@ANALIZAMATEMATICANot iuniteoreticesiproblemerezolvateMirceaOlteanuCuprins1 Seriidenumere 71.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Serii cu termeni oarecari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Spat iimetrice. Continuitate 292.1 Not ini teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Spat ii metrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Teorema contract iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Funct ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Spat ii normate si operatori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Siruridefunct ii. Funct iielementare 673.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Siruri si serii de funct ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3 Formula lui Taylor. Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4 Serii de puteri, funct ii elementare. . . . . . . . . . . . . . . . 954 Funct iidiferent iabile 1074.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2 Derivate part iale si diferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3 Diferent iala funct iei compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4 Extreme locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.5 Funct ii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.6 Extreme cu legaturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525 Integraleimproprii sicuparametri 1615.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.2 Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.3 Integrale cu parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16936 Masura siintegrala 1816.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.2 Funct ii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.3 Serii Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.4 Operatori pe spat ii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137 Integraleduble sitriple 2297.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.2 Integrale duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.3 Integrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378 Integralecurbilinii sidesuprafat a 2438.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.2 Integrale curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2498.3 Integrale de suprafat a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589 Formuleintegrale 2679.1 Not iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.2 Formula Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.3 Formula Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.4 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110 Exempledetestepentruexamen 28910.1Analiza matematica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28910.2Analiza matematica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294IntroducereAceasta lucrare este rezultatul cursurilor si seminariilor de analiza matem-atica t inute de autor student ilor anilor ntai ai Facultat ilor de Automaticasi ElectronicadinUniversitateaPolitehnicaBucuresti. Carteaestestruc-turata n zece capitole, cont inand exercit ii rezolvate care acopera programacursului de analiza din primul si al doilea semestru. In ultimul capitol suntexemple de subiecte propuse la examenele de analiza matematica. Fiecarecapitol ncepe cu o sect iune teoretica ce cont ine principalele not iuni si rezul-tate necesare rezolvarii exercit iilor. Desigur, pentru nt elegerea conceptelorfundamentale ale analizei este necesara o pregatire teoretica suplimentara.Pentru aceasta, sunt recomandate cursurile care se adreseaza student ilor dinnvatamantul superior tehnic; o lista cu acestea se gaseste n bibliograa delasfarsit, ndeosebilucrarile[4], [6], [9]. Deasemenea, serecomandacon-sultarea si a altor culegeri de probleme, de exemplu [11], [12], [13], [14].56Capitolul1Seriidenumere1.1 Not iuniteoreticeRelat iiDacaMeste o mult ime arbitrara nevida, orice submult ime MMsenumeste relat ie peM. Se noteazaxy daca (x, y) .Relat ia se numeste:reexiva dacaxx, x M;simetrica dacaxy yx;antisimetrica dacaxy siyx x = y;tranzitiva dacaxy siyz xz.Orelat iesenumesterelat iedeordinedacaestereexiva, antisimetricasitranzitiva.Relat ia de ordine (pe mult imeaM) se numeste totala (sau se mai spuneca mult imea Meste total ordonata) daca pentru orice x, y Mrezulta xysauyx.Inceleceurmeaza(M, ) esteomult imetotal ordonata, iar Xesteosubmult imenevidaalui M. Unelementa Msenumestemajorantalmult imii Xdacax a, x X. Dacamult imeamajorant ilorlui Xestenevida, atunciXse numeste majorata.Unelement b Msenumesteminorantal lui Xdacab x, x X.Mult imea X se numeste minorata daca mult imea minorant ilor sai este nevida.Mult imeaXse numeste marginita daca este si majorata si minorata.DacaXeste o submult ime majorata a luiM, atunci un element Msenumeste marginea superioara a luiXdaca:i. x , x X; ( este majorant).ii. dacax , x X, atunci ; ( este cel mai mic majorant).78 CAPITOLUL1. SERIIDENUMEREAnalog se deneste marginea inferioara a unei mult imi minorate.Notat iileuzualepentrumargineasuperioarasi margineainferioaraaleluiX(daca exista) sunt supXsi, respectiv, inf X.Mult imidenumereMult imea N= 0, 1, 2, ... a numerelor naturale se deneste axiomatic dupacum urmeaza (axiomele lui Peano):i. existas : N Nfunct ie injectiva (funct ia succesor);ii. exista 0 Nastfel ncat funct ias : N N ` 0 este bijectiva;iii. pentru orice submult imeA Ncu proprietat ile0 Nsi s(n) A, n N,rezultaA = N(principiul induct iei matematice).Mult imea numerelorntregi este Z = ..., 2, 1, 0, 1, 2, ..., iar mult imeanumerelor rat ionale este:Q = mn [ m, n Z, n = 0, cu convent iamn=pkdaca mk = np.Prin denit ie, mult imea numerelor reale R satisface axiomele urmatoare:i. structura algebrica: exista doua operat ii (adunarea si nmult irea, notate+ si) astfel ncat (R, +, ) este corp comutativ;ii. structuradeordine: existaorelat iedeordinetotalapeR(notata ),compatibila cu operat iile algebrice:x y x +z y +z, x, y, z R0 x y 0 xy, x, y R.iii. axioma marginii superioare (Cantor): orice submult ime nevida si majo-rata a luiR are o margine superioara nR.Modulul unui numar realx R este [x[ =

x daca x 0x daca x < 0Mult imea C a numerelor complexe este mult imea perechilor ordonate denumere reale,C = R R. Cu operat iile(a, b) + (c, d) = (a +b, c +d) si (a, b)(c, d) = (ac bd, ad +bc),(C, +, ) este corp comutativ. Se noteazai = (0, 1) si identicand perechiledeforma(a, 0) cunumarul real a, oricenumar complexzCsescriez = a +ib, a, b R; prin calcul direct se obt inei2= 1.Modulul numarului complexz =a + ib este, prin denit ie, [z[ = a2+b2;proprietat ile modulului sunt:i. [z[ 0, z C1.1. NOT IUNITEORETICE 9ii. [z[ = 0 z = 0iii. [z +w[ [z[ +[w[, z, w Civ. [zw[ = [z[[w[, z, w C.Fie z C,z = 0; argumentul (redus) al lui z este, prin denit ie, unghiul [0, 2) facut de semidrepteleOx si Oz(n sens trigonometric pozitiv).Forma trigonometrica a luiz estez = [z[(cos + sin ).SiruridenumereUn sir de numere reale (complexe) este orice aplicat ie x : N R(respectiv C);notat ia uzuala estex(n) = xn, n N.Daca :N Neste o funct ie strict crescatoare, atunci x(n)se numestesubsir al siruluixn.Un sir de numere reale (sau complexe) se numeste convergent daca existaun numar real (respectiv complex)a cu proprietatea:> 0, N() Nastfel ncat n N(), [xna[ < .In acest caz, numarula se numeste limita sirului si se noteazaa =limnxn.Daca exista, limita este unica.Un sir este convergent daca si numai daca orice subsir al sau este convergent.Sirul xn (de numere reale sau complexe) se numeste marginit daca existaM> 0 astfel ncat [xn[ M, n N.Sirulxnde numere reale se numeste monoton daca n N, xn xn+1(crescator), sau n N, xn xn+1 (descrescator).Orice sir convergent este marginit. Pentru siruri de numere reale are locsi urmatorul rezultat (teorema lui Weierstrass):Orice sir monoton si marginit este convergent; daca sirul este crescator,atunci limitaestemargineasasuperioara(supxn), iardacasirul estede-screscator, atunci limita este marginea sa inferioara (inf xn).Un sirxn se numeste sir Cauchy (sau fundamental) daca: > 0, N() Nastfel ncat n, m N(), [xnxm[ < .Mult imeanumerelor reale are urmatoareaproprietate de completitudine(criteriul general al lui Cauchy de convergent a):Un sirdenumererealeesteconvergent(nR)daca sinumaidacaeste sirCauchy.Mult imea numerelor rat ionale nu are aceasta proprietate: de exemplu, sirul(crescator si marginit de numere rat ionale)xn =

1 +1n

neste sir Cauchy,dar nu are limita rat ionala. In schimb, exista limnxn R.10 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERESirurile de numere complexe convergente (Cauchy) se pot caracteriza cuajutorul sirurilor de numere reale convergente (respectiv Cauchy):i. zn=xn + iyneste sir(denumerecomplexe)convergentdaca sinumaidaca sirurile (de numere reale) xn si yn sunt siruri convergente. In acest caz,limnzn =limnxn +i limnyn.ii. zn=xn + iynestesirCauchy nCdacasi numai dacaxnsi ynsuntsiruri Cauchy nR.Mult imea numerelor complexe are (ca si mult imea numerelor reale) pro-prietateadecompletitudine: unsirdenumerecomplexeesteconvergentdaca si numai daca este sir Cauchy.Se spune ca un sir de numere realexn are limita daca:M> 0, NM N astfel ncat n NM, xn> M.Sirul de numere realexn are limita daca:M< 0, NM Nastfel ncat n NM, xn< M.Un sir de numere complexezn are limita daca: M> 0, NM Nastfel ncat n NM, [zn[ > M.SeriidenumereFiexnun sirdenumerecomplexe siesn=nk=1xksirulsumelorpart ialeasociat. Serianxn se numeste convergenta daca sirul sn este sir convergent;ncazcontrarseriasenumestedivergenta. Dacaseriaesteconvergenta,atunci limita siruluisn este suma seriei, notata nxn.Seria nxnsenumesteabsolutconvergentadacaseria n[xn[ esteserieconvergenta. Oriceserieabsolutconvergentaesteconvergenta, reciprocaind falsa.Dacaxn=un + ivn, un R, vn R, atunciseria nxnesteconvergentadaca si numai daca seriile nun si nvn sunt ambele convergente.Dam n continuare doua exemple remarcabile de serii.SeriageometricaFiez C(numitrat ie)si eseriageometrica n0zn. Atunci seriaesteconvergenta daca si numai daca [z[ < 1. In acest caz suma seriei este:n0zn=11 z.1.1. NOT IUNITEORETICE 11Evident,dacaz= 1 seria este divergenta;pentru oricez C, z = 1 sirulsumelor part iale este:sn =nk=0zk=1 zn+11 z, z = 1.De aici rezulta casn este convergent daca si numai daca [z[ < 1.SerialuiRiemann(seriaarmonicageneralizata)Fie R si e seria n11n.Seriadata esteconvergentadaca sinumaidaca> 1; nparticular,seriaarmonica n1neste divergenta.Fie 1. Vom demonstra ca sirul sumelor part iale sn este nemarginit, decidivergent; pentru oricen N, avem inegalitat ile:s2n = 1 +12 +13 +... +12n 1 + 12 +... +12n 1 + 12 +

13 + 14

+15 + 16 + 17 + 18

+...... +

12n1+ 1 +12n1+ 2 +... +12n

1 + 12 + 2 14 + 4 18 +... + 2n1

12n= 1 +n2 .Fieacum>1; estesucient saaratamcasirul sumelor part ialeestemarginit(indcrescator, rezultaconvergent). Pentruoricen Naveminegalitat ile:s2n1 = 1 +

12 +13

+

14 +15 +16 +17

+...++

12(n1) +12(n1)+ 1 +... +12n1

1 + 2 12 + 4 14 + 8 18 +... + 2n1

12(n1)== 1 +121 +122(1) +123(1) +... +12(n1)(1) 21211.De aici rezulta ca sirulsn este marginit.12 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERECriteriideconvergent apentruseriidenumere1. CriteriulgeneralalluiCauchy.Fiezn Cun sir de numere complexe; atunci seria nzneste convergentadaca si numai daca > 0, N() Ncu proprietatea[zn+1 +zn+2 +... +zn+p[ < , n N(), p N.2. Criteriulcomparat ieiFieun vn 0.a.Daca serianun este convergenta, atunci si serianvn este convergenta.b. Daca seria nvn este divergenta, atunci si seria nun este divergenta.3. Criteriuldecomparat ielalimitaFieun> 0 sivn> 0.a. Daca limnunvnexista si este un numar real nenul, atunci cele doua seriiau aceeasi natura.b.Inparticular,dacavn=1n,atunciobt inemcriteriuldecomparat ielalimita cu seria lui Riemann:Fie =limnnun.i.Daca > 1 si R, (poate si 0), atunci serianun este convergenta.ii. Daca 1 si > 0,( poate si ) atunci seria nun este divergenta.4. Criteriulraportului(alluiD

Alembert)Fieun> 0; presupunem ca exista limnun+1un= a. Daca < 1, atunci seria nun este convergenta.b. Daca > 1, atunci seria nun este divergenta.O varianta (mai generala) a acestui criteriu este:Daca existac (0, 1) sin0 Nastfel ncatun+1un< c, n n0,atunci seria nun este convergenta.5. Criteriulradacinii(alluiCauchy)Fieun> 0; presupunem ca exista limnnun = .a. Daca < 1, atunci seria nun este convergenta.1.1. NOT IUNITEORETICE 13b. Daca > 1, atunci seria nun este divergenta.O varianta (mai generala) a acestui criteriu este:Daca existac (0, 1) sin0 Nastfel ncatnun< c, n n0,atunci seria nun este convergenta.6. CriteriulRaabe-DuhamelFieun> 0; presupunem ca existalimnn

unun+11

= .a. Daca > 1, atunci seria nun este convergenta.b. Daca < 1, atunci seria nun este divergenta.7. CriteriullogaritmicFieun> 0; presupunem ca exista limnln1unln n= .a. Daca > 1, atunci seria nun este convergenta.b. Daca < 1, atunci seria nun este divergenta.8. CriteriulcondensariiFieun un+1 0, n N. Atunci seriilenunsi n2nu2nau aceeasi natura.9. CriteriulintegralFief: (0, ) [0, ) o funct ie descrescatoare si e sirulan =

n1f(t)dt.Atunci seria nf(n) este convergenta daca si numai daca sirul an este con-vergent.10. CriteriulluiLeibnizFie un 0 si e seria alternata n(1)nun. Daca sirul un este descrescatorsi are limita zero, atunci seria este convergenta.11. CriteriulAbel-DirichletFieanun sirdescrescatorcuan 0 sieunun sirdenumerecomplexe14 CAPITOLUL1. SERIIDENUMEREastfel ncat sirul sumelor part ialenk=1uk este marginit. Atunci seriananuneste convergenta.Convergent acondit ionataO serie convergenta nun se numeste necondit ionat convergenta daca pen-truoricepermutare(funct iebijectiva): N N, seria nu(n)estedeasemenea convergenta; altfel, seria se numeste condit ionat convergenta.Dam n continuare doua rezultate remarcabile cu privire la convergent acondit ionata:TeoremaluiDirichletOrice serie absolut convergenta este necondit ionat convergenta.TeoremaluiRiemannFiind date o serie convergenta, dar nu absolut convergenta si S R,atunci exista o permutare a termenilor seriei init iale astfel ncat suma noiiserii sa eS.AproximareasumelorseriilorconvergenteEvident, suma unei serii convergente se poate aproxima cu termenii siruluisumelor part iale. Dam mai jos doua rezultate n acest sens.AproximareasumelorseriilorcutermenipozitiviFie un0si e k0astfel ncatun+1un 12, atunciseriacon-verge;dacaa< 12,seria diverge;dacaa = 12,atunci xn=22n+1si deciseria diverge.14. xn =n!(a + 1)(a + 2)...(a +n),a > 1.Solut ieCriteriul raportului nu decide; aplicand criteriul Raabe-Duhamel, se obtine:limnn

xnxn+11

=limnn

a +n + 1n + 11

= a,deci pentrua< 1 seria diverge,iar pentrua> 1 converge;dacaa = 1,seobt ine seria armonica (divergenta).15. xn =135....(2n 1)246...2n.Solut ieSeria este divegenta (criteriul Raabe-Duhamel).16. xn =135....(2n 1)246...2n

