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Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net

Asignatura: Matemáticas Ciencias – 2ºBachillerato

Problemas resueltos de geometría en tres dimensiones - repaso Bachillerato

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Problemas resueltos de geometría en tres dimensiones- repaso Bachillerato

Dificultad: ♣ (fácil) ♣♣ (medio) ♣♣♣ (difícil)

Índice de contenidoÍndice temático.......................................................................................................................3Rectas y planos en tres dimensiones....................................................................................4

■ Rectas y planos 1 ♣........................................................................................................4■ Rectas y planos 2 ♣........................................................................................................5■ Rectas y planos 3 ♣♣.....................................................................................................6■ Rectas y planos 4 ♣♣.....................................................................................................8■ Rectas y planos 5 ♣........................................................................................................9■ Rectas y planos 6 ♣♣...................................................................................................10■ Rectas y planos 7 ♣♣♣♣ (extra largo)..........................................................................12

Posiciones relativas.............................................................................................................14■ Posiciones relativas 1 ♣♣.............................................................................................14■ Posiciones relativas 2 ♣♣.............................................................................................15■ Posiciones relativas 3 ♣♣♣...........................................................................................17■ Posiciones relativas 4 ♣♣.............................................................................................20■ Posiciones relativas 5 ♣♣♣...........................................................................................23■ Posiciones relativas 6 ♣♣♣♣ (extra difícil)...................................................................25■ Posiciones relativas 7 ♣♣.............................................................................................28■ Posiciones relativas 8 ♣♣.............................................................................................30■ Posiciones relativas 9 ♣♣♣...........................................................................................32■ Posiciones relativas 10 ♣♣...........................................................................................34■ Posiciones relativas 11 ♣♣...........................................................................................35■ Posiciones relativas 12 ♣♣...........................................................................................37■ Posiciones relativas 13 ♣♣...........................................................................................38■ Posiciones relativas 14 ♣♣...........................................................................................40■ Posiciones relativas 15 ♣♣...........................................................................................42■ Posiciones relativas 16 ♣.............................................................................................44

Puntos pertenecientes a rectas o planos.............................................................................45■ Puntos 1 ♣♣..................................................................................................................45■ Puntos 2 ♣♣..................................................................................................................47■ Puntos 3 ♣....................................................................................................................49■ Puntos 4 ♣♣..................................................................................................................51■ Puntos 5 ♣♣..................................................................................................................52■ Puntos 6 ♣♣..................................................................................................................53■ Puntos 7 ♣....................................................................................................................54■ Puntos 8 ♣♣♣...............................................................................................................55

Ángulos................................................................................................................................57■ Ángulos 1 ♣..................................................................................................................57

Simetrías..............................................................................................................................59

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■ Simetrías 1 ♣................................................................................................................59■ Simetrías 2 ♣♣♣...........................................................................................................60■ Simetrías 3 ♣♣..............................................................................................................62■ Simetrías 4 ♣................................................................................................................64■ Simetrías 5 ♣♣♣...........................................................................................................65■ Simetrías 6 ♣♣♣...........................................................................................................67

Distancias.............................................................................................................................69■ Distancias 1 ♣♣♣..........................................................................................................69■ Distancias 2 ♣♣............................................................................................................74■ Distancias 3 ♣♣............................................................................................................75■ Distancias 4 ♣♣............................................................................................................76

Vectores...............................................................................................................................77■ Vectores 1 ♣.................................................................................................................77■ Vectores 2 ♣♣♣.............................................................................................................79

Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes......................................................80■ Producto vectorial y mixto, áreas y volúmenes 1 ♣♣...................................................80■ Producto vectorial y mixto, áreas y volúmenes 2 ♣.....................................................81■ Producto vectorial y mixto, áreas y volúmenes 3 ♣.....................................................82■ Producto vectorial y mixto, áreas y volúmenes 4 ♣.....................................................84





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Índice temáticoÁngulos – Puntos 8. Ángulos 1. Simetrías 2. Vectores 1

Distancia entre puntos – Simetrías 3. Distancias 2

Distancia entre rectas – Posiciones relativas 2, 5, 12, 14. Distancias 1

Distancia entre punto y plano – Rectas y planos 5. Posiciones relativas 3. Puntos 5, 7. Simetrías 4.Distancias 2

Distancia entre punto y recta – Posiciones relativas 13. Distancias 4

Distancia entre recta y plano – Posiciones relativas 3, 7, 10. Distancias 3

Dividir un segmento en partes iguales – Puntos 1-4, 7. Simetrías 1-2, 4-6

Ecuaciones de la recta – Puntos 3. Rectas y planos 1, 3, 5. Posiciones relativas 1, 4, 11. Simetrías 2

Ecuaciones del plano – Rectas y planos 2-3, 6. Posiciones relativas 3, 7, 11. Puntos 1, 4. Simetrías 1

Haz de planos – Rectas y planos 6

Posición relativa entre planos – Posiciones relativas 4, 15. Puntos 8. Simetrías 6

Posición relativa entre rectas – Posiciones relativas 1-3, 5-6, 11-12, 14, 16. Distancias 1

Posición relativa entre recta y plano – Posiciones relativas 7-10. Puntos 5. Simetrías 6

Producto escalar nulo en perpendicularidad – Rectas y planos 3. Posiciones relativas 2, 16. Puntos 1, 5.Simetrías 2-3. Distancias 1-2. Vectores 1. Producto vectorial 1, 3

Producto mixto – Producto vectorial 3

Producto vectorial – Posiciones relativas 1-2. Puntos 2, 6. Distancias 1. Ángulos 1. Producto vectorial 1, 4

Punto arbitrario – Rectas y planos 3. Posiciones relativas 5-6, 9, 13. Puntos 1, 6. Simetrías 2-3. Distancias1-4

Puntos alineados por una recta – Posiciones relativas 6. Puntos 7

Puntos coplanarios – Puntos 2-4

Punto de corte entre dos rectas – Posiciones relativas 11. Simetrías 2

Punto de corte entre recta y plano – Rectas y planos 2, 4. Simetrías 4-5. Distancias 1

Recta perpendicular a otras dos rectas cruzadas – Distancias 1

Simetría de un punto respecto a una recta – Puntos 1. Simetrías 2-3

Simetría de un punto respecto a una plano – Simetrías 5

Vector característico o normal de un plano – Rectas y planos 5. Posiciones relativas 8-9. Puntos 2, 7.Simetrías 4. Rectas y planos 1, 4





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Rectas y planos en tres dimensiones

■ Rectas y planos 1 ♣

Dado el punto P (1,1,1) y el plano Π : x− y+z=5 , calcular la ecuación paramétrica y laecuación continua de la recta perpendicular al plano y que pasa por el punto.

De la ecuación general del plano podemos deducir su vector característico uΠ=(1,−1,1) , perpendicularal plano.

Y con un vector paralelo a la recta y un punto de la recta, tenemos su ecuación paramétrica.

r :{x=1+λy=1−λz=1+λ }

Despejando el parámetro libre e igualando, tendremos la ecuación continua de la recta.

r :x−1

1=

y−1−1

=z−1

1





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a) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r : x−2=y−1

3= z+1 y al punto A(2,5,1)

b) Obtener los puntos de corte del plano Π : x+2 y+4 z−4=0 con los ejes cartesianos delespacio tridimensional.

a) Podemos expresar la ecuación del plano a partir de dos vectores linealmente independientes y un puntodel plano.

El punto lo tenemos: A(2,5,1) .

Un primer vector del plano sería uno de los vectores directores de la recta r que contiene. Es decir:u=(1,3 ,1) .

Y si el punto A no pertenece a la recta r , podremos obtener un punto B de la recta y trazar el

vector AB , que será linealment independiente respecto al vector u=(1,3 ,1) .

Comprobemos, entonces, que A no pertenece a r :

2−2=5−1

3=1+1 → 0=

43=2 → Absurdo matemático → El punto no pertenece a la recta.

Obtengamos ahora un punto de la recta. Viendo a ecuación continua, podemos tomar B(2,1 ,−1) .

El vector AB será: AB=(0,−4,−2) . Por lo tanto ya tenemos todos los elementos para expresar laecuación paramétrica del plano (como el enunciado no exige ninguna ecuación en concreto, planteo laparamétrica).

Π :{x=2+α

y=5+3α−4βz=1+α−2β }

b) Sabemos que la ecuación segmentaria del planoxa+

yb+

zc=1 nos ofrece los puntos de corte con los

ejes: (a ,0,0) , (0,b ,0) , (0,0 , c) . Por lo tanto:

Π : x+2 y+4 z−4=0 → Π : x+2 y+4 z=4 → Π :x4+

y2+z=1

Siendo los puntos de corte: (4,0 ,0) , (0,2 ,0) , (0,0 ,1) .





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■ Rectas y planos 3 ♣♣

a) Dada la recta r :{x−2 y+z=0x−z=0 } y los puntos P (1,−2,0) y Q(0,1 ,3) .

a) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo al vector PQ .

b) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a r , que pasa por Q e intersecta a r en unpunto.

a) Un plano queda determinado de manera única por un punto del plano y por dos vectores linealmenteindependientes del plano.

Si el plano contiene a la recta r podemos tomar el vector director de la recta como uno de los vectoresdel plano, y un punto de la recta como punto del plano. Para ello pasamos la recta de implícita aparamétricas.

r :{x−2 y+z=0x−z=0 } → z=λ → x=λ , y=λ → r :{

x=λy=λz=λ}

A(0,0 ,0)∈r , ur=(1,1 ,1)

Si el vector PQ es paralelo al plano, podría ser nuestro segundo vector, siempre y cuando sealinealmente independiente respecto de ur .

PQ=(−1,3,3)

Ambos vectores son linealmente independientes por no ser proporcionales, ya que1−1

≠13=

13

Por la determinación lineal del plano podemos obtener su ecuación general.

Π(ur , PQ , A) :∣1 −1 x1 3 y1 3 z∣=0 → Π : z− y=0

b) Tomamos un punto arbitrario de la recta r , recordando que ese punto arbitrario tendrá comocomponentes la ecuación paramétrica de la recta: A(λ ,λ ,λ) .

Creamos el vector QA=(λ ,λ−1,λ−3) .

Si la recta solución corta a r en un punto y lo hace de manera perpendicular, el vector QA debe serortogonal al vector director ur=(1,1 ,1) → Producto escalar nulo:

QA· ur=0 → λ+λ−1+λ−3=0 → λ=4/3

Con este valor del parámetro, sacamos el vector director de la recta solución:

QA=(4/3,1 /3,−5/3)





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Y con el vector director de la recta solución y el punto Q(0,1 ,3) podemos obtener su ecuación

paramétrica → s :{x=

43

a

y=1+13

z=3−53

a}





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a) Para qué valor del parámetro a la recta r :{ x+ y+ z=1−x−2 y+ z=0} es perpendicular al plano

Π :−6 x+a y+2 z=0 .

b) Demuestre que si a=−8 la recta r corta al plano Π en un punto. Calcular dicho punto decorte.

a) La recta es perpendicular al plano si el vector director de la recta es proporcional al vector normal delplano.

r :{ x+ y+ z=1−x−2 y+ z=0} → z=λ → { x+ y=1−λ

−x−2 y=−λ} → Sumamos → −y=1−2λ →

y=−1+2λ → Sustituyendo en la primera ecuación del sistema → x+(−1+2λ )=1−λ →x=2−3λ

La ecuación paramétrica de la recta resulta → r :{x=2−3λ

y=−1+2λz=λ } → Vector director ur=(−3,2,1)

El vector normal del plano Π :−6 x+a y+2 z=0 es → uΠ=(−6, a ,2)

Ambos vectores son proporcionales si se cumplen las siguientes igualdades resultantes de dividir susrespectivas componentes:

−3−6

=2a=

12

→ a=4

b) Si a=−8 el plano será Π :−6 x−8 y+2 z=0 → Llevamos a la ecuación general del plano lascoordenadas paramétricas de la recta. Si podemos despejar el parámetro libre de forma única, significaráque recta y plano se cortan en un punto.

−6 (2−3λ)−8(−1+2λ)+2(λ)=0 → −12+18λ+8−16λ+2λ=0

−4+4λ=0 → λ=1 → Punto de corte P (2−3,−1+2,1)=(−1,1,1)





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Considera el punto P (−1 ,0,1) y el plano Π : x− y+z+2=0 . Calcule:

a) Las ecuaciones paramétricas de una recta que pase por el punto P y sea perpendicular al planoΠ .

b) La distancia del punto P al plano Π .

a) Para obtener una recta necesitamos un punto de la recta y un vector paralelo a la recta.

El punto es, según el enunciado, P (−1 ,0,1) .

El vector director de la recta debe ser, según el enunciado, perpendicular al plano Π : x− y+z+2=0 .Por lo que podemos tomar el vector normal al plano como vector director de la recta.

uΠ=(1,−1,1) → r :{x=−1+λ

y=−λz=1+λ }

b) Para obtener la distancia de un punto P (x0 , y0 , z0) a un plano Π : A x+B y+C z+D=0 podemoshacer uso de la fórmula:

d (P ,Π)=∣A x0+B y0+C z 0+D

√A2+B2

+C 2 ∣

Aplicado a los datos del enunciado → d (P ,Π)=∣1 ·(−1)−1· 0+1·1+2

√3 ∣=2√33

u





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Sea r la recta definida por r :{x+2 y−z=32 x− y+z=1} .

a) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicular a r en el punto (1,1, 0) .

a) Podemos resolver este ejercicio de dos formas: como haz de planos o bien buscando dos vectoresindependientes y un punto del plano. Vamos a resolverlo de ambas formas.

Como haz de planos necesitamos escribir la ecuación del haz a partir de dos planos que pasen por la recta.De la ecuacón general del plano podemos escribir:

a (x+2 y− z−3)+b(2 x− y+z−1)=0

De los infinitos planos que pasan por la recta, nos quedamos con el que pase por el origen de coordenadas.Es decir:

a (0+0−0−3)+b(0−0+0−1)=0 → −3 a−b=0 → b=−3a

Llevamos este resultado al haz de planos.

a (x+2 y−z−3)+(−3a )(2 x− y+z−1)=0 → a (x+2 y− z−3−6 x+3 y−3 z+3)=0

El plano solución resulta → Π :−5 x+5 y−4 z=0

Una segunda forma de resolverlo consiste en buscar dos vectores linealmente independientes paralelos alplano y buscar un punto del plano.

Según el enunciado, el punto puede ser P (0,0,0) ya que el plano pasa por el origen de coordenadas.

