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MATEMÁTICAS 2º ESO

Bloque I. Números y medidas. Tema 4: Potencias y raíces. Uso de la calculadora TEORÍA

1. POTENCIAS * Una potencia es una multiplicación de factores iguales. Se escribe an e indica que el número “a” se multiplica por si mismo “n” veces. El número “a” se llama base y el número natural “n” se llama exponente.

Si el exponente es 2, se lee al cuadrado; si es 3, al cubo; si es 4, a la cuarta; si es 5, a la quinta; etc.

* Cuando la base “a” es un número negativo hay que encerrarlo entre paréntesis. Por ejemplo ( ) 42− significa que el número 2− se multiplica por si mismo cuatro veces y por tanto su valor es 16. En cambio en la potencia

42− la base es 2 y por tanto su valor es 16− al tener un menos delante.Observa que (nº negativo)par = positivo , en cambio, (nº negativo)impar = negativo

* La base de la potencia puede ser cualquier número real. Por ejemplo 32

32

32 2

⋅=

, es decir, es

94

Ejemplos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1255·5·551255·5·55

255·55255·5533

22

−=−=−−=−−−=−

−=−=−=−−=−

y

pero

2. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO O CERO. LA NOTACIÓN CIENTÍFICA * Se define 10 =a para cualquier base “a” distinto de cero, por ejemplo: 170 =

* Se define las potencias de exponente negativo así: nn

aa 1=− . Por ejemplo, 3

3

212 =− , es decir,

812 3 =− .

* Se verifica nn

ab

ba

=

−

. Por ejemplo 94

32

23 22

=

=

−

* Observa que una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente si éste es positivo o anteponiendo tantos ceros (será un decimal) como indique el exponente si éste es negativo.

Observa los ejemplos: 1000103 = , 001,01000

110110 3

3 ===−

* Escribir un número en notación científica es expresarlo de la forma na 10⋅ siendo “ a ” un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10 y “ n ” un número entero.La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Observa los ejemplos donde pasamos un número a notación científica o viceversa:

310205,44205 ⋅= ; 410503,90009503,0 −⋅= ; 2102512,312,325 ⋅= ; 7000000107 6 =⋅ ; 021,0101,2 2 =⋅ −

ERV 1 ,2, 3 y 4

–1–

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3. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

* Para multiplicar dos potencias de igual base, se suman los exponentes: nmnm aaa +=⋅

* Para dividir dos potencias de igual base, se restan los exponentes: nmnm aaa −=: o bien nmn

m

aaa −=

* La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores: ( ) nnn baba ⋅=⋅

* La potencia de un cociente es igual al cociente entre las potencias del dividendo y del divisor:

( ) nnn baba :: = o bien n

nn

ba

ba =

* Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: ( ) nmnm aa ⋅=

–2–

Ejemplos:

a) ( ) 12966·6·6·64643·243·42 ====

b) ( ) 273·3·33332:63

26

32

36 =====

c) 2568235232·52 ==+=

d) 42235235

232·52 ==−=−+

=−

e)2561

82182352

35232·52 ==−=−−=

−+−=−−

f) 42235232:52 ==−=

g) 2568235235

232:52 ==+=−−

=−

h) 2561

8218235232:52 ==−=−−=−

i)( )

41

2212235235232:52 ==−=+−=−−−=−−

j) 64623·22322 ===

k) ( )641

621623·22

322 ==−=−=−

l) ( ) ( ) 64623·22322 ==−−=

−−

m)813

213

30153

53·

653

53·

3

65 ====

n)1612

412

60152

56:

1032

56:

2

103 ====

o)7

5243

524

52·

3

52

=+

=

p)( ) 2

5253

5253

525

52·

3

52 −

=−

=−+

=−

4252

25 ==

q)22

62·42·2532

2·32·42·2

52·32

232·42·2 −=+−

−=−

−

81

3213221222

1222

6412 ==−=−−=−

=−+

=

r) ( ) =−−

=−

−

53·22

23·2·103·4253·22

26·523·42

53·22

83·6253·22

2103·24253·22

23·22·103·42−

−=−

+−+=−

−

133

82133·82583·262 =−=−−+=




4. ERRORES HABITUALES

* No es igual na que na ⋅ . Por ejemplo, estaría mal decir que 53 es igual a 53 ⋅ ya que 2433333335 =⋅⋅⋅⋅= y en cambio 1553 =⋅

