progradu-tutkielma · matematiikan ylioppilaskokeet apuvälinein progradu-tutkielma hannuoinonen...

Matematiikan ylioppilaskokeet apuvälinein

Pro gradu -tutkielmaHannu Oinonen234397Itä-Suomen yliopisto23. marraskuuta 2012

TIIVISTELMA

Itä-Suomen yliopistoLuonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekuntaOINONEN, HANNU: Matematiikan ylioppilaskokeet apuvälineinPro gradu -tutkielma, 62 sivua + 6 liitesivuaOhjaaja: Tutkijatohtori Antti ViholainenMarraskuu 2012

Ylioppilastutkintolautakunta salli symboliset laskimet matematiikan ylioppi-laskokeissa kevään 2012 kokeesta alkaen. Päätöksen motivoimana on tämäntutkielman ensisijaisena päämääränä ollut tutkia pitkän matematiikan yliop-pilaskokeissa sallitun apuvälineistön potentiaalista vaikutusta.

Symboliset laskimet antavat useisiin tehtäviin tehtävän lopputilan ja tau-lukkokirja paljastaa tehtävän kannalta oleellisen proseduraalisen tiedon teh-tävänantoon liittyvän konseptuaalisen tiedon toimiessa eräänlaisena ohjaava-na tekijänä. Ottamalla näiden komponenttien lisäksi huomioon tehtävän al-kutila, voidaan tutkia eri apuvälineiden merkityksiä. Apuvälineet huomioitu-na edelliset komponentit ovat tunnettuja 51 prosentissa vuosien 2010 – 2012koetehtävistä. Periaatteessa näiden tehtävien tekemiseksi on täten kaikki tar-peellinen tieto tunnettuna.

Tehtävien luokitteluun käytettiin kaikkiaan kolmea luokittelumenetelmää.Tuloksien mukaan tehtävissä riittää yleensä pinnallinen laskimen käyttö. Ke-hittyneille käyttötaidoille on harvoin tarvetta. Eri luokittelumenetelmien mu-kaan kevään 2012 koe oli kokeista tehtäviltään monipuolisin, mutta apuväli-neet huomioiden helpoin. Syksyn 2012 kokeen todettiin olevan kevään koettayhteensopivampi symbolisen laskimen kanssa käytettäväksi.

Analysoitujen kokeiden perusteella tehtävissä korostuu proseduraalisentiedon hallinta ja eteneminen alkutilasta lopputilaan. Kokeissa monien rat-kaisumenetelmien hallintaa testataan, vaikka niihin liittyvät perinteiset teh-tävät ovat siihen kyseenalaisia symbolisten laskimien ollessa sallittuja. Laski-men tulisikin useammin olla tukena, ei ensisijaisena aktiviteettina. Tulevai-suudessa olisi hyvä tutkia, minkälaisin tehtävin voitaisiin paremmin mitataosaamista ennemmin kyky- kuin taitolähtöisesti.

I

EsipuheSain ajatuksen tähän tutkielmaani aineenopettajan pedagogisten opintojak-sojen aikana. Erityisesti syventävä harjoittelu ja ainepedagoginen tutkimusprak-tikum selkiyttivät suunnitelmaani.

Olen kiitollinen, että tohtori Antti Viholainen piti tutkimussuunnitelmaa-ni toteuttamiskelpoisena. Kiitos, että autoit minua myös rajaamaan pohti-mani aiheiston pro gradu -tutkielmaksi sekä neuvoistasi ja yhteistyöstäsi.

Tahdon myös kiittää perhettäni, joka on tukenut minua eri tavoin tämäntutkielman eri vaiheissa.

Joensuu, 23. marraskuuta 2012

Hannu Oinonen

II

Sisältö1 Johdanto 1

2 Teoria ja tausta 32.1 Proseduraalinen ja konseptuaalinen tieto . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Proseduraalisen ja konseptuaalisen tiedon linkittyminen 52.1.2 Proseduraalinen vai konseptuaalinen tehtävä? . . . . . 7

2.2 Matematiikan ylioppilaskoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1 Kokeen historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Sallitut apuvälineet ja laskinuudistus . . . . . . . . . . 9

2.3 Symbolinen laskenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Laskinteknologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Koulumatematiikka ja nykyaikainen teknologia . . . . . 132.3.3 Millaisia koetehtäviä? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Opiskeluseuranta ja arviointi . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5 Opetussuunnitelman ja NCTM:n näkemyksiä . . . . . 182.3.6 Tutkimustuloksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Tutkimusmenetelmät 223.1 Tutkimuskysymykset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Luokittelu 1: tietolajit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Luokitteluesimerkkejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Luokittelu 2: CAS-laskimen käyttö . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Luokitteluesimerkkejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Luokittelu 3: CAS-laskimen hyöty . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Luokitteluesimerkkejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Tulokset 344.1 Aineisto ja tutkimuksen kulku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Luokittelu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Ongelmakohdat ja oletukset . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 Tulokset eri apuvälinein . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3 Tuloksien vertailu eri kokeiden välillä . . . . . . . . . . 41

4.3 Luokittelu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Luokittelu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 Tulokset aihealueittain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 Luokittelumenetelmien vertailu . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Johtopäätökset 56

Lähteet 60

LIITE A. Luokittelut 63

III

1 Johdanto

Symboliset laskimet avaavat uusia mahdollisuuksia matematiikan opettami-seen ja opiskeluun. Ne mahdollistavat muun muassa symbolitason ratkaisutsekä matemaattisen tiedon muuttamisen esitysmuodosta toiseen. Laskimiinon lisäksi valmiiksi ohjelmoituna useita matematiikan eri aihealueiden funk-tioita. Näiden syiden vuoksi ylioppilastutkintolautakunnan päätöstä salliasymboliset laskimet ylioppilaskirjoituksissa voidaan pitää merkittävänä uu-distuksena.

Laskinuudistuksen vaikutuksia on tutkittu Suomessa vähän. Vainio (2011)toteaa, että vuoden 2011 kokeissa voidaan symbolisen laskimen avulla rat-kaista tehtävien välivaiheista kevään kokeessa enintään 93,2 % ja syksyn ko-keessa 77,8 %, kun valitaan kokeista kymmenen tehtävää tarkasteluun. Hil-tunen (2012) sen sijaan on tutkinut taulukkokirjan ja symbolisen laskimenkäyttöä trigonometrian kurssilla ja kurssikokeessa. Hän arvelee, että symbo-liset laskimet tulevat vaikuttamaan ylioppilaskokeissa ainoastaan parhaitenarvosanojen osalta. Kivelä (2012) puolestaan pohtii, millaisia koetehtävientulisi laskinuudistuksen myötä olla. Lappi ja Lappi (2011) ovat huolissaanmatemaattisen osaamisen puolesta. Haapasalon (2011b) mielestä laskinuu-distus on sen sijaan tervetullut, mutta hän pitää nykyisiä tehtäviä liian yk-sipuolisina.

Tässä tutkielmassa tutkitaan, millaisia pitkän matematiikan ylioppilasko-keet ovat apuvälineiden näkökulmasta. Päätarkoituksena on selvittää symbo-lisen laskimen ja taulukkokirjan potentiaalinen merkitys. Tutkielmassa ollaanmyös kiinnostuneita siitä, millaisen laskimen käytön koetehtävät mahdollis-tavat ja ovatko kokeet ylipäänsä sopivia symbolisen laskimen kanssa käytet-täväksi. Vastaukset tutkimuskysymyksiin pyritään saamaan esiin tehtävienluokittelun avulla. Tuloksien tarkastelussa kiinnitetään erityishuomiota las-kinuudistuksen jälkeisiin vuoden 2012 kokeisiin.

Tehtävien luokitteluun käytetään kolmea luokittelumenetelmää. Haapa-salon (2011a) mukaan erilaisia tehtävätyyppejä on käytännössä 16, kun ote-taan huomioon komponenttien alkutila, lopputila, konseptuaalinen tieto japroseduraalinen tieto tunnettuus. Näihin tehtävätyypeihin pohjaten tutkiel-

1

massa esitetään uudenlainen vertaileva luokittelumenetelmä koko sallitunapuvälineistön vaikutuksen tutkimiseksi. Symbolisen laskimen käyttotapo-jen ja laskimesta saatavan hyödyn tutkimiseen sovelletaan kirjallisuudestalöytyviä luokittelumenetelmiä. Näitä menetelmiä on käytetty toisen asteenvaltakunnallisten kokeiden analysoimiseen myös Irlannissa ja Australiassa(MacAogáin 2000, Flynn & McRae 2001).

Tarkastellaan lyhyesti vielä tutkielman rakennetta. Toisessa luvussa esi-tellään tutkielman kannalta oleellinen tausta ja teoria. Luvussa painotetaankonseptuaalisen ja proseduraalisen tiedon tarkastelua, sillä tietolajit ovat tär-keimmän luokittelumenetelmän keskeiset komponentit. Symboliseen lasken-taan liittyviä asioita pyritään myös käsittelemään eri näkökulmista. Varsi-naiset tutkimuskysymykset esitellään kolmannessa luvussa, jossa annetaanmyös luokittelumenetelmien yksityiskohtainen esittely. Neljäs luku keskittyyluokittelutuloksiin. Tuloksista irrotetaan tutkielman kannalta mielenkiintoi-simmat yksityiskohdat lähempään tarkasteluun. Tutkielman viimeisessä lu-vussa puolestaan tehdään johtopäätöksiä keskeisten tulosten pohjalta sekäpohditaan, kuinka tutkimusta voitaisiin jatkaa tai kehittää tulevaisuudessa.

2

2 Teoria ja tausta

Tässä luvussa esitetään tutkielmaan liittyvä teoria ja tausta aloittaen tut-kielman kannalta keskeisten tietolajien käsittelyllä. Tämän jälkeen esitelläänmatematiikan ylioppilaskoe ja lopuksi pureudutaan symboliseen laskentaan,sen mahdollisuuksiin ja mahdollisuuksista nouseviin erityiskysymyksiin.

2.1 Proseduraalinen ja konseptuaalinen tieto

Tässä luvussa tarkastellaan proseduraalista tietoa ja konseptuaalista tietoa.Proseduraalinen tieto (engl. procedural knowledge) viittaa menettelytapoihinliittyvään tietoon. Konseptuaalinen tieto (engl. conceptual knowledge) puo-lestaan viittaa käsitteisiin liityvään tietoon. Aloitetaan proseduraalisen tie-don ja konseptuaalisen tiedon merkitysten avaaminen Hiebertin ja Lefevren(1986) edustamasta perinteisestä ja yleisesti tunnustetusta näkökulmasta.Tämän jälkeen tarkastellaan erityisesti Haapasalon (2011a) esittämiä luon-nehdintoja, jotka edustavat hänen mukaansa paremmin nykyaikaisia oppimis-ja tietokäsityksiä.

Hiebertin ja Lefevren mukaan konseptuaalinen tieto voidaan luonneh-tia tiedoksi, joka liittyy vahvasti asiayhteyksiin. Se voidaankin ajatella tie-don verkoksi, missä yhteydet ovat merkittävä, erillinen osa kokonaistiedosta.Kaiken tiedon voidaankin nähdä linkittyneen toisiinsa. Siis konseptuaalinentieto liittyy esimerkiksi yhteyteen, joka on muodostunut kahden muistissaolevan asian välille. Yksinkertaisena esimerkkinä voidaan pitää desimaali-lukujen allekkain yhteenlaskemista, jossa desimaalipilkkujen kohdistamiseenliittyy tieto muun muassa kymmenien, satojen ja niin edelleen kohdikkaisistayhteenlaskuista. Huomattavaa on, että varsinainen linkittyminen voi tapah-tua eri abstarkisuuden astein, esimerkiksi tunnistamalla tuttuja ydinpiirteitäasiasta ja muodostamalla yhteyden. Usein yhteyksien muodostaminen ylit-tääkin tietoisen toiminnan. Hiebertin ja Lefevren mukaan konseptuaalistatietoa ei voi kuitenkaan oppia ulkoluvun kautta, sillä konseptuaalinen tietoon verkkomaisesti sitoutunutta.

Proseduraalisen tiedon Hiebert ja Lefevre määrittävät kahdessa osassa,

3

joista ensimmäisen muodostaa matematiikan formaali kieli symbolijärjestel-mineen. Tähän liittyy esimerkiksi yleisten kirjoitusmuotojen ynnä muidenhavainnnolistamistapojen ymmärtäminen. Esimerkiksi proseduraalista tietoaon erottaa onko 3 + � = 16 vai 3+ = �16 oikea syntaksi. Toinen osa sen si-jaan koostuu algoritmeista ja säännöistä, joiden avulla matematiikan tehtävätvoidaan tehdä. Algoritmit ovat askel askeleelta eteneviä tarkasti kuvattujamenettelytapoja eli proseduureja tehtävän ratkaisemiseksi. Tyypilliset kou-lumatematiikan tehtävät lähtevät tarkasti määritetystä symbolisesta esitys-muodosta edeten tiukan ratkaisumenetelmän avulla myös symbolista muotoaolevaan lopputilaan, vastaukseen. Proseduurit voivat kuitenkin olla myös mo-niulotteisempia ongelmanratkaisustrategioita. Ne voivat edetä toimien muunmuassa todellisten kohteiden tai visualisointien avulla. Usein proseduraalinentieto on tarkoituksenmukaista ja merkityksellisiä, mutta ei aina. Usein varsi-naiset proseduuritkin voivat olla tiedostomattomia. Tarkoituksenmukaiseenproseduraaliseen tietoon liittyy kuitenkin aina konseptuaalista tietoa. Toisinkuin konseptuaalista tietoa, erilaisia proseduureja voi oppia Hiebertin ja Le-fevren mukaan ulkoaopiskelemalla. Tätä proseduraalisen ja konseptuaalisentiedon linkittymistä tarkastellaan lisää luvussa 2.1.1.

Haapasalo (2011a) sekä Star (2005) kritisoivat Hiebertin ja Lefevren kon-septuaalisen ja proseduraalisen tiedon määritelmiä liian kapeiksi. Hiebertiinja Lefevreen verrattuna Haapasalo tuo voimakkaammin esille konseptuaali-sen verkon merkityksellisyyden sekä esittää vahvemmin tiedon olevan kysei-sen verkon linkeissä ja solmuissa. Kaikkiaan Haapasalon käsitykset konsep-tuaalisen tiedon luonteesta pohjautuvat enemmän konstruktivistiseen tieto-käsitykseen kuin Hiebertin ja Levefren. Tämä näkyy erityisesti Haapasalonkorostaessa yksilön osuutta tiedon syntyyn sekä murtamalla tiedon objek-tiivisuusvaatimuksen. Haapasalon mukaan yksilö voi osallistua tietoisesti jaymmärtäen konseptuaalisen tiedon tulkintaan ja rakentamiseen. Haapasa-lon määritelmässä konseptuaalinen tieto voidaankin nähdä laajempana kuinHiebertin ja Levefren määritelmässä. Hän muun muassa toteaa, että konsep-tuaalinen tieto, verkon solmut ja linkit, voivat olla käsitteiden lisäksi niidenattribuutteja, proseduureja, toimintoja, näkökulmia ja ongelmia.

Haapasalo pyrkii myös tarkentamaan proseduraalisen tiedon määritte-

4

lyä. Pääsääntöisesti Haapasalon näkemykset kuitenkin vastaavat Hiebertinja Levefren näkemyksiä. Haapasalo kuitenkin korostaa dynaamisuutta sekätarkoituksenmukaisuutta menetelmien ja algoritmien suorittamisessa. LisäksiHaapasalo haluaa tehdä selkeän eron proseduurin ja algoritmin välillä. Ylei-siksi menetelmätiedoiksi, proseduureiksi, hän mainitsee muun muassa yleisetja spesifit ongelmanratkaisustrategiat sekä loogiset päättelysäännöt. Yleisik-si strategioiksi Haapasalo nimeää muun muassa synteesin ja analyysin sekäspesifeiksi symmetrian käytön ja erilaiset todistustekniikat. Loogisiin päät-telysääntöihin sen sijaan lukeutuvat Haapasalon mukaan esimerkiksi kaksin-kertaisen negaation laki ja De Morganin lait.

Star puolestaan tekee esimerkein selväksi, ettei kaikki tieto asetu selkeästikonseptuaalisen tai proseduraalisen tiedon kategorioihin. Tälläinen tieto onsellaista, joka kyllä liitty asioiden välisiin yhteyksiin, mutta yhteydet ovatitsessään abstrakteja ja johonkin proseduurin vaiheeseen kuuluvia.

Edellisten määrittelyiden yhteenvetona voidaankin yleistäen sanoa kon-septuaalisen tiedon liittyvän asioiden, käsitteiden ja niiden suhteiden ymmär-tämiseen. Tämä on sellaista tiedon lajia, jota ei voi oppia pelkästää toista-malla jotain tehtävää useita kertoja. Se on tietona ennemminkin syvällisenajattelun ja reflektiivisen oppimisen tulosta. Proseduraalinen tieto sen sijaanvoidaan nähdä liittyvän muodollisen kielen ja symbolijärjestelmien esitys-muotojen tuntemiseen ja sääntöjen mukaiseen algoritmiseen toistamiseen.Toisin kuin konseptuaalinen tieto, voi proseduraalinen tieto olla toistohar-joittelun seurausta.

2.1.1 Proseduraalisen ja konseptuaalisen tiedon linkittyminen

Hiebertin ja Lefevren (1986) mukaan konseptuaalista tietoa ja proseduraalis-ta tietoa ei voida käsitellä täysin erillään. Heidän mukaansa käsitteisiin liit-tyy aina proseduureja, mutta proseduurien käyttö onnistuu myös ilman sii-hen liittyvää konseptuaalista tietoa. He myös väittävät, että juuri proseduu-rit saavat konseptuaalisen tiedon esiin, eikä täten ilman proseduureja voitaisikonseptuaalisen tiedon olemassaoloa tunnistaa. Toisin sanoen proseduraali-nen tieto antaa merkityksen konseptuaaliselle tiedolle, kuten symboleille ja

5

syntaksille. He korostavat kuitenkin, että usein konseptuaalinen tieto linkit-tyy proseduraaliseen tietoon, muun muassa merkityksellisten proseduurienollessa todennäköisempiä kuin merkityksettömät yksilön ratkaistaessa teh-täviä. Näin ollen konseptuaalinen tieto on merkittävässä osassa esimerkiksiratkaisustrategian valinnassa.

Useat tutkijat eivät täysin jaa Hiebertin ja Levefren käsityksiä konseptu-aalisen ja proseduraalisen tiedon linkittymisen suhteen. Star (2005) näyttääesimerkein, että ei ole itsestään selvää, että proseduurien suorittaminen voisiolla konseptuaalisesta tiedosta vapaata. Myös Haapasalo (2004) pohtii, tulee-ko ymmärtää, jotta voi tehdä, vaiko toisin päin. Haapasalo toteaa useiden eritutkijoiden tutkimusten pohjalta, että konseptuaalisella ja proseduraalisellatiedolla näyttäysi olevan jonkinlainen kausaalinen yhteys. Koostaen muistatutkimuksista Haapasalo esittää, että näiden tietolajien suhde voi noudattaageneettisyyttä, samanaikaista aktivointia tai dynaamista interaktiota. Ge-neettisen näkökökulman mukaan proseduraalinen tieto on välttämätön mut-ta ei riittävä ehto konseptuaaliselle tiedolle. Samanaikasen aktivoinnin peri-aatteen mukaan se on sen sijaan välttämätön ja riittävä ehto. Tämä on myösHaapasalon oma näkemys. Dynaaminen interaktio lähtee sen sijaan siitä, ettäkonseptuaalinen tieto olisi välttämätön, mutta ei riittävä ehto proseduraali-selle tiedolle. Lisäksi kirjallisuudesta nousee Haapasalon selvityksen mukaannäkemys, jonka mukaan konseptuaalisella ja proseduraalisella tiedolla ei olisiyhteyttä lainkaan. Tämä kanta on kuitenkin harvinainen.

