. Il Modello formativo messo in campo è risultato corrispondente ai bisogni nella sua integrazione di aspetti culturali, disciplinari, didattici e professionali. Esso comprende fasi di for-mazione meta culturale, esperienziale e situata, offrendo a ciascuno l’occasione di sviluppo progettuale commisurato ai bisogni ed alle motivazioni. Tutti i corsisti del Master IDIFO hanno infatti vissuto le seguenti fasi formative: A) studio e discussione delle proposte didattiche che i docenti hanno proposto loro come esito di anni di ricerca didattica su 4 principali aree (Relatività, Quantistica, Fisica della Materia, Orientamento Formativo); B) rielaborazione critica in laboratori didattici di discussione in web forum di nuclei, nodi e aspetti cruciali; C) Progettazione di un percorso didattico da sottoporre a sperimentazione, collaudo e autovalutazione delle attività didattiche del percorso (esperimenti, attività multimediali, etc) e messa a punto dei materiali didattici (schede per ragazzi, esercizi, test); D) discussione con i docenti del Master del percorso e di tutti i materiali proposti e loro revisione; E) sperimentazione didattica con i ragazzi; F) analisi dei dati di apprendimento; G) documentazione, in un Project Work, delle basi teoriche e concettuali e del percorso formativo, con analisi critica del lavoro svolto e del ruolo che esso ha avuto nella formazione personale, oltre alla discussione sui processi di apprendimento dei ragazzi con i quali è stata fatta la sperimentazione. La comunità internazionale del GIREP ha valorizzato tale esperienza di ricerca, dedicandole un workshop nel Congresso Internazionale di Leicester (2009) e selezionandone il lavoro per il libro Physics Community and Cooperation (6). Tutti i materiali utilizzati per la formazione degli insegnanti sono stati pubblicati in rete telematica alla pagina http://www.fisica.uniud.it/URDF/laurea/. Esperienze emblematiche di questo lavoro sono state pubblicate nel libro Formazione degli insegnanti all’innovazione didattica in fisica moderna e orientamento. Contributi di una comunità di ricerca in didattica della fisica a un progetto di forma-zione a distanza degli insegnanti: strategie e metodi (7). La piattaforma di e-learning messa a punto per la formazione a distanza degli insegnanti è stata sede dei successivi Corsi di Perfezionamento e Master IDIFO.I Workshop intensivi in presenza (WS) hanno avuto un valore formativo autonomo, che nello stesso tempo ha potenziato la formazione a distanza. Il confronto in presenza delle proposte formative e didattiche degli insegnamenti, dei prodotti dei corsisti, la possibilità di eseguire esperimenti di fisica moderna e confrontarsi sui risultati e sul loro ruolo, la discussione intorno a nuclei fondanti e nodi concettuali della meccanica quantistica e della relatività einsteiniana in seminari di rassegna o in analisi comparate di approcci didattici ne ha fatto una palestra esemplare e fertile di formazione per professionisti riflessivi. Il primo di essi è stato tutto dedicato agli insegnanti del Master (WS1). Si è tenuto a Udine nel periodo 4-8 settembre 2006. Il secondo WS si è proposto di realizzare la rica-duta sul territorio del Progetto IDIFO per studenti ed insegnanti del Friuli Venezia Giulia (WS2), in sinergia con il progetto LEMI_EST. È stato realizzato in due fasi e sedi (marzo a Udine ed aprile a Pordenone per 2 settimane) ed ha visto utilizzare sul territorio del Friuli Venezia Giulia i materiali prodotti nel Master (percorsi didattici ed esperimenti cruciali di fisica moderna), con attività formative per insegnanti e per studenti di laboratorio didattico concettuale, esplorativo e sperimentale (8-9): i relativi programmi sono pubblicati nel già citato sito del Progetto IDIFO. Il terzo è stato realizzato in concomitanza con Scuola Estiva di Fisica Moderna per studenti, tenutasi a Udine nel luglio 2007 ed ha intrecciato contenuti ed attività per gli insegnanti del Master con quelli per studenti selezionati a partecipare alla Scuola stessa. Le attività sperimentali su cui erano stati formati i corsisti nel WS1 sono state proposte ai ragazzi, con due livelli di sostegno: quello dei corsisti e quello dei docenti del Master. La straordinaria ricchezza di un simile contesto ha insegnato molto a tutti su molti livelli e ci ha dato un modello di formazione in presenza. I contenuti di queste attività sono risultati di interesse per gli insegnanti: abbiamo allora deciso di raccogliere nel volume Fisica moderna per la scuola (10) i materiali più significativi prodotti nelle attività in presenza a Udine. Vi sono altri materiali del Progetto IDIFO messi a disposizione nelle attività in presenza; essi sono di varia natura: kit didattici per attività sperimentali esplorative e opuscoli di proposte didattiche sperimentate. Essi continuano ad essere prestati o regalati alle scuole.La prima Scuola Estiva Nazionale di Fisica Moderna, progettata e messa a punto dall’Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell’Università di Udine (URDF) come percorso di eccellenza per studenti

Progetto IDIFO - Proposte didattiche sulla fisica moderna 7

secondari, è stata proposta anche come ricaduta del master IDIFO per insegnanti di scuola secondaria superiore sulla fisica moderna, perché gli insegnanti formati propongano ai ragazzi le attività progettate. La valorizzazione dell’eccellenza nella scuola (11, 12) può essere garantita solo se vi è un processo di continuo rinnovamento, creatività e si pone gli studenti di fronte a nuove sfide (13). Per l’apprendi-mento è prioritario prevedere un forte coinvolgimento personale degli studenti con l’oggetto di studio, condizione necessaria per garantire un effettivo apprendimento scientifico (14 - 16) e l’orientamento formativo (17-19). Queste condizioni sono state poste alla base del progetto. Essa è stata pertanto offerta come percorso formativo basato su ricerche in didattica della fisica a studenti degli ultimi anni delle scuole superiori italiane. Tra le principali finalità nella progettazione vi sono state l’offrire: a) significative proposte di percorsi operativi per la costruzione del pensiero formale su rilevanti aspetti di fisica moderna, b) sfide ludiche sui nodi concettuali della meccanica quantistica, della fisica degli stati condensati e della superconduttività; c) attività sperimentali a piccolo gruppo su esperimenti cruciali per la fondazione delle moderne teorie; d) quadri concettuali di rifermento per interpretare i fenomeni. La seconda Scuola Estiva Nazionale di Fisica Moderna (SEN-FM) è stata realizzata nel luglio 2009 (20-22) nell’ambito del progetto IDIFO2 del PLS2 ed è stata attuata in collaborazione con la Scuola Superiore, la Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche Naturali, la Facoltà di Scienze della Formazione dell’Università di Udine, il progetto Democritos, il Dipartimento di Fisica dell’Università di Trieste, l’Area di Ricerca del Sincrotrone di Trieste, il MIUR - Direzione Generale dello studente e degli Ordinamenti Scolastici, con il sostegno dell’ERDISU di Udine e della Fondazione CRUP. Il numero di studenti ammessi, inizialmente fissato in 30 unità, è stato successivamente portato a 40 grazie ai contributi di diversi enti locali. La selezione è stata effettuata da un’apposita commissione sulla base dei seguenti criteri di priorità esplicitati nel bando nazionale: a) certificazione del profitto riportato nelle materie scientifiche negli ultimi due anni; b) regione di residenza per la miglior distribuzione nazionale; c) tipologia di Scuola; d) altri titoli eventuali (gare di materie scientifiche); e) maggiore età anagrafica. Il modello attuativo della Scuola Estiva integra: A) Laboratorio didattico per l’esplorazione operativa di percorsi, condotti con metodologie tipiche dell’Inquiry Base Learning (IBL) (8, 9) e del problem solving (23, 24) su tematiche di fisica moderna; B) Laboratorio sperimentale per gruppi a rotazione (25); C) Laboratorio sperimentale a grande gruppo (25); D) Gli studenti relazionano; E) Le gare; F) Laboratorio di simulazione; G) Seminari formativi di esperti; H) Visite, attività comple-mentari, attività sociali. Nelle attività di tipo A sono stati proposti i tre percorsi: 1) Mettersi in gioco nell’esplorare e interpretare fenomeni di superconduttività (26, 27); 2) Esplorazione dei fenomeni di polarizzazione della luce come sfida per avvicinarsi alla teoria della Meccanica Quantistica (28-32); 3) Rutherford Backscattering Spectroscopy (RBS): cimentarsi in una tecnica di analisi della ricerca nella fisica dei solidi (33). Si tratta di laboratori didattici con le seguenti caratteristiche: utilizzo di strategie PEC – Previsione Esperimento Confronto (34) nell’esplorazione di contesti fenomenologici per riconoscere operativamente concetti e grandezze (8, 9); analisi di simulazioni che propongono situazioni ideali, per la costruzione di ipotesi interpretative ed il confronto con gli esiti sperimentali. Una delle attività più qualificanti della scuola è il laboratorio sperimentale (B) proposto a gruppi di 4-5 studenti a rotazione. Sono stati proposti i sei percorsi di attività sperimentali realizzati a gruppi su due mezze giornate di lavoro: Diffrazione ottica con sensori on-line; Misura della velocità della luce; Misure di resistività ed effetto Hall in materiali diversi; Esperimento di Franck ed Hertz; rapporto e/m. Altri esperimenti sono stati proposti a grande gruppo o inseriti nei percorsi didattici. Non meno significativa è l’attività D): gli studenti relazionano. L’ esplicitazione da parte degli studenti di quali sono gli apprendimenti è il coronamento dell’obiettivo della scuola di offrire occasioni formative in cui è previsto il coinvolgimento attivo degli studenti. È stato perciò previsto un seminario finale in cui gli studenti hanno relazionato a piccoli gruppi su: analisi di spettri RBS, i concetti di Meccanica Quantistica e le attività di laboratorio. Hanno offerto occasioni di approfondimento le competizioni, che sono state proposte come attività di sintesi e valutazione affiancate alle relazioni finali su diversi temi: Laboratorio, Meccanica quantistica, Superconduttività ed RBS.Tutte le attività della scuola sono state videoregistrate. In particolare l’ultima giornata è stata intera-mente ripresa dalla troupe di RAI-EDUCATIONAL che ha realizzato una trasmissione appositamente

8 Presentazione

dedicata alla scuola estiva. Gli apprendimenti sono stati valutati e certificati sulla base di differen-ziati strumenti e metodi: le schede di lavoro che hanno accompagnato le diverse fasi del lavoro (con strategie IBL e PEC); le brevi relazioni e i questionari con domande aperte utilizzati come strumenti di riepilogo e quelli di problem solving delle gare; le relazioni finali presentate dai ragazzi stessi; le sintesi dei valutatori esterni. In base agli esiti di tale monitoraggio e solo laddove fossero stati ricon-segnanti i materiali compilati sono stati rilasciati gli attestati con documentazione degli apprendimenti dei diversi moduli. Schede di valutazione hanno permesso di arricchire il monitoraggio delle attività basato su Schede IBL e PEC ed hanno completato le informazioni ricavate con test ed interviste. La valutazione è infatti stata particolarmente attenta ed affidata a membri interni al processo (docenti, corsisti Master, studenti della Scuola Estiva) ed a esperti o testimoni esterni, come rappresentanti del Ministero, dell’ANSAS nazionale, dell’Associazione per l’Insegnamento della Fisica e degli studenti del territorio. Sia le singole attività sia l’intera scuola sono state valutate dagli studenti sulla base di schede di monitoraggio che prevedevano per ciascun seminario, modulo formativo, attività sperimen-tale, le voci previste nel monitoraggio REQUS del PLS. L’analisi degli apprendimenti e gli esiti del monitoraggio interno ed esterno sono risultati coerenti con la sintesi del valutatore esterno in merito al giudizio altamente positivo sia sulle singole professionalità impegnate nella Scuola, sia sull’impegno davvero eccezionale profuso dal gruppo dei referenti scientifici. Le attività sono state sempre dense e costruttive, i metodi e le tecniche scelte in tutte le fasi sono stati sempre strettamente funzionali agli obiettivi della Scuola e singolarmente efficaci. Il gruppo di Progetto ha inoltre dato prova di intelligente duttilità nell’adattare le soluzioni via via ipotizzate alle condizioni operative riscontrate sul terreno, senza mai perdere di vista gli obiettivi del progetto, garantendone un’alta validità scientifica. Abbiamo deciso di raccogliere in questo volume soltanto i principali materiali didattici utilizzati nelle due prime Scuole Estive Nazionali di Fisica Moderna (SEN-FM), perché contengono esempi di didattica basata su attività esplorative, laboratoriali e di applicazione del metodo dell’IBL (8, 9). In questo volume sono pertanto raccolti i materiali più significativi della Scuola, in una forma adatta ad essere utilizzati direttamente dagli studenti in autonomia o con gli insegnanti in classe: si vuole offrire un supporto ad attività didattiche di base sulla fisica moderna e di approfondimento tematico su gli aspetti specifici.Nel primo capitolo sono raccolti i seminari offerti nella Scuola (SEN-FM) su ricerche avanzate di fisica, su temi fondanti di matematica ed informatica, su studi storici di fisica moderna.Abbiamo dedicato il capitolo 2 alla fisica computazionale, per la crescente importanza che ha nella ricerca in fisica, scegliendo di illustrare ciò che è fattibile a scuola per assaggiare questa attività, come si è fatto nella Scuola SEN-FM. Nel capitolo 3 abbiamo raccolto i materiali preparati per i ragazzi sugli esperimenti eseguiti: sintetiche introduzioni concettuali, con indicazioni operative sull’esecuzione degli esperimenti e l’analisi dati, spesso mettendo a confronto strategie e metodi differenziati per l’attività.Nel capitolo 4 abbiamo due esempi di percorsi su temi innovativi per la scuola secondaria, come meccanica quantistica (MQ) e superconduttività (SC). L’impostazione dei percorsi è mirata alla fon-dazione del pensiero teoretico (MQ) e all’esplorazione qualitativa e quantitativa della fenomenologia (SC) nella prospettiva di costruzione del pensiero formale, basandosi sulle strategie di apprendimento attivo (IBL e PEC).Nel capitolo 5 mettiamo a disposizione le schede per l’attività laboratoriale che consentono di moni-torare gli apprendimenti e valutare le competenze acquisite sui temi indicati (MQ e SC).Tutti i materiali sono stati sperimentati con ragazzi di scuola secondaria, oltre che nelle Scuole Estive SEN-FM e i risultati sono stati validati in congressi internazionali (26, 28-35). Ci auguriamo pertanto che essi siano di sufficiente qualità perché gli insegnanti ne possano fare uso a scuola per introdurre i concetti della fisica del ’900. Augurandoci di aver prodotto con questa pubblicazione uno strumento utile, restiamo in attesa dei commenti e dei suggerimenti dei nostri lettori privilegiati, studenti ed insegnanti, e di quelli eventualmente interessati.


Bibliografia 1. Michelini M., Santi L., Stefanel A. (2008) Master IDIFO per la formazione in servizio degli

insegnanti di fisica moderna: uno dei progetti del PLS, La Fisica nella Scuola, XLI, 3 suppl., pp. 84-89.

2. Michelini M., Santi L. (2008) Master IDIFO for In-Service Teacher Training in Modern Physics, selected papers in Frontiers of Fundamental and Computational Physics – FFP9, Sidharth B.G., Honsell F., Mansutti O., Sreenivasan K., De Angelis A. eds., American Institut of Physics – AIP 1018, Melville-New York, [ISBN 978-0-7354-0539-4; ISSN 0094-243X] pp. 253-254.

3. Michelini M. (2009) Master sulla innovazione didattica in fisica e orientamento (IDIFO) dalle ricerche di Fis21, In Longo F. e Novacco E. (a cura di) Comunicare Fisica.07 Trieste, Conferenza-Workshop nazionale sulle tematiche e sulle metodologie della comunicazione della fisica e delle altre scienze. Linguaggi e strumenti della comunicazione scientifica verso il pubblico, Frascati Physics Series Italian Collection – Scienza Aperta Volume II, Atti 2° Convegno Comunicare Fisica e altre Scienze, pp. 103-104.

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Capitolo 1. Ricerche

LA FISICA DEI RAGGI COSMICI, LA RIVELAZIONE DEI FOTONI GAMMAE L’ESPANSIONE DELL’UNIVERSO

Alessandro De Angelis, Barbara De Lotto, Francesco de Sabata e Massimo Persic Gruppo MAGIC-GLAST, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

La fisica delle alte energie è nata come fisica dei raggi cosmici [1]: nei primi decenni del secolo scorso, non appena si scoprì che particelle di altissima energia arrivano dal cosmo, gli studiosi di fisica fondamentale avviarono campagne di studi in atmosfera e costruirono centri di rivelazione sulle montagne (Fig. 1). Alle origini la fisica delle particelle si poteva dunque definire, con un termine moderno, “astroparticellare”.

Fig. 1.a - Il fisico austriaco Victor Hess alla partenza dell’ascensione in aerostato in cui dimostrò l’esi-stenza dei raggi cosmici (1912).

Fig. 1.b - Il fisico statunitense Robert Milllikan mentre prepa-ra un rivelatore prima del lancio in alta atmosfera (1938).

Fig 1.c - L’osservatorio della Marmolada a Passo Fedaia, Belluno (1950).

Solo in seguito i fisici impararono a produrre in laboratorio particelle di altissima energia mediante gli acceleratori. Dal 1950 alla fine degli anni’90 le potenzialità di scoperta della fisica agli accelera-tori superarono quelle della fisica basata sui raggi cosmici, in quanto gli acceleratori consentivano la realizzazione di esperimenti in condizioni controllate. Per una cinquantina d’anni l’energia generata crebbe esponenzialmente con il tempo, e con essa il potenziale di scoperta; in questo periodo la fisica delle particelle agli acceleratori garantì un progresso spettacolare alla conoscenza fondamentale. Negli ultimi dieci anni si è assistito però ad un rallentamento nei progressi, evidenziato nel cosiddetto plot di Livingstone in Fig. 2.a, in cui si nota una tendenza alla saturazione, in funzione del tempo, delle energie raggiunte, in corrispondenza per contro ad un’esplosione dei costi di costruzione.

L’indagine astrofisica fornisce la possibilità di studiare fenomeni a scale di energia superiori, anche di diversi ordini di grandezza, a quelli raggiungibili con la produzione di particelle nei laboratori terrestri. La ragione per cui gli acceleratori costruiti dall’uomo non possono competere con gli ancora misteriosi acceleratori cosmici è dovuta al fatto che il metodo più efficiente per l’accelerazione di particelle richiede il loro confinamento entro un raggio R tramite un campo magnetico B, e l’energia è proporzionale al prodotto di R per B. Sulla Terra è difficile ipotizzare raggi di confinamento più grandi di un centinaio di km e campi magnetici più forti di una decina di tesla (centomila volte il campo

12 Capitolo 1. Ricerche

magnetico terrestre), senza contare l’impatto ambientale di tali progetti, il consumo energetico e la radioattività indotta. Questa combinazione può fornire per il ventunesimo secolo energie dell’ordine della decina di TeV (1 TeV = 1012 eV), come quelle che verranno raggiunte nell’acceleratore LHC del CERN (Fig. 2.b). In natura esistono tuttavia acceleratori con raggi molto maggiori, come i relitti di supernove (centinaia di anni luce, Fig. 2.c) e i nuclei galattici attivi delle galassie (decine di migliaia di anni luce) (1 anno luce = 9.46.1015 m); da essi arrivano sulla Terra particelle di energie di decine di milioni di TeV. Oggi finalmente sappiamo sfruttare questi acceleratori cosmici i quali, a differenza di quelli costruiti dall’uomo che costano ormai svariati miliardi di euro, sono privi di costi.Flavio Waldner, formatosi a Padova nel gruppo che allestì il laboratorio della Marmolada, con i suoi contributi pionieristici a esperimenti su pallone aerostatico compiuti all’Università di Bari negli anni ’70 è stato un antesignano del ritorno in auge della fisica dei raggi cosmici, che è oggi ancora una volta, come all’inizio della fisica delle particelle, la fisica di frontiera, in particolare riguardo alla nostra comprensione dell’evoluzione dell’Universo.

Una delle principali scoperte del XX secolo, forse la più importante di tutte (almeno secondo un sondaggio realizzato nel 2000 dalla rivista “Time”), è che l’Universo è in espansione. L’astronomo Edwin Hubble giunse a questa conclusione negli anni ’20 del secolo scorso studiando un gran numero di galassie e osservando che la luce proveniente da quelle più lontane presenta sistematicamente lun-ghezze d’onda maggiori rispetto a quella delle galassie più prossime a noi. Tale “spostamento verso il rosso” (Doppler redshift, Fig. 3.a) dipende dalla velocità delle sorgenti e dimostra che le galassie si allontanano tra loro con una velocità proporzionale alla mutua distanza (legge di Hubble, Fig. 3.b).

Fig. 2.a - Il “plot di Livingstone” per gli acceleratori.

Fig. 2.b - Il Large Hadron Collider, LHC, che entrerà in funzione nel 2008 al CERN.

Fig. 2.c - Un’immagine della SNR (Super-Nova Remnant) Tycho.

Fig. 3.a - Un confronto tra gli spettri di og-getti a varia distanza da noi che evidenzia lo spostamento verso il rosso.

Fig. 3.b - Il plot di Hubble, che eviden-zia la dipendenza lineare della velocità di recessione delle galassie dalla distanza.


Ciò nasce dal fatto che è lo spazio stesso che si sta espandendo, in accordo con la teoria del Big Bang, la quale prevede che l’Uni-verso abbia avuto inizio da un volume piccolissimo. La conferma di questa teoria venne nel 1965 con la scoperta della radiazione cosmica di fondo, o “radiazione fossile”, ad opera di Arno Pen-zias e Robert Wilson. Si tratta di un caratteristico segnale nella banda delle microonde presente ovunque nel cosmo, che venne originato in una situazione iniziale di grandissima energia: la “firma” del Big Bang.È dunque sensato chiedersi quale sia l’istante in cui tutto ha avuto inizio, estrapolando a ritroso nel tempo l’espansione a partire dalle osservazioni sperimentali: si ottiene così per il nostro Universo un’età di circa 14 miliardi di anni.Molti processi fisici, avvenuti soprattutto nei primi istanti dell’e-spansione, hanno cambiato profondamente la struttura dell’Uni-verso, modificandolo fino alla situazione attuale; un’osservazione importante è che esso, compiendo lavoro a spese della propria energia interna, deve essersi raffreddato (ossia avere diminuito l’energia cinetica media delle particelle). È quindi ragionevole pensare che all’origine fosse molto più caldo, rendendo possibili fenomeni che oggi non riusciamo a ritrovare neppure nel centro delle stelle o nei grandi acceleratori di particelle o nei più avve-niristici prototipi di generatori di energia nucleare.La conoscenza delle fisica fondamentale ci consente di ricondurre tutti i fenomeni attuali a quattro tipi di interazione (gravitazionale, elettromagnetica, debole e forte), ma ricostruendo l’evoluzione dell’Universo si arriva alla conclusione che nei primi istanti dell’espansione (~10-43s) esse fossero unificate in una sola. Questa meravigliosa e semplice simmetria fu successivamente alterata e nascosta al diminuire delle energie disponibili. La ricerca di energie più alte è dunque anche un viaggio all’indietro nel tempo (Fig. 4.a).

Facciamo ora un viaggio nel futuro. Ci si può domandare se l’espansione dell’Universo continuerà per sempre, o se prima o poi si arresterà e invertirà il proprio corso, iniziando una fase di contrazione che lo riporti alla situazione iniziale: la risposta dipende dall’intensità dell’attrazione gravitazionale esercitata al suo interno, quindi dal contenuto totale di materia dell’Universo (Fig. 4.b). Per stimare con cura tale quantità è necessario riuscire a studiare le regioni più lontane, con strumenti che ci consentano di rilevare nuovi oggetti e nuove particelle.Lo studio delle proprietà di rotazione delle galassie for-nisce la prova dell’esistenza di una nuova forma domi-nante di materia, la cosid-detta “materia oscura” (Fig. 5.a). Inoltre, il confronto fra la luminosità apparente (osservata) e quella intrin-seca delle supernove di tipo Ia ha indicato la presenza di

Fig. 4.a - Una rappresentazione grafica della storia dell’Universo.

Fig. 4.b - I diversi scenari possibili per l’evoluzione dell’Universo.

Fig. 5.a - La velocità rotazionale delle ga-lassie indica la presenza di massa oscura.

Fig. 5.b - Le proporzioni tra energia oscura, massa oscura e massa visibile nell’Uni-verso.


una misteriosa tensione, la cosiddetta “energia oscura”, che permea l’Universo e ne determina la dinamica a grande scala (Fig. 5.b).

Per quanto riguarda la materia oscura, nella maggior parte delle teorie sviluppate per spiegare i risultati delle osservazioni astrofisiche si ipotizza l’esistenza di una nuova particella pesante neutra (di massa compresa fra quaranta e centomila volte la massa del protone) che interagisce debolmente con la materia ordinaria; tale particella viene chiamata WIMP (Weakly Interacting Massive Particle). Le teorie supersimmetriche offrono un candidato naturale per la WIMP, il cosiddetto neutralino. Le WIMP possono annichilarsi in coppia generando energia, come ipotizzato da Majorana (il famoso fisico siciliano misteriosamente scomparso nel 1938). L’annichilazione di WIMP è osservabile dai rivelatori di raggi gamma, in quanto gran parte dell’energia prodotta si presenta sotto forma di fotoni gamma con energie confrontabili a quelle della WIMP, e caratteristiche che consentirebbero di distinguerli dal fondo astrofisico. Il primo problema sperimentale è quindi di rivelare questi fotoni gamma di altissime energie, ma quali e quanti nuovi oggetti celesti è ancora possibile scoprire? Gli strumenti di frontiera per tale studio sono i telescopi gamma, sensibili alle sorgenti più energetiche dell’Universo.

I raggi gamma sono quanti di luce di altissima energia [2]. Nei collassi gravitazionali che avvengono nei centri delle galassie, dove grandi quantità di materia sono divorate, vengono prodotti raggi gamma con energie anche mille miliardi di volte più grandi della luce visibile. Un fenomeno spettacolare (e relativamente frequente) è quello dei “lampi gamma” o Gamma Ray Bursts (GRB): per pochi secondi una sorgente emette un’energia gamma che, se irradiata isotropicamente, è confrontabile con quella dell’Universo intero. Fortunatamente per la nostra salute, l’atmosfera assorbe molto bene questo tipo di radiazione, consentendo l’esistenza degli esseri viventi sulla superficie terrestre; allo stesso tempo, però, questo schermo rende molto difficile l’osservazione dei raggi gamma.La tecnologia necessaria per la rivelazione dei raggi gamma è stata sviluppata solo negli ultimi anni, seguendo due distinte metodologie di osservazione: da terra, con l’impiego di grandi rivelatori Čerenkov (specchi focalizzati, Fig. 6.a), e dall’esterno dell’atmosfera, mediante appositi strumenti montati su satelliti (Fig. 6.b) [3].

La tecnica Čerenkov si basa sulla rivelazione della radiazione caratteristica emessa dalle particelle cariche che attraversano l’atmosfera a velocità superiore a quella della luce. Quando vengono assorbiti nell’alta atmosfera, i raggi gamma provenienti dallo spazio danno origine infatti a sciami di particelle secondarie in grado di produrre questo segnale, che è l’analogo ottico del bang supersonico per le

Fig. 6.a - Il telescopio MAGIC, un rivelatore per raggi gamma da terra. Fig. 6.b - Il satellite GLAST, un rivelatore per raggi gamma in orbita.


onde sonore (Fig. 7.a). Il lampo Čerenkov viaggia verso terra nella direzione dello sciame e, benché di debole intensità, può essere rivelato da opportuni telescopi, detti IACT (Imaging Air Čerenkov Telescopes). Tra gli esperimenti attualmente in funzione che sfruttano tale tecnica spiccano le colla-borazioni MAGIC, HESS, CANGAROO e VERITAS (i cosiddetti “Big Four”, Fig. 7.b).

Fig. 7.a - Schema della formazione del segnale Čerenkov a partire da un raggio gamma.

Fig. 8.a - Un particolare dello specchio parabolico composto di MAGIC.

Fig. 7.b - “The Big Four”, i maggiori telescopi IACT attualmente in funzione.

Fig. 8.b - L’immagine del segnale di un raggio gamma ricostruita dalla camera MAGIC .

Il rivelatore MAGIC (Major Atmospheric Gamma Imaging Čerenkov telescope [4,5]), frutto di una collaborazione internazionale con partner principali in Italia, Germania e Spagna, si trova sull’isola di La Palma (Canarie) ed è attivo dal 2004. Con i suoi 17 metri di diametro è attualmente il telesco-pio dotato del più grande specchio al mondo. Tale superficie riflettente è costituita da quasi 1000 specchi quadrati di alluminio a curvatura variabile (Fig. 8.a) per ottenere un profilo parabolico (la tecnologia è stata sviluppata appositamente in Italia) e serve per raccogliere la luce Čerenkov prodotta dallo sciame e focalizzarla su una matrice di fotomoltiplicatori (camera) posta nel piano focale dello specchio. Il segnale così ottenuto, della durata di qualche nanosecondo appena, viene registrato ed analizzato, permettendo di ricostruire una “fotografia” che identifica il raggio gamma (o di altro tipo) all’origine dello sciame (Fig. 8.b). All’esperimento partecipa un gruppo udinese formato da cinque ricercatori e sette studenti di dottorato.


MAGIC ha anche un’altra notevole proprietà, legata alla leggerezza della struttura in fibra di carbonio e al sistema di controllo attivo degli specchi: è la sua velocità di posi-zionamento, che permette di puntare il telescopio verso un punto preciso del cielo in poche decine di secondi, osser-vando così anche fenomeni altamente variabili nel tempo e di breve durata. Per sfruttare al meglio tale caratteristica, MAGIC è in costante contatto con la rete di satelliti GCN, che comunica a terra in tempo reale l’arrivo di un GRB (Fig. 9). Ciò ha permesso nel 2005, per la prima volta al mondo, di osservare un GRB per circa 30 secondi simultaneamente al satellite con sufficiente sensibilità ad alta energia.Una possibilità ulteriore di osservare i raggi gamma da terra è la tecnica EAS (Extensive Air Shower), che rivela le particelle cariche degli sciami prodotti in atmosfera con rivelatori estesi posti in montagna ad alta quota: è il caso di esperimenti come ARGO [6] o MILAGRO [7] (Fig. 10.b). La tecnica EAS presenta una soglia in energia molto alta (circa 500 GeV), e risulta quindi di limitata utilità date le caratteristiche delle sorgenti gamma, a meno di non passare a dimensioni superiori (Fig. 10.a).

Fig. 9 - La rete GCN della NASA, che funge da sistema di allerta per l’arrivo dei GRB.

Fig. 10.a - Un confronto tra le tecniche di rivelazione di raggi gamma da terra.

Fig. 10.b - Un’immagine dei rivelatori gamma in Tibet (sopra) e di MILAGRO (sotto).

Se lo studio dei raggi gamma da terra sfrutta in vari modi gli sciami secondari prodotti nell’atmosfera, i rivelatori montati su satellite si basano su una diversa tecnologia, sviluppata negli scorsi decenni per gli esperimenti agli acceleratori: la conversione dei fotoni gamma di alta energia in coppie di elettroni e positroni viene indotta in sottili fogli di materiale assorbente (tungsteno o piombo) alter-nati a strati di materiale sensibile al passaggio delle cariche (scintillatore o silicio). Il piccolo sciame (generalmente una coppia elettrone-antielettrone con qualche particella elettromagnetica terziaria) così prodotto viene tracciato all’interno di un rivelatore compatto, che consente di ricostruire la direzione del raggio gamma incidente, quindi raccolto da un “calorimetro elettromagnetico” che permette di misurarne l’energia (Fig. 11.a).AGILE (Astrorivelatore Gamma a Immagini Leggero [8]) è un rivelatore al silicio per raggi gamma: una missione scientifica dell’ASI tutta italiana in collaborazione tra i gruppi IASF-Istituto Nazionale di Astrofisica (INAF) di Bologna, Milano e Roma e le sezioni dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN) di Roma e Trieste. Il lancio di questo piccolo satellite dovrebbe avvenire nella primavera del


2007 dal Satish Dhawan Space Centre in India. Le prestazioni e osservazioni di AGILE serviranno come importante banco di prova per le missioni successive, tra le quali GLAST [9,10] occupa un posto di prima importanza.

Fig. 11.a - Uno schema di AGILE, un innovativo rivelatore per raggi gamma. Fig. 11.b - L’integrazione di AGILE sul satel-lite che lo porterà in orbita.

L’osservatorio spaziale GLAST (Gamma ray Large Area Space Telescope, Fig. 12.a) nasce da una collaborazione tra Stati Uniti, Italia, Francia, Svezia e Giappone. Il satellite verrà messo in orbita dalla NASA alla fine del 2007; a bordo vi saranno due strumenti, il Large Area Telescope (LAT) ed il Gamma-ray Burst Monitor (GBM), che permetteranno di studiare i raggi gamma da un’energia di circa 10 KeV fino a oltre i 300 GeV, un valore mai raggiunto da altri rivelatori su satellite: per le sue caratteristiche innovative, la missione è destinata a fornire contributi fondamentali allo sviluppo dell’astronomia gamma. Per l’Italia partecipano i gruppi di Bari, Perugia, Padova, Pisa, Trieste e Udine, responsabili dello sviluppo e della costruzione del LAT e di parte del software (simulazione ed event display).

Fig. 12.a - Il satellite GLAST.

Gli obiettivi scientifici principali di GLAST sono:- la comprensione del meccanismo di accelerazione delle particelle nei nuclei galattici attivi (AGN),

nelle Pulsar e nel relitti di supernova (SNR): per questo, già nei primi due anni di osservazione GLAST osserverà più di 100 sorgenti extra-galattiche e migliaia di sorgenti galattiche;


- un’accurata mappatura del cielo nella banda dei raggi gamma, incluse le sorgenti non identificate e l’emissione diffusa dalla Via Lattea. Il LAT permetterà di localizzare sorgenti gamma non identificate in altre lunghezze d’onda con una precisione inferiore al minuto di grado;

- lo studio ad alta energia dei GRB e di altri fenomeni transienti: GLAST permetterà di rivelare circa 200 GRB all’anno con una localizzazione dell’ordine del minuto di grado e di studiare emissioni ritardate ad alta energia;

- l’indagine sulla natura della materia oscura, con la ricerca di possibili decadimenti di particelle esotiche nell’Universo primordiale e di processi di annichilazione di particelle di materia oscura nell’alone della Via Lattea.

Il cuore dello strumento è il LAT, formato da 16 torri di strip di silicio alternate a fogli di tungsteno per il tracciamento dei raggi gamma, seguite da un calorimetro in cristalli di ioduro di cesio per la misura dell’energia depositata dagli elettroni. L’intero rivelatore, schermato da una copertura di scintillatore per identificare e ridurre il fondo nel segnale dovuto a raggi cosmici di altro tipo, ha un peso di circa 3 tonnellate (Fig. 12.b).

L’università di Udine, assieme agli atenei di Padova, Pisa, Bari e Roma, partecipa attiva-mente sia alla collaborazione MAGIC che a GLAST. Il gruppo di astrofisica gamma di Udine si occupa specificamente della parte informatica di GLAST, ma va anche ricordato che gran parte di questo satellite, basato su dispositivi rivelatori a semiconduttore, è costruita da un’industria friulana di Cormons. Il gruppo è inoltre responsabile dell’acquisizione dei dati provenienti da MAGIC, e un fisico di Udine (Alessandro De Angelis) è responsabile scientifico dell’esperimento.

L’astrofisica gamma è una scienza in esplo-sione: negli ultimi cinque anni il numero di sorgenti di altissima energia (oltre i 100 GeV) è più che decuplicata, e in una mappa celeste cominciano a disegnarsi il piano galattico e gli emettitori extragalattici (Fig. 13). Recente-mente sono state scoperte anche nuove classi di emettitori gamma, come le binarie perio-diche [11].Le collaborazioni HESS e MAGIC hanno inoltre rivelato una spettacolare emissione di fotoni gamma di altissima energia dalle vicinanze del buco nero nel centro galattico. Non si può escludere che questo segnale sia la prima evidenza di annichilazione di materia oscura, anche se questa regione è ricca di emettitori gamma di natura astrofisica, che potrebbero generare fotoni gamma con le stesse caratteristiche di quelli osservati. La massa della particella che potrebbe spiegare un segnale come quello osservato è dell’ordine della decina di TeV, più alto di quello pre-ferito dai modelli attuali (Fig. 14).

Fig. 12.b - Una rappresentazione schematica del rivelatore LAT.

Fig. 13 - Una mappa delle sorgenti gamma.


Inoltre altre galassie vicine, per le quali il moto delle stelle sembra incompatibile con la distribuzione della materia visibile, sono state studiate da MAGIC; la misura è difficile in quanto richiede di accu-mulare molti dati a causa dell’attenuazione del segnale con la distanza. I primi risultati sulla galassia nana sferoidale Draco, satellite della Via Lattea, non rivelano segnali, mentre una presa dati lunga e accurata è in corso sulla radiogalassia M87, un ottimo candidato a causa di anomalie gravitazionali ivi osservate.

Le misure descritte in precedenza sono abbastanza “dirette”, in quanto evidenziano i prodotti secondari dell’annichilazione delle particelle di materia oscura. I telescopi gamma consentono anche una misura indipendente, seppure indiretta, della quantità di materia oscura, e anche dell’ancora più misteriosa “energia oscura” che controlla l’evoluzione dell’Universo governandone l’espansione. Tale misura si basa sul fatto che fotoni gamma provenienti da regioni lontanissime, come quelli che arrivano dai collassi gravitazionali nei nuclei delle galassie, viaggiano per centinaia di milioni di anni in uno spazio che si deforma; tale deformazione, misurabile dalle caratteristiche della diffusione dei fotoni, è legata alla densità di materia e di energia dell’Universo.

I prossimi anni saranno cruciali per l’a-strofisica gamma, che promette di essere la chiave per scoperte fondamentali nel prossimo decennio. Un secondo telescopio MAGIC è in costruzione a circa 80 m di distanza dal primo per consentire una visione stereosco-pica; l’INFN e le università italiane consor-ziate sono responsabili dell’ottica (per la quale verrà usata una tecnologia ancora più avan-zata rispetto a quella del primo telescopio, sempre legata all’industria italiana, e che si giova di un importante contributo da parte dell’INAF) e di parte dell’elettronica e del sistema di acquisizione e trattamento in linea dei dati. Questo secondo telescopio, chiamato MAGIC2 (Fig. 15), raddoppierà la sensibilità e migliorerà la precisione di imaging fino

Fig. 14 - A sinistra l’immagine gamma del Centro della Galassia (GC) ripresa da MAGIC; è visibile la regione del buco nero. A destra lo spettro di energia dei fotoni rivelati da MAGIC e HESS, confrontato con un’ipotesi di WIMP supersimmetrica di massa 14 TeV.

Fig. 15 - Il telescopio MAGIC è sullo sfondo, e in primo piano il suo gemello in costruzione.


a consentire di risolvere particolari all’interno degli emettitori gamma galattici. È particolarmente urgente che il finanziamento di questo telescopio, il cui progetto è già stato approvato, sia presto completato, per terminare la costruzione entro il 2007 e potersi giovare della sinergia con GLAST.

In seguito le collaborazioni MAGIC e HESS si uniranno per costruire due gigantesche matrici di telescopi, chiamate Cerenkov Telescope Array (CTA), la cui sensibilità dovrebbe superare di oltre un ordine di grandezza quella di MAGIC e di HESS. Per questa nuova impresa la tecnologia scelta, simile a quella utilizzata attualmente, verrà replicata su decine di strumenti in due siti, uno per emisfero. L’Italia ha già avuto, con le componenti legate all’INFN e all’INAF, la responsabilità dell’ottica per questo progetto. C’è speranza tuttavia di introdurre anche nuove tecnologie che potrebbero cambiare il concetto stesso di telescopio utilizzando ottiche di Fresnel in trasmissione per concentrare la luce: ancora una volta l’Italia è all’avanguardia nelle ricerche in questo campo, e il gruppo di astrofisica di Udine svolge un contributo rilevante al data processing e alla stesura della proposta, con Massimo Persic come coordinatore scientifico.Negli anni successivi al 2010÷2015 le informazioni raccolte dai telescopi gamma potrebbero aprire la strada ai grandi rivelatori di neutrini cosmici (ICECUBE al polo sud [12] e un rivelatore marino in costruzione nel mediterraneo) e di onde gravitazionali (il sistema di satelliti NASA chiamato LISA [13]).

Bibliografia:[1] Rossi B. (1971) “I raggi cosmici”, Einaudi, Torino.[2] NASA, “Imagine the Universe: Gamma Rays”, http://imaginingsfc.nasa.gov/[3] Aharonian F. (2006) “The Very-High-Energy Gamma-Ray Sky”, Science 315, 70.[4] De Angelis A. e Peruzzo L. (2007). “Le magie del telescopio MAGIC”, Le Scienze, pp. 64-73.[5] Sito MAGIC: http://magic.fisica.uniud.it[6] Sito ARGO: http://argo.na.infn.it/[7] Sito MILAGRO: http://www.lanl.gov/milagro/[8] Sito AGILE: http://agile.rm.iasf.cnr.it/[9] Sito GLAST: http://glast.gsfc.nasa.gov/ (con una bella brochure scientifica)[10] Sito GLAST Italia: http://glast.pi.infn.it/ (con una buona sezione di outreach)[11] Albert J. et al. (2006) (The MAGIC Collaboration), Science 312, p. 1771.[12] Sito IceCube: http://icecube.wisc.edu/[13] Sito LISA: http://lisa.nasa.gov/

ASTROFISICA GAMMA E FUTURO DELL’UNIVERSO1

Valeria ScapinDipartimento di Fisica, Università di Udine

Una delle scoperte scientifiche più importanti e esaltanti del XX secolo, è che l’Universo si sta espan-dendo.La legge di Hubble afferma che le galassie si allontanano tra loro con una velocità che è proporzio-nale alla loro distanza.Il fatto che lo spazio in cui viviamo si stia espandendo ha portato alla formulazione della teoria del big bang. Chi non ha mai sentitio parlare di questa teoria, secondo la quale l’Universo alla sua origine avrebbe dovuto occupare un volume piccolissimo e dalla quale è possible calcolare l’età dell’Universo?Estrapolando infatti indietro nel tempo l’espansione è infatti possible risalire a quando tempo fa sarebbe iniziata e dare all’Universo un’età che risulta essere pari a circa 14 miliardi di anni.Pensando al principio dell’Universo viene spontaneo porsi una domanda anche sul suo destino: l’Uni-verso si espanderà all’infinito oppure prima o poi inizierà una progressiva contrazione?La risposta a questa domanda dipende dall’attrazione gravitazionale esercitata dalla materia presente, e quindi dal contenuto totale di materia dell’Universo.Per fare un bilancio di tale materia è necessario riuscire a studiare le regioni più lontane, nel tempo e nello spazio, capire cos’è successo relativamente vicino al big bang.Nell’espansione dello spazio molti processi fisici avrebbero cambiato la struttura della realtà.In particolare l’Universo, compiendo lavoro a spese della propria energia interna, deve essersi raf-freddato.All’origine sarebbe stato molto più caldo, realizzando transizioni che oggi non riusciamo a ritrovare neppure nel centro delle stelle o nei grandi acceleratori di particelle o nei più avveniristici prototipi di generatori di energia nucleare.

(1) Completamento di Alessandro De Angelis, Dipartimento di Fisica, Università di Udine

Fig. 1. Spettro elettromagnetico e corrispondente finestra osservativa per varie tipologie di rivelatori. La linea continua nello schema inferiore indica l’altezza alla quale ogni classe di rivelatori può ricevere metà della radiazione totale prodotta per una particolare lunghezza d’onda.


Per indagare l’Universo in queste estreme ”condizioni estreme” dobbiamo osservare gli oggetti astro-fisici e le particelle delle regioni a noi più lontane. Dallo studio del moto delle galassie lontane viene la provo dell’esitenza di oggetti e forme di material dominanti rispetto a quelli già conosciuti. Natu-rale è chiedersi quali e quanti nuovi oggetti potranno essere scoperti.Gli strumenti più avveniristici per tale studio sono i telescopi gamma, in grado di “vedere” le sor-genti più energetiche dell’Universo.I telescopi gamma vanno ad osservare i raggi gamma, quanti di luce di altissima energia.Pur essendo noti i meccanismi con i cui i raggi gamma, una volta prodotti, interagiscono con la mate-rial, poco noti risultano i processi che permettono di accelerarli fino alle alte energie con cui ven-gono osservati.La sfida dell’astronomia gamma è quella di osservare e studiare in dettaglio l’emissione di raggi gamma prodotti da sorgenti astrofisiche come resti di supernovae, nuclei galattici attivi e gamma ray bursts (lampi di raggi gamma). Quello dei gamma ray burst è un fenomeno spettacolare e altamente energetico: circa una volta al giorno da qualche parte nel nostro Universo un lampo di raggi gamma ad altissime energie si accende per un breve intervallo di tempo (possono durare da pochi decimi di secondo a minuti). Un gamma ray burst è in grado di rilasciare in questo breve tempo una quantità di energia comparabile con quella dell’Universo intero!L’osservazione dei raggi gamma di alta energia richiede l’utilizzo di tecnologie molto complicate e avanzate, in quanto l’atmosfera funge da assorbitore per questa radiazione.I raggi gamma possono essere rivelati in maniera diretta da rivelatori posti su satellite o in maniera indiretta dai telescopi Cherenkov, che studiano la luce Cherenkov emessa dagli sciami atmosferici indotti dai gamma.

Il sistema di telescopi a raggi gamma Magic (Major Atmospheric Gamma Imaging Cherenkov) ha la più grande superficie riflettente al mondo costituita da due parabole di 17 metri di diametro e 240 metri quadrati di superficie ciascuna. Magic è una collaborazione internazionale di 150 scienziati pro-venienti principalmente da Germania, Italia e Spagna. Per l’Italia collaborano l’Istituto nazionale di fisica nucleare (Infn), l’Istituto nazionale di astrofisica (Inaf) e le Università di Padova, Siena e Udine.

Fig 2. I due telescopi MAGIC sull’isola de La Palma, nelle Canarie.


Magic studia, in particolare, l’origine dei raggi cosmici, la formazione degli oggetti più antichi dell’u-niverso, la materia oscura e la geometria spazio-temporale del cosmo. Le osservazioni compiute finora hanno portato alla scoperta di una ventina di nuove sorgenti di altissima energia e allo studio delle proprietà del buco nero al centro della nostra galassia.

Il telescopio a raggi gamma Glast, ribattezzato Fermi in onore del premio Nobel italiano, per un sesto è stato costruito dall’industria friulana. Il progetto è frutto di una collaborazione fra astrofi-sici e fisici delle particelle sviluppata dalla Nasa e dal dipartimento dell’Energia americano, con il contributo di istituzioni accademiche in Italia, Francia, Giappone, Germania e Svezia. Per il nostro Paese collaborano a Fermi, oltre a Udine, le sedi universitarie e dell’Infn di Bari, Padova, Perugia, Pisa, Roma e Trieste.Grazie alle rilevazioni compiute con questo telescopio è possibile disegnare la mappa dell’universo in una regione ad altissima energia, una regione finora sconosciuta in cui si ritiene possano trovarsi nuovi oggetti che potrebbero cambiare la nostra visione della natura. Glast è stato lanciato in orbita nel giugno 2007 dalla base Nasa di Cape Canaveral in Florida. Gira attorno alla Terra a una altezza media di 565 chilometri e compie un’orbita in 95 minuti.

Ora che son completamente operativi telescopi Cherenkov a terra e telescopi gamma su satellite si è aperta un’emozionante era per l’astrofisica gamma. Una osservazione congiunta da parte di questi telescopi permette di osservare I fenomeni astrofisici di più alta energia in un’ampia banda elettro-magnetica e di poter apportare fondamentali contributi in settori scientifici quali l’astrofisica delle alte energie, la fisica delle particelle e la cosmologia.

Fig 3. Rappresentazione grafica del telescopio Fermi.


Fig 4. La mappa del “cielo gamma” vista da Fermi. L’immagine è una trasposizione grafica realizzata al computer, in quanto i segnali gamma sono esterni alla regione visibile.

LHC E L’ESPERIMENTO ATLAS: ALLE ORIGINI DELLA MATERIA

Marina CobalDipartimento di Fisica, Università di Udine

IntroduzioneOgni singolo elemento nell’Universo è composto da un certo numero di costituenti fondamentali, i cosiddetti “mattoni” della materia: alcune di queste particelle sono scomparse miliardesimi di secondo dopo il Big Bang, altre sono presenti a tutt’oggi e formano la materia che ci circonda. La fisica delle particelle è un settore che studia questi costituenti fondamentali ed il modo in cui interagiscono per formare l’Universo come lo conosciamo.La parola atomo viene dal greco, e significa “indivisibile”. Oggi però sappiamo che un atomo, sep-pur estremamente piccolo (si possono allineare 10.0000 atomi sulla lunghezza di un capello!) è fatto di elettroni, protoni e neutroni. Neutroni e protoni -che costituiscono il nucleo dell’atomo -hanno circa lo stesso peso. L’elettrone è molto più piccolo: la proporzione fra il nucleo e l’elettrone è la stessa di una biglia posta al centro di un campo di calcio. In termini di peso, se un elettrone pesasse quanto una monetina da 5 centesimi di euro, un protone peserebbe quasi quanto 4 litri di latte! La fisica delle particelle va a studiare ciò di cui è formato un atomo: le ricerche in fisica delle particelle degli ultimi decenni hanno permesso di avere un quadro molto semplice e soddisfacente dei costi-tuenti elementari: il cosiddetto Modello Standard. Secondo il Modello Standard i “mattoni” di tutto l’Universo sono dodici, raggruppati in tre famiglie. Ogni famiglia contiene due quark e due leptoni, come mostrato in Fig. 1. L’elettrone è uno dei costituenti elementari. Protoni e neutroni non lo sono invece, ma sono a loro volta formati da quark.

I leptoni sono di sei diversi tipi: l’elettrone (e), il neutrino-elettrone, il muone (mu), il neutrino muone, il tau ed il neutrino-tau. L’elettrone, il muone, e il tau hanno tutti carica elettrica negativa (-1), e sem-brano differire l’uno dall’altro solo per avere masse diverse. Se esprimiamo le masse in rapporto alla massa del protone, otteniamo che l’elettrone è 1836 volte più leggero, il muone è 9 volte più leggero e il tau è quasi 2 volte più pesante del protone. Ad ogni particella e, mu e tau è associata una parti-cella detta neutrino che non trasporta alcuna carica elettrica. La massa dei neutrini è molto piccola: sono le particelle più leggere del Modello Standard. I leptoni più pesanti, i mu ed i tau, si trasfor-mano velocemente (“decadono”) in leptoni più leggeri. I fisici hanno osservato molti di questi deca-dimenti ed hanno scoperto che le regole secondo le quali queste particelle decadono possono essere spiegate se si dividono i leptoni in tre famiglie o generazioni: l’elettrone ed il suo neutrino, il muone ed il suo neutrino, il tau ed il suo neutrino. Nel processo di trasformazione di un leptone, il numero dei membri di ogni famiglia prima e dopo la trasformazione deve restare costante. Lo schema dei quark è molto simile a quello dei leptoni. Anche i quark si presentano in sei diverse varietà: up (u), down (d), strange (s), charm (c), bottom (b), e top (t), in ordine di massa crescente. Ponendo uguale ad uno la carica di un elettrone, i quark up, charm e top hanno una carica di -2/3, mentre i quark down, strange e bottom hanno una carica di 1/3. Anche i quark si presentano in tre famiglie organiz-

Fig. 1. I 12 costituenti elementari della materia secondo il Modello Standard. Ogni riga rappresenta una famiglia.


zate per massa crescente. Posta uguale ad 1 la massa del protone, il quark up ha massa pari a circa 1/235, il quark down 1/135, il quark strange 1/6, il quark charm 1,6, il quark bottom 5,2 e il quark top 170. Ad ogni “mattone” della materia, nel Modello Standard è associata una corrispondente anti-particella, che costituisce uno dei mattoni dell’antimateria. Una antiparticella è caratterizzata dalla stessa massa della particella corrispondente, ma da numeri quantici, come carica elettrica o numero barionico, ecc. opposti. Ad esempio, il positrone, antiparticella dell’elettrone, ha la sua stessa massa, ma carica elettrica opposta. Alcune particelle, come il fotone, hanno carica elettrica ed altri numeri quantici tutti nulli. In questi casi, particella ed antiparticella coincidono. Ciò non è vero per tutte le particelle elettricamente neutre. Così l’antineutrone ed il neutrone sono particelle diverse poiché hanno numero barionico diverso da zero.Particelle ed anti-particelle interagiscono tra di loro mediante delle forze. Il Modello Standard descrive tre forze fondamentali: la forza nucleare forte, che tiene insieme i quark all’interno di protoni e neu-troni, ed anche gli stessi protoni e neutroni all’interno del nucleo; la forza debole, responsabile dei decadimenti radioattivi ed alla base della fusione nucleare che fa splendere le stelle; la forza elet-tromagnetica, che tiene gli elettroni legati al nucleo nell’atomo ed è responsabile dei fenomeni elet-trici e magnetici. Le forze che agiscono fra i costituenti della materia si manifestano attraverso lo scambio di altre particelle, chiamate bosoni mediatori che vengono assorbite o omesse dalle parti-celle interagenti. Ad esempio, la forza elettromagnetica è il risultato del continuo scambio di fotoni, quella debole avviene attraverso lo scambio di bosoni chiamati W e Z, mentre la forza forte è mediata dai gluoni. Nel Modello Standard queste tre forze sono unificate e descritte sulla base di relazioni di simmetria. C’è un’altra forza fondamentale che però non si riesce a descrivere all’interno del for-malismo fisico matematico del Modello Standard: la forza di gravità, per la quale - a differenza delle altre tre forze - non è stata ancora verificata sperimentalmente l’esistenza di una particella mediatrice (gravitone). L’intensità relativa delle quattro forze fondamentali della natura può essere espressa in rapporto all’intensità della forza forte. Se poniamo l’intensità della forza forte uguale a 1, l’intensità della forza elettromagnetica, è circa un centesimo, l’intensità della forza debole è pari a 10-13 (dob-biamo immaginare di ridurre la forza forte di un milione di volte poi ancora di un milione di volte e poi ancora di dieci volte). L’intensità della gravità è 1038 volte minore della interazione elettroma-gnetica. Questo vuole dire che l’interazione forte è cento miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di volte più intensa della gravità. Uno dei principali scopi della moderna fisica delle particelle è pro-prio capire come descrivere in un solo modello teorico queste quattro interazioni fondamentali.Il Modello Standard ipotizza anche l’esistenza di particelle non ancora osservate direttamente, come il bosone di Higgs. La ricerca di questa particella è cruciale per la fisica moderna. Ad oggi, infatti, non sappiamo perché le particelle possiedono la fondamentale caratteristica che chiamiamo “massa” e che cosa ci sia all’origine della massa. Più di 40 anni fa, Peter Higgs, un fisico scozzese, ha propo-sto un meccanismo per spiegare il mistero dell’origine della massa delle particelle. Higgs ha ipotiz-zato che il vuoto contenga un onnipresente campo di forza che può “frenare” alcune particelle ele-mentari, come la gelatina balistica frena un proiettile. Rallentare una particella significa farle acqui-sire una massa: questo campo di forza è generato da una particella che non è stata ancora osservata: il bosone di Higgs.Il Modello Standard, pur essendo stato confermato nelle sue previsioni da tutti gli esperimenti effet-tuati sino ad oggi, non è una teoria completa. Come già accennato, non include la forza di gravità ed inoltre lascia ancora molte domande senza risposta tra le quali: come era fatta la materia nei primi secondi di vita dell’Universo? Perchè i costituenti fondamentali della materia sono dodici? E que-sti sono davvero fondamentali, o anch’essi sono composti da qualcosa di ancor più piccolo? Perchè viviamo in un mondo di materia e non di anti-materia?

Gli acceleratoriPer guardare all’interno del mondo sub-nucleare, caratterizzato da dimensioni infinitesime, e cer-care di rispondere alle domande formulate poco prima, ed a molte altre, non sono sufficienti né i microscopi ottici, né i più moderni microscopi elettronici ma si utilizzano gli acceleratori di parti-


celle. Questi, permettono di studiare i costituenti fondamentali della materia, milioni di milioni di volte più piccoli delle strutture che possono essere studiate dai microscopi. I più potenti accelera-tori esistenti sono i cosiddetti “collisori”. All’interno della loro struttura ad anello le particelle, tipi-camente elettroni o protoni, vengono accelerate grazie a campi elettromagnetici, fino a raggiungere elevatissime energie. Le particelle viaggiano in due fasci che si muovono lungo l’anello in direzioni opposte, e vengono quindi fatti scontrare in punti prestabiliti, dove sono installati gli esperimenti che si occupano di studiare il prodotto delle collisioni. Nelle collisioni, l’energia delle particelle si trasforma in materia (si ricordi E=mc2) e come conseguenza vengono generate particelle già note oppure non ancora scoperte.I rivelatori di particelle, costruiti intorno al punto dove avvengono le collisioni, permettono di identifi-care e studiare le proprietà delle particelle prodotte negli urti, attraverso le interazioni di dette particelle con il materiale del quale è costituito il rivelatore, e ricercando la presenza di nuovi tipi di particelle.

LHCIl Large Hadron Collider (LHC), raffigurato in Fig. 2 e 3 (a sinistra), è l’acceleratore di particelle più grande e potente finora realizzato, costruito al laboratorio CERN di Ginevra, in Svizzera. Potrà accelerare protoni e ioni pesanti fino al 99,9999991% della velocità della luce e farli successivamente scontrare, raggiungendo un’energia nel centro di massa pari a 14 TeV (Teraelettronvolt). Simili livelli di energia non sono mai stati raggiunti fino ad ora in laboratorio. LHC è costruito all’interno di un tunnel sotterraneo, lungo 27 km, alla profondità di circa 100 m, al confine tra la Francia e la Sviz-zera. Ad ogni secondo, verranno prodotti 800 milioni di collisioni protone-protone, e ad ogni colli-sione migliaia di particelle saranno viste nei rivelatori. Il flusso di informazioni sarà allora compa-rabile con quello del traffico telefonico generato dalla popolazione mondiale.La produzione delle particelle più interessanti, come la particella di Higgs, è molto rara. Si prevede

che ne sarà prodotta non più di una al giorno. L’LHC funzionerà grazie alla superconduttività con più di 1200 dipoli magnetici superconduttori utilizzati per guidare il fascio, e tenuti alla incredibile temperatura di -272 °C. Gigantesche caverne sono state scavate per ospitare i quattro esperimenti di LHC: ATLAS, CMS, ALICE e LHCb. I fasci di protoni verranno fatti collidere al centro di que-sti quattro esperimenti.Scoprire il bosone di Higgs è uno degli scopi principali di LHC ed, in particolare, dei due esperi-menti ATLAS (A Toroidal LHC ApparatuS, Fig. 2 e Fig. 3 a destra) e CMS (Compact Muon Sole-noid). Questa particella è stata già cercata in altri esperimenti precedenti, ad acceleratori meno potenti di LHC, ma nessuno è ancora riuscito ad osservarla. Il Modello Standard non fissa il valore della

Fig. 2. Schema dell’acceleratore LHC con i quattro esperimenti (a sinistra). Esperimento ATLAS (a destra).


massa del bosone di Higgs, ma indica per essa soltanto un intervallo piuttosto ampio di valori possi-bili. Gli esperimenti finora effettuati, pur consentendo di stabilire che essa deve avere un valore con-tenuto tra poco più di 100 GeV/c2 e 1.000 GeV/c2, non hanno esplorato questo intervallo di valori nella sua totalità. L’acceleratore LHC e gli esperimenti ATLAS e CMS sono stati progettati e realiz-zati in modo da garantire che l’Higgs possa essere scoperto ovunque sia posizionata la sua massa in tale intervallo. E nel caso in cui non venisse scoperto, i fisici dovrebbero sviluppare una teoria com-pletamente nuova per spiegare l’origine delle masse delle particelle. Avere due esperimenti, proget-tati indipendentemente e capaci di effettuare le stesse misure, è di cruciale importanza per una reci-proca conferma dei risultati ottenuti. Questo è ancora più importante nel caso delle altre nuove sco-perte che si attendono a LHC. L’Italia, grazie all’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN) che finanzia questa ricerca, partecipa ad entrambi gli esperimenti con due grossi gruppi di circa 200 ricer-catori e ha dato un contributo molto rilevante sia nella progettazione degli apparati sperimentali che nell’assunzione di responsabilità per la loro costruzione, coinvolgendo l’industria nazionale nelle fasi di disegno e di realizzazione.Qui di seguito ci occuperemo di ATLAS, in quanto il gruppo di ricerca di Udine, è coinvolto da molti anni in questo esperimento.

ATLASLa collaborazione ATLAS è formata da 2900 scienziati (che includono 1000 studenti) da 172 diversi istituti o laboratori di 37 paesi. Tutti i moderni apparati sperimentali operanti presso collisionatori di particelle sono costituiti da strati di sotto-rivelatori, ciascuno specializzato per rivelare un parti-colare tipo di particella o una sua particolare proprietà, ed ATLAS non fa eccezione. I principali tipi di sotto-rivelatori utilizzati sono i rivelatori di tracce (o tracciatori), che “vedono” il percorso delle particelle cariche, i calorimetri, che misurano l’energia delle particelle, e i rivelatori per l’identifica-zione del tipo di particella. Altre componenti molto importanti, che costituiscono parti fondamentali di questo tipo di apparati, sono i magneti. Le particelle cariche che attraversano un campo magne-tico assumono una traiettoria curva, e dalla curvatura si può risalire all’impulso (il prodotto di massa e velocità) della particella e alla sua carica elettrica.ATLAS (schematizzato in Fig. 4) è caratterizzato dal suo enorme sistema magnetico. Esso consiste di otto avvolgimenti di cavo superconduttore a forma rettangolare, percorsi da elevate correnti, lunghi ben 25 m, alti circa 5 m e sistemati a raggiera attorno alla linea dei fasci. Al loro interno si genera un campo magnetico toroidale (così detto perché il volume magnetizzato ha la forma di un anello cilin-drico), nel quale sono disposti rivelatori in grado di “tracciare” le particelle. L’assenza di ferro che eli-mina il limite dovuto allo scattering multiplo (piccole deviazioni, dovute all’interazione con la mate-ria, che perturbano la traiettoria “ideale” delle particelle) e la grande estensione del campo magnetico

Fig. 3. Foto di una sezione dell’acceleratore LHC (a sinistra) e dell’esperimento ATLAS (a destra).


consentono una misura dell’impulso con ottima precisione. Altri due magneti toroidali forniscono in ATLAS il campo magnetico necessario alla misura delle particelle prodotte con un angolo piccolo rispetto alla linea dei fasci collidenti. Per la misura dell’impulso delle particelle cariche nel traccia-tore interno è utilizzato un solenoide superconduttore che fornisce un campo magnetico di intensità pari a 2 Tesla: un valore 50.000 volte più intenso del campo magnetico terrestre.ATLAS ha sviluppato un calorimetro elettromagnetico ad Argon liquido e piombo di nuova conce-zione, con una geometria a “fisarmonica” che consente una buona uniformità e risoluzione spaziale.

Esso individua, cioè, con buona precisione il punto di impatto del fotone o dell’elettrone sul calorime-tro. La soluzione adottata per la misura di energia delle particelle sensibili alle interazioni forti, come protoni e pioni, nel settore centrale (la cosiddetta calorimetria adronica) è l’utilizzo di un calorime-tro a lastre di scintillatore formate da un materiale plastico che emette luce se attraversato da parti-celle cariche, ed alternate ad assorbitori che inducono la produzione a valanga delle particelle secon-darie, tanto più abbondante quanto maggiore è l’energia della particella iniziale. Anche per il trac-ciatore interno sono state scelte soluzioni molto simili: strati sovrapposti di rivelatori al silicio, con una suddivisione estremamente elevata (80 milioni di celle solo per il rivelatore a pixel di ATLAS), per permettere la misura di precisione dell’impulso delle particelle cariche e misurare i vertici secon-dari, ossia determinare dove avvengono i decadimenti delle particelle a vita media lunga (dell’ordine del millesimo di miliardesimo di secondo!), come lo sono ad esempio alcune particelle contenenti il quark b (b come beauty, uno dei sei tipi di quark). Il tracciatore interno di ATLAS contiene inoltre un rivelatore a gas, il cosiddetto Transition Radiation Tracker, che ha la capacità di identificare gli elettroni mediante i raggi X, che solo essi generano in questo rivelatore.Un complesso sistema di computer è stato installato per gestire le grandi quantità di dati create da ATLAS. Un sistema di trigger selezionerà 100 “eventi interessanti” ogni secondo. tra 1000 milioni di eventi. Un sistema di acquisizione di dati convoglierà questi dati dai rivelatori alla struttura di immagazzinamento e il sistema di computer analizzerà 1000 milioni di eventi registrati in un anno.

Fig. 4. L’esperimento ATLAS.


Dal 20 Novembre 2009 LHC ha cominciato a funzionare e fino al 16 Dicembre sono stati presi dati, fino ad una energia nel centro di massa di 2.36 TeV, che è la più alta mai raggiunta da un accelera-tore, seppure inferiore alla energia di 14 TeV che LHC deve raggiungere. In poche settimane sono state registrate dall’esperimento più di un milione di collisioni a 900 GeV e circa 50000 collisioni a 2.36 TeV (si veda uno degli eventi registrati in Fig. 5). Nel Febbraio 2010, dopo il periodo di chiu-sura invernale, la macchina tornerà a funzionare - ad una energia ancora più alta - e dovrebbero arri-vare i primi risultati interessanti.

Fig. 5. Display di una delle prime collisioni protone-protone a 2.36 TeV registrate dall’esperimento ATLAS.

Trovare il bosone di Higgs non è, però, l’unico scopo di ATLAS. Infatti, la fisica moderna aspira a descrivere le quattro forze come aspetti diversi di un’unica forza fondamentale (proprio come la forza elettrica e la forza magnetica sono aspetti diversi della forza elettromagnetica). Un passo molto importante verso una formulazione unificata e consistente è fornito dalla teoria chiamata supersim-metria, proposta negli anni 70, e dalla supergravità. Queste teorie prevedono una completa simme-tria fra bosoni e fermioni e l’esistenza di superpartners più pesanti delle particelle finora note. L’e-nergia raggiunta da LHC dovrebbe permetterne l’osservazione in esperimenti come ATLAS. La cre-scita dell’intensità delle interazioni gravitazionali con il quadrato della massa e quindi dell’energia rende difficile se non impossibile una teoria quanto-relativistica unificata e consistente di particelle puntiformi. Negli ultimi anni si è quindi fatta strada l’idea che i costituenti fondamentali della mate-ria siano piuttosto oggetti unidimensionali ossia stringhe molto più piccole dei quark e dei leptoni oggi noti, con dimensioni cioè dell’ordine della scala di Planck (circa 1.6 x10-35 metri). Le teorie di stringhe permettono di unificare la gravità con le altre interazioni in uno schema elegante e consi-stente. Le eccitazioni prive di massa di una stringa chiusa si comportano infatti come il gravitone mentre le eccitazioni prive di massa di una stringa aperta si comportano come il fotone, i gluoni o gli altri bosoni vettori del Modello Standard. Queste teorie si basano sul concetto che oltre alle quat-tro dimensioni note del mondo macroscopico (tre spaziali e una temporale), possano esistere altre dimensioni, confinate su scale sub microscopiche e quindi non ancora osservate sperimentalmente.


L’esperimento ATLAS ha la possibilità di far luce sulla validità o meno di queste teorie per esem-pio ricercando, tra i prodotti delle collisioni tra protoni, sia le particelle supersimmetriche che tutte le altre particelle previste nei modelli di stringhe a N-dimensioni.Fino alla prima metà del 1900 si credeva che la quasi totalità della massa dell’Universo risiedesse nelle stelle; oggi invece sappiamo che queste costituiscono soltanto una percentuale irrisoria della materia cosmica (circa il 4%). La restante parte della massa dell’Universo non è visibile (cioè non emette radiazione elettromagnetica) e a tale massa mancante si dà appunto il nome di Materia Oscura. La natura della Materia Oscura è ancora sconosciuta. Essa può avere varie componenti: una di tipo barionico (materia “ordinaria”, cioè fatta da atomi) e una, più “esotica”, di tipo non barionico. Una ipotesi affascinante è la possibilità che la Materia Oscura sia composta da particelle elementari come il neutralino, previsto dalle teorie supersimmetriche. Oltre alla Materia Oscura, si ipotizza che esi-sta una particolare forma di energia (nota come Energia Oscura), la quale, secondo il principio di equivalenza di Einstein (E = mc2), è in grado di dar conto della maggior parte della massa dell’Uni-verso (circa il 70%). La particolarità dell’Energia Oscura è che essa agisce come una gravità nega-tiva, ovvero tende a far espandere l’Universo e si contrappone alla decelerazione dovuta all’attra-zione gravitazionale della materia ordinaria e della materia oscura.

EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE: STABILITÀ ED EVOLUZIONE

Livio Clemente PiccininiDipartimento di Biologia Economia Agro-Industriale, Università di Udine

1. Equazioni alle differenze di tipo lineareDi solito una successione viene descritta esplicitamente dando una regola per il calcolo di un suo ter-mine generico, ma può venire anche descritta per ricorrenza nel modo seguente:

(1.1) an+1 = f (an),

dove ao è assegnato. È chiaro che, visto che si conosce il primo termine, è possibile calcolarne il secondo con la formula, e a questo punto conoscendo il secondo è possibile calcolarne il terzo con la formula, e così via. Tuttavia la complessità del calcolo aumenta proporzionalmente all’indice n, a differenza del caso a formula esplicita in cui la complessità del calcolo non dipende dal partico-lare indice.La (1.1) prende spesso il nome di equazione alle differenze. Risolverla significa giungere a una rap-presentazione esplicita del tipo an = g(n). Questo problema non è in generale affatto semplice; l’ec-cezione è costituita dalle equazioni lineari che vedremo tra poco. Va detto tuttavia che talvolta è pos-sibile ricavare informazioni sulla successione anche in mancanza di formule risolutive esplicite: si può ad esempio trovare il limite, si può stabilire la monotonia, si può stabilire il carattere di conver-genza nidificata.La (1.1) può assumere aspetti molto più generali, usando più valori iniziali, e ammettendo eventual-mente una dipendenza della funzione generatrice anche dall’indice, ottenendo

(1.2) an+k = f (n,an,an+1,…,an+k-1) a0, a1, …, ak-1 assegnati

La (1.2) prende il nome di equazione alle differenze di ordine k. Anche in questo caso risolverla signi-fica giungere a una rappresentazione esplicita del tipo an = g(n).

L’equazione alle differenze di ordine k lineare autonoma omogenea ha la seguente forma

(1.3) an+k = c0an + c1an+1 + … + ck-1an+k-1 a0, a1, …, ak-1 assegnati

Il caso più semplice di equazione alle differenze è dunque quello del primo ordine che individua la successione geometrica.

(1.4) a n+1 = k an, a0 assegnato.

La soluzione esplicita è data da an = kn a0: è sufficiente compiere la verifica diretta sostituendo nell’e-quazione.

In generale si dovrà osservare che anche la generica equazione lineare omogenea (1.3) possiede (pur di porre dati iniziali opportuni) soluzioni della forma xn, purché x sia una soluzione dell’equazione algebrica corrispondente (detta equazione caratteristica):

(1.5) xk = c0 + c1x + … ck-1xk-1

Infatti sostituendo nell’equazione alle differenze (1.3) an = xn si ottiene l’identità

xn+k = c0xn + c1x

n+1 + … + ck-1xn+k-1


che deve essere soddisfatta per ogni n. Dividendo per xn si ottiene per l’appunto l’equazione carat-teristica (1.5). Resta ora il problema di soddisfare le condizioni iniziali assegnate alla nostra suc-cessione.Supponiamo per il momento che l’equazione caratteristica abbia esattamente k radici (reali o com-plesse coniugate), che indichiamo con x1, x2, …, kk. Si osserva per prima cosa che le successioni otte-nute come combinazione lineare del tipo an = b1x2

n + … + bk xkn soddisfano ancora l’equazione alle

differenze. Questa è una proprietà caratteristica delle equazioni lineari omogenee. Per verificarlo è sufficiente osservare che valgono separatamente le identità.

x1n+k = c0x1

n + c1x1n+1 + … + ck-1x1

n+k-1

x2n+k = c0x2

n + c1x2n+1 + … + ck-1x1

n+k-1

… …

xkn+k = c0xk

n + c1xkn+1 + … + ck-1xk

n+k-1

moltiplicando ordinatamente ogni identità per bi e sommando si trova così che an = b1x1n + b2x2

n + bkxkn

è anch’essa soluzione dell’equazione (1.3). Una opportuna scelta delle costanti b1, b2, …, bk permette allora di trovare l’unica soluzione del problema che soddisfa i valori iniziali assegnati. Per determi-nare i valori delle costanti si può risolvere il sistema di equazioni lineari che ne deriva, anche se esi-stono metodi più semplici e più generali per risolvere questo problema (la trasformata Z, molto usata in elettrotecnica e in elettronica, oppure il calcolo operazionale).Il problema è risolubile a condizione che vi siano k incognite, tante cioè quante sono le condizioni iniziali che sono state assegnate. Questo si verifica solamente se le radici dell’equazione caratteri-stica sono tutte semplici. Vedremo tra poco come si risolve il problema nel caso in cui vi siano radici multiple.

ESEMPIO 1.1 (I numeri di Fibonacci)Una successione ha per termini iniziali 0 e 1. Ogni termine successivo è dato dalla somma dei due termini precedenti. Far vedere che la successione è monotona crescente (con questi dati iniziali), che non è limitata e trovarne la formula esplicita di rappresentazione.In realtà la formulazione originaria di Leonardo Fibonacci, padre dell’algebra italiana nel XIII secolo, aveva per termini iniziali 1 e 1, ma cominciando da 0 si semplificano i calcoli.I primi termini della successione sono 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 etc. e questa sequenza, osservata per la prima volta da Fibonacci, si ritrova molto spesso nella modellizzazione di fenomeni naturali. In questo caso la monotonia è ovvia in quanto i valori iniziali sono positivi e ogni termine è dato dal termine precedente cui si aggiunge un ulteriore termine positivo (il termine che precedeva di due posti). Si ha così la stretta monotonia. Poiché i termini sono tutti interi e vi è stretta monotonia, ne segue che la successione è (definitivamente) maggiore della successione n, e quindi per il teorema del confronto non è limitata.Veniamo ora al calcolo esplicito della soluzione. L’equazione caratteristica, che è di secondo grado,

è x2 = x + 1, per cui le due radici sono

q

. Scriviamo ora la combinazione lineare

b1x1n + b2x2

n e imponiamo che essa valga 0 per n = 0 e valga 1 per n=1. Queste condizioni ci portano a costruire un sistema di due equazioni nelle due incognite b1 e b2 e quindi ci permettono di risol-vere il problema. Si ha dunque


cioè da cui

da cui la soluzione finale, che può essere espressa in forma più compatta come

. Si osservi che nonostante la presenza di radicali il risultato è

intero per ogni n.

ESEMPIO 1.2Si scriva la soluzione dell’equazione alle differenze in cui ogni termine è la media dei due precedenti. Detti a e b i dati iniziali, si calcoli il limite della successione in dipendenza da a e da b.

L’equazione alle differenze è dunque , con dati iniziali ao= a, a1=b. L’equazione

caratteristica è 2x2 – x – 1 = 0, che ha le soluzioni x = 1, x = - ½.La soluzione avrà dunque la forma

Imponendo le condizioni iniziali si vede la dipendenza dai dati iniziali, ma risulta già evidente che il limite delle soluzioni vale b1.Si ottiene il sistema

che ha soluzione . Perciò la soluzione dell’equazione

alle differenze, in dipendenza dai dati iniziali, è

.

Si può notare che, contrariamente a quello che verrebbe da pensare, il valore limite non è la media dei primi due termini, ma si sposta verso il secondo termine.

Per la curiosità del lettore riportiamo la formulazione generale della soluzione.

TEOREMA 1.1 (Equazioni alle differenze lineari omogenee)La soluzione generale dell’equazione alle differenze lineare omogenea

(1.6) an+k = c0an + c1an+1 + … + ck-1an+k-1

è una combinazione lineare di k soluzioni indipendenti così ottenute: siano x1 di molteplicità r1, x2 di molteplicità r2,…, xh di molteplicità rh le soluzioni dell’equazione caratteristica. Le k successioni x1

n, nx1n, …, nr

1-1x1

n, …, xhn, nxh

n, …, nrh-1xh

n sono indipendenti e permettono di determinare in uno e un solo modo le k costanti della combinazione lineare corrispondente ai dati iniziali.


In particolare si può osservare che nel caso più frequente, che è quello del secondo ordine, l’unico caso che si può verificare è quello di una unica radice avente molteplicità due. Le soluzioni hanno allora la forma b1x

n+ b2n xn.

Può accadere che nell’equazione alle differenze lineare venga aggiunto un termine noto costante o dipendente da n. Essa assume allora la forma

(1.7) an+k = c0an + c1an+1 + … + ck-1an+k-1 + bn.

Un’equazione di questo tipo si dice equazione alle differenze lineare non omogenea. Le informazioni che si traggono dalla risoluzione della corrispondente equazione omogenea (1.6) rimangono ancora utili, vale infatti una delle proprietà fondamentali dei fenomeni lineari:

TEOREMA 1.2 (Equazioni alle differenze lineari non omogenee)Ogni soluzione della equazione non omogenea può essere decomposta in due parti

an = An + Bn

dove An è la soluzione generale dell’equazione omogenea, dipendente da k costanti, e Bn è una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, costruita in modo indipendente dai dati iniziali assegnati.

Dimostrazione: Si considerano due soluzioni diverse dell’equazione non omogenea, siano fn e gn. Vale allora

fn+k = c0 fn + c1 fn+1 + … + ck-1 fn+k-1 + bn.

gn+k = c0 gn + c1 gn+1 + … + ck-1 gn+k-1 + bn.

e quindi sottraendo membro a membro

( f - g)n+k = c0( f - g)n + c1( f - g)n+1 +… + ck-1( f- g)n+k-1

cioè la differenza tra due soluzioni qualsiasi dell’equazione non omogenea è una soluzione dell’e-quazione omogenea. Basta allora conoscere separatamente una soluzione particolare dell’equazione non omogenea e tutte le soluzioni (ovvero la soluzione generale) dell’equazione omogenea per poter rappresentare tutte le possibili soluzioni dell’equazione non omogenea.

QED

La ricerca di An ha sempre soluzione, pur di saper risolvere l’equazione caratteristica. In alcuni casi particolari è possibile trovare in modo esplicito anche la successione Bn, mentre in altri casi essa non può essere ricondotta a formule chiuse, ma è a sua volta ricondotta a formule ricorsive. Ci limititamo a due regole elementari che riportiamo senza dimostrazione.

TEOREMA 1.3 (Termini noti di forma speciale nelle equazioni alle differenze lineari)Se nell’equazione alle differenze lineare non omogenea (1.7) il termine noto è un polinomio di grado h, Ph(n), e 1 non è una soluzione dell’equazione caratteristica, allora esiste una soluzione partico-lare costituita da un opportuno polinomio di grado h. Se invece 1 è soluzione dell’equazione carat-teristica, allora il polinomio deve essere moltiplicato per np, dove p è la molteplicità della radice 1.Più in generale, se il termine noto è della forma Ph(n)an e a non è una soluzione dell’equazione caratteristica, allora esiste una soluzione particolare della forma Qh(n)an, mentre se a è una solu-zione dell’equazione caratteristica, allora la soluzione è della forma npQh(n)an dove p è la molte-plicità della radice a.