12n + 1Solut ieSe aplica criteriul lui Raabe-Duhamel: seria este convergenta.17. xn =

1 3 ln n2n

n18 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERESolut ieCriteriul radacinii nu decide; aplicand criteriul logaritmic, se obt ine:limnln(1 3 ln n2n)nlnn=32,deci seria converge.18. xn =

n + 13n + 1

nSolut ieSeria converge; se aplica criteriul radacinii.19. xn =

an + 1bn + 1

n, a > 0,b > 0Solut ieAplicand criteriul radacinii se obt ine:limnnxn =ab.Dacaa < b, atunci seria converge, iar dacaa > b seria diverge. Dacaa = b,atunci seria diverge (criteriul necesar).20. xn =

1nandaca nparnandaca nimpar,a > 0Solut ieAplicand criteriul radacinii, se obt ine limnn

[xn[ = a, deci daca a < 1, seriaeste convergenta, iar dacaa> 1, seria este divergenta;pentrua = 1, seriaeste divergenta (criteriul necesar). Sa mai observam ca pentru aceasta serie,criteriul raportului nu decide.21. xn =

1 cosnnln(n + 1)Solut iexn =

2 sin2 2nnln(n + 1)=2 sin2nnln(n + 1) 0Solut ieSe aplica criteriul raportului:xn+1xn=a(n + 1)2(2n + 1)(2n + 2) a4.20 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERERezulta ca pentrua (0, 4) seria converge, iar pentrua > 4, seria diverge.Pentrua = 4, se aplica criteriul Raabe-Duhamel:limn

xnxn+11

=limnn

(2n + 1)(2n + 2)4(n + 1)21

= 12,deci seria diverge.28. xn =a(a + 1)...(a +n 1)b(b + 1)...(b +n 1) (c 2)n, a > 0, b > 0, c > 2Solut ieSe aplica criteriul raportului:limnxn+1xn=limna +nb +n(c 2) = c 2,deci pentru2 0, q> 0.Solut ieDacap>1, atunci seriaconvergepentruoriceq>0deoarece(seaplicacriteriul comparat iei):xn 1np.Dacap = 1,se aplica criteriul integral: seria converge daca si numai dacaq> 1.Dacap 0 (se poate aplica criteriul raportului).30. xn =1n sin n, RSolut ieAplicand criteriul de comparat ie la limita, rezulta ca seria are aceeasi naturacu seria n1n+1.1.3. SERIICUTERMENIOARECARI 211.3 SeriicutermenioarecariSasestudiezeconvergent a siabsolutconvergent aseriilordenitede sirulxn(exercit iile31-50):31. xn =(1)nnSolut ieSeria nu este absolut convergenta (seria modulelor este seria armonica), dareste convergenta (cu criteriul lui Leibniz):1neste descrescator la 0.32. xn =

1ndaca nimpar12ndaca nparSolut ieSa observam mai ntai ca nu se poate aplica criteriul lui Leibniz; sirulan =

1ndaca nimpar12ndaca npartindelazerodarnuestedescrescator. Vomarataacumcaseriaestedi-vergenta, deci condit ia de monotonie din ipoteza criteriului lui Leibniz estenecesara. Sirul sumelor part iale are un subsir divergent:s2n =

1 + 13 +... +12n 1

+

122 +124 +... +122n

,deci seria este divergenta (conform criteriului necesar).33. xn =

1n2daca nimpar1n3daca nparSolut ieSeria este absolut convergenta.Pedealtaparte, sirul an=

1n2daca nimpar1n3daca nparnuestedescrescator,ceea ce arata ca criteriul lui Leibniz nu este necesar pentru convergent a uneiserii alternate.34. xn = (1)nSolut ieSeria este divergenta: se aplica criteriul necesar.22 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERE35. xn = sin

n2+ 1

Solut ieSeria este alternata:xn = (1)nsin

n2+ 1 n

= (1)nsin1n +n2+ 1.Seria este convergenta (cu criteriul lui Leibniz).36. xn =sin nxn, x RSolut ieDacax =k, k Z, atunci xn= 0, n N;presupunem n continuare cax = k, k Z. Aratam mai ntai ca seria nu este absolut convergenta:[xn[ = [ sin(nx)[nsin2(nx)n=1 cos(2nx)2n, n N

.Deci, presupunandprinabsurdcaseriadataar absolut convergenta,ar rezulta(cucriteriul de comparat ie) casi seria n1 cos(2nx)2nar convergenta. Seria ncos(2nx)2nesteconvergenta(aplicamcriteriul Abel-Dirichlet): ean=12nsi un= cos(2nx). Atunci aneste descrescator la 0,iarun are sirul sumelor part iale marginit:

nk=1cos(2nx)

=

sin(nx) cos(n + 1)xsin x

1[ sin x[.Rezultacasi seria n12nartrebui saeconvergenta, indsumaadouaserii convergente: contradict ie.Aratamacumcaseriaesteconvergenta,totcucriteriulAbel-Dirichlet; ean=1nsi un= sin(nx). Atunci anestedescrescatorla0,iarunare sirulsumelor part iale marginit:

nk=1sin(kx)

=

sinnx2 sin(n+1)x2sinx2

1[ sinx2[.37. xn =sin nxn, x R, RSolut ieDaca x = k, k Z, atunci xn = 0; presupunem x = k, k Z. Daca 0,1.3. SERIICUTERMENIOARECARI 23atunci xnnuconvergela0, deciseriadiverge. Presupunem>0. Daca>1, atunci seriaesteabsolutconvergenta(cucriteriul decomparat ie):[xn[ 1n.Daca (0, 1], atunci seria nu este absolut convergenta (am demonstrat nexercit iul anterior ca pentru = 1 seria nu este absolut convergenta),dareste convergenta (cu criteriul Abel-Dirichlet).38. xn = (1)nnnsin 1nSolut ieSeria nu este absolut convergenta (se compara la limita cu seria armonica).Seria este alternata; vom demonstra ca sirul an =nnsin 1n este descrescatorla 0, deci seria converge.Evidentan 0; pentru a arata caaneste descrescator (ncepand de la unrang sucient de mare), e funct iaf(x) = x1x sin 1x. Calculamf

(x) = x1x2

(1 ln x) sin 1x cos 1x

.Pentru a studia semnul derivatei (pentrux mare), calculam:limx(1 lnx) sin 1x cos 1x= 1 +limxsin1x1x

1 lnxx= 1,decif

(x) < 0 pentrux sucient de mare, deci sirulan este descrescator.39. xn =n(2 +i)n3nSolut ieSeria este absolut convergenta:[xn[ = [n(2 +i)n[3n= n53

n,ultima serie ind convergenta (criteriul raportului sau al radacinii).40. xn =1n +iSolut ieSeria este divergenta;xn =1n +i=n in2+ 1=nn2+ 1 i1n2+ 1.24 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERESeriile nnn2+ 1si n1n2+ 1nu sunt ambele convergente (prima diverge,a doua converge), deci seria din enunt diverge.41. xn =1(n +i)nSolut ieSeria este absolut convergenta: [xn[ =1

n(n2+ 1); se compara la limita cuseria armonica.42. xn =znn, z CSolut ieDaca [z[ < 1, atunci seria este absolut convergenta (cu criteriul raportului).Daca [z[ >1, atunci seriaestedivergenta, deoarecexnnuconvergela0.Studiem acum cazul [z[ = 1; ez = eit, t R. Atuncixn =eintn=cos(nt)n+isin(nt)n.Seria nu este absolut convergenta deoarece [xn[ =1n. Dacat = 2k, k Z,atunci seria este divergenta: xn =1n. Daca t = 2k, atunci seriilencos(nt)nsi nsin(nt)nsunt ambeleconvergente(cucriteriul Abel-Dirichlet, ca nexercit iul 36).43. xn =znn!, z CSolut ieSeria este absolut convergenta.44. xn =znn, z C, RSolut ieDaca [z[ < 1, seria este absolut convergenta pentru orice R; daca [z[ > 1,atunci seria este divergenta pentru orice R. Daca [z[ = 1, si > 1, seriaconverge absolut, iar daca 0, seria diverge. In cazul [z[ = 1 si (0, 1]se procedeaza ca n exercit iile 36,37 si 42.45. xn = sin1n2 +i(1)nln

1 +1n

1.3. SERIICUTERMENIOARECARI 25Solut ieSeria este convergenta deoarece seriile:nsin1n2si n(1)nln

1 +1n

suntconvergente(seaplicacriteriul decomparat ielalimitacu1n2si, re-spectiv, criteriul lui Leibniz); serianuesteabsolutconvergenta(seaplicacriteriul de comparat ie la limita cu1npentru seria modulelor).46. xn =a + (1)nnn,a RSolut ieDacaa=0seriaesteconvergentadarnuesteabsolutconvergenta. Dacaa = 0, atunci seria este divergenta.47. xn =a3n +b(1)nnn3+ 1Solut ieDacab = 0 seria este absolut convergenta pentru oricea R. Dacab = 0,atunci seria este convergenta dar nu este absolut convergenta a R.48. x2n1 =1n + 1 1si x2n = 1n + 1 + 1Solut ieSeria este divergenta: n1(x2n1 +x2n) = n12n.49. x2n1 =13n1si x2n = 15nSolut ieSeria este absolut convergenta:n1[xn[ = n113n1 +n115n.50. x2n1 =15n 3si x2n = 15n 3Solut ieSeria este convergenta dar nu absolut convergenta:n1(x2n+1 +x2n) = n1

15n 3 15n 1

=n2(5n 3)(5n 1).26 CAPITOLUL1. SERIIDENUMERE51. In seria convergenta n1(1)n+1n= 112 + 1314 +... sa se permuteordinea termenilor astfel ncat sa se obt ina o serie convergenta dar cu o altasuma.Solut ieSeria n1(1)n+1neste convergenta si suma sa este un numar nenulS> 0.Ment ionam ca suma acestei serii este ln 2, dar acest rezultat nu se va folosin rat ionamentul urmator. Fie deci:1 12 + 13 14 +... = SInmult ind egalitatea de mai sus cu12, rezulta:12 14 + 16 18 +... =12SInsumam acum cele doua egalitat i grupand termenii astfel:1 +

12 + 12

+ 13 +

14 14

+ 15 +

16 + 16

+ 17++

18 18

+ 19 +

110 110

+111 +... =32S.Seria de mai sus este (dupa efectuarea calculelor din paranteze):1 + 13 12 + 15 + 17 14 + 19 +111 .... =32S,care este o permutare a seriei init iale.Saseaproximezecuoeroaremaimicadecatsumeleseriilordenitede sirulxn(exercit iile52-56)52. xn =(1)nn!,= 103Solut ieIn cazul seriilor alternate, eroarea este mai mica decat primul termen negli-jat; deci ceamai micasolut ieainecuat iei [xn[ 100 n = 4, deciS 3k=21n3n= 0, 06725.54. xn =1n!,= 103Solut ieDacaSeste suma seriei sisn = k01k!, atunciS sn =1(n + 1)! +1(n + 2)! +... 1n!1n< 103 n = 6,deciS 2, 7166.55. xn =1n!2n,= 104Solut ieFie S suma seriei si sn suma primilor termeni. Aplicam rezultatul cu privirela aproximarea unei serii cu termeni pozitivi (a se vedea sect iunea teoretica);pentru aceasta, evaluam:xn+1xn=12n + 2 0, n

Nastfel ncat d(xn, xm) < , n, m n

.Un spat iu metric se numeste complet daca orice sir Cauchy este convergent.Fied1 sid2 doua distant e pe o aceeasi mult imeX. Metriceled1 sid2 senumesc echivalente daca exista > 0 si> 0 astfel ncatd1(x, y) d2(x, y) d1(x, y), x, y X.Inacestcaz, (dacad1si d2suntechivalente), sedemonstreazacaunsirxn Xeste convergent (respectiv Cauchy) n spat iul metric (X, d1) daca si2930 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEnumai daca este convergent (respectiv Cauchy) n spat iul metric (X, d2).Mult imiremarcabile nspat iimetriceFiea Xsi r> 0;bila deschisa de centrua si razareste,prin denit ie,mult imeaB(a, r) = x X [ d(a, x) < r.Sfera de centrua si razar este denita prinS(a, r) = x X [ d(a, x) = r,iar bila nchisa de centrua si razar esteB(a, r) = B(a, r) S(a, r) = x X [ d(x, a) r.O submult imeD Xse numeste deschisa daca a D, r> 0 astfelncatB(a, r) D.O submult imeF Xse numeste nchisa dacaX ` D (complementara)este mult ime deschisa.Se poate demonstra urmatoarea caracterizare cu siruri a mult imilornchise:Feste nchisa daca si numai daca pentru orice sir convergent xn Frezultalimnxn F.O submult imeM Xse numeste marginita daca existaa Xsir > 0astfel ncatM B(a, r).Omult imeK Xsenumestecompactadacapentruoricefamiliedemult imi deschise (Di)iJcu proprietatea iJDi K, I J,Inita astfelncat iIDi K.Spat iul metric Xsenumesteconexdacanuexistadouasubmult imisimultan deschise (sau nchise)D1 siD2 cu proprietat ile:D1 = ,D2 = ,X = D1 D2 si D1 D2 = .O submult imeA Xse numeste conexa daca spat iul metric (indus) (A, d)esteconex. Rezultaurmatoareacaracterizareasubmult imilorconexe: osubmult ime A X este conexa daca si numai daca nu exista doua submult imideschiseD1si D2astfel ncatD1 D2= , D1 A = , D2 A = siA D1 D2.FieA Xsiea X. Punctul asenumestepunctdeacumularealmult imiiA daca pentru oricer > 0, avemB(a, r) A` a = . Caracteri-zarea cu siruri a punctelor de acumulare este:2.1. NOT INITEORETICE 31Punctul a Xestepunctdeacumulareal mult imii Adacasi numaidaca exista un sirxn A astfel ncatxn = a n Nsi limnxn = a.Unpunctalmult imii Asenumestepunctizolatallui Adacanuestepunctdeacumulareal lui A. Mult imeaAsenumesteperfectadacaestenchisa si nu cont ine puncte izolate.Mult imile nite nu au puncte de acumulare. In plus, se poate demonstra caorice mult ime perfecta este nenumarabila.Funct iicontinueFie (X, d) si (Y, d

