Part I

Probabilitati1 Cmp de probabilitate. Operatii cu eveni-

mente si formule de calcul pentruprobabilitatile acestora. Evenimente indepen-dente. Probabilitatea conditionata. Formulalui Bayes

1.1 Cmp de probabilitate

n teoria probabilitatilor consideram un experiment cu un rezultat dependentde sansa, care e numit experiment aleator. Se presupune ca toate rezultateleposibile ale unui experiment aleator sunt cunoscute si ele sunt elemente ale uneimultimi fundamentale denumita ca spatiul probelor. Fiecare rezultat posibil estenumit proba si un eveniment este o submultime a spatiului probelor.Notatii. Fie multime.P () := fAjA g :Fie A :A = CA := fa 2 ja =2 Ag :Denitia 1.1. Fie multime. K P () se numeste corp borelian sau

-algebra pe daca si numai daca1) K 6= ;2) A 2 K =) A 2 K3) A1; A2; :::; An; ::: 2 K =)

[n

An 2 K.(;K) se numeste spatiu masurabil cnd K este corp borelian pe :Proprietati. Daca (;K) este spatiu masurabil atunci:a) 2 Kb) ; 2 Kc) A1; A2; :::; An 2 K =)

n[i=1

Ai 2 K.d) I cel mult numarabila (i.e. nita sau numarabila), Ai 2 K;8i 2 I =)\

i2IAi 2 K

e) A;B 2 K =) AnB 2 K.Demonstratie. a) K 6= ; =) 9A 2 K =) A 2 K =) = A [A [A [

A [ ::: 2 K.b) ; = 2 K.c)

n[i=1

Ai =n[i=1

Ai [ ; [ ; [ ::: 2 K.

1

d)\i2IAi =

[i2IAi 2 K.

e) AnB = A \B 2 K.Consideram un corp borelian pe K pe un spatiu de elemente a; b; c; ::: cu

fag ; fbg ; fcg ; ::: 2 K si cu submultimile A;B;C; ::: 2 K. Unele dintre corespon-dentele dintre teoria multimilor si teoria probabilitatilor sunt date n urmatorultabel:

Teoria multimilor Teoria probabilitatilorSpatiu, Spatiul probelor, eveniment sigurMultimea vida, ; Eveniment imposibilElemente a; b; ::: Probe a; b; ::: (sau evenimente simple)Multimi A;B; ::: Evenimente A;B; :::A Evenimentul A apareA Evenimentul A nu apareA [B Cel putin unul dintre A si B apareA \B Ambele A si B aparA B A este un subeveniment al lui B (i.e. aparitia lui A implica aparitia lui B)A \B = ; A si B sunt mutual exclusive (i.e. ele nu pot aparea simultan); este considerata un eveniment imposibil deoarece niciun rezultat posibil

nu este element al ei. Prin "aparitia unui eveniment" ntelegem ca rezultatulobservat este un element al acelei multimi. Spunem ca mai multe evenimentesunt mutual exclusive daca multimile corespunzatoare sunt disjuncte doua ctedoua.Exemplul 1.1. Consideram un experiment de calculare a numarului de

masini care vireaza la stnga la o intersectie dintr-un grup de 100 de masini.Rezultatele posibile (numerele posibile de masini care vireaza la stnga) sunt0; 1; 2; :::; 100: Atunci, spatiul probelor este = f0; 1; 2; :::; 100g si K = P () :A = f0; 1; 2; :::; 50g este evenimentul "cel mult 50 de masini vireaza la stnga".B = f40; 41; :::; 60g este evenimentul "ntre 40 si 60 (inclusiv) de masini vireazala stnga". A [ B este evenimentul "cel mult 60 de masini vireaza la stnga".A \ B este evenimentul "ntre 40 si 50 (inclusiv) de masini vireaza la stnga".Fie C = f81; 82; :::; 100g. Evenimentele A si C sunt mutual exclusive.Denitia 1.2. Fie (;K) spatiu masurabil. Functia P : K ! R se numeste

probabilitate pe (;K) daca si numai daca are urmatoarele proprietati (numiteaxiomele probabilitatii):Axioma 1: P (A) 0;8A 2 K (nenegativa).Axioma 2: P () = 1 (normata).Axioma 3: pentru orice colectie numarabila de evenimente mutual exclusive

(multimi disjuncte doua cte doua) A1; A2; ::: 2 K,

P

0@[j

Aj

1A =Xj

P (Aj) (numarabil aditiva).

(;K; P ) se numeste cmp de probabilitate daca si numai daca P esteprobabilitate pe spatiul masurabil (;K) :

2

1.2 Operatii cu evenimente si formule de calcul pentruprobabilitatile acestora

Proprietati. Daca (;K; P ) este cmp de probabilitate, atunci:1) P (;) = 0:2) pentru orice colectie nita de evenimente mutual exclusive (multimi dis-

juncte doua cte doua) A1; A2; :::; An 2 K,

P

0@ n[j=1

Aj

1A = nXj=1

P (Aj) (P este aditiva).

3) A C;A;C 2 K =) P (A) P (C) :4) A;B 2 K =)

P (A [B) = P (A) + P (B) P (A \B) :5) (Formula lui Poincare) A1; A2; :::; An 2 K =)

P

0@ n[j=1

Aj

1A = nXj=1

P (Aj)X

1i

nXj=1

P (Aj)X

1i

PA \B = P AP (B) ;

PA \B = P AP B :

Demonstratie. P (A) = P(A \B) [ A \B = P (A \B)+P A \B =)

PA \B = P (A) P (A \B) = P (A) P (A)P (B) = P (A) (1 P (B)) =

P (A)PB:

Analog pentru celelalte relatii.Exemplul 1.3. n lansarea unui satelit, probabilitatea unui insucces este q.

Care este probabilitatea ca doua lansari succesive sa esueze?Presupunnd ca lansarile satelitului sunt evenimente independente, raspun-

sul este q2:Denitia 1.4. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate. EvenimenteleA1; A2; :::; An 2

K sunt independente daca si numai daca 8m = 2; 3; :::; n; k1; k2; :::; km 2 N a. .1 k1 < k2 < ::: < km n;

P (Ak1 \Ak2 \ ::: \Akm) = P (Ak1)P (Ak2) :::P (Akm) :n particular, A1; A2; A3 sunt independente daca si numai dacaP (Aj \Ak) = P (Aj)P (Ak) ;8j < k; j; k = 1; 2; 3;siP (A1 \A2 \A3) = P (A1)P (A2)P (A3) :Observatii. 1) Numarul de egalitati din denitia independentei a n eveni-

mente este 2n n 1:2) Independenta doua cte doua nu conduce n general la independenta.Contraexemplu. Fie 3 evenimente A1; A2; A3 denite deA1 = B1 [B2; A2 = B1 [B3; A3 = B2 [B3;unde B1; B2 si B3 sunt mutual exclusive, ecare avnd probabilitatea 14 :P (A1) = P (B1 [B2) = P (B1) + P (B2) = 12 :Analog P (A2) = P (A3) = 12 :P (A1 \A2) = P ((B1 [B2) \ (B1 [B3)) = P (B1 [ (B2 \B3)) = P (B1 [ ;) =

P (B1) =14 =

12 12 = P (A1)P (A2) :

Analog P (A1 \A3) = P (A1)P (A3) ; P (A2 \A3) = P (A2)P (A3) :P (A1 \A2 \A3) = P ((B1 [B2) \ (B1 [B3) \ (B2 [B3)) = P ((B1 [ (B2 \B3)) \ (B2 [B3)) =

P (B1 \ (B2 [B3)) = P ((B1 \B2) [ (B1 \B3)) = P (; [ ;) = P (;) = 0:P (A1)P (A2)P (A3) =

18 :

Deci P (A1 \A2 \A3) 6= P (A1)P (A2)P (A3) :Evenimentele A1; A2; A3 sunt independente doua cte doua, dar nu sunt

independente.3) Daca evenimentele A1; A2; :::; An sunt independente, atunci nlocuind ori-

care din Akj cu complementara Akj n ambii membri din relatiile din denitiaindependentei, relatiile obtinute ramn valabile.Exemplul 1.4. Un sistem compus din 5 componente merge exact atunci

cnd ecare componenta e buna. Fie Si; i = 1; :::; 5; evenimentul "componentai e buna" si presupunem P (Si) = pi. Care e probabilitatea q ca sistemul sa numearga?Presupunnd ca cele 5 componente merg ntr-o maniera independenta, e p

probabilitatea de succes.

5

q = 1 p = 1 P

5\i=1

Si

!= 1

5Yi=1

P (Si) = 15Yi=1

pi:

1.4 Probabilitatea conditionata

Denitia 1.5. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate si A;B 2 K a. . P (B) 6= 0:Probabilitatea conditionata de B a lui A este data de

P (AjB) = P (A \B)P (B)

:

Observatie. n ipotezele denitiei 1.5, A si B sunt independente ()P (AjB) = P (A) :Demonstratie. A siB sunt independente () P (A \B) = P (A)P (B) ()

P (A\B)P (B) = P (A) () P (AjB) = P (A) :Propozitie. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate si B 2 K a. . P (B) 6= 0:

Atunci functia PB : K ! R; PB (A) = P (AjB) este probabilitate pe(;K) :Demonstratie. Vericam cele 3 axiome ale probabilitatii:1) PB (A) =

P (A\B)P (B) 0;8A 2 K, deoarece P (A \B) 0 si P (B) > 0:

2) PB () =P (\B)P (B) =

P (B)P (B) = 1:

3) A1; A2; ::: 2 K colectie numarabila de evenimente mutual exclusive =)A1\B;A2\B; ::: 2 Kmutual exclusive =) PB (A1 [A2 [ :::) = P ((A1[A2[:::)\B)P (B) =P ((A1\B)[(A2\B)[:::)

P (B) =P (A1\B)+P ((A2\B))+:::

P (B) =P (A1\B)P (B) +

P (A2\B)P (B) + ::: =

PB (A1) + PB (A2) + ::::Exemplul 1.5. Reconsideram exemplul 1.4 presupunnd p1 > 0. Care este

probabilitatea conditionata ca primele doua componente sa e bune dat indca:a) prima componenta este buna;b) cel putin una dintre cele doua este buna?Evenimentul S1\S2 nseamna ca ambele componente sunt bune, iar S1[S2

ca cel putin una e buna. Datorita independentei lui S1 si S2; avem:a) P (S1 \ S2jS1) = P (S1\S2\S1)P (S1) =

P (S1\S2)P (S1)

= P (S1)P (S2)P (S1) = P (S2) = p2.

b) P (S1 \ S2jS1 [ S2) = P (S1\S2\(S1[S2))P (S1[S2) =P (S1\S2)P (S1[S2) =

P (S1)P (S2)P (S1)+P (S2)P (S1\S2) =

p1p2p1+p2p1p2 :Exemplul 1.6. Determinati probabilitatea de a trage, fara nlocuire, 2 asi

succesiv dintr-un pachet de carti de joc fara jokeri.Fie A1 evenimentul "prima carte trasa este un as" si similar A2. Se cere

P (A1 \A2).P (A1) =

452 (sunt 4 asi n cele 52 de carti din pachet).

P (A2jA1) = 351 (daca prima carte trasa este un as, au ramas 51 de cartidintre care 3 sunt asi).P (A2jA1) = P (A1\A2)P (A1) =) P (A1 \A2) = P (A1) P (A2jA1) = 452 351 =

113 117 = 1221 :

6

Propozitie. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate si A1; A2; :::; An 2 K a. .P (A1 \A2 \ ::: \An1) > 0. AtunciP (A1 \A2 \ ::: \An) = P (A1)P (A2jA1)P (A3jA1 \A2) :::P (AnjA1 \A2 \ ::: \An1) :Demonstratie. A1 A1 \ A2 ::: A1 \ A2 \ ::: \ An1 =) P (A1)

P (A1 \A2) ::: P (A1 \A2 \ ::: \An1) > 0 =) probabilitatileconditionate din membrul drept au sens.P (A1)P (A2jA1)P (A3jA1 \A2) :::P (AnjA1 \A2 \ ::: \An1) = P (A1)P (A1\A2)P (A1)

P (A1\A2\A3)P (A1\A2) :::

P (A1\A2\:::\An)P (A1\A2\:::\An1) = P (A1 \A2 \ ::: \An) :

Denitia 1.6. Fie Bi ;8i 2 I: (Bi)i2I se numeste partitie a lui dacasi numai daca (Bi)i2I sunt disjuncte doua cte doua si

[i2IBi = :

Teorema probabilitatii totale. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate si(Bi)i2I K partitie cel mult numarabila a lui a. . P (Bi) > 0;8i 2 I:Atunci, 8A 2 K,

P (A) =Xi2I

P (AjBi)P (Bi) :

Demonstratie. (Bi)i2I mutual exclusive, A \ Bi Bi;8i 2 I =)(A \Bi)i2I mutual exclusive =)

Xi2I

P (AjBi)P (Bi) =Xi2I

P (A\Bi)P (Bi)

P (Bi) =

Xi2I

P (A \Bi) = P [i2I(A \Bi)

!= P

A \

[i2IBi

!!= P (A \ ) = P (A) :

Exemplul 1.7. Sa se determine probabilitatea ca un nivel critic al curgeriisa e atins n timpul furtunilor ntr-un sistem de canalizare pe baza masurato-rilor meteorologice si hidrologice.Fie Bi; i = 1; 2; 3 diferitele nivele (mic, mediu si mare) de precipitatii cauzate

de o furtuna si Aj ; j = 1; 2 nivelele critic, respectiv necritic al curgerii.Probabilitatile P (Bi) pot estimate din nregistrarile meteorologice, iar P (Aj jBi)din analiza curgerii. Presupunem ca:P (B1) = 0; 5;P (B2) = 0; 3;P (B3) = 0; 2;P (A1jB1) = 0;P (A1jB2) = 0; 2;P (A1jB3) = 0; 6;P (A2jB1) = 1;P (A2jB2) = 0; 8;P (A2jB3) = 0; 4:Deoarece B1; B2; B3 constituie o partitie, din teorema probabilitatii totale

avem:P (A1) = P (A1jB1)P (B1)+P (A1jB2)P (B2)+P (A1jB3)P (B3) = 00; 5+

0; 2 0; 3 + 0; 6 0; 2 = 0; 18:

1.5 Formula lui Bayes

Thomas Bayes a fost un lozof englez.Teorema lui Bayes. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate si A;B 2 K a. .