Necesitamos los dos vectores independientes y paralelos al plano. Uno de esos vectores será el vectordirector de la recta, ya que el plano contiene a la recta. Si pasamos la recta a paramétrica obtenemos elvector director de la recta.

r :{x+2 y− z=32 x− y+ z=1} → z=λ → r :{ x+2 y=3+λ

2 x− y=1−λ} → r :{ x+2 y=3+λ4 x−2 y=2−2λ}

Sumamos ambas ecuaciones → 5 x=5−λ → x=1−15λ → 2(1−

15λ)−1+λ= y





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y=1+35λ → La recta en paramétricas resulta r :{

x=1−15λ

y=1+35λ

z=λ} → ur=(

−15

,35

,1)

Para no trabajar con fracciones podemos tomar como vector director → ur=(−1,3,5)

Un segundo vector del plano podemos obtenerlo a partir del P (0,0,0) y de un punto de la recta. Por

ejemplo el A(1,1,0) → PA=(1, 1,0)

Los dos vectores ur=(−1,3,5) y PA=(1,1,0) son independientes, al no ser sus componentes

proporcionales, ya que−11≠

31≠

50

.

Con dos vectores independientes y paralelos al plano y el punto P (0,0,0) perteneciente al plano,podemos obtener la determinación lineal del plano.

∣−1 1 x3 1 y5 0 z∣=0 → −z+5 y+0−(5 x+0+3 z )=0 → Π :−5 x+5 y−4 z=0

Resultado que coincide con el obtenido anteriormente con el método del haz de planos.

b) Un plano perpendicular a la recta r :{x+2 y−z=32 x− y+z=1} tendrá como vector normal el vector director de

la recta. En el apartado anterior obtuvimos ur=(−1,3,5) como vector director.

Por lo tanto, la ecuación general del plano será −x+3 y+5 z+D=0 .

El término independiente lo obtenemos sabiendo que el plano pasa por el punto (1,1,0) .

−1+3+0+D=0 → D=−2 → Π :− x+3 y+5 z−2=0

Esta es la ecuación general del plano. Debemos pasar a paramátricas, para ello consideramos dosincógnitas como pararámetros libre en la ecuación general.

Π :{x=3α+5β−2

y=αz=β }





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■ Rectas y planos 7 ♣♣♣♣ (extra largo)

Sea A(0,0 ,0) , B(2,3,1) y C (−1,0,1) .

Sea Π1 : a x+2 y−2 z+5=0 .

Sea r :x−1

2=

1− y3

=z .

a) Obtener plano que pasa por A, B y C.

b) Estudiar posición relativa del plano Π1 con el plano del apartado a).

c) Estudiar posición relativa del plano Π1 con la recta r .

d) ¿Para qué valor de a el plano Π1 y la recta r son perpendiculares.

e) Si a=0 , obtener plano que pase por C y sea paralelo al plano Π1 . Obtener distancia deese plano con Π1 .

f) Estudiar posición relativa de la recta r con la recta que pasa por los puntos A y B.

g) Obtener la recta perpendicular a r y a la recta que pasa por los puntos A y B, y que corta aambas.

h) Obtener distancia entre recta r y la recta que pasa por A y B.

a) Formamos dos vectores paralelos al plano a partir de los tres puntos.

AB=(2,3,1)

AC=(−1,0,1)

Son independientes, por no tener sus componentes proporcionales.

Con la determinación lineal del plano obtenemos la ecuación general.

Π2 :∣2 −1 x3 0 y1 1 z∣=0 → Aplicamos Sarrus → Π2 : x− y+z=0

b) Π1: a x+2 y−2 z+5=0 y Π2 : x− y+z=0

Dividimos sus componentes respectivas. Si mantienen la misma proporcionalidad, serán coincidentes. Si nose mantiene la proporcionalidad solo en el cociente de los términos independientes, serán paralelos. Y encualquier otro caso, serán secantes en una recta.

a1=

2−1

=−21≠

50

→ Una igualdad no se cumple → Los planos nunca serán coincidentes





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Si a=−2 → Los planos serán paralelos.

Si a≠−2 → Los planos se cortan en una reca.

c) Pasamos la recta a forma general, obteniendo dos igualaciones diferentes de la ecuación continua

r :x−1

2=

1− y3

=z → r :{x−2 z−1=0y+3 z−1=0}

Y estudiamos los tipos de solución.... (seguir)

d)

e)

f)

g)

h)





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Posiciones relativas

■ Posiciones relativas 1 ♣♣

Obtener el valor a≠0 para que las siguientes rectas sean paralelas.

r :{x+ y−5 z=−3−2 x+z=1 } , s : x+1=

y−3a

=z2

Para comprobar que dos rectas son paralelas podemos obtener el vector director de ambas, y un vectorformado por un punto de cada recta. El rango de esos tres vectores debe ser 2, y el rango de los vectoresdirectores debe ser igual a uno.

O también podemos verlo como que su vectores directores son proporcionales (en este caso, podríamostener tanto rectas paralelas como rectas coincidentes).

De la ecuación paramétrica de la recta s , obtenemos su vector director → us=(1,a , 2)

Y de la ecuación general de la recta r , podemos pasar a paramétrica para sacar su vector director, obien realizar el producto vectorial de los vectores característicos de los planos que forman su ecuacióngeneral.

ur=(1,1,−5)×(−2,0,1)=∣ i j k1 1 −5−2 0 1 ∣= i+10 j+0−(−2 k+0+ j)=i+9

j+2 k=(1,9,2)

Y dos vectores son proporcionales si el cociente de sus componentes es proporcional.

11=

9a=

22

→ a=9

Como hemos razonado anteriormente, podríamos estar ante rectas paralelas o coincidentes. ¿Cómo decidirentre ambos casos?

Viendo si tienen al menos un punto en común. Si lo tienen, al ser sus vectores proporcionaes, las rectasserán coincidentes. Si no lo tienen, las rectas serán paralelas.

De la ecuación continua de la recta s podemos obtener un punto A∈s → A(−1,3,0) .

Sustituimos las coordendas de este punto en la recta r para comprobar si satisface su ecuación general:

r :{x+ y−5 z=−3−2 x+z=1 } → {−1+3−5 · 0≠−3

−2(−1)+0≠1 } → A∉r → Las rectas son paralelas





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Sean las rectas r :{x=1+2λy=1−λ

z=1 } y s :{x+2 y=−1z=−1 }

a) Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene.

b) Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en ambas rectas, calcula su área.

Dos rectas en el espacio tridimensional son coplanarias si son paralelas, secantes o coincidentes.

Si tomamos un vector director de cada recta, y un tercer vector con origen un punto de r y fin un punto des , y estudiamos el rango de la matriz formada por esos tres vectores, este rango debe ser distinto de3 para rectas coplanarias (los tres vectores no pueden ser linealmente independientes).

r :{x=1+2λy=1−λ

z=1 } → ur=(2,−1,0)

s :{x+2 y=−1z=−1 } → Pasamos a paramétricas → s :{

x=−1−2λy=λ

z=−1 } → us=(−2,1,0)

Es directo que ambos vectores directores son proporcionales → ur=−u s , por lo tanto necesariamentelas rectas serán paralelas o coincidentes, por lo que pertenecerán al mismo plano. Son coplanarias.

Aunque no lo pide el ejercicio, para practicar, vamos a determinar si son paralelas o coincidentes. P

podemos obtener el vector AB con A∈r y B∈s . Por ejemplo, de las ecuaciones paramétricas →

A(1,1 ,1) , B(−1,0 ,−1) → AB=(−2,−1,−2) .

Es directo comprobar que AB no es proporcional a ur=(2,−1, 0) , ya que sus respectivas

componentes no cumplen la misma regla de proporción → 2−2

≠−1−1

≠0−2

→ AB y ur son

linealmente independientes, por lo que las rectas son paralelas.

Con dos vectores linealmente independientes del plano y un punto del plano, podemos aplicar ladeterminación lineal del plano para obtener su ecuación general.

Π(ur , AB , B) → ∣2 −2 x+1−1 −1 y0 −2 z+1∣=0 → −2(z+1)+0+2(x+1)−(0−4 y+2(z+1))=0

2( x+1)+4 y−4( z+1)=0

Π : 2 x+4 y−4 z−2=0 → Simplificamos → Π : x+2 y−2 z−1=0





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b) Al ser las rectas paralelas y descansar dos lados del cuadrado sobre ambas rectas, y recordando que uncuadrado tiene sus cuatro lados iguales, la longitud de un lado será igual a la distancia entre ambas rectas.

Por lo tanto, el área del cuadrado será [d (r , s)]2 .

Para obtener la distancia entre ambas rectas tomamos un punto A(1,1 ,1)∈r y un punto arbitrario de larecta s a partir de su ecuación paramétrica → Q(−1−2λ ,λ ,−1)∈s .

El vector AQ=(−2−2λ ,λ−1,−2) será perpendicurlar al vector director de la recta s si el producto

escalar de ambos vectores es nulo. Y si ambos vectores son perpendiculares, el módulo de AQcoincidirá con la distancia que separan ambas rectas.

AQ · us=(−2−2λ ,λ−1,−2)· (−2,1,0)=0 → 4+4λ+λ−1+0=0

5λ+3=0 → λ=−35

→ AQ=(−2+65

,−35−1,−2)=(

−45

,−85

,−2)

d (r , s)=∣AQ∣=√ 1625+

6425+4=√ 180

25=√ 36

5=

6

√5=

6√55

u

Área del cuadrado solución → A=[d (r , s)]2=365=7,2 u2





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■ Posiciones relativas 3 ♣♣♣

Sean las rectas r :{ x− y+ z=22 x−2 y+ z=2} y s :{x+ y=0

z=1 } .

a) Determina la posición relativa de ambas rectas.

b) Hallar, si es posible, la ecuación de un plano paralelo a r que contiene a s .

c) Obtener la mínima distancia entre ambas rectas.

a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas podemos hacerlo estudiando el sistema de los cuatroplanos que aparecen en la forma implícita de ambas rectas, o bien pasar a paramétrica y trabajar con losvectores directores.

Como tenemos las rectas en forma implícita, estudiaremos la solución del siguiente sistema (en notaciónmatricial).

M=(1 −1 12 −2 11 1 00 0 1

) → M /D=(1 −1 12 −2 11 1 00 0 1

∣2201)

Estudiamos el rango de M , con el siguiente menor de orden 3.

∣F 2 F3 F 4∣=∣2 −2 11 1 00 0 1∣=2+0+0−(0+0−2)=4≠0 → rango (M )=3

Estudiamos el rango de M /D con el siguiente determinante de orden 4.

∣M /D∣=∣1 −1 1 22 −2 1 21 1 0 00 0 1 1

∣ → C ' 4=C 4−C3 → ∣M /D∣=∣1 −1 1 12 −2 1 11 1 0 00 0 1 0

∣Desarrollamos el determinante por la fila F 4 .

∣M /D∣=−1 ·∣1 −1 12 −2 11 1 0∣=−(0−1+2−(−2+1+0))=−(1+1)=−2≠0 → rango (M /D)=4





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Si rango (M )=3≠4=rango(M /D) → No hay solución → Sistema Incompatible → Las rectas soncruzadas.

Para practicar, vamos a comprobar que obtenemos el mismo resultado si pasamos las ecuaciones de lasrectas a paramétricas y trabajamos con los vectores directores.

r :{ x− y+ z=22 x−2 y+ z=2} → z=λ → r :{ x− y=2−λ

2 x−2 y=2−λ} → r :{2 x−2 y=4−2λ2 x−2 y=2−λ }

Igualamos ambas ecuaciones.

4−2 λ=2−λ → λ=2 → z=2

Tomamos otra incógnita como parámetro. Por ejemplo y=λ . Así:

x−λ+2=2 → x=λ

La recta r en paramétricas resulta:

r={x=λy=λz=2} → Punto de la recta A(0,0 ,2) . Vector director ur=(1,1 ,0) .

Trabajamos ahora con la segunda recta.

s :{x+ y=0z=1 } → y=λ → x=−λ

La recta s en paramétricas resulta:

s={x=−λy=λz=1 } → Punto de la recta B(0,0,1) . Vector director us=(−1,1,0) .

El vector formado por los puntos obtenidos de las rectas resulta: AB=(0,0 ,−1) .

Así, debemos estudiar el rango de la matriz formada por los vectores columnas ur , us , AB .





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{ur , us , AB}=(1 −1 01 1 00 0 −1) → ∣ur , us , AB∣=−1+0+0−(0+0+1)=−2≠0

Es decir: rango (ur , us , AB)=3 → Los tres vectores son linealmente independientes → Las rectas soncruzadas.

b) Debemos obtener un plano paralelo a r que contiene a s .

Para obtener la ecuación paramétrica de un plano necesitamos un punto y dos vectores linealmenteindependientes pertenecientes al plano.

Un punto puede ser B(0,0,1) , calculado en el apartado anterior y que pertenece a s . Un vectorpuede ser el vector director de s → us=(−1,1,0) . Un segundo vector será el vector director de r→ ur=(1,1 ,0) . Ambos sean linealmente independientes, como demostramos en el apartado anterior, y

además garantizamos obtener un plano paralelo a la recta r .

Por la determinación lineal del plano, podemos obtener la ecuación general resolviendo el siguientedeterminante.

Π(ur , us ,B) :∣1 −1 x1 1 y0 0 z−1∣=0 → z−1+0+0−(0+0+1−z)=0 → 2 z−2=0

Π(ur , us ,B) : z=1

c) La distancia mínima entre ambas rectas coincide con la distancia medida desde la recta r al planoobtenido en el apartado anterior, que es paralelo a r y contiene a la recta s .

Podemos tomar cualquier punto de la recta r y obtener la distancia al plano Π : z=1 .

El punto A(0,0 ,2)∈r y podemos hacer uso de la expresión general de la distancia de un puntoP (x0 , y0 , z 0) a un plano Π : A x+B y+C z+D=0 :

d (P ,Π)=∣A x0+B y0+C z0+D∣

√A2+B2

+C2→ d (A ,Π)=

∣1·2−1∣

√1=1 u





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■ Posiciones relativas 4 ♣♣Sean los planos:

Π1: 2 x+2 y+a z=1 , Π2 :2 x+a y+2 z=−2 y Π3: a x+2 y+2 z=1

a) El valor de a para que los planos tengan una recta en común.

b) Hallar el vector director de dicha recta.

c) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta común a los tres planos.

