1

Gabriel V. ORMAN

Gabriel NEPOTU

2008 – 2009

REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

2

3

CUPRINS

Prefata ................………………………………………………...…………….… 2

Introducere ........................ ...............................................………… ......................3

1. Preliminarii de teoria multimilor ………………….............… ........... .............5

1.1. Elemente de teoria multimilor ..................................… .......................5

1.2. Elemente de teoria semigrupurilor ..........................… ........................13

2. Camp de Probabilitate …. .......... ...........................................… ......................17

2.1. Camp de evenimente ………………………………………...............17

2.2. Probabilitate pe campuri finite de evenimente ……… ........................28

2.3. Camp de probabilitate complet aditiv ………………………………...45

2.4. Metode clasice in teoria probabilitatilor ………… ...............................50

2.5. Formule utile in aplicatiile teoriei probabilitatilor. ……… .....................54

2.6. Independenta stochastica. Extractii repetate ………………………….61

2.7. Teorema Borel-Cantelli ………………………………………………69

2.8. Aplicatii ………………………………………………………………71

3. Variabile aleatoare. Caracteristici numerice. Functia de repartitie ...............80

3.1. Definitii. Exemple ……………………………………….…................80

3.2. Valori medii ……………………………………………….................87

3.3. Dispersia ……………………………………………………...............92

3.4. Corelatia ………………………………………………….…..............93

3.5. Inegalitatea lui Cebîsev …………………………………...................97

3.6. Inegalitatea lui Kolmogorov ……………………………...................98

3.7. Raport de corelatie ……………………………………….………….99

3.8. Variabile aleatoare pe un camp de probabilitate complet aditiv ……..100

3.9. Functia de probabilitate …………………………………….............103

3.10. Functia de repartitie ……………………………………….............104

4. Repartitia binomiala si repartitia Poisson …………………… ...................107

4.1. Repartitia binomiala ………………………………………...............107

4.2. Legea numerelor mari ………………………………………............111

4.3. Repartitia Poisson ……………………………………….................112

4.4. Repartitia multinomiala …………………………………….............121

4.5. Repartitia normala. Teorema limita DeMoivre-Laplace …..................122

5. Elemente de teoria selectiei ……………………….……………….................136

5.1. Selectie.Repartitie empirica…………………………………..............136

5.2. Valori tipice (empirice) de selectie…………………………...............141

5.3. Aplicatii………….…………………………………………................145

6. Elemente de teoria estimatiei ……………………….……………..................151

6.1. Estimatii.Tipuri de estimatii…………………………………..............151

6.2. Metode de determinare a estimatiilor…………………………............156

6.3. Aplicatii……………………………………………………….............162

ANEXE …………………………………………………………………………...168

BIBLIOGRAFIE ……………………….…………………………….... ...........172

4

PREFATA

Teoria probabilitatilor este o disciplina matematica avand scopuri asemenea acelora pe

care le are geometria sau mecanica aplicata, spre exemplu. De aceea, la fel ca oricare domeniu,

trebuiesc distinse, si in cadrul teoriei probabilitatilor trei aspecte ale teoriei: continutul logico-

formal, fundamentul intuitiv si aplicatiile. Fara considerarea acestor trei aspecte, atat in

totalitatea lor cat si in interdependenta dintre ele, nu pot fi apreciate caracterul si armonia intregii

structuri a domeniului.

Astazi, teoria probabilitatilor si statistica matematica sunt aplicate in atat de multe

domenii diferite, incat este necesara o teorie generala foarte flexibila pentru a putea prevedea

instrumentele de lucru cele mai potrivite pentru o varietate atat de mare de cerinte. Orientarea

empirica sau statistica, in directia probabilitatii, a fost dezvoltata, in special, de R.A. Fisher si R

von Mises. De altfel, una dintre notiunile fundamentale ale teoriei probabilitatilor, aceea de camp

de evenimente, o datoram lui R von Mises. Aceasta notiune a facut posibila constituirea unei

teorii a probabilitatilor riguroasa din punct de vedere matematic, bazata pe teoria mas urii.

O teorie, insa, devine matematica atunci cand ea poate furniza un model matematic al

fenomenelor de care se ocupa. Pe masura ce numarul fenomenelor, impreuna cu proprietatile lor

cunoscute a crescut, modelul matematic s-a dezvoltat, de la notiunile primare pe care s-a

construit intuitia noastra, in directia unei generalizari si abstractizari inalte. Dar, in acest fel,

consistenta intrinseca a modelului fenomenelor aleatoare a devenit indoielnica, ceea ce a impus o

reconstructie a intregii structuri in al doilea sfert al secolului nostru, incepand cu o definitie

axiomatica a insusi conceptului de probabilitate (datorata lui A.N. Kolmogorov).

Asa a aparut o ramura noua a matematicilor - teoria probabilitatilor - interesata in

construirea si studierea modelului matematic al intamplarii. Este, fara doar si poate, saltul

calitativ inregistrat in chiar istoria dezvoltarii acestei teorii. Conceptul lui Kolmogorov a fost

confirmat, destul de repede, de cercetarile si rezultatele obtinute mai ales de W. Feller, care

furnizeaza si o serie de exemple si aplicatii capabile sa intregeasca si sa completeze teoria.

Acest mod de abordare a teoriei s-a facut remarcat, in mod treptat, datorita influentei

multor cercetatori, dintre care mai amintim pe M. Loève, P.P. Halmos, G.V. Gnedenko, I.I.

Gihman, A.V. Skorohod, M. Rosenblatt, ale caror rezultate au condus, pe parcursul anilor, la

consacrarea unei teorii moderne a probabilitatilor. In acest context, remarcam scoala

ramaneasca de teoria probablitatilor si statistica matematica creata, cu aproape sase decenii in

urma, de O. Onicescu si Gh. Mihoc.

In aplicatii, modelele matematice abstracte servesc ca instrumente, modele diferite putand

sa descrie aceeasi situatie empirica. Modul in care sunt aplicate teoriile matematice nu depinde

de idei preconcepute; aceasta este o tehnica aplicata cu premeditare, care depinde de experienta

si se schimba odata cu ea.

In lucrarea de fata ne-am oprit doar la cateva dintre problemele fundamentale care trebuie

sa intre in cultura unui intelectual.

5

Autorul

INTRODUCERE

Matematicile aplicate au devenit, de mai multi ani, un domeniu prioritar in intreaga lume,

atat in procesul de instruire a studentilor, cat si in cercetare si in specializarea de varf. Desi la

noi, in tara, se vorbeste de matematici aplicate, mai ales dupa 1990, adica de un timp relativ

scurt, totusi, handicapul fata de lumea “avansata”, in special din punct de vedere conceptual, a

fost, dupa parerea noastra depasit.

Vorbim si noi, acum, destul de mult, despre matematici aplicate care au fost introduse ca

domeniu prioritar chiar in specializarea de cel mai inalt nivel, cum este doctoratul. Dar cat de

cuprinzator este acest domeniu, ce directii de studiu si cercetare pot fi urmate, sau chiar create,

este o chestiune nu chiar atat de simpla.

Situatia credem ca este comparabila cu ceea ce se intampla in cazul studiului sistemelor.

De exemplu, se vorbeste destul de des despre systems theory, systems science si systems

engineering, existand evenimente internationale, de mare prestigiu, consacrate acestora. Dar

pana unde tine una dintre aceste directii si de unde incepe alta, este greu de spus. Cert este ca ele

pot fi privite atat din punct de vedere ingineresc (in sensul pe care îl da computing engineering).

cat si din punctul de vedere al matematicianului interesat in cercetari de matematici aplicare.

In mod cert insa, cand vorbim de matematici aplicate intelegem atat cercetari de natura

sistemica (inclusiv sisteme de decizie si sisteme informatice), cat si cercetari operationale,

calculul probabilitatilor si statistica matematica, grafuri, programare matematica, fiabilitate,

structuri algebrice, optimizari, combinatorica si operatori.

Din toate aspectele ce pot fi luate in discutie se detasaza, in literatura universala, tematici

care se refera, mai ales, la management, modele in economie, retele de comunicatii, probleme de

transport, fiabilitate, sisteme expert si inteligenta ar tificiala, simulare si calcul.

Lucrarea este conceputa pe baza prelegerilor tinute de autor, ca profesor la Universitatea

“Transilvania” din Brasov, studentilor de la specializarile matematica, informatica, matematica-

fizica, relatii internationale (profil economic) si autovehicule rutiere (profil mecanic).

Ne referim, in aceasta lucrare, la cateva aspecte oferite de studiul unor elemente, de baza,

din teoria probabilitatilor si statistica matematica, instrument de lucru deosebit de fin care, in

mod clar, se evidentiaza printre studiile privind ceea ce ne-am obisnuit sa numim, in mod

cotidian, spre exemplu, proces economic. Nu ne referim, deci, la elemente de analiza matematica

domeniu in care exista o bogata literatura de specialitate si care consideram ca trebuie sa faca

parte din “alfabetul” fiecarui student care se specializeaza in sistemele economice, tehnice,

matematice, fizice, chimice, biologice (ca sa numin doar cateva) si al cercetatorilor interesati in

asemenea studii. Nu ne-am propus, de asemenea, sa rezolvam problemele specifice, dintr-un

anume domeniu de preocupari, ca cel economic sau social, de exemplu, aceasta fiind exclusiv

sarcina specialistilor din acel domeniu care, insa, nu vor putea obtine rezultate riguros

fundamentate stiintific fara a implica, in studiile lor, modele matematice ca cele pe care le

promovam aici, sau ca altele, dar, bineinteles la fel de eficiente.

6

Lucrarea este conceputa in patru capitole, capitolul preliminar fiind rezervat prezentarii

catorva elemente de teoria multimilor si a semigrupurilor. Acestea sunt de un real folos in

aplicatiile din informatica, studiul limbajelor formale si al automatelor, discipline care ofera

modele eficiente, si usor de manevrat, pentru diferite aspecte ale fenomenelor economice,

lingvistice, biologice, sociologice, etc.. Prin acest capitol preliminar speram sa acoperim, cel

putin partial, lipsa unor cunostinte temeinice in aceasta directie, pe care multi cititori o acuza. In

acest fel se inlesneste intelegerea faptelor, discutate in lucrare, de catre o categorie foarte larga

de cititori.

Celelalte trei capitole sunt dedicate unor probleme be baza din teoria probabilitatilor si

statistica matematica.

Istoria dezvoltarii teoriei probabilitatilor evidentiaza o armonioasa si stimulativa îmbinare

intre teorie si aplicatii: progresul teoriei deschide noi campuri pentru aplicatii care, la randul lor,

conduc la noi probleme si cercetari fructuoase. Astazi teoria probabilitatilor este aplicata in atat

de multe domenii diferite incat este necesara o teorie generala foarte flexibila pentru a putea

prevedea instrumentele de lucru cele mai potrivite pentru o varietate atat de mare de cerinte.

La inceput, scopul teoriei probabilitatilor a fost de a descrie domeniul extrem de marginit

al experientei legata de jocul intamplarii, efortul principal fiind indreptat spre calcularea

anumitor probabilitati. Abia din deceniul al patrulea al secolului nostru putem vorbi de o tratare

axiomatica, reprezentand dezvoltarea moderna a teoriei probabilitatilor, si aceasta o datoram lui

A.N. Kolmogorov.

Aceasta linie este urmata si in lucrarea de fata. Pornind de la o serie de neclaritati privind

fenomenul probabilistic, constatate de autor din discutiile purtate cu diferite persoane, in lucrare

au fost introduse multe si variate exemple, culese cu deosebita grija, dar trebuie inteles faptul ca

probabilitatile numerice nu fac obiectul principal al teoriei. Scopul lor este de a scoate la iveala

legi generale si de a constitui modele teoretice satisfacatoare.

In capitolul 2 sunt introduse notiunile de camp de evenimente, probabilitate si camp de

probabilitate, sunt stabilite formule utile de calcul si se discuta unele probleme referitoare la

independenta stochastica. S-a pus accect, in acest capitol, pe conceptul de algebra booleana ca

model matematic adecvat studierii proprietatilor unui camp de evenimente. Multiplele exemple

prezentate au menirea de a stimula interesul cititorului pentru chestiunile discutate.

Capitolul urmator este dedicat repartitiilor binomiala, Poison, multinomiala si normala,

precum si discutarii unor aspecte privitoare la aproximarea normala a repartitiei binomiale.

Notiunea de variabila aleatoare este introdusa in capitolul 4 unde se definesc si

caracteristicile sale numerice. In final, se cerceteaza functia de probabilitate si functia de

repartitie a unei variabile aleatoare.

Lucrarea se adreseaza mai ales studentilor de la I.I.D, fie ca este vorba de specializari

economice, matematica si informatica, matematica-fizica, biologie, fizica, specializarile tehnice.

Desi este restrictiva ea poate fi folosita cu succes si de profesorii din invatamantul preuniversitar

(inclusiv pentru pregatirea examenelor in vederea obtinerii gradelor didactice), inginerilor,

7

economistilor, precum si cercetatorilor interesati in utilizarea modelelor matematice bazate pe

metode ale teoriei probabilitatilor si statisticii matematice.

