Probabilitati

CAPITOLUL 1NOIUNI FUNDAMENTALE N TEORIA PROBABILITILOR

1. Experiment aleator. Spaiu de selecie

Definiie: Prin experiment aleator vom nelege orice aciune care poate fi repetat n condiii similare si n care nu se cunoate dinainte rezultatul ce va fi obtinut, dar se cunosc toate rezultatele posibile.

Exemple : Observarea pe un interval T de timp a funcionrii unui agregat

nregistrarea consumului de energie electric de ctre un mare combinat.

Definiie: Spaiul de selecie al unui experiment, notat prin E, este mulimea tuturor rezultatelor posibile ale experimentului.

Exemplu: Cel mai simplu experiment este acela n care sunt posibile dou rezultate. Un astfel de experiment const ,de exemplu, n verificarea unui transistor pentru a vedea dac este corespunztor sau nu. Spaiul de selecie al acestui experiment este: E = {C, D} (corespunztor, defect).

Exemplu: Un nou tip de baterie se consider corespunztoare dac are voltajul ntre anumite limite. Un experiment const n verificarea bateriilor ce ies de pe banda de fabricaie pn cnd se obine prima baterie defect. Spaiul de selecie n acest caz este:

E= { D, CD, CCD, ...}

unde D= bateria verificat este defect iar C = bateria este bun.

2. EvenimenteDefiniie : Un eveniment este orice submulime de rezultate, inclus n spaiul de selecie.

Un eveniment este elementar (sau simplu) dac el const exact dintr-un rezultat i compus dac const din mai multe rezultate.

Definiie : Evenimentul sigur este evenimentul care se realizeaz ntotdeauna ca rezultat al experienei; va fi notat cu E (se asociaz mulimii totale).Evenimentul imposibil nu se poate realiza ca rezultat al unei experiene; va fi notat cu ( (corespunde mulimii vide).

Definiie : Evenimentele A i B sunt compatibile dac se pot realiza simultan.

Definiie : Evenimentele A i B se numesc incompatibile dac nu se pot realiza simultan; scriem A ( B= (.De exemplu: un student nu poate fi in acelasi timp integralist si restantier.Definiie : Evenimentul A implic evenimentul B i scriem A ( B, dac realizarea evenimentului A implic realizarea evenimentului B.

Definiie : Dou evenimente A i B sunt echivalente dac A ( B i B ( A.

Exemplu : Un juctor la 6 din 49 cumpr 2 bilete (variante simple) pe care le completeaz astfel inct nu coincid toate cele 6 numerele pentru cele 2 bilete. El poate cstiga la categoria I (marele premiu-dac ghicete toate cele 6 numere pe un bilet), la categoria a II-a(dac ghicete 5 dintre cele 6 numere pe un bilet), la categoria a III-a(dac ghicete 4 numere dintre cele 6 pe un bilet) sau nu poate cstiga la nici una dintre categorii (ghicete cel mult 3 numere catigtoare). Notm Aij=jucatorul ctig la categoria i i categoria j (pentru noi este acelai lucru a ctiga la categoria I i II cu a ctiga la categoria II i I). Cazurile posibile ce pot aprea la extragere sunt: A00, A01, A02, A03, A12, A13, A22, A23, A33(evenimente simple).

Evenimentul sigur: E={ A00, A01, A02, A03, A12, A13, A22, A23, A33}.

Un eveniment compus: jucatorul ctig la cel mult o categorie; acest lucru nseamn {A00, A01, A02, A03} (este format din 4 evenimente simple).

Eveniment imposibil : ctig 2 premii la categoria I (sau are 3 bilete ctigtoare)

Evenimente incompatibile: A=juctorul ctig la 2 categorii diferite; B=juctorul nu ctig nimic; A={A12, A13, A23 } respectiv B={A00}=> AB=

Evenimente complementare: A=juctorul ctig la 2 categorii;B=juctorul ctig la cel mult o categorie; A={A12, A13, A23, A22, A33 } i B= {A00, A01, A02, A03}=> AB=, AB=E;

Evenimentul A=juctorul nu ctig nimicimplica evenimentul B=jucatorul ctig la cel mult o categorie; A={A00} si B= {A00, A01, A02, A03}=>AB.

Definiie : Vom numi reuniunea evenimentelor A1,A2,...,Ak i o vom nota prin

, evenimentul care se realizeaz cnd cel puin unul din evenimentele A1,A2,...,Ak se realizeaz.

Vom numi intersecie a evenimentelor A1,A2,...,Ak i o vom nota prin

evenimentul care se realizeaz cnd se realizeaz toate evenimentele A1, A2, ...,Ak

Consecine:

1.

2.Dac A ( B (

(

3.A ( B= (A ( B) ( (A (

) ( (

( B)

3. Definiia clasic a probabilitiiProbabilitatea unui eveniment este o cuantificare a posibilitii efective de realizare a evenimentului. Ea este legat de noiunea de frecven relativ .

