Pauta POR Cálculo Numérico.

Ingeniería Civil Mecánica.5 de Enero de 2009

2 semestre 2008

Profesor: Amador Guzmán.Ayudante: Gerardo Silva Oelker.

Problema 1. (2 puntos)Calcule para x = 1 la función de Bessel de orden cero dada por la integral:

J0(x) =∫ π

0

cos(x sin(θ))dθ

Use una fórmula de cuadratura Gaussiana con dos sumandos.¿Es exacta su aproximación?, si no lo es, explique por qué.Solución.Como se necesita la función de Bessel para x = 1, laintegral que se debe resolver es:

J0(1) =∫ π

0

cos(sin(θ))dθ

Para utilizar cuadratuta Gaussiana el intervalo de la integral debe ser [−1, 1], por lo tanto, se debe hacer un cambio de variablesde la forma:

[0, π] −→ [−1, 1]↑ ↑θ y = aθ + b

Evaluando en los límites de cada intervalo se obtiene el sistema:

−1 = b

1 = πa− 1

Luego el cambio de variables es de la forma: y = 2θπ − 1 y dy = 2dθ

π

Reemplazando en la integral:

J0(1) =∫ 1

−1

cos(

sin(π

2[y + 1]

))π

2dy

Con dos sumandos los parámetros de la fórmula son:

ω0 = ω1 = 1; x0,1 = ± 1√3

Luego

J0(1) ≈ cos(

sin(π

2

[− 1√

3+ 1]))

π

2+ cos

(sin(π

2

[1√3

+ 1]))

π

2

J0(1) ≈ 2.5638 Resp.

Observación: El valor exacto J0(1) = 2.4039, Explique usted porque la aproximación no es exacta y como podría mejorar.

Problema 2. (2 puntos)Dos escaleras se cruzan es un pasillo. Cada escalera está colocada de la base de la pared a algún punto de la pared opuesta. lasescaleras se cruzan a una distancia h = 8[m], encima del suelo. Si las escaleras miden 20[m] y 30[m], calcule el ancho w delpasillo. Para ello plantee ecuaciones convenientes para cada escalera en términos de los ángulos que estas hacen con el suelo.Indicación: Use Newton-Rhapson en dos variables y dos iteraciónes.Solución.

1

Situación física de las escaleras:

Figura 1:Situación física

Para resolver este ejercicio se deben plantear ecuaciones trigonométricas básicas.

cos(φ) =ω

20; cos(β) =

ω

30

tan(φ) =h

L=⇒ L =

h

tan(φ)

tan(β) =h

ω − L=⇒ ω − L =

h

tan(β)

Sumando las dos últimas ecuaciones, se obtiene:

ω =h sin(φ+ β)sin(φ) sin(β)

∴ cos(φ) =h sin(φ+ β)

20 sin(φ) sin(β); cos(β) =

h sin(φ+ β)30 sin(φ) sin(β)

De acá se obtiene el sistema de ecuaciones no lineales:

f1 = 20 cos(φ) sin(φ) sin(β)− sin(φ+ β) = 0 (1)

f2 = 30 cos(β) sin(φ) sin(β)− sin(φ+ β) = 0 (2)

El método de Newton-Rhapson generalizado:

−→x k+1 = −→x k −D−1f

−→F (−→x k)

Donde:−→x =

{φ

β

}y Df viene dado por:

Df =

[∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

]Iteración 1: k = 0

Suponiendo que las escaleras están en 45.−→x 1 = −→x 0 −D−1

f

−→F (−→x 0)

−→x 0 ={π/4π/4

};−→F (−→x 0) =

{−0.9292.607

}; D−1

f =[

0 7.07110.607 0

]

∴ −→x 1 ={π/4π/4

}−[

0 7.07110.607 0

]{−0.9292.607

}={

0.540.917

}Iteración 2: k = 1

2

−→x 2 = −→x 1 −D−1f

−→F (−→x 1)

−→x 1 ={

0.540.917

};−→F (−→x 1) =

{−0.947−0.502

}; D−1

f =[

0.059 0.0530.138 −0.079

]

∴ −→x 2 ={

0.540.917

}−[

0.059 0.0530.138 −0.079

]{−0.947−0.502

}={

0.6221.008

}Finalmente reemplazando en una de las ecuaciones del principio:

ω = 16.253[m] Resp.