CAPITOLUL 1

Preliminarii de teoria multimilor

OBIECTIVE

Elementele de teoria multimilor si teoria semigrupurior ancoreaza ulterioarele elemente

probabiliste in cadrul matematicii de termininiste. Astfel cele doua laturi, cea probabilista si cea

determinista, coexista si se completeaza reciproc.

La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca:

- Operatiile cu multimi

- Indicatorul unei multimi.

Acest capitol contine notiuni de baza si unele rezultate relevante din teoria multimilor si

teoria semigrupurilor. El este introdus tinand seama de faptul ca nu toti cititorii poseda, in egala

masura, un fond matematic, de baza, in acest domeniu. Speram ca, prin notiunile si rezultatele

prezentate, sa reamintim, si sa fixam, chestiunile fundamentale inlesnind, astfel, unei categorii

foarte largi de cititori, intelegerea multora dintre faptele discutate.

1.1 Elemente de teoria multimilor

Notiunea de multime (sau de colectie, de familie) are un caracter primitiv si nu se

defineste. Ea se considera ca fiind deja cunoscuta.

O multime poate fi pusa in evidenta in doua moduri diferite. Astfel, putem insira

obiectele (elementele) multimii intre doua acolade, separandu-le prin virgula.

De exemplu:

2,3,5, a,b,c,d,e, 1,2,3,4,5,....,n.

Mai putem indica o multime exprimand proprietatea care caracterizeaza elementele

multimii.

De exemplu :

x x este un numar intreg si x2.

Sa notam elementele multimii prin litere mici din alfabetul latin sau grec: a, b ,..., x, y, z;

, , , ... Multimile vom fi notate prin litere mari A, B, C, ... O multime de multimi se numeste

clasa sau familie. Clasele se noteaza prin litere mari ronde A, B, C, ... . Daca obiectul a este un

element al multimii A, se scrie aA, in timp ce daca acesta nu apartine multimii A, se scrie aA.

8

Vom nota o multime care nu are nici un obiect prin si o vom numi multime vida.

De exemplu

x x este un numar real ai x20.

Pentru orice element a al multimii A, multimea a va insemna multimea care are un

singur element a. In sensul notatiilor introduse mai inainte, rezulta ca a1, a2,...,an este

multimea ale carei elemente sunt a1, a2, ...,an si nu altele.

Daca o multimea A este finita, numarul elementelor sale, deci cardinalul multimii, va fi

notat prin card A. Evident, card A este un numar intreg nenegativ.

Definitia 1.1. Daca A si B sunt doua multimi astfel incat pentru orice obiect a, aA

implica aB, atunci se spune ca A este o submultime a lui B. Se va scrie AB sau BA.

In aceste cazuri se spune ca A este inclusa sau continuta in B (sau ca B include sau

contine pe A). In egala masura se poate utiliza exprimarea : A este o parte a lui B.

In particular, pentru orice multime avem AA.

Ne referim la ca fiind o relatie de incluziune, astfel ca ori de cate ori AB spunem ca A

si B sunt legate prin relatia de incluziune.

Daca AB si BA, atunci AB , adica multimea A este egala cu multimea B. In caz

contrar AB. Daca AB si AB, se spune ca A este o submultime proprie a lui B. Acest fapt poate

fi precizat prin notatia “AB si AB”.

Definitia 1.2. Fie A si B doua multimi. Multimea x xA sau xB se numeste

reuniunea multimilor A si B si se noteaza AB.

Daca A este o familie de multimi, atunci se defineste A x xA pentru AA . Daca

se considera o familie de multimi indexate dupa i, AiiI, atunci se utilizeaza notatia

A x x A pentru un i Iii I

i

U . In cazul in care IN*, se scrie A n loc de An

nn

n N

1U U;

*.

Definitia 1.3. Dandu-se multimile A si B, se numeste intersectia lor multimea x xA

¿i xB si se noteaza AB.

Pentru o familie de multimi A se defineste A x xA pentru toate multimile AA .

Pentru familia de multimi AiiI, avem i I

iA x{ xAi pentru toti iI}. In mod analog se scrie

Ann 1

in loc de

Ann N *

, daca IN*.

De exemplu, daca AnxR,x1/n, nN*, atunci

Ann 1

0{ } . Reamintim ca x inseamna

valoarea absoluta a lui x definita astfel :

9

x

x daca x

daca x

x daca x

, ,

, ,

, .

0

0 0

0

Fiind data o multime A, familia tuturor submultimilor lui A este o familie bine definita de

multimi, numita familia partilor multimii A.

Definitia 1.4. Multimile A si B se numesc disjuncte, daca AB.

Daca A este o familie de multimi astfel incat fiecare pereche de multimi distincte din A

sunt disjuncte, atunci se spune ca A este o familie disjuncta (sau ca A este o familie de multimi

disjuncte doua cate doua).

Prin urmare, o familie de multimi AiiI , indexate dupa i, este disjuncta daca AiAj

pentru orice ij.

Sa convenim ca multimile considerate sa fie submultimi ale unei multimi “universale”

care s-a fixat, E.

Definitia 1.5. Daca AE, se numeste complementara multimii A (in raport cu E)

multimea x xE si xA. Aceasta va fi notata CA sau Ac.

Din aceasta definitie se deduce imediat ca

CE si CE.

Urmatorul rezultat este, de asemenea, bine sa fie retinut.

Teorema 1.1. Pentru orice submultimi A si B, ale multimii universale E, astfel incat

AB, au loc incluziunile :

1) CBACA ; 2) CBCA,

CBA fiind complementara multimii A in raport cu multimea B.

Urmeaza, deci, ca pentru orice AE avem C(CA)A.

Definitia 1.6. Dandu-se multimile A si B, multimea x xA ¿i xB se numeste

diferenta multimilor A si B. O vom nota A\B.

Operatiile definite pot fi exemplificate in felul urmator. Fie multimile Aa, b, c si

Bb, d. Atunci

ABa, b, c, d ; ABb . A\Ba, c , CAB nu are sens.

Referitor la complementarele unor multimi sunt imediate relatiile din teorema urmatoare.

Teorema 1.2. (Relatiile lui De Morgan). Au loc urmatoarele relatii intre multimi:

a) C(AB)CA CB ;

b) C(AB)CA CB ;

10

c) C A CAii I

ii I

;

d) C A CAi I

ii I

i

.

Cu ajutorul operatiilor de reuniune si intersectie se poate defini o noua operatie

importanta cu multimi.

Definitia 1.7. Se numeste diferenta simetrica a multimilor A si B multimea xxA sau

xB si xAB. Se noteaza in felul urmator: A B.

Prin urmare, un obiect x apartine diferentei simetrice a multimilor A si B daca x apartine

in mod precis uneia dintre multimile A si B (vezi fig, 1).

Definitia 1.8. Fie A si B doua multimi. Se numeste produsul cartezian al multimilor A si

B multimea tuturor perechilor ordonate (x,y) cu xA si yB. Se noteaza astfel A x B.

Este important de retinut ca in definitia produsului cartezian a doua multimi se tine seama

de ordinea in care sunt date acestea. Deci, se scrie (x,y)(a,b) daca si numai daca xa si yb. De

exemplu, (2,5)(5,2).

Definitia 1.8. poate fi extinsa la un numar arbitrar An, n 1, de multimi. Astfel, produsul

cartezian al multimilor A1,A2,...,An se defineste in felul urmator

A1 A2 ... An(x1,x2,...,xn) xiAi pentru orice i, 1 i n.

Daca A1A2...AnA se scrie

A1 A2 ... AnAn

.

Apare, in acest fel, ca naturala urmatoarea definitie.

Definitia 1.9. O secventa ordonata de n obiecte (sau simplu secventa sau n-uplu) consta

dintr-un numar de n obiecte date intr-o anumita ordine.

Se intelege ca n nu poate fi zero si trebuie sa fie un numar finit. O secventa de doua

elemente se numeste pereche, o secventa de trei elemente se numeste triplet, etc.

Rezulta de aici ca diferenta

simetrica a multimilor A si B poate

fi exprimata fie prin egalitatea

A B(A\B)(B\A),

fie prin egalitatea

A B(ACB)(CAB).

A B

A B

Fig.1

11

Definitia 1.10 Se numeste relatie orice multime de perechi. Cu alte cuvinte, o relatie este

orice multime care este o submultime a produsului cartezian a doua multimi.

Din aceasta definitie se deduce ca este o relatie.

O submultime R a produsului cartezian AB al multimilor A si B este o relatie de la A la B.

Fie A si B doua multimi arbitrare si fie o relatie de la AB la B. Daca fiecare pereche

ordonata (a1, a2) AA apare numai intr-o singura pereche ((a1, a2 ), b) a acestei relatii, atunci

aceasta relatie este o operatie binara definita pe elementele multimii A cu valori in multimea B.

(Aici “binar” inseamna ca doua elemente din A produc un element din B.) Se scrie, in acest caz,

a1a2 b (buneinteles ca operatia poate fi inlocuita dupa caz cu , sau alta operatie cunoscuta).

Daca, de exemplu, A este multimea tuturor vectorilor din spatiul cu trei dimensiuni, iar B este

multimea tuturor numerelor reale, atunci o relatie binara este produsul scalar ((v1, v2), r), sau

scris in modul obisnuit v1 v2r. Daca, insa, B este de asemenea, multimea tuturor vectorilor

tridimensionali, atunci produsul vectorial ((v1, v2),v3), scris in mod obisnuit v1v2v3 , este, si

acesta, o relatie binara.

Este util de retinut, de aici, ca o operatie definita pe elementele unei multimi poate duce

la un rezultat din aceeasi multime sau dintr-o alta multime.

Definitia 1.11. Relatia f2 este o extensie a relatiei f1 daca f1f2. Despre f1 se spune, in

acest caz, ca este o restrictie a lui f2.

Prin conventie vom utiliza notatia xfy pentru a indica faptul ca (x,y)f.

Un tip special de relatie deosebit de importanta este relatia de echivalenta.

Definitia 1.12. Fie X o multime. Se numeste relatie de echivalenta definita pe X o relatie

notata ~ care este o submultime a produsului cartezian X X si care, pentru orice x,yX, are

proprietatile:

1) x~x (reflexivitate);

2) x~y implica y~x (simetrie);

3) x~y si y~z implica x~z (tranzitivitate).

De asemenea, definitia urmatoare are mare utilitate.

Definitia 1.13. Se numeste ordine partiala definita pe o multime A o relatie care este o

submultime a produsului cartezian A A si satisface conditiile:

1) xx (reflexiva);

2) xy si yx implica xy (antisimetrica);

3) xy si yz implica xz (tranzitiva).

Daca o relatie de ordine partiala satisface si conditia

12

4) x,y A implica xy sau yx,

atunci aceasta se numeste relatie de ordine liniara definita pe A (numita si simpla, completa sau

totala).

Se scrie xy ori de cate ori xy si xy (xy inseamna yx, iar xy inseamna yx).

Daca relatia satisface, de asemenea, si conditia

5) BA implica existenta unui element bB cu proprietatea ca bx pentru fiecare xB

(adica b este cel mai mic element din B), atunci A este o multime bine ordonata.

Prin urmare , o multime partial ordonata este o pereche ordonata (A,), unde A este o

multime, iar este o ordine partiala pe A. Analog, o multime liniar ordonata este o pereche

ordonata (A,), unde A este o multime, iar este o ordine liniara (sau simpla, completa, totala)

pe A. In sfarsit, (A,) cu o relatie de buna ordonare pe A este o multime bine ordonata.

Fie A o multime liniar ordonata si (x,y)A. Daca xy, atunci se defineste maxx,yy; iar

daca yx, se defineste maxx,yx.

Daca x1,x2,...,xn este o submultime finita a lui A (cu elemente xi,i1,2,...,n, nu in mod

necesar toate distincte) se defineste maxx1,x2,...,xn ca fiind maxxn, maxx1,x2,...,xn-1 .

In mod similar se definesc expresiile minx,y si minx1,x2,...,xn.

In sensul definitiilor date rezulta ca relatia de incluziune este o relatie de ordine

partiala pe o familie A de multimi; iar perechea ordonata (A,) este o multime partial ordonata.

Ori de cate ori vom intalni asemenea situatii, ne vom exprima spunand ca familia A de multimi

este partial ordonata prin relatia de incluziune.

Exemple:

1. Sa consideram multimea tuturor numerelor rationale nenegative

AxxQ, x0

si fie ordinea naturala definta pe A. Atunci, este o relatie de ordine liniara pe A si cel mai mic

element al lui A este 0. Multimea A, insa, cu aceasta ordine, nu este bine ordonata deoarece

exista submultimi nevide ale lui A care nu contin un cel mai mic element. Astfel, considerand

multimea BxA x 0 , ori de cate ori xB , avem x/2B , deci B nu contine un cel mai mic

element.

2. Multimea N* a tututor numerelor intregi pozitive, cu relatia de ordine naturala, este o

multime liniar ordonata. De asemenea, N* este si o multime bine ordonata.

