problemasresueltosdeanlisisrealsec3-140810205750-phpapp02

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

FRANCISCO MORAZÁN FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

Departamento de Ciencias Matemáticas

PROBLEMAS DE ANÁLISIS REAL, SECCIÓN B: Primer período 2012

Ejercicios de la sección 3.1

1. La sucesión nx se define por las siguientes fórmulas para el n-ésimo término. Escribir los cinco

primeros términos en cada caso

a)

1 1 0 2 0 2 0( ) . : , , , , ,nn n

x x

b) 1 1 1 1

2 3 4 5

11

( ). : , , , , ,

n

n nx x

n

c) 1 1 1 1 1

2 6 12 20 30

1

1. : , , , , ,

( )n nx x

n n

d) 1 1 1 1 1

2 3 6 11 18 27

1

2. : , , , , ,

n nx x

n

2. Se presentan abajo los primeros términos de una sucesión .nx Suponiendo que el “patrón

natural” indicado por estos términos persiste, dar una fórmula para el n-ésimo término .n

x

a) 5 7 9 11 2 3, , , ,n

x n

b)

11 1 1 1

2 4 8 16

1

2, , , ,

n

n nx

c) 1 2 3 4

2 3 4 5 1, , , ,

n

n nx

d) 21 4 9 16, , , ,

nx n

3. Enumerar los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas inductivamente.

a) 1 11, 3 1 1 4 13 40 121: : , : , , , , ,

n n nx x x x

b) 1 2

1 1 22, 2, 1.5, 1.416666667, 1.414215686, 1.414213562,: : , :

n n nn

y y y yy

c) 1

1 2 21

1, 2,: : : ,n n

nn n

z zz z z

z z

1 2 3 5 4: , , , , ,n

z

d) 1 2 2 1

1, 2,: : : .n n n

s s s s s

3 5 8 13 21: , , , , ,n

s

4. Para cualquier ,bR demostrar que 0.b

nlím

Definiremos la función cielo, la cual utilizaremos como una aproximación al entero mayor más próximo al número

real x. La definiremos de la siguiente manera:

1 ( ),( )

,

parte entera de x si x no es un número enterocielo x

x si x es un número entero

n

0

1

0

( )

0, ( ) n ( ),

x : .

n nb b b bb b

b n K cielon n n

bPara toda existe un número natural K cielo tal que para toda K

b blos términos satisfacen

n n

Por la definición de límite de una sucesión conve

1

1

0.

0

porque 0 0.

,

Si , según teorema 3.1.10 con , y

, se concluye que

b

n

n n

n

rgente lím

b bbC b a

n n n

blím lím

n

Observación.

5. Usar la definición del límite de una sucesión para establecer los siguientes límites.

a) 2 1

0,n

límn

2

2 2

2 2 2

2

2 221

2 2 2 2

2 2

10 1

1 41 1 1 1 4 11 0

2 2 24 4 4

1 4 1 41 1

2 2 2 2

11

1 1 1

,

, (Se descarta. ¿Por qué?)

n n n n n nn n

n n n n

nn n n

De donde n n

22 2

2 22 2 2

2 2 21

.2

1 1

2 2

1 4 1 4 1 1 41 10

2 2 2 2 2

1 2 12 10

1 12 1 2 2 1

,

1

n n n

n n nn n n n

n nn n n

2

1 1

2 21

nn

n

ℕ

21

,n

n

21

2

1

1

2

1 1 40

2

1

,( )

,

cieloK

Otra forma:

2 2 2 2

2 2

2

1 1

n

0 1

0

1 1 1( )

1 1 1

0, ( ) n ( ),

x : .1 1

, ,

n n n nn K cielo

n n n n n

Para toda existe un número natural K tal que para toda K

n nlos términos satisfacen

n n

o bien utilizando la segunda forma

2 2

2

2 2

n0

0.

0, ( ) n ( ),

x : .1 1

,1



n n

nPor la definición de límite de una sucesión convergente lím

n

b) 1

22,

nlím

n

2 2 2( 1) 2 2 2 2 2 1 12

1 1 1 1 1 2

2 2 2 21 11 ( ) 1 .

n n n n n n

n n n n n

n n K cielo cielo

n

2

2 22

1 1

22

1

0, ( )

n ( ), x : .

