Propagation d’ondes sonores dans les fluides

I – Equation de propagation des ondes sonores :

1) Milieu de propagation et vitesse du son :

Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse cs.

Dans l’air, cs = 340 m.s – 2 dans les conditions usuelles.

2

3

4

5

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7

2) Hypothèses thermodynamiques :

L’expérience montre que la propagation des ondes sonores est généralement caractérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elles se propagent. On négligera donc les phénomènes dissipatifs (conduction thermique et viscosité), ce qui revient à postuler le caractère isentropique de la propagation des ondes sonores et donc à supposer le fluide parfait.

Les seules forces prises en compte sont les forces de pression (la pesanteur est négligée).

Soient µ0, P0 et T0 les caractéristiques du fluide au repos (supposées uniformes), on note :

• 0Tµ µ µ µ= − = ∆ , la variation de masse volumique du fluide ( 0,Tµ µ µ<< )

• 0p P P P= − = ∆ , la variation de pression du fluide, encore appelée surpression acoustique

( 0,p P P<< )

• vr le vecteur vitesse d’une particule de fluide (nulle au repos)

L’approximation acoustique consiste à considérer que les grandeurs vr, µ et p sont des infiniment petits

du même ordre (ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles). Notamment, les calculs seront effectués à l’ordre 1 en ces infiniment petits.

Ordre de grandeur de la surpression :

Les surpressions susceptibles d’être détectées par une oreille varient typiquement de 100 Pa (son douloureux) à 10 – 5 Pa (seuil d’audition), couvrant ainsi 7 décades.

Discussion de l’hypothèse d’adiabaticité dans le cas des gaz :

hypothèse :

0

0 0 0

1 1TT

P P p

µ µ µχ

µ µ

−≈ =

−

Utiliser la compressibilité isotherme χT au lieu de la compressibilité isentropique χS ne conduit pas à la valeur du son en accord avec l’expérience.

L’équation de la chaleur s’écrit :

8

La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en considérant que le fluide effectue de petits mouvements isentropiques.

Dans le cadre de l’approximation acoustique, le coefficient de compressibilité isentropique donne :

0

0

1 1 1TS S

S ST

Vsoit p

V P P p

µ µχ µ µ χ

µ µ

∂∂ = − = ≈ ≈

∂ ∂

3) Linéarisation des équations :

L’équation de conservation de la masse s’écrit :

9

( ) 0TT

div vt

µµ

∂+ =

∂

r

Soit, avec 0Tµ µ µ= − :

0(( ) ) 0div vt

µµ µ

∂+ + =

∂

r

D’où :

0 ( ) ( ) . 0div v div v v gradt

µµ µ µ

∂+ + + =

∂

uuuuurr r r

Approximation linéaire (ou acoustique) : on se limite dans la suite aux termes du 1er ordre. Par conséquent :

0 ( ) 0div vt

µµ

∂+ =

∂

r

* t

µ∂

∂ est de l’ordre de s

c

T

µµ

λ=

* 0 ( )div vµr

est de l’ordre de 0vµ

λ

* ( )div vµr

de l’ordre de vµ

λ

* .v gradµuuuuurr

de l’ordre de vµ

λ

L’approximation de premier ordre (ou acoustique) nécessite donc, a priori, deux hypothèses :

0 set v cµ µ<< <<

L’approximation acoustique est une approximation de grande longueur d’onde.

L’équation du mouvement du fluide est ici l’équation d’Euler (pas de viscosité) :

( . )T v

vv grad v gradP f

tµ

∂ + = − +

∂

r uuuuur uuuuur rr r

La force volumique statique (par exemple, v T

f gµ=r r

) est compensée par le gradient de la pression

statique P0. L’influence de ses variations (par exemple gµr) est en pratique négligeable par rapport au

gradient de la surpression p. L’équation du mouvement devient alors, après linéarisation :

0

vgrad p

tµ

∂= −

∂

ruuuuur

On rappelle de plus la relation entre la surpression et la variation de la masse volumique :

0 Spµ µ χ≈

10

En éliminant la variable µ, on obtient le système d’équations couplées :

0

1vgrad p

t µ

∂= −

∂

ruuuuur

et 1

( )S

pdiv v

t χ

∂= −

∂

r

4) Equation de propagation :

On calcule la divergence de l’équation de gauche précédente :

( )0

1vdiv div grad p

t µ

∂ = −

∂

r uuuuur

Soit :