Useimmat tutkimukset konseptuaalisesta ja proseduraalisesta tiedosta täh-täävät ymmärtämään näitä tietolajeja matematiikan opiskelussa ja siten myösauttamaan opetuksen kehittämisessä. Tulisiko opetuksessa sitten edetä prose-duraaliseen tietoon painottaen konseptuaalista tietoa vai toisin päin? Haapa-salo nimeää ensimmäisen tavan kehitykselliseksi lähestymistavaksi ja jälkim-mäisen koulutukselliseksi lähestymistavaksi. Haapasalo itse toteaa kannat-tavansa jälkimmäistä vaihtoehto, mutta ei poissulkevansa ensimmäistäkään.Lisäksi hän toteaa samanaikaisen aktivoinnin periaatteen sopivan molempiinlähestymistapoihin. Tähän liittyen hän antaa samanaikaisesta aktivoinnis-ta esimerkin kuinka oppilas voi oppia sekä konseptuaalista että proseduraa-lista tietoa dynaamista geometriaa tukevan laskimen avulla. Tämä tapahtuu

6

vaikkapa manipuloimalla suoran yhtälöä samanaikaisesti, kun manipulaationvaikutukset voi nähdä koko ajan laskimen grafiikkaikkunasta.

Aiemmin esitettyyn kysymykseen liittyen Rittle-Johnson ja Alibali (1999)ovat myös esittäneet johtopäätöksiä konseptuaalisen ja proseduraalisen tie-don linkittymisen luonteesta. Heidän näkemyksensä pohjaavat tutkimukseen,jossa tutkittiin neljännen ja viidennen luokan oppilaiden käsitteellistä ym-märtämistä ja menetelmiä yksinkertaisten yhtäsuuruuden todentamistehtä-vissä, esimerkiksi 3 + 4 + 5 = 4 +�. Tutkimuksessa oppilaat jaettiin kahteenryhmään: toinen ryhmistä sai konseptuaalista ohjausta ja toinen ryhmä saiproseduraalista ohjausta. Tutkimustulosten mukaan konseptuaalinen ohjausparansi käsitteelistä ymmärtämistä sekä auttoi oikean proseduurin valintaan.Myös proseduraalisen ohjauksen todettiin parantavan käsitteellistä osaamis-ta, mutta tehtävien ratkaisutavat jäivät rajoittuneemmiksi. Rittle-Johnsoninja Alibalin tutkimuksesta käy myös ilmi, että usein oppilas, joka hallitseproseduurit, ymmärtää myös tehtävistöön liittyvät käsitteet paremmin. Kui-tenkin tutkimustulokset kertovat, että tehtävän täydellinen suorittaminen eisuoraan implikoi täydellistä konseptuaalista osaamista.

2.1.2 Proseduraalinen vai konseptuaalinen tehtava?

Olisi houkuttelevaa jakaa matematiikan tehtävät ja ongelmat konseptuaa-lisiin ja proseduraalisiin sen perusteella, onko alkutilanteessa annettu kon-septuaalinen tieto tai proseduraalinen tieto tehtävän ratkaisemiseksi. Näinovat toimineet muun muassa Connors ja Snook (2001) tutkiessaan symbo-lisen laskimen vaikutuksia yliopisto-opiskelijoiden selviytymiseen yliopistonensimmäisen vuoden matematiikan kursseista. Heidän tehtäväkokoelmassaanproseduraalista tehtävää edustaa esimerkiksi funktion raja-arvon määrittä-minen ja konseptuaalista ääriarvojen laskeminen tehtävien muotoilujen ol-lessa sellaiset, että ensimmäisessä raja-arvon voi laske suoraan ja toisessaääriarvon käsite on avain oikean ratkaisumenetelmän valintaan. Kolmannek-si tehtäväkategoriaksi Connors ja Snook ovat nimenneet soveltavat tehtävät.Näiden tehtävien tekemiseen heidän mukaan tarvitaan sekä käsitteiden ettäproseduurien hallintaa.

7

Haapasalo (2004) kuitenkiin tuo esiin tällaiseen tehtävien luokitteluunliittyvän paradoksin. Paradoksi liittyy edellisessä alaluvussa esitettyyn kon-septuaalisen tiedon ja proseduraalisen tiedon linkittymiseen. Haapasalo ko-rostaa, että tehtävään tai ongelmaan liittyvää tietoa joudutaan aina tulkit-semaan oppimistilanteeseen liittyvässä viitekehyksessä, eikä ulkopuolinen voiennustaa mitä tilanteessa tullaan oppimaan. Opettaja saattaa esimerkiksiajatella jonkin tehtävän panostavan konseptuaaliseen tietoon, mutta oppilasoppiikin siitä lähinnä proseduraalista tietoa.

Rittle-Johnson ja Alibali (1999) toteavat tehtävistä yleisesti kuitenkin,että usein on opittava aiheen kannalta sekä tärkeimmät käsitteet että prose-duurit, jotta ongelmien ratkaiseminen ja tehtävien tekeminen on mahdollista.Voitaneenkin todeta, että suoriutuakseen erilaisista tehtävistä hyvin, on yk-silöllä oltava monipuolinen ymmärrys käsitteistä, niiden attribuuteista, eriesitysmuodoista, proseduureista sekä siitä, kuinka ne suhtautuvat toisiinsa.

2.2 Matematiikan ylioppilaskoe

Tässä luvussa tarkastellaan ensin matematiikan ylioppilaskokeen historiaaylioppilastutkintolautakunnan historiikin pohjalta. Tämän jälkeen esitelläänlyhyesti kokeessa nykyisin sallitut apuvälineet. Lopuksi tarkastellaan hiemansyvemmin viimeisintä, symboliset laskimet sallinutta laskinuudistusta ja sii-tä seurannutta kirjoittelua kotimaisissa opetusalaa seuraavissa julkaisuissa.Varsinaiset symboliseen laskentaan liittyvät erityiskysymykset on sen sijaankäsitelty tarkemmin luvussa 2.3.

2.2.1 Kokeen historia

Ylioppilastutkinnon päämääränä on antaa yleinen korkeakoulukelpoisuus.Ensimmäisen kerran ylioppilastutkinto sidottiin lukion oppimäärään vuon-na 1852. Matematiikan koe oli alusta alkaen pakollinen osa tutkintoa. Al-kuvuosina matematiikan koe oli suullinen, kunnes se muutettiin kirjalliseksivuonna 1874. Lyhyen matematiikan koe otettiin käyttöön vuonna 1901. Sota-aikaan 40-luvulla matematiikka ja reaalikoe olivat vaihtoehtoiset toisilleen.Vuoden 1947 asetuksella tämä valinnaisuus vakinnaistettiin, eikä matematii-

8

kan koe ollut näin enää pakollinen. Vuonna 1962 säädettiin kuitenkin, ettäpitkän matematiikan koe oli niille pakollinen, jotka olivat opiskelleet ainet-ta vähintään 15 viikkotunnin kurssin. Vuonna 1994 puolestaan sallittiin en-simmäistä kertaa ylioppilastutkinnon suorittaminen hajautetusti ja vuonna1996 säädettiin, että oppilas sai valita opinnoistaan riippumatta pakollisek-si kokeekseen joko pitkän tai lyhyen matematiikan kokeen tai reaalikokeen.(Ylioppilastutkintolautakunta 2012)

Kirjallisten kokeiden ensimmäisinä vuosikymmeninä kokeissa oli kymme-nen tehtävää ja niiden ratkaisemisessa sai käyttää apuna logaritmitaulukkoja.60-luvulla kokeiden tehtävämäärää kasvatettiin muutamalla. Tehtävistä ko-kelas sai tehdä kymmenen. Vuonna 2000 tehtävämäärä vakiinnutettiin lopul-ta nykyiseen viiteentoista. Vuonna 2007 pitkän matematiikan kokeen halut-tiin mittaavan paremmin lukiossa saavutettuja tietoja, taitoja ja kypsyyttä.Uudistetun kokeen 15 tehtävästä kaksi on tämän vuoksi nykyään syvempääkäsittelyä vaativampia, ja niistä voi saada yhdeksän pistettä perinteisen kuu-den pisteen sijaan. Kaikkien kokeen tehtävien tulee joka tapauksessa pohjau-tua joko oppimäärän pakollisiin tai syventäviin valtakunnallisiin kursseihin.(Ylioppilastutkintolautakunta 2012)

2.2.2 Sallitut apuvalineet ja laskinuudistus

Kevään 2012 kokeesta lähtien yo-kokeessa saa käyttää symbolisia laskimia.Itse asiassa kaikki funktio-, graafiset ja symboliset laskimet ovat sallittuja.Kokelas voi halutessaan käyttää yhtä tai useampaa laskinta kokeessa, kun-han laskinten muisti on tyhjennetty ennen koetta. Lisäksi kokeessa sallitaantaulukkokirjat:

1. MAOL, MAOL-taulukot, Otava.2. Ranta, E. & Tiilikainen, M. Lukion taulukot, WSOY.

Kokelaan on mahdollista käyttää molempia taulukkokirjoja yhtäaikaisesti.(Ylioppilastutkintolautakunta 2011)

Ylioppilastutkintolautakunnan matematiikan jaoksen johtaja Juha Kin-nunen, perustelee laskinuudistusta matemaattisten aineiden opettajien liiton

9

(MAOL) ammattilehdessä, Dimensiossa (Kinnunen 2011). Hänen mukaan-sa laskinuudistuksen tarkoituksena on ajainmukaistaa laskinten käyttö. Yksisyy uudistukseen on hänen mukaansa se, että markkinoilla on lukuisia erilai-sia laskimia. Kaikki laskimet salliva uudistus vähentää näin epätietoisuuttalaskinta valittaessa. Hän yrittää myös lieventää laskinuudistuksen ripeyttäkorostamalla, ettei kaikkien tarvitse hankkia hintavaa symbolista laskinta.Lisäksi hän korostaa, että koetehtävät eivät tule oleellisesti muuttumaan lä-hivuosina. Kinnunen kuitenkin myöntää, että kokeeseen voi tulevaisuudessatulla tehtäviä, joiden laadinnassa uuden teknologian mahdollisuudet on huo-mioitu. Vaikka symboliset laskimet voivat antaa vastauksen useisiin perintei-sistä koetehtävistä, tulisi niitä käyttää Kinnusen mukaan lähinnä tarkistami-seen ja ratkaisun tukena. Näin ollen välivaiheiden kirjoittamista edellytetäänyhä kokelailta.

Laskinuudistus on herättänyt monia kysymyksiä opettajakunnassa. Kes-kustelun keskiöön ovat nousseet peruskysymykset: mitä opiskelijoille tulisiopettaa ja kuinka optimaalinen valmistautuminen kokeeseen saavutetaan?Aineenopettajien keskuudessa on myös levinnyt huoli perustaitojen rapautu-misesta laskimen tehdessä useat perinteisesti paljon harjoitellut mekaanisetrutiinitoimenpiteet tehtävien ratkaisemiseksi tarpeettomiksi. Lappi ja Lap-pi (2011) pohtivatkin, missä määrin opetuksen tulee siirtyä laskimen käytönopettelemiseksi matematiikan opiskelun sijaan. He ovat täten perustellustihuolissaan todellisen matemaattisen osaamisen mahdollisesta heikentymises-tä. Tämän lisäksi he kritisoivat laskinuudistuksen yllättävän ripeää toteu-tusta, minkä seurauksena käytössä olevat oppimateriaalit eivät ole ehtineetottaa tätä merkittävää uudistusta ajoissa huomioon.

Myös MAOL on ilmaissut huolensa matemaattisen taidon heikentymises-tä laskinuudistukseen liittyen. Tämän vuoksi MAOL jakaisi matematiikankokeet kahteen osaan, joista toinen tehtäisiin ilman laskinta ja taulukkokir-jaa. Tämän koeosion tarkoituksena olisi mitata oppilaan ymmärrystä laski-nosion tehtävien ollessa soveltavampia. (Opettaja 2011)

Haapasalo (2011b) puolestaan toivottaa laskinuudistuksen tervetulleek-si. Hänen mielestään nykyaikainen teknologia mahdollistaa instrumentalisaa-tion kautta oppimisen, jossa väline muuttaa tiedon syntyprosessin. Haapasa-

10

lo myös mainitsee, kuinka symbolisten laskinten kaltaiset spontaanit tutki-musympäristöt yhteenliittävät proseduraalista ja konseptuaalista tietoa sekäkuinka ne mukauttavat nykyaikaista opiskeluseurantaa yhteiskunnassa ta-pahtuvaan instrumentalisaatioon. Hän kuitenkin kritisoi nykyisiä kouluma-tematiikan tehtäviä yksiuloitteisiksi. Haapasalo toteaakin niiden seuraukse-na olevan vaarana, että opiskelu muuttuu napinpainelukursseiksi. Hän myösesittää avoimen kysymyksen, onko mieltä enää opettaa perinteisiä mekaani-sia rutiineja, jotka ovat laskimelle yksinkertaisia.

Myös Kivelän (2012) mukaan laskinuudistus on tarpeen, sillä matematii-kan opetuksen on seurattava maailman muuttumista1. Hän kuitenkin toteaa,että teknologia mahdollistaa useiden nykyisten ylioppilaskoetehtävien teke-misen ymmärryksettä. Kivelä mainitsee silti, että usein tarvitaan kuitenkinkykyä jäsentää tehtävä, jotta sen ratkaiseminen onnistuu laskimella. Lisäksihän toteaa, että laskimen toiminnan ymmärtäminen tulosteineen vaatii myöstaitoa ja matemaattista ymmärrystä.

2.3 Symbolinen laskenta

Tässä luvussa käsitellään symbolista laskentaa ja siihen liittyviä erityiskysy-myksiä. Aluksi esitellään lyhyesti nykyaikaisen symbolisen laskimen toimin-nallisuutta. Tämän jälkeen pohditaan, kuinka tämä teknologia tulee mah-dollisesti muuttamaan perinteistä koulumatematiikkaa. Lisäksi pohditaan,millaisin tehtävin opiskelijoiden taitoja tulisi laskinuudistuksen myötä tes-tata. Koska matematiikan opetus ja matemaattisten ideoiden arvottaminenlukioissa nojaa opetussuunnitelmaan, on syytä myös tarkastella opetussuun-nitelman näkemyksiä. Tämän tarkastelun yhteydessä haetaan myös kansain-välistä viitekehystä. Lopuksi esitellään tutkimustuloksia Suomesta, Irlannistasekä Australiasta liittyen symbolisesta laskimesta saatavaan hyötyyn valta-kunnallisissa toisen asteen koulutuksen matematiikan kokeissa.1"Emmehän käytä enää logaritmitaulujakaan emmekä yritä harjoittaa aritmetiikkaa roo-malaisiin numeroihin perustuen." (Kivelä 2012)

11

Kuva 1: Symbolisen laskimen (vasen) ja vastaavan ei-symbolisen graafisenlaskimen (oikea) toiminnallisia eroavaisuuksia.

2.3.1 Laskinteknologia

Ensimmäinen tieteislaskin julkaistiin vuonna 1975, graafinen laskin vuonna1986 ja CAS-laskin vuonna 1996. Näistä tieteislaskin mahdollisti ensimmäi-senä muun muassa alkeisfunktioilla operoimisen ja graafinen laskin datan jafunktioiden esittämisen kuvaajin. (Waits & Demana 2000) Käsite CAS puo-lestaan tulee englannin kielen sanoista Computer Algebra System ja silläviitataan teknologiaan, joka mahdollistaa sekä numeerisen että symbolisenlaskennan. CAS-teknologia mahdollistaa muun muassa algebrallisten lausek-keiden sieventämisen sekä tulosten esittämisen symbolein, murtolausekkeinja neliöjuurin. (Texas Instruments 2012) Usein CAS-laskimia kutsutaankinvain symbolisiksi laskimiksi. Huomioimisen arvoista on, että symbolinen las-kin sisältää myös tieteislaskimen ja graafisen laskimen.

Ei-symboliset perinteiset graafiset laskimet sisältävätkin useimmat sym-bolisten laskinten toiminnoista. Nämä laskimet eivät kuitenkaan kykene esi-merkiksi algebrallisten lausekkeiden sieventämiseen tai määräämättömän in-tegraalin selvittämiseen. Onkin huomattava, että ei-symboliset laskimet ei-vät pysty symbolitason ratkaisuihin ja että niiden avulla saadut vastaukset-kin ovat usein likiarvoja. Ei-symboliset laskimet ovat kuitenkin tehokkaitatyövälineitä. Ne pystyvät numeerisin menetelmin muun muassa laskemaanmäärätyn integraalin tai derivaatan arvon annetussa pisteessä. Kuvassa 1on vertailtu ja havainnollistettu symbolisen laskimen (TI nspire CX CAS) javastaavan ei-symbolisen graafisen laskimen (TI nspire CX) toiminnallisuutta.

12

2.3.2 Koulumatematiikka ja nykyaikainen teknologia

Uusi teknologia on jo ennen symbolisia laskimiakin herättänyt huolta mate-maattisen osaamisen puolesta, mutta ajan myötä teknologian käyttö on yleis-tynyt. Erityisesti työläät tehtävät, kuten monimutkaiset jakolaskut tai ku-vaajan piirtämiset, tehdään nykyään useimmiten laskimen avulla. (Waits &Demana 2000) Perinteiset matematiikan tunnit ovat olleet algoritmien opet-telua ja harjoittelua kynän ja paperin avulla käsin. Opiskelun pääpaino onkinollut operaatioiden opettelemisessa ja suorittamisessa. Nykyiset symbolisetlaskimet tekevät kuitenkin lähes kaikki nämä operaatiot vaivatta. Matematii-kan opetuksen päämäärä tulisikin siirtää operaatioiden opettelemisesta niillätoimimiseen. (Kokol-Volc 2000)

Nykyaikaiset laskimet mahdollistavat sellaisten tehtävien ratkaisemisen,joiden ratkaisemista koulussa ei perinteisesti käsitellä. Laskimet ovatkin muut-taneet ja tulevat muuttamaan opetuksen ja oppimisen tapoja. Mikäli ai-kaa käytetään vähemmän työläiden kynä-paperimenetelmien opettelemiseenja harjoittelemiseen, jää enemmän aikaa syvällisemmän käsitteellisen tiedonomaksumiseen ja ongelmanratkaisutaitojen kehittämiseen. Esimerkiksi en-nen graafisia laskimia derivointia hyödynnettiin tarkkojen kuvaajien piirtä-miseen, kun nykyään kuvaajien avulla opitaan ymmärtämään paremmin de-rivointia. (Waits & Demana 2000)

Kutzler (1998) vertaa laskimen tuomia mahdollisuuksia liikuntaan: pääs-sälaskeminen on siirtynyt laskimelle, kuten lyhyet siirtymät kävelystä pyö-räilyyn tai autoiluun. Hän kysyykin, miksi emme sitten tarjoaisi esimerkiksioppimisvaikeuksista kärsiville tehokkaita työkaluja tehtävien tekemiseksi jaongelmien ratkaisemiseksi? Usein esimerkiksi uuden asian opiskelu keskeytyyaiemmin opittujen laskurutiinien suorittamiseen. Ongelmat näissä rutiineis-sa voivatkin haitata uuden asian oppimista. CAS-laskimien avulla voitaisiintukea työskentelyä tällaisissa uuden asian kannalta vähemmän oleellisissaasioissa. Mutta kuinka pitkälle laskurutiinien automatisoinnissa sitten tulisimennä?

Symbolisen laskimen tehokas käyttö edellyttää opiskelijoilta monipuolistakykyä liittää teknologia osaksi matematiikan oppimista sekä tehtävien teke-

13

mistä. Tehokkaaseen käyttöön liittyy sekä kognitiivisia että affektiivisia näkö-kulmia. Opiskelijalta edellytetäänkin tietoa laitteen toiminnasta, tekniikastaja matematiikasta. (Pierce & Stacey 2004) Toisin sanoen opiskelijan tuleemuun muassa osata tyhjentää laskimen muisti, käyttää laskimen valikkoja jaymmärtää syntaksi sekä tulosteet. Tähän liittyen ovat Barkatsas, Kasimatisja Gialamas (2009) tutkineet muun muassa asenteiden ja itseluottamuksenvaikutusta koulumenestymiseen matematiikassa. Heidän tutkimustulostensamukaan matematiikassa menestyvät ja omiin matemaattisiin ja teknologisiinkykyihinsä luottaneet opiskelijat eivät kuitenkaan nähneet teknologian hyö-dyttävän heitä matematiikan opiskelussa. Tutkijat arvelevat tämän johtuvannäiden opiskelijoiden liiallisesta uskosta omiin matemaattisiin kykyihin. Sensijaan ne opiskelijat, jotka suhtautuivat matematiikkaan ja ylipäänsä opiske-luun negatiivisesti, uskoivat teknologian auttavan heitä matematiikan opis-kelussa.