Problema 3. (2 puntos)

Considere el siguiente conjunto de valores.

x 0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75 2.0f(x) 2.5 4.122 6.796 11.204 18.473 30.456 50.214 82.789 136.495

Se pide determinar el área bajo la curva que forma el conjunto de datos utilizando:

1. Mínimos cuadrados discretos con una función del tipo:

f(x) = αβx

Encuentre las ecuaciones normales y resuelva el sistema mediante el método de Gauss-Jacobi con una tolerancia deε ∼ 10−3

2. Trapecio compuesto de dos subintervalos.

Suponga que la función original es f(x) = 2.5 exp(2x) ¿Qué aproximación es mejor y porqué?Solución.

1. Antes de encontrar las ecuaciones normales se debe linealizar la función f(x) de la siguiente forma:

f(x) = αβx \ ln

ln f = lnα+ x lnβ

F = A+ xB

Donde:F = ln f ; A = lnα; B = lnβ

Debido a que se cambio la función al aplicar logaritmo natural, también se debe aplicar logaritmo natural a la tabla dedatos.

ln f = F 0.9162 1.4163 1.9163 2.4162 2.9163 3.4162 3.9163 4.4163 4.9162

Para encontrar las ecuaciones normales se debe minimizar el error cuadrático medio de la siguiente forma:

E =n∑i=1

(Fi − (A+ xiB))2 Error cuadrático medio

Derivando con respecto a los parámetros A y B:

∂E

∂A= −2

n∑i=1

(Fi − (A+ xiB)) = 0

3

∂E

∂B= −2

n∑i=1

(Fi − (A+ xiB))xi = 0

Reordenando ambas ecuaciones y escribiendo el sistema en forma matricial se obtiene:[n

∑9i=1 xi∑9

i=1 xi∑9i=1 x

2i

]{A

B

}=

{ ∑9i=1 Fi∑9i=1 Fixi

}

Calculando las sumas correspondientes.

n = 9;9∑i=1

xi = 9;9∑i=1

x2i = 12.75

9∑i=1

Fi = 26.2463;9∑i=1

Fixi = 33.7463

El sistema queda: [9 99 12.75

]{A

B

}={

26.246333.7463

}Utilizando el método de Gauss-Jacobi (GJ) para resolver el sistema lineal:

9A+ 9B = 26.2463

9A+ 12.75B = 33.7463

Para emplear el método de GJ se debe reordenar el sistema para obtener un esquema iterativo de la forma

A(k+1) = 1/9(26.2463− 9B(k))

B(k+1) = 1/12.75(33.7463− 9A(k))

De este esquema para k = 0, 1, 2... se obtiene:

α = 2.5; β = 7.3891

Observación: Escoja ud. un vector inicial para comenzar las iteraciones. ¿Converge el sistema para todo vector inicial?Finalmente la función queda:

f(x) = 2.5 · 7.3891x

Para calcular el área se debe integrar entre 0 y 2 la función antes obtenida:

A =∫ 2

0

2.5 · 7.3891xdx = 2.5∫ 2

0

7.3891xdx

Reescribiendo la función de manera más conveniente:

7.3891x = eln(7.3891x) = ex ln(7.3891)

Se puede integrar fácilmente:

A = 2.5∫ 2

0

ex ln(7.3891)dx =2.5

ln(7.3891)ex ln(7.3891)

∣∣∣∣20

=2.5

ln(7.3891)(e2 ln(7.3891) − 1) = 66.9983 Resp.

2. Trapecio compuesto de dos subintervalos⇒ h = 0.25

T1 =0.252

(2.5 + 2 · 4.122 + 6.796) = 2.1925

T2 =0.252

(6.796 + 2 · 11.204 + 18.473) = 5.9596

T3 =0.252

(18.473 + 2 · 30.456 + 50.214) = 16.1998

T4 =0.252

(50.214 + 2 · 82.789 + 136.495) = 44.0358

4

Sumando todos los trapecios se obtiene:T = 68.3877 Resp.

Errores:Como se conoce la función sólo hay que integrarla entre 0 y 2.

Aexacta =∫ 2

0

2.5e2xdx = 66.9983

Se deja que ud. estudie cual es la mejor aproximación y tratar de explicar por qué.

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