ESEMPIO 1.3 Determinare la formula della somma dei primi n numeri naturali. Determinare la formula della somma quadrati dei primi n numeri naturali.

La formalizzazione del problema è la seguente

(1.8) a n+1 = an + (n+1) a0=0

e rispettivamente

(1.9) b n+1 = bn + (n+1)2 b0=0

In tutti e due i casi l’equazione caratteristica è x = 1. Quindi risulta An = C. Per trovare Bn occorre cer-care nel primo caso un polinomio di grado 1 moltiplicato per n (in quanto 1 è radice dell’equazione caratteristica), e nel secondo caso un polinomio di grado 2 moltiplicato per n.Un polinomio di grado 1 ha la forma pn + q, quindi nel nostro caso dobbiamo prendere il polino-mio pn2 + qn e sostituirlo nell’equazione (1.8). Si ottiene p(n+1)2 + q(n+1) pn2 + qn + n + 1, che

svolgendo e semplificando diviene 2pn + p + q n + 1, da cui il sistema . Si ha dunque

che la soluzione generale dell’equazione non omogenea è data da an = C + n2/2 + n/2. Imponendo la condizione iniziale si trova C = 0, per cui si ritrova la formula ben nota

an = n(n+1)/2

Un polinomio di grado 2 ha la forma pn2 + qn + r, quindi nel nostro caso dobbiamo prendere il poli-

nomio pn3 + qn2 + rq e sostituirlo nell’equazione (1.9). Si ottiene

p(n+1)3 + q(n+1)2 + r(n+1) pn3 + qn2 + rn + n2 + 2n + 1, che svolgendo e semplificando diviene

3pn2 + 3pn + p + 2qn + q + r n2 + n+1, da cui il sistema .

Si ha dunque che la soluzione generale dell’equazione non omogenea è data da

bn = C + n3/3 + n2/2+ n/6. Imponendo la condizione iniziale si trova C = 0, per cui si ottiene la for-mula della somma dei primi n quadrati

(1.10)

ESEMPIO 1.4 Data la successione geometrica di ragione q {qk, k =1, 2 …} calcolare la somma dei primi n termini. Si supponga q diverso da 1.

Si deve risolvere il problema

a n+1 = an + q n+1 a0 = 0


Essendo per ipotesi q diverso da 1, la soluzione particolare va cercata nella forma Qh(n)qn con h = 0, quindi è della forma Q q

n. Sostituendo nell’equazione si trova l’identità

Qqn+1 = Qqn + qn+1

e quindi dividendo per qn si ottiene q Q = Q + q, da cui Q = q/(q-1). La soluzione generale è allora C + qn+1/(q-1). Imponendo la condizione iniziale si trova l’equazione C + q/(q-1) = 0, cioè C = q/(1-q). Ne risulta perciò la nota formula

(1.11) ,

che talvolta viene usata introducendo anche il termine di ordine 0, cioè una somma del tipo 1+q+…+q n,e quindi equivale a porre il dato iniziale eguale a 1:

(1.11)bis

Si osservi fin da ora che se |q| < 1 esiste il limite della successione ricorrente, mentre se q > 1 allora il limite esiste ma è infinito.Il fatto che questo modo di calcolare la somma di una serie geometrica sia più complicato di quello appreso a scuola non deve gettare cattiva luce sulla teoria delle equazioni alle differenze finite. Basta infatti considerare l’esempio seguente per capire la grande potenza del metodo

ESEMPIO 1.5 Data la successione geometrica di ragione q {qk, k =1, 2 …} calcolare la somma . Si sup-ponga q diverso da 1.

Si deve risolvere il problema

Sn+1 = Sn + (n+1)q n+1 S0 = 0

Essendo per ipotesi q diverso da 1, la soluzione particolare va cercata nella forma Qh(n)qn con h = 1, quindi è della forma (P+Qn)qn. Sostituendo nell’equazione si trova l’identità

[P + Q(n+1)]qn+1 (P+Qn)qn + (n+1)qn+1

che equivale alle due identità

(P+Q) qn+1 = P qn + qn+1

Q n qn+1 = Q n qn + n qn+1,

e quindi dividendo per qn la prima equazione e per nqn la seconda si ottiene il sistema

{(q-1)P + qQ = q

Q(q-1)= q

da cui , e quindi


. Imponendo ora la condizione iniziale si ricava la formula finale

Si osservi anche in questo caso che se |q| < 1 esiste il limite e risulta la formula classica

(1.12)

che può anche essere dimostrata direttamente usando la teoria delle serie di potenze.

La facilità (a parte eventuali questioni di calcolo algebrico) con cui abbiamo risolto i precedenti esempi non deve farci assolutamente credere che il problema di trovare formule esplicite per le somme par-ziali di una successione assegnata di termini sia di semplice soluzione. Esso non ammette in gene-rale alcuna formula risolutiva, e spesso lo stesso problema di stabilire se esiste finito il limite delle somme parziali è di difficile soluzione. Il problema viene affrontato nella teoria delle serie numeri-che, ma spesso risposte, almeno parziali al problema, giungono nei modi più inaspettati risolvendo problemi del tutto diversi.

ESERCIZI1.1 Sia 0 < p < 1. Si scriva la soluzione dell’equazione alle differenzea n+2 = (1-p) a n+1 + p an, avente dati iniziali 0 e 1. Si calcoli il limite al variare del parametro p.

1.2 Si scriva la soluzione dell’equazione alle differenze a n+2 = a n+1 - an con dati iniziali 0, 1.

1.3 Si scriva la soluzione dell’equazione alle differenze a n+2 = 2a n+1 - an con dati iniziali 1, p. Esi-ste qualche valore di p per cui il limite è finito?

1.4* Si calcoli la formula della somma dei primi n cubi dei numeri naturali.

1.5* Si dia una formula per calcolare esplicitamente .

1.6* Si dia una formula esplicita per il calcolo di . Si calcoli in particolare

1 + cos 1 + cos 2 + … cos n. Suggerimento: si usino i numeri complessi in forma trigonometrica e si applichi la formula della serie geometrica (1.11)bis.

2. Successioni per ricorrenza ed equazioni alle differenze non lineari.Fino a questo punto abbiamo visto semplici fenomeni di evoluzione lineare. Questo paragrafo affronta un argomento che in generale risulta di notevole complessità nonostante i problemi apparentemente sembrino di semplice comprensione e di possibile risoluzione.Una premessa importante è dato dallo studio di questo semplice problema lineare non omogeneo:

sia p un parametro reale, si consideri l’equazione lineare del primo ordine

a n+1 = 1 + p an con dato assegnato a0.

La soluzione del problema è particolarmente semplice, ma ci interesseranno le seguenti domande:Quali sono le condizioni che devono essere soddisfatte da p affinché la successione possieda limite


finito? Come dipende il limite dal dato iniziale? Quando non esiste il limite? Vi è qualche valore di p per cui esistono successioni limitate che non convergono?

La soluzione, come abbiamo visto nel paragrafo precedente è data da

se p ≠ 1, an = ao + n se p = 1.

Si osserva innanzitutto che la successione è sempre costante se il dato iniziale vale1/(1-p), quindi con tale dato iniziale il limite esiste qualunque sia il valore di p. Se il dato iniziale non soddisfa questa condizione l’esistenza del limite dipende dal valore di p.Il limite esiste ed è finito se |p| < 1. In tale caso esso non dipende dal dato iniziale, vale a dire che tutte le possibili successioni convergono allo stesso limite L = 1/(1-p). Si può osservare che la succes-sione è monotona se 0 < p < 1 e risulta strettamente crescente se il dato iniziale è minore del valore del limite, strettamente decrescente se il dato iniziale è maggiore del valore del limite. La succes-sione invece è nidificata se -1 < p < 0. In questo caso infatti si alternano valori maggiori del limite e valori minori del limite.Il limite esiste infinito se p > 1, e il segno dipende dalla localizzazione del dato iniziale. Se invecep < -1 la successione non è limitata e non ha limite.Un caso interessante è quello in cui il coefficiente p vale -1. Infatti in questo caso i termini di indice pari valgono a0, mentre quelli di indice dispari valgono 1 – a0. Si ha dunque un caso di soluzioni periodiche che quindi non convergono ad alcun limite.

Osserviamo in conclusione un fatto importante: se noi scriviamo l’equazione alle differenze nella forma

a n+1 = f(an)

l’eventuale limite deve essere una soluzione dell’equazione L = f(L). Si è peraltro visto che la condi-zione non è sufficiente, in quanto in tutti i casi, tolto p = 1, 1/(1-p) era una soluzione dell’equazione L = f(L), ma nonostante ciò il limite veniva raggiunto solo se |p| < 1. Nei casi in cui il limite esiste effettivamente la successione per ricorrenza è un buon modo per approssimare la soluzione dell’e-quazione L = f(L). Il valore L si dice anche punto unito o punto fisso della funzione f, in quanto rap-presenta quel valore che non viene cambiato applicando la funzione f(x).

Una condizione sufficiente perché si abbia il limite è che il rapporto incrementale della funzione sia limitato da una costante minore di 1, ossia che per ogni coppia x, y risulti

(2.1) |f(x) – f(y)| ≤ K | x – y|, K < 1

Una funzione che soddisfi la condizione (2.1) si chiama contrazione. In questo caso risulta anche che il punto fisso è unico. Tutte le possibili successioni, indipendentemente dal valore iniziale conver-gono allo stesso limite, cioè al punto fisso.

La figura fa vedere l’an-damento delle successioni dell’esempio precedente nel caso in cui p = -0,75 con il dato iniziale rispettivamente 1, 2, 3, 0. Si osservi che ci vuole un certo numero di iterazioni perché si stabiliz-zino intorno al limite (che


vale 4/7), in quanto in questo caso risulta K = 0,75, che è un valore abbastanza elevato dal punto di vista del calcolo numerico. Si nota anche che la successione oscilla alternando valori al di sopra del limite con valori al di sotto.

È tuttavia antica tradizione (nata soprattutto in economia) rappresentare il comportamento delle suc-cessioni alle differenze finite mediante diagrammi in cui vengono rappresentate la bisettrice e la fun-zione di ricorsività. Su questo diagramma vengono rappresentate poi le evoluzioni delle singole suc-cessioni a partire dai valori iniziali, utilizzando alternativamente il punto (x, f(x)) sulla curva, con-giunto in orizzontale con il punto (f(x), f(x)) sulla bisettrice, congiunto poi in verticale con il nuovo valore (f(x), f(f(x)). In questo modo si ottengono dei diagrammi a scala se f ’ > 0, a ragnatela se f ’< 0, convergenti al limite se |f ’| < 1, divergenti o non regolari se |f ’| >1.

Questi diagrammi sono di realizzazione abbastanza semplice su qualsiasi programma di foglio elet-tronico. Presentiamo qualcuno dei casi precedenti:

Caso p = 2: scala divergente, dato iniziale –2/3

Caso p = -0,75: ragnatela convergente, dato ini-ziale -2/3

Nel caso delle funzioni lineari è facile determinare K nella (2.1), in quanto è semplicemente il valore assoluto del coefficiente. Per una funzione generica di una variabile dotata di derivata esso è dato dal massimo (o dall’estremo superiore) dei valori assoluti della derivata.

Di solito tuttavia una funzione non lineare non è una contrazione su tutto l’insieme dei numeri reali. Può tuttavia accadere che la funzione applichi un intervallo [a,b] in se stesso e, ristretta a questo intervallo sia una contrazione. Allora in questo intervallo esiste un punto fisso, esso è unico, e tutte le successioni che partono dall’interno dell’intervallo convergono al punto fisso. Può (fortunatamente) accadere che anche successioni che partono esternamente al dominio [a,b] in seguito vi ricadano; da quel momento in poi convergeranno anch’esse al punto fisso.

Il classico algoritmo per il calcolo della radice quadrata rientra in questo caso.

ESEMPIO 2.1 Si consideri la seguente successione definita per ricorrenza . Si verifichi che il

punto fisso è la radice di N, rispettivamente positiva e negativa. Si assegnino i valori iniziali 1 e rispet-tivamente 2 e si calcolino alcuni termini (ad esempio 5 o 10) della successione: che osservazioni si


possono trarre? Si può dedurre che la successione, tolto eventualmente il primo termine è monotona? In quale insieme sono soddisfatte le condizioni affinché sia una contrazione?

L’equazione ha per soluzioni . Si osserva che se il dato iniziale della successione

è positivo tutti i termini successivi saranno positivi, mentre se è negativo saranno negativi. L’unico dato iniziale non ammesso è 0. I primi dieci termini sono rispettivamente

1 21,5 1,5

1,416667 1,4166671,414216 1,4142161,414214 1,4142141,414214 1,4142141,414214 1,4142141,414214 1,4142141,414214 1,4142141,414214 1,414214

La condizione di decrescenza è , che per i valori positivi porta alla disequa-

zione an2>2. È però ora necessario far vedere che tale diseguaglianza risulta soddisfatta a partire dal

secondo termine. Si deve dunque imporre che

, che per valori positivi porta alla disequazione , sempre

soddisfatta tranne (ovviamente) che per . Nel caso di valori iniziali negativi il ragionamento procede allo stesso modo cambiando i versi delle diseguaglianze.

Il modo alternativo di studiare la convergenza è quello di ricondursi alle contrazioni. Sempre restrin-gendosi ai reali positivi, si può osservare che la derivata è sempre minore di 1, mentre è maggiore

di –1 solamente perr . Esistono allora intervalli del tipo [a,+∞[ con 0 < su cui la funzione

è una contrazione. D’altra parte si è visto che, anche se il valore iniziale è compreso tra 0 e , il valore

successivo è comunque maggiore di , e quindi si ricade in ogni caso in una contrazione a par-tire dal secondo termine; ciò assicura la convergenza del procedimento qualunque sia il dato iniziale.È interessante ricordare che il procedimento di questo esempio, sia pure fermato alla seconda itera-zione, era usato per il calcolo delle radici quadrate già dai Babilonesi circa 4000 anni fa. Come dato iniziale veniva scelto il più grande intero minore della radice quadrata.

L’esempio presentato ha una altissima velocità di convergenza, tuttavia non essendovi la convergenza nidificata non è possibile avere stime rapide dell’errore residuo; per questo motivo sui calcolatori attuali viene utilizzata una funzione leggermente diversa, che senza sacrificare troppo la velocità di calcolo presenta convergenza nidificata. L’esercizio 2.1 presenta un caso, in cui peraltro essendo stati modificati pesantemente i coefficienti vi è un forte rallentamento della convergenza. Gli esercizi 2.2 e 2.3 presentano poi algoritmi analoghi idonei al calcolo di radici di ordine più alto.


Quando l’applicazione in prossimità del punto fisso non è una contrazione, il comportamento della suc-cessione può assumere aspetti alquanto complicati. Un comportamento interes-sante è quello dei cicli perio-dici. A differenza del caso lineare con coefficiente –1, in cui in corrispondenza di ogni valore iniziale si aveva una soluzione periodica, in questo caso può avvenire che vi sia una unica soluzione periodica, mentre in corri-spondenza degli altri valori iniziali si hanno soluzioni che tendono ad approssimare la soluzione periodica. Solo la successione costante con valore pari al punto fisso è convergente, ma appena i dati iniziali deviano, sia pur di poco, da tale valore, la soluzione non converge più, e tende a raggiungere la soluzione periodica. In particolare l’esistenza della soluzione periodica di periodo 2 è segnalata dal fatto che la funzione ite-rata f [ f(x)] presenta oltre al punto fisso della funzione f(x) altri 2 punti fissi, e in un intorno di questi di ciascuno di questi ulteriori punti fissi essa è una contrazione.

ESEMPIO 2.2Si consideri la successione definita per ricorrenza

a n+1 = - k arctan an., k > 0.

Si osservi che per k < 1 è una contrazione e tutte le successioni convergono a 0. Per k = 1, pur non essendo una contrazione, le successioni convergono ancora a 0. Per k > 1 invece il punto fisso x = 0 diviene instabile, mentre tutte le soluzione tendono ad una successione periodica di periodo 2.L a d e r i v a t a d i f v a l e -k/(1+x2). Per k < 1 il massimo valore assoluto della deri-vata è k (in corrispondenza del punto fisso), e quindi vi è una contrazione. Per k > 1 la derivata nel punto fisso eccede in valore asso-luto 1, quindi non si è più in presenza di una contrazione e il punto fisso diviene insta-bile. Studiando la derivata si constata che essa è minore di 1 per valori lontani dal punto critico, e ciò implica che vi è una zona centrale di attra-zione e quindi che le suc-cessioni non possono diver-gere. Di per sé, come si vedrà


nell’esempio 2.3, il fatto che le successioni si mantengano limitate non assicura ancora che vi siano successioni periodiche verso cui tendono le successioni. Il primo grafico illustra il comportamento della funzione iterata f[f(x)] per il valore k = 1,5.

Il grafico seguente invece illustra, sempre per k = 1,5, il comportamento di una successione che parte dal valore iniziale 0,4.

L’esempio seguente è la classica equazione alle differenze che rappresenta nel discreto l’equazione logistica. Questo sembra essere il tipo di equazione più semplice che per opportuni valori dei para-metri presenta il fenomeno del comportamento caotico, passando inizialmente per i cicli di periodo 2, come nell’esempio precedente, poi per i cicli di periodo 4, e successivamente per cicli di periodo sempre maggiore.

ESEMPIO 2.3La discretizzazione dell’equazione logistica ha la forma

a n+1 = an + k an (1 – an) = (1+k) an – k an2 con k > 0.

I dati iniziali significativi per il problema fisico sono quelli compresi nell’intervallo ]0,1[.

I punti fissi sono 0 e 1 per qualunque valore di k. La derivata nel punto 0 è sempre maggiore di 1, e quindi 0 è sempre un punto fisso insta-bile. Per 0 < k < 1 intorno al punto fisso 1 si è in presenza di una contrazione, e la fun-zione è crescente. Pertanto tutte le successioni aventi dati iniziali compresi nell’in-tervallo ]0,1[ risultano con-vergenti a 1 e monotone cre-scenti.Nell’intervallo di parametri 1 < k < 2 intorno al punto fisso 1 si è ancora in pre-senza di una contrazione e la convergenza è nidificata. Poiché il massimo della funzione assume il valore (1+k)2/(4k), mentre ven-gono assunti valori positivi fino al valore di (1+k)/k ne segue che partendo da valori compresi iniziali compresi in ]0,1[ si continuano ad otte-nere sempre valori posi-tivi. Perciò la successione non diverge mai all’infinito negativo.Non appena viene supe-rato il valore 2 il punto fisso

Diagramma 2.1.

Diagramma 2.2.


diviene instabile e si presentano cicli di periodo 2, analoghi a quelli dell’esempio precedente. Incre-mentando ulteriormente il parametro si entra nella zona in cui anche i cicli di ordine 2 divengono instabili. Ad esempio al livello del coefficiente 2,5 siamo in presenza di cicli asintotici con periodi-cità 4. La situazione è illustrata dal diagramma 2.1Al livello del coefficiente 2,7 siamo in presenza di un comportamento caotico illustrato dal dia-gramma 2.2

ESERCIZI:2.1 Si consideri la seguente successione definita per ricorrenza , che come

nell’esempio 2.1 fa la media tra i termini N/an e an, solo che questa volta il peso dei due termini non è eguale. Si osservi che anche in questo caso la successione converge allo stesso punto fisso. Si cal-colino alcuni termini con i valori iniziali come nell’esempio e si constati che questa volta non vi è monotonia, ma i termini, pur stabilizzandosi, approssimano il valore del limite alternativamente dall’alto e dal basso (situazione vantaggiosa nel calcolo numerico, perché data una approssimazione si sa in quale intervallo sta la soluzione vera).

2.2 Si analizzi il seguente algoritmo dei calcolo della radice cubica

2.3 Si analizzi il seguente algoritmo dei calcolo della radice k-sima

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI1.1 Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono 1 e -p. La soluzione al problema proposto è dun-que della forma b1 +b2(-p)n. Si ricava quindi b1=1/(1+p), b2= -1/(1+p).

1.2 Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono i numeri complessi coniugati

che possono essere espressi in forma trigonometrica con r = 1 e θ = π/3. Si hanno allora le soluzioni

della forma

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene il sistema

da cui e quindi la soluzione . Si osservi che la soluzione è

periodica di periodo 6 e i primi termini sono 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, …

1.3 L’unica radice dell’equazione caratteristica è 1, con molteplicità 2. La soluzione generale è del tipo b1 + b2n, che con i dati iniziali assegnati diviene 1 + (p-1)n. Essa ammette limite finito se p = 1.

1.4

1.5


1.6 Si consideri il numero complesso z = r (cos θ + i sin θ). Risulta allora che per la somma par-ziale vale la

, che nella rappresentazione trigonometrica diviene

,

vale a dire che la somma da noi cercata è la parte reale dell’espressione a secondo membro. Per calco-larla si moltiplica al solito numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore. Si giunge così, ricordando la formula trigonometrica del coseno della differenza alla formula finale

2.1 Riportiamo una tabella di valori

1,00000 2,000001,75000 1,250001,29464 1,512501,48228 1,369861,38252 1,437471,43060 1,402871,40616 1,419951,41828 1,411361,41219 1,415641,41523 1,41350

Si osserva la grande lentezza di convergenza (in 10 passaggi sono corretti solamente i primi due decimali), però vi è l’oscillazione intorno al valore limite. Le soluzioni utili dal punto di vista nume-rico sono quelle in cui la media viene fatta spostando solo leggermente il peso a favore del primo addendo.

2.2 Si constati che il punto fisso è proprio . Si verifica poi che la derivata in tale punto vale 0.

2.3 Si constati che il punto fisso è proprio . Si verifica poi che la derivata in tale punto vale 0.

GRUPPI DI SIMMETRIA SUL PIANO

Pietro CorvajaDipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine

1. IntroduzioneLo scopo di questa teoria è la classificazione dei tipi di simme tria che si possono incontrare nei disegni “periodici” sul piano. In particolare definiremo rigorosamente cosa s’intende per disegno periodico.Supponiamo di disporre di una famiglia infinita di mattonelle rettangolari delle stesse dimensioni; decoriamole tutte con uno stesso disegno e usiamole per pavimentare il piano in maniera regolare, cioè senza sovrapporle e senza lasciare spazi tra esse. Otterremo un esempio di disegno periodico, nel senso che a partire da un elemento fondamentale, si può ottenere l’intero disegno tramite trasla-zioni. Nel tal caso ogni traslazione nella direzione di un lato delle piastrelle, di lunghezza pari al lato corrispondente, conserva il disegno. Naturalmente iterando e componendo tra loro delle traslazioni di questo tipo si ottengono nuove trasformazione del piano che mandano il disegno in sé. Se non poniamo nessuna condizione sul disegno tracciato su ogni singola mattonella, le uniche trasforma-zioni del piano che conservano il disegno saranno le traslazioni di quel tipo. Supponiamo invece che il disegno su ogni singola mattonella sia “simmetrico”, nel senso per esempio che si con servi ruotan-dolo di 180° rispetto al baricentro della mattonella. Allora ogni rotazione del piano di 180° attorno al baricentro di una qualsiasi mattonella conserva il disegno; questo è dovuto al fatto che tali rotazioni conservano il reticolo delle mattonelle, cioè mandano ogni mattonella esattamente sopra un’altra, oltre a conservare il disegno di ciascuna sin gola mattonella. Vediamo quindi che una proprietà fon-damentale delle trasformazioni che conservano il disegno è il fatto di conservare un reticolo. Ci si può chiedere a tal propos ito se si possono costruire disegni periodici invarianti per rotazioni di ordine superiore; il risultato dimostrato sarà che gli ordini possibili sono soltanto 1,2,3,4 e 6; per esempio non esistono disegni che siano invarianti sia per un reticolo di traslazioni che per rotazioni di ordine cinque (nonostante si possano decorare singole mattonelle con disegni invarianti per tali rotazioni). Questa impossibilità è dovuta all’inesistenza di reticoli invarianti per rotazioni di ordine 5, nonché di ordine ≥ 7. Il punto essenziale per la classificazione dei tipi di simmetria di disegni piani è quindi la classificazione dei reticoli e dei loro gruppi di trasformazioni (automorfismi).Nel prossimo paragrafo introdurremo la notazione e i risultati di teoria dei gruppi e di geometria piana necessari per lo studio dei reticoli (par. 3) e dei gruppi di isometrie del piano (par. 4).

2. PreliminariRaccogliamo qui molto brevemente le nozioni necessarie di teoria dei gruppi e algebra lineare che verranno usate nel seguito. Sia dato un gruppo G con operazione · ed elemento neutro e. Un’azione di G su un insieme X è un’applicazione g → φg che associa ad ogni elemento di g di G una permu-tazione φg degli elementi dell’insieme X e tale che valga φe = idX, φg1 ◦ φg2 = φg1·g2. In altri termini si identificano gli elementi di G a delle trasformazioni dell’insieme X. Per semplicità si scriverà g(x) al posto di φg(x) quando l’azione sarà sottintesa. Ad ogni punto P ∈ X dell’insieme X si associa lo stabilizzatore GP, che consiste nel sottogruppo di G formato dagli elementi che fissano il punto P: GP = {g ∈ G | g(P )= P }. Dato un elemento h di un gruppo G, si associa ad h l’automorfismo interno ψh del gruppo G definito mediante ψh(g)= hgh−1. L’immagine di g si chiama coniugato di g (rispetto a h). Se K è un sottogruppo di G, l’immagine ψh(K) si dice sottogruppo coniugato di K. È di fondamentale importanza l’osservazione seguente: data un’azione di G su un insieme X, il coniu-gato ψh (GP ) dello stabilizzatore di un punto P è lo stabilizzatore del punto h(P). Ad ogni matrice 2×2 a coefficienti reali associamo la trasformazione del piano R2 data dalla moltiplicazione “matrice per vettore”. Esplicitamente (scrivendo i vettori di R2 come colonne)

.


Si tratta di una trasformazione invertibile se e solo se ad−bc ≠0. Questa quantità si chiama determi-nante della matrice sopra; le matrici con determinante non nullo formano un gruppo per la moltipli-cazione tra matrici, denotato GL2(R). Viceversa, ogni trasformazione lineare del piano corrisponde ad una matrice. Più in generale, ad ogni trasformazione lineare F del piano reale R2 e ad ogni base (v1,v2) si associa una matrice, detta matrice di F nella base (v1,v2), nel modo seuente: scrivendo un generico vettore nella forma v = xv1 + yv2, calcoliamo F(v), decomponiamolo nella forma ξv1 + ηv2. Esistono e sono unici dei numeri a, b, c, d tali che valga sempre

.

Se (w1,w2) è un’altra base, espressa nella base (v1,v2) mediante w1 = αv1 + βv2, w2 = γv1 + δv2 allora le matrici Tv e Tw di F nelle basi (v1,v2) e (w1,w2) rispettivamente verificano la relazione

cioè sono coniugate. Viceversa due matrici coniugate sono associate alla stessa trasfor mazione line-are in basi diverse.Due sottogruppi notevoli del gruppo delle matrici invertibili GL2(R) sono SL2(R) (il gruppo delle matrici con determinante 1) e O2, il gruppo delle matrici ortogonali. Queste ultime sono associate a rotazioni o riflessioni, cioè a quelle trasformazioni che conservano la norma euclidea (lunghezza dei vettori). Indichiamo con SO2 il gruppo delle matrici della forma

per un numero reale α. Le trasformazioni lineari loro associate nella base canonica sono le rotazioni: la matrice qui sopra rappresenta la rotazione di angolo α in senso anti-orario.Sia dato un gruppo G che agisce su un insieme X; supponiamo che esista un sot togruppo H di G con la proprietà seguente: dati comunque due punti P e Q di X, esiste un unico elemento h di H tale che h(P )= Q. Allora è facile vedere che per ogni punto P di X, posto GP il suo stabilizzatore, ogni ele-mento di G si scrive in modo unico come prodotto di un elemento di H per un elemento di GP. Infatti sia g un qualsiasi elemento del gruppo. Se g(P )= P allora g ∈ H. Altrimenti sia Q = g(P ) e h l’u-nico elemento di H che manda Q in P; allora g’ := h · g fissa P, pertanto appartiene a GP e g = h-1 g’ è la decomposizione cercata. Notiamo che è unica se si prescrive l’ordine, richiedendo per esempio che l’elemento di h moltiplichi a sinistra quello di GP. Un esempio comune di questo fenomeno è il gruppo delle affinità del piano, o della retta. Conside riamo il caso in cui l’insieme X è la retta reale R. Sia G il gruppo delle trasformazioni della forma f(x)= ax + b, dove a è un numero diverso da 0, b un numero qualsiasi. Sia H il gruppo delle traslazioni, cioè delle funzioni della forma f(x)= x + b. Vediamo che H gode della proprietà sopra esposta. Infatti ogni affinità, che è del tipo f(x)= ax + b, si scrive in modo unico come prodotto di una traslazione, la traslazione h : x x + b, per l’omotetia di centro l’origine g : x ax; in simboli f = h · g. Notiamo che le omotetie di centro l’origine sono esattamente le affinità che stabilizzano l’origine.Supponiamo ora che un gruppo G agisca su un insieme X, ed esista un sottogruppo normale H con la proprietà precedente: dati due punti P, Q in X, esiste un unico elemento h ∈ H con h(P )= Q; è quello che succede nel caso delle affinità della retta, quando H è il sottogruppo delle traslazioni. Scelto comunque un punto P ∈ X, G si decompone in prodotto semi-diretto di H con GP, rispetto all’azione di GP su H definita dagli automor fismi interni. Nel tal caso risulta definita una proiezione sul quo-ziente π : G → G/H, la cui restrizione a GP è iniettiva e suriettiva. Pertanto π ammette una sezione; questa è la condizione per poter decomporre un gruppo nel prodotto semidiretto di un sottogruppo normale per un suo complementare.


3. ReticoliSiano ω1, ω2 due vettori del piano euclideo R2 linearmente indipendenti. (Talvolta identificheremo il piano reale R2 col piano complesso C; in tal caso l’indipendenza lineare sarà sempre riferita ai reali. In altri termini imponiamo che ω1 ≠ 0 e non esiste alcun numero reale λ tale che ω2 = λω1). Chia-miamo reticolo il gruppo additivo Ω generato da ω1, ω2. L’insieme Ω è formato dalle combinazioni lineari a coefficienti interi di ω1 e ω2:

Ω= {a1ω1 + a2ω2 | a1, a2 ∈ Z}.

La coppia (ω1, ω2) è una base del reticolo, ma non l’unica! Le altre possibili basi sono classificate dalla proposizione seguente:

TEOREMA 1. Siano ω1, ω2 due vettori linearmente indipendenti del piano; siano a, b, c, d dei numeri interi. Allora la coppia di vettori (aω1 + bω2, cω1 + cω2) è una base del reticolo generato da ω1, ω2 se e solo se ad − bc = ±1.

Dato un reticolo Ω, con base (ω1, ω2) definiamo il suo volume come l’area del parallel ogramma di vertici 0, ω1, ω1+ ω2, ω2. Se ω1 ha coordinate (ω1,x, ω1,y) e ω2 ha coordinate (ω2,x, ω2,y) allora il volume di Ω risulta essere

Se ora (λ1,λ2) è un’altra base di Ω, allora λ1 = aω1 + bω2, λ2 = cω1 + cω2, dove gli interi a, b, c, d verificano |ad − bc| = 1. Le coordinate λ1,x, λ1,y, λ2,x, λ2,y si ottengono da quelle di ω1, ω2, mediante le relazioni:

Pertanto si ha

siccome |ad−bc| = 1, il volume calcolato nella base (λ1, λ2) risulta uguale a quello calcolato nella base (ω1, ω2). Si può pertanto definire univocamente il volume di un reticolo. Ad ogni reticolo di vet-tori corrisponde in modo canonico un gruppo di traslazioni, ottenuto associando ad ogni vettore ω ∈ Ω la traslazione corrispondente τω. Denoteremo con Ω il gruppo di traslazioni così ottenuto, detto anche reticolo di traslazioni. Dato un reticolo Ω chiamiamo dominio fondamentale per Ω ogni sot-tinsieme misurabile del piano D con le seguenti proprietà:(1) R2 è ricoperto dalle immagini di D rispetto all’azione del gruppo di traslazioni Ω;(2) Se ω e ω’ sono vettori distinti in Ω, allora l’intersezione τω(D)∩ τ’ω

(D) ha misura nulla.Ad ogni base (ω1, ω2) del reticolo Ω si può associare un dominio fondamentale, che consiste nel parallelogramma di vertici 0, ω1, ω1+ω2, ω2, detto anche parallelogramma fon damentale associato alla base (ω1, ω2). Il parallelogramma fondamentale D si può definire anche come l’insieme delle combinazioni lineari del tipo aω1+bω2 dove a, b sono numeri reali compresi tra 0 e 1; quindi D è l’immagine del quadrato [0, 1] × [0, 1] rispetto alla trasformazione lineare associata alla matrice

. Naturalmente il parallelo gramma fondamentale dipende dalla base, ma la sua area,

che è il volume di Ω, dipende solo dal reticolo.Tutti i reticoli sono isomorfi tra loro, e addirittura coniugati nel senso che dati due reticoli nel piano si può sempre trovare un automorfismo del piano che manda il primo nel secondo. Non sempre però si


potrà trovare una similitudine del piano che li identifichi. Quando tale similitudine esiste, diremo che i reticoli sono simili. Ciò equivale all’esistenza di parallelogrammi fondamentali simili. La nozione di similitudine è più semplice da enun ciare se identifichiamo il piano reale con l’insieme dei numeri complessi C. Diremo allora che due reticoli Ω1, Ω2 ⊂ C sono simili se esiste un numero complesso non nullo λ tale che Ω2 = λΩ1.Vogliamo ora studiare gli automorfismi di un reticolo. Sia f :Ω → Ω una applicazione; diciamo che f è un endomorfismo di Ω se è lineare, cioè se per ogni coppia (ω, ω’) di vettori di Ω si ha

f(ω + ω’)= f(ω)+ f(ω’).

(Allora si avrà anche f(u·ω)= u·f(ω) per ogni intero u, quindi f sarà la restrizione di un’applicazione lineare del piano). Diremo inoltre che f è un automorfismo se è un endomorfismo ed è invertibile.

Sia (ω1, ω2) una base di Ω; sia la matrice di f in tale base; allora f(ω1)= aω1 + bω2

e f(ω2)=cω1 + dω2. Se il determinante ad − bc si annulla, allora l’immagine di f è contenuta in una retta, e f(Ω) non può essere un reticolo; se ad − bc = ±1 allora la coppia (f(ω1), f(ω2)) è una base di Ω, pertanto f risulta invertibile (è un automorfismo). Nel caso in cui |ad − bc| > 1, l’immagine f(Ω) risulta un sotto-reticolo di Ω. Il gruppo degli automorfismi di un reticolo risulta pertanto isomorfo al gruppo GL2(Z) delle matrici a coefficienti interi con determinante ±1; l’isomorfismo dipende però da una scelta della base del reticolo.

Il seguente teorema è uno dei punti essenziali per la classificazione dei tipi di simmetria piana:

TEOREMA 2. Sia f un automorfismo di ordine finito di un reticolo piano. Allora l’ordine di f è 1, 2, 3, 4 o 6.

Dimostrazione. Sia T = ∈ GL2(Z) la matrice associata all’automorfismo f in una base del

reticolo; si tratta di una matrice a coefficienti interi, di ordine n pari all’ordine dell’automorfismo f. Siano ζ1, ζ2 i suoi autovalori complessi, necessariamente radici n-esima dell’unità. Abbiamo che Tr(T)= a + d = ζ1 + ζ2 è un intero, ed è in valore assoluto ≤ 2, poiché |ζ1| = |ζ2|≤ 1; pertanto può essere uguale solo a −2, −1, 0, 1 o 2. Si lascia al lettore la facile verifica che in ognuno di questi casi le radici ζ1, ζ2 hanno ordine 1, 2, 3, 4 o 6 e anche T ha lo stesso ordine.

Ogni reticolo è invariante per rotazioni di ordine 1 (identità) e 2 (riflessione rispetto all’origine). Si possono esibire esempi (essenzialmente unici) di reticoli invarianti per ro tazioni di ordine 3 e di ordine 4. (Notiamo che i reticoli invarianti per rotazioni di ordine 6 sono quelli invarianti per rota-zioni d’ordine 3). Il seguente teorema li classifica:

TEOREMA 3. Sia ζ = e2πi/3 una radice terza primitiva dell’unità. L’anello Z[ζ] è un reticolo in C inva-riante per rotazione di angolo 2π/3. Ogni reticolo invariante per tale rotazione è simile a Z[ζ]. Ogni reticolo invariante per rotazione di ordine 4 è simile al reticolo Z[i].

Dimostrazione. Il numero algebrico ζ soddisfa l’equazione ζ2 + ζ + 1 = 0; pertanto l’anello Z[ζ] è generato come gruppo da 1, ζ (le potenze superiori di ζ si ottengono come combinazione lineare a coefficienti interi di 1, ζ). Allora l’anello Z[ζ] è un reticolo, invari ante per moltiplicazione per il suo elemento ζ, quindi per rotazione di 2π/3. Vogliamo dimostrare che si tratta dell’unico reticolo inva-riante, a meno di similitudine. Sia allora Ω ⊂ C un tale reticolo, ω un suo elemento di norma minima. Se dimostriamo che la coppia (ω, ζ · ω) è una base di Ω, allora la similitudine del piano complesso z → z/ω lo identifica al reticolo Z[ζ].


Dobbiamo quindi dimostrare che ω, ζ · ω generano Ω; ciò equivale al fatto che nel parallelogramma di vertici 0, ω, ω+ζω, ζω non ci sono punti del reticolo, oltre ai vertici. Per semplificare la nota-zione, supponiamo ω = 1 (cioè consideriamo il reticolo simile ω -1Ω). Sappiamo allora per ipotesi che 1 è un vettore di norma minima. Sia dunque λ = a+bζ con 0 ≤ a, b ≤ 1 un punto del reticolo nel parallelogramma di vertici 0, 1, 1+ ζ,ζ. Calcolando la norma di λ otteniamo |λ|2 = λ · λ̄ = (a + bζ) (a + bζ̄) = a2 + b2 − ab. Aggiungendo multipli interi di 1 e ζ (quindi punti del reticolo), otteniamo un punto λ’ = a’ + b’ζ con |a|≤ 1/2, |b|≤ 1/2. La sua norma è allora ≤ 3/4, contro l’ipotesi che la norma minima fosse 1. La dimostrazione è simile per il caso dei reticoli invarianti per rotazioni di ordine 4.

4. Le isometrie del pianoDefiniamo isometria ogni trasformazione del piano (affine) R2 che conserva le distanze: una trasfor-mazione δ del piano è una isometria se per ogni coppia di punti P, Q vale l’uguaglianza

dist(P, Q) = dist(δ(P),δ(Q)).

Le isometrie formano un gruppo, denotato I. Gli elementi di I si dividono in quattro tipi:(1) Traslazioni. Le abbiamo già definite. Esse formano un gruppo, indicato con T, iso morfo al

gruppo additivo R2. T è un sottogruppo normale di I.(2) Rotazioni. Sono definite a partire da un centro di rotazione P e un angolo di rotazione α. Note-

remo con ρP,α la rotazione in senso anti-orario attorno a P di angolo α. Fissato un punto P, le rotazioni di centro P formano un sottogruppo di I; i suoi coniugati sono i sottogruppi di rota-zioni attorno agli altri punti del piano. Notiamo che componendo rotazioni di centri diversi e con angoli opposti si ottiene una traslazione; pertanto l’insieme delle rotazioni non è un sotto-gruppo.

(3) Riflessioni. Sono definite a partire da una retta r, ed associano ad ogni punto P il punto simme-trico di P rispetto a r. I punti di r sono i punti fissi per la rifles sione. Notiamo che componendo due riflessioni rispetto a rette parallele si ottiene una traslazione, mentre se gli assi di riflessione sono incidenti si ottiene una rotazione attorno al loro punto d’intersezione.

(4) Glissoriflessioni. Sono il prodotto di una riflessione e di una traslazione di vettore parallelo all’asse di riflessione; non hanno punti fissi.

Le isometrie dei tipo (1) e (2) sono dette dirette, e formano un sottogruppo I+ di I. Quelle di tipo (3) e (4) sono dette inverse; componendo due isometrie inverse se ne ottiene una diretta, mentre il pro-dotto di una isometria inversa con una diretta è una isometria inversa.

Ad ogni isometria affine δ si associa una isometria vettoriale δ→

dello spazio R2 nel modo seguente:

per ogni coppia P, Q del piano affine A2 poniamo . L’applicazione δ→

risulta ben

definita, cioè indipendente dal particolare segmento orientato PQ scelto come rappresentante del

vettore , è lineare e conserva la norma euclidea in R2. Queste proprietà possono essere assunte nella definizione di isometria, in maniera alternativa alla definizione data qui. Indichiamo con O2 il gruppo delle isometrie vettoriali, cioè degli automorfismi lineari di R2 che conservano la norma. Pos-siamo identificarlo col gruppo delle matrici ortogonali.Il legame tra le isometrie affini e quelle vettoriali è rappresentato dal seguente:

TEOREMA 4. L’applicazione δ δ→

è un morfismo dal gruppo I sul gruppo O2. Il suo nucleo è il gruppo delle traslazioni T. L’immagine di I+ è il sottogruppo SO2 delle matrici di O2 con determinante 1.

Osservazione. Fissiamo un punto P ∈ R2. Sia IP lo stabilizzatore di P in I, cioè il gruppo delle iso-metrie che fissano il punto P. Giacchè nessuna traslazione, a parte l’identità, fissa P, la restrizione del morfismo δ δ

→ a IP è iniettiva. Pertanto le isometrie affini che fissano un punto dato P sono


identificate dalle isometrie vettoriali associate. In altri termini, una isometria è definita dall’imma-gine di un qualsiasi punto e dalla isometria vettoriale associata.

Dato un intero positivo n, chiamiamo Cn il gruppo generato dalla rotazione (vettoriale) di R2 di angolo

2π/n. È il gruppo delle matrici del tipo con k ∈{0, 1,..., n−1}.

Si tratta naturalmente di un gruppo ciclico di ordine n. Abbiamo il seguente teorema:

TEOREMA 5. Tutti i sottogruppi finiti di SO2 sono del tipo Cn.

Dimostrazione. Sia K un sottogruppo finito di ordine n di SO2. Allora ogni matrice T ∈ K verificaT n = I (l’ordine di un elemento divide l’ordine del gruppo). Siccome le matrici di rotazioni T con la

proprietà che T n = I sono tutte potenze della matrice , e sono in

numero di n, segue che K = Cn.

Sia Dn il gruppo generato da Cn e dalla riflessione . È un gruppo finito, di ordine 2n,

detto gruppo diedrale (n-esimo). Contiene Cn come sottogruppo normale di indice 2. Osserviamo che D1 e D2 sono gruppi abeliani, mentre per n ≥ 3 il gruppo Dn non è abeliano.I gruppi Cn e Dn esauriscono la lista dei sottogruppi finiti del gruppo I, come di mostrato da Leo-nardo Da Vinci (naturalmente senza utilizzare il linguaggio della teoria dei gruppi). Il risultato pre-ciso è il seguente:

TEOREMA 6. Per ogni gruppo finito di isometrie G, il morfismo δ δ→

è un isomor fismo di G su un gruppo Cn o un gruppo coniugato di Dn.

Dimostrazione. Dimostriamo prima che G ammette un punto fisso. Sia A un qualsiasi punto del piano affine; la sua orbita sotto l’azione di G è un insieme finito {A1,...,Am}, dove m = |G|/|GA|. Ogni isome-tria di G permuta i punti A1,...,Am, quindi ne fissa il baricentro P. Allora G ⊂ IP, quindi la restrizione del morfismo δ δ

→ a G è iniettiva, cioè è un isomorfismo con l’immagine G͂ ⊂ O2. Se G

→ ⊂ SO2,

allora per il teorema precedente G→

=Cn, dove n = |G|. Altrimenti, sia σ una riflessione di G→

; a meno

di coniugio si può supporre che σ sia la riflessione . Poniamo K = G͂ ∩ SO2 = Cn (n = |G|/2). Allora è G͂ generato da K e da σ, cioè è Dn.

Chiamiamo gruppo discontinuo di isometrie un sottogruppo Δ di I con la proprietà seguente:

Sia P un punto del piano, ε> 0. Allora per tutte le isometrie ∈→Δ, a parte un numero finito di esse,

dist(P, δ(P )) >ε.

Si potrebbe riformulare la proprietà dicendo che per ogni regione limitata del piano X, l’insieme delle isometrie δ∈Δ tali che δ(X) ∩ X ≠Ø è finito. In maniera equivalente, si può dire che ogni punto ha stabilizzatore finito e orbita discreta. Dato un gruppo discontinuo (di isometrie) Δ, possiamo definire la nozione di dominio fondamentale per Δ in maniera analoga a quanto fatto nel caso dei reticoli.Definizione. Si dice dominio fondamentale per Δ una parte connessa e misurabile F del piano con le proprietà:(1) Il piano R2 è ricoperto dalle immagini di F rispetto a Δ:


R2 = δ∈Δ δ(F).

(2) Se δ ≠ e allora δ(F) ∩ F ha area nulla.

Osserviamo che la proprietà (2) si potrebbe riscrivere sotto la forma “se δ1 ≠δ2 sono isometrie del gruppo Δ allora δ1 (F) ∩ δ2(F) ha area nulla.”Naturalmente ci sono in generale infiniti domini fondamentali per un gruppo Δ; è invariante (nel senso che dipende solo da Δ) l’area di un dominio fondamentale. Chiamer emo questo invariante volume del gruppo Δ, facendo attenzione al fatto che il volume dei sottogruppi di Δ è maggiore del volume di Δ! (Naturalmente, più piccolo è il gruppo, più grande dev’essere un dominio per ricoprire il piano sotto l’azione del gruppo). Ci inter essano in particolare i gruppi discontinui di volume finito, che sono classificati nel modo seguente:

TEOREMA 7. Sia Δ un gruppo di isometrie. Sono equivalenti:1) Δ è discontinuo di volume finito2) Δ ∩ T è un reticolo di traslazioni.

Abbiamo ora introdotto tutte le nozioni che permettono di chiarire cosa s’intenda per simmetria orna-mentale e per disegno periodico: dato un gruppo discontinuo Δ, si può ottenere un disegno orna-mentale semplicemente decorando in qualsiasi maniera un dominio fondamentale C per Δ, utilizzato come “piastrella”, e poi “riportando” il disegno su tutto il piano mediante l’azione di Δ. Si ottiene allora un disegno periodico che viene conservato da tutte le isometrie di Δ. Viceversa, dato un dise-gno nel piano, diremo che si tratta di un disegno periodico se il gruppo di isometrie che lo conserva è discontinuo di volume finito.

5 Classificazione dei gruppi discontinuiIl nostro scopo era quello di classificare i disegni periodici. È naturale cercare di classificarli “a meno di equivalenza”. Potremmo dire allora che due disegni periodici sono equivalenti quando i gruppi di isometrie che li con servano (automorfismi del disegno) sono gli stessi. Saremmo quindi condotti a classificare i gruppi discontinui di isometrie del piano. Consideriamo però queste situazioni:(1) Disponiamo di due disegni, il secondo dei quali è come il primo, ma in scala più grande. Allora

i gruppi di automorfismi potrebbero essere diversi: per esempio se il primo gruppo contiene un reticolo di traslazioni, il secondo deve contenere un reticolo di traslazioni nelle stesse direzioni, ma di lunghezze diverse.

(2) Di due disegni, uno si ottiene dall’altro ruotandolo. Naturalmente anche in questo caso i gruppi di automorfismi saranno in generale diversi.

Questi esempi mostrano che è più naturale cercare una nozione meno rigida di equiv alenza tra dise-gni: possiamo considerare come equivalenti tutti i disegni ottenuti da uno dato tramite una trasfor-mazione affine (isometrica o no). In ogni caso i gruppi di auto morfismi saranno tra loro coniugati nel gruppo di tutte le affinità del piano. Possiamo allora enunciare in maniera precisa il problema iniziale nel modo seguente:

ProblemaClassificare le classi di coniugio dei gruppi discontinui di isometrie nel gruppo delle affinità del piano.

Otterremo diciassette classi di coniugio, e per ognuna di queste sarà possibile esibire un disegno orna-mentale corrispondente, a partire da un dominio fondamentale.Per classificare i gruppi discontinui Δ, che sono gli invarianti caratterizzanti la classe d’equivalenza del disegno, secondo il problema, conviene cominciare con lo studiare altri invarianti, più semplici.


Il primo di questi è il reticolo Ω, il secondo è il gruppo di isometrie vettoriali Δ→

. La coppia (Ω, Δ→

) non basta comunque, da sola, a determinare Δ a meno di coniugio, ma fornisce molte informazioni. Cominciamo dal reticolo Ω. Fissata una base (ω1, ω2) di Ω, i punti di Ω saranno quei vettori di R2 le cui coordinate nella base (ω1, ω2) sono dei numeri interi. Possiamo esprimere questo fatto dicendo che tutti i reticoli sono isomorfi al reticolo degli interi Z2:

TEOREMA 8. Per ogni reticolo Ω ⊂ R2 esiste un automorfismo lineare φ ∈ GL(R2) tale che φ(Ω) = Z2. Pertanto per ogni ω ∈ Ω la traslazione φ ◦ τω ◦ φ−1 = τφ(ω) è una traslazione di vettore intero.

Dato un gruppo discontinuo Δ di isometrie, possiamo considerare il gruppo coniugato φ ◦ Δ ◦ φ−1, la cui intersezione col gruppo delle traslazioni T consiste nel reticolo delle traslazioni intere. Sic-come φ non è necessariamente una isometria, il gruppo coniugato di Δ tramite φ non sempre è un gruppo di isometrie.Il secondo invariante da studiare è il gruppo Δ

→, che è un sottogruppo di O2(R), per il quale, grazie ai

Teoremi 2 e 6, ci sono dieci possibilità. Un altro invariante importante è l’azione di Δ sul suo reti-colo di traslazioni Ω, che ’e, ricordiamolo, un sottogruppo normale di Δ. Il gruppo Δ agisce infatti per coniugio nel modo seguente: ad ogni suo elemento δ si associa l’automorfismo δ̄

di Ω definito da

δ̄ (τ )= δ ◦ τ ◦ δ−1 per ogni traslazione τ ∈ Ω

→.

Naturalmente δ̄ è l’identità su Ω se e solo se δ commuta con tutte le traslazioni del reticolo Ω. Que-sto implica che δ è esso stesso una traslazione. Abbiamo infatti il

TEOREMA 9. Siano ω1, ω2 ∈ R2 due vettori linearmente indipendenti. Ogni affinità δ che commuta con le due traslazioni τω1

, τω2 commuta con tutte le traslazioni. Nel tal caso δ è una traslazione.

Lasciamo al lettore la facile dimostrazione. È importante il seguente

Corollario. Sia Δ un gruppo discontinuo di affinità, con reticolo di traslazioni Ω. Il nucleo del morfismo δ δ̄ è il sottogruppo Ω. Pertanto il gruppo quoziente {δ̄ |δ ∈Δ} è canonicamente iso-morfo al gruppo Δ

→.

Come già osservato, se τ ∈Ω è la traslazione τω di vettore ω ∈ Ω, allora .

A questo punto ci troviamo con due invarianti: il gruppo Δ→

e una sua azione sul gruppo Ω ≅ Z2. Tale azione, una volta scelta una base di Ω, è definita da un morfismo φ : Δ

→ → GL2(Z), che identifica Δ

→ ad

un gruppo di matrici Φ = φ(Δ→

) ⊂ GL2(Z). Cambiando la base del reticolo, l’azione risultante cambia per un automorfismo interno in GL2(Z); pertanto identificheremo due azioni, cioè due morfismi φ1,φ2, se le loro immagini Φ1 = φ1(Δ

→), Φ2 = φ2(Δ

→) sono coniugate in GL2(Z), cioè se esite una matrice

T ∈ GL2(Z) tale che Φ1 = T · Φ2 · T −1. Ricordiamo che per il gruppo Δ→

ci sono dieci possibilità: i cin-que gruppi Cn e i cinque gruppi diedrali Dn (n =1, 2, 3, 4, 6). I gruppi Cn sono gruppi di rotazioni; per-tanto ci interessano le loro rappresentazioni nel gruppo SL2(Z); i gruppi diedrali invece sono generati da un gruppo di rotazioni Cn e da una riflessione. Quindi le rappresentazioni di D n che ci interessano non hanno immagine contenuta in SL2(Z). Diremo che una rappresentazione di Δ

→ in GL2(Z) è ammis-

sibile se conserva il determinante, cioè se il sottogruppo delle rotazioni viene mandato in SL2(Z) e le riflessioni nel suo complementare. Notiamo al tal proposito che D 1 e C2 sono gruppi isomorfi, ma non ammettono rappresentazioni ammissibili con la stessa immagine.Ci siamo quindi ricondotti a studiare il seguente invariante di Δ: una rappresentazione ammissibile di Δ

→ in GL2(Z) a meno di coniugio in GL2(Z). Vedremo che ce ne sono tredici in tutto, e che non

bastano (ma per poco!) a caratterizzare Δ a meno di coniugio.Nel caso dei gruppi di rotazioni, la rappresentazione è essenzialmente unica:


TEOREMA 10. Sia n un intero nell’insieme {1, 2, 3, 4, 6}, sia T ∈ SL2(Z) una matrice di ordine n. AlloraSe n =1, T = I.Se n =2, T = −I.Se n ∈{3, 4, 6} allora T è diagonalizzabile sui complessi e la forma diagonale è , dove ζ

è una radice n-esima primitiva dell’unità. In questo caso la matrice T è coniugata in GL2(Z) a una delle matrici

a seconda che l’ordine sia 3, 4 o 6 rispettivamente.

Dimostrazione. L’asserzione del Teorema è immediata nel caso n = 1. Il caso n =2 è facile e si lascia al lettore. Consideriamo il caso di ordine 3. Abbiamo già visto che la matrice T è diagonalizzabile sui complessi e i suoi autovalori sono le due radici terze primitive dell’unità. Pertanto T è simile (in GL2(R)) alla matrice della rotazione ρ = ρ2π/3 di un angolo di 2π/3. In altri termini T è la matrice della rotazione ρ in una base (non ortonormale) (λ1, λ2) di R2. Sia Λ il reticolo generato da λ1,λ2. Siccome la matrice di ρ nella base (λ1, λ2) ha coefficienti interi, Λ è invariante per la rotazione ρ. Sappiamo allora (Teorema 3) che esiste λ ∈ Λ tale che la coppia (λ, ρ(λ)) sia una base di Λ. Sia S la matrice di ρ nella base (λ, ρ(λ)); S è coniugata di T in GL2(Z) (giacché sia (λ, ρ(λ)), sia (λ1, λ2) sono

basi del reticolo Λ). La prima colonna di S è (il primo vettore della base viene mandato da ρ nel

secondo). La seconda colonna è necessariamente quindi la matrice S coincide

con T3. Lo stesso ragionamento si applica alle matrici di ordine 4 e 6.La situazione è diversa per i gruppi Dn che ammettono rappresentazioni non coniugate. Si ha infatti il

TEOREMA 11. Le matrici di GL2(R) di ordine 2 e determinante −1 sono coniugate alla matrice A =

o alla matrice B = . Le due matrici A e B non sono coniugate in GL2(Z).

Dimostrazione. Sia T ∈ GL2(Z); siccome T ≠ −I (T ha determinante −1 per ipotesi) esiste un punto intero v ∈ Z2 tale che il punto w = v + T · v ≠ 0. Da T2 = I si deduce che T · w = w; quindi T ammette un punto fisso intero diverso dall’origine. Sostituendolo eventualmente con un suo sotto-multiplo minimale in Z2 e completandolo ad una base, si ottiene l’esistenza di una base (w1, w2) di Z2 con la proprietà che T · w1 = w1. Pertanto T è coniugata in GL2(R) ad una matrice con prima colonna . La seconda colonna deve essere del tipo , con a ∈ Z (infatti il determinante è −1). Possiamo quindi

supporre che la matrice T sia uguale a . Se a è pari, scriviamo a =2n con n intero e poniamo

S = . La matrice S ·T ·S−1, coniugata di T mediante S, risulta essere B. Se invece a =2n+1 è

dispari, coniugando allo stesso modo si ottiene la matrice che è coniugata ad A tramite la

matrice . Dimostriamo che A e B non sono coniugate. Gli autovettori di A sono multipli

di (rispettivamente all’autovalore 1) e (rispettivamente all’autovalore −1). Siccome questi


due vettori sono minimali e non generano il reticolo Z2, A non è diagonalizzabile sugli interi.Da questo fatto deduciamo immediatamente che D1 ha esattamente due rappresen tazioni ammissibili non coniugate: sia infatti σ la riflessione del gruppo D1, in modo che D1 = {e, σ}; possiamo definire le due rappresentazioni φ1,φ2 mediante φ1(σ)= A, φ2(σ)= B e naturalmente φ1(e)= φ2(e)= I. Pertanto i due gruppi di matrici intere che rappre sentano D1 sono Φ1,A :=<A>= {I,A} e Φ1,B :=<B>= {I,B}.Analogamente succede per D2 che è rappresentato dai gruppi di matrici Φ2,A :=< −I,A > e Φ2,B =< −I,B >. Anche D3 ammette due rappresentazioni non coniugate. Infatti sia v un vettore di norma minima in un reticolo invariante per una rotazione ρ di ordine 3. Come osservato più volte, v e ρ(v) generano il reticolo. Per semplificare la notazione, immergiamo il reticolo nel piano complesso e supponiamo v = 1, ρ(v)= ζ (una radice terza primitiva di 1). Ci sono sei riflessioni che lasciano invariato il reticolo Z[ζ]. Una di queste è il coniugio, che nella base (ζ, ζ2) è rappresentato dalla matrice A; un’altra è la riflessione rispetto all’asse degli immaginari. Le altre riflessioni sono coniugate a queste. Si noti che la prima, associata alla matrice A, ammette un vettore fisso di norma minima (il vettore 1), la seconda no. Quando n = 6, tutte e sei le riflessioni compaiono, quindi D6 è rappresentato in un solo modo.

Poniamo Φ3,A =<T3,A > e Φ3,C =<T3,C > dove C = è la matrice della riflessione rispetto

all’asse degli immaginari nella base ζ,ζ2 (preferiamo conservare la stessa base, quindi la stessa matrice per T3). Naturalmente D6 contiene tutte e sei le riflessioni, quindi in una base opportuna è rappresen-tato dal gruppo di matrici generato da A, C e T3 (gruppo che comprende anche T6).Una situazione analoga a quella per D6 capita per D4.

TEOREMA 12. Sia Φ un sottogruppo di GL2(Z) isomorfo a D4. Allora Φ è coniugato in GL2(Z) al gruppo <T4, A >= {±I,T4,T4

−1, ±A, ±B}.

Dimostrazione. Sia infatti ρ = ρ2π/4 la rotazione di un angolo di 2π/4, σ una sim metria, in modo che

D4 =< ρ,σ >. S’è visto che esiste una rappresentazione φ tale che φ(ρ)= T4 = . Sia

C = φ(σ). Dalla relazione (facilmente verificabile) ρ·σ·ρ2 = σ si deduce che T4 · C · T42 = C. Posto

C = il sistema lineare T4 · C · T42 = C diventa c1 + c4 =0, c3 = c2, quindi C = ,

con c1, c2 numeri interi. Dalla relazione det(C)= −1 si deduce che c1 =0 o c2 = 0; pertantoC ∈ {±A, ±B}, dove A e B sono le matrici del Teorema. Siccome A · T4 = −B, A · T4

2 = −A, in ogni caso φ(D4)= {I,T4,T4

2,T43, A, B, −A, −B} (chiameremo Φ4 questo gruppo di matrici).

Osservazione. La dimostrazione appena fornita si pu’o rienunciare in maniera più geometrica: data una rotazione ρ di ordine 4 ed un reticolo invariante Ω, preso un vettore v di norma minima in Ω, la coppia (v, ρ(v)) è una base del reticolo, nonché una base ortogonale del piano. Data una riflessione σ che lascia il reticolo invariante, le matrici associate alle isometrie del gruppo generato da ρ e σ devono essere ortogonali a coefficienti interi. Le matrici di questo tipo sono solo le otto matrici sopra descritte. Notiamo che le matrici del gruppo SO2 corrispondono ai punti del cerchio unitario; per-tanto l’insieme GL2(Z) ∩ SO2 si identifica con i punti interi sul cerchio unitario (sono solo quattro). O2 ∩ GL2(Z) corrisponde quindi ai punti interi su due copie di cerchi.

Consideriamo il caso in cui Δ→

sia un gruppo Cn, quindi Δ = Δ+ e Φ=<Tn >. Siccome Cn è ciclico, esiste una isometria δ ∈Δ la cui proiezione genera Δ

→; δ e una rotazione, quindi ammette un punto fisso P.

Lo stabilizzatore di P contiene le n potenze di δ, che sono distinte (essendo distinte le loro proiezioni in Δ

→). Ogni elemento di Δ è il prodotto di una potenza di δ per una traslazione, quindi lo stabilizzatore


ΔP di P è generato da δ. Il gruppo Δ si decompone in un prodotto semi-diretto del sottogruppo nor-male delle sue traslazioni Ω e dello stabilizzatore ΔP ≅ Δ

→. L’azione di Δ

→ su Ω è naturalmente quella descritta al paragrafo precedente. In questo caso Δ risulta determinato. Otteniamo pertanto il

TEOREMA 13. Ci sono esattamente cinque classi di coniugio di gruppi discontinui Δ < I+ di volume finito. Si ottengono come prodotto semi diretto di un gruppo Cn (per n =1, 2, 3, 4, 6) con un reticolo invariante.

Invece nel caso in cui Δ ⊄ I+, cioè quando Δ contiene riflessioni o glisso-riflessioni, non è detto che esi-sta un sottogruppo complementare a Ω e che Δ si decomponga in prodotto semi-diretto. Questo spiega perché da tredici possibli azioni di δ

→ su Z2 si ottengano dici assette gruppi discontinui non coniugati.

Nel seguito Δ è un gruppo discontinuo di isometrie, di volume finito, non contenuto in I+; pertanto il gruppo Δ

→ è un gruppo diedrale Dn, contenente Δ

→ += Cn come sottogruppo di indice 2. Indichiamo con π :Δ → Δ

→ la proiezione canonica, di nucleo Ω. Sia O ∈ A2 un centro per il sottogruppo Δ+, in modo

che il suo stabilizzatore ΔO sia isomorfo, tramite la proiezione π, a Cn. Vale il seguente

TEOREMA 14. Sia Δ come sopra, con Δ→

diedrale. Le seguenti proposizioni sonoequivalenti:(1) La proiezione π ammette una sezione.(2) Esiste un sottogruppo di Δ isomorfo a Δ

→.

(3) Esiste un asse di riflessione passante per O.(4) L’orbita di O sotto l’azione di Δ coincide con l’orbita sotto l’azione di Ω.(5) Ogni glisso-riflessione di Δ si decompone nel gruppo Δ nel prodotto di una riflessione per una

traslazione.(6) Δ si decompone nel prodotto semi-diretto di Δ

→ per Ω.

Dimostrazione. (1) ⇒ (2). Sia θ una sezione di π. Allora θ(Δ→

) è isomorfo a Δ→

.(2) ⇒ (3). Sia G un sotto-gruppo di Δ isomorfo a Δ

→; siccome G è finito, non può contenere trasla-

zioni, quindi la restrizione di π a G è iniettiva. Allora G è isomorfo via π a Δ→

; consiste di n rotazioni e n riflessioni (nessuna glisso-riflessione essendo un gruppo finito). Abbiamo già osservato che ogni gruppo finito di affinità ammette un punto fisso (il baricentro dell’orbita di un qualsiasi punto). Sia P un punto fisso per G; in particolare P è un centro per Δ+, pertanto sta nell’orbita di O; allora lo stabilizzatore di O è coniugato a G, quindi contiene riflessioni. (3) ⇒ (4). Se esiste una riflessione che fissa O, allora lo stabilizzatore di O contiene 2n elementi (n rotazioni di centro O, per ipotesi, e n riflessioni, ottenute da una di esse coniugandole con le rotazioni). Allora la restrizione di π a ΔO è surgettiva. Sia ora P un punto dell’orbita di O per Δ; sia δ ∈ Δ tale che δ(O)= P, σ un ele-mento di ΔO tale che π(σ)= π(δ). Poniamo δ’ = δ ◦ σ−1. Allora δ’(O) = δ(O)= P e π(δ’)= e, quindi δ’ è una traslazione che manda O in P. (4) ⇒ (5). Sia δ ∈ Δ una glisso-riflessione. Allora δ = σ ◦ τ, dove σ è una riflessione e τ una traslazione di vettore parallelo all’asse fisso di σ. Dobbiamo dimo-strare che σ e τ appartengono a Δ. Sia τ la traslazione tale che τ(O)= δ(O). Allora σ := τ-1◦ δ è una isometria inversa che fissa O; pertanto è una riflessione rispetto ad un asse passante per O. Allora δ = σ ◦ τ con σ, τ nel gruppo Δ. (5) ⇒ (6). Il gruppo Δ

→ è generato da due riflessioni vettoriali ;

per ipo tesi sono indotte da riflessioni σ1, σ2 del gruppo Δ, non solo da glisso-rilessioni. Sia O il punto d’intersezione degli assi di riflessione di σ1, σ2. Allora lo stabilizzatore di O è isomorfo a Dn. Vogliamo dimostrare che ogni elemento di Δ si decompone in modo unico come prodotto σ ◦ τ dove σ fissa O e τ è una traslazione. Cominciamo con l’unicità: dalla relazione σ ◦ τ = σ’ ◦ τ’ si deduce σ’−1 ◦ σ = τ’ ◦ τ−1. Siccome σ’−1 ◦ σ fissa O, anche la traslazione τ’ ◦ τ−1 deve fissare O, quindi è l’i-dentità, e così σ’−1 ◦ σ =e cioè σ = σ’ e τ = τ’. Per l’esistenza della decomposizione, usiamo il fatto che giacché ΔO ≅ Dn, la proiezione ΔO Δ

→ è surgettiva. Sia ora δ un qualsiasi elemento di Δ; l’i-

sometria vettoriale δ→

è anche indotta da una isometria σ che fissa O; pertanto σ−1 ◦ δ = τ è una tra-slazione e δ = σ ◦ τ come si voleva. Per il teorema 13, Δ è un prodotto semi-diretto del suo sotto-gruppo normale delle traslazioni per lo stabilizzatore ΔO. (6) ⇒ (1) È immediato.


TEOREMA 15. Sia Δ un gruppo discontinuo di isometrie con reticolo di traslazioni Ω. Sia Δ→

= Dn come sopra, rappresentato dal gruppo di matrici Φ rispetto ad una base del reticolo Ω. Se σ ∈ Δ è una glissoriflesisone e σ→ è rappresentata dalla matrice A, allora σ si decompone nel gruppo Δ in prodotto di una riflessione per una traslazione.

Dimostrazione. Sia (v1,v2) una base del reticolo, rispetto alla quale la matrice di σ→ sia A. Nelle coor-dinate relative a tale base σ si scrive

per un numero reale a. Allora σ2 è la traslazione di vettore . Siccome σ appartiene al gruppo Δ, σ2 deve essere una traslazione del reticolo Ω, quindi a è un numero intero. A meno di comporre σ con una traslazione intera (del reticolo) si può supporre a =1/2. Allora σ’ := σ ◦ τ−e1 ammette punti fissi; essendo una isometria inversa, dev’essere una riflessione. Allora σ si decompone come σ’ ◦ τe1, in un prodotto di riflessioni del gruppo Δ per una traslazione del reticolo Ω.Se invece σ→ = B, la glissoriflessione espressa nelle coordinate del reticolo mediante

non si decompone, come è facile verificare.

Possiamo ora completare la classificazione distinguendo tutti i diciassette casi.

I. Δ→

= C1. -Il gruppo discontinuo coincide col reticolo delle traslazioni. Siccome i reticoli sono tutti coniugati, c’è una sola classe di gruppi discontinui corrispondenti.

II. Δ→

= C2. -Il gruppo consiste nelle trasformazioni del tipo ±τ, dove τ è una traslazione del reticolo.

III. Δ→

= C3. -Sia ρ una rotazione d’ordine 3 nel gruppo. Dato un vettore minimo v nel reticolo delle traslazioni, il reticolo stesso risulta essere generato da v e dalla sua immagine ρ(v). Il gruppo è un prodotto semi-diretto del gruppo generato da ρ e del reticolo generato da τv,τρ(v). Esempio: il dise-gno dei Rettili.

IV. Δ→

= C4.-Come nel caso precedente, il reticolo si ottiene a partire da un vettore di norma minima; il reticolo ammette una base che è ortonormale nel piano; il gruppo Δ risulta un prodotto semi-diretto.

V. Δ→

= C6. Il reticolo è come nel terzo caso e il gruppo si decompone come nei due casi precedenti.

VI. Δ→

= D1 e Φ =<A>. -Grazie al Teorema 14, esiste una riflessione σ ∈ Δ. Sia (v1, v2) una base del reticolo tale che σ scambi v1 con v2 (una tale base esiste poiché la matrice di σ è A). Possiamo

suppore che e1 = v1 + v2. Allora . A meno di cambiare gli indici possiamo

supporre a> 0. Il reticolo risultante è un reticolo di rombi, con parallelogramma fondamentale di ver-tici 0, v1, e1, v2. Il gruppo è un prodotto semi-diretto, generato dal reticolo delle traslazioni e dalla riflessione rispetto all’asse x (coniugio in coordinate complesse). Un dominio fondamentale è il trian-golo di vertici 0, v1, e1.

VII. Δ→

= D1, Φ =<B> e Δ si decompone in prodotto semi-diretto. -Sia come sopra σ una riflessione, (v1, v2) una base del reticolo rispetto alla quale la matrice di σ è B. Allora necessariamente v1 e v2 sono ortogonali (generano un reticolo di rettangoli). Le lunghezze di v1 e v2 sono naturalmente arbitrarie (e


anche il loro rapporto). Anche in questo caso il gruppo è prodotto semi-diretto del sottogruppo delle traslazioni per il sottogruppo generato dalla riflessione rispetto all’asse x. Tuttavia il gruppo non è isomorfo al precedente nemmeno come gruppo astratto.

VIII. Δ→

= D1, Φ =<B > e Δ non si decompone come prodotto semi-diretto. In coordinate opportune il

gruppo risulta generato dalle traslazioni intere e dalla glisso -riflessione σ : . Notare

che Δ non contiene alcuna riflessione. Esempio: il disegno dei Cavalieri.

IX. Δ→

= D2, Φ =< −I,A > -In virtù del Teorema 14, Δ è prodotto semi-diretto del gruppo delle trasla-zioni del reticolo del caso VI per il gruppo generato dalla riflessione rispetto all’asse x e dalla rota-zione di un angolo π.

X. Δ→

= D2, Φ=< −I,B > e Δ si decompone. -Allora Δ è il prodotto semi-diretto del reticolo delle trasla-zioni intere per il gruppo generato dalla riflessione rispetto all’asse x e dalla rotazione di un angolo π.

XI. Δ→

= D2, Φ=< −I,B > e Δ non si decompone. -Δ risulta allora generato dalle traslazioni intere, dalla

rotazione di π e dalla glissoriflessione σ : . Non contiene riflessioni.

XII. Δ→

= D3, Φ=<T3, A >. -Il reticolo è come nel terzo caso, e il gruppo contiene in più le riflessioni rispetto ad un asse generato da un elemento di norma minima del reticolo. (Scegliendo come base ζ,ζ2, dove ζ è una radice terza primitiva di 1, la riflessione diventa il coniugio).

XIII. Δ→

= D3, Φ=<T3,C > e Δ si decompone come prodotto semi-diretto. -Analogo al precedente, solo che l’asse di riflessione non contiene elementi del reticolo di norma minima.

XIV. Δ→

= D3, Φ=< T3,C > e Δ non si decompone. -Prendendo, come reticolo Z[ζ], rispetto al caso precedente c’è la glisso-riflessione prodotto della riflessione attorno all’asse y con la traslazione di (ζ − ζ2)/2. Non contiene riflessioni.

Angeli e diavoli. Cavalieri.


XV. Δ→

= D4 e Δ si decompone. -Prendendo il reticolo Z[i], il gruppo è generato dal gruppo additivo Z[i] dalla moltiplicazione per i (rotazione) e dal coniugio.

XVI. Δ→

= D4 e Δ non si decompone. Allora Δ contiene il prodotto del coniugio per la traslazione di 1/2. Notare che sono presenti riflessioni lungo assi paralleli alle diagonali; invece ci sono solo glisso-riflessioni parallele agli assi. È interessante il fatto che gli assi di riflessione si incontrano in centri di rotazione di ordine 2, non 4 (altrimenti, per il Teorema 14 –proprietà (3), Δ sarebbe un prodotto semi-diretto!). Vedere la figura degli Angeli e diavoli, avendo l’accortezza di scegliere delle coordi-nate ortogonali sulle diagonali del disegno, passanti per un punto d’intersezione delle ali!

XVII. Δ→

= D6. È il caso del favo delle api.

Rettili. Reticolo di mattonelle.

MODELLI E ONTOLOGIE

Elio ToppanoDipartimento di Matematica e Informatica, Università di Udine

1. Introduzione: il concetto di modelloDare una definizione esauriente del concetto di modello è difficile, in quanto, spesso, a questo ter-mine vengono attribuiti significati diversi. Vediamo alcuni esempi tratti dal linguaggio comune:- uno stilista che disegna il modello di un abito descrive, attraverso un insieme di linee sulla carta o

sulla stoffa, una idea presente nella sua mente, una rappresentazione che non è ancora l’abito, ma che serve al sarto per tagliare e realizzare l’abito;

- una rappresentazione grafica tridimensionale di una diga eseguita al calcolatore è un modello vir-tuale, in scala ridotta, dell’artefatto da realizzare;

- un plastico della crosta terrestre realizzato con la plastilina è un modello fisico di qualche cosa che invece esiste già in natura, costruito in modo ritenuto funzionale per descrivere – analizzare e stu-diare - questo particolare aspetto della realtà;

- una carta geografica costituisce un modello bidimensionale di una porzione di territorio, nel senso che lo riproduce graficamente secondo certe convenzioni;

- un modello di vita è la rappresentazione di un insieme di comportamenti assunti come riferi-mento;

- una ricetta di cucina è il modello di una procedura nel senso che descrive una sequenza di azioni che, se eseguite nell’ordine e nelle modalità descritte, permettono di realizzare la pietanza descritta dalla ricetta.

Il denominatore comune (più o meno esplicito) a questi esempi è che un modello è qualche cosa che rappresenta o descrive qualcosa d’altro da se sia che questo qualche cosa d’altro sia già esistente (la crosta terrestre, una porzione di territorio, un comportamento di riferimento, una procedura, ecc.) oppure debba ancora essere realizzato (un abito, una diga).Esistono però anche altri significati possibili. Per l’artista che esegue un ritratto dal vero, per esem-pio, il modello è la persona che viene ritratta piuttosto che la sua rappresentazione. Nella teoria delle basi di dati relazionali il termine “modello” denota un insieme di strutture simboliche mediante le quali descrivere o rappresentare una certà realtà: in questo caso, quindi, il modello (ad esesempio il modello Entità Relazioni) è il linguaggio utilizzato per costruire la rappresentazione e non la rap-presentazione stessa. In logica il termine modello viene usato con il singnificato di interpretazione semantica di un insieme di enunciati tale che gli enunciati sono veri sotto quella interpretazione. E gli esempi potrebbero continuare.La definizione che segue è stata proposta da Minsky [9] e coglie alcuni aspetti generali, ma impor-tanti di questo concetto:“Dati due oggetti, M ed S, e un osservatore O, l’oggetto M è detto modello dell’oggetto S se l’os-servatore O può usare M per rispondere a domande o, più in generale, per risolvere problemi, che lo interessano e che riguardano S”.La definizione non fa particolari assunzioni sulla natura delle entità M ed S coinvolte. S potrebbe essere un sistema esistente oppure ancora da costruire; potrebbe essere un oggetto, ad esempio un artefatto tec-nico, oppure un fenomeno fisico, un processo industriale, una procedura o una attività. Analogamente il modello M può essere di natura diversa: una descrizione simbolica (un modello simbolico) oppure un oggetto materiale (un “modellino” in scala ridotta). L’aspetto che viene sottolineato con maggior forza dalla definizione di Minsky è che un modello è un particolare tipo di artefatto, cioè un oggetto progettato (e costruito) intenzionalmente per soddisfare uno o più scopi (in un contesto dato).Alcune implicazioni teoriche e pratiche della definizione sono le seguenti [5]:1. un modello è un “surrogato” della realtà che viene costruito per permettere all’osservatore-utente

di trarre delle conseguenze sulla realtà (esistente o immaginata) ragionando, piuttosto che agendo in essa;


2. un modello, essendo un surrogato, è inevitabilmente una astrazione della realtà e incorpora un insieme di assunzioni - ontologiche (su cosa esiste), epistemologiche e rappresentazionali (su come ciò che esiste può essere conosciuto e descritto) che sono specifiche rispetto allo scopo per cui viene costruito;

3. per un dato oggetto S non esiste “il Modello di S”, ma esistono diversi modelli che rappresentano S da diverse prospettive, a diversi livelli di astrazione e per diversi scopi a seconda dell’osserva-tore O, del tipo di problema da risolvere e degli obiettivi dell’applicazione a cui il modello e desti-nato;

4. l’accettabilità di un modello M può essere valutata: i) rispetto al sistema reale S che esso descrive, ii) rispetto agli scopi che l’osservatore O desidera soddisfare, iii) rispetto ad un altro modello M* che rappresenta il sistema S, per gli stessi scopi, ma ad un livello diverso di astrazione o approssi-mazione. Come conseguenza, cambiano i criteri di valutazione: l’accuratezza e la precisione del modello nel descrivere o predire gli aspetti rilevanti della realtà modellata, nel primo caso; l’uti-lità ed efficacia del modello nel soddisfare lo scopo dell’utente, nel secondo caso; e, infine, l’ef-ficienza, la semplicità, l’usabilità e, in generale, la adeguatezza cognitiva della rappresentazione, nell’ultimo caso.

1.1 I modelli simboliciUn modello simbolico è essenzialmente una descrizione. Ma come è fatta una descrizione, quali sono gli ingredienti principali che costituiscono una descrizione? Sapere come è fatta una descrizione per-mette di capire che decisioni si devono prendere quando si intende costruire un modello.Nel seguito supporremmo quanto segue [10-11]:1. una descrizione è costituita da un insieme di asserzioni riguardanti la realtà S considerata (che

denoteremo con il termine referente). Il modello descrive S nel senso che asserisce, cioè dice qual-che cosa su S;

2. le asserzioni sono rappresentate in un qualche linguaggio di rappresentazione(L);3. le asserzioni descrivono la realtà modellata S in termini di un qualche sistema di concetti (una con-

cettualizzazione). Più precisamente, col termine concettualizzazione si intendono: i tipi di entità (materiali o astratte) che si assume esistano nel mondo, i tipi di relazioni che si suppone valgano fra tali entità e, infine, gli attributi delle entità (e delle relazioni) con i relativi domini di possibili valori. La concettualizzazione dipende dal punto di vista adottato dal modellizzatore;

4. le asserzioni del linguaggio, per reificarsi in segni fisici, tangibili e percepibili, hanno bisogno di un veicolo strumentale. Si pensi, ad esempio, alle parole scritte con l’inchiostro su un foglio di carta, o alle immagini formate da pixel luminosi sullo schermo di un sistema di calcolo.

Ad esempio, la pagina che state leggendo, composta da macchie di inchiostro su carta, è il veicolo strumentale. Le macchie di inchiostro rappresentano delle frasi espresse nella lingua italiana. Le frasi asseriscono qualche cosa del mondo nel senso che designano concetti, proprietà, relazioni che appar-tengono alla concettualizzazione che l’autore ha riguardo l’argomento trattato. La concettualizzazione esprime sempre ed inevitabilmente il punto di vista dell’autore sull’argomento.