* No es igual na)(− que na− . Por ejemplo, estaría mal decir que ( ) 23− es igual a 23− ya que ( ) 9)3()3(3 2 =−⋅−=− y en cambio 93332 −=⋅−=−

* No es igual nba )( + que nn ba + . Por ejemplo, estaría mal decir que ( ) 232 + es igual a 22 32 + ya que ( ) 25532 22 ==+ y en cambio 139432 22 =+=+

* No es igual na − que na− . Por ejemplo, estaría mal decir que 32− es igual a 32− ya que 81

212 3

3 ==− y en

cambio 822223 −=⋅⋅−=−

ERV 5, 6, 7, 8, 9 y 10

–3–




5. RAÍCES

* La raíz de índice "n" del número "a" (radicando) es el número "b" tal que abn = , es decir:

* Cuando el índice es 2 se llama raíz cuadrada, cuando el índice es 3 se llama raíz cúbica.

* Se llaman cuadrados perfectos a los cuadrados de los números enteros. Se llaman cubos perfectos a los cubos de los números enteros.

* Observa que:– Si el radicando es positivo y el índice es par entonces hay dos raíces.

– Si el radicando es negativo y el índice es par entonces no hay raíces.

– Cuando el índice es impar siempre hay una única raíz sea cual sea el radicando.

Ejemplos:

530630530366

30255

:,30

497749

2

2

2

≅→<<→

>=

<=

==

entearaizlacalculamosentoncesexactaesnoPero

queya

ERV 11, 12, 13, 14, 15 y 16

6. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES * De forma similar a las potencias, las raíces tienen propiedades que nos permiten simplificar expresiones. Durante este curso estudiamos solamente dos:1) nnn baba ⋅=⋅

2) n

nn

ba

ba =

Ejemplos:

23 833

243 3

3 2463612·312·3

===

===

ERV 17–4–




7. JERARQUIA DE LAS OPERACIONES Y USO DEL PARÉNTESIS * La jerarquía de las operaciones y el uso del paréntesis dice que cuando se tienen distintas operaciones combinadas se ha de seguir el orden:

a) Paréntesis.

b) Potencias y raíces.

c) Multiplicaciones y divisiones.

d) Sumas y restas.

e) Si las operaciones tienen el mismo nivel, se empieza por la izquierda.

Ejemplo:

( )

60633

631263)1(2

7·95)1(249·235324 16

−=−

=−+=−−−

=−−−

=−−−

ERV 18

–5–




8. USO DE LA CALCULADORA * Mediante varios ejemplos estudiamos el uso de la calculadora marca CASIO más común.

Nota: La tecla en y son equivalentes, pero se utiliza la segunda cuando operamos con fracciones.

1) 4232 −=⋅− 2 3 2

2) 5)2(:)37( −=−+ 7 3 2 o 7 3 2

3) 3)1(4 −=−−− 4 1

4) 15)1)13(32(2 =−−−⋅+−⋅ 2 2 3 3 1 1 5

5) 2123

28 =−⋅

+ 8 2 3 2 1

6) 2831,712 =+⋅ π 2 1

7) Simplifica 96

(fracción propia) 6 9

8) Simplifica 69

(fracción impropia) 9 6

9)21

61

32 =− 2 3 1 6

10) 311

625

522 =⋅+ 2 2 5 25 6

11) 1526

53

53:

522 =−

− 2 2 5 3 5 3 5

12) 4535 2 =⋅ 5 3

13) 1325 3 =+ 5 2

14) 11)2(3 3 −=−+− 3 2

15) 3225 = 2 5

16)1681

23 4

=

3 2 4

17) 163

23

4 = 3 2 4

18) 5,02 1 =−2 1

–6–




19)131312 10533,31001,31023,5 ⋅=⋅+⋅ 5 23 12 3 01 13

20) 57423,11001,31023,5 1312 =⋅⋅⋅ −

5 23 12 3 01 13

21)1385 1005,51001,1105 −−− ⋅=⋅⋅⋅ 5 5 1 01 8

22) 45

5)710(32

213

24 −=−−

⋅−+ 3 1 2 4 2 3

10 7 5

23) 39 = 9

24) 283 −=− 8

25) 2164 = 4 16

26) 036,2355 −=− 5 35

27) ( ) 112

52332

=−−⋅+ 3 3 2 5 2 1

28) 132

)2()2315(3 322

−=−

−+⋅− 15 3 2 2

2 3

ERV 19 , 20 y 21

9. PROBLEMAS CON POTENCIAS Y RAÍCES

ERV del 22 al 38

–7–



Bloque I. Números y medidas. Tema 4: Potencias y raíces. Uso de la calculadora.Ejercicios resueltos en http://www.josejaime.com/videosdematematicas

