problemas resueltos de geometría analítica
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Problemas resueltos de geometría analítica 1.
1. Hallar los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son los puntos
B (-2, 1), A (3, 4) y C (5,-2).
Para resolver este problema primero graficaremos el triángulo, para ello usaremos el
programa Geogebra.
β
α
γ
Este programa ya nos da los ángulos, de esta manera tendremos una guía, para saber a qué
debemos llegar.
Para resolver este problema usaremos las siguientes formulas:
, pendiente
, ángulo entre dos rectas
Aplicando las formulas, nos dará lo siguiente: obtenemos la primer pendiente entre la recta
A y B=m , B y C=m , B y A=m₃.
,
,
Ahora usaremos la segunda fórmula para obtener el primer ángulo CAB al que llamaremos
β, y después obtendremos el angulo ACB al que llamaremos γ.
, => tg β =
.
, => tg γ =
.
Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, por lo tanto
obtendremos el tercer ángulo en función da la suma de estos dos la cual será restada de
180° y obtendremos el ángulo ABC al que llamaremos α.
β + γ = 77.47° + 48.7° = 125.84°.
α = 180° - 125.84° = 54.16°.
Los ángulos buscados son: α = 54.16°, β = 77.47°, γ = 48.37°.
2. Demostrar que los puntos A(1, 1), B(5, 3), C(8, 0) y D(4,-2) son vértices de
un paralelogramo y hallar su ángulo obtuso.
β
α
θ
γ
Esta grafica fue hecha con el programa geogebra y los ángulos nos los da en forma
automática, des esta manera sabremos a que llegar.
Para comenzar las fórmulas que usaremos serán las siguientes:
,
, √ , distancia entre dos puntos.
Primero sacaremos la magnitud de cada lado.
‖ ‖= √ = √ , ‖ ‖= √ = √
‖ ‖= √ = √ , ‖ ‖= √ = √
Como las magnitudes de los lados paralelos AB, CD, son iguales y los lados AD, BC, son
iguales es un paralelogramo.
Para poder determinar el ángulo obtuso al que llamaremos β primero debemos determinar
las pendientes de las rectas formadas por los puntos CB y AB,.
La pendiente de CB =
=-1, la pendiente AB=
Ahora sacaremos el ángulo pedido
pero como sabemos que el ángulo buscado es obtuso
=> β = 180° - 71.56° = 108.44°
3. Hallar el área del triángulo A(1,-3), B(3, 3) y C(6,-1) empleando el seno del ángulo
BAC.
b
a
c
β
Las fórmulas que usaremos serán:
para obtener el área del triángulo.
√ para la distancia,
√ √
√ .
Primero calcularemos la distancia | | √ = √
luego calcularemos la distancia | | √ = √
luego calcularemos la distancia | | √ = √ =√ =
√
los números directores son:
B - A = [3-1, 3-(-3)] = [2, 6] C - A = [6-1, -1-(-3)] = [5, 2]
Si aplicamos la fórmula:
√ √ entonces tenemos que:
√ √ =
√ √ =
√ √ =
√ √ =
√ =
√
Con el valor obtenido resolvemos √
√ = √
√ = 0.7633
Ya con esta información aplicamos la fórmula del área en función del seno
S =
√ √ (0.7633) =
√
= 13
El área buscada es 13.
4. Demostrar que los puntos A(2, 2), B(5, 6), C(9, 9) y D(6, 5) son vértices de un rombo y
que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.
c
d
a
b
La grafica está hecha con el programa geogebra, y nos da en forma automática la magnitud
de cada lado de esta forma podemos saber que es un rombo.
Para resolver este problema usaremos las siguientes formulas: √
Tenemos entonces que el tamaño de:
‖ ‖ = √ , ‖ ‖ = √
‖ ‖ = √ , ‖ ‖ = √
=> Es un rombo ya que sus lados son iguales.
Ahora demostraremos que sus diagonales son perpendiculares.
Sea el vector a+b el resultante y la resta a-b, entonces.