Daca f este o relatie si A o multime atunci, prin definitie, multimea

f(A)y (x,y)f pentru xA

poarta denumirea de imagine a lui A prin f.

13

Definitia 1.14. Daca f este o functie astfel incat dom fX si codom fY, atunci se spune

ca f este o functie de la (pe) X in (la) Y. Se scrie f:XY. Daca codom f Y, atunci se spune ca f

este o functie pe Y.

Revenind la definitia 1.9, se poate spune ca o secventa este o functie al carei domeniu de

definitie este N*. Daca x este o secventa, valoarea sa in n se noteaz xn sau x(n). Valoarea xn se

numeste al n-lea termen al secventei. Secventa x avand al n-lea termen xn se noteaza prin xn n

1

sau simplu prin (xn). O secventa (xn) se spune ca este din X daca xnX pentru orice nN* 1)

. Prin

abuz de notatie se scrie (xn)X.

Teorema 1.3. Fie F o familie de functii astfel incat f,g F implica ori fg, ori gf,

adica F este ordonata liniar relativ la . Sa notam h F. Atunci:

1) h este o functie;

2) dom hdom f f F ;

3) x dom h implica h(x)f(x) pentru orice f F astfel incat x dom f;

4) codom hcodom f f F.

Demonstratie:

1) In mod clar h este o relatie deoarece este o reuniune de multimi de perechi ordonate.

Ramane, deci, de aratat ca h este monovalenta. Fie (x,y)h si (x,z)h. Atunci exista f si g in F

astfel incat (x,y)f si (x,z)g . Se stie insa, din iopteza, ca fg sau gf. Sa presupunem ca fg.

Atunci (x,y)g si (x,z)g, iar, pentru ca g este o functie, avem yz. Prin urmare, h este o functie.

2) Aceasta rezulta din faptul ca urmatoarele afirmatii sunt doua cate doua echivalente: x

dom h; (x,y)h pentru elemente y; (x,y)f pentru fF; x dom f pentru fF.

3) Fie x dom h dom f dom f, unde fF. Atunci, (x,f(x))fh si h este monovalenta

asa ca h(x)f(x).

4) Are loc succesiunea de egalitati

codom hh ( dom h) h( dom f fF) h (dom f) fF

f (dom f) fF codom f fF.

In sfarsit, urmatoarea definitie introduce notiunea de functie caracteristica (sau

indicatorul ) unei multimi.

Definitia 1.15. Fie A o multime si B o submultime a sa. Functia IB, cu domeniul de

definitie A si domeniul de valori continut in 0,1 astfel incat

IB(x) = 1

0

,

,

daca x B

daca x A C BA

,

1)

N*1,2,3,...,n,..., N0,1,2,3,...,n,..., Z..., -n,...,-1,0,1,...,n,....

14

se numeste functia caracteristica ( sau indicatorul ) a multimii B.

Reciproc, fiecare functie de x care ia valori 0 sau 1 este o functie caracteristica a multimii

pentru punctele in care aceasta ia valoarea 1. Se verifica urmatoarele corespondente biunivoce si

relatii ( va insemna corespondenta biunivoca):

I0, IE, IA I A C 1,

IAIB A B, IA IB AB,

IAB0 AB, IAn IAn ,

daca An sunt multimi disjuncte, atunci IAn = Ian ,

IAn = I I I I I IA A A A A A1 1 2 1 2 31 1 1 ( ) ( )( ) ....... .

Exista o functie caracteristica particulara careia, datorita frecventei cu care este folosita, i

s-a atribuit un simbol special. In acest scop se defineste diagonala D a produsului cartezian

A A ca fiind multimea D(x,x)xA. Valoarea functiei caracteristice a multimii D in (x,y) se

noteaza prin xy si se numeste simbolul al lui Kronecker. Astfel, pentru punctele arbitrare x si y

din A avem

xydac x ydac x y

10, \ ,, \ .

Definitia 1.16. O multime se numeste recursiva daca are o functie caracteristica recursiva 2)

.

Cu alte cuvinte, o multime A este recursiva daca si numai daca exista o functie recursiva

f astfel incat, oricare ar fi x, atunci xA implica f(x)1 si xCA implica f(x)0.

Prin urmare, ori de cate ori exista un procedeu efectiv pentru a decide, dandu-se un x,

daca x este sau nu un element al multimii A, se va spune ca A este recursiva. De exemplu,

multimea numerelor intregi pozitive pare 0,2,4,... este recursiva. In general, orice multime

finita este recursiva.

Definitia 1.17. Se spune ca multimea A este enumerabila recursiv daca ori are loc

egalitatea A, ori exista o functie recursiva f astfel incat Acodom f.

Prin urmare, o multime este enumerabila recursiv daca exista un procedeu efectiv pentru

inregistrarea elementelor multimii ( care se pot repeta).

Amintim urmatoarele doua rezultate importante.

Teorema 1.4. Daca A este o multime recursiva atunci, ea este o multime enumerabila

recursiv.

2)

O procedura consta, in general, dintr-o multime finita de instructiuni care pot fi executate intr-un interval fixat de

timp si cu un volum de munca, de asemenea, fixat. O procedura poate avea un numar arbitrar de intrari si iesiri. Ea

defineste o aplicatie de la multimea tuturor intrarilor permise la o multime de iesiri. Aplicatia definita de o

procedura se numeste functie partial recursiva sau functie recursiva.

15

Teorema 1.5. Multimea A este recursiva daca si numai daca A si CA sunt ambele

enumerabile recursiv.

1.2 Elemente de teoria semigrupurilor

O lege interna de compozitie (sau lege de compozitie) pe o multime A este o aplicatie a

produsului cartezian AA in A, adica o aplicatie care asigura fiecarei perechi ordonate (a,b), de

elemente din A, un element C din A, numit compusul lor.

In general, compusul elementelor a si b se noteaza ab sau ab sau ab. In primul caz

compusul se numeste suma elementelor a si b si se va spune ca legea de compozitie este aditiva ;

iar in celelalte doua cazuri compusul se numeste produsul elementelor a si b si se va spune ca

legea de compozitie este multiplicativa.

Exista, insa, situatii in care nu se face distinctie intre legea aditiva de compozitie si cea

multiplicativa. In acest caz compusul elementelor a si b poate fi notat ab, acesta putand fi ori

suma ori produsul dintre a si b.

Se va spune despre o lege de compozitie , definita pe multimea A, ca este asociativa

daca a b c a b c

pentru toate elementele a, b si c din A.

Exemplu. Fie S o multime arbitrara si A multimea tuturor aplicatiilor lui S in ea insasi, cu legea

de compozitie (f,g) fg, unde (f g)(x)f(g(x)) pentru orice xS. Aceasta lege de compozitie

este asociativa intrucat daca f, g si h sunt elemente din A, atunci

f g h x f g h x f g h x

Si f g h x f g h x f g h x ,

oricare ar fi xS, ceea ce dovedeste ca legea de compozitie data este asociativa. Un element e

se numeste element neutru, pentru o lege de compozitie din A, daca

a e e a a ,

oricare ar fi aA.

Teorema 2.1. Exista un element neutru si numai unul singur pentru o lege de compozitie

pe A.

Demonstratie. Sa presupunem ca exista doua elemente neutre distincte e si e’ . Atunci au

loc egalitatile ee’e

’ si ee

’e , de unde rezulta ee

’ .

Elementul neutru pentru o lege de compozitie aditiva se noteaza, de obicei, prin 0, in

timp ce elementul neutru pentru o lege de compozitie multiplicativa se obisnuieste sa se noteze

prin 1.

16

Definitia 2.1. Un semigrup este o pereche ordonata (A,), unde A este o multime nevida,

iar o operatie binara asociativa (adica o aplicatie a produsului cartezian AA in A).

Prin urmare, daca x1, x2, x3, sunt elemente arbitrare din A, are loc relatia

(x,x2)x3x1(x2x3).

Ori de cate ori nu exista pericolul unei confuzii, vom nota semigrupul prin A in loc de (A,

) ; de asemenea, vom scrie x1x2 in loc de x1x2.

Se va intelege prin ordinul semigrupului A cardinalul multimii A, care va fi notat prin

card A.

Elementul eA este un idempotent daca si numai daca e2e . Se va spune ca e este un

element unitate stang (drept) daca si numai daca pentru orice xA, exx (xex) . In particular,

daca exe (xee) , se mai spune ca e este un zero stang (drept). Evident, orice element unitate

(in particular zero) este idempotent. Daca pentru orice xA are loc dubla egalitate xexex ,

atunci eA este un element unitate (daca xeeex, atunci eA este un zero).

Definitia 2.2. Un monoid este un semigrup cu element unitate. Un grup este un monoid A

astfel incat pentru fiecare xA exista un elemet x-1A , numit invers lui x , cu proprietatea ca xx

-

1ex

-1x, unde e este elementul unitate al lui A.

Se observa fara dificultate ca daca x1 si x2 ar fi doua inverse distincte ale elementului

xA, atunci x1xxx2(x1x)x2ex2x2. Prin urmare, orice element xA are cel mult un invers.

Un semigrup A este comunicativ sau abelian daca si numai daca x1x2x2x1 pentru orice

x1,x2A .

Daca (x1, . . . , xn) este o secventa finita de elemente din A, atunci

x1x2 . . . xn x1(x2 . . . (xn-1xn) . . . ).

Definitia 2.3. Fie semigrupul A. Atunci SA este un subsemigrup al lui A daca si numai

daca S si, pentru orice s1,s2S, s1s2S,. Se spune ca S este un subsemigrup propriu maximal

al lui A daca si numai daca SA si, ori de cate ori au loc incluziunile SVA cu V un semigrup al

lui A, atunci S V sau V S.

Daca X este o submultime nevida a lui A atunci, se obisnuieste sa se noteze prin <X>

subsemigrupul generat de X , adica cel mai mic subsemigrup al lui A care contine pe X. Cu alte

cuvinte, subsemigrupul generat de X este intersectia tuturor subsemigrupurilor lui A care contin

pe X. Este vizibil ca intersectia subsemigrupurilor unui semigrup este vida sau este un alt

subsemigrup. <X> este, atunci, multimea tuturor produselor finite x1x2 . . . xn ale elementelor lui

X.

Se va spune ca X genereaza multimea A daca si numai daca <X> A. Este evident ca <A> A.

17

Definitia 2.4. Fie A1 si A2 doua semigrupuri. Atunci aplicatia h:A1 A2 este un

omomorfism daca si numai daca h(x1x2)h(x1)h(x2) pentru orice x1,x2A1. Daca XA1, se va nota

prin h(X) multimea yA2 yh(x) pentru xX.

Avand in vedere clasificarea aplicatiilor, se poate face o clasificare a omomorfismelor.

Astfel, un omomorfism care este injectiv se numeste monomorfism (adica daca pentru orice

x1,x2A1, x1x2 implica h(x1)h(x2) ). Un omomorfism care este surjectiv se numeste epimorfism

(adica daca h(A1)A2); in acest caz se va spune despre A2 ca este imaginea omomorfa a lui A1. Un

omomorfism care este o bijectie poarta numele de izomorfism. Se va spune ca A1 este izomorf cu

A2 (se scrie A1A2) daca si numai daca exista un izomorfism h al lui A1 cu A2.

Daca h este un izomorfism, atunci se poate defini inversul lui h, notat h-1

, astfel: pentru

fiecare xA2, h-1

(x) este unicul element din A1 astfel incat hh-1

(x) x. Cum h-1

este

un izomorfism, nu este greu de observat ca este o relatie de echivalenta pe clasa

semigrupurilor.

Un omomorfism al unui semigrup A in el insusi poarta denumirea de endomorfism al lui

A; in cazul in care acesta este un izomorfism al lui A cu el insusi, se numeste un automorfism al

lui A.

Teorema 2.2. Fie h un omomorfism al lui A1 in A2 si se presupune ca exista o aplicatie f

a lui A2 in A1 cu urmatoarele proprietati: f h este aplicatia identitate a lui A1 si h f este

aplicatia identitate a lui A2. Atunci h este un izomorfism al lui A1 cu A2.

Demonstatie. Fie pentru aceasta x1 si x2 elemente din A1 astfel incat h(x1)h(x2). Atunci x1

(f h)(x1)f(h(x1))f(h(x2))(f h)(x2)x2, ceea ce dovedeste ca h este o injectie. Fie x3 un

element oarecare din A2 astfel incat f(x3)x. Atunci h(x)h(f(x3))(h f)(x3)x3, de unde rezulta ca

h este o surjectie. Prin urmare, h este un izomorfism.

Exemple:

1. Fie X o multime data. Printr-o relatie R definita pe X se intelege orice submultime

RXX (conform definitiei 1.10). Pentru x1,x2X se va scrie x1Rx2 sau x1x2 (mod R) daca

si numai daca (x1,x2)R. Atunci semigrupul tuturor relatiilor definite pe X, adica (2XX

, ) are

legea de compozitie

R1 R2 (x,y) exista zX, (x,z)R1,(z,y)R2.

Fie R o relatie si sa notam R-1(y,x) (x,y)R. Atunci (RT)

-1T

-1 R

-1 pentru toate

relatiile T, R definite pe X. Se poate defini pe X o relatie identica I(X)(x,x) xX.