2

0 2

0

1' 0

S S

p pp d où p

t t tχ µ χ

µ

∂ ∂ ∂ − = − ∆ ∆ − =

∂ ∂ ∂

On reconnaît l’équation de propagation de d’Alembert ; la vitesse des ondes sonores s’en déduit :

2

2 2

0

1 10

s

s S

pp avec c

c t µ χ

∂∆ − = =

∂

En écrivant que :

( )S

pdiv v

tχ

∂= −

∂

r

Puis en en prenant le gradient tout en dérivant 0

vgrad p

tµ

∂= −

∂

ruuuuur

(Eq (1)) par rapport au temps :

11

Pour un liquide, liq gazχ χ<< : la vitesse du son est donc plus importante dans les liquides que dans les

gaz.

Le cas des solides n’entre pas dans le cadre de l’étude menée ici (Voir le modèle de la chaîne d’atomes couplés par des ressorts). On remarque toutefois que la vitesse du son dans un solide est encore plus élevée que dans un liquide.

5) Ondes sonores planes progressives :

a) OPPM en notation complexe :

b) Structure d’une onde sonore plane progressive :

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L’impédance acoustique d’un milieu est d’autant plus grande que le milieu est moins compressible et plus dense. L’impédance d’un solide est donc supérieure à l’impédance d’un liquide, elle – même supérieure à celle d’un gaz.

Physiquement, une impédance traduit la réponse à une excitation (ici la vitesse) : par analogie, v est l’équivalent de l’intensité et la surpression p l’analogue de la tension électrique.

6) Amortissement par viscosité des ondes sonores :

Solution :

13

14

II – Etude énergétique des ondes sonores :

1) Vecteur densité surfacique de puissance sonore :

2) Equation de conservation locale de l’énergie sonore :

On fait la somme de l’équation 0

vgrad p

tµ

∂− =

∂

ruuuuur

(multipliée par la vitesse vr) et de l’équation

( )S

pdiv v

tχ

∂= −

∂

r (multipliée par la surpression p) :

3) Interprétation macroscopique :

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4) Cas d’une onde plane progressive :

5) Intensité acoustique :

La sensation auditive sonore (ou intensité sonore) dépend du spectre de fréquence, de la durée et surtout de l’intensité du son. En général, l’intensité d’une onde élastique est proportionnelle, à la fois, au carré de la fréquence et au carré de l’amplitude. En termes de pression acoustique, l’intensité du son

est proportionnelle au carré de l’amplitude P0 de l’onde de pression (2

0 0/ 4I P vµ= ).

L’intensité des sons naturels varie énormément et l’oreille humaine est sensible à une très large plage de

variation de l’intensité. On peut supporter des intensités jusqu’à environ 21 .W m− , qui correspond un

son tellement fort qu’on commence à ne plus entendre ; c’est le seuil de douleur et il correspond à une pression acoustique d’environ seulement 10 Pa. A l’autre extrême, l’oreille détecte juste des sons

d’intensité aussi faible que 12 210 .W m− − . C’est le seuil d’audibilité, qui est associé à une pression

acoustique de l’ordre de 510 Pa− . Rayleigh a montré qu’à 1 kHz, cette pression acoustique correspond

à une vibration des molécules d’air de l’ordre de 610 mm− seulement !

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L’oreille humaine opère sur un large domaine qui correspond à un facteur d’un million (de 510 Pa− à

10 Pa) pour la pression et un facteur égal au carré de cette quantité pour l’intensité sonore, soit 1210 . C’est une plage de fonctionnement très étendue pour un détecteur. Elle est équivalente à celle d’un dispositif capable de mesurer, à la fois, le diamètre d’un atome et la longueur d’un terrain de football. La figure montre les limites de la sensibilité de l’oreille en fonction de la fréquence.

Lorsque l’on écoute deux sons, on juge leur volume relatif, non par la différence des intensités mais par le rapport des intensités.

Une multiplication de l’intensité d’un son par 10 sera généralement perçue comme une multiplication

du volume par 2. Ainsi un son d’intensité 8 210 .W m− − est perçu comme deux fois plus fort qu’un son

d’intensité 9 210 .W m− − et 20,1 .W m− est perçu comme deux fois plus fort que 20,01 .W m− .

Cela équivaut à dire que l’oreille est sensible au logarithme de l’intensité.

On définit l’intensité sonore (ou acoustique) en décibels (dB) :

Πréf correspond au seuil auditif pour une fréquence de référence de 1 000 Hz.