1.2 I modelli scientifici e quelli matematiciCome si può collegare il concetto generale di modello simbolico con i concetti più specifici di modello scientifico e di modello matematico. Consideriamo alcune definizioni tratte dalla letteratura sull’ar-gomento. Secondo Bunge, citato in [4]:“Un modello scientifico è una rappresentazione di un sistema reale o pensato, consistente in un insieme di enti con determinate proprietà, e una serie di leggi di stato che regolano il comporta-mento di questi enti; le funzioni che un modello scientifico essenzialmente assolve sono quella pre-dittiva e quella interpretativa”.La definizione ribadisce alcuni aspetti già analizzati: un modello scientifico è una rappresentazione, è un artefatto che serve per determinati scopi. In particolare vengono enfatizzate due funzioni spe-cifiche quella predittiva e quella interpretativa. L’insieme degli enti e delle leggi di stato cui fa rife-


rimento la definizione sono considerate da Bunge come le componenti ontologiche di un modello scientifico. Gli enti del modello potrebbero denotare un insieme di grandezze fisiche, mentre le leggi sarebbero le equazioni differenziali che vincolano il comportamento (cioè la variazione dello stato inteso come insieme dei possibili valori) di tali grandezze nel tempo.Per Malinvaud [8]:“Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un feno-meno”.Secondo questa definizione:- un modello matematico è la rappresentazione di un fenomeno (piuttosto che di un sistema);- si richiede che tale rappresentazione sia espressa in un linguaggio formale;- non esiste una via diretta dalla realtà alla matematica, il fenomeno specifico descritto non determina la sua rappresentazione matematica. Ciò che si fa è tradurre idee e conoscenze relative al fenomeno considerato. Si noti che in questo modo si sottolinea il ruolo delle concettualizzazioni del modelliz-zatore.Infine, si consideri la seguente definizione di modello proposta da Von Neumann - uno dei padri della Scienza dei Calcolatori - citato in Israel, [7]:“Per modello si intende un costrutto matematico che con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali descrive fenomeni osservati. La giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e preci-samente che ci si aspetta che funzioni cioè che descriva correttamente i fenomeni in un’area ragio-nevolmente ampia. Inoltre esso deve soddisfare certi criteri estetici cioè, in relazione alla quantità di informazione che descrive, deve essere semplice”Ci pare interessante sottolineare, in questa definizione, due aspetti. Il primo riguarda il criterio di giu-stificazione del modello adottato: il modello deve funzionare cioè descrivere correttamente i fenomeni in una area ragionevolmente ampia. È un criterio molto pragmatico, ma anche problematico. Che cosa significa descrivere correttamente? Cosa si deve intendere per “area ragionevolmente ampia”?Il secondo aspetto interessante riguarda l’applicazione di un criterio estetico: un modello non solo deve riflettere correttamente il fenomeno rappresentato, ma deve anche essere semplice ossia, per esempio, deve essere costituito da un numero minimo di entità. Può un fenomeno complesso essere rappresentato in maniera corretta da un modello semplice? Come si scelgono gli aspetti/entità da rappresentare e gli aspetti da ignorare? Sono gli aspetti pertinenti? Ma cosa significa pertinente? Rispetto a cosa? Per chi?Si potrebbe andare avanti citando ulteriori definizioni e osservando come ciascuna di esse enfatizzi alcuni aspetti e caratteristiche dei modelli a scapito di altri. Quello che si vuole sottolineare è la natura problematica del concetto di “modello scientifico” e il ruolo che i punti di vista degli autori hanno nella formulazione delle diverse definizioni.

1.3 L’attività di modellizzazione e l’uso dei modelliDa quanto detto nei paragrafi precedenti segue che l’attività di costruzione di un modello simbolico (o modellizzazione), implica tre sotto-attività fondamentali (Figura 1):- internalizzazione: il modellizzatore si costruisce una immagine mentale (la concettualizzazione Im(S)

del sistema da modellare (S); tale immagine dipende dalle conoscenze personali o di background del modellizzatore;

- rappresentazione: il modellizzatore sceglie un linguaggio di rappresentazione, decide quali aspetti della concettualizzazione rappresentare nel modello, associa alle primitive del linguaggio i signi-ficati/concetti che intende trasmettere (Im(M);

- esternalizzazione: il modellizzatore utilizza il sistema notazionale del linguaggio scelto e uno spe-cifico veicolo strumentale per rendere manifesto e percepibile il contenuto concettuale che intende esprimere (M).

Queste tre attività vanno intese come attività integrate che avvengono simultaneamente piuttosto che in sequenza cronologica. In altri termini ciò significa che non c’è ne’ materializzazione di un pen-siero preesistente nè spiritualizzazione del medium espressivo, ma pensiero (idee, concetti) e medium


(inteso sia come linguaggio espressivo sia come veicolo strumentale) sono co-presenti e si determi-nano reciprocamente. Il modellizzatore acquisisce una sempre maggiore comprensione del sistema che sta modellando iterando le varie fasi e costruendo dei modelli alternativi del sistema che da pre-liminari e incompleti evolvono verso versioni sempre più accurate e complete (ovviamente nei limiti dello scopo per cui sono costruiti). Mentre costruisce il modello, il modellizzatore impara.

Figura 1. L’attività di modellizzazione: internalizzazione S --> Im(S); rappresentazione Im(S)-->Im(M); esternalizzazione Im(M)-->M.

Una situazione particolare, ma importante, riguarda il caso in cui il referente cioè il sistema da model-lare è, a sua volta, un modello. Si parla allora più propriamente di trasformazione o riformulazione di modelli simbolici. Il modellizzatore può trasformare un modello in vari modi ad esempio modifi-candone il contenuto concettuale, oppure cambiando il linguaggio di rappresentazione o effettuando entrambe queste trasformazioni.È ciò che avviene quando i modelli sono usati come mediatori (boundary objects) nella comunica-zione tra utenti appartenenti ad una stessa comunità di pratica o a comunità differenti [11]. Si pensi ad esempio, ai diversi modelli simbolici che vengono prodotti e scambiati all’interno di un gruppo di progettisti: dagli schizzi iniziali ed informali dell’artefatto da progettare, agli schemi grafici fino ai disegni tecnici finali. Questi ultimi dovranno contenere l’informazione completa per la successiva costruzione dell’artefatto in un formato che sia comprensibile ai realizzatori. Il disegno tecnico fa da mediatore tra la comunità dei progettisti e quella dei realizzatori. Un problema cruciale quando si uti-lizzano i modelli simbolici nella comunicazione tra persone appartenenti a diverse comunità di pra-tica riguarda la possibilità che il contenuto concettuale del modello sia interpretato in modi diversi. Una comunicazione efficace richiede quindi un allineamento delle concettualizzazioni personali che non sempre è possibile o può essere garantito.I modelli simbolici non sono usati solo per comunicare ma anche, e soprattutto, per interpretare e per risolvere situazioni problematiche. Un modello, infatti, inteso come schema o struttura concettuale può servire per dare un ordine e un senso al flusso, altrimenti disordinato e incomprensibile, della esperienza. Alcuni modelli sono utilizzati per scopi descrittivi, altri per simulare il comportamento di un sistema al fine di prevederne il comportamento futuro; altri ancora possono essere usati per for-nire spiegazioni sulle cause o sulle ragioni di un dato comportamento o fenomeno.La Figura 2 illustra, in maniera astratta, l’utilizzo dei modelli nella risoluzione dei problemi. In gene-rale si suppone che una situazione (o sistema) S, per qualche verso problematica, susciti in noi delle domande o problemi che indicheremo con Ps. Per dare una risposta si modellizza S: si costruisce cioè


una rappresentazione simbolica M “analoga” di S. Più precisamente: il modello M di S è costruito in modo tale che, nell’analogia di S con M, il problema Ps posto per S si traduce in un problema Pm attinente ad M. Si utilizza il modello M per trovare una risposta Rm al problema Pm. Infine, sfrut-tando l’analogia tra S e M in senso inverso, si riesce a ottenere da Rm una risposta Rs attinente ad S e la si sottopone a verifica.

Figura 2. Uno schema semplificato dell’utilizzo dei modelli per la risoluzione di problemi.

Figura 3. Un esempio di modello simbolico che utilizza la logica.

1.4 Un esempioPer fissare le idee si supponga di voler costruire un modello strutturale della situazione S illustrata nella Figura 3. La situazione consiste in cinque cubi (a,b,c,d,e) disposti su due pile sopra un tavolo t. Il modellizzatore si costruisce una immagine mentale (la concettualizzazione) della situazione data, sceglie il linguaggio di rappresentazione - nel nostro caso il calcolo dei predicati del 1° ordine - infine costruisce delle asserzioni (delle formule) utilizzando i simboli e le regole sintattiche del linguag-gio e assegna ai simboli e alle formule del linguaggio una interpretazione sulla base della concettua-lizzazione prodotta. Per esempio utilizza i simboli “A” e “B” del linguaggio per denotare rispetti-vamente gli oggetti “a” e “b” della concettualizzazione e la formula On(A,B) per descrivere la rela-zione “a è sopra b”.


A questo punto è possibile utilizzare il modello M per risolvere dei problemi, ad esempio eseguire delle deduzioni logiche. In generale, nei processi deduttivi si parte da una regola del tipo “SE vale A, ALLORA si può inferire B” che denoteremo con il simbolo d’implicazione A B, (si legge A implica B, A viene detta premessa della implicazione, B conseguenza) e dalla conoscenza di A (è noto che A è vero) per dedurre la verità di B. In termini logici, la regola è detta assioma, la conoscenza A premessa e la conclusione B teorema. Il ragionamento deduttivo può essere schematizzato come segue:

A B assioma (regola)A premessaB teorema (conseguenza)

Un esempio concreto di applicazione dello schema visto (podus ponens) è:

Se X è un cane allora X è un animale (X indica una entità generica, non specificata)Fido è un caneFido è un animale

Si noti che la deduzione permette di derivare conoscenze che sono già implicitamente contenute nell’assioma. Nell’esempio precedente, l’assioma asserisce che tutti i cani sono animali, per cui è gioco forza concludere che poiché Fido è un cane è anche un animale.

Vediamo di applicare lo schema deduttivo al modello M.

Se [On(x1, x2) e On(x2, x3)] allora Above(x1, x3) (regola)On(A, B), On(B, C) (premessa; x1=A, x2=B, x3=C)Above(A, C) (conseguenza)

La regola asserisce che se un oggetto x1 è sopra e direttamente a contatto (On) con un oggetto x2 e x2 è sopra e a contatto con x3 allora si può inferire che x1 è sopra ma non necessariamente a diretto contatto (Above) ad x3. La premessa utilizza le conoscenze descritte nel modello M che asseriscono che A è direttamente sopra B e B è sopra C. Dalla regola e dalla premessa si può inferire allora che A è sopra (ma non direttamente a contatto) a C. Questo risultato non è descritto nel modello, ma è stato dedotto a partire dal modello e da una semplice regola di produzione. Molte applicazioni della Intelligenza Artificiale (sistemi esperti, robot intelligenti, sistemi basati sulla conoscenza) utilizzano i modelli e le regole di inferenza nel modo illustrato dall’esempio.

2. Le ontologieL’Ontologia è intesa in ambito filosofico come quella branca della metafisica che si occupa dello stu-dio dell’essere in quanto tale. L’ontologia si occupa della natura delle cose che esistono nel mondo. In Informatica [6]:“Un ontologia è una specifica esplicita e formale di una concettualizzazione condivisa”.Vediamo di chiarire alcuni termini presenti nella definizione. In essa si fa riferimento alla nozione di concettualizzazione. Come visto, una concettualizzazione è un sistema di concetti relativi ad un qualche dominio di interesse. È un modello astratto del dominio. Dire che una concettualizzazione è una specifica esplicita di una concettualizzazione significa dire che i tipi di concetti usati e i vin-coli sul loro uso devono essere esplicitamente definiti per esempio in uno standard. L’attributo “for-male” riferito alla specifica si riferisce al fatto che la ontologia dovrebbe essere descritta mediante un linguaggio formale in modo da poter essere “compresa” e usata, oltre che dalle persone, anche dalle macchine (machine readable). Infine il termine “condivisa” riflette il fatto che l’ontologia cattura la conoscenza consensuale cioè quella non propria di un individuo, ma costruita e negoziata all’interno di una comunità di pratica o di interesse.


Il concetto di ontologia è spesso confuso con altri concetti come quello di vocabolario controllato, glos-sario, tassonomia e tesauro. Per evitare fraintendimenti diamo qui di seguito le relative definizioni:- vocabolario controllato: è una lista finita di termini esplicitamente scelti e ordinati (da una auto-

rità di controllo) per descrivere un dominio di interesse;- glossario: è una lista di termini e relative definizioni;- tassonomia: è una struttura gerarchica (ad albero) di termini (o concetti) legati da relazioni di gene-

ralizzazione/specializzazione (tipo-di);- tesauro: è una collezione interconnessa di termini di un vocabolario controllato (usa relazioni:

tassonomiche, associative, di equivalenza).Nelle definizioni riportate si parla indistintamente di concetti e di termini. Un termine è una parola (o coppia di parole o gruppo di parole) che viene usata in uno specifico contesto con un significato specifico. Un concetto è una idea, una rappresentazione mentale che si ha di qualcosa e specialmente delle sue caratteristiche essenziali. Termini e concetti non sono la stessa cosa. Uno stesso concetto può essere denotato da termini diversi (problema dei sinonimi). Ad esempio, si può usare il termine “metodo” o “procedura” come sinonimo dello stesso concetto oppure usare termini appartenenti a lin-gue differenti es. “albero” o “tree” per denotare lo stesso concetto. Alternativamente si può usare uno stesso termine per denotare concetti diversi (problema degli omonimi). Ad esempio il termine “fun-zione” usato per designare sia un tipo particolare di relazione matematica sia il concetto di scopo.Secondo Mike Uschold [13] una ontologia contiene cinque componenti fondamentali:- una struttura concettuale cioè una collezione di concetti e di relazioni (per esempio tipologiche o

mereologiche) tra concetti;- le definizioni dei concetti;- un vocabolario cioè un insieme di termini che denotano i concetti, compresi eventuali sinonimi e

omonimi;- vincoli ed assiomi sul significato da attribuire ai concetti e sul loro uso;- esemplificazioni dell’uso dei concetti e commenti generali.Alcune ontologie, come SUMO, DOLCE, descrivono concetti molto generali (per esempio, il con-cetto di spazio, di tempo, di sostanza, di evento,..) utilizzati in diversi domini. Queste ontologie si chiamano ontologie fondamentali (top ontologies). Altre descrivono i concetti di un dominio speci-fico: biomedico (OBR), aziendale (TOVE), istruzionale (IMS LD), ecc. Su web si possono trovare esempi di ontologie per moltissimi domini di applicazione.

2.1 Funzioni di una ontologiaUna ontologia è un particolare tipo di artefatto e come tale viene progettata e realizzata per svolgere diverse funzioni o soddisfare diversi scopi [1,2,3], [12]. Innanzi tutto una ontologia può essere utiliz-zata per sistematizzare un dato ambito di conoscenza identificandone i principali snodi concettuali, definendo i concetti di base, stabilendo un vocabolario di riferimento per denotare i concetti. Nel campo didattico, l’ontologia può essere usata per specificare la struttura epistemologica di una data disciplina. Nella gestione delle conoscenze, per sistematizzare ed esplicitare le conoscenze usate in un dato ambito e renderle in questo modo riutilizzabili.Una seconda funzione strettamente correlata alla prima è quella di meta-modello. L’ontologia forni-sce i tipi di concetti (di entità e relazione) che definiscono un dato dominio di applicazione e possono essere usati per costruire modelli del dominio ossia descrivere il dominio, analizzarlo, e ragionarci sopra da un dato punto di vista. I modelli del dominio utilizzano istanze dei concetti (classi) descritti dalla ontologia. L’ontologia diventa quindi un generatore di modelli specifici; vincola il modella-tore ad usare, nella descrizione del dominio di applicazione, un dato insieme di tipi di concetti che hanno un significato predefinito e quindi vincola anche il tipo di domande e di problemi che si pos-sono affrontare sul dominio: quelli che sono esprimibili con i soli concetti dell’ontologia!.La Figura 4 schematizza quanto appena detto. Per modellizzare il sistema S sono disponibili due ontologie: Oi e Oj. Oi fornisce i concetti generali per costruire modelli della struttura di S. Esempi di concetti strutturali sono: “componente”, “terminale”, “nodo”, “connessione”, ecc. I modelli strut-


turali, basati su concettualizzazioni di tipo strutturale, descrivono come è fatto un sistema e permet-tono di identificare possibili cammini strutturali tra coppie di componenti dati. Oj, invece, fornisce i concetti per costruire modelli del comportamento di S. I modelli comportamentali descrivono come i componenti di S possono operare e interagire tra di loro e con l’ambiente esterno. Utilizzano, a tal scopo, i concetti di: “tempo”, “grandezza fisica” (variabile, parametro e costante), “legge fisica”, “modo operativo”, “stato”, “valore” e “unità di misura” di una grandezza fisica, ecc. I modelli com-portamentali, permettono di risolvere diversi tipi di problemi come la previsione dello stato futuro del sistema, l’analisi delle dipendenze tra grandezze fisiche, l’analisi di sensitività, la spiegazione causale del comportamento, la diagnosi comportamentale. Si tratta di due punti di vista diversi sul sistema S. Spesso per risolvere problemi complessi è necessario usare più modelli contemporanea-mente. Per diagnosticare i possibili guasti di un sistema tecnico, per esempio, sono necessari i seguenti modelli: un modello strutturale della attività diagnostica che descriva come tale attività può essere decomposta in sottoattività e quali relazioni esistono tra di esse; un modello strutturale del sistema tecnico che descriva quali componenti costituiscono il sistema e come sono interconnessi tra di loro; un modello comportamentale del sistema tecnico che permetta di simulare il comportamento cor-retto del sistema per confrontarlo con quello attuale e identificare possibili sintomi e guasti; even-tuali modelli di comportamenti non corretti (modelli di guasto) che possano essere usati per fare ipo-tesi o discriminare tra ipotesi di guasti; ecc.

Figura 2. Le ontologie come meta-modelli: forniscono i tipi di concetti per costruire modelli specifici del sistema referente S.

La necessità di operare nella risoluzione di problemi complessi con modelli basati su concettualiz-zazioni eterogenee (nell’esempio di cui sopra modelli strutturali e comportamentali) richiede che le ontologie possano interoperare tra di loro ossia che esistano delle concettualizzazioni ponte (bridge ontologies) che stabiliscano collegamenti tra concetti appartementi alle ontologie coinvolte.Un’altra funzione della ontologia è quella di contesto cioè di esplicitare le (o alcune) informazioni implicite di un modello. La prospettiva è esattamente duale al caso precedente. L’ontologia associata ai concetti usati per descrivere un dato dominio, ne specifica il significato, le interrelazioni e le con-dizioni di uso. È come se dicesse al modellatore: “Puoi usare questi concetti, ma con questo signifi-cato, queste relazioni e queste realizzazioni terminologiche” e all’utente del modello “Il significato di quanto descritto in questo modello è in queste definizioni dei concetti, questi legami tra concetti, queste assunzioni e questi vincoli”. L’ontologia spiega ciò che nel modello è lasciato implicito. In


questo senso fornisce informazioni contestuali che possono essere usate per comprendere meglio il significato di ciò che viene espresso da un modello.Un altro ruolo delle ontologie è ovviamente quello di facilitare la comunicazione e la comprensione all’interno di una comunità di lavoro o di pratica fornendo un vocabolario e un lessico comune e con-cordato. Questo permette alle persone di collaborare meglio.Infine, un altro ruolo molto importante di una ontologia è quello di supportare l’interoperabilità tra applicazioni diverse, funzione cruciale, per esempio, nell’ambito della iniziativa del Web Seman-tico.

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PER UNA STORIA DEL PRINCIPIO DI RELATIVITÀ

Stefano BordoniUniversità di Bergamo

AbstractThe history of the principle of Relativity is rooted in Middle Ages natural philosophy. In the XIV century N. Oresme put forward a new theory of local motion, quite different from Aristotelian phys-ics. He surmised that the Earth was in motion and the stars at rest: neither experiments nor logic deductions could demonstrate or deny that conjecture. Moreover, the Earth could drag along flying arrows and other moving objects. At the end of the XVI century G. Bruno was able to design a new physics consistent with Copernico’s new astronomy. The motion of bodies on Earth surface did not depend on the starting point nor the end point of the motion; it could not depend on the interposed medium. According to Bruno, the case of a stone falling towards a boat deck or towards the shore of a river showed that the straight trajectory of the stone was at rest with regard the corresponding reference frame.

Da circa un secolo, dalle fondamentali ricerche di Duhem, sappiamo che la storia della fisica non inizia con Galileo. In particolare, la storia del principio di relatività non inizia con Galileo, anche se ciò che è accaduto prima di Galileo è meno noto di ciò che è accaduto successivamente. La sto-ria che sommariamente tratteggeremo è una parte di quella storia meno conosciuta che va dal Tre-cento al Seicento.Nel XIV secolo, a Oxford e Parigi, maturarono alcune interessanti riflessioni sullo spazio, sul tempo e sulla cinematica: si ebbe, in particolare, un processo di matematizzazione della cinematica. Ciò significa che accanto tradizione aristotelica che profondamente influenzava la cultura europeanel XIV secolo poterono nascere e svilupparsi tendenze non perfettamente omologabili a quella stessa tradizione. L’interesse per la cinematica nacque in ambito strettamente filosofico ma si nutrì dell’ap-parato matematico allora disponibile. Il punto di partenza può essere così sintetizzato: come rappre-sentare qualità la cui intensità varia nel tempo.1

Per comprendere il distacco tra ricerca filosofica e matematica, da una parte, e ricerca empirica dall’altro, occorre riferirsi al più generale contesto intellettuale del XIII e XIV secolo. Nella seconda metà del XIII secolo, il papa di Roma Giovanni XXI aveva incaricato il vescovo di Parigi, E. Tem-pier, di controllare l’ortodossia delle tesi di Aristotele, Averroè e Tommaso d’Aquino, che venivano studiate e insegnate nelle università. L’indagine di Tempier sfociò in un elenco di 219 enunciati giu-dicati erronei e quindi condannati.2 La censura di Tempier era indirizzata fondamentalmente contro le leggi rigide che la logica aristotelica imponeva al mondo creato. A quei vincoli intellettuali, Tem-pier opponeva la libertà e l’imperscrutabilità dell’agire divino. Dio, nella sua infinità potenza, nella sua sconfinata libertà, poteva violare le leggi «necessarie» della logica e della fisica: può creare più mondi, può imprimere moto all’universo come un tutto, può, soprattutto, fare miracoli. Alcune tesi condannate si riferiscono a spazio, tempo, moto e collocazione del cosmo nello spazio e nel tempo. Una tesi aristotelica particolarmente temuta era l’eternità del mondo, che sembrava escludere l’atto della creazione divina.3

(1) Come osserva Clagett, tale indagine mantenne un carattere prevalentemente astratto; la speculazione filosofica e matematica si mantenne distante da osservazioni empiriche e dal confronto diretto con i fenomeni matematicamente indagati. Si veda CLAGETT M. 1981, pp. 236-7.(2) Non era la prima volta che il conflitto tra filosofi e teologi sfociava in una condanna dell’autorità ecclesiastica Vicende simili, seppure dagli esiti più contenuti, si erano già verificate negli anni precedenti: nel 1210, nel 1215 e nel 1231. Si veda GRANT E. 1983, p. 36.(3) Si veda PARODI M. 1981, pp. 34 e 201. Grant vede nella condanna il tentativo di «purgare» Aristotele di alcuni


La conseguenza di questa condanna sugli studiosi del XIII e XIV secolo fu una grande cautela nel formulare asserti sul mondo reale. Sebbene la recente riscoperta dell’aristotelismo aveva significato anche la rinascita di un interesse per la natura, tutto ciò che poteva riguardare la realtà fisica venne affrontato in modo ipotetico, mantenendo l’indagine sul livello dell’argomentazione logica o del cal-colo matematico4.

Oresme: l’invarianza dei fenomeni per traslazione uniformeN. Oresme visse e insegnò a Parigi agli inizi della seconda metà del XIV secolo. Egli inventò un metodo grafico bidimensionale per la rappresentazione di grandezze, o “qualità” che subiscono delle variazioni. Anche la trattazione di Oresme è puramente teorica: egli si interessa di “quantità di qua-lità” e delle loro “intensioni” o “remissioni” in generale. Quando espone esempi cinematici, il pro-blema del «controllo sperimentale», così come noi lo intendiamo, non si pone. Questa rappresenta-zione grafica non è il solo contributo che Oresme abbia dato alla cinematica. Interessante è pure la sua riflessione sullo spazio e sul sistema di riferimento. Oresme indaga anche la possibilità, del tutto ipotetica, che esista una pluralità di mondi5.L’ipotesi di altri mondi esternamente al nostro richiede una revisione dell’idea aristotelica di spazio. Secondo Aristotele, lo spazio, così come il tempo, può essere concepito solo all’interno del nostro mondo; non ha senso concepire spazio, tempo e moto esternamente al mondo. Nell’ipotesi di Ore-sme, invece, dall’esistenza di più mondi se ne deduce l’esistenza di uno spazio tra essi. Il nostro mondo dev’essere pensato finito, ma si può ipotizzare coerentemente uno spazio più grande del nostro mondo. Egli ritiene che si possa concepire uno spazio non occupato da corpi, uno spazio vuoto indi-pendente dalla materia.6

Oresme ipotizza uno spazio assoluto, incorporeo, fondamentalmente diverso dallo spazio percepito in relazione ai corpi, lo spazio relazionale dei sensi e della scienza aristotelica. La distanza concet-tuale tra questi due tipi di spazio è la stessa distanza che intercorre tra un tempo assoluto, incorrut-tibile, eterno e la durata degli intervalli temporali che si riferiscono agli eventi reali. Che tale diffe-renza sia di tipo concettuale è indicato dal fatto che Oresme sottolinea la diversità tra una eternità assoluta e un intervallo di tempo di durata infinita.7

Nella ricerca di Oresme entra pure la possibilità del moto della terra. Egli è consapevole che il mondo accessibile alla nostra osservazione, in particolare il suo stato cinematico, è suscettibile di differenti interpretazioni. Infatti, il movimento del cielo stellato, così come è osservabile dalla terra, è spiega-bile sia attribuendo il moto ai cieli e la quiete alla terra, che attribuendo il moto alla terra e la quiete ai cieli. La scelta tra le due alternative è sottratta, secondo Oresme, a qualunque controllo empirico. Non esistono esperienze in grado di discriminare tra le due differenti interpretazioni.

enunciati imbarazzanti, per potere poi «salvare» la compatibilità con la teologia di tutto il resto del suo corpus filosofico e cosmologico. Si veda e GRANT E. 1983, p. 79.(4) Si veda GRANT E. 1983, pp. 110-11.(5) Pare che Oresme non sia stato il primo in assoluto ad introdurre tali rappresentazioni, anche se a lui si deve l’espo-sizione più completa e convincente Per una più dettagliata discussione, si veda CLAGETT M.. 1981, pp. 356-7 e 365. Si vedaORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, citato e tradotto in PARODI M. 1981, pp. 255 e 257-9.(6) Si veda ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in PARODI M. 1981, pp. 261-262: “Ancora, supponendo che la sfera degli elementi o tutti i corpi corruttibili contenuti entro la volta del cielo o entro la sfera della luna fosse-ro annichilati, e che il cielo rimanesse invece come è ora, ne seguirebbe necessariamente che in questa concavità si avrebbe una distanza e uno spazio vuoto. Una situazione di questo genere è immaginabile senza contraddizione ed è possibile, anche se non potrebbe avere origine da cause puramente naturali, come dimostra Aristotele con gli argomenti del libro IV della Fisica, che tuttavia non permettono di concludere che ciò non possa avvenire altrimenti, come si può facilmente da quanto appena detto.(7) Si veda ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in PARODI M. 1981, p. 262.


“Ma, salvo ogni correzione, mi pare che si potrebbe ben sostenere e illustrare l’ultima opinione, ossia che la terra si muove di movimento diurno e il cielo no. E innanzitutto desidero dichiarare che non si potrebbe dimostrare il contrario mediante qualche esperienza; in secondo luogo neppure per mezzo di ragioni; e in terzo luogo addurrò ragioni a sostegno [del moto diurno della terra].”8

Da un punto di vista cinematico generale, il moto uniforme è un fenomeno relativo all’osservatore: ogni osservatore può attribuire, a sé, la quiete e, agli oggetti esterni, il moto. Si tratta di un enunciato che potremmo chiamare «relativismo osservativo». Un osservatore in quiete rispetto ad una nave, osservando un’altra nave che cambia uniformemente posizione rispetto alla propria, può spiegarsi il fatto dichiarando che la propria nave è in quiete e che l’altra è in moto, anche nel caso in cui, rispetto al mare, la sua nave fosse in moto e l’altra in quiete. Ancora, se le due navi avessero lo stesso moto, rispetto alla superficie del mare, purché il moto sia “regolare”, lo stesso osservatore può attribuire la quiete ad entrambe le navi. Oresme non trova in questo alcuna contraddizione; è ciò che avviene nel nostro mondo, così come esso è accessibile ai nostri sensi.

“Suppongo inoltre che il moto locale non possa essere percepito dai sensi se non nello stesso modo in cui si percepisce una diversa disposizione di un corpo rispetto a un altro corpo. Per esempio, se un uomo si trova su una nave chiamata a, la quale sia mossa di moto regolare, velo-cemente o lentamente,e se quest’uomo non vede altro che un’altra nave chiamata b, la quale si muova con moto esattamente uguale a quello di a, nella quale egli si trova, dico che sembrerà a quest’uomo che nessuna delle due navi si muova. E se a è immobile e b si muove, gli sem-brerà che a muoversi sia b; e se a si muove e bè immobile, ancora gli sembrerà che a sia immo-bile e che b si muova.”9

Questo relativismo osservativo può essere applicato all’intero sistema del mondo. Piuttosto che sup-porre la terra in quiete e il cielo in moto intorno alla terra, potremmo supporre il cielo in quiete e la terra in moto. Le due configurazioni cinematiche sono indistinguibili all’osservazione; lo scambio tra esse non provoca modificazioni nei fenomeni celesti così come essi ci appaiono.

“Al quinto [argomento], dove si dice che se il cielo non compisse una rotazione ogni giorno tutta l’astronomia sarebbe falsa, ecc., rispondo che non è vero, poiché tutti gli aspetti, le con-giunzioni, le opposizioni, le costellazioni, le fi gure e infl uenze del cielo sarebbero esattamente quali sono, così come appare chiaramente da quanto fu detto in risposta alla prima esperienza, e le tavole dei movimenti e tutti gli altri libri resteranno veri come sono, tranne che per il fatto che del movimento diurno si dovrebbe dire che è compiuto in apparenza dal cielo ma in verità dalla terra, e nessun effetto segue più dall’una posizione che dall’altra.”10

Oresme si spinge oltre la considerazione della relatività osservativa dei moti uniformi; egli constata l’invarianza di alcuni fenomeni fisici rispetto al moto uniforme del sistema nel quale essi hanno luogo. Lo spunto per questa considerazione è dato a Oresme dall’obiezione della freccia scagliata verso l’alto: come potrebbe tale freccia ricadere ai piedi dell’arciere se, nel frattempo, la terra si fosse spostata? La freccia dovrebbe «restare indietro» rispetto alla terra. Co Sì Non è, dice Oresme, perché la terra trascina con sé, nel suo moto uniforme, l’aria e la freccia. Quindi il moto della terra non è avvertibile, è ininfluente ai fini dell’osservazione dei fenomeni che su di essa hanno sede. Che così possa essere è messo in luce da Oresme con una osservazione semplice, quasi banale: se un marinaio, appoggiato all’albero maestro di una nave fa scivolare la sua mano lungo l’albero, dall’alto verso il

(8) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, citato e tradotto in CLAGETT M. 1981, p. 646.(9) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 647.(10) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 650.


basso, si avvertono forse dei mutamenti nel caso in cui la nave è in moto uniforme, rispetto al caso in cui la nave è in quiete rispetto alla superficie del mare?

“Alla terza esperienza, che sembra più forte, della freccia o del sasso gettato in alto, ecc., si potrebbe rispondere che la freccia scagliata in alto è mossa molto velocemente verso levante insieme all’aria attraverso cui passa e insieme a tutta la massa della parte inferiore del mondo suddetta, che si muove di moto diurno; per questa ragione la freccia ricade nel luogo della terra da dove è stata scoccata. E tale cosa appare possibile per analogia, poiché se un uomo si tro-vasse su una nave mossa velocissimamente verso levante ed egli non percepisse tale movimento, ed abbassasse la sua mano in linea retta lungo l’albero della nave, avrebbe l’impressione che la sua mano non avesse altro movi mento, che il rettilineo; e così, secondo quest’opinione, ci sem-bra della freccia che cade o si innalza verticalmente [...]... tutti i moti che avvengono in questo mondo inferiore sembrerebbero come se la terra fosse inquiete.”11

Successivamente Oresme conferma lo stesso enunciato: non è possibile, in base all’esperienza, asse-rire il moto dei cieli e la quiete della terra. Non è possibile discriminare tra le due possibili configu-razioni cinematiche: terra in quiete e cieli in moto oppure terra in moto e cieli in quiete.12 Ma, ad un certo punto, l’argomentazione si arresta e il tono del discorso cambia repentinamente. Con poche, brevi, espressioni egli nega validità reale al suo ragionamento, riducendolo ad una “discussione” finalizzata alla difesa della fede.

“Ma considerato tutto quanto si è detto, si potrebbe credere che la terra si muova di tale moto, e non il cielo, e non c’è alcuna prova del contrario; tuttavia ciò sembra prima facie altrettanto o ancor più contrario alla ragione naturale di quanto lo siano gli articoli della nostra fede, tutti o la maggior parte. E così tutto ciò che ho detto in tal modo per amore di discussione può servire per confutare coloro che volessero impugnare la nostra fede per via di ragioni.”13

Colpisce la cesura profonda tra le due fasi della riflessione di Oresme: da una parte vi sono le argo-mentazioni intorno alla pluralità dei mondi, l’infinità dello spazio e la relatività del moto; dall’al-tra, vi è il modo sbrigativo con il quale, alla fine, si allinea alle usuali concezioni fisiche e cosmolo-giche. Un mondo nuovo, un nuovo concetto di spazio e una nuova cinematica vengono prefigurati nell’opera di Oresme. Ma queste novità non si trasformano in una nuova scienza, una nuova conce-zione della realtà. Il sistema del mondo tradizionale, filtrato attraverso il raffinato scetticismo con-seguente alle condanne dei teologi, restò intatto.14

(11) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 648.(12) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 649: “Concludo dunque che con nessuna esperienza si può dimostrare che il cielo si muova di moto diurno e che la terra sia immobile.”(13) ORESME N., “Le livre du ciel et du monde”, in CLAGETT M. 1981, p. 652.(14) Si veda GRANT E. 1983, pp. 113-14: “Ironicamente, allora, fu solo quando il realismo fisico fu oscurato e largamente eclissato da un positivismo cristiano sviluppatosi nel quattordicesimo secolo, che furono proposte e vigorosamente perseguite critiche significative ed allontanamenti dalla cosmologia e dalla fisica di Aristotele. Il vigore che si manifestò nel quattordicesimo secolo fu una conseguenza della credenza che la conoscenza della realtà fisica fosse virtualmente impossibile da conseguire e che le alternative a questa o a quella spiegazione aristotelica fossero sempre possibili, sia plausibili che non. Nominalisti è l’etichetta frequentemente applicata, sebbene in modo impreciso, a questi scolastici del quattordicesimo secolo. Essi generarono moltissimo dell’interesse e dei risultati potenzialmente significativi nella cosmologia e nella fisica, soprattutto nella cinematica, e avrebbero potuto distruggere il sistema aristotelico se li aves-sero applicati alla realtà fisica. Invece le loro idee e i loro concetti stimolanti furono offerti come mere alternative o soluzioni immaginarie a problemi ipotetici.”


Nicola di Kues: il cosmo e l’infinitoNicola di Kues, noto anche come Cusano, è un filosofo che, vissuto tra la fine del medio evo e l’inizio dell’età moderna, propose una consapevole, ardita, contiguità tra cielo e terra. Con Nicola di Kues, la ricerca fisica, matematica e cosmologica del XIV secolo si apre ad una nuova consapevolezza e ad una più sofisticata epistemologia.Il testo del Cusano più interessante per i temi che stiamo trattando è La dotta ignoranza, pubblicato verso la fine della prima metà del XV secolo. L’opera è divisa in tre libri; nel secondo, il Cusano espone alcune originali concezioni sullo spazio, sulla geometria e sulla cinematica del cosmo. Fin dall’inizio dell’opera, egli pone due temi cruciali per la teoria della conoscenza: il tema dell’infinito e quello dei limiti della conoscenza scientifica. L’infinito si sottrae a qualunque confronto; infinito in atto è dio, massimo assoluto, totalità del possibile in atto. Dio è unità assoluta, unità nella quale convergono tutti i limiti, tutti i superlativi, il massimo assoluto e il minimo assoluto. Ma dio non ci è accessibile, e questo limite, questa impossibilità, segna una impossibilità anche per la conoscenza. L’universo è l’unità universale dell’essere, discendente da dio, essere assoluto; ci è dunque preclusa una conoscenza compiuta dell’universo, ci è preclusa l’essenza delle cose. La verità è irraggiungi-bile; ci è incomprensibile l’assoluta precisione della verità. La nostra conoscenza è un sapere impre-ciso; solo questa consapevolezza, questa “dotta ignoranza”, ci avvicina alla verità15.Nei capitoli 11, 12, 13, de “La dotta ignoranza”, il Cusano espone alcune tesi cosmologiche piutto-sto ardite, come egli stesso annuncia con espressioni misurate ma solenni. La “dotta ignoranza” gli suggerisce di applicare al cosmo le considerazioni svolte sull’infinito: sostanzialmente, la coinci-denza degli opposti, del massimo e del minimo assoluti. Dunque, centro e circonferenza del mondo coincidono. Centro e circonferenza distinti significherebbero un cosmo finito e, quindi, uno spazio esterno ad esso, la qual cosa egli rifiuta. Il cosmo non è infinito, ma neppure possiamo considerarlo finito; di sicuro, esso non ha “termini”.16

L’universo di Cusano è condannato alla indeterminazione; centri e circonferenze si smarriscono in questa intrinseca indeterminazione. Ma il cosmo ha, in realtà, una sua certezza, purché si operi uno slittamento dal dominio geometrico-cosmologico al trascendente. Alla fine, il cosmo ritrova la sua certezza in dio, centro e circonferenza del tutto, assoluta coincidenza degli opposti. Il regno dell’im-precisione, confinato, dagli antichi, alla terra, si espande ai cieli. Nessun corpo celeste può muo-versi di perfetto moto circolare; né nel senso geometrico di orbita perfetta, né nel senso cinematico di moto uniforme.17

Per di più -secondo il Cusano -lo spazio non può avere riferimenti sicuri, assoluti; vige un ampio relativismo osservativo. Tutto ciò che possiamo conoscere e descrivere dipende dal nostro punto di osservazione: per un uomo posto al polo Nord terrestre, lo zenith è il polo Nord del cosmo, ma per un uomo posto al polo Nord del cosmo, lo zenith è la Terra. E’ collegata anche a questo relativismo l’impossibilità di stabilire un centro e una circonferenza per il cosmo. Anche in questo caso, il rela-tivismo del Cusano potrebbe intendersi in due sensi differenti: sia come equivalenza tra differenti sistemi di riferimento, sia come imprecisione nella determinazione del sistema di riferimento.18

Come possiamo avvertire -argomenta il Cusano -il moto della terra, noi che la abitiamo? Similmente, come può un uomo, su una barca in mezzo ad un fiume, avere percezione del moto, se non guardando

(15) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, pp. 68, 71-4 e 76.(16) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 171.(17) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 172-4.(18) Si veda CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 174: “Infatti, se uno si trovasse sulla Terra sotto il polo artico e un altro nel polo artico stesso, come a colui che sta sulla Terra il polo artico apparirebbe allo zenith, così a colui che si trova sul polo il centro apparirebbe allo zenith. Dovunque uno si trovi, gli sembra di stare al centro. Complica dunque queste apparenze diverse, di modo che il centro sia zenith e viceversa, e così, mediante l’intelletto, al quale serve soltanto la dotta ignoranza, vedi che il mondo, il suo moto, la sua figura non si possono comprendere, perché esso ti apparirà come una ruota in una ruota e una sfera in una sfera, senza avere in alcun luogo il centro o la circonferenza, come abbiamo detto prima”.


le rive? Ogni osservatore può ritenere di essere al centro dei moti. Centro e circonferenza sono con-cetti che non possono sfuggire a tale relativismo. In assenza di riferimenti certi, non ci resta, di nuovo, che l’unico riferimento assoluto, dio onnipresente, centro e circonferenza del mondo.

“Gli antichi non giunsero a queste verità di cui abbiamo detto, perché mancarono della dotta ignoranza. Ma a noi ormai è chiaro che codesta Terra si muove veramente, anche se non ne avvertiamo il movimento. Non riusciamo ad accorgerci del moto che in relazione a qualcosa di fi sso. Se uno non sapesse che l’acqua scorre e non guardasse alle rive stando sulla barca in mezzo al fi ume, come saprebbe che la barca si muove? Per questo, poiché a ciascuno, si trovi egli sulla Terra, sul Soleo su un’altra stella, sembra sempre di stare in un centro immobile e che tutto il resto invece si muova, egli immaginerebbe continuamente poli diversi stando sul Sole, sulla Luna o su Marte, e via dicendo. La macchina del mondo avrà il centro dovunque, e la circonferenza in nessun luogo, poiché il suo centro e la sua circonferenza sono Dio, che è dappertutto e in nessun luogo.”19

Il Cusano non mette comunque in discussione la particolare nobiltà del moto circolare; esso rappre-senta meglio di altri il moto perfetto nel quale non vi è limite, nel quale inizio e fine coincidono. La terra, pur non essendo “perfettamente” sferica, né avendo moto “perfettamente” circolare, partecipa della nobiltà della circonferenza.20 Non è facile, a questo punto, valutare gli elementi di novità intro-dotti dal Cusano, nel concetto di spazio, nella cinematica, nella cosmologia. Egli rifiuta la perfetta armonia geometrica del cosmo e la certezza dei suoi riferimenti, ma non propone uno spazio omoge-neo, astratto, infinito. Egli rifiuta la centralità assoluta della terra nel cosmo, ma non propone un moto orbitale della terra intorno al sole o intorno al proprio asse. Egli rifiuta di considerare la quiete e il moto come proprietà assolute, ma non propone un principio di relatività in senso stretto; il suo relati-vismo fisico è intrecciato al suo relativismo gnoseologico. Egli rifiuta di separare la perfezione mate-matica dei cieli dall’imperfezione della terra, ma si limita alla nterpretazione metafisica e teologia.Alcune sue argomentazioni fisiche e cosmologiche sono meno audaci e meno circostanziate delle argomentazioni degli scolastici. Eppure, rispetto al XIV secolo, vi è un mutamento di prospettiva: la ricerca del Cusano non si arresta alla pura speculazione. Le sue congetture sullo spazio e sull’uni-verso non hanno, dichiaratamente, nulla di ipotetico, ma sono intrinsecamente collegate alla sua teo-ria della conoscenza. Egli ci propone qualcosa che ritiene vero, nei limiti della “dotta ignoranza”. Vi è insomma, nel Cusano, una nuova consapevolezza, la consapevolezza che anche i più arditi enun-ciati non riguardano solo le parole, ma anche le cose.21

Copernico: una nuova architettura per il cosmoCopernico è tradizionalmente considerato come lo spartiacque tra due differenti concezioni del mondo. Tuttavia la sua collocazione intellettuale è assai più variegata e interessante: le novità di contenuto geometrico e astronomico s’intrecciano con alcuni elementi della tradizione aristotelica. Nel De rivo-lutionibus orbium caelestium, l’opera della sua vita, appare immediatamente la precedenza logica data alla geometria. Sulla geometria si fondano la astronomia e la fisica copernicane. La geometria di Copernico è una geometria di sfere; è una geometria armoniosa in virtù della “perfezione” e della “divinità” della sfera. E, come a sottolineare che è stata annullata la distanza tra il «celeste» e il «ter-restre», Copernico apre il secondo capitolo con l’asserto che pure la terra è sferica. La fisica coper-nicana appare come un’appendice della sua geometria: alla forma geometrica circolare compete un

(19) CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, pp. 174-5.(20) CUSANO, “La dotta ignoranza”, in CUSANO 1988, p. 175.(21) Si potrebbe dire che egli ha osato guidare il pensiero oltre l’idealizzazione del dato empirico immediato, ha osato-attraversare il paradosso, per scoprire un mondo che esprime la perfezione del suo creatore e che, insieme, nasconde sottole apparenze la sua vera natura. Si veda GARIN E. 1992, p. 271.


moto circolare. Il moto dei corpi celesti è circolare, perché i corpi celesti sono circolari22.Nella difesa del sistema eliocentrico, Copernico invoca ripetutamente l’equivalenza dei sistemi di riferimento. Possiamo spiegare i moti celesti ipotizzando l’immobilità della terra o ipotizzandone il moto. Decide fra le due possibilità un criterio logico, non un criterio fisico: è più logico che il moto sia attribuito al contenuto che al contenitore. Quindi è più logico che il cielo, che contiene la terra, sia immobile, e la terra, che è ivi contenuta, sia in moto.23

“Infatti, ogni mutazione locale apparente deriva o dal movimento della cosa guardata, o da quello di chi guarda, o da mutazione certamente ineguale di entrambi. Perché fra cose mosse in modo eguale nello stesso senso non si percepisce movimento, intendo dire fra l’oggetto veduto e colui che lo vede. Ora è proprio la Terra quella da cui è visto quel circuito celeste e offerto alla nostra vista. Se dunque si ipotizza qualche movimento della terra, esso apparirà in tutte le cose che gli sono esterne come di eguale velocità, ma in senso opposto, come se quelle cose pas-sassero via, quale è innanzi tutto la rivoluzione diurna. Questa, infatti, sembra trascinare l’in-tero mondo, fuorché la Terra e quelle cose che sono intorno ad essa. Ma se si ammettesse che il cielo non ha nulla di questo movimento, e invece la Terra ruota da occidente verso oriente, se qualcuno esaminasse seriamente quanto riguarda l’apparente sorgere e tramontare del Sole, della Luna e delle stelle, troverebbe che proprio così avviene. E poiché è il cielo quello che con-tiene e abbraccia tutto, il luogo comune di tutte le cose, apparirà subito perché si debba attribu-ire un movimento piuttosto al contenuto che al contenente, a ciò che è collocato piuttosto che a quello che colloca.”24

La giustificazione logica dell’immobilità del cielo e della conseguente immobilità della terra, è riba-dita più oltre nel testo. Copernico elenca due motivi per sostenere l’immobilità dei cieli e il moto della terra:a) l’immobilità è uno stato più nobile del movimento, e quindi si addice maggiormente al cielo che

alla terra; b) il moto compete più ragionevolmente al corpo contenuto piuttosto che al suo contenitore, cioè alla

terra piuttosto che al cielo25.Questa considerazione richiama la teoria del luogo di Aristotele: in effetti, Copernico espone una teoria dei luoghi naturali. Ogni corpo tende a riunirsi al simile, a riconquistare il proprio luogo. Se il moto circolare è il moto naturale, il moto rettilineo è il moto violento, è il moto dei corpi che si allontanano o ritornano al proprio luogo.26

Il modello aristotelico di universo è geocentrico, con la sfera più esterna occupata dalle stelle. Tale sfera, il primo cielo, ruotante con velocità costante, non poteva avere un suo luogo, non essendo con-tenuta in alcuna altra sfera. Ciò significa che il primo cielo, pur non avendo luogo, si muove, cioè muta di luogo. Per risolvere questo conflitto, si poteva intervenire sull’uno o sull’altro dei due ter-mini della contraddizione: o modificare il concetto di luogo o dare immobilità alle stelle. Copernico,

(22) Si veda COPERNICO N. 1975, pp. 35, 37 e 47.(23) Si veda l’analisi di Koyré, in KOYRÈ A. 1975, p. XXIII.(24) COPERNICO N. 1975, pp. 53-5.(25) Si veda COPERNICO N. 1975, p. 79.(26) Differentemente che per Aristotele, il moto rettilineo, per Copernico, è sempre un moto violento. Si veda COPER-NICO N. 1975, p. 77, nota 13. Il primo cielo diventa per Copernico il vero contenitore di tutto l’universo: ora l’universo ha il suo luogo immobile. Si veda p. 99: “La prima e la più alta di tutte è la sfera delle stelle fisse, che contiene se stessa e tutte le cose, ed è perciò immobile; senza dubbio è il luogo dell’universo a cui si rapporta il movimento e la posizione di tutte le altre stelle. Infatti, riguardo a quello che alcuni pensano, che in qualche modo anch’essa si muova, noi assegneremo una causa diversa al perché così appaia, nel dedurre il movimento terrestre.”


con il suo modello eliocentrico, nel quale la sfera delle stelle è immobile e la terra è in moto, offrì anche una risposta a tale contraddizione.27

Non sappiamo quale sia stata la genesi dell’opera copernicana. Può essere discutibile la convinzione di Jammer, che Copernico abbia infranto un “dogma” aristotelico, che era, in realtà, un’ipotesi tanto “dogmatica” quanto la propria. Può essere discutibile anche la convinzione che Copernico abbia tro-vato una importante sollecitazione per la formulazione della sua teoria in una contraddizione irri-solta nella teoria dello spazio di Aristotele. Comunque non sottovalutiamo questo collegamento, che contribuisce a collocare Copernico nel contesto culturale del suo tempo.28

Potremmo chiederci, a questo punto, quale sia l’elemento che caratterizza in modo originale la ricerca di Copernico, rispetto alla tradizione e rispetto a quel contesto culturale. Non è certamente il modello eliocentrico in sé, né l’insieme delle argomentazioni che egli porta a difesa del moto della terra; come abbiamo visto, tali argomentazioni erano già state sviluppate dagli scolastici, in modo dettagliato e convincente. Possiamo citare la tesi di Grant, che la novità di Copernico consista nella nuova convinzione, fisica e metodologica, che il mondo richiedesse una nuova effettiva architettura e una nuova effettiva spiegazione.29

La questione del «realismo fisico» di Copernico fu assai dibattuta, fin dalla prima edizione del De Rivolutionibus. Il testo, come è noto, uscì con una prima prefazione del teologo luterano Osiander, il quale si cautelò nei confronti di possibili censure ecclesiastiche, insistendo sul carattere formale, ipotetico delle tesi copernicane. In tale prefazione, il modello di Copernico acquistava un carattere marcatamente strumentale: dispositivo matematico utile per i calcoli astronomici, essendo impossi-bile indagare le “vere cause” dei moti celesti. La riduzione di Osiander, peraltro né rozza né banale, riproponeva lo scetticismo fisico tipico degli scolastici.30

Bruno: il Principio di RelativitàCon G. Bruno entriamo nella seconda metà del XVI secolo, e ci troviamo di fronte a una sofisti-cata teoria del moto. Egli ci ha lasciato numerosi testi; alcuni di questi sono Dialoghi a contenuto sia metafisico, che fisico, che cosmologico. I dialoghi che più da vicino ci interessano sono tre, e vennero pubblicati a Londra, nel 1584, durante il suo soggiorno inglese: La cena de le ceneri, De la causa, principio e uno, e De l’infinito, universo e mondi. Essi sono noti come Dialoghi metafi-sici, nonostante questa codifica sia riduttiva rispetto al loro contenuto, che è di carattere prevalen-temente scientifico.31

(27) Si veda la discussione di Jammer, in JAMMER M. 1974, pp. 71-2. Jammer interpreta l’ipotesi copernicana dell’im-mobilità del cielo, come la rottura di un “dogma”, quello del moto del primo cielo, e come una “soluzione” al problema irrisolto che nasceva all’interno della tradizione aristotelica. (JAMMER M. 1974, p. 69).(28) Copernico offre alcuni elementi per comprendere la genesi della sua opera nella dedica “Al Santissimo Signore Paolo III, pontefice massimo -Prefazione di Niccolò Copernico ai libri sulle rivoluzioni, in COPERNICO N.1975, p. 8-25. Siveda il commento di Dreyer, in DREYER J.L.E. 1980, pp. 283 e seguenti.(29) GRANT E. 1983, p. 111.(30) Si veda la “Lettera al lettore”, in COPERNICO N. 1975, pp. 3-5: “E’ proprio dell’astronomo, infatti, mettere in-sieme con osservazione diligente e conforme alle regole, la storia dei movimenti celesti; poi le loro cause, ossia -non potendo in alcun modo raggiungere quelle vere -escogitare e inventare qualunque ipotesi, con la cui supposizione sia possibile calcolare quei medesimi movimenti secondo i princìpi della geometria, tanto nel futuro quanto nel passato. Ora, l’autore ha assolto egregiamente entrambi questi compiti. Non è infatti necessario che queste ipotesi siano vere, e persino nemmeno verosimili, ma è sufficiente solo questo: che presentino un calcolo conforme alle osservazioni;... Ora, poiché di un solo e medesimo movimento talvolta si offrono varie ipotesi [...], l’astronomo prenderà di preferenza quella più facile da comprendere. Il filosofo richiederà forse piuttosto la verosimiglianza. Né l’uno né l’altro, tuttavia, comprenderà o insegnerà alcunché di certo, a meno che non gli sia stato rivelato da Dio.” Sulla Prefazione di Osiander si veda anche KOYRÈ A. 1975, pp. XXVIII-XX.(31) Che metafisici in senso stretto tali dialoghi non potessero considerarsi è sottolineato in una non recente ma autorevole prefazione alla raccolta dei tre dialoghi: si veda GENTILE G. 1985, in BRUNO G. 1985, p. XXXI.


Anche se Bruno non è stato il primo a porre l’esigenza di uno spazio infinito, è colui che tale esi-genza ha posto in modo radicale e appassionato. Bruno concepisce un unico e infinito spazio vuoto e, in esso, infiniti mondi. In questo spazio non vi è centro, né vi sono direzioni privilegiate. Sono assenti, nell’universo, riferimenti assoluti; di più, nel tempo, l’universo cambia continuamente la sua configurazione. Bruno sottolinea anche la differenza tra “universo” e “mondo”. L’universo è il tutto, il ricettacolo del tutto; i mondi sono i corpi come la terra, la luna, il sole. L’universo è un vuoto che contiene corpi; i corpi, a loro volta, sono costituiti da pieno e da vuoto. Il vuoto non è il nulla, è esi-stente; è un etere imponderabile che circonda i corpi e li penetra internamente32.Questo universo infinito, connubio di pieno e di vuoto, richiama l’universo degli antichi atomisti, forse Democrito più che Epicuro: Bruno dichiara esplicitamente questa genealogia intellettuale, ponendo sullo stesso piano sia Democrito che Epicuro. Questo universo infinito è a misura dell’infinita glo-ria di Dio. Più opportunamente questa gloria può manifestarsi in infiniti mondi piuttosto che in solo mondo. Le immagini di Bruno sono enfatiche, prorompenti; i mondi si succe dono l’uno all’altro in un tripudio di fantasia, libertà, vitalità, a gloria di dio e dell’intelletto umano.33

Il riferimento a Democrito appare pertinente anche in un altro senso: lo spazio di Bruno non è acces-sibile ai sensi. La vera conoscenza può essere raggiunta solo dall’intelletto, che può superare la fini-tezza, la limitatezza, delle nostre percezioni. Solo l’intelletto può guidarci nella profondità dello spa-zio e del tempo. I sensi non possono rivelarci l’infinito, né possono confutarlo.34

La commistione di elementi strettamente naturali e di elementi oggi ritenuti soprannaturali è pre-sente in diverse parti del Dialogo che abbiamo citato. La ricerca di Bruno non è confinabile entro schemi rigidi, e non è assimilabile al concetto di scienza codificato nel XIX secolo. Inoltre, anche in Dialoghi temporalmente contigui, non sempre rimangono invariati i suoi riferimenti filosofici. Se nel Dialogo “De l’infinito, universo e mondi” egli ha esposto una concezione dello spazio e dell’uni-verso dichiaratamente vicina alla concezione atomistica, nel Dialogo “De la causa, principio e uno”, egli si accosta agli Eleati In tale Dialogo, l’universo appare come una unità immobile, eterna, infi-nita. Esso tutto comprende; è esso stesso il tutto, non alterabile, non corruttibile. Bruno evoca una unità onnicomprensiva e infinita, che richiama l’uno infinito di Melisso.35

La concezione di Bruno era effettivamente rivoluzionaria nel contesto culturale del suo tempo. Non era particolarmente rivoluzionaria per i contenuti in senso stretto poiché, come abbiamo visto, spazio infinito e pluralità di mondi erano ipotizzati anche dai filosofi scolastici. Era una concezione rivolu-zionaria per il realismo delle immagini proposte, per la fede ardente in un universo siffatto.36

(32) Si veda BRUNO G., “De l’infinito, universo e mondi”, in BRUNO G. 1985, pp. 397-8, 518 e 520.(33) Si veda BRUNO G., “De l’infinito, universo e mondi”, in BRUNO G. 1985, pp. 362 e 411.(34) Si veda BRUNO G., “De l’infinito, universo e mondi”, in BRUNO G. 1985, p. 369: “Filoteo. Non è senso che vegga l’infinito, non è senso da cui si richieda questa conchiusione; perché l’infinito non può essere oggetto del senso; e però chi dimanda di conoscere questo per via di senso, è simile a colui che volesse veder con gli occhi la sustanza e l’essenza; e chi negasse per questo la cosa, perché non è sensibile o visibile, verebe a negar la propria sustanza ed essere. Però deve esser modo circa il di mandar testimonio del senso; a cui non doniamo luogo in altro che in cose sensibili, anco non senza suspizione, se non entra in giudizio gionto alla raggione. A l’intelletto conviene giudicare e render raggione de le cose absenti e divise per distanza di tempo ed intervallo di luoghi. Ed in questo assai ne basta ed assai sufficiente testimonioabbiamo dal senso per quel, che non è potente a contradirne e che oltre fa evidente e con-fessa la sua imbecillità ed insufficienza per l’apparenza che caggiona per il suo orizonte, in formar della quale ancora si vede quanto sia in costante.Or, come abbiamo per esperienza, che ne inganna nella superficie di questo globo in cui ne ritroviamo, molto magiormente doviamo averlo suspetto quanto a quel termine che nella stellifera concavità ne fa comprendere.” Sull’atomismo razionale di Bruno si veda KOYRÈ A. 1970, p. 41.(35) Si veda BRUNO G., “De la causa, principio e uno”, in BRUNO G. 1985, pp. 318-19. Sull’eleatismo di Bruno si veda l’interpretazione di Cassirer, in CASSIRER E. 1978, vol I°, tomo II°, p. 335.(36) Koyré sottolinea la novità della posizione di Bruno, la sua influenza sulle epoche successive, e i limiti della sua ricerca. Egli giudica un segno di arretratezza la presenza, in Bruno, di un tono profetico e di elementi magici e vi-talistici. Questa osservazione, simile all’osservazione sulla “non modernità” di Copernico, è discutibile dal punto di


Non credo comunque sia facile distinguere, in Bruno, ciò che è “moderno” da ciò che non lo è. In che cosa consisterebbe la modernità? Koyré probabilmente intende la modernità come “scientificità”. Ma principi in verificabili e credenze di vario tipo, seppure fortemente razionalizzate, sono forse assenti dall’impresa e dalle teorie scientifiche? Probabilmente la cosa più moderna che possiamo concepire non è l’eliminazione di principi e credenze, ma la consapevolezza che tali principi esistono e gui-dano, talora in modo fecondo, la ricerca scientifica, pur essendo di naturaextra-logica, extra-mate-matica, extra-empirica. La critica di Koyré ha comunque un aspetto interessante, dal punto di vista storiografico. Egli ritiene che, da una parte, la ricerca di Bruno abbia favorito l’affermazione della scienza moderna, mentre, dall’altra, la presenza di alcuni principi metafisici, abbia nuociuto alla scienza. L’esistenza di tali principi avrebbe permesso, agli accusatori, di accomunare nella loro cri-tica la sua scienza e la sua potente metafisica.37

L’idea di “sistema fisico” di cui parla Koyré è effettivamente presente in Bruno: è espressa in modo chiaro e con numerosi esempi. Bruno difende il modello cosmologico copernicano o, per meglio dire, la sua versione del modello copernicano. Nel suo universo infinito, la terra è comunque in moto intorno al sole. Egli quindi vuole difendere la realtà del moto della terra contro le critiche degli avver-sari. Tali critiche sono più o meno quelle discusse dagli scolastici; le stesse critiche che ha affrontato Copernico e che affronterà Galileo: innanzitutto la convinzione che, se la terra ruotasse, i corpi e le entità atmosferiche resterebbero indietro. Bruno obietta che la terra, nel suo moto, porta con sé tutti questi corpi e questi enti; essi costituiscono una stessa unità insieme alla terra.

“Teofi lo. -...: che se fusse vero la terra muoversi verso il lato che chiamiamo oriente, necessario sarebbe che le nuvole de l’aria sempre apparissero discorrere verso l’occidente, per raggione del velocissimo e rapidissimo moto di questo globo, che in spacio di vintiquattro ore deve aver com-pito sìgran giro. -A questo rispose il Nolano, che questo aere, per il quale discorrono le nuvole e gli venti, è parte de la terra; perché sotto nome di terra vuol lui (e deve essere cossì al propo-sito) che se intenda tutta la machina e tutto l’animale intiero, che costa di sue parti dissimilari: onde gli fi umi, gli sassi, gli mari, tutto l’aria vaporoso e turbulento, il quale è rinchiuso negli altissimi monti, appartiene a la terra come membro di quella, o pur come l’aria ch’è nel pulmone ed altre cavità de gli animali, per cui respirano, se dilatano le arterie ed altri effetti necessarii a la vita s’adempiscono. Le nuvole dunque dagli accidenti, che son nel corpo della terra, si muo-veno e son come nelle viscere de quella, cossì come le acqui.”38

La terra è in grado di trasportare con sé tutti i corpi che contiene, comunicando a tutti questi il suo moto. Quindi, nel moto dei corpi in prossimità della superficie terrestre, occorre distinguere due com-ponenti qualitativamente diverse: il moto che hanno in comune con la terra e il moto rispetto alla terra. E’ per questo motivo che i corpi in caduta libera sulla terra non possono restare indietro; men-tre cadono, essi mantengono, insieme al loro moto verticale rispetto alla superficie terrestre, il moto che hanno in comune con la terra. La terra è come una nave in movimento; forse che su tale nave, lanciando un oggetto ad un’altra persona, questo oggetto non si comporta come se la nave fosse in quiete? Forse che saltando verso l’alto, ricadendo, ci si trova con i piedi su un punto diverso della nave? Ciò che succede su una nave è - secondo Bruno -un esempio di ciò che succede sulla terra in moto. Bruno formula quel Principio di Relatività che, nei manuali, viene attribuito a Galileo: i feno-meni che avvengono in un sistema in quiete sono indistinguibili dai fenomeni che avvengono in un sistema dotato di moto uniforme.

vista storiografico. Tuttavia essa ha il pregio di restituirci un Bruno più reale rispetto alla figura retorica del paladino, imprudente e coraggioso, dello spirito moderno e della scienza moderna. Si veda KOYRÈ A. 1970, p. 48.(37) Si veda KOYRÈ A. 1979, pp. 172-3.(38) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, p. 112.


“Smitho. M’avete suffi cientissimamente satisfatto, ed altamente aperto molti secreti de la natura, che sotto questa chiave sono ascosi. Da quel che respondete a l’argomento tolto da’ venti e nuvole, si prende ancora la risposta de l’altro che nel secondo libro Del cielo e mondo apportò Aristo-tele; dove dice, che sarebbe impossibile che una pietra gitata a l’alto potesse per medesma ret-titudine perpendicolare tornare al basso; ma sarrebbe necessario che il velocissimo moto della terra se la lasciasse molto a dietro verso l’occidente. Perché, essendo questa proiezione den-tro la terra, è necessario che col moto di quella si venga a mutar ogni relazione di rettitudine ed obliquità: perché è differenza tra il moto della nave e moto de quelle cose che sono nella nave. Il che se non fusse vero, seguiterebbe che, quando la nave corre per il mare, giammai alcuno potrebbe trarre per dritto qualchecosa da un canto di quella a l’altro, e non sarebbe possibile che un potesse far un salto e ritornare co’ piè onde le tolse.”39

Secondo Bruno, se un corpo appartiene alla terra, ne condivide lo stato cinematico. Egli osserva che gli effetti previsti dai critici del sistema copernicano potrebbero manifestarsi solo lanciando qualcosa verso la terra, a partire da un sistema esterno alla terra. Di nuovo egli propone l’esempio della nave. Chi lanciasse un sasso, dalla sponda di un fiume, verso una nave in veloce navigazione, potrebbe non colpirla, se il sasso non ha sufficiente velocità; il sasso non partecipa in alcun modo del moto della nave. Ma se dalla cima dell’albero della nave si lanciasse un sasso verso la nave, o lo si lasciasse semplicemente cadere, esso non potrebbe non colpire la nave. Oppure, se dalla base dell’albero, si lanciasse un sasso verso la cima, esso ricadrebbe alla base. In questi ultimi due casi, il sasso appar-tiene al sistema fisico della nave, e quindi conserva inalterato il moto di essa. Bruno specifica che le precedenti asserzioni sono valide a condizione che il moto della nave non sia perturbato; sicura-mente Bruno intende dire che la nave non deve subire oscillazioni o brusche accelerazioni. Per il resto, il moto della nave può essere di qualunque tipo; non pare che Bruno faccia differenze tra moti rettilinei e moti curvilinei.

“[Teofi lo] Con la terra dunque si muoveno tutte le cose che si trovano in terra. Se dunque dal locoextra la terra qualche cosa fusse gettata in terra, per il moto di quella perderebbe la rettitu-dine. Come appare nella nave AB [...], la qual, passando per il fi ume, se alcuno che se ritrova nella sponda di quello C venga a gittar per dritto un sasso, verrà fallito il suo tratto per quanto comporta la velocità del corso. Ma poso alcuno sopra l’arbore di detta nave, che corra quanto si voglia veloce, non fallirà punto il suo tratto di sorte che per dritto dal punto E, che è nella cima de l’arbore o nella gabbia, al punto D che è nella radice de l’arbore, o altra parte del ventre e corpo di detta nave, la pietra o altra cosa grave gittata non vegna. Cossì, se dal punto D al punto E alcuno che è dentro la nave, gitta per dritto una pietra, quella per la medesma linea ritornarà a basso, muovasi quanto si voglia la nave, purche non faccia degl’inchini.”40

Koyré sottolinea una profonda differenza tra Bruno e Copernico nella modalità di appartenenza alla terra dei corpi terrestri; mentre questo ritiene che tra i corpi sulla terra e la terra stessa vi sia una natura comune che li vincola a un moto comune, Bruno ritiene che la condivisione del moto si adovuta alla semplice collocazione materiale. Secondo Bruno, le caratteristiche del moto di un corpo non dipen-dono dalla sua posizione in relazione ai luoghi naturali o in relazione ai riferimenti fissidel cosmo. Diversamente da Aristotele, egli ritiene che i corpi non tendano a posizioni date una volta per tutte e immobili nello spazio, ma possano appartenere a differenti sistemi di riferimento edi que-sti condividerne lo stato cinematico.41

(39) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, p. 116.(40) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, pp. 116-17.(41) Si veda KOYRÈ A. 1979, pp. 172-5: “Si vede bene tutta la novità del ragionamento di Bruno in rapporto a quello di Copernico: i corpi che sono «sulla terra» partecipano al movimento della terra non perché partecipano alla sua


Effettivamente, la diversa concezione dello spazio e del cosmo, porta Bruno a capovolgere consape-volmente la concezione fisica aristotelica: il moto non dipende né dal punto di partenza, né dal punto di arrivo, né dal mezzo interposto. Il moto di un corpo dipende dalla “virtù impressa” e questa virtù determina ciò che Bruno chiama la “differenza”, cioè quella componente del moto non ascrivibile al sistema di riferimento di appartenenza. Bruno mostra con un esempio come i moti di due corpi dello stesso tipo, nello stesso istante, in posizioni vicine nello spazio, possano avere differenti caratteristi-che cinematiche, se appartengono a differenti sistemi meccanici. Due uomini abbiano in mano pietre dello stesso tipo; l’uno sia collocato in quiete, supponiamo su un molo, l’altro sia sopra una nave in navigazione. Nell’istante in cui l’uomo sulla nave sorpassa quello sul molo, entrambi lascino cadere le pietre. Esse percorreranno traiettorie diverse, trovandosi una indietro rispetto l’altra. Troviamo qui l’altro aspetto del Principio di Relatività: se rispetto ad ogni osservatore, collocato nel proprio sistema di riferimento, i fenomeni avvengono nello stesso modo, indipendentemente dallo stato di quiete o di moto del sistema stesso, ad un osservatore esterno a questi, proprio per lo stesso motivo, i due moti appaiono geometricamente diversi.

“Teofi lo. Or, per tornare al proposito, se dunque saranno dui, de’ quali l’uno si trova dentro la nave che corre, e l’altro fuori di quella, de’ quali tanto l’uno quanto l’altro abbia la mano circa il medesmo punto de l’aria, e da quel medesmo loco nel medesmo tempo ancora l’uno lasce scor-rere una pietra e l’altro un’altra, senza che gli donino spinta alcuna, quella del primo, senza per-dere punto né deviar dala sua linea, verrà al prefi sso loco, e quella del secondo si trovarrà tra-lasciata a dietro. Il che non procede da altro, eccetto che la pietra, che esce da la mano de l’uno che è sustentato da la nave, e perconseguenza si muove secondo il moto di quella, ha tal virtù impressa, quale non ha l’altra, che procede dalla mano di quello che n’è di fuora; benché le pie-tre abbino medesma gravità, medesmo aria tramezzante, si partano (se possibil fi a) dal mede-smo punto, e patiscano la medesma spinta. Della qual diversità non possiamo apportar altra raggione, eccetto che le cose, che hanno fi ssione o simili appartinenze nella nave, si muoveno con quella; e la una pietra porta seco la virtù del motore il qualesi muove con la nave, l’altra di quello che non ha detta participazione. Da questo manifestamente si vede, che non dal termine del moto onde si parte, né dal termine dove va, né dal mezzo per cui simove, prende la virtù d’andar rettamente; ma da l’effi cacia de la virtù primieramente impressa, dalla quale depende la differenza tutta.”42

Possiamo affermare che ciò di cui parla Bruno corrisponde a ciò che noi chiamiamo principio di Relatività. La storia successiva, da Galileo a Einstein, avrebbe visto svilupparsi due fasi distinte. Nella prima fase, nel corso del Settecento, il principio si consolidò e trovò collocazione nella costru-zione della Meccanica. Nella seconda fase, nel corso dell’Ottocento, il principio dovette confrontarsi

«natura»,ma semplicemente perché sono «in essa», esattamente allo stesso modo in cui i corpi che sono «nella nave» partecipano al movimento di questa; il che vuol dire -e d’altronde lo dice lo stesso Bruno -che non si tratta più della partecipazione a un movimento «naturale», ma si tratta del moto tout court, dell’appartenenza del mobile a un sistema meccanico. Questa nozione del sistema meccanico -insieme di corpi uniti dalla loro partecipazione a un movimento comune -che il ragionamento di Bruno sottintende, non c’è nella fisica di Aristotele. Aristotele considera il movimento come una funzione o un’espressione della «natura» del mobile; lo intende come passaggio da un luogo A un luogo B; questi «luoghi» li considera come determinati in rapporto al centro e alla circonferenza del Cosmo. Ne segue che a partire da un dato luogo non può esserci per un determinato corpo che un solo movimento «naturale»; il che, per Bruno, vorrebbe dire: Aristotele concepisce i «luoghi» come esterni al sistema fisico della Terra. Perché, per Bruno, i «luoghi» non si determinano in rapporto al Cosmo, ma si determinano in rapporto al tale o al talaltro sistema meccanico. In tal modo uno stesso «luogo» può appartenere a sistemi meccanici diversi, e i corpi che si muovono da questi «luoghi» possono effettuare movimenti assai diversi: secondo i sistemi ai quali appartengono.”(42) BRUNO G., “La cena delle ceneri”, in BRUNO G. 1985, pp. 118-19.


con l’Ottica e, successivamente, con l’Elettromagnetismo. Da quel confronto il principio ne sarebbe emerso rafforzato, mentre la Meccanica avrebbe subito una profonda trasformazione. Ma questa sto-ria è già stata in più modi raccontata.43

Bibliografia essenziale Bordoni S. (1995) Eleveremo questa congettura …, Università degli Studi di Pavia, Pavia. Bruno G. (1985) Dialoghi italiani I, Dialoghi metafisici, Sansoni, Firenze. Cassirer E. (1978) Storia della filosofia moderna - Il problema della conoscenza nella filosofia e

nella scienza, vol I°, tomo II°, Einaudi, Torino. Clagett M. (1981) La scienza della meccanica nel medioevo, Feltrinelli, Milano. Copernico N. (1975) De rivolutionibus orbium caelestium, Einaudi, Torino. Cusano (1988) La dotta ignoranza -Le congetture, Rusconi, Milano. Dreyer J.L.E. (1992) Storia dell’astronomia da Talete a Keplero, Feltrinelli, Milano. Garin E. (1992) Rinascite e rivoluzioni -Movimenti culturali dal XIV al XVIII secolo-, Mondadori,

Milano. Gentile G. (1985) Prefazione a, Bruno G. (1985), pp. XXIX-LI.Grant E. (1983) La scienza nel medioevo, Il Mulino, Bologna. Jammer M. (1974) Storia del concetto di spazio, Feltrinelli, Milano. Koyré A. (1970) Dal mondo chiuso all’universo infinito, Feltrinelli, Milano. Koyré A. (1975) Introduzione a Copernico N., De rivolutionibus orbium caelestium, Einaudi,

Torino. Koyré A. (1979) Studi galileiani, Einaudi, Torino. Oresme N. (1981), “Le livre du ciel et du monde”, riprodotto in Clagett M., La scienza della mecca-

nica nel medioevo, Feltrinelli, Milano. Parodi M. (1981) Tempo e spazio nel medioevo, Loescher, Torino.

(43) Per una storia pubblicata in lingua italiana si veda tutta la Parte Prima di BORDONI S. 1995.

APPUNTI DALLA RELAZIONE SUL PROBLEMA DEL CORPO NERO: ENTRARE NEL MERITO PER CAPIRE1

Giovanni Luigi MicheluttiDipartimento di Fisica, Università di Udine

Irraggiamento1. L’irraggiamento è la trasmissione di energia termica per opera delle onde elettromagnetiche.

2. Quando una carica q subisce un’accelerazione a, essa irraggia onde elettromagnetiche. La potenza irraggiata vale

3. A temperatura ambiente, la radiazione emessa dai corpi che ci circondano appartiene alla regione infrarossa dello spettro che l’occhio umano non è capace di rilevare.

4. Si può misurare l’energia emessa sotto forma di radiazione termica? Quale legge governa il feno-meno?

5. Le risposte conclusive, al punti precedente, dono l’inizio della FISICA QUANTISTICA.

Potere emissivo di un corpo1. Il potere emissivo monocromatico di un corpo è dato dalla formula

Eλ (T) = ελ (T) Enλ (T), (Wm-2 μm-1) (S.1)

con 0 ≤ ελ (T) ≤ 1 (emissività monocromatica)

e (Wm-2 μm-1) (S.2)

2. Il potere emissivo totale si può esprimere nella formula

E (T) = ε (T) σβ T4 (Wm-2) (S.3)

con 0 ≤ ελ (T) ≤ 1 (emissività media)

3. Un corpo con ελ (T) = 1, oppure ε (T) = 1, è un emittore perfetto ed è noto come CORPO NERO

4. Dato che (nell’irraggiamento) l’energia viene trasmessa tra i vari corpi, è evidente che i corpi oltre a emettere devono anche assorbire energia.

Il corpo nero assorbe tutta l’energia che incide su di esso. Un corpo nero è quindi un assorbitore e un emittore perfetto.

(1) a cura di Cristina Cassan, CIRD, Università di Udine


Una scatola con un forellino si comporta come un corpo nero.

Le pareti della scatola assorbono “tutta” la radiazione che penetra dal forellino.

Emette la radiazione prodotta dalle pareti all’interno.La radiazione emessa si chiama radiazione nera (o di corpo nero) o di cavità.

Potere emissivo di un corpo nero1. Il potere emissivo monocromatico (o spettrale) del corpo nero è dato dalla formula di Planck:

(Wm-2 μm-1) (C.1)

con a) T = temperatura assoluta (K); b) λ = lunghezza d’onda della radiazione emessa (μm): c) C1 = 2πћc2 = 3,742 Wμm4 m-2;

d) μm K;

e) kB = 1,380 10-23 Ј K-1 (costante di Boltzmann); f) ћ = 6,625 10-34 Јs (costante di Planck); g) c = 2,998 108 ms-1 (velocità della luce nel vuoto).

2. Si osservi che Enλ(T) fornisce la potenza radiante emessa dal corpo nero alla temperatura asso-luta T per unità di area superficiale e per unità di lunghezza d’onda, nell’intorno della lunghezza d’onda λ.

3. Inoltre Enλ(T) Δλ (Wm-2) fornisce la potenza emessa dal c.n. alla temperatura assoluta T, per unità di area superficiale, nell’intervallo di lunghezza d’onda da λ a λ + Δλ.


4. Ricordando che c = λν

e quindi con Δν >0, si ha, da (C.1),

(C.2)

Che fornisce la presenza emessa dal c.n., alla temperatura assoluta T, per unità di area superficiale, nell’intervallo di frequenza da ν a ν + Δν.

5. Il potere emissivo del corpo nero è dato da

(Wm-2)

Con σB = 5.67 10-8 Wm-2K-4.

La formula En(T) = σBT4 (C.3)

è nota come la Legge di Stefan-Boltzmann.

6. Il potere emissivo monocromatico ha un massimo in corrispondenza di λ = λmax e si ha

λmax T 2,9 10-3 m K (C.4)

che rappresenta la Legge dello spostamento di Wien. Si osservi che per T = 300 K si ha λm = 970 nm (infrarosso) T = 6000 K si ha λm = 480 nm (visibile)

7. La formula di Rayleigh-Jeans.

Si osservi che

e quindi per x <<1

Allora per

di conseguenza, dalla formula di Planck (C.2) si assume

(C.5)

(catastrofe ultravioletta)

8. Considerando per x>>1 nella (C.2) si può porre


per frequenze molto elevate, cioè per >>1

Si ottiene (C.6)

Noto come equazione di W.Wien (ottenuta nel 1893-94)

La formula di Planck1. Nel 1899 Max Planck stabilì la seguente relazione

(x, T)

(P.1)

che lega le grandezze

a) uν(T), densità spettrale, media, di energia (del corpo nero) alla temperatura di equilibrio T; b) U(ν,T), energia media di un oscillatore (midimensionale) in equilibrio con la radiazione nera.

2. Alla fine del 1900 (14 Dicembre) Planck riuscì a determinare l’espressione analitica di U(ν,T):

(P.2)

3. Combinando (P.1) e (P.2) Planck trovò la legge che porta il suo nome

(P.3)

4. Sapendo che il legame fra densità spettrale e potere emissivo è dato da

Dalla (P.3) si ottiene (P.4)

Interpretazione quantistica della formula di Planck

1. Prendendo (Wm-2) (P.5)

si può affermare che a) è l’energia associata a un singolo fotone; b) ΔΝν è il numero medio di fotoni emessi dal c.n., per unità di area superficiale e per unità di

tempo, nell’intervallo di frequenze fra ν e ν + Δν.