S considerm un experiment n urma cruia poate sau nu s apar evenimentul A i s notm cu k numrul de realizri ale acestui eveniment n n repetri ale experienei.

Definiie : Raportul =k/n se numete frecvena relativ de apariie a evenimentului A.

Dup cum vom vedea mai departe, ((A) pentru valori mari ale lui n se stabilizeaz n jurul unei valori, numit probabilitatea evenimentului A. Acest rezultat i gsete justificarea n Legea numerelor mari .

Definiie : Un caz se numete favorabil pentru un eveniment, dac apariia sa antreneaz realizarea evenimentului respectiv.

Definiie : Orice experiment care satisface condiia c mulimea rezultatelor sale S este o mulime finit de evenimente egal probabile, adic

P({e1})= P({e2})= ...= P({en})=

este numit modelul urnei.

Definiie : Dac ntr-un experiment cu n rezultate, k dintre ele favorizeaz evenimentul A, definim probabilitatea P(A) a evenimentului A ca P(A) =

Observaie: Numrul tuturor cazurilor favorabile se gsete ntotdeauna ntre 0 i n i astfel P(A) calculat cu formula enunat mai sus se afl ntre 0 i 1.

Vom reaminti cteva din rezultatele de combinatoric utile pentru rezolvarea unor asemenea probleme.

Numrul de grupe de cte k obiecte obinute din n obiecte n care obiectele difer ntre ele ntr-o aceeai grup prin ordine i compoziie este dat de

(aranjamente de n luate cte k).

Dac ntr-o aceeai grup, obiectele se pot repeta atunci avem de a face cu aranjamente cu repetiie iar numrul acestora este

.

Numrul de grupe de cte k obiecte obinute din n obiecte astfel c grupele difer ntre ele prin elementele care le conin este dat de

(combinri de n obiecte luate cte k).

Dac ntr-o asemenea grup obiectele se repet atunci se obin combinri cu repetiie iar numrul acestora este

.

Exemplu : Un grup de 12 persoane se aeaz n jurul unei mese rotunde. Care este ansa ca dou persoane anumite s se afle alturi?

ansa este cuantificat prin frecvena relativ ((A) (unde A este acest eveniment).

Exemplu : ntr-un lot de N piese, proporia de piese defecte este 0 ( ( ( 1, deci N( sunt piese defecte. Dac se extrag la ntmplare n piese care este ansa (probabilitatea) ca printre ele s se afle k piese defecte?

4. Axiomele probabilitii. Cmp de probabilitateTeoria modern a probabilitilor a fost fondat la nceputul sec.XX. O contribuie esenial a avut-o matematicianul rus A. Kolmogorov. Fie E o mulime care va reprezenta pentru noi, mulimea evenimentelor simple (rezultate posibile ale unei experiene).

Definiie : K este o ( - algebr dac

1. (, E ( K ;

2. Dac A ( K atunci

( K ;

3. Dac

, An( K atunci

K.

Consecine :

K.

Perechea (E, K) se numete cmp de evenimente.

Definiie : Se numete probabilitate pe K o funcie P: K ( R+ cu proprietile:

1. P(E)= 1 ;

2. 0 ( P(A) ( 1 dac A( K ;

3.

dac Ai (Aj = (, i ( j

Consecine:

1) P(() = P(

) =1-P(E) = 0

2) P(

) = 1- P(A) deoarece A (

= E, A (

=(

3) P(A ( B)= P(A) + P(B) - P(A ( B) dac A ( B ( ( si in general,

P(A1(A2

EMBED Equation.3 Ak)=

EMBED Equation.2

4) Dac A ( B atunci P(A) ( P(B)

5) Dac

este o partiie a lui E, adic E= cu atunci

.

Definiie : Tripletul (E, K, P) se numete cmp de probabilitate.Exemplu : Erorile introduse de un aparat de msur atunci cnd etalonul este a se afl ntr-un interval (a - (, a + (). Acest interval reprezint evenimentul sigur E. Mulimea subintervalelor lui E formeaz mulimea K care n acest caz este P(E) (mulimea prilor mulimii E), iar probabilitatea este o funcie care asociaz fiecrei asemenea submulimi un numr real i pozitiv cu proprietile enuntate in definie.Exemplu : Becurile produse ntr-o zi la o fabric specializat reprezint evenimente elementare pentru evenimentul sigur E care n acest caz este dat de mulimea {e1, e2, ..., en} unde n este norma zilnic. Dac suntem interesai de becurile defecte ele reprezint submulimi ale lui E, iar probabilitatea asociaz fiecreia dintre aceste submulimi un numr care verific proprietile din definitie(probabilitatea va fi definit ca: numrul de becuri defecte raportat la numrul total de becuri).

5. Probabiliti condiionateDefiniia : Dou evenimente A i B din K sunt independente dac ele nu se influeneaz, adic realizarea evenimentului A nu depinde de realizarea lui B i reciproc.

