probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
1/12
E:12356 G.M. 5-6/2002
n trapezul ABCD , AB CD& i { } AC BD O = . Paralelele duse prin O la AD i BC
intersecteaz pe ABn M , respectiv N . Dac , , AB b CD a a b= = < i perimetrul trapezului
este p , s se calculeze:a) perimetrul triunghiului OMN;b) lungimile segmentelor , , AM MN NB.
Sorin Furtun, Clrai
Soluie.
ntruct AB CD& , avem asemnarea ODC OBA , deci putem scrieOD CD a
OB AB b= = .
Cu ajutorul proporiilor derivate, rezultOD CD a
BD AB CD a b= =
+ +i
OB AB b
BD AB CD a b= =
+ +
Deoarece OM AD& , conform teoremei lui Thales n triunghiul BDA se obine
OD AM a AM abAM
BD AB a b b a b= = =
+ +. n mod analog,
ab BN AM
a b= =
+.
Putem calcula ( )( )2 2
1b b aab a
MN AB AM BN b ba b a b a b
= + = = =
+ + + .
Asemnarea triunghiurilor BOM i ( ) BDA OM AD& ne permite s deducem c
OM OB b b
OM AD AD BD a b a b= = = + + . Analog,
b
ON BC a b= + . Perimetrul
triunghiului OMN este ( )b
OM ON MN AD BC b aa b
+ + = + + +
. ns
p AD BC AB CD AD BC p a b= + + + + = .
Rezult c ( )( )2
OMN
b p abP p a b b a
a b a b
= + =
+ +
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
2/12
E:12173 G.M. 5-6/2001
Pe cercul de diametru [ ]AB se consider punctele M i N astfel nct MN AB& . Dreptele
BM i BN intersecteaz tangenta n A la cerc respectiv n punctele Ci D . S se arate c2
AB AD AC = .
Soluie.
Fie X un punct pe semicercul opus lui qAMB . Unghiul nADB , cu vrful n exteriorul cercului
are msura n( ) q( ) p( )( ) p( ) q( ) n( )1 1 1
2 2 2m ADB m AXB m AN m NB m AM m ABC = = = =
Triunghiurile dreptunghice BACi DAB fiind prin urmare asemenea, putem scrie:
2 AC AB AB AC AD
AB AD= = , q.e.d.
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
3/12
E: 4911 G.M. 11/1974
n triunghiul dreptunghic ABCcu unghiul drept n A , bisectoarea ( )( ) BE E AC
intersecteaz nlimea ( ) ( )( ) AD D BC n punctul F . S se arate c:
a) Dreapta BE este perpendicular pe bisectoarea AI a unghiuluinDAC .b) FD IC ID AE =
Laura Constantinescu, Sibiu
Soluie.
a) Din triunghiul dreptunghic EAB se calculeaz n( ) l( )1
902
m AEB m B= . n triunghiul
dreptunghic FDB avem n( ) l( )1
902
m DFB m B= . Unghiurile nDFB i nAFE sunt
opuse la vrf, deci n( ) n( ) l( ) n( )1
902
m AFE m DFB m B m AEF = = = . Triunghiul
AEF este prin urmare isoscel, deci bisectoarea AI a unghiuluin
EAF este i nlime,deci AI BE .
b) Teorema bisectoarei n triunghiul CAD se scrie ( )1 ID AD
IC AC =
Aceeai teorem n triunghiul BDA d AF AB
DF BD= ; dar ( )2
DF BD AF AE
AE AB= =
Din asemnarea triunghiurilor dreptunghice ADCi BDA se obine
( )3 AD AC AD BD
BD AB AC AB= = .
Din relaiile ( ) ( )1 3
rezult
ID DF ID AE IC DF
IC AE = =
, q.e.d.
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
4/12
16226 G.M.12/1976
n triunghiul ABCcu l( ) 90m A = i AC AB> ducem nlimea AD . Din Cducem paralela la
AB pn n S de pe prelungirea nlimii ( )AD . Din B ducem paralela la AC pnintersecteaz ASn N . S se arate c 2 2 BD DS CD DN = .
D. Mrzan, Bujoreni, Vlcea
Soluie.
ntruct BN AC & , avem BDN CDA (teorema fundamental a asemnrii). Rezult
proporia DN BD
AD CD=
n mod analog, DS CD
CS AB CDS BDA AD BD
=& .
mprind relaiile obinute membru cu membru, rezult2
2 2
2
DN BD BD DS CD DN
DS CD= =
q.e.d.
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
5/12
22608 G.M. 2-3/1992
Se consider un paralelogram ABCD n care l( ) 90m A < i d o semidreapt variabil ce trece
prin Ci este interioar unghiuluinACB . Fie { } ( ) M d BD= i { } (P d DA= . S se arate
c 2 BD AP
BM BC = .
Doru P. Firu, profesor, Orova
Soluie.
ntruct BC PD& , avem MBC MDP (teorema fundamental a asemnrii) ; din
asemnare, rezult proporia MD PD
MB BC = .
Se calculeaz 1 1 1 1 2 BD MD PD AP AD AP AD AP
BM BM BC BC BC BC BC
+
= + = + = + = + + = +
Rezult imediat c 2 BD AP
BM BC = , q.e.d.
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
6/12
16096 G.M. 10/1976
Se d triunghiul ABCcu l( ) 60m A = i l( ) 60m B < . Fie D simetricul lui C fa de latura
,AB iar { } E AC BD= . S se arate c dac ( ) BF F AC este bisectoarea unghiuluinABD , atunci i DFeste bisectoarea unghiuluinADE .
Nsfetaganai, Constana
Soluie.