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Le seuil de douleur correspond approximativement à une intensité sonore de 120 dB.

III – Réflexion et transmission des ondes sonores :

1) Coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes :

On étudie la réflexion et la transmission d’ondes sonores planes au niveau du raccordement de deux conduites de sections S1 et S2, séparant deux milieux matériels d’impédances caractéristiques Z1 pour x < 0 et Z2 pour x > 0.

On définit ici l’impédance acoustique à partir de : p

ZSv

= . On note :

0 11

1

cZ

S

µ= et 0 2

2

2

cZ

S

µ=

Remarque : Une telle situation peut être qualifiée de dioptre acoustique par analogie avec la notion de dioptre rencontrée en optique.

On se limite au cas de l’incidence normale.

Continuité du débit volumique à l’interface :

On considère que les deux fluides ne se mélangent pas, de telle sorte que l’interface constitue une membrane imperméable.

Soit V un volume dans la zone de raccordement, compris entre les deux sections droites Σ1 et Σ2,

situées en x = - ε et x = + ε.

Σ1

Σ2

x=ε x=-ε

L’interprétation de la divergence de la vitesse permet d’écrire que :

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1 1( )

DV Ddiv v

V Dt Dt

µ

µ= − = −

r

Si on intègre sur le volume V :

( ) ( ) ( )

1( ) .

V V S

Ddiv v d d v ndS

Dt

µτ τ

µ= − =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

r r r�

Soit, en notant Dv2 et Dv1 les débits massiques en sortie et en entrée :

2 1 ( )

1v v

V

DD D d

Dt

µτ

µ− = −∫∫∫

Quand le volume total tend vers zéro (et ε également), l’intégrale tend vers zéro (la dérivée particulaire

Dµ / Dt reste finie), par conséquent Dv2 = Dv1 : il y a continuité du débit volumique à l’interface.

Pour s’en convaincre physiquement, on peut imaginer le volume (V) qui oscille de part et d’autre de la membrane de séparation et écrire directement la conservation du volume, ce qui donne la conservation du débit volumique.

Ainsi :

1 1 2 2v S v S=

Dans le cas particulier où les deux sections sont égales, il y a alors continuité de la vitesse de part et d’autre de la membrane.

Continuité de la surpression :

Dans l’approximation acoustique, le déplacement de l’interface est faible devant la longueur d’onde et peut être négligé, de sorte que l’interface reste confondue avec le plan x = 0.

On suppose que la pression au repos a la même valeur P0 en tout point de l’espace.

En considérant un élément de surface dS de l’interface entre les deux fluides comme une membrane fictive de masse nulle, on montre à l’aide du principe fondamental de la dynamique en projection sur Ox que la surpression est continue à l’interface, en effet :

0 1 0 2 1 2( (0, )) ( (0, )) 0 (0, ) (0, )P p t dS P p t dS soit p t p t+ − + = =

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2) Coefficients de réflexion et de transmission des puissances :

II-4

20

document

doc

doc

doc

doc Document : comment placer un

diapason ?

21

3) Un peu de musique :

4) Ondes sonores stationnaires :

a) Formation d’une onde stationnaire par réflexion d’une OPPH :

22

b) Aspect énergétique :

c) Cavités résonantes :

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A gauche : réflexion d’une OPPM au bout d’une conduite, nœuds et ventres de vitesse. (a) : extrémité ouverte

(Z = 0), (b) : extrémité fermée (Z → ∞ ).

Au milieu : nœuds et ventres de vitesse des harmoniques 1, 2 et 3 d’un tuyau ouvert.

A droite : nœuds et ventres de vitesse des harmoniques 1, 3 et 5 d’un tuyau semi – fermé.

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d) Exercices d’application sur les tuyaux sonores :

nulle ou une vitesse maximale en x = 0. Appliquer les résultats du cours dans les deux cas suivants :

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Solution :

Le cours

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5) Etude expérimentale ; le tube de Kundt :

Etude qualitative :

28

Etude quantitative :

(Figure)

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Exercice ; le résonateur d’Helmholtz :

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Solution :

1) On applique la relation fondamentale de la dynamique à la masse d’air située dans le tube (très court) du résonateur en supposant que cet air vibre en bloc à la vitesse v(t) :

0( cos )dv

ds y p t sdt

ρ ω= −

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Un jeu de questions - réponses

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