Dac evenimentele nu sunt independente vom spune c ele sunt dependente.

Definiia : Se numete probabilitate condiionat a evenimentului A de ctre evenimentul B i se noteaz P(A (B) sau PB(A) probabilitatea de realizare a evenimentului A calculat n condiia c evenimentul B s-a realizat (P(B) > 0) i se definete ca:

P(A (B) =

Proprietate:Dac A1, A2, ..., Ak sunt evenimente ale aceluiai cmp de probabilitate atunci:

P(A1 ( A2 ( ... ( Ak) = P(A1) P(A2 (A1) ... P(Ak (A1 ( A2 ( ... ( Ak-1)

Exemplu : (Urna lui Polya) O urn conine dou bile albe A i o bil neagr N. Se extrage o bil i apoi n urn se introduce bila extras i nc o bil de aceeai culoare cu ea. Procedeul se repet nc odat i a 3-a oar se extrage o bil, dup care experiena se oprete.

Evenimentele simple rezultat ale acestei experiene sunt: (N, N, N),

(N, N, A), (N, A, N), (N, A, A),(A, N, N), (A, N, A), (A, A, N), (A, A, A)

Notm : Xi evenimentul care const n extragerea unei bile negre la proba i i

Yi evenimentul - bil alb la proba i, i= 1, 2, 3.

Astfel: P(X1) =1/3; P(Y1) =2/3; P(Y2 (Y1) =3/4; P(X2 (Y1) = 1/2; P(Y2 (X1) =1/2;

P(X2 (X1) =1/2; P(Y3 (Y1 ( Y2) = 4/5; P(X3 (Y1 ( Y2) =1/5

Probabilitatea de a obine la fiecare prob bile albe este

P(Y1 ( Y2 ( Y3) = P(Y1) P(Y2 (Y1) P(Y3 (Y1 ( Y2) = 2/5

Definiia : Spunem c evenimentele A1, A2, ...,Ak sunt independente n totalitate dac: sunt independente dou cte dou, sunt independente trei cte trei, ..., sunt independente toate k.

n acest caz: P(A1 ( A2 ( ... ( Ak) = P(A1) P(A2) ... P(Ak)

Observaie: Dac evenimentele sunt independente dou cte dou nu rezult c sunt independente n totalitate.

Exemplu : ntr-un lot de 100 televizoare s-au gsit 4 televizoare defecte: un televizor nu are imagine, un televizor are defect de sunet, un televizor nu primete curent de la reea, un televizor are toate cele trei defecte de mai sus.Atunci, dac A este evenimentul - televizorul nu are imagine, B este evenimentul - televizorul nu are sunet, C este evenimentul - televizorul nu primete curent de la reea putem scrie:P(A) =1/2= P(B) = P(C), iar P(A ( B) = P(B ( C) = P(A ( C) = 1/4 ceea ce arat c evenimentele A, B, C sunt independente dou cte dou .

Dar P(A ( B ( C) =1/4 ( P(A)(P(B)(P(C) =1/8.

Formula probabilitii totale:Fie o partiie a mulimii E adica:Ai ( Aj = (, i(j, P(Aj) > 0, j(

, iar

. Fie X un eveniment oarecare, X(K => formula probabilitii totale.

Exemplu : Un utilaj se poate defecta din patru motive:H1, H2, H3, H4 cu probabilitile lor de apariie: P(H1) = 0,2; P(H2) = 0,4; P(H3) = 0,3; P(H4) = 0,1. Probabilitile cu care utilajul se defecteaz datorit apariiei uneia din aceste cauze sunt: P(A(H1) = 0,9; P(A ( H2) = 0,1; P(A ( H3) = 0,6; P(A ( H4) = 0,3. Care este probabilitatea ca utilajul s se defecteze?

Formula probabilitii totale conduce la:

Formula lui BayesDac , cu o partiie a mulimii E i X( K este un eveniment oarecare: Formula lui Bayes.Observaie: n formula lui Bayes apar P(Hj) care se numesc probabiliti apriori i P(Hj ( X) care se numesc probabiliti aposteriori.

Dac primele probabilitati sunt cunoscute nainte de producerea evenimentului X, cele aposteriori se pot cunoate i determina abia dup producerea evenimentului X. Deci, realizarea lui X crete informaia asupra acestora.

Exemplu : Trei maini A, B, C fiecare cu o capacitate zilnic de 4000 de produse lucreaz cu urmtoarele performane. Probabilitatea ca o pies s fie defect este 0,01; 0,02 i 0,04 pentru mainile A, B i C respectiv. ntr-o aceeai zi maina A a produs 3900 de piese, maina B- 4200 piese, iar maina C -3600 piese. O pies este aleas la ntmplare din producia acelei zile, se constat c ea este defect.Care este probabilitatea ca ea s fi fost produs de maina C?

Soluie: P(A)=3900/11700=0,33; P(B)=4200/11700=0,36;P(C)=3600/11700=0,31

De asemenea, dac notm cu D - evenimentul: piesa este defect.