Il modello statistico di PlanckSupponiamo di avere un certo numero G di oscillatori, g1 dei quali oscillano con frequenza ν1, g2 con frequenza ν2, …, gr con frequenza νr, …, gs con frequenza νs. Si ha

G = g1 + g2 + … + gr + … + gs (i gr sono interi).

Supponiamo, inoltre, di voler distribuire agli oscillatori g1 l’energia n1ε1, agli oscillatori g2 l’energia n2ε2, …, agli oscillatori gr l’energia nrεr, agli oscillatori gs l’energia nsεs, in modo tale che

E = n1ε1 + n2ε2 +…+nrεr + nsεs (gli nr sono interi).

In quanti modi è possibile realizzare una distribuzione di energia?Il numero di modi (totale) sarà dato dal numero di modi w1 in cui n1 “pezzi” di energia ε1 si possono distribuire fra g1 oscillatori, moltiplicato il numero di modi w2 in cui n2 “pezzi” di energia ε2 si pos-sono distribuire fra g2 oscillatori e così via,

W = w1·w2·…·wr·…·ws=

rispettando il vincolo

La distribuzione ottenuta con il numero massimo di modi è quella che caratterizza gli oscillatori in equilibrio termico alla temperatura T. Per questa distribuzione si ha

dove

Si può interpretare nr come il numero medio di “pezzi” di energia posseduti dai gr oscillatori all’e-quilibrio termico. Ne segue che l’energia media posseduta dai gr oscillatori è

mentre l’energia media di un singolo oscillatore è data da

Ricordando la notazione (P.1) possiamo porre

(P.6)

che esprime l’energia media di un oscillatore di frequenza data νr.


Suggerimenti per ulteriori letture:Sexl, Raab (1984) Streeruwitz, Fisica 3, Zanichelli, Bologna, (Cap. III).Zanetti V. (1989) La fisica attorno a noi, Zanichelli, Bologna, (Cap. 5).Çengel Y.A. (1998) Termodinamica e trasmissione del calore, Mc Graw-Hill, N.Y., (Cap. 14).Nolan P.J. (1996) Fondamenti di fisica, Zanichelli, Bologna, (Cap. 16).Bon M., Fisica atomica, Boringhieri, Torino.Kuhn T.S. (1978) Alle origini della fisica contemporanea, Il Mulino, Bologna.

LA FISICA DELLA SUPERCONDUTTIVITÀ1

Rosanna ViolaUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

1. Introduzione/FenomeniIl punto di partenza della scoperta della superconduttività è stata una discussione sulla dipendenza dalla temperatura della resistenza dei metalli. Secondo la teoria classica (P. Drude e H.A. Lorentz) c’erano due possibilità per il caso limite alla temperatura dello zero assoluto:• gli elettroni dovrebbero condensare attorno agli atomi; il metallo dovrebbe diventare un isolante

alla temperature T = 0 K.• non c’è condensazione; la resistenza va a zero come la radice quadrata di T.Gli esperimenti, però, rivelarono che nessuna delle due previsioni si realizzava. Dopo che Heike Kamerlingh Onnes riuscì a liquefare l’elio (a 4.2 K) nel 1908, fu possibile misurare la resistenza dei metalli a temperature molto basse con il risultato che essa si avvicinava a un valore finito che dipen-deva fortemente dalle impurezze. Per campioni molto puri, la resistenza dovrebbe andare a zero, dato che la dipendenza della temperatura osservata può essere associata all’agitazione termica degli atomi. Nel 1911 furono condotti molti esperimenti con mercurio molto puro con il risultato che realmente la resistenza del mercurio assumeva valori molto piccoli, ma inaspettatamente essa crollava repentina-mente a zero (nel 1913 H. Kamerlingh Onnes vinse il Premio Nobel per questa scoperta).Poco dopo fu scoperto che, al di sopra di un valore critico di densità di corrente, la resistenza diventava nuovamente finita.Un altro fenomeno della superconduttività è di natura magnetica – il cosiddetto “Effetto Meissner-Ochsenfeld”: i superconduttori mostrano la caratteristica di espellere completamente un campo magnetico applicato, indipendentemente da quando questo campo sia stato applicato, prima o dopo la transizione alla fase superconduttiva.

Un superconduttore, di conseguenza, si comporta come un materiale diamagnetico perfetto. Ma esi-ste un valore critico del campo magnetico al di sopra del quale la superconduttività scompare. In

(1) Dai materiali del progetto MOSEM http://supercomet.no/gb/MOSEM.

Fig. 1. Resistenza del mercurio: fase di transizione alla superconduttività. Fig. 2. Effetto Meissner-Ochsenfeld - http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:EfektMeisnera.svg.


effetti è questo comportamento magnetico che caratterizza un materiale come superconduttore.Non si ebbe una descrizione teorica di questi fenomeni, tuttavia, fino al 1957, quando J. Bardeen, L.N. Cooper and J.R. Schrieffer svilupparono con successo una teoria quantistica consistente della superconduttività (Teoria BCS). Una prova della natura quantistica della superconduttività è l’Ef-fetto Josephson che portò allo sviluppo di molti dispositivi innovativi.Il comportamento magnetico sopra descritto è tipico dei cosiddetti Superconduttori del I Tipo, di solito rappresentati dagli elementi metallici. Più tardi fu trovato un altro tipo di superconduttori, chiamati Superconduttori del II Tipo, soprattutto leghe e composti. Essi mostrano due valori cri-tici di campo magnetico: al di sotto del primo il materiale si trova nello stato Meissner (come un Superconduttore del I Tipo), tra il primo e il secondo è in un cosiddetto stato misto o stato Abriko-sov (vincitore del Premio Nobel nel 2003), al di sopra del secondo valore critico di campo il mate-riale diventa nuovamente un normale conduttore. La fase intermedia è caratterizzata dalla comparsa nel materiale di vortici di flusso, ognuno dei quali porta una unità di flusso magnetico quantizzato (“fluxoid”). Quando i vortici sono trattenuti da difetti (“pinning”), il materiale può tollerare campi magnetici piuttosto intensi ed è detto “Superconduttore Duro”, tali materiali sono di conseguenza molto utili per applicazioni tecnologiche.Tra il 1986 e il 1993 è stato scoperto un nuovo tipo di superconduttori: i cosiddetti “Supercondut-tori ad Alta Temperatura (High-Tc)”. Essi sono caratterizzati da temperature critiche molto alte, alcune ben al di sopra del punto di ebollizione dell’azoto liquido (77 K). J.G. Bednorz and K.A. Mül-ler hanno ricevuto il Premio Nobel nel 1987 per la scoperta pionieristica di questi superconduttori. Nel frattempo il record di temperatura critica registrata cade intorno a 160 K.La maggior parte di questi materiali sono ceramici e la fisica che descrive la loro superconduttività non è ancora chiaramente compresa.

2. Proprietà elettricheLa superconduttività, come indica il nome, descrive il fenomeno secondo il quale un pezzo di mate-riale diventa un conduttore perfetto con resistenza elettrica nulla e ciò avviene molto repentinamente al di sotto di una certa temperatura, la temperatura critica Tc. Solitamente ciò avviene a temperature molto basse, appena al di sopra dello zero assoluto. Come si giustifica il fatto di parlare di scomparsa della resistenza? Al tempo della scoperta, l’accuratezza della misura era intorno a 10-5, oggi la diminu-zione della resistenza all’inizio della fase superconduttiva può essere misurata con una accuratezza di 10-14. Questo può essere fatto monitorando la diminuzione di una corrente in un anello supercondut-tore (anche Kammerlingh Onnes utilizzò questo metodo molto sensibile nel 1914): una barra magne-tica viene dapprima inserita nell’anello allo stato normale, poi l’anello viene raffreddato portandolo al di sotto della temperatura critica del materiale di cui è fatto. Quando il magnete viene rimosso, si

Fig. 3. Creazione di una supercorrente in un anello superconduttore: prima l’anello viene raffreddato, poi il magnete viene rimosso.


registra nell’anello una corrente indotta. Se questa corrente decresce nel tempo, sicuramente esiste una resistenza nel conduttore; se non decresce, si può determinare un limite superiore della resistenza.La bassa resistenza dei metalli è connessa con l’osservazione che il trasporto di carica è realizzato dai cosiddetti elettroni liberi nel materiale. In realtà essi sono solo quasi-liberi in quanto essi collidono durante il loro moto l’uno con l’altro, dando il cosiddetto contributo intrinseco alla resistenza (abba-stanza indipendente dalla temperatura) e con gli ioni del reticolo cristallino (in realtà eccitazioni ele-mentari delle vibrazioni reticolari, dette fononi). L’ultimo contributo è fortemente dipendente dalla temperatura. Perchè in un materiale superconduttore dovrebbe essere improvvisamente proibito lo scambio di energia tra gli elettroni di conduzione e il reticolo? Intorno al 1930 si è dimostrato che la superconduttività deve essere un fenomeno quantistico macroscopico. Solidi che normalmente sono buoni conduttori (come rame, argento, oro) in genere non diventano superconduttori, mentre molti cattivi conduttori possono diventare superconduttori. La ragione di quest’ultima osservazione risiede nella forte interazione (scattering) elettrone-fonone, che porta a alti valori della resistenza nello stato normale, mentre è responsabile del meccanismo della superconduttività quando questa si realizza a bassa temperatura. L’esistenza di una densità di corrente limite (corrente critica) che un supercon-duttore può sostenere è legata a questo meccanismo (vedi la Sezione 4).

3. Comportamento magneticoIn un campo magnetico, i superconduttori si comportano in modo piuttosto differente dai (anche per-fetti) conduttori metallici: un superconduttore è un materiale diamagnetico perfetto, la magnetizza-zione indotta compensa completamente un campo magnetico applicato – ma solo fino a un valore critico Bc (vedi fig. 4a).

Fig. 4. a) Magnetizzazione indotta in un superconduttore (I Tipo) in funzione del campo magnetico applicato; b) Dipendenza del valore critico del campo magnetico dalla temperatura.

Nel 1935 W. Meissner e R. Ochsenfeld scoprirono l’effetto (chiamato più tardi col loro nome) secondo il quale un flusso magnetico sarà sempre espulso dal materiale superconduttore, indipendentemente se il campo magnetico è applicato prima o dopo l’insorgere dello stato superconduttivo. Così l’ef-fetto è indipendente dalla sua storia precedente e quindi è reversibile in termini termodinamici. Di conseguenza la superconduttività è un vero stato termodinamico.La dipendenza dell’intensità del campo magnetico critico dalla temperatura può essere approssimata molto bene dalla semplice espressione (vedi fig. 4b)

Bc(T) = Bc(0) [1 – (T/Tc)²].


Poco dopo la scoperta dell’effetto Meissner-Ochsenfeld fu sviluppata una teoria fenomenologica da F. e H. London. Essa, tra le altre cose, prediceva che il campo magnetico non venisse espulso com-pletamente fino alla superficie del superconduttore, ma penetrasse in un sottile strato dove scorrono le correnti di compensazione. La lunghezza caratteristica associata a questo strato è detta profon-dità di penetrazione di London λL, e tipicamente è del’ordine di 50 nm. Il fatto che tutto il trasporto di energia avvenga in un sottile strato superficiale di un filo superconduttore ha alcune conseguenze pratiche: migliaia di sottili filamenti superconduttori possono essere inseriti in una matrice di rame, che trasportano la corrente sotto la temperatura critica; tuttavia se la superconduttività improvvisa-mente cessasse il materiale di rame si assumerebbe il trasporto della corrente in modo tale da preve-nire la distruzione del filo.Se si applica la regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld a una corrente in un anello supercon-duttore (a un sistema macroscopico!) si ottiene il risultato che il flusso magnetico è quantizzato, cioè il flusso magnetico risulta di unità elementari di “fluxoids”

Φ0= h/2e0 = 2.07 · 10-15 Tm² (= Wb)

dove h è la costante di Planck e e0 l’unità elementare di carica. In realtà, al denominatore c’è la carica dei portatori di corrente, che sperimentalmente risulta essere il doppio della unità elementare di carica, indicando che in un superconduttore si ha un accoppiamento di elettroni (maggiori detta-gli nella sezione successiva).

4. Teoria BCSLa Teoria BCS (per la quale J. Bardeen, L.N. Cooper e J.R. Schrieffer ricevettero il Premio Nobel nel 1972) è una teoria quantistica a molte particelle che spiega la superconduttività nei metalli. L’os-servazione sperimentale che la temperatura critica mostra una forte dipendenza dalla presenza nel metallo di una maggiore quantità di isotopi pesanti o di isotopi leggeri (“effetto isotopico”) indica che le vibrazioni quantizzate del reticolo (i cui quanti sono chiamati fononi), che dipendono dalla massa, giocano un ruolo vitale nella formazione dello stato superconduttivo. Misurando il calore spe-cifico, dal cui valore dipende la formazione delle coppie di elettroni nello stato superconduttivo, fu trovato anche un gap di energia nello spettro di eccitazione elettronico dei superconduttori sotto Tc.L’idea di base che sta dietro alla Teoria BCS si poggia sulla formazione delle cosiddette coppie di Cooper che consistono in due elettroni (con quantità di moto e spin opposti, vedi oltre). Questo può essere ottenuto postulando una nuova interazione attrattiva debole elettrone-elettrone attraverso l’emissione e l’assorbimento di fononi virtuali che può essere interpretata nel modo seguente: l’emis-sione di un fonone virtuale da un elettrone è equivalente a una deflessione degli ioni del reticolo e quindi a una polarizzazione del reticolo nelle sue vicinanze. Se un altro elettrone attraversa questa nube di polarizzazione, sente una forza attrattiva (dovuta all’assorbimento del fonone virtuale) indi-pendente dalla repulsione Coulombiana tra gli elettroni (va qui notato che i fononi scambiati non possono essere reali in quanto un fonone reale porterebbe a un trasferimento di energia al reticolo e quindi a una resistenza non nulla).La formazione delle coppie di Cooper è un processo dinamico, dipende da quanto velocemente il reti-colo può seguire l’azione polarizzante degli elettroni, e di conseguenza le masse degli ioni giocano un ruolo cruciale, portando al sopra menzionato effetto isotopico della temperatura critica. Poiché il reticolo reagisce molto più lentamente degli elettroni che viaggiano attraverso di esso, l’accoppia-mento della coppia di Cooper avviene a distanze tra 100 nm e 1000 nm; questa distanza è detta “lun-ghezza di coerenza” e può essere interpretata come estensione media della coppia di Cooper. All’in-terno di questa distanza c’è un numero di elettroni dell’ordine di 106, sotto forma di coppie di Coo-per che si disintegrano e si riformano continuamente.Un calcolo di meccanica quantistica mostra che tutte le coppie di Cooper hanno quantità di moto totale e spin nulli (a T = 0 K). Quindi ogni coppia di Cooper si comporta come un bosone, fatto che favorisce la situazione in cui tutte le coppie sono nel medesimo stato quantico di energia. L’insieme


di tutte le coppie è descritto da una singola funzione d’onda che attraversa l’intero superconduttore. L’energia di legame di una coppia di Cooper è dell’ordine di pochi meV, molto più piccola dell’e-nergia di legame degli elettroni nel metallo (alcuni eV), di conseguenza l’accoppiamento degli elet-troni in coppie di Cooper è possibile solo se l’energia termica del reticolo è bassa. Questa energia di legame ovviamente crea il sopra menzionato gap di energia nello spettro elettronico.Appena sotto la temperatura critica solo una piccola parte degli elettroni di conduzione si lega in cop-pie di Cooper; man mano che la temperatura decresce si formano sempre più coppie fino a quando a T = 0 K sono tutte coppie.Quando si applica un campo elettrico, tutte le coppie hanno la stessa quantità di moto senza alcuna interazione col reticolo, e ciò porta all’osservato trasporto di carica senza resistenza; comunque la quantità di moto che può essere trasferita alle coppie è limitata, infatti quando la loro energia cine-tica supera quella di legame, la superconduttività scompare – questa è la ragione dell’esistenza della corrente critica. Anche i campi magnetici possono essere applicati fino a una certa intensità, dal momento che la corrente di compensazione raggiungerebbe poi il suo valore critico.In conclusione va notato che la Teoria BCS ha bisogno di soli tre parametri per esprimere le carat-teristiche essenziali della superconduttività nei metalli: essi sono le caratteristiche del sottosistema elettronico (densità di stati vicino alla superficie di Fermi), del reticolo (le frequenze caratteristiche fononiche), e l’intensità dell’accoppiamento elettrone-fonone.

5. L’effetto JosephsonSe due superconduttori sono connessi tramite un sottile strato di materiale non superconduttore (di spessore di pochi nanometri), la teoria quantistica prevede una probabilità non nulla che le coppie di Cooper possano attraversare la barriera tra un superconduttore e l’altro. I due superconduttori si dicono allora debolmente accoppiati. Un simile apparato è detto giunzione di Josephson, da Brian D. Josephson, che predisse il fenomeno teo-ricamente nel 1962 e vinse il Premio Nobel nel 1973, dopo la verifica sperimentale della sua previsione. La giunzione di Josephson può essere una combinazione di superconduttore-iso-lante-superconduttore (SIS) o superconduttore-normale conduttore-superconduttore (SNS), o realizzata pressando un sottile punto supercon-duttore in un altro superconduttore, o una fen-ditura molto stretta in un film superconduttore.Il fatto che in un superconduttore tutte le cop-pie di Cooper siano nello stesso stato quantico implica anche che la fase della funzione d’onda ad esse associate è ben determinata. Se si applica una tensione U0 alla giunzione, fluirà attraverso di essa una supercorrente, a resistenza nulla, Is (corrente di Josephson) di intensità

Is = Ic sin (Δφ).

dove Δφ è la differenza di fase tra le funzioni d’onda dei due superconduttori accoppiati, in analogia alla differenza di fase tra due pendoli accoppiati debolmente in meccanica. Il valore di Is può essere incrementato incrementando la tensione applicata U0 fino alla corrente critica Ic. Questo fenomeno è chiamato Effetto Josephson DC (corrente continua).Se la corrente diventa più intensa di Ic, ai capi della barriera apparirà una tensione Us, cioè si svi-luppa una certa resistenza. Questa tensione comporta una differenza di energia tra i sistemi di cop-pie di Cooper, data da:

Fig. 5. La giunzione Josephson.


ΔE = 2 e0 Us,

e, in accordo con la meccanica quantistica, questa è equivalente a una differenza nelle frequenze interne dei sistemi di Δv = ΔE/λ. Se i due sistemi oscillano con frequenze differenti ma costanti nel tempo, la differenza di fase tra di essi varia linearmente col tempo

,

dove appare nuovamente il quanto di flusso magnetico Δ0; il suo inverso è detto costante di Josephson KJ. Come conseguenza, una supercorrente alternata, con la cosiddetta frequenza di Josephson

vJ = 2 e0 Us/h,

ora fluisce attraverso la barriera. Questo determina l’Effetto Josephson AC (corrente alternata).Le giunzioni di Josephson sono usate come elementi di commutazione estremamente rapidi e accu-rati stabilizzatori di tensione. In aggiunta essi sono usati in dispositivi di misura di flussi magnetici estremamente piccoli (SQUIDs = Superconducting Quantum Interference Devices).Nell’Effetto Josephson AC Inverso, una tensione alternata di frequenza v è applicata alla giun-zione Josephson (di solito irradiandola con microonde). Si creano livelli discreti di tensione tra i due superconduttori, del tipo

Un = n v0 v, n = 1, 2, 3,...

Quindi la giunzione Josephson si comporta come un perfetto convertitore frequenza-tensione. Di conseguenza è usato in tutto il mondo come base per la tensione costante di riferimento negli istituti nazionali metrologici e nei laboratori di calibrazione delle industrie.Infine va notato che l’effetto Josephson è stato dimostrato anche con i nuovi Superconduttori ad alta temperatura.

6. Superconduttori del I Tipo/ II TipoI fenomeni e la loro interpretazione teorica, così come descritti nelle Sezioni 2-4, sono relativi ai cosiddetti Superconduttori del I Tipo, caratterizzati da un completo Effetto Meissner-Ochsenfeld al di sotto di Tc e Bc: un campo magnetico applicato decresce esponenzialmente all’interno della profon-

Fig. 6. a) Magnetizzazione indotta in un Superconduttore del II Tipo in funzione del campo magnetico applicato; b) Dipendenza dell’intensità del campo magnetico critico dalla temperatura.


dità di penetrazione di London dove scorre una supercorrente, all’interno il campo è nullo. Sopra il valore critico di campo Bc le coppie di Cooper si scindono e il materiale diventa un normale condut-tore. I materiali che mostrano un simile comportamento sono di solito metalli puri che sono caratte-rizzati, comunque, in generale da bassi valori di temperatura e intensità di campo magnetico critici. Di conseguenza non sono molto utili per le applicazioni tecnologiche.Di contro, i cosiddetti Superconduttori del II Tipo (di solito leghe e composti) mostrano un diffe-rente comportamento: al di sotto di un primo campo magnetico critico Bc1, essi sono nel cosiddetto stato Meissner e mostrano un completo Effetto Meissner-Ochsenfeld (come un Superconduttore del I Tipo). Tra questo campo critico e un secondo campo critico Bc2 (di solito molto più alto) essi mostrano un Effetto Meissner-Ochsenfeld incompleto, che significa che un campo magnetico appli-cato può entrare nel materiale. Al di sopra del valore Bc2 la superconduttività scompare (vedi fig. 6a).Nello stato intermedio (misto, Abrikosov o fase di vortice) è energicamente favorito che esistano nel materiale vortici di flusso magnetico v0. Questi vortici sono nella fase conduttiva normale e sono cir-condati da regioni superconduttrici in cui scorrono correnti superconduttrici a forma di anello (vedi fig. 7). Men-tre il campo magnetico cresce da Bc1 a Bc2, sempre più vortici entrano nel materiale; poiché essi si respingono l’uno con l’altro, si forma un ordinato reticolo esagonale bi-dimensionale di vortici. Questo può essere osservato al microscopio.La base teorica di questi fenomeni è stata posta dal lavoro di V.L. Ginzburg e L.D. Landau (1950), poi esteso da A.A. Abrikosov (1957) e L.P. Gor’kov (1960). Abrikosov e Ginzburg vinsero il Premio Nobel nel 2003 per il loro lavoro (essendo Landau morto nel 1968). Si possono esprimere le caratteristiche essenziali considerando le scale di lunghezza caratte-ristica: la prima definisce una lunghezza di coerenza efficace ζ che dipende dalla lunghezza di coe-renza “intrinseca” ζ0 (cioè l’“estensione”di una coppia di Cooper) e dal cammino libero medio L degli elettroni nello stato conduttore normale (che implica la resistenza; cioè, un piccolo/grande L significa un cattivo/buon conduttore):

1/ζ = 1/ζ0 + 1/L

Questa lunghezza di coerenza va confrontata con la profondità di penetrazione di London λL. In un superconduttore puro (con un grande L) ζ è approssimativamente uguale a ζ0 e maggiore di λL. Dall’al-tro lato, quando L è piccolo, ζ può diventare minore di λL, e lo stato superconduttivo si modifica, così che un campo magnetico può entrare nel materiale, cioè esso è un Superconduttore del II Tipo.Le stesse scale di lunghezza determinano le intensità del campo magnetico critico: Bc1 dipende da λL, e Bc2 da ζ, così che il loro prodotto è approssimativamente uguale al campo critico “termodina-mico” Bc (vedi fig. 6a),

Bc1 Bc2 ≈ Bc2.

Idealmente, i vortici possono viaggiare liberamente attraverso il materiale, ma difetti del materiale (“bordi di grano”, ovvero interfacce tra i macrocristalli in un materiale policristallino, difetti di punto etc.) tendono a fermarli. Questo ha dei vantaggi tecnici: possono essere prodotti campi magnetici più

Fig. 7. Disegno di vortici in un Superconduttore del II Tipo.


alti in tali “Superconduttori Duri” (intorno a 50 T). Inoltre, poiché il campo magnetico è presente in gran parte del materiale, tutta la sezione può essere usata per il trasporto di corrente, permettendo correnti critiche più alte. Con appropriate lavorazioni dei materiali, superconduttori del I Tipo pos-sono essere resi del II Tipo (duri).

7. Superconduttori ad Alta TemperaturaI Superconduttori ad Alta Temperatura sono superconduttori con una temperature critiche ben al di sopra dei 30 K. Fino al 1986 si pensava che, in accordo con la Teoria BCS, la superconduttività al di sopra dei 30 K non fosse possibile. Ma in quell’anno, J.G. Bednorz e K.A. Müller scoprirono la superconduttività in materiali ceramici perovskiti di ossido di rame (La2-xBaxCuO4) con temperature critiche tra i 30 K e i 40 K (per questo hanno vinto il Premio Nobel nel 1987). Poco dopo fu scoperto che, sostituendo il lantanio con ittrio, cioè fabbricando YBa3Cu3O7, le temperature critiche potevano salire a 93 K. Questo materiale, anche conosciuto come YBCO o composto-123, è attualmente uno dei superconduttori ad alta temperatura meglio studiati.Così, raffreddando con azoto liquido (punto di ebollizione a 77 K), diventa molto più facile ed eco-nomico realizzare applicazioni tecnologiche. Negli anni seguenti sono stati scoperti molti altri mate-riali con temperature critiche ancor più elevate, il record ufficiale (Marzo 2007) è Tc = 138 K per Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8. A pressioni elevate, il composto di mercurio HgBa2Ca2Cu3O8 raggiunge una temperatura critica anche maggiore di 160 K. È stato anche brevettato un materiale con temperatura critica fino a 150 K.Sfortunatamente, il meccanismo che sta alla base della superconduttività ad alta temperatura non è ancora noto, sebbene alcune caratteristiche comuni degli ossidi di rame ad alta Tc siano state trovate: tutti i composti di rame non drogati sono isolanti antiferromagnetici, drogandoli diventano metallici e, quindi, superconduttori. Esiste una concentra-zione di drogaggio ottimale, sotto e sopra la quale Tc è più bassa. I portatori di carica di molti super-conduttori ad alta temperatura sono lacune (assenza di elettroni). Gli elementi della struttura comune sono piani di CuO2 che sono i principali respon-sabili della supercorrente. Un possibile candidato per la formazione delle coppie di Cooper (essen-ziali per la superconduttività) potrebbe essere una interazione spin-spin antiferromagnetica, mentre i fononi (come nella Teoria BCS) saranno molto pro-babilmente esclusi. Si sta conducendo molto lavoro per trovare una teoria fondamentale della supercon-duttività ad alta temperatura.Come nota finale, nel 1964 fu fatta un’ipotesi secondo cui i materiali organici potrebbero mostrare superconduttività con temperature critiche molto elevate. Questa attesa non è stata confermata, ma effettivamente sono stati trovati superconduttori organici con temperature critiche intorno a 10 K.

Fig. 8. Modello 3D di YBCO - http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:YBCO-3D-balls.png

TAVOLA SINOTTICA. LA STORIA DELLA SUPERCONDUTTIVITÀ

Rosanna ViolaUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

La superconduttività è una delle branche della fisica che si sta sviluppando più rapidamente, in cui le scoperte fondamentali non risalgono a centinaia di anni fa, ma a pochi decenni recenti. E nuove scoperte sono ancora in corso. Ti portiamo a fare un viaggio nella storia di questo affascinante feno-meno dalla sua scoperta nel 1911 fino ai recenti eccitanti sviluppi.

1908: Elio liquidoIl 10 luglio 1908 il professor Heike Kamerlingh Onnes riuscì a raffreddare il gas nobile più leggero, l’elio (He), alla sua temperatura di condensazione nella fase liquida (detto anche punto di ebollizione), che corrisponde a 4.2K o -269°C. Egli fu il primo scienziato della storia a produrre l’elio liquido. Onnes realizzò questo nel suo laboratorio nell’università di Leida in Olanda, usando strumenti molto semplici confrontati con la tecnologia avanzata disponibile oggi. Per fare ciò egli dovette realizzare una macchina frigorifera capace di portare l’elio fino alla temperatura di -269°C, che corrisponde a circa un sessantesimo della temperatura tipica di un congelatore per cibi (tipicamente a -18°C; nota bene: il confronto ha significato solo sulla scala di temperatura assoluta).

1911: scoperta della superconduttivitàSulla base di studi precedenti, il professor Onnes assumeva che la resistenza elettrica dei metalli dovesse decrescere in maniera continua con il diminuire della temperatura, ma altri fisici dell’epoca avevano previsto che la resistenza dei metalli dovesse tendere a diventare infinita all’avvicinarsi allo zero assoluto. Perciò Onnes decise di scoprire cosa sarebbe successo realmente. Usando l’elio liquido che aveva prodotto, egli raffreddò diversi metalli e misurò la resistenza elettrica in funzione della tem-peratura. Uno dei metalli che egli misurò era il mercurio (Hg). Uno strano metallo? In un certo senso sì, visto che è liquido a temperatura ambiente. Ma quando lo si raffredda al di sotto di -39°C congela diventando un solido metallico. La resistenza del mercurio (Hg) decresceva regolarmente al calare della temperatura, in perfetto accordo con le misure precedenti. Ma a circa 4K la resistenza elettrica scomparve del tutto. Questo fu del tutto sorprendente e non rispondeva ad alcuna teoria conosciuta. Onnes aveva scoperto un fenomeno del tutto nuovo e lo chiamò “superconduttività”.

Un magnete in levitazione su un superconduttore.

Heike Kamerlingh Onnes. http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Kamerlingh_por-tret.jpg.


1911: premio Nobel all’OlandaHeike Kamerlingh Onnes ricevette il premio Nobel per la fisica per il suo lavoro nel campo della fisica delle basse temperature che culminò con la liquefazione dell’elio e la sua scoperta della super-conduttività nel mercurio e in altri materiali. Altri scienziati scoprirono poi che molti metalli mostra-vano la stessa proprietà del mercurio, come il piombo (Pb), lo stagno (Sn), l’alluminio (Al), l’in-dio (In) e il gallio (Ga). Tuttavia i metalli che a temperatura ambiente risultano i migliori conduttori come oro, argento e rame non diventano superconduttori a nessuna temperatura. La transizione da una normale conducibilità elettrica al regime superconduttivo avviene nel mercurio a circa 4K, que-sta temperatura fu quindi chiamata temperatura critica Tc del mercurio.

1913: il piombo superconduttoreLa temperatura critica per la superconduttività varia da un metallo all’altro tra quelli che diventano superconduttori. Nel 1913 fu scoperto che la temperatura critica del piombo (Pb) è di 7.196K - quasi il doppio di quella del mercurio. Ma ancora estremamente freddo! I metalli comuni come il mercu-rio, il piombo, lo stagno, l’alluminio e lo zinco, hanno tutti temperature critiche estremamente basse, solo pochi gradi sopra lo zero assoluto. Lo stagno (Sn) ha una temperatura critica Tc = 3.72K, l’allu-minio (Al) ha Tc = 1.175K, lo zinco (Zn) ha Tc = 0.9K e il berillio (Be) ha Tc = 0.023K. Perciò questi metalli sono chiamati superconduttori a bassa temperatura. Presto gli scienziati cominciarono a lavo-rare duramente per cercare materiali con una temperatura critica Tc più elevata. Le possibilità sareb-bero enormi se essi potessero scoprire materiali che fossero superconduttori a temperatura ambiente.

1922: Einstein e la superconduttivitàNel 1922 Albert Einstein parlò della superconduttività all’Università di Leiden. Pubblicò inoltre un paper basato su tale talk, scritto in Germania. Questo fu l’unico articolo pubblicato da Einstein sul tema dalla superconduttività. E’ stato tradotto in inglese nel 2005 da Bjoern Schmekel dell’Univer-sità della California a Berkeley, in occasione della celebrazione del centenario del lavoro di Einstein del 1905. A partire da Neil Ashcroft della Cornell University, l’articolo è stato duramente criticato. Così Einstein non ha contribuito molto alla nostra comprensione della superconduttività ma questo articolo conteneva alcune idee che si sono rivelate corrette.

1930: il niobio superconduttoreIn quest’anno fu misurata per il niobio (Nb) la temperatura critica più alta tra quelle di tutti gli ele-menti metallici puri: Tc = 9.2 K. Il niobio è anche uno dei tre soli elementi metallici ad essere super-conduttori di II tipo; tutti gli altri elementi sono superconduttori di I tipo. Ma nel 1930 i ricercatori non lo sapevano - la distinzione in supercondut-tori di I tipo e di II tipo fu individuata solo 27 anni più tardi.

1933: l’Effetto MeissnerI superconduttori hanno due importanti proprietà. Una è la capacità di trasportare una corrente elet-trica senza resistenza, come fu scoperto da H. K. Onnes nel 1911. L’altra proprietà ha a che fare con il campo magnetico e fu scoperta nel 1933 in Germania da Walter Meissner e Robert Ochsen-feld. Quando un materiale diventa supercondut-tore, esso espelle qualunque campo magnetico che altrimenti lo attraverserebbe. Diciamo che un superconduttore ha permeabilità magnetica nulla. I materiali ferromagnetici come il ferro hanno una permeabilità magnetica molto elevata.

Espulsione del campo magnetico da parte di un supercon-duttore.


Le linee di campo possono essere contenute den-samente nel ferro e se ne possono fare magneti molto intensi. In effetti il ferro attrae le linee di flusso. L’effetto Meissner è in pratica l’opposto del ferromagnetismo - un superconduttore al cui interno si abbia campo magnetico nullo si dice diamagnetico - diversamente da qualunque altro materiale, sarebbe respinto da un magnete qua-lunque sia il polo rivolto verso il supercondut-tore. Ciò è equivalente a dire che ha permeabi-lità magnetica nulla.

1934: il modello a due fluidiPer meglio descrivere il trasporto senza resi-stenza nei superconduttori, gli scienziati olandesi C.J. Gorter e H. B. G. Casimir, suggerirono di considerare gli elettroni responsabili del trasporto elettrico nei superconduttori come divisi in due componenti: una normale ed una supercondut-trice. La separazione delle componenti doveva essere fortemente dipendente dalla temperatura. L’idea era che la componente superconduttrice aumentasse in proporzione da zero, in corrispondenza della temperatura critica, fino al 100% alla temperatura dello zero assoluto. La proporzione degli elettroni della componente normale seguiva un evoluzione opposta. Questo modello fenomenologico si dimostrò utile anche dopo lo sviluppo nel 1957 di una teoria quantistica della superconduttività.

1935: l’equazione di LondonI fratelli ungheresi Fritz e Heinz London furono i primi a sviluppare un supporto teorico agli studi sulla superconduttività. Essi proposero un’equazione per calcolare la densità di supercorrente che si genera in un superconduttore quando viene esposto ad un campo magnetico esterno statico. Questa supercorrente genera un campo magnetico opposto a quello esterno, che lo cancella esattamente pro-ducendo l’effetto Meissner. Questo lavoro fu pubblicato nel marzo 1935. Il modello predisse anche l’esistenza di una lunghezza caratteristica per la penetrazione del campo magnetico statico all’interno del superconduttore, la profondità di penetrazione di London. L’equazione di London per la super-corrente è analoga alla legge di Ohm per la corrente nei normali metalli. La legge di Ohm mette in relazione la corrente con la variazione spaziale di potenziale elettrico che la determina, l’equazione di London mette invece in relazione la supercorrente che produce l’effetto di schermo nei confronti del campo magnetico statico, con un potenziale magnetico da cui il campo magnetico è determinato. Questa equazione viene ancora utilizzata per modellizzare il comportamento dei superconduttori.

1936: superconduttori del II tipoA quell’epoca la comunità dei fisici non classificava i superconduttori in due tipi. Nel 1936 tutta-via, all’Istituto di Scienza e Tecnologia di Kharkov, L. V. Shubnikov scoprì una caratteristica nuova del PbTl2 superconduttore: Quando egli sottopose il superconduttore ad un campo magnetico varia-bile, egli potè individuare due valori critici per il campo magnetico! Questa caratteristica è propria dei superconduttori di II tipo; Shubnikov perciò fu il primo ad individuare un superconduttore di questo genere. Alcuni scienziati chiamano la regione tra questi due valori critici del campo magne-tico fase di Shubnikov. Shubnikov non visse abbastanza per apprezzare quanto importante si rivelò essere la sua scoperta.

Espulsione del campo magnetico da parte di un superconduttore.


1950: la teoria di Ginzburg-LandauGli scienziati sovietici Valerii Ginzburg e Lev Landau pubblicarono un quadro teorico per i supercon-duttori che è tuttora molto utile. Il punto essenziale della loro teoria sta nello sviluppo di una espres-sione per determinare l’energia della fase superconduttrice in prossimità della temperatura critica Tc mediante la somma di potenze successive della funzione d’onda che descrive gli elettroni della com-ponente superconduttrice. Anche se la teoria è puramente fenomenologica, essa si è rivelata estre-mamente utile ed applicabile alla maggior parte dei superconduttori, compresi i superconduttori ad alta temperatura. Il premio Nobel per la fisica del 2003 è stato assegnato per il suo lavoro a Vitaly L. Ginzburg (insieme ad Abrikosov e Leggett). Il lavoro di Ginzburg e Landau dal 1950 ha assunto un’importanza via via crescente.

1953: proprietà di coerenzaL’inglese Brian Pippard scoprì che i superconduttori avevano proprietà di coerenza molto partico-lari. Egli concluse che gli elettroni nella fase superconduttrice presenti in un certo volume di un campione dovessero contribuire insieme a produrre le proprietà di superconduttività in un determi-nato punto. Esprimiamo questo dicendo che ci deve essere coerenza tra gli elettroni supercondut-tori. Nei suoi calcoli egli introdusse la lunghezza di coerenza, detta di Pippard, che è la più breve distanza sulla quale si possono osservare variazioni di densità degli elettroni nella fase supercondut-trice. Il confine tra una regione superconduttrice e una normale non può quindi mai essere più defi-nito della lunghezza.

1954: nuovo record per la temperatura critica: 18,05 KBernd T. Matthias, nato in Svizzera ma la cui carriera scientifica si svolse negli Stati Uniti, e Ted Geballe scoprirono la superconduttività in una lega di niobio (Nb) e stagno (Sn), l’Nb3Sn, che diventa superconduttore a 18.05 K cioè una temperatura superiore a quella del mercurio di ben 14 gradi. Que-sto segnò un nuovo record per la temperatura critica di un superconduttore.

1956: coppie di CooperIl giovane fisico Leon N. Cooper studiò dal punto di vista teorico il bilancio energetico legato all’ag-giunta di una coppia di elettroni aggiuntiva ad un metallo che avesse già tutti gli elettroni necessari. Egli pensò che il meccanismo alla base della superconduttività potesse essere collegato alla costitu-zione di coppie di elettroni. Due elettroni normalmente si respingono poiché hanno carica del mede-simo segno. Nonostante ciò, Cooper eseguì i suoi conti inserendo un’interazione attrattiva tra i due elettroni che venivano aggiunti, e lo fece pur non avendo alcuna idea di cosa potesse produrre que-sta strana interazione! Cooper sviluppò quest’i-dea e pubblicò un articolo sulla costituzione di coppie di elettroni. Queste coppie di elettroni vengono oggi chiamate in suo onore coppie di Cooper per l’importanza della sua intuizione.

1957: la Teoria BCSAll’Università dell’Illinois il professor John Bardeen insieme al giovane studente di dot-torato J. Robert Schrieffer e Leon N. Cooper svilupparono una teoria completa per descri-vere la superconduttività nei metalli. La teo-ria fu pubblicata sulla rivista Physical Review e viene oggi chiamata teoria BCS da Bardeen, Cooper e Schrieffer. La loro teoria spiegò in dettaglio come si formano le coppie di Coo-per, e come queste siano alla base della super- Moderno scanner MRI.


conduttività: le coppie di Cooper consistono in due elettroni che interagiscono tra loro attraverso le vibrazioni del reticolo cristallino del materiale superconduttore, e che in questo modo riducono la loro energia. A differenza degli elettroni liberi che si respingono a vicenda, i due elettroni di una cop-pia di Cooper si attraggono.

1957: quantizzazione del flussoNello stesso anno in cui fu pubblicata la teoria BCS, fu pubblicato in Unione Sovietica un lavoro decisivo di Alexei Abrikosov nel quale egli mostrava come il flusso del campo magnetico nei superconduttori potesse essere quantizzato. Il quanto minimo di flusso magnetico è dato da Φ0 = h/2e=2.07·102 gauss cm2, dove h è la costante di Planck ed e è la carica elettrica elementare. La proprietà di quantizzazione del flusso magnetico si incontra tuttavia solo in alcuni supercondut-tori Questo fatto rese inoltre possibile specificare la distinzione tra i due tipi fondamentali di super-conduttori detti di I e II tipo.

1960: una spinta alle applicazioni pratichePer potere fare applicazioni pratiche dei super-conduttori è piuttosto importante che essi siano in grado di trasportare grandi intensità di cor-rente e sopportare campi magnetici elevati. I superconduttori scoperti prima del 1960 erano molto sensibili ai valori combinati di corrente elettrica e campo magnetico e piccole correnti erano sufficienti a farli uscire dallo stato super-conduttore. Ad Eugene Kunzler dei Bell labs fu assegnato da Morry Tanenbaum il compito di sviluppare un superconduttore a base di niobio che potesse sopportare sia un campo magne-tico elevato, che un’elevata densità di corrente. Nel dicembre 1960, Kunzler fece le sue prime misure di campo magnetico critico su un cam-pione superconduttore di niobio-stagno, e indi-viduò il valore critico in 88000 gauss (il campo magnetico terrestre ha sulla superficie della Terra un valore medio di circa 0.5 gauss). Il

composto si dimostrò inoltre capace di trasportare una elevata densità di corrente. Finalmente si ren-deva possibile applicare i superconduttori. Questo composto si dimostrò essere in grado di soppor-tare i campi magnetici più intensi e le correnti più elevate di qualunque altro per i successivi 20-30 anni. Da questo momento in avanti i magneti superconduttori diventarono un prodotto industriale rilevante. Gli intensi magneti superconduttori sono assai più semplici e più piccoli di magneti con-venzionali della stessa intensità. Ciò fu di gran beneficio per la scienza e la medicina.

1960: evidenza sperimentaleLo scienziato norvegese Ivar Giaever confermò in modo assai elegante una parte importante della teoria BCS. La teoria BCS prevede che gli elettroni che formano una coppia di Cooper siano legati da una energia detta energia di legame. Giaever studiava gli effetti quantistici. All’epoca egli stava studiando gli effetti quantistici nell’effetto tunnel di elettroni a temperatura ambiente tra due metalli separati da un sottile strato di ossido. Egli applicava una piccola differenza di potenziale tra i due metalli e misurava la corrente di tunnel. Giaever fu il primo ad applicare questa tecnica ai supercon-duttori. Egli comprese che se avesse generato l’effetto tunnel di elettroni partecipanti alla supercon-duzione, questo avrebbe dovuto provocare la scissione di alcune coppie di Cooper e quindi sarebbe stato possibile misurarne l’energia di legame. Raffreddando a 1.2 K una giunzione di piombo e allu-

Sezione sagittale di una scansione MRI del cranio umano.http://en.wikipedia.org/wiki/Image:MRI_head_saggital.jpg


minio separata da ossido di alluminio e misurando la corrente di tunnel, egli ottenne evidenza chiara e cristallina dell’esistenza di un’energia di legame per le coppie di Cooper e delle altre proprietà pre-viste dalla teoria BCS. Possiamo dire che egli fornì una prova chiara della correttezza della teoria BCS. Dopo la sua scoperta Giaever diventò cittadino degli Stati Uniti d’America. Egli ricevette per il suo lavoro il premio Nobel per la fisica del 1973.

1962: l’Effetto JosephsonBrian D. Josephson, un giovane studente inglese, pubblicò un articolo con dei calcoli che prevede-vano un risultato “impossibile” - cioè che una corrente elettrica dovesse fluire tra due elettrodi super-conduttori senza che fosse applicata una differenza di potenziale. Secondo la legge di Ohm la cor-rente dovrebbe essere nulla in corrispondenza di una differenza di potenziale nulla. A differenza degli esperimenti di Giaever in cui le coppie di Cooper si separavano prima del tunnelling, i cal-coli di Josephson assumevano che le coppie di Cooper fossero in grado di attraversare la bar-riera tra due elettrodi superconduttori. Una cor-rente di tunnelling di coppie di Cooper può flu-ire se esiste una differenza di fase tra le funzioni d’onda in due superconduttori. La fase della fun-zione d’onda in un superconduttore può essere pensata come qualcosa di analogo alla direzione di magnetizzazione in un ferromagnete. In con-clusione, non è necessaria alcuna differenza di potenziale per produrre una supercorrente! Que-sta scoperta teorica fu così incredibile che John Bardeen in principio si rifiutò di crederci! Egli dovette presto ricredersi e cortesemente presentò le sue scuse.

1964: predizione dell’esistenza di superconduttori organiciWilliam A. Little predisse la possibilità di produrre superconduttori organici e che essi potessero supercondurre a temperatura ambiente. Egli scoprì che le condizioni necessarie per l’esistenza di uno stato superconduttore potevano essere realizzate in certi polimeri organici. Questa fu un’impor-tante fonte d’ispirazione per i lavori che seguirono in questo campo.

1972: premio nobel agli USAI fisici americani John Bardeen, Leon N. Cooper e J. Robert Schrieffer si dividono il premio Nobel per la fisica per la teoria BCS della superconduttività pubblicata nel 1957. Era la seconda volta che Bardeen riceveva il premio Nobel per la fisica - aveva ricevuto il primo nel 1956 (insieme a William B. Shockley e Walter H. Brattain) per l’invenzione del transistor. Perciò Bardeen veniva talvolta chia-mato “il grande” dai suoi colleghi.

1972: primo veicolo MAGLEV giapponeseL’Istituto per la Ricerca Tecnologica delle ferrovie giapponesi sviluppò e provò un veicolo a levita-zione magnetica (ML) chiamato ML100, spinto da un motore lineare ad induzione. Per generare il campo magnetico erano utilizzate bobine superconduttrici.

1973: premo nobel a Norvegia, Giappone e Regno UnitoIl norvegese Ivar Giaever, allora cittadino statunitense, il giapponese Leo Esaki e l’inglese Brian D. Josephson si dividono il premio Nobel per la fisica. Giaever e Esaki ricevettero il premio Nobel

La giunzione Josephson.


per i loro risultati sperimentali riguardo i fenomeni di tunnelling in superconduttori e semicondut-tori rispettivamente, mentre Josephson fu premiato per la previsione teorica dell’effetto Josephson. Leo Esaki fu premiato per il suo lavoro pionieristico sui processi di tunnelling nei solidi realizzato nel 1958, Giaever fece invece nel 1960 l’importante passo successivo misurando, in un esperimento di tunnel, il gap energetico per un superconduttore. Questo ispirò Josephson a lavorare ad una teoria della supercorrente tra due superconduttori, che fu pubblicata nel 1962.

1973: nuovo record per la temperatura critica: 23 KJ. R. Gavaler realizzò un esperimento con un composto di niobio (Nb) e germanio (Ge), l’Nb3Ge, che si dimostrò diventare superconduttore a 23 K. Cioè a temperatura più alta di 19 gradi rispetto al mercurio (Hg). Questo segnò il nuovo record per la temperatura critica di un superconduttore.

1979: scoperta dei superconduttori organiciNei loro laboratori di Parigi, lo scienziato francese D. Jerome ed il danese Klaus Bechgaard insieme ai loro collaboratori, ispirati dalle previsioni di William Little, scoprirono i superconduttori organici. Essi combinarono la molecola organica TMTSF (tetramethyltetraselenafulvalenium) con fosforo e fluoro a produrre il (TMTSF)2PF6 e scoprirono in esso la proprietà di essere superconduttore.

1986: scoperta dei superconduttori ceramiciLo scienziato di origine tedesca J. George Bednorz e lo svizzero K. Alex Müller nell’ambito delle loro ricerche svolte all’IBM Research Laboratory presso Zurigo scoprono nel composto La2-xBaxCuO4, ossido di lantanio bario rame, la temperatura critica Tc record di 30 K. Confrontata con lo sviluppo realizzato nei primi 75 anni dalla scoperta della superconduttività questo rappresenta un grande salto in avanti. Nessuna delle leghe metalliche che erano state provate prima aveva mai raggiunto tempe-rature critiche superiori ai 24 K. Perciò esse vengono ora chiamate superconduttori a bassa tempe-

Sviluppo della superconduttività ad alta temperatura.


ratura. Il composto LaBaCuO è il primo di una nuova classe di materiali ceramici chiamati cuprati. I cuprati appartengono al gruppo dei superconduttori ad alta tempertura perché molti di essi hanno temperature critiche molto più alte rispetto a quelle dei superconduttori a bassa temperatura.

1987: premio nobel alla svizzeraJ. George Bednorz e K. Alex Müller dei laboratori IBM in Sviz-zera si dividono il premio Nobel per la fisica per la loro scoperta della superconduttività nei materiali ceramici, preannunciando una nuova era di ricerca e scoperte di nuovi materiali super-conduttori, ed uno slancio esplosivo verso lo sviluppo di nuove applicazioni della superconduttività. Tutti questi materiali super-conduttori ad alta temperatura contengono strati di rame e ossi-geno e sono perciò chiamati cuprati. Essi appartengono tutti ad una famiglia di ceramiche cristalline chiamate perovskiti. Si è scoperto che le proprietà fisiche di questi superconduttori non possono essere spiegate con la teoria BCS. Molto lavoro è stato fatto per sviluppare una teoria quantistica adeguata a descriverli ma il problema è tuttora irrisolto.La scoperta di questi superconduttori aprì nuove possibilità per le applicazioni della superconduttività perché la maggior parte dei superconduttori ad alta temperatura possono essere raffred-dati usando azoto liquido (N2) che è molto più economico dell’e-lio liquido (He). L’azoto liquido ha un punto di ebollizione di 77 K, molto più alto del punto di ebollizione dell’elio liquido che è di 4.2 K. E’ quindi molto più economico usare supercondut-tori ad alta temperatura che non superconduttori a bassa tempe-ratura perché raffreddare a 77 K è molto più semplice che raf-freddare l’elio a 4.2 K.

1987: nuovo record per la temperatura critica: 93 KDue gruppi di scienziati negli USA, uno all’Università dell’A-labama e l’altro a Huston, in Texas, capitanati rispettivamente da Mau-Kuen Wu e Paul C. W. Chu, erano impegnati a cercare di migliorare i risultati di Bednorz e Müller. Essi sostituirono il lantanio con l’ittrio, ed ottennero un nuovo composto chia-mato ossido di ittrio bario rame (YBa2Cu3O7), con una tem-peratura critica di 93 K. Questo salto gigantesco nella massima temperatura critica provocò una grande sensazione e collaborò a fare sì che Bednorz e Müller ricevessero il premio Nobel per la fisica a solo un anno di distanza dalla loro scoperta. Normal-mente ci vogliono parecchi anni prima che la commissione dei Nobel attribuisca il riconoscimento ad un nuovo passo signifi-cativo nel campo della fisica.

1988: nuovo record per la temperatura critica: 125 KUn nuovo composto, il Tl2Ca2Ba2Cu3O8 viene realizzato dai professori Zhengzhi Z. Sheng e Allen M. Hermann all’Università dell’Arkansas negli USA, la sua temperatura critica è di 125 K. Questo rappresenta di nuovo un grande salto in avanti e se que-

Cella unitaria di Bi-2212, un supercondut-tore ad alta temperatura. http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Bi2212_Unit_Cell.png.

Un piccolo esempio di superconduttore ad alta temperatura, Bi-2223. http://com-mons.wikimedia.org/wiki/Image:BI2223-piece3_001.jpg


sto rapido sviluppo fosse conservato sarebbe possibile arrivare a superconduttori a tempera-tura ambiente nel giro di pochi anni. La super-conduttività diventa un fenomeno largamente conosciuto, quando appena tre anni prima solo poche persone al di fuori di fisici specializzati e ricercatori ne avevano sentito parlare. E’ aperta la competizione per raggiungere temperature ancora più elevate.

1989: il collider Large Electron-ProtonUn grande traguardo scientifico europeo venne raggiunto quando il Large Electron-Proton Col-lider (LEP) entrò in funzione nel 1989. L’ac-celeratore di particelle è situato a Ginevra presso il Centro Europeo per la Ricerca Nucle-are (CERN). Le particelle vengono accelerate nell’anello principale di 26.67 km e sono gui-date da elettromagneti convenzionali. In cia-scuna stazione sperimentale di collisione, tut-tavia quadrupoli magnetici a superconduttore

sono utilizzati per focalizzare il fascio. Dopo soli due mesi dall’inizio dei primi esperimenti con il LEP, esperimenti estremamente accurati con la particella Z mostrarono che quando essa decade in coppie neutrino-antineutrino, si producono tre tipi, e soltanto tre di neutrini leggeri. Queste misure indicarono che per ciascuna famiglia di particelle elementari, leptoni e quark, esistono (nel dominio di energia accessibile alla macchina) solo tre gruppi, e furono perciò assai importanti per lo sviluppo della nostra conoscenza sui costituenti elementari della materia. Il LEP ha dimostrato di essere uno strumento eccezionale per la comprensione della fisica delle particelle elementari.

1990: costruzione di una linea MAGLEV sperimentaleGrandi aspettative furono legate allo sviluppo di treni a levitazione magnetica (Maglev) dal momento in cui le autorità giapponesi ordinarono la costruzione della linea sperimentale Maglev Yamanashi. La linea fu completata sette anni più tardi. La linea di 42.8 Km fu costruita per verificare ed assi-curare l’affidabilità, la sicurezza ed il comfort per il trasporto di passeggeri in treni ad alta velocità impieganti magneti superconduttori per la levitazione dell’intero convoglio. Da questo momento fu possibile sperimentare i treni in un ambiente reale.

1993: nuovo record per la temperatura critica 133 KIn quest’anno A. Shilling, M. Cantoni, J. D. Guo e H. R. Ott osservano nel composto HgBa2Ca2Cu3O1+x le proprietà di superconduttività fino alla temperatura di 133 K. Come quello scoperto nel 1988, si tratta di un cuprato che contiene gli stessi elementi a parte il tallio che è sostituito dal mercurio. Da quel momento molti gruppi di ricerca sono fortemente impegnati per stabilire un nuovo record per la superconduttività ad alta temperatura.

1994: Nuovo record per la temperatura critica (sotto pressione): 164 KNel 1994 fu raggiunto il record attuale per la temperatura critica con il cuprato HgBa2Ca2Cu3O10+x. La scoperta fu fatta da L. Gao, Y. Y. Xue, F. Chen, X. Xiong, R. L. Meng, D. Ramires, C. W. Chu, tutti dell’Università di Huston in Texas negli USA, insieme a J. H. Eggert e H. K. Mao del Geophysical Laboratory al Carnegie Institution di Washington. Per ottenere la superconduttività ad una tempera-tura così alta dovettero sottoporre il campione a una pressione di 31 GPa, cioè circa 306.000 volte la pressione atmosferica al livello della superficie terrestre. Raggiungere pressioni elevate come que-

The unit cell of YBCuO, a high-temperature superconductor. http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:YBCO.gif


ste richiede costose attrezzature di laboratorio e sarebbe quindi del tutto irrealizzabile l’utilizzo di un superconduttore in queste condizioni per le applicazioni pratiche.

1995: Nuovo record per la temperatura critica: 138 KUn nuovo record mondiale per la temperatura critica a pressione atmosferica viene realizzato con un cuprato a base di mercurio drogato con tallio. Contiene mercurio, tallio, bario, calcio, rame e ossigeno ed ha la formula chimica Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8+x. I primi due di questi elementi sono molto vele-nosi, è perciò importante essere molto attenti nel fare questo tipo di superconduttori. Questo cuprato fu scoperto da P. Dai e i suoi collaboratori degli Oak Ridge National Laboratories in USA.

1996: LEP IIQuesto è l’anno in cui l’energia del LEP fu raddoppiata portandola a 90 GeV per fascio di particelle mediante l’installazione di nuove avanzate bobine di filo superconduttore. Ciò rese possibile inve-stigare particelle create ad energie molto più grandi di prima.

1998: Provato un nuovo trasformatore superconduttoreI trasformatori vengono usati nelle linee di trasmissione della potenza elettrica per elevare o abbas-sare la tensione. Nel maggio del 1998 la società Wuakesha Electric del Wisconsin, negli USA, provò un trasformatore da 1 MV A (mega volt ampere) realizzato con superconduttori ad alta temperatura. I nuovi trasformatori sono interessanti dal punto di vista commerciale perché non impiegano olio per il loro raffreddamento come i trasformatori convenzionali. L’olio richiede filtraggio ed un sistema di circolazione, è piuttosto pesante ed ha quindi costi di trasporto elevati, esso rappresenta inoltre un importante elemento di rischio per incendi ed inquinamento ambientale. L’azoto liquido che viene usato per raffreddare i superconduttori pesa molto meno dell’olio, non è infiammabile ed è molto meno pericoloso per l’ambiente.

1999: Nuovo record di velocità per il MAGLEVUn treno a levitazione magnetica (Maglev) con persone a bordo segnò, il 14 aprile 1999, un record di velocità raggiungendo una punta di 522 km/h sulla linea Maglev sperimentale di Yamanash. Il con-voglio, di cinque vagoni, superò il limite precedente segnato da un treno composto da tre vagoni.

2000: Primo transistore superconduttoreI transistori sono oggi impiegati in computer, radio, lettori CD e in praticamente ogni altro disposi-tivo elettronico; vengono utilizzati come amplificatori o interruttori. Fin dagli anni ’80, i fisici hanno cercato di realizzare dispositivi superconduttori in grado di funzionare come transistori. Nel 2000 un gruppo di fisici italiani e inglesi sono riusciti a realizzare un piccolo dispositivo superconduttore in grado di amplificare correnti elevate. La temperatura di esercizio era di 4.2 K.

2001: Prima perovskite superconduttrice non appartenente ai cupratiPer la prima volta la superconduttività viene individuata in una perovskite non contenente strati di ossido di rame. Il composto ha la formula chimica MgCNi3, in cui il nickel gioca lo stesso ruolo svolto dall’ossigeno nei cuprati. La temperatura critica è tuttavia assai più bassa rispetto a quella dei cuprati e venne individuata essere di 8K. Il nichel è un elemento importante tra i materiali ferroma-gnetici ed è piuttosto sorprendente che si osservi la superconduttività piuttosto che il ferromagneti-smo, in un composto con una tale abbondanza di nickel.

2001: Nuovo metallo superconduttoreBottiglie di diboruro di magnesio (MgB2) sono da lungo tempo comuni nei laboratori di chimica, ma si è dovuto aspettare fino al 2001 perché un gruppo di scienziati giapponesi scoprissero che diventa superconduttore! Esso mostrò avere una temperatura critica di 39 K, molto più alta della maggior parte dei metalli. La lega mostra caratteristiche di superconduttività piuttosto esotiche ma può essere


descritta con la teoria BCS utilizzando una tec-nica particolare relativa ai materiali con struttura elettronica complessa. Una di queste caratteri-stiche esotiche consiste nel fatto che il diboruro di magnesio ha due gap di energia per la fase superconduttrice legati all’esistenza di due tipi di coppie di Cooper. La scoperta della super-conduttività nell’MgB2 ha rivelato l’esistenza di un nuovo tipo di superconduttore che potrebbe forse un giorno superare il record per la tempe-ratura critica. Il composto si è rivelato essere un materiale molto promettente per l’applica-zione della superconduttività.

2002: litio superconduttoreSolo un anno dopo la scoperta del boro superconduttore, il litio prende il titolo dell’elemento supercon-duttore più leggero. Ricercatori all’Università di Osaka e di Tokyo, dirette da Katsuya Shimizu, hanno mostrato che il litio perde tutta la resistenza alla corrente elettrica a una pressione di 30 gigapascal, 300 000 volte la pressione atmosferica. Il litio è vicino ad altri 22 elementi che è già noto diventano superconduttori a pressioni elevate, e a 29 elementi che sono superconduttori a pressione atmosferica.

2003: Primo treno MAGLEV commercialeNel gennaio 2003 è entrato in servizio tra Shanghai e l’aeroporto di Pudong in Cina, attraversando il fiume Huangpu, il primo treno Maglev commerciale. Il treno levita a 10 millimetri di altezza sopra il binario ed ha raggiunto la velocità massima di 430 km/h. La tecnologia Maglev è stata importata dalla Germania.

2003: Premio Nobel per la teoria della superconduttivitàViene assegnato il premio Nobel per la fisica a Alexei A. Abrikosov, Vitaly L. Ginzburg e Anthony J. Legget per il loro lavoro sulla superconduttività e sulla superfluidità. Vitaly Ginzburg contribuì allo sviluppo della teoria di Landau-Ginzburg per i superconduttori che fu pubblicata nel 1950. Nel 1957 Alexei Abrikosov applicò questa teoria al caso di un superconduttore in presenza di campo magne-

2003 Il primo treno Maglev in commercio: Shanghai Transrapid. http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Shanghai_Transrapid_002.jpg.

Il Premio Nobel in Fisica 2003: “per i contributi pionieristici alla teoria dei superconduttori e dei superfluidi” - http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/index.html

Alexei A. Abrikosov Vitaly L. Ginzburg Anthony J. Leggett


tico e scoprì che il campo può penetrare nel superconduttore in forma di tubi di flusso magnetico di grandezza unitaria. Chiamiamo questi quanti di flusso o vor-tici. Il lavoro di Abrikosov permise di sta-bilire il criterio di distinzione tra supercon-duttori di I tipo e superconduttori di II tipo. Il lavoro di Anthony Legget fu dedicato ad un fenomeno strettamente collegato alla superconduttività chiamato superfluidità.

2004: Scartato il meccanismo che lega gli elettroni nei cuprati superconduttoriIl meccanismo che permette la supercon-duttività nei superconduttori a bassa temperatura è essenzialmente legato al fatto che le vibrazioni del reticolo di ioni positivi (queste vibrazioni sono chiamate fononi) mediano l’interazione attrattiva tra coppie di elettroni. Diciamo quindi che gli elettroni sono legati insieme dai fononi. Questo mec-canismo è spiegato assai bene dalla teoria BCS. Nei superconduttori ad alta temperatura tuttavia non è noto quale sia la causa della formazione di un legame tra gli elettroni. Un gruppo di fisici dell’U-niversità di McMaster in Canada e del Brookhaven National Laboratory negli Stati Uniti hanno stu-diato gli ossidi di rame superconduttori ad alta temperatura (i cuprati) illuminandoli con radiazione infrarossa e studiando l’intensità della luce diffusa a ciascuna lunghezza d’onda. Compiendo esperi-menti su cuprati con diverso contenuto di ossigeno, essi hanno concluso che sia i fononi che la cre-azione di uno stato di risonanza magnetica possono essere esclusi come meccanismo legante per gli elettroni nei superconduttori ad alta temperatura.

2008: Il Large hadron collider (LHC) comincia a funzionareIl Centro Europeo per la Ricerca Nucle-are (CERN) a Ginevra decise di chiudere il LEP (Large Electron-Proton Collider) nel 2000. Da allora hanno preparato e costru-ito l’LHC (Large Hadron Collider) che è diventato operativo nel 2008. E’ il più grande apparato superconduttore al mondo. Esso è costruito nello stesso tunnel circo-lare lungo 27 Km come il LEP ma l’LHC è molto più potente.

2016: operazioni iniziali di IterITER è un tokamak in cui un campo magnetico forte è intorno a del plasma di forma toroidale. Al costo di 10 billioni di Euro per tutta la sua durata, ITER è il più grande esperimento di fusione di energia. Ha lo scopo di stabilire la fattibilità scientifica e tecnologica della fusione come sorgente di energia per scopi paci-fici. L’accordo per l’implementazione di ITER è stato firmato il 21 Novembre 2006 a Parigi. Le 7 parti, Cina, India, Russia, Giappone, Korea, UE e USA stanno ora terminando la ratificazione dell’ac-cordo di ITER. Il secondo meeting dell’Interim ITER Council (IIC) ha avuto luogo l’11 e 12 Luglio 2007 a Tokyo. La costruzione comincia nel 2008 e durerà 7 anni, e ITER comincerà nel 2016 21 anni di operatività regolare. Nel 2037 l’impianto verrà chiuso e, per quanto riguarda la radioattività, funzionerà per altri 32 anni prima di essere completamente rimosso nel 2059.

Quanti di flusso o vortici.

Solenoide superconduttore, parte del detector CMS all’interno del-l’LHC (Large Hadron Collider) al CERN. http://en.wikipedia.org/wiki/Image:HCAL_Prepared_for_insertion.jpg


APPLICAZIONI TECNOLOGICHE

Si riportano in questa sede la principale sitologia sulle AT della superconduttività

http://www.physnet.uni-hamburg.de/home/vms/reimer/htc/pt4.htmlhttp://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/igrant/uses_noflash.html

Levitazione Magnetica

Il Yamanashi MLX01 veicolo test MagLev ha raggiunto una velocità di 343 miglia all’ora il 14 aprile 1999.

Scansione MRI di un cranio umano.

Magnetic Resonance Imaging (MRI)

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/scapp.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/scmag.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/solids/squid.html#c1http://www.vectorsite.net/ttspcon.htmlhttp://www.physicscentral.com/action/action-01-3-print.html


Prototipo di treno Maglev giapponese (photo courtesy of Rail-way Technical Research Institute, Maglev Systems Develop-ment Dept.)

Magnete superconduttore di 200 tonnellate costruito presso gli Argonne National Laboratory come parte di un progetto per studiare la produzione di potenza elettrica da fusione (see Plasma Power in Physics in Action Archives); photo by Dan Giroux, courtesy of Argonne National Laboratory

Prototipo MLU0002N Maglev giapponese con freni aerodi-namici aperti; photo courtesy of Railway Technical Research Institute Maglev Systems Development Department.


Ai lati della traccia (si vedano le foto precedenti e lo schema a destra) vi sono pareti con una serie continua di bobine verticali di filo montate dentro ad esse. Il filo in queste bobine non è superconduttore. Quando il treno passa accanto a ogni bobina, il moto dei magneti super-conduttori sul treno induce una corrente in questi fili, ren-dendoli elettromagnetici. Gli elettromagneti sul treno e fuori di esso producono forze che fanno levitare il treno e lo tengono centrato sulla traccia. Inoltre, un’onda di corrente elettrica spinge indietro/in basso queste bobine e sospinge in avanti il treno (si veda il disegno).

Fili di diborite di magnesio come appaiono dopo essere stati rimossi da tubi di tentalio e parte di un decimo di $ per contronto.

Capitolo 2. Fare scienza con il computer

FARE SCIENZA CON IL COMPUTER: IL MOTO BROWNIANO

Giovanni Pastore e Maria PeressiUniversità di Trieste e Centro Nazionale di Simulazione Numerica CNR-INFM Democritos

SommarioNel 1827 il botanico Brown osservava che i granelli di polline sospesi nell’acqua descrivono un moto a zig-zag, casuale. Nel 1905 Einstein fornisce la spiegazione del moto browniano e, anche per que-sto, nel 1921 vince il premio Nobel. Questo moto è provocato da una forza stocastica dovuta all’ef-fetto cumulativo sui granelli di polline di molte collisioni con tante particelle molto più piccole e più leggere (non visibili sulla scala osservativa scelta). Questa forza stocastica si può trattare con metodi statistici, senza preoccuparsi esplicitamente dei dettagli della dinamica delle molecole leggere del solvente. Mentre una soluzione analitica rigorosa richiederebbe delle conoscenze di matematica che vanno oltre quelle normalmente presenti negli studenti dell’ultimo biennio delle scuole superiori, un approccio numerico a questo problema è più semplice.Queste note seguono sinteticamente il percorso proposto agli studenti: dopo la presentazione del feno-meno e l’individuazione del problema, si passa alla spiegazione di algoritmi numerici per la sua solu-zione, proponendo l’utilizzo critico di alcuni programmi di comprensione possibile anche per chi non abbia conoscenze pregresse di programmazione. Si propone l’analisi e la di scussione dei risultati di simulazioni per diversi dati in input, condizioni, algoritmi (esperimenti what-if, “che cosa succede se”). Sono presentati anche alcuni cenni agli elementi basilari del linguaggio di programmazione Java e all’implementazione specifica degli algoritmi nei codici qui proposti.

Il moto browniano e un semplice modello, il “random walk”Il moto browniano, come si presenta al microscopio, quello incessante, erratico, di granuli di polline in una goccia di acqua, è stato studiato per tutto il XIX secolo, prima di arrivare ad una spiegazione plausibile (il moto osservato al microscopio è dovuto al continuo agitarsi delle molecole di solvente che urtano contro le particelle browniane) e soprattutto ad una teoria quantitativa passibile di veri-fica sperimentale (Eistein, 1905).È utile puntualizzare in via preliminare alcuni concetti probabilistici e statistici rilevanti, che si pos-sono introdurre in un modello molto semplificato di moto browniano: il cammino casuale o “ran-dom walk”.Consideriamo un punto vincolato a muoversi in modo casuale con spostamenti di lunghezza fissata nelle due direzioni di una retta orientata. Sia:

• N: numero di passi;

• ℓ: lunghezza del singolo passo (direzione casuale), e quindi lo spostamento relativo al passo i-esimo sia si = ±ℓ;

• ΔN: spostamento dal punto di partenza dopo N passi: , con ΔN ∈ [–Nℓ,+Nℓ];

• .

Così come per il moto browniano, anche per il random walk non ha senso cercare di valutare quan-tità deterministiche istantanee, quali ad es. la velocità (cambia continuamente direzione e verso!) o la posizione, quanto piuttosto proprietà medie. Domande ragionevoli sono ad esempio le seguenti:

112 Capitolo 2. Fare scienza con il computer

dato un insieme di diversi cammini casuali, qual è la distanza dal punto di partenza che ci si aspetta in media dopo N passi? E quale la distanza quadratica media Δ2

N? Cosa possiamo dire sulla probabi-lità PN(ΔN) che il punto si trovi ad una certa distanza ΔN dal punto di partenza dopo N passi?Nell’esempio sopra citato del random walk unidimensionale, e supponendo per semplicità che il punto possa muoversi a destra o sinistra con uguale probabilità, ci aspettiamo di trovare in media, nella distribuzione statistica dei cammini, tanti cammini con spostamento netto verso sinistra quanti con lo stesso spostamento verso destra. Pertanto il valore medio dello spostamento sarà . È facile dimostrare invece che , cioè lo spostamento quadratico medio rispetto al punto di partenza è proporzionale al numero di passi. E quindi la radice della distanza qua-dratica media cresce come la radice quadrata del numero di passi e non, come in un cammino ordinato sempre nella stessa direzione, col numero dei passi. Questa è una quantità sperimental-mente (sia in un esperimento reale che in un esperimento virtuale, numerico) misurabile. Per quanto riguarda la probabilità PN(ΔN) che il punto si trovi alla posizione Δ dal punto di partenza dopo N passi, si dimostra che per grandi N questa probabilità è una curva a campana (gaussiana) con mas-simo in 0 e ampiezza

p g.

Il contributo di Einstein alla comprensione del moto browniano non nacque esplicitamente con questo scopo, ma più in generale verteva “Sul moto richiesto dalla teoria cinetica degli atomi a piccole parti-celle sospese in un liquido”. L’analisi di Einstein della diffusione delle particelle nel liquido portò ad una relazione tra il coefficiente di diffusione D (che è la pendenza della retta che descrive l’andamento lineare nel tempo dello spostamento quadratico medio < L2 > di tali particelle dal punto di partenza) e i parametri del solvente (temperatura e coefficiente di attrito) e delle particelle (forma e raggio): < L2 >=2dDt (1)

(dove d è la dimensione dello spazio), con:

(2)

formula che lega il rapporto R/NA, oggi noto anche come costante diBoltzmann kB (R: costante dei gas, NA: numero di Avogadro), il coefficiente di diffusione D, la viscosità del solvente η, la tempe-ratura T e il raggio molecolare P.Poiché l’analisi di Einstein richiede un bagaglio di matematica che va oltre le conoscenze scolasti-che, conviene qui seguire un approccio alternativo proposto dal fisico francese Paul Langevin che, poco dopo il lavoro di Einstein, ricavò la stessa relazione. Mentre Einstein evita di lavorare diret-tamente con la traiettoria della particella browniana, introducendo immediatamente considerazioni statistiche sulla distribuzione di probabilità, Langevin lavora con un’equazione del moto che include una forza “casuale” dovuta al solvente. In una implementazione numerica, l’approccio di Langevin è più semplice e più diretto rispetto a quello di Einstein. Nel seguito abbiamo semplificato ed adat-tato alle necessità di un approccio computazionale la derivazione dell’equazione di Langevin e della sua soluzione proposta da B.G. de Groot (1999).

L’algoritmo per un approccio numericoIniziamo analizzando un urto uni-dimensionale tra una particella grande, di massa M, che procede con velocità V, ed una piccola (di solvente), di massa m e velocità v. Le condizioni che nell’urto (elastico) si conservino energia e quantità di moto comportano la validità simultanea delle due condizioni:

(3)

(4)


dove simboli con e senza apice fanno riferimento rispettivamente a quantità dopo e prima dell’urto.Il sistema costituito dalle due equazioni può essere facilmente risolto per dare le velocità dopo l’urto in funzione delle masse e delle velocità prima della collisione:

(5)

(6)

Approssimando queste espressioni nell’ipotesi m << M, otteniamo la variazione di velocità della particella pesante dopo un urto:

(7)

Dopo N collisioni la variazione di velocità sarà:

(8)

dove vi e Vi denotano le velocità delle particelle piccole e della grande prima di ognuna delle colli-sioni.Se le collisioni sono frequenti ma la massa della particella grande è molto maggiore di quella delle piccole, ci aspettiamo che nell’intervallo di tempo Δt dopo l’istante t, in cui avvengono le N colli-sioni, la velocità della particella pesante vari molto poco. Sulla base di questa consi derazione, faremo l’ulteriore approssimazione Vi = V(t). Cioè tutte le velocità della particella grande in tutti gli urti che si verificano tra t e t +Δt sono pari sempre al valore al tempo t.Introducendo la frequenza di collisioni n = N/Δt possiamo scrivere il secondo termine a destra della equazione (8) come −2mnΔtV(t). Usando questa formula per la variazione di velocità nel tempo Δt arriviamo ad un’espressione per la forza che agisce sulla particella pesante:

(9)

Quindi l’equazione del moto ha la struttura

(10)

dove Fs rappresenta una forza stocastica, cioè l’effetto cumulativo, nel singolo intervallino di tempo,di molte collisioni con le particelle leggere, da trattare con metodi statistici. Il secondo termine invece è una forza di attrito, in quanto la forza ha sempre verso opposto alla velocità (essendo positivo il coefficiente γ).Il coefficiente di attrito, qui collegato ad aspetti microscopici del problema, può essere collegato, attraverso una descrizione idrodinamica, al coefficiente di viscosità η. Per esempio, per particelle browniane di forma sferica di raggio P si può utilizzare la formula di Stokes:

γ =6πηP. (11)

L’aspetto più interessante della relazione appena ricavata è che sia la forza sistematica (l’attrito), sia quella stocastica hanno la stessa origine nelle collisioni con le particelle leggere. Questa origine comune è la radice della profonda connessione tra proprietà legate alle fluttua zioni (come il coeffi-ciente di diffusione) e proprietà legate alla dissipazione (come la viscosità) messa in luce per la prima volta da Einstein, ma presente anche in fenomeni molto diversi dal moto browniano.


Data l’espressione per la forza, possiamo ricavare un algoritmo per risolvere le equazioni del moto numericamente.Se discretizziamo il tempo in intervallini di ampiezza Δt possiamo ottenere la velocità al (q+1)−esimo istante di tempo come:

(12)

dove con ΔVs abbiamo indicato la variazione di velocità nell’intervallo Δt dovuta al termine di forza stocastico. Vediamo come possiamo trattare questo termine mediante considerazioni statistiche, senza dover descrivere esplicitamente la dinamica delle molecole leggere del solvente.Se riducessimo l’intervallo Δt a valori tali che possa avvenire solo una collisione, il termine dovuto alla forza stocastica sarebbe:

(13)

(14)

dove abbiamo fatto uso del teorema di equipartizione della teoria cinetica ( , per cia-scuna componente cartesiana della velocità) per sostituire al quadrato della velocità delle particelle di solvente la temperatura e abbiamo usato l’espressione per il coefficiente di attrito per eliminare la dipendenza dalla massa m).Il rapporto tra una componente della velocità e il suo valore assoluto vale 1 o −1. Pertanto l’effetto statistico cumulativo di N collisioni corrisponderà alla somma di altrettanti contributi uguali con segni casuali. L’analisi del random walk ci dice che il risultato sarà una variabile ca suale caratterizzata da una distribuzione a campana (gaussiana)i centrata in 0 e con deviazione standard .Arriviamo così al seguente algoritmo (indichiamo con Xq la posizione della particella grande):

(15)

(16)

dove wq è una variabile casuale con distribuzione gaussiana con deviazione standard unitaria e abbiamo usatola relazione N = nΔt. Se il linguaggio di programmazione utilizzato rende diret tamente dispo-nibile valori casuali distribuiti secondo una gaussiana allora wq sarà direttamente uno di tali valori.Con l’algoritmo così introdotto, possiamo verificare mediante “sperimentazione nu merica” l’esi-stenza di una relazione lineare tra tempo e spostamento quadratico medio e la validità della relazione di Einstein tra la pendenza di questa retta e i parametri del solvente (temperatura e coefficiente di attrito): < L2 > (17)

dove L2 è il quadrato del vettore spostamento nello spazio d-dimensionale. Tale quantità descrive direttamente l’evoluzione temporale delle dimensioni di una goccia di soluto che fenomenologicamente viene misurata attraverso il cosiddetto coefficiente di diffusione D legato a < L2 > dalla relazione:

< L2 >=2dDt. (18)

Una possibile implementazioneProponiamo un’implementazione dell’algoritmo nel linguaggio Java1. Il cuore del programma nume-rico è riportato qui sotto. In particolare, riguardo alle variabili del programma va segnalato che:

(1) Una versione del software Java sviluppato dagli Autori e che implementa l’algoritmo qui presentato è disponibile su: http://www.democritos.it/edu/index.php.


• sono definiti tre array: vel, pos, posPrec che contengono le componenti cartesiane delle velocità, posizione e posizione al passo precedente di ciascuna particella browniana;

• l’utilizzo del programma di libreria (metodo) random.nextGaussian() che fornisce valori distribuiti secondo una distribuzione a campana (gaussiana) standard di media zero e σ =1.

• il programma prevede la possibilità che sulla particella agisca anche una forza esterna (rappresentata dall’array forza). Da notare però che nell’implementazione proposta tale forza è sempre zero.

• NDIM e nPart rappresentano il numero di dimensioni spaziali e il numero di particelle di cui si cal-cola il moto.

….double posPrec[]=new double[NDIM];for (int ip=0;ip<nPart;ip++) {for (int jc=0;jc<NDIM;jc++) {posPrec[jc]=pos[ip][jc];vel[ip][jc] =vel[ip][jc] * (1 -gamma*dt/massa) +dt*forza[ip][jc]/massa +random.nextGaussian()*Math.sqrt(2*gamma*kT*dt)/massa;pos[ip][jc] += vel[ip][jc] * dt;}

Note per docenti e tutorsAbbiamo proposto questo percorso a studenti di diversi tipi di Scuole Superiori. In generale possiamo affermare che sono stati in grado di seguire i passi dell’analisi qui riportata, compresa l’implemen-tazione dell’algoritmo. A nostro giudizio è opportuno dedicare due sessioni guidate in laboratorio informatico di circa tre ore ciascuna per introdurre il problema fisico e lo specifico algoritmo, per far familiarizzare gli studenti con i numeri pseudocasuali, per far eseguire, individualmente o a grup-petti, gli esperimenti numerici qui suggeriti a partire da un codice già fornito e discuterne. Sarebbe anche possibile far scrivere dal nulla il codice, almeno nella parte centrale riguardante l’algoritmo (tralasciando l’interfaccia grafica), ma questo è proponibile solo per studenti che abbiano già qual-che competenza di programmazione.