P (A) 6= 0 si P (B) 6= 0. Atunci:

P (BjA) = P (AjB)P (B)P (A)

:

7

Demonstratie. P (AjB)P (B)P (A) =P (A\B)P (B)

P (B)P (A) =

P (B\A)P (A) = P (BjA) :

Formula lui Bayes. Fie (;K; P ) cmp de probabilitate si (Bi)i2I Kpartitie cel mult numarabila a lui a. . P (Bi) > 0;8i 2 I: Atunci, 8A 2 K a.. P (A) 6= 0;8i 2 I;P (BijA) = P (AjBi)P (Bi)X

j2I[P (AjBj)P (Bj)]

:

Demonstratie. P (AjBi)P (Bi)Xj2I

[P (AjBj)P (Bj)]TPT= P (AjBi)P (Bi)P (A)

TB= P (BijA) :

Exemplul 1.8. n exemplul 1.7, sa se determine P (B2jA2), probabilitateaca, dat ind ca s-a atins un nivel necritic al curgerii, el sa fost datorat uneifurtuni de nivel mediu. Din formula lui Bayes rezultaP (B2jA2) = P (A2jB2)P (B2)3X

j=1

[P (A2jBj)P (Bj)]= 0;80;310;5+0;80;3+0;40;2 =

0;240;5+0;24+0;08 =

0;240;82 =

1241= 0; 293:Exemplul 1.9. Un canal de comunicare binar simplu transmite mesaje

folosind doar 2 semnale, sa spunem 0 si 1. Presupunem ca, pentru un canalbinar dat, 40%din timp e transmis un 1; probabilitatea ca un 0 transmis sae corect receptionat este 0,9 si probabilitatea ca un 1 transmis sa e corectreceptionat este 0,95. Determinati:a) probabilitatea ca un 1 sa e primit;b) dat ind ca un 1 este primit, probabilitatea ca un 1 sa fost transmis.FieA = "1 este transmis"A = "0 este transmis"B = "1 este primit"B = "0 este primit".Din ipotezeP (A) = 0; 4;P

A= 0; 6;

P (BjA) = 0; 95;P BjA = 0; 05;PBjA = 0; 9;P BjA = 0; 1:

a) Deoarece A si A formeaza o partitie, din teorema probabilitatii totalerezulta caP (B) = P (BjA)P (A) + P BjAP A = 0; 95 0; 4 + 0; 1 0; 6 = 0; 38 +

0; 06 = 0; 44:b) Din teorema lui Bayes,P (AjB) = P (BjA)P (A)P (B) = 0;950;40;44 = 0;380;44 = 1922 = 0; 864:

8

2 Variabile aleatoare. Variabile aleatoare dis-crete si variabile aleatoare continue, cu densi-tate de repartitie. Functie de repartitie. Mo-mentele unei variabile aleatoare

2.1 Variabile aleatoare

Consideram un experiment aleator ale carui rezultate sunt elemente ale spatiuluiprobelor din cmpul de probabilitate (;K; P ) : Pentru a construi un modelpentru o variabila aleatoare, presupunem ca e posibil sa asociem un numar realX (!) pentru ecare rezultat !, urmnd un anumit set de reguli.Denitia 2.1. Functia X se numeste variabila aleatoare daca si numai dacaa) X : ! R, unde (;K; P ) este cmp de probabilitate sib) 8x 2 R; f! 2 jX (!) xg 2 K.Conditia b) din denitie e asa-numita "conditie de masurabilitate". Ea ne

asigura ca are sens sa consideram probabilitatea evenimentului f! 2 jX (!) xg,notat mai simplu X x pentru orice x 2 R, sau, mai general, probabilitateaoricarei combinatii nite sau numarabile de astfel de evenimente.n continuare, daca nu e specicat altfel, variabilele aleatoare sunt

considerate pe un cmp de probabilitate (;K; P ) :

2.2 Variabile aleatoare discrete si variabile aleatoare con-tinue, cu densitate de repartitie

Denitia 2.2. O variabila aleatoare se numeste discreta daca si numai dacaia numai valori izolate. Multimea valorilor unei variabile aleatoare discrete estecel mult numarabila.Denitia 2.3. O variabila aleatoare se numeste continua daca valorile ei

umplu un interval.Denitia 2.4. Fie X, variabila aleatoare continua. O functie fX : R ! R

a. . fX (x) 0;8x 2 R si P (X x) =Z x1

fX (u) du;8x 2 R se numestefunctie densitate de repartitie sau functie densitate de probabilitate sau simpludensitate a lui X:

2.3 Functie de repartitie

Denitia 2.5. Fie X variabila aleatoare. Functia FX : R! R;

FX (x) = P (X x) ;se numeste functia de repartitie de probabilitate sau simplu functia de repar-

titie a lui X.Indicele X identica variabila aleatoare. Acest indice e uneori omis cnd nu

e pericol de confuzie.

9

Proprietati ale functiei de repartitie. 1) Exista si are valori ntre 0 si1:2) E continua la dreapta si crescatoare. Mai mult, avem:FX (1) := lim

x!1FX (x) = 0 si FX (1) := limx!1FX (x) = 1:3) Daca a; b 2 R a. . a < b, atunciP (a < X b) := P (f! 2 ja < X (!) bg) = FX (b) FX (a) :Aceasta relatie rezulta dinP (X b) = P (X a) + P (a < X b) :Exemplul 2.1. Fie X o variabila aleatoare discreta cu valorile 1; 1; 2; 3

luate cu probabilitatile 14 ;18 ;

18 , respectiv

12 . Pe scurt notamX

1 1 2 314

18

18

12

.

Avem

FX (x) =

8>>>>>>>:0, pentru x < 1;14 , pentru 1 x < 1;38 , pentru 1 x < 2;12 , pentru 2 x < 3;1, pentru x 3:

Gracul lui FX este dat mai jos.

Este tipic pentru functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete sacreasca de la 0 la 1 "n trepte".

10

Exemplul 2.2. O functie de repartitie tipica pentru o variabila aleatoarecontinua este reprezentata grac mai jos.

Ea nu are salturi sau discontinuitati ca n cazul unei variabile aleatoarediscrete. Probabilitatea ca X sa aiba o valoare ntr-un anumit interval estedata de proprietatea 3) a functiei de repartitie. Din gracP (1 < X 1) = FX (1) FX (1) = 0; 8 0; 4 = 0; 4:Avem P (X = a) = 0;8a 2 R:Observatie. Se poate deni functia de repartitie si ca FX : R! R; FX (x) =

P (X < x). n acest caz proprietatile 1) si 2) ramn valabile cu exceptia faptuluica functia de repartitie este continua la stnga si nu la dreapta, iar proprietatea3) devine3) Daca a; b 2 R a. . a < b, atunciP (a X < b) = FX (b) FX (a) :Proprietati ale densitatii. 1) fX (x) = F 0X (x) ;8x n care FX este

derivabila.2)

FX (x) =

Z x1

fX (u) du;8x 2 R:

3)Z 11

fX (x) dx = 1:

4) Daca a; b 2 R a. . a < b, atunciP (a < X b) = FX (b) FX (a) =

Z ba

fX (x) dx:

Exemplul 2.3. Un exemplu de densitate e reprezentata grac mai jos.

11

Dupa cum indica proprietatile 3) si 4), aria totala de sub curba este 1 sisuprafata hasurata de la a la b e egala cu P (a < X b).Observatie. Cunoasterea densitatii sau a functiei de repartitie

caracterizeaza complet o variabila aleatoare continua.Exemplul 2.4. Fie a > 0. O variabila aleatoare X a carei densitate este

fX (x) =

aeax, pentru x > 0;0, altfel,

se numeste repartizata exponential (de parametru a). Avem fX (x) 0;8x 2R siZ 1

1fX (x) dx =

Z 01

0dx+

Z 10

aeaxdx = 0 eaxj10 = 1;deci fX verica proprietatea 3).Daca x < 0, atunciZ x1

fX (u) du =

Z x1

0du = 0:

Daca x 0, atunciZ x1

fX (u) du =

Z 01

0du+

Z x0

aeaudu = 0 eaujx0 = 1 eax:Deci, din proprietatea 2) avem

FX (x) =

0, pentru x < 0;1 eax, pentru x 0:

Gracul densitatii e dat n gura (a), iar al functiei de repartitie n gura(b) de mai jos.

12

Calculam unele probabilitati folosind fX .P (0 < X 1) e egala cu aria de sub gracul lui fX de la x = 0 la x = 1,

dupa cum se arata n gura (a). Avem

P (0 < X 1) =Z 10

fX (x) dx = eaxj10 = 1 ea:

13

P (X > 3) e obtinuta calculnd aria de sub gracul lui fX la dreapta luix = 3, deci

P (X > 3) =

Z 13

fX (x) dx = eaxj13 = e3a:Aceleasi probabilitati pot obtinute din FX astfel:P (0 < X 1) = FX (1) FX (0) = 1 ea 0 = 1 ea;P (X > 3) = FX (1) FX (3) = 1

1 e3a = e3a:

Mai observam ca P (0 < X 1) = P (0 X 1) pentru variabile aleatoarecontinue, deoarece P (X = 0) = 0:Denitia 2.6. Fie X variabila aleatoare discreta. Functia pX : R !

R; pX (x) = P (X = x) := P (f! 2 jX (!) = xg) se numeste functia masa deprobabilitate a lui X, sau, pe scurt, masa lui X.Din nou indicele X e folosit pentru a identica variabila aleatoare asociata.Exemplul 2.5. Functia masa de probabilitate a variabilei aleatoare X 1 1 2 314

18

18

12

din exemplul 2.1 e reprezentata mai jos.

Observatii. 1) Daca X e variabila aleatoare discreta cu multimea cel multnumarabila de valori fx1; x2; :::g luate cu probabilitati nenule, atunci:0 < pX (xi) 1;8i;Xi

pX (xi) = 1;

pX (x) = 0;8x =2 fx1; x2; :::g :

14

2) Ca si FX , specicarea lui pX caracterizeaza complet variabila aleatoarediscreta X. Mai mult, presupunnd x1 < x2 < :::, relatiile dintre FX si pX sunt

pX (x1) = FX (x1) ;

pX (xi) = FX (xi) FX (xi1) ;8i > 1;FX (x) =

Xijxix

pX (xi) ;8x 2 R:

3) Specicarea lui pX se face de obicei dnd numai valorile pozitive, n restulpunctelor subntelegndu-se ca e 0:

2.4 Momentele unei variabile aleatoare

Fie X variabila aleatoare discreta cu valorile x1; x2; ::: si functia masa deprobabilitate pX sau continua cu densitatea fX .Denitia 2.7. Numarul real

E (X) :=

8>>>:Xi

xipX (xi) , pentru X discreta;Z 11

xfX (x) dx, pentru X continua,

daca exista, se numeste media lui X si se mai noteaza mX sau simplu m:Denitia 2.8. Fie n 2 N. Numarul real

n := E (Xn) =

8>>>:Xi

xni pX (xi) , pentru X discreta;Z 11

xnfX (x) dx, pentru X continua,

daca exista, se numeste momentul de ordinul n al lui X:Observatie. Media este momentul de ordinul 1.

Exemplul 2.6. Fie X 1 1 2 3

14

18

18

12

din exemplul 2.1.

E (X) = (1) 14 + 1 18 + 2 18 + 3 12 = 14 + 18 + 14 + 32 = 18 + 32 = 138 :Exemplul 2.7. Timpul de asteptare X (n minute) al unui client la un

automat de bilete are densitatea

fX (x) =

2e2x, pentru x > 0;0, altfel.