) doua spat ii metrice.O aplicat ief: X Yse numeste continua n punctula Xdaca > 0,

> 0 astfel ncat x Xcu proprietatea d(x, a) <

rezultad

(f(x), f(a)) < .O formulare echivalenta (cu siruri) este:feste continua na daca si numai daca pentru orice sirxn Xcu propri-etatea limnxn = a, rezulta limnf(xn) = f(a).Funct iaf senumestecontinua(peX)dacaestecontinua noricepuncta X.Caracterizareafunct iilorcontinueUrmatoarele armat ii sunt echivalente:i. Aplicat iaf: X Yeste continua.ii. Aplicat iaf ntoarce mult imi deschise n mult imi deschise, i.e.:pentru orice submult ime deschisa D Yrezulta ca f1(D) este submult imedeschisa nX.iii. Aplicat ia f ntoarce mult imi nchise n mult imi nchise, i.e. pentru oricesubmult ime nchisa D Yrezulta ca f1(D) este submult ime nchisa n X.UniformcontinuitateO aplicat ief: X Yse numeste uniform continua (peX) daca: > 0,

> 0 astfel ncat d(x, y) <

d

(f(x), f(y)) < .Proprietat ialefunct iicontinueFief: X Yo funct ie continua; atunci:DacaA este mult ime compacta atuncif(A) este mult ime compacta.DacaXeste conex, atuncif(X) este conex (ca subspat iu al luiY ).Daca X este spat iu metric compact, atunci f este uniform continua pe X.32 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEPrincipiulcontract iei,metodaaproximat iilorsuccesiveFie(X, d) unspat iumetricsi e f : XX. Aplicat iaf senumestecontract ie (peX) daca existak [0, 1) astfel ncat:d(f(x), f(y)) kd(x, y), x, y X.Numarulk se numeste factor de contract ie.TeoremadepunctxaluiBanachFie (X, d) un spat iu metric complet si ef: X Xo contract ie de factork. Atunci exista un unic punct Xastfel ncatf() = .Punctul de mai sus se numeste punct x al aplicat ieif.Construct ia lui se face astfel: ex0 X, arbitrar xat si e sirul (nu-mit sirul aproximat iilor succesive) denit prin recurent axn+1 =f(xn). Sedemonstreaza ca sirul xn este convergent si limita sa este punctul x cautat.In plus, are loc formula (evaluarea erorii):d(xn, ) kn1 kd(x0, x1), n N.Exempleuzualedespat iimetricea. Mult imea numerelor reale,R, este spat iu metric cu distant a uzualad(x, y) = [x y[, x, y R.Se poate demonstra ca singurele mult imi conexe dinR sunt intervalele.b. Pe mult imea numerelor complexe,C, distant a uzuala ested(z, w) = [z w[, z, w C.c.Fie Rn= x = (x1, x2, ..., xn) [ xj R. Distant a uzuala (euclidiana):d2(x, y) =

nk=1(xk yk)2, unde x = (x1, x2, ..., xn),y = (y1, y2, ..., yn).In Rno mult ime este compacta daca si numai daca este nchisa si marginita.d.Fie Cn= x = (x1, x2, ..., xn) [ xj C. Distant a uzuala (euclidiana):d2(x, y) =

nk=1[xk yk[2,cu notat ii evidente.2.1. NOT INITEORETICE 33e. Fie2(N) = x : N R [n[x(n)[2< . Generalizarea distant eieuclidiene la cazul innit dimensional (pe2(N)) ested(x, y) =

n[x(n) y(n)[2.f. FieA = si e (A)= f : A R [ f marginita. Distant asupremum pe spat iul funct iilor marginite ested(f, g) = supxA[f(x) g(x)[.g. Fiea, b R sie ([a, b] = f: [a, b] R [ fcontinua. Distant auzuala pe spat iul funct iilor continue ested(f, g) =supx[a,b][f(x) g(x)[.h. Mai general, daca X este un spat iu metric compact, atunci mult imeafunct iilor continue ((X) = f: X R [ fcontinua este spat iu metric cudistant ad(f, g) = supxX[f(x) g(x)[.i. Fie B = 0, 1 codul (alfabetul) binar. Pe produsul cartezianBn= (x1, x2, ...xn) [ xj B, j = 1, 2, ..., ndenim distant a Hamming:d((x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn)) =nj=1[xj yj[.Distant aHammingmasoaradefaptnumarul denecoincident edintreele-mentele (x1, x2, ..., xn) si (y1, y2, ..., yn).j. Orice mult ime nevidaA se poate organiza ca spat iu metric (discret)cu distant a discreta(x, y) =

1 daca x = y0 daca x = ySpat iinormateFieXun spat iu vectorial complex (sau real).O aplicat ie | |: X [0 , ) cu proprietat ile:a. | x +y || x | + | y |b. | x |= [[ | x |c. | x |= 0 x = 0,pentru orice x , y X si C, se numeste norma. O aplicat ie care verica34 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEdoar condit iile a si b se numeste seminorma.Perechea(X , | |)senumestespat iunormat. Oricespat iunormatestesispat iu metric, distant a dintrex siy ind, prin denit ie,d(x, y) =| x y |Daca nplusorice sirCauchyesteconvergent,atunci(X , | |)senumestespat iu Banach (sau spat iu normat complet). Se poate demonstra ca operat iilealgebrice sunt continue: daca limnxn = x si limnyn = y, atunci limn(xn +yn) = x +y si analog pentru nmult irea cu scalari.Exempledespat iinormatei. Spat iile vectorialeRnsiCnsunt spat ii Banach cu norma euclidiana:| x |2=

nj=1[xj[2.ii. Spat iile de sirurip(Z) sip(N)Fiep R,p 1, xat si e

p(Z) = x : Z C ; nZ[x(n)[peste convergenta.Facem precizarea ca daca (an)nZeste un sir de numere complexe indexatdupaZ, atunci seria nZaneste convergenta daca seriile0n=an sin=1ansunt amandoua convergente.Cu operat iile uzuale cu siruri,p(Z) este spat iu vectorial. Norma este| x |p=

nZ[x(n)[p1p.Se demonstreaza ca (p(Z), ||p) este spat iu Banach.Analog se denesc spat iilep(N) = x : N C ;n=0[x(n)[p< .iii. Spat iul sirurilor marginiteFie (Z) = x : Z C ;x sir marginit . Cu operat iile uzuale, (Z) estespat iu vectorial. Aplicat ia | x |= supnZ[x(n)[ este norma, iar ((Z), ||)este spat iu Banach.Analog se deneste spat iul(N).2.1. NOT INITEORETICE 35iv. Spat iul funct iilor continueFie T un spat iu metric compact (caz particular: D = [a, b], a, b R) si e((T) = f: T C ;fcontinua.Cu operat iile uzuale, ((T) este spat iu vectorial. Structura de spat iu Banacheste denita de norma supremum:| f |= suptD[f(t)[.v. Spat iul funct iilor marginiteFieA = ; spat iul vectorial al funct iilor marginite(A) = f: A R [ fmarginita este spat iu Banach cu norma supremum: | f |= suptA[f(t)[.Serii nt-unspat iunormatFie(X, | |) unspat iunormat si e(xn)nNunsir deelementedinX.Spunemcaseria nNxnesteconvergentalax X(numit nacest cazsumaseriei)daca sirul sumelorpart iale, sn=nk=1xkconvergelax. SerianNxnse numeste absolut convergenta daca seria (de numere reale si pozi-tive) nN| xn | este convergenta. Cu o demonstrat ie asemanatoare celei dela serii de numere reale se poate arata ca ntr-un spat iu Banach orice serieabsolut convergenta este convergenta, reciproca ind, n general, falsa.OperatoriliniariFie (X, | |) si (Y, | |) doua normate;o aplicat ieT:X Y se numesteaplicat ie liniara (sau operator liniar) daca:T(x +y) = T(x) +T(y), x, y X, , C.OperatorulTse numeste liniar si continuu daca, n plus, aplicat iaTeste sicontinua.Mult imea operatorilor liniari si continui de la X n Yse noteaza cu L(X, Y ).Cu operat iile uzuale:(T +S)(x) = T(x) +S(x), (T)(x) = T(x), C, x X,mult imea L(X, Y ) este spat iu vectorial.36 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEPentru orice aplicat ie liniara T: X Y , se demonstreaza ca urmatoarelearmat ii sunt echivalente:a. Teste continua.b. Teste continua n 0 X.c. existaM> 0 astfel ncat: x X, | T(x) | M|x | .Spat iul vectorial L(X, Y ) se organizeaza ca spat iu normat cu norma:| T |= infM> 0 [ | T(x) | M|x |.Au loc urmatoarele egalitat i:| T |= sup| Tx |[ | x | 1 = sup| Tx |[ | x |= 1.Din denit ie rezulta:| Tx || T | | x | T L(X), x X.Se demonstreaza de asemenea inegalitatea:| TS | | T | | S |, T, S L(X).DacaYeste spat iu Banach, atunci (L(X, Y ), ||) este spat iu Banach.DacaYeste corpul scalarilor (R sauC) atunci L(X, C) se noteazaX

si senumeste dualul spat iuluiX, iar elementele lui se numesc funct ionale liniaresi continue.In cazulX = Y , notam L(X) = L(X, X).Spectru,valoriproprii,vectoripropriiIn continuare presupunem caXeste spat iu Banach.Pentru orice operatoriT, S L(X) se deneste produsul (compunerea):(TS)(x) = T(S(x)), x X.Un operator T L(X) se numeste inversabil daca exista T1 L(X) astfelncatTS = I, unde, am notat cuIoperatorul identic: Ix = x, x X.Un rezultat fundamental (teorema lui Banach) arma ca un operator Testeinversabil daca si numai daca este bijectiv.Pentru oriceT L(X), mult imea:(T) = C [ operatorul I Tnu este inversabilse numeste spectrul operatorului T. Se demonstreaza ca spectrul este mult imenevida si compacta inclusa n C [ [[ | T |.2.2. SPAT IIMETRICE 37Numarul r(T) = sup[[ [ (T)senumesterazaspectrala aopera-toruluiT; evident,r(T) | T | si, n plus, are loc formula razei spectrale:r(T) =limn | Tn|1n.Submult imea:p(T) = (T) [ operatorul I Tnu este injectivse numeste spectrul punctual (sau mult imea valorilor proprii).Daca p(T), atunci existax X, x =0, astfel ncat Tx=x.Inacest caz vectorul x se numeste vector propriu al lui Tasociat valorii proprii. DacaXesteunspat iuBanachnitdimensional, (CnsauRn)atuncispectrul coincide cu mult imea valorilor proprii sip(T) = (T) = C [ PT() = 0,unde,PTeste polinomul caracteristic al operatoruluiT.2.2 Spat iimetrice1. Sa se demonstreze ca urmatoarele aplicat ii sunt metrici peR2, echiva-lente cu distant a euclidiana:a. d1((x1, y1), (x2, y2)) = [x1x2[ +[y1y2[.b. d((x1, y1), (x2, y2)) = max[x1x2[, [y1y2[.Solut ieSe verica direct denit ia distant ei. Fied2distant a euclidiana peR2si e(x, y) R2; din inegalitat ile:

[x[2+[y[2 [x[ +[y[

2 ([x[2+[y[2),12 ([x[ +[y[) max[x[, [y[ [x[ +[y[,rezulta:d2((x1, y1), (x2, y2)) d1((x1, y1), (x2, y2)) 2 d2((x1, y1), (x2, y2))si respectiv12 d1((x1, y1), (x2, y2)) d((x1, y1), (x2, y2)) d1((x1, y1), (x2, y2)).38 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATE2. Sa se generalizeze exemplul de mai sus n cazurileRnsiCn.3. Sasecaracterizezesirurileconvergentesi sirurileCauchyntr-unspat iu metric discret. Sa se demonstreze ca orice spat iu metric discret estecomplet.Solut ieFie (X, d) un spat iu metric discret si e xn un sir nX; e 0 < < 1. Dacaxn a,atunciexistan Nastfel ncatd(xn, a) 0, y> 0,E = (x, y) R2[ ax +by +c = 0, a, b, c R constante xate,F=

1n, 1

R2[ n N, G = F (0, 1).Sa se precizeze daca mult imile sunt deschise, nchise, marginite, conexesau compacte.Solut ieAestemult imemarginitasi conexa, darnuestedeschisasi nici nchisa.Bestecompacta siconexa. Destedeschisa, conexa simarginita. Eestenchisa, conexa si nemarginita. Feste marginit a, dar nu este deschisa, nicinchisa si nici conexa. G este mult ime compacta.12. Sa se dea un exemplu de submult ime n R2care este conexa, dar nueste conexa prin arce (o submult imeMa unui spat iu metricXse numesteconexaprinarcedacapentruoricex, y Mexistaa, b Rsi ofunct iecontinua : [a, b] Mastfel ncat(a) = x si(b) = y).Solut ieUn exemplu este :H =

x, sin 1x

R2[ x (0, 1]

(0, y) R2[ y [1, 1].13.Sa se arate cantr-un spat iu metric intersect ia unei familii innite demult imi deschise nu este neaparat deschisa si reuniunea unei familii innitede mult imi nchise nu este neaparat nchisa.Solut ieFie, de exemplu, n spat iul metricR mult imile deschiseDn =