BibliografiaEinstein A. (1905) On the Movement of Small Particles Suspended in Stationary Liquids Required by the Molecular-KineticTheory of Heat, Annalen der Physik(19), 549.De Grooth B.G. (1999) A simple model for Brownian motion leading to Langevin equation, Ameri-can Journal of Physics (67),1248-1252.


APPENDICE - NUMERI CASUALI E PSEUDOCASUALI

Una sequenza di numeri casuali è una sequenza di numeri che sembrano impredicibili ma che hanno ben definite proprietà statistiche. Se hanno ben definite proprietà statistiche, si possono definire e cal-colare varie proprietà, tra cui ad esempio la media della distribuzione: da una distribuzione uniforme degli interi in [0,9], ad es., la media risulta < r >= 4.5.Un computer (deterministico!) non può generare dei numeri rigorosamente casuali, ma pos siamo scrivere degli algoritmi che generino sequenze di numeri avente le stesse proprietà stati stiche di una sequenza di numeri davvero casuali, con distribuzione uniforme e non correlazione tra i numeri gene-rati: parleremo di numeri pseudocasuali.In pratica le sequenze così generate hanno stesso valore di una sequenza realmente casuale, con il van-taggio di una rapidità nella generazione e la possibilità di ricreare la stessa sequenza fornendo all’al-goritmo lo stesso valore iniziale (“seme”). Tipicamente procedure intrinseche nei linguaggi di pro-grammazione comuni generano numeri casuali tra [0,1] con distribuzione uni forme. È il caso ad esem-pio della funzione (metodo) Math.random () in Java, che è utilizzata in alcuni dei codici proposti.

Numeri casuali: distribuzioni non uniformiGettando un solo dado possiamo ottenere un qualsiasi numero compreso tra 1 e 6 con la stessa pro-babilità. Diremo allora che la distribuzione di probabilità dei numeri da 1 a 6 è uniforme e pari a 1/6, con valor medio 3,5.Gettando due dadi, possiamo ottenere come somma un qualsiasi numero compreso tra 2 e 12 con pro-babilità non più uniforme ma con distribuzione triangolare con massimo a 7. Infatti il 7 lo possiamo ottenere in più di n modo (6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6), mentre ad esempio il 2 lo possiamo ottenere solo come 1+1. (come esercizio, si può provare a completare i diversi casi di uscite per convincersi che la distribuzione ha forma triangolare con centro su 7 e quindi 3,5 come media per ogni dado.Nel lancio di tre dadi possiamo ottenere come somma qualsiasi numero compreso tra 3 e18, con una distribuzione di probabilità centrata attorno a 10,5 ma non più triangolare bensì a forma di campana. Il centro corrisponde di nuovo ad una media per dado di 3,5.Il risultato si può generalizzare con la legge dei grandi numeri: se si estraggono N numeri da un cam-pione caratterizzato da qualsiasi distribuzione di probabilità, che abbia una certa media <x>, all’au-mentare di N la distribuzione delle medie dei campioni (cioè la somma di N numeri casuali divisa per N) tende ad avvicinarsi ad una distribuzione unica (la cosiddetta distribuzione gaussiana).In particolare, se estraiamo 12 volte un numero casuale compreso tra −0.5 e 0.5 e sommiamo i 12 valori otteniamo che la variabile somma ha una distribuzione gaussiana centrata in zero e con σ =1. Questo può essere un modo economico per generare numeri secondo la distribuzione gaussiana, tut-tavia, alcuni linguaggi di programmazione, tra cui Java, forniscono direttamente un’implementazione efficiente di tale variabile casuale.

Schede di laboratorioAvvio dei programmi JavaTutto il materiale è liberamente accessibile al sito: http://www.democritos.it/edu/index.php/Main/Browniano.Per dare la possibilità di capirne i contenuti e di apportare eventuali modifiche, vengono forniti i pro-grammi Java nella versione sorgente e non in versione applet che si possa avviare in modo diretto. I programmi Java forniti vanno quindi sempre avviati caricando il relativo progetto BlueJ (menu Project e poi Open Project).Se i rettangoli che rappresentano le classi Java nella finestra principale di BlueJ appaiono con un angolo “a righe”, occorre premere il bottone Compile. Quindi si clicca sulla classe di partenza (verrà indicata) col tasto destro del mouse (su alcuni sistemi invece tenendo premuto il tasto ctrl (control) ed usando il tasto sinistro) e si seleziona void main (String [] args). Apparirà una finestra a cui si da OK e quindi parte l’esecuzione dell’applicazione Java.


La lista che segue va considerata come un canovaccio guida per le attività numeriche. Il primo pro-getto fornito è preliminare rispetto all’argomento principale dell’attività e riguarda la generazione di numeri pseudocasuali e le proprietà di variabili causali “somma” (Progetto Gas). Il Progetto Brown riguarda invece l’uso dell’approccio di Langevin per la simulazione dell’evoluzione tempo-rale di particelle browniane.

Progetto Gas (numeri casuali)Si tratta di un’applicazione che permette di esplorare l’effetto di valutare un prefissato numero (N.conf) di volte i valori di variabili casuali ottenute sommando N.variabili variabili casuali diverse, ciascuna delle quali può assumere N.valori valori differenti (corrispondenti agli interi da 1 a N.valori con distribuzione di probabilità uniforme. P.es., se N.valori= 6, l’output del programma sarà l’istogramma delle frequenze delle diverse uscite di un dado (N.variabili=1) lanciato N.conf volte.Premendo più volte il testo Calcola si otterranno istogrammi relativi ad esperimenti indi pendenti.1. Porre N.variabili= 1, N.valori=2 e N.conf=20 (il default) e osservare il risultato (la distribu-

zione). Questo simula il lancio di una moneta (due facce, cui attribuiamo i valori 1 e 2) per 20 volte di seguito.

2. Eseguire la serie virtuale di 20 lanci per un certo numero di volte e verificare la variabilità dei risul-tati. Quante volte mi aspetto di dover fare la serie di 20 lanci prima di trovare un’uscita di 20 “1” o 20 “2”? (Si suggerisce di provare a stimare il numero prima di iniziare la serie di tentativi).

3. Confrontare quello che appare sul vostro schermo con quello che appare sullo scher mo del vostro vicino se iniziate entrambi da zero l’esperimento (subito dopo l’apertura dell’applicazione BlueJ. Cosa si può dire?

4. Cosa succede se iniziamo a lanciare più monete e ci preoccupiamo della variabile casuale “somma dei risultati delle singole monete”? Provare ad aumentare sia N.variabili, sia N.conf e ad effet-tuare più serie di lanci. Cosa succede qualitativamente?

5. Modifichiamo N.valori ponendolo uguale a 6 (caso del dado). Esplorare la forma tipica degli istogrammi di frequanza al variare di N.variabili ed N.conf.

6. Valutare qualitativamente come varia il valore medio della variabile casuale “somma” e la lar-ghezza della sua distribuzione.

Progetto Brown (moto browniano)Il programma necessita di impostare i parametri e le costanti che appaiono nelle formule. Sono fis-sati alcuni valori di default ma si possono cambiare.I parametri fisici (massa Mass, temperatura kT, il coefficiente di attrito Gamma, γ) dipendono dalla particolare situazione fisica che vogliamo studiare.La scelta dell’intervallo di discretizzazione temporale Δt è cruciale e non può essere decisa a priori. L’ordine di grandezza si può stimare sulla base di considerazioni numeriche, ma è essenziale per l’affidabilità dei risultati che venga pazientemente determinato sulla base di esperimenti numerici, così come è essenziale tarare uno strumento in un laboratorio reale per poter valutare l’incertezza dei risultati di misura. Questa parte dell’esercitazione numerica va assolutamente sviluppata, ed è ricca di valore formativo.I principali vincoli su Δt sono costituiti dal fatto che un valore troppo piccolo non darebbe un’evolu-zione sufficientemente rapida sulla scala della simulazione numerica, mentre un valore troppo grande comporterebbe inaccuratezze inaccettabili. In pratica, basta osservare che a temperatura nulla (o tra-scurabile) il moto deve corrispondere ad un moto smorzato da un attrito proporzionale alla velocità. Per descrivere questa situazione accuratamente con il precedente algoritmo è necessario che γΔt/M sia piccolo confronto a 1 (nella parentesi che moltiplicala velocità nell’algoritmo). Con questo vin-colo si può quindi aumentare il valore di Δt fino a che non si cominciano a notare cambiamenti impor-tanti nella traiettoria calcolata.


Indichiamo una traccia per l’attività di laboratorio:1. Lanciando il programma con i parametri di default, verificare che il comportamento del lo sposta-

mento quadratico medio in funzione del tempo nel moto browniano, dopo un transiente iniziale, tende ad una crescita lineare col tempo.

2. Valutare il coefficiente angolare della retta che approssima lo spostamento quadratico medioper valoridiversi di M, T e γ verificando la consistenza dei risultati conle relazioni di Einstein.

3. Verificare se e come i risultati dipendono dalla scelta del passo di integrazione numerica Δt. (Pro-vare a dimezzarne o raddoppiarne il valore e poi eventualmente passare a valori ancora più lon-tani da quelli iniziali).

4. Tenendo presenti i valori realistici del coefficiente di viscosità dei fluidi elencati nella tabella alle-gata, le ragionevoli variazioni di kB T per esperimenti di laboratorio e valori plausibili per raggi(P)e masse(M) delle particelle browniane, esplorare la regione plausibile dei parametri in gioco. Si ricorda l’espressione del coefficiente di attrito γ data dalla formula di Stokes (valida per sfere in moto in un fluido in regime laminare): γ =6πηP.

5. Variando sistematicamente tutti i parametri del modello, studiare quali influenzano mag giormente l’estensione della regione iniziale dello spostamento quadratico medio in fun zione del tempo in cui la dipendenza dal tempo è parabolica invece che lineare.

Un esempio di quanto si può ottenere dal programma è mostrato in fig. 1.

Figura 1. Random walk in due dimensioni corrispondente ad un moto browniano con i valori γ = 8 · 10−7Ns/m, kT =4 · 10−21 J e M =1.4 · 10−10kg, ragionevoli per il caso di una particella di polline in acqua a temperatura ambiente.

Capitolo 3. Esperimenti

LA MISURA DEL NUMERO DI AVOGADRO

Diego CauzDipartimento di Fisica, Università di Udine

È stato realizzato un video del moto browniano di microsfere (raggio 1-2 μm) immerse in acqua. Qualche goccia di liquido è stata messa su un vetrino portaoggetto e coperta con un coprioggetto. Si è poi sigillato il volume del liquido spennellando un po’ di smalto per unghie sul bordo del copriog-getto. La ripresa video è stata fatta con una telecamera montata su di un microscopio a 500 ingran-dimenti. Si è infine proceduto al trasferimento del filmato su DVD.Per la determinazione di N mediante la relazione di Einstein (R è la costante dei gas):

(1),

è necessario conoscere la temperatura T e la viscosità η del liquido, il raggio r delle sferette, scegliere un opportuno intervallo di tempo t, misurare gli spostamenti di alcune sferette selezionate durante inter-valli tutti uguali a t, e la varianza. La realizzazione di questa esperienza si è basata su di un articolo di H. Kruglak [1]. Vediamo come determiniamo ciascuna delle grandezze in gioco nell’equazione (1):1) Temperatura: la misuriamo con un termometro posto in vicinanza del vetrino.2) Viscosità: la desumiamo da una tabella, tenendo conto della sua dipendenza dalla temperatura

(vedi appendice).3) Raggio: ci è dato dal venditore [2];4) Tempo: lo scegliamo arbitrariamente uguale a 30 s. Si fa uso del cronometro del lettore DVD

che compare sullo schermo del computer. Allo scadere dell’intervallo si blocca lo scorrimento dell’immagine e si determina la posizione del centro della microsfera;

5) Spostamento: a. applichiamo un foglio di acetato trasparente sul monitor su cui proiettiamo il filmato e segnamo

con un pennarello la posizione della sferetta pre-scelta ad intervalli di tempo t uguali.

b. Ogni punto misurato ci dà due coordinate indi-pendenti: x e y. Otteniamo gli spostamenti per differenza tra due posizioni successive, così se abbiamo rilevato n posizioni, otterremo (n-1) spo-stamenti lungo x e altrettanti lungo y.

c. Infine moltiplichiamo per un fattore di scala deter-minato osservando al miscroscopio un vetrino micrometrico con lo stesso ingrandimento usato per le riprese del moto delle sferette. Nel nostro caso tale fattore è uguale a 1,56 um/cm.

Le posizioni e gli spostamenti rilevati sono riportati in tabella rispettivamente nelle prime due e nelle seconde due colonne: Tabella 1. Posizioni e spostamenti lungo i due assi.

120 Capitolo 3. Esperimenti

Il grafico delle posizioni è riportato nella figura seguente:

Figura 1. grafico delle posizioni sul piano x,y di microsfere in sospensione acquosa.

I valori delle grandezze rilevati per questa misura sono:

t (s) D (μm) T (°C) η (N/s/m2)30 1,06 21,3 9,73·10-4

Le varianze degli spostamenti calcolate sui dati sono (in μm2):

x y x ∪ y27,416 9,110 17,978

Consideriamo l’insieme degli spostamenti lungo i due assi per duplicare la statistica, quindi usiamo l’ultimo numero della tabella precedente come varianza degli spostamenti da inserire nella formula (1).Per N otteniamo il valore:

L’errore dominante è quello su б2 (di natura casuale) che teoricamente vale:

Ove n è il numero di spostamenti considerati (nel nostro caso 15 lungo x e altrettanti lungo y). Per aumentare la precisione della misura bisogna dunque eseguire molte misure di posizione.Un altro errore importante (di natura sistematica stavolta) è dovuto alla dipendenza della viscosità dalla temperatura. L’errore relativo è stimato al 2-3% per grado di temperatura.


Appendice: viscosità dell’acqua

Figura 2. dipendenza della viscosità dalla temperatura.

Tabella 2. viscosità dell’acqua in funzione della tem-peratura.

I dati precedenti sono posti in grafico nella figura seguente:

Bibliografia[1] Kruglak H. (1988) Brownian motion – a laboratory experiment, Phys. Educ. 23.[2] Molecular Probes Europe B.V., PoortGebouw, Rijnsburgerweg 10, 2333 AA Leiden, The Nether-

lands.

MISURA DELLA VELOCITÀ DELLA LUCE: METODO DELLO SPOSTAMENTO DI FASE

Lorenzo Santi e Stefano VercellatiUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Cenni sulla storia della misurazione della velocità della luceIl dibattito concernente la finitezza o meno della velocità di propagazione della luce ha radici anti-che. Già nell’antica Grecia Empedocle (490 – 430 a.C.) sosteneva che la propagazione della luce avvenisse con velocità finita, mentre altri, tra cui Erone di Alessandria (10 a.C. – 70 d.C.) ed Aristo-tele, erano convinti che la luce si propagasse istantaneamente.Le argomentazioni portate a sostegno delle rispettive tesi però erano sostenute solo da ipotesi teo-riche che si basavano sull’idea che i singoli studiosi avevano riguardo alla luce e/o alla spiegazione che loro davano del meccanismo della visione. Empedocle in particolare pensava alla luce come un qualcosa in moto e quindi gli sembra ovvio che lo spostarsi di questo qualcosa da un posto ad un altro richiedesse del tempo. Erone di Alessandria invece, basandosi sulla teoria emissiva della visione1, afferma che la luce deve propagarsi con velocità infinita in quanto non appena apriamo gli occhi vediamo subito sia gli oggetti vicini che quelli lontanissimi (come ad esempio le stelle). Que-sto dibattito si mantenne sempre su di un livello teorico fino alla prima metà del XVII secolo rima-nendo però pressoché in una situazione di stallo in quanto non vi erano forti evidenze sperimentali a sostegno dell’una o dell’altra tesi.All’inizio del Seicento alcuni studiosi cercarono di ideare degli esperimenti specifici per cercare di misurare la velocità della luce, però non riuscirono a giungere a dei risultati soddisfacenti. Essi infatti non disponendo di strumenti sufficientemente precisi per riuscire a misurate sperimentalmente una velocità così elevata. Galileo (1562 – 1642) ad esempio propose di misurare la velocità della luce stu-diando l’intervallo di tempo presente fra la generazione di un segnale luminoso e la sua percezione da parte di un osservatore lontano. Per far ciò Galileo propose che due persone, ciascuna delle quali con una lanterna accesa e schermata, si posizionassero in cima a due montagne e non appena uno vedeva che l’altro aveva scoperto la sua lanterna doveva fare altrettanto. In questo modo la prima persona che aveva scoperto la lanterna poteva misurare l’intervallo di tempo che intercorreva tra quando lui aveva scoperto la lanterna e quando vedeva la luce proveniente dall’altra lanterna. Effettuata questa misura e sapendo la distanza a cui si trovavano le due persone, si poteva ricavare la velocità della luce. Questo metodo però non era funzionale in quanto il tempo di reazione delle due persone era molto maggiore rispetto al tempo che la luce impiega a percorre lo spazio tra le due persone (gene-ralmente si ha una differenza di 4-5 ordini di grandezza).La velocità di propagazione della luce è talmente grande che per effettuare una sua misurazione spe-rimentalmente in termini di spazio percorso in un intervallo di tempo è necessario considerare o distanze grandissime (distanze astronomiche) o intervalli di tempo molto piccoli. Vedremo ora due metodologie di misura che vanno proprio a considerare queste due situazioni.La prima tecnica di misura che ha portato a risultati soddisfacenti fu proposta da Rømer (1644 – 1710) e fa entrare in gioco le distanze interplanetarie. Rømer, proseguendo ed integrando gli studi di Cassini (1625 – 1712) sui satelliti di Giove (in particolare Io), si accorse che la misura del periodo di rivoluzione di Io variava a seconda che la Terra nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole si stesse avvicinando o allontanando da Giove. In particolare egli osservò che quando la Terra si avvicinava a Giove la misura del periodo di rivoluzione di Io risultava minore rispetto a quando la Terra si allon-tanava da Giove. Facendo riferimento alla Figura 1, supponiamo che la Terra si trovi nel punto L e che Io si trovi nel punto D (vale a dire sia appena uscito dal cono d’ombra di Giove) e di voler misu-

(1) Secondo questa teoria noi siamo in grado di vedere gli oggetti perché dall’occhio vengono emessi dei “raggi visuali” che colpiscono gli oggetti che stiamo guardando. Solo ciò che viene colpito dai raggi visuali risulta essere visibile.


rare il tempo impiegato da Io per effettuare un certo numero (scelto arbitrariamente) di rivoluzioni intorno a Giove. Men-tre Io orbita intorno a Giove, la terra prosegue nel suo moto di rivoluzione intorno al Sole, quindi, quando Io avrà com-pletato il numero di orbite previsto, la Terra non si troverà più nel punto D, ma si troverà in un altro punto (indicato in figura con K). Per la misura del periodo orbitale di Io prendiamo quindi rispettivamente i due istanti coincidenti con gli istanti in cui dalla Terra si osserva Io uscire dal cono d’ombra di Giove. Le due osservazioni però vengono effet-tuate quando la Terra si trova a due distanze diverse da Io. Quindi, se la luce ha una velocità di propagazione finita, l’immagine di Io che esce dall’ombra di Giove impiegherà più tempo a raggiungere la Terra quando quest’ultima si trova nel punto K rispetto a quando si trovava nel punto L. Questo comporterà una sovrastima del periodo di Io. Ana-logamente se si ripete la misura del periodo di Io quando la Terra si sposta dalla posizione F alla posizione G e si considerano gli istanti in cui Io entra nell’ombra di Giove si avrà una sottostima del periodo di Io in quanto l’imma-gine di Io che entra dall’ombra di Giove impiegherà meno tempo a raggiungere la Terra quando quest’ultima si trova nel punto G rispetto a quando è nel punto F. La semidif-ferenza fra la misura dei due periodi rappresenta il tempo impiegato dalla luce per percorrere la distanza LK. Rømer infine, effettuando numerose misure per angoli diversi ed estrapolando i dati raccolti, arrivò alla conclusione che la luce impiega 22 min per percorrere una distanza pari al dia-metro di rivoluzione terrestre2; vale a dire 220000 km/s.Col passare degli anni e con lo sviluppo di strumenti scien-tifici più accurati si sono sviluppate altre tecniche utili per la misurazione della velocità della luce. Un interessante esperimento è quello proposto da Foucault (1819 – 1868). In questo esperimento, grazie allo stratagemma dello spec-chio ruotante, si vanno a considerare degli intervalli di tempo molto piccoli permettendo in questo modo di far sì che l’apparato di misura abbia delle dimensioni mode-ste (se paragonato alle distanze astronomiche utilizzate da Rømer). L’apparato, rappresentato schematicamente nella Figura 2, consiste in una sorgente di luce, uno schermo, due specchi di cui uno ruotante ed un rilevatore. Foucault pose i due specchi S1 ed S2 ad una distanza di circa 30 km l’uno dall’altro. Lo specchio S2 viene fissato nella sua posizione, mentre lo specchio S1 viene fatto ruotare con una velocità nota. Lo specchio S1, ruotando su se stesso, ad un certo istante verrà a trovarsi nell’angolo necessario

(2) L’estrapolazione dei dati è necessaria perché non si può misurare direttamente con il metodo di Rømer il tempo impiegato a percorrere la distanza EH in quanto Giove ed Io non son visibli dalla Terra quando essa si trova nella posizione E.

Fig. 1. Rappresentazione schematica dell’osser-vazione di Rømer.

Fig. 2. Rappresentazione schematica dell’apparato di Foucault.


per far sì che la luce emessa dalla sorgente vada a riflettere sullo specchio S2. Una volta riflessa da S2 la luce tornerà a riflettersi su S1 che però, essendo in rotazione, avrà ruotato su se stesso di un angolo pari alla velocità angolare con cui sta ruotando (ω) per il tempo impiegato dalla luce a per-correre due volte la distanza (d) presente tra i due specchi (due volte perché la luce deve andare da S1 ad S2 e poi tornare indietro su S1). Indicando la velocità della luce con c possiamo quindi scri-

vere che θ = ω —2dc

da cui si ricava che: c = ω —2dc

.

Con un’apparecchiatura di questo tipo Foucault riuscì a stimare in 2980000 km/s la velocità della luce; valore molto vicino a quello accettato oggi. Differisce infatti da quest’ultimo dello 0.6%.I due esperimenti sopra riportati sono esempi di misure che si basano sull’idea di velocità vista come rapporto tra lo spazio percorso e l’intervallo di tempo impiegato per percorrere quello spazio. Le tec-niche moderne utilizzate per la misura della velocità di propagazione della luce si basano invece su misure indirette che fondano la propria legittimità su elementi teorici che permettono di effettuarne una stima della velocità di propagazione a partire dalla misurazione di altre grandezze. Questo con-nubio tra tecniche sperimentali e sviluppo teorico è uno degli elementi fondamentali della ricerca in fisica: lo sviluppo della teoria favorisce la nascita di nuove tecniche sperimentali e lo sviluppo delle tecniche sperimentali fornisce alla teoria nuovi elementi su cui costruirsi.

Apparato sperimentale per la misura con il metodo dello spostamento di fase3

Come evidenziato nelle pagine precedenti, un approccio alla misura della velocità della luce basato sulla determinazione del tempo impiegato da un raggio luminoso a percorrere una data distanza (o, viceversa, dello spazio percorso in un dato tempo) comporta delle difficoltà tecniche notevoli, dovuto all’elevato valore (circa 108 m/s) di questa costante, e quindi alla necessità di misure temporali estre-mamente precise oppure di percorsi estremamente lunghi.In questa esperienza come “cronometro” viene utilizzato un segnale di alta frequenza (1 Ghz) per impulsare un fascio laser e viene rilevata la differenza di fase per diverse lunghezze di cammini ottici del fascio stesso. Ciò permette una notevole precisione nelle misure di intervalli di tempo e quindi di limitare la lunghezza dei percorsi ottici utilizzati.

(3) Da un apparato progettato da Guido Pegna dell’Università di Cagliari.


L’apparato, mostrato in figura, può essere schematizzato come segue

- L’unità di controllo contiene un oscillatore (del tipo usato nei computer per generare il segnale di clock) che genera un segnale elettrico sinusoidale ad una alta fraquenza F. Tale segnale viene inviato mediante un cavo coassiale all’emettitore.

- L’emettitore consiste in un laser, il cui fascio luminoso viene modulato dal segnale inviato dall’u-nità di controllo. Il segnale orginario viene così propagato nell’aria come modulazione dell’inten-sità del fascio luminoso, con frequenza F (è una frequenza di modulazione in ampiezza e non va confuso con la frequenza propria della luce) e velocità pari a quella c della luce.

- Il fascio laser arriva poi al ricevitore, che consiste in un sensore di luminosità. Questo snsore ricon-verte il segnale luminoso in un segnale elettrico, che viene inviato nuovamente all’unità di con-trollo.

- Nell’unità di controllo, il segnale inviato dal ricevitore (S), viene sommato ad uno di riferimento S0, generato da un secondo oscillatore nell’unità di controllo. Il risultato della composizione di questi due segnali dipende dalla loro fase reciproca. Se risultano in controfase, l’interferenza sarà distrut-tiva e il segnale composto sarà nullo, mentre se sono in fase, si comporranno in maniera costrut-tiva e si otterrà un segnale amplificato.

Il segnale S+S0 può essere “sentito” inviandolo ad uno speaker (dopo averlo opportunamente amplificato)4.La fase tra i due segnali deriva dalla somma di due fasi diverse: la fase tra i due oscillatori (scono-sciuta ma che può essere considerata costante) e quella dovuta al ritardo del segnale S per la sua pro-pagazione nei cavi e nell’aria, trasportato dal fascio laser.In particolare, si può spostare il ricevitore avvicinandolo o allontanandolo dal trasmettitore, in maniera tale da ridurre o aumentare il cammino percorso e quindi il tempo di propagazione del segnale nell’aria. In questo modo si può variare la fase relativa tra S e S0: la scelta ottimale è quella di posizionare il ricevitore in maniera tale da ottenere un minimo del segnale combinato S+S0 (interferenza distrut-tiva). La ragione per cui si sceglie il punto di minimo è che le misure di zero sono intrinsecamente

(4) L’orecchio umano non può percepire suoni alla frequenza utilizzata nell’esperimento ed è necessario produrre in qualche modo un suono che ricada nel campo dell’udibile (vi è anche una limitazione della dinamica dello speaker, che non consente di riprodurre suoni a frequenza troppo elevata). Ciò può essere fatto utilizzando oscillatori con fren-quenze F e F’ leggermente diverse fra di loro. Il segnale S+S0 risultante avrà una frequenza pari a (F+F’)/2, modulato in ampiezza con una frequenza |F-F’| (fenomeno del battimento). È proprio la modulazione di ampiezza che viene trasdotta dallo speaker, producendo un suono con frequenza |F-F’| (nel caso dell’apparato sperimentale, circa 400 Hz).

Unità di controllo

Emettitore Ricevitore


più sensibili e si può determinare la posizione desiderata con maggiore precisione, aumentando pro-gressivamente l’amplificazione del segnale inviato allo speaker.Determinata la posizione x1 del ricevitore per cui si ottiene un minimo di interferenza, lo si sposta. S+S0 in questo modo aumenta di intensità, fino a raggiungere un massimo (interferenza costruttiva) e poi diminuire, fino ad un nuovo punto di minimo, con il ricevitore nella posizione x2.Spostando il ricevitore da x1 a x2, la fase relativa tra S e S0 è variata di 2π (la differenza di fase tra due successive situazioni di interferenza distruttiva). Questa variazione di fase è dovuta al fatto che il tempo di propagazione del segnale in aria è cambiato di una quantità pari al periodo del segnale elettrico, cioè il periodo τ (pari a 1/F) dell’oscillatore.Ne segue che nel tempo τ il segnale percorre una distanza |x2-x1| e quindi la velocità con cui si pro-paga è pari a |x2-x1|/τ. Nella pratica, conviene ridurre gli errori di misura prendendo una lunghezza di propagazione più lunga, ad esempio quella in cui si hanno tre minimi distruttivi e non due. (A causa di dettagli tecnici di come è realizzata la modulazione del fascio laser, le distanze tra due coppie di minimi consecutive, x1, x2 e x2, x3, risultano essere molto diverse fra loro: solo prendendo l’intervallo x1, x3 si ottiene una situazione corrispondente alla descrizione qui fatta).L’intervallo di tempo da considerare è così il doppio del periodo dell’oscillatore: il T indicato sull’ap-parato corrisponde effettivamente a 2τ.

DIFFRAZIONE: APPUNTI A SUPPORTO DELL’ATTIVITÀ SPERIMENTALE

Marisa MicheliniUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Rilevanza• La diffrazione è un fenomeno che si incontra ovunque nella vita quotidiana e nelle applicazioni

dell’ottica• Pone un confine inferiore all’avanzamento verso il “microscopico” o il “lontano” (potere risolu-

tivo): • limite nella capacità di distinzione fra due oggetti vicini fra loro che si trovano a grande distanza • limite inferiore nell’osservazione microscopica • limite inferiore all’integrazione (litografia)….• Costituisce un doppio ponte tra l’ottica geometrica e quella fisica ed tra la fisica classica quella

quantistica, proponendo una interpretazione ondulatoria della luce• È il caso reale di interferenza ottica• Permette di comprendere nella sua potenzialità il principio di Huygens-Fresnel• Offre significativa occasione di raccordo tra ipotesi interpretative (modellizzione e simulazione)

ed esperimento.

Possiamo identificare vari contesti in cui la si ritrova, prodotta da radiazione o particelle, come nelle seguenti figure:

D1: diffrazione per tra-smissione di luce bianca che attraversa le foglie degli alberi.

D2:diffrazione per riflessione di luce bianca da parte di un CD-rom.

D3: diffrazione di luce monocromatica blu che attraversa i bordi di una lametta da barba.

D4: diffrazione di elettroni su un cristallo di ZnO.

D5: diffrazione di rag-gi X su un cristallo di NaCl.

D6: diffrazione di immagini di stelle lontane.

D7: la diffrazione nell’arte: la tecnica dei puntinisti (Van Go-gh, 1887).


Troviamo la diffrazione anche sulla superficie dell’acqua o nei fenomeni acustici.Ha applicazioni negli studi di struttura della materia (diffrazione di elettroni, di raggi X, di neutroni), delle alte energie e dell’astrofisica (diffrazione gamma).Stabilisce il limite degli strumenti ottici (criterio di Rayleigh) ed il potere risolutivo.I puntinisti ne hanno fatto una tecnica in termini di separazione dei colori.

La diffrazione ottica si presenta in varie situazioni• Bordo di uno schermo• Foro, filo/capello• Fenditura semplice e multipla• Reticolo mono e bidimensionale

La sua interpretazione: richiede un’ipotesi ondulatoria sulla natura della luce

Diffrazione da una fenditura

Caso più generale FraunhoferFresnel

Fronte d’onda qualsiasi su apertura qualsiasi a distanza qualsiasi

In un pounto P dello schermo giungono perturba-zioni che differiscono per ampiezza e fase

Caso semplifi cato

Fronte d’onda piano sulla fenditura (raggi //)Fronti d’onda piani sul punto P dello schermo (raggi //)

Si ottiene:1) con 2 lenti convergenti2) laser+schermo all’infi nito

Oppure con la semplice disposizione da noi proposta in cui un fascetto laser costituisce sorgente e riferimento per l’allineamento ottico di fenditura e schermo su un tavolo.Si può facilmente ottenere in laboratorio per misure quantitative con sensori.

Principio di Huygens-FresnelCiascun punto di un fronte d’onda si comporta come una sor-gente puntiforme secondaria di stessa frequenza di quella pri-maria: l’onda al di là dell’ostacolo è data dalla sovrapposizione di tutte le onde sferiche delle sorgenti secondarie.


La proposta didatticaLa proposta didattica è un percorso ragionato tra gli esperimenti per costruire le leggi fenomenolo-giche, impadronirsi delle loro caratteristiche e significati.Non ci si limita alle tradizionali analisi della posizione dei minimi e dei massimi, ma si va verso l’in-terpretazione dei processi analizzando le caratteristiche della distribuzione di intensità luminosa.

Nodi concettuali legati alla diffrazione1. Concetti di fase, cammino ottico e fronte d’onda2. Sovrapposizione di onde e interferenza3. Rappresentazione spazio-temporale del fenomeno e difficoltà di immaginare che l’interferenza

si verifica in tutto lo spazio4. Stretta relazione fra cammino ottico e fase5. Ruolo fondamentale della fase nella determinazione della figura di interferenza6. Principio di Huygens-Fresnel7. Formalismo matematico per l’interpretazione

Sensore da noi realizzato per lo studio della diffrazione

Distribuzione di intensità ottenute con- fenditura di ampiezza a= 0.24 mm; - distanza fenditura schermo D=0.80 cm; - sorgente laser di λ = 623.8 nm.Procedimento seguito:il laser è stato diretto sulla fenditura e si è raccolta la distribuzione di intensità lumi-nosa in funzione della posizione a distanza D dalla fenditura, in direzione normale a quelle di propagazione del fascio e della fenditura.


Materiale necessario- laser (He-Ne, Oriel MOD 79262, 2 mW, λ=6328 Å)- fenditure (Phywe 08577.01, 8540) a=0.05÷0.1÷0.2 mm- sistema di rilevazione posizione-intensità luminosa

Assetto- non serve banco ottico- allineamenti- dimensioni fascetto laser (0.63 mm)- D/a ≈ 104 D≈ 35 cm ÷ 2 m

La sequenza di attivitàSi descrive di seguito la sequenza delle attività didattiche proposte.

A – Esame qualitativo della figura di diffrazione ottenuta con una fendituraa) Ispezione visiva al variare della distanza fenditura-schermo D La figura mantiene la stessa forma alle diverse distanze: si tratta di una distribuzione angolare

di intensità luminosa: lo schermo intercetta una distribuzione angolare costante ( cost)

b) Acquisizione di una distribuzione di intensità luminosa. Attenzione: - non si richiescono a rilevare insieme il massimo centrale e quelli laterali (uso polaroid) - caratteristiche di simmetria della figura - peculiarità della distribuzione di intensità luminosa

Distribuzione intensità luminosa in funzione della posizione (fenditura da 0.12 mm posta a 80 cm dal sensore).

B – Posizione dei minimiA partire dalla seguente conoscenza dell’insegnante

Ci sono minimi per sen z=0 z= mπ m=±1, ±2, ±3…


Per D>> a L ≈D

La proposta didattica per lo studio della POSIZIONE DEI MINIMI è la seguentea) Acquisizione di distribuzioni di intensità luminosa I(x) vs x per diverse D (a=cost) cursore: xm, x0

grafico vs m

motivato dall’attività A_a) sopra descritta

Si trova


b) Acquisizione di distribuzione di intensità luminosa I(x) vs x per diverse a (per ogni D)

si trovano rette di diversa pendenza al variare di a

↓ interpolazione lineare

↓ calcolo di a o λ

Il coefficiente angolare èinversamente proporzionale ad a

Pertanto si può scrivere

Tutto quanto richiamato finora:• La simmetria dei minimi rispetto al massimo centrale• La diretta proporzionalità della distanza dei minimi dal massimo centrale e il numero d’ordine• La proporzionalità inversa alla larghezza della fendituraè in accordo con il modello che prevede

Si possono valutare quantitativamente le larghezze delle fenditure o la lunghezza d’onda dai risul-tati delle interpolazioni lineari:

Nominale (mm) Misurata (mm)

0.16 0,155

0.05 0.049

0.1 0.100

0.2 0.207


B – Posizione dei massimiA partire dalla seguente conoscenza dell’insegnante

La cui base è la seguente

Massimo centrale per θ=0

Altri massimi

max centrale

cioè

Dove km: tg con m=1,2,3….d

Max secondari dovuti a interferenza parzialmente costruttiva delle onde secondarie

Essi si trovano nei punti di intersezione di

non a metà tra 2 minimi

Se i massimi di sen z / z sono vicini (<) a quelli di sen z soluzione approssimata


La proposta didattica per lo studio della POSIZIONE DEI MASSIMI è la seguentea) Rilevazione con cursore di xM e di x0 (uso distribuzione di intensità luminosa precedenti) In ana-logia con minimi

grafico vs M

retta che passa per (0;0)

c) Interpolazione lineare

d) Grafico xM vs (2M+1) interpolazione lineare di x0 ed a (o λ)

Per varie fenditure si trova il coefficiente angolare sempre circa doppio dell’intercetta, si può per-ciò scrivere:


D – Intensità di piccoA partire dalla seguente conoscenza dell’insegnante sull’intensità IM di ogni massimo rispetto a quella del centrale I0

e sulla intensità relativa dei massimi laterali

Che deriva da quanto segue

poiché i massimi si hanno per per M>0

La proposta didattica per l’INTENSITÀ DEI MASSIMI è la seguente

a) Grafico vs

b) calcolo Io dalla pendenza


c) grafico vs (2M+1)

d)

Indipendenza dell’intensità relativa di ciascun picco dall’ampiezza della fenditura


APPROFONDIMENTI - Gli aspetti interpretativiNelle condizioni di Fraunhofer la distribuzione di intensità ha la forma

A. Metodo numericoSi può applicare il principio di Huygens-Fresnel a un numero finito N di sorgenti puntiformi posizionate lungo la fenditura e calcolare la sovrapposizione delle onde secondarie nei punti dello schermo.

I fasori corrispondenti sono


Metodo della bisezione della fenditura


B. Metodo dei fasori

Fasore: vettore rotante di modulo pari all’ampiezza dell’onda e di angolo di rota-zione pari alla fase. L’ampiezza istantanea dell’onda è data dalla proiezione del fasore lungo una data direzione.

Mediante i fasori si possono rappresentare le singole onde elementari provenienti da segmenti adiacenti della fenditura.

Per θ=0, la differenza di fase tra le onde elementari è nulla ed è quindi nullo anche l’angolo tra ogni coppia di fasori adia-centi.

L’ampiezza data dalla sovrapposizione delle onde elementari è massima.

Diffrazione da singola fenditura: I (θ)


Questa relazione motiva:• la simmetria rispetto al massimo centrale della figura di diffrazione• l’indipendenza della forma della figura di diffrazione dalla distanza dello schermo.


BibliografiaBradley SA, P.S. Shaffer, R.N. Steinberg, L.C. McDermott (1999) An invetigation of student under-

standing of single-slit diffraction and double-slit interference, American Journal of Physics 67 (2), pp. 146-155.

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www.fisica.uniud.it/URDF.

LA LEGGE DI MALUS

Alberto StefanelUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

FinalitàRiconoscere la relazione tra l’intensità I della luce trasmessa da due polaroid allineati con un fascio di luce e l’angolo α di cui si ruota uno di essi intorno alla direzione del fascio, a partire da una situa-zione di massimo di trasmissione.

Alternative sperimentaliLa semplicità, rapidità e precisione con cui si riconosce la legge di Malus operando con polaroid sono difficilmente superabili con altri apparati. Tuttavia, dato che la legge di Malus descrive gli aspetti peculiari dei fenomeni relativi alla polarizzazione lineare, può essere esplorata, ovvero riconosciuta in quasi tutti i fenomeni in cui è coinvolta la polarizzazione lineare. La si può per esempio esplorare utilizzando il fenomeno della polarizzazione per riflessione, oppure la si può riconoscere nella luce trasmessa da cristalli birifrangenti.In ogni caso è necessario disporre di una sorgente che emette luce con intensità sufficientemente costante nel tempo, come una normale lampadina, collegata ad un alimentatore stabilizzato, o un rag-gio laser (es. il fascio di un puntatore laser), di un misuratore di intensità luminosa.Se si opera con polaroid, ne sono necessari due di cui almeno uno montato su supporto ruotante.Per misurare l’angolo fra le direzioni di trasmissione dei due polaroid si può utilizzare un gonio-metro solidale con il supporto ruotante del polaroid, oppure si può utilizzare un sensore che misura l’angolo di rotazione.Può essere interessante esplorare la legge di Malus utilizzando sorgenti che producono luce di colore diverso, ovvero utilizzando una sorgente di luce bianca schermata alternativamente con filtri di colori diversi. Nei diversi casi si ritrova sempre lo stesso andamento, ma si riconosce la diversa efficienza dei polaroid nel polarizzare la luce. In genere si dovrebbe riscontrare il massimo grado R di polariz-zazione (R=[Imax – Imin]/[Imax + Imin]) per la luce rossa.L’intensità luminosa può essere misurata direttamente ad esempio con:- un sensore di luce- un esposimetro per fotografie- un fotodiodo o un fototransistor- un tradizionale fotometro di Bunsen- un luxmetro

Materiale necessarioPer la misura qui proposta sono necessari i seguenti materiali:• Banco di lavoro di almeno 1 metro• Proiettore con lampada a filamento (5V, 6A) su relativo supporto• Puntatore laser bassa potenza (≤1 mW - λ=650-660 nm)• Alimentatore stabilizzato Bassa Tensione o pila• Cavetti di collegamento• Sensore di luce e interfaccia (ad esempio: Pasco scientific Science Workshop / interfaccia 500 CI-

6765CI / sensore-6504A, sensore di luce Pasco [http://www2.pasco.com/products])• 2 Polaroid su supporto ruotante dotati di goniometro

Un banco ottico della lunghezza di almeno 50 cm può essere utile per semplificare l’assemblaggio, ma non è necessario. Sensore e sorgente possono essere fissati su tavolini elevabili o supporti su tre-piede allineando i diversi componenti con il fascio stesso di luce.


Il materiale viene assemblato come nelle foto di fig. 1 (al posto del proiettore si monta il laser).Si posiziona il misuratore di intensità luminosa in modo tale che la sua superficie sia disposta per-pendicolarmente alla direzione della luce incidente e completamente illuminata. Se si opera con la luce bianca non polarizzata del proiettore è in genere necessario utilizzare una lente per focalizzare il fascio sul sensore. Se si opera con il laser può essere necessario schermare il fascio per evitare di saturare il sensore, ovvero di uscire dal suo regime di linearità.Si posizionano i due polaroid in modo da mantenere l’illuminazione del sensore. Non è necessario effettuare un perfetto allineamento per ottenere buoni risultati. L’unico accorgimento da curare è che il sensore sia sempre illuminato da un cono di luce della stessa apertura.Prima di procedere alla misura vera e propria è necessario calibrare il sensore ed effettuare qualche misura di prova per assicurarsi di operare nel regime di linearità del sensore stesso.Se non si opera in condizioni di buio, è inoltre necessario acquisire l’intensità del fondo, una volta spenta la sorgente (proiettore o laser che sia). È necessario evitare di operare in presenza di sorgenti di luce alimentate direttamente dalla tensione di rete in quanto le misure verrebbe falsate dalle oscil-lazioni di tensione tipicamente di periodo 20 s.

Principio della misuraA parità di illuminamento del primo dei due polaroid, l’intensità della luce trasmessa varia in modo regolare con l’angolo α di cui si ruota il secondo polaroid, risultando proporzionale a cos2α.Se si opera nel regime di linearità del sensore, il segnale misurato è proporzionale alla intensità della luce trasmessa dal secondo polaroid.Questo permette quindi di misurare l’intensità luminosa trasmessa dai due polaroid al variare di α.

Descrizione della proceduraSi rileva l’intensità luminosa I al variare dell’angolo α di cui si ruota uno dei polaroid a partire dalla situazione per cui si ha un massimo di trasmissione (polaroid paralleli).Poiché la luce prodotta dalla lampada può presentare una debole polarizzazione è in genere conve-niente fissare la posizione del primo polaroid (polarizzatore) e ruotare il secondo polaroid (analiz-zatore). Tale procedura diventa obbligatoria se si utilizza una sorgente laser ossia una sorgente di luce polarizzata.

Prima di procedere alle misure vere e proprie è necessario effettuare una serie di operazioni preli-minari che sono di fatto essenziali per la buona riuscita dell’esperimento e più laboriose della stessa misura, di per sé banale e molto rapida.

Fig. 1. Assetto sperimentale per lo studio della legge di Malus. Al posto del proiettore si può utilizzare una sorgente laser come i puntatori oggi facilmente reperibili a costi decisamente accessibili. Il proiettore, i due polaroid e il sensore sono allineati in modo da garantire il buon illuminamento di quest’ultimo.


Il valore medio della distribuzione è 0.9975, la deviazione standard è pari a 0.0005.

Stabilità della sorgentePer assicurarsi che la sorgente sia effettivamente stabile è utile effettuare una acquisizione del valore massimo della intensità della luce trasmessa per qualche minuto in modo da verificare che non vi siano derive temporali (ad esempio quasi sempre presenti nelle prime fasi di accensione di lampade a filamenti) o oscillazioni periodiche (che indicherebbero una alimentazione non stabilizzata).

Calibrazione del sensore di luceSi calibra il sensore in modo che indichi come valore minimo il valore di buio (facilmente ottenibile oscurando con un dito il sensore stesso), e come valore massimo quello per cui si ha un massimo di trasmissione dai due polaroid.Prima di procedere alla misura vera e propria si effettua una acquisizione di prova, allontanando leg-germente la sorgente, ovvero diminuendo leggermente la focalizzazione del fascio, oppure utiliz-zando un filtro opportuno per schermare la sorgente stessa, in modo che al valore massimo di luce trasmessa corrisponda circa al 90% del valore massimo di calibrazione. Ciò in genere è sufficiente ad evitare effetti di saturazione durante la misura vera e propria.

Incertezza sulla misuraUna stima della incertezza con cui viene acquisita l’intensità della luce può essere fatta al termine della fase precedente lasciando che il sensore acquisisca il valore massimo dell’intensità della luce tra-smessa per qualche decina di secondi. La deviazione standard dei dati ottenuti, fornisce una stima della imprecisione statistica con cui si effettua la misura. In genere si ottiene un valore percentuale rispetto al valore massimo misurato pari a 0.8-0.9%, ma si può operare in condizioni anche migliori.In figura sono riportati i dati acquisiti dell’intensità luminosa misurata da un sensore illuminato dalla luce prodotta da una sorgente alimentata con tensione stabilizzata.

Figura 2. A sinistra: Dati acquisisti con un illuminamento costante nel tempo del sensore. A destra distribuzione delle classi di valori dell’intensità.


Acquisizione del fondoSi spegne la sorgente e si acquisisce l’intensità del fondo. Se tale valore risulta superiore alla incer-tezza della misura è necessario sottrarre questo valore a tutti i dati che vengono acquisiti nella misura vera e propria. La presenza del fondo in ogni caso non dovrebbe essere decisiva per riconoscere la dipendenza lineare di I da cos2α. Diventa essenziale se si vuole riconoscere la proporzionalità tra I e cos2α, che sussiste nel caso in cui si usa una sorgente di luce rossa (i polaroid hanno la massima efficienza nella regione del rosso) e polarizzata come quella del laser.

Acquisizione datiAvviato il sistema di acquisizione si misura il valore dell’intensità luminosa rilevata dal sensore per ogni rotazione dell’analizzatore di 10°. Si effettuano misure tra 0° e 180° o tra 0° e 90°.In genere conviene effettuare le misure tra 0° e 180° in modo da ottenere un grafico simmetrico rispetto a α=90°. Si effettua poi l’analisi separatamente tra 0° e 90° o tra 90° e 180°.

Dati campioneIn figura 4 è riportata l’intensità luminosa misurata dal sensore in funzione dell’angolo α, di cui si ruota uno dei polaroid rispetto all’altro intorno alla direzione del fascio a partire dalla situazione di massimo di trasmissione per angoli α che variano da 0° a 180°. L’indeterminazione angolare con cui è stato fissato l’analizzatore è di ± 2°.La sostanziale simmetria del grafico rispetto a α = 90° evidenzia la periodicità di I(α) al variare del suddetto angolo.

Fig. 3. a) a sinistra: l’intensità della luce mostra una marcata deriva temporale (si tratta di una torcetta elettrica alimentata da una pila); b) al centro: l’intensità della luce mostra una oscillazione periodica di circa 20 secondi sovrapposta a una deriva temporale (si tratta di un proiettore alimentato con un generatore di tensione non stabilizzato); c) a destra: l’intensità della luce è sufficiente-mente stabile, anche se si può riconoscere una leggera deriva temporale (si tratta della luce prodotta da una lampadina da bicicletta alimentata con un generatore di tensione stabilizzata).

Figura 4. Intensità della luce misurata dal sensore in funzione dell’angolo α di cui si ruota un polaroid rispetto all’altro intorno alla direzione del fascio per angoli che variano da 0° a 180°. La sor-gente è un puntatore laser. I punti sperimentali sono indicati con l’indeterminazione sulla intensità.


Elaborazione datiPer determinare l’esplicita dipendenza funzionale dell’intensità luminosa I dall’angolo α, è con-veniente considerare solo la parte relativa all’intervallo 0°≤ α≤ 90° o all’intervallo 90°≤ α≤ 180°.In figura 5 sono riportati i dati relativi a due acquisizioni: una effettuata con luce bianca non polariz-zata; l’altra utilizzando come sorgente un puntatore laser (P≤1 mW - λ=650-660 nm).

Figura 5. Nei due gra-fici è riportata l’inten-sità luminosa misurata dal sensore in funzio-ne di α (grafico A) e in funzione di cos2 α (grafico B). Nel gra-fico B sono riportate le linee di tendenza, le rispettive equazioni e i rispettivi coefficiente di correlazione.

Discussione dei risultatiIl valore di 0.9992-3 del coefficiente di correlazione consente di asserire che tra I e cos2α sussiste una relazione lineare con un grado di affidabilità maggiore del 99%. L’analisi condotta porta a stabilire che l’intensità della luce trasmessa da due polaroid, i cui piani di trasmissione formano un angolo α è data dalla seguente relazione:

I(α) = Imax cos2(α) (1)

Tale relazione sussiste per la luce laser, mentre in generale si deve supporre che valga una relazione del tipo: I(α) = I2 cos2(α)+I1, con I1 intensità della luce trasmessa quando i polaroid sonoincrociati, e I2 = Imax-I1

Considerazioni conclusiveL’analisi quantitativa dell’intensità luminosa I trasmessa da due polaroid al variare dell’angolo α di cui si ruota uno dei polaroid rispetto all’altro intorno alla direzione di propagazione della luce, porta ad una relazione lineare tra I e cos2α. Nel caso della luce laser in particolare si ottiene con buona approssimazione la relazione (1). Questa relazione, nota come legge di Malus, consente di descri-vere gli aspetti caratteristici dell’interazione della luce con polaroid. È inoltre la base descrittiva su cui fondare una esplorazione quantitativa dei diversi fenomeni in cui si ha luce polarizzata, come per esempio la riflessione e la birifrangenza. Costituisce il riferimento attraverso cui costruire una inter-pretazione formalizzata della fenomenologia della polarizzazione della luce.

COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE DI UN POLAROID

Alberto StefanelUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

FinalitàRiconoscere che un polaroid attenua di un fattore costante la luce che incide su di esso, indipenden-temente dal fatto che la luce indicente sia polarizzata o meno.Tale comportamento è analogo a quello dei normali filtri rifrangenti ed è dovuto a tutti i processi non direttamente legati alla polarizzazione e che sono ineliminabili, come la riflessione, la diffusione, l’assorbimento passivo.

Materiale necessario• Banco di lavoro di oltre 1 metro• Proiettore con lampada a filamento (5V, 6A) su relativo supporto• Alimentatore stabilizzato Bassa Tensione o batteria• Cavetti di collegamento• Sensore di luce e interfaccia (ad esempio: Pasco scientific Science Workshop / interfaccia 500 CI-

6765CI / sensore-6504A, sensore di luce Pasco [http://www2.pasco.com/products])• Almeno 3 Polaroid uguali e relativo supporto• Un banco ottico della lunghezza di almeno 50 cm, un tavolino elevabile, aste su supporto a trep-

piede possono essere utili (ma non sono necessari) per semplificare l’assemblaggio.

Il materiale viene assemblato come in figura 1.

Fig. 1. Assemblaggio dei materiali. La luce del proiettore viene focalizzata in modo da illuminare sufficientemente il sensore, avendo cura però di non saturare il sensore. I polaroid vengono impacchettati su un sopporto dotato di fermo.

Attività preliminariAnche per questa misura vanno fatte le attività preliminari già discusse nel caso della legge di Malus.

In questo caso è utile fare anche la seguente misura.Si acquisisce l’intensità della luce trasmessa da un solo polaroid illuminato da una sorgente e ruotato intorno alla direzione di propagazione della luce, come illustrato nella figura 2.


L’obiettivo è riconoscere che un solo polaroid trasmette sempre la stessa frazione di luce se la sor-gente emette luce non polarizzata, indipendentemente da come viene orientato nello spazio.Questa attività può consentire di riconoscere che le sorgenti ordinarie di luce sono in genere debol-mente polarizzate.Nella tabella sono riportati i dati acquisiti utilizzando una normale lampadina da bicicletta alimen-tata con un alimentatore stabilizzato, come illustrato in figura.

Angolo (°) I/Im Angolo (°) I/Im Angolo (°) I/Im

0 0,985 130 0,986 260 0,989

10 0,984 140 0,986 270 0,994

20 0,980 150 0,986 280 0,996

30 0,978 160 0,983 290 0,996

40 0,974 170 0,980 300 0,999

50 0,978 180 0,978 310 0,999

60 0,977 190 0,978 320 0,998

70 0,973 200 0,979 330 1,000

80 0,980 210 0,975 340 0,999

90 0,984 220 0,973 350 0,994

100 0,986 230 0,984 360 0,994

110 0,990 240 0,986 370 0,991

120 0,986 250 0,990 380 0,985

390 0,984

Dai dati si riconosce che la intensità della luce trasmessa dal polaroid, che è stata normalizzata al suo valore massimo, oscilla tra 0.973 e 1.00 con un valore medio di 0.986. La variazione rispetto è del 1.4 %, ossia dello stesso ordine di grandezza dell’incertezza con cui si misura l’intensità della luce.

Fig. 2. Assemblaggio per le misure preliminari.


Per confronto si riporta il grafico (fig. 3) della intensità trasmessa da una lampada a filamento da 5V, 6 A, alimentata sempre con tensione stabi-lizzata È evidente che la luce in que-sto caso risulta parzialmente polariz-zata. Il grado di polarizzazione è 0.09 (il grado di polarizzazione per luce completamente polarizzata è pari a 1).

Principio della misuraSi ipotizza che i filtri utilizzati siano tutti uguali (polaroid tutti uguali fra loro; lamine rifrangenti tutte uguali fra loro). A parità di illuminamento del primo polaroid, l’intensità della luce trasmessa varia in modo regolare con il numero dei polaroid che si dispongono allineati uno dietro all’altro.Se si opera nel regime di linearità del sensore, il segnale misurato è proporzionale alla intensità della luce trasmessa dall’ultimo polaroid.Questo permette quindi di misurare l’intensità luminosa trasmessa al variare del numero di polaroid, disposti in modo da avere un massimo di trasmissione (polaroid paralleli).

Descrizione della proceduraSi dispongono sensore e proiettore ad una fissata distanza in modo che la parte sensibile del sensore sia ben illuminata dal fascio di luce prodotto dal proiettore, ma assicurandosi che non si saturi il sensore.Si acquisisce l’intensità luminosa misurata dal sensore. Si interpongono tra il proiettore e il sensore 1, 2, 3 polaroid in modo da avere sempre un massimo di trasmissione (polaroid paralleli). Per ogni nuovo polaroid si acquisisce l’intensità luminosa misurata dal sensore.Si ripete la procedura con lamine rifrangenti come vetrini da microscopio o fogli di lucido.

Dati campioneNella figura 4 è riportato il diagramma intensità luminosa – numero di polaroid, ottenuto seguendo la procedura indicata. Si riconosce un andamento regolare dal secondo polaroid in poi. Si osserva invece una discontinuità tra la intensità rilevata senza alcun polaroid e il primo polaroid.

Fig. 3. Grafico della intensità di luce trasmessa da un solo polaroid in funzione dell’angolo di cui lo si ruota intorno alla direzione di propagazione della luce. È evidente che la luce del proiettore risulta debolmente polarizzata.

Fig. 4. Intensità luminosa misurata dal sensore in funzione del numero di polaroid. Dal secondo polaroid si riconosce un andamento regolare.


Per confronto si riporta l’analogo grafico ottenuto con lamine di vetro (fig. 5): inQuesto caso si osserva un andamento regolare a partire dalla prima lamina.

Fig. 5. Intensità luminosa misurata dal sensore in funzione del numero di lamine rifrangenti. Si osserva un andamento sempre regolare.

Elaborazione datiL’elaborazione dei dati può essere fatta convenientemente riportando i dati in scala semilogaritmica, ovvero riportando il logaritmo di I/Imax in funzione del numero di polaroid o del numero di filtri rifrangenti.

Nella figura 6 sono riportati i due grafici.Si riconosce in entrambi i casi un andamento di tipo lineare, che indica una dipendenza esponenziale tra I/Im e il numero di filtri intermosti (l’andamento è analogo a quello previsto nella legge di Bou-guer-Lambert-Beer (Mayer-Arendt 1976, p. 405)).


Nel caso dei polaroid è utile valutare i rapporti:

Ro = I1/Io dell’intensità della luce trasmessa dal primo polaroid e intensità della luce incidente

Ti = Ii+1/Iidell’intensità della luce trasmessa dall’i-esimo polaroid e l’intensità della luce incidente su di esso (ossia l’intensità della luce trasmessa dall’(i-1)-esimo polaroid).

Con i dati di cui alla figura 2 si ottengono i seguenti valori:

Ro = 0.30

i 2 3 4 5 6 7 8

T 0,64 0,59 0,60 0,60 0,60 0,42 0,61

A parte il settimo polaroid, per gli altri si ha un coefficiente T=0,61±0.03.Questo può essere assunto come valore del coefficiente di trasmissione dei polaroid utilizzati.L’analogo coefficiente per le lamine di vetro è 0.83.

Si osserva che R/T = 0.5 = ½. Questo è esattamente il fattore di cui viene attenuato un fascio lumi-noso non polarizzato ad opera di un polaroid ideale.

Discussione dei risultatiDall’elaborazione dei dati emerge che la luce polarizzata che incide su un polaroid orientato in modo da avere un massimo di trasmissione viene attenuata di un fattore costante T, nel caso specifico pari a circa 0.6.Tale è la frazione di luce che non viene trasmessa dal polaroid per effetti non connessi alla polariz-zazione e presenti anche quando la luce incide su una lamina di un ordinario materiale rifrangente e viene da essa trasmessa (riflessione della luce incidente, assorbimento della luce che attraversa la lamina, diffusione).

Fig. 6. Grafici semilogaritmici per l’intensità della luce trasmessa da n filtri: polaroid (in alto); vetrini da microscopio (in basso).


Della luce non polarizzata emessa dal proiettore incidente sul primo polaroid viene trasmessa una frazione Ro che nel caso specifico vale circa 0.3. Il rapporto R/T esprime la frazione di luce trasmessa dal primo polaroid come effetto della sua azione di polarizzatore della luce. Tale fattore è pari a 1/2.

Considerazioni conclusiveA conclusione delle attività sperimentali qui proposte si possono riassumere i risultati nel seguente modo.Quando luce trasmessa da un primo polaroid, polarizzata linearmente quindi secondo una ben defi-nita direzione ortogonale a quella di propagazione, incide su un secondo polaroid, si riconosce che viene trasmessa una frazione di essa la cui intensità è pari al prodotto di un fattore costante T, come avviene in un qualsiasi mezzo rifrangente, e di un fattore funzione dell’angolo θ formato dalla dire-zione di polarizzazione della luce e direzione di polarizzazione del secondo polaroid, in base alla legge di Malus. Si può quindi caratterizzare formalmente l’azione di un polaroid nel seguente modo:

[luce incidente polarizzata]

dove It è l’intensità della luce trasmessa dal polaroid, quando su di esso incide luce polarizzata di intensità Ii, T è il coefficiente di trasmissione del polaroid.Se la luce incidente non è polarizzata, l’intensità della luce trasmessa è data da:

.

Il fattore 1/2 è dovuto all’azione di polarizzatore che ha il polaroid sulla luce incidente.

[Nota: Se si interpreta la luce non polarizzata come formata da infinite componenti polarizzate

linearmente e di uguale intensità, è la frazione che viene trasmessa della

intensità di luce che vibra in direzione compresa tra θ e θ+dθ. L’intensità della luce trasmessa dal

polaroid è allora data da: .]

EFFETTO FOTOELETTRICO

Isidoro SciarattaCIRD, Università di Udine

Obiettivi1) I quanti di luce che colpiscono la superficie di un metallo ne liberano elettroni purché la loro ener-

gia sia maggiore del lavoro di estrazione degli elettroni da quel metallo.2) Gli elettroni liberati per effetto fotoelettrico esterno possiedono un’energia cinetica i cui valori

dipendono linearmente dall’energia hν dei fotoni incidenti.3) Dai risultati delle misure e dal valore noto della carica elementare e, si ricava il valore della

costante h di Planck.

Effetto fotoelettricoNel 1887 Hertz è intento a eseguire un esperimento a conferma della teoria di Maxwell sulle onde elettromagnetiche.Egli produce e rivela onde elettromagnetiche in laboratorio con mezzi strettamente elettrici. Proprio in questa occasione scopre per caso l’effetto fotoelettrico (esterno), infatti egli osserva che il pas-saggio delle scintille nello spinterometro ricevente della sua apparecchiatura è facilitato dalla luce emessa dallo spinterometro generatore. In pratica, indirizzando luce ultravioletta contro una coppia di elettrodi fra cui è applicata una d.d.p., cresce l’intensità della scarica.Nel 1900 Lenard trova che la luce che illumina una superficie metallica (ad es. una lastra di zinco molto pulita), espelle elettroni e che le energie di questi elettroni non dipendono dall’intensità della luce ma solo dalla sua frequenza.


Anche una debole sorgente di luce, purché di opportuna frequenza, estrae, senza alcun ritardo, elettroni dalla super-ficie illuminata. Questo fatto è piuttosto sorprendente per-ché l’intensità della luce indica l’energia che cade per ogni secondo sull’unità di area della superficie illuminata, per-tanto, in base alle leggi della fisica classica, ad una mag-giore intensità di luce dovrebbe corrispondere non sola-mente una maggiore quantità di elettroni espulsi ma anche una maggiore energia ad essi associata.Entrambi i fenomeni osservati vennero spiegati mediante la rimozione (espulsione) degli elettroni dai materiali metallici a causa della luce incidente. Questo fenomeno dell’espulsione degli elettroni per opera della luce inci-dente venne chiamato “effetto fotoelettrico”.La spiegazione di tale espulsione, in un primo momento, venne giustificata secondo la teoria classica dell’elettro-magnetismo. Poichè la luce è costituita da campi elettro-magnetici oscillanti, che trasportano energia elettroma-gnetica essa può, quindi, trasferire energia agli elettroni del metallo, ed un elettrone, acquistata energia sufficiente dall’onda, può sfuggire dal metallo.L’onda elettromagnetica è costituita da un campo elettrico E e da un campo magnetico B, variabili nel tempo, oscillanti l’uno perpendicolarmente all’altro ed entrambi perpendicolarmente alla dire-zione di propagazione. Il lavoro di estrazione viene fatto dal campo elettrico E della radiazione inci-dente. Il campo magnetico B, infatti, esercita una forza perpendicolare alla velocità dell’elettrone e perciò non esegue lavoro.Ciò premesso si può dire che l’effetto fotoelettrico consiste in quel complesso di fenomeni elettrici che si manifestano in un corpo esposto a radiazione elettromagnetica, in particolare luce visibile. In pratica si tratta di un’interazione fra la luce e la materia analogamente a come avviene per la radia-zione di cavità o corpo nero. L’esposizione provoca, in certe condizioni, rilevanti modifiche delle proprietà elettriche della zona irradiata che si manifestano:- con l’aumento della conduttività (effetto fotoelettrico interno); oppure- con l’emissione di elettroni (effetto fotoelettrico esterno).

L’effetto fotoelettrico interno è analogo a quello esterno, con la differenza che gli elettroni liberati dalla radiazione incidente, non vengono espulsi, ma restano disponibili, dentro al corpo irradiato, per fenomeni di conduzione elettrica; ne deriva un aumento della conduttività nella zona interessata. Fra i dispositivi funzionanti mediante l’effetto fotoelettrico interno figurano: i fotodiodi, i fototran-sistor, e le fotoresistenze.Poiché l’energia richiesta per l’effetto fotoelettrico interno è generalmente inferiore a quella per la fotoemissione, ne consegue che anche la soglia fotoelettrica ν0 è generalmente più bassa, per cui l’ef-fetto può essere prodotto anche da luce infrarossa.

L’effetto fotoelettrico esterno si riscontra, in generale, nell’irraggiamento di metalli o di gas. Una lastra di zinco, ben pulita, viene collegata ad un elettroscopio, inizialmente scarico (fig. 1), (espe-rimento di Hertz-Hallwach). Illuminando con un fascio di luce ultravioletta la lastra di zinco si osserva che la lastra si elettrizza immediatamente con carica positiva (fig. 2); segno, questo, che la radiazione incidente provoca emissione di elettroni da parte del metallo.

Fig. 1. Effetto fotoelettrico esterno.


Per appurare che la carica emessa dal metallo è proprio quella degli elettroni, ovvero che la superfi-cie illuminata rimane carica positivamente, si può procedere in uno dei seguenti modi:a) dopo avere caricato l’elettroscopio mediante l’effetto fotoelettrico gli si avvicina, senza toccarlo,

un corpo carico positivamente: in tal caso le foglioline dell’elettroscopio tendono a chiudersi; oppure

b) nelle condizioni del caso a) e con un corpo carico negativamente le foglioline dell’elettroscopio, invece, tendono ad allontanarsi ulteriormente;

c) oppure mediante un alimentatore di alta tensione, (circa 1000 V), si carica negativamente l’elet-troscopio collegato alla lastra di zinco prima che quest’ultima venga illuminata con radiazione ultravioletta. Quindi si illumina la lastra e si osserva che l’elettroscopio si scarica rapidamente.

Fig. 2. La lastra, illuminata con luce ultravioletta, si elettrizza immediatamente con carica positiva.

Fig. 3. Schema elettrico per alimentare la cella fotoelettrica.


Che sia, poi, la radiazione ultravioletta a liberare elettroni dalla lastra di zinco lo dimostra il fatto che se fra la lastra e la sorgente di luce si interpone una lastra di vetro, la scarica della lastra cessa o, quantomeno, rallenta notevolmente. Ciò avviene perché la lastra di vetro non trasmette, se non che in quantità molto modeste, la radiazione ultravioletta.

Effetto fotoelettrico e teoria ondulatoria della luceAlcune delle più importanti caratteristiche dell’effetto fotoelettrico non possono trovare spiegazione nell’ambito della teoria ondulatoria della luce.1) La teoria ondulatoria della luce ammette che si possa aumentare l’energia cinetica dei fotoelet-

troni a condizione che cresca l’intensità del fascio di luce incidente. Al contrario, lo studio delle curve caratteristiche di un qualsiasi tubo fotoelettrico dimostra che “l’energia cinetica massima dei fotoelettroni non dipende dall’intensità del fascio di luce ma dalla frequenza n della radia-zione incidente” (fig. 4).

Per misurare l’energia cinetica massima degli elettroni si applica un campo elettrico diretto fra catodo ed anodo in modo che rallenti il loro moto (fig. 3). Aumentando la differenza di potenziale che deter-mina il campo elettrico ritardatore, si può determinare la tensione Vr appena necessaria per impedire ai fotoelettroni di raggiungere l’anodo. Misure di questo tipo consentono di individuare il potenziale di arresto Vr relativo alle sorgenti di luce di varie frequenze e dimostrano che Vr è direttamente pro-porzionale alla frequenza n della radiazione incidente.

Fig. 4. Confronto fra due curve caratteristiche della cella fo-toelettrica: l’intensità della luce incidente per la curva a è il doppio di quella per la curva b.

Fig. 5. Potenziale di arresto in funzione della frequenza della luce incidente per tre celle fotoelettriche diverse.


2) Secondo la teoria ondulatoria della luce, l’effetto fotoelettrico dovrebbe avvenire per qualsi-asi frequenza della luce incidente, purchè l’intensità della luce sia sufficientemente grande. L’e-sperienza, invece, sempre dallo studio delle curve caratteristiche, conferma costantemente l’esi-stenza di una caratteristica frequenza di soglia ν0 diversa per ogni metallo illuminato (fig. 5). Per frequenze ν inferiori a ν0 scompare l’effetto fotoelettrico, per quanto intensa sia la luce. Al con-trario per frequenze n superiori a ν0 anche la più debole sorgente di radiazione incidente libera elettroni. In figura 4 sono descritte le curve caratteristiche di un tubo fotoelettrico illuminato con una sorgente di luce monocromatica di assegnata frequenza. L’intensità della luce incidente per la curva a è il doppio di quella della curva b. Entrambe le curve inducono alla determinazione dello stesso potenziale Vr.

3) Secondo la teoria ondulatoria della luce, un determinato elettrone nel metallo riceverebbe ener-gia dalla luce alquanto lentamente, ciò perché l’elettrone potrebbe intercettare solo una piccolis-sima porzione dei fronti dell’onda incidente. Per questo motivo dovrebbe trascorrere del tempo prima che l’elettrone possa assorbire un’energia sufficiente per essere emesso. Secondo questa teoria, adoperando sorgenti di luce piuttosto deboli, questo ritardo (vedi problema

1) risulterebbe misurabile corrispondendo, addirittura, all’ordine di grandezza di alcune ore. Al con-trario, sperimentalmente, non si è mai osservato alcun ritardo dell’effetto fotoelettrico: tutti gli esperimenti provano che i fotoelettroni emergono entro 10-9 s circa dall’istante in cui la luce rag-giunge l’emettitore.

In definitiva lo studio quantitativo sull’effetto fotoelettrico prova che la tensione di arresto dei foto-elettroni è direttamente proporzionale alla frequenza della radiazione incidente secondo una legge del tipo Vr = a(ν-ν0) (1)dove il coefficiente a (fig. 5) è uguale per tutti i metalli mentre la frequenza di soglia n0 è diversa per tutti i metalli. Si sottolinea, inoltre, che il potenziale ritardatore Vr è atto ad individuare l’ener-gia cinetica K dei fotoelettroni espulsi secondo la relazione Δ K = e Vr.Le tre rette di fig. 5 si riferiscono a tre tubi diversi fra loro per la superficie metallica di diversa sostanza. Le intercette sull’asse x delle tre rette indicano le relative frequenze di soglia.Ogni linea della figura 5 ne è la testimonianza.Si osservi che entrambe le curve della fig. 4 rappresentano l’unione della curva caratteristica inversa e di quella diretta. Dal loro andamento si evince che in assenza di campo elettrico esterno nello spazio fra gli elettrodi, vi è una corrente fotoelettrica che tende ad una saturazione in presenza di una tensione di pola-rizzazione diretta ed alla estinzione in presenza di una adeguata tensione di polarizzazione inversa.A tale scopo è necessario tener conto delle dimensioni dell’elettrone rispetto a quelle della lunghezza d’onda della luce visibile.

Interpretazione di Einstein dell’effetto fotoelettricoNel 1905 Einstein dimostrò che l’effetto fotoelettrico può essere spiegato con l’ipotesi che l’ener-gia associata ad un’onda elettromagnetica sia quantizzata, ovvero costituita di piccole quantità finite e localizzate, in seguito chiamate fotoni, la cui energia è proporzionale alla frequenza dell’onda. In pratica, per Einstein, ogni fotone ha energia E = h ν (2)dove h è la costante di Planck e ν la frequenza dell’onda. Inoltre Einstein ipotizza che allorchè un fotone interagisce con la materia, esso si comporta come una particella e trasferisce la sua energia non al materiale come a un tutt’unico e neppure ad un atomo, bensì ad un singolo elettrone. Il fatto che si è trovato una frequenza di soglia ν0, dice Einstein, significa che è necessario fornire all’elet-trone una certa quantità di energia per liberarlo dal materiale. Materiali diversi hanno poi una fre-quenza di soglia ν0 differente per la diversa natura dell’atomo.Questa idea che “un fascio di luce si comporti come un fascio di particelle” è in netto contrasto con l’idea che esso si comporti come un’onda. Nella teoria ondulatoria della luce infatti l’energia non è concentrata secondo quantità finite, ma è distribuita uniformemente sugli interi fronti d’onda.


Quando, nel 1900, Planck dedusse la sua legge sulla radiazione ed introdusse per primo la quantità h nella fisica, utilizzò la relazione E = h ν. Egli la applicò, però, agli oscillatori atomici che costitui-scono le pareti della cavità e non alla radiazione dentro la cavità. In seguito Einstein dedusse la legge della radiazione di Planck sulla base del suo concetto di fotone. Il suo metodo era sia chiaro che sem-plice e non aveva bisogno di molte delle ipotesi specifiche che Planck fu costretto ad introdurre. Con il fotone di Einstein l’effetto fotoelettrico risulta descritto dalla seguente equazione: h ν = h ν0 + ½ m0 v

2 (3)ossia ogni fotone della radiazione incidente possiede un ben preciso contenuto di energia (h ν) che si ripartisce in lavoro di estrazione (h ν0) del fotoelettrone ed in energia cinetica residua (m0 v

2 / 2) del fotoelettrone emesso.Einstein interpreta i fatti come segue. Un elettrone espulso da una superficie metallica esposta alla luce riceve la sua energia da un singolo fotone. Allorché l’intensità della luce monocromatica che illumina la superficie aumenta, un maggior numero di fotoni cade sulla lastra metallica espellendo un maggior numero di elettroni, ma l’energia residua di ciascun elettrone non aumenta. Secondo Ein-stein l’energia residua di ogni elettrone espulso aumenta, secondo una legge lineare, solamente con l’aumentare della frequenza della luce incidente (fig. 5) e giustifica l’esistenza di una frequenza di soglia ν0, dipendente dal tipo di metallo illuminato, in quanto nessun singolo fotone, di frequenza inferiore a ν0, ha più l’energia sufficiente per estrarre un elettrone. Infatti dalla (3) segue che l’ener-gia cinetica K residua si può esprimere come K = h ν - h ν0 = h(ν-ν0) (4)In secondo luogo è possibile, con l’applicazione di un potenziale ritardatore, compiere un lavoro negativo sui fotoelettroni espulsi si da ridurli allo stato di quiete: in tal caso si ha: Δ K = e Vr (5)Confrontando la (4) con la (5), segue che: e Vr = h(ν-ν0) (6)da cui Vr = h/e (ν-ν0) (7)

Dalla (7) segue che il coefficiente angolare a della (1) corrisponde al rapporto h/e. Questo stesso rap-porto spiega perché le varie curve di fig. 5 sono fra di loro parallele.Circa un decennio più tardi, nel 1916, Millikan conferma sperimentalmente la teoria di Einstein sull’effetto fotoelettrico.Egli conferma anche la correttezza della pendenza a come a = h/e voluta da Einstein e con le sue misure contribuisce ad un buon perfezionamento del valore della costante h di Planck.

ü Analogia meccanicaCon le figure 6, 7 e 8 si intende illustrare una analogia meccanica dell’effetto fotoelettrico.In ognuna di esse si osserva a sinistra una sferetta (che simula l’elettrone) disposta all’interno di una buca (gravitazionale), a destra un fotone diretto contro una lastra metallica.

Fig. 6. Moto di una sfera in una buca: caso in cui l’energia meccanica della sfera è inferiore a quella necessaria per uscire dalla buca. Analogia con un fotone che colpisce la lastra metallica.


Alla sfera deve essere associata una energia sufficiente perché possa superare la buca di potenziale gravitazionale, ed eventualmente allontanarsi con velocità residua v.Nella figura 6) l’energia ε < ε0 associata alla massa m non è sufficiente ad estrarla dalla buca. A destra un fotone di frequenza ν < ν0 e quindi dotato di energia ε < ε0 non estrae elettroni dal metallo.

Fig. 7. Moto di una sfera in una buca: caso in cui l’energia meccanica della sfera è appena suffciente per uscire dalla buca. Analogia con un fotone che colpisce la lastra metallica.

Fig. 8. Moto di una sfera in una buca: caso in cui l’energia meccanica della sfera è superiore a quella necessaria per uscire dalla buca. Analogia con un fotone che colpisce la lastra metallica.

Nella figura 7) l’energia ε0, associata alla massa m ed al fotone, è solo sufficiente a compiere il lavoro di estrazione West. Nella figura 8) l’energia ε > ε0 determina sia l’estrazione dalla relativa buca di potenziale che un residuo di energia cinetica della particella estratta.

Esecuzione dell’esperimento ed elaborazione dei datiElenco materiale• lampada a vapori di mercurio;• alimentatore per lampada a vapori di mercurio;• lente condensatrice;• filtri interferenziali;• tubo fotoelettrico (meglio se due con caratteristiche di sensibilità diverse);• alimentatore per tubo fotoelettrico;• microamperometro;• millivolmetro;• cavi di collegamento;


Note tecnicheIn fig. 9 è illustrato il dispositivo mediante il quale si sono eseguite tutte le misure di seguito descritte. Per la parte riguardante la cella fotoelettrica, esso risulta identico a quello schematizzato nella pre-cedente fig. 3.In essa si osserva una lampada a vapori di mercurio fissata direttamente davanti ad un otturatore a tendina montato su asta, i vari filtri interferenziali alloggiati sullo stesso otturatore dalla parte che si proietta verso il tubo fotoelettrico, un tubo fotoelettrico sistemato su un apposito supporto e colle-gato ad un microamperometro per tramite di un amplificatore di misura.

L’otturatore, che può essere di tipo a tendina oppure di tipo circolare con diaframma a iride, è neces-sario sia perché non risulta conveniente fra una misura e l’altra togliere l’alimentazione alla lam-pada a causa del lungo intervallo di tempo che si richiede per il raggiungimento della sua condizione di regime e sia perché consente di collimare il fascio di luce sul tubo. Ovviamente, nel corso delle misure è necessario che la zona illuminata del tubo sia sempre della stessa estensione.La cella fotoelettrica consiste, essenzialmente, in un bulbo di vetro con due elettrodi: il catodo e l’anodo. Il catodo è costituito da una pellicola di potassio applicata interna-mente ad una delle due facce del tubo; l’anodo consiste, invece, in un filo di platino a forma di anello ed è dispo-sto di fronte al catodo. La sezione del filo di platino e il diametro dell’anello sono tali da non ostruire il passaggio della luce verso il catodo. L’anodo è di platino perché per la bassa reattività di quest’ultimo si riducono gli effetti secondari fino a livelli trascurabili.Se il tubo fotoelettrico è rimasto inutilizzato da tempo è buona norma:- mandare una corrente nel filamento che funge da anado

tramite una tensione di circa 2 V continui od alternati (fig. 10);

- attivare inizialmente il massimo campo senza eseguire misure;

- iniziare a fare le misure dopo che la lampada di mercu-rio raggiunge le condizioni di pieno regime, il che accade dopo un tempo di circa una ventina di minuti.

Fig. 9. Schema dell’esperimento.

Fig. 10. Schema della cella fotoelettrica.


Una ulteriore operazione necessaria prima di ogni nuova misura consiste nello scaricare l’elettricità statica presente nell’ingresso ad alta resistenza dell’amplificatore di misura; per questa operazione è sufficiente premere il tasto di “zero” presente sul pannello.

ü Conduzione dell’esperimentoL’esperimento viene condotto come segue: la radiazione emessa da una lampada a vapori di mercu-rio viene indirizzata, mediante una lente condensatrice, su un filtro (rosso, verde, azzurro, violetto) e quindi sulla superficie fotoemissiva di un opportuno tubo. Il filtro serve a selezionare la radiazione elettromagnetica dal fascio di luce proveniente dalla sorgente.Provando con il filtro rosso è possibile osservare che la corrente di fotoelettroni è nulla.Con il filtro giallo, in assenza di controcampo, si osserverà, invece, nel circuito del tubo una corrente dell’ordine di qualche mA. Tale corrente è la testimonianza degli elettroni fotoespulsi.Mediante un campo elettrico E, diretto in modo opportuno (catodo negativo rispetto all’anodo), è possibile, regolandone via via il modulo, aumentare la corrente fotoelettronica fino a raggiungere un valore di saturazione.Con l’applicazione di un controcampo E, (catodo positivo rispetto all’anodo), sempre regolabile in intensità, è possibile ridurre la corrente fotoelettronica fino a eliminarla totalmente. Con una serie di misure, si deduce il potenziale ritardatore necessario per l’attuale radiazione incidente. Si ribadisce che per potenziale ritardatore Vr si intende il potenziale che genera un controcampo atto a ridurre a zero la corrente per ogni tipo di radiazione incidente.Si ripete la prova con il componente verde, con il componente azzurro e quindi con il componente violetto, e per ognuno di essi si ricava la curva del potenziale ritardatore.Si ottengono dati del tipo riportato nella tabella 1.