Determinati timpul mediu de asteptare.Integrnd prin parti avem

E (X) =

Z 11

xfX (x) dx =

Z 01

0dx+

Z 10

x2e2xdx = 0Z 10

xe2x

0dx =

xe2xj10 +Z 10

e2xdx = 0 12e2xj10 = 12 minut.Proprietati ale mediei. Daca c 2 R este o constanta si X si Y sunt

variabile aleatoare pe acelasi cmp de probabilitate (;K; P ), atunci:

15

E (c) = c;E (cX) = cE (X) ;E (X + Y ) = E (X) + E (Y ),E (X) E (Y ), daca X Y (i.e. X (!) Y (!) ;8! 2 ).Denitia 2.9. Fie X variabila aleatoare. Se numeste mediana a lui X o

valoare x0 a lui X a. . P (X x0) = 12 sau, daca o astfel de valoare nu exista,valoarea x0 a lui X a. . P (X < x0) < 12 si P (X x0) > 12 .Media lui X poate sa nu existe, dar exista cel putin o mediana.n comparatie cu media, mediana e uneori preferata ca masura a tendintei

centrale cnd repartitia e asimetrica, n particular cnd sunt un numar mic devalori extreme n repartitie. De exemplu, vorbim de mediana veniturilor cao buna masura a tendintei centrale a venitului personal pentru o populatie.Aceasta e o masura mai buna dect media, deoarece mediana nu e asa sensibilala un numar mic de venituri extrem de mari sau venituri extrem de mici camedia.Exemplul 2.8. Fie T timpul dintre emisiile de particule la un atom ra-

dioactiv. Este stabilit ca T e o variabila aleatoare cu repartitie exponentiala,adica

fT (t) =

et, pentru t > 0;0, altfel,

unde e o constanta pozitiva. Variabila aleatoare T se numeste timpul deviata al atomului si o masura medie a acestui timp de viata este timpul denjumatatire, denit ca mediana lui T . Astfel, timpul de njumatatire e gasitdin

P (T ) = 12 ()Z 1

fT (t) dt =12 () 1 e = 12 () e =

12 () = ln 2 :Observam ca viata medie E (T ) este

E (T ) =

Z 11

tfT (t) dt =1 (se calculeaza analog ca la exemplul 2.7).

Denitia 2.10. Fie X variabila aleatoare. Se numeste modul sau moda alui Xa) o valoare xi luata de X a. . pX (xi) > pX (xi+1) si pX (xi) > pX (xi1),

daca X e discreta cu valorile x1 < x2 < :::;b) un punct de maxim local al lui fX , daca X e continua.Un modul este astfel o valoare a lui X corespunzatoare unui vrf n functia

masa de probabilitate sau n densitate.Termenul distributie unimodala se refera la o functie de repartitie a unei

variabile aleatoare care are un modul unic.Media, mediana si modulul coincid atunci cnd o repartitie unimodala este

simetrica.Denitia 2.11. Fie n 2 N si X variabila aleatoare de medie m. Momentul

centrat de ordinul n al lui X este

16

n = E ((X m)n) =

8>>>:Xi

(xi m)n pX (xi) , pentru X discreta;Z 11

(xm)n fX (x) dx, pentru X continua.

Denitia 2.12. Fie X variabila aleatoare.Varianta sau dispersia lui X estemomentul centrat de ordinul 2 al lui X;2. Se noteaza cu

2X sau simplu

2

sau var (X).Valori mari ale lui 2X implica o ntindere mare a valorilor lui X n jurul

mediei. Reciproc, valori mici ale lui 2X implica o concentrare a valorilor luiX n jurul mediei. n cazul extrem cnd 2X = 0, X = m cu probabilitatea 1(ntreaga masa a distributiei e concentrata n medie).Propozitie. Relatia dintre dispersia si momentele lui X este2 = 2 m2:Demonstratie. 2 = E

(X m)2

= E

X2 2mX +m2 = E X2

2mE (X) +m2 = 2 2m2 +m2 = 2 m2:Alte proprietati ale dispersiei. var (X) 0;var (X + c) = var (X) ;8c 2 R;var (cX) = c2var (X) ;8c 2 R:Fie X variabila aleatoare de medie m. Se numeste deviatie standard a lui X

X =

rE(X m)2

:

Un avantaj al folosirii lui X n locul lui 2X este ca X are aceeasi unitatede masura ca media. De aceea poate comparata cu media pe aceeasi scalapentru a obtine o masura a gradului de mprastiere.Un numar adimensional (fara unitate de masura) care caracterizeaza m-

prastierea relativ la medie si care faciliteaza compararea variabilelor aleatoarede unitati diferite este coecientul de variatie denit de

vX =XmX

:

Exemplul 2.9. Fie X 1 1 2 3

14

18

18

12

din exemplul 2.1. Sa deter-

minam 2X .n exemplul 2.6 am vazut ca mX = 138 . AvemEX2= (1)2 14 + 12 18 + 22 18 + 32 12 = 14 + 18 + 12 + 92 = 38 + 5 = 438 :

2X = EX2m2X = 438 16964 = 34416964 = 17564 :

Exemplul 2.10. Determinam dispersia luiX cu fX (x) =2e2x, pentru x 0;0, altfel.

:

n exemplul 2.7 am vazut ca mX = 12 : Avem, integrnd prin parti

EX2=

Z 11

x2fX (x) dx =

Z 01

0dx+

Z 10

x22e2xdx = 0Z 10

x2e2x

0dx =

x2e2xj10 +Z 10

2xe2xdx = 0 + 12 =12 , ultima integrala ind calculata la

17

exemplul 2.7.Deci2X = E

X2m2X = 12 14 = 14 :

Coecientul de asimetrie denit de

1 =

33

da o masura a simetriei unei distributii. Este pozitiv cnd o distributieunimodala are o coada dominanta la dreapta (adica modulul este la stngamediei) si negativ n caz contrar. Este 0 cnd o distributie e simetrica n jurulmediei. De fapt, o distributie simetrica n jurul mediei are toate momentelecentrate de ordin impar 0. n gurile (a), (b) si (c) sunt reprezentate densitaticu 1 > 0; 1 = 0; respectiv 1 < 0:

18

Gradul de aplatizare a distributiei lnga vrfuri poate masurat de coe-cientul de exces denit de

2 =

44 3:

Un 2 > 0 implica un vrf ascutit n vecinatatea modulului unei distributiiunimodale, iar 2 < 0 implica, de regula, un vrf turtit.

2.4.1 Inegalitatea lui Cebsev

Teorema 2.1. (Inegalitatea lui Cebsev) Fie X variabila aleatoare cu mediamX si deviatia standard X 6= 0. Atunci

19

P (jX mX j kX) 1k2; (2.1)

pentru orice k > 0:Demonstratie. Presupunem X continua. Din denitie avem

2X =

Z 11

(xmX)2 fX (x) dx ZjxmX jkX

(xmX)2 fX (x) dx

k22X

ZjxmX jkX

fX (x) dx = k22XP (jX mX j kX) :

Rezulta relatia (2.1). Demonstratia este similara cnd X este discreta.

20

3 Independenta variabilelor aleatoare. Densi-tate de repartitie conditionata si formula luiBayes pentru densitati de repartitie. Covari-anta si corelatie

3.1 Independenta variabilelor aleatoare

Toate variabilele aleatoare sunt considerate pe acelasi cmp de probabilitate(;K; P ), daca nu se specica altfel.Denitia 3.1. a) Functia de repartitie comuna a variabilelor aleatoare X

si Y este denita de

FXY (x; y) = P (X x \ Y y) :b) Functia de repartitie comuna a variabilelor aleatoare X1; X2; :::; Xn este

denita de

FX1X2:::Xn (x1; x2; :::; xn) = P (X1 x1 \X2 x2 \ ::: \Xn xn) :

Proprietati 3.1. a) FXY (x; y) 0;8x; y 2 R:b) FXY e crescatoare n x si y.c) FXY e continua la dreapta n raport cu x si y.d) FXY (1;1) = FXY (1; y) = FXY (x;1) = 0;8x; y 2 R:e) FXY (1;1) = 1:f) FXY (x;1) = FX (x) ;8x 2 R:g) FXY (1; y) = FY (y) ;8y 2 R:h) 8x1; x2; y1; y2 2 R a. . x1 < x2 si y1 < y2;P (x1 < X x2 \ y1 < Y y2) = FXY (x2; y2)FXY (x1; y2)FXY (x2; y1)+

FXY (x1; y1) :Demonstram de exemplu f):FXY (x;1) = P (X x \ Y 1) = P (X x \ ) = P (X x) = FX (x) ;8x 2

R:Proprietati similare se pot deduce pentru FX1X2:::Xn :Forma generala a lui FXY poate vizualizata din proprietatile d)-g). n cazul

cnd X si Y sunt discrete FXY seamana cu un colt al unor trepte neregulate,ca n gura de mai jos.

21

Creste de la 0 la naltimea de 1 n directia dinspre cadranul 3 spre cadranul1. Cnd X si Y sunt continue FXY este o suprafata neteda cu aceleasi trasaturi.Proprietatile f) si g) arata ca functiile de repartitie ale variabilelor aleatoare

individuale, numite functii de repartitie marginale, pot calculate din functiade repartitie comuna a lor. Reciproca nu este n general adevarata. O situatieimportanta cnd reciproca este adevarata este cnd X si Y sunt independente.Denitia 3.2. a) Variabilele aleatoare X si Y sunt independente daca si

numai daca P (X x \ Y y) = P (X x)P (Y y) ;8x; y 2 R:b) Variabilele aleatoare X1; X2; :::; Xn sunt independente daca si numai daca

P (X1 x1 \X2 x2 \ ::: \Xn xn) = P (X1 x1)P (X2 x2) :::P (Xn xn) ;8x1; x2; :::; xn 2R:c) Fie I multime innita. Variabilele aleatoare (Xi)i2I sunt independente

() (Xi)i2J sunt independente, 8J I nita.Observatii. a) X si Y sunt independente ()

FXY (x; y) = FX (x)FY (y) ;8x; y 2 R:b) X1; X2; :::; Xn sunt independente ()

FX1X2:::Xn (x1; x2; :::; xn) = FX1 (x1)FX2 (x2) :::FXn (xn) ;8x1; x2; :::; xn 2 R:c) X si Y sunt independente =)

22

P (x1 < X x2 \ y1 < Y y2) = P (x1 < X x2)P (y1 < Y y2) ;8x1; x2; y1; y2 2R a. . x1 < x2 si y1 < y2:Demonstratie. a), b) Evident.c) P (x1 < X x2 \ y1 < Y y2) =

FXY (x2; y2) FXY (x1; y2) FXY (x2; y1) + FXY (x1; y1) =FX (x2)FY (y2) FX (x1)FY (y2) FX (x2)FY (y1) + FX (x1)FY (y1) =(FX (x2) FX (x1)) (FY (y2) FY (y1)) = P (x1 < X x2)P (y1 < Y y2) :n general:

X1; X2; :::; Xn sunt independente () P

n\i=1

Xi 2 Ai!=

nYi=1

P (Xi 2 Ai) ;8A1; :::; Anintervale sau multimi cu un singur element din R:Aici Xi 2 Ai = f! 2 jXi (!) 2 Aig.Denitia 3.3. a) Functia masa de probabilitate comuna a variabilelor

aleatoare discrete X si Y este denita de

pXY (x; y) = P (X = x \ Y = y) ;8x; y 2 R:b) Fie n variabile aleatoare discrete X1; X2; :::; Xn: Functia masa de proba-

bilitate comuna a lor este denita de

pX1X2:::Xn (x1; x2; :::xn) = P (X1 = x1 \X2 = x2 \ ::: \Xn = xn) ;8x1; x2; :::; xn 2 R:

Proprietati 3.2. Fie X si Y variabile aleatoare discrete care iau o multimecel mult numarabila de perechi de valori (xi; yj) ; i; j = 1; 2; ::: cu probabilitatinenule.a) pXY (x; y) = 0 peste tot, exceptnd punctele (xi; yj) ; i; j = 1; 2; ::: unde

ia valori egale cu probabilitatea comuna P (X = xi \ Y = yj) :b) 0 < pXY (xi; yj) 1;c)Xi

Xj

pXY (xi; yj) = 1;

d)Xi

pXY (xi; y) = pY (y) ;

e)Xj

pXY (x; yj) = pX (x) ;

f) FXY (x; y) =Xijxix

Xjjyjy

pXY (xi; yj) ;8x; y 2 R:

Acum pX (x) si pY (y) sunt numite functii masa de probabilitate marginale.Proprietati similare pot scrise pentru pX1X2:::Xn :Denitia 3.4. a) Functia densitate de probabilitate comuna a doua variabile

aleatoare continue X si Y este denita de derivata partiala

fXY (x; y) =@2FXY@x@y

(x; y) ;

daca exista.

23

b) Fie vectorul aleator X cu componente variabilele aleatoare continueX1; X2; :::; Xncare au functia de repartitie comunaFX (x) = P (X1 x1 \X2 x2 \ ::: \Xn xn) ;unde x este vectorul cu componentele x1; x2; :::; xn:Functia densitate comuna corespunzatoare este

fX (x) =@nFX

@x1@x2:::@xn(x) ;

daca derivatele partiale indicate exista.Proprietati 3.3. a) fXY (x; y) 0 deoarece FXY este crescatoare n x si y.b) Din denitie,

FXY (x; y) = P (X x \ Y y) =Z y1

Z x1

fXY (u; v) dudv:

c) Daca x1 < x2 si y1 < y2, atunci

P (x1 < X x2 \ y1 < Y y2) =Z y2y1

Z x2x1

fXY (x; y) dxdy:

d) fXY deneste o suprafata deasupra planului (x; y). Dupa cum indicaproprietatea 3.3 c), probabilitatea ca variabilele aleatoare X si Y sa se aentr-o anumita suprafata R este egala cu volumul de sub suprafata fXY marginitde acea regiune, ca n gura de mai jos.