Debemos estudiar la solución común de los tres planos, lo cual reduce nuestro problema de geometría alestudio de la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones.

{2 x+2 y+a z=1

2 x+a y+2 z=−2a x+2 y+2 z=1 } → Notación matricial → (

2 2 a2 a 2a 2 2∣

1−21 )

Estudiamos el rango de la matriz del sistema A y de la matriz ampliada A/C .

Si la solución del sistema es una recta, necesitamos que el sistema sea compatible indeterminado (infinitassoluciones), con un parámetro libre. Es decir, necesitamos:

rango (A)=rango (A/C )=2<3=número de incógnitas

∣A∣=∣2 2 a2 a 2a 2 2∣=4 a+4 a+4 a−(a3

+8+8)=−a3+12 a−16=0 → a=2 , a=−4

Discusión de casos:

Si a≠2 y a≠−4 → Solución única → Sistema compatible determinado → La solución es un punto.Este caso no nos da una recta solución.

Si a=2 → (2 2 22 2 22 2 2∣

1−21 ) → El rango de A es 1, por tener tres columnas idénticas, por lo que

solo hay un vector linealmente independiente. Este caso tampoco nos sirve, ya que necesitamos que elrango de A sea 2.





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Si a=−4 → ( 2 2 −42 −4 2−4 2 2 ∣ 1

−21 ) → El rango de A es 2, ya que existe al menos un menor de

orden 2 no nulo. Por ejemplo ∣α11∣=∣−4 22 2∣=−8−4=−12≠0 .

Debemos estudiar el rango de la matriz ampliada A/C , para lo cual estudiamos todos los determinantesde orden 3 contenidos en la matriz ampliada.

∣C 2 C3C 4∣=∣2 −4 1−4 2 −22 2 1 ∣=4+16−8−(4−8+16)=0

∣C 1C 3C4∣=∣2 −4 12 2 −2−4 2 1 ∣=4−32+4−(−8−8−8)=0

∣C 1C 2C 4∣=∣ 2 2 12 −4 −2−4 2 1 ∣=−8+16+4−(16+4−8)=0

Todos los menores de orden 3 son nulos, por lo que el rango de la ampliada no es 3. Por lo tanto, el rangode la ampliada es 2, al estar la matriz A contenida dentro de la matriz ampliada.

Si a=−4 → rango (A)=rango (A/C )=2<3=número de incógnitas → Sistema compatibleindeterminado (3 – 2 = 1 parámetro libre). La solución común a los tres planos es una recta.

b) Buscamos la ecuación de la recta solución, para obtener un vector director de la misma.

(2 2 −42 −4 2−4 2 2 ∣ 1

−21 ) → SCI → Tomamos como parámetro z=λ

Reduciendo nuestro estudio a un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

{ 2 x+2 y=1+4λ2 x−4 y=−2−2 λ} → Restamos → 6 y=3+6λ → y=

12+λ

Llevamos este valor a la primera de las ecuaciones del sistema.





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2 x+2(12+λ)=1+4λ → 2 x+1+2λ=1+4λ → 2 x=2λ → x=λ

La recta solución, en paramétricas, resulta:

r :{x=λ

y=12+λ

z=λ} → Vector director ur=(1,1 ,1)

c) La ecuación paramétrica de la recta la hemos obtenido en el apartado anterior.

r :{x=λ

y=12+λ

z=λ}





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■ Posiciones relativas 5 ♣♣♣Sean las rectas:

r :{x=1+λy=1+λ

z=λ } , s :x−1−2

=y1=

z−1−2

a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas rectas.

b) Calcula la distancia entre ambas rectas.

a) Primero debemos conocer la posición relativas de ambas rectas. Podemos estudiar el rango de la matrizformada por un vector director de cada recta y por un tercer vector formado por dos puntos pertenecientes acada una de las rectas.

ur=(1,1 ,1) → Vector director de r , A(1,1 ,0)∈r

us=(−2,1 ,−2) → Vector director de s , B(1,0 ,1)∈s

AB=(0,−1,1)

(1 −2 01 1 −11 −2 1 ) → Estudiamos su rango → ∣

1 −2 01 1 −11 −2 1 ∣=1+2+0−(0+2−2)=3≠0

El rango es 3, por lo que tenemos tres vectores linealmente independientes, por lo que ambas rectas soncruzadas.

La recta perpendicular que estamos buscando la denominamos t , y debe cortar ambas rectas r y sde manera perpendicular. Por lo tanto, el producto escalar del vector director de t con cada uno de losvectores directores de las otras rectas debe ser nulo.

El vector director de t lo sacamos a partir de dos puntos genéricos de las otras dos rectas. Para ello,expresamos s en paramétricas.

Punto genérico de r → {x=1+λy=1+λ

z=λ }Punto genérico de s → {

x=1−2μy=μ

z=1−2μ}Vector director de t → u t=(−2μ−λ ,−1+μ−λ ,1−2μ−λ)

Realizamos los productos escalares.

ur · u t=0 → (1,1,1) ·(−2μ−λ ,−1+μ−λ ,1−2μ−λ)=0

−2μ−λ−1+μ−λ+1−2μ−λ=0 → −3μ−3λ=0 → μ=−λ





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us · ut=0 → (−2,1 ,−2) ·(−2μ−λ ,−1+μ−λ ,1−2μ−λ)=0

4μ+2λ−1+μ−λ−2+4μ+2λ=0 → 9μ+3λ−3=0 → 3μ+λ−1=0

Llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde:

μ=−λ → −2λ−1=0 → λ=−12

, μ=12

Con estos valores podemos sacar, de la ecuaciones genéricas de puntos, un punto de la recta t . Ypodemos sacar su vector director.

{x=1+λy=1+λ

z=λ } → {x=

12

y=12

z=−12}

u t=(−2μ−λ ,−1+μ−λ ,1−2μ−λ) → u t=(−12

,0 ,12)

Por lo que la recta t buscada es:

t :{x=

12−

12α

y=12

z=−12+

12α}

b) La distancia entre ambas rectas coincide con el módulo del vector director u t=(−12

,0 ,12) , ya que lo

obtuvimos como diferencia entre los puntos de corte de la recta perpendicular con las dos rectas de partidadel enunciado. Por lo tanto:

d (r , s)=∣u t∣=√ 14+0+

14=√22

u





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■ Posiciones relativas 6 ♣♣♣♣ (extra difícil)

Sea el punto P (−1,0 ,2) y las rectas r :{ x−z=1y−z=−1} , s :{

x=1+λy=λz=3 } .

a) Determina la posición relativa de ambas rectas.

b) Determina la ecuación de la recta que pasa por P y corta a ambas rectas.

c) Determina la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas.

a) Voy a estudiar la posición relativa de ambas rectas trabajando con un vector director de cada recta y conun vector con origen un punto A∈r y final un punto B∈s .

Para ello pasamos la recta r a paramétricas.

r → z=α → x=1+α , y=−1+α → r :{x=1+α

y=−1+αz=α }

Es decir:

ur=(1,1 ,1)

us=(1,1 ,0)

A∈r → A(1,−1,0) , B∈s → B(1,0 ,3) → AB=(0,1 ,3)

Estudiamos el rango de la matriz formada por estos tres vectores.

rango (ur , ys , AB)→(1 1 01 1 11 0 3) → ∣u , v , AB∣=3+1+0−(0+0+3)=1≠0 → Rango 3, ya que

tenemos tres vectores linealmente independientes → Las rectas son cruzadas.

b) Ahora tenemos un punto P (−1,0 ,2) y una recta t , de tal forma que P∈t . Además la recta tcorta tanto a la recta r como a la recta s .

Una forma de resolver el problema es la siguiente.

La recta t pasa por P y cortará a la recta r en un punto que llamaremos Q .

Además, la recta t pasa por P y cortará a la recta s en un punto que llamaremos M .

Los vectores PQ y PM estarán alineados, por pertenecer a la misma recta t . Ambos vectoresdeben ser proporcionales, es decir, linealmente dependientes entre si.

P (−1,0 ,2) , Q(1+α ,−1+α ,α) → PQ=(2+α ,−1+α ,−2+α)

P (−1,0 ,2) , M (1+λ ,λ ,3) → PM=(2+λ ,λ ,1)

Si ambos vectores son proporcionales, deben cumplirse las siguientes igualdades.





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2+α2+λ

=−1+αλ

=−2+α

1

Igualando los cocientes primero y segundo.

2+α2+λ

=−1+αλ

→ (2+α)λ=(−1+α)(2+λ) → λ=−2+2α

3

Igualando los cocientes primero y tercero.

2+α2+λ

=−2+α

1→ 2+α=(−2+α)(2+λ) → λ=

6−α−2+α

Igualando los cocientes segundo y tercero.

−1+αλ

=−2+α

1→ λ=

−1+α−2+α

Llegamos a tres expresiones para λ . Si igualamos la dos últimas expresiones obtenidas:

6−α−2+α

=−1+α−2+α

→ 7=2α → α=72

Y con este valor podemos obtener λ de cualquiera de las tres expresiones anteriores. Por ejemplo →

λ=−1+α−2+α

, α=72

→ λ=53

.

Ya tenemos dos vectores directores de la recta t . Podemos escoger el que queramos, pues sonproporcionales.

PQ=(2+72

,−1+72

,−2+72)=(

112

,52

,32) → Podemos transformar en u t=(11,5,3)

PM=(2+53

,53

,1)=(113

,53

,1) → Podemos transformar en u t=(11,5,3)

Y con vector director y un punto, tenemos la recta t .

t :{x=−1+11β

y=5βz=2+3β }

c) En el último apartado debemos obtener la recta perpendicular común a las rectas r y s .

La forma de razonar es muy semejante al apartado anterior, pero incluyendo el concepto de productoescalar.

La recta perpendicular que buscamos la vamos a llamar w .

La recta w cortará perpendicularmente a la recta r en un punto que llamaremos Q .

La recta w cortará perpendicularmente a la recta s en un punto que llamaremos M .

El vector QM será un vector perpendicular a ambas rectas, por ser un vector director de la recta w . Y

el producto escalar de QM con cada uno de los vectores directores de las rectas r y s será cero,por ser vectores perpendiculares. Y de aquí obtendremos las condiciones necesarias para determinar a a





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recta solución w .

En el apartado anterior obtuvimos los siguientes puntos geneéricos pertenecientes a cada recta.

Q(1+α ,−1+α ,α)∈r , M (1+λ ,λ ,3)∈s → QM=(λ−α ,1+λ−α ,3−α)

Hacemos los productos escalares.

QM · ur=0 → (λ−α ,1+λ−α ,3−α) ·(1,1 ,1)=λ−α+1+λ−α+3−α=2 λ−3α+4=0

QM · us=0 → (λ−α ,1+λ−α ,3−α) ·(1,1 ,0)=λ−α+1+λ−α=2λ−2α+1=0

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

{2 λ−3α=−42λ−2α=−1} → Restamos ambas ecuaciones → −α=−3 → α=3

En consecuencia → λ=52

Con estos valores obtenemos los puntos Q(1+α ,−1+α ,α)∈r y M (1+λ ,λ ,3)∈s , y el vector queforman (que será vector director de la recta solución w ).

Q(4,2,3) , M (72

,52

,3) → QM=(−12

,12

,0) → Transformamos en uw=(−1,1 ,0)

Y la recta solución, en paramétricas, será:

w :{x=4−βy=2+β

z=3 }





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Dados el plano Π : x+ y−z−1=0 y la recta r :{3 x+ y+ z−6=02 x+ y−2=0 } .

a) Estudia la posición relativa de la recta y el plano.

b) Calcula la distancia de la recta al plano.

c) Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta r y es perpendicular a Π .

a) Vamos a formar un sistema con las dos ecuaciones que forman la ecuación implícita de la recta y con laecuación general del plano. Será un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas.

{3 x+ y+ z=6

2 x+ y=2x+ y−z=1 } → Notación matricial → (3 1 1

2 1 01 1 −1∣

621)

Según la solución de este sistema, podremos concluir la posición relativa de la recta y el plano.

El determinante de la matriz del sistema es:

∣3 1 12 1 01 1 −1∣=−3+0+2−(1+0−2)=0 → El rango de la matriz del sistema no es 3

Existe al menos un menor de orden 2 no nulo → Por ejemplo ∣α11∣=∣1 01 −1∣=−1≠0 → El rango de la

matriz del sistema es 2.

Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada. Primero buscamos si existe al menos un menor de orden3 no nulo.

∣C2 C3C 4∣=∣1 1 61 0 21 −1 1∣=0+2−6−(0−2+1)=−3≠0 → El rango de la matriz ampliada es 3.

Por lo tanto:

rango (A)=2≠3=rango(A/C) → Sistema sin solución según el Teorema de Roché-Frobenius →Sistema incompatible → La recta es paralela al plano.

b) Para calcular la distancia de la recta al plano podemos tomar un punto P (x0 , y0 , z0) cualquiera de larecta y aplicar la expresión:

d (P ,Π)=∣A x0+B y0+C z0+D∣

√A2+B2

+C2

Para obtener un punto de la recta podemos pasar de la forma implícita a paramétricas.





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r :{3 x+ y+ z−6=02 x+ y−2=0 } → x=λ → y=2−2 λ , z=4−λ → r :{

x=λy=2−2λz=4−λ }

Un punto de la recta es P (0,2 ,4) .

Y la distancia al plano Π : x+ y−z−1=0 resulta:

d (P ,Π)=∣0+2−4−1∣

√1+1+1=√3 u

c) Finalmente buscamos un plano que contenga a la recta r :{x=λ

y=2−2λz=4−λ } y sea perpendicular al plano

Π : x+ y−z−1=0 .

Podemos obtener un plano con un punto y con dos vectores linealmente independientes que pertenezcan alplano.

El punto es P (0,2 ,4) , que pertenece a la recta y, en consecuencia, pertenece al plano.

Uno de los vectores es el vector directo de la recta → ur=(1,−2,−1) .

Y el segundo vector podría ser el vector normal del plano Π , que por ser perpendicular al planopertenecerá en consecuencia al plano que estamos buscando (que es perpendicular a Π ). Esterazonamiento nos sirve siempre y cuando el vector normal uΠ=(1,1 ,−1) sea linealmente independienterespecto al vector ur=(1,−2,−1) .

Ambos vectores son linealmente independientes, ya que no son proporcionales, como puede verse de loscocientes de sus componentes respectivas.

11≠−21≠−1−1

Por la determinación lineal del plano podemos obtener su ecuación general.