P(D ( A) = 0,01; P(D ( B) = 0,02; P(D ( C) = 0,04.Aplicnd formula lui Bayes, obinem:

=0,31*0,04/0,0229=0,54

Observaie: Fie evenimentul C: o pies este produs de maina C si P(C) este probabilitatea aprioric a evenimentului C iar P(C(D) este probabilitatea aposterioar ca o pies s fie produs de maina C. Ea difer de probabilitatea aprioric deoarece conine mai mult informaie.

Probleme rezolvate

1. Se aleg la intmplare 4 polie de asigurare: ele pot fi de via sau de bunuri.

a) Scriei mulimea evenimentelor elementare. Care este probabiltatea unui eveniment elementar ales la ntmplare?

b) Care sunt rezultatele care au exact 3 polie de via? Ce anse avem ca , din cele 4 polie alese, 3 polie s fie de via?

c) Ce evenimente conin cel mult 2 polie de bunuri? Ce anse exist astfel inct, alegnd la ntmplare ce 4 polie, printre ele s gsim cel puin 2 polie de bunuri?

Soluie: Vom nota V=polia este de via i B=polia este de bunuri.

a) Mulimea evenimentelor elementare reprezint mulimea tuturor posibilitilor pe care le putem regsi pentru cele 4 polie:

E={(V,V,V,V),(B,V,V,V),(V,B,V,V),(V,V,B,V),(V,V,V,B),(B,B,V,V),(B,V,B,V),

(B,V,V,B),(V,B,B,V),(V,B,V,B),(V,V,B,B),(B,B,B,V),(B,B,V,B), (B,V,B,B),

(V,B,B,B),(B,B,B,B)}

P((V,V,V,V))=numr cazuri favorabile/numr cazuri posibile=1/16

P((B,V,V,V))=P((V,B,V,V))=P((V,V,B,V))=P((V,V,V,B))=1/16

Analog celelalte evenimente elementare.

Observaie: dac dorim calcularea unui eveniment neelementar(compus) de tipul A: din 4 polie, una este de viaa, atunci vom exprima pe A ca o mulime de evenimente elementare.

A= {(B,V,V,V),(V,B,V,V),(V,V,B,V),(V,V,V,B)}

P(A)= numr cazuri favorabile/numr cazuri posibile=4/16=0,25.

b) C: din 4 polie, exact 3 sunt de viaC={(B,B,B,V),(B,B,V,B),(B,V,B,B),(V,B,B,B)} => P(C)=4/16=0,25=25%

Exist 25% anse ca, alegnd la ntmplare 4 polie, exact 3 sa fie de bunuri.

c) D: din 4 polie, cel mult 2 sunt de bunuri

D={(V,V,V,V),(B,V,V,V),(V,B,V,V),(V,V,B,V),(V,V,V,B),(B,B,V,V),(B,V,B,V),

(B,V,V,B),(V,B,B,V),(V,B,V,B),(V,V,B,B)} => P(D)=12/16=0,75

Exist 75% anse ca, alegnd la ntmplare 4 polie, cel mult 2 sa fie de bunuri.

2. Un colectiv academic voteaz pentru alegerea conductorului su. Voturile se scot din urn unul cte unul. tiind c au fost 4 voturi pentru candidatul A i 3 pentru candidatul B, s se scrie rezultatele posibile ale experimentului, dup a 4-a extragere. S se determine probabilitatea ca s fie decretat ctigtor candidatul A, dup a 4-a extragere.

Soluie: Notm evenimentele:A=votul se acord pentru candidatul A

B=votul este pentru candidatul B

E={(A,A,A,A),(B,A,A,A),(A,B,A,A),(A,A,B,A),(A,A,A,B),(B,B,A,A),(B,A,B,A),

(B,A,A,B),(A,B,B,A),(A,B,A,B),(A,A,B,B),(B,B,B,A),(B,B,A,B), (B,A,B,B),(A,B,B,B)}

C :dup a 4-a extragere, candidatul A este declarat ctigtor

C={(A,A,A,A),(B,A,A,A),(A,B,A,A),(A,A,B,A),(A,A,A,B)}=5/15=1/5

3. Departamentul de vnzri al unei companii are un target fixat pentru volumul vnzrilor, target ce trebuie atins (sau depit n cel mai fericit caz) n fiecare lun. n timpul unui an,

s-au obinut urmtoarele rezultate: n lunile martie, aprilie, iulie, noiembrie, decembrie: a fost atins i chiar depit volumul vnzrilor propus, dar n lunile rmase volumul vnzrilor a fost mai mic. Ce anse exist ca targetul s fie atins? Dar s nu fie atins?Soluie: Notm evenimentele:

A: targetul este atins ntr-o lun B: targetul nu este atins ntr-o lunP(A)= =5/12=0,416=41,6% P(B)= 7/12=0,584=58,4%

4. La o staie de schimbare ulei ateapt s fie servite 10 maini de diferite mrci strine i 15 maini Dacia. Conform programului staiei de servire numai 6 dintre aceste maini pot fi rezolvate.Dac acestea au sosit aleator, care este probabilitatea ca, dintre acestea, 3 s fie Dacii i celelalte 3 maini strine.