24

e)Z 11

Z 11

fXY (x; y) dxdy = 1:

Aceasta proprietate rezulta din proprietatea b) punnd x!1 si y !1 siarata ca volumul total de sub suprafata fXY este 1:

f)Z 11

fXY (x; y) dy = fX (x) :

Aceasta rezulta din

FX (x) = FXY (x;1) =Z 11

Z x1

fXY (u; y) dudy;

derivnd n raport cu x:

g)Z 11

fXY (x; y) dx = fY (y) :

Densitatile fX si fY din proprietatile f) si g) se numesc densitati marginaleale lui X, respectiv Y:

3.2 Densitate de repartitie conditionata si formula lui Bayespentru densitati de repartitie

Functia de repartitie conditionata a variabilei aleatoare X dat ind ca altavariabila aleatoare Y ia valoarea y este denita de

25

FXY (xjy) = P (X xjY = y) :Fie X si Y variabile aleatoare continue. Functia densitate de repartitie

conditionata (pe scurt densitate conditionata) a lui X dat ind Y = y, no-tata fXY (xjy) este derivata functiei de repartitie conditionata corespunzatoareei, adicafXY (xjy) = dFXY (xjy)dx :Avem, pentru x1 < x2 si y1 < y2:

P (x1 < X x2jy1 < Y y2) = P (x1

fXY (xjy) = fYX(yjx)fX(x)fY (y) =fYX(yjx)fX(x)Z 1

1fYX(yj)fX()d

;

daca fY (y) 6= 0:

3.3 Covarianta si corelatie

Fie X si Y variabile aleatoare discrete care iau o multime cel mult numarabilade perechi de valori (xi; yj) ; i; j = 1; 2; ::: cu probabilitati nenule sau variabilealeatoare continue.Denitia 3.5. Fie n;m 2 N:a) Momentele comune nm ale variabilelor aleatoare X si Y sunt date de,

daca exista,

nm = E (XnY m) =

8>>>:Xi

Xj

xmi ynj pXY (xi; yj) , daca X si Y sunt discrete,Z 1

1

Z 11

xnymfXY (x; y) dxdy, daca X si Y sunt continue.

b) Similar, momentele centrate comune ale lui X si Y , cnd exista, sunt datedenm = E ((X mX)n (Y mY )m) :Observatii. Cu notatiile folosite aici, mediile lui X si Y sunt 10, respectiv,

01. De exemplu, folosind denitia 3.5 a) pentru X si Y continue, obtinem

10 = E (X) =

Z 11

Z 11

xfXY (x; y) dxdy =

Z 11

x

Z 11

fXY (x; y) dydx =Z 11

xfX (x) dx;

unde fX este densitatea marginala a lui X. Astfel vedem ca acest rezultate identic cu cel din cazul unei singure variabile aleatoare.Aceasta observatie este adevarata si pentru dispersiile individuale. Ele sunt

20, respectiv 02; si pot gasite din denitia 3.5 b) cu nlocuiri corespunzatoarepentru n si m. Ca si n cazul unei singure variabile aleatoare avem20 = 20 210 sau 2X = 20 m2X ;respectiv02 = 02 201 sau 2Y = 02 m2Y :Denitia 3.6. Se numeste covarianta a lui X si Y11 = cov (X;Y ) = E ((X mX) (Y mY )) :Covarianta e o marime a interdependentei lui X si Y:Proprietatea 3.4. Covarianta e legata de nm prin11 = 11 1001 = 11 mXmY :Demonstratie. 11 = E ((X mX) (Y mY )) = E (XY mYX mXY +mXmY ) =

E (XY )mY E (X)mXE (Y )+mXmY = 1110011001+1001 =11 1001:Denitia 3.7. Coecientul de corelatie al lui X si Y este

= (X;Y ) =11p2002

=11XY

:

27

Proprietatea 3.5. jj 1:Demonstratie. [t (X mX) + Y mY ]2 0;8t 2 R =) E

[t (X mX) + Y mY ]2

=

20t2 + 211t + 02 0;8t 2 R =) = 4211 42002 0 =) 211

2002 =) jj 1:Coecientul de corelatie este fara dimensiune. El este si independent de

origine, adica 8a1; a2; b1; b2 2 R cu a1; a2 > 0 se poate demonstra ca (a1X + b1; a2Y + b2) = (X;Y ) :Proprietatea 3.6. Daca X si Y sunt independente, atunci11 = 0 si = 0:Demonstratie. Fie X si Y continue.

11 = E (XY ) =

Z 11

Z 11

xyfXY (x; y) dxdyindep.=

Z 11

Z 11

xyfX (x) fY (y) dxdy =Z 11

xfX (x) dx

Z 11

yfY (y) dy = mXmY =) 11 = 11 mXmY = 0 =) = 0:Similar se poate demonstra daca X si Y sunt discrete.Daca X si Y sunt independente, atunci(3.2) E (g (X)h (Y )) = E (g (X))E (h (Y )) ;daca mediile exista.Cnd coecientul de corelatie al doua variabile aleatoare se anuleaza, spunem

ca ele sunt necorelate.Observatii. 1) X si Y sunt necorelate () E (XY ) = E (X)E (Y ).

(Rezulta din denitii si proprietatea 3.4.)2) X, Y independente =) X, Y necorelate. (Rezulta din denitie si

proprietatea 3.6.)3) Reciproca nu e adevarata.

Exemplul 3.1. Fie X 2 1 1 2

14

14

14

14

si Y = X2:

Avem Y 1 412

12

,

pXY (x; y) =

8>>>:14 , pentru (x; y) = (2; 4) ;14 , pentru (x; y) = (1; 1) ;14 , pentru (x; y) = (1; 1) ;14 , pentru (x; y) = (2; 4) ;

mX = (2) 14 + (1) 14 + 1 14 + 2 14 = 0;mY = 1 12 + 4 12 = 52 ;11 = (2) 4 14 + (1) 1 14 + 1 1 14 + 2 4 14 = 0:Deci11 = 11 mXmY = 0 =) = 11XY = 0 =) X si Y sunt necorelate.Pe de alta parte,P (X 2 \ Y 1) = FXY (2; 1) = 0;iarP (X 2)P (Y 1) = FX (2) FY (1) = 14 12 = 18 ;deci

28

P (X 2 \ Y 1) 6= P (X 2)P (Y 1) =) X si Y nu sunt inde-pendente.Coecientul de corelatie masoara interdependenta liniara a variabilelor aleatoare,

adica acuratetea cu care o variabila aleatoare poate aproximata printr-ofunctie liniara de cealalta. Pentru a vedea asta, consideram problemaaproximarii unei variabile aleatoare X printr-o functie liniara de o a doua vari-abila aleatoare Y , aY + b, unde a si b sunt alese a. . eroarea medie patratica edenita de(3.3) e = E

[X (aY + b)]2

este minima. Aveme = E

X2 + a2Y 2 + b2 2aXY 2bX + 2abY = E X2 + a2E Y 2 +

b2 2aE (XY ) 2bmX + 2abmY ;@e@a = 2aE

Y 2 2E (XY ) + 2bmY ;

@e@b = 2b 2mX + 2amY :Rezolvnd sistemul

@e@a = 0;@e@b = 0;

obtinem ca minimul e atins cnda = XYsib = mX amY :nlocuind aceste valori n relatia (3.3) obtinem eroarea medie patratica

minima 2X1 2. Vedem ca o potrivire exacta n sensul mediei patratice e

atinsa cnd jj = 1 si aproximarea liniara este cea mai rea cnd = 0: Cnd = 1, X si Y se numesc pozitiv perfect corelate, n sensul ca valorile pe care leiau sunt pe o dreapta cu panta pozitiva; ele sunt negativ perfect corelate cnd = 1 si valorile lor se aa pe o dreapta cu panta negativa. Aceste doua cazuriextreme sunt ilustrate n gura de mai jos.

29

Valoarea lui jj descreste cnd mprastierea valorilor n jurul dreptelor creste.n demonstratia faptului ca jj 1; am obtinut211 2002:Folosind un procedeu similar, putem arata de asemenea ca

E2 (XY ) E X2E Y 2 :Ultimele doua relatii sunt inegalitatile lui Schwarz.Denitia 3.8. FieX un vector coloana aleator cu componenteleX1; X2; :::; Xn

si mX vectorul coloana avnd componente mediile lui X1; X2; :::; Xn: Matriceade covarianta este

= E(XmX) (XmX)T

=

0BBB@var (X1) cov (X1; X2) ::: cov (X1; Xn)

cov (X2; X1) var (X2) ::: cov (X2; Xn)...

.... . .

...cov (Xn; X1) cov (Xn; X2) ::: var (Xn)

1CCCA : este o matrice nn cu avnd pe diagonala variante si n afara diagonalei

covariante. Deoarece cov (Xi; Xj) = cov (Xj ; Xi), matricea de covarianta estesimetrica.Urmatorul rezultat este o generalizare a relatiei (3.2).Teorema. Daca X1; X2; :::; Xn sunt independente, atunciE (g1 (X1) g2 (X2) :::gn (Xn)) = E (g1 (X1))E (g2 (X2)) :::E (gn (Xn)) ;unde gj (Xj) este o functie arbitrara de Xj . Se presupune ca toate mediile

care sunt scrise exista.

Propozitie. Fie X1; X2; :::; Xn variabile aleatoare si Y =nXi=1

Xi: Atunci

30

2Y =nXi=1

2Xi + 2X

1i

4 Principalele repartitii discrete si proprietatilelor

4.1 Repartitia binomiala

O succesiune de probe e facuta astfel ncta) pentru ecare proba sunt doar doua rezultate posibile, sa spunem succes

si esec;b) probabilitatile aparitiei acestor rezultate ramn aceleasi pe durata pro-

belor;c) probele sunt independente.Probele facute n aceste conditii se numesc probe Bernoulli.Notam evenimentul "succes" cu S si evenimentul "esec" cu F . Fie P (S) = p

si P (F ) = q, unde p + q = 1: Rezultate posibile din efectuarea unei succesiunide probe Bernoulli pot reprezentate simbolic prinS \ S \ F \ F \ S \ F \ S \ S \ S \ ::: \ F \ FF \ S \ F \ S \ S \ F \ F \ F \ S \ ::: \ S \ F...si, datorita independentei, probabilitatile acestor rezultate posibile sunt usor

de calculat. De exemplu,P (S \ S \ F \ F \ S \ F \ :::F \ F ) = P (S)P (S)P (F )P (F )P (S)P (F ) :::P (F )P (F ) =

ppqqpq:::qq:Repartitia unei variabile aleatoare X reprezentnd numarul de succese

dintr-o succesiune de n probe Bernoulli, indiferent de ordinea n care apar estefrecvent de interes considerabil. E clar ca X e o variabila aleatoare discretacare ia valorile 0; 1; 2; :::; n. Pentru a determina functia masa de probabilitate,consideram pX (k), probabilitatea de a avea exact k succese n n probe. Acesteveniment poate aparea n la fel de multe moduri precum numarul de submultimide k elemente ale unei multimi de n elemente. De aici, numarul de moduri ncare k succese se pot ntmpla n n probe esteCkn =

n!k!(nk)!

si probabilitatea asociata cu ecare mod este pkqnk: Din acest motiv avem

pX (k) = Cknp

kqnk; k = 0; 1; 2; :::; n: (4.1)

Datorita similaritatii cu termenii binomului lui Newton

(a+ b)n=

nXk=0

Cknakbnk;

repartitia denita de relatia (4.1) se numeste repartitie binomiala. Ea aredoi parametri, anume n si p. O variabila aleatoare X avnd repartitie binomialase noteaza X B (n; p).Forma unei repartitii binomiale e determinata de valorile celor doi parametri

ai ei, n si p. n general, n se da ca o parte a problemei si p trebuie estimat dinobservatii.

32

O reprezentare a functiei masa de probabilitate pX (k) pentru n = 10 sip = 0; 2 este n gura de mai jos.