Π(ur , uΠ , P) :∣1 1 x−1 −2 y−2−1 −1 z−4∣=0 → Π : x+ z−4=0





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Dada la recta r :{4 x−3 y+4 z=−13 x−2 y+ z=−3 } y el plano Π : 2 x− y+a z=0 .

a) Calcular a para que la recta y el plano sean paralelos.

b) Obtener un plano perpendicular a la recta que pase por el origen de coordenadas.

a) Una recta y un plano son paralelos si el sistema formado por las dos ecuaciones generales de la recta ypor la ecuación general del plano no tiene solución (ausencia de puntos de corte). La notación matricial deese sistema será:

(4 −3 43 −2 12 −1 a∣

−1−30 ) → det (A)=−8a−6−12−(−16−4−9a) → det (A)=a+2

Si det (A)=0 → a=−2

Discusión de casos:

• Si a≠−2 → det (A)≠0 → Rango(A)=3=Rango(A /C )=nº incógnitas → Por elTeorema de Rouché Frobenius tendremos SCD con solución única.

• Si a=−2 → det (A)=0 → Rango(A)≠3 → Buscamos un menor de orden 2 no nulo →

∣4 −33 −2∣=−8+9=1≠0 → Rango(A)=2 → Estudiamos el rango de la matriz ampliada →

Buscamos un menor de orden 3 no nulo en la ampliada →

∣−3 4 −1−2 1 −3−1 −2 0 ∣=0+12−4−(1+0−18)=25≠0 → Rango(A/C )=3 → Al no coincidir el

rango de la matriz del sistema y el rango de la matriz ampliada tendremos SI sin solución → Recta yplano son paralelos.

b) Un plano perpendicular a una recta tendrá, como vector normal, el vector director de la recta. Por lo tanto,si pasamos la ecuación general de la recta a paramétrica, obtendremos su vector director.

r :{4 x−3 y+4 z=−13 x−2 y+ z=−3 } → z=λ → {4 x−3 y=−1−4 λ

3 x−2 y=−3−λ } → {−12 x+9 y=3+12λ12 x−8 y=−12−4λ} →

Sumamos ambas ecuaciones → y=−9+8λ → Llevando este resultado a la primera ecuación delsistema → 4 x−3(−9+8λ)=−1−4λ → 4 x+27−24λ=−1−4 λ → 4 x=−28+20 λ →

x=−7+5λ





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La ecuación paramétrica queda → r :{x=−7+5λy=−9+8λ

z=λ } → Vector director ur=(5, 8,1)

Este vector director será el vector normal del plano, por ser el plano perpendicular a la recta. Por lo tanto laecuación general del plano resulta:

Π : 5 x+8 y+z+D=0

Si el plano pasa por el origen de coordenadas (0,0,0) → D=0 → Π : 5 x+8 y+z=0





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■ Posiciones relativas 9 ♣♣♣

Dados el plano Π : 2 x− y=2 y la recta r :{ x=1y−2 z=2} se pide:

a) Estudiar la posición relativa de la recta y el plano.

b) Determinar el plano que contiene a la recta r y es perpendicular a Π .

c) Determinar la recta que pasa por A(−2,1,0) , corta a r y es paralela a Π .

a) Estudiamos la solución del sistema formado por la ecuación general del plano y las dos ecuacionesgenerales de la recta.

(2 −1 01 0 00 1 −2∣

212) → Vamos a aplicar Gauss por encima de la diagonal principal

C1←→C2 (al intercambiar columnas, cambian la posición de las incógnitas) → (−1 2 00 1 01 0 −2∣

212) →

F1 '=F 1−2 F 2 → (−1 0 00 1 01 0 −2∣

012) → De F1 → −y=0 → y=0

De F 2 → x=1

De F 3 → 0−2 z=2 → z=−1

Al tener el sistema solución única, recta y plano son secantes y se cortan en el punto P (1, 0,−1) .

b) Buscamos un plano que contenga a r y sea perpendicular a Π .

Si contiene a r , el vector director de la recta es paralelo al plano que buscamos. Si es perpendicular aΠ , el vector normal a Π es paralelo al plano que buscamos.

Calculemos ambos vectores.

Si pasamos la ecuación general de la recta a paramétrica, podremos obtener un vector director.

r :{ x=1y−2 z=2} → z=a → r :{

x=1y=2+2a

z=a } → ur=(0,2,1)





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De la ecuación general del plano obtenemos su vector normal.

Π : 2 x− y=2 → uΠ=(2,−1,0)

Comprobamos que ur=(0,2,1) y uΠ=(2,−1,0) no son proporcionales, ya que el cociente de sus

componentes no lo son → 02≠

2−1

≠10

El punto P (1,0,−1) obtenido en el apartado a) pertenecerá al plano que estamos buscando (al contenerel plano a la recta).

Con dos vectores linealmente independientes y un punto del plano, podemos escribir la ecuaciónparamétrica del plano.

Π :{x=1+2 by=2 a−bz=−1+a }

c) Debemos determinar la recta que pasa por A(−2,1,0) , corta a r y es paralela a Π .Llamaremos a la recta solución s .

Si s es paralela a Π , significa que el vector director de s es perpendicular al vector normal de Π ,por lo que us · uΠ=0 .

Como razonamos en el apartado b) uΠ=(2,−1,0) .

El vector director de s será el vector AB , donde A(−2,1,0) y B es un punto arbitrario de larecta r , ya que ambas rectas se cortan según el enunciado. Por lo tanto, de la ecuación paramétrica de

r podemos sacar un punto arbitrario:

r :{x=1

y=2+2az=a } → B=(1,2+2a ,a) → AB=(3,1+2 a ,a) → us= AB=(3,1+2 a , a)

us · uΠ=0 → (3,1+2a ,a )· (2,−1,0)=0 → 6−1−2a=0 → a=52

→ us=(3, 6,52)

Si el vector director es us=(3, 6,52) y la recta pasa por A(−2,1,0) , su ecuación paramétrica resulta:

s :{x=−2+3λy=1+6λ

z=52λ }





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Calcula el valor de a para que la recta r :x2=

y−26

=z−2−4

no corte al plano

Π : 5 x+a y+4 z=5 . Para ese valor de a calcula la distancia de la recta al plano.

Una recta y un plano no se cortan si el sistema formado por ambas ecuaciones no tiene solución.

Podemos resolver este problema de dos maneras.

La primera es pasar la ecuación de la recta a general y realizar un sistema de tres ecuaciones y tresincógnitas con la ecuación general del plano. Si el sistema no tiene solución, significa que recta y plano nose cortan.

La segunda es pasar la recta a paramétrica y sustituir en la ecuación del plano, quedando una ecuación conincógnita única el parámetro libre de la recta. Si llegamos a un absurdo, significará que recta y plano nos ecortan.

Resolvamos el ejercicios por este segundo método.

r :x2=

y−26

=z−2−4

→ r :{x=2t

y=2+6 tz=2−4 t} → Sustituimos en Π : 5 x+a y+4 z=5

5(2 t)+a(2+6 t)+4(2−4 t )=5 → 10 t+2a+6a t+8−16 t−5=0

6 a t−6t+2 a+3=0 → (6a−6) t=−2a−3 → t=−2 a−36 a−6

Podremos obtener un valor del parámetro t siempre que el denominador sea distinto de cero, en cuyocayo tendríamos un absurdo matemático y no habría solución (por lo que recta y plano no se cortarían).

6 a−6=0 → Recta y plano son paralelos si a=1 → Π : 5 x+ y+4 z=5

La distancia de una recta a un plano, siendo ambos paralelos, es la distancia de un punto cualquiera de larecta a dicho plano. De la ecuación paramétrica de la recta es obvio que el punto P (0, 2,2) pertenece ala recta.

Usando la fórmula de la distancia de un punto (x0 , y0 , z0) a un plano A x+B y+C z+D=0 :

d (P ,Π)=∣A· x0+B · y0+C · z0+D

√52+12

+42 ∣ → d (P ,Π)=∣5 · 0+1 ·2+4 ·2−5

√52+12

+42 ∣=∣ 5√42∣=

5√4242

u





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a) Halla a∈ℝ para que las rectas r :{ x+2 y−z=1−x+ y−3 z=2} y s :{ x+ y=0

3 x+2 y+z=a} se corten en un

punto.

b) Para dicho valor de a obtener la ecuación implícita de un plano que contenga a ambas rectas.

a) Para estudiar la posición relativa de dos rectas podemos trabajar de dos formas.

La primera es con sus ecuaciones generales, formando un sistema 4x4 que debería tener solución única siqueremos que ambas rectas se corten un punto.

La segunda es obtener los vectores directores de cada recta ur , us y un punto de cada recta para formr el

vector AB . Estudiando el rango de la matriz formada por estos tres vectores podemos deducir laposición relativa de ambas rectas. Vamos a resolverlo de esta segunda forma.

r :{ x+2 y−z=1−x+ y−3 z=2} → z=t → r :{ x+2 y=1+ t

−x+ y=2+3 t} → Sumamos ambas ecuaciones

3 y=3+4 t → y=1+43

t → x=1+t−2(1+43

t ) → x=−1−53

t

r :{x=−1−

53

t

y=1+43

t

z=t} → A∈r=(−1,1,0) , ur=(

−53

,43

,1) → ur=(−5,4 ,3)

s :{ x+ y=03 x+2 y+z=a} → z=m → s :{ x+ y=0

3 x+2 y=a−m} → s :{−2 x−2 y=03 x+2 y=a−m} →

Sumamos ambas ecuaciones → x=a−m → y=−a+m

s :{x=a−m

y=−a+mz=m } → B∈s=(a ,−a ,0) , us=(−1,1, 1)

El vector AB resulta → A∈r=(−1, 1,0) , B∈s=(a ,−a ,0) → AB=(a+1,−a−1,0)

Formamos la matriz (ur , us , AB) . Para que las rectas se corten en un punto el rango de esta matrizdebe ser dos, ya que los vectores directores de ambas rectas son sistema generador del plano que contienea ambas rectas. Además, estos dos vectores directores son linealmente independientes entre sí.





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ur=(−5,4 ,3) , us=(−1,1,1) , AB=(a+1,−a−1,0)

Los vectores directores de las dos rectas, en efecto, son linealmente independientes entre sí ya que no son

proporcionales, como se comprueba al dividir sus componentes → −5−1

≠41≠

31

Nos queda imponer la condición de rango dos para la matriz formada por los tres vectores. Para ello,forzamos que su determinante sea cero (ya que así el rango no será tres.)

∣−5 4 3−1 1 1a+1 −a−1 0∣=0 → 0+4(a+1)−3(−a−1)−(3(a+1)+0−5(−a−1))=0

(a+1)+2(−a−1)=0 → −a−1=0 → a=−1

Esta valor anula el determinante. Sabemos que el rango de la matriz es dos, al contener dos vectoreslinealmente independientes (los dos vectores directores). Por lo tanto, para a=−1 las rectas se cortan enun solo punto.

b) Para a=−1 debemos obtener la ecuación general o implícita del plano que contiene a ambas rectas.Sabemos que un plano queda determinado de manera única por dos vectores linealmente independientesparaelos al plano y un punto del plano.

Estos vectores son los directores de las rectas: ur=(−5,4 ,3) , us=(−1,1,1)

Y el punto es uno de cualquiera de las dos rectas, por ejemplo: A∈r=(−1,1,0)

Con la determinación lineal del plano podemos obtener su ecuación general anulando el siguientedeterminante.

∣−5 −1 x+14 1 y−13 1 z ∣=0 → −5 z−3( y−1)+4 (x+1)−(3( x+1)−5( y−1)−4 z)=0

−z+2( y−1)+(x+1)=0 → Π : x+2 y−z−1=0





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Sea la recta r que pasa por los puntos A(1, 0,−1) y B(−1,1,0) .

a) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (−2,3, 2) .

b) Calcula la distancia de r y s .

a) Si la recta s es paralela a r , tendrán el mismo vector director. Y si s pasa por C (−2,3, 2) , yatendremos un punto y un vector para obtener la ecuación de la recta.

us= ur= AB=(−2,1, 1) , C (−2,3, 2)∈s → s :{x=−2−2 a

y=3+az=2+a }

b) La distancia entre dos rectas paralelas podemos obtenerla como la distancia de un punto A∈r a laotra recta s .

Podemos obtener la distancia con la fórmula d (P ,s )=∣AP× us∣∣us∣

, donde us es el vector director de la

recta s y P∈s un punto de dicha recta.

A(1,0,−1)∈r , P (−2,3, 2)∈s → AP=(−3,3, 3)

us=(−2, 1,1) → ∣us∣=√6

AP× us=∣ i j k−3 3 3−2 1 1∣=3 i−6 j−3 k−(−6 k+3 i−3 j)=−3 j+3 k=(0,−3, 3)

∣AP×us∣=√18

d (P , s )=∣AP× us∣∣us∣

=√18√6

=√3u





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Dadas las rectas r :x2=

y3=

z1

y s :{x=−λ

y=1+2λz=−2+2λ} .

a) Determine su posición relativa.

b) Calcule la distancia del punto P (2, 3, 1) a la recta s .

a) Para estudiar la posición relativa de ambas rectas debemos obtener sus respectivos vectores directores yun punto de cada recta.

r :x2=

y3=

z1

→ ur=(2,3,1) , A∈r=(0,0,0)

s :{x=−λ

y=1+2λz=−2+2λ} → us=(−1,2,2) , B∈s=(0,1,−2)

AB=(0, 1,−2)

El rango de la matriz formada por los vectores (ur , us , AB) nos informará del número de vectoreslinealmente independientes y, según este valor, podremos determinar la posición relativa de las rectas.

Calculamos el determinante de la matriz 3x3 formada por (ur , us , AB) . Si es no nulo, el rango será 3.

∣2 −1 03 2 11 2 −2∣=−8−1+0−(0+4+6)=−19≠0 → Rango 3

Si los tres vectores son linealmente independientes significan que las dos rectas son cruzadas en elespacio.

b) Para obtener la distancia desde un punto P (2,3, 1) a la recta s podemos aplicar la fórmula quevimos en teoría o bien razonar de la siguiente manera.

Elegimos un punto arbitrario de la recta s , cuyas coordenadas serán las de la recta en paramétricas.

s :{x=−λ

y=1+2λz=−2+2λ} → Q(−λ , 1+2λ ,−2+2λ) → Punto arbitrario de s





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Formamos el vector PQ=(−λ−2,−2+2λ ,−3+2λ ) . El módulo del vector PQ será la distancia

buscada siempre que el producto escalar de PQ con el vector director us=(−1, 2, 2) sea nulo (ya quelos dos vectores serán perpendiculares).