2.3.3 Millaisia koetehtavia?

Symboliset laskimet selviävät useimmista perinteisistä koulumatematiikantehtävistä (esimerkiksi Waits & Demana 2000 ja Kokol-Volc 2000). Tällais-ten tehtävien perinteisiin ratkaisumenetelmiin käytetään kuitenkin paljon re-sursseja, vaikka nuo menetelmät ovat vaarassa käydä tarpeettomiksi. Tämänvuoksi Waits ja Demana (2000) toteavat, että opetussuunnitelmien, tehtävienja kokeiden tulee muuttua.

Useimmissa koulumatematiikan tehtävissä korostuu proseduraalisen tie-don hallinta. Lisäksi tehtävät ovat yleensä suljettuja, mikä tarkoittaa, ettäkaikki tieto tehtävän ratkaisemiseen on annettu. Näin ollen opiskelijalta odo-tetaan tehtävään yhtä oikeaa vastausta yhdellä oikealla tavalla ratkaistuna.Ratkaisumenetelmän joko muistaa tai sitten ei. (Haapasalo 2011b) Meyerin &Winkelmannin (1991) mukaan koekysymysten tulisi kuitenkin testata yleisiensisältöjen päämääriä ennemmin kyky- kuin taitolähtöisesti. Koekysymystentulisikin näin enemmän tukea konseptuaalista osaamista kuin algoritmien japroseduurien hallintaa. Tällä hetkellä kouluissa keskitytään kuitenkin enem-män itse työkaluihin kuin niiden soveltamiseen. (Kokol-Volc 2000)

14

Koekysymyksiä analysoitaessa on huomioitava, kuinka ne mallintavat to-dellista maailmaa sekä heijastavat matemaattista sisältöä. Lisäksi on punnit-tava, kuinka suuri on algoritmisten tai laskennallisten taitojen tarve niidenratkaisemiseksi. Symbolisten laskimien myötä ei kuitenkaan kaikkia tehtäviätarvitse muuttaa. Esimerkiksi voidaan pyytää opiskelijaa selittämään, mitätarkoittaa funktion ensimmäisen derivaatan vakioisuus. Kuitenkin useat teh-tävätyypit ovat symbolisten laskimien myötä kyseenalaisia, kuten funktionsuurimman arvon laskeminen. Tällaiset tehtävät ovat helposti ratkaistavissalaskimen avulla. Kaiken lisäksi ne keskittyvät laskennallisiin taitoihin eivätkätestaa matemaattisten ideoiden sovellettavuutta. Paremmin symboliselle las-kimelle sopivia koekysymyksiä olisivat sellaiset, jotka tukisivat enemmän luo-vuutta ja joustavuutta. Tällaiset tehtävät voisivat esimerkiksi mahdollistaaerilaisten ratkaisumenetelmien käyttämisen ja sallia monenlaisia vastauksia.Esimerkiksi voitaisiin pyytää opiskelijoita muodostamaan tietty lukumääräkolmannen asteen yhtälöitä, jotka toteuttavat annetut juuret. (Kokol-Volc2000)

Matemaattisen tiedon esitystapoja on useita. Tieto voidaan esittää sym-bolisesti, kuvallisesti ja sanallisesti (Haapasalo 2011a). Symbolisten laskimienavulla matemaattista tietoa voidaan muuttaa esitystavasta toiseen. Useinesitystavoista käytetään kuitenkin vain yhtä, lähestymällä menetelmällises-ti tehtävää hyödyntämällä proseduraalista tietoa. Useat tehtävät puoltavattällaista yksipuolista laskimen käyttöä. Valitettavasti tällaiset tehtävät ei-vät kuitenkaan tue erityisesti proseduraalisen tiedon ja konseptuaalisen tie-don linkittymistä. Tietolajien yhteenliittyminen onkin tehokkaampaa niidentehtävien avulla, joiden ratkaisemiseksi käytetään useampaa kuin yhtä esi-tysmuotoa. Usein tällaisten ratkaisumenetelmien käytön esteenä on muunmuassa kynä-paperitekniikoiden ja laskimen syntaksin sekä tulosteiden väli-set eroavaisuudet. (Kadijevich 2007)

Vaikka monet perustaitoja mittaavat tehtävät ovat symboliselle laskimel-le triviaaleja, liittyy näiden tehtävien perinteiseen tekemiseen aihealueeseenliittyvien sääntöjen hallitseminen ja syntaksin ymmärtäminen. Tämän vuok-si näistä koekysymyksistä ei tulisi luopua, vaikka CAS olisikin otettu käyt-töön. (Kokol-Volc 2000) Jotta tällaisia perustaitoja voitaisiin mitata, useat

15

tutkijat kannattavat kaksiosaisia kokeita siten, että kokeen toisessa osassalaskimen käyttäminen olisi kiellettyä (esimerkiksi Kutzler 1998 sekä Herget,Heugl, Kutzler & Lehmann 2000). MAOL on esittänyt samantapaista ratkai-sua otettavaksi käyttöön Suomessa lukiokurssien kokeiden ja matematiikanylioppilaskirjoituksien osalta (Opettaja 2011). Herget ym. (2000) toteavatkuitenkin, ettei voida yksinkertaisesti ja yksimielisesti sanoa, millaiset tehtä-vät tulisi tehdä ilman laskinta. He kuitenkin korostavat, että laskimettomaankokeeseen tulisi kuulua välttämättömimmät kynäpaperimenetelmät. Lisäksihe toteavat, että kaksiosaisella kokeella voitaisiin myötäillä sekä teknologia-myönteisiä että perinteisiä taitoja vaalivia koulukuntia. Kutzler (1998) puo-lestaan ehdottaa, että perustaitoja seurattaessa ja arvioitaessa kaikenlaistenlaskimien tulisi olla kiellettyjä. Ongelmanratkaisutilanteissa hän sen sijaansallisi kaiken teknologian.

Kivelä (2012) pohtii artikkelissaan, millaisia tehtäviä matematiikan yli-oppilaskokeessa tulisi näin laskinuudistuksen myötä olla. Hänen ajatuksensaovat lähellä esimerkiksi Kokol-Volcin (2000) muutosehdotuksia. Kivelä pitäätärkeänä, että jatkossakin opiskelijoiden tulisi osata käsin kynän ja paperinavulla perusasiat, kuten yksinkertaisten yhtälöiden ratkaisemiset, lausekkei-den sieventämiset, derivoinnit ja integroinnit. Symbolisen laskimen mahdol-lisuuksien vuoksi hän ehdottaa, että näiden asioiden hallintaa testattaisiinilman laskimia. Kivelä toteaa, että tällaisten perusoperaatioiden lisäksi yliop-pilaskokeissa on testattu tärkeiksi katsottujen algoritmien hallintaa, esimer-kiksi pyytämällä selvittämään funktion pienin ja suurin arvo. Tällaisten teh-tävien tekeminen ei kuitenkaan vaadi symbolista laskinta käyttämällä asiaanliittyvien matemaattisten ideoiden hallintaa — vastaus saadaan valitsemallaoikea toiminto laskimesta. Kivelä ehdottaa, että nämä tehtävät voitaisiin kor-vata esimerkiksi pyytämällä kirjoittamaan essee aiheesta ja muodostamaansopivia esimerkkejä. Hän kuitenkin painottaa, että kokeissa on ollut tehtä-viä, jotka sopivat kokeisiin edelleen. Nämä tehtävät ovat olleet hieman moni-mutkaisempia ja keskittyneet tehtävän rakenteen koossa pitämiseen. Uudek-si tehtävätyypiksi Kivelä ehdottaa avoimia tutkimustehtäviä, joissa voitaisiinesimerkiksi tutkia, onko jokin asia totta vai ei.

16

2.3.4 Opiskeluseuranta ja arviointi

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) on esitettänyt kuusiopiskeluseurantaa koskevaa standardia, jotka ovat oppimisen, tasapuolisuu-den, avoimuuden, johtopäätösten sekä keskeisimpien tietoalueiden standar-dit. Esitellään seuraavaksi lyhyesti näiden standardien sisältö. Ensinnäkinopiskeluseurannan tulee edistää oppimista, joten sen tulee muun muassa mo-tivoida opiskelemaan sekä kehittää opiskelijoiden itsearviointia. Tämän lisäk-si opiskeluseurannan tulee tukea kaikentasoisia opiskelijoita ja antaa heille ti-laisuuksia osaamisensa näyttämiseen. Opiskeluseurannan ei tule olla ylhäältäpäin ohjattua vaan opiskelijoiden tulee tietää, mitä heiltä odotetaan — ar-vostelukriteerien tuleekin olla kaikkien tiedossa. Lisäksi opiskeluseurannantulee olla linjassa opetussuunnitelman kanssa, olla johdonmukaista arvioijas-ta riippumatta ja keskittyä matematiikan tärkeimpiin ideoihin ja ongelmiin.(NCTM 1995, Haapasalo 2011a)

Arviointi puolestaan kertoo matemaattisen osaamisen ja sisältöjen ar-vottamisesta. Tämän vuoksi kokeiden tulisi tarjota mahdollisuuksia mate-maattisen päättelyn, matematiikan sisältöjen ja eri esitysmuotojen välisiinyhteyksiin. Kun symboliset laskimet sallitaan kokeissa, tulee tämä teknolo-gia ottaa huomioon arvioinnissa. Teknologia tuleekin muuttamaan sitä, mitäpidämme tärkeänä matemaattisena osaamisena. Esimerkiksi perinteisiä sie-ventämistehtäviä ei tulisi käyttää CAS-laskimet sallivissa kokeissa, sillä nämätehtävät on helposti ratkaistavissa välivaiheineen laskimen avulla. Arvioinninpainopistettä tulisikin siirtää enemmän kykyyn muodostaa ja tulkita mate-maattisia malleja. Lisäksi tulisi voida taata arvioinnin yhdenvertaisuus. Mi-ten voidaan huomioida eri laskinmallien eroavuudet muun muassa syntaksis-sa, toiminnoissa tai tulosteissa? (Flynn 2003)

Eittämättä symboliset laskimet vaikeuttavat opiskeluseurantaa ja arvioin-tia. Eräs ongelmista on se, että (useimmat) symboliset laskimet eivät näytätehtävänratkaisun välivaiheita, ainoastaan vastauksen. Toisena seikkana onhuomattava, että aiemmin käytössä oli lähinnä algebran symbolitason rat-kaisumenetelmät. Nykyaikainen laskinteknologia tuo kuitenkin usein numee-riset ja graafiset menetelmät opiskelijan ulottuville. Näin symbolisien laski-

17

mien myötä myös vastaustekniikat tulevat muuttumaan ja vastauksia tullaankirjoittamaan yhä useammin laskimen tulosteiden pohjalta perinteisistä ta-voista poiketen. Symbolisten laskimien aiheuttamaan muutospaineen vuoksitulisi kokeiden laatijoiden olla ajan tasalla käytettävän teknologian kanssa.Kokeita suunniteltaessa on huomioitava teknologian mahdollisuudet, muttaolla tekemättä kokeista liian monimutkaisia. Symbolisten laskimien myötäkokeisiin voidaan kuitenkin sisällyttää esimerkiksi konseptuaalisesti aiempaahaastavampia tehtäviä. (Stacey 2003)

2.3.5 Opetussuunnitelman ja NCTM:n nakemyksia

Lukion opetussuunnitelma määrittelee matematiikan opetuksen seuraavallatavalla

"Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa opiskelija ma-temaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihinja rakenteisiin, opettaa käyttämään puhuttua ja kirjoitettua ma-tematiikan kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien ratkaise-misen taitoja." (Opetushallitus 2003)

Useimpien matematiikan tehtävien osalta tämä määrittely vaikuttaisi olevanristiriidassa — ainakin jos mietitään luvuissa 2.3.2 – 2.3.4 esitettyjä näke-myksiä näistä perinteisistä tehtävistä.

Opetussuunnitelmaa lukiessa tulee muistaa, että se on vuodelta 2003, kuntaas symboliset laskimet sallittiin ylioppilaskirjoituksissa vasta vuonna 2012.Opetussuunnitelman matematiikan arviointilinjaukset tai matematiikan ope-tuksen tavoitteet ovat pääsääntöisesti silti vielä laskinuudistuksenkin jälkeenarvokkaita ja perusteltuja. Joitakin painotuseroja voi tulevaisuudessa kui-tenkin olla tarpeen tehdä. Esimerkiksi symbolisten laskimien myötä voi olla,että laskentataitojen arvostus vähenee ja lausekkeiden käsittelyn merkityspienenee.

Lukion opetussuunnitelmassa ei juurikaan käsitellä teknologiaa. NCTMsen sijaan listaa teknologian yhdeksi kuudesta koulumatematiikkaa koskevis-ta perusperiaatteistaan. Muut viisi perusperiaatetta keskittyvät opetussuun-

18

nitelmaan, yhdenvertaisuuteen, opettamiseen, oppimiseen ja opiskeluseuran-taan. Näiden perusperiaatteiden kuvauksien tarkoituksena on lähinnä mää-rittää laadukkaan matematiikan opetuksen erityispiirteet. (NCTM 2000, 16)Opiskeluseurannan standardeja esiteltiin lyhyesti luvussa 2.3.4, teknologiaanliittyviä näkökulmia käydään läpi seuraavaksi, mutta neljää muuta peruspe-riaatetta ei käsitellä tämän pro gradu -tutkielman puitteissa.

NCTM on muotoillut teknologiaa koskevan perusperiaatteen jo vuonna2000 muotoon:

" Technology is essential in teaching and learning mathematics; itinfluences the mathematics that is taught and enhances students’learning. " (NCTM 2000)

NCTM pitää teknologiaa siis merkittävänä opettamisen ja oppimisen väli-neenä. NCTM avaa seikkaperäisesti yllä esitetyn perusperiaatteen. Useim-mat näistä teknologian hyödyistä on jo esitetty eri tutkijoiden näkemyksinäluvuissa 2.3.2 ja 2.3.3. NCTM:n viesti on kuitenkin selkeä: teknologiaa eitule käyttää korvaamaan vaan edistämään. Teknologian käyttöä NCTM:nmukaan tukee muun muassa eri esitysmuotojen käyttäminen, laskennallinentehokkuus ja tarkkuus. Näin teknologian myötä vapautuu resursseja käsit-teenmuodostusprosessille ja mallintamiselle. Lisäksi NCTM toteaa, että tek-nologian myötä esimerkiksi algebran ja geometrian välinen keinotekoinen rajasumenee mahdollistaen toisen aihealueen matemaattisten ideoiden hyödyntä-misen toisen aihealueen ideoiden ymmärtämiseksi paremmin. (NCTM 2000)

2.3.6 Tutkimustuloksia

Valkeakoskelainen lukiolainen Meri Vainio palkittiin Suomen Akatemian lu-kiolaisille suunnatussa tiedekilpailussa tutkielmastaan, joka käsittelee sym-bolisen laskimen vaikutuksia matematiikan ylioppilaskirjoituksissa2. Vainio(2011) käytti tutkimuksessaan Arithmetic complexity -järjestelmää, joka ja-kaa tehtävät yksi- ja monivaiheisiin. Vainio laski menetelmää käyttäen teh-tävien vaiheiden lukumäärät sekä niiden vaiheiden lukumäärät, jotka voitiin2ks. http://www.aka.fi/fi/Viksu/

19

suorittaa CAS-laskimella. Hän analysoi vuoden 2011 kokeet. Vainion tulok-sien mukaan kevään kirjoituksissa viiden tehtävän jokainen vaihe voitiin teh-dä symbolisella laskimella. Syksyn kirjoituksissa tällaisia tehtäviä oli seit-semän. Valitsemalla kokeesta kymmenen tehtävää sai Vainio CAS-laskimellatehtävien vaiheiden prosentuaaliseksi maksimiosuudeksi kevään kokeessa 93,2% ja syksyn kokeessa 77,8 %.

MacAogáin (2000) on puolestaan selvittänyt CAS-laskimesta saatavaahyötyä Irlannissa toisen asteen koulutuksen päättökokeissa3. Irlannissa tä-mä koe koostuu kahdesta osasta. Ensimmäinen kokeen osa sisältää algebran,kompleksiluvut, sarjat, induktion sekä differentiaali- ja integraalilaskennan.Toinen osa puolestaan sisältää geometrian, vektorilaskennan, trigonometriansekä tilastot ja todennäköisyyslaskennan. MacAogáin jakoi kaikki tehtävätneljään luokkaan. Tarkemmat tiedot luokittelumenetelmästä on annettu lu-vussa 3.3. Kokeen ensimmäisen osan tehtävistä hän luokitteli 75 % yksinker-taisiksi tai helpoiksi, kun CAS-laskin oli sallittu. Toisen osan vastaava lukemaoli vain 15 %. Ensimmäisen osan hän toteaa olevan epäsopiva CAS-laskimienollessa sallittu. Toista osaa hän sen sijaan pitää edelleen melkoisen sopiva-na. Artikkelissaan MacAogáin esittää myös CAS-yhteensopivuutta mittaa-vaan CAS-indeksin (katso kaava (3.1)), joka on kokonaisluku nollasta kym-meneen — CAS-herkästä CAS-yhteensopivaan. Analysoidun kokeen ensim-mäisen osan CAS-indeksiksi hän laskee kaksi ja toisen osan CAS-indeksiksiseitsemän.

Flynn ja McRae (2001) ovat puolestaan tutkineet CAS-laskimen vaiku-tuksia Australian toisen asteen valtakunnallisessa matematiikan menetelmät3/4 -kokeessa4. He käyttivät tehtävien luokittelemiseen kolmea menetelmää.Näistä luokittelumenetelmistä kaksi on ollut käytössä myös tätä pro gradu-tutkielmaa tehdessä (katso luvut 3.3 ja 3.4). Kolmannen menetelmän luo-kat sen sijaan olivat: CAS-laskimella ei-vaikutusta, CAS-laskimesta hyötyä,mutta muutoksia tehtävään ei tarvita ja CAS-laskimella merkittävä vaiku-tus, tehtävää ei voida käyttää. Analysoitava koe muodostui kahdesta osas-ta. Näistä ensimmäinen osa koostui 27 monivalintatehtävästä ja kahdeksas-3ks. The Leaving Certificate4ks. The Victorian Certificate of Education

20

ta lyhyen ratkaisun tehtävästä. Toisen osan neljään laajempaan tehtäväänedellytettiin ratkaisun kirjoittamista. Nämä neljä tehtävää sisälsivät useitaratkaistavia kohtia. Suurin osa kaikista koetehtävistä keskittyi funktioihinsekä differentiaali- ja integraalilaskentaan. Tutkimuksen tulosten mukaan 40% ensimmäisen osan ja 38 % toisen osan tehtävistä olivat helpompia CAS-laskimen kanssa kuin graafisen laskimen kanssa. Tulosten perusteella kokeenensimmäisen osan algebran sekä differentiaali- ja integraalilaskennan tehtä-vistä tulisi muuttaa tai korvata 80 % ja toisen osan tehtävistä 62 %.