1n, 1n

, n N

.Atunci n1Dn = 0. In acelasi spat iu metric, e mult imile nchiseFn =1n, 1 1n

, n N

.Atunci n1Fn = (0, 1).42 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATE2.3 Teoremacontract iei14. Sasedecidadacaurmatoarelefunct ii suntcontract ii pemult imileindicate:a. f(x) = sin x,x R.b. f(x) = lnx,x [e, ).c. f(x) = arctg x,x R.d. f(x) =1 x25(1 +x2),x R.e. f(x) =2x1 +x2,x R.Solut iia. Funct iaf(x) = sin x nu este contract ie peR. Presupunand prin absurdcaarexistak (0, 1)astfel ncat [ sin x sin y[ k [x y[, x, y R,atunci, n particular pentruy = 0, se obt ine [ sin x[ k [x[, x R; rezultacalimx0[ sin x[[x[ k< 1, contradict ie. Funct ia sinus este totusi contract ie peoriceinterval nchiscarenucont inenumeredeformak, k Z(pentrudemonstrat ie se poate aplica teorema lui Lagrange).b. Funct iaf(x) = lnx este contract ie pe [e, ); din teorema lui Lagrangerezulta:[ ln x lny[

supce1c

[x y[ 1e [x y[, x, y R.c.Funct ia f(x) = arctg x nu este contract ie pe R; e, prin absurd, k (0, 1)astfel ncat [arctg x arctg y[ k [x y[, x, y R.Inparticularpentruy =0rezulta [arctg x[ k [x[, xRsi deci limx0[arctg x[[x[k

ba[(t)[ dt 2 (b a).Pentru 0, rezulta inegalitatea:| J |

ba[(t)[ dt,ceea ce ncheie demonstrat ia.50. Fie (1[a, b] spat iul vectorial al funct iilordeclasaC1denitepeintervalul compact [a, b].a. Saconsiderampe (1[a, b]normasupremum: |f |=supx[a,b][f(x)[.Sa se demonstreze ca aplicat ia de derivareD : (1[a, b] ([a, b],D(f) = f

,58 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEeste operator liniar dar nu este si continuu. Pe spat iul funct iilor continue,([a, b], este considerata, ca de obicei, norma supremum.b. Sa consideram acum pe spat iul (1[a, b] norma:| f |=| f | + | f

|.Sa se demostreze ca aplicat ia de derivareD este n acest caz operator con-tinuu.Solut iea.Liniaritatea este evidenta. Fie sirul fn(x) =1nsin nx; atunci | fn |=1nsi deci fn 0 nspat iulnormat (1[a, b], ||

,dar sirul D(fn) =f

nnuconverge (la 0) n ([a, b].b. Fief (1[a, b]; din inegalitatea:| D(f) | = | f

| | f |+| f

| = | f |rezulta caD este operator continuu.51.Sa se demonstreze ca orice operator liniar T: Rn Rneste continuu(pe spat iul Rneste considerata norma euclidiana, notatan continuare ||2).Solut ieFieTca n enunt , e e1, e2, ..., en baza canonica nRnsi e:K = max| Te1 |2, | Te2 |2, ..., | Ten |2.Pentru orice vectorx =nj=1xjej Rn, au loc inegalitat ile:[xi[ | x |2, i = 1, 2, ..., n.De aici si din inegalitatea triunghiului, rezulta:| Tx |2 =| T

nj=1xjej

|2 =| xjTej |2 nj=1[xj[ | Tej |2 nK | x |2, x Rn,decioperatorul Testecontinuu si |T |nK. Evident, demonstrat iademai sus ramane adevarata si pe spat iulCn.2.5. SPAT IINORMATESIOPERATORILINIARI 5952. Operatorulde nmult irecuvariabilaindependentaPe spat iul Banach complex (([a, b], ||) consideram operatorul (demult irecu variabila independenta):(Mf)(x) = xf(x), f ([a, b], x [a, b].a. Sa se demonstreze caMeste liniar si continuu si | M |= [b[.b. Sa se demonstreze ca spectrul luiMeste :(M) = [a, b].c. Sa se demonstreze ca mult imea valorilor proprii este vida: p(M) = .Solut iea. Pentru oricef, g ([a, b] si, C, avem:(M(f +g)) (x) = x(f +g)(x) == xf(x) +xg(x) = (Mf +Mg)(x), x [a, b],deciMeste liniar. Continuitatea:| Mf |=supx[a,b][xf(x)[ [b[ | f |, f ([a, b], x [a, b],deciMeste continuu si n plus | M | [b[.Notand cu 1 funct ia constanta 1, atunci | 1 |= 1 si deci:| M || M1 |=supx[a,b][x[ = [b[,deci | M |= [b[.b. Demonstram egalitatea(M) = [a, b] prin dubla incluziune.Prindenit ie, (M)dacasi numai dacaoperatorul I Mnuesteinversabil (ceea ce este echivalent cu a bijectiv, conform teoremei lui Ba-nach; asevedeasect iuneateoreticaaacestuicapitol). Fie0 [a, b]; dinegalitatea:((0I M)(f))(x) = (0x)f(x), f ([a, b], x [a, b]rezulta ca operatorul0I Mnu este surjectiv deoarece imaginea sa este:1m(0I M) = f ([a, b] [ f(0) = 0 = ([a, b],deci [a, b] (M).In locul incluziunii inverse(M) [a, b] demonstramincluziunea echivalenta: C`[a, b] C`(M). Fie 0 [a, b]; atunci funct ia : [a, b] C, 0(x) =10x60 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEeste corect denita si continua, deci | 0 |< . Consideram operatorul:S : ([a, b] ([a, b], (Sf)(x) = 0(x)f(x) =10xf(x), x [a, b].SedemonstreazafaradicultatecaSesteoperatorliniar. Continuitatearezulta din inegalitatea:| Sf |=supx[a,b][0(x)f(x)[ | 0 || f |, f ([a, b].In concluzie, operatorulS L(([a, b]); n plus, au loc egalitat ile:(0I M)Sf= (S(0I M))f= 010f= f, f ([a, b],deci operatorul 0I Meste inversabil si (0I M)1= S, ceea ce demon-streaza ca0 (M).c.Pentru a demonstra ca M nu are valori proprii, vom arata ca pentru orice [a, b],operatorul I Meste injectiv. Fie0 [a, b] si ef ([a, b]astfel ncat (0I M)f= 0; rezulta:(0x)f(x) = 0, x [a, b].De aici rezultaf(x) = 0, x [a, b] ` 0.Funct iafind continua, rezulta sif(0) = 0, decif(x) = 0, x [a, b]; inconcluzie,0I Meste injectiv.53. Operatorulde nmult ireExemplul anterior se poate generaliza dupa cum urmeaza. Fie ([a, b] sie operatorul (de nmult ire cu funct ia):M : ([a, b] ([a, b],Mf= f.a. Sa se arate caM este operator liniar si continuu si | M |=| |.b. Spectrul luiM coincide cu imaginea funct iei:(M) = (x) [ x [a, b].c. Operatorul Marevalori proprii dacasi numai dacaexistaintervale(nedegenerate)J [a, b] astfel ncat(x) =c, x J.In acest cazc estevaloare proprie a luiM.2.5. SPAT IINORMATESIOPERATORILINIARI 61Solut iea. Liniaritatea este imediata; din inegalitatea:| Mf |=supx[a,b][(x)f(x)[ | || f |,rezulta continuitatea si |M || |. Inegalitatea inversa rezulta ca nexercit iul anterior.b. FieA= (x) [ x [a, b]imaginealui . Demonstramegalitatea(M)=Aprindublaincluziune. Daca0 A, atunciexistax0 [a, b]astfel ncat (x0) =0; deaici rezultacaoperatorul 0I Mnuestesurjectiv deoarece imaginea sa este:1m(0I M) = f ([a, b] [ f(x0) = 0 = ([a, b].Pentru a demonstra incluziunea inversa, e0 A; atunci funct ia0 : [a, b] C, 0(x) =10(x)estecorectdenitasi continua. Rezultacaoperatorul 0I Mestein-versabil, inversul sau ind operatorul de nmult ire cu funct ia0:(0I M)1f= M0f= 0f, f ([a, b].Continuitatea operatorului M0 se poate arata direct, dar este si o consecint aa teoremei lui Banach (a se vedea sect iunea teoretica).c. Fie 0(M) =Aastfel ncat existaf ([a, b] cuproprietatea(0I M)f =0; dacafunct ianuesteconstantapenici uninterval,atunci, din egalitatea (0(x))f(x) = 0, x [a, b] si din continuitatea luif rezulta f(x) = 0, x [a, b], deci operatorul 0IM este injectiv, deci 0nu este valoare proprie pentru M. Sa presupunem acum ca exista J [a, b]astfel ncat(x) =c, x J. Demonstram caceste valoare proprie aluiM; pentruaceasta,consideramofunct ie neidentic nulaf0 ([a, b]astfelncatf0(x) = 0, x [a, b] ` J. Atuncif0 este vector propriu asociat valoriipropriic:((cI M)f0)(x) = 0, x [a, b].Operatorul de nmult ire se poate deni si condit ii mai generale. De exemplu,dacaD Rnesteomult imecompacta sidaca: D Cesteofunct iecontinua, atunci, pe spat iul ((D) al funct iilor continue pe D se poate denioperatorul (de nmult irecu): Mf =f. Sepoatedemonstracapro-prietat ile demonstrate mai sus sunt adevarate si n acest caz.62 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATE54. OperatorulintegralFie K : [a, b] [a, b] R o funct ie continua si e operatorul integral (asociatnucleuluiK) denit prin:TK : ([a, b] ([a, b], (TK(f))(s) =

baK(s, t)f(t) dt.Pe spat iul funct iilor continue este considerata norma supremum.a. Sa se demonstreze caTKeste operator liniar si continuu.b. Norma operatoruluiTKeste:| TK |=sups[a,b]

ba[K(s, t)[ dt.Solut iea. Pentru oricef, g ([a, b] si, R avem:(TK(f + g))(s) =

baK(s, t)(f(t) + g(t)) dt ==

baK(s, t)f(t) dt +

baK(s, t)g(t) dt = (TKf)(s) + (TKg)(s), s [a, b], deciTKeste liniar.Continuitatea operatoruluiTKrezulta din inegalitatea:| TKf |=sups[a,b]

baK(s, t)f(t) dt

| f |sups[a,b]

ba[K(s, t)[ dt, f ([a, b].b. Din inegalitatea de mai sus rezulta si inegalitatea| TK | sups[a,b]

ba[K(s, t)[ dt.Demonstram acum inegalitatea inversa. Aplicat ia[a, b] s

ba[K(s, t)[ dt Reste continua (denita pe un compact) si deci existas0 [a, b] astfel ncat:sups[a,b]

ba[K(s, t)[ dt =

ba[K(s0, t)[ dt.2.5. SPAT IINORMATESIOPERATORILINIARI 63Notam(t) =K(s0, t);evident, ([a, b]. Pe spat iul Banach ([a, b] con-sideram funct ionala (ca n exercit iul 49.b)J(f) =

ba(t)f(t) dt =

baK(s0, t)f(t) dt.Conform exercit iului 49,J este funct ionala liniara si continua pe ([a, b] si| J |=

ba[(t)[ dt =

ba[K(s0, t)[ dt.In demonstrat ia egalitat ii de mai sus s-a aratat (a se vedea solut ia exercit iului49.b) ca pentru orice > 0, exista o funct ie g ([a, b] astfel ncat | g | 1siJ(g) | J | .Deoarece | g | 1 avem:| TK | | TKg |(TKg)(s0) =

baK(s0, t)g(t) dt == J(g) | J | =sups[a,b]

ba[K(s, t)[ .Deoarece > 0 a fost ales arbitrar, rezulta: | TK |=sups[a,b]

ba[K(s, t)[ dt.55. Operatoruldeconvolut ieFie doua sirurix, y : Z C, cu proprietatea ca pentru oricen ZseriakZx(n k)y(k) este convergenta. In acest caz se poate deni sirulxy : Z C, (xy)(n) = kZx(n k)y(k),numit convolut ia (sau produsul de convolut ie) sirurilorx siy.a. Sa se demonstreze ca pentru oricex, y 1(Z), exista convolut iaxy.b.Sa se demonstreze ca pentru orice x, y 1(Z), convolut ia xy 1(Z),si n plus | xy |1| x |1 | y |1c. Produsul de convolut ie este comutativ si asociativ.d. Pentruoricem Z, esirul m(n)=nm, unde, nmestesimbolul luiKronecker. Sa se demonstreze egalitatea:(m x)(n) = x(n m), x 1(Z), m, n Z.64 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATEIn particular,0 este element neutru pentru convolut ie.e. Fie 1(Z) un sir xat si e operatorul (de convolut ie):C : 1(Z) 1(Z),Cx = x.Sa se demonstreze ca operatorulCeste liniar si continuu.Solut iea. Fiex, y 1(Z) si en Z; atunci:kZ[x(n k)y(k)[ kZ