PQ · us=0 → −(−λ−2)+2(−2+2λ)+2(−3+2λ)=0 → λ+2−4+4λ−6+4λ=0

9λ−8=0 → λ=89

Con este resultado podemos obtener el vector PQ=(−λ−2,−2+2λ ,−3+2λ ) .

PQ=(−89−2 ,−2+

169

,−3+169)=(

−269

,−29

,−119)

d (P , s )=∣PQ∣=√ 676+4+12181

=√ 80181

=√ 899

u





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a) Estudia la posición relativa de las rectas r :{ x+ y−z=12 x+ y−2 z=1} y s :{ x−z=0

x+2 y− z=12} .

b) Calcula la distancia entre ambas rectas.

a) Para estudiar la posición entre ambas rectas vamos a tomar los siguientes elementos geométricos.

Punto y director de la primera recta → A , ur

Punto y vector director de la segunda recta → B , us

Vector formado por los puntos obtenidos → AB

El estudio del rango de la matriz formada por estos tres vectores (ur , us , AB) nos dará la informaciónnecesaria para determinar la posición relativa de las rectas.

Pasamos las rectas, en forma general, a paramétricas.

r :{ x+ y−z=12 x+ y−2 z=1} → z=λ → r :{ x+ y=1+λ

2 x+ y=1+2λ} → Restamos las dos ecuaciones →

−x=−λ → x=λ → y=1 → r :{x=λy=1z=λ} → A(0,1,0) , ur=(1,0,1)

s :{ x−z=0x+2 y− z=12} → z=λ → x=λ → y=6

s :{x=λy=6z=λ} → B(0,6,0) , us=(1,0,1)

AB=(0,−5,0)

(ur , us , AB)=(1 0 11 0 10 −5 0) → det=0+0−5−(0+0−5)=0 → Rango≠3

Buscamos un menor de orden dos no nulo → ∣α11∣=0+5=5 → Rango=2 → Tenemos dos vectores

linealmente independientes, por lo tanto la terna (ur , us , AB) está contenida en un mismo plano. Estaconfiguración puede implicar que las rectas sean paralelas o secantes. Para decidirlo, debemos ver el rango

de los dos vectores directores → (ur , us)=(1 0 11 0 1) → Son vectores proporcionales, por lo que las

rectas son paralelas.





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b) La distancia entra ambas rectas paralelas podemos determinarla con la fórmula d (P , r )=∣AP× ur∣∣ur∣

,

sabiendo que:

ur → Vector director de la recta r → ur=(1,0,1)

A → Punto de la recta r → A(0,1,0)

P → Punto de la recta s → P (0,6,0)

AP=(0,−5,0)

AP×ur=∣ i j k0 −5 01 0 1∣=−5 i+0+0−(−5 k+0+0)=−5 i+5 k=(−5,0,5)

∣AP×ur∣=√25+0+25=√50

∣ur∣=√1+0+1=√2

d (P , r )=√50√2

=√25=5 u





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Sean los planos Π1: x+ y=1 , Π2 :a y+z=0 , Π3: x+(1+a ) y+a z=a+1 .

a) Cuánto debe valer a para que no tengan ningún punto en común?

b) Para a=0 determina la posición relativa de los planos.

a) Los planos no tendrán ningún punto en común si el sistema 3x3 formado por sus tres ecuacionesgenerales resulta incompatible.

{x+ y=1

a y+ z=0x+(1+a) y+a z=a+1} → Notación matricial → A/D=(

1 1 00 a 11 1+a a∣

10

a+1)Estudiamos el rango de la matriz del sistema, calculando en primer lugar su determinante.

∣1 1 00 a 11 1+a a∣=a2

+1+0−(0+0+1+a)=a2−a=a(a−1)

El determinante se anula si y solo si a=0 , a=1 .

Realizamos la discusión de casos del rango en función de los valores del parámetro a .

• Si a≠0 ó a≠1 → det (A)≠0→rango(A)=3→rango(A/D)=3 → Por Rouché-Frobenius estamos ante un sistema compatibe determinado con solución única. Los tres planos secortan en un punto.

• Si a=0 → det (A)=0 → Buscamos un menor no nulo → ∣1 1 00 0 11 1 0∣ →

∣α11∣=∣0 11 0∣=−1 → rango (A)=2 → Estudiamos el rango de la ampliado, comprobando en

primer lugar la existencia de menores de orden 3 no nulos → A/D=(1 1 00 0 11 1 0∣

101) →

∣C1 C2C3∣=0 (coincide con el determinante de A)

∣C1 C2C 4∣=0 (por tener las tres columnas iguales)

∣C1 C3C 4∣=0 (por tener dos columnas iguales)

∣C2 C3 C4∣=0 (por tener dos columnas iguales)





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El rango de la ampliada también será dos, al no aparecer ningún menor de orden tres no nulo →Rango(A)=2=Rango(A/D)<3=nº incógnitas → Por Rouché-Frobenius estamos ante un

sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones con un parámetro libre. La solución alsistema es una recta común a los tres planos

• Si a=1 → det (A)=0 → Buscamos un menor no nulo → ∣1 1 00 1 11 2 1∣ →

∣α11∣=∣1 12 1∣=−1 → rango (A)=2 → Estudiamos el rango de la ampliado, comprobando en

primer lugar la existencia de menores de orden 3 no nulos → A/D=(1 1 00 1 11 2 1∣

102) →

∣C 1 C 2C 3∣=0 (coincide con el determinante de A)

∣C1 C2C 4∣=∣1 1 00 1 11 0 2∣=2+1+0−(0+0+0)=2≠0 → rango (A/D)=3≠2=rango(A) →

Por Rouché-Frobenius estamos ante un sistema incompatible. No hay solución. Los planos notienen ningún punto en común si a=1 .

b) Como hemos justificado en el apartado anterior, si a=0 → El rango de la ampliada también será dos,al no aparecer ningún menor de orden tres no nulo →

Rango(A)=2=Rango(A/D)<3=nº incógnitas → Por Rouché-Frobenius estamos ante un sistemacompatible indeterminado. Infinitas soluciones con un parámetro libre. La solución al sistema es una rectacomún a los tres planos.





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■ Posiciones relativas 16 ♣

Sea la recta r : m x= y=z+2 con m≠0 , y la recta s :x−4

4= y−1=

z2

.

a) Halla el valor de m para que las rectas sean perpendiculares.

b) ¿Existe algún valor de m para el que las rectas sean paralelas?

a) Ambas rectas serán perpendiculares si el producto escalar de sus vectores directores es nulo.

r : m x= y=z+2 → r : x=ym=

z+2m

→ ur=(1,m , m)

s :x−4

4= y−1=

z2

→ us=(4,1,2)

ur · us=0 → 4+m+2m=0 → m=−43

b) Ambas rectas serán paralelas si sus vectores directores son proporcionales, y si no pasan por los mismospuntos (si lo hicieran, serían coincidentes y no paralelas). Es decir:

14=

m1=

m2

Si igualamos la primera y la segunda fracción → m=14

. Pero con este valor no se cumple la igualdad

entra la primera y la tercera fracción. Por lo tanto, no hay un valor de m que haga paralelas ambas rectas.





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Puntos pertenecientes a rectas o planos

■ Puntos 1 ♣♣

Considera el punto P (1,−1,0) y la recta r :{x=1+3ty=−2z=t } .

a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r .

b) Halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r .

a) La determinación lineal del plano afirma que un plano queda definido de manera única con un puntoperteneciente al plano y dos vectores linealmente independientes y paralelos al plano.

El punto nos lo da el enunciado: P (1,−1, 0)

Si el plano contiene a la recta del enunciado, su vector director será paralelo al plano: ur=(3,0 ,1)

El segundo vector podemos formarlo con el vector AP , donde A∈r . Mirando la ecuación paramétrica

de la recta, ese punto puede ser: A(1,−2,0) → AP=(0,1,0) .

Comprobamos que ambos vectores son independientes dividiendo las respectivas componentes entre si y

verificando que no son vectores proporcionales → 30≠

01≠

10

Igualando a cero determinante asociado a la determinación lineal del plano, obtendremos la ecuacióngeneral del plano solución:

∣0 3 x−11 0 y+10 1 z ∣=0 → (x−1)−(3 z )=0 → Π : x−3 z−1=0

b) Sea P (1,−1, 0) y P ' ( x , y , z ) su simétrico respecto la recta r .

Consideramos un punto arbitrario de la recta, cuyas componentes coinciden con las componentesparamétricas de la recta. Es decir: B(1+3 t ,−2, t)∈r .

Formamos el vector BP=(−3 t ,1,−t) . El punto B será el punto medio del segmento PP 'siempre que el vector BP y el vector director de la recta ur=(3,0 ,1) sean perpendiculares.

Dos vectores perpendiculares cumplen que su producto escalar es nulo. Por lo tanto:

BP · ur=0 → (−3t ,1,−t)· (3, 0,1)=0 → −9t+0−t=0 → t=0

De donde concluimos que B=(1,−2, 0) . Recordamos que las coordenadas del punto medio de unsegmento se obtiene como la semisuma de las coordenadas de los extremos. Es decir:





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(1,−2,0)=(x+1

2,

y−12

,z−0

2)

Igualamos componentes → x=1 , y=−3 , z=0 → P ' (1,−3, 0) es el punto solución.





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■ Puntos 2 ♣♣

Sean los puntos A(0,1 ,1) , B(2,1,3) , C (−1,2,0) y D(2,1 ,m)

a) Calcula m par A ,B ,C y D estén en un mismo plano.

b) Determina la ecuación del plano respecto los puntos A y B son simétricos.

c) Calcula el área del triángulo de vértices A ,B y C .

a) Los cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores que podemos formar tomando uno de los puntoscomo origen común (por ejemplo el punto A ), pertenecen a un mismo plano. Es decir, los tres vectoresdebe ser linealmente dependientes (por ser coplanarios). Por lo tanto, el rango de la matriz cuadrada

3×3 que forman los tres vectores no puede ser tres: el determinante de esa matriz debe ser nulo.

AB=(2,0,2) , AC=(−1,1 ,−1) , AD=(2,0 ,m−1)

(2 −1 20 1 02 −1 m−1) → ∣

2 −1 20 1 02 −1 m−1∣=0 → 2m−6=0 → m=3

Los cuatro puntos pertenecen al mismo plano siempre que m=3 .

b) Buscamos un plano de ecuación general Π : A x+B y+C z+D=0 que cumpla que la recta r queune los puntos A(0,1 ,1) y B(2,1,3) , corte al plano de manera perpendicular justo en el punto mediodel segmento AB .

Con el vector director ur de la recta tendremos el vector normal al plano uΠ=(A , B ,C ) . Y con el

punto medio del segmento AB tendremos las coordenadas de un punto del plano, por lo que podremosobtener el término independiente de la ecuación general Π : A x+B y+C z+D=0 .

AB=ur=(2,0 ,2) → uΠ=(2,0 ,2)⊥Π

P= punto medio AB =(0+2

2,1+1

2,1+3

2)=(1,1 ,2)

Π : 2 x+2 z+D=0 , P (1,1,2)∈Π → 2+4+D=0 → D=−6

Π : 2 x+2 z−6=0 → Podemos simplificar a → Π : x+z−3=0

c) Nuestro triángulo tiene por vértices A(0,1 ,1) , B(2,1,3) , C (−1,2,0) . Si recordamos una delas aplicaciones del producto vectorial, el área del triángulo de vértices conocidos cumple la siguienterelación:





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ATriángulo=12∣AB× AC∣

El módulo del producto vectorial podemos obtenerlo de la siguiente relación.

∣AB× AC∣=∣AB∣·∣AC∣· sen(α)

Siendo α el ángulo formado por ambos vectores.

O bien podemos directamente el vector resultante del producto vectorial, y luego aplicar su módulo. Vamosa tomar esta segunda opción.

AB=(2,0,2) , AC=(−1,1 ,−1)

AB×AC=∣ i j k2 0 2−1 1 −1∣=0−2 j+2 k−(0+2 i−2 j)=−2 i+2 k

∣AB× AC∣=√22+22

=√8=2√2

Siendo el área del triángulo finalmente:

ATriángulo=12∣AB× AC∣=

2√22

=√2 u2





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■ Puntos 3 ♣

Sea el triángulo de vértices A(−1,1,0) , B(0,−2,3) y C (2,1 ,−1) .

a) Halla la ecuación del plano que contiene al triángulo .

b) Halla la ecuación general de la recta que une el punto medio del segmento AB y el punto mediodel segmento AC .

a) La determinación lineal del plano Π(u , v , A) nos permite calcular la ecuación general del plano apartir de un punto del plano y de dos vectores del plano que sean linealmente independientes. El puntopuede ser, por ejemplo, A(−1,1,0) . Y los vectores linealmente independientes podemos tomarlos de losvértices del triángulo.

AB=(1,−3,3) , AC=(3,0 ,−1)

Los dos vectores no son proporcionales entre si, por lo tanto son linealmente independientes.

Π(u , v , A)=∣1 3 x+1−3 0 y−13 −1 z ∣=0 → 0+9 ( y−1)+3(x+1)−0+( y−1)+9 z=0

10( y−1)+3( x+1)+9 z=0

Π : 3 x+10 y+9 z−7=0

b) Sea D el punto medio del segmento AB . Lo calculamos con la semisuma de las componentes de

los extremos del segmento → D(−12

,−12

,32) . Sea E el punto medio del segmento AC , y sus

coordenadas son → E (12

,1 ,−12)

Obtenemos un vector director de la recta → DE=(1,32

,−2)

Y podemos escribir la ecuación paramétrica de la recta:

r :{x=

−12+λ

y=−12+

32λ

z=32−2λ }

La ecuación general la obtenemos eliminando el parámetro λ y expresando la recta como el corte de dosplanos:





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r :{y=−12+

32(x+

12)

z=32−2( x+

12) } → r :{

−32

x+ y−14=0

2 x+ z−12=0 }





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■ Puntos 4 ♣♣

Los puntos A(1,3 ,−4) , B(2,6 ,7) y C (5,−1,2) son tres vértices consecutivos de unparalelogramo.

a) Halla el cuarto vértice D .