Vrful repartitiei se va muta spre dreapta cnd p creste, atingnd o repartitiesimetrica cnd p = 0; 5. Consideram raportul

pX(k)pX(k1) =

Cknpkqnk

Ck1n pk1qnk+1=

n!k!(nk)!p

n!(k1)!(nk+1)! q

= (nk+1)pkq = 1+(nk+1)pkq

kq =

1 + (n+1)pk(p+q)kq = 1 +(n+1)pk

kq :

Observam ca pX (k) > pX (k 1) () k < (n+ 1) p si pX (k) < pX (k 1) ()k > (n+ 1) p: Deci, daca denim k 2 Z prin(n+ 1) p 1 < k (n+ 1) p;valoarea lui pX (k) creste de la k = 0 si si atinge valoarea maxima cnd

k = k, apoi descreste. Daca (n+ 1) p 2 Z, valoarea maxima se atinge nambele pX (k 1) si pX (k). k este astfel un modul al acestei repartitii si senumeste adesea "cel mai probabil numar de succese".pX (k) este tabelata ca o functie de n si p. Tabelul A.1 din gurile de mai

jos da valorile ei pentru n = 2; 3; :::; 10 si p = 0; 01; 0; 05; :::; 0; 5:

33

34

Calculul lui pX (k) devine greu cnd n devine mare; se foloseste aproximareaPoisson a repartitiei binomiale.Functia de repartitie FX (x) pentru o repartitie binomiala este data de

FX (x) =

[x]Xk=0

Cknpkqnk;

unde [x] este partea ntreaga a lui x.Proprietati 4.1. Fie X B (n; p). Atuncia) mX = np;b) 2X = npq:

Demonstratie. a)mX =nXk=0

kpX (k) =nXk=1

kCknpkqnk =

nXk=1

k n!k!(nk)!pkqnk =nXk=1

n (n1)!(k1)!(n1(k1))!pkqnk = npnXk=1

Ck1n1pk1qn1(k1) k1=i= np

n1Xi=0

Cin1piqn1i =

np (p+ q)n1

= np:

b) EX2=

nXk=0

k2pX (k) =nXk=1

k2Cknpkqnk = np

nXk=1

kCk1n1pk1qn1(k1) =

np

"nXk=1

(k 1)Ck1n1pk1qn1(k1) +nXk=1

Ck1n1pk1qn1(k1)

#k1=i; a)=

35

np

n1Xi=0

iCin1piqn1i + 1

!= np (mY + 1)

a)= np [(n 1) p+ 1] ;

unde Y B (n 1; p) :2X = E

X2m2X = np [(n 1) p+ 1] n2p2 = n2p2 np2 + np n2p2 =

np (1 p) = npq:Faptul ca mX = np sugereaza ca parametrul p poate estimat pe baza

valorii medii a datelor observate.O alta formulare care duce la repartitia binomiala este denirea variabilei

aleatoareXj ; j = 1; 2; :::; n, reprezentnd rezultatul celei de-a j-a probe Bernoulli.Daca punem

Xj =

0, daca proba j este un esec,1; daca proba j este un succes,

atunciX = X1 +X2 + :::+Xnda numarul de succese n n probe. Din denitie, X1; X2; :::; Xn sunt variabile

aleatoare independente.DeoareceE (Xj) = 0 q + 1 p = p; j = 1; 2; :::; n;rezulta caE (X) = E (X1 +X2 + :::+Xn) = E (X1)+E (X2)+:::+E (Xn) = p+ p+ :::+ p| {z }

n

=

np;ceea ce coincide cu proprietatea 4.1 a).Analog, deoareceEX2j= 02 q + 12 p = p; j = 1; 2; :::; n;

2Xj = EX2j [E (Xj)]2 = p p2 = p (1 p) = pq; j = 1; 2; :::; n;

din independenta lui X1; X2; :::; Xn rezulta ca

2X =nXj=1

2Xj = pq + pq + :::+ pq| {z }n

= npq;

ceea ce coincide cu proprietatea 4.1 b).Teorema 4.1. Fie X1 B (n1; p) si X2 B (n2; p) variabile aleatoare

independente si Y = X1 +X2: Atunci Y B (n1 + n2; p) :

4.2 Repartitia hipergeometrica

Fie Z variabila aleatoare care da numarul de bile negre care sunt extrase cndun esantion de m bile este extras (fara revenire) dintr-un lot de n bile avndn1 bile negre si n2 bile albe (n1 + n2 = n). Functia masa de probabilitate avariabilei aleatoare Z este

pZ (k) =Ckn1 C

mknn1

Cmn; k = 0; 1; :::;min (n1;m) :

Spunem ca Z are repartitie hipergeometrica.Se poate arata camZ =

mn1n ;

2Z =mn1(nn1)(nm)

n2(n1) :

36

4.3 Repartitia geometrica

Fie X numarul de probe Bernoulli pna la (si incluznd) prima aparitie a succe-sului. X e variabila aleatoare discreta avnd ca valori toate numerele naturale.Functia ei masa de probabilitate este

pX (k) = P

0@F \ F \ ::: \ F| {z }k1

\ S1A = P (F )P (F ) :::P (F )| {z }

k1

P (S) = qk1p; k =

1; 2; ::::Aceasta repartitie este cunoscuta ca repartitia geometrica cu parametrul p,

unde numele provine de la similaritatea cu termenii progresiei geometrice. Oreprezentare a lui pX (k) e data mai jos.

Functia de repartitie corespunzatoare este

FX (x) =

[x]Xk=1

pX (k) =

[x]Xk=1

qk1p = p[x]Xk=1

qk1 = (1 q)[x]Xk=1

qk1 = 1 q[x],daca x 1siFX (x) = 0; daca x < 1:Media si dispersia lui X se calculeaza astfel:

E (X) =1Xk=1

kqk1p = p1Xk=1

ddq

qk= p ddq

1Xk=1

qk = p ddq

q limn!1

nXk=1

qk1!=

p ddq

q limn!1

1qn+11q

= p ddq

q1q= p 1q+q

(1q)2 =1p :

EX2=

1Xk=1

k2qk1p = p

" 1Xk=1

kqk1 + q1Xk=2

k (k 1) qk2#= 1p+pq

1Xk=2

d2

dq2

qk=

37

1p+pq

d2

dq2

1Xk=2

qk

!= 1p+pq

d2

dq2

q1q q

= 1p+pq

d2

dq2

q2

1q= 1p+pq

ddq

h2q(1q)+q2(1q)2

i=

1p + pq

ddq

2qq2(1q)2

= 1p + pq

(22q)(1q)2+(2qq2)2(1q)(1q)4 =

1p + q

2((1q)2+2qq2)(1q)2 =

1p +

2q(1q)2 :

2X = EX2 [E (X)]2 = 1p + 2qp2 1p2 = p+2q1p2 = qp2 = 1pp2 :

4.4 Repartitia binomiala negativa

O generalizare a repartitiei geometrice este repartitia variabilei aleatoare Xreprezentnd numarul de probe Bernoulli necesare pentru aparitia celui de-alr-lea succes, unde r 2 N este dat.Pentru a determina pX (k) n acest caz, e A evenimentul ca primele k 1

probe sa dea exact r 1 succese, indiferent de ordinea lor, si B evenimentul caun succes sa apara la proba k. Atunci, datorita independentei,pX (k) = P (A \B) = P (A)P (B) :AvemP (B) = psiP (A) = pZ (r 1) = Cr1k1pr1qkr;unde Z B (k 1; p) :Obtinem

pX (k) = Cr1k1p

rqkr; k = r; r + 1; :::: (4.2)

Repartitia denita de relatia (4.2) se numeste repartitie binomiala negativasau Pascal si are parametrii r si p. Este adesea notata prin NB (r; p). Observamca ea se reduce la repartitia geometrica cnd r = 1:O varianta a acestei repartitii se obtine punnd Y = X r: Variabila

aleatoare Y este numarul de probe Bernoulli dincolo de r necesare pentru re-alizarea celui de-al r-lea succes, sau poate interpretata ca numarul de esecurinainte de cel de-al r-lea succes.Functia masa de probabilitate a lui Y , pY (m), e obtinuta din relatia (4.2)

nlocuind k prin m+ r :pY (m) = C

r1m+r1p

rqm = Cmm+r1prqm;m = 0; 1; 2; ::::

Variabila aleatoare Y are p;roprietatea convenabila ca valorile ei ncep de la0 si nu de la r ca valorile lui X:Reamintind o denitie mai generala a coecientului binomialCja =

a(a1):::(aj+1)j! ;8a 2 R; j 2 N;

avemCmm+r1 =

(m+r1)!m!(r1)! =

(m+r1)(m+r2):::rm! = (1)m (r)(r1):::(rm+1)m! =

(1)m Cmr:De aici,

pY (m) = Cmrp

r (q)m ;m = 0; 1; 2; :::;

38

acesta ind motivul pentru numele "repartitie binomiala negativa".Media si dispersia variabilei aleatoare X pot determinate observnd ca X

poate reprezentata prinX = X1 +X2 + :::+Xr;unde Xj este numarul de probe dintre cel de-al (j 1)-lea si (inclusiv) cel

de-al j-lea succes. Aceste variabile aleatoare sunt independente, ecare avndrepartitie geometrica n care media este 1p si dispersia

1pp2 . De aceea media

sumei este suma mediilor si, din independenta, dispersia sumei este suma dis-persiilor, adica:mX =

rp ;

2X =

r(1p)p2 :

Deoarece Y = X r, avem:mY =

rp r; 2Y = r(1p)p2 :

4.5 Repartitia multinomiala

O generalizare a probelor Bernoulli este sa relaxam cererea sa e doar douarezultate posibile pentru ecare proba. Fie r rezultate posibile pentru ecareproba, notate cu E1; E2;:::; Er si e P (Ei) = pi; i = 1; 2; :::; r cu p1+p2+:::+pr =1:Daca variabila aleatoare Xi; i = 1; 2; :::; r; reprezinta numarul de Ei ntr-o

succesiune de n probe, functia masa de probabilitate comuna a lui X1; X2; :::; Xreste data de

pX1X2:::Xr (k1; k2; :::; kr) =n!

k1!k2!:::kr!pk11 p

k22 :::p

krr ; (4.3)

unde kj = 0; 1; 2; :::; j = 1; 2; :::; r; si k1 + k2 + :::+ kr = n:Demonstratia formulei 4.3. Consideram evenimentul de a avea exact k1

rezultate E1; k2 rezultate E2; :::; kr rezultate Er n n probe. Acest evenimentpoate aparea n la fel de multe moduri precum numarul de moduri de a plasak1 litere E1; k2 litere E2; :::; kr litere Er n n cutii a. . ecare cutie sa aibaexact o litera. De aici, numarul de moduri cautat este produsul dintre numarulde moduri de a plasa k1 litere E1 n n cutii, numarul de moduri de a plasa k2litere n cele n k1 cutii ramase neocupate, s.a.m.d., adicaCk1n C

k2nk1 :::C

krnk1k2:::kr1 =

n!k1!(nk1)!

(nk1)!k2!(nk1k2)! :::

(nk1k2:::kr1)!kr!0!

=n!

k1!k2!:::kr!

si probabilitatea asociata cu ecare mod, datorita independentei, este pk11 pk22 :::p

krr :

Relatia (4.3) deneste functia masa de probabilitate comuna a repartitieimultinomiale, numita asa deoarece are forma temenului general din expansiuneamultinomiala a lui (p1 + p2 + :::+ pr)

n. Repartitia multinomiala se reduce larepartitia binomiala cnd r = 2, si cu p1 = p; p2 = q; k1 = k si k2 = n k:Deoarece Xi B (n; pi), avemmXi = npi;

2Xi= np1 (1 pi) ;

si se poate arata ca avemcov (Xi; Xj) = npipj ; i; j = 1; 2; :::; r; i 6= j:

39

4.6 Repartitia Poisson

Aceasta repartitie este folosita n modelele matematice pentru a descrie, ntr-uninterval de timp specic, evenimente ca emisia de particule dintr-o substantaradioactiva, sosirile de pasageri la un aeroport, distributia particulelor de prafntr-un anumit spatiu, sosirile de masini la o intersectie, si alte fenomene simi-lare.Pentru a xa ideile, consideram problema sosirii pasagerilor la o statie de

autobuz ntr-un interval de timp specicat. Notam X (0; t) numarul de sosiridin intervalul de timp [0; t); X (0; t) e o variabila aleatoare discreta lund valoriposibile 0; 1; 2; :::, iar repartitia ei depinde de t. Functia ei masa de probabilitatese scrie

pk (0; t) = P [X (0; t) = k] ; k = 0; 1; 2; :::; (4.4)

pentru a arata dependenta ei explicita de t.Facem urmatoarele ipoteze de baza:1) Daca t1 < t2 < ::: < tn, atunci variabilele aleatoareX (t1; t2) ; X (t2; t3) ; :::; X (tn1; tn)

sunt independente, adica, numerele de pasageri care sosesc n intervale de timpcare nu se suprapun sunt independente unul de celalalt.2) Pentru t sucient de mic,

p1 (t; t+t) = t+ o (t) ; (4.5)

unde o (t) este o functie a. .

limt!0

o (t)

t= 0: (4.6)

Aceasta ipoteza spune ca, pentru t sucient de mic, probabilitatea de aavea exact o sosire este proportionala cu lungimea t. Parametrul din relatia(4.5) este numit densitatea medie sau rata medie a sosirilor.3) Pentru t sucient de mic,

1Xk=2

pk (t; t+t) = o (t) : (4.7)

Aceasta conditie implica faptul ca probabilitatea de a avea doua sau maimulte sosiri ntr-un interval sucient de mic este neglijabila.Din relatiile (4.5) si (4.7) rezulta

p0 (t; t+t) = 11Xk=1

pk (t; t+t) = 1 t+ o (t) : (4.8)

Determinam p0 (0; t). Pentru a nu avea nicio sosire n intervalul [0; t+t),trebuie sa nu avem nicio sosire n ambele subintervale [0; t) si [t; t+t). Da-torita independentei sosirilor n intervale nesuprapuse avem

40

p0 (0; t+t) = p0 (0; t) p0 (t; t+t) = p0 (0; t) [1 t+ o (t)] : (4.9)

Rearanjnd relatia (4.9) si mpartind ambii membri prin t obtinemp0(0;t+t)p0(0;t)

t = p0 (0; t)h o(t)t

i:

Punnd t! 0, obtinem ecuatia diferentialadp0 (0; t)

dt= p0 (0; t) :

Solutia ei satisfacnd conditia initiala p0 (0; 0) = 1 este

p0 (0; t) = et: (4.10)

Determinarea lui p1 (0; t) este similara. O sosire n intervalul [0; t+t) poate ndeplinita doar avnd 0 sosiri n subintervalul [0; t) si o sosire n [t; t+t),sau o sosire n [0; t) si nicio sosire n [t; t+t). De aici avem

p1 (0; t+t) = p0 (0; t) p1 (t; t+t) + p1 (0; t) p0 (t; t+t) : (4.11)

nlocuind relatiile (4.5), (4.8) si (4.10) n relatia (4.11) obtinemp1 (0; t+t) = e

t (t+ o (t))+p1 (0; t) (1 t+ o (t)) =) p1(0;t+t)p1(0;t)t =et

+ o(t)t

+ p1 (0; t)

+ o(t)t

:

Punnd t! 0, obtinemdp1 (0; t)

dt= p1 (0; t) + et; p1 (0; 0) = 0; (4.12)

ceea ce conduce la

p1 (0; t) = tet: (4.13)

Continund n acest fel, gasim pentru termenul general

pk (0; t) =(t)

ket

k!; k = 0; 1; 2; :::: (4.14)

Relatia (4.14) da functia masa de probabilitate a lui X (0; t), numarul desosiri n intervalul de timp [0; t) cu conditiile de mai sus si deneste o repartitiePoisson cu parametrii si t. Parametrii si t pot nlocuiti de un singurparametru = t si astfel putem scrie

pk (0; t) =ke

k!; k = 0; 1; 2; :::: (4.15)

Media lui X (0; t) este

41

E (X (0; t)) =1Xk=0

kpk (0; t) = e

1Xk=0

kk

k!= e

1Xk=1

k1

(k 1)! = ee = :

(4.16)Calculam si dispersia:

EX2 (0; t)

=

1Xk=0

k2pk (0; t) = e

1Xk=0

k2k

k! = e

1Xk=1

kk

(k1)! = e" 1Xk=1

(k1)k(k1)! +

1Xk=1

k

(k1)!