Tab. 1. Dati delle curve caratteristiche ricavate con luce gialla, verde, blu e violetta. I corrispondenti grafici sono riportati in fig. 11.


Come si vede dalla figura 11, per valori del controcampo maggiori di Vr esiste una piccola corrente inversa, che tende velocemente alla saturazione, dovuta principalmente a depositi del potassio, di cui è costituito il fotocatodo, sull’anello che forma l’anodo. Questi depositi emettono fotoelettroni quando vengono colpiti dalla luce diffusa dal catodo.Allorchè si manifesta una forte corrente inversa è necessario ripetere l’operazione di riscaldamento dell’anodo come descritto nel precedente paragrafo.

Tab. 2. Potenziali di arresto in funzione della frequenza della luce

Tenuto conto delle frequenze corrispon-denti alle linee dello spettro del mercu-rio usato come sor-gente di luce e delle tensioni ritardatrici deducibili dai grafici di fig. 11, si otten-gono le coppie ripor-tate nella tabella 2 che conviene rappre-sentare in un piano V = f (ν) (fig. 12)

Fig. 11. Curve caratteristiche ricavate con luce di diversa frequenza: gialla, verde, blu e violetta.

Fig. 12. Grafico dei potenziali di arresto in funzione della frequenza della luce.


Dall’allineamento dei punti sperimentali presenti nel grafico di fig. 12 si può verificare l’esattezza dell’ipotesi di Einstein ed allo stesso tempo calcolare la costante di Planck. Infatti risulta evidente che- Vr è proporzionale a ν, anzi Vr ∝ (ν − ν0), ove per ν0 si intende la frequenza di soglia;- esiste una frequenza di soglia ν0;- si può calcolare la costante di proporzionalità h/e e da cui h.

Con i dati della precedente tabella si trova che:h / e = ΔV/ Δν = 4, 05 10-15 J·s·C-1

Ma la carica dell’elettrone è nota (e = 1.60·10-19C) e quindi si ottiene per la costante di Planck:h = (h / e) e = (4,05·10-15) · (1, 60·10-19) = 6, 48·10-34 J·s.Dato che il valore ufficiale della costante di Planck è di 6, 63·10-34 J·s, indicativamente si può dire che l’errore del valore stimato sperimentalmente è del 2,5% che è ampiamente giustificato dal tipo di materiale e dai metodi di misurazione usati.N.B. Per stimare l’errore è sufficiente fare il rapporto fra lo scarto della misura sperimentale rispetto al valore ufficiale con la misura sperimentale.Può essere interessante, infine, confrontare la curva del grafico di figura 12 con altre due, una delle quali è quella determinata dallo stesso Millikan (fig. 13). I dati sono riportati nella tabella 3.

Fig. 13. Altri grafici di potenziali di arresto in funzione della frequenza della luce ricavati per celle diverse ed in condizioni sperimentali diverse.


Si ponga particolare attenzione al parallelismo delle rette contenenti i punti sperimentali relativi alle tre prove. In particolare la coincidenza di due delle tre curve conferma che si riferiscono allo stesso tipo di tubo (stessa superficie metallica).

ConclusioniL’ipotesi dei fotoni di Einstein risolve le tre obiezioni sollevate contro l’interpretazione ondulatoria dell’effetto fotoelettrico.Per l’obiezione sulla indipendenza di Kmax = ½ mv2 dall’intensità dell’illuminazione, vi è un accordo totale tra la teoria fotonica e i dati sperimentali. Se si raddoppia l’intensità della luce, il numero dei fotoni diventa il doppio e quindi anche la corrente fotoelettrica raddoppia, ma non cambia l’energia dei singoli fotoni (h ν) nè la natura dei singoli processi fotoelettrici.Per l’obiezione sulla esistenza di una frequenza di soglia ν0 essa è risolta dall’equazione (4)

h ν = h ν0 + ½ mv2

Se Kmax è nulla, si ha h ν = h ν0 che implica che il fotone ha proprio l’energia sufficiente per estrarre i fotoelettroni, ma che non gliene rimane altra da fornire loro come energia cinetica di fuga. Se ν diventa più piccola di ν0, i singoli fotoni, indipendentemente da quanti essi siano (cioé indipenden-temente dall’intensità della luce), non hanno energia sufficiente per estrarre fotoelettroni.

Tab. 3. potenziali di arresto in funzione della frequenza della luce ricavati con celle diverse ed in condizioni sperimentali diverse. Sono compresi i dati ricavati dallo stesso Millikan.


Infine per l’obiezione sull’assenza di ritardo nell’emissione questa è risolta dalla teoria fotonica in base alla quale l’energia richiesta è fornita secondo quantità finite e concentrate, e non è distribuita uniformemente sull’intera sezione ortogonale del fascio, come nella teoria ondulatoria.

Problema 1Una superficie di zinco è posta a 5,0 m di distanza da una debole sorgente di luce monocromatica la cui potenza di emissione è di 1,0 mW. Si ammetta che un fotoelettrone emesso abbia raccolto ener-gia dall’area di una superficie circolare di raggio pari a 10 diametri atomici (= 1,0·10-9m). Si sa, inol-tre, che l’energia necessaria per estrarre un elettrone dalla superficie di zinco è di 4,2 eV. Assumendo che la luce sia un’onda, quanto tempo impiegherebbe un «bersaglio» di questo tipo per assorbire que-sta energia dal fascio incidente?Per risolvere il problema si calcola:la superficie del bersaglio

S = π (1, 0·10-9m) 2 = 3.1·10-18 m2

La superficie sferica a 5,0 m dalla sorgente su cui è distribuita l’energia emessa dalla sorgente:

Ssfera = 4 π (5, 0)2 ≈ 3.1·102 m2

Posto che la sorgente di luce emette uniformemente in tutte le direzioni, l’energia incidente nell’unità di tempo sul bersaglio è

P = 1.0·10-3 (3.1·10-18 m2 / 3.1·102 m2) = 1.0·10-23J/s (10)

Posto che tutta l’energia caduta sul bersaglio sia stata assorbita, si può calcolare il tempo richiesto come segue

t = (E di estrazione / P ass. del bersaglio) ≈ 19 ore (11)

Nella realtà, invece, per quanto debole sia la sorgente di luce, i fotoelettroni emergono entro 10-9 s circa dall’istante in cui la luce ha raggiunto l’emettitore.

Problema 2La lunghezza d’onda di soglia per il potassio è 564 nm.Qual è il lavoro di estrazione per il potassio?Qual è il potenziale d’arresto quando si usa luce di 400 nm di lunghezza d’onda?

Risoluzione

West = h ν0 = h c/ λ0= (1240 eV nm / 564 nm) = 2, 20 eV

L’energia di un fotone di lunghezza d’onda pari a 400 nm è

E = h ν = h c/ λ= (1240 eV nm / 400 nm) = 3, 10 eV

L’energia cinetica massima dei fotoelettroni (emessi) è

½ mv2 = h ν - h ν0 = (3, 10 - 2, 20) eV = 0, 90 eV

Perciò il potenziale d’arresto (da ½ mv2 = e V) vale 0,90 V.

ESPERIMENTO DI FRANCK-HERTZ

Isidoro SciarrattaCIRD, Università di Udine

IntroduzioneNel 1914, Franck ed Hertz stavano studiando il trasferimento di energia negli urti anelastici di elet-troni contro atomi di mercurio.Nel corso delle loro esperienze trovarono un risultato inaspettato: gli atomi di mercurio possono venire eccitati ad uno stato corrispondente alla riga λ = 253, 65 nm del suo spettro di emissione mediante urti con elettroni solo per energie fissate di ultimi, corrispondenti ad una d.d.p. acceleratrice di circa 4,9 V.Questo induce a concludere che gli atomi di mercurio acquistano (e perdono) energia solo per valori discreti, (quantizzati).

Materiale necessarioTubo di Franck-Hertz completo di forno;alimentatore cc 0..........35 V;alimentatore cc 0............3 V;alimentatore ca 6,3 V;un reostato di potenza (110 Ω; 1,5A);un termometro 0..............250 °C;un amperometro;due volmetri;un amplificatore di misura per cc;fili di collegamento.

Descrizione dell’esperimentoIl montaggio dell’esperimento è schematizzato dalla figura 1.Il dispositivo principale consiste essenzialmente in una valvola termoionica (triodo) contenente una goccia di mercurio.

Fig. 1 Schema descrittivo del montaggio dell’esperimento.

Il tubo è alloggiato in un forno che ha lo scopo di scaldare l’ambiente di modo che il mercurio eva-pori e si crei, internamente al tubo, una pressione di vapore di mercurio, tra 8 e 10 mm Hg quando la temperatura del forno è di circa 170 °C. Tale valore di pressione è necessario affinchè le mole-


cole di mercurio si eccitino dallo stato fondamentale (6S) al livello superiore (6P) con una probabi-lità molto elevata rispetto ad altri livelli energetici: infatti con la densità di vapore di mercurio usata, il cammino libero medio degli elettroni è molto piccolo.Per alimentare il tubo di Franck-Hertz sono necessarie tre tensioni indipendenti:1) una tensione continua od alternata di 5 volt circa, per il filamento;2) una tensione continua e variabile da 0 a circa 35 volt, da applicare come campo acceleratore dei

termoelettroni emessi da filamento, fra catodo (negativo) e griglia (positiva);3) una tensione continua variabile da 0,5 a 2 volt, da applicare come controcampo tra griglia (posi-

tivo) e anodo (negativo).

Schema di funzionamento del tubo di Franck-HertzDa un catodo riscaldato elettricamente, (mediante la corrente di filamento), vengono emessi termo-elettroni; questi vengono accelerati dal campo generato dalla tensione applicata fra catodo e griglia. Giunti alla griglia, gli elettroni hanno acquistato l’energia cinetica

(1)

Fino a che l’energia degli elettroni è minore di 4,86 eV, la maggior parte di essi raggiunge l’anodo, superando il controcampo applicato fra griglia e anodo. Ovviamente l’anodo è raggiunto solo dagli elettroni la cui energia è maggiore di quella perduta nel moto contro il campo ritardatore. L’arrivo di tali elettroni si rivela misurando la corrente anodica ia.Nel loro percorso, dal catodo verso la griglia, gli elettroni urtano contro gli atomi di mercurio. Finché la loro energia è minore di 4,9 eV, i loro urti contro gli atomi di mercurio sono elastici, ossia senza cessione di energia, mentre per energie superiori o uguali a 4,9 eV, essi diventano anelastici, ossia con cedimento di energia da parte dell’elettrone.Gli atomi di mercurio, eccitati da un urto anelastico, si diseccitano in un tempo brevissimo (10-7 s circa), ritornando al loro stato fondamentale. L’energia emessa in questa diseccitazione appare sotto forma di un quanto di luce di energia h ν, la cui frequenza ν è legata alla variazione di ener-gia secondo la relazione:

E - E0 = 4.86 eV = h ν da cui ν = 11.08 · 1014 Hz.

La lunghezza d’onda corrispondente è di λ = c / ν = 253,652 nm,

quindi nell’ultravioletto estremo, rilevabile solo con una lunga esposizione fotografica.Non appena gli elettroni hanno ceduto per urto anelastico la loro energia agli atomi di mercurio, essi non sono in grado di procedere attraverso il controcampo e di raggiungere l’anodo, pertanto la cor-rente ia diminuisce.La corrente comincia a diminuire la prima volta esattamente allorché gli elettroni raggiungono un’ener-gia sufficiente (4,9 eV), per eccitare quegli atomi di mercurio che si trovano poco prima della gri-glia acceleratrice G, in maniera tale che dopo l’urto anelastico non possano essere accelerati a suffi-cienza per superare il controcampo.Al crescere ulteriore della tensione acceleratrice, gli elettroni raggiungono l’energia di 4,9 eV in una regione più vicina al catodo K. In quella regione essi perdono di nuovo tutta la loro energia eccitando gli atomi di mercurio, ma nell’attraversare la rimanente regione di spazio che li separa dalla griglia G, acquistano energia sufficiente per superare nuovamente il controcampo; e la corrente cresce.Aumentando ulteriormente la tensione acceleratrice fra catodo K e griglia G, si può raggiungere la condizione per cui gli elettroni acquistano per la seconda volta altri 4,9 eV prima di arrivare alla gri-glia G, allora la corrente diminuisce una seconda volta, e cosi via.In verità gli atomi di mercurio possono stare in stati di energia più grande di 4,9 eV (rispetto a quello fondamentale di equilibrio), ad esempio 6,7 eV; 8,8 eV; ecc..


Questi stati non si manifestano in questo esperimento, poiché pochissimi elettroni raggiungono una energia maggiore di 4,9 eV, infatti per la appropriata scelta del vapore di mercurio all’interno del tubo dovuta alla temperatura scelta per il forno di circa 170 °C, il cammino libero medio degli elettroni, fra urto e urto contro gli atomi di mercurio, è molto piccolo. Pertanto è molto poco probabile che un elet-trone raggiunga l’energia sufficiente per portare un atomo direttamente al successivo stato eccitato. In tali condizioni, invece, diventa alta la probabilità che l’elettrone ogni volta che raggiunge l’energia di circa 4,9 eV urti anelasticamente un atomo di mercurio cedendo tutta la sua energia per poi tornare, se ne esistono le condizioni, a guadagnarne altrettanta per un nuovo urto anelastico e così via. Si spiega così il carattere oscillatorio della corrente con i suoi massimi in corrispondenza di una tensione di campo elettrico coincidente con il punto medio di ogni intervallo di tensione i cui estremi sono mul-tipli di circa 4,9 V, mentre presenta i minimi in corrispondenza di una tensione di campo pari ai mul-tipli interi di 4,9 V. Il fatto poi che l’oscillazione della corrente non segue una linea orizzontale bensì una linea inclinata positivamente col crescere della tensione fra catodo e griglia si spiega pensando che gli elettroni che raggiungono l’anodo a basso valore di campo sono quelli che non hanno avuto una eguale evoluzione. Via via che il potenziale aumenta vi è una maggiore probabilità che gli elet-troni che raggiungono l’anodo possono avere subito una evoluzione diversa nel percorso dal catodo alla griglia: ad esempio arrivano contemporaneamente elettroni che hanno subito un solo urto ane-lastico ed in seguito hanno guadagnato una energia sufficiente per superare il controcampo fra gri-glia G ed anodo A con elettroni che non hanno ancora subito urto anelastico e così via. In ogni caso è bene non dimenticare che si tratta sempre della curva caratteristica di un tubo a vuoto.

Suggerimenti per l’esecuzione1) La resistenza sul filamento serve per l’accensione graduale dello stesso; la corrente necessaria è

di 300÷400 mA (non superiore e neppure inferiore per allungare la vita del tubo);2) predisposti i collegamenti secondo il circuito descritto in figura 1, si procede come segue: - si fa riscaldare il forno fino a circa 160°C; - si alimenta il filamento; - si assegna il valore di controcampo di circa 1,5 V; - si fa variare gradualmente il campo acceleratore da 0 a circa 35 V, prendendo nota della cor-

rente in nA.

Condizioni alle ultime misurePer misurare la corrente anodica usare l’amplificatore di corrente (personale) regolato sulla posizione 0 e collegato ad un voltmetro con fondo scala di 2V.Alimentare il filamento con 5 V circa (è essenziale) e regolare il reostato del forno sulla posizione 5, 150 °C circa.

Elaborazione dei datiEseguendo l’esperimento nelle condizioni sopra descritte, ed in particolare conla temperatura media = 160 °Cla corrente di filamento = 340 mAil controcampo = 1,5 Vsi sono ottenuti i dati riportati nella tabella 1 il cui andamento grafico è riportato in figura 2.


In un’altra prova nella quale, in particolare, si registrava: la temperatura media = 160°C la corrente di filamento = 340mA il controcampo = 1,0 V

Fig. 2 Grafico relativo alla prima raccolta di dati.

Dai dati riportati in fig. 3 e fig. 4 si può desumere facilmente che in media il “quanto di energia” assorbita dall’atomo di mercurio è di circa 5 eV; basta calcolare per questo il valore medio delle dif-ferenze di tensione fra due massimi di corrente consecutivi. Misure più accurate hanno fornito il valore di 4,86 eV; questo risultato è confermato dalla teoria.

Fig. 3. Grafico relativo alla seconda raccolta di dati.


Rilevamento dati mediante l’oscilloscopioLa figura 4 schematizza i collegamenti del tubo di Franck-Hertz con l’oscilloscopio.Provare a studiare la curva caratteristica di un tubo mediante l’uso dell’oscilloscopio e in seguito tra-sferire la stessa tecnica per studiare la curva caratteristica del tubo di F-H.

Fig. 4. Collegamenti necessari per ottenere la curva caratteristica direttamente in oscilloscopio.

Bibliografia[1] PSSC (2005) La fisica secondo il PSSC, Guida alla visione, Zanichelli, Bologna.[2] PHYWE Enseignement Superieur vol. 2.[3] Leybold-Heraeus S.p.A. Note di laboratorio.[4] Autori vari.

EFFETTO RAMSAUER-TOWNSEND IN UNA VALVOLA CONTENENTE XENON 1

Lorenzo SantiUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

L’effetto Ramsauer-Townsend è un fenomeno quantomeccanico che viene osservato nella propaga-zione di un fascio di elettroni in gas formati da atomi di elementi nobili (Argon, Neon, Xenon), misu-rando il coefficiente di trasmissione (cioè il rapporto tra il numero di elettroni che passano il mate-riale imperturbati ed il numero di quelli incidenti) al variare dell’energia degli elettroni incidenti.Tale rapporto dipende dalla probabilità con cui un elettrone interagisce con un singolo atomo del gas: a sua volta questa probabilità dipende in maniera essenziale dall’energia dell’elettrone incidente e dal tipo di processi di interazione elettrone-atomo coinvolti.Ad esempio, per energie inferiori a quelle di eccitazione o di ionizzazione degli atomi (dell’ordine di alcuni eV), l’unico meccanismo di interazione elettrone-atomo accessibile consiste in una colli-sione (diffusione) elastica, mediata dalla forza elettrica agente tra la carica dell’elettrone e quella del nucleo dell’atomo.In una diffusione elastica, gli elettroni dell’atomo interagente non vengono eccitati (portati ad un livello energetico superiore) e quindi l’energia cinetica dell’elettrone incidente si conserva. In questo caso l’interazione elettrone-atomo può essere descritta come una diffusione dell’elettrone da parte di una buca di potenziale attrattiva tridimensionale (corrispondente al potenziale atomico).Quando però l’elettrone incidente ha una quantità di moto p tale che la lunghezza d’onda che si ottiene dalla relazione di de Broglie λ = h/p, è dell’ordine di grandezza delle dimensioni spaziali della buca di potenziale, intervengono dei fenomeni di interferenza quantistici, che modulano la probabilità di diffusione elastica dell’elettrone da parte dell’atomo.

Per comprendere questo fenomeno, possiamo utilizzare un modello di complessità ridotta, costituito da una buca di potenziale unidimensionale, di profondità V0(in energia) e lunghezza L, come rap-presentata in figura.

Lo stato dell’elettrone incidente è rappresentato da una funzione d’onda ψ che si propaga in dire-zione delle x crescenti. In corrispondenza delle pareti della buca si può avere trasmissione (direzione di propagazione positiva) e riflessione (direzione di propagazione negativa).Consideriamo la regione 2. In essa la funzione d’onda sarà costituita dalla sovvraposizione della fun-zione d’onda associata all’elettrone incidente, verso x crescenti, e di quella dell’elettrone riflesso, propagantesi nel verso delle x decrescenti.

(1) Da un esperimento proposto da Guido Pegna dell’Università di Cagliari.

Fig. 1. Buca di potenziale.


Il risultato della sovvraposizione dipende dalla fase con cui la funzione d’onda incidente arriva alla seconda parte della buca e quindi dalla lunghezza d’onda associata a ψ all’interno della regione 2.Le figure seguenti esemplificano l’andamento di Re ψ all’interno della buca, ad un istante prefissato e per tre diversi valori della lunghezza d’onda. La funzione d’onda incidente e quella riflessa sono indicate con linee trattegiate, la sovvrapposizione con una linea continua

Sinistra in alto: L = λ nDestra in alto: L ≈λ (2n+1)/4Sinistra in basso: L = λ (n+1)/2

Si ha quindi interferenza costruttiva quando L = λ n/2 (questa relazione comprende il primo e l’ultimo dei casi considerati), distruttiva per L =λ (2n+1)/4.Ne consegue che, per continuità sulla seconda parete, la funzione d’onda che si propaga nella regione 3 ha un’ampiezza massima nella prima categoria dei casi, nulla nel secondo. Tale risul-tato si ripercuote sul coefficiente di trasmis-sione (legato al modulo quadro dell’onda nella regione 3) che mostra, in funzione dell’energia dell’elettrone incidente, una modulazione come quella rappresentata in figura.

Sperimentalmente questo tipo di comportamento è difficile da osservare, a causa della limitazione


che viene posta dal considerare solo la diffusione elastica degli elettroni e quindi di utilizzare elettroni con energia sotto la soglia di eccitazione atomica (troncando così lo spettro della figura precedente a valori di energia relativamente bassi). A ciò si può ovviare utilizzando gas di elementi nobili, per i quali tale soglia risulta essere più elevata.

Nell’esperienza proposta viene utilizzato una valvola termoionica di tipo speciale, contenente gas Xenon. In una valvola vi sono (almeno) due elettrodi di cui uno, il catodo, viene riscaldato in maniera da far emet-tere elettroni per effetto termoelettronico. Tali elet-troni vengono accelerati verso il secondo elettrodo (anodo) per effetto di un campo elettrico generato da una differenza di potenziale imposta tra catodo e anodo. Il flusso di elettroni in un normale tubo a vuoto è essenzialmente balistico, cioè regolato dalla sola intensità del campo elettrico nel tubo. In una normale valvola la corrente circolante risulta essere una funzione monotonamente crescente al crescere della tensione applicata agli elettrodi. (Le valvole possono avere ulteriori elettrodi piazzati, tra catodo ed anodo, per un controllo della corrente circolante).Nel tubo utilizzato nell’esperimento il gas Xenon viene utilizzato come limitatore di corrente: la diffu-sione subita dagli elettroni riduce la corrente effettiva che raggiunge l’anodo. Inoltre, l’effetto Ramsauer-Townsend modula la correlazione corrente-tensione, facendo apparire dei massimi e dei minimi, in corrispondenza ai massimi e minimi del coefficiente di trasmissione dell’elettrone da parte dell’atomo di gas nobile.Nell’apparato sperimentale che proponiamo, la ten-sione di alimentazione della valvola viene regolata mediante un segnale triangolare negativo (da 0V a -10V) e la corrente circolante (anch’essa nega-tiva) viene valutata misurando la tensione ai capi di una resistenza posta in serie alla valvola. I due segnali (in tensione ed in corrente) vengono inviati agli ingressi di un oscilloscopio, che permette la visualizzazione diretta della curva corrente tensione della valvola. Nella figura accanto viene mostrata tale visualizzazione: sull’asse orizzontale è riportata la tensione (negativa, quindi crescente in valore asso-luto da destra a sinistra; la scala è di 2 Volt/ divi-sione) sull’asse verticale la corrente (anch’essa nega-tiva, quindi crescente in valore assoluto dall’alto verso il basso).I valori in tensione corrispondenti al massimo (VM) ed al minimo (Vm) di corrente possono essere interpretati come i valori di energia (in unità elettron Volt) corrispondenti al primo massimo ed al primo minimo di trasmissione degli elettroni da parte degli atomi di Xenon.


Ciò corrisponde, nel modello a buca di potenziale, ai valori di energia cinetica degli elettroni nella buca pari a

KM = e (VM+V0) Km = e (Vm+V0) [1]

(ove e è il valore assoluto della carica dell’elettrone).Essendo K = 2p2/m (ove m è la massa dell’elettrone) avremo

KM = p2M /2m Km = p2

m /2m

Ed utilizzando la relazione di de Broglie

KM = h2/(2m λ2M ) Km = h2/(2m λ2

m )

Per i due estremanti, il modello a buca di potenziale prevede (ponendo n=1)

λM = 2L λm = 4/3 L

e quindi

KM = h2/(8m L2) Km = 9h2/(32m L2)

Oppure

Km – KM = h2/(8 m L2) (9/4-1) = 5 h2/(32m L2)

E quindi dalla 1)

e(Vm-VM) = h2/(32/5 m L2)

oppure

L = h/(32/5 m(e(Vm-VM)))1/2.

con m = 9.1 10-31 Kg, e = 1.6 10-19 C, h = 6.62 10-34 Js (Vm e VM espressi in Volt).

Il valore che si ottiene per L (“diametro” dell’atomo di Xenon) è ovviamente solo una stima per ordine di grandezza della dimensione dell’atomo, dovuta alle approssimazioni che sono state intro-dotte nella modelizzazione: il suo raggio viene valutato in 1.3 10-10 m.

MISURA DEL RAPPORTO e/m


Rapporto e/m col tubo di WehneltElenco materialetubo di Wehneltbobine di Helmholtzalimentatore per il tubo di Wehneltalimentatore per le bobine di Helmholtzvoltimetroamperometrocavetti di collegamento

Fig. 1. Apparato sperimentale (a bobine di Helmoltz, b tubo a fascio fine, c dispositivi di lettura).

Fig. 2. Cannoncino di Wehnelt. Fig 3. Fascio di elettroni.


Presentazione del dispositivo sperimentaleIl dispositivo atto a misurare il rapporto e/m è costituito da una sfera di vetro che contiene gas molto rarefatto H2, (figura 1), in cui è inserito un cannoncino elettronico (fig. 2). Quest’ultimo presenta al suo interno un filamento che per effetto termoelettronico, riscaldandosi, emette elettroni.Le particelle negative vengono attirate dall’anodo ed accelerate dalla differenza di potenziale esi-stente fra filamento ed anodo.L’anodo, a forma di cilindro-cono, presenta un piccolo foro da cui escono gli elettroni con direzione assiale rispetto al cono stesso; questi, urtando gli atomi del gas molto rarefatto (una atmosfera di idro-geno a pressione stabilita con precisione) che si trova internamente al bulbo di vetro, lo inducono ad emettere una debole luce che permette di visualizzare il percorso deglielettroni (figura 3).L’ampolla di vetro è posta fra due bobine, dette bobine di Helmholtz, disposte sullo stesso asse a distanza R fra di loro, con R uguale al raggio delle bobine stesse. In questo modo, facendo passare una corrente attraverso le spire delle bobine, si genera un campo magnetico, praticamente uniforme, cal-colabile, attraverso la composizione dei campi di induzione magnetica generati dalle singole bobine lungo il comune asse descrivibili, a loro volta, mediante la legge di Laplace. La dimostrazione del campo magnetico generato dalle bobine di Helmholtz è riportata in appendice.(La pressione di 1 Tor equivale alla pressione di 1 mm di mercurio).

Principio di funzionamentoInfluenza del campo elettrico: gli elettroni emessi termoelettronicamente dal filamento vengono acce-lerati, inizialmente, dal campo elettrico che si costituisce all’interno del cilindro di Wehnelt (fig. 2). Il cilindro di Wehnelt serve ad accelerare gli elettroni e a selezionare quelli la cui velocità è diretta secondo l’asse del cilindro (in pratica produce un effetto lente elettrica).Gli elettroni, all’uscita dal cilindro di Wehnelt, possiedono una energia cinetica tale che:

e ΔV = 1/2 m v2 (1)

Influenza del campo magnetico di Helmholtz: non appena fuori dal cilin-dro di Wehnelt, gli elettroni si trovano internamente al campo magnetico dovuto alle bobine di Helmholtz. È possibile regolare la disposizione del bulbo di vetro in modo che le direzioni della velocità degli elettroni e del campo magnetico esterno formino un angolo qualsiasi fra 0° e 90°. Gli elettroni risultano, così, sotto l’azione della forza di Lorentz F = e v Bsen θ(fig. 4): ricordare che gli elettroni hanno carica negativa.Posto che l’angolo fra v e B risulti di 90°, gli elettroni si mettono a ruo-tare su una circonferenza il cui raggio è funzione sia della energia cinetica degli elettroni, che dell’intensità del campo magnetico esterno. È, anche, possibile regolare il modulo della velocità degli elettroni ed il modulo di B in modo che l’intera circonferenza cada internamente al bulbo così che l’intero percorso risulti visibile (fig. 5), purchè in ambiente molto oscurato.

Il bulbo di vetro è pieno di idrogeno alla pressione di circa 10-2 Tor; la pressione è scelta allo scopo di rendere visibile il passaggio degli elettroni per condensazione. Per le scelte fatte, si ha, in modulo

F = e v B.Poichè F è perpendicolare istante per istante alla velocità v

F = ma = m v2 /rpertanto

e v B = m v2/rda cui r = mv / eB (2)

Fig 4. Direzione dei vettori nella legge di Lorentz.


La (2) afferma, in particolare, che il raggio r delle traiettorie circolari percorse dagli elettroni è diret-tamente proporzionale alla velocità degli stessi elettroni. La figura 6 simula la situazione che si viene ad avere internamente al bulbo di vetro: essa evidenzia, in modo particolare, che non esiste un’unica orbita sperimentale, bensi un gruppo di orbite (sia pure stretto) che indica l’esistenza di uno spettro di velocità degli elettroni: ciò anche se quelli che escono dal cilindro di Wehnelt vengono opportu-namente selezionati. Se si tiene conto che tutti sono stati sottoposti allo stesso lavoro elettrico, nel senso che tutti sono passati attraverso lo stesso campo elettrico, la diversa velocità degli elettroni all’uscita dal campo elettrico implica che diversa è la loro energia cinetica e quindi la loro velocità, all’atto della loro emissione da parte del filamento incandescente (emissione termoionica).

Dalle relazioni (1) e (2) risolvendo rispetto al modulo della velocità e confrontando si ottiene: e/m = 2 V / B2r2 (3)dovee = carica dell’elettrone;m = massa dell’elettrone «a riposo»;V = differenza di potenziale che genera il campo elettrico acceleratore all’interno del cilindro di

Wehnelt;B = il modulo del campo magnetico delle bobine di Helmholtzr = raggio della traettoria circolare percorsa dagli elettroni.

Il modulo del vettore induzione magnetica generato dalle bobine di Helmholtz vale (vedi appen-dice):

BH = μ (4/5)3/2 I N / R

doveN = numero di spire di una bobina; (130)R = raggio di una bobina; (0,156±0,002) mμ = permeabilità magnetica dell’aria che si può considerare pari a quella dello spazio vuoto, e dun-que: μ = 12, 57 10-7 H/m

pertanto, il modulo del campo B di Helmholtz, fissati N ed R, dipende solo dalla corrente che attra-versa ogni spira, motivo per cui si può scrivere che

B = 7, 450 10-4 I

Fig 5. Azione di incurvamento del fascio di elettroni nel tubo di Wehnelt.

Fig 6. Se il fascio di elettroni inizialmente è composto da elet-troni con velocità non molto prossime, accade che il pennello si allarga in quanto più l’elettrone è lento e più risulta deviato.


Dalla relazione (3) segue, poi, che il rapporto fra la carica elementare e e la massa m dell’elettrone dipende, solamente, da tre misure:1) il raggio r della traiettoria percorsa dagli elettroni;2) la differenza di potenziale V;3) l’intensità di corrente I.

Nel seguente elenco sono riportate le misure tipiche di I, V ed r ottenute dall’esecuzione dell’espe-rimento descritto.

Prima provaV = 165V I = 1,10A r = 0,050m (raggio intermedio)

da cui B = 8,572 ·10-4 W/m2 e/m = 1,796 1011 C/Kg.

Seconda provaV = 160 V I = 1,00 A r = 0,056 m (raggio intermedio)

da cui B = 7,793 10-4 W/m2 e/m = 1, 70 1011 C/Kg.

Terza provaV = 150 V I = 0,95 A r = 0,055 m (raggio intermedio)

da cui B = 7,40 10-4 W/m2 e/m = 1,80 ·1011 C/Kg.

Quarta prova (raggio intermedio)V = 165 V I = 1,15 A r = 0,046

da cui B = W/m2 e/m = C/Kg.

I conteggi di quest’ultimo caso sono lasciati da fare a titolo di esercizio.

Apparato sperimentale alternativo con il tubo di ThomsonÈ possibile eseguire le precedenti misure, anche senza visualizzare la traiettoria circolare completa dell’elettrone, misurando però lo scostamento dalla traiettoria rettilinea del fascio elettronico. Ciò può essere fatto con il tubo di Thomson (figura 7).Nel dispositivo in figura il cannoncino di Wehnelt (indicato da una freccia) produce un fascio di elet-troni, che procede verso destra, tra le due bobine di Helmoltz, e viene incurvato dal campo magne-tico. Uno schermo fluorescente (il rettangolo quadrettato di figura) intercetta il fascio, visualizzando di quanto e’ stato deviato dalla propagazione orizzontale.

Nella figura 8 viene mostrato come, misurando gli spostamenti verticale ed orizzontale dell’elettrone nella sua propagazione, sia possibile risalire al raggio della sua traiettoria.Attraverso il disegno 8 è possibile osservare che, note le coordinate (x,y) del punto di uscita del fascio dallo schermo, si risale al raggio della traiettoria imposta agli elettroni con semplici passaggi qui di seguito riassunti:

Per il rimanente valgono le stesse considerazioni già predisposte per il primo esperimento.


Campo magnetico di Helmholtz

Sia P un punto dell’asse di una spira scelto a distanza x dal centro (fig. 8): per ogni punto generico dell’asse il modulo del vettore induzione magnetica B è descritto dalla relazione

Br = μ/2 I R/r2 sin θ

doveR = raggio della spira;r = distanza del punto P da un punto della spira;I = corrente che attraversa la spira;μ = permeabilità magneta assoluta dello spazio in cui è immersa la spira;θ = angolo che r forma con l’asse della spira.

Se si tiene conto della disposizione nello spazio delle bobine di Helmholtz e cioè che sono situate su piani paralleli alla distanza, l’uno dall’altro, pari al raggio di ciascuna di esse, scegliendo come posi-zione del punto P, sull’asse della spira, quella a distanza R/2 dal centro, si ottiene:

sin θ= 2 /√5

Figura 7. Tubo di Thomson. Figura 8

Figure 7 a, b. Disposizione delle variabili relativamente al calcolo di B lungo l’asse di una spira.


relazione facilmente deducibile dalla figura 9 b). Sostituendo, si ottiene che il modulo del campo B generato lungo l’asse da una sola bobina costituita da N spire, alla distanza di R/2 dal suo centro, vale

BR/2 = ½ μ (4/5)3/2 I N / R

Infine, tenendo conto di entrambe le bobine, si raggiunge il modulo del vettore induzione B valido per il punto medio dell’asse fra le due bobine. Poichè dalla teoria si apprende che il vettore B, per i punti dell’asse fra le due bobine e per tutti i punti attorno a questi non cambia apprezzabilmente nè il modulo nè la direzione (direzione e verso non cambiano lungo l’asse), si conclude che il prece-dente valore rappresenta il modulo di B in tutti i punti dello spazio fra le due bobine confinato attorno all’asse. Questo è il campo di Helmholtz. Si ha, pertanto,

BH = μ (4/5)3/2 I N / R.

EFFETTO TERMOELETTRONICO E VALVOLE


Effetto TermoelettronicoL’effetto termoelettronico o effetto Edison , consiste nell’emissione di elettroni liberi da parte di un metallo portato all’incandescenza nel vuoto. In pratica, un fi lamento di metallo, in una ampolla a vuoto spinto, portato all’incandescenza, emette elettroni. L’emissione di corpuscoli negativi crea una carica spaziale negativa detta nube elettronica. Questo fenomeno è stato scoperto da Edison (1884) per fi lamenti di platino e carbone, ma si verifi ca anche per altre sostanze, ed è molto attivo nei metalli.

Verifi ca sperimentalePer studiare sperimentalmente l’effetto termoionico si ricorre al diodo di Fleming (fi g. 1) che con-siste in un’ampolla a vuoto spinto nella quale si trova un fi lamento f di tungsteno che si può portare all’incandescenza applicando una differenza di potenziale di circa 4÷6 V (fi g. 2).

Fig. 1. Diodo di Fleming: cimelio storico.


A parità di condizioni del tubo, l’emissione elettronica aumenta se si ricopre il fi lamento con un sot-tile strato (monoatomico) di ossido di torio o di ossido di bario. Gli ossidi di torio e di bario pre-sentano la caratteristica di avere un potenziale di estrazione molto basso. Un fi lamento di tungsteno con uno strato di ossido di torio o di bario fornisce una ricca emissione di elettroni anche a tempera-ture relativamente basse con il conseguente vantaggio di una più lunga durata del fi lamento stesso.Affacciato al fi lamento è posto un conduttore P detto placca o anodo (fi g. 2). Fra placca e fi lamento è inserita una batteria B che crea una tensione anodica, regolabile fi no a circa 250 V mediante un dispositivo potenziometrico.Il circuito è interrotto fra fi lamento e placca; se il fi lamento è spento, il milliamperometro in serie al circuito non segna corrente. Se, invece, si porta il fi lamento all’incandescenza, chiudendo così il cir-cuito, si osserva un passaggio di corrente, detta anodica perché la placca risulta positiva rispetto al fi lamento. Se, al contrario, il potenziale della placca risulta negativo rispetto a quello del fi lamento, non si ha corrente anodica. Ciò conferma l’ipotesi che il fi lamento incandescente emette solo carica negativa (elettroni): in effetti un campo elettrico orientato dall’anodo verso il fi lamento accelera cari-che negative verso la placca, nel qual caso si ha corrente anodica. Al contrario, un campo elettrico orientato dal fi lamento verso la placca respinge la carica negativa verso il fi lamento, e perciò non si ha più corrente anodica.Si possono ricavare le curve caratteristiche, allorché la placca è positiva rispetto al fi lamento, rego-lando la tensione della batteria anodica per tutto il suo campo di variabilità ed a diversi valori di tem-peratura del fi lamento. Si riesce a far variare la temperatura del fi lamento regolando la tensione appli-cata allo stesso. Ad es. fornendo prima 2 V, quindi 2,5 V ... 4,5 V.

Fig. 2a). Circuito generale. Fig. 2b). Circuito particolare del filamento.


Dall’esame delle varie curve caratteristiche, risulta possibile confermare le seguenti leggi che si devono a Richardson:1) “Si ha conduzione solo in un senso”: la corrente anodica Ia passa solo dalla placca positiva al fi la-

mento negativo. L’analisi della corrente anodica, fatta con tubi di forma conveniente, porta a sta-bilire che questa corrente è dovuta esclusivamente ad un fl usso di elettroni, perfettamente uguali a quelli che costituiscono i raggi catodici, e che si muovono dal fi lamento alla placca.

2) “La corrente anodica presenta il fenomeno della saturazione: inizialmente la corrente anodica cresce col crescere della tensione anodica. A partire da un dato valore, dipendente dalla tempera-tura del fi lamento, la corrente anodica rimane costante per quanto, entro termini ragionevoli, si possa aumentare la tensione anodica. La corrente di saturazione avviene allorché tutti gli elettroni emessi dal fi lamento sono attratti dalla placca (anodo).

3) Il valore della densità di corrente di saturazione Jsat dipende dalla temperatura assoluta T del fi la-mento e cresce con essa. Infatti, se si fornisce al fi lamento maggiore energia termica, più nume-rosi saranno gli elettroni espulsi.

La prima teoria dell’emissione di elettroni da parte di un metallo nel vuoto spinto fu elaborata da O.W. Richardson che, assimilando gli elettroni alle molecole di un gas, dimostrò che la densità di corrente di saturazione Jsat misurata dal numero di elettroni emessi nel vuoto da 1 cm2 di superfi cie emittente del metallo in 1 s, è data dalla relazione:

(1)

dove C e d sono due costanti caratteristiche della natura del metallo, T è la temperatura assoluta del fi lamento, e il numero di Nepero e k è la costante di Boltzmann.

Questa teoria dell’emissione elettronica non si adatta perfettamente ai risultati sperimentali e perciò fu modifi cata più tardi da H.A. Wilson, J.J. Thomson e dallo stesso Richardson con un ragiona-mento fondato sui principi della termodinamica nel quale il fenomeno della emissione elettronica è considerato equivalente alla evaporazione di un gas monoatomico.La nuova formula proposta da Richardson:

(2)

per l’emissione termoelettronica, è formalmente identica a quella ricavata più recentemente da Som-merfeld, partendo dalla moderna teoria elettronica dei metalli (basata sulla teoria dei quanti di ener-gia), che ha trovato per la densità Jsat della corrente di saturazione l’espressione:

(3)

dove:A è una costante universale uguale per tutti i metalli [ ];Wo= eVe è il lavoro di estrazione caratteristico per ogni tipo di fi lamento;T è la temperatura assoluta del fi lamento;e è il numero di Nepero;k è la costante di Boltzmann.


Rappresentando in un unico grafi co le curve caratteristi-che di un diodo riferentesi a temperature diverse del fi la-mento (fi g. 3), queste pre-sentano un tratto comune, quello precedente al punto di fl esso che preannuncia il valore di Jsat, di saturazione. Per ottenere una tempera-tura diversa del fi lamento è suffi ciente regolare la ten-sione di filamento entro il valore massimo consentito. Il tratto comune delle varie curve della corrente anodica in funzione della tensione anodica sono ben rappresen-tate dalla funzione (4)

studiata da Langmuir e Child.La costante k presente nella (4) dipende dalla sostanza del fi lamento ed anche dalla forma del diodo, ma non dipende dalla temperatura.

Lavoro di estrazioneNel fi lamento metallico vi sono elettroni liberi di conduzione formanti una specie di nube nella quale sono immersi gli ioni positivi del metallo: legame metallico.Riscaldando il fi lamento per effetto Joule, aumenta l’energia cinetica degli elettroni e se questa ener-gia raggiunge un certo valore, alcuni di questi elettroni riescono ad abbandonare il metallo.A tale proposito si ricorda che gli elettroni, per abbandonare il metallo, devono superare una barriera di potenziale Ve che il metallo forma mediante l’ultimo strato dei suoi atomi superfi ciali. Questa bar-riera di potenziale compie un lavoro -W0 sugli elettroni (con W0 > 0), pertanto gli elettroni dovranno possedere una energia cinetica almeno uguale o superiore a W0 che si defi nisce lavoro di estrazione del metallo. Per il tungsteno Ve vale 4,5 V

V (V) I (mA) I (mA) I (mA) I (mA) I (mA)10 0,006 0,008 0,012 0,021 0,03320 0,018 0,026 0,034 0,052 0,08040 0,031 0,055 0,080 0,118 0,20060 0,033 0,065 0,086 0,130 0,24580 0,034 0,068 0,087 0,135 0,268100 0,034 0,068 0,087 0,136 0,280120 0,034 0,069 0,088 0,136 0,290140 0,035 0,069 0,088 0,137 0,300160 0,035 0,070 0,089 0,137 0,305180 0,035 0,070 0,089 0,138 0,316200 0,036 0,071 0,090 0,138 0,325

Tab. 1 Effetto termoelettrico (Vf : 2.0 V; 2.2 V; 2.6 V; 3.0 V; 3.4V)

Fig. 3. Legge di Richardson – Sommerfeld.


Questa energia è fornita agli elettroni dall’energia termica. Più grande è la temperatura raggiunta dal fi lamento e maggiore risulta il numero degli elettroni che lasciano il metallo. Così, ad esempio, per un fi lamento di tungsteno la densità di corrente termoelettronica a 1000 K è di circa 10-17 A mm-2 mentre a 3000 K sale a circa 15×10-2 A mm-2 con un aumento relativo uguale a 15×1015.Si deve tenere presente, inoltre, che il lavoro di estrazione aumenta col numero di elettroni già espulsi: infatti se il numero di elettroni estratti è n, la carica totale nel metallo è n·e e pertanto l’(n + 1)-esimo elettrone subirà l’azione di una forza n volte più grande del primo estratto.Ad un certo momento un metallo, portato ad alta temperatura, non perderà che pochi elettroni perché si stabilisce un certo equilibrio fra il metallo e la nebbia elettronica che lo circonda.Perciò, per avere una emissione continua di elettroni, occorre captare quelli emessi (ad es. con la placca anodica) e sostituirli con altri che fl uiscono al metallo attraverso il circuito di placca. In tal modo si evita, fra l’altro, l’accrescimento del lavoro di estrazione.I dati della tab. 1 si riferiscono alle curve caratteristiche del diodo commerciale YA1000 per il quale

Le curve caratteristiche corrispondenti sono riportate in fi gura 4.

Fig. 4. Curve caratteristiche per temperature diverse.

Dall’analisi delle varie curve si prova1) che il grafi co presenta l’andamento della legge teorica di Richardson;2) che il grafi co comune alle varie curve caratteristiche segue l’andamento della legge di Langmuir

e Child.


Schema alternativo per la misura sull’effetto termoelettronico

La valvola ECC82 è un bitriodo e presenta le seguenti caratteristiche:

Dati sperimentaliVengono riportati in tabella e fi gura dati campione presi in una tipica misura

If (82 mA) If (90 mA) If (100 mA)Vf (4.40 V) Vf (5.34 V) Vf (6.51 V)

V (V) I1 (mA) I2 (mA) I3 (mA)0.0 0.000 0.000 0.000.3 0.000 0.004 0.020.5 0.006 0.031 0.101.0 0.121 0.280 0.591.5 0.210 0.675 1.242.0 0.239 1.045 1.972.5 0.255 1.329 2.653.0 0.267 1.542 3.323.5 0.279 1.640 3.914.0 0.288 1.660 4.454.5 0.295 1.682 4.905.0 0.303 1.700 5.306.0 0.315 1.738 5.887.0 0.327 1.769 6.228.0 0.335 1.790 6.409.0 0.341 1.804 6.5310.0 0.349 1.808 6.5511.0 0.358 1.812 6.6012.0 0.366 1.815 6.65

Fig. 5. Vf =12.6 V; if =(100 ... 150) mA; ia ≤ 15 mA; per ottenere le curve usare Vf ≤ 8 V zoccolo 906, lato piedini, per ECC82 ed ECC83.


AppendicePer l’analisi dei dati di una misura sull’effetto Termoelettronico è necessario stimare la temperatura del fi lamento. A tal fi ne bisogna fare una buona misura della corrente di fi lamento per ogni tensione di alimentazione e quindi seguire la seguente legge.La temperatura assoluta T del fi lamento di tungsteno si può calcolare mediante l’equazione

dove R0 e T0 rappresentano la resistenza e la corrispondente temperatura di uno stato noto.Per la misura iniziale di R0 alla temperatura ambiente T0 si procede con il tester. Per il tubo cui si rife-riscono i precedenti dati si ha:

Segue pertanto che le temperature del fi lamento relative alle precedenti ultime curve caratteristiche, sono rispettivamente:

.

Bibliografi a[1] Perucca E. (1942) Fisica Generale e sperimentale vol. 1 UTET, Torino.[2] Castagnoli C. (1981) Elementi di fi sica, vol. 3 SEI, Torino.[3] Montalbetti S. (1973 ) Trattato di Fisica elementare, vol. 3 Paravia, Torino.[4] De Marco A.(1977) Fisica vol. 3 Poseidonia, Bologna.[5] Bretschneider-Meissner Esperimenti di fi sica Ediscientifi ca

MISURE DI RESISTENZA ELETTRICA DEI MATERIALI, IN FUNZIONE DELLA TEMPERATURA

Marisa Michelini, Lorenzo SantiUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

La caratterizzazione di come varia la resistività elettrica dei materiali in funzione della loro tempe-ratura fornisce numerosi elementi per comprendere la natura dei materiali stessi e costruire semplici modelli delle loro proprietà elettriche.Per introdurre i concetti necessari a comprendere questa fenomenologia, consideriamo innanzitutto un semplice materiale conduttore, quale il rame.Un modello semiclassico, chiamato di Drude o modello a gas di elettroni liberi, spiega il fenomeno della conduzione elettrica nel seguente modo. Il materiale solido può essere considerato come un reti-colo cristallino con gli atomi fissi ai nodi. Gli elettroni di conduzione di ciascun atomo sono liberi di muoversi in questo reticolo, risentendo dell’azione degli atomi solo occasionalmente, quando col-lidono con essi.Questo modello è giustificato dalla struttura a bande energetiche degli elettroni di un solido cristal-lino: gli elettroni si distribuiscono su livelli energetici molto ravvicinati fra di loro, tanto da formare una distribuzione quasi continua. Questa distribuzione ha degli intervalli di stati non permessi (gap) che separano le fasce di stati permessi (bande). A causa del principio di esclusione di Pauli (che proi-bisce a due elettroni di occupare lo stesso stato), nello stato fondamentale del sistema, gli elettroni riempiono i livelli energetici di queste bande, a partire da quelle di energia più bassa. In una banda completamente occupata, gli elettroni non possono venire eccitati con processi a bassa energia, poi-ché, a causa del principio di esclusione, non possono “muoversi” in un altro stato (occupato) della stessa banda oppure in uno stato di un’altra banda (a causa dell’altro valore di energia necessario per superare il gap tra le bande). Solo gli elettroni nei livelli della banda ad energia più elevata (se solo parzialmente occupata, banda di conduzione) possono essere influenzati dall’esterno nelle situazioni in cui consideriamo il fenomeno di conduzione elettrica e quindi possono contribuirvi.In presenza di un campo elettrico E esterno, questi elettroni tendono ad accelerare, assumendo velo-cità crescenti nel tempo. Ad intervalli irregolari gli elettroni collidono con i nodi del reticolo cristal-lino e perdono completamente la velocità aggiuntiva causata dal campo elettrico e poi ritornano ad accelerare.In media, gli elettroni assumono una velocità (chiamata velocità di drift vd) che, per valori non troppo elevati del campo elettrico, risulta essere proporzionale ad E.Il rapporto μ = vd / E (chiamato mobilità) è una grandezza che dipende dalla natura degli atomi e dalla temperatura del materiale.Il moto di drift (deriva) degli elettroni viene osservato macroscopicamente in termini della densità di corrente J che esso comporta. (La densità di corrente viene definita come la quantità di carica che attraversa una sezione di area unitaria del conduttore, in un intervallo di tempo unitario).J però in questo modo risulta dipendere dal valore E del campo elettrico applicato: per caratterizzare quantitativamente le proprietà del materiale e non una singola situazione sperimentale, si preferisce far riferimento alla grandezza conducibilità elettrica σ,definita come rapporto tra la densità di cor-rente J circolante nel materiale ed il campo elettrico E che la causa, σ = J/E.σ è generalmente data dalla combinazione di tre diversi fattori

σ = n q μ

ove n è la densità dei portatori di carica nel materiale (elettroni per il rame), q la carica del singolo portatore e μ è la mobilità del portatore. Se nel materiale fossero presenti portatori di carica diversi, ognuna contribuente alla conducibilità, la conducibilità complessiva risulta essere la somma dei vari contributi.


Usualmente poi le proprietà di conduzione dei materiali non vengono espresse mediante la conduci-bilità, bensì il suo inverso, la resistività ρ = 1/σ.Se vogliamo studiare il comportamento della resistività in funzione della temperatura T del mate-riale, dobbiamo esaminare come questi tre fattori (n q μ) variano in funzione di T.

Materiali conduttoriIn un materiale conduttore, la temperatura T non influenza significativamente né la densità dei porta-tori di carica, né il valore della loro carica. Solo quindi la mobilità risulta essere influenzabile da T.Per vedere come ciò avviene, riprendiamo il modello di Drude. Supponiamo che in media un elet-trone subisca un urto con il reticolo cristallino ogni τ secondi: allora, l’aumento di velocità Δvmax che esso ha subito finito ad un istante immediatamente precedente all’urto è

Δvmax = τ q E / m

Ove m è la massa dell’elettrone (q E / m risulta così l’accelerazione dovuta al campo elettrico).Il valore medio della velocità di drift risulta essere metà di Δvmax (essa parte da 0 e cresce linear-mente) e quindi

vd = τ q E / 2m

La mobilità dell’elettrone risulta essere quindi

μ = τ q / 2m

Il parametro che definisce quindi la dipendenza di μ da T è il tempo medio tra due urti τ.τ può essere considerato come il rapporto tra la distanza media λ percorsa da un portatore di carica tra due urti (libero cammino medio) e la velocità media vterm con cui esso si muove (τ = λ/ vterm). Alla fine avremo

μ = λ q / (2m vterm)

(Vterm è la velocità quadratica media del moto termico degli elettroni, che per l’ipotesi di campi elet-trici E deboli, non risulta essere influenzata da E).In condizioni ordinarie, vterm per materiale conduttore non varia significativamente con la tempera-tura. Infatti, seconda la teoria a bande dei metalli, l’energia degli elettroni di conduzione è con buona approssimazione costante e pari alla cosiddetta Energia di Fermi: la variazione di energia dovuto all’aumento della temperatura risulta essere assolutamente trascurabile.

Per stimare invece λ, immaginiamo di seguire il moto di un elettrone che subisce N urti, mentre si muove (a zig zag tra un urto e l’altro) lungo un percorso di lunghezza L. Se supponiamo che (in media) l’elettrone subisce un urto quando arriva a distanza r o minore da un nodo del reticolo, allora il numero N di atomi che provocano le collisioni sarà dato dal volume di un cilindro di raggio r con asse la traiettoria dell’elettrone (π r2 L) per la densità natomi e quindi

λ = L/N = L /(π r2 L natomi) = 1/(π r2 natomi)

La distanza massima di interazione r dipende dalla temperatura. Gli atomi del reticolo cristallino vibrano attorno alla loro posizione di equilibrio e tanto mag-giore è l’ampiezza di oscillazione, tanto maggiore è la distanza massima r di interazione. Un semplice modello ad oscillatore armonico mostra che l’energia vibrazione Ev è proporzionale a r2. Per il principio di equiparti-zione dell’energia però abbiamo che Ev è proporzionale a kT (k costante di Boltzmann) e quindi alla fine risulta λ ∝ 1/T.


Propagando questa dipendenza dalla temperatura fino alla resistività, otteniamoρ ∝ T

I risultati ottenuti in questo modello, che sono solo approssimati per molti materiali e non tengono conto di effetti quantistici significativi, trovano riscontro nell’andamento osservato della resistività per il rame.Nella figura seguente è riportata la dipendenza di ρrame dalla temperatura, così come ricavato da Han-dbook of Chemistry and Physics (CRC)

Le deviazioni a bassa temperatura sono effetti quantomeccanici, non descrivibili con il modello semi-classico che abbiamo utilizzato-

Materiali semiconduttoriAll’inizio abbiamo affermato che solo gli elettroni della banda di conduzione contribuiscono, nei metalli, alla conduzione elettrica, mentre quelli della banda immediatamente sottostante (chiamata di valenza) non possono farlo in maniera significativa. Che cosa succede se la banda di conduzione risultasse completamente vuota?Poiché la conducibilità è proporzionale al numero dei portatori, ciò dovrebbe portare ad una condu-cibilità nulla. In realtà, a causa della eccitazione termica, per temperature assolute non nulle, un pic-colo numero di elettroni vengo eccitati dalla banda di valenza a quella di conduzione, generando una piccola conduzione. Inoltre, gli stati vuoti lasciati nella banda di valenza, permettono agli altri elet-troni di occuparli in risposta alla sollecitazione di un campo esterno, lasciando a loro volta libero il loro stato di partenza. Questo fenomeno di conduzione può essere modellizzato supponendo che lo stato mancante (lacuna) sia in realtà un portatore di carica con le stesse caratteristiche dell’elettrone, ma di carica opposta. In questi materiali quindi la conducibilità elettrica assume la forma

σ = n- q- μ- + n+ q+ μ+ (1)

(ove i due segni si riferiscono alla conduzioni di elettroni e di lacune, rispettivamente).In condizioni di equilibrio termico, il numero di portatori dei due segni sono legati tra di loro dalla relazione


n- n+ ∝ e -ΔE/kT (2)

ove ΔE è il gap in energia tra la banda di conduzione e quella di valenza. (Questa relazione deriva da una trattazione dell’equilibrio termico tra i processi di creazione di coppie elettroni-lacune per ecci-tazione termica e della loro ricombinazione)Poiché tipicamente ΔE >> kT (ΔE è dell’ordine di qualche elettronVolt, mentre kT è alcuni ordini di grandezza più piccolo), il numero di portatori di carica è estremamente piccolo e la capacità di condurre corrente elettrica dipende in maniera drastica dal valore di ΔE. Per valori di ΔE prossimi o inferiori a 1 eV, la conducibilità elettrica del materiale risulta essere non trascurabile, anche se di svariati ordini di grandezza inferiore a quella dei metalli: tali materiali vengono chiamati semicon-duttori. Per valori significativamente superiori, il materiale viene considerato isolante, cioè inadatto alla conduzione elettrica.In un materiale semiconduttore puro, il numero di elettroni di conduzione è uguale a quello delle lacune formatesi, per cui all’aumentare della temperatura, entrambi aumentano in maniera esponen-ziale. Ciò fa aumentare in egual misura la conducibilità: la dipendenza dalla temperatura della mobi-lità (essenzialmente simile a quella dei conduttori metallici), pur se di tendenza opposta, è più debole e non riesce a contrastare tale crescita. Ne segue che la resistività di un semiconduttore puro (o intrin-seco) tende a diminuire con l’aumentare della temperatura.La situazione cambia drasticamente nel caso in cui il materiale semiconduttore sia contaminato (dro-gato) con elementi di valenza chimica diversa. In questo caso si vengono a creare degli stati energe-tici nella zona di gap tra la banda di conduzione e di valenza.Nel caso sia un drogante “donatore” di elettroni (cioè ha una valenza superiore al materiale semi-conduttore) viene a crearsi un livello supplementare, nella zona del gap, prossimo al limite inferiore alla banda di conduzione. Questi elettroni vengono facilmente eccitati alla banda di conduzione e quindi è possibile ipotizzare che tutti gli elettroni supplementari degli atomi droganti passino siano disponibili al processo di conduzione elettrica. Poiché la relazione (2) vale ancora per questo mate-riale, ne segue che per densità Ndon degli atomi droganti sufficientemente elevate (n-≥ Ndon) la den-sità di portatori di carica positivi n+ è completamente trascurabile. Il materiale si dice quindi drogato di tipo n, poiché i portatori di maggioranza sono elettroni.In maniera analoga, se viene usato un drogante “accettore” di elettroni (con valenza inferiore al mate-riale semiconduttore), si crea una situazione simmetrica, questa volta però con un livello elettronico (vuoto) presso il limite della banda di valenza, che ingenera una maggioranza di portatori di carica positivi (lacune) e quindi il semiconduttore si dice drogato di tipo n.In entrambi i casi, nell’espressione (1) della conducibilità sopravvive un solo termine (positivo o nega-tivo a seconda del drogante). Poiché il numero di portatori è circa costante, fissato dalla densità del drogante, il comportamento del semiconduttore è simile a quello di un normale conduttore (a parte il valore estremamente più basso della conducibilità) e la sua dipendenza dalla temperatura deriva unicamente da quella della mobilità. Ne segue che, come per un conduttore metallico, la resistività di un semiconduttore drogato dovrebbe aumentare con l’aumentare della temperatura.Quando però, continuando ad aumentare la temperatura, la densità di portatori di minoranza (cioè quelli di segno opposto a quelli di maggioranza) diventa confrontabile con quella del drogante, allora accadono due fenomeni1) Il contributo dato alla conducibilità dai portatori di minoranza non è più trascurabile2) La densità dei portatori di maggioranza non è più costante, ma risente dell’eccitazione termica di

nuove coppie elettroni-lacune.Riassumendo, al di sopra di una certa temperatura di soglia, che dipende dalla concentrazione del drogante, il semiconduttore rincomincia a comportarsi come un semiconduttore intrinseco, e la sua resistività incomincia a diminuire con la temperatura.Nella figura viene mostrato il comportamento di un campione di silicio drogato p, misurato con il dispositivo sperimentale che verrà usato in laboratorio


Materiali superconduttoriIl fenomeno della superconduttività fu scoperto nel 1911 da H. Kamerling Onnes, studiando il compor-tamento del mercurio solido, a temperature prossime a quelle dell’Elio liquido (circa 4K): alla tempe-ratura di 4.2K, il mercurio sembrava diventare un conduttore perfetto (la sua resistività si annullava).Questo risultato era inaspettato: si sapeva che i conduttori hanno una resistenza elettrica che dimi-nuisce con la loro temperatura, ma anche a temperature prossime allo zero assoluto, un campione di rame presenta una resistività non nulla dovuta ad impurità e difetti del materiale.Nel mercurio invece (ed in altri materiali, scoperti successivamente), la resistività cade bruscamente a valori nulli o comunque non rilevabili, non appena il conduttore viene portato ad una temperatura inferiore ad un valore critico (temperatura critica TC). Questo comportamento di brusca discontinu-ità, e’ indice di una transizione di fase per lo stato del materiale e le sue caratteristiche elettriche.Si incominciò a comprendere le ragioni di tale comportamento solo più tardi, quando nel 1933, quando Meissner e Ochsenfeld scoprirono che al di sotto della tempe-ratura critica di transizione alla fase superconduttiva, il mate-riale immerso in campo magnetico relativamente debole, tende ad annullare il campo magnetico al suo interno, “espellendo le linee di campo” (effetto Meissner).Questo effetto è dovuto all’insorgere di correnti permanenti sulla superficie del materiale superconduttore a causa del campo magnetico esterno, che inducono un ulteriore campo che si oppone ed annulla quello esterno.Per campi magnetici al di sopra di una certa soglia (dipendente dalla temperatura e dalla natura del superconduttore) l’effetto Meissner scompare. Il modo con cui avviene permette di clas-sificare i materiali superconduttori in due categorie.Tipo I (tipicamente materiali puri, con temperature critiche estre-mamente basse). La superconduttività scompare improvvisamente quando il campo magnetico supera un valore critico Hc, dipendente dalla temperatura e dal tipo di materialeTipo II (tipicamente leghe e materiali compositi, con temperature critiche elevate). Per questi mate-riali, la superconduttività non scompare quando il campo magnetico esterno aumenta ma, al di sopra di un certo valore di soglia HC1, alcune zone del materiale diventano non superconduttive, intrap-polando linee di campo (effetto pinning). Queste regioni intrappolate permangono anche quando il campo esterno viene rimosso, mantenendo una sua “memoria”. Aumentando ulteriormente il campo, fino a superare un secondo valore critico HC2, tutto il materiale diventa non superconduttore.


I materiali di tipo II possono raggiungere temperature critiche di transizione molto più elevate dei materiali puri: ad esempio il materiale semiconduttore che verrà usato in laboratorio, una ceramica di composizione Y Ba2 Cu3 O7 (Ittrio, Bario, Rame ed Ossigeno, abbreviato comunemente in YBCO), raggiunge lo stato superconduttivo a temperature dell’ordine di 90K. Tali temperature possono essere facilmente raggiunte in laboratorio usando l’azoto liquido (che bolle a pressione atmosferica a 77K) e quindi permettono di effettuare in maniera semplice delle misure di resistività dal comportamento superconduttore a quello normale a temperatura ambiente.In figura è mostrato l’esito di una di queste misure

Notiamo come ad una temperatura di poco inferiore ai 90K, la resistenza del campione diminuisce in maniera brusca, fino ad annullare completamente la resistenza. Per temperature superiori a quelle di transizione, il materiale si comporta come un normale conduttore, aumentando la resistenza con l’aumentare della temperatura.La transizione di fase non è netta, poiché la temperatura critica della miscela dipende fortemente dalla quantità di ossigeno presente nella ceramica: piccole disomogeneità creano una distribuzione di temperature critiche, che si riflettono sulla pendenza del tratto di transizione.La temperatura a cui si incomincia a notare lo scostamento della curva dal comportamento “condut-tore” corrisponde alla temperatura critica di un campione “ideale”, perfettamente omogeneo.

EFFETTO HALL

Mario Gervasio, Marisa Michelini, Lorenzo SantiUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Obiettivi: Misurare il coefficiente di Hall su campioni metallici ed a semiconduttore. Determinare il segno ed il numero dei portatori liberi e la mobilità di deriva degli stessi.Il modello classico (a gas di elettroni liberi) considera gli elettroni di valenza come un gas di parti-celle che si muovono in maniera disordinata all’interno del reticolo cristallino del metallo.Prendiamo in considerazione un campione (uno strato di materiale di forma paral-lelepipeda) come indicato in Figura 1, immerso in un campo magnetico uniforme di intensità B e diretto secondo l’asse z. Si fa passare una corrente di intensità Ix diretta lungo l’asse delle x.Gli elettroni, sotto l’effetto del campo elet-trico Ex, acquistano una velocità di deriva v nel verso contrario al campo elettrico. Essi risultano pertanto sottoposti alla forza di Lorentz FL = q · v · B diretta lungo l’asse delle y negative e tendono quindi ad accumularsi sulla faccia del campione perpendicolare all’asse y e posta verso chi guarda la figura.Questo accumulo di cariche determina una differenza di potenziale VH tra le due facce del campione perpendicolari all’asse y. Il campo elettrico EH che si viene a generare (campo di Hall) determina una forza elettrica q · EH uguale ed opposta alla forza di Lorentz nei termini che EH = v · B dalla quale si evidenzia che il campo di Hall è direttamente proporzionale sia al campo magnetico B che alla velocità di deriva v.

Si definisce il coefficiente di Hall come RH = EH /(Jx · B) dove EH = v · B. Ricordando cheJx = Ix / a · s = q · n · v si ottiene

RH = v B / (q · n · v B) = 1/ q · n = - 1/ e · n (1.1)

quindi la misura di RH ci permette di conoscere la concentrazione n dei portatori liberi.

La misura della conducibilità elettrica σ, associata alla misura di RH ci permette inoltre di conoscere la mobilità di deriva μ, definita come rapporto tra la velocità di deriva v ed il campo elettrico Ex

RH σ = RH (Jx / Ex) = 1/ q · n (q · n · v · μ / v) = μ (1.2)

Per effettuare la misura del coefficiente di Hall è necessario misurare VH, Ix, B e lo spessore del cam-pione s, in quanto RH = EH / (Jx · B) dove EH = VH / a e Jx = Ix / a · s e pertanto

RH = VH · s / (Ix · B) (1.3)

Misura su campioni metalliciL’ordine di grandezza di RH per i metalli più comuni è dell’ordine di 10-11 m3 C-1 ed è chiaro che per avere valori di VH misurabili occorrerà utilizzare un campo magnetico sufficientemente intenso (un valore facilmente ottenibile è di 1 T), una corrente elevata (almeno 10 A) ed uno spessore del cam-pione ridotto a qualche centesimo di millimetro.

Figura 1. Geometria dell’effetto Hall.


Dalla relazione (1.3) si evince che, anche con spessori del campione di qualche micron, la tensione di Hall VH risulterà dell’ordine di pochi microvolt e sarà quindi necessario l’utilizzo di un amplifica-tore con guadagno almeno 1.000 ed una altissima impedenza di ingresso.Per la misura del campo magnetico B viene utilizzata una sonda ad induzione collegata ad un inte-gratore di carica.Per un campione di Rame di spessore 30 μm, sottoposto ad un campo magnetico di 0,98 T, si sono ottenuti i seguenti risultati:

L’interpolazione lineare dei dati ottenuti fornisce RH = - 5,8 · 10-11 m3/ C

In letteratura si trova. Lo scostamento da questo valore è dovuto principalmente alla incertezza data dagli errori sullo spessore del campione e sul valore di B.Dalla 1.1 si ricava che la concentrazione degli elettroni liberi n, col valore da noi ottenuto per RH è:

n = 1/(e · RH) = 1 / (1,6·10-19 · 5,8·10-11) = 10,8·1028 m-3

Il confronto di questo risultato con il valore della previsione teorica (n ≈ 8,5·1028 m-3) conferma che entro un margine di errore del 22 % la prova sperimentale conferma le previsioni del modello a gas di elettroni liberi.Le previsioni del modello a gas di elettroni liberi trovano conferma sperimentale per la tutti i metalli del gruppo I della tabella di Mendeleev, ma non, ad esempio, per quelli del gruppo II. Questi metalli hanno addirittura un valore di RH positivo come se i portatori liberi non fossero elettroni ma cari-che positive.I risultati ottenuti per un campione di Zinco di spessore 30 μm, sottoposto ad un campo magnetico di 0,99 T, sono evidenziati nella Figura 3.Per poter spiegare queste anomalie occorre introdurre nuovi concetti, come la teoria delle bande di energia per gli elettroni.Il segno positivo di RH per questi metalli si spiega in quanto per essi la banda di valenza risulta essere quasi piena. L’agitazione termica porta alcuni elettroni ad occupare i livelli più alti di tale banda e quindi in essa rimangono presenti livelli energetici non occupati, ossia delle lacune che, sottoposte all’azione del campo elettrico E si muovono, intuitivamente, nel verso del campo elettrico stesso come fossero cariche positive.

Figura 2. tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,98T.


Misura su campioni a semiconduttoreLe misure verranno effettuate su campioni di Ge con drogaggio sia di tipo P che di tipo N.Il coefficiente di Hall dei semiconduttori è di molti ordini di grandezza inferiore a quello dei metalli, dato il numero nettamente inferiore dei portatori liberi. L’esperimento richiede correnti di polarizza-zione dei campioni dell’ordine dei mA per ottenere tensioni di Hall già dell’ordine dei mV.Anche per i semiconduttori i risultati sperimentali evidenziano il fatto che il segno della tensione di Hall non è sempre negativo e questo naturalmente mette in discussione il modello a gas di elet-troni liberi.Vi è inoltre una osservazione da fare e riguarda la deviazione dalla linearità che si riscontra per i valori più elevati della corrente di polarizzazione. Ciò è dovuto al fatto che RH diminuisce al cre-scere della temperatura ed addirittura, nel semiconduttore di Ge drogato P, si riscontra l’inversione

Figura 3. Tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,99T.

Figura 4. Tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,427 T.


del segno della tensione di Hall qualora si riscaldi con un phon il campione mentre si trova tra le espansioni polari del magnete.Le prove su un campione di GeP sono state effettuate introducendo il campione nel campo magne-tico prima in un senso e poi ruotato di 180° (ciò equivale ad invertire la direzione di B).In un secondo tempo si è fatta la media delle due letture (in modulo) e questo per annullare total-mente l’effetto della d.d.p. dovuta al non perfetto allineamento dei contatti trasversali del campione su una linea equipotenziale.In Figura 4 sono riportati i risultati ottenuti nelle due serie di letture ed in Figura 5 la media delle misure effettuate.

Figura 5. Valore medio, sulle misure precedentemente effettuate, della tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,427 T.

Figura 5. Tensione di Hall VH in funzione della corrente I per B = 0,46 T.


Dal fit del grafico otteniamo per RH il seguente valore:

RH = VH s / (Ix B) = (VH / Ix) · s /B = 3,02 ·10-2 m3/ C

Misurando anche la resistenza elettrica del campione, le sue dimensioni e calcolandone quindi la resi-stività si può anche calcolare la mobilità di Hall (per questo campione ρ=15 Ω cm):

μ H = RH / ρ = 0,201 m2V-1s-1

La mobilità di Hall, per campioni di Ge fortemente drogati, deve risultare circa uguale alla mobilità di deriva (3900 cm2V-1s-1 per gli elettroni e 1900 cm2V-1s-1 per le lacune)La concentrazione dei portatori liberi (nel nostro caso lacune) risulta p = 2,1 ·1020 m-3

I risultati ottenuti per un campione di GeN dello spessore di 1,65 mm sottoposto ad un campo magne-tico di 0,46 T sono riportati in Figura 5.Dal fit del grafico otteniamo per RH il seguente valore:

RH = VH s / (Ix B) = (VH / Ix) · s /B = - 3,23 ·10-3 m3/ C

Capitolo 4. Percorsi

AVVICINARSI ALLA TEORIA DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Marisa Michelini, Alberto StefanelUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

Indicazioni generali1. Obiettivi generaliCi si propone in questa sede di fare i primi passi verso una visione sintetica della fisica quantistica ed il formalismo che la sostiene.Si tratta pertanto di un’introduzione delle idee della fisica quanti-stica a partire dal riconoscimento del ruolo del principio di sovrapposizione per la comprensione dello stato quantico.

2. Motivazioni e scelte rispetto al quadro concettualeLe idee che costituiscono il fondamento della fisica quantistica fondano una nuova meccanica: la meccanica quantistica. Esse modificano in modo sostanziale, spesso antiintuitivo, quelle della mec-canica classica e rappresentano un nuovo modo di guardare la realtà, capace di interpretare i feno-meni a livello microscopico. Dopo quasi un secolo dalla sua formulazione è sempre più vasto il suo impiego in tutta la ricerca scientifica, in particolare nella scienza dei materiali, nella fisica atomica e delle particelle elemen-tari. Si sente la necessità che essa diventi parte integrante del patrimonio culturale di tutti: essa viene infatti prevista nell’insegnamento della fisica secondaria dei Paesi europei. Il problema di come impostarne la didattica è però ancora aperto sia per le difficoltà concettuali, sia per le difficoltà formali intrinseche nel profondo cambiamento del modo in cui interpretare la fenomenologia1 . Nel quadro di un’ampia offerta divulgativa di aspetti sorprendenti del modo di pensare quantistico, si sente la necessità di una trattazione per la didattica che permetta di riconoscere l’unitarietà del qua-dro concettuale: le idee teoriche di fondo, con il formalismo, che dà loro un ruolo preciso.

(1) Molto variegato in peso e in contenuti è soprattutto il materiale a livello secondario. Per un quadro delle possibili impostazioni è ancora attuale il volume: A. Loria, P. Thomsen, Seminar on the teaching of physics in schools 2, GIREP, Gylendal, 1975. Una discussione interessante e più aggiornata in italiano si trova nei quaderni Q3 (1992) e Q7 (1997) de La Fisica nella Scuola. Completa il quadro delle proposte il seguente lavoro di grande interesse generale e fondante dell’approccio basato sulla ricostruzione razionale dei concetti: E. Fabri, "Come introdurre la fisica quantisúca nella scuola secondaria superiore", La Fisica nella Scuola, XXIX, 1 suppl. (1996), p. 63.

Fig. 1. Il quadro riassume le motivazioni che stanno alla base delle nostre proposte.

OggiDescrizione del mondo quantica

Discussione di aspetti crucialiconcetti cardine

elementi peculiari

Programmi di fisica per SSS in Europa

Difficoltà concettualiProgrammi BroccaQuale impostazione Storico fenomenologica?

Difficoltà formali Conoscenze di fisica di base

200 Capitolo 4. Percorsi

3. Impostazione (percorso concettuale)L’approccio ondulatorio costituisce la modalità più rigorosa con cui avvicinarsi gradualmente alla nuova meccanica, ma si appoggia su prerequisiti di competenza in fisica e in matematica non comu-nemente presenti a livello secondario; inoltre richiede un processo lungo e attento sia all’analisi formale sia a quella concettuale per processi analogici di graduale avvicinamento al nuovo modo di guardare: resta in ombra la sintetica potenzialità del formalismo vettoriale, che fonda la nuova meccanica.Il passaggio dal continuo al discreto nella rappresentazione delle grandezze fisiche è uno dei fatti più rilevanti della meccanica quantistica. La fisica dei quanti è pertanto un approccio affascinante e motivante, che consente una ricostruzione razionale delle idee, che hanno portato alla quantizza-zione delle principali grandezze descrittive dello stato dei sistemi microscopici. Si può effettuare mediante un’analisi storica dei problemi irrisolti e/o degli esperimenti classicamente non spiegabi-li2. Comporta tuttavia per alcuni aspetti una trattazione a livello fenomenologico, che lascia sul piano qualitativo ipotesi, che richiederebbero argomentazioni puntuali e giustificazioni formali. La dimensione descrittiva appare insoddisfacente sul piano didattico e non può essere assunta come modalità di costruzione di una conoscenza di base in tale campo, se non viene completata dalle principali idee su cui la meccanica quantistica si fonda. A tale scopo serve produrre consapevolez-za degli assunti di riferimento della nuova meccanica e offrire qualche indicazione sul formalismo in essa adottato, perché esso assume in meccanica quantistica un ruolo quasi concettuale.La scelta che si fa in questa sede punta all’introduzione della teoria, mediante la trattazione di concetti cardine e di elementi peculiari della meccanica quantistica. Si tratta di un approccio alle idee teoriche, a quelle scelte formali che determinano il significato degli enti3.Essa comporta:a) sul piano disciplinare: di affrontare subito il concetto di stato quantico e il principio di sovrap-

posizione.b) sul piano didattico: di far riferimento ad una fenomenologia che evidenzi in modo semplice

proprietà descritte quantisticamente da uno stato.Si propone la fenomenologia della polarizzazione, come proprietà quantistica della luce, da analiz-zare mediante semplici esperimenti ideali di interazione dei singoli fotoni con polaroid e materiali birifrangenti (cristalli di calcite). In questo quadro, esaminando situazioni specifiche con il bagaglio culturale di uno studente di scuola secondaria, si possono discutere a fondo nuclei fondanti della meccanica quantistica, come il concetto di stato ed indeterminismo quantico, proprietà incompatibili, non località e processo di misura.Il comportamento dei fotoni polarizzati linearmente nell’interazione con polaroid permette il rico-noscimento del principio di indeterminazione e dell’indeterminismo quantistico. L’interazione dei fotoni con cristalli birifrangenti fa riconoscere come lo stato di polarizzazione a 45° sia associato al vettore somma degli stati ortogonali componenti e non possa essere considera-to una loro miscela statistica. Essa permette di evidenziare anche l’impossibilità di attribuire un preciso cammino ai singoli fotoni, oppure, secondo teorie alternative, di dover ammettere un com-portamento non classico dei fotoni nelle interazioni.

(2) Si unifichino qui tre impostazioni diverse (storica, per problemi, di ricostruzione razionale delle idee di fondo) che focalizzano l’attenzione sul riconoscimento della natura discreta di alcune principali grandezze descrittive degli stati e dei processi microscopici. Come la fisica dei quanti sia stata necessaria, ma non possa essere rappresentativa della meccanica quantistica è descritto in vari lavori di storia della fisica e in scritti divulgativi. Ne citiamo tre: B. Ferretti, Le radici classiche della meccanica quantistica, Torino, Boringhieri, 1980; Toraldo di Francia, Le cose e i loro nomi, Bari, Laterza, 1986; E. Bellone, Caos e armonia, Torino, Utet, 1990.(3) Ciò implica un approccio ai sistemi quantistici secondo l’impostazione di Dirac (P?.A.M. Dirac, I principi della meccanica quantistica, Torino, Boringhieri, 1959) con quelle belle estensioni proposte da Sakurai (J.J. Sakurai, Mec-canica quantistica moderna, Zanichelli, Bologna, 1996).


Dagli esiti degli esperimenti ideali si introduce il concetto di proiettore, con il quale si costruisco-no il concetto di operatore e quello di grandezza misurabile come soluzione agli autovalori. Il problema della teoria quantistica della misura, della descrizione dei macroggetti e la non loca-lità vengono proposti nello stesso contesto, con esemplificazioni nella fenomenologia della diffra-zione di particelle ed analogie nel mondo macroscopico. Fig. 2.

4. ApproccioL’approccio attraverso la legge di Malus permette il riconoscimento di uno stato associato ad una proprietà fisica e consente di evidenziare come l’interazione della luce con polaroid svolge il doppio ruolo di preparazione e misura rispetto ad uno stato di polarizzazione dei fotoni.