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A y C .

c) Halla la ecuación del plano que contine al paralelogramo.

a) El punto medio del segmento que une A y C es:

M=(3,1 ,−1)

Y M también es el punto medio del segmento que une B y D . Por lo tanto, si D( x , y , z ) :

(3,1 ,−1)=(2+ x

2,6+ y

2,

7+z2

) → x=4 , y=−4 , z=−9 → D(4,−4,−9)

Otra forma de plantearlo es la siguiente. El vector AB tiene la misma dirección, sentido y módulo que el

vector DC . Por lo que podemos igualas sus componentes.

AB=(1,3,11) , DC=(5−x ,−1− y ,2− z) → {1=5−x

3=−1− y11=2− z } → x=4 , y=−4 , z=−9

b) Para la recta necesitamos un punto y un vector. El punto puede ser, por ejemplo, A(1,3 ,−4) . Y el

vector AC=(4,−4,6) . La ecuación continua de la recta será:

r :x−1

4=

y−3−4

=z+46

c) Para el plano necesitamos un punto y dos vectores linealmente independientes. El punto puede ser, por

ejemplo, A(1,3 ,−4) . Uno de los vectores AC=(4,−4,6) . Y el segundo vector AB=(1,3 ,11) .Ambos vectores son linealmente independiente, al tener como extremos finales vértices distintos delparalelogramo.

Otra forma de ver que son independiente es comprobando que no son proporcionales. Es decir:41≠−43≠

611

.

Y la ecuación paramétrica del plano resulta:

Π :{x=1+4α+β

y=3−4α+3βz=−4+6α+11β}





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■ Puntos 5 ♣♣

Sean los puntos A(1,2 ,−1) , P (0,0 ,5) , Q(1,0 ,4) y R(0,1 ,6) .

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A , es paralela al plano que pasa por lospuntos P ,Q y R y tal que la primera componente de su vector director es doble de la segunda.

b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P , Q y R .

a) Si los puntos P ,Q y R pertenecen a un plano, los siguientes vectores pertenecerán a dicho plano.

PQ=(1,0 ,−1) , PR=(0,1,1)

Por la determinación lineal del plano, su ecuación general será:

Π( PQ , PR , P) :∣1 0 x0 1 y−1 1 z−5∣=0 → z−5+0+0−(−x+ y+0)=0 → Π : x− y+z−5=0

Este plano es paralelo a la recta r que estamos buscando, que además pasa por el punto A(1,2 ,−1).

El vector director de esta recta solución será ur=(x , y , z) , y el enunciado nos dice que la primeracomponente de este vector director es doble de la segunda. Es decir:

ur=(2 y , y , z)

Un vector perpendicular al plano Π también será perpendicular al vector director ur . Es decir, el vector

normal del plano uΠ=(1,−1,1) será perpendicular a ur y el producto escalar de ambos será nulo.

ur · uΠ=(1,−1,1) ·(2 y , y , z)=0 → 2 y− y+z=0 → y+ z=0 → z=− y .

Por lo tanto, el vector director de la recta solución resulta:

ur=(2 y , y ,− y ) → Cualquier valor de y no nulo nos ofrece un vector director de la recta (de los

infinitos vectores directores que existen). Por ejemplo y=1 → ur=(2,1 ,−1) .

Y con un vector y un punto tenemos la ecuación en paramétricas de la recta solución:

r :{x=1+2βy=2+β

z=−1−β}b) Para obtener la distancia de un punto P (x0, y0 , z0) a un plano Π : A x+B y+C z+D=0 hacemosuso de la siguiente expresión.

d (P ,Π)=∣A x0+B y0+C z0+D∣

√A2+B2+C2

Aplicado al punto A(1,2 ,−1) y al plano de ecuación general Π : x− y+z−5=0 , resulta:

d (P ,Π)=∣1−2+−1−5∣

√1+1+1=

7√33

u





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■ Puntos 6 ♣♣

Dos de los tres vértices de un triángulo son los puntos A(1,1 ,1) y B(1,1 ,3) . El tercer vérticeC está en la recta r que pasa por los puntos P (−1,0 ,2) y Q(0,0 ,2) .

a) Determinar la ecuación de la recta r .

b) Calcular el punto C para que el área del triángulo sea igual a √15 u2.

a) El vector director de la recta r será:

PQ=(1, 0,0)

Si la recta pasa por el punto Q(0,0 ,2) , la ecuación de la recta será → r :{x=ay=0z=2}

b) El punto C es un punto arbitrario de la recta → C (a ,0, 2) → Este punto cumple que forma un

triángulo con los puntos A y B que encierra un área de √15u2. El área del triángulo se calcula

como la mitad del módulo del producto vectorial de AB y AC .

AB=(0,0,2)

AC=(a−1,−1,1)

AB×AC=∣ i j k0 0 2

a−1 −1 1∣=0+0+2(a−1) j−(0+0−2 i )=2 i+2(a−1) j=(2, 2a−2,0)

El módulo de este vector resulta:

∣AB× AC∣=√22+(2a−2)2=√4+4a2

+4−8 a=√4a2−8a+8=2√a2

−2a+2

Por lo tanto:

12∣AB× AC∣=√15 → √a2

−2a+2=√15 → a2−2a+2=15 → a2

−2a−13=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

a=2±√4+52

2=

2±√562

Por lo que punto C solución puede tomar dos valores:

C (2+√56

2, 0,2) , C (

2−√562

,0,2)





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■ Puntos 7 ♣

Consideremos los puntos A(2,6,−3) y B(3, 3,−2) .

a) Halla la ecuación de la recta que contiene a ambos puntos.

b) Determina una ecuación para el plano equidistante de ambos puntos.

a) Para escribir la ecuación de una recta necesitamos un vector director de la recta y un punto de la recta.

El vector AB=(1,−3,1) es paralelo a la recta, que además pasa por el punto A(2,6,−3) . Por lotanto, la ecuación paramétrica resulta:

r :{x=2+a

y=6−3 az=−3+a}

b) El plano equidistante de ambos puntos pasa por el punto medio del segmento AB . Ese punto medio

será: C=(2+3

2,6+3

2,−3−2

2)=(

52

,92

,−52) .

El vector AB=(1,−3,1) es perpendicular al plano solución. Y con un vector perpendicular al plano y unpunto del plano podemos escribir su ecuación general A x+B y+C z+D=0 .

Π : x−3 y+ z+D=0

El término independiente lo sacamos sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación del plano.

52−3 ·

92−

52+D=0 → D=

272

→ Π : x−3 y+z+272=0





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■ Puntos 8 ♣♣♣

Sea el triángulo de vértices A(1, 2,−2) , B(0,−3,1) y C (−1,0,0) y los planos

Π1: x+ y+z+1=0 y Π2 :{x=−α+β+1

y=α−2βz=α+β } .

a) Obtener la posición relativa de Π1 y del plano que contiene al triángulo.

b) Obtener un vector n1 perpendicular al plano Π1 y un vector n2 perpendicular al plano Π2

. Obtener el coseno del ángulo formado por ambos vectores.

c) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ambos planos.

a) En primer lugar calculamos el plano que contiene a los puntos A, B y C. Para ello buscamos dos vectoreslinealmente independientes y un punto del plano, para aplicar la determinación lineal del plano.

AB=(−1,−5,3)AC=(−2,−2,2)

C (−1,0,0)

→ AB y AC son independientes porque−1−2

≠−5−2

≠32

Π( AB , AC ,C ) → ∣−1 −5 3−2 −2 2x+1 y z∣=0 → 2 z−10(x+1)−6 y−(−6( x+1)−2 y+10 z )=0

−4( x+1)−4 y−8 z=0 → −4 x−4 y−8 z−4=0 → Π : x+ y+2 z+1=0

Estudiamos la posición relativa de Π : x+ y+2 z+1=0 y Π1: x+ y+z+1=0 , resolviendo el sistemade ecuaciones que forman sus dos ecuaciones generales (otra opción sería estudiar directamente losrangos de la matriz del sistema y de la matriz ampliada).

{x+ y+2 z+1=0x+ y+z+1=0 } → Restamos ambas ecuaciones → z=0 → {x+ y+1=0

x+ y+1=0}

Ambas ecuaciones son idénticas, por lo que podemos obviar una → x+ y+1=0

Tomamos una incógnita como parámetro libre → y=λ → x=−1−λ

La solución del sistema resulta una recta.

r :{x=−1−λ

y=λz=0 } → Ambos planos son secantes y se cortan en la recta r .





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b) Las coordenadas del vector normal a un plano coincide con los coeficientes A, B y C de la ecuacióngeneral del plano.

Π1: x+ y+z+1=0 → uΠ1=(1,1,1)

Π2 :{x=−α+β+1

y=α−2βz=α+β } → Pasamos a general → Π2 :∣

−1 1 x−11 −2 y1 1 z ∣=0

2 z+ y+( x−1)−(−2 (x−1)− y+z )=0 → 3(x−1)+2 y+z=0

Π2 :3 x+2 y+ z−3=0 → uΠ2=(3,2,1)

El coseno formado por ambos planos coincide con el coseno formado por sus vectores normales.

cos (α)=∣ uΠ1· uΠ2

∣uΠ2∣·∣uΠ1·∣∣=∣

(1,1,1)· (3,2, 1)

√3 ·√14 ∣=3+2+1

√42=

6√4242

=0,926 → α=22,21 º

c) Por último debemos obtener la recta, en paramétricas, del corte entre los planos Π1: x+ y+z+1=0 y

Π2 :3 x+2 y+ z−3=0 , para lo cual resolvemos el siguiente sistema:

{3 x+2 y+z−3=0x+ y+z+1=0 } → Parámetro libre z=λ → {3 x+2 y=3−λ

x+ y=−1−λ } → F 2 '=2 F2

{ 3 x+2 y=3−λ2 x+2 y=−2−2λ} → Restamos ambas ecuaciones → x=5+λ

y=−1−λ−(5+λ) → y=−6−2λ

La recta solución es r :{x=5+λ

y=−6−2λz=λ }





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Ángulos

■ Ángulos 1 ♣

Considera las rectas r :{x=1z=2} , s :{x+ y=1

z=2 } , y los planos , Π2 :2 x+ y−z=1

a) Obtener el ángulo entre ambas rectas.

b) Obtener el ángulo entre ambos planos.

c) Obtener el ángulo entre la recta s y el plano Π2

a) Debemos obtener los vectores directores de ambas rectas. Podemos aplicar el producto vectorial a losvectores normales de los planos que forman las ecuaciones generales de las rectas.

r :{x=1z=2} → Vectores normales a los planos → u1=(1, 0,0) , u2=(0,0,1)

s :{x+ y=1z=2 } → Vectores normales a los planos → u3=(1,1, 0) , u4=(0,0,1)

u1×u2=∣i j k1 0 00 0 1∣=0+0+0−(0+0+ j)=− j=(0,−1,0)

u3×u4=∣i j k1 1 00 0 1∣= i+0+0−(0+0+ j)= i− j=(1,−1,0)

El coseno del ángulo entre ambas rectas se define como:

cos (α)=∣(0,−1,0)·(1,−1,0)

√(−1)2·√12+(−1)2∣=∣ 1

√2∣=∣√22 ∣ → α=45º

b) El ángulo entre ambos planos coincide con el ángulo formado por sus vectores normales.

Π1: y=0 → uΠ1=(0,1,0)

Π2 :2 x+ y−z=1 → uΠ2=(2,1,−1)

cos (α)=∣ (0,1,0) ·(2,1,−1)

√12 ·√22+12

+(−1)2∣=∣1√6∣=

√66

→ α=65,91º





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c) El seno del ángulo entre recta y plano se calcula con el vector director de la recta y el vector normal alplano.

sen(α)=∣ (1,−1,0)· (2,1,−1)

√12+(−1)2·√22

+12+(−1)2∣=∣

2−1√12 ∣=

√1212

→ α=16,79º





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Simetrías

■ Simetrías 1 ♣

Sean los puntos P (2 , 3 ,1) y Q(0,1, 1) . Halla la ecuación general y paramétrica del plano Πrespecto del cual ambos puntos son simétricos.

El plano Π respecto al cual ambos puntos son simétricos, será perpendicular a la recta que une lospuntos P y Q .Además, el plano pasará por el punto medio del segmento PQ .

Es decir, si obtenemos el vector PQ tendemos el vector perpendicular al plano. Y si obtenemos el puntomedio del segmento PQ , tendremos un punto del plano. Y podremos escribir la ecuación general delplano.

PQ=(−2,−2,0) → uΠ=(−2,−2,0) → Π :−2 x−2 y+D=0

Punto medio PQ → A(2+0

2,3+1

2,1+1

2)=(1,2 ,1)

Si A∈Π → −2(1)−2 (2)+D=0 → D=6

La ecuación general delplano solución es Π :−2 x−2 y+6=0 → Simplificar → Π :− x− y+3=0

Para obtener su ecuación paramétrica, resolvemos el sistema formado por esa ecuación con tres incógnitas.

Un parámetro libre será la incógnita que no aparece en la ecuación general: z=α

Y el segundo parámetro libre será una de las otras incógnitas: y=β

Así, podemos despejar la incógnita x : x=−β+3

Y la ecuación paramétrica del plano resulta:

Π :{x=−β+3

y=βz=α }





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■ Simetrías 2 ♣♣♣

Las rectas r :{x=1y=az=1} y s :{

x=1+by=−2+bz=1+b } son secantes en un punto P y forman entre sí un

ángulo α . Encontrar la recta t que también pase por P y forme con la recta r el mismoángulo que forman r y s . Escribir la recta t en paramétricas, en continua y en general.

Estos problemas donde aparece el ángulo entre dos rectas, a veces, pueden plantearse de forma másdirecta usando conceptos de simetría en vez de las fórmulas de ángulos. Si no nos dan el ángulo exacto, lafórmula de ángulo entre dos rectas puede ser difícil de manejar para obtener una solución.

Las tres rectas se cortan en el punto P . Y la recta r será como “un eje de simetría”, donde las rectass y t se reflejan, formando el mismo ángulo con r . Cogeremos un punto de A∈s distinto deP , obtendremos su simétrico respecto a la recta r , y tendremos así un punto de A '∈t .

Con los puntos P y A ' podremos escribir la recta t.

La siguiente imagen en tres dimensiones, de Geogebra, nos muestra la solución de nuestros problema.





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Para obtener el punto de corte igualamos las componentes paramétricas de las rectas r y s .

{1=1+b

a=−2+b1=1+b } → b=0,a=−2 → P (1,−2,1)

Ahora obtenemos un punto A∈s , dando valores al parámetro libre de la recta s .