Potencias

1. (1º ESO) a) Calcula 32 , 51 , 23,0 , 3

35

, 07 , 40 , ( ) 42− , 42− , ( )51− , 410 , 105

(el último con la calculadora o con wiris)b) Halla los cuadrados y los cubos perfectos menores de 200.c) Pasa a notación científica los números 570400000 y 0,000021d) Pasa a notación decimal los números 3107,2 −⋅ y 5101402,3 ⋅e) Tenemos una finca cuadrada cuyo lado mide 23 m. ¿Cuál es el precio de venta si cada 2m vale 20 €?f) Calcula el volumen de un cubo de 4 m de arista.

2. Calcula paso a paso:a) 32 4)715(2 −−⋅ b) 54 )532(23 ⋅−⋅− c) 7:)5253( 32 ⋅−⋅d) 22 6:)52(8 − e) 32:)]35(2[1 23 −− f) 42 2])7(3[ −−−−

3. a) Escribe como fracción:

a1) 23− ; a2) 32− ; a3) 3)2( −− ; a4) 2)3( −− ; a5) 210− ; a6) 3

32

; a7)

3

32

− ; a8)

3

32 −

; a9)

3

32 −

−

b) Escribe en forma de potencia siendo la base un número primo:

b1) 251

b2) 161

b3)811

4. Efectúa las siguientes operaciones:a) 533 052 +⋅− b) 30113 )1(45622052 −−−++ −−− c) 42231 )3(21 −− −⋅− d) 2)5,2( −−

Propiedades de las potencias5. (1º ESO) a) Expresa el resultado en forma de una única potencia.

a1) 27 33 ⋅ a2) 26 2:2 a3) ( )325 a4) 44 23 ⋅ a5) 55 2:6 a6) ( ) 2542 : xxx ⋅b) ¿Qué expresiones son ciertas y cuáles son falsas? b1) 3773 ⋅= b2) ( ) 33 55 −=− b3) ( ) 222 3232 ⋅=⋅ b4) ( ) 222 3232 +=+ b5) ( ) 22 532 =+

6. Escribe el resultado en forma de una sola potencia aplicando las propiedades de las potencias:

a) 42 55 ⋅ b) 3

9

55 c) 9

3

55 d) ( )235 e) 33 75 ⋅ f) 4

4

75 g) 9

38

555 ⋅

7. Sustituye cada uno de los recuadros □ por el signo = o ≠ en las siguientes expresiones:a) 27 □14 b) 2)3(− □ 23− c) 3)3(− □ 33− d) 2)32( + □ 25

e) 2)35( − □ 22 35 − f) 2)32( ⋅ □ 22 32 ⋅ g) 2

25

□ 2

2

25 h) ( )323 □ 53

8. Escribe el resultado en forma de una sola potencia de base un número primo o fracción irreducible, aplicando las propiedades de las potencias:

a) 33

53

65

⋅

b)

22

56:

1003

c) 3

3

412 d) 4

4

105 e)

33

43)4(

⋅− f) 34

9. Escribe como una única potencia de base un número primo:a) 33 24 ⋅ b) 55 8:16 c) 64 33 −⋅ d) 812 5:5 − e) 43)2( − f) 45 7:7 −− g) 4:8)2( 343 −⋅

–8–


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10. Simplifica y calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a) ( )25

434

2222

⋅⋅ b) ( ) ( )

22

4324

aaaaa

⋅⋅⋅ c)

( )( )322

42

baabbba

⋅⋅⋅⋅⋅

−

−

d)27328142

44

235

⋅⋅⋅⋅

−

−

e) 124

25

6423982

−−

−−

⋅⋅⋅⋅⋅

Raíces.

11. (1º ESO) a) Calcula mentalmente 25 , 0 y 4−b) Calcula la raíz cuadrada por defecto y por exceso de 90. Hállala con la calculadora o con wiris.c) Realiza las siguientes operaciones sin calculadora

( )( ) ( ) ( )16:4164921815:50723 3224 ⋅+⋅⋅−+⋅−−−⋅d) Un terreno cuadrado tiene 2625 m de área. ¿Cuál es su perímetro?