El vector a + b = ̅̅ ̅̅ = (9,9) + (2,2) = (7,7)
El vector a - b = ̅̅ ̅̅ = (6,5) - (5,6) = (1,-1)
=> ̅̅ ̅̅ * ̅̅ ̅̅ => (7,7) * (1,-1) = 7 + (-7) = 0 por lo tanto las diagonales son
perpendiculares.
Solo falta demostrar que se intersectan en su punto medio.
Sabemos que las ecuaciones paramétricas de una recta son:
L = { } , L = { }
L = { }, L = { }, = >las ecuaciones del puno medio son:
L = ,
-, L = ,
-, igualando las ecuaciones nos
queda:
(2,2) + t(9,9) = (5,6) + s(6,5)
t(9,9) - s(6,5)= - (2,2) + (5,6) = (3, 4)
t(9,9) - s(6,5)= (3, 4), de aquí e deprenden las siguientes ecuaciones:
9t – 6s = 3
9t – 5s = 4, que es un sistema de ecuaciones y resolviéndolo nos queda:
Despejando t de la primer ec. Tenemos:
t =
sustituyendo t en la segunda ec. Tenemos:
9(
) – 5s = 4 = > 9(
) – 5s = 4 = > 3 + 6s - 5s = 4 = > 3 + s = 4
s = 4 – 3 = > s = 1.
t =
=
=
= 1.
Ahora sustituyendo los valores de t y s obtenidos en las ec. Paramétricas:
L = ,
-, L = ,
-,
L = ,
-, L = ,
-,
L = ,
-, L = ,
-,
(2,2) +
(9,9) = (1,1) + (
,
) = (
)
= (
) + (
) = (
)
= > las restas se intersectan en su puno medio
5. Encuentra el baricentro del triángulo a = (2, 4), b = (-1, 2) y c = (-1,-1). Elabora un
dibujo.
La mediana por a es el segmento:
,
| -
a +
(
b +
c) =
a +
b +
c
= >
a +
b +
c =
a +
(
b +
c) =
b +
(
c +
a) =
c +
(
a +
b)
= > el baricentro es:
(a + b +c) = > se sustituyen los valores de a, b, c, que son los vértices, se distribuye el
y se suman las “x” y también las “y” de esta forma se obtienen las coordenadas del
baricentro.
[ ] = *(
) (
) (
)+ =
*(
) (
) + = (0,
) que son las coordenadas del baricentro.
Esto quiere decir que las coordenadas del baricentro son:
₃
,
₃
= >
,
6. Demuestra que dos vectores son ┴ < = > | | | | | | .
Si hacemos | | =
= > =
= | | | | < = >
7. Demuestra que dos vectores u y v son ┴ < = > | | | |.
a ┴ b < = > | | | | = a = (a , a ), b = (b , b ) < = >
< = > = = < = > 4 (a b + a b ) = 0 < = > a b + a b 8. Demuestra que los vectores y tienen magnitudes iguales y n ┴ . ‖ ‖ ‖ ‖ < = >
Primero demostramos que son perpendiculares.
= (a, b) * (-b, a) = -ab + ab = 0.
Ahora sacamos las magnitudes para ver si son iguales.
‖ ‖ ‖ ‖ √ .
‖ ‖ ‖ ‖ √ = √ .
= > ‖ ‖ ‖ ‖.
Cónicas
1. Encuentra los puntos de tangencia al círculo x² - 2x + y² - 4y = -3 desde el punto C(-1,2).
Para resolverlo usaremos las siguientes formulas:
(a – p)*x = (a – p)*a ec. Normal de la tangente a una circunferencia que pasa por a
(x-c)*(a-c) = r² es la ec. Polar de la circunferencia.
(x-p)*(c-p) = r²
x² - 2x + y² - 4y + 3 = 0.