,

Para toda existe un número natural K cielo tal que

n npara toda K los términos satisfacen

n n


n

Otra forma:

n

2 2 2( 1) 2 2 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1

2

2 22

1 1

( )

0, ( ) n ( ),

x : .

n n n n nK cielo

n n n n n n

Para toda existe un número natural K cielo tal que para toda K


n n

Por la definición de

22.

1,

nlímite de una sucesión convergente lím

n

c) 3 1 3

,22 5

nlím

n

3 1 2(3 1) 3(2 5) 6 2 6 15 13 133

22 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5

2 2 5 1 13 13 5 13 5 13 32 5 1

13 2 4 2 4 2 4 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

0, ( )

n n n n n

n n n n n

nn n K cielo cielo

Para toda existe un número natural K cielo

n

3 3

4 2

3 1 3 1 3

22 5 2 5

3 1 3

22 5

n ( ), x : .

, .

tal que para toda

n nK los términos satisfacen

n n


n

Otra forma:

3 1 2(3 1) 3(2 5) 6 2 6 15 13 133

22 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5

13 13 13 4 1 13 131

2 2 5 2 2 4 13 4 4

( ) ( ) ( ) ( )

( ) .( ) ( )

n n n n n

n n n n n

nn K cielo

n n n

n

131

4

3 1 3 1 3

22 5 2 5

3 1 3

22 5

0, ( )

n ( ), x : .

, .

Para toda existe un número natural K cielo tal que para toda

n nK los términos satisfacen

n n


n

d) 2

2

11.

22 3

nlím

n

2 2 2 2 2

2 2 2 2

22

2

52 2 2

6

2( ) 1( 3) 2 2 2 3 51

2 2 2 3 2 2 3 2 2 3

5 2 2 3 1 52 2 3

52 2 3

5 5 5 3 5 32 3 2 3 0

2 2 4 2 4 2

1 1 2

2 3 ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

,

n n n n n

n n n n

nn

n

n n n n

5

2 2 6

5 5 5

62 2 3 4 6( )n

n n

ℕ

2

5

2 2 3,

( )n

5

6

15

6

5 31 0

4 2

1

,( )

,

cieloK

Otra forma:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2( ) 1( 3) 2 2 2 3 51

2 2 2 3 2 2 3 2 2 3

5 5 5 5

42 2 3 4 6 4

4 1 5

5 4

14

1 1 2

2 3 ( ) ( ) ( )

( )

5( )

n

n n n n n

n n n n

nn n n

n

K cielo

1 1

2 2

n 2 2

1

2

0, ( ) n ( ),

1 1x : .

2 3 2 3



n n

2 2

2 2

n 2 2

2

1

2

, ,

0, ( ) n ( ),

1 1x : .

2 3 2 3

1,

o bien utilizando la segunda forma



n n


2

1

2.

2 3n

6. Demostrar que

a) 7

10,lím

n

2

2 2 2

2

n

1 10 7 7

7 7 7

1 1 17 1 7 6

16

0

7 7

1 1 1

( )

0, ( )

1 1n ( ), x : .

n nn n n

n K cielo cielo


K los términos satisfacenn n

P

0.

7

1,or la definición de límite de una sucesión convergente lím

n

Otra forma:

2 2

2

n

10

7 7 7

1 11

11

0

7 7

1 1 1 1

( )

0, ( )

1 1n ( ), x : .

nn n n n

n K cielo


K los términos satisfacenn n

Por la definición de límite de una

0.

7

1,sucesión convergente lím

n

b) 2

22,

nlím

n

n

2 2 2( 2) 2 2 4 4 4 2 12

2 2 2 2 2 4

4 4 4 42 1

4

2

2 ( ) 2 1

0, ( ) 1

n ( ), x :

n n n n n n

n n n n n

n n K cielo cielo


nK los términos

n

22

2 2

22.

2

.

,

nsatisfacen

n


n

Otra forma:

n

2 2 2( 2) 2 2 4 4 4 4 12

2 2 2 2 2 4

4 41

41

2 2

2

( ) 2

0, ( ) n ( ),

x :

n n n n n n

n n n n n n

K cielo cielo



n n

22

22.

2

.