#=

e"2

1Xk=2

k2(k2)! +

1Xk=1

k1(k1)!

#= e

2e + e

= 2 + :

2X(0;t) = EX2 (0; t)

[E (X (0; t))]2 = : (4.17)Din relatia (4.16) se vede ca parametrul este egal cu media numarului de

sosiri pe unitatea de timp; numele "rata medie a sosirilor" pentru este astfeljusticat. n determinarea valorii acestui parametru ntr-o problema data, elpoate estimat din observatii prin mn , unde m este numarul observat de sosirin n unitati de timp. Similar, deoarece = t, reprezinta numarul mediu desosiri n intervalul de timp [0; t) :Din relatiile (4.16) si (4.17) se vede ca media si dispersia cresc cnd rata

medie creste. n gura alaturata e reprezentata functia masa de probabilitatepentru repartitia Poisson pentrua) = 0; 5;b) = 1;c) = 4:

42

n general, daca examinam raportul pk(0;t)pk1(0;t) , cum am facut la repartitiabinomiala, se arata ca pk (0; t) creste si apoi descreste cnd k creste,atingndu-si maximul cnd k = [] :

43

Tabelul A.2 din gurile de mai jos da functia masa de probabilitate a repar-titiei Poisson pentru anumite valori ale lui dintre 0; 1 si 10. Pentru = 10,avem p23 (0; t) = 0; 0002 si p24 (0; t) = 0; 0001. n loc de "t" n tabelul A.2 seva citi "".

44

Teorema 4.2. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente avndrepartitii Poisson cu parametrii 1, respectiv 2, atunci variabila aleatoare Y =X1 +X2 are repartitie Poisson cu parametrul 1 + 2.Propozitie. Daca o variabila aleatoare X este repartizata Poisson cu para-

metrul , atunci o variabila aleatoare Y , care este obtinuta din X selectnddoar cu probabilitatea p ecare din itemii numarati de X, este de asemenearepartizata Poisson cu parametrul p:Demonstratie. Dat ind ca X = r, repartitia lui Y este binomiala cu

parametrii r si p, deci:P (Y = kjX = r) = Ckr pk (1 p)rk ; k = 0; 1; 2; :::; r:Din teorema probabilitatii totale avem

P (Y = k) =1Xr=k

P (Y = kjX = r)P (X = r) =1Xr=k

Ckrpk(1p)rkre

r!

r=n+k=

1Xn=0

Ckn+kpk(1p)nn+ke

(n+k)! =(p)ke

k!

1Xn=0

[(1p)]nn! =

(p)kee(1p)

k! =(p)kep

k! ; k =

0; 1; 2; ::::Aceasta propozitie poate folosita, de exemplu, pentru situatii n care Y e

numarul de urmasi ai unei insecte cnd X e numarul de oua depuse, sau Y enumarul de uragane dezastruoase cnd X e numarul total de uragane care aparntr-un an dat, sau Y e numarul pasagerilor care nu pot urca la bordul unuizbor dat din cauza suprarezervarilor, cnd X este numarul de sosiri de pasageri.

4.6.1 Repartitii spatiale

Repartitia Poisson a fost data pe baza sosirilor n timp, dar acelasi argument seaplica la repartitia punctelor n spatiu. Consideram repartitia defectelorntr-un material. Numarul de defecte ntr-un anumit volum are o repartitiePoisson daca ipotezele 1-3 sunt valide, cu intervalele de timp nlocuite de volume,

45

si este rezonabil sa presupunem ca probabilitatea de a gasi k defecte n oriceregiune depinde numai de volum si nu de forma regiunii.Alte situatii zice n care repartitia Poisson e folosita includ numarul de

bacterii pe o placa Petri, repartitia fertilizatoarelor mprastiate cu avionul peun cmp si repartitia poluantilor industriali ntr-o regiune data.

4.6.2 Aproximarea Poisson a repartitiei binomiale

Fie X B (n; p).pX (k) = C

knp

k (1 p)nk ; k = 0; 1; 2; :::; n:Consideram cazul cnd n ! 1 si p ! 0 a. . np = ramne xat.

Observam ca este media lui X, care e presupusa a ramne constanta. AtuncipX (k) = C

kn

n

k 1 n

nk; k = 0; 1; 2; :::; n:

Deoarece n!1, factorialele n! si (n k)! care apar n Ckn = n!k!(nk)! pot aproximate prin formula lui Stirlingn! = (2) 12 ennn+ 12 :Obtinem

pX (k) = (2)12 ennn+

12

k!(2)12 en+k(nk)nk+12

n

k 1 n

nk=

k

k!ek

n

nknk+ 12

1 nnk

:

Deoarecelimn!1

1 + cn

n= ec;

avem

limn!1

n

nknk+ 12

= 1limn!1(1

kn )

nk+12= 1

limn!1(1

kn )

n limn!1

nk+12

n

= 1ek ;

limn!1

1 n

nk=hlimn!1

1 n

ni limn!1 nkn = e:ObtinempX (k) = kek! ; k = 0; 1; ::::Aceasta aproximare Poisson a repartitiei binomiale usureaza calculele si se

foloseste n practica atunci cnd n > 10 si p < 0; 1. Repartitia Poisson sigaseste aplicabilitate n acest caz n probleme n care probabilitatea aparitieiunui eveniment este mica. De aceea, repartitia Poisson se mai numeste adesearepartitia evenimentelor rare.

46

5 Principalele repartitii continue, cu densitatide repartitie si proprietatile lor

5.1 Repartitia uniforma

O variabila aleatoare continua X are repartitie uniforma pe un interval de laa la b (b > a) daca este egal probabil sa ia orice valoare din acest interval.Densitatea lui X este constanta pe intervalul [a; b] si are forma

fX (x) =

c; daca x 2 [a; b] ;0; altfel.

DeoareceZ 11

fX (x) dx =

Z a1

0dx+

Z ba

cdx+

Z 1b

0dx = 0+ cxjba+0 = c (b a) ;din conditiaZ 11

fX (x) dx = 1

obtinemc = 1ba :Deci

fX (x) =

1ba ; daca x 2 [a; b] ;0; altfel.

(5.1)

Dupa cum vedem din gura de mai jos, este constanta pe [a; b] si naltimeatrebuie sa e 1ba pentru ca aria de sub densitate sa e 1:

Functia de repartitie a lui X este

47

FX (x) =

Z x1

fX (u) du =

8>>>>>>>>>>>:

Z x1

0du = 0; daca x < a;Z a1

0du+

Z xa

1badu = 0 +

uba jxa = xaba , daca x 2 [a; b] ;Z a

10du+

Z ba

1badu+

Z xb

0du = 0 + 1 + 0 = 1, daca x > b:

Deci

FX (x) =

8 b;

(5.2)

ceea ce este prezentat grac n gura urmatoare.

Media si dispersia lui X sunt

mX =

Z 11

xfX (x) dx =

Z a1

0dx+

Z ba

xbadx+

Z 1b

0dx = 0+ x2

2(ba) jba+0 = b

2a22(ba) =

a+b2 :

2X =

Z 11

(xmX)2 fX (x) dx =Z a1

0dx + 1ba

Z ba

(xmX)2 dx +Z 1b

0dx = 0+ 1ba (xmX)3

3 jba+0 = (bmX)3(amX)33(ba) =

(ba)[(bmX)2+(bmX)(amX)+(amX)2]3(ba) =

13

hba2

2 ba2 2 + ba2 2i = (ba)212 :Repartitia uniforma e una dintre cele mai simple repartitii si e folosita de

obicei n situatii unde nu este niciun motiv de a da probabilitati inegale la valoriposibile luate de variabila aleatoare pe un interval dat. De exemplu, timpul desosire a unui zbor poate considerat uniform repartizat pe un anumit intervalde timp, sau repartitia distantei de la locul ncarcaturilor vii pe un pod laun suport terminal poate reprezentata adecvat printr-o repartitie uniforma

48

pe ntinderea podului. Adesea se ataseaza o repartitie uniforma unei anumitevariabile aleatoare din cauza unei lipse de informatie, dincolo de cunoastereaintervalului de valori.

5.1.1 Repartitia uniforma bivariata

Fie variabila aleatoare X repartizata uniform pe un interval [a1; b1] si variabilaaleatoare Y repartizata uniform pe un interval [a2; b2]. Mai mult, presupunemca sunt independente. Atunci densitatea comuna a lui X si Y este

fXY (x; y) = fX (x) fY (y) =

1(b1a1)(b2a2) , pentru x 2 [a1; b1] si y 2 [a2; b2] ;0, altfel.

(5.3)Ia forma unei suprafete plate marginita de [a1; b1] de-a lungul axei Ox si

[a2; b2] de-a lungul axei Oy.

5.2 Repartitia Gaussiana sau normala

Cea mai importanta repartitie n teorie ca si n aplicatii este repartitiaGaussianasau normala. O variabila aleatoare X este Gaussiana sau normala daca aredensitatea de forma

fX (x) =1

p2exp

" (xm)

2

22

#; 1 < x 0. Alegerea acestor simboluriparticulare ca parametri va deveni clara imediat.Functia de repartitie corespunzatoare este

FX (x) =1

p2

Z x1

exp

" (um)

2

22

#du; 1 < x

Gracul densitatii fX n acest caz particular este o curba n forma de clopot,simetrica n jurul originii.Calculam media si dispersia lui X.

E (X) =

Z 11

xfX (x) dx =1

p2

Z 11

x exph (xm)222

idx

xm =u=

1p2

Z 11

(u+m) expu22

du = 1p

2

26664Z 11

u exp

u

2

2

| {z }

impara

du+m

Z 11

expu22

du

37775 =1p2

0 +mp2 = m:

var (X) =

Z 11

[x E (X)]2 fX (x) dx = 1p2Z 11

(xm)2 exph (xm)222

idx

xm =u=

1p2

Z 11

2u2 expu22

du = 2p

2

Z 11

u2 expu22

du = 2p

2

Z 11

uexp

u22

0du =

2p2

u exp

u22

j11

Z 11

expu22

du

= 2p

2

0p2 = 2:

Vedem astfel ca cei doi parametri m si din repartitie sunt media si re-spectiv deviatia standard a lui X. Aceasta observatie justica alegerea noastraa acestor simboluri speciale pentru ei si de asemenea pune n evidenta o pro-prietate importanta a repartitiei normale - cunoasterea mediei si dispersiei ei

50

caracterizeaza complet repartitia normala. Deoarece ne vom referi frecvent larepartitia normala, o notam cu N

m;2

: De exemplu, X N (0; 9) nseamna

ca X are densitatea data de relatia (5.4) cu m = 0 si = 3.Se poate arata ca momentele centrate ale lui X N m;2 sunt

n =

0, daca n e impar,1 3 ::: (n 1)n, daca n e par. (5.6)

Coecientul de exces 2 =44 3 este 0 pentru o repartitie normala. De

aceea ea este folosita ca repartitie de referinta pentru 2.