Si completamos cuadrados:
x² - 2x + 1+ y² - 4y + 4 + 3 = 0. Luego factorizamos:
(x-1)² + (y - 2)² = -3 +1 +4
(x-1)² + (y - 2)² = 2 esta es la ec. Polar de la circunferencia, de aquí nos sirve el centro p y
su radio r.
p(1,2), r=2
Sustituimos los valores de c, p, y r en la ec. (x-p)*(c-p) = r²
(x – (1,2))*((-1,2) – (1,2)) = 2 realizando la resta (x – (1,2))*((-2,0)) = 2
(x-1, y-2)*(-2,0) = 2 si distribuimos
(x-1)*(-2),(y-2)*(0) = 2
-2x + 2 + 0 = 2
De aquí despejamos la x
-2x + 2 + 0 = 2 dividimos entre -2
x -1 = -1
x = -1 +1
x = 0
sustituyendo el valor de x en la ec. De la circunferencia tenemos que:
(0)² - 2(0) + y² - 4y = -3
Como podemos ver es una ec. De segundo grado sus raíces son los puntos de tangencia
y² - 4y +3 = 0
Resolviendo por formula general
y = 3, y = 1
los puntos de tangencia son:
(0,1), (0,3)
2. Encuentra los puntos de tangencia al círculo x²+y²= 1 desde el punto B(2,2).
(x + 0)² + (y + 0)² = 1 esta es la ec. Polar de la circunferencia, de aquí nos sirve el centro p
y su radio r.
p(0,0), r=1
Sustituimos los valores de c, p, y r en la ec. (x-p)*(c-p) = r²
L(2,2) : (x + (0,0)*(2,2) – (0,0) = 1
(x, y)*(2,2) = 1 si distribuimos
2x + 2y =1
Dividimos entre 2
x + y =
luego despejamos la x
x =
– y que es la ec. Polar de la recta
ahora sustituimos la x obtenida en la ec. Original de la circunferencia.
(
- y)² + y² = 1
Resolviendo el binomio
)²– 2
y + y² +y² = 1 = >
– y + y² +y² = 1 simplificamos = > 2y² - y -
= 0 ahora ya tenemos la ec. De
segundo grado buscada, sabemos que sus raíces son los puntos de tangencia.
2y² - y -
= 0 resolviendo por formula general
y =
, y =
ahora sustituimos en la ec. Polar x =
– y
x =
–
=
x =
–
=
los puntos de tangencia son:
(
) (
)
3. Encuentra los puntos de tangencia al círculo x² + y²- 6x + 2y = -6 desde el punto c(1,3).
x² + y²- 6x + 2y = -6
x² - 6x + y² + 2y = -6 completando cuadrados
x² - 6x + 9 + y² + 2y + 1= - 6 + 9 + 1
(x - 3)² + (y - 1)² = 4
p(3, -1) r=2
ya teniendo c, p r los sustituimos en la ec. . (x-p)*(c-p) = r²
(x - (3, -1)*((1, 3) - (3, -1) = 4
(x – 3, y + 1)*(-2, 4) = 4
(x-3)*-2, (y+1)*4 =4
-2x + 6 + 4y + 4 = 4 = > -2x + 4y +10 = 4 dividiendo entre -2
x - 2y - 5 = -2 = > x -2y = 3 = > x = 3 + 2y ec. Polar
Sustituimos el valor de x obtenido en la ec. De la circunferencia
(3 + 2y)² +y² -6(3 + 2y) + 2y = -6 = >
9 + 12y + 4y² + y² - 18 -12y +2y = -6 = > 9 + 12y + 4y² + y² - 18 -12y +2y = -6 = >
5y² + 2y -3 = 0
ahora ya tenemos la ec. De segundo grado buscada, sabemos que sus raíces son los puntos
de tangencia.