,n

Por la definición de límite de una sucesión convergente límn

c) 1

0,n

límn

2 22

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 21

.2 2 2 2

1

2

1 10 1

1 41 1 1 1 4 11

2 2 24 4 4

1 4 1 1 4 1 2 1 4 1 41

2 2 2 4

2 2 1 4 4 1 1 4 2 1 1 41, 0

4 2 2

2

2

1 1 1

( 1)

1 ( 1)

n n n n nn

n n n n

nn n n

n n

n

n n n n

n n

2

1

2

20

2 2

11

( 1) ( 1) 1

nn n

n n n

1 1

2 21

nn

n

ℕ ,

1

n

n

21

2 2

1

1

2

1 1 40

2

1

,( )

,

cieloK

1 1

n0

0

0, ( ) n ( ),

x : .1 1

,1



n n


n

Otra forma:

2

2 2

2 22

n

1 10

1

1

0

1

1 1 1

( )

0, ( ) n ( ),

x : .1 1

n n n n nn n

n n n n n n n

K cielo



n n

Por la definición de límite

0,1

nde una sucesión convergente lím

n

d) 2

10,

1

( )nnlím

n

2 2 2

21

2

1

1

2

1 10

1 1 40

2

1

( ) ( )( 5 )

1 1 1

,( )

,

n nn n nesta es la desigualdad del ejercicio a

n n n

cieloK

Otra forma:

2 2 2 2

2 2

2

1 1

n

1 10 1

1 10

( ) ( ) 1 1 1( )

1 1 1

0, ( ) n ( ),

( ) ( )x : .

1 1

,

n nn n n nn K cielo

n n n n n


n nn nlos términos satisfacen

n n

o bien utilizando la seg

2 2

2

2 2

n

1 10

10.

,

0, ( ) n ( ),

( ) ( )x : .

1 1

( ),

1

unda forma


n nn nlos términos satisfacen

n n

nnPor la definición de límite de una sucesión convergente lím

n

7. Sea n

1

1x :

ln( )n

para n ℕ.

a) Usar la definición de límite para demostrar que 0.n

lím x

1 1 1 1

1

n

1 1 10 1

1 1 1

1 1 ( 1 1

1

1

1ln( )

ln( ) ln( ) ln( )

/ / / /)

/ 0, ( )

n ( ), x :ln( )

K

nn n n

n n cielo cielo


K los términosn

e e e e

e

10

1

0.

.ln( )

,n

satisfacenn

Por la definición de límite de una sucesión convergente lím x

b) Encontrar un valor específico de ( )K como se requiere en la definición de límite para

i) 1 (1/ 2)1 1 2

2 27.389056098 8.

/( )K cielo cielo cieloe e

1

8 2

1 10.4551196133 < 0.5

8 1 9=

ln( ) ln( )x

ii) 1 (1/ 10)1 1 10

10 10) 22

/(22,026.465 ,79 027K cielo cielo cieloe e

1

22,027 10

1 10.09999930350 < 0.10

22,027 1 22,028=

ln( ) ln( )x

8. Demostrar que 0n

lím x si y sólo si 0.n

lím x Dar un ejemplo que muestre que la

convergencia de nx no implica la convergencia de .n

x

i) 0 0.n n

lím x lím x

0

0

0

0

0, ( ) ( ),

.

.

0, ( ) ( ),

n

n n

n n n n n

n

lím x Para toda existe un número natural K tal que para toda n K

los términos x satisfacen x

x x x porque x x

x

Para toda existe un número natural K tal que para toda n K

los t

0.

0 .

,

n n

n

érminos x satisfacen x


ii) 0 0.n n

lím x lím x

n

0

0

0

0

0, ( ) ( ),

.

.

0, ( ) ( ),

n

n n

n n n n

n



x x x porque x x

x


los t

n0.

0 .

,

n nérminos x satisfacen x


0 0 0

0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n

n n

1 2 3 4 5 6 7

n 2 3 4 5 6 7 8

1

1, , 1, ( 1 1 11 1

1, , 1, ( 1 1 11

1

( )x : : , , , , , , , , , ,

) ) 1

) ) ( ) 1

x : : , , , , , ,

n impar K

n par K

n cos n

n

n ni x n x

n n

nii x n x x

n

n

n

8 9 10

9 10 11

n n1

, , , ,

x , x . ¿ ?converge a pero diverge Por qué

9. Demostrar que si n

0x para toda n ℕ y n0lím x entonces n

0.lím x

2

n

0

0

0, ( ) ( ),

.

n

n



2 2 2n n n

2

0

0

0

porque por hipótesis 0 para toda

0, ( ) ( ),

.

n

n n n n

n n

x x x x n

x x x x



Por la definición de límite de una s

0.,n

ucesión convergente lím x

10. Demostrar que si nxlím x y si 0,x entonces existe un número natural M tal que

n0x

para toda .n M

Suponer lo contrario, es decir, que no existe tal número natural M tal que n

0x para toda

.n M

n0

0 0.