Incluziunea este o relatie de ordine partiala pe multimea tuturor relatiilor definite pe X

(conform cu 1.1.); aceasta ordine partiala formeaza o latice cand este limitata la relatii de

echivalenta. Astfel, o latice este o relatie de ordine partiala pentru care orice pereche de elemente

are o cea mai mica margine superioara (M) si o cea mai mare margine inferioara (m). Daca R1 si

R2 sunt relatii de echivalenta, m(R1,R2)R1 R2, iar M(R1,R2)(R1 R2)n 1 n ,

18

inchiderea tranzitiva a lui R1R2. Deci x este echivalent cu y in M(R1,R2) daca si numai daca

exista secventa xx0,x1,....,xny astfel incat xiR1xi1 sau xiR2xi1 pentru i0,1,2,...,n-1. Daca R1 si

R2 sunt relatii de echivalenta pentru care R1R2R2R1 atunci, se observa ca R1 R2 este o relatie de

echivalenta si R1R2M(R1R2) de asemenea.

2. Fie S o multime nevida. Atunci semigrupul liber necomutativ fara element unitate

generat de S, notat S, este multimea tuturor multimilor finite nevide ordonate de elemente ale

lui S cu operatia de semigrup definita prin concatenare, adica (x1,...,xn)

(y1,...,ym)(x1,...,xn,y1,...,ym) . S este un semigrup infinit.

Se spune ca S este semigrupul liber generat de S, deoarece orice aplicatie a multimii S

intr-un semigrup A are o extensie unica la un omomorfism al lui S in A, definit prin relatia

(x1,...,xn)(x1)...(xn). In particular, daca S este o multime de generatori ai lui A, iar

aplicatia identica atunci, > S A este un epimorfism astfel incat fiecare semigrup este o

imagine omomorfa a unui semigrup liber.

3. Fie A un semigrup. a) Se defineste semigrupul A1 dupa cum urmeaza. Daca A este

monoid, A1A. Daca A nu este un monoid atunci, A

1A1, unde 1A, operatia de multiplicare

in A ramane neschimbata si 1 opereaza ca un element unitate pentru A1. b) Se defineste

semigrupul A0 in felul urmator. Daca A are un zero si card A1 atunci, A

0A. In caz contrar,

A0A0, unde oA, operatia de multiplicare in A ramane neschimbata, iar 0 actioneaza ca un

zero pentru A0. c) Se defineste semigrupul AI ca fiind AI, unde IA, operatia de

multiplicare in A ramane neschimbata, iar I actioneaza ca un element unitate pentru AI. De

retinut ca AAI, chiar daca A este un monoid. De asemenea, A este un subsemigrup al lui A

1, A

0 si A

I.

Elementul 1 din (A)1 va fi identificat cu multimea vida. Vom utiliza pentru (A)

1 notatia A

*.

4. Fie A si B multimi nevide si F(A,B) multimea tuturor functiilor de la A la B. Se scrie

F(A) in loc de F(A, B). Se noteaza prin FS(A) semigrupul (F(A),) unde (fg)(a)f(g(a)) pentru

aA. In mod similar FD(A) este semigrupul (F(a),), unde (f g)(a)g(f(a)). In cazul

semigrupului FD(A) se mai obisnuieste sa de scrie (a)f in loc de f(a) , astfel ca (a)(f g)(((a)f)g).

Fie A un semigrup. Se defineste aplicatia S:FS(A1) prin S(x)(y)xy pentru xA si yA

1.

Aplicatia S este un omomorfism injectiv deoarece S(x1x2)(y)x1x2yS(x1)S(x2)(y)S(x1)S(x2)(y)

si S(x)(1)x pentru orice x, x1, x2A si yA1. Monomorfismul S se numeste reprezentarea

regulata stanga a lui A. Prin urmare, fiecare semigrup este izomorf cu un semigrup al lui FS(A)

pentru o multime A.

Analog se defineste aplicatia D:AFD(A1) data prin (y)D(x)yx pentru yA

1 si xA. De

asemenea, D este un momomorfism numit reprezentarea regulata dreapta a lui A.

Este bine de retinut ca FD(X) este izomorf cu subsemigrupul semigrupului (2XX

, ), care

consta din toate relatiile R avand proprietatea ca, pentru fiecare x, (x,y)R pentru un singur y.

Analog, FS(X) este izomorf cu subsemigrupul care consta din toate relatiile R cu proprietatea ca,

pentru orice y, (x, y)R pentru un singur x.

19

CAPITOLUL 2

CAMP DE PROBABILITATE

OBIECTIVE

Elementele de baza ale Teoriei Probabilitatii:(camp de evenimente, camp de

probabilitate, scheme probabiliste) sunt de natura pragmatica. Este facuta legatura intre multime

si probabilitate. Se face trecerea spre abstract.

La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca:

- Definitia empirica a Probabilitatii

- Probabilitate ca functie de multime si proprietatile ei

- Probabilitati conditionate

- Scheme de probabilitate

2.1. Camp de evenimente

In acest paragraf se arata ca multimea evenimentelor asociata unei experiente provocate

sau nu, in care apar fenomene intamplatoare, are o structura algebrica asemanatoare cu structura

algebrica a partilor unei multimi, anume are o structura de algebra Boole. Rezultatul central este

exprimat in teorema care afirma ca orice camp de evenimente finit, este izomorf cu algebra

Boole a multimii partilor unei multimi finite. De asemenea, se pun in evidenta particularitatile

care diferentiaza algebra Boole asociata unui camp de evenimente infinit si algebra Boole a

multimii partilor unei multimi de cardinal transfinit (multime infinita).

Sa efectuam, de exemplu, experienta aruncarii, pe o suprafata plana, a unui zar. Acest

obiect paralelipipedic regulat are fetele numerotate de la unu la sase. Aruncandu-l pe suprafata

considerata, el se va opri aratand una din fete; iar aparitia acesteia este un fapt intamplator, caci

putem fi in prezenta fetei 1, sau 2, sau ... a fetei 6.

Aparitia fetei numerotata cu numarul natural i, 1 i 6, este un eveniment si îl notam cu

Ei.

Sa asociem experientei unele reguli de joc. De exemplu, sa cerem ca declarat castigator

sa fie cel care obtine o fata numerotata cu un numar par. Sa indicam acest eveniment cu litera A.

Daca apare o fata pe care figureaza un numar impar zicem ca suntem in prezenta evenimentului

non A pe care îl indicam prin A (numit si eveniment comlementar sau contrar).

Evident nu putem avea in acelasi timp A si A, insa are loc cu siguranta evenimentul A

sau evenimentulA. Ne vom exprima spunand ca evenimentul A si A este evenimentul imposibil

si ca A sau A este evenimentul sigur. Observand ca aparitia fetei 2 atrage dupa sine

realizarea evenimentului A, spunem ca evenimentul E2 implica evenimentul A si scriem E2 A.

20

Astfel, E2 A , E4 A , E6 A , E3 A etc.; insa E2 nu implica evenimentul A si scriem

E2 A.

Asociind jocului de fata si regula: jucatorul primeste dublul mizei daca are loc

evenimentul Ei cu i 3, eveniment pe care îl desemnam prin litera B, rezulta ca evenimentul E2

este privilegiat si are loc, daca si numai daca au loc evenimentele A si B.

Imaginand diverse reguli de joc se vede ca experientei aruncarii cu zarul îi putem asocia

o multime de evenimente. Sa indicam aceasta multime prin litera P.

Daca facem conventia, de altfel naturala, sa consideram ca doua evenimente sunt identice

(egale) daca se implica reciproc, observam ca implicatia “ “ este o relatie binara pe multimea

P care are urmatoarele proprietati:

1. Orice AP se autoimplica, adica avem A A.

2. Daca A1, A2 P si A1 A2, A2 A1 atunci A1 A2.

3. Daca A1, A2, A3 P si A1 A2, A2 A3 atunci A1 A3 fapt care ne permite sa spunem ca

implicatia este o relatie de ordine pe P.

De asemenea, observand ca odata cu evenimentele A1, A2 P apartin multimii P si

evenimentele A1 sau A2, respectiv A1 si A2, ultimul putand fi si evenimentul imposibil, pe care îl

desemnam prin simbolul , primul putand fi si evenimentul sigur pe care îl desemnam prin E,

suntem in prezenta a doua legi de compozitie interne definite pe multimea P , disjunctia “sau” si

conjunctia “si”.

Punand ““ in loc de “ “, “ “ in loc de “sau” si ““ in loc de “si”, se poate constata,

fara dificultate ca :

Oricare ar fi evenimentele A, A1, A2, A3 P avem :

a. A1 A1 A2, A2 A1 A2 ;

b. Daca A1 A, A2 A atunci A1 A2 A;

c. A1 A2 A1, A1 A2 A2;

d. Daca A A1, A A2 atunci A A1 A2;

e. A1 ( A2 A3) (A1 A2 ) (A1 A3);

f. Odata cu A P, A apartine lui P si A A E, A A ,

fapte care au loc pe multimea evenimentelor asociate oricarei experiente in care intervin

fenomene intamplatoare.

Pentru a fixa ideile introducem

Definitia 2.1.1 O multime L se numeste latice daca pe L s-a dat o relatie ““ numita

relatie de ordine si doua operatii ““, ““ numite supremum si infimum, care satisfac

urmatoarele axiome:

L1. Oricare ar fi elementele m,n,p L avem :

a. m m;

b. daca m n si n m atunci mn;

c. daca m n si n p atunci m p.

21

L2. Oricare ar fi elementele m,n,p L avem :

a. m m n, n m n;

b. relatiile m p, n p implica m n p;

c. m n m, m n n;

d. relatiile p m, p n implica p m n .

O latice L se zice ca este distributiva daca oricare ar fi m,n,p L avem

m (n p) (m n ) (m p).

O latice L se zice ca este complementata daca in L exista :

e. un element T numit element total cu proprietatea ca orice l L satisface conditia lT;

f. un element numit element nul cu proprietatea ca orice l L satisface conditia

l si

g. pentru orice lL exista cel putin un l din L numit complementul elementului l, astfel

incat sa avem

l l , l lT.

O latice L complementata si distributiva se numeste algebra Boole.

Indicand, in general, cu multimea evenimentelor asociate unei experiente, in care

intervin fenomene intamplatoare, avem

Teorema 2.1.1. Multimea are o structura de algebra Boole in raport cu implicatia

considerata drept relatie de ordine, disjunctia, respectiv conjunctia evenimentelor considerate

drept supremum si infimum, rolul elementului total fiind jucat de evenimentul sigur, iar cel al

elementului nul de evenimentul imposibil.

Un exemplu tipic de algebra Boole îl constituie multimea partilor unei multimi finite sau

infinite X notata de obicei cu P(X). Incluziunea joaca rolul de relatie de ordine, reuniunea rolul

de supremum, intersectia de infimum, elementul total fiind insasi multimea X, iar elementul nul

multimea vida.

Definitia 2.1.2. Algebra Boole asociata unei experiente in care intervin fenomene

aleatoare (intamplatoare) poarta numele de camp de evenimente. Campul de evenimente se spune

ca este finit daca cardinalul multimii este un numar natural, si se spune ca este infinit in cazul

contrar.

Astfel, algebra Boole apare ca un model matematic al notiunii noastre intuitive de camp

de evenimente.

Un exemplu de camp de evenimente finit este campul P asociat experientei aruncarii cu

zarul.

In adevar P este multimea alcatuita din 6 evenimente de tipul Ei, 15 evenimente de tipul

E E i ii i1 2 1 2 , 20 evenimente de tipul E E E i i ii i i1 2 3 1 2 3 , 15 evenimente de tipul

E E E E i i i ii i i i1 2 3 4 1 2 3 4 , 6 evenimente de tipul

E E E E E i i i i ii i i i i1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , evenimentul

22

E E E E E Ei i i i i i1 2 3 4 5 6 care este, de fapt, evenimentul total si evenimentul imposibil

, cum se constata imediat daca observam ca in orice algebra Boole L avem :

m m m ; m m m ; m (n p) (m n ) p ; m (n p) (m n ) p ;

m (n p) (m n ) (m p) oricare ar fi m, n, p L.

Numarul total de evenimente care alcatuiesc acest sistem este egal cu 26. Vom spune ca

multimea P, considerata mai sus, formeaza un sistem complet de evenimente.

De asemenea, campul de evenimente asociat experientei aruncarii cu banul este finit si

este alcatuit din evenimentele: E1 (stema), E2 (banul), E1 E2 evenimentul total si E1 E2

evenimentul imposibil.

Campul de evenimente asociat experientei urmatoare nu este finit. Se considera un

recipient umplut cu un fluid. In acest recipient sa distingem unele portiuni delimitate prin

membrane permeabile. Aparitia unei particole intr-o portiune S este un eveniment intamplator.

Pozitia particolei intr-un punct oarecare din recipient este un eveniment si, cum

recipientul are o infinitate de puncte, campul evenimentelor asociat experientei este infinit.