Solutie: p==0,31

5. Umplerea unui bazin se realizeaz cu ajutorul a dou pompe U1 i U2. Cele dou pompe se defecteaz independent una de alta. Probabilitile de defectare pentru cele dou pompe sunt respectiv 0,1 i 0,05. Care este probabilitatea ca o singur pompa s se defecteze? Care este probabilitatea ca cel puin o pomp s se defecteze?

Soluie: Fie urmtoarele evenimente:

A1: pompa U1 se defecteaz : pompa U1 nu se defecteazA2: pompa U2 se defecteaz : pompa U2 nu se defecteazP(A1)=0,1 respectiv P(A2)=0,05 aadar P(1)=1-0,1=0,9 respectiv P(2)=1-0,05=0,95.

Dar pompele se defecteaz independent una de cealalt, aadar evenimentele A1 i A2 vor fi independente => P(A1)=P(A1)*P(), P(A2)=P(A2)*P()

Fie evenimentele suplimentare: B: una dintre pompe se defecteaz

C: pompa U1 se defecteaz i pompa U2 nu se defecteazD: pompa U1 nu se defecteaz i pompa U2 se defecteazObservaie: B=CD, C=A1 , D=, CD= =>

P(o pomp se defecteaz) = P(B)=P(C)+P(D)=P(A1)*P()+P(A2)*P() =

=0,1*0,95+0,9*0,05=0,14

P(cel puin o pompa s se defecteze)=1-P(nici o pomp s nu se defecteze)=

=1-P(1

EMBED Equation.3 2)=1-0,9*0,95=0,145=14,5% anse ca cel puin o pomp s se defecteze.

6. Exist o legtur ntre proprietatea de independen i cea de incompatibilitate a 2 evenimente? Dar ntre proprietatea de incompatibilitate i complementaritate?

Soluie: Rspunsul la prima intrebare este nu, dup cum este prezentat n tabelul de mai jos. Reamintim:

A i B incompatibile ( AB=

A i B independente ( P(AB)=P(A)P(B)

Vom considera aruncarea unui zar iar evenimentele A i B vor fi compuse din evenimente simple echiprobabile(1/6): numrul de pe faa zarului ce apare la o aruncare a zarului omogen.

AB=

P(AB)=P(A)P(B)ABP(A)P(B)

DADA{1,2,4,6}

4/60

DANU{1,3,5}{2,4,6}3/63/6

NUDA{1,2}{2,3,4}2/63/6

NUNU{1,2,5){2,3,4}3/63/6

Aadar pot exista evenimente independente care sunt sau nu incompatibile i pot exista evenimente incompatibile care sunt sau nu independente.

n ceea ce privete a 2-a ntrebare, rspunsul este evident din definiia celor 2 proprieti:

A i B complementare ( AB= si AB=E

A i B incompatibile ( AB=

A i B complementare => A i B incompatibile. Implicaia invers nu este ns adevarat. Aceast afirmaie se justific utiliznd acelai experiment de aruncare a zarului omogen E={1,2,3,4,5,6,} i evenimentele A={1,2,3} B={4}

7. Fie A1, A2 evenimente incompatibile astfel nct P(A1)P(A2)>0. S se arate c aceste evenimente nu sunt independente.

Soluie: A1A2==> P(A1A2)=0

A1, A2 evenimente independente P(A1A2)=P(A1)P(A2)>0

Deci s-a obinut o contradicie.

8. ntr-o urn se afl 4 bilete notate astfel: 110 101011 000

Se extrage din urn un bilet i se consider evenimentele:

Ai=cifra i de pe bilet este 1, i=1,2,3.

Sunt independente evenimentele A1,A2,A3 dou cte dou? Sunt ele independente n totalitate?

Soluie:Conform formulei: se obine c: P(A1)=2/4=1/2; P(A2)=2/4=1/2; P(A3)=2/4=1/2

Cum , urmeaz c evenimentele A1 i A2 sunt independente. n mod analog se arat c evenimentele A1 i A3, respectiv A2 i A3 sunt independente.

Cum , rezult c cele trei evenimente nu sunt independente n totalitate.

9. Dac P(A ( B ( C) = 0,04, P(A) = 0,1 i P(B ( A) = 0,8 s se afle P(C (A ( B).

Soluie: P(C (A ( B)=; P(B ( A)= =>

=> P(=P(A)* P(B ( A)=0,8*0,01=0,08

10. Dac A i B sunt evenimente ce pot s apar n urma unei experiene i se cunoate P(B)= 0,4, P(A(B) =0,3, P(A(

) = 0,2 s se afle P(A), i

.