Deoarece D este simetricul lui C fa de dreapta AB , triunghiurile CAB i DAB sunt
simetrice n raport cu AB , deci congruente. Avem deci , BD BC AD AC = = , n( )m BAD = l( ) 60m A= = i n( ) l( )m ABD m B= .
Dac BF este bisectoarea unghiuluinABD , teorema bisectoarei n triunghiul BAE se scrie
( )1 EF BE
AF AB=
Unghiul nDAE are msura n( ) n( ) l( )( )180 180 120 60m DAE m BAD m A= + = = = n( )m BAD= , deci [AD este bisectoare n triunghiul BAE . Teorema bisectoarei n acest
triunghi se scrie :
( )2 DE AE DE AE DE AB
AE BD AB BC AB BC
= = =
[BA
fiind bisectoarea unghiului
nEBC, scriem teorema bisectoarei n triunghiul
EBC:
AE BE
AC BC = ; nlocuind AE din ( )2 , obinem :
( )3 BC AB BC DE AB
BE AE DE AC BC AC AC
= = =
Revenind la relaia ( )1 , dup ce nlocuim BE din ( )3 , deducem c EF DE DE
AF AC AD= = .
Reciproca teoremei bisectoarei n triunghiul EDA ne asigur c [DF este bisectoarea
unghiuluinADE , q.e.d.
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
7/12
14009 G.M.B. 4/1974
n trapezul ABCD cu , AD BC AD BC
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
8/12
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
9/12
20539 G.M. 9/1985
Paralela dus printr-un punct Hal laturii BC a triunghiului ABC la bisectoarea unghiului lA intersecteaz ACi ABn P , respectiv Q , iar cercul circumscris triunghiului n M i
N (M este ntre P i Q ). S se arate c:
a)QB HB
PC HC = ; b)
AM BM PN
AN CM QN
=
Laura Constantinescu, profesoar, Sibiu
Soluie.
a) Fie [AD bisectoarea unghiului l ( ), A D BC .
Avem ( )1 AB BD QB AB AD HQ BAD BQH QB HB HB BD
= =&
Analog, ( )2PC HC PC AC
HP AD CPH CAD AC CD HC CD
= =&
Conform teoremei bisectoarei, putem ns scrie ( )3 BD AB AB AC
CD AC BD CD= = . Din
relaiile ( ) ( )1 , 2 i ( )3 rezult cQB PC QB HB
HB HC PC HC = = .
b) Patrulaterul AMCN este inscriptibil, deci n n ANP MCP . Mai avem i n n APN MPC
(opuse la vrf), deci ( )4 AN AP APN MPC CM PM = .
Analog, patrulaterul AMNB este inscriptibil, deci n nQAM QNB (unghiul nQAM fiind
exterior patrulaterului); n plus, n n AQM NQB (confundate), deci QAM QNB
( )5 AM AQ
BN NQ = .
Se mparte relaia ( )5 la relaia ( )4 i se obine
( )6 AM CM AQ PM AM CM AQ PM AM BN PM AQ
BN AN QN AP AN BN AP QN AN CM QN AP
= = =
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
10/12
Se observ c n nQN AD AQP BAD & (corespondente formate cu secanta AB ); analog,
n n APQ CAD (corespondente formate cu secanta AC). ns n n BAD CAD , [AD fiind
bisectoarea unghiuluilA , deci n n APQ AQP APQ isoscel AP AQ = . Relaia ( )6
devine AM BN PM
AN CM QN
=
, q.e.d.
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
11/12
22494 G.M.10/1991
Fie cercurile ( )1C i ( )2C , secante n punctele A i B . Tangentele n A la cele dou cercuri
intersecteaz pe ( )1C n M i pe ( )2C n N . Considerm punctele ( ) ( ),F AN E AM ,
{ } ( ) (1 D C BE = i { } ( ) (2C C BF = . S se arate c punctele , , D A C sunt coliniare dac
i numai dac 1 AE AF
AM AN + = .
Florin Crjan, profesor, Botoani
Soluie.
AN este tangent primului cerc, deci n( ) n( ) p( ) n( )1
2m BAN m BCN m AB m BDA= = = =
n
( )n n n nm BMA BAN BCN BCA BNA=
Din aceleai motive ( AM tangent la al doilea cerc),n n n n BDM BAM BCA BNA .
i) S presupunem c punctele , , D A C sunt coliniare. Rezult n( ) n( )m XAD m CAN = , ca
opuse la vrf. Dar n( ) p( ) n( ) n n1
2m XAD m AD m AMD AMD CAN = = . ns i
n n MDA NCA , ca sume de unghiuri congruente. Triunghiurile AMD i NAC sunt
asemenea, deci AM AD
AN CN = in n MAD ANC .
Cum
n n
n n
EAD FNC
EDA FCN
-
, avem
AD AE AE AM EDA FCN
CN FN FN AN = =
1 1 AE FN AF AE AF
AM AN AN AM AN = = + =
ii) Reciproc, dac are loc relaia 1 AE AF
AM AN + = , deducem
AE FN AM AE
AM AN AN FN = =
Darn n
n n
BMA BAN AM AB AE AB BMA BAN
AN BN FN BN BAM BNA
- = =
. Deoarece
n n EAB FNB , rezult n n n EAB FNB EBA FBN NAC .
-
8/3/2019 Probleme rezolvate cu ajutorul asemanarii
12/12
Dar n( ) p( ) n( ) n n1
2m EBA m AD m XAD XAD NAC = = . Conform reciprocei teoremei
unghiurilor opuse la vrf, rezult c punctele , , D A C sunt coliniare.