Evenimentul sigur este SS, iar cel imposibil este, de exemplu, SS deoarece particola nu

poate fi in acelasi timp si in portiunea S si in afara ei.

Definitia 2.1.3. Fie L o algebra Boole. Un element aL, nenul, (a ), daca exista, se

numeste atom daca relatia x a , (x a, xa), implica x .

Astfel, in algebra Boole asociata experientei aruncarii cu zarul, evenimentele E1,E2,...,E6

sunt atomi.

In algebra Boole P(X) a partilor unei multimi X, multimile x cu x X sunt atomi.

Definitia 2.1.4. O algebra Boole se zice ca este elementara daca are atomi si daca orice

element al algebrei se exprima ca supremul atomilor care îl preced, anume daca

x L x p A , este multimea tuturor atomilor care preced elementul p, avem

p xA

. Aici A este o multime de indici care indexeaza atomi ce preced elementul p.

Algebra partilor unei multimi este elementara. De asemenea un alt exemplu este dat in

Teorema 2.1.1 Orice algebra Boole finita este elementara.

In adevar, fie L o algebra finita. Sa numerotam elementele nenule ale lui L astfel x1, x2, ...,

xn. Daca elementul x1 nu are precedenti el este un atom. Daca x1 are precedenti, renumerotand

elementele xi cu i convenabil, putem presupune ca x2 este unul dintre acestia. Daca x2 nu are

precedenti el este un atom. Daca are precedenti, putem proceda cu acesta asa cum am procedat

cu x1. In acest mod putem afirma ca oricare ar fi elementul xL, exista un atom aL cu

proprietatea a x.

Fie aA

familia tuturor atomilor care preced elementul x. Multimea A este o multime

finita. Afirmam ca x aA

. Sa presupunem contrarul, adica

Aa x. Indicand cu

23

Aa complementul elementului

A

a trebuie sa avem x aA

. Conform celor de

mai sus, exista un atom a cu proprietatea a x aA

.

De aici rezulta ca ax si contrazicem faptul ca familia aA

este alcatuita din toti

atomii care-l preced pe x.

O consecinta importanta a rezultatului infatisat in teorema 2.1.1. îl exprimam in

Teorema 2.1.2. Orice algebra Boole finita este izomorfa cu algebra partilor unei multimi

finite X, convenebil aleasa.

Inainte de a da demonstratia teoremei 2.1.2 vom preciza termenii si vom da un rezultat

exprimat in propozitia 2.1.1 privind izomorfismele algebrelor Boole.

Spunem ca doua algebre Boole L1, L2 sunt izomorfe daca pot fi puse in corespondenta

bijectiva printr-o aplicatie L1 L2 astfel incat pentru orice x, y L1 sa avem

xyxy

xyxy.

Propozitia 2.1.1. Conditia necesara si suficienta ca doua algebre Boole L1, L2 sa fie

izomorfe este sa existe o bijectie L1 L2 astfel incat pentru orice x, y L1, din x y sa rezulte

x) (y) si din (x) (y) sa rezulte x y.

In adevar, sa presupunem ca L1 L2 este un izomorf. Deoarece relatia xy este

echivalenta cu xxy, avem (x)(x)(y), deci (x)(y). Deoarece relatia (x)(y) este

echivalenta cu (x)(x)(y) si (x)(y)(xy) rezulta (x)(xy). Ca urmare xxy de

unde x y.

Reciproc, sa aratam ca ansamblul implicatiilor ( x y implica (x) (y)) si ((x)(y)

implica xy) implica calitatea bijectiei L1 L2 de a fi un izomorfism.

Din xy x, xy y rezulta (xy) (x), (xy) (y) de unde (xy) (x) (y).

Insa (x) (y) (x), (x) (y) (y). Cum (x) (y) L2 exista z L1 astfel

incat sa avem (z) (x) (y). Asadar (z) (x), (z) (y) de unde z x, z y, fapt care ne

spune ca z xy. Drept urmare (z) (x y). Deci (x) (y) (x y). Dar, dupa cum am

aratat, (xy) (x) (y), de unde rezulta (xy) (x) (y).

Procedand asemanator, lasam in seama cititorului sa arate ca are loc si relatia (xy)

(x) (y).

Acestea fiind spuse, sa trecem la demonstratia teoremei 2.1.2.

Fie L o algebra Boole finita. Sa notam cu X multimea atomilor ei. Daca p L sa notam cu

Xp multimea x X x p . Evident XpP(x), unde P(x) este multimea partilor lui X.

Considerand aplicatia L P(x) definita prin conditia (p)xp , suntem in prezenta unui

izomorfism intre algebrele L si P(x).

Evident imaginea elementului nul este multimea vida, iar imaginea elementului total T

este X. In plus (p q) Xp Xq, (xy) Xp Xq.

24

Drept consecinte ale teoremelor 2.1.1, 2.1.2 avem

Teorema 2.1.3 Orice camp de evenimente poate fi identificat cu algebra Boole a partilor

unei multimi finite, convenabil aleasa.

In aceasta identificare atomii campului se identifica cu multimile alcatuite din cate un

element, implicatia se inlocuieste cu relatia de incluziune, supremul cu reuniunea iar infimul cu

intersectia.

Definitia 2.1.5. Daca admitem ca atomii campului sunt evenimente elementare ale

acestuia, campul evenimentelor asociat experientei aruncarii cu zarul se identifica cu algebra

Boole a partilor multimii E {1,2,3,4,5,6} care joaca rolul evenimentului sigur. Multimile

, se identifica cu evenimentele elementare. Sa cercetam acum cazul algebrelor

Boole infinite. Un exemplu de algebra Boole infinita este algebra partilor unei multimi infinite 1)

. Fie X o astfel de multime si P(x) algebra Boole a partilor ei.

O particularitate deja semnalata a acestei algebre este aceea ca este o algebra elementara,

sau punctuala daca vrem sa ne apropiem de limbajul geometric punand atom punct.

O alta particularitate a acestei algebre este aceea ca este o algebra completa.

Prin definitie o algebra Boole infinita L se zice ca este completa daca oricare ar fi familia

PA cu PL elementele

A AP P, numite supremul si infimul familiei PA exista si

apartin algebrei L. 2)

Astfel daca X este o familie arbitrara de parti ale lui X,

A

X si

AX exista si apartin multimii P(x).

Fie, acum, o latice infinita oarecare L, de exemplu un camp de evenimente infinit.

In general algebrele Boole infinite nu sunt elementare (punctuale) si nici complete.

In cele ce urmeaza, din consideratii de natura practica, vom lua in consideratie numai

campuri de evenimente infinite care sunt algebre Boole elementare - complete.

Definitia 2.1.6. O algebra Boole infinita L se zice - completa daca odata cu orice

familie PA , cel mult numerabila 3)

, cu P L,

A AP P, exista si apartin algebrei.

Fie L o algebra elementara - completa si multimea atomilor (punctelor) ei. Daca p L, fie

p p multimea tuturor atomilor lui L care preced elementul p. Din modul cum a

fost definita pP() si p p p

p , considerand aplicatia L P() definita prin conditia

(p)p, suntem in prezenta unei aplicatii injective a algebrei Boole L pe multimea (L) P().

1) Amintim ca, daca indicam prin card X numarul elementelor unei multimi X, cardinalul

multimii P(X) se calculeaza dupa formula P(X)=2card X

. 2)

PA

se defineste astfel: pentru orice A avem P

PA

si, daca pentru orice A, avem P

p L, atunci

PA

p ;

PA

se defineste astfel: pentru orice A avem

PA

P si, daca pentru

orice A avem p P (pL), atunci p

PA

.

3) Adica multimea A este finita sau in corespondenta biunivica cu multimea numerelor naturale.

25

Injectivitatea aplicatiei confera multimii (L) o structura de algebra Boole in raport cu

““ incluziunea, ““ intersectia, si ““ reuniunea de elemente care organizeaza multimea

partilor lui drept algebra Boole.

Cum (L) este izomorfa cu L prin , (L) este o algebra - completa. Ca urmare (L)

este o familie de parti ale multimii care are proprietatile

( )L

odata cu X (L), complementara multimii X apartine lui (L) si

IX L( ) pentru orice I ,unde I este o multime cel mult numarabila. Am

demonstrat astfel

Teorema 2.1.4. Orice algebra Boole L - completa este izomorfa cu un corp -

complet (corp borelian) de parti ale unei multimi convenabil aleasa.

Definitia 2.1.7. Intelegem prin corp - complet (corp borelian) de parti ale unei

multimi infinite , orice familie K() P() de parti ale lui care satisface conditiile:

a) K() ( multimea vida );

b) odata cu X K(), complementara X a lui X, apartine lui K();

c) oricare ar fi familia ce l mult numarabila XI cu X K() avem

IX K().

Rezultatele formulate in teoremele 2.1.3, 2.1.4., ne permit sa identificam campurile de

evenimente cu care lucram fie cu algebra Boole a partilor unei multimi finite , fie cu un corp

borelian al unei multimi infinite .. De aceea, de acum incolo vom desemna aceste campuri de

evenimente prin (, P()), respectiv (, K()), punand in evidenta multimea gandita ca

ansamblul evenimentelor elementare, care este totodata evenimentul sigur. Deci, in general un

camp de evenimente nu este izomorf cu familia partilor unei multimi infinite. Cuplul (, K())

îl vom numi camp borelian de evenimente.

Exemplul 2.1.1. (Distributia a trei bile in trei urne).

Tabelul de mai jos infatiseaza toate situatiile posibile care apar in experimentul constand

din asezarea a trei bile in trei urne.

1. abc - - 10. a bc - 19. - a bc

2. - abc - 11. b ac - 20. - b ac

3. - - abc 12. c ab - 21. - c ab

4. ab c - 13. a - bc 22. a b c

5. ab b - 14. b - ac 23. a c b

6. bc a - 15. c - ab 24. b a c

7. ab - c 16. - ab c 25. b c a

8. ac - b 17. - ac b 26. c a b

9. bc - a 18. - bc a 27. c b a

Tabelul 2.1

26

Fiecare dintre aceste aranjamente reprezinta un eveniment simplu, adica un punct.

Evenimentul A intr-o urna se afla un produs este realizat in grupele 1-21 si exprimam acest fapt

spunand ca evenimentul A este totalitatea punctelor 1-21. In mod similar, evenimentul B prima

urna nu este goala este totalitatea punctelor 1, 4-15, 22-27. In sfarsit, evenimentul C definit

astfel evenimentele A si B se realizeaza simultan este totalitatea celor treisprezece puncte 1, 4-15.

In acest exemplu particular s-a intamplat ca fiecare din cele 27 de puncte sa apartina fie lui A, fie

lui B, fie ambelor evenimente. Prin urmare, evenimentul ori A ori B ori ambele se realizeaza

este tot spatiul simplu si se realizeaza cu certitudine. Evenimentul D definit prin A nu se

realizeaza consta din punctele 22-27 si poate fi descris prin conditia ca nici o urna nu ramane

goala. Evenimentul prima urna este goala iar in celelalte nu se afla vreun produs este imposibil

(adica nu se realizeaza) deoarece nici un punct nu satisface aceste conditii.

Exemplul 2.1.2. (Distribuirea a r bile in n urne).

Cazul general al repartizarii a r bile in n urne poate fi studiat in acelasi mod, doar ca

numarul aranjamentelor creste rapid împreuna cu r si n. Pentru r3 bile si n4 urne, spatiul

simplu contine deja 64 puncte; iar pentru rn10 sunt 1010

puncte.

Folosim acest exemplu pentru a ilustra faptul important ca natura punctelor este

neesentiala din punct de vedere al teoriei. La noi spatiul simplu (împreuna cu probabilitatea de

distributie definita in el) defineste experimentul idealizat. Utilizam limbajul pitoresc al bilelor si

urnelor dar, de fapt, acelasi spatiu simplu admite o mare varietate de interpretari practice diferite.

De aceea, atat pentru a clarifica acest aspect, cat si in vederea referirilor noastre ulterioare,

prezentam, mai jos, un numar de situatii in care fundamentul intuitiv variaza. Toate sunt, insa,

prin abstractizare echivalente cu schema plasarii a r bile in n urne, in sensul ca rezultatele difera

numai prin descrierea lor verbala. Atribuirea adecvata a probabilitatilor nu este aceeasi in toate

cazurile, dar aceasta chestiune o vom discuta mai tarziu.

a. Zile de nastere. Configuratiile posibile ale zilelor de nastere a r oameni corespunde

diferitelor aranjamente a r bile in n365 urne (presupunand ca anul are 365 zile).

b. Accidente. Clasificarea a r accidente dupa zilele din saptamana, in care ele s-au

produs, este echivalenta cu introducerea a r bile in n7 urne.

c. In tragerea asupra a n tinte loviturile corespund bilelor, iar tintele urnelor.

d. Oameni si profesii. Fie un grup de oameni clasificati dupa profesia pe care o au.