5y² + 2y -3 = 0 resolviendo por formula general
y = -1, y =
ahora sustituimos en la ec. Polar x = 3 + 2y
x = 3 + 2(-1) = 3 – 2 = 1
el primer punto de tangencia es el valor obtenido de x y de “y”
(1,-1)
x = 3 + 2(
) = 3 +
=
el segundo punto de tangencia es el valor obtenido de x y de “y”
(
)
4. Encuentra la ecuación de la siguiente elipse y muestra el centro, los focos, los vértices y
los extremos del eje menor en una gráfica: tiene centro en (1,-4), vértice en (1, 1) pasando
por (2,-1).
como esta es la ec. De la elipse con centro en h,k,
La ec. Es:
= 1 y como el punto (2,-1) está en la elipse
= 1 = >
= 1 pero la distancia del centro al vértice es:
| | = √ = √ = √ = 5 = a
= >
= 1 = >
= 1 de aquí despejamos b = >
= 1 -
= >
= >
=
= > = (
)b² = >
= b² = >
√
= b = >
=
= 1.25
Por lo tanto ya tenemos b
La ec. Buscada es:
(
)
= 1 = >
= 1
Como la excentricidad es e =
=
√
=
√ (
)
=
√
=
√
= 0.94
Como c = √ = √
= 4.74
Como los focos son: (h, k - c), (h, - k - c)
Entonces los focos son:
(1, 4 - 4.74), (1, -4 – 4.74) = (1, 0.74), (1, -8.74)
Los vértice son: (h, k + a), (h, - k – a)
(1, 5- 4), (1, -5 – 4) = (1, 1), (1, -9)
5. Encuentra la ecuación del siguiente conjunto y dibújala: todos los puntos P = (x; y) tales
que la suma de las distancias a los puntos (-3, 2) y (-3, 6) es 6.
El primer método pero el más largo.
FP + F'P = 6 = >
√ + √ = 6 reordenando = >
√ = 6 - √ ahora elevaremos al cuadrado = >
√ ) = ( 6 - √ )²
= 36 -12√ +
= 36 -12√ + eliminamos
= 36 -12√ desarrollamos
y² - 4y + 4 – y² + 12y – 36 = 36 -12√ eliminamos
y² - 4y + 4 – y² + 12y – 36 = 36 -12√
8y – 32 = 36 – 12√ = >
8y – 68 = - 12√
Ahora elevamos de nuevo al cuadrado
(8y – 68)² = (- 12√ )²
64y² – 1088y + 4624 = 144[ ]
64y² –1088y+4624 =144 =144(x²+6x+9)+144(y²-12y+36)
64y² – 1088y + 4624 = 144x² + 864x + 1296 + 144y² - 1728y + 5184
Pasamos todo al lado izquierdo
64y² – 144y² - 1088y + 1728y - 144x² - 864x + 4624 - 1296 - 5184 = 0
-144x² – 80y² – 864x + 640y – 1856 = 0
144x² + 80y² + 864x - 640y + 1856 = 0
La ecuación de la elipse buscada es:
144x² + 80y² + 864x - 640y = - 1856 si dividimos esta ecuación entre 16 = >
9x² + 5y² + 54x - 40y = - 116
Ahora pasaremos esta ec. A la forma canónica
7. dada la ec. De la elipse 9x² + 5y² + 54x - 40y = - 116 hallar su centro, semiejes. vértices
y focos, pasarla a la forma canónica.
Esta ecuación se puede poner en la forma:
Primero ordenamos términos
9x² + 54x + 5y² - 40y = - 116 = > luego factorizamos
9(x² + 6x) + 5( y² - 8y) = -116 completamos cuadrados
9(x² + 6x + 9) + 5( y² - 8y + 16) = -116
9(x + 3)² + 5(y – 4)² = - 116
= 1
Centro (-3, 4)
a = √ , b = 3
c = √ √ = √ = √
como los vértice son: (h, k + a), (h, k – a) = >
los vértices son: (-3, 4+ 3), (-3. 4- 3) = (-3, 7), (-3, 1)
Otro método es el siguiente
Como la distancia entre los focos es 2c
√ = √ = 4 = 2c = > c =
= 2
Como la distancia de los focos a un punto cualquiera de la elipse es 6 = > 2a = 6
=> a =
= 3
Si = > b = √ = √ = √ =√
El centro es el siguiente: el punto medio de la suma de los focos:
(-3,2) +
(-3, 6) = (
) + (
) = (-3, 4) = > el centro es (3, -4)
La ec. Buscada es:
(√ )
= 1 = >
= 1
6. Sea c > 0. f(x) = | | + | |Concluye que si a > c entonces f(x) = 2a si y
sólo si | | = a.