5.2.1 Teorema limita centrala

Marea importanta practica a repartitiei normale provine din teorema limitacentrala.Teorema 5.1 (Teorema limita centrala) (Lindberg 1922). Fie fXng

un sir de variabile aleatoare independente si identic repartizate cu mediile m sidispersiile 2. Fie

Y =nXj=1

Xj ;

si e variabila aleatoare normalizata Z denita ca

Z =Y nmpn:

Atunci functia de repartitie a lui Z, FZ (z), converge la N (0; 1) cnd n!1pentru orice z xat.Acest rezultat poate extins n cteva directii, incluznd cazurile n care Y

este o suma de variabile aleatoare dependente si neidentic repartizate.Teorema limita centrala descrie o clasa foarte generala de fenomene aleatoare

pentru care repartitiile pot aproximate cu repartitia normala. Cnd pro-prietatea de a aleator a unui fenomen zic este cumularea a multor efectealeatoare aditive mici, el tinde la o repartitie normala, indiferent de repartitiileefectelor individuale. De exemplu, consumul de combustibil la toate automo-bilele unei anumite marci, presupus fabricate prin procese identice, difera dela un automobil la altul. Aceasta proprietate de a aleator provine de la olarga varietate de surse, incluznd, printre alte lucruri: inexactitatile inerenten procesele de fabricare, neuniformitatile n materialele folosite, diferentele ngreutate si alte specicatii, diferente n calitatea combustibilului si diferenten comportamentul soferilor. Daca se accepta faptul ca ecare dintre acestediferente contribuie la proprietatea de a aleator a consumului de combustibil,teorema limita centrala ne spune ca el tinde la o repartitie normala. Din acelasimotiv, variatiile de temperatura dintr-o camera, erorile de citire asociate cu uninstrument, erorile de tintire ale unei anumite arme, s.a.m.d. pot aproximaterezonabil prin repartitii normale.

51

5.2.2 Tabele de probabilitati

Datorita importantei sale, suntem adesea pusi n situatia sa evaluam probabil-itatile asociate cu o variabila aleatoare normala X N m;2, ca

P (a < X b) = 1p2

Z ba

exp

" (xm)

2

22

#dx: (5.7)

Integrala de mai sus nu poate calculata analitic si este n general calcu-lata numeric. Pentru comoditate sunt date tabele care ne permit sa calculamprobabilitati ca cea din relatia (5.7).Tabelarea functiei de repartitie pentru repartitia normala cu m = 0 si = 1

este data n tabelul A.3 din gura urmatoare.

O variabila aleatoare cu repartitia N (0; 1) se numeste variabila aleatoarenormala standardizata si o vom nota cu U . Tabelul alaturat da FU (u) doarpentru punctele din partea dreapta a repartitiei (adica pentru u 0). Valorilecorespunzatoare pentru u < 0 sunt obtinute din proprietatea de simetrie arepartitiei normale standardizate, din relatia

FU (u) = 1 FU (u) : (5.8)

52

Mai nti, tabelul mpreuna cu relatia (5.8) pot folosite pentru a determinaP (a < U b) pentru orice a si b. De exemplu,P (1; 5 < U 2; 5) = FU (2; 5)FU (1; 5) (5.8)= FU (2; 5)[1 FU (1; 5)] tabel=

0; 9938 1 + 0; 9332 = 0; 927:Mai important, tabelul si relatia (5.8) sunt de asemenea suciente pentru a

determina probabilitatile asociate cu variabilele aleatoare normale cu medii sidispersii arbitrare.Teorema 5.2. Fie X N m;2. Atunci Xm N (0; 1), adica

U =X m

: (5.9)

Teorema 5.2 implica faptul ca, daca X N m;2, atunciP (a < X b) = P (a < U +m b) = P

am

< U bm

: (5.10)

Valoarea din membrul drept poate gasita acum din tabel cu ajutorul re-latiei (5.8), daca este necesar.Exemplul 5.1. Sa calculam P (m k < X m+ k), undeX N m;2.

P (m k < X m+ k) (5.10)= P (k < U k) = FU (k)FU (k) (5.8)= 2FU (k)1:(5.11)

Observam ca rezultatul din exemplul 5.1 este independent de m si sieste functie doar de k. Astfel, probabilitatea ca X sa ia valori ntre k deviatiistandard n jurul mediei sale depinde numai de k si este data de ecuatia (5.11).Se vede din tabel ca aproximativ 68; 3%; 95; 5% si 99; 7% din aria de sub odensitate normala se aa n zonele m ;m 2, respectiv m 3, dupa cumse vede din gurile (a)-(c) urmatoare.

53

De exemplu, sansele sunt de aproximativ 99; 7% ca o mostra selectata aleatordintr-o repartitie normala sa e n regiunea m 3 (gura (c)).

5.2.3 Repartitia normala multivariata

Doua variabile aleatoare X si Y se numesc comun normale daca densitateacomuna a lor are forma

fXY (x; y) =1

2XYp1 2 exp

( 12 (1 2)

"xmXX

2 2 (xmX) (y mY )

XY+

y mYY

2#);

(5.12)unde (1;1) < (x; y) < (1;1). Relatia (5.12) descrie repartitia nor-

mala bivariata. Sunt cinci parametri asociati cu ea: mX ;mY ; X (> 0) ; Y(> 0) ; si (jj 1). O reprezentare graca tipica a acestei densitati, pentrumX = mY = 0 si X = Y este n gura urmatoare.

54

Densitatea marginala a variabilei aleatoare X este

fX (x) =

Z 11

fXY (x; y) dy =1

Xp2exp

" (xmX)

2

22X

#; 1 < x

Aceasta proprietate nu este valabila n general.Avem repartitie normala multivariata cnd cazul a doua variabile aleatoare

e extins la cel implicnd n variabile aleatoare.Fie n variabile aleatoare, X1; X2; :::; Xn. Ele se numesc comun normale daca

densitatea lor comuna e de forma

fX1X2:::Xn (x1; x2; :::; xn) = fX (x) = (2)n2 jj 12 exp

12(xm)T 1 (xm)

; 1 < x

5.3 Repartitia lognormala

Am vazut ca repartitii normale rezulta din sume de multe actiuni aleatoare.Consideram acum un alt fenomen obisnuit care este rezultanta multor efectealeatoare multiplicative. Un exemplu de fenomen multiplicativ este studiul deoboseala a materialelor unde avaria interna a materialului la o anumita etapa dencarcare este o proportie aleatoare din avaria de la etapa precedenta. n biolo-gie, repartitia marimii unui organism este alt exemplu pentru care cresterea estesubiectul multor impulsuri, ecare dintre acestea ind proportional cu marimeamomentana. Alte exemple includ repartitia marimii particulelor sub forte deimpact sau impulsive, repartitia vietii componentelor mecanice, repartitia ven-iturilor personale datorita ajustarilor anuale, si alte fenomene similare.Sa consideram

Y = X1X2:::Xn: (5.13)

Suntem interesati de repartitia lui Y cnd n devine mare, iar variabilelealeatoare Xj ; j = 1; 2; :::; n, pot lua numai valori pozitive.Logaritmnd ambii membri, relatia (5.13) devine

lnY = lnX1 + lnX2 + :::+ lnXn:

Din teorema limita centrala rezulta ca lnY tinde la o repartitie normalacnd n!1. Repartitia lui Y este astfel determinata din

Y = eX ; (5.14)

unde X este o variabila aleatoare normala.Denitia 5.1. Fie X N mX ; 2X. Variabila aleatoare Y = eX se spune

ca are repartitie lognormala.Densitatea lui Y este

fY (y) =

(1

yXp2exp

h 122X

(ln y mX)2i, pentru y > 0;

0, altfel.(5.15)

Relatia (5.15) arata ca Y are o repartitie unilaterala (adica ia valori numain zona pozitiva a lui y). Aceasta proprietate o face atractiva pentru cantitatizice care sunt restrictionate sa aiba doar valori pozitive. n plus, fY (y) ia multeforme diferite pentru valori diferite ale lui mX si X (X > 0). Dupa cum sevede din gura urmatoare, care da gracele lui fY pentru mX = 0 si 3 valoriale lui 2X , densitatea lui Y este asimetrica spre dreapta, aceasta caracteristicadevenind mai pronuntata cnd X creste.

57

Parametrii mX si X care apar n densitatea lui Y sunt media si deviatiastandard a lui X, sau lnY , dar nu ale lui Y . Pentru a obtine o pereche mainaturala de parametri pentru fY (y), observam ca, daca medianele lui X si Ysunt notate cu X , respectiv Y , denitia medianei unei variabile aleatoare da

12 = P (Y Y ) = P (X ln Y ) = P (X X) ;de unde

ln Y = X :

Deoarece, datorita simetriei repartitiei normale,X = mX ;putem scrie

mX = ln Y :

Scriind X = lnY , densitatea lui Y poate scrisa

58

fY (y) =

(1

ylnYp2exp

h 122lnY

ln2yY

i, pentru y > 0;

0, altfel.

n termeni de Y si lnY , media si dispersia lui Y sunt

mY = Y exp2lnY2

;

2Y = m2Y

exp

2lnY

1 :5.3.1 Tabele de probabilitati

Datorita legaturii dintre repartitia normala si repartitia lognormala prin re-latia (5.14), calculele de probabilitati implicnd o variabila aleatoare repartizatalognormal pot facute cu ajutorul tabelului de probabilitati pentru variabilealeatoare normale.Consideram functia de repartitie a lui Y . Avem

FY (y) = P (Y y) = P (X ln y) = FX (ln y) ; y > 0:Deoarece media lui X este ln Y si dispersia lui X este 2lnY , avem

FY (y) = FU

ln y ln YlnY

= FU

1

lnYln

y

Y

; y > 0: (5.16)

Deoarece FU este tabelata, relatia (5.16) poate folosita pentru calcule deprobabilitati asociate cu Y , cu ajutorul tabelului probabilitatii normale.

5.4 Repartitia gamma si repartitii n legatura cu aceasta

Repartitia gamma este unilaterala si densitatea asociata cu ea este

fX (x) =

()x1ex, pentru x > 0;

0, altfel,(5.17)

unde () este functia gamma:

() =

Z 10

u1eudu;

care este tabelata, si

(n) = (n 1)!;8n 2 N:Parametrii distributiei gamma sunt si ; ambii sunt pozitivi. Deoarece

repartitia gamma este unilaterala, cantitatile zice care pot lua doar valori poz-itive sunt frecvent modelate de ea, servind ca model util datorita versatilitatiiei n sensul ca o varietate larga de forme ale densitatii gamma poate obtinutavariind valorile lui si , dupa cum arata gurile (a) si (b) urmatoare.

59

Observam din aceste guri ca determina forma repartitiei n timp ce este un parametru de scara pentru repartitie. n general, densitatea gammaeste unimodala, cu vrful n x = 0 pentru 1 si n x = 1 pentru > 1:Se poate arata ca repartitia gamma este un model pentru timpul cerut pen-

tru un total de exact sosiri Poisson. Datorita largii aplicabilitati a sosirilorPoisson, repartitia gamma are de asemenea numeroase aplicatii.Functia de repartitie a variabilei aleatoare X avnd repartitia gamma este

FX (x) =

8 0;

0, altfel.(5.18)

(; u) este functia gamma incompleta,

(; u) =

Z u0

x1exdx;

care este de asemenea tabelata.Media si dispersia variabilei aleatoare gamma repartizate X sunt

mX =

; 2X =

2: (5.19)

60

5.4.1 Repartitia exponentiala

Cnd = 1, densitatea gamma data de relatia (5.17) se reduce la forma expo-nentiala

fX (x) =

ex, pentru x > 0;0, altfel,

(5.20)

unde > 0 este parametrul repartitiei. Functia de repartitie, media sidispersia ei se obtin din relatiile (5.18) si (5.19) punnd = 1:

FX (x) =

1 ex, pentru x 0;0, altfel,

(5.21)

mX =1

; 2X =

1

2: (5.22)

Timpul ntre sosiri Fie variabila aleatoare X (0; t), numarul de sosiri nintervalul de timp [0; t) si presupunem ca este repartizata Poisson. Fie T vari-abila aleatoare care da intervalul de timp dintre 2 sosiri succesive. Functia eide repartitie este, din denitie

FT (t) = P (T t) =1 P (T > t) , pentru t 0;0, altfel.

Evenimentul T > t e echivalent cu evenimentul ca nu e nicio sosire n inter-valul de timp [0; t), sauX (0; t) = 0. Deoarece, din relatia (4.10), P (X (0; t) = 0) =et, avem

FT (t) =

1 et, pentru t 0;0, altfel.

Comparnd aceasta expresie cu relatia (5.21), putem stabili ca timpul ntre 2sosiri Poisson succesive are o repartitie exponentiala; parametrul din repartitialui T este rata medie a sosirilor Poisson.Deoarece timpurile ntre sosiri Poisson sunt independente, timpul cerut pen-

tru un total de n sosiri Poisson este o suma de n variabile aleatoare independentesi repartizate exponential. Fie Tj ; j = 1; 2; :::; n, timpul ntre sosirile j 1 si j.Timpul cerut pentru un total de n sosiri, notat cu Xn este

Xn = T1 + T2 + :::+ Tn;

unde Tj ; j = 1; 2; :::; n, sunt independente si repartizate exponential cu ace-lasi parametru . Se poate arata ca Xn este gamma repartizata cu = n si = . Astfel, repartitia gamma este potrivita pentru a descrie timpul cerutpentru un total de sosiri Poisson.

61

Fiabilitatea si legea de defectare exponentiala n studiile de abilitate,timpul pna la defectarea unui component zic sau un sistem este repartizatexponential, daca unitatea se defecteaza imediat ce un singur eveniment, ca de-fectarea unui component, apare, presupunnd ca astfel de fenomene se ntmplaindependent.Fie variabila aleatoare T , timpul pna la defectarea unui component sau

sistem. Functia care da probabilitatea de defectiune n timpul unei cresteri micide timp, presupunnd ca nicio defectiune nu a aparut nainte de acel timp enotata cu h (t) si se numeste functia hazard sau rata defectarii si este denitade

h (t) dt = P (t < T t+ dtjT t) ;ceea ce da

h (t) =fT (t)

1 FT (t) : (5.23)

n studiile de abilitate, o functie hazard potrivita pentru multe fenomeneia asa numita "forma de cada", aratata n gura urmatoare.