12. (1º ESO) a) Halla sin calculadora 94864 y comprueba el resultadob) Halla sin calculadora 697 . Comprueba que restoraízradicando += 2 . Halla 697 con dos decimales.c) Un tablero de madera de forma cuadrada tiene una superficie de 2242,9 m . Calcula lo que mide cada lado redondeando a los centímetros. ¿Y si la superficie fuera de 28649,0 m ?

13. Calcula, si existe, la raíz cuadrada: (en algunos casos tendrás que utilizar el algoritmo del cálculo de la raíz cuadrada que estudiaste en cursos anteriores)a) 1 b) 0 c) 25 d) 100− e) 484 f) 237 g) 3,1805

14. Calcula, si existe, la raíz cúbica. Cuando no sea un cubo perfecto debes hallar entre qué dos números enteros se encuentra la raíz cúbica.a) 3 1 b) 3 0 c) 3 8 d) 3 27− e) 3 1000 f) 3 16 g) 3 50−

15. (1º ESO) Calcula el valor de x en cada caso:a) 162 =x b) x=23 c) 83 −=x d) 1253 =x e) 7±=x f) x=81g) x=0 h) 1±=x i) x1001,5501 ⋅= j) x10202,0 ⋅= k) x42222 =⋅⋅⋅

16. Calcula las raíces descomponiendo previamente los números del radicando:

a) 6 64 b) 3 216 c) 6 4096 d) 5 243− e) 6641 f) 3

21664 g) 3

10003375−

Propiedades de las raíces.17. Aplicando las propiedades de las raíces y de las potencias, calcula:

a) 33 42 ⋅ b) 3

3

381 c) 5 65 4 aa ⋅ d) ( ) 77 32 aa ⋅ e) ( )

7 2

7 57 235

aaaa ⋅⋅

Jerarquía de las operaciones.18. Realiza las siguientes operaciones teniendo muy en cuenta la jerarquía y los paréntesis:

a) 232 ⋅ b) 2)32( ⋅ c) ( ) 12:52332

−−⋅+ d) )32(:)2()2315(3 322 −−+⋅−

–9–





Uso de la calculadora.19. Realiza con la calculadora las operaciones siguientes. Para poder corregir la actividad debes escribir las

teclas que pulsas y el orden en que lo haces. Comprueba el resultado con wiris:

a) 52 )1(3523 −+−⋅+ b) ( ) 24 3523 −⋅+ c)3253

⋅+

d) ( )8

3523 2−⋅+

e) 33 82 −⋅ + 4 16 f) 4

321

65

81 −+−++− g)

61141

31

−

−h)

143

21

1103

52

41

72

−

−

−−

20. (1º ESO) Haz las operaciones con la calculadora y redondea el resultado a dos decimales ( ) ( )43444532 23 ⋅+⋅−

21. Realiza con la calculadora las operaciones siguientes de números escritos en notación científica. Para poder corregir la actividad debes escribir las teclas que pulsas y el orden en que lo haces. a) 1310 1001,31023,1 ⋅−⋅ b) 45 1001,71023,2 −⋅⋅⋅ c) 47 1001,3102 −− ⋅⋅⋅−

Problemas con potencias o raíces.22. (1º ESO) En una manzana de casas hay 6 casas, cada una tiene 6 pisos y cada piso 6 viviendas y en cada

vivienda hay una media de 6 personas. Expresa en forma de potencia el número medio de personas que viven en la manzana y halla dicho número.

23. (1º ESO) Alba ve una noticia en la televisión y, cuando llega a clase, en cinco minutos se la cuenta a 5 amigos, cada uno de estos se la cuenta cada 5 minutos a otros 5, y así sucesivamente. Si el centro donde estudia tiene 750 alumnos, ¿cuánto tiempo tardan en enterarse todos los alumnos del centro?

24. (1º ESO) Se desea vallar una finca que tiene forma cuadrangular y cuya área es de 5776 2m . Si el metro de valla cuesta a 12 €, ¿cuánto cuesta vallarla?

25. (1º ESO) Una pared de un cuarto de baño es cuadrada y tiene en total 144 azulejos cuadrados. Si cada azulejo mide 25 cm, ¿cuánto mide de longitud la pared?

26. (1º ESO) Escribe en forma de potencia el número de bisabuelos que tiene cada persona, y calcula el resultado.

27. (1º ESO) Dejamos caer una pelota desde 1 m de altura. Cada bote sube de alto los 3/4 del anterior. Escribe en forma de potencia la altura que alcanzará al tercer bote, y halla el resultado.

28. (1º ESO) Un 1ibro de matemáticas mide de grosor m2105,1 −⋅ y tiene 280 páginas. Calcula el grosor de cada hoja en metros y notación científica.