Soluie:Folosind formula probabilitii totale: P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=>

=> P(A)=0,3*0,4+0,2*0,6=0,24

Folosind relaiile de Morgan: =>

=> =0,88

Folosind probabilitatea reuniunii de evenimente:

=P(+P(-P()=>

P()=P(+P(

EMBED Equation.2 =1-0,24+1-0,4-0,88=0,48

11. Presupunem c se face un test de diagnostic pentru depistarea hepatitei cronice. El are probabilitatea de reuit de 0,98. Fie evenimentele:

A1 : pacientul are hepatit

A2 : pacientul nu are hepatit

A3 : pacientul are reacie pozitiv la test.

n populaia studiat probabilitatea ca un individ s aib hepatit este: P(A1) = 0,012, iar P(A2) = 0,988. tiind c: P(A3(A1) = 0,98; P(A3(A2) = 0,02, care este probabilitatea ca un individ din aceast populaie care reacioneaz pozitiv la test s fie ntr-adevr bolnav de hepatit? (adic P(A1(A3))

Solutie:Folosim formula Bayes:

=0,012*0,98/(0,012*0,98+0,988*0,02)=0,01176/0,03152=0,3731

Exist anse 37,31% ca un individ care reacioneaz pozitiv la test s fie ntr-adevr bolnav de hepatit.

12. Se urmrete creterea probabilitii de funcionare a unui sistem cu dou componente: A i B. Pentru aceasta se poate proceda n dou moduri:

a) Se ataeaz n paralel cu sistemul dat un sistem de rezerv identic cu sistemul iniial

A

B

A

B

b) Pentru fiecare component n parte se ataeaz n paralel o component identic

A

B

A B

Dac notm cu p1 probabilitatea de funcionare a componentei A i cu p2 probabilitatea de funcionare a componentei B, care dintre aceste metode este mai bun?

Soluie: a doua metod este mai bun deoarece: Pa = p1p2(2-p1p2), Pb = p1p2(2-p1)(2-p2).

13. Un patron vrea s angajeze patru tineri ingineri. La concurs s-au nscris 12 candidai. n prima zi au fost testai 7 din cei 12 candidai, iar a doua zi 5. Care este probabilitatea ca trei din cei patru reuii la concurs s fi fost testai n prima zi?

Soluie:Fie evenimentele:

B: 3 ingineri sunt admii n prima zi i cellalt a 2-a zi

A : inginerul admis s fie din grupa intervievat n prima zi

N : inginerul admis sa fie din grupa intervievat a doua zi

P(A)=7/12 probabilitatea ca primul inginer admis s fie intervievat in prima zi

P(A|A)=6/12 probabilitatea ca al 2-lea inginer admis s fie intervievat n prima zi, dac primul admis a fost intervievat tot n prima zi

P(A|A,A)=5/10 probabilitatea ca al 3-lea inginer admis s fie intervievat n prima zi, dac primii 2 admii au fost intervievai tot n prima zi

P(N|A,A,A)=5/9 probabilitatea ca al 4-lea inginer admis s fie intervievat a doua zi, dac primii 3 admii au fost intervievai n prima zi

P(B)=P(A)P(A|A)P(A|A,A)P(N|A,A,A)=(7*6*5*5)/(12*11*10*9) =1050/11880=0,884

Aadar exist 88,4% anse ca trei din cei patru reuii la concurs s fi fost testai n prima zi.

14. ntr-o uzin de automobile fiecare din electromotoarele ce urmeaz a fi montate pe main pot avea un defect cu probabilitatea 0,05. Ele sunt verificate i probabilitatea ca defectul s fie depistat de controlorul de calitate este 0,98. El poate grei i respinge un electromotor bun cu probabilitatea 0,01. Determinai probabilitatea : un electromotor este respins.

Soluie:Fie urmtoarele evenimente:

A: electromotorul este respins; B: electromotorul este defect Electromotorul poate avea un defect cu probabilitatea 0,05 ( P(B)=0,05;

probabilitatea ca defectul s fie depistat de controlorul de calitate este 0,98 (P(A|B)=0,98

Controlorul poate grei i respinge un electromotor bun cu probabilitatea 0,01( P(A|)=0,01

Conform formulei probabilitii totale: P(A)=

Aadar P(A)=0,05*0,98+0,95*0,0,01=0,0585

Deci ansa ca un electromotor s fie respins este 5,85%

15. O nava spaial este bombardat de particule cosmice care pot produce defectri ale componentelor A1,A2,A3, A4.. Fiecare dintre aceste componente se defecteaz independent de celelalte (cu probabilitile p1,p2,p3 respectiv p4) astfel incat p1+p2+p3+p4=1. Defectarea navetei se realizeaz fie dac se defecteaza A1, fie dac se defecteaz A2 ,A3 i A4 simultan. Determinai probabilitatea ca numarul de particole ce lovesc tinta sa fien.