21

3 Tutkimusmenetelmat

Tässä luvussa esitetään ensin tutkielman keskeisimmät tutkimuskysymyk-set. Nämä tutkimuskysymykset liittyvät pitkän matematiikan ylioppilaskir-joituksiin ja niissä sallittuun apuvälineistöön. Asetettuihin tutkimuskysy-myksiin pyritään löytämään vastauksia luokittelemalla koetehtävät. Tutkiel-massa käytettävät kolme luokittelumenetelmää esitellään tutkimuskysymys-ten jälkeen. Huomioitavaa on, että luokittelumenetelmät eivät ole absoluut-tisia. Tämä johtuu pitkälti laadullisten asioiden luokitteluun liittyvistä on-gelmista — todellisuus on jatkuvaa ja sitoutunutta, joten kuinka sen jaka-minen diskreetteihin osiin voitaisiin tehdä yksiselitteisesti? Luokittelemallatehtävät perustelluin kriteerein saadaan kuitenkin monenlaista tietoa esiin— tässä tutkielmassa erityisesti symbolisen laskimen näkökulmasta, muttamyös kokeen rakenteesta ja tehtävistä aihealueittain.

3.1 Tutkimuskysymykset

Käsillä olevan pro gradu -tutkielman päätarkoituksena on tutkia erityisestivuoden 2012 laskinuudistuksen innoittamana koko sallitun apuvälineistön elilaskimien sekä taulukkokirjojen potentiaalista hyötyä. Ylioppilastutkintolau-takunnan matematiikan jaoksen puheenjohtaja Juha Kinnunen on todennut,että koetehtävät eivät tule lähivuosina muuttumaan (Kinnunen 2011). Onkotällainen linjaus perusteltua? Linjauksella toki palvellaan hitaasti mukautu-vaa koneistoa, mutta riskinä on saada opiskelijoiden todellisesta matemaat-tisesta osaamisesta yhä vääristyneempi kuva. Tätä taustaa vasten voidaanmuodostaa keskeisimmät tutkimuskysymykset:

I: Mikä on pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa sallitun apuväli-neistön potentiaalinen merkitys?

a) Millä tavoin CAS-laskin edesauttaa kokeessa menestymistä?

b) Millä tavoin taulukkokirja edesauttaa kokeessa menestymistä?

c) Mikä on CAS-laskimen ja taulukkokirjan yhteisvaikutus?

22

II: Millaista symbolisen laskimen käyttöä koetehtävät mahdollistavat taiedellyttävät?

III: Täyttävätkö pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset luvussa 2.3 teh-täville asetetut vaatimukset?

IV: Eroavatko laskinuudistuksen jälkeiset vuoden 2012 pitkän matematiikanylioppilaskokeet aiempien vuosien kokeista?

Yllä esitettyihin tutkimuskysymyksiin pyritään vastaamaan pääsääntöises-ti tehtävien luokittelun avulla. Luokittelutuloksia on kuitenkin järkevää jamielekästä peilata luvussa 2 esitettyä taustaa ja teoriaa vasten. Näin voidaanantaa perusteltuja vastauksia tutkimuskysymyksiin. Varsinainen tutkimusai-neisto ja tutkimuksen kulku on tarkemmin kuvattu luvussa 4.1, tulokset lu-vuissa 4.2 - 4.5 ja johtopäätökset luvussa 5.

3.2 Luokittelu 1: tietolajit

Haapasalon (2011a) mukaan potentiaalisia tehtävätyyppejä on 81 kappalet-ta. Tarkastellaan ensin kuinka tämä luku on saatu. Tehtävänannosta voidaansaada selville alkutila, lopputila, konseptuaalinen tieto ja proseduraalinentieto — tai sitten komponentti jää tuntemattomaksi. Näiden neljän kompo-nentin avulla erilaisia kombinaatioita saadaan 24 = 16 kappaletta. Mikälikomponentti voidaan ilmoittaa valheellisesti, niin tehtävätyyppien lukumää-räksi tulee edellä mainittu 34 = 81 kappaletta. Pohditaan seuraavaksi kuinkanäitä Haapasalon esittämiä tehtävätyyppejä voidaan käyttää tehtävien luo-kittelussa. Aloitetaan tarkastelemalla esitettyjä neljää komponenttia. Tämänjälkeen pohditaan luokitteluun liittyviä ongelmia ja lopuksi esitetään kuinkasymbolinen laskin ja taulukkokirja voidaan huomioida luokittelussa.

Alkutila on määritelty, kun tiedetään, mistä tehtävän ratkaiseminen aloi-tetaan kohden lopputilaa. Analogisesti lopputila on määritelty, kun tiede-tään, mihin ratkaisun tulisi johtaa. Konseptuaalinen ja proseduraalinen tie-to ovat puolestaan jo käsitelty luvussa 2.1. Karkeasti konseptuaalinen tietovoidaan nyt tulkita tehtävän kannalta oleelliseksi käsitteelliseksi tiedoksi —eräänlaiseksi ratkaisun avaimeksi. Proseduraalinen tieto voidaan sen sijaan

23

yksinkertaistettuna tulkita ratkaisumenetelmäksi, jota käyttäen päästään taion päästy lopputilaan. Ratkaisumenetelmällä tarkoitetaan tässä yksittäisiäproseduureja tai algoritmeja tai niiden yhdistelmiä.

Jotta tehtävät voitaisiin luokitella näiden neljän komponentin perusteel-la, tulee huomioida muutama asia. Ensinnäkään se, miten konseptuaalinentai proseduraalisen tieto on tehtävänannosta luettavissa, ei ole yksinkertais-ta. Näiden tietolajien tutkimukset tai tietolajien määrittelypyrkimykset eivätvarsinaisesti käsittele tietolajeja tästä näkökulmasta (katso luku 2.1). Toisek-seen tehtävän ei voida myöskään määrittää olevan konseptuaalinen tai prose-duraalinen, sillä konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto eivät ole toisistaanirrallisia (katso luvut 2.1.1 ja 2.1.2). Tietolajien linkittyminen vaikeuttaamyös päätöksentekoa luokiteltaessa liittyen siihen, onko konseptuaalinen vaiproseduraalinen tieto annettu vai kenties molemmat.

Käytännössä matematiikan ylioppilaskoetehtävissä näitä neljää kompo-nenttia ei anneta koskaan virheellisesti. Näin ollen luokittelumenetelmä koos-tuu 16 luokasta eli tehtävätyypistä. Yksittäinen tehtävä voidaan luokitellasuoraan tehtävänannon pohjalta. Toisinaan symbolisen laskimen tai tauluk-kokirjan avulla voidaan kuitenkin selvittää jokin tehtävänannon perusteellatuntemattomaksi jääneistä komponenteista. Tällöin tuntemattoman kompo-nentin selvittäminen tapahtuu tunnettujen komponenttien avulla. Symboli-nen laskin voi esimerkiksi selvittää alkutilan avulla tehtävän lopputilan taitaulukkokirja antaa tehtävän ratkaisuun tarvittavan proseduraalisen tiedon.Jos halutaankin tutkia symbolisen laskimen potentiaalista merkitystä, on luo-kittelu tehtävä uudelleen ottaen huomioon laskimen avulla selvitettävät kom-ponentit. Näin saatuja luokittelutuloksia vertailtaessa pelkän tehtävänannonpohjalta tehtyyn luokitteluun voidaan selvittää symbolisesta laskimesta saa-tavaa potentiaalista hyötyä. Edellä kuvattua differentiaalimenetelmää hyö-dyntäen voidaan tietenkin erikseen pyrkiä selvittämään myös taulukkokirjantai symbolisen laskimen ja taulukkokirjan yhteinen potentiaalinen hyöty.

24

3.2.1 Luokitteluesimerkkeja

Käydään seuraavaksi läpi pari tehtävätyyppiä 16 mahdollisesta. Näin saa-daan luotua luokittelumenetelmästä konkreettisempi mielikuva. Aloitetaanseuraavalla perinteisellä differentiaalilaskennan tehtävällä.

Tehtäväesimerkki L1.1 (k2012, teht. 5)

Määritä funktion f(x) =lnx

xsuurin arvo, kun x > 0.

Tässä tehtävässä on selkeästi alkutila annettuna: tarkasteltava funktio onmääritelty ja sen muuttujan arvot rajattu aidosti positiivisiksi. Vaikka teh-tävään liittyvää konseptuaalista tietoa ei olekaan yksityiskohtaisesti annettu,sen voi nyt tietyin oletuksi sanoa perustellusti olevan annettu. Esimerkiksifunktio ja funktion suurin arvo ovat käsitteinä sellaisia, joihin liittyvä kon-septuaalinen tieto voidaan jokaisen opiskelijan olettaa hallitsevan riittävällätarkkuudella. Tehtävänannosta ei sen sijaan käy selväksi, kuinka funktionsuurin arvo tulee ratkaista. Tässä tehtävässä sen monivaiheista ratkaisume-netelmää ei ole luontevaa olettaa opiskelijoiden perustiedoksi, vaikka tehtäväitsessään onkin hyvin tyypillinen. Proseduraalinen tieto on näin ollen tämäntehtävän tapauksessa tuntematon. Tosin on huomattava, että proseduraali-nen tieto linkittyy tässäkin tehtävässä annettuun konseptuaaliseen tietoon— sen toimiessa eräänlaisena ratkaisumenetelmän valintaa ohjaavana teki-jänä. Kaikkiaan voidaan todeta, että tehtävän ratkaiseminen eli puuttuvanlopputilan selvittämien pelkistyy siihen hallitseeko opiskelija proseduraalisentiedon vai ei.

Tehtäväesimerkki L1.2 (vrt. k2011, teht. 2c)

Sievennä 5 log 2− log 8 välivaiheet esittäen. Käytä apuna alla an-nettuja laskukaavoja.

log xy = log x+log y log x/y = log x− log y log xr = r log x

Samoin kuin ensimmäisessäkin tehtäväesimerkissä on tässäkin tehtävässä al-kutila annettu. Myös sieventämiseen ja logaritmeihin liittyvä konseptuaalinentieto voidaan olettaa riittävän tarkasti annetun. Toisin kuin ensimmäisessä

25

tehtäväesimerkissä on tässä tehtävässä proseduraalinen tieto annettu tarvit-tavien laskukaavojen muodossa. Opiskelijan tehtäväksi jääkin vain näidenkaavojen hyödyntäminen vastauksen eli tuntemattoman lopputilan selvittä-miseksi. Tehtävien analysointiin liittyviä erityiskysymyksiä ja ongelmia ontarkasteltu lisää luvussa 4.2.1.

3.3 Luokittelu 2: CAS-laskimen kaytto

Kokol-Volc (2000) esittelee Kutzlerin (1998) ideoiman symbolisen laskimenkäyttöön pohjaavan tehtävien luokitustavan, jonka mukaan laskin voi ollajoko ensi- tai toissijainen aktiviteetti tehtävää ratkaistaessa. Ensisijaisenaaktiviteettina laskimen potentiaalinen panos tehtävän ratkaisussa on mer-kittävä — merkittävät tehtävän vaiheet voidaan ratkaista laskimen avulla.Toissijaisena aktiviteettina laskimen hyödynnettävyys on ratkaisun kannaltasen sijaan pienempi. Toki on olemassa myös tehtäviä, joiden ratkaisemisessasymbolisesta laskimesta ei ole apua.

Varsinainen laskimen käyttötapa voi tehtävän ratkaisemiseksi sen sijaanolla joko rutiininomaista tai kehittynyttä. Kehittynyt käyttö edellyttää rat-kaisijalta syvällisempää tuntemusta laskimen toiminnoista, syntaksista ja tu-losteista. Rutiininomaiseen käyttöön riittää pinnallisempi ymmärrys. Yhdis-täen käytön prioriteetti käyttötapoihin saadaan kaikkiaan viisi tehtäväluok-kaa. Nämä luokat on nimetty taulukossa 1.

Taulukko 1: Luokittelu CAS-laskimen käytön mukaan.

Luokka LyhenneEnsisijainen ja rutiininoimainen CAS-käyttö ERCEnsisijainen ja kehittynyt CAS-käyttö EKCToissijainen ja rutiininoimainen CAS-käyttö TRCToissijainen ja kehittynyt CAS-käyttö TKCEi CAS-käyttöä EC

26


Kokol-Volc (2000) esittää joitakin tehtäväesimerkkejä kustakin taulukon 1tehtäväluokasta. Tässä luvussa annetaan kuitenkin luokista tehtäväesimerkitvalitsemalla ne vuosien 2010 – 2012 ylioppilaskokeista. Kutzlerin alkuperäi-siä tehtäväluokkien rajoja on pyritty tässä luvussa selventämään, etenkinlaskimen rutiininomaisen ja kehittyneen käytön välillä.

Aloitetaan tehtäväesimerkkien läpikäyminen luokasta ERC. Tämän luo-kan tehtävät tulevat symbolisten laskimien myötä menettämään merkitys-tään matemaattisten taitojen tai matemaattisen ajattelun testaamisessa. Näi-hin tehtäviin kuuluvat muun muassa lausekkeiden sieventämiset, integroinnitja derivoinnit — siis useat niin sanottuja perustaitoja mittaavista tehtävis-tä. Hieman monimutkaisempia tähän luokkaan kuuluvia tehtäviä ovat esi-merkiksi derivaatan arvon määrittäminen tai funktion jatkuvuuden todista-minen jossain pisteessä. Luokan tehtävät ovat kuitenkin sellaisia, että niihinvastauksen saamiseksi riittää usein vain lausekkeen syöttäminen laskimeenja oikean toiminnon valitseminen laskimen oikeasta luettelosta. Annetaanseuraavaksi yksi esimerkki tämän luokan tehtävistä.

Tehtäväesimerkki L2.1 (s2012, teht. 3)

a) Määritä funktion

f(x) =1

2ex(sinx+ cosx)

derivaatan arvo kohdassa x = 0.

b) Laske integraalin ∫ π

0

(1 + sin

x

3

)dx

tarkka arvo.

Tehtävän ensimmäisessä kohdassa on symbolisella laskimella kaksi vaihetta,funktion derivointi ja arvon laskeminen. Toisessa kohdassa voidaan määrättyintegraali antaa laskimelle yllä esitetyssä muodossa. Vastaus saadaan siis

27

yhden syötteen avulla suoraan. Tehtäväesimerkin L2.1 ratkaisu symbolisellalaskimella on esitetty kuvassa 2. Myös aiemmin esitetyt tehtäväesimerkit L1.1ja L1.2 ovat luokan ERC tehtäviä.

Luokan EKC tehtävät sisältävät laskimella aina useamman vaiheen. Näis-säkin tehtävissä symbolinen laskin kuitenkin merkittävästi vähentää tehtä-vän vaikeusastetta. Kehittynyttä laskimen käyttöä voi näissä tehtävissä ol-la esimerkiksi laskimen toiminnallisuuden rajoitteiden kiertäminen tai kykytulkita ja rajata vastauksia tavalla, jonka voi nähdä edellyttävän jonkinlais-ta asiantuntijuutta itse laitteesta. Kehittyneeseen käyttöön voi kuulua myöseri esitysmuotojen hyödyntäminen tai tiedon muuttaminen esitysmuodostatoiseen perinteisistä kirjoitetuista ratkaisutavoista poiketen. Seuraava teh-täväesimerkki on tähän luokkaan valittu sen näennäisen yksinkertaisuuten-sa vuoksi. Tosin on myönnettävä, että tämä tehtävä on jokseenkin luokkienERC ja EKC välinen rajatapaus.

Tehtäväesimerkki L2.2 (s2012, teht. 4a)

Olkoon α ∈[π,

3π

2

]sellainen kulma, että cosα = −1

3. Määritä

lukujen sinα ja tanα tarkat arvot.

Tässä tehtävässä α ratkeaa varsin suoraviivaisesti, mutta vastausten rajoit-tamiseen tarvitaan jo hieman erikoistietämystä syntaksiin liittyen. Tämä eivielä yksinään vie tehtävää rutiiniomaisesta käytöstä kehittyneen käytön puo-lelle. Ratkaistuna α on laskimen antamassa muodossa hieman epätavallinen.Lisäksi vastaus ei tallennu odotetunlaisesti muuttujaan α. Tämä voidaankuitenkin kiertää tallentamalla yhtälön ratkaisu uuteen muuttujaan. Käyt-tämällä tätä uutta muuttujaa saadaan sinα ja tanα tarkkoineen arvoineen.Myös kopioimalla α (ctrl+v) yhtälön ratkaisusta sini- tai tangenttifunktionargumentiksi antaa oikean vastauksen. Sen sijaan manuaalisesti kopioimallayhtälön ratkaisu argumentiksi ei tuota halutunlaisia tarkkoja arvoja. Tehtä-väesimerkin L2.2 ratkaisu symbolisella laskimella on esitetty kuvassa 3.

Luokan TRC tehtäviä yhdistää se, ettei laskin anna niihin suoraan vas-tausta. Oleellista näissä tehtävissä on tehtävänannon ymmärtäminen rat-kaisumenetelmää ohjaavana tekijänä matemaattisten ideoiden soveltamiseksi

28

osana tehtävän ratkaisua. Näissä tehtävissä laskin voi auttaa hahmottamaanja muotoilemaan ongelmaa. Tehtävät ovat kuitenkin sellaisia, että opiske-lijan on itse kyettävä saattamaan ongelma ratkaistavaan muotoon — ehkäjopa laskimella ratkaistavaan.

Rajanveto luokkien TRC ja TKC välillä on vaikeaa. Luokan TKC tehtävätovat samankaltaisia kuin luokan TRC tehtävät, mutta opiskelijalle on selvem-pää luokan TRC tehtävissä, kuinka laskinta voidaan tehtävässä hyödyntää.Näissä tehtävissä laskimen käyttäminen rajoittuu laskimen perustoiminnali-suuteen, kuten funktioiden piirtämiseen tai juurien etsimiseen laskimen val-miiden sisäänrakennettujen toimintojen avulla. Koska tehtäväesimerkit L2.1ja L2.2 selventävät jo rutiininomaisen ja kehittyneen laskimen käytön eroja,niin annetaan toissijaisesta laskimen käytöstä vain yksi tehtäväesimerkki.

Tehtäväesimerkki L2.3 (k2011, teht. 8)

Olkoon a = 4i−5j+3k ja b = 2i+j−2k . Esitä vektori a summanavektoreista u ja v, joista u on yhdensuuntainen vektorin b kanssaja v kohtisuorassa vektoria b vastaan.

Tämä tehtävä asettuu luokkaan TRC ja sen ratkaisemiseksi on ymmärrettä-vä kuinka vektorit lasketaan yhteen ja kuinka vektorien pistetulo lasketaan.Lisäksi on ymmärrettävä muodostaa muun muassa yhdensuuntaisuuden jakohtisuoruusehdon perusteella ratkaistava yhtälö. Laskin on tehtävän ratkai-semisen kannalta selkeästi toissijainen, vaikka sitä voidaankin melko yksin-kertaisesti hyödyntää. Tehtäväesimerkin L2.3 ratkaisu symbolisella laskimellaon esitetty kuvassa 4.

Käsitellään vielä yksi tehtäväesimerkki luokasta EC. Tämän luokan teh-tävissä laskimista ei ole minkäänlaista käytännön hyötyä.

Tehtäväesimerkki L2.4 (s2010, teht. 15)

a) Miten määritellään tylppäkulmainen kolmio?

b) Johda kolmion pinta-alan kaava käyttäen hyväksi seuraaviatietoja:

29

Kuva 2: Tehtäväesimerkki L2.1 ratkaistuna TI-nspire CX CAS -laskimella.



30

- Suorakulmion pinta-ala on ab, kun a ja b ovat suorakul-mion sivujen pituudet.

- Suorakulmion lävistäjä jakaa suorakulmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan.

c) Johda puolisuunnikkaan pinta-alan kaava.

Tässä tehtävässä selvästi korostuu konseptuaalisen tiedon hallinta, erityisestitehtävän a-kohdassa. Myös proseduraalisen tiedon hallintaa edellytetään liit-tyen monikulmioiden pinta-aloihin. Laskimen avulla on kuitenkin mahdoton-ta ratkaista tehtävää, edes tehtävän purkaminen pienempiin osiin ei onnistuilman käsitteiden hallintaa.

3.4 Luokittelu 3: CAS-laskimen hyoty

Viimeisenä luokittelumenetelmänä esitellään MacAogáinin (2000) luokitte-lu, joka pohjautuu CAS-laskimen hyötynäkökulmaan. MacAogáin on jaka-nut luokittelussaan tehtävät neljään luokkaan, jotka on annettu taulukossa2. Jo luokkien nimistä voidaan päätellä niiden samankaltaisuus edellisessäalaluvussa, luvussa 3.3, esitettyjen luokkien kanssa. Identtisiä luokat eivätkeskenään kuitenkaan ole, kuten tullaan tehtäväesimerkeistäkin näkemään.