Por ejemplo A(3,0 ,3)∈s . Y obtenemos el simétrico de A respecto r .

Para ello cogemos el vector director de r → ur=(0,1 ,0)

Tomamos un punto arbitrario de r → B=(1,a ,1)

Creamos el vector AB=(−2,a ,−2)

Y forzamos que este vector AB sea perpendicular a ur , anulando el producto escalar de ambos.

AB · ur=0 → 0+a+0=0 → a=0

Con el valor del parámetro a=0 sacamos B(1,0 ,1) , que será el punto medio del segmento AA' .Recordamos que A(3,0 ,3) y A ' (x , y , z ) son simétricos respecto a la recta r .

1=3+x

2→ x=−1

0=y+0

2→ y=0

1=3+z

2→ z=−1

Y la recta t pasará por el punto P (1,−2,1) y por A ' (−1,0 ,−1) . Su vector director será

PA '=(−2,2 ,−2) . La ecuación paramétrica de la recta es:

t :{x=1−2λ

y=−2+2λz=1−2λ }

Despejamos el parámetro libre, igualamos y obtenemos la ecuación continua → x−1−2

=y+2

2=

z−1−2

Si en las ecuaciones paramétricas sumamos primera y segunda, y sumamos segunda y tercera, obtenemos

la ecuación general → {x+ y=−1y+z=−1}





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■ Simetrías 3 ♣♣

Considera los puntos P (1,0,−1) , Q(2,1,1) y la recta dada por r : x−5= y=z+2−2

.

a) Determina el punto simétrico de P respecto de r .

b) Calcula el punto de r que equidista de P y Q .

a) Buscamos un punto P ' ( x ' , y ' , z ' ) simétrico de P (1,0,−1) respecto la recta.

Un vector director de la recta es ur=(1,1,−2) . Tomamos un punto arbitrario de la recta, cuyascoordenadas coincide con las componentes paramétricas de la recta.

A(5+t , t ,−2−2 t )

Trazamos el vector PA=(4+t , t ,−1−2 t) y exigimos que sea perpendicular a la recta. ¿Cómo?

Imponiendo que el producto escalar de ur y PA sea nulo.

ur · PA=0 → 4+ t+t+2+4 t=0 → t=−1

Con el valor del parámetro podemos obtener el punto A de la recta que será el punto medio delsegmento P P ' . Recordamos que el punto medio se obtiene como la semisuma de las componentes delos extremos del segmento.

Si t=−1 → A(6,1 ,−4) → (6,1,−4)=(1+x '

2,0+ y '

2,−1+z '

2)

Si dos puntos son iguales, sus coordenadas son iguales. Por lo tanto:

x '=11 , y '=2 , z '=−7

El punto solución es P ' (11, 2,−7) .

b) Buscamos un punto de la recta que equidiste de P y Q . Nuevamente tomamos el concepto depunto arbitrario de la recta.

A(5+t , t ,−2−2 t )

Y exigimos que la distancia de P a A sea igual a la distancia de Q a A .

PA=(4+t , t ,−1−2 t) → d (P , A)=∣PA∣=√(4+ t)2+t 2+(−1−2 t)2

QA=(3+t , t−1,−3−2 t ) → d (Q , A)=∣QA∣=√(3+t)2+(t−1)2+(−3−2t )2





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16+t 2+8 t+t 2

+1+4 t 2+4 t=9+t 2

+6 t+t 2+1−2 t+9+4 t 2

+12 t

17+12 t=19+16 t → −2=4 t → t=−12

Y con el parámetro obtenemos el punto solución → A(92

,−12

,−1)





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■ Simetrías 4 ♣

Considera el punto P (2,−1,3) y el plano Π de ecuación 3 x+2 y+ z=5 .a) Calcula el punto simétrico del punto respecto del plano.

b) Calcula la distancia del punto al plano.

a) De la ecuación general del plano obtenemos su vector característico, perpendicular al plano:

u=(3, 2,1)

Trazamos la recta que pasa por P (2,−1,3) y con vector director u=(3,2,1) → r :{x=2+3 t

y=−1+2 tz=3+ t }

Esta recta es perpendicular al plano. Obtenemos el punto de corte de recta y plano, llevando la ecuaciónparamétrica de la recta dentro de la ecuación general del plano:

3(2+3 t)+2(−1+2 t )+(3+t)=5 → 6+9 t−2+4 t+3+t=5 → 14 t=−2 → t=−17

Llevando el valor del parámetro a la recta, sacamos el punto de corte de recta y plano:

A(117

,−97

,207)

Este punto es el punto medio del segmento P P ' , donde P ' ( x ' , y ' , z ' ) es el simétrico deP (2,−1,3) respecto el plano. Como el punto medio es la semisuma de las componentes:

(117

,−97

,207)=(

2+x '2

,−1+ y '

2,3+z '

2)

Igualando componentes:

x '=87

, y '=−11

7, z '=

197

→ El punto solución es P ' (87

,−117

,197)

b) Finalmente, la distancia de punto a plano podemos obtenerla con la expresión que relaciona lascoordenadas del punto (x0 , y0 , z0) y la ecuación general del plano A x+B y+C z+D=0 :

d (P ,Π)=∣A x0+B y0+C z 0+D∣

√A2+B2

+C 2=∣3 ·2+2· (−1)+1· (3)−5∣

√32+22

+12=

2√14

=√ 27

u





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Sea el plano Π : 2 x+ y−z+8=0 .

a) Calcula el punto P ' , simétrico del punto P (2,−1,5) respecto del plano Π .

b) Calcula la recta r ' , simétrico de la recta r :x−2−2

=y+1

3=

z−51

respecto del plano Π .

a) La recta s que une los puntos simétricos P y P ' es perpendicular al planoΠ : 2 x+ y−z+8=0 , y lo corta en el punto medio del segmento PP ' .

Si Π : 2 x+ y−z+8=0 → uΠ=(2,1 ,−1)⊥Π → uΠ=us , siendo us el vector director de larecta que une ambos puntos simétricos. Y con vector director y un punto, tenemos la ecuación de la recta:

s :{x=2+2 ty=−1+tz=5−t }

Si llevamos estas ecuaciones paramétricas a la ecuación general del plano, obtenemos el punto de corte deambos.

2(2+2t )+(−1+t)−(5−t )+8=0 → t=−1 → M=(0,−2,6)≡punto medio PP '

Si P (2,−1,5) y P ' ( x , y , z ) → (0,−2,6)=(x+2

2,−1+ y

2,5+z

2) → Igualamos cada

componente: x=−2 , y=−3 , z=7 .

El punto simétrico buscado es P ' (−2,−3,7) .

b) Del apartado anterior, el punto P pertenece a la recta r que el enunciado da en este nuevoapartado. Por lo que podemos coger otro punto Q∈r de la recta, sacar su simétrico Q ' respecto alplano, y sacar la recta simétrica r ' como la recta que pasa por P ' y Q ' .

También podemos hacerlo de otra manera. Si la recta y el plano se cortasen en un punto, ese punto de cortepertenecería tanto a la recta r como a su simétrica r ' , y ya podríamos trazar la recta simétrica al tenerdos puntos. Vamos a hacerlo así.

Si pasamos la recta a paramétricas, podremos sustituir directamente en la ecuación general del plano ydecidir sobre el resultado que obtengamos.

r :x−2−2

=y+1

3=

z−51

→ r :{x=2−2 ty=−1+3 t

z=5+t } → 2(2−2 t)+(−1+3 t)−(5+t )+8=0 → t=3





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Obtenemos un punto solución, que será el punto de corte de la recta r con el plano. Este punto de cortees Q(−4,8 ,8)∈r ' . La recta simétrica r ' también corta al plano en ese punto.

Viendo las ecuaciones paramétricas de la recta, es directo que el punto P (2,−1,5) pertenece a r . Yen el apartado anterior obtuvimos el simétrico de este punto respecto al plano: P ' (−2,−3,7)∈r ' . Estepunto P ' (−2,−3,7) pertenece a la recta simétrica buscada r ' .

Contamos con dos puntos de la recta simétrica r ' , por lo que podemos sacar un vector director:

P ' Q= ur '=(−2,11,1)

Y con un punto y un vector director, tenemos la ecuación de la recta simétrica r ' .

r ' :{x=−2−2 ty=−3+11t

z=7+t }





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Calcular la recta contenida en el plano Π1 : x+ y+z=3 paralela al plano Π2 : x=0 y que pasa por

el punto simétrico de B(−1,1,1) respecto de Π2 .

Para escribir la ecuación de la recta necesitamos un vector director de la recta y un punto de la recta.

En el enunciado queda claro que la recta pasa por el punto simétrico de B(−1,1,1) respecto de Π2 .Por lo tanto, calculemos ese punto simétrico.

Para ello tomamos el vector normal a Π2 : x=0 → uΠ: 2=(1,0,0) → Trazamos la recta perpendicular

a Π2 que pasa por B(−1,1,1) → r :{x=−1+t

y=1z=1 }

Obtenemos el punto de corte de r con Π2 , sustituyendo la ecuación en paramétrica de la recta en la

ecuación general del plano → (−1+ t)=0 → t=1 → Llevando el valor del parámetro a la recta r

tendremos el punto de corte buscado → {x=−1+1

y=1z=1 } → P (0, 1,1)

Este punto de corte es el punto medio del segmento BB ' , siendo B ' (x , y , z ) el punto simétrico de

B(−1,1,1) respecto a Π2 → (0,1,1)=(x−1

2,

y+12

,z+1

2) → B ' (1,1,1) → Este punto

pertenece a la recta solución de nuestro ejercicio.

Necesitamos, por último, un vector paralelo a la recta solución.

Los planos Π1 : x+ y+z=3 y Π2 : x=0 no son paralelos, ya que sus coeficientes A, B, C no sonproporcionales. Tampoco son coincientes, por lo que ambos planos se cortan en una recta. Esa recta decorte es paralela a la recta solución del ejercicio, ya que el enunciado afirma que la recta solución estácontenida en Π1 : x+ y+z=3 y es paralela a Π2 : x=0 .

Calculemos la recta de corte de ambos planos, sustituyendo la ecuación Π2 : x=0 en Π1 : x+ y+z=3

→ y+ z=3 → z=λ → y=3−λ → s :{x=0

y=3−λz=λ } → us=(0,−1,1)

El vector director us=(0,−1,1) es paralelo a la recta solución del ejercicio. Como esta recta pasa por el

punto B ' (1,1, 1) calculado anteriormente su ecuación será:

t :{x=1

y=1−λz=1+λ }

Con Geogebra dibujamos los planos y la recta solución de nuestro ejercicio.





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Distancias

■ Distancias 1 ♣♣♣Sean las siguientes rectas:

r :{x+ y=1y+z=1} , s :

x−12

=y−1

=z+2

a) Comprobar que son cruzadas.

b) Obtener la recta perpendicular a r y s , que corta a ambas rectas a la vez.

c) Obtener la distancia entre ambas rectas.

a) Para estudiar la posición relativa de ambas rectas tengo dos opciones:

- Obtener un vector director de cada recta y un vector formado por dos puntos cualesquiera de ambasrectas, y estudiar el rango de los tres vectores. Ambas rectas serán cruzadas si el rango de esa matriz es 3.

- Pasar todas las rectas a su ecuación general y plantear un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas.Ambas rectas serán cruzadas si el rango de la matriz del sistema es 3 y el rango de la matriz ampliada es 4.

Voy a seguir el primer método.

El vector directos ur∥r podemos obtenerlo pasando la ecuación general a paramétricas, o bienrealizando el producto vectorial de los vectores normales a los planos que aparecen en la ecuacióngeneral.

ur=∣i j k1 1 00 1 1∣= i+0+ k−(0+0+ j)= i− j+k=(1,−1,1)

De la ecuación continua de la recta s obtenemos su vector director → us=(2,−1,1)

Dando, por ejemplo, el valor x=0 en la ecuación general de la recta r sacamos un punto quepertenezca a la recta r → A(0,1 ,0)∈r

De la ecuación continua de la recta s obtenemos directamente un punto de la recta s →B(1,0 ,−2)∈s

Creamos el vector formado por ambos puntos → AB=(1,−1,−2)

Estudiamos el rango de la matriz formada por los vectores (ur , us , AB) → M=(1 2 1−1 −1 −11 1 −2)

Recordamos que el rango coincide con la dimensión del mayor menor no nulos. Y que el rango es el númerode vectores linealmente independientes contenidos en la matriz.





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Calculamos el determinante de la matriz. Si es no nulo, su rango será 3.

∣M∣=2−2−1−(−1−1+4)=−3≠0 → rango (M )=3

Los tres vectores son linealmente independientes → Rectas cruzadas

b) La recta t es perpendicular a ambas rectas del enunciado y las corta en un punto. Por lo tanto, elvector director de la recta t es igual al producto vectorial de los vectores directores de las rectas delenunciado.

u t= ur× us=∣ i j k1 −1 12 −1 1∣=−i+2 j− k−(−2 k− i+ j)= j+ k=(0,1 ,1)

Recuerda que con un vector director de la recta y un punto de la recta, ya podemos trazar la recta. Por lotanto, nos falta obtener un punto de la recta t .

Para ello vamos a obtener el plano que contiene a la recta r y que es paralelo al vector u t . Este plano

cortará a la recta s en el punto de intersección de la recta s con la recta t .

El plano lo obtenemos a partir de la determinación lineal, ya que tenemos dos vectores paralelos al plano ypodemos tomar un punto de la recta r como punto del plano.

Π(ur , u t , A) → ∣ 1 0 x−1 1 y−11 1 z ∣=0 → z+0−x−(x+ y−1+0)=0 → Π :−2 x− y+z+1=0

Intersectamos este plano con la recta s . Para ellos sustituimos los valores de la ecuación enparamétricas de la recta dentro de la ecuación general del plano.

s :x−1

2=

y−1

=z+2 → s :{x=1+2λ

y=−λz=−2+λ} → −2(1+2λ)+λ−2+λ+1=0 → λ=

−32

El punto P∈s , P∈t será → P (1+2 ·−32

,32

,−2−32) → P (−2 ,

32

,−72)





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Y la recta t solución resulta → t :{x=−2

y=32+α

z=−72+α}

Un poco largo, ¿verdad?

Hay otra forma de resolverlo... Sí, siempre hay más de una forma para resolver estos problemas degeometría.