, ( ) ( ),

. Esta desigualdad es válida para

cualquier , en particular cuando :

n n

n n n

n

x

x

x


los términos x satisfacen x x

x x x x x x

x

x

0 0 0

0

2 para

toda ( ). : ( ), contradice lo supuesto.

Por tanto, existe tal que para toda .

n n n n

n

xx x x x x x x x x

n K Si M K se

un número natural M x n M

11. Demostrar que 1 1

01

.límn n

2

1 10

1

1 1 1 10

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 10 1

1 1 1 1

0, ( )

( ), : .

( )( )

( ) ( )

n

lím Para toda existe un número natural K tal quen n

para toda n K los términos x satisfacenn n n n

nn n n n

n n n n n n n n

21 1 1 1 1 12

4 4 2 4 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1

2

1 441

4 4 41 1 1 1 1 1

41 1

1

( )

0, ( )

n n n n

n K cielo cielo

Para toda existe un número natural K cielo

tal qu

2

1 1 1 1

1 1

1 10.

1

1 1 1 1 1 1 1 1 10

1 1 1 1

1 1

( ), : 0 .

,

Otra forma :

( ).

( ) ( )

ne para toda n K los términos x satisfacen

n n n n

Por la definición de límite de una sucesión convergente límn n

n

n n n n n n n n nn n

n Kn

11

11

1 1 1 1

1 1

1 1

1

( )

0, ( )

( ), : 0 .

,

n

cielo


para toda n K los términos x satisfacenn n n n

Por la definición de límite de una sucesión convergente límn n

0.

12. Demostrar que 1

0.3n

lím

3 3 3

10

1 10

1 1 1 10 1

0, ( )3

( ), : .3 3

3 ( )3 3

n

n n n

n

n n

lím Para toda existe un número natural K tal que

para toda n K los términos x satisfacen

n log n log K cielo log

3

1 1

10.

0, ( )

( ), : 0 .3 3

,3

n n n

n

Para toda existe un número natural K cielo log tal que

para toda n K los términos x satisfacen

Por la definición de límite de una sucesión convergente lím

13. Sea b que satisface 0 1.b Demostrar que 0.nlím nb [Sugerencia: usar el teorema

del binomio como en el ejemplo 3.1.11 d.]

1 1

1 1 1

1 12 2

1 22 2

2

2

2 2

2

0 1 1 1 0.

1: 1 0 1 1

1

1 11 1 1 1

1 1

1 2

1 1

1 2 20

1 1 1 1

20

1

: : :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

b b

b b b

n

n

n

n n

n n

n n

Sea a

n

b

a a ba

a na n n a n n aa n n a

a n n a

nnb n nb

a a n n a n a

nb nbn a

2

2 10

1

0.

.

Tomando , , , , por el teorema 3.1.10,

se concluye que

nn n

n

x nb x C aa n

lím nb

14. Demostrar que 1

2 1/

.n

lím n

Porque 1

2 1/ n

n para 1,n puede escribirse 1

2 1/ n

nn k para alguna 0

nk

cuando 1.n Por consiguiente, 2 1n

nn k para 1.n Por el teorema del binomio, si

1n se tiene

1 12 2

2 22 1 1 1 1 1( ) ( ) ,

n

n n n nnn k k n n k n n k

de donde se sigue que

1 2

22 1 1( ) .

nn n n k

Por consiguiente,

22 2 1 1( ) ( ) ,

nn n n k

Además, se cumple también que 8( 1 2 2 1 1, ya que :) ( ) paran n n

1 2 3 0

4 2 4 1 0

4 4 2 1 0

4( 1 (2 1 0

4( 1 2 1

8( 1 2 2 1

) )

)

) ( )

n n

n n

n n

n n

n n

n n

Luego, por transitiva de la desigualdad mayor que, se obtiene

28( 1 1) ( ) .

nn n n k

Despejando para ,n

k resulta

2 2 2 2 8 88( 1 1 8 8) ( )

n n n n nn n n k nk nk k k

n n

Dada 0 y como2

8

ℕ, de la propiedad de Arquímedes se sigue que existe un número natural

N

tal que 2

8,N

es decir, 28.