5. Strategia didatticaL’analisi fenomenologica di semplici situazioni sperimentali esplorate sul piano operativo ed ana-lizzate in termini di esperimenti ideali motiva e sostiene ipotesi interpretative, che ricadono sulla stessa fenomenologia, per un confronto che permette di costruire con gradualità le caratteristiche degli enti formali, che entreranno a far parte del modello interpretativo. Il continuo passaggio dal fenomeno alla sua rappresentazione ideale e dagli esiti dell’esplorazione al significato dei risultati porta ad identificare gli enti formali e a studiarne l’adeguatezza in una collana di situazioni, per costruirne l’autonomia di impiego.

6. PrerequisitiLa polarizzazione è considerata come una proprietà da analizzare per le intrinseche peculiarità: non è richiesta un’interpretazione riferita alla descrizione della luce come onda elettromagnetica. Il fotone come particella capace di descrivere i comportamenti della luce e di render conto della sua natura viene invece assunta come conoscenza consolidata da utilizzare per interpretare le situazioni proposte.La rappresentazione vettoriale delle grandezze fisiche e le più elementari leggi di composizione dei vettori in uno spazio bidimensionale sono gli strumenti concettuali di riferimento per l’analisi pro-posta. È pertanto opportuno che vi sia un po’ di familiarità prerequisita nella loro gestione.

Il principio di sovrapposizione linearePerché? - Che cos’è?

La discussione di una serie di esperimenti con polaroid e cristalli di calcite

La rinuncia alle visioni classiche:una discussione da due punti di vista

Introduzione delle idee della fisica quantistica e il ruolo del principio di sovrapposizione lineare

Le conseguenze:il principio di indeterminazione

l’indeterminismola descrizione dei macroggetti e il problema della misura

la non località

Fig. 2. I punti nodali della nostra proposta.


7. Il filo e i suoi contenutiLa presentazione dei contenuti qui riportata è sintetica, volutamente scarna, per offrire all’insegnan-te strumenti operativi di un percorso concettuale. L’illustrazione dei semplici esperimenti ideali traccia il filo di un’analisi rigorosa in cui le situazioni scelte sono quelle necessarie per il riconosci-mento dei concetti. Una rappresentazione iconografica delle situazioni, con scelte grafiche studiate per dare significato ad alcune idee, sostiene l’analisi concettuale degli esperimenti secondo una sequenza che rappresenta la nostra proposta.È lasciata all’insegnante la modalità di integrazione di questo percorso con attività di raccordo con altri ambiti conoscitivi, così come quella di approfon-dimento e consolidamento dei concetti. In questo fascicolo presentiamo una proposta minimale di esperimenti sulla polarizzazione che consentono di contestualizzare il percorso proposto. Si rimanda al sito internet www.fisica.uniud.it/URDF/ per ulteriori spunti, strumenti didattici, ri-sorse e alla bibliografica per approfondimenti.

8. Il percorsoUna sequenza di concetti per esplorare le caratteristiche e il significato del formalismo della mec-canica quantistica, con prerequisiti minimi.• Si costruisce un’idea qualitativa del principio di sovrapposizione: - Si discutono alcune semplici esperienze di interazione di polaroid e cristalli birifrangenti con

fotoni polarizzati linearmente.• Si capiscono alcuni concetti fondamentali: I - Lo stato di un sistema fisico è definito dalle proprietà fisiche che possono essere attribuite

con certezza al sistema stesso.

Fig. 3. I fotoni vengono preparati in un opportuno stato di polarizzazione. Ad essi può essere associata operativamente una definita proprietà.

II - Due stati sono “fisicamente ortogonali” quando le proprietà fisiche che li definiscono sono mutuamente esclusive.

III - I possibili stati in cui possiamo trovare un sistema fisico, dopo che è stato sottoposto ad un processo di misura, sono mutuamente ortogonali.


• Si rende plausibile che lo stato di un fotone polarizzato linearmente possa essere descritto da un vettore appartenente ad uno spazio vettoriale.

• Si assume che la fisica classica descriva correttamente il comportamento medio di un grande nu-mero di fotoni.

• Si stabilisce il legame tra il prodotto scalare di due vettori e la probabilità di transizione tra i cor-rispondenti stati fisici.

• Si estendono questi risultati ad un sistema fisico generico. A - Si introduce la rappresentazione degli stati fisici in termini di ampiezze: Il vettore di stato di

polarizzazione lineare: può essere scritto come combinazione lineare di due versori mutuamente ortogonali correlati a proprietà mutuamente esclusive.

I coefficienti di tale combinazione sono detti ampiezze e forniscono una descrizione alternativa per lo stato di un fotone.

B - Si correlano il concetto di ampiezza e la definizione di stati “ortogonali”: la sovrapposizione tra due stati ortogonali è rappresentata da una coppia di ampiezze.

È quindi legittimo ammettere che la sovrapposizione tra n stati ortogonali venga rappresentata da una n-pla di ampiezze.

• Il ruolo degli operatori lineari emerge dal problema di calcolare il valore atteso di una osservabi-le fisica.

9. Preparazione di luce polarizzata e legge di MalusSe si fa incidere luce non polarizzata su un polaroid: la luce emergente dal polaroid risulta sempre polarizzata lungo la direzione permessa del polaroid. (Fig. 4) È questo il modo in cui si può preparare luce polarizzata linearmente in una direzione scelta.Se si fa incidere luce polarizzata linearmente su un polaroid, il fascio luminoso risulta attenuato secondo la legge di Malus:

Itrasm = Iinc cos2 ϑ

ove Itrasm è l’intensità luminosa del fascio emergente, Iinc quella del fascio incidente e ϑ è l’angolo compreso tra la direzione di trasmissione (o permessa) del polaroid e la direzione di polarizzazione della luce incidente. Facendo incidere su polaroid fasci di luce polarizzati linearmente (ad esempio preparati da altri polaroid opportunamente orientati) emergono fasci con:→ intensità attenuata secondo la legge di Malus.→ polarizzati secondo la direzione permessa del polaroid.

10. Validità della legge di Malus per il singolo fotoneL’analisi effettuata su fasci di luce pone il problema della rappresentazione microscopica del pro-cesso ed in particolare porta con sé la domanda se il comportamento osservato è un fenomeno collettivo o del singolo fotone.È pertanto opportuno ripetere l’esplorazione fenomenologica eventualmente effettuata con intensità luminosa decrescente per registrare lo stesso comportamento.Ammesso che l’intensità luminosa sia descritta dal numero di fotoni che compongono il fascio di luce, la validità della legge di Malus al diminuire dell’intensità porta ad escludere che i risultati osservati dipendano da fenomeni collettivi di interazione tra fotoni.

* NOTA: I contenuti del ragionamento proposto in questa Parte II, sono il risultato del lavoro svolto con G. Ghirardi e R. Grassi.


11. Stato quantico, vettore che lo descrive e principio di sovrapposizioneIn un quadro classico di descrizione della luce come onda elettromagnetica, la direzione di polariz-zazione coincide con quella del campo elettrico della radiazione incidente. Il quadro mentale per l’analisi della fenomenologia di seguito proposta fa riferimento alla rappre-sentazione di stato in meccanica quantistica.In fisica quantistica, lo stato di ogni sistema è descritto da un vettore appartenente ad uno opportu-no spazio vettoriale (spazio di Hilbert). Tra i casi più semplici di spazi di Hilbert, che si possono

luce incidente non polarizzata

filtro polaroid con direzione permessa

orrizzontale

luce emergente polarizzata orrizzontalmente



verticale

luce emergente polarizzata verticalmente



a 45°

luce emergente polarizzata a 45°

Se si diminuisce l’intensità luminosa del fascio incidente: stesso comportamento.

I risultati della legge di Malus NON dipendono da fenomeni collettivi di interazione tra fotoni.

Fig. 4. Un fascio di luce non polarizzata incide su un polaroid. La luce emergente è polarizzata linearmente secondo la direzione permessa del polaroid.


considerare ci sono quelli che hanno dimensione 2, come quello associato agli stati di polarizzazio-ne dei fotoni e quello di spin 1/2 di una particella. Gli stati di polarizzazione della luce sono infatti descritti quantisticamente da spazi vettoriali di dimensione 2, come lo spin, e ciò semplifica la comprensione di come sia la stessa natura vettoria-le, che descrive la proprietà degli stati quantici. Se u e v sono due vettori corrispondenti a due diversi possibili stati di un sistema fisico S allora, se-condo il principio di sovrapposizione, anche lo stato w = u + v è uno stato possibile per il sistema S.Ovviamente tutti gli stati del tipo u + αv con α coefficiente complesso sono possibili stati del siste-ma. Qui e in seguito abbiamo supposto che α sia reale, per evitare l’utilizzo dei numeri complessi non essenziale nella impostazione scelta. Questo fatto, tuttavia, non limita in alcun modo la generalità delle conseguenze discusse.

Fig. 5. Schema per la costruzione del principio di sovrapposizione.

cardine del distacco dalla visione classica

impone una nuova concezione nella descrizione dei fenomeni

Sistema fisico S

stato u stato vvettore u vettore v

principio di sovrapposizione

stato u + v

IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

anche quando si consideri una teoria alternativa in cui viene reintrodotto il principio di causalità e in cui si usano concetti classici (traiettoria

12. Proprietà di polarizzazione e stati quantici della luceNel piano perpendicolare alla direzione del fascio di luce, definiamo come orizzontale e verticale due arbitrarie direzioni fra loro ortogonali. Sia H lo stato dei fotoni associati alla luce polarizzata orizzontalmente e V lo stato dei fotoni associati alla luce polarizzata verticalmente. H e V sono stati ortogonali. (Fig. 6a)Secondo lo schema quantistico, ai fotoni polarizzati a 45° viene associato il vettore (H + V) corrispon-dente alla sovrapposizione lineare dei due vettori H e V (Fig. 6b).Consideriamo situazioni ideali di interazione di fasci di luce a bassa intensità con polaroid. La bassa intensità del fascio luminoso ci permette di poter ritenere che ciascun fotone interagisca sempre e solo con il polaroid.


Se si inviano fotoni nello stato V su un polaroid con direzione permessa verticale essi passano sempre indisturbati. Poiché l’esito di questa inte-razione (misura) è certo: cioè è prevedibile con certezza, possiamo attri-buire al fotone una proprietà corrispondente che indicheremo con ∆ (Fig. 7a). Se si inviano fotoni nello stato H su un polaroid con direzione permessa orizzontale essi passano sempre indisturbati. Anche in questo caso siamo quindi condotti ad attribuire loro una proprietà corrispondente che indicheremo con * (Fig. 7b). Possiamo anche constatare che se il polaroid ha direzione permessa orizzontale, i fotoni V vengono tutti assorbiti (Fig. 7a), mentre se il polaroid ha direzione permessa verticale, i fotoni H vengo-no tutti assorbiti (Fig. 7b).

Proprietà mutuamente esclusiveIn generale, possiamo attribuire ad ogni fotone polarizzato linearmente in una certa direzione una proprietà di polarizzazione corrispondente a quel-la direzione. Ad esempio:→ la proprietà ∆ ai fotoni polarizzati linearmente in direzione verticale e

quindi nello stato V, → la proprietà * ai fotoni polarizzati linearmente in direzione orizzontale

e quindi nello stato H, → la proprietà ◊ ai fotoni polarizzati linearmente in direzione 45° e quin-

di nello stato H + V.

Dall’interazione dei fotoni polarizzati linearmente con i polaroid, vediamo che i fotoni:• nello stato V: → passano sempre con certezza un polaroid con direzione permessa

verticale → sono tutti assorbiti da polaroid con direzione permessa orizzontale• nello stato H: → passano sempre con certezza un polaroidcon direzione permessa

orizzontale → sono tutti assorbiti da polaroid con direzione permessa verticale

Ne segue che le proprietà ∆ e * sono mutuamente esclusive.

Proprietà incompatibili e stato di sovrapposizione H+VCi si propone di capire il significato dello stato quantico (H + V). Si inviano fotoni polarizzati a 45°, e quindi nello stato quantico (H+V), su un polaroid con direzione permessa, per brevità diciamo, orientati orizzon-talmente o verticalmente. Misurando l’intensità della radiazione che ha attraversato il polaroid si trova che essa è la metà di quella incidente e della stessa frequenza. Metà dei fotoni incidenti attraversa il polaroid e ne esce con una diversa polarizzazione, orizzontale (stato H, con proprietà *) o verticale (stato V, con proprietà ∆) a seconda della direzione permessa del polaroid. (Fig. 7c)

Polarizzazioneorizzontalestato H

Fig 6a. Luce polarizzata linearmente: la direzione di polarizzazione corrispode alla direzione del campo elettrico.

Polarizzazioneverticalestato V

Fig 6b. Polarizzazione a 45° stato H + V.


Fig. 7a. Fotoni polarizzati verti-calmente (con proprietà ∆; nello stato V) vengono: • sempre trasmessi da un pola-

roid con direzione permessa verticale;

• assorbiti da un polaroid con direzione permessa orrizzon-tale;

• trasmessi nella metà dei casi da un polaroid con direzione permessa a 45°

Fig. 7b. Fotoni polarizzati or-rizzontalmente (con proprietà *; nello stato H) vengono: • sempre trasmessi da un pola-

roid con direzione permessa orizzontale;

• assorbiti da un polaroid con direzione permessa verticale;

• trasmessi nella metà dei casi da un polaroid con direzione permessa a 45°.

Fig. 7c. Fotoni polarizzati a 45° (con proprietà ◊) vengono: • sempre trasmessi da un pola-

roid con direzione permessa a 45°;

• trasmessi nella metà dei casi da un polaroid con direzione permessa o verticale o oriz-zontale.


Facciamo un po’ di ipotesi interpretativeL’insieme di fotoni polarizzati a 45° e quindi nello stato (H + V) (cui è associata la proprietà ◊):

1) può essere pensato come un insieme di fotoni costitu-ito da una miscela statistica di fotoni con proprietà * e ∆.

2) può essere pensato come un insieme di fotoni che hanno simultaneamente due proprietà ed in particolare, con ugual peso:

Sicchè l’esito dell’interazione con i polaroid è dovuto alle proprietà * e ∆.È come pensare che i polaroid:1) selezionino i fotoni che hanno la proprietà corrispondente alla direzione permessa dal polaroid,

come in Fig. 8A2) spoglino i fotoni dalle proprietà che non corrispondono alla direzione permessa dal polaroid,

come mostrato in Fig. 8B.

le proprietà ◊ e * oppure le proprietà ◊ e ∆

Fig. 8A. I polaroid selezio-nano i fotoni con proprietà corrispondente alla direzione permessa dal polaroid.

Fig. 8B. I polaroid spogliano i fotoni di tutte le proprietà che non corrispondono a quella permessa dal pola-roid.

Fig. 8A

Fig. 8B


Riconsideriamo l’interazione dei fotoni polarizzati linearmente in vari modi, e quindi ad esempio con proprietà ◊, ∆, *, con polaroid aventi direzione permessa a 45°. I risultati mostrano quanto segue:→ la radiazione che attraversa il polaroid a 45° esce sempre polarizzata a 45°;→ l’intensità trasmessa risulta dimezzata rispetto a quella incidente se quella incidente era costitu-

ita da fotoni polarizzati orizzontalmente (*, stato H) o verticalmente (∆, stato V).→ l’intensità trasmessa risulta uguale a quella incidente (o attenuata solo di un fattore indipendente

dallo stato di polarizzazione) se si inviano fotoni polarizzati a 45°, con proprietà ◊ e cioè nello stato (H+V).

La Fig. 9 mostra che nel caso di miscela statistica di fotoni con proprietà * e ∆ si ottengono risultati diversi da quelli che si hanno nel caso di fotoni tutti con la stessa proprietà ◊.Ciò si può leggere anche in questo modo: → mentre i fotoni nello stato H + V passano tutti indisturbati → soltanto la metà dei fotoni passa attraverso il polaroid, nel caso dell’in-

sieme costituito dal 50% di fotoni nello stato H dal 50% di fotoni nello stato V.

Questo fa cadere l’ipotesi considerata della miscela statistica di stati, come unione di fotoni in stati H e V, ossia H + V ≠ H U VUn fotone con proprietà ◊ non può aver anche proprietà del tipo * o ∆.

Per questo le proprietà ◊ e * oppure ◊ e ∆ vengono chiamate incompatibili.

Ciò può essere visto come una specie di democrazia della meccanica quantistica rispetto ai fotoni: li vuole considerare tutti uguali.

Principio di indeterminazioneUn fotone con proprietà ◊ non può aver anche proprietà del tipo * o ∆.Abbiamo già visto che le proprietà * o ∆ sono mutuamente esclusive. Ora abbiamo visto che ciascuna di esse è incompatibile con la proprietà ◊, perché corrispondenti ad osservabili incompatibili: la polarizzazione verticale (orizzontale) e la polarizzazione a 45°. Il fatto che non si possano attribuire simultaneamente ad un sistema definite proprietà illustra in modo semplice il principio d’indeterminazione in fisica quantistica, espressione dell’impossibilità di osservare simultaneamente due proprietà incompatibili.Indeterminismo quanticoL’incompatibilità di proprietà sostiene la democrazia sui fotoni della meccanica quantistica, infatti comporta che essi si debbano vedere come tutti uguali tra loro. Ciò è una conseguenza del fatto che quando essi si trovano in uno stato possa essere loro attribuita una sola proprietà.Tuttavia accade che fotoni del tutto identici si comportino in modo diverso.La situazione di Fig. 7c mostra che fotoni appartenenti ad un fascio polarizzato a 45° e quindi nello stato H+V, per cui a ciascuno può essere attribuita la proprietà ◊ si comportano in modo diverso se vengono fatti interagire con un polaroid con direzione permessa orizzontale (oppure verticale): il 50% passa attraverso il polaroid mentre il 50% viene assorbito. Perciò sistemi del tutto identici fra loro possono evolvere in maniera diversa. Questo esprime il concetto dell’indeterminismo quanti-stico, che contiene un’importante nuova idea di cui la meccanica quantistica è portatrice: l’impos-sibilità di attribuire a priori, separatamente da una misura, precise proprietà a sistemi fisici. L’attribuzione di precise proprietà ai sistemi comporta una loro conoscenza deterministica incom-patibile con il carattere evolutivo di ogni sistema quando con esso si effettuano interazioni per eseguire delle misure, le quali peraltro producono per l’appunto anche la sua evoluzione.

Fig. 9. Fotoni polarizzati a 45° che attraversano pola-roid a 45°. I casi di miscela statistica di proprietà e di proprietà specifica danno esiti diversi.


Impossibilità di attribuire una traiettoria al fotoneSi può fare uno studio più approfondito del principio di sovrapposizione lineare e delle sue conseguen-ze, anche per quanto riguarda il concetto di traiettoria, considerando una serie di situazioni in cui l’analisi dello stato di polarizzazione del fotone viene effettuata con cristalli birifrangenti (calcite).

I cristalli birifrangenti sono mezzi trasparenti non isotropi, che danno luogo a due distinti raggi rifratti in corri-spondenza di un’unica direzione di incidenza, purchè essa non sia quella dell’asse ottico o asse di simmetria prin-cipale del cristallo. L’asse ottico si individua proprio per estinzione dello sdoppiamento della luce rifratta. I due raggi rifratti hanno diversa velocità di propagazione nel cristallo ed emergono con polarizzazione rettilinea in due piani tra loro ortogonali. Uno di essi segue la legge di rifrazione normale di Cartesio, qualunque sia il piano e l’angolo di incidenza: per questo motivo viene denominato "raggio ordinario". L’altro è caratterizzato da un indice di rifrazione variabile con l’angolo di incidenza e piani di rifrazione non coincidenti con quello di inci-denza. Sono birifrangenti cristalli con struttura esagonale, come il quarzo e con struttura rombica, come la cal-cite o spato d’Islanda.La calcite, come gli altri cristalli birifrangenti, può trasmettere radiazione polarizzata linearmente solo paralle-lamente (raggio straordinario) e perpendicolarmente (raggio ordinario) al piano della sezione principale. La sezione principale è il piano che contiene l’asse ottico e la normale ad una faccia del cristallo. Si veda anche la scheda dell’esperimento: Interazione di luce polarizzata con un cristallo birifrangente.

Fig. 10.a) Nel cristallo si propagano due fasci che hanno polariz-zazione ortogonale: il fascio straordinario è polarizzato verticalmente, quello ordi-nario orizzontalmente.b) A ciascun cammino può essere associata una definita polarizzazione.

Fig. 11.I fotoni possono impiegare solo i cammini del fascio ordinario o straordinario, infatti:a) se si intercetta il fascio or-dinario il rivelatore 1 scatta il 50% delle volte;b) se si intercetta il fascio straordinario il rivelatore 2 scatta il 50% delle volte;c) se entrambi i fasci ven-gono intercettati, non viene rilevato alcun fotone.

straordinario

straordinario

ordinario

calcite

ordinariocalcite

straordinario

ordinario

calcite

straordinario

ordinario

calcite

calcite

a)

b)


Si può tagliare e disporre un tale cristallo rispetto all’asse ottico in modo che la luce incidente po-larizzata orizzontalmente segua il raggio ordinario mentre quella polarizzata verticalmente segua il raggio straordinario e venga quindi deflessa. (Fig. 10a)Anche in questo caso è importante lavorare a intensità molto basse in modo che nel dispositivo si trovi di volta in volta un singolo fotone. Se si fanno incidere sul cristallo fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato H + V, il sistema evolve, per la linearità delle leggi quantistiche, nella sovrapposizione dei due stati corrispondenti alle due dire-zioni di polarizzazione associate ai due diversi percorsi di rifrazione, come mostrato in Fig. 10b.

Il cammino del fotonePonendo uno schermo su uno dei due cammini ed un contatore di fotoni sull’altro, si vede che quest’ultimo scatta il 50% delle volte (Fig. 11). Questo significa che il fotone non si “divide” nel dispositivo, in particolare non segue entrambi i cammini. Ponendo uno schermo ed un contatore di fotoni su entrambi i cammini, si può constatare che non viene rivelato alcun fotone. Perciò fotoni non possono giungere ai contatori seguendo cammini diversi da quelli considerati (Fig. 11).

Possiamo affermare che un singolo fotone segue un particolare cammino? Data la correlazione tra il cammino e lo stato di polarizzazione dei fotoni, questo equivale a chie-dersi se l’insieme di fotoni che emergono dal primo cristallo può essere considerato composto dal 50% di fotoni nello stato V che seguono il cammino non deflesso e dal 50% di fotoni nello stato H che seguono il cammino deflesso.

Consideriamo un esperimento con un cristallo di calcite "inversa". Questo cristallo è disposto sul cammino dei fotoni in modo da compensare le deflessioni prodotte dal primo cristallo (Fig. 12).

Fig. 12. Nel sistema dei due cristalli di calcite diretta e inversa allineati vengono sempre trasmesi tutti i fotoni mantenendone le proprietà.


Facendo incidere sul sistema costituito dai due cristalli, fotoni con polarizzazione verticale (stato V) e orizzontale rispettivamente (stato H), questi emergono secondo un cammino non deflesso e con la polarizzazione originaria.

Se si manda nel sistema un insieme di fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato (H + V), essi emer-gono tutti con polarizzazione a 45°. Ponendo un polaroid con direzione permessa a 45° dopo il secondo cristallo di calcite, tutti i fotoni lo attraversano (Fig. 13a). Se i fotoni fossero una miscela statistica di fotoni nei due stati H e V con ugual peso oppure fosse-ro identificabili in tali stati dopo il primo cristallo birifrangente, dovremmo rivelare la metà dei fotoni (Fig. 13b).In conclusione, nello stato di sovrapposizione (H + V), il fotone: non segue il cammino deflesso, non segue il cammino non deflesso, non li segue entrambi, non segue un cammino diverso.

È il concetto di traiettoria che perde di significato! Non si può attribuire al fotone una traiettoria definita!

L’analogia con la diffrazione di elettroniAlle stesse conclusioni si può arrivare analizzando esperimenti di diffrazione di particelle (onde materiali Fig. 14).L’ipotesi di De Broglie, verificata sperimentalmente ad un alto livello di accuratezza, consiste nell’associare ad una particella con impulso p un’onda piana di lunghezza d’onda λ = h / p, ove h è la costante di Planck.

Fig. 13. a) Tutti i fotoni incidenti con polarizzazione a 45° e proprietà ◊ vengono trasmessi dal pola-roid. b) Solo metà dei fotoni viene trasmessa se il fascio incidente è formato dalla miscela statistica di fotoni con proprietà ∆ e *.

a)

b)


L’analisi che si può compiere porta a considerare la possibilità di prevedere in quale delle due fen-diture passa ciascuna particella ovvero la possibilità di individuare il punto in cui una particella arriva nello schermo per costruire la distribuzione caratteristica della figura di diffrazione. Come appare in Fig. 14 ogni particella arriva in un punto a caso dello schermo ed è il grande nu-mero di particelle che produce la caratteristica distribuzione dovuta all’interferenza delle stesse. Come appare in Fig. 15, inoltre, la distribuzione delle particelle su uno schermo equidistante dalle fenditure nei casi in cui una delle due fenditure sia chiusa ed entrambe aperte risulta decisamente diversa.

Significativamente diverse sono anche le distribuzioni di probabilità prodotte dall’interazione delle particelle che passano per entrambe le fenditure ([ψa + ψb]

2) e dalla somma delle distribuzioni pro-dotte dalle singole fenditure aperte ([ψa]

2 + [ψb]2).

Anche in questo caso non è possibile attribuire alle particelle una traiettoria definita passante per una delle due fenditure.

Fig. 14. L’emergere di una figura di diffrazione di elettroni da un appa-rato a due fenditure. Il caso (a) si riferisce alla rilevazione di 10 elettro-ni. Passando da (b) ad (e) i numeri registrati sono 100, 3000, 20.000 e 70.000.

a)

b)

Fig. 15. a) Distribuzioni di intensità rilevate sullo schermo quando è aper-ta o solo la fenditura a o solo la fenditura b. b) La distribuzione di intensi-tà rilevata sullo schermo quando entrambe le fen-diture sono aperte è mol-to diversa da quella che si avrebbe come somma delle distribuzioni rile-vate da ciascuna delle due fenditure.


La misura e il mondo macroscopicoAl contrario di quanto viene spesso asserito, la fisica quantistica non si riduce alla fisica classica per sistemi macroscopici. In particolare, se H e V corrispondono a stati macroscopici diversi di un sistema, lo stato H + V non corrisponde a proprietà macroscopiche definite del sistema. Ad esempio, se S è un sistema macroscopico, ad esempio un corpo rigido, ed u e v sono due stati corrisponden-ti al corpo localizzato in due diverse regioni spaziali A e B, secondo il principio di sovrapposizione lineare anche il vettore di stato w = u + v rappresenta un possibile stato per il sistema S. L’esistenza di tali stati costituisce un problema molto serio per la teoria quantistica a livello macroscopico. Infatti, analogamente a quanto visto nel caso della polarizzazione dei fotoni, se il sistema S è nello stato w non possiamo attribuirgli né la proprietà di essere nella regione A dello spazio né quella di essere nella regione B: il corpo non ha cioè una posizione definita. Questa impossibilità di attribu-ire, in generale, una posizione ed una traiettoria definite ad un oggetto macroscopico è in evidente contrasto con le nostre percezioni e con la nostra visione del mondo macroscopico. La descrizione dei fenomeni fisici a livello macroscopico, che la teoria quantistica dà, appare poter essere legata esclusivamente a processi di misura su sistemi microscopici: ne costituisce esempio carismatico il famoso esperimento "ideale" del gatto di Schrödinger. Si tratta di un processo di misu-ra su un sistema atomico in cui il rivelatore è un marchingegno mortale che viene innescato in cor-rispondenza di uno degli esiti della misura ed uccide il gatto, mentre in corrispondenza degli altri esiti ciò non avviene. Per opportuni stati iniziali del sistema atomico, lo stato finale del sistema composto è uno stato correlato corrispondente alla sovrapposizione GV + GM (GV = gatto vivo, GM = gatto morto), che descrive un gatto che non è né vivo né morto.Una possibile soluzione al problema della teoria della misura quantistica è fornita dalla teoria uni-ficata di Ghirardi, Rimini e Weber4 dei micro e dei macrosistemi, che porta ad una rapida soppres-sione degli stati, sovrapposizione di stati macroscopicamente diversi, e si riduce praticamente alla meccanica quantistica per i microsistemi.

La non localitàCome conseguenza del principio di sovrapposizione lineare, due sistemi distanti che hanno intera-gito in passato risultano generalmente correlati. Un semplice esempio è dato da due fotoni nello stato di polarizzazione 1H2H - 1V2V. Secondo la teoria quantistica, i fotoni descritti da tale stato non hanno polarizzazione definita in al-cuna direzione; tuttavia la probabilità di trovare lo stesso esito in una misura della polarizzazione su due fotoni in qualsiasi direzione comune è uno. Questa situazione è in netto conflitto con la richiesta di località; infatti, se i due fotoni sono distanti e gli esiti delle misure genuinamente stocastici, come può un fotone conoscere l’esito dato dall’altro alla misura in assenza di effetti non locali?Questo tipo di analisi ci porta a concludere, con Einstein, Podolsky e Rosen5 che gli esiti di misure, su sistemi distanti, di osservabili correlate al 100% non possono essere genuinamente stocastici e che pertanto la teoria quantistica deve essere considerata incompleta.Nel 1964 Bell6 ha provato che non è possibile trovare un completamento deterministico e locale della teoria quantistica, che risulta quindi fondamentalmente non locale.Non è tuttavia possibile utilizzare le caratteristiche non locali della teoria per mandare segnali ad una velocità superiore alla velocità della luce7.E’ questo fatto che permette una "pacifica coesistenza" della fisica quantistica con la teoria della relatività.

(4) G.C. Ghirardi, A. Rimini, T. Weber, Phiys. Rev., ∆ 34, 470 (1986).(5) A. Einstein, B. PodoIsky, N. Rosen, Phys. Rev., 47, 777 (1935).(6) J.S. Bell, Physics, 1, 195 (1964).(7) G.C. Ghirardi, A. Rinuni, T. Weber, Lettere al Nuovo Cimento, 27, 293 (1980).


Teorie alternativeCome abbiamo già accennato, il principio di sovrapposizione lineare impone l’abbandono di una visione classica dei fenomeni fisici anche quando si considerino teorie alternative che, pur riprodu-cendo le previsioni statistiche della teoria quantistica, reintroducano concetti classici come il prin-cipio di causalità e le traiettorie. Per analizzare questo fatto possiamo considerare nuovamente gli esperimenti con fotoni polarizzati e con le lenti polaroid o con i cristalli di calcite. Naturalmente i primi sono i più semplici. Sappiamo che se si invia un fascio di fotoni polarizzati verticalmente su un polaroid orientato ver-ticalmente tutti i fotoni passano indisturbati (fig. 5). A questo comportamento caratteristico dei fotoni V è stata associata una proprietà ∆. In questo nuovo spirito, un insieme di fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato H + V, sarà costituito dal 50% di fotoni che pur avendo ovviamente la proprietà ◊ portano anche l’attributo ∆ e dal 50% di fotoni che portano quello *.Verrebbe spontaneo pensare, seguendo un ragionamento classico, che se i fotoni con l’attributo ∆ vengono fatti passare attraverso un polaroid con direzione permessa verticale essi emergono tutti indisturbati. In realtà questo non accade. Per capirlo consideriamo i due seguenti esperimenti:1. Un fascio di fotoni polarizzati a 45° viene inviato su un polaroid orientato a 45°. Passano tutti i

fotoni e quindi anche in particolare tutti i fotoni con l’attributo ∆.2. Un fascio di fotoni polarizzati a 45° viene inviato su un polaroid orientato verticalmente seguito

da un polaroid orientato a 45°. Soltanto il 25% dei fotoni attraversa l’ultimo polaroid. In particolare almeno la metà dei fotoni polarizzati a 45° ma con attributo ∆ non passa.Questo fatto mostra chiaramente che la presenza del polaroid con direzione verticale ha influito sul comportamento di questi fotoni. Essi, pur portando l’attributo ∆, sono in qualche modo consapevoli di essere nello stato sovrappo-sizione H + V e non si comportano nel modo caratteristico dei fotoni V con la relativa proprietà ∆. Per questo, l’attributo ∆ non può essere considerato come una proprietà classica di tali fotoni.

Fig. 16. Alcuni elementi pe-culiari della teoria quantisti-ca, che portano a chiedersi se è completa.

INDETERMINISMOGli esiti ottenuti ad una misuradella polarizzazione lungo le

direzioni H o V su fotoni polarizzati a 45° sono genuinamente

stocastici e non dovuti a proprietà preesistenti del fotone

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONEI fotoni polarizzati a 45°, cioè nello stato H + V,non hanno ne’ la proprietà H ne’ la proprietà V

DESCRIZIONE DEI SISTEMI MACROSCOPICI ED IL

PROBLEMA DELLA MISURASe V ed H corrispondono a stati

macroscopicamente diversi di unsistema, lo stato H + V non corrisponde a proprieteà

macroscopiche definite del sistema

La meccanica quantistica non diventa quindi equivalente alla maeccanica cla-

sica a livello macroscopico.Una possibile soluzione al problema

della misura è data dalla teoria “la meccanica quantistica

con localizzazioni spontanee”(G.C. Ghirardi, A. Rimini, T. Weber

PHYS Rev D 34, 470 (1986)

NON LOCALITA’Considerando due fotoni lontani

nello stato di polarizzazione1H 2H - 1V 2V

si può dimostrareche la meccanica quantistica

presenta effetti non locali

➞➞


Fig. 17. Non si riescono a prevedere gli esiti sperimen-tali attribuendo ai fotoni pro-prietà preesistenti opportune.

DETERMINISMO

Il principio di sovrapposizione impone comunque l’abbandono di una visione classica dei fenomeni fisici.

Il principio di indeterminazione e l’indeterminismo quantistico sono in netto contrasto con una concezione classica dei fenomeni naturali

ed il principio di causalità.

Tentativo di recupero di una visione classica dei fenomeni fisici

BOHM

Reintroduzione del concetto di traiettoria per le particelle

Quali sono le conseguenze del principio di sovrapposizionein teorie di questo tipo?

Le particelle seguono traiettorie definite ma si comportano in modo chiaramente non classico

Fig. 18. Alcuni elementi caratteristici della teoria di Bohm.


Il fatto che i fotoni nello stato H + V ma con l’attributo ∆ non si com-portino nel modo caratteristico dei fotoni nello stato V può essere pro-vato anche mediante esperimenti con i cristalli di calcite.Consideriamo il dispositivo costituito dal primo cristallo di calcite e dalla "calcite inversa" e supponiamo di porre uno schermo sul cammino deflesso (Fig. 17). Se si inviano fotoni V nel dispositivo essi passano tutti indisturbati: la presenza dello schermo sul cammino deflesso non influenza i fotoni che seguono l’altro cammino. Come abbiamo visto sopra, un insieme di fotoni nello stato H + V cioè polarizzati a 45° è costituito dal 50% di fotoni che hanno la proprietà ◊ e l’attributo * (e seguono il cammino deflesso) e dal 50% di foto che hanno la proprietà ◊ e l’attributo ∆ (e seguono il cammino non deflesso). Nella situazione sperimentale in cui si hanno i due cristalli di calcite seguiti da un polaroid orientato a 45°, tutti i fotoni inviati sul dispositivo passano attraverso il polaroid, in particolare tutti i fotoni che hanno la proprietà ◊ e l’attributo ∆. Se ora poniamo uno schermo sul cammino deflesso, possiamo constatare che solo il 25% dei fotoni passa attraverso il polaroid, così che almeno la metà dei fotoni con l’attributo ∆ non passa (Fig. 17). Questi fotoni sono stati quindi influenzati dalla presenza dello schermo sull’altro cammino. Le conclusioni che se possono trarre sono del tutto analoghe a quelle del caso precedente.Nella sezione precedente abbiamo accennato al fatto che si sarebbe potu-to studiare il principio di sovrapposizione lineare ed analizzare le sue conseguenze anche considerando esperimenti di diffrazione di onde ma-teriali da due fenditure.Per le particelle materiali esiste effettivamente la teoria di Bohm8 che, pur riproducendo le previsioni statistiche della meccanica quantistica, è deterministica ed assegna ad ogni particella una traiettoria definita (Fig. 18).E’ facile mostrare tuttavia come anche in questa teoria le particelle si comportino in modo non classico in particolare, in un esperimento di diffrazione da due fenditure, le traiettorie delle particelle uscenti da una fenditura sono notevolmente influenzate dall’eventuale presenza di uno schermo dietro all’altra fenditura (fig. 19).

(8) D. Bohm, Phys. Rev- 85, 166 (1952).

Conclusioni: nel caso B le particelle che attraversano la fenditura A sono in qualche modo consapevoli di essere nella sovrappo-sizione ψa + ψb

Fig. 19. Traiettorie previste dalla teoria di Bohm per le particelle materiali negli esperimenti di diffrazione.


Verso il formalismo*Il percorso sin qui proposto ha consentito di studiare situazioni semplici sul piano operativo per la comprensione di concetti difficili.La rappresentazione iconografica utilizzata è lo strumento che proponiamo per la costruzione dei concetti basilare della teoria quantistica, come quello di stato quantico, sovrapposizione di stati, incompatibilità.Il passo successivo del percorso consiste nel riprendere i concetti introdotti, per rendere conto del modo con cui la meccanica quantistica ne fornisce una rappresentazione formalizzata. Il contesto di riferimento è ancora quello della interazione di fotoni con polaroid a cristalli birifrangenti, ma i risul-tati ottenuti vengono proposti in una forma facilmente generalizzabile.

Stati fisici, ampiezze e vettoriIntroduzione ad un’idea fondamentale: gli stati quanto-meccanici sono descritti da vettori apparte-nenti ad uno spazio vettoriale astratto.Ogni fotone dell’insieme U (filtrato dal primo polaroid) ha la proprietà di attraversare con certezza un secondo polaroid con la stessa direzione permessa u.

Fig. 20. Apparato sperimen-tale: 2 polaroid A e B, con direzione permessa lungo i versori u e v, un rilevatore di fotoni D.

*NOTA: I contenuti del ragionamento qui proposto, sono il risultato del lavoro svolto con R. Ragazzon.

Il secondo polaroid è orientato lungo una direzione arbitraria v:→ quali previsioni possiamo fare su U?→ qual è la probabilità P(u,v) per i fotoni U di attraversare B e far scattare D?

Un insieme formato da un gran numero di fotoni può essere descritto dalle leggi dell’ottica classica=> legge di Malus

Itr –––– = cos

2 θ

Iin

θ: angolo tra la direzione di polarizzazione della luce incidente e la direzione permessa del pola-roid.

Interpretiamo:

Itr / Iin = numero di fotoni trasmessi / numero di fotoni incidenti = Ntr / Ni

Allora:

Itr / Iin = Ntr / Nin = P(u,v)

Poiché:

P(u,v)=cos2 θ


D’altra parte:

cos2θ = (u · v)2

Si ottiene:

P(u,v) = cos2θ = (u · v)2 (2)

Qualunque sia la direzione permessa v, il versore u determina il comportamento statistico dei fotoni. Se accettiamo che le nostre previsioni siano inevitabilmente di carattere statistico,allora il versore u fornisce una descrizione completa dei fotoni appartenenti all’insieme U. Lo stato di polarizzazione lineare di un fotone è quindi rappresentato da un vettore in uno spazio bidi-mensionale. Il versore v può rappresentare lo stato di un fotone che ha attraversato il polaroid B.Se il rivelatore D scatta, significa che la nostra misura ha indotto una transizione dallo stato u allo stato v. La relazione (u · v)2 indica una semplicissima procedura per determinare la probabilità di tale tran-sizione.Ogni vettore in uno spazio bidimensionale può essere scritto come combinazione lineare di due vet-tori mutuamente ortogonali H e V:lo stato u:

u = ψ1 H + ψ2 V, (3,a)

Le componenti ψ1 and ψ2 sono chiamate "ampiezze".Devono obbedire alla condizione di normalizzazione:

ψ12 + ψ2

2 = 1. (3,b)

Poichè H e V sono versori (vettori unitari), anch’essi rappresentano due possibili stati di un fotone linearmente polarizzato.

La relazione vettoriale:

u = ψ1 H + ψ2 V

rappresenta la formulazione quantitativa del principio di sovrapposizione per gli stati di polarizza-zione: la combinazione lineare di due stati fisici è ancora uno stato fisico ammissibile. D’altra parte essendo ψ1 = H · u, si ha che: ψ1

2

è la probabilità di transizione dallo stato u allo stato H:la probabilità di essere rivelato/misurato se la direzione permessa del secondo polaroid fosse H.

ψ12 è la probabilità di trovare un fotone nello stato H.

Analogamente, essendo ψ2 = V · u si ha che: ψ22

è la probabilità di transizione dallo stato u allo stato V:la probabilità di essere rivelato/misurato se la direzione permessa del secondo polaroid fosse V.

ψ22 fornisce la probabilità di trovare il fotone nello stato V

La relazione:

u = ψ1 H + ψ1 V,


contiene importanti novità concettuali.

Non riduzionismo: cerchiamo una via per capirle.

In fisica classicaL’insieme U può essere pensato come insieme (unione) di 2 sottoinsiemi disgiunti caratterizzati da propretà fisiche complementari.

ψ22 = P(V)

ψ12 = P(H)

fotoni con proprietà V(attraversano polaroid con dir.

fotoni con proprietà H(attraversano polaroid con dir.Insieme

U { {{P(H) or P(V): probabilità che un fotone di U, scelto a caso abbia proprietà H o V.

La probabilità di scattare del rivelatore P(D) è

P(u,v) = cos2θ = (u · v)2

con

u = ψ1 H + ψ2 V

perciò: P(D) ≡ P(u,v) = (u · v)2 = [ ψ1 H · v + ψ2 V · v ] 2 = P(H) (H · v)2 + P(V) (V · v)2 + 2 ψ1

ψ2 (H · v) (V · v) (4) Lo stato H: descrive il comportamento statistico dei fotoni con proprietà H

(H · v)2 = P(D | H) => probabilità di far scattare D, se il fotone ha la proprietà H.(V · v)2 = P(D | V) => probabilità di far scattare D, se il fotone ha la proprietà V.

Allora:

P(D) = P(H)P(D | H) + P(V)P(D | V) + 2 ψ1 ψ2 (H · v) (V · v) (5)

Il terzo termine di questa espressione, che caratterizza l’interferenza quantistica, non può essere otte-nuto con la regola della probabilità condizionata classica.

Esso è sempre presente se le ampiezze ψ1 ψ2 sono diverse da zero.

NON SI PUO’:→ pensare U come costituito da 2 sottoinsiemi con proprietà H e V→ considerare il simbolo "+" come UNIONE.

Si tratta di una conseguenza del principio di sovrapposizione, priva di analogie o interpretazioni clas-siche.


Stati e ampiezzeCome scrivo il vettore di stato:

u = ψ1 H + ψ2 V

scrivo il vettore di stato v

v = ψ1’ H + ψ2’ V (6)

che rappresenta ancora un possibile stato del sistema.

La probabilità P(u,v) può allora essere scritta come:

P(u,v) = (v · u)2 = (ψ1 ψ1’ + ψ2 ψ2’)2 (7)

Un risultato importante: siamo passati

ad una loro rappresentazione in termini di ampiezze

da una descrizione vettoriale degli stati

➞

• Ogni stato fisico viene individuato da una coppia di ampiezze• La conoscenza delle ampiezze permette di determinare tutte le probabilità di transizione pertinenti

al nostro sistema.

Ortogonalità tra statiGli stati quanto-meccanici vengono definiti dalle proprietà che possono essere attribuite con certezza ad un sistema fisico.→ Due stati sono ortogonali quando le proprietà fisiche che li caratterizzano sono mutuamente esclu-

sive.

Gli stati di polarizzazione H e V sono ortogonali se un fotone che:→ ha la certezza di passare il polaroid con direzione permessa orizzontale → ha anche quella di NON passare il polaroid con direzione permessa verticale.

Ogni processo di misura può essere riguardato come una “fabbrica” di stati ortogonali

L’osservabile quantità di moto: un caso per capire.Vogliamo misurare la quantità di moto di una particella puntiforme. Se una misura dà il valore p, dobbiamo essere certi che una seconda misura dia lo stesso valore. Quindi lo stato caratterizzato dal valore p è ortogonale a tutti gli stati con p’≠ p.

Conseguenza:→ un sistema fisico complesso ammette più di due stati mutuamente ortogonali.→ La particella puntiforme considerata può trovarsi in un numero infinito di stati ortogonali distinti,

uno per ogni possibile valore della quantità di moto.

Ciò si applica a qualunque grandezza fisica.


Il formalismo generale della meccanica quantistica può essere derivato combinando insieme il con-cetto di ampiezza e la definizione di ortogonalità tra stati fisici. → la coppia di ampiezze (ψ1 , ψ2) rappresenta la sovrapposizione di due stati fisici ortogonali per la

polarizzazione del fotone,→ le ampiezze (ψ1 , ψ2 ,..., ψi ,....) rappresentano la sovrapposizione di più stati ortogonali,

ψi2 : probabilità con cui una certa misura induce una transizione all’i-mo stato della sovrapposizione

rappresentata dalle n ampiezze (ψ1 , ψ2 ,..., ψi ,....).

In generale, la probabilità di transizione da una sovrapposizione (ψ1 , ψ2 ,..., ψi ,....) ad una seconda sovrapposizione (ψ1’ , ψ2’ ,..., ψi’ ,....), si ottiene come:

P = ∑i = 1,...,N ( ψi ψi’ )2

Lo studio di un reticolo di diffrazione potrebbe essere utilizzato per mostrare come sia effettivamente necessario considerare la sovrapposizione di un numero arbitrario di stati ortogonali.

Operatori lineariIn meccanica quantistica ogni osservabile fisica è associata ad un operatore lineare.

OSSERVABILE FISICA OPERATORE LINEAREnatura di tale

relazione

?

Un gioco per capirliConsideriamo un oggetto matematico, un operatore Ô del tipo a b · e applichiamolo a un vettore c.Il risultato dell’operazione è un nuovo vettore proporzionale ad a

ab · c ➞ (b · c)a ab · c = (b · c) a

numero

Posso considerarne altri:

Ô’ = a a · Ô’’ = b b ·

Oppure l’operatore combinazione lineare:

Ô ≡ λ1 a a · + λ2 b b ·

dove a e b sono due versori ortogonali:

a a · = b · b = 1, a · b = 0

Applichiamo l’operatore a un vettore c:

Ôc ≡ (λ1 a a · + λ2 b b ·)c = λ1 (a · c) a + λ1 (b · c) b

Leggiamo come agisce l’operatore:• proietta c lungo le direzioni ortogonali a e b• moltiplica le proiezioni per le costanti λ1 e λ1

• i vettori componenti così ottenuti vengono sommati per produrre il vettore finale.


Applichiamo l’operatore al versore a:

Ôa ≡ λ1 a a · a + λ2 b b · a = λ1 a

Il risultato non è altro che il vettore a moltiplicato per la costante λ1

a → λ1 a

Si dice che a è un autovettore dell’operatore Ô con autovalore λ1.

Applichiamo l’operatore al versore b

Ôb ≡ λ2 b

Si dice che b è un autovettore dell’operatore Ô con autovalore λ2 .

Legame tra operatori lineari e variabili fisicheUn cristallo birifrangente è seguito da due rivelatori di fotoni, uno per ogni fascio secondario, colle-gati ad un indice con due “posizioni” λ1 e λ2. L’indice si porta sulla posizione λ1 (λ2) quando un fotone viene segnalato dal rivelatore D1 (D2). Il risultato della misura è quindi una variabile aleatoria λ, che può assumere soltanto due valori, λ1 e λ2.

Calcoliamo il valore atteso di λ, calcolando il suo valore medio.Se il versore u rappresenta lo stato dei fotoni inviati verso il cristallo:la probabilità di ottenere λ1 è data dalla probabilità di rivelazione di D1:

P(λ = λ1) = (u · v1)2

La probabilità di ottenere λ2 è data dalla probabilità di rivelazione di D2:

P( λ = λ2) = (u · v2)2.

Il valor medio di λ è quindi

< λ > = (u · v1)2 + λ2(u · v2)2

Con semplici passaggi si può ridurre questa espressione alla forma che riporta all’idea di operatori:

< λ > = u · [λ1 (v1 · u) v1+ λ2 (v2 · u) v2]

Il vettore in parentesi quadra può essere ottenuto applicando l’operatore

Ôλ = λ1v1 v1 · + λ2 v2 v2 ·

al vettore di stato u che descrive i fotoni interagenti con il nostro apparato di misura. Il valore atteso λ può essere scritto nella forma particolarmente semplice:

< λ > = u · Ôλ u

Fig. 21. Un fascio di fotoni polarizzati incide su un cristallo di calcite. Per ogni fotone incidente scatta o solo il rilevatore D1 (indice m>1, o solo D2 (indice m>2).


L’operatore Ôλ fornisce una descrizione compatta e completa dell’apparato di misura considerato.I possibili esiti di una misura coincidono con gli autovalori dell’operatore, mentre i suoi autovettori sono i possibili stati in cui possiamo trovare il fotone dopo la misura.

Il risultato è generale:per ogni variabile aleatoria, il valor medio di λ è dato da una sommatoria di termini in ciascuno dei quali si evidenziano due fattori significativi:→ uno dei possibili valori assunti dall’osservabile λ→ la probabilità del corrispondente eventocome nel nostro caso:

< λ > = λ1 (u · v1)2 + λ2 (u · v2)2

L’unica cosa di cui abbiamo bisogno è di esprimere le probabilità di transizione nella forma di un prodotto scalare.

Per un sistema fisico generico, dove gli stati vengano rappresentati da vettori n-dimensionali, si ha:

Ôλ = ∑ λi vi vi · i

dove la sommatoria è ora estesa a tutti gli stati ortogonali in cui possiamo trovare il sistema fisico dopo il processo di misura.

Domande aperte• Come è possibile determinare i possibili valori di una osservabile fisica?• Come è possibile definire (e quindi usare) gli operatori associati ad una osservabile fisica? • Perchè gli operatori lineari sono ritenuti un ingrediente essenziale del formalismo quanto-meccanico?

I seguenti due elementi rispondono1) I valori medi delle osservabile fisiche obbediscono alle leggi della fisica classica 2) L’equazione

(λ) = u · Ôλ u

→ mette in relazione il valor medio di una osservabile fisica con il suo operatore → permette di “tradurre” le leggi della fisica classica in ben precise relazioni tra gli operatori

associati alle osservabili di un sistema fisico.

Usualmente, queste relazioni sono sufficienti per caratterizzare gli operatori e determinarne autova-lori ed autovettori.

Gli operatori lineari sono lo strumento più efficace per “quantizzare” un sistema fisico, cioè per otte-nerne la descrizione quantistica partendo da quella classica.


Dal principio di sovrapposizione ai cammini di Feynman*L’approccio seguito di introduzione alla fisica quantistica e alla costruzione del formalismo nel caso generele conduce all’idea di funzione d’onda. In particolare si possono considerare sovrapposizioni di stati a posizione definita effettuando l’ipotesi semplificativa che lo spazio sia costituito da un insieme discreto di punti.

x1 x2 x3 x4 x6 ................... xn

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 ................... ψn

Se una particella ad un certo istante è stata localizzata da un rivelatore in xi, si escludono tutte le altre possibilità. I diversi possibili esiti delle misure di posizione definiscono proprietà mutuamente esclusive che caratterizzano sistemi in stati ortogonali dal punto di vista geometrico. Mentre in fi-sica classica gli unici stati possibili sono gli stati a posizione definita (in fisica classica la particella sta per forza in uno solo di questi stati), in meccanica quantistica la particella vive in generale in una sovrapposizione di stati.Se può rappresentare questo associando ad ogni stato ortogonale un’ampiezza, ossia ad ogni posi-zione definita xi si associa l’ampiezza ψi. Si è costruita una funzione ψi(xi), che consiste in sostanza in una sovrapposizione tra stati a posi-zione definita. Se all’istante ti è stata trovata la particella in xi , la funzione d’onda deve essere diversa da zero solo in un ristretto intorno di xi (figura sotto a sinistra). Dopo un tempo Δt, la particella non si troverà più in xi e la funzione d’onda sarà del tipo illustrato a destra.

t = ti x t = ti + Δt xxi

Per calcolare la funzione d’onda e dire come evolve, ci sono due approcci equivalenti: a) Equazione di Schrödinger

h⁄ ∂2 ∂ ψ (t,x)[- ––– ––– + V(x)] ψ (t,x) = i h –––––––– 2m ∂x2 ∂ t

b) Formalismo dei cammini di Feynman.Possiamo seguire questo secondo approccio, che risulta relativamente semplice utilizzando i fasori. Si cerca la probabilità di trovare la particella in x2 se al tempo t1 era stata localizzata in x1. Ci sono infiniti modi con cui la particella potrebbe portarsi da x1 a x2. Per ogni percorso si calcola, e i S ( γ ) / h⁄

dove

t mv2 (t’)S ( γ ) = ∫ [ –––––––– - V(x (t’))] dt t1 2

*NOTA: I contenuti del ragionamento qui proposto, sono il risultato del lavoro svolto con R. Ragazzon.


e quindi si valuta la funzione d’onda come: 1 ψ ( x,t ) = –– ∑ γ e i S ( γ ) / h

N che è una somma (in generale un integrale) su uno spazio funzionale (spazio di funzioni).In questo approccio è contenuto il principio di sovrapposizione: ogni percorso dà il suo contributo, come se la particella li seguisse contemporaneamente tutti.Nei problemi concreti i cammini utili sono pochi ed inoltre ogni contributo si può visualizzare. Questo consente di rendere entro certi limiti visualizzabile e più intuitiva la meccanica quantistica. Esiste infatti una corrispondenza tra i numeri complessi e iϕ e i vettori di modulo unitario di angolo ϕ.

|e i ϕ1 + e i ϕ2| ➔

ϕ2

ϕ1

Perciò si può associare a ogni percorso un vettore, invece di un numero complesso, e quindi som-mare i vettori.Ogni vettore associato a ciascun percorso è inclinato di un angolo S(γ) / h⁄ .

e

i S ( γ ) / / h

S ( γ ) / h⁄

Poiché si può spezzare l’integrale per il calcolo di S:

t2 t3 tn

S ( γ ) = ∫ + ∫ + · · · · ∫ t1 t2 t n - 1

alche il vettore da associare ad ogni percorso si può calcolare sommando i vettori dei singoli tratti. Ogni tratto del percorso contribuisce in modo additivo all’angolo e ogni rotazione corrisponde ad ogni percorso cui è associato un vettore. Questo fatto consente di attribuire una “lancetta” interna ad una particella che ruota secondo il valore di S(γ) / h⁄ .Nel caso di particella libera:

t mv2 (t ı)S ( γ ) = ∫ [ –––––––– ] d tı

ti 2

e poiché v è costante:

S ( γ ) E–––––––– = ––––– (t - ti) h⁄ h⁄

Allora in questo caso la lancetta ruota con velocità (angolare) di E / h⁄ .Se si è in grado di capire che alcuni percorsi sono dominanti, il calcolo diventa semplice.Per esempio si può dare risposta alla domanda:perché una particella libera sembra propagarsi lungo una retta?Per rispondere dobbiamo chiederci:qual è la probabilità che la particella, localizzata in A a t = 0, si trovi in B all’istante t = 2Δt?

P[(A, 0) → (B,2Δt)] = ?

1 Δt mv2 2Δt mv2

ϕ(x) = –– [ ∫ –––– dt + ∫ –––– dt ] = h⁄ 0 2 Δt 2


m D2 + x2 D2 + (y - x)2

= –––– [ –––––––– + –––––––––––– ] � 2 h⁄ Δt Δt

� D2 + x2 - xy � x2 - xy

Se si rappresenta ϕ (x) in funzione di x si ottengono delle parabole

(ϕ(x)=x2-xy).

Se B è un punto classicamente in ombra, le fasi sono monotone e il vettore di fase è piccolo, ossia vi è bassa probabilità di trovare la particella in B. La regione di minimo della fase corrisponde a sommare vettori equiversi. Cosa succede se la fenditura è piccola? Si sommano pochi percorsi, in cui le differenze di cammino sono trascurabili. Ne segue che la probabilità di trovare la particella in zona d’ombra e di luce sono poco diverse. Il metodo di Feynman nel campo macroscopico ripro-duce la fisica classica, in quello microscopico evidenzia grosse deviazioni dalla fisica classica.

BibliografiaA carattere didattico generale A. LORIA, C. MALAGODI, M. MICHELINI, School Quantum Physics, in Structure of matter in the School,

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Le basi della propostaG. GHIRARDI, R. GRASSI, M. MICHELINI, A Fundamental Concept in Quantum Theory: The Superposition

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Gli sviluppi M. MICHELINI, R. RAGAZZON, L. SANTI, A. STEFANEL, Una proposta operativa a confronto con diversi

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METTERSI IN GIOCO NELL’ESPLORARE ED INTERPRETARE FENOMENI DI SUPERCONDUTTIVITÀ

Marisa Michelini e Rossana ViolaUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

1. IntroduzioneSi presenta in questa sede la proposta didattica messa a punto per la sperimentazione di ricerca sulla superconduttività nella seconda Scuola Estiva Nazionale di Fisica Moderna, tenutasi a Udine nel luglio 2009 in attuazione del Progetto IDIFO2.Si tratta di un percorso sperimentale di tipo esplorativo in cui le situazioni esplorative hands-on sono offerte con l’approccio dei laboratori concettuali CLOE (Michelini, 2005), usando schede-stimolo (Martongelli, 2001; Michelini, 2003) ed una strategia basata su cicli SPPEA (Situazione, Previsione, Progettazione, Esperimento, Analisi). Interviste Rogersiane e a piccolo gruppo sono state effettuate durante l’attività per monitorare i processi di apprendimento.

2. Il percorsoCi pare più efficace illustrare il percorso utilizzando le domande di ricerca (DR) che ci siamo posti in relazione alle diverse situazioni (S).

Situazione (S) Domande di Ricerca (DR)

1. INTERAZIONI TRA DIPOLI

S1. Avvicinare un magnete ad un altro magnete: interazio-ne tra due dipoli

1 - L’esplorazione è basata su ipotesi esplicite/implicite?

S2. Rappresentazioni del dipolo presente in ciascun magne-te:utilizzando la rappresentazione vettoriale schematizzazio-ne di tutte le situazioni provate e dei corrispondenti effetti.

2 - Vengono riconosciuti i diversi tipi di interazione tra due magneti a seconda dei poli affacciati? (attrazione o rotazio-ne + attrazione)3 - Viene utilizzata una descrizione in termini di dipolo?

S3. Esaminando l’interazione a distanza che si sperimenta con diversi esploratori nello spazio circostante il magnete si indi-viduano le linee di campo

4 - Viene riconosciuto che le linee di campo sono una strut-tura simmetrica tridimensionale?

S4. Confi gurazione delle linee di campo nei due casi• poli omologhi affacciati• poli diversi affacciati

Rappresentazione, per ognuna delle due situazioni, in termi-ni di vettori di dipolo e di linee di campo.

5 - Emerge l’idea di sovrapposizione di campi?6 - Gli studenti descrivono le linee e/o le confrontano in diverse situazioni? Viene riconosciuto che la configurazione del-le linee di campo permette una previsione sul tipo di intera-zione tra i dipoli?

S5. Analisi della possibilità di sospendere un magnete sull’al-tro

Rappresentazione in termini di vettori di dipolo e di linee di campo.

7 - Viene riconosciuta l’impossibilità di sospendere un magne-te sull’altro a meno di introdurre un vincolo?8 - Gli studenti si mantengono su un piano descrittivo o rag-giungono un livello anche interpretativo?9 - Viene usata una descrizione in termini di dipoli?10 - Vengono usate le linee di campo magnetico per spiega-re la fenomenologia?


2. INTERAZIONI DI UN MAGNETE CON OGGETTI DI DIVERSO MATERIALE: FERRO – PARA – DIA MAGNETISMO

S6. Interazione tra un magnete e oggetti di diverso materiale avvicinando il magnete a:

S6.1. una graffetta o una sferetta: ferromagnetismo

S6.2. una bilancia di torsione con [solfato di rame e acqua ]o [polvere di alluminio e acqua] o [solfato di rame e olio]:para e diamagnetismo

S6.3. sottile mina di grafi te pirolitica: diamagnetismo

Rappresentazione, per ognuna delle tre situazioni, in termini di vettori di dipolo e di linee di campo.

11 - Viene utilizzata la descrizione in termini di dipoli e di linee di campo per rappresentare le situazioni esaminate?12 - Gli studenti si mantengono su un piano descrittivo o rag-giungono un livello anche interpretativo? Quali modelli inter-pretativi emergono per la fenomenologia osservata?13 - Vengono riconosciute le analogie e le differenze tra le varie situazioni?14 - Viene riconosciuto che gli oggetti presi in considerazione si comportano come dei dipoli, indotti dal campo magne-tico esterno?15 - L’esplorazione viene fatta avvicinando uno solo o entrambi i poli del magnete?

S7. Analisi della possibilità di sospendere una sottile sfoglia di grafi te pirolitica su un magnete

16 - Vengono individuate analogie e differenze col caso della sospensione di un magnete sull’altro?17 - Viene riconosciuta la necessità di un vincolo per avere sospensione?

S8. Esplorazione dell’interazione tra un magnete e un cam-pione di YBCO (YBa2Cu3O7 - superconduttore del II tipo con debole pinning) per determinare il tipo di materiale.


3. LE LINEE DI CAMPO

S9. Analisi delle linee di campo all’interno e fuori dai mate-riali:

S9.1. Analisi della possibilità che la presenza di un materiale in un campo magnetico costante ed uniforme possa modifi -care il campo magnetico risultante

S9.2. Analisi di come si modifi ca il campo magnetico risul-tante se un materiale ferromagnetico, paramagnetico, dia-magnetico viene immerso in un campo magnetico uniforme, tenendo conto della rappresentazione per linee di campo, di quelle per vettori di dipolo e del comportamento osservato nella esplorazione sperimentale.

S9.3. Confi gurazione delle linee di campo del sistema magnete + YBCO (a T ambiente)

19 - Viene tenuto conto del principio di sovrapposizione di campi? Sia dentro che fuori il materiale?20 - Viene data una descrizione/interpretazione in termini di dipoli e/o di linee di campo?


S10. Esplorazione del comportamento del sistema magnete + YBCO (superconduttore del II tipo con debole pinning) all’ab-bassarsi della temperatura (raffreddando con azoto liquido): effetto Meissner ed effetto pinning

21 - Viene riconosciuto che è avvenuta una transizione? Le descrizioni sono in termini di processo?22 - Gli studenti si mantengono su un piano descrittivo o pas-sano ad un piano interpretativo?23 - Viene utilizzata una descrizione in termini di linee di campo?

S11. Confronto e descrizione in termini di dipoli per cia-scuno dei casi:1) due magneti2) magnete e grafi te pirolitica3) superconduttore e magnete

Mentre nel caso della grafi te pirolitica il diamagnetismo evi-denzia come si realizza una sospensione non di equilibrio della grafi te pirolitica, il superconduttore sembra essere in equili-brio. L’effetto pinning.

24 - Viene utilizzata una descrizione in termini di dipolo?25 - Quali modelli interpretativi emergono per spiegare l’ef-fetto pinning?

4. IL CONTRIBUTO DELLA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ

S12. Un magnete in levitazione su un superconduttore YBCO (del II tipo con debole pinning) - il contributo della legge di Faraday-Neumann-Lenz in alcuni fenomeni connessi alla levitazione magnetica:

S12.1. il magnete resta in levitazione e non cade sul super-conduttore

S12.2. per il magnete in levitazione esiste un unico asse di rotazione permesso, l’asse N-S magnetico del magnete

S12.3. il magnete resta in levitazione con una qualunque orientazione del suo asse magnetico e, nonostante sia pre-sente solo l’attrito con l’aria, non si orienta secondo la dire-zione dell’asse magnetico terrestre

26 - I fenomeni osservati vengono interpretati in termini di variazione di fl usso di campo magnetico utilizzando la legge di Faraday? In che modo?

5. GLI EFFETTI DI UN FORTE PINNING

S13. Esplorazione dell’interazione tra un magnete e un cam-pione di YBCO (YBa2Cu3O7 - superconduttore del II tipo con forte pinning) per determinare il tipo di materiale.

Le linee di campo del sistema magnete + YBCO (a T ambiente)


S14. [Raffreddamento con campo magnetico] Esplorazione del comportamento del sistema magnete + YBCO (supercon-duttore del II tipo con forte pinning) all’abbassarsi della tem-peratura nei due casi:

S14.1. magnete poggiato sul campione di YBCO

S14.2. con uno spaziatore interposto

Confi gurazione delle linee di campo dei sistemi dopo la tran-sizione.

Descrizione e confronto delle situazioni S 10, S14.1. e S14.2. prima e dopo la transizione, in termini di vettori di dipolo, di linee di campo e di variazione di fl usso.

27 - Viene riconosciuto l’insorgere di un legame tra magnete e superconduttore dello stesso tipo del caso precedente?28 - Quali modelli interpretativi emergono per giustifi care la differenza di intensità di tale legame rispetto al caso pre-cedente?

S15. [Raffreddamento in assenza di campo magnetico]Raffreddare il campione di YBCO e poi provare ad avvici-nare il magnete.

29 - Quale modello interpretativo viene utilizzato per spie-gare i comportamenti osservati?

6. LA STABILITÀ DELLA LEVITAZIONE

S16. Una sottile sfoglia di grafi te pirolitica e 4 magneti (a forma di parallelepipedo): possibilità di ottenere la levita-zione della grafi te sui magneti


S17. Un campione di superconduttore del II tipo con forte pinning poggiato (con uno spaziatore) su:1) un magnete2) un quadrupoloIl sistema viene raffreddato. Esplorazione del comportamento e della stabilità nelle due situazioni.

Descrizione e confronto delle due situazioni, prima e dopo la transizione, in termini di vettori di dipolo, di linee di campo e di variazione di fl usso.

31 - Per ciascuno dei casi 1) e 2) viene data una descrizione/interpretazione in termini di dipoli, di linee di campo, di varia-zione di fl usso?32 - Quali modelli interpretativi emergono per dar conto della differenza di stabilità della levitazione nelle due situazioni?

7. IL TRENO MAGLEV A LEVITAZIONE MAGNETICA

S18. Problem solving. Prototipo di treno a levitazione magne-tica.Si chiede di:1) Descrivere il treno2) Descrivere il suo funzionamento3) Spiegare il suo funzionamento

33 - Quali elementi descrittivi del sistema e del suo funzio-namento emergono come importanti dalle descrizioni date dagli studenti?34 - Quali modelli interpretativi vengono utilizzati per spie-gare il funzionamento del treno maglev?

3. Considerazioni sui risultati della sperimentazione delle attività qui proposteLe esplorazioni proposte per indagare le interazioni tra magneti sono per lo più finalizzate a studiare la dipendenza di tali interazioni dalla posizione reciproca e dalla distanza relativa dei magneti.Le risposte degli studenti alle domande sugli esperimenti da loro stessi progettati sono per lo più di tipo interpretativo delle interazioni tra dipoli che, a seconda delle prove effettuate, sono liberi o vin-colati. Solo in un numero ristretto di casi le risposte sono semplicemente descrittive della fenome-nologia osservata.


La rappresentazione con vettori di dipolo delle situazioni provate è usata correttamente dalla mag-gior parte degli studenti e risulta un utile strumento per descrivere i risultati dell’esplorazione dello spazio circostante ad un magnete con bussole-esploratori per poi ricavarne la configurazione delle linee di campo.Le rappresentazioni per vettori di dipolo e per linee di campo nel caso di due magneti con poli omo-loghi e opposti affacciati vengono confrontate con gli effetti corrispondenti osservati e risultano un utile strumento per prevedere e giustificare l’impossibilità di sospendere due magneti uno sull’altro, a meno di inserire un vincolo.Le interazioni osservate tra un magnete e oggetti di materiale ferro-para e dia magnetico sono tutte interpretate facendo riferimento allo stato temporaneo che si induce nei materiali di volta in volta presi in esame, in termini di polarizzazione del materiale, di vettori di dipolo, di campo magnetico o di magnete indotto e la maggior parte degli studenti sottolinea che, mentre nel caso di due magneti i due dipoli sono permanenti, ora uno è fisso e l’altro è temporaneo e indotto dal campo magnetico esterno.Alla richiesta di pianificazione di una proposta operativa per classificare un campione di YBCO tutti gli studenti propongono di avvicinare al campione il magnete da un lato e dall’altro.La modificazione del campo magnetico risultante che un materiale immerso in un campo costante ed uniforme può produrre viene spiegata utilizzando il principio di sovrapposizione dei campi esterno e indotto. Anche quando il materiale preso in considerazione è specificatamente ferro-para-dia magne-tico, 9 studenti utilizzano il principio di sovrapposizione per giustificare il cambiamento dell’inten-sità del campo magnetico sia all’interno che all’esterno dei materiali. Circa metà degli studenti uti-lizza la rappresentazione in termini di vettori di dipolo, l’altra metà utilizza la rappresentazione in termini di linee di campo.Osservando il comportamento di un sistema YBCO – magnete raffreddato con azoto liquido, tutti gli studenti riconoscono una transizione che ha modificato le proprietà magnetiche dell’YBCO che è diventato un materiale diamagnetico e la loro attenzione si focalizza su cosa ha prodotto il cambia-mento: l’abbassamento della temperatura, le variazioni del campo magnetico risultante all’interno e all’esterno del superconduttore a causa del diamagnetismo che è nato, la polarizzazione indotta nel superconduttore e i cambiamenti del campo magnetico risultante per il principio di sovrapposizione. Si registrano inoltre alcune risposte in cui la fenomenologia è interpretata in termini di variazione di flusso del campo magnetico e induzione elettromagnetica.Il confronto della levitazione di un magnete su un superconduttore con il caso di una sfoglia di gra-fite pirolitica su un magnete permette di riconoscere che tra magnete e superconduttore si è instau-rato un vincolo (effetto pinning) che viene interpretato per lo più con modelli in cui le linee di campo (che in alcuni casi sono pensate riuscire a penetrare il superconduttore e creano un vincolo, in altri avvolgono il superconduttore e lo tengono legato) sono pensate come enti materiali capaci di vinco-lare e legare oggetti diversi; in alcuni casi la stabilità della levitazione viene interpretata in termini di induzione elettromagnetica e variazione di flusso del campo magnetico concatenato con la super-ficie del superconduttore.Nel caso della levitazione di un magnete su un superconduttore con forte pinning, la maggiore stabi-lità della levitazione, ovvero la maggiore intensità del vincolo che si osserva rispetto al caso prece-dente, viene interpretato con una maggiore presenza di vortici nel superconduttore.Dall’analisi della attività di problem solving di interpretazione del funzionamento di un trenino a levitazione magnetica emergono modelli interpretativi in cui la rappresentazione in termini di linee di campo e di effetti conseguenti gioca un ruolo fondamentale. Le linee di campo, però, sono ancora pensate come enti materiali o come linee di forza su cui il superconduttore può scivolare, emerge quindi la necessità di costruire percorsi per superare questi nodi. In alcuni casi l’interpretazione è in termini di variazioni di flusso del campo magnetico che generano correnti indotte nel supercondut-tore che, con il loro campo, si oppongono a detta variazione e quindi, per esempio, non permettono al trenino di cadere o di uscire dai binari.

Capitolo 5. Schede per una didattica esplorativa

DALL’ESPLORAZIONE CON POLAROID AL FORMALISMO DELLA MECCANICA QUANTISTICA. SCHEDE STUDENTE 1-15 E QUESTIONARIO.

Marisa Michelini e Alberto StefanelUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, Università di Udine

IntroduzioneL’esperienza ed un’ampia letteratura ci insegnano che la coerenza di un percorso didattico e del filo dei ragionamenti nell’attività in classe si ottengono utilizzando strumenti di lavoro – Schede Stimolo (SS) (Martongelli et al 2001) – che pongano i problemi da esplorare e documentino i ragionamenti del razionale proposto. Esse permettono di monitorare gli apprendimenti ed indentificare i nodi da affrontare, oltre che le competenze acquisite. Per gli insegnanti sono uno strumento di progettazione e riflessione sui processi di apprendimento dei ragazzi. Nella nostra esperienza di ricerca sono uno strumento di lavoro ed anche formativo e di raccolta dati, capace di trasformare l’attività didattica in attività di ricerca – azione per gli insegnanti.Le schede studenti qui proposte traducono operativamente, e ne costituiscono parte integrante, la proposta didattica basata sulla ricerca sull’insegnamento apprendimento della meccanica quantistica nella scuola con approccio alla Dirac, messa a punto in oltre quindici anni di ricerche (Ghirardi et al. 1995, 1997; Michelini M et al 2000; Michelini, Stefanel 2004). Sono progettate per attivare stra-tegie basate sull’inquiry method (McDermott et al 1998; Thornton, Sokoloff 1999; Abd-El-Khalick F et al. 2004) e consentire il monitoraggio dei percorsi di apprendimento degli studenti (Aiello et al 1997; Marucci et al 2001; Martongelli et al 2001).Si possono raccogliere in tre gruppi: schede fenomenologiche, per la esplorazione dei fenomeni di polarizzazione della luce e la loro caratterizzazione con leggi epiriche; schede concettuali, in cui si costruisce il concetto di stato quantomeccanico esplorando ipotesi interpretative diverse e le conse-guenze che tali ipotesi comportano; schede sul formalismo, in cui si guidano gli studenti alla rappre-sentazione matematica di stati e osservabili. Seppure di diversa struttura, mirate a diversi obiettivi e con alcune importanti differenze, tutte le schede fanno riferimento al seguente modello generale: A) il problema - si presenta brevemente il problema che costituisce il punto di attacco del nodo

concettuale che si vuole affrontare nella scheda;B) la situazione- il problema viene contestualizzato in una o due situazioni sperimentali, ciascuna

delle quali consente di superare un ben definito microstep concettuale; C) la previsione - per ciascuna situazione gli studenti prevedono l’esito dell’esperimento, sia esso

reale o ideale, in merito a un ben definito aspetto qualitativo o quantitativo che sia; D) l’esperimento - gli studenti effettuano l’esperimento, o la semplice osservazione sperimentale,

mirando al particolare aspetto selezionato, ne descrivono gli aspetti essenzialiE) il confronto - gli studenti confrontano previsioni ed esiti dell’esplorazione effettuata per ricono-

scerne analogie e differenzeF) le conclusioni – la richiesta di una sintesi degli obiettivi concettuali raggiunti nel microstep

conclude l’attività proposta nella scheda aprendo la strada a nuove domande ossia indirizzando verso l’analisi di nuovi problemi.

La maggior parte delle schede mira a un singolo microstep concettuale e pertanto è di 1-2 facciate. Solo un paio di schede sono di 4-6 facciate. Tali schede mirano a un obiettivo complesso, che viene scomposto in microstep, ciascuno analizzato nelle diverse parti in cui è composta la scheda, riepi-logati e sintetizzati in una conclusione di sintesi dell’intera scheda.Le schede si concatenano in un percorso logicamente strutturato, che consente di affrontare con orga-nicità e completezza i nodi principali della proposta sviluppata. Realizzano una struttura modulare

234 Capitolo 5. Schede per una didattica esplorativa

che ne consente un uso non rigido, per seguire percorsi didattici diversi, per esempio più orientati agli aspetti concettuali o al contrario più rivolti a quelli legati al formalismo. Tengono conto dei risultati di ricerca sui processi di apprendimento, consentono di dare risposta ai tipici problemi di apprendimento, seguire le tipiche sequenze di ragionamento, proporre i nodi principali della MQ in un contesto motivante, coinvolgente e interessante. Consentono di affrontare la MQ sia all’interno di un riferimento teorico ortodosso o standard, sia di esplorare alcune conseguenze che derivano da un approccio alternativo come quello delle teorie a variabili nascoste.Si offrono per l’attività in classe come tracce di lavoro autonomo, per favorire il confronto di idee in gruppi di studenti, fissare idee e concetti attraverso la loro esplicitazione, stimolare l’esplorazione di percorsi di apprendimento sui concetti fondanti della MQ, in particolare sul principio di sovrap-posizione e le principali conseguenze che da esso ne derivano.Oltre a fornire tracce diverse di lavoro per l’insegnante, le schede, una volta compilate dagli studenti, consentono di seguire i loro percorsi di apprendimento, individuare i nodi non risolti, riconoscere i passaggi in cui si è prodotto apprendimento. Il quadro riepilogativo delle schede

BibliografiaAbd-El-Khalick F et al. (2004) Inquiry in science education: International perspectives. Sci. Educ.,

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Thornton RK, Sokoloff DR (1999) Learning motion concepts using real-time microcomputer-based laboratory tools, Am. J. Phys. 58 (9), 1999. p. 858-867

235

Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell’Università di UdineDall’esplorazione con polaroid al formalismo della meccanica quantisticaSCHEDA STUDENTE a cura di Marisa Michelini ed Alberto Stefanel

Scheda 1 - Produrre/Analizzare luce polarizzata con polaroid sulla lavagna luminosa

A. ESPLORAZIONE. Produrre luce polarizzata

Azioni effettuate

Sulla lavagna luminosa…

Osservazioni.

L’intensità della luce trasmessa…

Considerazioni

sulla frazione di luce trasmessa

A1…appoggio un polaroid

…dal polaroid si riduce di un dato fattore

Solo una frazione di luce viene trasmessa dal polaroid.

A2…ruoto il polaroid …dal polaroid…………………… Sempre la stessa frazione di luce viene trasmessa

A3…appoggio due polaroid identici con la stessa orientazione

…dai due polaroid ………………………..

A4…traslo, ruoto insieme i due polaroid rispetto alla lavagna


A5….ruoto uno dei due polaroid rispetto all’altro intorno a un asse

verticale


B. Analizzare la polarizzazione della luceL’intensità della luce trasmessa da un solo polaroid appoggiato sulla lavagna luminosa (A1) è ridotta. Tale intensità non cambia se si ruota il polaroid di 360° intorno alla direzione ortogonale al piano della lavagna (direzione di osservazione) (A2). L’intensità della luce trasmessa da un secondo pola-roid (analizzatore) appoggiato sul primo cambia in funzione dell’angolo relativo tra i polaroid (ruoto il secondo rispetto al primo intorno alla direzione di osservazione). Il minimo si ha quando sono tra loro ortogonali (A5).

B1. La luce emessa dalla lavagna luminosa e quella che ha attraversato il polaroid hanno le stesse

proprietà? Spiegare ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

C. Orientazione dei Polaroid e polarizzazione della luce.I nostri occhi sono dei sensori di intensità luminosa e non sono in grado di riconoscere la luce pola-rizzata. Per questo abbiamo bisogno di utilizzare un polaroid come analizzatore per riconoscere la eventuale polarizzazione della luce.C1. In che modo si riconosce che la polarizzazione è una proprietà della luce diversa dalla sua intensità?_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

236


C2. PROBLEMA. La luce viene sempre polarizzata nello stesso modo dal polaroid? Cosa deter-mina la polarizzazione che essa assume?C2.1 PREVISIONE e spiegazione

_______________________________________________________________________________

C2.2 ESPLORAZIONEDue polaroid sono appoggiati sulla lavagna luminosa, sovrapposti e ruotati di un angolo α rispetto alla situazione di massimo di trasmissione.C2.3 Con un altro polaroid si analizza la polarizzazione della luce trasmessa dal secondo polaroid. Essa è determinata:

a) solo dalla orientazione nello spazio del primo polaroid b) solo dalla orientazione nello spazio del secondo polaroid c) dalla orientazione relativa di un polaroid rispetto all’altro.

C2.4 Prove effettuate e motivazione della risposta

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

C2.5 L’intensità della luce trasmessa dal secondo polaroid dipende: a) solo dalla orientazione nello spazio del primo polaroid b) solo dalla orientazione nello spazio del secondo polaroid c) dalla orientazione relativa di un polaroid rispetto all’altro.

commenti ______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

D. Polarizzazione come proprietà che caratterizza lo stato della luce.La polarizzazione della luce trasmessa da un polaroid è determinata dalla sua orientazione nello spa-zio. Se la polarizzazione è una proprietà della luce preparata dal polaroid che la trasmette, come si può fare perché la luce trasmessa da più polaroid abbia sempre la stessa proprietà?