Portiunea initiala a curbei reprezinta "mortalitatea infantila", atribuibiladefectelor componente si imperfectiunilor de fabricare. Portiunea relativ con-stanta a curbei h (t) reprezinta perioada "n uz", n care defectiunea este n-tmplatoare. Defectiunea din uzura de lnga sfrsitul vietii componentului estearatata ca portiunea crescatoare a curbei h (t). Fiabilitatea sistemului poate

62

optimizata prin testarea initiala a defectelor, nainte punerea n functiune, pnala timpul t1, pentru a evita defectarea prematura, si prin nlocuirea partiala latimpul t2 pentru a evita uzura.Aratam ca legea de defectare exponentiala este potrivita n timpul perioadei

"n uz" a vietii normale a unui sistem. nlocuindfT (t) = e

t

siFT (t) = 1 etn relatia (5.23) avem

h (t) = :

Observam ca parametrul din repartitia exponentiala joaca rolul unei ratede defectare constante.Am vazut ca repartitia gamma este potrivita pentru a descrie timpul pentru

un total de sosiri Poisson. n contextul legilor de defectare, repartitia gammapoate gndita ca o generalizare a legii de defectare exponentiala pentru sistemece se defecteaza imediat de evenimente esueaza, presupunnd ca evenimenteleau loc n concordanta cu legea Poisson. Astfel, repartitia gamma este potrivitaca model al timpului pna la defectare pentru sisteme care au o unitate carefunctioneaza si 1 unitati n standby; aceste unitati intra n functionare pernd, pe masura ce se defecteaza celelalte si ecare are o repartitie exponentialaa timpului pna la defectare.

5.4.2 Repartitia chi-patrat

Alt caz special important al repartitiei gamma este repartitia chi-patrat (2),obtinuta punnd = 12 si =

n2 n relatia (5.17), unde n 2 N. Repartitia 2

contine astfel un parametru n si are densitatea de forma

fX (x) =

(1

2n2 (n2 )

xn21e

x2 , pentru x > 0;

0, altfel.(5.24)

Parametrul n este numarul de grade de libertate. Utilitatea acestei repartitiiprovine din faptul ca o suma de patrate de n variabile aleatoare normale stan-dardizate are o repartitie 2 cu n grade de libertate; adica, daca U1; U2; :::; Unsunt independente si repartizate N (0; 1), atunci suma

X = U21 + U22 + :::+ U

2n (5.25)

are o repartitie 2 cu n grade de libertate.Datorita acestei relatii, repartitia 2 este una dintre principalele unelte n

inferenta statistica si testarea ipotezelor.Densitatea din relatia (5.24) este reprezentata n gura urmatoare pentru

cteva valori ale lui n:

63

Se observa ca, cnd n creste, forma lui fX (x) devine mai simetrica. Dinrelatia (5.25), deoarece X poate exprimata ca o suma de variabile aleatoareidentic repartizate, ne asteptam ca repartitia 2 sa tinda la o repartitie normalacnd n!1 pe baza teoremei limita centrala.Media si dispersia unei variabile aleatoare X avnd o repartitie 2 cu n grade

de libertate se obtin din relatia (5.19):

mX = n; 2X = 2n:

5.5 Repartitia beta si repartitii n legatura cu aceasta

Repartitia beta este caracterizata de densitatea

fX (x) =

((+)()()x

1 (1 x)1 , pentru 0 < x < 1;0, altfel,

(5.26)

unde parametrii si sunt pozitivi. Numele repartitiei vine de la functiabeta denita prin

B (; ) = () ()

(+ ):

64

Ambii parametri si dau forma repartitiei; diferite combinatii ale valorilorlor permit densitatii sa ia o larga varietate de forme. Cnd ; > 1, repartitiaeste unimodala, cu vrful n x = 1+2 : Devine n forma de U cnd ; < 1;este n forma de J cnd 1 si < 1; ia forma unui J ntors cnd < 1si 1. n sfrsit, ca un caz special, repartitia uniforma pe intervalul (0; 1)rezulta cnd = = 1. Unele din aceste forme posibile sunt n gurile (a),pentru = 2, si (b) urmatoare.

Media si dispersia unei variabile aleatoare beta repartizate X sunt

mX =

+ ;

2X =

(+)2(++1):

(5.27)

Datorita versatilitatii ei ca o repartitie pe un interval nit, repartitia betaeste folosita pentru a reprezenta un mare numar de cantitati zice pentru carevalorile sunt restrictionate la un interval identicabil. Cteva din ariile de apli-care sunt limitele de toleranta, controlul calitatii si abilitatea.Presupunem ca un fenomen aleator Y poate observat independent de n

ori si dupa ce aceste n observatii independente sunt ordonate crescator, ey1 y2 ::: yn valorile lor. Daca variabila aleatoare X este folosita pentru anota proportia din Y care ia valori ntre yr si yns+1, se poate arata ca X areo repartitie beta cu = n r s+ 1 si = r + s, adica

65

fX (x) =

((n+1)

(nrs+1)(r+s)xnrs (1 x)r+s1 , pentru 0 < x < 1;

0, altfel.

5.5.1 Tabele de probabilitati

Functia de repartitie asociata repartitiei beta este

FX (x) =

8>>>:0, pentru x 0;(+)()()

Z x0

u1 (1 u)1 du, pentru 0 < x < 1;1, pentru x 1:

(5.28)

Are de asemenea forma unei functii beta incomplete pentru care valorilepentru valori date ale lui si pot gasite din tabele matematice. Functiabeta incompleta e notata de obicei cu Ix (; ). Notnd FX (x) cu parametrii si cu F (x;; ), daca , atunci

F (x;; ) = Ix (; ) :

Daca < , atunci

F (x;; ) = 1 I(1x) (; ) :O alta metoda de evaluare a lui FX (x) din relatia (5.28) este de a observa

similaritatea n forma dintre fX (x) si pY (k) a unei variabile aleatoare binomialeY , pentru cazul cnd ; 2 N. Din relatia (4.1),

pY (k) =n!

k! (n k)!pkqnk; k = 0; 1; 2; :::; n: (5.29)

Din relatia (5.26), pentru cazul cnd ; 2 N, obtinem

fX (x) =(+ 1)!

( 1)! ( 1)!x1 (1 x)1 ; ; = 1; 2; :::; 0 < x < 1;

si stabilim relatia

fX (x) = (+ 1) pY (k) ; ; = 1; 2; :::; 0 < x < 1;unde pY (k) este evaluata n k = 1, cu n = + 2 si p = x. De

exemplu, valoarea fX (0; 5) cu = 2 si = 1 este egala cu 2pY (1) cu n = 1 sip = 0; 5; aici pY (1) = 0; 5 din relatia (5.29), deci fX (0; 5) = 1:Similar avem

FX (x) = 1 FY (k) ; ; = 1; 2; :::; 0 < x < 1;cu k = 1, n = + 2 si p = x. Functia de repartitie FY a unei

variabile aleatoare binomiale Y este de asemenea tabelata si poate folositapentru a avantaja aici evaluarea lui FX (x) asociata cu repartitia beta.

66

5.5.2 Repartitia beta generalizata

Repartitia beta poate generalizata de la una restrictionata la intervalul (0; 1)la una acoperind un interval arbitrar (a; b). Fie Y o variabila aleatoare betageneralizata. Avem

Y = (b a)X + a; (5.30)unde X este beta repartizata n conformitate cu relatia (5.26). Deoarece

relatia (5.30) este o transformare monotona de la X la Y , avem

fY (y) =

((+)

(ba)+1()() (y a)1

(b y)1 , pentru a < y < b;0, altfel.

(5.31)

5.6 Repartitii de valori extreme

Cineva preocupat de siguranta unei structuri este adesea interesat de ncarca-tura maxima si stresul maxim n membrii structurii. n studiile de abilitate,repartitia vietii unui sistem avnd n componente n serie (cnd sistemul se de-fecteaza daca o componenta se defecteaza) este o functie de minimul timpilorpna la defectarea componentelor, n timp ce pentru un sistem cu aranjamentparalel (unde sistemul se defecteaza cnd toate componentele se defecteaza) edeterminata de repartitia maximului timpilor pna la defectarea componentelor.Aceste exemple puncteaza preocuparea cu repartitiile maximului sau minimuluivalorilor unui numar de variabile aleatoare.Fie Xj , j = 1; 2; :::; n, variabile aleatoare independente si identic repartizate

cu functia de repartitie FX (x) si densitatea fX (x) sau masa pX (x) si

Yn = max (X1; X2; :::; Xn) ;Zn = min (X1; X2; :::; Xn) :

Functia de repartitie a lui Yn este

FYn (y) = P (Yn y) = P (X1 y \X2 y \ ::: \Xn y) indep.= P (X1 y)P (X2 y) :::P (Xn y) =FX1 (y)FX2 (y) :::FXn (y) = [FX (y)]

n:

Deci

FYn (y) = [FX (y)]n

Daca Xj sunt continue, densitatea lui Yn este

fYn (y) =dFYn (y)

dy= n [FX (y)]

n1fX (y) :

Functia de repartitie a lui Zn este

FZn (z) = P (Zn z) = P (X1 z [X2 z [ ::: [Xn z) = 1P (X1 > z \X2 > z \ ::: \Xn > z) indep.=1P (X1 > z)P (X2 > z) :::P (Xn > z) = 1[1 FX1 (z)] [1 FX2 (z)] ::: [1 FXn (z)] =1 [1 FX (z)]n :

67

Deci

FZn (z) = 1 [1 FX (z)]n :Daca Xj sunt continue, densitatea lui Zn este

fZn (z) = n [1 FX (z)]n1 fX (z) :

5.6.1 Repartitii asimptotice de tip I ale valorilor extreme

Repartitia asimptotica de tip I a valorilor maxime este repartitia limitei luiYn (cnd n ! 1) dintr-o repartitie initiala FX (x) a carei coada dreapta estenemarginita si este de tip exponential. Pentru acest caz, putem exprima FX (x)n forma

FX (x) = 1 exp [g (x)] ; (5.32)unde g (x) este o functie strict crescatoare de x. n aceasta categorie intra,

printre altele, repartitiile normala, lognormala si gamma.Fie

limn!1Yn = Y:

Teorema 5.6. Fie variabilele aleatoare X1; X2; :::; Xn independente si iden-tic repartizate cu aceeasi functie de repartitie FX (x). Daca FX (x) e de formadata de relatia (5.32), avem

FY (y) = exp f exp [ (y u)]g ; 1 < y 0 si u sunt 2 parametri ai repartitiei.u este modulul repartitiei, adica valoarea lui y n care fY (y) este maxima.

Media lui Y este

mY = u+

;

unde ' 0; 577 este constanta lui Euler. Dispersia lui Y este

2Y =2

62:

u este parametru de locatie si este parametru de scala al repartitiei. Co-ecientul de asimetrie este n acest caz 1 ' 1; 1396 si e independent de siu. Acest rezultat arata ca repartitia valorii maxime de tip I are o forma xa cuo coada dominanta spre dreapta. O forma tipica pentru fY (y) este aratata ngura urmatoare.

68

Repartitia asimptotica de tip I pentru valori minime este repartitia limiteilui Zn cnd n ! 1 dintr-o repartitie initiala FX (x) a carei coada stnga estenemarginita si este de tip exponential cnd descreste la 0 spre stnga. Unexemplu de FX (x) care apartine acestei clase este repartitia normala.Daca punem

limn!1Zn = Z;

functia de repartitie a lui Z are forma

FZ (z) = 1 exp f exp [ (z u)]g ; 1 < z 0 si u sunt din nou cei 2 parametri ai repartitiei.Repartitiile asimptotice de tip I pentru valori maxime si minime sunt imagini

n oglinda una celeilalte. Modulul lui Z este u si media, dispersia si coecientullui de asimetrie sunt

mY = u ;2Y =

2

62 ;

1 ' 1; 1396:

Datorita largii aplicabilitati, repartitia valorii maxime de tip I este uneorinumita simplu repartitia valorii extreme.

5.6.2 Repartitii asimptotice de tip II ale valorilor extreme

Repartitia asimptotica de tip II a valorilor maxime apare ca repartitia limiteilui Yn cnd n ! 1 dintr-o repartitie initiala de tip Pareto, adica, FX (x) elimitata la stnga n 0 si coada ei dreapta este nemarginita si se apropie de 1conform

FX (x) = 1 axk; a; k; x > 0: (5.33)Pentru aceasta clasa

69

FY (y) = exp

yv

k; v; k; y > 0:

Cu FX (x) dat n relatia (5.33), ecare Xj are momente doar pna la ordinulr, unde r este cel mai mare ntreg mai mic dect k. Cnd k > 1, media lui Yeste

mY = v

1 1

k

;

si, cnd k > 2, dispersia are forma

2Y = v2

1 2

k

2

1 1

k

:

Fie YI si YII variabile aleatoare avnd repartitii asimptotice de tip I, respec-tiv II ale valorilor maxime. Atunci ele sunt legate prin

FYII (y) = FYI (ln y) ; y > 0;

iar parametrii si u din FYI (