Clasele joaca rolul urnelor, iar oamenii pe acela al bilelor.

e. Iradiatia in biologie. Atunci cand celulele din retina ochiului sunt expuse luminii,

particulele de lumina joaca rolul bilelor, iar celulele sunt urnele modelului nostru. In

mod similar, in studiul efectului genetic al iradiatiei, cromozomii corespund urnelor

din modelul discutat iar particulele bilelor.

f. In experimentele cu raze cosmice particulele care lovesc contoarele Geiger reprezinta

bilele, in timp ce contoarele functioneaza ca urne.

g. Un lift porneste cu r persoane si se opreste la n etaje. Diferitele aranjamente in care

coboara persoanele corespunde diferitelor distribuiri a r bile in n urne.

27

h. Zarul. Rezultatele posibile ale unei aruncari cu r zaruri corespund plasarii a r bile in

n6 urne. In cazul aruncarii unei monede, insa, avem numai n2 urne.

i. Cifre aleatoare. Posibilitatile de ordonare a unei secvente de r cifre corespund

distribuirii a r bile (corespunzatoare locurilor pe care le ocupa cifrele in secventa) in

zece urne numite 0,1,...,9.

j. Distribuirea dupa sex a r persoane. In aceasta situatie avem n2 urne si r bile.

k. Colectie de timbre. Diferitele feluri de timbre reprezinta urnele, iar timbrele

colectionate reprezinta bilele.

l. Distributia genelor. Fiecare descendent dintr-un individ (persoana, planta sau animal)

mosteneste de la stramosi anumite gene. Daca o gena particulara poate sa apara in n

forme A1, ..., An, atunci descendentii pot fi clasificati dupa tipul de gena. Descendentii

corespund bilelor, in timp ce genotipurile A1, ..., An corespund urnelor.

m. Chimie. Presupunem ca un lung lant de polimeri reactioneaza cu oxigenul. Un lant

partal al acestuia poate reactiona cu 0,1,2,3,... molecule de oxigen. Aici, moleculele de

oxigen cu care se reactioneaza joaca rolul bilelor, iar lanturile de polimeri rolul urnelor

in care sunt puse bilele.

n. Greseli de tipar. Distributiile posibile a r greseli de tipar in cele n pagini ale unei carti

corespund tuturor distributiilor diferite a r bile in n urne, cu conditia ca r sa fie mai

mic decat numarul de litere pe pagina.

Exemplul 2.1.3. (Cazul bilelor care nu se pot distinge).

Sa ne intoarcem la exemnlul 2.1.1 si sa presupunem ca cele trei bile nu sunt

distincte. Aceasta inseamna ca nu mai putem distinge intre trei aranjamente cum ar fi, de

exemplu, 4,5,6 din tabelul 2.1, si, prin urmare, tabelul 2.1 se reduce la urmatoru l

1. xxx - - 6. x xx -

2. - xxx - 7. x - xx

3. - - xxx 8. - xx x

4. xx x - 9. - x xx

5. xx - x 10. x x x

Tabelul 2.2.

Tabelul 2.2 defineste spatiul simplu al experimentului idealizat pe care îl numim

plaseaza trei bile nedistincte in trei urne. Un procedeu similar se aplica in cazul distribuirii a r

bile in n urne.

Daca bilele pot sau nu pot fi distincte, in practica nu este un fapt semnificativ din punctul

de vedere al teoriei. Chiar daca ele sunt distincte, putem decide sa le tratam ca nedistincte si

vice-versa. Persoanele dintr-un lift (exemplul 2.1.2.g) evident ca sunt distincte si totusi adesea

este preferabil sa le tratam ca nedistincte. De asemenea, zarurile din exemplul 2.1.2.h pot fi

colorate pentru a le face distincte dar, daca in discutarea unei probleme particulare, folosim

modelul bilelor distincte sau nedistincte, aceasta este numai o chestiune dependenta de scopul

28

urmarit si de comoditate. Alegerea poate fi dictata de natura unei probleme concrete, dar in toate

împrejurarile teoria incepe numai dupa ce a fost ales modelul adecvat, adica dupa ce a fost

definit spatiul simplu.

In schema de mai sus am considerat bilele nedistincte, dar tabelul 2.2 inca se mai refera la

prima, a doua, a treia urna, ordinea lor fiind esentiala. Sa mergem, acuma, mai departe si sa

presupunem ca nici urnele nu sunt distincte ( adica urna poate fi alesa la intamplare fara a privi

continutul ei). Atunci, daca bilele si urnele sunt nedistincte , sunt posibile numai trei

aranjamente diferite, adica xxx - - , xx x - , x x x .

Exemplul 2.1.4. (Selectia).

Presupunem ca se ia o selectie de 100 oameni pentru a estima cati oameni fumeza.

Singura proprietate a selectiei care intereseaza, in aceasta ordine de idei, este numarul x de

fumatori, care poate fi orice intreg intre 0 si 100. In acest caz putem accepta ca spatiul nostru

abstract consta din cele 101 puncte 0, 1, ..., 100. Fiecare selectie particulara sau observatie este

descrisa complet prin indicarea punctului corespunzator x. Un exemplu de eveniment compus

este realizarea evenimentului majoritatea oamenilor selectionati sunt fumatori. Aceasta

inseamna ca experimentul se realizeaza intr-unul din cele 50 de evenimente simple 51, ..., 100,

dar nu se precizeaza in care. In mod similar fiecare proprietate a selectiei poate fi descrisa prin

enumerarea cazurilor corespunzatoare sau a punctelor. Pentru uniformitate, vom folosi termenul

de evenimente in loc de “proprietati” ale selectiei. Matematic, un eveniment este pur si simplu

totalitatea punctelor corespunzatoare.

Sa presupunem, acum, ca cei 100 de oameni din selectia noastra sunt clasificati nu numai

ca fumatori sau nefumatori dar si dupa sex. Selectia poate fi caracterizata, deci, printr-un

cvadruplu (Bf, Ff, Bn, Fn) de intregi reprezentand, in ordine, numarul de barbati si femei care

fumeaza, barbati si femei care nu fumeaza. Putem lua ca puncte cvadruplele de intregi situati

intre 0 si 100. Acestea constituie spatiul abstract. Evenimentul sunt mai multi fumatori barbati

decat femei inseamna ca in modelul nostru raportul Bf / Bn este mai mare decat Ff / Fn. Punctul

(73, 2, 8, 17) are aceasta proprietate, in timp ce (0, 1, 50, 49) nu o are. Evenimentul formula t

anterior poate fi descris in principiu prin enumerarea tuturor cvadruplelor avand proprietatea

specificata.

Exemplul 2.1.5. (Aruncarea monedei).

Considerand experimentul constand din aruncarea unei monede de trei ori, spatiul

abstract consta din opt puncte care pot fi reprezentate astfel: BBB, BBM, BMB, MBB, BMM,

MBM, MMB, MMM. Evenimentul A apare banul de cel putin doua ori este totalitatea primelor

patru punte; iar evenimentul C apare o singura data marca inseamna ori BBM ori BMB ori MBB,

deci A contine aceste trei puncte.

Dupa cum s-a vazut, nu ne referim la probabilitati decat in legatura cu un spatiu abstract

dat. Pornim, deci, de la notiunea de spatiu abstract si puncte ale sale pe care le vom considera, de

acum incolo, ca fiind date. Ele constituie notiuni primitive si nedefinite ale teoriei, asa cum

notiunile de punct si dreapta, de exemplu, raman nedefinite in tratarea axiomatica a geometriei

euclidiene. Natura punctelor nu priveste teoria. Spatiul abstract reprezinta un model de

29

experiment ideal in sensul ca, prin definitie, fiecare rezultat imaginabil al experimenului este

complet descris printr-un punct si numai unul singur. Are sens sa se vorbeasca despre un

eveniment A numai atunci cand este clar pentru fiecare rezultat al experimentului daca

evenimentul A s-a realizat sau nu. Colectia tuturor acelor puncte care reprezinta rezultatele in

care A s-a realizat descrie complet evenimentul. Invers, orice colectie data A care contine unul

sau mai multe puncte se poate numi un eveniment; acest eveniment poate sau nu sa se realizeze

dupa cum rezultatul experimentului este sau nu este reprezentat printr-un punct al colectiei A.

Prin urmare, definim cuvantul eveniment pentru a insemna acelasi lucru ca o totalitate de puncte.

Vom spune ca un eveniment A consta din anumite puncte, anume acelea care reprezinta

rezultatele experimentului ideal in care se realizeaza A.

Exemplul 2.1.6.

In spatiul abstract din exemplul 2.1.1. sa consideram evenimentul U constand din

punctele numerotate 1, 7, 13. Evident aceasta este o definitie formala si simpla, dar U poate fi

descris in multe moduri echivalente. De exemplu, U poate fi definit ca eveniment pentru care

sunt satisfacute urmatoarele trei conditii:

10 urna a doua este goala,

20 bila a se gaseste in prima urna,

30 bila b nu apare dupa c.

Fiecare dintre aceste conditii descrie ea insasi un eveniment. Evenimentul U1 definit prin

conditia 10 consta din punctele 1, 3, 7-9, 13-15. Evenimentul U2 definit numai prin conditia 2

0

consta din punctele 1, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 22, 23. In sfarsit , evenimentul U3 definit prin conditia 30

contine punctele 1-4, 6, 7, 9-11, 13, 14, 16, 18-20, 22, 24, 25. Evenimentul U poate fi descris, de

asemenea, ca realizarea simultana a celor trei evenimente U1, U2, U3.

Aplicatii

2.1. Fie L o algebra Boole elementara. Sa se arate ca, daca a, b sunt atomi si ab, atunci

ab .

2.2. Fie (, P()), (, K()) un camp de probabilitate finit, respectiv infinit. Sa se arate

ca o conditie necesara si suficienta ca un eveniment P(), (K()) sa fie un eveniment

elementar este ca, dat fiind X P(), (XK()), sa avem: sau X sau X.

Solutii.

2.1. Evident aba, abb. Daca am avea aba, atunci ab. Cum ab rezulta a ,

fapt care nu poate avea loc. Asadar aba, deci ab .

In limbajul campurilor de evenimente aplicatia 2.1 poate fi formulata si astfel: in orice camp de

evenimente, orice doua evenimente elementare sunt incompatibile. Spunem ca doua evenimente

X,YP() sau X,YK() sunt incompatibile daca XY . Cu alte cuvinte doua evenimente

sunt incompatibile daca realizarea unuia exclude posibilitatea realizarii celuilalt in aceeasi proba.

2.2. Sa presupunem ca este un eveniment elementar. Atunci, dandu-se X arbitrar, avem

X . De aici rezulta ca: X ; sau X de unde urmeaza X.

30

Reciproc, sa presupunem ca si ca X fiind dat, avem: sau X sau X.

Luand X cu X, avem X X . Daca X , rezulta X ; iar daca X rezulta X

fapt care trebuie exclus. Asadar, pentru orice X cu X rezulta X si deci este un

eveniment elementar.

Observatie. Se poate face, deci, o prima clasificare a evenimentelor: sigure, imposibile,

intamplatoare.

De asemenea, drept consecinta a aplicatiei 2.1 avem o a doua clasificare a evenimentelor:

compatibile si incompatibile.

2.2. Probabilitate pe campuri finite de evenimente

In paragraful precedent s-au introdus notiunile de camp de evenimente finit si infinit. In

acest paragraf subiectul fundamental il constituie studiul campurilor finite de evenimente

inzestrate cu o posibilitate de evaluare a sansei, evaluare care sa dea o idee asupra realizarii sau

nerealizarii intr-o experienta a unui eveniment dorit. Amintim ca orice camp finit de evenimente

se identifica cu algebra Boole a multimii partilor unei multimi finite , multime care este

evenimentul sigur. In aceasta identificare, rolul evenimentelor elementare este jucat de multimile

alcatuite din cate un element din multimea , rolul evenimentelor oarecare este jucat de partile

lui , rolul implicatiei de incluziune, al disjunctiei evenimentelor de catre reuniune, iar cel al

conjunctiei evenimentelor de intersectia lor.

Probabilitatile diferitelor evenimente sunt numere de aceeasi natura ca si distantele in

geometrie sau masele in mecanica. Teoria le presupune ca fiind date, dar nu presupune numic

referitor la valoarea lor numerica reala sau la modul in care ele sunt masurate in practica. Unele

dintre cele mai importante aplicatii sunt de natura calitativa si nu depind de valorile numerice.

Concluziile generale ale teoriei sunt aplicate in multe moduri, tot asa cum teoremele geometriei,

spre exemplu, servesc ca o baza temeinica pentru teorii fizice sau pentru aplicatii tehnice. In

relativ putinele exemple unde sunt necesare valori numerice pentru probabilitati, metodele de

procedura variaza la fel de mult ca si metodele de determinare a distantelor. Spre exemplu, sunt

putine elemente comune in practica masurarii distantelor de catre un tamplar, un topograf, un

pilot sau un astronom. In contextul nostru, insa, putem considera gradul de difuzie constant, care

este o notiune a teoriei probabilitatilor. Pentru a gasi valoarea sa numerica sunt necesare

consideratii fizice care sa o lege cu alte teorii, o masurare directa fiind imposibila. Din contra,

tabelele privind procesul mortalitatii se intocmesc pe baza unor observatii neprelucrate. In cele

mai multe aplicatii concrete determinarea probabilitatilor, sau compararea teoriei si observatiei,

necesita metode statistice mai rafinate care, la randul lor, se bazeaza pe o teorie a probabilitatilor

perfectionata.