Luokitteluunsa pohjautuen MacAogáin on myös laatinut mittarin ma-tematiikan kokeiden CAS-yhteensopivuuden määrittämiseksi numeerisesti.Täksi eräänlaiseksi indeksiluvuksi hän määrittelee

c = (1− x) · 10, (3.1)

missä x on CAS-yksinkertaisten ja CAS-helppojen tehtävien yhteenlasket-tu lukumäärä jaettuna kaikkien tehtävien lukumäärällä. Tämä indeksilukuasettuu aina välille 0 − 10 pienen arvon tarkoittaessa symboliselle laskimel-le epäsopivaa koetta ja suuren arvon tarkoittaessa laskimelle yhteensopivaakoetta.

31

Taulukko 2: Luokittelu CAS-laskimesta saatavan hyödyn mu-kaan.(MacAogáin 2000)

Luokka LyhenneCAS-yksinkertaiset CYCAS-helpot CHCAS-vaikeat CVCAS-todistus CT


Luokan CY tehtävät ovat sellaisia, joiden ratkaiseminen vaatii symbolisellalaskimella korkeintaan kolme suoraviivaista vaihetta laskimen perusfunktioil-la, kuten solve tai expand. Näistä toiminnoista ensimmäinen antaa yhtälönratkaisun ja jälkimmäinen laajentaa lausekkeen muun muassa avaamalla su-lut ja yhdistämällä samannimiset termit.

Myös luokan CH tehtävissä tehtävän vaikeusastetta voidaan laskimenavulla pienentää merkittävästi. Näiden tehtävien ratkaiseminen edellyttääopiskelijalta kuitenkin enemmän tietoa siitä kuinka tehtävän ratkaiseminentulisi aloittaa. Luokan CH tehtävät eivät koostukaan yksittäisestä lausekkees-ta, jonka syöttämällä laskimeen ja oikean toiminnon valitsemalla saadaan oi-kea vastaus.

Mikäli laskin auttaa esimerkiksi tehtävän hahmottamisessa tai osiin ja-kamisessa, mutta ei kuitenkaan merkittävästi helpota tehtävää, tehtävä kuu-luu luokkaan CV. Sen sijaan ne tehtävät, joissab laskimesta ei ole hyötyä,on MacAogáin nimennyt harhaanjohtavasti CAS-todistustehtäviksi. Näissäluokan CT tehtävissä opiskelijaa voidaan pyytää esimerkiksi määrittämäänvastaus ennalta määrätyllä tavalla. MacAogáin antaa luokan CT tehtävästäesimerkin, jossa sinifunktion ensimmäinen derivaatta tulee määrittää erotus-osamäärän avulla.

Verrataan seuraavaksi kolmannen luokittelumenetelmän luokkia toisenaesitellyn menetelmän luokkiin. Selvästi luokkien EC ja CT tehtävät ovat sa-mat. Näiden luokkien tehtävissä symbolisesta laskimesta ei ole hyötyä. Vai-kuttaisi myös, että luokkien CY ja CH tehtävissä symbolisen laskimen käyttöon useimmiten ensisijainen aktiviteetti ja luokan CV tehtävissä toissijainen.

32

Luokkien määrittelyjen pohjalta tällaista johtopäätöstä ei kuitenkaan voi-da tehdä. Todellisuudessa tehtävien luokittelu ei olekaan näin suoraviivaista.Tämä tulee esille myös seuraavasta tehtäväesimerkistä.

Tehtäväesimerkki L3.1 (vrt. k2012, teht. 7b)

Olkoon t > 0. Paraabeli y = 1t3x2− 2

t2x+ 1

tsivuaa x-akselia pistees-

sä (t, 0). Näytä, että paraabelin ja kordinaattiakselien rajoittamapinta-ala ei riipu parametrin t arvosta.

Tässä tehtävässä opiskelijan tulee ymmärtää, että kyseessä on integraali-laskennan tehtävä eli ymmärtää integraalilaskennan yhteys pinta-alan las-kemiseen. Näin ollen laskinta voidaan tehtävässä pitää toissijaisena. Laskinkuitenkin helpottaa tehtävän tekemistä; sen avulla voidaan laskea määrättyintegraali sekä tarkastella paraabelin kuvaajia. Tehtävä voidaankin edellisinperusteluin sijoittaa luokkiin TRC ja CH.

33

4 Tulokset

Tässä luvussa, ennen luokittelutuloksia, on kuvattu käytetty aineisto sekätutkimuksen kulku. Tämän jälkeen käydään läpi kunkin luokittelumenetel-män tulokset. Ensimmäisen ja tärkeimmän luokittelumenetelmän avulla py-ritään ensisijaisesti selvittämään apuvälineistön potentiaalinen merkitys yli-oppilaskokeissa. Toisen luokittelumenetelmän tuloksista selvitetään puoles-taan, minkälaista symbolisen laskimen käyttöä koetehtävät mahdollistavat.Viimeisen luokittelumenetelmän päätarkoituksena on sen sijaan selvittää las-kimen hyöty. Varsinaisten luokittelutulosten lisäksi tarkastellaan, kuinka ma-tematiikan eri aihealueet ovat edustettuina kokeissa ja miten ne suhtautuvatapuvälineisiin, erityisesti laskimeen.

4.1 Aineisto ja tutkimuksen kulku

Tutkielman aineistoksi valittiin vuosien 2010 – 2012 pitkän matematiikanylioppilaskokeet. Ylioppilaskirjoitukset järjestetään kahdesti vuodessa, jotenkokeita analysoitavaksi tuli kaikkiaan kuusi kappaletta. Kussakin kokeessa olitehtäviä 15, joista 13 ensimmäistä kuuden pisteen ja kaksi viimeistä yhdeksänpisteen arvoisia. Koetehtävät koostuivat yhdestä tai useammasta kohdasta.Kukin kohta otettiin analysoinnissa huomioon erillisenä tehtävänä. Pistey-tykset näille niin sanoituille alatehtäville laskettiin jakamalla koko tehtävänpisteet kohtien lukumäärällä. Näin toimittiin, sillä tiedossa ei ollut todellis-ta käytettyä pisteytystä. Kaikkien tehtävien ja alatehtävien pisteytykset onannettu liitteessä A. Sekoittamatta termejä enempää, käytetään tästä eteenpäin nimitystä tehtävä kustakin analysoidusta kohdasta. Kaikkiaan analy-soitavia tehtäviä saatiin kuudesta kokeesta näin toimien 184. Enimmillääntehtäviä oli 36 syksyn 2011 kokeessa ja vähimmillään 25 syksyn 2010 kokees-sa.

Tehtävät luokiteltiin luvussa 3 esiteltyjen kolmen luokittelumenetelmänavulla. Tehtävien luokittelut on annettu liitteessä A. Kukin tehtävä luoki-teltiin samalla kertaa jokaisella luokittelumenetelmällä. Tehtäviä analysoi-taessa symbolisena laskimena käytettiin Texasin nspire CX CAS -laskinta.

34

Lisäksi apuna käytettiin Helsingin sanomien, MA-FY valmennus Oy:n jaintmath.org-sivuston tarjoamia malliratkaisuja5. Vaikka luokat olivat hyvinmääriteltyjä tuli luokittelussa eteen tehtäviä, joiden luokittelu oli ongelmal-lista. Tämä on tietysti hyvin tyypillistä tämänkaltaisen luokittelun yhtey-dessä. Luokittelun yhtenäisyyden parantamiseksi jokaisen tehtävän kohdal-la tehtävää verrattiin samankaltaisiin tehtäviin. Tällaisen takaisinkytkennänavulla oli mahdollista selkiyttää luokkien rajoja. Eri luokittelumenetelmienerityiskysymyksiä on tarkemmin käsitelty seuraavissa alaluvuissa. Kuvaamal-la luokittelumenetelmät ja analysointi riittävän yksityiskohtaisesti on pyrittyerityisesti parantamaan tutkielman luotettavutta ja toistettavuutta.

4.2 Luokittelu 1

Tarkastellaan ensin tutkielman tärkeimmän luokittelumenetelmän tuloksia.Koska menetelmän keskeiset komponentit, konseptuaalinen ja proseduraa-linen tieto, ovat monisyisiä, keskustellaa ennen varsinaisia tuloksia hiemanluokitteluun liittyvistä ongelmista sekä luokittelun yhteydessä tehdyistä ole-tuksista. Tämän jälkeen käydään läpi varsinaiset luokittelutulokset eri apu-välineiden näkökulmista. Lopuksi vertaillaan yksittäisten kokeiden tuloksiatoisiinsa keskittyen erityisesti vuoden 2012 kokeisiin.

4.2.1 Ongelmakohdat ja oletukset

Ennen luokittelumenetelmän tulosten esittelyä käydään hieman tarkemminläpi tehtävien analysointia. Nyt analysoitavana olivat alkutila, lopputila, kon-septuaalinen tieto ja proseduraalinen tieto (katso luku 3.2). Tehtävien alku-tila ja lopputila oli jokaisen tehtävän kohdalla melko selkeästi määritelty taimääriteltävissä. Tämän vuoksi näiden komponenttien tilat oli suhteellisenhelppo määrittää joko tunnetuiksi tai tuntemattomiksi. Konseptuaalisen tie-don ja proseduraalisen tiedon tilat olivat sen sijaan huomattavan ongelmal-lisia määritettäväksi, mikä johtui pitkälti näiden tietolajien luonteista sekä5http://www.hs.fi/viesti/yo12kevathttp://www.mafyvalmennus.fi/mallivastauksethttp://www.intmath.org

35

tietolajien toisiinsa linkittymisestä. Luvussa 3.2.1 käsitteltiin näihin kom-ponentteihin liittyviä erityiskysymyksiä tehtäväesimerkkien avulla. Tarkas-tellaan seuraavaksi hieman tarkemmin näiden komponenttien analysointiinliittyviä ongelmakohtia.

Yleisesti ottaen sellaisia tehtäviä, joissa konseptuaalinen tai proseduraa-linen tieto olisi annettu kaiken kattavasti, ei esiintynyt. Usein jo yksittäiseenkäsitteeseen liittyy monitahoista konseptuaalista tietoa. Lisäksi ratkaisume-netelmän ohjaaviin tekijöihin ja itse proseduraaliseen tietoon liittyy konsep-tuaalista tietoa. Näiden syiden vuoksi on tehtävä joitain oletuksia, jotta ky-seisiä komponentteja voidaan ylipäänsä käyttää osana luokittelua. Seuraa-vaksi havainnollistetaan oletuksia, joita on käytetty tehtäviä analysoitaessa.Analysoitaessa päätettiin ottaa huomioon sellaiset konseptuaalisen tai prose-duraalisen tiedon osat, jotka voitiin ajatella kokelaiden hallitsevan perustie-toina. Komponentit katsottiin tunnetuiksi esimerkiksi tehtävissä, joissa tuliratkaista yhtälö tai sieventää lauseke. Myös muun muassa käsitteisiin funk-tion derivaatta, kolmion sivun pituus, kuvaajan rajoittama pinta-ala ja vek-torien kohtisuoruuteen liittyvä, tehtävän kannalta oleellinen, konseptuaalinentieto määritettiin tunnetuksi. Sen sijaan opiskelijoiden näkökulmasta harvi-naisempiin käsitteisiin liittyvä konseptuaalinen tieto määriteltiin käsitteen ni-meämisen pohjaltakin tuntemattomaksi — esimerkiksi konseptuaalinen tietoliittyen vektorien kohtisuoraan projektioon tasolle. Tällaisten oletuksien te-keminen ei ole yksinkertaista ja itsestäänselvää, eivätkä oletukset voi tätenolla vaikuttamatta tuloksiin tai luokittelun toistettavuuteen.

4.2.2 Tulokset eri apuvalinein

Kukin tehtävä luokiteltiin ensin pelkän tehtävänannon perusteella. Käyte-tään tästä luokittelusta lyhennettä L1. Tämän jälkeen tehtävät luokiteltiinottaen huomioon sekä tehtävänanto että symbolinen laskin (L1C), tehtävän-anto ja taulukkokirja (L1T) sekä tehtävänanto, symbolinen laskin että tau-lukkokirja (L1CT). Näiden luokittelujen eri luokkien prosentuaaliset osuudetkoepisteistä on esitetty taulukoissa 3 – 6. Luokat on nimetty siten, että luok-kien tunnuksista on luettavissa komponenttien tilat. Komponentit on annettu

36

luokkien tunnuksissa järjestyksessä alkutila, lopputila, konseptuaalinen tietoja proseduraalinen tieto. Kukin komponentti on merkitty tunnukseen nollal-la, mikäli komponentti on tuntematon ja ykkösellä, jos komponentti on tun-nettu. Näin esimerkiksi tehtävä, jonka komponenteista ainoastaan lopputilaon tuntematon, kuuluu luokkaan 1011. Puretaan seuraavaksi osiin luokit-telutulokset kaikkien kokeiden luokkien yhteenlaskettujen koepisteosuuksienavulla.

Pelkän tehtävänannon perusteella tehdystä luokittelusta huomataan, ettäkäytännössä vain kaksi tehtävätyyppiä 16 mahdollisesta on edustettuna ana-lysoiduissa ylioppilaskokeissa. Ylivoimaisesti yleisintä tehtävätyyppiä edus-tavat 84 % osuudellaan koepisteistä ne tehtävät, joiden alkutila ja konsep-tuaalinen tieto ovat tunnetut eli luokan 1010 tehtävät. Periaatteessa näidentehtävien tekeminen kiteytyy siihen, hallitseeko kokelas proseduraalisen tie-don vai ei. Usein näissä tehtävissä testataankin vain oikean ratkaisumene-telmän tunnistamista ja sen hyödyntämistä tehtävän ratkaisemiseksi ja lop-putilan selvittämiseksi. Tulkinta ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen, silläproseduraalinen tieto voi koostua muun muassa erilaisista ongelmanratkai-sustrategioista. Luokittelu ei kerrokaan esimerkiksi mitään siitä, minkälaistapäättelyä tehtävässä edellytetään tai onko tehtävä kenties mahdollista tehdäulkoaopittua rutiinia toistamalla. Toiseksi yleisimmän tehtävätyypin osuuskoepisteistä on 11 %. Näissä tehtävissä on alkutilan ja konseptuaalisen tie-don lisäksi myös proseduraalinen tieto annettu (luokka 1011). Nämä tehtävättestaavat yleensä jonkin tunnetun ratkaisumenetelmän hallintaa. Tuloksienperusteella vaikuttaisi, että osaamisen arvottamisessa painottuu ylikorostu-neesti eteneminen alkutilasta lopputilaan ja siihen tarvittavien ratkaisume-netelmien tunteminen.

Symbolisen laskimen huomioiminen vaikuttaa merkittävästi luokitteluun.Nyt edustettuna on käytännössä kolme tehtävätyyppiä. Luokittelussa L1 yh-denkään tehtävän lopputila ei ollut tunnettu. Nyt koepisteistä 13 % saa teh-tävistä, joiden jokainen komponentti on tunnettu (luokka 1111) ja 30 % teh-tävistä, joissa ainoastaan proseduraalinen tieto jää tuntemattomaksi (luokka1110). Tarkempi analyysi osoittaa, että laskimen avulla tehtävän lopputilaon selvitettävissä peräti 51 % tehtävistä. Näistä tehtävistä on jaossa 43 %

37

Taulukko 3: Luokkien prosentuaaliset osuudet koepisteistä, luokittelu L1.

Luokka k2010 s2010 k2011 s2011 k2012 s2012 kaikki1111 0 0 0 0 0 0 01110 0 0 0 0 4 0 11101 0 0 0 0 0 0 01100 0 0 0 0 0 0 01011 8 4 10 23 9 14 111010 89 96 83 77 72 86 841001 0 0 0 0 6 0 11000 0 0 0 0 8 0 10111 0 0 0 0 0 0 00110 3 0 6 0 0 0 20101 0 0 0 0 0 0 00100 0 0 0 0 0 0 00011 0 0 0 0 0 0 00010 0 0 0 0 0 0 00001 0 0 0 0 0 0 00000 0 0 0 0 0 0 0

Komponenttien järjestys luokan tunnuksessa on alkutila, lopputilakons. tieto ja pros. tieto (0: tuntematon 1: tunnettu)

Taulukko 4: Luokkien prosentuaaliset osuudet koepisteistä, luokittelu L1C.



38

Taulukko 5: Luokkien prosentuaaliset osuudet koepisteistä, luokittelu L1T.



Taulukko 6: Luokkien prosentuaaliset osuudet koepisteistä, luokittelu L1CT.



39

koepisteistä. Yksinkertaisissa tehtävissä voi olla mahdollista, että laskin pal-jastaa myös proseduraalisen tiedon. Näin voi käydä esimerkiksi ratkaistaessalaskimella tehtävän välivaiheita kohti laskimella selvitettyä lopputilaa. Tällai-sia tehtäviä on kaikista koetehtävistä kuitenkin vain vajaat kolme prosenttia.Huomioimisen arvoista on myös, että luokitteluun L1 verrattuna luokan 1010osuus koepisteistä putoaa 84 prosentista 53 prosenttiin. Luokan 1011 osuussen sijaan pyöristyy nyt nollaan prosenttiin. Tuloksien perusteella vaikuttaailmeiseltä, että laskin on merkittävä apuväline ylioppilaskokeissa.

Taulukkokirjan avulla voidaan monessa tehtävässä paljastaa tehtävän rat-kaisun kannalta oleellinen proseduraalinen tieto. Verrattuna luokitteluun L1nähdään tehtävien sijoittuvan pääsääntöisesti yhä luokkiin 1010 ja 1011. Eronäiden kahden luokan välillä on kuitenkin tasoittunut. Itse asiassa luokan1010 osuus on vähentynyt 84 prosentista 48 prosenttiin ja luokan 1011 nous-sut 11 prosentista peräti 47 prosenttiin. Tarkempi tulosten tarkastelu kertoo,että taulukkokirjan avulla proseduraalinen tieto saadaan selville 37 tehtäväs-sä, joissa tämä tieto oli entuudestaan tuntematon. Tämä vastaa noin viiden-nestä kaikista analysoiduista tehtävistä. Kaikkiaan tehtävänanto ja taulukko-kirja yhdessä paljastavat proseduraalisen tiedon 53 %:ssa kaikista tehtävistä.Lopputilan taulukkokirja sen sijaan paljastaa hyvin harvoin.

Kun otetaan huomioon tehtävänanto, symbolinen laskin ja taulukkokirja,voidaan arvioida koko apuvälineistön potentiaalista merkitystä ylioppilasko-keissa. Yllättäen yleisimmäksi tehtävätyypiksi nousee luokan 1111 tehtäväteli tehtävät, joissa jokainen neljästä komponentista on tunnettu. Näiden teh-tävien osuus kaikista tehtävistä on peräti 47 % ja osuus koepisteistä 43 %.Näiden tehtävien lisäksi 8 % koepisteistä on jaossa tehtävistä, joissa vain pro-seduraalinen tieto on tuntematon. Koska luokittelussa L1 ei kyseisten luok-kien tehtäviä ollut lainkaan, kuvaavat edelliset luvut hyvin apuvälineistönmerkitystä. Apuvälineistöllä on täten merkittävä potentiaalinen myötävaiku-tus ylioppilaskokeissa — noin puolet kaikista tehtävistä on periaatteessa rat-kaistavissa laskimen ja taulukkokirjan avulla. Kolmas mainitsemisen arvoi-nen tehtävätyyppi on tehtävät, joiden alkutila ja konseptuaalinen tieto ovattunnetut (luokka 1010). Tämän luokan osuus koepisteistä on 40 %. Tarkempitutustuminen näihin tehtäviin paljastaa tehtävien kuuluneen tähän luokkaan

40

jo luokittelussa L1, mikä tarkoittaa, ettei apuvälineistöstä vaikuttaisi olevanhyötyä näitä tehtäviä ratkaistaessa.