N

Sea 8, .n máx N

De donde sigue que 28 8,

n N

de donde

1 1

1 2

1

1

2 1 2 1 0

80 2 1

0 2 1

2 1

/ /

/

/

/

n n

n n

n

n

n

n

n k n k

n kn

n

n

1 1

1

8

2 2 1

2 1.

0, ( ) ,

/ /( ), : .

/,

n n

n

n

Para toda existe un número natural K máx N tal que

para toda n K los términos x n satisfacen n

Por la definición de límite de una sucesión convergente lím n

15. Demostrar que 2

0.!

nlím

n

2 2 2

2 2

2 2

0 31 2 3 1 2 3 1 2

3 2 31 1 2 3)

3 1 2 1 2 3 1 2 3

3 2 3 2

1 2 3 1 2

para .! ! ( )( ) ( )! ( )( ) ( )! ( )( )

( )( ) (Ahora bien,

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) (

n n n n nn

n n n n n n n n n n n

n n n nn n n n n

n n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n

2

2

0 33

13,

1 2 3

10 3 3 3

3

3

para .)

Por tanto, para , luego( )( )

1 1 1( )

!

1 0, ( )

( ), :!n

n

nn

n n n

nn n K cielo

n n


npara toda n K los términos x sat

n

2

2

0

0.

.!

,!

nisfacen

n


n

16. Demostrar que 2

0.!

n

límn

[Si 3,n entonces 2

2

3

20 2 .

!

n n

n

]

1 2

2 2

2

12 2

12 2 2 1 2

2 23 3 3 2

3

1 1

2 2

2 2

3 3

2 2 2 2 2 2 20 3

1 2 5 4 3 2 1 3 3 3 3 2 1 3 3

20 2 2 2

2 2

para! ! ( )( )

( )!

( )

n nn n n n

n n

n factores

n n n

nn n n n n

lnn ln ln n

n ln

ln lnn K cielo

ln ln

Para to

1

2

2

3

2

2 20

20.

0, ( )

( ), : .! !

,!

n n

n

n

lnda existe un número natural K cielo tal que

ln

para toda n K los términos x satisfacenn n

Por la definición de límite de una sucesión convergente límn

22

3

4 2 4 2 22 2 2

3 3 3

:

21) La proposición : 3 0 2

2 2 164 2 2 2

Si > , entonces puede probarse!

también por inducción mátemática.

2 8) Para = , y

! 4! 24 3 9

8 2 8 6 2 2 8. Luego, y la proposición se cumple par

9 3 9 9 9 3 9

n n

n n

nn

i nn

Observaciones

12 1

2 2

3 3

4.

2 2) Suponer 2 2

1

1 1 1 1 1 1 2 23 1 4

1 4 4 3 1 3 1 3

2 2 2 2

1 3 1 3

a =

y demostrar! ( )!

> > < < < <

<

nn n n

ii

n

n n

n n yn n n

n n

2 22 2

3 3

1 12

3

22

3

2 2 2 2 2 22 2

1 3 1 3

22

1

22

por! !

( )!

.!

n nn n

n n

n n

HIn n n n

n

para todo número natural nn

2 22 2

3 3

29 92 2

( )4 43 3

20 2

2porque 0 0 0.

2) Si , según teorema 3.1.10 con 2, y!

, se concluye que!

n n n

n

nn n

C an

lím lím límn

17. Si 0.n

lím x x demostrar que existe un número natural K tal que si n K , entonces

1

22 .

nx x x

1

2

1

2

0, ( )

( ), .

.

Tomando y sustituyéndolo en la última desigualdad, se obtiene

n

n n

n n n

n

lím x x Para toda existe un número natural K tal que

para toda n K los términos x satisfacen x x

x x x x x x x

x

x x x x

1 1 3 1

2 2 2 2

3

2

1 1

2 2

2

2

para ,

Pero también, .

Por tanto, para .

n n

n

x x x x x x x n K x

x x

x x x n K x

problemasresueltosdeanlisisrealsec3-140810205750-phpapp02

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