theorie d’ondes elastiques

7/26/2019 Theorie dOndes Elastiques

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Thorie des ondeslastiquesI. Ondes progressives

1. Quest-ce quune onde lastique ?

2. Vitesse de propagation

3. Equation de propagation

4. Onde solitaire

. Onde sinusoidale

Ens tana 1


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Thorie des ondes lastiques!suite"

##. $uperposition des ondessinusoidales

2.1 Ondes stationnaires2.2 %ordes &i'rantes

2.3 Vi'ration dune colonne de ga(

Ens tana 2


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Thorie dondes lastiques!suite"

###. $ortie pdagogique

#O)* + #nstitut dOn'ser&atoire)eoph,sique d*ntananari&o -*'ohidepona

Ens tana 3


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1.Quest-ce quune ondelastique ?

Onde lastique +

/eplaceent de la de0oration

dun ilieu elastique sui&ant unedirection donnee

a direction de propagation estappelee ae de propagation

ilieu elastique + solide5 liquide5a( Ens tana 4


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Origine de londeelastique

orsquun ilieu elastique estsouis a une 0orce5 chaque

eleent du ilieu est aussisouis a des 0orces.%elles-ci se transettent dun

eleent a un autre5 pro&oquant ainsiun deplaceent de chaque eleentdu ilieu elastique.

Ens tana


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Origine de londeelastique

Ens tana 6

%est le deplaceent de cette sorte dede0oration dans un ilieu elastique quidonne naissance a une onde elastique

/es que cette 0orce appliqueecesse deister5 chaque eleent

eerce sur son &oisinage des0orces de rappel de 0acon areta'lir lequili're.


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/eu t,pes dondeselastiques

Ens tana

7

Onde trans&ersale

a de0oratioin estperpendiculaire a lae depropagation.

O


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Ens tana8

Onde longitudinale

a de0oratioin est parallele alae de propagation.

O


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2. Vitesse de

propagation

Ens tana 9

a &itesse de propagation dependde la nature du ilieu

a &itesse augente quand onpasse du ga( au liquide et du liquideau solide


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%oparaison des &itesses

Ens tana 1:

ilieu air !:%"

air !2:%"

eau glace 0er

V!;s"

331 343 1:: 32:: 6:::

ga(liquid

esolide


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asse

lineaire

@ = constantedelasticite

A = odule dAoung >densite


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3. Equation de

propagation

Ens tana 12

O

f(x,t

)

v

e ilieu est hoogene etisotrope

a propagation est li're elongation 0!5t"> la &itesse &


13/46Ens tana 13

),(1

),( 2

2

22

2

txftvtxfx

=

),(),(),( 2211 txfctxfctxf +=

$olution +


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Onde progressi&e

Ens tana 14

)(ou)( vtxfvtxf +

deu 0ores possi'les +

)( vtxf )( vtxf +

O


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Ens tana 1

autres 0ores equi&alentes+

)()( v

x

tfvtxf

)()(vxtfvtxf ++

Onde a&ancant dans le sens des croissants+

Onde a&ancant dans le sens des decroissants+


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4. Onde solitaire

Ens tana 16

Bne pertur'ation qui se dplaceseule dans un ilieu lastique C&itesse constante5 sans changer deproDl.

appelee aussi signal G5 ou

ipulsion G5 ou soliton G


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Ens tana 17

elongation

elongation f(x,t" estdeterinee par le proDl du signala linstant initial t = :

g(x)axf )0,( =

*lors

$i

)(),( vtxgatxf =


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Ens tana 18

Eeple+

$i a t = :5 le proDl de lapertur'ation est +

12

1)0,(

2

+

=

x

xf

Quel sera le proDl de cettepertur'ation a linstant t = 1 s 5sachant quelle se deplace dans lesens croissant des a la &itesse & =2 ;s ?