SITUAZIONE PER L’ESPLORAZIONEUn polaroid è appoggiato sulla lavagna luminosa. Su di esso si appoggiano, uno sopra all’altro, due polaroid in modo da avere sempre un massimo di trasmissione (polaroid con direzione di trasmissione parallela, per brevità polaroid paralleli). Con un polaroid-analizzatore si analizza la polarizzazione della luce trasmessa da ciascun polaroid.

D1. Come bisogna orientare l’analizzatore per osservare un massimo di trasmissione nei diversi casi?

Osservazione della luce trasmessa dal:

Orientazione dell’analizzatore per avere un massimo di trasmissione

I polaroid

II polaroid

III polaroid

237


D2. In base al risultato ottenuto, cambia la polarizzazione della luce trasmessa dai diversi polaroid sovrapposti? Spiegare

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

E. Rappresentazione formalizzata.La polarizzazione della luce trasmessa da più polaroid paralleli è sempre la stessa. Quindi la luce si trova sempre nello stesso stato di polarizzazione.E1. Dopo aver fissato opportuni riferimenti, si rappresenti con una freccia lo stato di polarizzazione della luce trasmessa da ciascuno dei due polaroid disegnati in figura (si supponga che l’angolo tra essi sia diverso da 90°)E2. Spiegare accanto il criterio con cui è stato fatto il disegno.

Illustrazione Spiegazione

F. Ruolo dei polaroid nell’interazione con la luce.Quando sovrapponiamo più filtri rifrangenti l’intensità della luce trasmessa si riduce con l’aumen-tare del numero di filtri.Succede la stessa cosa nel caso di filtri polaroid?

ESPLORAZIONE. Due polaroid sono disposti sulla lavagna luminosa, uno sopra all’altro incrociati in modo da ottenere un minimo di intensità luminosa trasmessa, come nella immagine a destra.

F1. Previsioni sull’intensità della luce trasmessa

F1.1 Si appoggia un terzo polaroid sopra ad essi, variandone l’orientazione


F1.2 Si inserisce il terzo polaroid in mezzo agli altri due, inclinato di 45° rispetto ad essi


238


F2. Esperimento - Si effettua ora la prova.

Azioni effettuate

Sulla lavagna luminosa…

Osservazioni ed esiti sull’intensità luminosa.

L’intensità della luce trasmessa….

Confronto con la previsioneAnalogie/Differenze

Conclusione

F2.1… appoggio un terzo polaroid su due fi ltri incrociati

F2.2… inserisco un terzo polaroid tra due fi ltri

disposti incrociati

F2.3… ruoto il terzo polaroid intorno ad un asse perpendicolare al piano della lavagna

F3. Un filtro passivo è una lamina rifrangente, che attenua l’intensità della luce trasmessa. In base all’esperienza, il polaroid si comporta come un filtro passivo? Motivare la risposta.

F4. Prima formalizzazione.F4.1 Si disegni la situazione con i due polaroid incrociati e il terzo inserito fra essi a 45°, rappresen-tando intensità e polarizzazione della luce trasmessa da ciascun polaroid;

F4.2 Si discuta la spiegazione dei risultati ottenuti.

239


Scheda 2 - Birifrangenza con un cristallo di calcite sul libro

A. Esplorazione della birifrazioneQuando la luce passa da un mezzo isotropo ad un altro messo iso-tropo (es. dall’aria al plexiglas o al vetro) viene rifratta secondo la legge di Cartesio-Snell. Si vuole ora esplorare che cosa accade se la luce interagisce con un mezzo non isotropo come in genere sono i cristalli.

A1. Si appoggia un cristallo di calcite (tipo spato di Islanda) sulla pagina scritta di un libro.

Quante immagini delle scritte si osservano? ________________

A2. Si ruota di un piccolo angolo (<30°) il cristallo, lasciando la stessa faccia sulla pagina. Si descriva, eventualmente servendosi anche di uno schizzo, che cosa accade alle immagini osservate.

A3. Si appoggi sul libro un blocchetto di plexiglas o vetro.

A3.1 Quante immagini si osservano? ________________________________________________

A3.2 Se si ruota il blocchetto, ruota anche l’immagine? __________________________________

A.4. ConclusioniA4.1 In base a queste semplici osservazioni si descriva il fenomeno osservato, che prende il nome di birifrangenza.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

A4.2 Come si può differenziare il processo di birifrazione, che si ha per esempio quando la luce incide su un cristallo birifrangente come la calcite, da quello dell’ordinaria rifrazione, che si ha per esempio quando la luce incide su una lamina di vetro, plexiglas o altro materiale rifrangente?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

240


B. Polarizzazione della luce birifratta.Si vuol ora esplorare la luce birifratta da un cri-stallo con un polaroid per evidenziare l’even-tuale polarizzazione.

B. Si pone un polaroid sopra ad un cristallo di calcite, appoggiato sulla lettera scritta su un foglio. Attraverso il polaroid si osservano le immagini della lettera.

B1. Che cosa si osserva attraverso il polaroid posto sopra al cristallo? ______________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

B2. Si ruota il polaroid mantenendolo sopra al cristallo.B2.1 Cambia l’intensità delle immagini che si osservano? Sì NoB2.2 Cambia il numero di immagini che si osservano? Sì NoB3. Si ruoti ora il polaroid fino a che si ottiene una sola immagine.B4. Disegnare le situazioni che hai realizzato per ottenere una sola immagine trasmessa dal polaroid (il cristallo è visto dall’alto)

Calcite Calcite

B4.1 Commentare le illustrazioni con una breve spiegazione.

D4.2 Di che angolo bisogna ruotare il polaroid per passare da una situazione all’altra? _________

D5. Le immagini della lettera, prodotte dal cristallo, sono generate da fasci di luce che hanno pro-prietà diverse.D5.1 Dalle osservazioni fatte, puoi concludere che tali fasci sono polarizzati? Sì NoD5.2 Che cosa si può concludere sulla polarizzazione di questi fasci? Motivare la risposta

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

241


C. L’interazione di luce laser con un cristallo birifrangenteOsservato come la luce non polarizzata interagisce con un cristallo birifrangente, si vuole esplorare ora come la luce polarizzata, come quella emessa da un laser interagisce con un cristallo birifrangente.Il fascio di luce polarizzata di un puntatore laser incide su un cristallo birifrangente. Si intercettano su uno schermo S i fasci che emergono dal cristallo. Si osservano le macchie luminose che si formano.

C1. PrevisioniC1.1 Qual è il numero di macchie che ci si aspetta di osservare sullo schermo S? ____________________________________________

C1.2 Se si allontana di qualche centimetro lo schermo S, con cui si intercettano i fasci, che cosa cam-

bierà nelle macchie che si osservano? ________________________________________________

C1.3 Si intercettano i fasci emergenti dal cristallo con un polaroid.❖ Se si ruota il polaroid intorno alla direzione del fascio laser, ci si aspetta che cambi l’inten-

sità delle macchie luminose sullo schermo? ____________________________________

❖ Ci si aspetta di trovare orientazioni del polaroid, per cui si ha una sola macchia? Sì No

Esplicitare la risposta _____________________________________________________________

C1.4 Si ruota di un piccolo angolo (<30°) il cristallo, intorno alla direzione di incidenza della luce.❖ La posizione delle macchie sullo schermo resterà la stessa? ________________________

❖ Si analizza la polarizzazione dei fasci con un polaroid. Che cosa ci si aspetta di osservare?

C2. Esperimento. Si effettui ora l’esperimentoC2.1 Quante macchie luminose si osservano sullo schermo S? _____________________________

C2.2 Si allontana lo schermo S. Che cosa cambia nelle macchie luminose che si osservano su di esso?_______________________________________________________________________________

C3. Si intercettano i due fasci emergenti dal cristallo con un polaroid usato come analizzatore.C3.1 Cambia l’intensità delle macchie osservate sullo schermo S, quando si ruota il polaroid intorno alla direzione della luce incidente?

_______________________________________________________________________________

C3.2 Illustrare come si deve orientare il polaroid, per osservare sullo schermo S una sola macchia luminosa.

242


C4. Si ruota di un piccolo angolo (<30°) il cristallo, intorno alla direzione di incidenza della luce.

C4.1 La posizione delle macchie sullo schermo resta la stessa? ____________________________

Spiegare _______________________________________________________________________

C4.2 Si analizza la polarizzazione dei fasci con un analizzatore. Cambia l’intensità delle macchie intercettate sullo schermo? Spiegare._______________________________________________________________________________

C4.3 Si confronta la polarizzazione dei fasci di luce trasmessi dal cristallo in questa situazione (sezione B4) e nella situazione analizzata inizialmente (sezione B3). Quali analogie/differenze si rilevano?

Analogie tra le due situazioni Differenze tra le due situazioni

C5. ConfrontoC5.1 Confrontare le previsioni con le osservazioni fatte. Discutere analogie e differenze.

Analogie Differenze

C5.2 In base alle osservazioni fatte.

_______________________________________________________________________________

❖ Si ritengono ancora valide le ipotesi alla base delle previsioni? Sì No

❖ Quali modifiche si devono a tali ipotesi? ____________________________________________

C6. ConclusioniC6.1 Si riepiloghino in forma di conclusioni le osservazioni effettuate.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

C6.2 Schizzo della situazione, con indicazione anche della polarizzazione del fascio incidente e dei fasci trasmessi dal cristallo.

243


Scheda 3 - Interazione di luce con due cristalli birifrangenti

La fenomenologia della birifrazione studiata quando la luce interagisce con un cristallo come la calcite tipo spato d’Islanda, viene ora estesa all’analisi di tre situazioni in cui due cristalli sono allineati con in fascio di un punta-tore laser. Queste situazioni possono essere poi rianalizzate con esperimenti simulati a singolo fotone in condizioni ideali utilizzando l’applet JQM.

A. Due cristalli direttiDue cristalli di calcite sono disposti uno di seguito all’altro con le facce corrispondenti parallele (cristalli diretti). Il fascio di luce polarizzata di un puntatore laser incide sul primo cristallo. Si dispone il puntatore in modo da ottenere due fasci trasmessi di uguale intensità (polarizzazione verti-cale del fascio incidente). I fasci trasmessi incidono sul secondo cristallo. Con uno schermo S si intercettano i fasci emergenti dal secondo cristallo.

A PrevisioniA1.1 Quanti fasci di luce ci si aspetta che emergano dal secondo cristallo? ___________________

A1.2 Che polarizzazione si prevede che abbiano? _______________________________________

A1.3 Illustrare che cosa ci si aspetta di osservare, tracciando il cammino dei diversi fasci di luce: quello che incide sul primo cristallo, quelli che vengono trasmessi da ciascuno dei due cristalli e intercettati dallo schermo.

A1.4 Rappresentare nel disegno la polarizazione che ci si aspetta di rilevare per i diversi fasci.A.2 Esperimento. Effettua ora l’esperimento.

A2.1 Quanti fasci di luce emergono dal secondo cristallo? ________________________________

A2.2 Disegnare la situazione osservata, tracciando il cammino dei diversi fasci di luce: quello inci-dente; quelli trasmessi da ciascun cristallo.

244


A2.3 Esplora con un polaroid analizzatore la polarizzazione dei diversi fasci e rappresentarla nella figura.A2.4 Riportare il risultato della esplorazione sulla polarizzazione nella seguente tabella

Polarizzazione della luce che incide sul primo

cristallo

Fasci che si propagano tra i cristalli

Fascio polarizzazione

Fasci che emergono dal secondo cristallo e incidono sullo schermo


Verticale

Orizzontale

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

A2.5 ConfrontoA2.5.1 Confronta le previsioni con le osservazioni effettuate. Discutere analogie e differenze.

Analogie Differenze

A2.5.2 In base alle osservazioni fatte.

❖ Sono ancora valide le ipotesi alla base delle tue previsioni? Sì No

❖ Eventuali modifiche? _____________________________________________________

A3 Conclusioni.Si osservano ______ fasci, che emergono dal secondo cristallo, rispettivamente con polarizzazione

____________________________ perché ____________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

B. Due cristalli diretti di cui uno ruotato di 45ºDue cristalli di calcite sono allineati, uno di seguito all’altro, con il raggio di un puntatore laser, ini-zialmente con le facce corrispondenti parallele (cristalli diretti). Il secondo cristallo viene ruotato di 45° intorno alla direzione di propagazione del fascio incidente sul primo cristallo. Con uno schermo si intercettano i fasci emergenti dal secondo cristallo.

B1 PrevisioniB1.1 Quanti fasci di luce ci si aspetta di osservare in uscita dal secondo cristallo? _____________

B1.2 Che polarizzazione ci si aspetta che abbiano? B1.3 Disegna la situazione che ti aspetti di osservare, tracciando il cammino dei diversi fasci di luce, quello che incide sul primo cristallo; quelli che si propagano tra i due cristalli, quelli emergenti dal secondo cristallo intercettati dallo schermo.

245


B1.4 Rappresenta nel disegno la polarizazione che ci si aspetti di rilevare per i diversi fasci raffigurati.

B2. Esperimento. Effettua ora l’esperimento.

B2.1 Quanti fasci di luce emergono dal secondo cristallo? ________________________________

B2.2 Illustra la situazione osservata. Traccia il cammino dei diversi fasci di luce, quello che incide sul primo cristallo e quelli trasmessi da ciascuno dei due cristalli.B2.3 Esplora con un polaroid analizzatore la polarizzazione dei diversi fasci. Rappresenta nella figura la polarizzazione rilevata dei diversi fasci di luce.

B2.4 Riporta il risultato della esplorazione sulla polarizzazione nella seguente tabella

Polarizzazione della luce incidente sul primo

cristallo

Fasci che si propagano tra i cristalli


Fasci che emergono dal secondo cristallo e incidono sullo schermo


B3. ConfrontoB3.1 Confronta le tue previsioni con le osservazioni fatte. Discuti analogie e differenze.

Analogie Differenze

B3.2 In base alle osservazioni fatte, ritieni ancora valide le ipotesi che ti hanno condotto alle previ-sioni formulate? Sì No

Eventualmente come le modificheresti? ______________________________________________

_______________________________________________________________________________

B4. Conclusioni

B4.1 Si osservano _______ fasci, che emergono dal secondo cristallo, perché ________________

B4.2 Tali fasci hanno rispettivamente le seguenti polarizzazioni:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

246


C. Due cristalli inversiSu due cristalli di calcite allineati, uno diretto e uno inverso, incide il fascio di luce polarizzata di un punta-tore laser. Con uno schermo S si intercetta la luce emer-gente dal secondo cristallo (nella foto un ovale copre la parte illuminata).

C1. Previsioni.C1.1 Quanti fasci di luce ci si aspetta di osservare in uscita dal secondo cristallo? _____________

C1.2 Con che polarizzazione? ______________________________________________________

C1.3 Disegna la situazione che ci si aspetta di osservare. Traccia il cammino dei diversi fasci di luce: quello incidente sul primo cristallo e quelli trasmessi da ciascuno dei cristalli.

Immagine speculare di un cristallo diretto, ottenuto ruotando il secondo didue cristalli diretti di 180° intor-no alla direzione di propagazione del frascio incident.

C1.4 Rappresenta nel disegno la polarizazione, che si prevede di rilevare per i diversi fasci raffigu-rati.

C2. Esperimento. Effettua ora l’esperimento.

C2.1 Quanti fasci di luce si osservano emergere dal secondo cristallo? ______________________

C2.2 Disegna la situazione osservata. Tracciare il cammino dei diversi fasci di luce.

247


C2.3 Esplora con un polaroid analizzatore la polarizzazione dei diversi fasci e rappresentarla per cia-scuno dei fasci raffigurati.

C3. ConfrontoC3.1 Confrontare le previsioni con le osservazioni fatte. Discutere analogie e differenze.

Analogie Differenze

C3.2 In base alle osservazioni effettuate, sono ancora valide le ipotesi alla base delle previsioni for-mulate? Sì No

C3.3 Eventuali modifiche? ________________________________________________________

D. ConclusioniSi osservano _____ fasci, che emergono dal secondo cristallo, perché ______________________.

In merito alla polarizzazione della luce emergente dal secondo cristallo si può concludere _______

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Se si effettua l’esperimento mantenendo la coerenza tra i due fasci che si propagano tra i due cristalli, il fascio emergente ha la stessa polarizzazione del fascio incidente (questo è quanto avviene nella simulazione JQM). Il fascio emergente dal secondo cristallo non ha alcuna polarizzazione se tale coe-renza viene distrutta, come in genere accade nelle situazioni realizzabili in laboratorio didattico.

248


Scheda 4 - Scheda raccolta dati

Le leggi che descrivono la fenomenologia della polarizzazione si ottengono facilmente misurando con un sensore di luce on-line l’intensità della luce trasmessa dai polaroid variando: a) l’angolo for-mato tra due di essi; b) il numero di polaroid paralleli disposti tra la sorgente e il sensore.

Materiali: Sensore di luce on line; sorgente di luce laser, proiettore di luce bianca con lente foca-lizzatrice; polaroid su supporto ruotante; 6-8 polaroid uguali e supporto per fissarli. Un banco ottico può essere utile, ma non necessario in quanto per l’allineamento è sufficiente usare il laser.Assemblaggio: si dispone il sensore a 50 cm circa dalla sorgente di luce orientandolo in modo che sia ben illuminata la parte sensibile. Si interpongono tra sorgente e sensore: il polaroid su sopporto ruotante o i polaroid su supporto fisso di cui si misura il coefficiente di trasmissione.

1. Attività preliminariEffettuato l’assetto, si procede alla calibrazione del sensore, in modo da operare in regime lineare. Se la sorgente è il proiettore di luce, è necessario usare un alimentatore stabilizzato e focalizzare oppor-tunamente il fascio di luce sul sensore.Misure preliminari: intensità del fondo (bias).

2. Legge di Malus2.1 Acquisizione datiSi acquisisce l’insensità della luce I(α) al variare dell’angolo α di cui si ruota il polaroid più vicino al sensore a partire dal massimo di trasmisisone (si può ad esempio variare α di 10° in 10°, da 0 a 90° o da 0° 180°). L’angolo α viene inserito manualmente, l’intensità I viene acquisita on-line.Si costruisce una tabella, su foglio di carta o su foglio elettronico, in cui si riportano I seguenti dati: valori di α; valori di; dati di intensità luminosa I misurata dal sensore (eventualmente sottraendo a ciascuno il fondo); rapporto tra le intensità misurate e il loro valore massimo Imax.

α (º) cos2 (α) I (u.a.) I/Imax

0

10

20

….

249


2.2 Elaborazione.Si costruiscono i grafici di I/ Imax in funzione di α e di cos2α (per 0º ≤ α≤ 90º o 90º ≤ α≤ 180º). Un probabile errore sistematico su α può essere corretto osservando l’eventuale shift del minimo del primo grafico rispetto ad α=90°. Si interpolano linearmente i dati del secondo grafico per ricono-scere la legge di Malus.

3. Coefficiente di trasmissione.Si acquisisce l’insensità della luce I(n) al variare del numero di polaroid paralleli interposti tra sor-gente (il proiettore) e il sensore. Il numero di polaroid viene inserito manualmente, l’intensità I viene acquisita on-line.Si costruisce una tabella, su foglio di carta millimetrata o su foglio elettronico, in cui si riportano I seguenti dati: numero di polaroid inseriti (n=0,1,2,3…), intensità luminosa I misurata dal sensore (eventualmente sottraendo a ciascuno il fondo); rapporto tra le intensità misurate e il loro valore mas-simo Imax; ln(I/Imax) (per N≥1).

3.2 Elaborazione.Si costruiscono i grafici di I/ Imax e di ln(I/Imax) in funzione di n. Si interpolano linearmente i dati del secondo grafico per ricavare il coefficiente di trasmissione T dei polaroid (T: rapporto tra inten-sità della luce trasmessa e intensità della luce incidente su un polaroid).

250


Scheda 5 - Dall’esperimento di Malus alla situazione ideale

A. L’esperimentoUn fascio di luce polarizzata di intensità Io incide su un Polaroid, il cui coefficiente di trasmissione è T. Sperimentalmente si è trovato che l’intensità della luce trasmessa è data da:

IT(θ)=Io T cos2θ

A1.1 Quali aspetti della fenomenologia sono descritti dal coefficiente T (il significato fisico di T)?

_______________________________________________________________________________

A1.2 Il suo valore sperimentale è sempre: > 1 < 1 = 1Motiva la risposta: _______________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

A2. Quale aspetto della fenomenologia è descritto dal fattore cos2θ? _______________________

Gli esperimenti che abbiamo condotto possono essere riletti tenendo conto del fatto che la luce è composta da fotoni,che vengono sempre rivelati come entità singole o discrete (Non accade mai di rivelare 1/2 fotone). L’intensità di luce è proporzionale al numero di fotoni.

B-POLAROID IDEALIB1. Un fascio di N fotoni, precedentemente filtrato da un primo Polaroid che polarizza verticalmente la luce (polaroid V), incide su un polaroid ideale F2 (T=1) ruotato di 45° rispetto a V. Con un rive-latore posto oltre F2 si misura il numero di fotoni trasmessi.B1.1 Qual è il numero NT dei fotoni che vengono trasmessi da F2? NT = _________

B2. Che direzione di polarizzazione dovrebbe avere il fascio incidente affinché il rapporto NT / N

sia uguale a: 1? ___________; 0? __________ 1/2? _____________

B3. Si consideri ora il caso in cui il fascio sia di bassa intensità, ovvero in cui si possa considerare che solo un fotone alla volta interagisca con il Polaroid (ed eventualmente il rivelatore), per cia-scuno degli N fotoni del fascio. Cambieresti le risposte alle domande dei punti B1 e B2? Esplicita e motiva le risposte.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

B4. Un fascio di N fotoni polarizzato secondo la direzione verticale V incide su un polaroid ideale (T=1) con direzione permessa ruotata di θ rispetto a V.

• Che informazione fornisce la legge di Malus, sulla sorte di ciascun fotone?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

251


B5.1 Qual è la probabilità che un fotone di una fascio polarizzato a 45° venga trasmesso da un pola-roid ideale (T=1) con direzione permessa:

• _________ verticale? _____________ orizzontale? _____________ A 45°? ______________

B5.2 Spiegare le risposte date ______________________________________________________

C. POLAROID REALIC1. Un fascio di luce polarizzata secondo una definita direzione (ad esempio la direzione V) com-posto da N fotoni incide su un polaroid reale (es.:T=0.7)C.1.1 Qual è la probabilità che un fotone del fascio venga trasmesso dal Polaroid:

• con direzione permessa V? ____________________________________________________

• con direzione permessa O (orizzontale)? __________________________________________

• con direzione permessa a 45° rispetto a V? ________________________________________

C2. Nel caso di polaroid reali (es. T=0.7) è possibile avere una probabilità di trasmissione:

C2.1 uguale ad 1? Sì No

Spiegare: ______________________________________________________________________

C2.2 uguale a 0? Sì No

Spiegare: ______________________________________________________________________

C3. Nel caso di polaroid reali (es.:T=0.7):

C3.1 qual è il valore massimo della probabilità di trasmissione di un fotone? ______________

C3.2 quando si ottiene? ________________________________________________________

C4. Che informazione fornisce sulla sorte dei singoli fotoni il rapporto in questo caso?

_______________________________________________________________________________

252


Scheda 6 - Riepilogo sulla interazione fotoni-polaroid e l’interpretazione probabilistica

A. Un fascio di N fotoni, trasmesso da un primo polaroid F1, incide su un secondo polaroid F2, ad esso sovrapposto e ruotato intorno alla direzione del fascio di un angolo θ a partire dalla situazione di massimo di trasmissione. Qual è la probabilità P(θ) che un fotone venga trasmesso da F2? P(θ) = _____ ______

B. Su due polaroid allineati F1 ed F2 incide un fascio di fotoni polarizzati di intensità I0. Qual è l’in-tensità della luce trasmessa e la probabilità di trasmissione nei diversi casi?

Casi Polarizzazione Orientazione Polaroid (*) Intensità luce trasmessa I // probabilità di trasmissione P

fascio incidente F1 F2 Da: F1 F2 dai due polaroid

(*) IF1 P F1 IF2 P F2 I P

B1 V V V I0 1 I0 1 I0 1

B2 V V H I0 1 0 0 0 0

B3 V 45° V I0/4 ½ I0/4 ¼

B4 V 45° H

B5 H 45° H

B6 H 45° V

B7 45° H V

B8 45° H 45°

B9 45° V 45°

(*) V: verticale; H: orizzontale; 45°: a 45°

C. Su tre polaroid allineati F1, F2 ed F3, incide un fascio di fotoni polarizzati di intensità I0. Qual è l’intensità della luce trasmessa e la probabilità di trasmissione nei diversi casi?

Casi Polarizzazione Orientazione Polaroid (*) Intensità luce trasmessa I // probabilità di trasmissione

fascio incidente F1 F2 F3 da F1 da F2 da F3 dai tre polaroid

(*) IF1 P F1 IF2 P F2 IF2 P F2 I P

C1 V 45° V V I0/2 0,5 I0/4 0,5 I0/4 1 I0/4 0,25

C2 V 45° H 45° I0 1 0 0 0 0 I0 1

C3 V 45° V 45° I0/4 0,5 I0/8 0,5 I0/8 0,125

C4 H 45° 45° H

C5 H 45° 45° V

C6 45° H V 45°

C7 45° H 45° V

C8 45° V 45° V

C9 45° V 45° H

C10 45° H 45° H

(*) V: verticale; H: orizzontale; 45°: a 45°

La fenomenologia di riferimento nel caso dei fotoni interagenti con polaroid può essere richiamata e/o esplorata utilizzando i file: malus1.xls; 1_polaroid.xls; 2_polaroid.xls; 3_polaroid.xls

253


Scheda 7 - Proprietà mutuamente esclusive

A. Un fascio di N fotoni viene trasmesso da un primo polaroid F1 e incide su un secondo polaroid F2, parallelo al primo, ruotato intorno alla direzione del fascio di un angolo θ a partire dalla situa-zione di massimo di trasmissione.A1. Scegliere tra le diverse opzioni nei seguenti due casi (barrare le opzioni scelte)

Situazione Opzioni

A1.1 il fotone viene certamente trasmesso da F2 (probabi-lità di trasmissione uguale ad 1), se i due polaroid F1 e F2 sono ruotati di

a θ =______________

b θ =0° (paralleli)

c θ =90° (ortogonali)

A1.2. il fotone viene certamente assorbito da F2

(probabilità di trasmissione uguale a 0), se i due polaroid F1 e F2 sono ruotati di

a θ =______________

b θ =0° (paralleli)

c θ =90° (ortogonali)

B. L’esito certo del caso A1.1. comporta che si possa assumere che un fotone:• possiede una proprietà, una volta trasmesso da F1• mantiene la suddetta proprietà anche dopo essere stato trasmesso da F2 (viene sempre tra-

smesso da F2)I fotoni che emergono da un polaroid sono polarizzati (linearmente). La polarizzazione del fotone può essere rappresentata con un versore, che verrà chiamato versore (o semplicemente vettore) di polarizzazione del fotone, parallelo a una fissata direzione sul polaroid (vedi figura 1). Tale dire-zione per semplicità viene indicata come: direzione permessa. Per due polaroid diversi si assume che tali direzioni siano parallele quando si ha un massimo di trasmissione.

C. Si può visualizzare la situazione con una descrizione iconografica delle proprietà di polarizzazione, considerando tre casi esemplari: la polarizzazione in direzione verticale, orizzontale e a 45° (figura 2).

254


Si indica con il simbolo:∆ la proprietà dei fotoni trasmessi da un polaroid con direzione permessa verticale (V)* la proprietà dei fotoni trasmessi da un polaroid con direzione permessa orizzontale (H)◊ la proprietà dei fotoni trasmessi da un polaroid con direzione permessa a 45° (45°)

D. Si considera un fascio di debole intensità di fotoni polarizzati linearmente secondo una fissata direzione (che possiedono quindi una ben definita proprietà) che incide su un polaroid.D1. Completare le ultime colonne della tabella secondo gli esiti attesi.

casi Proprietà fotone incidente polaroid Probabilità di trasmissione Esito: fotone trasmesso

(M: mai/ S: sempre)

1 * H

2 * V

3 ∆ H

4 ∆ V

Si può utilizzare il file iconogr_polaroid.xls per esplorare le situazioni sopraproposte.D2. Dalla tabella sopra riportata emerge (barrare le opzioni che si ritengono corrette):

255


Scheda 8 - Formulazione di ipotesi

A. Come vengono trasmessi fotoni polarizzati a 45º (proprietà di polarizzazione ◊)?Si considerano fotoni preparati da un polaroid con direzione permessa a 45º, che quindi possiedono la proprietà di polarizzazione iconograficamente rappresentata da ◊.A1. Esiti delle esplorazioni sperimentali. Completare le seguenti rappresentazioni iconografiche delle proprietà di polarizzazione (ottenute con un polaroid contatore ed un analizzatore).

A2. Riassunto dei risultati sperimentali. Cancellare le opzioni scartate nella IV e V colonna.

Casi Proprietà fotoni inc.

Direzione permessa dal polaroid

Probabilità di trasmissione Il singolo fotone viene trasmesso Proprietà fotoni

trasmessi

1 ◊ 45° mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *

2 ◊ V mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *

3 ◊ H mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *

4 ∆ 45° mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *

5 * 45° mai sempre metà delle volte ◊ ∆ *

B. Ipotesi interpretative sugli esiti sperimentali. Come si può caratterizzare un fascio di fotoni polarizzati a 45° (ossia che possiedono la proprietà ◊).B1. Quale tra le seguenti ipotesi, descrive meglio un fascio di fotoni con proprietà ◊?

A) Un fascio di fotoni con proprietà ◊ è equivalente a un fascio composto in media per metà da fotoni che hanno proprietà ∆ e per metà da fotoni con proprietà *.B) Un fascio di fotoni con proprietà ◊ è equivalente a un fascio composto in media per metà da fotoni che possiedono contemporaneamente proprietà ◊ e ∆ e per metà da fotoni che possiedono contemporaneamente le proprietà ◊ e *.

256


C) Un fascio di fotoni con proprietà ◊ è formato da fotoni con la sola proprietà ◊, che è comple-tamente diversa sia dalla proprietà ∆ sia dalla proprietà *.

D) Altro (spiegare) ____________________________________________________________

B2. Quale ruolo gioca il polaroid (ideale) nell’interazione con la luce?Il polaroid nell’interazione con la luce agisce:

solo come filtro passivo (assorbe soltanto parte della luce che incide su di esso) solo come un filtro attivo (modifica le proprietà della luce che incide su di esso) sia come filtro attivo, sia come filtro passivo (modifica le proprietà della luce che viene trasmessa e assorbe parte della luce)

B3. Illustra la risposta precedente rappresentando e spiegando le situazioni che lo possono supportare.

257


Scheda 9 - Ipotesi interpretative. Proprietà incompatibili. Proprietà mutuamente esclusive.

Per descrivere un fascio di fotoni polarizzati a 45° (ossia che possiedono la proprietà ◊) si possono fare le seguenti ipotesi.IPOTESI A: Miscela statistica. Un fascio di fotoni con proprietà ◊ è equivalente a un fascio che in media è formato per metà da fotoni con proprietà ∆ e per metà da fotoni con proprietà *.In simboli si può scrivere: ◊◊◊◊ = ∆∆ + **.A1. Vediamo cosa comporta. Si valuta la consistenza dell’ipotesi A confrontando come interagisce con polaroid con direzione permessa a 45°: a) un insieme di fotoni tutti polarizzati a 45° con pro-prietà ◊; b) un insieme di fotoni per metà con polarizzazione verticale ∆ e per metà orizzontale *. Si analizzano due situazioniA1.1 Un fascio debole di N fotoni polarizzati a 45° (fotoni con proprietà ◊, trasmessi ad esempio da un primo polaroid a 45°), incide su un polaroid con direzione permessa a 45°:

• il numero di fotoni trasmessi è: __________________

• la polarizzazione dei fotoni trasmessi è: ___________

• Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli appropriati in numero consistente con i dati sperimentali.

A1.2 Un fascio debole di N fotoni, formato in media da N/2 fotoni con proprietà ∆ e N/2 con proprietà *, incide su un polaroid ideale con direzione permessa a 45º.

• il numero di fotoni trasmessi è: _____________________

• la polarizzazione dei fotoni trasmessi è: ______________

• Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli appro-priati in numero consistente con i dati sperimentali.

B. Dall’analisi fatta nei due casi, cosa possiamo concludere sull’IPOTESI A di miscela statistica ◊◊◊◊ = ∆∆ + ** ?Lo stato di polarizzazione dei fotoni a 45° è equivalente all’unione di insiemi di fotoni negli stati di polarizzazione per il 50% verticale e per il 50% orizzon-tale? Spiegare

258


C. Si incorre in contraddizione a ipotizzare che la proprietà ◊ sia l’unione delle proprietà ∆ e *. Cosa si può concludere dagli esiti sperimentali esaminati sulle proprietà ◊ e * o sulle proprietà ◊ e ∆ ? (barrare le scelte)

Discutere/Motivare le scelte in base ai risultati ottenuti finora:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

D. Le proprietà Δ e * sono mutuamente esclusive. In generale, possiamo attribuire a ogni fotone pola-rizzato linearmente in una certa direzione una proprietà di polarizzazione corrispondente a quella direzione: ad esempio, la proprietà ◊ ai fotoni polarizzati a 45°.D1. Esplicitare i concetti di mutua esclusività e di incompatibilità.

D1.1 Mutua esclusività:

D1.2 Incompatibilità:

259


Scheda 10 - Principio di indeterminazione, identità e in determinismo quantistico

L’esito del confronto tra dato sperimentale e previsioni basate sull’ipotesi A, comporta alcune con-seguenze che sono aspetti peculiari dei sistemi quantistici.A. Principio di indeterminazioneSi risponda alle seguenti domande aperte, facendo riferimento alla semplice situazione in cui un fascio di fotoni polarizzati incide su un polaroid opportunamente orientato.A1. Un fotone è stato filtrato da un polaroid verticale, possiede quindi la proprietà Δ. Si può dire se possiede e in che misura la proprietà ◊ ? Spiegare

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

A2. Un fotone è stato filtrato da un polaroid a 45°, possiede quindi la proprietà ◊. Si può dire se pos-siede e in che misura la proprietà * o la proprietà Δ ? Spiegare

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Il contenuto del principio di indeterminazione consiste nel fatto che non è possibile associare simul-taneamente ad un sistema fisico definite proprietà, corrispondenti ad osservabili incompatibili [osser-vabile di un sistema: grandezza fisica che caratterizza lo stato del sistema].

A3. Nel caso della polarizzazione della luce, quali sono le proprietà incompatibili? ____________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

A4. Come si può tradurre il principio nel caso dell’interazione dei fotoni con i polaroid?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

260


B. Identità dei sistemi quantistici e indeterminismo quantisticoSi considerino le seguenti situazioni in cui un fascio di fotoni polarizzati incide su un polaroid oppor-tunamente orientato.B1.1 I fotoni di un fascio polarizzato verticalmente possiedono tutti la proprietà Δ.- Possono essere distinti l’uno dall’altro? Si No- Eventualmente in che modo?

B2.1 Quando incidono su un polaroid a 45° si comportano tutti nello stesso modo? Si NoB2.2 I fotoni di un fascio polarizzato a 45° possiedono tutti la proprietà ◊.

Quando incidono su un polaroid verticale si comportano tutti nello stesso modo? Spiegare ______

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

B3. L’indeterminismo che si manifesta per la sorte dei diversi fotoni:

B3.1 è legato alla natura stessa dei fenomeni? (Esplicitare la risposta)

B3.2 è dovuto alla nostra ignoranza di qualche fattore? _______________________________

Quale? Spiegare _____________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

B4. I sistemi fisici quantistici che si trovano nello stesso stato sono identici fra loro.B4.1 Come si può esprimere questo fatto relativamente alla polarizzazione della luce, esemplificando con le situazioni considerate?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

B5. Sistemi fisici preparati nello stesso stato in generale interagiscono in maniera diversa con uno stesso sistema fisico, come per esempio un apparato di misura di una grandezza fisica.B5.1 Come si può esprimere questo fatto relativamente alle situazioni considerate?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

261


Scheda 11 - Particelle quantistiche e traiettorieSi considera qui l’interazione di fotoni con cristalli birifrangenti ideali (ogni fotone incidente viene comunque trasmesso). Si vuole esplorare la eventuale possibilità di associare una traiettoria ad un fotone, sfruttando la correlazione tra polarizzazione dei fotoni e cammino dei fasci.

1. Ricognizione della fenomenologia della birifrangenza e interpretazione probabilisticaA. Il fascio di un puntatore laser con polarizzazione verticale incide su una faccia di un cristallo biri-frangente (calcite), orientato in modo che il fascio ordinario è polarizzato a 45°.

A1. Che cosa si osserva?

A1.1. Descrizione a parole A1.2 Completare il disegno

A2. Se il fascio ordinario è polarizzato a 45°, che polarizzazione ha il fascio straordinario?______

A3. Fissata la posizione del cristallo:A3.1 la polarizzazione del fascio ordinario e quella del fascio straordinario dipendono dalla pola-rizzazione del fascio incidente? Si No

Spiegare: ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

A3.2 L’intensità del fascio ordinario e quella del fascio straordinario dipendono dalla polarizza-zione del fascio incidente? Si No

Spiegare: ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

A4. Se la direzione di polarizzazione del fascio incidente forma un angolo θ=45° con la polarizza-

zione del fascio straordinario, si ha:

B. Un fascio di bassa intensità di N fotoni polarizzati verticalmente incide su una faccia di un cristallo biri-frangente (calcite) ideale. In corrispondenza delle uscita di ciascuno dei due fasci, ordinario e straordinario, ven-gono posti due rivelatori di fotoni.

262


B1. Per ogni fotone incidente: sempre un solo rivelatore rivela un fotone entrambi i rivelatori rivelano un fotone sempre e solo il rivelatore posto all’uscita del fascio _____________________ rivela un fotone

B2. Per ogni fotone incidente:B2.1. il rivelatore posto all’uscita del fascio ordinario nel ______ % dei casi rivela un fotone,B2.2 il rivelatore posto all’uscita del fascio straordinario nel ____ % dei casi rivela un fotone.

B3. Se si scherma il rivelatore Rs, il rivelatore Ro scatta (rivela un fotone):

per ognuno dei fotoni incidenti

in media solo nel 50% delle volte, a caso

alternativamente per un fotone sì e per il seguente no

per nessun fotone incidente.

B4. Se si scherma il rivelatore Ro, il rivelatore Rs scatta (rivela un fotone):





B5. Se si schermano entrambi i rivelatori, ciascuno di essi scatta:





2. Polarizzazione e fasci trasmessi in un cristallo di calciteA. Si dispongono in successione due cristalli di calcite, uno diretto e l’altro inverso. Sul primo cristallo incide un fascio di N fotoni. In uscita dal secondo cristallo si ha un unico fascio dato dalla ricombi-nazione del fascio ordinario e di quello straordinario. Il fascio incidente ha polarizzazione verticale, il fascio ordinario ha polarizzazione a 45°, quello straordinario ha polarizzazione a 135°.

263


A1. Qual è la polarizzazione dell’unico fascio emergente dal secondo cristallo? _______________

A2. Quanti fotoni emergeranno dal secondo cristallo? ___________________________________

B. Dato che il fascio ordinario ha sempre polarizzazione a 45° (fotoni con proprietà ◊)e quello stra-ordinario sempre polarizzazione a 135° (fotoni con proprietà), vi è una stretta correlazione fra cam-mino della luce e polarizzazione.

È possibile ritenere che i singoli fotoni seguano uno dei due cammini?Questa domanda equivale a riconsiderare, nel caso dei cristalli birifrangenti, l’ipotesi A esplorata in precedenza nel caso dell’interazione di fotoni con Polaroid.Vediamo che conseguenza porta in merito al concetto di traiettoria.

Su due cristalli di calcite, uno inverso dell’altro, incidono N fotoni con polarizzazione verticale (con proprietà Δ). Si può pensare che i fotoni percorrano una delle due traiettorie (quella del fascio ordi-nario o quella del fascio straordinario)?Questo equivale a chiedersi se ΔΔΔΔ = ◊◊+ ,domanda a cui si è già data risposta, ma che si riconsidera qui per esplorarne le conseguenze in merito alla possibilità o meno di associare una traiettoria ai fotoni.

C. Si completino le figure sottostanti:

264


D. Sulla base del confronto tra situazione sperimentale e esiti basati sulla ipotesi A:D1. Si può ipotizzare che metà dei fotoni segua il cammino odinario e metà quello straordinario?

Si No

Spiegare _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

D2. Si può dire che i fotoni seguano entrambi i cammini? Si No

Spiegare _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

D3. Si può ritenere che i fotoni seguano percorsi diversi da quelli ordinario o straordinario? Si No

Spiegare _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

D4. Si può attribuire una traiettoria al fotone? Sì No

Spiegare _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

265


Scheda 12 - Esplorazione di ipotesi alternative

Per descrivere un fascio di fotoni polarizzati a 45° (ossia che possiedono la proprietà ◊) si può fare la seguente ipotesi:

IPOTESI B. I fotoni possono avere proprietà coesistenti e il polaroid seleziona la proprietà corrispon-dente alla direzione di trasmissione del polaroid. In altre parole un fascio di fotoni polarizzati a 45º è composto in media in ugual misura da fotoni con proprietà ◊ e ∆ e da fotoni con proprietà ◊ e *.In simboli:

◊ ◊ ◊ ◊ = ◊ ◊ ◊ ◊

A. Su tre polaroid allineati F1, F2, F3 incide un fascio di fotoni polarizzati a 45º. Per i casi illustrati in figura, prevedere gli esiti in accordo con l’ipotesi B, utilizzando i simboli appropriati in numero appropriato per rappresentare il numero di fotoni trasmessi in media.A1. Si effettui la previsione completando i disegni sottostanti

* ∆* ∆

266


A2. Confronto fra esiti sperimentali e previsioni basate su ipotesi esplicative.Si confrontino gli esiti che si otterrebbero se fosse valida l’ipotesi fatta con quelli sperimentali. Com-pletare la tabella.

caso

direzione permessa del polaroid (*) N° fotoni trasmessi in media dal polaroid:

(A: esiti sperimentali; B: esiti secondo l’ipotesi B)

F1 F2 F3 F1A B

F2A B

F3A B

A 45° 45° 45° N N N N N N

B 45° V V N N N/2 N/2

C 45° V H N/2 0

D 45° V 45°

E 45° H V

F 45° H H

G 45° H 45°

(*) V: Verticale; H: Orizzontale; 45°

B.1 Vi sono casi in cui gli esiti sperimentali non coincidono con quelli previsti dall’ipotesi B? ___

B1.1 In quali casi coincidono? ______________________________________________________

B1.2 In quali casi non coincidono? __________________________________________________

C. Che cosa si può concludere in merito alla consistenza dell’ipotesi B rispetto ai dati sperimen-tali?

267


Scheda 13 - Esplorazione dell’ipotesi B nel caso dei cristalli birifrangenti

È utile confrontare le previsioni basate sull’ipotesi B con gli esiti sperimentali che si hanno in una situazione basata unicamente sull’interazione di luce con cristalli birifrangenti, perché i polaroid potrebbero avere un ruolo attivo nell’interazione con i fotoni, permettendo di rendere conto dei risul-tati sperimentali (es.previsione della trasmissione di fotoni da un analizzatore a 45° per fotoni pre-parati con polarizzazione H o V).

A. Un fascio di fotoni incide su un primo cristallo diretto. In corrispondenza all’uscita del fascio ordi-nario e di quello straordinario si pongono due rivelatori ciascuno dei due quali scatterà in media, per ciascuno dei fotoni incidenti, il 50% delle volte.A1. Si completino le seguenti figure con le frequenze con cui verranno attivati i rivelatori, in base a quanto prevede l’ipotesi B e in base a quello che è l’esito sperimentale.

A2. Vi sono differenze tra la previsione e l’esito sperimentale? Spiegare

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

268


B. I fotoni trasmessi dal primo cristallo vengono fatti incidere su un secondo cristallo birifrangente diretto, ma ruotato intorno alla direzione del fascio incidente di 45°.I due fasci che emergono dal primo cristallo, hanno polarizzazione 45° e 135°, ossia ciascun fotone ha proprietà ◊ e. In base all’ipotesi B’ devono anche mantenere la proprietà Δ.

B1.1 Quanti fasci ci si aspetta di osservare in base all’ipotesi B? (disegnarli nella figura precedente)

_______________________________________________________________________________

B1.2 Che polarizzazione avrà ciascuno di essi? _________________________________________

B2.1 Quanti fasci si osservano sperimentalmente? _______________________________________

B2.2 Con che polarizzazione? ______________________________________________________

C. Si illustri nello spazio sottostante la situazione sperimentale.

D. Sulla base dei risultati del confronto con gli esperimenti, che cosa si può concludere della ipo-tesi B.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

269


Scheda 14 - Il ruolo attivo dei polaroid e l’interpretazione quantistica

IPOTESI C: Un fascio di fotoni con proprietà ◊ è formato da fotoni con la sola proprietà ◊, che è completamente diversa sia dalla proprietà ∆ sia dalla proprietà *. Il polaroid (con ruolo attivo) attri-buisce alla probabilità di trasmissione il valore fenomenologico definito dalla legge di Malus. Si ana-lizzano in base all’ipotesi C quattro situazioni,in cui un fascio di fotoni polarizzati incide su: A) un polaroid; B) due polaroid ruotali di 45° fra loro; D) un cristallo di calcite; due cristalli di calcite uno diretto e uno inverso.

A. Un fascio di N fotoni con polarizzazione a 45°, quindi fotoni con proprietà ◊, incide su un pola-roid verticale.

• il numero di fotoni trasmessi è: _______________________

• la polarizzazione dei fotoni trasmessi è: ________________

• Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli appropriati in numero consistente con i dati sperimentali.

A1. (completare la frase) Nel……dei casi un fotone incidente viene trasmesso. In questo caso, nell’in-terazione con il polaroid il singolo fotone passa da uno stato a polarizzazione a 45° a uno stato a pola-

rizzazione ______________________________ , polarizzazione che hanno tutti i fotoni trasmessi.

A2. (completare la frase) Nel…….dei casi un fotone incidente viene assorbito. In questo caso, nell’in-terazione con il polaroid il singolo fotone passa da uno stato a polarizzazione a 45° a uno stato a pola-

rizzazione _______________________________, polarizzazione che hanno tutti i fotoni assorbiti.

B. Un fascio di N fotoni con polarizzazione verticale, quindi fotoni con proprietà ∆, incide su due polaroid allineati, il primo ruotato a 45° il secondo orizzontale.

B1. Completare la fi gura a destra utilizzando i simboli appropriati in numero consistente con i dati sperimentali.

270


B2. Stabilire la probabilità con cui avvengono gli eventi sottoindicati e per ciascuno se ne dia una descrizione basata sull’ipotesi C:

Evento considerato Probabilità P Descrizione in base all’ipotesi C

B2.1. Fotone assorbito dal primo polaroid B2.1.1

P =_____

B2.1.2

B2.2. Fotone trasmesso dal primo polaroid e assorbito dal secondo polaroid

B2.2.1

P = ______

B2.2.2

B2.3. Fotone trasmesso dai entrambi i polaroid B2.3.1

P = ____

B2.3.2

C. Un fascio di bassa intensità di N fotoni polarizzati verticalmente incide su una faccia di un cristallo birifran-gente (calcite) ideale. In corrispondenza delle uscita di ciascuno dei due fasci, ordinario (caratterizzato da pola-rizzazione a 45°) e straordinario (caratterizzato da pola-rizzazione a 135°), vengono posti due rivelatori di fotoni.

C1. Stabilire la probabilità con cui avvengono gli eventi sottoindicati e per ciascuno se ne dia una descrizione basata sull’ipotesi C:

Evento considerato Probabilità P Descrizione in base all’ipotesi C

C1.1. Fotone assorbito dal rivelatore Rs C1.1.1

P =___

C1.1.2

C1.2. Fotone assorbito dal rivelatore Ro C1.2.1

P =___

C1.2.2

C2. In base all’ipotesi C i fotoni all’interno del cristallo si propagano nello stato V, oppure è nell’in-terazione con il cristallo che vengono forzati a seguire uno dei due cammini? Spiega la risposta.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

271


D. Su due cristalli di calcite, uno inverso dell’altro, incidono N fotoni con polarizzazione verticale (con proprietà Δ). Si completi il disegno che schematizza la situazione e se ne dia una descrizione basata sull’ipotesi C.

D1.1 Situazione D1.2 Descrizione in base all’ipotesi C

D2. In base all’ipotesi C i fotoni nei due cristalli e tra di essi si propagano nello stato V?

D3. Percorrono uno dei due cammini? _______________________________________________

D4. Percorrono entrambi i cammini? _________________________________________________

D5, Percorrono altri cammini? ______________________________________________________

D6. È possibile attribuire una traiettoria a ciascun fotone? spiegare

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

E. Quando un fotone con polarizzazione a 45° incide su un polaroid V, si dice che il suo stato è una sovrapposizione dei possibili stati finali (di polarizzazione: verticale trasmissione; orizzontale assorbimento). La proprietà che può essere associata al sistema in questo stato è incompatibile con quelle che ad esso possono essere associate in seguito al processo di misura.

Descrivere, in termini di sovrapposizioni di stati la situazione del fascio di fotoni che incide sui due cristalli inversi discussa nel punto D di questa scheda.

272


Scheda 15 - Dai concetti al formalismo

Il principio di sovrapposizione lineare.La semplicità della fenomenologia della polarizzazione permette una costruzione graduale della descrizione formale dei processi. Dalle leggi classiche relative ai molti fotoni dell’intensità lumi-nosa misurata si costruisce gradualmente la rappresentazione formale dello stato di polarizzazione di un fotone, del principio di sovrapposizione lineare quantistico, della probabilità di transizione tra stati, dei proiettori.

N.B. I vettori (versori) vengono rappresentati con lettere in grassetto – es.: VIn tondo si indicano gli stati – es.: V indica lo stato di polarizzazione verticale.

1. Stati quantistici e vettori.A. Si allineano due polaroid F1 ed F2, orientati secondo i versori U e W rispettivamente [(U U)=1 e (W W)=1].

Su F1 incide un fascio di N fotoni.A1. Se si indica con θ l’angolo formato da U e W, qual è la probabilità P che un fotone trasmesso

da F1 venga trasmesso anche da F2? _________________________________________________

A2. Il prodotto scalare tra i vettori W e U è dato da: (W·U) _______________________________

A3. Come si può esprimere P per mezzo per prodotto scalare(W·U)? _______________________

A4. Si fissa la direzione permessa di F2 (cioè si fissa W).➢ La probabilità di trasmissione di un fotone che incide su F2:

è completamente definita da U è definita da U e da qualche altro fattore (specificare quale) __________________________ non dipende da U

➢ Lo stato del fotone prima di incidere su F2: è completamente definito quando è definito U è definito assegnando U e qualche altro fattore (specificare quale) _____________________ non dipende da U

A5. Se si fissa F2 in modo che la sua direzione permessa sia individuata dal vettore W’≠W, quale delle risposte alle domande del punto A1 si deve cambiare? Motivare la risposta

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

273


A6. Si può concludere che il comportamento statistico di un fotone che incide su F2:

è completamente determinato da U per qualsiasi W

è determinato da U e qualche altro fattore (specificare quale) ______________ per qualsiasi W

non dipende da U

A7. Si può rappresentare lo stato del fotone trasmesso da F1 con un vettore u//U. Tale associazione è sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali (la legge di Malus)? Spiega

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

A8. Lo stato del fotone trasmesso da F2 è rappresentato da:

u//U w//W da __________

B. La probabilità P rappresenta la probabilità di transizione fra due stati del fotone. Esplicitare que-sta affermazione alla luce del semplice formalismo che è stato introdotto.

Il fatto che lo stato u di un fotone sia convenientemente espresso da un vettore u porta ad indagare le conseguenze che ne derivano sul piano formale. Esse sono sintetizzate dal principio di sovrappo-sizione quantistico.

2. Il principio di sovrapposizioneA. Un fotone nello stato rappresentato dal versore u incide su:

➢ un polaroid con direzione permessa individuata dal versore V.

Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? ___________

➢ un polaroid con direzione permessa individuata dal versore V⊥, con V⊥ ⊥ V.

Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? _______________

B. Il versore u può essere espresso con la seguente combinazione lineare dei vettori v//V e v⊥//V⊥:

u=Ψ1v+Ψ2v⊥

➢ Completare le seguenti espressioni:

h·u=h·(Ψ1v+Ψ2h) = Ψ1 h·v+Ψ2 h·h= ________________________________________________

v·u=v·(Ψ1v+Ψ2h) = Ψ1 v·v+Ψ2 v·h= _________________________________________________

274


C. Probabilità di trasmissione. Dal risultato precedente si può concludere che (collegare le caselle con frecce su cui riportare dei verbi appropriati in modo da ottenere delle frasi compiute – distinguere i due casi utilizzando in uno la linea continua e nell’altro la linea tratteggiata - - - ->):

Poiché u è un versore, si ha: [(u u)=1], si deve avere anche:

C1. (u u)= (Ψ1v+Ψ2v⊥) ·(Ψ1v+Ψ2v⊥) =________________=1

C2. Quale interpretazione si può dare alla somma: ?

_______________________________________________________________________________

C3. Qual è la probabilità che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato dal versore u, dopo aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si trovi o nello stato V⊥ o nello stato V

C4. Si può affermare con certezza che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato da u, dopo aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si troverà nello stato V (nello stato V⊥)?

spiegare _______________________________________________________________________

D. Casi certi e stati ortogonali.

D1. Un fotone nello stato h ha probabilità ___ di essere trasmesso da un Polaroid V⊥.

D2. Un fotone nello stato h ha probabilità ___ di essere trasmesso da un Polaroid V.

D3. Un fotone nello stato v ha probabilità ___ di essere trasmesso da un Polaroid V.

D4. Un fotone nello stato v ha probabilità __ di essere trasmesso da un Polaroid V⊥.

D5. La probabilità di transizione v⊥ v o v v⊥ è uguale: P= (v⊥•v)2=______

E. Le proprietà associate a fotoni nello stato V e fotoni nello stato h sono mutuamente esclusive. Gli stati in cui si trovano tali fotoni sono rappresentati da:

vettori mutuamente ortogonali vettori fra loro paralleli vettori che formano un angolo θ=___

Due stati si dicono ortogonali se le proprietà che li caratterizzano sono mutuamente esclusive.

275


2. Esplorazione di ipotesiIpotesi A. Un fascio di fotoni con polarizzazione a 45° è composto per metà da fotoni con polariz-zazione verticale e per metà da fotoni con polarizzazione orizzontale.

A1. In questo schema, (Ψ1)2 rappresenta:

la probabilità P(v⊥) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà di attra-versare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *)

la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà di attra-versare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà Δ)

altro (specificare) ___________________________________________________________

A2. In questo schema, (Ψ2)2 rappresenta:

la probabilità P(v⊥) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà di attra-versare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *)

la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall’insieme possieda la proprietà di attra-versare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà Δ)

altro (specificare) ___________________________________________________________

B. Un fascio di fotoni nello stato rappresentato da u incide su un polaroid con direzione permessa W.

B1. Poiché il versore u può essere espresso da u=Ψ1v+Ψ2v⊥, la probabilità che un fotone venga tra-smesso dal polaroid, e quindi venga rivelato da D, è data da:P (D) =P(u w)=(u·w)2=[(Ψ1v+Ψ2v⊥) ·w]2 = [ _________ + _________ ]2 =

= ___________ + ____________+ _____________________ (°°)

B2. Il fattore (h·w) 2 fornisce la probabilità P(D|v⊥) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone possieda abbia polarizzazione orizzontale

B2. 1 Il fattore (v·w) 2 fornisce la probabilità __________________________________________

______________________________________________________________________________ .B3. Il primo termine dell’espressione (°°), dato dal prodotto (Ψ1)

2 (v·w) 2, non è altro che la probabi-

lità che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D.

B3.1 Il secondo termine dell’espressione (°°), dato dal prodotto _______, non è altro che la proba-bilità

_______________________________________________________________________________

C. Se fosse valida l’ipotesi A la probabilità di rivelare un fotone oltre il polaroid sarebbe data da:

P(D) =(Ψ1)2(V’•v’)2 +(Ψ2)

2(V⊥’•v’)2 = P(H) P(D⏐V⊥) + P(V) P(D⏐V)

C1. Il terzo termine dell’espressione (°°), dato da _____________, non ha ragione di essere nell’ipo-tesi A (non ha analogo classico).

276


Ne consegue che il formalismo con cui viene espresso il principio di sovrapposizione lineare quanti-stico (la combinazione lineare con cui può essere scritto un qualsiasi vettore di stato) traduce il fatto che l’insieme di fotoni nello stato a 45° non può essere pensato come somma di due insiemi disgiunti di fotoni ciascuno dei quali è formato da un ugual numero di fotoni con proprietà mutuamente esclu-sive. Si deve scartare l’ipotesi A.

C. Conclusioni sul principio di sovrapposizioneC1. Si discuta brevemente il significato di sovrapposizione di stati quantistici facendo riferimento allo stato di polarizzazione a 45º (rappresentato dal vettore u45) considerato come sovrapposizione degli stati h e v, rappresentati rispettivamente dai versori v⊥ e v.

C2. Conclusione sul significato fisico e l’espressione formale del principio di sovrapposizione quan-tistico.

D. Verso gli operatori lineariNei punti precedenti è stato introdotta la rappresentazione vettoriale degli stati quantistici e del prin-cipio di sovrapposizione, riconoscendo il ruolo che gioca il prodotto scalare nella determinazione delle probabilità di transizione. Si esplicita ora la connessione tra prodotto scalare e operatori di pro-iezione, come ponte verso la rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari.

D1. Un fascio di fotoni preparato nello stato rappresentato dal versore u (es.: fotoni trasmessi da un polaroid, orientato secondo il versore U//u), incide su un polaroid (ideale) orientato secondo il ver-sore V.

277


D1.1 In base al principio di sovrapposizione, come si può esprimere il versore u in termini dei ver-sori v (v// V) e v⊥ (v⊥// V⊥)?

u = ______ + ________

D1.2 Qual à la probabilità P di trasmissione di ciascun fotone (esprimila sia utilizzando l’ampiezza opportuna che hai indicato nella risposta precedente, sia per mezzo di un opportuno prodotto scalare):

____________________________________ ____________________________________

D1.3 P rappresenta la probabilità che, in seguito all’interazione con il polaroid, un fotone effettui la transizione (completa la frase):

dallo stato ________ allo stato _______

D2. Tale probabilità può essere espressa nel seguente modo:

P = (u· v)2 = (u· v)(v· u) = u · (v v·) u,

con la convenzione che bisogna effettuare i prodotti da destra a sinistra.Tra parentesi compare l’oggetto matematico vv·: il versore v ripetuto due volte e seguito dal segno di prodotto scalare.Per capire che tipo di oggetto matematico costituisca vv·, si può vedere come agisce quando viene applicato ad un vettore di stato.

D2.1 Determina i risultati delle seguenti applicazioni (si sottintende che si stanno seguendo le con-venzioni sin qui introdotte per l’indicazione dei versori):

(vv·)v = _______________________________________________________________________

(vv·)v⊥ = _______________________________________________________________________

(vv·)u = _______________________________________________________________________

B2.2. L’applicazione di vv· a un qualsiasi vettore produce sempre un vettore parallelo a: ______

B2.3 Come si può interpretare geometricamente questo fatto? _____________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

C. La rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari si effettua valutando il valore di aspettazione di una osservabile fisica: si pesano i possibili esiti di una misura (gli autovalori), con le corrispondenti proprietà di transizione, ossia con i quadrati dei prodotti scalari tra il vettore dello stato iniziale del sistema e i ciascuno dei vettori dei possibili stati finali (autovettori). Come in D2 è semplice far emergere l’operatore che rappresenta l’osservabile misurata. Per come viene costruito esso ha come autovettori i vettori dei possibili stati finali di una misura e come autovalori i possibili esiti stessi della misura. Si rende conto in questo modo della connessione operatori lineari e osser-vabili fisiche, rendendo conto del significato fisico di tale connessione.

278


Questionario finale - L’esplorazione dei fenomeni di polarizzazione della luce come sfida per avvicinarsi alla teoria della Meccanica Quantistica

Cognome __________________ Nome ______________________ Udine: _________________

1. Un fascio di bassa intensità di N fotoni attraversa un polaroid che li prepara con polarizzazione verticale. Tale fascio incide su una faccia di un cristallo birifrangente (calcite) ideale. In corri-spondenza delle uscita di ciascuno dei due fasci, ordinario e straordinario vengono posti due rive-latori di fotoni rispettivamente R1 e R2.

Il rivelatore R1 rivela un fotone: Ciò ci autorizza a dire che tale fotone ha seguito il cammino del raggio ordinario? Discuti la risposta

2. Si consideri l’esperimento in cui due cristalli birifrangenti, uno diretto e uno inverso, sono alli-neati con il fascio di un laser che produce luce polarizzata verticalmente. Descrivi i processi che si hanno in questo esperimento, mettendo in particolare in luce il ruolo del principio di sovrap-posizione.

3. Quando su due polaroid ideali incrociati incide il fascio di luce di un laser, attraverso il secondo polaroid non viene trasmesso alcun fotone, ossia la probabilità di trasmissione di ciascun fotone è 0. Se tra i due polaroid si inserisce un terzo polaroid la probabilità che i fotoni siano trasmessi aumenta.

3.1 Quanto è la probabilità di trasmissione dei fotoni incidenti su quattro polaroid, il primo e l’ul-timo ortogonali fra loro e gli altri due ruotati in modo da formare angoli di 30* con gli altri polaroid?

3.2 Se il numero di polaroid è n, il primo e l’ultimo sono ortogonali e due successivi polaroid sono ruotati di un angolo 90°/(n-2) qual è la probabilità di trasmissione di ciascun fotone?

3.3 A quanto tende la probabilità di trasmissione se n ∞?

3.4 Qual è la massima probabilità di trasmissione che si può raggiungere con polaroid reali (T=0,7)? Per quale numero di polaroid si ottiene?

4. Lo stato di un elettrone è rappresentato: dal vettore a, quando la quantità di moto dell’elettrone è parallela all’asse x; dal vettore b, quando la quantità di moto dell’elettrone è parallela all’asse y. I due vettori a e b sono mutuamente ortogonali.

Che cosa si può dire del vettore c che rappresenta lo stato dell’elettrone quando la sua quantità di moto è a 45° rispetto all’asse x e all’asse y?

ESPLORARE LA SUPERCONDUTTIVITÀ.SCHEDE STUDENTE 1-6 E PROBLEM SOLVING

Marisa Michelini e Rossana ViolaUnità di Ricerca in Didattica della Fisica, dell’Università di Udine

IntroduzioneCome già indicato in altra sede, l’esperienza ed un’ampia letteratura ci insegnano che la coerenza di un percorso didattico e del filo dei ragionamenti nell’attività in classe si ottengono utilizzando strumenti di lavoro – Schede Stimolo (SS) (Martongelli et al 2001) – che pongano i problemi da esplorare e documentino i ragionamenti del razionale proposto. Esse permettono di monitorare gli apprendimenti ed indentificare i nodi da affrontare, oltre che le competenze acquisite. Per gli inse-gnanti sono uno strumento di progettazione e riflessione sui processi di apprendimento dei ragazzi. Nella nostra esperienza di ricerca sono uno strumento di lavoro ed anche formativo e di raccolta dati, capace di trasformare l’attività didattica in attività di ricerca – azione per gli insegnanti.Le schede didattiche di seguito presentate sono state sviluppate per la seconda Scuola Estiva Nazionale di Fisica Moderna nell’ambito della ricerca di dottorato di una delle autrici (R. Viola) in sinergia con il progetto europeo del programma LLP-LdV sull’introduzione della superconduttività Mosem1. Sono proposte come schede stimolo (SS) (Aiello et al 1997; Marucci et al 2001; Martongelli et al 2001; Michelini 2006), basate sull’Inquiry Based Learning (IBL) (McDermott et al 1998; Thornton, Sokoloff 1999; Abd-El-Khalick F et al. 2004), con strategia SPPEA: - Situazione – Il nodo concettuale che si vuole affrontare nella scheda viene proposto come problema,

sfida interpretativa in uno specifico contesto o situazione/problema. - Previsione – Agli studenti viene richiesta la previsione sull’esito atteso in merito alla situazione/

problema proposta- Progettazione – L’esplorazione sperimentale attraverso cui mettere alla prova la previsione viene

progettata dai ragazzi sia per quello che riguarda le prove da effettuare, le grandezze da guardare e/o da controllare, le modalità con cui si controllano gli esiti ottenuti

- Esperimento – La messa in atto della esplorazione progettata viene condotta dagli studenti rac-cogliendone gli esiti

- Analisi – L’esito della esplorazione viene discusso e confrontato con le previsioni per definire il risultato concettuale raggiunto e aprire nuovi interrogativi da esplorare.

Ciascuna scheda mira a uno specifico obiettivo concettuale, ponendo domande aperte che abbinano la richiesta di rappresentazione e spiegazione dei processi che possono rendere conto dei fenomeni osservati. Sono formulate in modo tale che, oltre che costituire una traccia di lavoro stimolante e coinvolgente, consentono anche di raccogliere una ricca informazione sui modi in cui gli studenti progrediscono nei personali percorsi di apprendimento. Le schede tracciano un percorso di esplorazione aperto a partire da fenomenologie con cui gli studenti hanno confidenza, come quella della semplice interazione tra magneti ovvero della esplorazione dello spazio intorno a un magnete con una bussola, a quella meno frequentata dell’induzione elettroma-gnetica, a quella decisamente nuova della superconduttività, particolarmente stimolante sui diversi piano della fenomenologico, delle applicazioni, dei concetti.La prima propone l’esplorazione dell’interazione tra magneti e dello spazio intorno ad essi con una bussola per costruire gli strumenti concettuali per la successiva analisi: la rappresentazione vettoriale del dipolo magnetico di un magnete e la descrizione tramite linee di campo dei campi

(1) Progetto MOSEM (Minds-On experimental equipment kits in Superconductivity and ElectroMagnetism for the con-tinuing vocational training of upper secondary school physics teachers) - LLP-LdV-TOI-2007-NO/165.009, finanziato con supporto della Commissione European el Programma Lifelong Learning.

280 Capitolo 5. Schede per una didattica esplorativa

magnetici generati da singole sorgenti, ovvero di sovrapposizione di campi generati da più sorgenti. La seconda scheda affronta il nodo della diversa magnetizzazione acquisita dai sistemi (diamagnetici, paramagnetici, ferromagnetici) in presenza di un campo magnetico esterno, attraverso l’interazione di un potente magnete con frammenti di grafite pirolitica, boccette, fissate a un giogo in sospensione e libero di ruotare, contenti acqua, cristalli di solfato di rame, cristalli di solfato di zinco, limatura di alluminio. La terza scheda propone la prima esplorazione dell’interazione tra un magnete e un disco di YBCO raffreddato alla temperatura dell’azoto liquido come prima evidenza sperimentale dell’effetto Meissner. Il ruolo dell’induzione elettromagnetica nella levitazione viene proposto come problem solving aperto nella quarta scheda.Nella quinta scheda viene affrontata la levitazione magnetica causata da un forte pinning, mentre nella sesta scheda si esplora la levitazione di un modellino di treno MAGLEV.

BibliografiaAiello ML et al. (1997) Teaching mechanical oscillations using an integrate curriculum, IJRSE 19,

8, p.981-995Engstrom V., Karwasz G., Michelini M., Viola R. (2009a) I materiali del Progetto europeo MOSEM,

La Fisica nella Scuola, XLII, 3 Supplemento, pp. 144-150.Engstrom V., Karwasz G., Michelini M., Peeters W., Viola R. (2009b) Il Progetto Europeo MOSEM su

elettromagnetismo e superconduttività: strategie per il coinvolgimento attivo dei ragazzi e risorse in rete telematica, La Fisica nella Scuola, XLII, 3 Supplemento, pp. 120-128.

Lawson P. (2008), LivePhoto physics, in Physics Curriculum Design, C. P. Constantinou ed., Girep-Cyprus 2008, Nicosia: University of Nycosia-Girep.

Martongelli R, Michelini M, Santi S, Stefanel A (2001) Educational proposals using new technolo-gies and telematic net for physics, in Pinto R, Santiago S eds, PhyTEB 2000, Girep -Elsevier, Paris, 615-620

Marucci G, Michelini M, Santi L (2001), The Italian Pilot Project LabTec of the Ministry of Educa-tion, in Pinto R, Santiago S eds, PhyTEB 2000, Girep book- Elsevier, Paris, 607-610

McDermott L. C., Shaffer P. A., the Physics Education Research Group (1998) Tutorials in Introduc-tory Physics, Upper Saddle River: Prentice Hall.

McDermott L. C., Shafferm P. S., Constantinou C. P. (2000) Preparing teachers to teach physics and physical science by inquiry, Physics Education 35 (6), pp. 411-416.

Michelini M (2006) The Learning Challenge: A Bridge Between Everyday Experience And Scient-fìc Knowledge, in Informai Learning And Public Understanding Of Physics, G Planinsic and A Mohoric eds., Ljubijana, p. 18-39

Thornton RK, Sokoloff DR, 1999, Learning motion concepts using real-time microcomputer-based laboratory tools, Am. J. Phys. 58 (9), 1999. p. 858-867

281

Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell’Università di UdineEsplorare la superconduttivitàSCHEDA STUDENTE a cura di Marisa Michelini e Rossana Viola

1. INTERAZIONE TRA DIPOLI1.1. Progetta come esplorare l’interazione tra due magneti come quelli che hai a disposizione:

Azione Obiettivi

1.2. Prova. Discuti la fenomenologia osservata

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

1.3. Appoggia un magnete sul tavolo. Avvicina ad uno dei suoi poli l’altro magnete in modo da affac-ciare prima uno poi l’altro polo. Descrivi i comportamenti che osservi

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Il dipolo presente in ciascun magnete può essere rappresentato come in (1) o con un vettore, per con-venzione dal N al S come in (2):

(1) (2)

1.4. Utilizzando la rappresentazione vettoriale schematizza tutte le situazioni che hai provato e i cor-rispondenti effetti:

Situazione Effetti

282


1.5. Esaminando l’interazione a distanza che sperimenti con diversi esploratori nello spazio circo-stante il magnete si individuano le linee di campo:

1.6.1. - 1.6.2. Facendo l’ipotesi che gli oggetti rappresentativi siano dei vettori, allora vale il princi-pio di sovrapposizione locale produce una linea globale, che risulta tangente ai singoli vettori in ogni punto nel piano dello spazio di osservazione.Come risulterebbe la configurazione delle linee di campo nei due casia) poli omologhi affacciatib) poli diversi affacciatiFai un disegno qui sotto e riporta l’effetto conseguente:

a) b)

1.7. Riepiloga le tue considerazioni nella tabella seguente:

Situazione Fenomeno Come posso descriverlo in termini di vettori di dipolo

A cosa corrisponde in termini di linee di campo

Poliomologhi affacciati

Poliopposti affacciati

283


1.8. La configurazione delle linee di campo ti permette di prevedere l’effetto sui dipoli? Spiega:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

1.9. È possibile mantenere in sospensione due magneti uno sull’altro affacciando poli omologhi? Prova. Scrivi i risultati:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

1.10. Come spieghi i risultati ottenuti?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

1.11. Vincola i magneti infilandoli in un tubicino di plexiglas in modo che affaccino poli omologhi. Disegna e descrivi ciò che osservi nella tabella seguente:

Situazione Fenomeno Come posso descriverloin termini di vettori di dipolo

A cosa corrisponde intermini di linee di campo

Magneti vincolati:sospensione magnetica

284


2. INTERAZIONI DI UN MAGNETE CON OGGETTI DI DIVERSO MATERIALE: FERRO-PARA-DIAMAGNETISMO2.1. Fase esplorativa: esploriamo l’interazione tra un magnete e oggetti di diverso materiale avvici-nando il magnete a:a) una graffetta o una sferetta: ferromagnetismob) una bilancia di torsione con [solfato di rame e acqua] o [polvere di alluminio e acqua] o [solfato di rame e olio]: para e diamagnetismoc) sottile mina di grafite pirolitica: diamagnetismo

2.1. Disegna e scrivi le tue considerazioni nella tabella seguente:

Situazione Rappresentazione in termini di vettori di dipolo

Rappresentazione in termini di linee di campo Come lo spiego

a

b

c

2.2. Le situazioni a), b) e c) in cosa sono uguali e in cosa diverse dalle situazioni precedentemente considerate? Lo stato di dipolo dei sistemi considerati è temporaneo o permanente?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.3. La configurazione delle linee di campo permette di predire gli effetti ovvero la fenomenologia che si osserva?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

285


2.4. Hai a disposizione una sottile sfoglia di grafite pirolitica e un magnete:secondo te, è possibile sospendere la grafite sul magnete? Giustifica la tua risposta:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.5. Prova. Illustra i risultati

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.6. Cosa puoi concludere?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.7. Hai a disposizione un campione di supercoduttore YBCO (YBa2Cu3O7). Hai il compito di clas-sificarlo. Fai una proposta operativa

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.8. Prova

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

2.9. Che tipo di materiale è?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Osservazioni

286


3. LE LINEE DI CAMPOOra guardiamo gli stessi fenomeni dal punto di vista dei campi e dei loro descrittori, le linee di orien-tazione.3.1. Disegna qui sotto un campo magnetico, per semplicità costante ed uniforme:

3.2. Immagina di immergere in detto campo un oggetto.Secondo te, la presenza di un materiale può modificare il campo magnetico risultante? In che modo e perché? Spiega, aiutandoti anche con un disegno mediante la rappresentazione a linee:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3.3.1. – 3.3.2. – 3.3.3. Consideriamo un oggetto che viene immerso in un campo magnetico. Tenendo conto della rappresentazione per linee di campo, di quelle per vettori di dipoli e del comportamento osservato nella esplorazione sperimentale, prova a giustificare il comportamento osservato nel caso deia) ferromagneticib) paramagneticic) diamagnetici

287


3.4. Disegna le linee di campo del sistema

3.5. Esploriamo il suo comportamento all’abbassarsi della temperatura.Versa dell’azoto liquido sul sistema YBCO-magnete e aspetta che la temperatura si abbassi. Descrivi cosa osservi

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3.6. Come te lo spieghi? Fai delle ipotesi e prova a spiegare cosa è cambiato anche aiutandoti con un disegno

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3.7. Secondo te, l’YBCO ha cambiato le sue proprietà?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3.8. Come?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

288


3.9. Disegna nuovamente qui sotto i due oggetti e il campo magnetico risultante, dopo la transizione:

Questo è chiamato Effetto Meissner3.10. Cosa puoi concludere?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

L’YBCO è un materiale che, al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura critica, acqui-sta delle particolari proprietà elettriche (resistività nulla – Laboratorio a rotazione T4) e magnetiche (diamagnetismo perfetto), per le quali viene detto superconduttore.

3.11. Confronta ciò che hai osservato in questo esperimento e negli altri riguardanti materiali diama-gnetici (grafite pirolitica): è lo stesso tipo di comportamento? Cosa c’è di uguale e cosa di diverso?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

3.12.1. -3.12.2. – 3.12.3. Disegna qui sotto la descrizione in termini di dipoli per ciascuno dei casi:1) due magneti2) magnete e grafite pirolitica3) superconduttore e magnete

3.13. Mentre nel caso della grafite pirolitica il diamagnetismo evidenzia come si realizza una sospen-sione non di equilibrio della grafite pirolitica, il superconduttore sembra essere in equilibrio.Verifica questa ipotesi: prova a spostare leggermente il magnete. Cosa noti? Resta in equilibrio?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

289


3.14. Tra il superconduttore e il magnete si è instaurato un vincolo: questo è il cosiddetto effetto pining. Fai un modello, utilizza una rappresentazione e spiega:

4. IL CONTRIBUTO DELLA LEGGE DI FARADAY-NEUMANN-LENZ4.1. Discutiamo insieme.Secondo te, qual è il modello interpretativo corretto? O meglio, essendo sostenibili entrambi, quale scegli? Argomenta:

290


5. GLI EFFETTI DI UN FORTE PINNING5.1. Hai a disposizione un altro campione di YBCO, con differente qualità dei cristalli però, azoto liquido e un magnete. Hai il compito di classificarlo. Poggia il magnete sul campione a temperatura ambiente. Che tipo di materiale è?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5.2. Disegna qui sotto il campo magnetico del sistema:

5.3. Versa dell’azoto liquido sul sistema YBCO-magnete e aspetta che la temperatura si abbassi. Descrivi cosa osservi

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5.4. Prova ad allontanare il magnete. Ci riesci?

Sì No

Perché, secondo te? Prova a dare una spiegazione

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5.5. Tra il superconduttore e il magnete si è instaurato il vincolo dell’Effetto pinning, questa volta molto più forte rispetto al precedente.In questo esperimento c’è stato effetto Meissner secondo te? Spiega:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

291


5.6. Disegna il campo dopo la transizione

L’effetto pinning ha “mascherato” la repulsione dovuta all’effetto Meissner.

5.7. Ora, a temperatura ambiente, poggia il magnete sullo stesso campione con interposto un sepa-ratore. Disegna qui sotto il campo magnetico:

5.8. Raffredda versando azoto liquido, aspetta la fine dell’ebollizione. Cosa ti aspetti succeda se rimuovi il separatore? Spiega

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5.9. Rimuovi il separatore. Cosa osservi?

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5.10. Prova ad allontanare il magnete. Ci riesci?

Sì No

Perché, secondo te? Prova a dare una spiegazione

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

292


5.11. Disegna il campo dopo la transizione

5.12. Riepiloga i risultati ottenuti nella tabella seguente (anche con disegni):

Caso Linee di campo prima della transizione

Fenomeni osservati dopo la transizione

Rappresentazione in termini di vettori di

dipolo

Rappresentazione in termini di linee di

campo

Descrizione in termini di variazione di fl usso

3.2.

5.1.

5.2.

293


6. LA STABILITÀ DELLA LEVITAZIONE6.1. Hai a disposizione una sottile sfoglia di grafite pirolitica e 4 magneti (a forma di parallelepipedo). Come puoi ottenere la sospensione della grafite sui magneti? Fai una proposta operativa:

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

6.2. Disegna qui tutte le possibilità di costruire un quadrupolo magnetico (disegnandoli così come suggerito in figura) e le relative configurazioni di linee di campo:

6.3. Con quale configurazione secondo te si avrà sospensione della grafite pirolitica sul quadrupolo? Perché? Spiega

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

6.4. Prova. Scrivi i risultati

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

294


6.5. Un campione di superconduttore del II tipo con forte pinning viene poggiato (con uno spazia-tore) su:1) un magnete2) un quadrupolo;

Raffreddiamo con azoto liquido. Riassumi le tue osservazioni e considerazioni completando la tabella dei risultati

casoLinee di campo

prima della transizione

Fenomeni osservati dopo la

transizione

Rappresentazione in termini di

vettori di dipolo

Rappresentazione in termini di linee

di campo

Stabilità della levitazione

Descrizione in termini di

variazione di fl usso

1)

2)

6.6. Fai un confronto tra le due situazioni ed esprimi le tue considerazioni in merito alla stabilità in ciascuno dei due casi: in quale caso hai maggiore stabilità? Perché? Aiutati anche con disegni.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

295


Problem Solving di Superconduttività data ______

Scuola ___________________________________________________ classe ________________

Gruppo (cognomi e nomi degli studenti) _______________________________________________

__________________________________________________________________________________

IL TRENO MAGLEV A LEVITAZIONE MAGNETICA1) Descrivete il treno

2) Descrivete il suo funzionamento

3) Come spiegate il suo funzionamento?

Seconda edizione - Finito di stampare nel mese di luglio 2011

proposte didattiche sulla fisica moderna.indd

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