4.2.3 Tuloksien vertailu eri kokeiden valilla

Vertaillaan vielä eri koekertojen tuloksia. Käytetään tähän apuna luokitte-luja L1 ja L1CT eli taulukoiden 3 ja 6 tietoja. Erityisen kiinnostavia ovatlaskinuudistuksen jälkeiset eli vuoden 2012 kokeet. Tämän vuoksi kuvassa 5on havainnollistettu kyseisen vuoden kokeiden luokittelutuloksia verrattunavuosien 2010 ja 2011 yhdistettyihin tuloksiin. Tarkastellaan ensin luokitte-lua L1, jossa merkittävimmät luokat ovat 1010 ja 1011 eli tehtävät, joidentunnetut komponentit ovat alkutila ja konseptuaalinen tieto sekä jälkimmäi-sessä luokassa myös proseduraalinen tieto. Eri kokeet ovat tehtäväjakaumil-taan hyvin samankaltaisia — valtaosa tehtävistä kuuluu luokkaan 1010, noinkymmenesosa luokkaan 1011 ja yksittäisiä tehtäviä muihin luokkiin. Joitakineroja koekertojen välillä kuitenkin on. Esimerkiksi luokkien 1010 ja 1011 teh-tävistä saa selkeästi vähiten koepisteitä kevään 2012 kokeessa noin 81 %, kunkevään 2011 osuus on noin 93 % ja muiden kokeiden täydet 100 %. Kaikkiaankevään 2012 kokeessa näyttää olevan monipuolisin tehtäväjakauma. Kokees-sa on esimerkiksi ainoana kokeena ollut tehtäviä, joissa myös lopputila onollut jo tehtävänannossa annettuna. Nämä tehtävät ovat olleet luonteeltaanosoittamistehtäviä. Näistä tehtävistä oli kuitenkin jaossa vain neljä prosent-tia koepisteistä.

Käytetään seuraavaksi vertailuun luokittelua L1CT. Taulukoista 3 ja 6nähdään, että apuvälineet huomioituna iso osa tehtävistä on siirtynyt luo-kista 1010 ja 1011 luokkiin 1111 ja 1110. Kuvasta 5 nähdään parhaiten, ettätehtäväjakaumat ovat kokeissa nyt selkeästi kaksihuippuisia — kaksi koepis-teosuuksiltaan merkittävintä luokkaa ovat 1111 ja 1010. Näistä ensimmäisenluokan tehtävät ovat nyt periaatteessa tehtävissä apuvälinein. Jälkimmäisenluokan tehtäviin apuvälineet eivät sen sijaan tuo helpotusta. Tehtävistä saa-tavat koepisteet jakautuvat tulosten perusteella kokeissa melko lailla tasannäihin kahteen luokkaan. Jopa 51 % koepisteistä on saatavissa kevään 2012tehtävistä, joissa kaikki komponentit ovat tunnettuja ja peräti 65 % tehtä-

41

Kuva 5: Vuoden 2012 kokeiden vertailua vuosien 2010 ja 2011 kokeisiin.

vistä, joissa ainakin lopputila on tunnettu. Nämä ovat suurimmat vastaavatlukemat kaikista kokeista, lähes 14 prosenttiyksikköä kaikkien kokeiden yh-teenlaskettua osuutta suuremmat. Syksyn 2012 kokeen tehtävien, joissa aina-kin lopputila tunnetaan, osuus on puolestaan 44 %, kaikkien näiden tehtävienkuuluessa luokkaan 1111. Eroa kevään kokeeseen on siis reilut 20 prosenttiyk-sikköä. Syksyn 2012 kokeessa tämä koepisteosuus on kokeista toiseksi pienin,vain syksyn 2010 osuus (37 %) on tätä pienempi.

Aiemmin esitetyistä taulukoista tai kuvasta 5 ei käy selväksi, mistä luo-kista mihin luokkiin tehtävät siirtyvät luokittelujen L1 ja L1CT välillä. Tä-

42

män vuoksi merkittävimmät siirtymät luokasta toiseen on annettu erikseentaulukossa 7. Tästä taulukosta nähdään muun muassa, kuinka suuri osa luo-kittelun L1 suurimman luokan 1010 tehtävistä on luokittelussa L1CT kom-ponenteiltaan täysin tunnettuja. Tämä siirtymä on kevään 2012 kokeessahuomattavan iso, noin 20 prosenttiyksikköä suurempi verrattuna esimerkiksisyksyn 2012 kokeeseen tai vuosien 2010 ja 2011 kokeiden yhteenlaskettuunsiirtymään. Sen sijaan koepisteiden suhteellinen siirtymä luokasta 1010 luok-kaan 1010 on vuoden 2012 kokeissa samaa suuruusluokkaa, vajaat 40 %. Tä-mä osuus kuvaa nyt sitä, kuinka suuri osa luokan koepisteistä (tehtävistä)ei muutu apuvälineet huomioimalla. Taulukosta nähdään myös, että vuoden2012 kokeiden siirtymäosuudet ovat vuosien 2010 ja 2011 yhteenlaskettujensiirtymien osuutta noin 10 prosenttiyksikköä pienempiä. Tuloksien valossanäyttääkin siltä, että kevään 2012 koe on apuvälineet huomioiden analysoi-duista kokeista helpoin.

Eri koekertojen siirtymiä vertailemalla syksyn 2012 kokeessa on eräs mie-lenkiintoinen poikkeama. Tämä näkyy niin taulukosta 7 kuin kuvasta 5. Ko-keessa luokan 1010 koepisteistä noin neljännes on siirtynyt luokkaan 1011.Muissa kokeissa vastaava siirtymä on merkityksetön. Mikä sitten on tämänsiirtymän merkitys? Kyseisen luokan tehtävien lopputila ei selviä apuväli-nein, proseduraalinen tieto kylläkin. Muissa kokeissa, erityisesti kevään 2012kokeessa, on vastaavasti tapahtunut suurempi siirtymä luokkiin 1111 ja 1110eli luokkiin, joissa lopputila on tunnettu. Sen sijaan syksyn 2012 kokeessa

Taulukko 7: Merkittävimmät luokkasiirtymät luokitteluiden L1 ja L1CT vä-lillä. Merkitään N:llä tehtävien ja p:llä koepisteiden suhteellista siirtymää.

k2010 – s2011 k2012 s2012Mistä Mihin N (%) p (%) N (%) p (%) N (%) p (%)1010 1010 48 52 38 39 40 361010 1011 2 2 0 0 28 241010 1110 15 12 10 12 0 01010 1111 34 34 52 49 32 351010 muut 0 0 0 0 0 01011 1111 95 95 100 100 100 1001011 muut 5 5 0 0 0 0

43

Taulukko 8: Potentiaalinen menestyminen ylioppilaskirjoituksissa niiden teh-tävien (kohtien) pohjalta, joiden jokainen komponentti on apuvälineet huo-mioituna tunnettu. Taulukossa on näiden tehtävien lukumäärät, tehtävistäsaatavat pisteet ja näiden pisteiden perusteella annettava arvosana.

k2010 s2010 k2011 s2011 k2012 s2012Tehtäviä 8 6 6 9 9 7Pisteet 46 34 27 47 49 36

Arvosana E M B M M —

Taulukko 9: Pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden pisterajat.(Ylioppilastutkintolautakunta 2012)

L E M C B As2012 — — — — — —k2012 59 50 39 29 20 13s2011 59 49 36 23 15 10k2011 59 51 40 28 18 12s2010 54 39 25 15 10 7k2010 58 45 32 23 16 11

yksikään tehtävä ei ole siirtynyt luokasta 1010 luokkaan 1110. Syksyn 2012kokeessa lopputila selviääkin koepistein suhteutettuna harvemmin kuin muis-sa kokeissa. Tämä näkyy myös kuvasta 5. Luokkasiirtymistä nähdään lisäksi,että luokan 1011 tehtävistä lähes jokainen on kokeesta riippumatta siirtynytluokkaan 1111 eli tehtävien lopputila on voitu selvittää apuvälineiden avul-la. Tämä ei ole yllättävä tulos, sillä useimmat luokan 1011 tehtävistä olivatmuun muassa sieventämis- tai yhtälönratkaisutehtäviä. Näihin tehtäviin saavastauksen helposti symbolisella laskimella.

Ylioppilaskokeen viidestätoista varsinaisesta tehtävästä saa kokeessa teh-dä kymmenen. Tähän mennessä eri kokeiden luokittelutuloksia on tarkasteltukaikki kokeen tehtävät huomioiden. Tarkastellaan vielä lyhyesti, kuinka suu-ri potentiaalinen vaikutus apuvälineillä on kokeessa menestymisen suhteen.Otetaan nyt huomioon ainoastaan ne koetehtävät, joista löytyy kohtia, joidenjokainen komponentti tunnettu, kun apuvälineet on huomioitu. Taulukossa8 on annettu koekerroittain tällaisten tehtävien lukumäärät, täysin tunne-

44

tuista tehtävistä tai kohdista saatavat pisteet ja näiden pisteiden perusteellaannettava arvosana. Käytetyt pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden pis-terajat on puolestaan annettu taulukossa 9. Taulukossa suurin merkitys onvuoden 2012 kokeilla, sillä tehtävien analysointiin käytetty symbolinen las-kin ei ole ollut aiemmissa kokeissa sallittu. Taulukosta nähdään, että kevään2012 kokeessa apuvälineillä on ollut erittäin suuri merkitys. Jopa 49 pistettäja arvosanan magna cum laude approbatur (M) on ollut mahdollista saa-da pelkästään luokan 1111 tehtävistä. Tämä on suurin pistemäärä kaikistatutkituista kokeista. Pienin pistemäärä puolestaan oli kevään 2011 kokeen27 pistettä. Pelkästään luokan 1111 tehtävien perusteella kolmesta kokeestasaa arvosanan M, yhdestä arvosanan lubenter approbatur (B) ja yhdestä jo-pa arvosanan eximia cum laude approbatur (E). Koska ylioppilaskirjoitustenarvosanat jaetaan joka kerta kiinteän normaalijakauman mukaan, pisteidenja arvosanojen suora vertailu ole järkevää. Syksyn 2012 pisterajoja ei olluttutkielmaa kirjoitettaessa vielä saatavilla.

4.3 Luokittelu 2

Toisen luokittelumenetelmän, luokittelun L2, avulla on päätarkoituksena sel-vittää, minkälaista symbolisen laskimen käyttöä yiloppilaskokeiden tehtävätmahdollistavat. Menetelmällä saadut luokittelutulokset on annettu taulukos-sa 10. Tuloksista nähdään, että tehtävät jakautuvat lähes yksinomaan luok-kiin ERC, TRC ja EC. Luokkien EKC ja TKC osuudet koepisteistä ovatkinkevään 2012 koetta lukuunottamatta pienet. Kaikkien kokeiden yhteenlaske-tuista pisteistä näiden luokkien osuus koepisteistä on 6 %, kun kevään 2012kokeessa osuus on jopa 22 %. Kehittyneille laskimen käyttötaidoille ei näyt-täisi olevan muissa kokeissa juurikaan tarvetta. Kevään 2012 koe on ensim-mäinen laskinuudistuksen jälkeen, joten poikkeamassa saattaa olla kyse jon-kinasteisesta laskimen huomioimisesta kokeen suunnittelussa. Syksyn 2012kokeessa tämä osuus on kuitenkin vain 3 %, mikä on samaa suuruusluokkaavuosien 2010 ja 2011 kokeiden kanssa.

Kaksi koepisteosuuksiltaan suurinta luokkaa ovat lähes jokaisessa kokees-sa ERC ja TRC. Ainoastaan syksyn 2011 kokeessa luokan EC koepisteosuus

45

Taulukko 10: Luokkien prosentuaaliset osuudet koepisteistä sekä erikseen en-sisijaisen, toissijaisen, rutiininoimaisen ja kehittyneen käytön osuudet.

Luokka k2010 s2010 k2011 s2011 k2012 s2012 kaikkiERC 33 25 44 54 40 38 39EKC 0 0 8 3 6 3 3TRC 47 51 41 19 30 34 37TKC 0 0 0 0 16 0 3EC 20 24 7 24 8 25 18E�C 33 25 52 57 46 41 42T�C 47 51 41 19 46 34 40�RC 80 76 84 73 70 72 76�KC 0 0 8 3 22 3 6

on suurempi kuin luokan TRC. Luokkien ERC ja TRC tehtävissä riittää ru-tiininomainen laskimen käyttö. Kaikki kokeet huomioiden näiden luokkienosuudet koepisteistä, 39 % ja 37 %, ovat lähes yhtä suuret. Luokkien tehtä-vät ovat kuitenkin hyvin erilaisia. Luokan ERC tehtävissä tekijälle on mel-ko selvää kuinka laskinta tehtävässä voidaan hyödyntää, mutta luokan TRCtehtävissä ratkaisijalla on merkittävä osuus tehtävän laskimella ratkaistavaanmuotoon saattamisessa. Tämä on ensisijaisen ja toissijaisen laskimen käytönperiaatteellinen ero. Luokan ERC tehtävät kokeissa ovat jokseenkin kyseena-laisia, koska usein nämä tehtävät ovat laskimelle yksinkertaisia. Perinteisestinäiden tehtävien onkin ollut tarkoituksena testata jonkin tietyn ratkaisume-netelmän hallintaa. Luokan TRC tehtävissä sen sijaan korostuu käsitteeli-sen tiedon hallinta. Yksittäisistä kokeista sykysn 2011 kokeessa on selkeästieniten ERC luokan tehtäviä, mutta myös vähiten TRC luokan tehtäviä —luokkien osuuksien koepisteistä ollessä 54 % sekä 19 %. Syksyn 2010 kokees-sa lukemat ovat lähes toisin päin koepisteosuuksien ollessa 25 % ja 51 %.Tehtävät eivät jakaudukaan eri kokeissa samoin näihin luokkiin. Laskinuu-distuksen jälkeiset vuoden 2012 kokeet ovat näiden luokkien suhteen lähessamanlaiset luokan ERC painottuessa hieman luokkaa TRC enemmän. Li-säksi tuloksista nähdään, että vuoden 2012 kokeissa koepisteosuuksissa ensi-ja toissijaisen käytön suhteen ei ole suuria eroja. Kevään kokeessa näidenluokkien tehtävistä on kuitenkin enemmän pisteitä saatavilla kuin syksyn

46

kokeessa. Ero selittyy luokan EC koepisteosuuksia tarkasteltaessa.Tehtävien, jotka eivät mahdollista symbolisen laskimen käyttöä tai joissa

laskin on merkityksetön, koepisteosuus kaikkien kokeiden yhteenlasketuistapisteistä on 18 %. Nämä luokan EC tehtävien koepisteosuudet ovat kevään2011 ja 2012 osalta 7 % ja 8 %. Muissa kokeissa tämä osuus on noin nel-jänneksen. Vuoden 2012 kevään ja syksyn välillä ero on merkittävä, jopa 17prosenttiyksikköä. Kevään kokeessa oli sen sijaan syksyn koetta enemmänkehittynyttä laskimen käyttöä mahdollistavia tehtäviä. Siirtymässä luokastaTKC luokkaan EC voi olla kyse jonkinasteisesta korjausliikkeestä, sillä luokanEC tehtävät ovat aidoimmin teknologiasta riippumattomia ylioppilaskoeteh-täviä. Näiden tehtävien voidaan paremmin luottaa mittaavan ennalta suunni-teltuja asioita, ei niinkään laskimen erikoisosaamista. Onkin yllättävää, ettäluokan EC tehtävien osuus koepisteistä on ensimmäisessä laskinuudistuksenjälkeisessä kokeessa suhteellisen pieni ja kehittyneen käytön mahdollistavientehtävien suuri.

Tarkastellaan vielä lyhyesti, minkä arvosanan ainoastaan luokan ERC teh-tävien avulla on ylioppilaskokeista mahdollista saada. Koska kokeissa saa teh-dä enintään kymmenen varsinaista koetehtävää, niin valitaan kokeista mak-simissaan ne kymmenen tehtävää, jotka kuuluvat tai jonka kohtia kuluu ky-seiseen luokkaan. Näiden tehtävien tai kohtien yhteenlasketut pisteet ja pis-teiden oikeuttamat arvosanat taulukon 9 pisterajojen pohjalta on annettutaulukossa 11. Taulukosta nähdään, että vaihtelut pisteissä eri koekertojenvälillä ovat suuria — syksyn 2011 kokeen pisteet ovat jopa kaksinkertaisetverrattuna syksyn 2010 kokeeseen. Luokan ERC tehtävien vähäisyys syksyn2010 kokeessa lienee eräs selittävä tekijä kyseisen koekerran alhaisiin piste-

Taulukko 11: Potentiaalinen menestyminen ylioppilaskirjoituksissa, niidentehtävien (kohtien) pohjalta, jotka mahdollistavat ensisijaisen ja rutiinin-omaisen laskimen käytön tehtävän ratkaisemiseksi.


Arvosana C C M E C —

47

rajoihin — kutakin arvosanaahan annetaan sama prosentuaalinen osuus jo-ka koekerta. Verrataan vielä vuoden 2012 kokeita toisiinsa ja vuosien 2010ja 2011 kokeisiin. Vuoden 2012 kokeiden ERC-luokan pisteet ovat lähes sa-mat, kevään pisteiden ollessa 38 ja syksyn 36. Kaikkien kokeiden ERC-luokantehtävistä saatavien pisteiden keskiarvo on taulukon 11 tiedoista laskettunanoin 37 pistettä, joten vuoden 2012 kokeiden pisteet asettuvat melko tarkastikeskiarvon kohdalle.

4.4 Luokittelu 3

Kolmannen luokittelumenetelmän, luokittelun L3, päätarkoituksena on sel-vittää symbolisesta laskimesta saatava hyöty. Menetelmän luokat ovat hy-vin yksiselitteisiä (katso luku 3.4). Lisäksi luokat muistuttavat luokittelunL2 luokkia. Tämän vuoksi tulokset ovat esitettävissä lyhyesti ja ytimekkääs-ti. Varsinaiset luokittelutulokset sekä analysoitujen kokeiden CAS-indeksiton annettu taulukossa 12. Käydään ensin läpi yksittäisten luokkien osuuk-sia koepisteistä. Tämän jälkeen vertaillaan kokeiden CAS-indeksejä. Lopuksipohditaan lyhyesti, kuinka pelkkien CAS-yksinkertaisten ja CAS-helppojentehtävien avulla on mahdollista menestyä ylioppilaskokeissa.

Saadut luokittelutulokset muistuttavat paljon luokittelun L2 tuloksia.Nyt merkittävimmät koepisteosuudet ovat luokkien CY, CV ja CT tehtävillä.Symbolisella laskimella helpoiksi luokiteltuja luokan CH tehtäviä on kokeis-sa yleisesti ottaen vähän, kaikkien kokeiden yhteenlasketuista pisteistä vain8 %. Ainoastaan kevään 2012 kokeessa noiden tehtävien osuus koepisteistäon noteeraamisen arvoinen, osuuden ollessa 22 %. Kaikki kokeet huomioiden

Taulukko 12: Luokkien prosentuaaliset osuudet koepisteistä sekä kokeidenCAS-indeksit.

Luokka k2010 s2010 k2011 s2011 k2012 s2012 kaikkiCY 33 19 44 55 33 34 36CH 0 6 8 4 22 6 8CV 47 51 41 17 36 34 38CT 20 24 7 24 8 25 18

CAS-indeksi 7 8 5 4 4 6 6

48

laskimelle yksinkertaisten sekä vaikeiden tehtävien eli luokkien CY ja CVosuudet koepisteistä ovat lähes yhtä suuret, vajaat 40 %. Osuudet kuitenkinvaihtelevat paljon kokeiden välillä. Näiden kahden luokan osalta laskinuudis-tuksen jälkeiset kokeet ovat samankaltaiset, koepisteosuuksien ollessa 35 %:nluokkaa. Vuoden 2012 kokeiden välillä merkittävimmät erot ovatkin luokissaCH ja CT. Näihin eroihin liittyviä asioita on pohdittu jo luvussa 4.3.