[x(n k)[kZ[y(k)[

=| y |1| x |1.b. Fiex, y 1(Z); atunci:| xy |1= nZ[(xy)(n)[ = nZ

kZx(n k)y(k)

nZkZ[x(n k)y(k)[ = kZ

[y(k)[nZ[x(n k)[

==

kZ[y(k)[

mZ[x(m)[

=| x |1 | y |1,comutareasumelor(nksi n)indcorectadatoritaabsolutconvergent eiambelor serii.c. Pentru oricex, y 1(Z) sin Z, avem:(xy)(n) = kZx(n k)y(k) = mZx(m)y(n m) = (yx)(n).Analog se demonstreaza si asociativitatea.d. Pentru oricex 1(Z) sim, n Z, avem:(mx)(n) = (xm)(n) = kZx(n k)m(k) = x(n m).e. Lasam liniaritatea ca exercit iu. Fie 1(Z), xat; atunci, pentru oricex 1(Z), aplicand inegalitatea de la punctul b, avem:| Cx |1=| x |1| |1 | x |1,ceea ce ncheie demonstrat ia.2.5. SPAT IINORMATESIOPERATORILINIARI 6556. Fie(X, | |) unspat iu Banach si eT L(X)unoperatorastfelncat | T |< 1. Sa se demonstreze caI Teste operator inversabil si(I T)1= n0Tn.In plus, are loc inegalitatea:| (I T)1| 11 | T |.Solut ieSpat iul L(X)estecomplet, deci oriceserie(deoperatori)absolutconver-genta este si convergenta. Fie seria n0Tn; seria converge absolut:n0| Tn| n0| T |n=11 | T |,deci converge n spat iul L(X). FieS L(X) suma acestei serii si eSn =nk=0Tksirul sumelor part iale asociat; atunci:(I T)Sn = (I T)(I +T +t2+... +Tn) = I Tn+1.Dar sirulTn+1converge laO n spat iul L(X):| Tn+1| | T |n+1 0, cand n ,deci (IT)S = I. Analog se arata si egalitatea S(IT) = I, deci ntr-adevarS = (I T)1. In plus, dintr-un calcul facut mai sus, rezulta:| (I T)1|=|n0Tn| 11 | T |,ceea ce ncheie demonstrat ia.66 CAPITOLUL2. SPAT IIMETRICE.CONTINUITATECapitolul3Sirurisiseriidefunct iiFunct iielementare3.1 Not iuniteoreticeConvergent apunctuala siconvergent auniformaFie (X, d) un spat iu metric, efn : X R(C) un sir de funct ii si ef: X R(C) o funct ie.Sirulfn converge punctual (sau simplu) lafdacalimn(x) = f(x), x X.Se spune cafeste limita punctuala a siruluifn.Sirulfn este uniform convergent lafdaca > 0, N() > 0 astfel ncat [fn(x) f(x)[ < , n N(), x X.Intr-oformulareechivalenta, sirul fnconvergeuniformlafdaca sinumaidacalimn supxX[fn(x) f(x)[ = 0.Evident, convergent a uniforma implica convergent a punctuala, reciproca -ind falsa.Dacafnsuntfunct ii marginite, atunci convergent auniformacoincidecuconvergent a n spat iul metric al funct iilor marginite, (, d).Daca funct iile fn sunt continue, iar sirul fn converge simplu la f, nu rezulta,n general, continuitatea funct ieif. De exemplu, sirul de funct ii continuefn : [0, 1] R,fn(x) = xn6768 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREconverge punctual la funct ia discontinuaf(x) =

0 daca x [0, 1)1 daca x = 1Are loc urmatorul rezultat:TransferdecontinuitateDaca fn sunt funct ii continue si sirul fn converge uniform la f, atunci funct iafeste continua.IntegraretermencutermenFiefn, f: [a, b] R funct ii continue.Dacafn converge uniform laf, atuncilimn

bafn(x)dx =

baf(x)dx.Sa consideram sirul fn(x) =sin(nx)n,x R. Sirulfn converge uniform lafunct ia constanta 0:limnsupxR[f(x)[ limn1n= 0.Funct iilefnsuntderivabile, dar sirulderivatelorf

n(x)=cos(nx)nucon-verge (nici punctual). Rezultatul urmator da condit ii suciente n care sirulderivatelor converge:DerivaretermencutermenPresupunem ca funct iile fn sunt derivabile, n N. Daca sirul fn convergepunctual lafsi daca existag : [a, b] R astfel ncatf

nconverge uniformlag, atuncifeste derivabila sif

= g.Seriidefunct iiFie un : X R(C) un sir de funct ii si e sn =nk=1un sirul sumelor part iale.Sespunecaseria nunestepunctual (simplu)convergentadacasnestepunctual convergent. Seria este uniform convergenta dacasnconverge uni-form. Sumaseriei estelimita(punctualasauuniforma)asirului sumelorpart iale.CriteriulluiWeierstrassdeconvergent auniformaDaca exista un sir cu termeni pozitivianastfel ncat [un(x)[ an, x Xsi seria nan converge, atunci seria nun converge uniform.TransferdecontinuitateDacaunsunt funct ii continue si seria nunconverge uniform laf, atunci3.1. NOT IUNITEORETICE 69funct iafeste continua.Integrare siderivaretermencutermenSe spune ca o serie de funct ii nfn are proprietatea de integrare termen cutermen pe intervalul [a, b] daca

ba

nfn(x)

dx =n

bafn(x)dx.Se spune ca o serie de funct ii nfn are proprietatea de derivare termencu termen pe mult imeaD daca

nfn(x)

=nf

n(x), x D.Are loc urmatorul rezultat:Fieun : [a, b] R un sir de funct ii continue.a. Dacaseria nunconvergeuniformlaf , atunci f esteintegrabilasi

banun(x)dx =n

baun(x)dx.b. Presupunem ca funct iileunsunt derivabile. Daca seria nunconvergepunctual lafsi daca existag : [a, b] R astfel ncat nu

nconverge uni-form lag, atuncifeste derivabila sif

= g.Trebuie ment ionat ca ipotezele teoremei de mai sus sunt condit ii suciente(nu si necesare) pentru ca o serie sa se poata integra (respectiv deriva) ter-men cu termen.FormulaluiTaylorFieI Runinterval deschissi ef : I Rofunct iedeclasa (mpeI. Pentruoricea Idenimpolinomul Taylordegradul n masociatfunct ieif n punctula:Tn,f,a(x) =nk=0f(k)(a)k!(x a)k.Restul de ordinn este, prin denit ie,Rn,f,a(x) = f(x) Tn,f,a(x).Polinoamele Taylor de gradul ntai (respectiv de gradul al doilea) se numescaproximarea liniara (respectiv patratica) ale funct iei n jurul punctuluia.Teorema(FormulaluiTaylorcurestulLagrange)Fief: I Rdeclasa (n+1si a I. Atunci, pentruoricex I, exista70 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTARE (a, x) (sau (x, a)) astfel ncatf(x) = Tn,f,a(x) + (x a)n+1(n + 1)!f(n+1)().Observat ii1. Restul de ordinn poate scris sub forma Peano : : I R astfel nc atlimxa(x) = (a) = 0 siRn,f,a(x) =(x a)nn!(x).2. limxaRn,f,a(x)(x a)n= 0.3. Restul de ordinn poate scris sub forma integrala:Rn,f,a(x) =1n!