Soluie:Fie X=numrul de particule care defecteaz sistemul

Notaie: Ai: evenimentul ca Ai s se defecteze (cu probabilitatea pi) i{1,2,3,4}

P(Xn)=P(numrul de particule ce lovesc naveta i duc la defectarea navei n)=

=1-P(X>n)=1-P(dup ce naveta este lovit de n particule, ea nc mai funcioneaz)

P(X>n)=P(P()=

= P() = P() conform formulei pentru reuniunea de evenimente rezult c:

P(X>n)=P()+P()+P()-P()-

-P()-P()+P()

Dar P()=(1-p1-p2)n=(p3+p4)n; P()=(1-p1-p3 )n=(p2 +p4)n;

P()=(1-p1-p4 )n=(p2 +p3 )n;

P()=P()=(1-p1-p2-p3)n=p

P()=P()=(1-p1-p2-p4)n=p

P()=P()=(1-p1-p3-p4 )n=p

P()=0

Aadar P(Xn)=1-P(X>n)=1-(p3+p4)n-(p2 +p4)n-(p2 +p3 )n+ p+ p+ p.

16. Exist 3 canale de comunicaie pe care mesajele sunt trimise aleator (cu probabiliti egale pe fiecare canal). Probabilitatea ca un mesaj trimis pe canalul 1 s fie distorsionat este p1, pe al doilea canal p2, iar pe al treilea canal este p3. Se alege un canal la ntmplare i pe el se trimit k mesaje; nici unul dintre aceste mesaje nu este distorsionat..

S se afle probabilitatea ca mesajul k+1 trimis pe acelai canal s nu fie distorsionat.

Soluie: Fie A1- evenimentul: mesajul este trimis pe primul canal;

A2- evenimentul: mesajul este trimis pe al doilea canal;

A3- evenimentul: mesajul este trimis pe al treilea canal;

B- evenimentul: mesajul este distorsionat.

Atunci probabilitatea cutat conform T. Bayes este:

deoarece 1/3.

Probleme propuse

1. Fie A,B,C evenimente ale unui cmp de probabilitate. Se cunosc P(A(B)=0,25; P(B(C)=0,15; P(A(C)=0,2 i P(A(B(C)=0,08. S se determine probabilitatea evenimentului D=se realizeaz numai dou din cele trei evenimente.

Indicaie: P(AB)=P(A)+P() analog celelalte intersecii de 2 evenimente. D= =>P(D)=0,36

2. Fie A1, A2 evenimente independente astfel inct P(A1)*P(A2)>0. S se arate c aceste evenimente nu sunt incompatibile.

Indicaie:se folosesc definiiile acestor tipuri de evenimente.

3.Sa se arate ca pentru orice doua evenimente:[

4.Dintr-un lot de 10 piese au fost alese la intamplare 3 piese..Sa se determine probabilitatile urmatoarelor evenimente:A-cel putin una din cele 3 piese este defecta.B-doua din cele 3 piese sunt defecte.R:17/24 si 7/40.

5.O ntreprindere are n dotare 20 de motoare electrice de acelai tip, dar provenind de la 2 firme constructoare diferite: 5 de la prima firm i 15 de la a doua firm, fiecare lot avnd diferite probabiliti de funcionare corect p1=0,95(pentru prima) i p2=0,96 (pentru a doua). Funcionarea tuturor motoarelor condiioneaz funcionarea corect a ntreprinderii, avarierea unuia reducnd producia ntreprinderii.

Care este probabilitatea ca, dac s-a redus producia ntreprinderii, ea s fi fost datorat avariei unui motor produs de firma 1?

Indicaie: Se folosete Formula Bayes

6.n asamblarea unui calculator se folosesc trei tipuri de procesoare: 25% de tip A, 35% de tip B, 40% de tip C. Procentajele defectelor de fabricaie sunt: 5% pentru microprocesoarele de tip A, 4% pentru microprocesoarele de tip B si 2% pentru microprocesoarele de tip C. Se alege un microprocesor. Care este probabilitatea ca el sa fie defect? tiind ca microprocesorul ales are un defect de fabricatie, care este probabilitatea ca el sa fie de tip A?

Indicaie: Se folosete formula probabilitii totale 0,03457.ntr-o instituie de nvtmnt sunt nscrii 5000 de studeni dintre care 2800 sunt de sex feminin i 2200 de sex masculin. Printre cei 5000 de cursani, 1600 au o slujb cu program redus, dintre acetia 600 sunt de sex masculin i 1000 de sex feminin. Dac se alege la ntmplare un cursant i acesta este de sex masculin, care este probabilitatea ca el s aib o slujba cu program redus?

R: 0,2727

8.Un laborator cu mai multe calculatoare are 3 imprimante A,B,C. Aceste imprimante sunt folosite pentru printarea documentelor trimise de la aceste calculatoare; documentele intr pe o imprimant n ordinea n care una sau alta este liber. Probabilitatea ca un document s fie printat de una din imprimantele A,B,C este: 0,6;0,3respectiv 0,1. Ocazional, una dintre aceste imprimante se blocheaza cu probabilitaile 0,01;0,05;0,04 respectiv. Presupunem c am trimis un document i acesta n-a fost editat. Care este probabilitatea ca el s fi fost pierdut din cauza defectrii imprimantei B?