Tarkastellaan seuraavaksi kokeiden CAS-indeksejä kiinnittäen erityshuo-miota laskinuudistuksen jälkeisiin vuoden 2012 kokeisiin. Kaavan (3.1) mu-kaisesti CAS-indeksi lasketaan luokkien CY ja CH yhteenlasketun tehtävälu-kumäärän avulla. Koska tehtävät eivät ole samanarvoisia, on tehtävien pis-teytys otettava huomioon. Näin toimien saadaan kaava

c =

N −

(n∑i=1

ai +m∑j=1

bj

)N

· 10, (4.1)

missä N on kaikkien tehtävien yhteenlaskettu pistemäärä, n on CY-luokantehtävien lukumäärä, ai on i:nnen CY-luokan tehtävän pistemäärä,m on CH-luokan tehtävien lukumäärä ja bj on j:nnen CH-luokan tehtävän pistemäärä.Kokeiden kaikkien tehtävien, N = 96, perusteella lasketut pyöristetyt CAS-indeksit on annettu taulukossa 12. CAS-indeksien perusteella kokeista par-haiten CAS-yhteensopivia ovat vuoden 2010 kokeet. Vuoden 2012 kokeistasyksyn koe on paremmin perusteltavissa symbolisen laskimen kanssa käytet-täväksi. Täysin CAS-epäsopivaksi ei voi yhtäkään koetta väittää. Paremmanyhteensopivuuden takaamiseksi tulisi kuitenkin tehdä eniten muutoksia syk-syn 2011 ja kevään 2012 kokeeseen.

Pohditaan vielä lyhyesti, kuinka analysoiduissa kokeissa menestyisi vas-taamalla ainoastaan luokkien CY ja CH tehtäviin. Samoin kuin aiempienluokittelumenetelmien yhteydessä valitaan jälleen kokeista maksimissaan nekymmenen tehtävää, jotka kuuluvat tai jonka kohtia kuluu kyseisiin luok-kiin. Näiden tehtävien tai kohtien yhteenlasketut pisteet ja pisteiden oikeut-tamat arvosanat taulukon 9 pisterajojen pohjalta on annettu taulukossa 13.Taulukossa on myös noiden pisteiden avulla lasketut CAS-indeksit, jotka onnyt laskettu käyttäen arvoa N = 60. Taulukosta nähdään ensinnäkin, että

49

luokkien CY ja CH tehtävien määrät vaihtelevat kokeiden välillä paljon. Tä-mä näkyy luonnollisesti myös arvosanoissa. Yleisesti ottaen arvosanat ovatnyt kiitettäviä tai hyviä — arvosanojen ollessa syksyn 2010 cum laude ap-probaturista (C) kevään 2012 eximia cum laude approbaturiin (E). Vuoden2012 kokeiden osalta syksyn kokeessa luokkien CY ja CH tehtävistä voi saa-da 12 pistettä kevään koetta vähemmän. Syksyn kokeen CAS-indeksi on tä-män vuoksi kaksi yksikköä kevään indeksiä suurempi. Kaikkiaan kokeidenCAS-indeksit näyttäisivät laskevan taulukon 12 lukemista kautta linjan kak-si yksikköä. Uudelleen laskettujen CAS-indeksien perusteella vuoden 2011 jakevään 2012 kokeiden voidaan sanoa olevan CAS-epäsopivia. Erityisesti laski-nuudistuksen jälkeisen, kevään 2012 kokeen huono lukema on yllätys. Syksyn2012 pisterajat eivät olleet tiedossa tutkielmaa tehdessä.

Taulukko 13: Potentiaalinen menestyminen ylioppilaskirjoituksissa CAS-yksinkertaisiksi ja CAS-helpoiksi luokiteltujen tehtävien perusteella sekäCAS-indeksit noiden tehtävien avulla laskettuna.


Arvosana M C M E E —CAS-indeksi 5 6 3 2 2 4

Mitä CAS-indeksi kertoo kokeen vaikeusasteesta ja onko se tähän edes so-piva mittari? Käytännössä ylioppilaskokeiden vaikeusasteet vaihtelevat koe-kerroittain. Tämän ajatellaan heijastuvan kokeiden pisterajoihin. Logiikkaperustuu siihen, että kutakin arvosanaa annetaan aina tietty prosenttiosuus.Taulukossa 14 on laskettu kokeiden pyöristämättömien CAS-indeksien ja ar-vosanojen väliset Pearsonin korrelaatiokertoimet ottamatta huomioon syksyn2012 koetta, sillä kokeen pisterajoja ei tunnettu. Nyt korrelaatiokertoimistanähdään, että etenkin kolmella parhaalla arvosanalla on vahva negatiivinenkorrelaatio CAS-indeksin suhteen. Kyseessä on lineaarinen korrelaatio. Onkuitenkin mahdotonta sanoa ovatko valitut muuttujat todellakin ne tekijät,jotka korreloivat. Toistaiseksi jääkin avoimeksi kysymykseksi, voidaanko ko-keen CAS-indeksin perusteella ennakoida kokeen pisterajoja.

50

Taulukko 14: Ylioppilaskokeiden eri koekertojen pisterajojen ja CAS-indeksien väliset Pearsonin korrelaatiokertoimet arvosanoittain.

Arvosana L E M C B AKorrelaatiokerroin –0,87 –0,92 –0,89 –0,80 –0,76 –0,72

4.5 Tulokset aihealueittain

Koetehtävät jaettiin aihealueisiin MAOL-taulukkokirjan päälukujen otsikoi-den perusteella. Näin aihealueiksi saatiin algebra, geometria, trigonometria,vektorilaskenta, analyyttinen geometria, differentiaalilaskenta, integraalilas-kenta, numeeriset menetelmät, todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede sekälogiikka ja lukuteoria. Analysoidut tehtävät jaettiin noihin aihealueisiin ky-seisten päälukujen sisältöjen perusteella. Aihealueittain erityisen kiinnosta-vaa on aihealueiden erot suhteessa symboliseen laskimeen. Jotta tarkastelus-ta ei tulisi liian monimutkaista, valitaan tarkasteluun ainoastaan luokittelunL1CT luokka 1111 ja luokittelun L2 luokka ERC. Nämä luokat on valittu tar-kasteluun syistä, jotka selviävät luvuista 4.2 ja 4.3. Näiden luokkien lisäksitarkastellaan aihealueittain CAS-indeksilukuja, jotka on laskettu luokittelunL3 luokkien CY ja CH tehtävien yhteenlasketun lukumäärän perusteella käyt-täen kaavaa 4.1. Tehtävien lukumäärät, prosentuaaliset osuudet koepisteistäja CAS-indeksit on annettu aihealueittain taulukossa 15.

Pohditaan ensin tehtävien määriin liittyviä syitä. Taulukosta 15 nähdään,että kokeet ovat algebrapainotteisia. Tämä selitty osittain tavalla jakaa teh-tävät aihealueisiin, sillä taulukkokirjan algebraosio sisältää useiden eri lukio-kurssien asioita. Numeeristen menetelmien sekä logiikan ja lukuteorian vä-häiset tehtävät selittynevät puolestaan noiden aihealueiden lukiokurssien va-paavalinnaisuudella. Analyyttisen geometrian ja vektorilaskennan tehtäviensuhteellinen vähäisyys sen sijaan on pieni yllätys. Näiden aihealueiden tehtä-viä on niin vähän, ettei tehtävien luokitteluista tai CAS-yhteensopivuuksistavoi tehdä luotettavia johtopäätöksiä. Jätetäänkin edellä mainitut aihealueetseuraavissa tarkasteluissa huomiotta.

Luokittelu L1CT on ensimmäisen luokittelumenetelmän luokittelutavois-ta se, joka ottaa huomioon sekä taulukkokirjan että laskimen ja luokan 1111

51

Taulukko 15: Luokittelutuloksia aihealueittain; tehtävien lukumäärätN , luo-kittelun L1CT luokan 1111 tehtävien lukumäärät N1 sekä prosentuaalisetkoepisteosuudet p 1, luokittelun L2 luokan ERC tehtävien lukumäärät N2 se-kä prosentuaaliset koepisteosuudet p 2 ja CAS-indeksit c. Koepisteosuudet onlaskettu kunkin aihealueen sisällä erikseen.

Aihealue N (kpl) N1 (kpl) p 1 (%) N2 (kpl) p 2 (%) cAlgebra 71 38 47 45 52 4Geometria 27 8 30 4 11 8Trigonometria 13 11 86 10 78 1Vektorilaskenta 6 2 40 1 20 8Analyyttinen geometria 3 1 29 0 0 10Differentiaalilaskenta 26 11 44 14 56 4Integraalilaskenta 18 13 57 11 48 4Numeerisia menetelmiä 4 1 30 1 30 7Todennäköisyyslaskenta 15 1 12 0 0 10Logiikka ja lukuteoria 1 0 0 0 0 10

tehtävissä on periaatteessa kaikki tarvittava tieto tunnettuna tehtävien teke-miseksi. Luvussa 4.2.2 todettiin tällaisten tehtävien osuuden kaikista koepis-teistä olevan 43 %. Aihealueittain algebran ja differentiaalilaskennan sisäisetkoepisteosuudet ovat samaa suuruusluokkaa. Integraalilaskennan tapaukses-sa osuus on hieman tuota osuutta suurempi ja geometrian tapauksessa pie-nempi. Trigonometrian sisäinen osuus 86 % on sen sijaan huomattavan suuri.Useissa trigonometrian tehtävissä taulukkokirja paljastaakin oleellisen pro-seduraalisen tiedon ja laskin tehtävän lopputilan. Toinen selkeä poikkeamaon todennäköisyyslaskennan lukema. Useimmat näistä tehtävistä edellyttä-vät tiettyjen todennäköisyyslaskusääntöjen tuntemista, eikä laskin täten olekykenevä tehtävien lopputilaa selvittämään. Tämän vuoksi todennäköisyys-laskennan sisäinen osuus koepisteistä on vain 12 %.

Luokittelun L2 luokan ERC tehtävät mahdollistavat ensisijaisen ja rutii-ninomaisen laskimen käytön. Luvussa 4.3 näiden tehtävien osuudeksi kaik-kien kokeiden pisteistä saatiin 39 %. Nyt isoista aihealueista kaikkien paitsitodennäköisyyslaskennan ja geometrian sisäiset osuudet ovat tätä lukemaasuurempia. Aiemmin esitetystä syystä johtuen useissa todennäköisyyslasken-nan tehtävissä symbolisesta laskimesta ei ole merkittävää hyötyä ja tehtävätluokitellaan luokan EC tehtäviksi. Itse asiassa aihealueen tehtävistä yksi-

52

kään ei kuulu luokkaan ERC. Geometrian tehtävissä sen sijaan ratkaisijallaon merkittävä rooli käsitteiden tai kuvallisten esitystapojen tulkitsemisessa.Tämän vuoksi useissa geometrian tehtävissä laskin on toissijainen aktivi-teetti tai laskimen merkitys on ratkaisun kannalta olematon. Luokan ERCtehtävien osuus geometrian koepisteistä onkin vain 11 %.

Tarkastellaan lopuksi vielä lyhyesti CAS-indeksilukuja aihealueittain. Ää-ripäät ovat nyt edellä käytyjen asioiden vuoksi odotetusti trigonometria ja to-dennäköisyyslaskenta — ensimmäisen aihealueen tehtävien ollessa sopimat-tomia ja toisen täysin yhteensopivia symbolisen laskimen kanssa käytettä-väksi. Todennäköisyyslaskennan tehtävien lisäksi myös geometrian tehtävätsopivat nykyisellään laskinuudistuksen jälkeiseen aikaan. Algebran, differen-tiaalilaskennan ja integraalilaskennan CAS-indeksit sen sijaan asettuvat hie-man asteikon puolivälin alapuolelle. Monet näistä tehtävistä ovatkin triviaa-leja laskimelle. Vähemmän edustettujen aihealueiden CAS-indeksit ovat sensijaan hyvät. On kuitenkin muistettava, että ne on laskettu vain muutamantehtävän pohjalta.

4.6 Luokittelumenetelmien vertailu

Luvuissa 4.2 – 4.4 on esitetty käytettyjen luokittelumenetelmien tulokset.Tässä luvussa vertaillaan näitä menetelmiä toisiinsa. Tarkastelun pääpainoon siinä miten eri menetelmien luokat vertautuvat toisiinsa. Koska luokit-teluissa L2 ja L3 oli kyse vain symbolisen laskimen käytöstä ja hyödystä,otetaan ensimmäisen luokittelumenetelmän luokitteluista tarkasteluun vainluokittelu L1C. Taulukoissa 16 – 18 on esitetty vertailumahdollisuuksistamielenkiintoisimmat. Pohditaan lyhyesti näihin vertailuihin liittyviä asioita.

Luokittelun L1C luokkien 1111 ja 1110 tehtävät ovat odotetusti läheskaikki luokkien ERC ja CY tehtäviä, sillä luokan tehtävien lopputila on to-dennäköisesti juuri symbolisen laskimen avulla selvitetty. Tämän vuoksi las-kimen ensisijainen ja rutiininomainen käyttö ei ole yllättävää. Luokan 1110tehtävät jakaantuvat kuitenkin luokkaa 1111 enemmän myös muihin luok-kiin — ei kuitenkaan luokkiin EC tai CT. Luokkien 1011 ja 1010 tehtävissälaskin on sen sijaan toissijainen aktiviteetti tai siitä ei ole käytännön apua

53

tehtävää ratkaistaessa. Laskin ei olekaan näissä tehtävissä kykenevä selvittä-mään lopputilaa. Tämän vuoksi tehtävät asettuvatkin luokkiin TRC, CV jaEC/CT.

Vertaillaan vielä luokitteluja L2 ja L3 taulukoiden 17 ja 18 avulla. Yhdentaulukon sijaan on annettu kaksi taulukkoa, jotta voidaan paremmin arvioidaluokkien päällekkäisyyksiä kummankin luokittelun näkökulmasta. Aloitetaanluokittelun L2 näkökulmasta. Vertailutuloksista nähdään jo aiemmin todettuasia, että luokat EC ja CT sisältävät samat tehtävät. Näissä tehtävissä las-kin ei tuo lisäarvoa. Ensisijaisen käytön mahdollistavat tehtävät jakautuvatsen sijaan luokkiin CY ja CH. Lähes kaikki luokan ERC tehtävistä ovat sym-boliselle laskimelle yksinkertaisia CY luokan tehtäviä. Sen sijaan toissijaisenrutiinikäytön mahdollistavat tehtävät ovat lähes kaikki laskimelle vaikeitaluokan CV tehtäviä. Luvussa 4.3 todettiin kehittyneen käytön edellyttämättehtävät harvinaisiksi. Näistä luokan EKC tehtävien enemmistö on laskimellehelppoja CH-luokan tehtäviä ja luokan TKC tehtävistä reilut puolet luokanCV tehtäviä.

Luokittelun L3 näkökulmasta tehtävien jakautuminen luokittelun L2 luok-kiin poikkeaa hieman edellä käsitellystä. Luokan CY tehtävistä lähes jokai-nen kuuluu luokkaan ERC. Taulukoita vertailemalla voidaankin nähdä, ettäluokan EKC tehtävien lukumäärän on oltava vähäinen, mikä onkin todettujo luvussa 4.3. Luokan CH tehtävät jakautuvat tasaisisimman eri luokkiin.Usein näissä tehtävissä laskin on kuitenkin ensisijainen aktiviteetti. LuokanCV tehtävissä laskin on sen sijaan aina toissijainen aktiviteetti, tehtävienollessa yleensä luokan TRC tehtäviä.

54

Taulukko 16: Luokittelun L1C yleisimpien luokkien tehtävät luokitteluissaL2 ja L3, suhteelliset osuudet.

Luokka ERC EKC TRC TKC EC CY CH CV CT1111 97 3 0 0 0 97 3 0 01110 84 7 2 7 0 76 19 5 01011 0 0 100 0 0 0 0 100 01010 1 0 63 1 34 1 1 64 34

Taulukko 17: Luokittelun L2 tehtävät luokittelussa L3, suhteelliset osuudet.

Luokka CY CH CV CTERC 91 9 0 0EKC 30 70 0 0TRC 0 2 98 0TKC 0 40 60 0EC 0 0 0 100

Taulukko 18: Luokittelun L3 tehtävät luokittelussa L2, suhteelliset osuudet.

Luokka ERC EKC TRC TKC ECCY 97 3 0 0 0CH 45 31 11 13 0CV 0 0 96 4 0CT 0 0 0 0 100

55

5 Johtopaatokset

Matematiikan ylioppilaskirjoituksissa sallittiin symboliset laskimet kevään2012 kokeesta alkaen. Tuon päätöksen motivoimana on tämän tutkielmanpäätarkoituksena ollut tutkia koko apuvälineistön potentiaalista merkitystä.Tutkielmassa on lisäksi muun muassa pyritty selvittämään, minkälaisen laski-men käytön tehtävät mahdollistavat ja kuinka yhteensopivia kokeet ovat las-kimen kanssa käytettäväksi. Tutkimuskysymyksiin on etsitty vastauksia luo-kittelemalla vuosien 2010 – 2012 pitkän matematiikan koetehtävät kolmellaluokittelumenetelmällä. Tuloksien tarkastelussa erityishuomiota on kiinnitet-ty laskinuudistuksen jälkeisiin kokeisiin. Käydään läpi seuraavaksi tutkielmankeskeisiä tuloksia. Pohditaan tämän jälkeen näiden tuloksien merkitystä jaesitetään lopuksi, kuinka tutkimusta voitaisiin jatkaa tulevaisuudessa.

Ensimmäisen ja tärkeimmän luokittelumenetelmän avulla tutkittiin tau-lukkokirjan ja symbolisen laskimen vaikutusta luokittelemalla tehtävät seu-raavien komponenttien tilojen perusteella: alkutila, lopputila, konseptuaali-nen tieto ja proseduraalinen tieto. Tehtävät luokiteltiin tehtävänannon pe-rusteella ja eri apuvälineyhdistelmin. Luokittelutuloksia vertaamalla voidaantehdä tutkielman kannalta mielenkiintoisia johtopäätöksiä. Vertaileva luokit-telumenetelmä suunniteltiin tutkielmaa varten ja se mahdollistaa tehtävienanalysoimisen useasta näkökulmasta. Tulosten perusteella apuvälineiden po-tentiaalinen merkitys kokeessa menestymisen suhteen on suuri. Esimerkiksisymbolinen laskin on kykenevä selvittämään lopputilan 51 %:ssa tehtävis-tä, mikä vastaa 43 %:a koepisteistä. Taulukkokirja ja tehtävänanto yhdessäpuolestaan paljastavat proseduraalisen tiedon 53 %:ssa tehtävistä, koepisteo-suuden ollessa 49 %. Kun huomioidaan molemmat apuvälineet, on jokainenneljästä komponentista tunnettuna 47 %:ssa tehtävistä, koepisteosuuden ol-lessa nyt 43 %. Kevään 2012 kokeessa koepisteosuus on jopa 51 %. Syksynkokeen lukeman on 44 %. Osuudet ovat suuria ottaen huomioon, että teh-tävissä on periaatteessa kaikki tarvittava tunnettuna niiden ratkaisemiseksi.Kevään 2012 kokeessa näiden tehtävien pisteet oikeuttavat arvosanaan M.

Luokittelumenetelmällä saadaan muitakin merkittäviä tuloksia. Syksyn2012 kokeessa on muihin kokeisiin verrattuna esimerkiksi enemmän tehtäviä,

56

joiden lopputilaa ei apuvälinein voida selvittää. Koepisteosuuksin verrattu-na eroa kevään 2012 kokeeseen on yli 25 prosenttiyksikköä, mikä voi tar-koittaa suunnitelmallista korjausliikettä. Pelkän tehtävänannon perusteellakevään 2012 kokeessa on kuitenkin ollut monipuolisin tehtäväjakauma. Ylei-sesti ottaen koetehtävät ovat silti hyvin yksipuolisia, käytännössä vain yhdentehtävätyypin ollessa kokeissa edustettuna. Osaamisen arvottamisessa onkinylikorostuneessa asemassa tehtävät, joissa edetään alkutilasta tietyn ratkai-sumenetelmän avulla hyvin määriteltyyn lopputilaan.