f(x) = | | + | | < = > | | = a
f(x) = | | + | | = 2a
| | + | | = 2a < = > | | = a
| | + | | = 2a < = > -a = x = a | | = 2a
-2a = 2x = 2a
a = x =
a
-a = x = a < = > | | = a
7. Determina si el vector v es combinación lineal de los vectores restantes: (a) v = (1, 2),
u = (1,-1), u = (2,-1), (b) v = (1, 2, 3), u = (1, 1, 0), u = (0, 1, 1).
a) v = (1, 2) = x(1,-1) + y(2,-1)
{
De la ec. 1) despejamos x = >
x = 1 -2y luego sustituimos esta x en 2)
-(1 -2y) –y = 2 = > -1 +2y –y = 2 = > y = 3 con esta y la sustituimos en 1)
x + 2(3) = 1 = > x + 6 = 1 = > x = -5
si es combinación lineal
b) v = (1, 2, 3) = x(1,1,0) +y(0,1,1)
{
R3 + R1 sumamos el renglón R3 al renglón R1
{
este es el nuevo sistema, para resolverlo aplicamos el método de
sustitución
Despejando x de la ec. R1
x = 4 –y y sustituyendo la x obtenida en la ec R2.
4 – y + y = 2 = > 4 – y + y = 2
4 = 2 ! esto es una contradicción
= > No es combinación lineal.
8. Muestra que el conjunto de vectores [(1, 2, 3), (-1,-1, 0), (2, 1,-1)] es un conjunto
generador de R³.
[ ] + y [
] + z [
]
= > {
lo pasamos a un sistema de ec.
En esta ocasión para resolverlo emplearemos el método de regla de cramer.
+ - +
{
= > |
| =
[ ]
[ ] [ ]
det = 1 – 5 + 6 = 2
= > det = 2
+ - +
|
| =
[ ] [ ] [ ]
= > det = -c-b+2c+a = -b+c+a
= > det = -b+c+a
+ - +
|
| =
[ ] [ ] [ ]
= > det = -c+2c-3b+3a = c-3b+3a
= > det = c-3b+3b
|
| =
[ ] [ ] [ ]
= > det₃ = c+b-4c+6b-2a-3a =
= > det₃ = -3c+7b-5a
=
=
₃
=
= > por lo tanto genera a R³.
9. Describe el conjunto de todas las combinaciones lineales (geométrica y algebraicamente)
del siguiente conjunto de vectores: (a) [(2,-4), (-1, 2)]
x*
+ + y*
+ = * + = > {
este es el sistema de ecuaciones
los resolveremos por el método de cramer
*|
| + = |
| = [(2)(2) – (-4)(-1)] = 4 – 4 = 0 det = 0
Como el determinante es cero no podemos aplicar la regla de cramer
*|
| + R1/2[|
| ] 2R1 + R2 [|
⁄
|
⁄
]
las
combinaciones
linaeles son
todas las que
están sobre este
segmento de
recta.
11. Las puntos (1, 0, 3) y (-1, 1,-3) satisfacen la ecuación general de un plano ax + by + cz
= 0, encuentra los valores de a, b y c.
a(1) + b(0) + c(3) = 0
a(-1) + b(1) + c(-3) = 0
1) a + 3c = 0
2) -a +b -3c = 0 sistema de ecuaciones para determinar a, b, c.
Despeamos c de la ec. 1)
c = -
a = -3c
Sustituimos c en la ec. 2)
-a + b -3(
) = 0
-a + b + a = 0
b = 0
los valores son:
a = -3c
b = 0
c = -
12. Demuestra que los vectores son l.d. < = > al menos uno puede ser
expresado como combinación lineal de los otros.
con c1,c2,ck R, ci 0
=
< =
=
- = 0
ci = 1 = > no son l.i.
= > son l.d.