9.3 studeni se prezint la un concurs pentru acordarea unor burse. Performanele anterioare sunt cuantificate cu urmtoarele procente:I-84% II-90% III-75%

a) Care este probabilitatea ca toi s ctige bursa?

b) Care este probabilitatea ca cel puin 2 s ctige bursa?

Indicaie:a) P(toi studenii primesc bursa)=0,567=56,7%

b) P(cel puin 2 s ctige bursa)=0,927=92,7%

10. La o loterie s-au vandut 1000 bilete; dintre acestea numai 50 sunt castigatoare. Mihai a cumparat 10 bilete.Care este probabilitatea ca cel putin un bilet din cele 10 sa fie castigator?

11. Coeficientii a,b,c, ai ecuatiei ax2+bx+c=0 sunt variabile aleatoare ce au ca valori ,valorile obtinute prin aruncarea unui zar de 3 ori.Sa se determine probabilitatea ca radacinile sa fie egale.

Ind.b2=4ac este verificata pentru a=4,b=4,c=1sau a=2,b=4,c=2 sau a=3,b=6,c=3.

12. Probabilitatea ca o usa sa fie inchisa este 1/2. Cheia de la aceasta usa se afla printre 12 chei aflate pe un panou. Daca o persoana alege 2 chei dintre acestea, care este probabilitatea ca ea sa poata deschide usa fara sa se intoarca dupa alta cheie?PAGE 2

_1166341621.unknown

_1168583620.unknown

_1168584568.unknown

_1168585710.unknown

_1168585838.unknown

_1169360958.unknown

_1169883234.unknown

_1168585854.unknown

_1168585812.unknown

_1168585572.unknown

_1168585635.unknown

_1168584888.unknown

_1168584936.unknown

_1168584605.unknown

_1168583814.unknown

_1168584085.unknown

_1168584188.unknown

_1168584263.unknown

_1168584308.unknown

_1168584396.unknown

_1168584225.unknown

_1168584125.unknown

_1168583908.unknown

_1168584010.unknown

_1168583860.unknown

_1168583698.unknown

_1168583775.unknown

_1168583787.unknown

_1168583760.unknown

_1168583656.unknown

_1168582417.unknown

_1168583471.unknown

_1168583567.unknown

_1168583584.unknown

_1168583545.unknown

_1168582696.unknown

_1168583250.unknown

_1168582446.unknown

_1168497835.unknown

_1168499704.unknown

_1168499824.unknown

_1168582192.unknown

_1168499804.unknown

_1168499597.unknown

_1166341677.unknown

_1166791533.unknown

_1166951278.unknown

_1166954262.unknown

_1167301721.unknown

_1168415707.unknown

_1168416047.unknown

_1167301748.unknown

_1167301702.unknown

_1166954246.unknown

_1166951351.unknown

_1166951438.unknown

_1166791926.unknown

_1166792153.unknown

_1166792182.unknown

_1166792319.unknown

_1166792165.unknown

_1166791935.unknown

_1166791587.unknown

_1166791602.unknown

_1166342789.unknown

_1166789740.unknown

_1166789930.unknown

_1166789918.unknown

_1166342803.unknown

_1166342016.unknown

_1166341631.unknown

_956692372.unknown

_1166193105.unknown

_1166255627.unknown

_1166276191.unknown

_1166276797.unknown

_1166276938.unknown

_1166276963.unknown

_1166276224.unknown

_1166255906.unknown

_1166270609.unknown

_1166272583.unknown

_1166272762.unknown

_1166255907.unknown

_1166255768.unknown

_1166255728.unknown

_1166255748.unknown

_1166255642.unknown

_1166193716.unknown

_1166193866.unknown

_1166193790.unknown

_1166193842.unknown

_1166193733.unknown

_1166193453.unknown

_1166193595.unknown

_1166193631.unknown

_1166193507.unknown

_1166193362.unknown

_1166193374.unknown

_1166193337.unknown

_956692377.unknown

_1165039970.unknown

_1166193054.unknown

_1165039959.unknown

_956692375.unknown

_956692376.unknown

_956692373.unknown

_956692362.unknown

_956692367.unknown

_956692370.unknown

_956692371.unknown

_956692368.unknown

_956692364.unknown

_956692365.unknown

_956692363.unknown

_956692341.unknown

_956692346.unknown

_956692348.unknown

_956692349.unknown

_956692347.unknown

_956692343.unknown

_956692344.unknown

_956692342.unknown

_956692322.unknown

_956692325.unknown

_956692340.unknown

_956692324.unknown

_956692298.unknown

_956692318.unknown

_956692277.unknown

_956692297.unknown

_956692275.unknown

_956692276.unknown