Cand aruncam o moneda “perfecta”, obisnuim sa asociem probabilitatea ½ ori cu banul

ori cu stema. Aceasta este echivalent cu a spune ca, atunci cand se arunca o moneda de n ori

toate cele 2n rezultate posibile au aceeasI probabilitate. Din punct de vedere teoretic aceasta este

o conventie. In mod frecvent s-a sustinut ca aceasta conventie este in mod logic inevitabila si

singura posibila, desi unii statisticieni au desconsiderat aceasta conventie, luand ca punct de

31

plecare presupuneri contradictorii (uniformitatea sau neuniformitatea din natura). De asemenea,

s-a revendicat faptul ca probabilitatile ½ se datoresc experientei. De fapt, ori de cate ori s-au

folosit metode statistice rafinate pentru a descrie o aruncare reala a monedei, rezultatul a fost

invariabil pentru ca banul si stema nu sunt egal probabile . Si totusi, asociem modelului nostru o

moneda ideala, chiar daca nu exista monede perfecte. Astfel ca vom mentine acest model nu

numai pentru simplitatea sa logica ci, in special pentru utilitatea si aplicabilitatea sa. Desi in

multe aplicatii este suficienta o descriere exacta a realitatii, mai important este, insa, faptul

empiric ca abaterile de la schema noastra sunt totdeauna cuplate cu fenomene ca acela al pozitiei

excentrice a centrului de gravitate, spre exemplu. In acest mod, modelul nostru idealizat poate fi

extrem de folositor chiar daca el nu se aplica niciodata exact. De exemplu, in controlul statistic

de calitate modern, bazat pe metodele lui Shewhart, modelele probabiliste idealizate sunt folosite

pentru a descoperi cauzele plauzibile ale abaterilor flagrante de la aceste modele si, astfel, a le

reduce cat mai mult intr-o etapa urmatoare.

Observatii similare se pot face si in alte cazuri.

Exemplul 2.2.1. (Bile care se pot distinge).

In exemplul 2.1.1. apare cu totul natural sa se presupuna ca toate evenimentele

elementare sunt egal probabile, adica fiecare eveniment elementar are probabilitatea 1/27. Sa

consideram ca punct de pornire aceasta definitie si sa cercetam consecintele sale. Daca modelul

nostru va deveni sau nu suficient de adecvat unei experiente reale, va depinde de tipul de

fenomene la care el este aplicat. In unele aplicatii, presupunerea probabilitatilor egale este

impusa de consideratii fizice; in altele ea se introduce pentru a servi ca cel mai simplu model

pentru o orientare generala chiar daca, in mod cu totul evident, ea reprezinta numai o prima

aproximatie bruta (spre ilustrare pot fi considerate exemplele 2.1.2.(a) - zilele de nastere;

2.1.2.(g) - liftul; 2.1.2.(k) - colectia de timbre).

Exemplul 2.2.2. (Bile care nu se pot distinge; statistica Bose-Einstein).

Sa ne intoarcem la exemplul 2.1.3. al repartizarii a trei bile nedistincte in trei urne. Se

poate arata ca experimentul fazic real nu este afectat de neputinta noastra de a distinge bilele

intre ele; din punct de vedere fizic raman 27 de posibilitati diferite, chiar daca se pot distinge

numai zece forme diferite. Aceasta consideratie ne conduce sa atribuim urmatoarele probabilitati

celor zece puncte din tabelul 2.

Numarul de

ordine al

punctului

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Probabilitatea 1/27 1/27 1/27 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 2/9

Trebuie remarcat ca pentru cele mai multe dintre aplicatiile care urmeaza exemplului

2.1.2. acest rationament apare logic, iar atribuirea probabilitatilor rezonabila. Din punct de

vedere istoric acest rationament a fost acceptat multa vreme fara rezerve si a servit in mecanica

statistica drept baza pentru derivarea statisticii Maxwell-Boltzmann pentru repartizarea a r bile in

32

n urne. In acest context a fost, evident, o surpriza cand Bose si Einstein au aratat ca anumite

particule se supun statisticii Bose-Einstein (vezi aplicatii). In cazul nostru, cu rn3 modelul

Bose-Einstein atribuie probabilitatea 1/10 fiecaruia dintre cele zece puncte.

Acest exemplu arata ca atribuirea diferitelor probabilitati este compatibila cu aceeasi

multime de evenimente elementare si ilustreaza complicata corelatie dintre teorie si experienta.

In particular, el ne invata sa nu avem incredere prea mare in rationamente a priori, ci sa fim

pregatiti sa acceptam scheme noi si neprevazute.

Exemplul 2.2.3. (Aruncarea monedei).

O frecventa interpretare a postulatului probabilitatilor egale necesita informatii cu privire

la experiente reale. Dar, in realitate, fiecare moneda sufera influente si este posibil sa se

conceapa experimente fizice care sa fie mult mai apropiate de modelul ideal al aruncarii monedei

decat ar face-o monedele adevarate vreodata. Pentru a avea o idee asupra fluctuatiilor la care ne

putem astepta, prezentam rezultatele unui astfel de experiment simulat care corespunde unui

numar de 10000 probe cu o moneda. Tabelul de mai jos contine numarul de aparitii ale

“banului”intr-o serie de 100 experiemente., fiecare corespunzand unei secvente de 100 probe cu

o moneda. Totalul general este 4979. Privind aceste rezultate este foarte probabil ca cititorul, la

prima vedere, sa se intrebe: este necesara, oare, o teorie mai avansata pentru a judeca in ce

masura asemenea date empirice concorda cu modelul nostru abstract? Vom reveni, deci, asupra

acestei chestiuni.

Numarul

probelor

Numarul de ori in care a aparut banul Total

0 - 1000 54 46 53 55 46 54 41 48 51 53 501

- 2000 48 46 40 53 49 49 48 54 53 45 485

- 3000 43 52 58 51 51 50 52 50 53 49 509

- 4000 58 60 54 55 50 48 47 57 52 55 536

- 5000 48 51 51 49 44 52 50 46 53 41 485

- 6000 49 50 45 52 52 48 47 47 47 51 488

- 7000 47 47 41 51 49 59 50 55 53 50 500

- 8000 53 52 46 52 44 51 48 51 46 54 497

- 9000 45 47 46 52 47 48 59 57 45 48 494

- 10000 47 41 51 48 59 51 52 55 39 41 484

Tabelul 2.3

Sa ne oprim, acum, asupra definirii probabilitatii unui eveniment oarecare si sa stabilim

cateva reguli importante de calcul.

Fie ,P un camp finit de evenimente asociat unei experiente.

33

Fiind dat un eveniment AP() se ridica intrebarile: Efectuand experienta, evenimentul

A va avea loc sau nu ? Care este sansa ca evenimentul A sa aiba loc ? Ce se intelege prin sansa si

cum o evaluam ?

Pentru a preciza ideile sa consideram, de exemplu, experienta aruncarii cu banul. Campul

asociat experientei in cauza este alcatuit din partile multimii 1 2 1, unde este evenimentul

care marcheaza aparitia stemei, iar {2} este evenimentul care marcheaza aparitia valorii.

Alegand evenimenul 1 , la intrebarea: care este sansa ca aruncand moneda, aceasta sa

prezinte fata marcata cu stema? Credem ca oricine va raspunde: sansele aparitiei stemei, sau fetei

pe care este marcata valoarea monedei, sunt egale.

In esenta, cel chestionat, gandeste sansa aparitiei evenimentului 1 , sau a evenimentului

2 , ca numar.

Definitia 2.2.1. Se numeste probabilitate (dupa matematicianul A.A. Kolmogorov) a

evenimentului AP() o functie nenegativa P(A)0, care satisface axiomele:

a) P() = 1;

b) Daca A,B P si A B , atunci are loc relatia P A B P A P B .

Definitia 2.2.2 . Orice pereche de evenimente A,BP() care satisfac conditia

A B se spune ca sunt evenimente incompatibile.

Proprietati ale probabilitatii.

Luand in definitia 2.2.1. b) A B obtinem

P P P P P 2

de unde rezulta

(2.1) P()0,

fapt care ne spune ca evenimentul imposibil are probabilitatea nula.

Luand, acum, in 2.2.1. b), B A , unde A este evenimentul contrar 4)

evenimentului A,

obtinem relatia

(2.2) P A P A 1

formula care exprima legatura intre probabilitatea evenimentului A si probabilitatea

evenimentului contrar.

Definitia 2.2.3 . Evenimentele A1, . . . ,An din P se spune ca sunt evenimente

incompatibile daca oricare ar fi numerele i,j{1,2, ..., n} in relatia ij, avem A Ai j .

Fara dificultate, prin inductie, se poate demonstra

Teorema 2.2.1. Daca A P i n1 1 , ,..., sunt n evenimente incompatibile, atunci

P A P Aii

n

i

i

n

1 1

U .

4)

Unii autori utilizeaza notatia CA sau Ac pentru a desemna evenimentul contrar (numit si complementar) al

evenimentului A.

34

Sa observam ca aceasta egalitate ramane adevarata si in cazul cand se ia o multime de

indici I infinita, adica

P A P AI I

U .

Intr-adevar, daca I este o multime infinita de indici, atunci, deoarece P este o

multime finita, cel putin unul dintre evenimentele A se repeta de mai multe ori. Dar

evenimentele care se repeta trebuie sa coincida cu evenimentul imposibil ; iar evenimentele

care nu se repeta sunt in numar finit. Fie J multimea indicilor pentru care evenimentul A nu se

repeta. Atunci, daca I J urmeaza ca An si, prin urmare,

P AI

U P A P A P A

J J I

( ) ( ) .

Teorema 2.2.2. Daca A B P, si AB atunci, P(A) P(B) si exprimam acest fapt

spunand ca probabilitatea este functie monotona peste P() .

In adevar, observand ca =A(BA)B si ca evenimentele A, BA B, sunt

evenimente incompatibile, aplicand teorema 2.2.1. rezulta

P A P B A P B 1

Dar

P B P B 1

astfel ca

P A P B A P B .

Cum numerele P(A), P(B), P(B A) sunt numere pozitive, rezulta

P(A) P(B) .

Fie A, B P () si A B. Atunci,

B A B A

si cum A B A obtinem

P B P A P B A

sau

P B A P B P A .

Sa ne reamintim ca, in acest paragraf, campurile de evenimente luate in consideratie, sunt

campuri finite. Aceasta inseamna ca multimea este o multime finita. Indicand prin x1, . . . , xn

elementele ei, x1, . . . , xn , evenimentele elementare x1, xj, ij, sunt incompatibile.

Daca P este o probabilitate pe campul (,P()) atunci, punand P(x1)pi, avem

(2.3) P P Pn1 2 1 ... ,

iar daca A P() este evenimentul A x xi i p1 ,..., atunci

(2.4) P(A) = P Pi i p1 ... .

35

Acest fapt ne spune ca putem intotdeauna defini o probabilitate P peste un camp finit de

evenimente (,P()), x1, . . . , xn , daca luam P(xi) pi, unde pi sunt numere reale arbitrare

supuse conditiei pi0,1, astfel incat sa avem indeplinita conditia (2.3) si, daca pentru orice A

x xi i p1 ,..., P(), calculam probabilitatea evenimentului A cu (2.4).

In particular, daca presupunem ca evenimentele elementare ale campului de evenimente

( x1, . . . , xn , P()) , sunt egal probabile, deci daca luam

P x P x P x p p pn1 2 0 01 .... , , , , atunci np1 deci p1/n ,

(adica probabilitatile evenimentelor sunt egale intre ele) si

(2.5) P A cardAcard

num rul elemntelor ml imii Anum rul elemntelor ml imii

\ ]\ ]

formula care poate fi luata drept definitie a probabilitatii unui eveniment oarecare A apartinand

unui camp finit cu evenimente. Aceasta este definiia clasica a probabilitatii.

Ne referim la cardA ca fiind numarul rezultatelor favorabile realizarii evenumentului A,

iar la card ca fiind numarul rezultatelor incompatibile egal posibile ale experimentului in urma

caruia se poate realiza evenimentul A (cardA card).

Exista situatii, insa, in care aceasta definitie clasica a probabilitatii se dovedeste

insuficienta, manifestand lipsuri care nu pot sa nu fie luate in seama. Ne vom referi aici, pe scurt,

la trei aspecte care vor evidentia fie imposibilitatea clasificarii evenimentelor in cazuri egal

posibile, atunci cand se aplica definitia clasica a probabilitatii, fie neputinta de a determina, in

general, numarul cazurilor.

Am vazut ca notiunea de probabilitate apare in legatura cu procesul efectuarii unei

experiente. Dar, cand se arunca zarul, sa zicem de 100 de ori, se poate numara efectiv de cate ori

a aparut fata sase. Suntem, astfel, in prezenta unei noi notiuni numita frecventa relativa, definita

in modul urmator: Daca in n experiente un eveniment s-a produs de ori, raportul /n se

numeste frecventa relativa a evenimentului considerat in seria de experiente efectuate.