xaf(n+1)(t)(x t)ndt.SeriaTaylorFieI Run interval deschis si ef:I Ro funct ie de clasa (peI.Pentru oricex0 Idenim seria Taylor asociata funct ieif n punctulx0:n=0f(n)(x0)n!(x x0)n.Observat ii1. Seria Taylor asociata funct ieif n punctulx0 este o serie de puteri.2. Seria Taylor asociata luif nx0 = 0 se mai numeste si serie Mc Laurin.Teoremadereprezentareafunct iilorprinseriiTaylorFiea 0 cu proprietatea can N, x [a, b], [f(n)(x)[ M. Atuncipentruoricex0 (a, b), seriaTayloralui fnjurullui x0esteuniformconvergentape[a, b] sisumaeieste funct iaf, adicaf(x) = n0f(n)(x0)n!(x x0)n, x [a, b].SeriideputeriFie(an)nNun sirdenumerecomplexe si a C. Serian=0an(z a)nsenumeste seria de puteri centrata na denita de sirulan.Formularazeideconvergent aFie serian=0an(z a)nsi e = limsupnn[an[.3.1. NOT IUNITEORETICE 71Raza de convergent a a seriei date, (notataR), se deneste astfel:R =0 daca = daca = 01daca (0, )TeoremaluiAbelFien=0an(z a)no serie de puteri si eR raza sa de convergent a.1. DacaR = 0, atunci seria converge numai pentruz = a.2. DacaR = , atunci seria converge absolut pentru oricez C.3.Daca R (0, ), atunci seria este absolut convergenta pentru [za[ < Rsi divergenta pentru [z a[ > R.4.Seria este uniform convergenta pe orice discnchis [za[ r , r (0, R).Derivare siintegraretermencutermenFien=0an(z a)no serie de puteri si eS(z) suma sa.1. Seriaderivatelorn=1nan(z a)n1areaceeasi razadeconvergent acuseria init iala si suma sa esteS(z).2. Seriaprimitivelorn=0an(z a)n+1n + 1areaceeasirazadeconvergent acuseria init iala si suma sa este o primitiva a luiS.Functiielementare1. ez=n=01n!zn, z C.2.11 z=n=0zn, [z[ < 1.3.11 +z=n=0(1)nzn, [z[ < 1.4. cos z =n=0(1)n(2n)!z2n, z C.5. sin z =n=0(1)n(2n + 1)!z2n+1, z C.6. (1 +z)= n0( 1)( 2)...( n + 1)n!zn, [z[ < 1, R.72 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTARE3.2 Sirurisiseriidefunct iiSasestudiezeconvergent apunctuala siuniformaaurmatoarelorsiruridefunct ii(exercit iile1-9):1. un : (0, 1) R ;un(x) =1nx + 1, n 0.Solut ieFiex>0, xat. Atunci limnun(x)=limn1nx + 1=0, deci unconvergepunctual laf(x) = 0.Evident, supx(0,1)[un(x) f(x)[ = supx(0,1)1nx + 1 = 1 si deciunnu convergeuniform laf.2. un : [0, 1] R ;un(x) = nx(1 x)n, n 0.Solut iePentru oricex (0, 1), xat, avem:limnun(x) =limnnx(1 x)n= 0,si deciun converge punctualf(x) = 0.Studiem acum convergent a uniforma:supx(0,1)[un(x) f(x)[ = supx(0,1)[nx(1 x)n[ = un1n + 11e,deciun nu este uniform convergent.3. un : [0, 1] R ;un(x) = xnx2n,n 0.Solut iePentru oricex [0, 1] xat, rezulta:limnun(x) =limn(xnx2n) = 0,deciun converge punctual laf(x) = 0.Studiem convergent a uniforma:supx(0,1)[un(x) f(x)[ = supx(0,1)[xnx2n[ = un1n2=14,3.2. SIRURISISERIIDEFUNCT II 73deciun nu converge uniform.4. un : R R ;un(x) =x2+1n2,n > 0.Solut ieFiex R, xat; atunci:limnun(x) =limnx2+1n2= x2= [x[,deciun converge punctualf(x) = [x[, x R.Studiem convergent a uniforma:supxR[un(x) f(x)[ = supxRx2+1n2 x2== supxR1n2x2+1n2 +x2=1n 0,deci unconverge uniform laf. Se observa ca pentru oricen N, unestefunct ie derivabila, darfnu este derivabila.5. un : (, 0) R,un(x) =enx1enx+ 1, n 0.Solut ieFiex < 0, xat; atunci:limnun(x) =limnenx1enx+ 1= 1,deciun converge punctual laf(x) = 1 , x (, 0).Convergent a uniforma:supx(,0)[un(x) f(x)[ = supx(,0)enx1enx+ 1 + 1= 1,deciun nu converge uniform.6. un : R R, un(x) = arctgx1 +n(n + 1)x2, n > 0.Solut ieFiex R, xat; atunci:limnun(x) =limnarctanx1 +n(n + 1)x2= 0,74 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREdeciun converge punctual laf(x) = 0, x R. Convergent a uniforma:supxR[un(x) f(x)[ = supxRarctgx1 +n(n + 1)x2.Funct iileunsunt impare deci este sucient sa gasim supremumul pe inter-valul (0, ).un(x) =arctanx1 +n(n + 1)x2=1 n(n + 1)x2x2+ (1 +n(n + 1)x2)2,deci supremumul este atins nx =1n(n+1); n nal rezulta cauneste uni-form convergent.7. un : (1, ) R, un(x) =(n2+ 1) sin2n +nx nx, n > 0.Solut ieFolosim inegalitatea sinx x ,x [0,2] si obt inem :0 un(x) (n2+ 1) sin2n(n2+ 1) sin2n +nx +nx 0, xat, avem:limnfn(x) =limnnn + 1x1n= 1 = f(x).Inx=0, avem limnfn(0)=0. Decisirul derivatelorconvergepunctualpentru oricex [0, ).e.Sirul derivatelor nu converge uniform pe [0, 1]:supx[0,1]nn+1x1n 1 1.Un alt argument este faptul ca funct ia limita (a sirului derivatelor) nu estecontinua.Sasestudiezeconvergent aurmatoarelorserii defunct ii si sase decida daca se pot deriva termen cu termen (exercit iile 16-22):16. nnx, x R.Solut ieSeria converge punctual daca si numai daca x (1, ) (se compara cu serialui Riemann).Fie r > 1; pentru orice x r, avem1nx 1nr. Serian1nreste convergentasi deci, conform criteriului lui Weierstrass, seria converge uniform pe inter-valul [r, ).Seria derivatelor: n1nx = n1nxlnn converge uniform pe orice in-terval [r, ); se aplica criteriul lui Weierstrass:n1nxlnn n1nrlnn, x r.Ultima serie (numerica) este convergenta.3.2. SIRURISISERIIDEFUNCT II 7917.n=1sinnx2n, x R.Solut ie[un(x)[ =sin nx2n12n,x R .Seria n112neste convergenta si din criteriul lui Weierstrass rezulta ca serian1sin nx2neste uniform convergenta peR.Seria derivatelor n1sinnx2n= n1ncos nx2nconverge uniform peR (cri-teriul lui Weierstrass), deci seria se poate deriva termen cu termen.18. n11n2+ ((x))2, unde: [a, b] Resteofunct iedeclasa (1arbitrara.Solut ieSeria are termeni pozitivi si1n2+ ((x))2 1n2. Serian=11n2este conver-genta, decin=11n2+ ((x))2este uniform convergenta pe [a, b].Seria derivatelor n12(x)(x)(n2+ ((x))2)2este uniform convergenta pe [a, b], deciseria se poate deriva termen cu termen.19. n1(x +n)2n4;x [a, b] , 0 < a < b.Solut ieDin inegalitat ile 0 < a < b sia x b rezulta (x +n)2 (b +n)2si decin1(x +n)2n4n1(b +n)2n4.Aplicand criteriul lui Weierstrass, rezulta ca seria este uniform convergentape [a, b].Seria derivatelor converge uniform pe [a, b], deci seria se poate deriva termencu termen.80 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTARE20. n1ln(1 +nx)nxn;x > 0.Solut ieAplicand inegalitatea ln(1 +x) x obt inemn1ln(1 +nx)nxnn11xn1.Ultimaserieesteconvergentadaca1x (1, 1)(deci x (1, )) sidiver-genta n rest . Deci seria init iala este simplu convergenta pentru x (1, ).Seria converge uniform pe orice interval [, ), > 1.Dacax (0, 1], atunci din inegalitatea:n1ln(1 +nx)nxnn1ln(1 +nx)n,rezultacaseriaestedivergenta,deoareceultimaserieestedivergenta(cri-teriul necesar). In concluzie, seria data converge daca si numai dacax > 1.Seria derivatelor este:n11(1 +nx)xn ln(1 +nx)xn+1.Fier > 1; din inegalitat ile:1(1 +nx)xn1(1 +nr)rn, x [r, ),ln(1 +nx)(1 +nx)xn+1nxn nrn, x [r, ),rezulta ca seria derivatelor converge uniform pe orice interval [r, ),r > 1.21. n0xn(1 x), x 0.Solut ieSirul sumelor part iale estesn(x) = 1 xn+1.Rezulta ca seria converge simplu pentru oricex [0, 1].Suma seriei estes : [0, 1] R,s(x) = 1, x [0, 1) si s(1) = 0.3.2. SIRURISISERIIDEFUNCT II 81Serianuconvergeuniformpe[0, 1] (altfel sumaseriei arcontinua), darconverge uniform pe orice interval [0, ], < 1.Seria derivatelor n0(nxn1(n + 1)xn) are sirul sumelor part ialesn(x) = (n + 1)xncare converge uniform pe orice interval compact [0, r], r < 1.22. n0enx,x > 0.Solut ieSirul sumelor part iale estesn(x) =nk=0ekx=1 e(n+1)x1 ex. Seria convergepunctuallafunct iaf(x) =11 expentruoricex> 0; serianuconvergeuniform pe (0, ):supx>0nk=0ekxf(x)= supx>0e(n+1)x1 ex=limx0e(n+1)x1 ex= .Seria derivatelor n0nenx are sirul sumelor part ialesn(x) =1 e(n+1)x1 ex=(n + 1)e(n+1)xne(n+2)xex(1 ex)2.Pentru oricex > 0 xat avemlimnsn(x) = ex(1 ex)2,deci seria derivatelor converge punctual la derivata sumei. Convergent a nueste uniforma pe (0, ), dar seria derivatelor converge uniform pe orice in-terval compact[r, ) r>0(sepoatefaceunrat ionamentasemanatorcucel pentru seria init iala).23. Sa se demonstreze ca funct iaf:R R, f(x) = n1sin nxn(n + 1)estecontinua. Se poate deriva seria termen cu termen ?Solut ieSeria este uniform convergenta (se aplica criteriul lui Weierstrass):n1sin nxn(n + 1) n11n(n + 1),82 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREultima serie ind convergenta. Seria derivatelor n1cos nxn+1nu converge punc-tual, deci seria nu se poate deriva termen cu termen.24. Fie seria de funct ii n1(1)nx2+nn2,x R.a. Sa se studieze convergent a punctuala pentru oricex R si convergent auniforma pe orice interval [a, b]. Este seria uniform convergenta peR?b. Sa se studieze absolut convergent a pentru oricex R.c. Sa se studieze continuitatea sumei seriei (acolo unde ea exista).d. Se poate deriva seria termen cu termen ?Solut iea. Fiex R;seriile numerice n(1)nx2n2si n(1)n 1nsunt ambele con-vergente, deci seria data este punctual convergenta pentru oricex R.Studiem acum convergent a uniforma pe intervalul [a, b]. Seria n(1)nx2n2este uniform convergenta pe [a, b]; pentru aceasta, aplicam criteriul lui Weier-strass de convergent a uniforma pentru serii:(1)nx2n2b2n2, x [a, b],iar seria numerica n1n2este convergenta.SerianuesteuniformconvergentapeR; pentruaceasta, easumaseriein(1)nn2si b suma seriei n(1)nn. Evident, seria data converge punctualla funct iaf(x) = ax2+b. Fiesn(x) =nk=1(1)kx2+kk2. Calculam:limnsupxR[f(x) sn(x)[ =limnsupxRx2nk=1(1)kk2a= ,deci seria nu converge uniform peR laf.b. Seria nu converge absolut pentru nici un x R deoarece serianx2+nn2este divergenta (se poate compara cu seria armonica).c.Evident, funct ia f (suma seriei) este continua pe R (desi seria nu convergeuniform peR).3.2. SIRURISISERIIDEFUNCT II 83d. Seria nu verica ipotezele teoremei de derivare termen peR: seria datatrebuiesaconveargapunctual, iarseriaderivatelorsaconveargauniform;primacondit ieafostvericata. Seriaderivateloreste n1(1)n2xn2, seriecare nu este uniform convergenta peR:limnsupxR2xnk=1(1)kk22ax= .Ment ionamtotusi caseriaderivatelorconvergeuniformpeoricecompactdinR. Seria data se poate deriva termen cu termen, egalitateax2n1(1)nn2+n1(1)nn= 2xn1(1)nn2, x Rind evident adevarata.25. Fie seria n1nxn+xn2+ 1.a. Pentru ce valori ale luix R seria converge ?b. Sa se studieze convergent a uniforma.c. Se poate deriva seria termen cu termen ?Solut iea. Fiex (1, 1), xat. Descompunem seria:n1nxn+xn2+ 1= xn11n2+ 1 +n1nn2+ 1xn.Primaserieesteconvergentapentruoricex R. Adouaserieconvergeabsolut dacax (1, 1);pentru demonstrat ie se poate aplica criteriul ra-portului:limnn+1(n+1)2+1nn2+1xn+1xn= [x[ < 1.Dacax = 1,seria converge (cele doua serii de mai sus sunt convergente)dar nu converge absolut.Dacax = 1 seria este divergenta (se poate compara cu seria armonica).Daca [x[ > 1 seria diverge (se poate aplica criteriul necesar).In concluzie, seria converge daca si numai dacax [1, 1).84 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREb. AplicandcriteriulluiWeierstrass,seriaconvergeabsolut siuniformpeorice compact [r, r] (1, 1):n1nxn+xn2+ 1n1nrn+rn2+ 1, [x[ r,iar ultima serie (numerica) este convergenta.c. Seria derivatelor este:n1nxn+xn2+ 1= n1n2n2+ 1xn1+1n2+ 1== n11n2+ 1 +n1n2n2+ 1xn1.Seriaderivatelorconvergeuniformpeoriceinterval [r, r] (1, 1), deciseria se poate deriva termen cu termen.26. Sa se stabileasca natura seriei n1(fnfn1) daca :afn : [0, 1] R ;fn(x) = nx(1 x)n, n N.b. fn : (0, 1] R,fn(x) =enx1 +enx, n N.Solut iea. Calculam sirul sumelor part ialeSn(x) =nk=1(fk(x) fk1(x)) = fn(x) f0(x) = fn(x), x [0, 1].Folosindexercit iul 2dinacestcapitol rezultacaseriaestesimpluconver-genta (la 0) dar nu este uniform convergenta.b. Calculam sirul sumelor part iale:Sn(x) =nk=1(fk(x) fk1(x)) = fn(x) f0(x) =enx1 +enx 12.Rezulta ca seria converge punctual la funct iaS(x) =12. Din evaluarea:supx(0,1]Sn(x) 12= supx(0,1]enx1 +enx 1= supx(0,1]11 +enx=12,rezulta ca seria nu este uniform convergenta .3.2. SIRURISISERIIDEFUNCT II 8527. FieD1= z C [ [z[ =1cercul unitatesi e ((D1)spat iulBanach al funct iilor continue pe D1 cu norma supremum. Fie, de asemenea,1(Z)spat iul Banachal sirurilorabsolutsumabilecunorma | |1, (asevedea sect iunea teoretica a capitolului 2).a. Sa se demonstreze ca pentru oricez D1si pentru orice sirx 1(Z),seria (de numere complexe) nZx(n)zneste absolut convergenta.b. Pentru oricex 1(Z),notam cu Zxfunct ia (corectdenita,datoritapunctului a):Zx : D1 C, (Zx)(z) = nZx(n)zn.Funct ia Zx se numeste transformata Z (zet) a sirului x. Sa se demonstrezeca Zx este funct ie continua.c. Sa se demonstreze ca aplicat iaZ : 1(Z) ((D1), (Zx)(z) = nZx(n)zneste liniara si continua.d. Sa se demonstreze ca pentru orice sirurix, y 1(Z) are loc egalitatea:Z(xy) = (Zx) (Zy),unde,xy este convolut ia sirurilorx siy, (cf. exercit iului 55, cap. 2).e. Fie 1(Z) un sir xat si eMZoperatorul de nmult ire cu funct iaZ ( a se veda exercit iului 