Voy a tomar dos puntos arbitrarios de la rectas. Para ello, debo expresarla en paramétricas.

r :{x+ y=1y+z=1} → r :{

x=αy=1−α

z=α } → A(α ,1−α ,α)

s :x−1

2=

y−1

=z+2 → s :{x=1+2λ

y=−λz=−2+λ} → B(1+2λ ,−λ ,−2+λ)

Donde uso dos letras distintas para los parámetros libres, ya que son dos rectas distintas.

Realizo el vector entre ambos puntos arbitrarios.

AB=(1+2λ−α ,−λ−1+α ,−2+λ−α)

Y este vector será el vector director de la recta t solución si es perpendicular a ambas rectas delenunciado. Es decir, el producto escalar de este vector con los vectores directores de las rectas debe sernulo.

AB · ur=0 → (1+2λ−α ,−λ−1+α ,−2+λ−α)·(1,−1,1)=0

1+2λ−α+λ+1−α−2+λ−α=0 → 4 λ−3α=0

AB · us=0 → (1+2λ−α ,−λ−1+α ,−2+λ−α)·(2,−1,1)=0

2+4λ−2α+λ+1−α−2+λ−α=0 → 6λ−4α=−1

Y formamos el siguiente sistema de ecuaciones.

{ 4λ−3α=06λ−4α=−1} → λ=

−32

, α=−2





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Con estos valores de los parámetros → A(−2 ,3,−2) , B(−2,32

,−72) → AB=(0,−

32

,−32)

Los puntos A y B pertenecen a la recta solución t .

Este vector es director de la recta t → u t= AB=(0,−32

,−32)

Fíjate que este vector es proporcional a u t=(0,1 ,1) , que es el vector que obtuvimos por el primermétodo.

Y con el vector director y un punto de la recta t tenemos la recta → t :{x=−2

y=32+α

z=−72+α}

c) Los dos métodos del apartado anterior son largos. La ventaja del segundo método es que obtenemos lospuntos intersección de la recta solución t con las dos rectas del enunciado. Por lo que la distancia entreambas rectas será la distancia entre ambos puntos de corte.

A(−2 ,3,−2) , B(−2,32

,−72) → AB=(0,−

32

,−32)

d (r , s)=d (A , B)=∣AB∣=3√22

u

Si no tenemos ambos puntos de corte, podemos usar la siguiente fórmula para la distancia de dos rectascruzadas.

d (r , s)=∣AB ·(ur×us)∣

∣ur× us∣

Donde ur , ur son los vectores directores de las rectas y AB es el vector formado por dos puntos queelijamos de ambas rectas. En nuestro ejemplo:

us=(1,−1,1)

us=(2,−1,1)

A(0,1 ,0)∈r , B(1,0 ,−2)∈s → AB=(1,−1 ,−2)





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d (r , s )=∣AB ·( ur×us)∣

∣ur×us∣=∣AB· (0,1 ,1)∣

√02+12

+12=∣(1,−1,−2)· (0,1 ,1)∣

√2=∣0−1−2∣

√2=

3√2

=3√2

2u

Resultado que coincide con el obtenido anteriormente. El problema se merece un chiste.

“Panadero, ¿tiene pan integral?”

“No, pero si quieres te derivo a un pan de centeno”... jajajaja!!





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■ Distancias 2 ♣♣

Obtener punto de la recta r :{x+ y=1z=0 } que equidiste del punto P (0,1 ,−1) y del plano de

ecuación general Π : x+ y−z=4 .

Debemos obtener un punto arbitrario de la recta e igualar su distancia al punto P y al plano Π paradeterminarlo de forma única.

Pasamos la recta a paramétrica para obtener punto arbitrario.

y=λ → r :{x=1−λ

y=λz=0 } → A(1−λ ,λ ,0)

Calculamos las distancias.

d (A , P)=√(λ−1)2+(1−λ)2+(−1)2=√2λ2−4 λ+3

d (A ,Π)=∣1· (1−λ)+1·λ+0−4∣

√12+12

+(−1)2=∣−3∣

√3=√3

Igualamos distancias

√2λ2−4λ+3=√3 → 2λ2

−4λ+3=3 → 2λ2−4λ=0 → λ=0,λ=2

Los puntos solución son: A(1,0 ,0) , A(−1,2 ,0)





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Calcular las coordenadas de un punto de la recta r :x−2

2=

y+13

=z−2

2que equidiste de los

planos Π1 :3 x+4 y−1=0 y Π2 :4 x−3 y+9=0 .

Debemos obtener la distancia de un punto arbitrario de la recta a cada uno de los planos e igualar ambasdistancias. Es decir.

r :x−2

2=

y+13

=z−2

2→ r :{

x=2+2λy=−1+3λz=2+2λ } → Punto arbitrario P (2+2λ ,−1+3λ , 2+2 λ)

La distancia de ese punto arbitrario al primer plano será:

d (P ,Π1)=∣3(2+2λ)+4 (−1+3 λ)+0−1∣

√32+42

+02=∣1+18λ∣

5

La distancia del punto arbitrario al segundo plano será:

d (P ,Π2)=∣4(2+2λ)−3(−1+3λ)+0+9∣

√42+32

+02=∣20−λ∣

5

Igualamos → ∣1+18λ∣

5=∣20−λ∣

5→ Al igualar dos valores absolutos debemos considerar la opción

positiva (ambos argumentos postivos o negativos) y la opción negativa (un argumento positivo y el otronegativo). Es decir:

1+18λ=20−λ → λ=1 → P (4,2, 4)

−1−18λ=20−λ → −17 λ=21 → λ=−2117

→ P (−817

,−8017

,−817

)





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Sea la recta r :{3 x+2 y=03 x+z=0 } . Halla los puntos de la recta cuya distancia al origen sea de 4

unidades.

Tmamos un punto arbitrario de la recta, y forzamos que su distancia al origen de coordenadas sea igual a 4.El punto arbitrario lo tomamosde la ecuación paramétrica de la recta.

r :{x=λ

y=−32λ

z=−3λ} → Punto arbitrario de la recta A(λ ,−

32λ ,−3λ)

O(0,0 ,0) → AO=(λ ,−32λ ,−3λ) → ∣AB∣=√λ2

+94λ

2+9λ2

=4 → √ 504λ

2=4

√50λ2=8 → 50λ2

=64 → λ=±√ 6450

→ λ=±85√2

=±4√2

5

Puntos solución → A1(4√2

5,−

6 √25

,−12√2

5) , A2(

−4√25

,6√2

5,12√2

5)





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Vectores

■ Vectores 1 ♣

a) ¿Pueden existir vectores u y v tales que ∣u∣=2 , ∣v∣=3 y u · v=8 ? Justifica larespuesta.

b) Determina todos los vectores u=(a ,0, b) que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la

recta r :{ x+ y+ z=0x− y+ z−2=0} .

a) El producto escalar de dos vectores se define como el producto de sus módulos por el coseno del ánguloque forman entre sí.

u · v=∣u∣·∣v∣· cosα

Si el producto escalar es igual a 8 → ∣u∣·∣v∣·cosα=8

Si ∣u∣=2 y ∣v∣=3 → 2 ·3 ·cosα=8 → cosα=43>1

Este resultado no es posible, ya que el función coseno está acotada superiormente por 1 . Por lo tanto,no pueden existir dos vectores con las condiciones del enunciado.

b) Si u=(a ,0, b) tiene módulo 8 → √a2+b2

=8 .

Si además u=(a ,0,b) debe ser perpendicular a la recta r :{ x+ y+ z=0x− y+ z−2=0} significa que el

producto escalar de u con el vector director de la recta debe anularse (por formar entre sí 90º).

Pasamos la recta a paramétricas para obtener su vector director.

r :{ x+ y+ z=0x− y+ z−2=0} → z=λ → r :{ x+ y=−λ

x− y=−λ+2}

Sumamos ambas ecuaciones.

2 x=−2 λ+2 → x=1−λ → y=−λ−(1−λ) → y=−1

La recta en paramétricas resulta → r :{x=1−λy=−1z=λ } → ur=(−1,0,1)





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Hacemos el producto escalar e igualamos a cero.

u · ur=0 → −a+b=0 → a=b

Llevamos este resultado a la primera condición obtenida √a2+b2

=8 y despejamos.

√a2+a2

=8 → √2a2=8 → 2a2

=64 → a=±√32=±4√2

Los vectores solución son u=(4√2 ,0,4√2) y u=(−4√2 ,0,−4√2)





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■ Vectores 2 ♣♣♣

Sea el plano Π : x+2 y+3 z−1=0 y la recta r :{x=2 z+4y=2 z+3} . Hallar la ecuación de la recta

contenida en el plano Π y que corta perpendicularmente a la recta r en el punto P (2,1,−1) .

Para obtener la recta solución s necesitamos un punto de la recta y un vector director.

El punto nos lo da el enunciado → P (2, 1,−1)∈s

El vector director de la recta será → us

La recta s es perpendicular tanto a la recta r como al vector normal del plano Π . Por lo tanto, elvector director de la recta s será proporcional al producto vectorial de ur y uΠ

Para obtener el vector director de la recta r , pasamos de ecuación general a paramétrica.

r :{x=2 z+4y=2 z+3} → si z=λ → r :{

x=4+2λy=3+2λ

z=λ } → ur=(2, 2,1)

El vector característicos del plano Π es → Π : x+2 y+3 z−1=0 → uΠ=(1, 2, 3)

us= ur× uΠ → us=∣i j k2 2 11 2 3∣ → us=(4,−5,2)

Y la recta solución en paramétricas resulta:

s :{x=2+4ay=1−5a

z=−1+2a}





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Producto vectorial, producto mixto, áreas y volúmenes

■ Producto vectorial y mixto, áreas y volúmenes 1 ♣♣

Determina todos los vectores u=(a ,0, b) que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la

recta r :{ x+ y+ z=0x− y+ z−2=0} .

Una primera condición es que el módulo sea igual a 8 → √a2+b2

=8

La segunda condición es que el vector sea perpendicular a la recta. Es decir, el producto escalar del vector ydel vector director de la recta debe ser nulo.

¿Cómo obtener el vector director de la recta? O bien pasando la ecuación a paramétricas o bien haciendo elproducto vectorial de los vectores característicos que forman la recta en su ecuación general.

r :{ x+ y+ z=0x− y+ z−2=0} → uΠ1

=(1,1 ,1) , uΠ2=(1,−1,1)

ur=∣uΠ1×uΠ2∣=∣ i j k

1 1 11 −1 1∣=i+ j− k−( k + j− i)=2 i−2 k → ur=(2,0 ,−2)

Anulamos el producto escalar de u=(a ,0, b) y de ur=(2,0 ,−2) .

u · ur=0 → (a ,0 , b) ·(2,0 ,−2)=0 → 2a−2b=0 → a=b

Por lo tanto, si √a2+b2

=8 → √2a2=8 → 2 a2

=64 → a=±√32

Los vectores solución son:

u=(√32 , 0,√32) , u=(−√32 , 0,−√32)





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■ Producto vectorial y mixto, áreas y volúmenes 2 ♣

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,3 ,−4) , B(2,6,7) , C (5,−1,2) .

a) Calcular el área del paralelogramo.

b) Obtener el cuarto vértice del paralelogramo.

a) Si obtenemos dos vectores del paralelogramo con un vértice común, podremos obtener su área haciendoel módulo del producto vectorial de ambos vectores.

AB=(1,3 ,11) , AC=(4,−4,6) → Área=∣AB×AC∣

AB×AC=∣i j k1 3 114 −4 6∣=18 i+44 j−4 k−(12 k−44 i+6 j)=62 i+38 j−16 k=(62 ,38 ,−16)

Área=∣AB×AC∣=6√154 u2

b) El cuarto vértice lo obtenemos sabiendo que los lados opuestos del paralelogramo son paralelos y deigual longitud. Si D( x , y , z ) , tendremos:

AB=DC → (1,3,11)=(5−x ,−1− y ,2−z )

Igualamos componentes → (x , y , z )=(4,−4−9)





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Sean los vectores u=(1,0,1) , v=(0,2,1) , w=(m ,1 , n) .a) Halla m y n sabiendo que los tres vectores son linealmente dependientes y que w es ortogonala u .

b) Para n=1, halla los valores de m para que el tetraedro determinado por los tres vectores tengavolumen 10 unidades cúbicas.

a) Tres vectores linealmente dependientes no tienen rango igual a 3. Por lo tanto, el determinante formadopor los tres vectores debe anularse.

A=(1 0 10 2 1m 1 n) → ∣A∣=0 → 2n+0+0−(2 m+0+1)=0 → 2n−2 m=1

Una segunda condición la sacamos de los vectores que son ortogonales entre sí, es decir, que sonperpendiculares. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es igual a 0.

u · w=0 → (1,0 ,1) ·(m ,1 , n)=0 → m+n=0 → m=−n

Con ambas condiciones tenemos un sistema 2x2. Llevamos m=−n a la primera condición.

2n−2 m=1 → 4 n=1 → n=14

, m=−14

b) El volumen de un tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.

V=16∣u · (v×w )∣

El producto mixto podemos obtenerlo de forma directa mediante el siguiente determinante:

u ·( v×w)=∣1 0 10 2 1m 1 1∣=2−(2 m+1)=1−2 m

Por lo tanto:





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10=16∣1−2 m∣ → 60=∣1−2m∣

Es una ecuación con valor asboluto, por lo que debo considerar la opción positiva y la opción negativa enargumento del valor absoluto.

60=1−2 m → m=−59

2

60=2m−1 → m=612





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Define el producto vectorial de dos vectores. Dados los vectores u=(2,2,0) y v=(1,1 ,−1) ,calcula un vector perpendicular a ambos vectores y que sea unitario.

El producto vectorial de dos vectores u y v se denota como u× v y es un nuevo vector, condirección perpendicular al plano formado por u y v , sentido el marcado por la regla de la manoderecha y módulo igual a:

∣u× v∣=∣u∣·∣v∣· sen(α)

Siendo α el ángulo formado por u y v .

Las componentes del vector resultante del producto vectorial se obtienen de realizar un determinante dondela primera fila está formado por los vectores de la base canónica, y en las otras dos filas los vectoresimplicados en el producto vectorial.

u× v=∣i j k2 2 01 1 −1∣=−2 i+0+2 k−(2 k+0−2 j)=−2 i+2 j=(−2, 2,0)

El módulo de este vector resulta → ∣u× v∣=√(−2)2+22+02

=√8=2√2

Y si dividimos el vector por su módulo, lo normalizamos y tendremos el vector unitario perpendicular quesolicita el enunciado:

w=(−22√2

,2

2√2,0)=(

−√22

, √22

,0)


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