29. (1º ESO) Calcula en notación científica el número de segundos que tiene un año bisiesto.

30. (1º ESO) Un cine tiene igual número de filas que de columnas. Venden todas las entradas para una sesión, obteniendo 675 €. Si han vendido cada entrada a 3 €, ¿cuántas filas tiene el cine?

31. (1º ESO) Queremos poner baldosas en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben 12 baldosas. Si cada baldosa cuesta 1,5 €, ¿cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos?

32. (1º ESO) ¿En qué cifras puede terminar un cuadrado perfecto?

33. (1º ESO) Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 27 y da 15 de resto.

–10–





34. (1º ESO) Tenemos una habitación cuadrada de 4,5 m de lado y queremos alicatarla con baldosas de 35 cm de lado. ¿Cuántas baldosas tenemos que comprar?

35. (1º ESO) Para embalar calcetines, introducimos cada par en una caja pequeña de forma cúbica. A su vez, introducimos en cajas mayores, las cajas pequeñas, de forma que caben 36 cajas de calcetines en el fondo de una caja grande y 6 cajas en cada columna. Escribe en forma de potencia el número total de cajas de calcetines. Si cada caja de calcetines cuesta 5 €, ¿cuál será el valor de la caja grande que contiene las cajas pequeñas con los pares de calcetines?

36. En una ciudad hay 25 centros educativos. Cada centro educativo tiene 25 aulas, y cada aula tiene 25 alumnos. Expresa en forma de potencia de base el menor número entero posible el número total de alumnos que tiene dicha ciudad, y halla el número de alumnos.

37. El disco duro de un ordenador tiene 1000 Gb de capacidad. Si 1 Gb = 210 Mb, 1 Mb = 210 Kb y1 Kb = 210 bytes, ¿cuál es la capacidad del disco duro en bytes y notación científica?.Nota: Es habitual considerar, por ejemplo, que un 1000 bytes es 1 Kb en lugar de 1000:1024=0.97656 Kb, ya que se redondea ( 10001024210 ≅= ) de ahí que en el mercado, un disco duro de 1000 Gb tiene 1.000.000.000.000 bytes en lugar del número calculado en el ejercicio.

38. Una parcela es cuadrada, y la medida de su área es 6400 m2. Halla el área de otra parcela cuyo lado sea el doble.

39. Se tiene un metro cúbico lleno de agua destilada. ¿Entre cuántas personas podrán levantarlo si cada una puede con 125 kg?

–11–





SOLUCIONES:

1. Ver vídeo.

2. Ver vídeo. a) 64; b) 1; c) 5; d) 2; e) 2; f) 30

3. Ver vídeo.

4. Ver vídeo. a) 125/8; b) 3/8; c) 77/81; d) 4/25

5. Ver vídeo.

6. Ver vídeo.

7. Ver vídeo.

8. Ver vídeo.

9. Ver vídeo.

10. Ver vídeo. a) 29; b) a17; c) a/b7; d) 323 ⋅; e) 3/2

11. Ver vídeo.

12. Ver vídeo. a) 308; b) 26,40; c) 3,04 m; 0,93 m

13. Ver vídeo. a) 1± , b) 0; c) 5± ; d) No existe; e) 22; f) 15 aprox.; g) 42,48

14. Ver vídeo. a) 1; b) 0; c) 2; d) –3; e) 10; f) 3162 3 << ; g) 3504 3 −<−<−

15. Ver vídeo. a) 4; b) 9; c) –2; d) 5; e) 49; f) 9± ; g) 0; h) 1; i) 2; j) –2; k) 2

16. Ver vídeo. a) 2; b) 6; c) 4; d) –3; e) 1/2; f) 2/3; g) –3/2

17. Ver vídeo. a) 2; b) 3; c) a2; d) a; e) a2

18. Ver vídeo. a) 18; b) 36; c) 1; d) –1

19. Ver vídeo. a) 3; b) 3116; c) 4/3; d) 1/2; e) –14; f) –13/24 ; g) 1/10; h) 1/4

20. Ver vídeo. –50,21

21. Ver vídeo. a) 131000877,3 ⋅− ; b) 323,156 ; c) 111002,6 −⋅

22. Ver vídeo. 64; 1296 personas

23. Ver vídeo. Tardarán 20 minutos.

24. Ver vídeo. 3648 €

25. Ver vídeo. 3 m

26. Ver vídeo. 23: 8 bisabuelos

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