53 din capitolul 2):MZ : ((D1) ((D1), MZf= (Z)f.Fie, de asemenea, operatorul de convolut ie cu (a se vedea exercit iul 55 dincapitolul 2):C : 1(Z) 1(Z),Cx = x.Sa se demonstreze relat ia:Z Cx = MZZx, x 1(Z).Solut iea. Fiez D1 si ex 1(Z); atunci:nZx(n)zn nZ[x(n)[ =| x |1< .86 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREb. Fiex 1(Z); pentruademonstracafunct ia ZxestecontinuapeD1este sucient sa demonstram ca seria nZx(n)zneste uniform convergentapeD1. Pentru aceasta aplicam criteriul lui Weierstrass:nZx(n)znnZ[x(n)[,ultima serie ind o serie numerica absolut convergenta.c. Liniaritatea o propunem ca exercit iu; pentru oricex 1(Z), avem:| Zx |=supzD1[(Zx) (z)[ =supzD1nZx(n)zn supzD1nZ[x(n)[ [zn[ =| x |1,ceea ce arata ca Zeste operator continuu.d. Fiex, y 1(Z) siz D1; atunci:(Z(xy)) (z) = nZ(xy)(n) zn= nZkZx(n k)y(k)zn== kZy(k) nZx(n k) zn= kZy(k) mZx(m) zkm==mZx(m)zm kZy(k)zk= (Zx) (Zy) ,comutarea seriilor (nn sik) ind permisa datorita faptului ca ambele suntabsolut convergente.e.Fie 1(Z); atunci, pentru orice x 1(Z), aplicand punctul d, rezulta:ZCx = Z(x) = (Z) (Zx) = MZZx,ceea ce ncheie demonstrat ia.3.3 FormulaluiTaylor. SeriiTaylorSa se dezvolte n serie Mc Laurin urmatoarele funct ii precizandu-sedomeniuldeconvergent a(exercit iile28-41):3.3. FORMULALUITAYLOR.SERIITAYLOR 8728. f(x) = exSolut ieCalculam derivatele funct iei si obt inem : (ex)(n)= ex, n N. Rezultaex=n=01n!xn.Pentru determinarea domeniului de convergent a folosim criteriul raportuluilimnxn+1(n + 1)! n!xn=limnxn + 1= 0 < 1,seria este convergenta peR .Restul de ordinn este : Rn(x) =xn+1(n + 1)!e, (0, x)sau (x, 0).29. f(x) = chxSolut ieDin relat iile: (chx) = shx si (shx) = chx rezulta(ch)(2n)(0) = ch(0) = 1si (ch)(2n+1)= sh(0) = 0.Rezulta seriachx = n01(2n)!x2n, x R.30. f(x) = shxSolut ieProcedand ca mai sus, obt inem:shx = n01(2n + 1)!x2n+1, x R.31. f(x) = sin xSolut ieCalculam derivata de ordinn a funct iei sinus:(sin x)(n)= sinx +n2, n N,88 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREsi deci sin(2n)(0) = 0 si sin(2n+1)(0) = (1)n. Rezultasinx =n=0(1)n(2n + 1)!x2n+1.Pentru determinarea domeniului de convergent a folosim criteriul raportuluilimnx2n+3(2n + 3)! (2n + 1)!x2n+1=limnx2(2n + 2)(2n + 3)= 0 < 1,deci seria este convergenta peR .32. f(x) = cos xSolut ieDerivata de ordinn a funct iei cosinus este:(cos x)(n)= cosx +n2,si decicos x =n=0(1)n(2n)!x2n.Seria este convergenta peR.33. f(x) = (1 +x), RSolut ieFie R; derivata de ordinuln a funct ieix (1 +x)este:((1 +x))(n)= ( 1)( 2)...( (n 1))(1 +x)n, n N.Rezulta ca derivata de ordinn n zero este( 1)( 2)...( (n 1))si deci (seria binomiala):(1 +x)= n0( 1)( 2)...( n + 1)n!xn.Domeniul de convergent a al seriei este [x[ < 1.34. f(x) =11 +xSolut ie3.3. FORMULALUITAYLOR.SERIITAYLOR 8911 +x= n0(1)nxn, x (1, 1).35. f(x) = 1 +x.Solut ieCaz particular al seriei binomiale: =12; rezulta:1 +x = n0(1)n1135...(2n 3)2nxn, [x[ < 1.36. f(x) = ln(1 +x) ; sa se calculeze apoi suma seriein1(1)n+1n.Solut ieDerivata de ordinn a funct ieix ln(1 +x) este:(ln(1 +x))(n)=11 +x(n1)=(1)n1(n 1)!(1 +x)n, n N.Rezulta seria:ln(1 +x) =n=1(1)n1n xn,care este convergenta pe (1, 1]. In particular, se obt ine:n1(1)n+1n= ln 2.37. f(x) = arctgx; sa se calculeze apoi suma seriein0(1)n2n + 1.Solut ieDezvoltam n serie derivata funct iei:(arctgx) =11 +x2= n0(1)nx2n, [x[ < 1.90 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTAREIntegrandtermencutermen, rezulta(convergent a npunctele 1rezultaaplicand criteriul lui Leibniz):arctgx = n0(1)n2n + 1x2n+1, x [1, 1].In particular, se obt ine (seria Leibniz-Gregory):n0(1)n2n + 1=4.38. f(x) =x0sin ttdtSolut ieAplicand dezvoltarea funct iei sinus si integrand termen cu termen, rezulta:x0sinttdt =n=0(1)n(2n + 1)(2n + 1)!x2n+1Seria este convergenta peR .39. f(x) = sin2xSolut ieLiniarizand si aplicand dezvoltarea funct iei cosinus, se obt ine:sin2x =1 cos 2x2=n=1(1)n122n1(2n)! x2n.Seria este convergenta peR.40. f(x) =3(1 x)(1 + 2x)Solut ieDescompunem funct ia n fract ii simple :f(x) =3(1 x)(1 + 2x)=11 x +21 + 2x=n=0xn+n=0(2)nxn.Prima serie este convergenta pe (1, 1) iar a doua pe12,12. Rezulta:3(1 x)(1 + 2x)=n=0(1 + (1)n2n+1)xn, [x[ 0 se obt ine o serie de puteri avand razade convergent aR =limnn1 +1nn2= e. Seria este absolut convergentapentrut (0, e), deci pentrux > 1 si divergenta pentrut (e, ), adicax < 1 . Evident seria este uniform convergenta pex r ,r> 1. Dacax = 1 se obt ine o serie divergenta (se poate aplica criteriul necesar):1 +1nn2en=1 +1nnen 1.65. n11n!xnSolut ieFiey = x1; seria de puteri n11n!ynare raza de convergent aR = , deciseria init iala converge pentru oricex = 0.66. n0(1)n+1ensinxSolut ieFie y = esinx; seria de puteri n0(1)n+1ynare raza de convergent a R = 13.4. SERIIDEPUTERI,FUNCT IIELEMENTARE 99si converge daca si numai daca y (1, 1). Rezulta ca seria init iala convergedaca si numai daca sinx > 0, adicax kZ(2k, (2k + 1)).67. n1(1)nnsinnxSolut ieFiey= sin x; seria n1(1)nnynconvergedaca sinumaidacay (1, 1],deci seria init iala converge daca si numai dacax = (4k 1)2, k Z.68. n0xlnxn,x > 0Solut ieFiey=xlnx; seriaconvergedacasi numai daca [y[ 1,seria este absolut convergenta. Dacap (0, 1], seria este convergenta (part ile reala si imaginara sunt convergente- se aplica criteriul Abel-Dirichlet).70.n=0inzn,z CSolut ieR = 1, deci discul de absolut convergent a al seriei este [z[ < 1. Daca [z[ = 1sirul termenilor seriei nu tinde la 0 deci seria este divergenta .71.n=0(1 +ni)zn,z C100 CAPITOLUL3. SIRURIDEFUNCT II.FUNCT IIELEMENTARESolut ieR = 1, deci discul de absolut convergent a al seriei este [z[ < 1 . Daca [z[ = 1sirul termenilor seriei nu tinde la 0, deci seria este divergenta.72.n=0(z 2i)nn3n,z CSolut ieR = 3, deci discul de absolut convergent a este [z2i[ < 3 . Daca [z2i[ = 3,deciz 2i = 3eise obt ine seria n1einncare a fost studiata n capitolul 1,exercit iul 42.73.n=0(1)n zn+1n + 1,z CSolut ieR=1, deci discul deabsolut convergent aal seriei este [z[ 0 astfel ncatB(a, r) D. Atunci, pentruoricex B(a, r), exista [a, x] astfel ncatf(x) = Tm(f, a) +1m.In particular, rezulta calimxaRm(f, a)(x)| x a |m= 0.4.1. NOT IUNITEORETICE 111ExtremelocaleFieDosubmult imedeschisa nRnsi f : D R. Unpunct a Dsenumestepunctdeextremlocal pentrufunct iaf dacaexistaovecinatateV D a punctului a astfel ncat f(x) f(a) 0, x V(maxim local) sauf(x) f(a) 0, x V(minim local).Un puncta Dse numeste punct critic al luifdacafeste diferent iabilana siDf(a) = 0.TeoremaluiFermatCu notat iile de mai sus, dacaa D este punct de extrem local pentrufsifunct iafeste diferent iabila na, atuncia este punct critic al luif.Condit iisucientedeextremlocalFief C2(D) si ea D un punct critic pentruf. Daca forma patraticaD2f(a) este pozitiv denita (respectiv negativ denita) atunci a este minimlocal (respectivmaximlocal)al lui f. Dacamatriceahessianaarevaloriproprii de semne contrare, atuncia nu este extrem local.DifeomorsmeFieA, Bdoi deschisi dinRn. O aplicat ief:A Bse numeste difeomor-sm daca este bijectiva, de clasaC1si cu inversa de clasaC1.Teoremafunct ieiinverseDacaintr-unpuncta Adiferent ialaDf(a)esteizomorsmliniar(sau,echivalent, det (Jf(a)) =0), atunci f estedifeomorsmlocal njurul luia,adica existaV vecinatate a lui a si Wvecinatate a lui f(a) astfel ncatrestrict iaf: V Wsa e difeomorsm.Teoremafunct iilorimpliciteFieA RnsiB Rmdoua mult imi deschise.Notamx = (x1, x2, .., xn) A,y = (y1, y2, .., ym) B si (x, y) AB.FieF:AB Rm, F(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), .., fm(x, y)) o funct ie declasaC1. Fie (a, b) ABastfel ncatF(a, b) = 0 siD(f1, f2, .., fm)D(y1, y2, .., ym) = 0.Atunci exista V A vecinatate deschisa a lui a si W B vecinatate deschisaa luib si o unica funct ie : V Wcu proprietat ile: C1(V ),(a) = b si F(x, (x)) = 0, x V.112 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILEExtremeculegaturiFieM Rpo submult ime nevida si a M. Fiefo funct ie denita pe ovecinatatealui a. Sespunecapunctul aestepunctdeextrempentrufcu legaturaM(sau extrem condit ionat) dacaa este punct de extrem localpentrurestrict ialui flaM, sau, echivalent, dacaexistaV ovecinatatealuia astfel ncatf(x) f(a) sau f(x) f(a), x V M.TeoremamultiplicatorilorluiLagrangeFieD o submult ime deschisa dinRn+msi ef: D R o funct ie de clasaC1(D). NotamD (x, y) = (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., ym) variabilele dinD.Fiegk : D R, k 1, 2, ..., m funct ii de clasaC1(D) si eM= (x, y) D [ gk(x, y) = 0, 1 k m.Daca (a, b) Meste punct de extrem local pentrufcu legaturaMastfelncatD(g1, g2, ..., gm)D(y1, y2, ..., ym)(a, b) = 0,atunci exista = (1, 2, ..., m) Rmastfel ncat (a, b) sa e punct critical funct ieiF(x, y, ) = f(x, y) +1g1(x, y) +2g2(x, y) +... +mgm(x, y),sau, echivalent, (a, b) este solut ie a sistemului den + 2m ecuat ii cun + 2mnecunoscute:Fxj= 0,Fyk= 0,gk = 0, j 1, 2, ..., n, k 1, 2, ..., m.4.2 Derivatepart ialesidiferent iala1. Fief : R2R,f(x, y)=2x3y ex2. Sasecalculeze, cudenit ia,derivatele part iale de ordinul ntai ale luif n punctele (0, 0) si (1, 1).Solut ieObservam ca f este continuan cele doua puncte. Aplicand denit ia, obt inem:fx(0, 0) =limx0f(x, 0) f(0, 0)x=limx0ex2+ 1x= 0.fy(0, 0) = limy0f(0, y) f(0, 0)y= 0.4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 113fx(1, 1) =limx1f(x, 1) f(1, 1)x + 1=limx12x3ex2+ 2 +ex + 1= 6 + 2e.fy(1, 1) = limy1f(1, y) f(1, 1)y 1= 2.2. a. Sasestudiezeexistent aderivatelor part iale noriginepentrufunct iaf(x, y, z) =x2+y2+z2.b. Este funct iag : R2 R,g(x, y) = xx2+y2de clasa (1(R2) ?Solut iea. Aplicand denit ia, se obt ine:limx0f(x, 0, 0) f(0, 0, 0)x=limx0[x[x.Limita de mai sus nu exista, deci funct ia f nu are derivate part iale n origine.b. Pentru orice (x, y) = (0, 0), avem:gx(x, y) =2x2+y2x2+y2,gy(x, y) =xyx2+y2.In origine derivatele part iale exista si sunt nule:gx(0, 0) =limx0x[x[x= 0,gy(0, 0) = 0.Vericam daca derivatele part iale sunt continue (n origine):lim(x,y)(0,0)gx(x, y) = lim(x,y)(0,0)2x2+y2x2+y2= 0,deoarece2x2+y2x2+y2 2x2+y2;lim(x,y)(0,0)gy(x, y) = lim(x,y)(0,0)xyx2+y2= 0,deoarecexyx2+y2x2+y2. Rezulta caf (1(R2).3. Folosinddenit ia, sasecalculezederivatelepart ialedeordinul aldoilea ale funct iilor urmatoare, n punctele indicate:114 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILEa. f: R2 R,f(x, y) =x2+y2n (1, 0) si (1, 1).b. g : R3 r,g(x, y, z) = xeyzn (0, 0, 0) si (1, 1, 1).Solut iea. Se calculeaza mai ntai derivatele part iale de ordinul ntai ntr-un punctarbitrar (x, y) = (0, 0):fx(x, y) =xx2+y2,fy(x, y) =yx2+y2.Calculam acum derivatele part iale de ordinul al doilea (cu denit ia):2fx2(1, 0) =limx1fx(x, 0) fx(1, 0)x 1=limx1xx2 1x 1= 0.2fy2(1, 0) = limy0fy(1, y) fy(1, 0)y= limy0yy1 +y2= 1.2fxy(1, 0) =limx1fy(x, 0) fy(1, 0)x 1= 0.2fyx(1, 0) = limy0fx(1, y) fx(1, 0)y= limy011+y2 1y= 0.Analog se calculeaza si n punctul (1, 1).b. Derivatele part iale de ordinul ntai ntr-un punct arbitrar sunt:gx(x, y, z) = eyz,gy(x, y, z) = xzeyz,gz(x, y, z) = xyeyz.In (0, 0, 0) toate derivatele part iale de ordinul al doilea sunt nule. In punctul(1, 1, 1), avem:2gx2(1, 1, 1) = 0,2gyx(1, 1, 1) = e =2gzx(1, 1, 1),celelalte calculandu-se analog.4. Fief : R3R2,f(x, y, z)=(x2 yz, y2 z2). Sasecalculeze,folosind denit ia, derivata dupa direct ia h = (13,23,23) a funct iei f n punctul(x, y, z) = (1, 1, 2).Solut ieAplicand denit ia, obt inem:dfdh(1, 1, 2) = limt0f(1, 1, 2) +t(13,23,23)f(1, 1, 2)t=4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 115= limt01 43t 13t2, 3 43t(1, 3)t=43, 43.5. Fief: R3 R2,f(x, y, z) = (x3y3, x3+ y3+ z3). Sa se calculezederivata dupa direct iah =16(1, 1, 2) a luif n punctul (1, 1, 1).Solut ieSe aplica denit ia (ca n exercit iul precedent).6. Sa se calculeze laplacianul urmatoarelor funct ii:a. f: R2` (0, 0) R, f(x, y) = ln(x2+y2).b. g : R3` (0, 0, 0) R,g(x, y, z) = ln(x2+y2+z2).c. h : R2` (0, 0) R,h(x, y) =1x2+y2.d. k : R3` (0, 0, 0) R,k(x, y, z) =1x2+y2+z2.Solut ieLaplacianul unei funct iifden variabile, este, prin denit ie:f=2fx21+2fx22+... +2fx2n.O funct ie al carei laplacian este nul se numeste funct ie armonica.a. Calculam derivatele part iale:fx(x, y) =2xx2+y2,fy(x, y) =2yx2+y22fx2(x, y) =2y22x2(x2+y2)2,2fy2(x, y) =2x22y2(x2+y2)2,si deci f= 0.b. Derivatele part iale:gx(x, y, z) =2xx2+y2+z2,116 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILE2gx2(x, y, z) =2y2+ 2z22x2(x2+y2+z2)2 ,si deci g =2x2+y2+z2.c. Derivatele part iale:hx(x, y) =x(x2+y2)3,2hx2(x, y) =2x2y2(x2+y2)5,si deci h =1(x2+y2)3.d. Derivatele part iale:kx(x, y, z) =x(x2+y2+z2)3,2kx2(x, y, z) =2x2y2z2(x2+y2+z2)5,si deci k = 0.7. Sa se