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Ens tana 19

On procede a la

su'stitution > 212 x-*x-x-vtx ==

/ou +

1)2(2

1)1,(

2+

=

xxf


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Hepresentation graphique

Ens tana 2:

-4 -3 -2 -1 : 1 2 3 4

x

t = 1st = 0


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ecanise dudeplaceent

Ens tana 21

-4 -3 -2 -1 : 1 2 3 4

x

t = 1st = 0


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Iroprietes

ph,siques

Ens tana 22

$uperposition de deu ondes

HeJeion sur un ur

ipenetra'le

HeJeion sur 'ord li'reHeJeion et transission


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/eu ondes solitaires s,etriquesse rencontrent

Ens tana 23

!a"!'"!c"

!d"


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/eu ondes solitaires serencontrent

Ens tana 24

!a"!'"!c"

!d"


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HeJeion sur un uripenetra'le

Ens tana 2

O

Onde

incidente

&

ur


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O'ser&ations +

Ens tana 26

onde reJechie+ ee proDl aisorientee dans

le sens in&erse

a reJeion est totale

O

ur


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Eplication theorique

Ens tana 27

le ur est la source de londereJechieau ni&eau du ur5 on a deuondes dont la resultante est nulle >

0),0(),0( =+ tftf ri

/onc +

),0(),0( tftf ir =


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Hesultat+

Ens tana 28

)(),( v

x

tgatxfi =

$i londe incidente est de la0ore+

*lors londe reJechie sera de la

0ore+)(),(

v

xtgatxfr +=


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HeJeion au 'ord li're

Ens tana 29

O

etreite O estli're


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O'ser&ations +

Ens tana 3:

a reJeion esttotale onde reJechie a le ee

proDl que londe incidente *u ni&eau de letreite5 lepoint O se

et en ou&eent&erticaleent. orsque le point O atteint lesoet de

la pertur'ation5 il reKoint sa

position


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O'ser&ation

Ens tana 31

&

OOnderJchie

Etritli're

O

Ondeincidente


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#nterpretationtheorique +

Ens tana 32

e point O est la source de londereJechie e proDl de londe reJechie aupoint O est le ee que le proDl de londeincidente+

),0(),0( tftf ir =


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%onsequence+

Ens tana 33

$i londe incidenteest +

)(t)(x,

v

xtgafi =

*lors londe reJechieest +

)(),( v

xtgatxfr +=


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HeJeion etTransission

Ens tana 34

Ondeincidente

O

1 2

Ioint decontact


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O'ser&ation

Ens tana 3

OnderJchie Onde

transise

O

1 2


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#nterpretation theorique

Ens tana 36

)(),(v

xtgatxf ii =Onde

incidente +

OndereJechie +

Ondetransise +

)(),(v

xtgatxf rr +=

)(),(v

xtgatxf tt =


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%onditions de continuite+

Ens tana 37

),0(),0(),0( tftftf tri =+

%ontinuite deselongations+

%ontinuite des deri&ees+

000 ||| ===

=

+

x

tx

rx

i

x

f

x

f

x

f


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Hesultats

+

Ens tana 38

tri aaa =+

211 va

va

va tri =+

/eu equations perettant dedeteriner les aplitudes de londe

reJechie et de londe transise+

!2"+

!1"+


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On o'tient les relations sui&antes+

Ens tana 39

ir avv

vva

21

12

+

=

it a

vv

va

21

22

+

=


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VeriDcation +

Ens tana 4:

$i alors12

vv = 0=r

a

les deu ilieu sont

identiques donc londerJchie ne doit pas eister.

$i alors02 =v 0=ta

2 est un ur ipenetra'ledonc londe transise ne doit

pas eister.


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Ondeprogressi&e sinusoidale

Ens tana 41

orsque laction ecanique qui pro&oque

la de0oration dun ilieu elastique est

repetee plusieurs 0ois a&ec un inter&alle

de teps constant T5 on o'tient une

onde sinusoidale de periode T


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Eeple

Bne corde dont lune de desetreites est attachee a unelae &i'rante de 0requence 0

On o'tient un proDl sinusoidal deperiode T=1;0

Ens tana 42


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%arcteristiques

Ens tana 43

la 0requence 05 la periode T5 lalongueur L5 le &ecteur donde M . Elles

sont liees par les 0orules sui&antes +


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Elongation+

Ens tana 44

Bne onde qui se deplace dasle sens croissant des +

)sin(),( += tkxAtxf

Bne onde qui se deplace das

le sens decroissant des +

)sin(),( += tkxAtxf


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Ihase

Ens tana 4

a phase peut seettre sousplusieurs 0ores>

)(2)(

T

txvtxktkx ==

a phase est larguent de la0onction sinus+

+ tkx


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%ette 0onction o'eit a lequation depropagation

),()sin(),( 222

2

txfktkxAktxft

==

),(

1

),(

12

2

22

2

2 txfxtxftk

=

),()sin(),( 222

2

txftkxAtxfx

==

/ou +

),(),(1

2

2

2

2

2 txf

xtxf

tv

=

theorie d’ondes elastiques

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