Laskimen käyttötavoissa eri kokeiden välillä on toisen luokittelumene-telmän tulosten perusteella eroja. Kaikkien kokeiden yhteenlasketuista pis-teistä ensisijaisen laskimen käytön mahdollistavien tehtävien osuus 42 % onhieman suurempi kuin toissijaisen käytön mahdollistavien tehtävien osuus.Muut tehtävät eivät mahdollista laskimen hyödyntämistä. Usein tehtävissäriittää rutiininomainen laskimen käyttö. Näiden tehtävien osuus koepisteistäon 76 %. Kehittyneitä laskimen käyttötaitoja tarvitaan sen sijaan harvoin,poikkeuksena kevään 2012 kokeen koepisteosuus 22 %. Syksyn 2012 kokeen 3%:n osuus on muiden kokeiden tasolla. Sen sijaan syksyn kokeen ero keväänkokeeseen on 17 prosenttiyksikköä koepisteosuuksissa tehtävien osalta, jotkaeivät mahdollista laskimen käyttöä. Myös nämä tulokset puoltavat aiemminesitettyä oletusta korjausliikkeestä näiden kokeiden välillä.

Kolmannen luokittelumenetelmän luokittelutuloksista on luettavissa suu-riakin eroja kokeiden välillä. Laskimelle yksinkertaisiksi tai vaikeiksi luokitel-lut tehtävät ovat kuitenkin tehtävistä yleisimmät lähes joka kokeessa. Vuoden2012 kokeissa näiden luokkien osuudet ovat koepisteistä samaa suuruusluok-kaa, noin 35 %. Sen sijaan laskimelle helpoiksi luokitteltujen tehtävien jatehtävien, joissa laskinta ei voi hyödyntää, välisissä koepisteosuuksissa onsamankaltaisia eroavaisuuksia kuin toisen luokittelumenetelmän tapaukses-sa. Luokittelutuloksista laskettiin myös kokeiden CAS-yhteensopivuutta ku-vaavat CAS-indeksit, joiden perusteella vuoden 2011 ja kevään 2012 kokeetovat epäsopivimpia symbolisen laskimen kanssa käytettäväksi. Kevään 2012kokeessa laskimelle yksinkertaiset ja helpot tehtävät yhdessä oikeuttavat ar-vosanaan E. Syksyn 2012 kokeen yhteensopivuus on kevään koetta parempi,mutta tuonkin kokeen tehtävistä noin puolet ovat kyseenalaisia. Merkittävis-

57

tä aihealueista algebra, differentiaalilaskenta ja integraalilaskenta asettuvatCAS-indeksilukuasteikon puoliväliin. Parhaat yhteensopivuudet aihealueistaon todennäköisyyslaskennalla ja geometrialla, huonoin trigonometrialla.

Saatujen tulosten perusteella apuvälineet, erityisesti symbolinen laskin,helpottavat merkittävästi tehtävien tekemistä ylioppilaskokeissa. Väittämäkuitenkin perustuu oletukseen, että opiskelija tuntee apuvälineet ja osaakäyttää niitä tarkoituksenmukaisesti. Tehtävien tekeminen saatujen tulostenmukaisesti edellyttää erityisesti kykyä yhdistää osia tehtävänannosta, tau-lukkokirjasta ja laskimesta. Lisäksi on syytä korostaa, että tutkielmassa eivertailla symbolista ja ei-symbolista laskinta vaan symbolinen laskin käsite-tään myös graafisen laskimen ja tieteislaskimen sisältäväksi kokonaisuudeksi.Symboliseen laskentaan liittyvien ominaisuuksien hyöty on joka tapauksessamerkittävä. Nopean laskinuudistuksen vuoksi opiskelijat ovatkin voineet jou-tua eriarvoiseen asemaan. Analysoiduista kokeista kevään 2012 koe poikkesitehtäväjakaumaltaan muista kokeista. Myös syksyn 2012 kokeessa oli piirtei-tä, joita ei muissa kokeissa ollut. Poikkeamat tulivat esiin jokaisella luokitte-lumenetelmällä. Kokeiden ei pitänyt laskinuudistuksen myötä merkittävästilähivuosina muuttua. Tulosten valossa kyseistä väittämää kohtaan voidaanesittää aiheellista kritiikkiä.

Kaikkiaan tulosten perusteella ylioppilaskokeiden tehtävissä korostuu yk-sittäisten ratkaisumenetelmien arvostus. Koetehtävät tukevat yleistä käsitys-tä perinteisestä koulumatematiikasta, sillä lähes jokaisessa tehtävässä kon-septuaalinen tieto ohjaa ratkaisumenetelmän valintaa. Tämän voi nähdä tu-kevan koulutuksellista näkökulmaa, missä proseduraaliseen tietoon edetäänkonseptuaalisen tiedon kautta. Tehtävätyyppien frekvenssien perusteella vai-kuttaisi olevan tiettyjä perustaitoja, joita kokeiden laatijoiden mielestä tuleetestata. Monet näistä tehtävistä soveltuvat kuitenkin huonosti symbolisenlaskimen kanssa käytettäväksi. Tämän vuoksi kyseisten taitojen testaami-seksi joko tehtäviä tulisi muuttaa tai olisi järjestettävä erillinen, apuvälineetkieltävä koe. Myös muissa tehtävissä on kehittämisen varaa. Ratkaisumene-telmien ulkoaopiskelu tai apuvälineiden antamien ratkaisujen ylös kirjaami-nen eivät tue luovuutta tai ole motivoivia. Vaarana on myös, että taustallaolevat matemaattiset ideat jäävät ratkaisumenetelmien varjoon. Olisi toivot-

58

tavaa, että laskin voisi olla useammin ratkaisua tukeva tekijä, ei ensisijainenaktiviteetti. Nykyisellään esimerkiksi opetussuunnitelmankin korostamat on-gelmanratkaisutaidot vaikuttaisivat olevan harvoin tarpeen.

Nykyisen koemuodon ja kapean tehtäväjakauman vuoksi voi aiheellisestiolla huolissaan lukiomatematiikan tulevaisuudesta. Monet tärkeiksi arvoste-tuista taidoista ovat käymässä nykyteknologian myötä tarpeettomiksi. Vaa-rana on, että matematiikan opiskelu keskittyy laskimen käyttötaitoihin ny-kymuotoisten tehtävien ratkaisujen paperille siirtämiseksi. Tällainen suun-ta ei ole toivottavaa vaan uuden teknologian tulisi avata uusia vaihtoehtojaopiskeluun. Teknologian myötä voisi olla aika siirtyä suorittamistaidoista so-veltamiskykyihin. Tulevaisuudessa tulisikin huolella tutkia, millaiset tehtävättukisivat näitä sekä muita tärkeiksi koettuja näkökulmia. Tutkielmassa käy-tetyt luokittelumenetelmät voisivat olla hyödyksi tätä tutkimusta tehdessä.

Tutkielman tutkimuskysymyksiin löydettiin tehtäviä luokittelemalla vas-tauksia. Samalla kehitettiin monipuolinen ja toimiva luokittelumenetelmäapuvälineiden merkityksien tutkimiseen. Saadut vastaukset herättävät kui-tenkin uusia kysymyksiä. Epäselväksi jäävät muun muassa symbolisen laski-men ja ei-symbolisen laskimen väliset erot hyödynnettävyyden suhteen. Myöstodelliset pisteytykset yksityiskohtaisista apuvälinein saatavista ratkaisuistaolisivat mielenkiintoisia. Tämän syvällisemmän tutkimisen voisivat mahdol-listaa sopivat kvalitatiiviset menetelmät. Olisi hyödyllistä tutkia myös, min-kälaista päättelyä koetehtävät edellyttävät ja kuinka ne täydentäisivät tut-kielman luokittelutuloksia.

59

Lahteet

Barkatsas, A., Kasimatis, K., & Gialamas, V. (2009). Learning seconda-ry mathematics with technology: Exploring the complex interrelationshipbetween students’ attitudes, engagement, gender and achievement. Compu-ters & Education, 52(3), 562-570.

Connors, M. A. & Snook, K. G. (2001). The Effects of Hand-Held CAS onStudent Achievement in a First Year College Core Calculus Sequence. TheInternational Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, 8(2),99-114.

Flynn, P., & McCrae, B. (2001). Issues in assessing the impact of CAS onmathematics examinations. Teoksessa Bobis, J., Perry, B. & Mitchelmore M.(toim.). Numeracy and Beyond. Proceedings of the 24th annual conference ofthe Mathematics Education Research Group of Australasia, 210-217.

Flynn, P. (2003). Using assessment principles to evaluate CAS-permitted exa-minations. Paper presented at the Computer Algebra in Mathematics Educa-tion (CAME) Symposium. Saatavissa: http://lkl.ac.uk/research/came/events/reims/1-Reaction-Flynn.doc, katsottu 23.9.2012.

Haapasalo, L. (2004). Pitääkö ymmärtää voidakseen tehdä vai pitääkö tehdävoidakseen ymmärtää? Teoksessa Räsänen, P., Kupari, P., Ahonen, T. &Malinen, P. (toim.). Matematiikka - näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen.Niilo Mäki -Instituutti, Jyväskylä, 50-83.

Haapasalo, L. (2011a).Oppiminen, tieto & ongelmanratkaisu. Medusa-Software,Joensuu.

Haapasalo, L. (2011b). Laskinpanna poistuu - muuttuuko opetus ja arvioin-ti?. Dimensio, 5, 32-35.

Herget, W., Heugl, H., Kutzler, B., & Lehmann, E. (2000). Indispensablemanual calculation skills in a CAS environment. Micromath, 16(3), 8–17.

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and Procedural Knowledge

60

in Mathematics: An Introductory Analysis. Teoksessa Hiebert, J. (toim),Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics, LawrenceErlbaulm Associates, Inc., Publishers, New Jersey, 1-23.

Hiltunen, K. (2012). Taulukkokirjan ja laskimen merkitys lukion pitkän mate-matiikan opinnoissa. Itä-Suomen yliopiston julkaisuja, Pro gradu -tutkielma.

Kadijevich, D. (2007). Towards relating procedural and conceptual knowled-ge by CAS. Paper presented at the Fifth Computer Algebra in MathematicsEducation (CAME5) Symposium. Saatavissa: http://www.lkl.ac.uk/research/came/events/came5/came5-theme1-kadijevich.pdf, katsottu 21.9.2012.

Kinnunen, J. (2011). Ylioppilaskokeessa sallitaan kaikki laskimet. Dimensio,4, 18-20.

Kivelä, S. (2012). Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus.Dimensio, 4, 52-55.

Kutzer, B. (2000). The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teac-hing Mathematics. The International Journal of Computer Algebra in Mat-hematics Education, 7(1), 5-24.

Kokol-Voljc, V. (2000). Examination questions when using CAS for schoolmathematics teaching. The International Journal of Computer Algebra inMathematics Education, 7(1), 63–75.

Lappi, E. & Lappi, M. (2011). Symboliset laskimet tulevat – ollaanko valmii-ta?. Matematiikkalehti Solmu. Saatavissa: http://solmu.math.helsinki.fi/2011/,katsottu 18.9.2012.

MacAogáin, E. (2000). Assessment in the CAS age: An Irish perspective.Paper presented at the 6th ACDCA Summer Academy.

NCTM. (1995). Assessment Standards for School Mathematics. Reston, VA:Author.

NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston,VA: Author.

61

Opettaja. (2011). MAOL ehdottaa kaksiosaista koetta. Opettaja 41, 5.

Opetushallitus. (2003). Lukion opetussuunnitelman perusteet 2003. Vamma-lan Kirjapaino Oy, Vammala.

Rittle-Johnson, B & Alibali, M. W. (1999). Conceptual and Procedural Know-ledge of Mathematics: Does One Lead to the Other. Journal of EducationalPsychology, 91(1), 175-189.

Stacey, K. (2003). Using computer algebra systems in secondary school mat-hematics: Issues of curriculum, assessment and teaching. Teoksessa W-C.Yang, S-C. Chu, T. de Alwis & M-G. Lee (toim.). Proceedings of the 8thAsian Technology Conference in Mathematics, ATCM, 40-54.

Star, J. R. (2005). Re-conceptualizing Procedural Knowledge in Mathema-tics. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), 404-411.

Texas Instruments. (2012). Getting Started with the TI-Nspire CX or TI-Nspire CX CAS Handheld. Saatavissa: http://education.ti.com/downloads/guidebooks/ti-nspire/3.2/TI-NspireCX_Handheld_Getting_Started/TI-Nspire_CX-HH_GettingStarted_EN.pdf, katsottu 19.9.2012.

Vainio M. (2011). Symbolinen laskin perinteisissä pitkän matematiikan yliop-pilaskirjoituksissa. Viksu 2011, Suomen akatemian tiedekilpailu lukiolaisille,Suomen akatemian julkaisuja. Saatavissa: http://www.aka.fi/Tiedostot/Viksu/2011ty%C3%B6t/Viksu%20Meri%20Vainio.pdf, katsottu 21.9.2012.

Waits, B. K., & Demana F. (2000). Calculators in mathematics teaching andlearning: Past, present, and future. Teoksessa M. J. Burke & F. R. Curcio(toim.). Learning mathematics for a new century. National Council of Teac-hers of Mathematics, 51-66.

Ylioppilastutkintolautakunta. (2012). www.ylioppilastutkinto.fi, katsottu 24.7.2012.

Ylioppilastutkintolautakunta. (2011). Matematiikan kokeen määräykset. Saa-tavissa: www.ylioppilastutkinto.fi/Uudet_maaraykset/matematiikka.pdf, kat-sottu 24.7.2012.

62

A. Luokittelut

Syksy 2012, 28.9.2012

Tehtävä Kohta Aihealue L1 L1C L1T L1CT L2 L3 Pisteet1 a alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2

b alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2c alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2

2 a alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2b alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2c alg 1010 1010 1011 1111 ERC CY 2

3 a diff 1010 1110 1011 1111 ERC CY 3b int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 3

4 a trig 1010 1110 1011 1111 EKC CY 3b geom 1010 1010 1011 1111 TRC CV 3

5 diff 1010 1110 1011 1111 ERC CH 66 int 1010 1010 1010 1010 TRC CV 67 a alg 1010 1110 1011 1111 ERC CY 3

b alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 38 a tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 2

b tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 2c tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 2

9 a vek 1010 1010 1011 1011 EC CT 3b vek 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

10 diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 611 a alg 1010 1010 1011 1011 EC CT 3

b alg 1010 1010 1011 1011 EC CT 312 num 1010 1010 1011 1011 EC CT 613 alg 1010 1110 1011 1111 ERC CY 614 a tod 1010 1010 1011 1011 TRC CV 3

b tod 1010 1010 1011 1011 TRC CV 2c tod 1010 1010 1011 1011 TRC CV 4

15 a geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2b geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2c geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3d geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2

63

Kevät 2012, 23.3.2012



2 a alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 1b alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 1c alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 1d trig 1010 1110 1011 1111 ERC CY 1e int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 1f diff 1010 1110 1011 1111 ERC CY 1

3 ageom 1010 1110 1011 1111 TKC CH 64 vek 1000 1000 1001 1001 TRC CV 65 diff 1010 1110 1010 1110 ERC CH 66 a tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

b tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 37 a diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3

b int 1010 1010 1011 1111 TRC CH 38 a alg 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2

b diff 1010 1110 1010 1110 TRC CV 2c alg 1000 1100 1011 1111 ERC CY 2

9 geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 610 a trig 1010 1110 1011 1111 ERC CY 3

b trig 1010 1110 1011 1111 ERC CY 311 alg 1010 1110 1011 1111 TKC CV 612 a alg 1001 1101 1001 1101 EKC CH 2

b alg 1001 1101 1001 1101 EKC CH 2c alg 1001 1101 1001 1101 EKC CH 2

13 num 1010 1110 1011 1111 ERC CY 614 a trig 1110 1111 1111 1111 ERC CY 2

b diff 1110 1111 1111 1111 ERC CY 2c alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3d alg 1010 1010 1011 1111 EC CT 2

15 a geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3b geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3c geom 1010 1010 1010 1010 TKC CV 3

64

Syksy 2011, 28.9.2011


b geom 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2c alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2

2 a alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2b alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2c diff 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2

3 a alg 1010 1110 1011 1111 ERC CH 2b alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2c ageom 1010 1010 1011 1111 TRC CV 2

4 a int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2b alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2c int 1010 1110 1011 1111 TRC CH 2

5 vek 1010 1110 1011 1111 ERC CY 66 a alg 1010 1111 1010 1111 ERC CY 3

b alg 1010 1110 1010 1110 EKC CY 37 alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 68 a tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

b tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 39 a diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2

b alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2c alg 1010 1010 1010 1010 ERC CY 2

10 trig 1011 1111 1011 1111 ERC CY 611 a alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 2

b alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2c alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2

12 a diff 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2b diff 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2c num 1010 1011 1011 1011 TRC CV 2

13 alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 614 a int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2

b int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 4c int 1010 1110 1010 1110 ERC CY 3

15 a geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 2b geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 2c geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 2d geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

65

Kevät 2011, 23.3.2011



2 a alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 2b ageom 1011 1110 1011 1111 ERC CY 2c alg 1011 1111 1011 1111 EKC CH 2

3 a alg 1011 1111 1011 1011 ERC CY 2b diff 1010 1110 1011 1110 ERC CY 2c int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2

4 alg 0110 0110 0110 0110 TRC CV 65 diff 1010 1110 1011 1111 ERC CY 66 tod 1010 1010 1010 1010 TRC CV 67 a geom 1010 1010 1011 1111 TRC CV 3

b geom 1010 1110 1011 1111 ERC CY 38 vek 1010 1010 1010 1010 TRC CV 69 a alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

b alg 1010 1110 1011 1111 ERC CY 310 int 1010 1010 1010 1010 TRC CV 611 a diff 1010 1010 1010 1010 EC CT 2

b diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2c alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2

12 alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 613 alg 1010 1110 1010 1110 EKC CH 614 a diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3

b trig 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2c diff 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2d int 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2

15 a ageom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3b alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2c ageom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2d diff 1010 1110 1011 1110 ERC CY 2

66

Syksy 2010, 29.9.2010


b trig 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2c diff 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2

2 a alg 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2b int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2c alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2

3 a alg 1010 1010 1011 1111 TRC CV 3b int 1010 1010 1011 1111 TRC CV 3

4 alg 1010 1110 1011 1111 ERC CY 65 geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 66 tod 1010 1010 1010 1010 TRC CV 67 diff 1010 1110 1011 1111 ERC CH 68 alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 69 geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 610 geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 611 log 1010 1010 1010 1010 TRC CV 612 alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 613 tod 1010 1010 1011 1111 TRC CV 614 a diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2

b diff 1010 1010 1010 1010 EC CT 2c alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 3d diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 2

15 a geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 2b geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 4c geom 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

67

Kevät 2010, 24.3.2010



2 a int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2b diff 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2c alg 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2

3 a geom 1010 1110 1011 1111 ERC CY 3b alg 0110 0110 0110 0110 TRC CV 3

4 geom 1010 1010 1010 1010 TRC CV 65 vek 1010 1010 1011 1111 TRC CV 66 a tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 3

b tod 1010 1010 1010 1010 EC CT 37 diff 1010 1010 1010 1010 TRC CV 68 int 1010 1010 1010 1010 TRC CV 69 trig 1010 1110 1101 1111 ERC CY 610 geom 1010 1010 1011 1111 TRC CV 611 alg 1010 1010 1011 1111 TRC CV 612 alg 1010 1010 1010 1010 TRC CV 613 num 1010 1010 1011 1011 EC CT 614 a alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 2

b alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 3c alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2d alg 1010 1010 1010 1010 EC CT 2

15 a trig 1011 1111 1011 1111 ERC CY 2b int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 2c int 1010 1110 1011 1111 ERC CY 3d alg 1010 1110 1010 1110 ERC CY 2

68

progradu-tutkielma · matematiikan ylioppilaskokeet apuvälinein progradu-tutkielma hannuoinonen...

Documents