calculeze laplacianul funct iilor:a. f(x, y) = (x2+y2)1.b. g(x, y, z) = (x2+y2+z2)1.Solut iea.2fx2(x, y) =6x22y2(x2+y2)3, deci f= 4(x2+y2)2.b.2gx2(x, y, z) =6x22(y2+z2)(x2+y2+z2)3, deci g = 2(x2+y2+z2)2.8. Fie funct iaf(x, y) =xyx2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)Sa se demonstreze cafeste continu a, are derivate part iale de ordinul ntain orice punct si nu este diferent iabila n origine.Solut ieDininegalitatea: [f(x, y)[ [x[rezulta lim(x,y)(0,0)f(x, y)=0, decifunct ia4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 117estecontinua. Esteevidentca noricepunct (x, y) =(0, 0) funct iaarederivate part iale de ordinul ntai; studiind existent a lorn origine (cu denit ia),obt inem:fx(0, 0) =fy(0, 0) = 0.Demonstram acum cafnu este diferent iabila n origine; daca ar , atuncidiferent iala sa ar aplicat ia identic nula deoarece:df(0, 0)(x, y) =fx(0, 0)x +fy(0, 0)y = 0.Din denit ia diferent iabilitat ii ar trebui ca:lim(x,y)(0,0)f(x, y) f(0, 0) df(0, 0)(x, y)x2+y2= lim(x,y)(0,)xyx2+y2= 0,contradict ie cu faptul ca aceasta limita nu exista. (se pot folosi coordonatelepolare).9.Sa se studieze continuitatea si existent a derivatelor part iale n originepentru funct iile:a. f(x, y) =x3yx2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)b. g(x, y) =x3y2x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0).Solut iea. lim(x,y)(0,0)f(x, y) = lim(x,y)(0,0)x3yx2+y2== lim0(2cos3 sin)= sin,deci funct ia nu este continua n origine.Studiem acum existent a derivatelor part iale:limx0f(x, 0) f(0, 0)x=limx0x3x[x[= 0,limy0f(0, y) f(0, 0)y= limy0yy [y[= ,decifnu este derivabila part ial n raport cuy n origine.b. Din inegalitatea: [f(x, y)[ x2+y2, rezulta ca funct ia g este continua118 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILEn origine.Studiem acum existent a derivatelor part iale:limx0g(x, 0) g(0, 0)x=limx0x2[x[= 0,limy0g(0, y) g(0, 0)y= limy0y[y[.Ultima limita nu exista,deci gnu este derivabila part ial n raport cuy norigine.10. Sa se demonstreze ca urmatoarele funct ii sunt diferent iabile n orig-ine dar nu sunt de clasa (1:a. f(x, y) =(x2+y2) sin1x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)b. g(x, y) =xy2x2+y4daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)c. h(x, y, z) =xy2zx2+y4+z2daca (x, y, z) = (0, 0, 0)0 daca (x, y, z) = (0, 0, 0)Solut iea. Calculand derivatele part iale de ordinul ntai, se obt ine:fx(x, y) =2xsin1x2+y2 2xx2+y2 cos1x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)fy(x, y) =2y sin1x2+y2 2yx2+y2 cos1x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)Derivatele part iale sunt continue n orice punct (x, y) = (0, 0), dar n orig-inenusunt continuedeoarece lim(x,y)(0,0)fx(x, y) nuexista(sepot folosicoordonatele polare). Am demonstrat deci cafnu este de clasa (1peR2.Studiem diferent iabilitatea n origine (n rest, derivatele part iale ind con-tinue, funct ia este diferent iabila):lim(x,y)(0,0)f(x, y) f(0, 0) df(0, 0)(x, y)x2+y2== lim(x,y)(0,0)x2+y2sin1x2+y2= 0,4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 119decifeste diferent iabila n origine.b. In puncte (x, y) = (0, 0) derivatele part iale sunt:gx(x, y) =y6(x2+y4)x2+y4.,gy(x, y) =2xy5(x2+y4)x2+y4.Evident, (cu denit ia), n origine derivatele part iale sunt nule.Derivatele part iale nu sunt continue n origine; demonstram pentrugx:limx0gx(x, 0) = 0,limy0gx(y2, y) =12,deci lim(x,y)(0,0)gxnu exista.Demonstram cag este diferent iabila n origine:lim(x,y)(0,0)g(x, y) g(0, 0)x2+y2= lim(x,y)(0,0)xy2x2+y4x2+y2= 0,deoarece: xx2+y41silim(x,y)(0,0)y2x2+y2= 0.c. Lasam ca exercit iu faptul ca h nu este de clasa (1; demonstram ca h estediferent iabila norigine. Derivatelepart iale noriginesunttoatenule(seaplica denit ia); diferent iabilitatea:lim(x,y,z)(0,0,0)f(x, y, z) f(0, 0, 0)x2+y2+z2== lim(x,y,z)(0,0,0)xy2zx2+y4+z2x2+y2+z2= 0,deoarece:xzx2+y4+z2 1si120 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILElim(x,y,z)(0,0,0)y2x2+y2+z2= 0.11. Sa se demonstreze ca urmatoarele funct ii nu sunt continue n orig-ine, totusi au derivate partiale n acest punct.a. f(x, y) =xy2x2+y4daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)b. g(x, y) =ex2y2 +y2x2daca xy = 00 daca xy = 0Solut iea. Pentruademonstracafunct ianuestecontinua norigine, sepotcon-siderasirurile: (xn, yn) =(1n2,1n) (0, 0)si (xn, yn) =(1n,1n) (0, 0);atunci:limnf(xn, yn) =12,limnf(xn, yn) = 0.Derivatele part iale:fx(0, 0) =fy(0, 0) = 0.b. Pentru a demonstra ca funct ia nu este continua n origine, calculam:limx0g(x, mx) =limx0ex2(mx)2+(mx)2x2 = e1m2 +m2,deci limita nu exista (depinde dem).Derivatele part iale n origine sunt ambele nule (rezulta direct din denit iafunct iei).12. Fie funct iaf(x, y) =xy sinx2y2x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)a. Sa se arate cafeste de clasa (1peR2.b. Sasearatef arederivatepart ialemixtedeordinul al doilea noricepunct si sa se calculeze2fxysi2fyx n origine; este funct iafde clasa (2peR2?Solut iea. Derivatele part iale de ordinul nt ai sunt:fx(x, y) =y sinx2y2x2+y2 +4x2y3(x2+y2)2 cosx2y2x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 121fy(x, y) =xsinx2y2x2+y2 4y2x3(x2+y2)2 cosx2y2x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)Se demonstreaza cafxsifysunt continue, decifeste de clasa (1peR2.b. Evident, funct ia are derivate part iale de ordinul al doilea n orice punct(x, y) = (0, 0); studiem existent a derivatelor mixte n origine (cu denit ia):2fxy(0, 0) =limx0xsin 1x= sin 1;2fyx(0, 0) = limy0y sin(1)y= sin 1.Funct ia nu este de clasa (2peR2; daca ar fost, atunci, conform teoremeide simetrie a lui Schwartz, cele doua derivate mixte de ordinul al doilea ar trebuit sa e egale.13. Fie funct ia: f(x, y) =xy3x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)a. Sa se arate cafeste de clasa (1peR2.b. Sasearatef arederivatepart ialemixtedeordinul al doilea noricepunct si sa se calculeze2fxysi2fyx n origine; este funct iafde clasa (2peR2?Solut ieDerivatele part iale de ordinul ntai sunt:fx(x, y) =y5x2y3(x2+y2)2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)fx(x, y) =3x3y2+xy4(x2+y2)2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)Derivatele part iale de ordinul al doilea n origine:2fxy(0, 0) =limx0fy(x, 0)x= 0,2fyx(0, 0) = limy0fx(0, y)y= 1,deci funct ia nu este de clasaC2(R2).14. Sa se studieze existent a derivatelor part iale si a diferent ialei n orig-ine pentru funct ia: f(x, y) =xy2yx2x2+y2daca (x, y) = (0, 0)0 daca (x, y) = (0, 0)122 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILESolut ieFunct iaarederivatepart iale noricepunct, darnuestediferent iabila norigine.15. Fief: R3R ;f(x, y, z)=x2+ yz xysi a=(1, 1, 2). Sasedetermine versoruls stiind cadfds(a) este maxim.Solut iedfds(a) = sgradaf=| s || gradaf |cos(s, gradaf) ==| gradaf |cos(s, gradaf).Deci maximul se obt ine atunci cands are aceeasi direct ie si acelasi sens cugradaf. Rezulta: gradaf= (1, 1, 1) s =13(1, 1, 1).16. Fief : R3R ;f(x, y, z)=xy2 2xyzsi a=(2, 1, 1). Sasedetermine versoruls stiind cadfds(a) este minim.Solut ieRepetand rationamentul din exercit iul anterior, rezulta ca minimul se obt ineatunci cands are aceeasi direct ie si sens opus cu gradaf.Rezulta: gradaf= (1, 0, 4) s =117(1, 0, 4).17.Sa se calculeze jacobienii transformarilor n coordonate polare, cilin-drice si sferice.Solut ieTransformarea n coordonate polare este:(x, y) = ( cos , sin ), (, ) (0, ) (0, 2).Jacobianul ntr-un punct arbitrar (, ) este:D(x, y)D(, )= detcos sin sin cos = Transformarea n coordonate cilindrice este(x, y, z) = ( cos , sin , z), (, , z) (0, ) (0, 2) R.4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 123Jacobianul ntr-un punct arbitrar este:D(x, y, z)D(, , z)= detcos sin 0sin cos 00 0 1 = .Transformarea n coordonate sferice este(x, y, z) = ( sin cos , sin sin, cos ), (, , ) (0, )(0, )(0, 2).Jacobianul ntr-un punct arbitrar este:D(x, y, z)D(, , )= detsin cos cos cos sin sinsin sin cos sin sin cos cos sin 0 = 2sin .18.Fie funct ia f: R2 R,f(x, y) = ex+y. Sa se scrie polinomul Taylorde graduln asociat funct ieif n punctele (0, 0) si (1, 1).Solut ieFiem, k N,k m n. Se calculeazamfxkymk(x, y) = ex+ysi decimfxkymk(0, 0) = 1,mfxkymk(1, 1) = 1.RezultaTn(f, (0, 0))(x, y) = 1 +11! (x +y) +12!(x +y)2+... +1n!(x +y)n.Tn(f, (1, 1))(x, y) = 1 +11!((x 1) + (y + 1))++ 12!((x 1)2+ 2(x 1)(y + 1) + (y + 1)2) +.. +1n! ((x 1) + (y + 1))n== Tn(f, (0, 0)).19. Sa se calculeze aproximarea liniara n jurul originii a funct ieif(x, y, z) =x + 1(y + 1)(z + 1)124 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILESolut ieSe calculeazafx(0, 0, 0) =12,fy(0, 0, 0) =fz(0, 0, 0) = 12.Aproximarea ceruta este polinomul Taylor de gradul ntai:T1(f, (0, 0, 0))(x, y, z) = 1 + 12(x y z).20.Sa se calculeze aproximativ1, 0130, 97 , folosind polinomul Taylorde gradul 2 asociat funct ieif(x, y) = x3y n punctul (1, 1).Solut ieSe calculeazafx(1, 1) =12,fy(1, 1) =13, 2fx2(1, 1) = 14,2fxy(1, 1) =16,2fy2(1, 1) = 29.Aproximarea de ordinul 2 a funct ieif n jurul punctului (1, 1) estef(1 +h, 1 +k) f(1, 1) +11!fx(1, 1)h +fy(1, 1)k++ 12!2fx2(1, 1)h2+ 22fxy(1, 1)hk +2fy2(1, 1)k2.Inparticularpentruh = 0, 1 si k= 0, 3,obt inemvaloareaaproximativaceruta.21. Sa se determine aproximarea liniara a funct iei f(x, y) = x2ex2+y2njurul punctului (1, 1).Solut ieSe calculeaza polinomul Taylor de gradul ntai.22. Sa se calculeze aproximative0,241, 02.Solut ieSe poate folosi polinomul Taylor de gradul al doilea asociat funct ieif(x, y) = ex4y.4.2. DERIVATEPART IALESIDIFERENT IALA 12523. Sa se determine polinomul Taylor de graduln al funct ieif(x, y) = e2x+yn origine.Solut ieDerivatele part iale de ordinulk sunt:kfxkjyj(x, y) = 2kje2x+y, j 0, 1, ..., k.Rezulta:1k!kj=0Cjkkfxkjyj(0, 0)xkjyj=1k!kj=0Cjk2kjxkjyj,deci polinomul Taylor de graduln n origine este:Tn(f, (0, 0))(x, y) =nk=01k!kj=0Cjk2kjxkjyj.24. Sa se determine polinomul Taylor de graduln al funct ieif(x, y, z) = ex+y+zn origine.Solut ieAnalog cu exercit iul anterior:mfxiyjzk(x, y, z) = ex+y+z, m = i +j +k.Rezulta:Tn(f, (0, 0, 0))(x, y, z) =nk=01k!(x +y +z)k.25. Sa se calculeze diferent ialele funct iilor:a. f: R2` (x, y) [ x = 0,f(x, y) = arctgyx.b. g : R2` (x, y) [ y = 0,g(x, y) = arctgxy.Solut ieIntr-un punct (x, y) R2`(x, y) [ xy = 0, din domeniul comun al funct iilorfsig diferent ialele sunt egale:df(x, y) = dg(x, y) = yx2+y2dx +xx2+y2dy.126 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILE4.3 Diferent ialafunct ieicompuse26. Fief (2(R2) si eg : R2 R,g(x, y) = f(x2+ y2, x2y2). Sa secalculeze derivatele part iale de ordinul ntai si al doilea ale funct ieig.Solut ieFieu = x2+y2siv = x2y2; derivatele part iale ale funct iiloru siv sunt:ux= 2x,uy= 2y,vx= 2x,vy= 2y. Rezulta:gx=fuux +fvvx= 2xfu +fvgy=fuuy+fvvy= 2yfu fv.Derivatele part iale de ordinul al doilea:2gx2=xgx=x2xfu +fv== 2fu +fv+ 2x2fu2ux +2fvuvx +2fuvux +2fv2vx== 2fu +fv+ 4x22fu2+ 22fuv +2fv2.2gxy=2gyx=ygx=y2xfu +fv== 2x2fu2uy+2fvuvy +2fuvuy+2fv2vy= 4xy2fu2 2fv2.2gy2=ygy=y2yfu fv== 2fu fv+ 2y2fu2uy+2fvuvy 2fuvuy 2fv2vy== 2fu fv+ 4y22fu2 22fuv +2fv2.27. Fier =x2+y2+z2si ef (1(R). Sa se calculeze laplacianulfunct iilorg(x, y, z) = f1r sih(x, y, z) = f(r).4.3. DIFERENT IALAFUNCT IEICOMPUSE 127Solut ieCalculam mai ntai:x1r= xr3,x (r) =xrDerivatele part iale ale funct ieig:gx= f1r xr3,2gx2= f1r xr32f1r3x2r2r5Rezulta g =1r4f1r. Derivatele part iale ale funct ieih:hx= f(r)xr,2hx2= f(r)x2r2+f(r)r2x2r3,deci h = f(r) +2rf(r).28. Daca f (2(R3) si u(x, y) = f(x2+y2, x2y2, 2xy) sa se calculezederivatele part iale de ordinul al doilea ale funct ieiu.Solut ieFiep = x2+y2, q = x2y2sir = 2xy.ux=fppx +fqqx +frrx= 2xfp + 2xfq+ 2yfruy=fppy +fqqy +frry= 2yfp 2yfq+ 2xfr2ux2= 2fp + 2x2fp2px +2fpqqx +2fprrx+ 2fq++2x2fqppx +2fq2qx++2x2fqrrx+ 2y2frppx +2frqqx +2fr2rx== 4x22fp2+2fq2+ 22fpq+4xy2fpr +2fqr+4y22fr2 +2fp+2fq2uxy= 4xy2fp2 2fq2+2fr2+ 4(x2+y2)2fpr+128 CAPITOLUL4. FUNCT IIDIFERENT IABILE+4(x2y2)2fqr + 2fr2uy2= 4y22fp2+2fq2 22fpq+ 4xy2fpr 2fqr++4x22fr2+ 2fp 2fq.29. Fiea R si eg sih doua funct ii de clasa (2peR. Sa se demon-streze caf(x, y) = g(x ay) +h(x +ay) verica ecuat ia coardei vibrante:2fy2 a22fx2= 0.Solut ie Calcul direct.30. Saseaef (2(R)stiindcafunct iau(x, y)=f(x2 y2)estearmonica peR2.Solut ieO funct ie este armonica daca satisface relat ia2ux2 +2uy2= 0.ux= 2xf(x2y2) ;2ux2= 2f(x2y2) + 4x2f(x2y2).uy= 2yf(x2y2) ;2uy2= 2f(x2y2) + 4y2f(x2y2)Inlocuind n2ux2+2uy2= 0, rezulta 4(x2+ y2)f(x2 y2) = 0; n nal seobt inef(t) = at +b, cua, b R arbitrar xate.31. Sa se aef (2(R) stiind ca funct iav(x, y) = f(yx) este armonica.Solut ievx= yx2f(yx) ;2v