Daca experienta se repeta de un numar mare de ori, atunci se constata ca frecventele

relative ale unor evenimente oscileaza in jurul unor anumite valori. Deci, se poate vorbi despre o

stabilitate a frecventelor relative, notiunea teoretica de probabilitate a unui eveniment neputand

fi despartita de notiunea de frecventa relativa. Mai mult chiar, se poate spune ca teoria

probabilitatilor se poate aplica numai acelor fenomene pentru care exista o stabilitate a

frecventelor relative in jurul probabilitatii. Aici este esenta legilor de probabilitate dupa care se

desfasoara o multime de fenomene ale naturii si ale vietii sociale. Dar, pentru multe fenomene,

indeplinirea unui sistem de conditii nu conduce in mod necesar la un eveniment A. In schimb,

daca se repeta experienta de un numar de ori, cu indeplinirea de fiecare data a conditiilor date, se

va observa o anumita legitate exprimata prin oscilarea frecventei relative in jurul unui numar

reprezentand elementul stabil, pe care obisnuim sa-l notam cu p. Se va spune ca, pentru aceste

fenomene, probabilitatea ca la indeplinirea sistemului de conditii date sa se realizeze

evenimentul A este egala cu p.

36

Prin urmare probabilitatea unui eveniment are sens numai atata timp cat nu se schimba

conditiile in care are loc experienta respectiva. Schimbarea acestor conditii implica schimbarea

probabilitatii. In acest sens, apare deja o prima deficienta a definitiei clasice a probabilitatii

anume, aceea de a fi rupta de realitate.

Dar numai atat. Prin relatia (2.5) se defineste probabilitatea unui eveniment A prin

raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizarii lui A si numarul cazurilor egal posibile. Or,

o astfel de definitie are la baza tocmai posibilitatea de a discrimina aceste cazuri egal posibile.

Dar, daca ne gandim nu la fenomene mai complexe, ci doar la aceeasi experienta simpla care

consta din aruncarea cu zarul, acest zar, presupus ipotetic perfect construit si omogen, in realitate

nu poseda aceste calitati relative la perfectiunea sa. Deci in conditiile realitatii dispare chiar

probabilitatea de clasificare a fetelor zarului in cazuri egal posibile astfel ca, nici atunci cand se

considera un numar finit de cazuri posibile, de cele mai multe ori nu se poate face discriminarea

lor in cazuri egal posibile.

In sfarsit, al treilea aspect pe care-l discutam se refera la situatiile in care trebuie

considerat un numar infinit de cazuri. Sa presupunem, de exemplu, ca vrem sa determinam

probabilitatea de a obtine un numar prim luand la intamplare un numar din sirul numerelor

naturale. Este clar ca in acest caz, nu numai ca nu putem discrimina numarul cazurilor posibile,

dar ne lovim de dificultatea determinarii chiar a numarului total de cazuri.

Daca, in plus, ne gandim si la faptul ca definitia clasica a probabilitatii nu se poate aplica

unei categorii largi de fenomene naturale si sociale, tocmai din cauza imposibilitatii de a

determina numarul cazurilor favorabile sau al tuturor cazurilor egal posibile, ajungem la

concluzia ca aceste neajunsuri ale definitiei clasice a probabilitatii trebuiesc inlaturate pentru a

putea vorbi de o teorie a probabilitatii consistenta, puternic ancorata in realitate si aplicabila

fenomenelor care apar in natura si societate.

Iata doar cateva aspecte care justifica, pe deplin, incercarile facute de-a lungul timpului

pentru a da o definitie a probabilitatii care sa raspunda acestor cerinte si de construi o teorie a

probabilitatilor bazata pe algebra si analiza moderna (ne gandim la cercetarile care au urmat

orientarilor date de Banach si Lebesgue).

Asa cum s-a putut constata pana acum, una din notiunile fundamentale ale teoriei

probabilitatilor este aceea de camp de evenimente datorata initial lui von Mises 5)

. Aceasta

notiune a facut posibila construirea unei teorii a probabilitatilor riguroasa din punct de vedere

matematic, bazata pe teoria masurii. Acest mod de abordare a teoriei s-a facut remarcat in mod

treptat datorita influentei multor autori.

O tratare axiomatizata, reprezentand dezvoltarea moderna a teoriei probabilitatilor a fost

realizata de A. N. Kolmogorov 6)

caruia i se datoreste definitia 2.2.1, capabila sa elimine

neajunsurile definitiei clasice a probabilitatii. De aceea, si in expunerea de fata s-a preferat

5)

Este vorba de cartea sa Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig ind Wien , 1931 cu referiri la articolele sale

originale datand din jurul anului 1921. 6)

A.Kolmogoroff ,Grundhegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, fasc..3, vol.2 din “Ergebnisse der Mathematic,

Berlin, 1933,

37

obtinerea formulei (2.5) ca o consecinta a definitiei axiomatice 2.2.1, in locul introducerii ei

apriori, prin definitie.

Revenind la cazul experientei aruncarii cu zarul “nefalsificat”, avem

1 23 4 56 16

1 2 6, , , , , , , ,...,P pentru ii si, de exemplu, daca A 235, , , atunci

P A

cardcard

( ), ,

235 3

612

, adica P A( ) 16

16

16

36

12

.

Definitia 2.2.4 . Un camp finit de evenimente P inzestrat cu o probabilitate P

poarta numele de camp finit de probabilitate si se noteaza astfel:

(, P(), P)

Tehnica prin care putem defini o probabilitate pe un camp finit de evenimente (, P()),

indicand probabilitatile evenimentelor elementare supuse conditiilor exprimate in formulele

(2.3), (2.4), poate fi utilizata cu succes intr -o gama de probleme cu caracter aplicativ.

De exemplu sa incercam sa rezolvam urmatoarea problema: Se stie ca un electromotor, o

masina unealta, un automobil etc., este un asamblaj de piese numit “repere” . Sa indicam cu R1,

R2, . . . , Rn reperele din care este asamblata o masina M. In depozitul uzinei, ri% din piesele

marcate Ri au defecte. Indicand cu r% numarul masinilor M la care se constata greseli de montaj,

intrebarea care se ridica este urmatoarea: care este probabilitatea ca luand la intamplare o masina

M, aceasta sa nu aiba nici un defect ?

Luata ca atare, problema de mai sus pare dificil de rezolvat. Lucrurile nu stau, insa, chiar

asa ea reducandu-se, in esenta la urmatoarea:

Fie 1 1 1 2 2 2, , , ,P P P P doua campuri finite de probabilitate . Sa asociem

campurilor de evenimente 1 1 2 2, , ,P P campul de evenimente

1 2 1 2 ,P unde 1 2 este produsul cartezian al multimilor 1, 27)

. Sa se

defineasca pe campul 1 2 1 2 ,P o probabilitate “intim” legata de probabilitatile P1,

P2.

Urmarind scopul propus, sa presupunem ca 1 1 x xn,..., , 2 = {y1, ..., ym),

P1({xi})=pi , iI={1,2, ..., n}, P2({yj})=qj , jJ={1,2, ..., m}.

Observand ca

7)

Produsul cartezian a doua multimi X,Y este multimea

X Y x y x X y Y , ,

38

1 2

1 2 1 2

1 2

x y i I j J

x y x y

sunt evenimentele elementare ale campului P

x y

i j

i j i j

i ji Ji I

, , ,

,

,

,UU

punand

(2.6) P x y P x P y p qi j i j i j, 1 28)

si cerand sa avem

(2.7) P x y p qi jj J Ji I I

i ji I j J

'' ' 'UU

pentru orice I’I , J

’J, alcatuite din elemente distincte, functia

P : P 1 2 01 ,

definita mai sus, este probabilitate pe campul

1 2 1 2

,P ,

numita produsul cartezian al pobabilitatilor P1, P2 . Va fi notat P P P 1 2 .

Verificarea ca functia P este o probabilitate se face fara dificultate astfel:

a) Aratam ca P 1 2 1 . In adevar 1 2

x yi jj Ji I

,UU si tinand seama de

formula (2.7) avem

P P x y P x y p q p qi jj Ji I

i jj

m

i

ni j

j

m

i

ni

i

nj

j

m 1 2

11 11 1 11 1 1

, , .

b) Aratam ca, daca

8)

In virtutea relatiei (2.5) avem

p P xcard xcard

card xm

q P jcard y

card

card y

m

i ii i

j jj j

11

22

Dar, fiecare din cele n rezultate incompatibile egal posibille ale experimentului in care poate sa se produca xi poate

fi asociat cu fiecare din cele m rezultate incompatibile egal posibile ale experimentului in care poate sa se produca xj,

astfel ca numarul rezultatelor incompatibile egal posibile ale experimentului in care se produc xi si xj este egal cu

nm . Din aceste nm rezultate egal posibile se deduce, rationand analog, ca sunt favorabile producerii simultane a

evenimentelor xi si xj un numar de cardxi cardxj rezultate. Prin urmare

39

(X1Y1)(X2Y2) = unde X1, X2P(1) , Y1, Y2P(2)

rezulta

P((X1Y1) (X2Y2)) = P(X1Y1) +P(X2Y2).

In adevar, din teoria multimilor se stie ca

X Y X Y X X Y Y1 1 2 2 1 2 1 2

si ca relatia XY implica X= sau Y= sau XY.

Aceste fapte amintite, din

X Y X Y1 1 2 2

rezulta ca

(X1X2) (Y1Y2) =

si deci sau

X X sau Y Y sau X X Y Y1 2 1 2 1 2 1 2 , , .

Pentru a face o alegere sa luam X 1X2 si sa punem

X x x I a I

X x x I a I

Y y y J b J

Y y y J b J

a

a

ba

b

1 11 1 1 1 1

2 21 2 2 2 2

1 11 1 1 1

2 21 2 2 2 2

1

1

1

1

,..., , ,...,

,..., , ,...,

,..., , ,...,

,..., , ,...,

In virtutea ipotezei X1X2 , avem x1ix2i’ oricare ar fi iI1 , i’ I2.

Asadar

X Y x y x y x y x y x y x y x y

X Y x y x y x y x y x y x y x y

X Y X Y

x y x y x y

b b a a b

b b a a b

1 1 11 11 11 12 11 1 1 12 11 12 1 1 1 1 11 1 1 1 1

2 2 21 21 21 22 21 2 2 21 21 21 2 2 2 2 21 2 2 2 2

1 1 2 2

11 11 11 12 11

, , , ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., ,

, , , ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., ,

, , , ,..., ,

U

1 1 12 11 12 1 1 1 1 11 1 1 1 1 21 21

21 22 21 21 21 22 21 2 2 21 21 21 2 2 2 2 21 2 2 2 2

b b a a b

b b a a b

x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y x y x y

, , ,..., , ,..., , ,..., , , , ,

, , , , , ,..., , , , ,..., , ,..., , ,..., ,

Or,

x y x yi j i j1 1 1 1, ,

P x ycard x card x

nmcard x

n

card y

mcard xcard

card y

cardp q

i ji j i j

i ji j

,

1 2

40

unde i i I j j J daca i i sau j j, , , , 1 1

x y x yi j i j2 2 2 2'' ' ' ', ,

unde i i I j j J daca i i sau j j, , , ,' ' ' ' ' , 2 2

x y x yi j i j1 1 2 2, ,' '

pentru ca x x oricare ar fi i I i Ii i1 2 1 2 '', .

Ca urmare,

P X Y p q

P X Y p q

P X Y X Y p q p q p q

i Ii j

j J

i Ii j

j J

a b a b

1 11

1 11

2 21

2 21

1 1 2 2 11 11 1 1 1 1 2 2 2 2

'' '

'

... ...

unde am pus P x p P x pi i i i1 1 1 2 2 2 , ' ' .

Asadar

P X Y X Y p q p q P X Y X Yi I

i jj J i I

i jj J

1 1 2 21

1 11 2

2 22

1 1 2 2

''

'' ceea

ce era de aratat.

Observand ca notiunea de produs cartezian a doua campuri de probabilitate poate fi

extins la un numar finit de campuri, raspunsul la problema pusa privind probabilitatea ca masina

M sa nu aiba nici un defect poate fi dat in felul urmator.

Fie i i i iE E P 1 2 1, , campul de probabilitate asociat extragerii unei piese dintr-un

numar de o suta piese purtand indicativul Ri, unde Ei1 este evenimentul ca piesa extrasa sa fie

fara defect, iar E i2 Ei1 evenimentul contrar.

Sa luam P E r si P E P E ri i i i i i i2 1 2100 1 1 100 / / .

Notand cu (0={E01, E02}, P( 0)) campul de evenimente corespunzator extragerii unei

masini M luata la intamplare, dintr-un lot de 100 bucati , unde E01 este evenimentul ca masina sa

nu aiba vicii de montaj, luand P E E r P E r0 02 01 0 01100 1 100 / / , P0 este o

probabilitate pe acest camp.

Fie 0 1 0 1 0 1

... , ... , ...n n nP P P P P campul de

probabilitate produs cartezian al campurilor (k, P(k), Pk) k 0, 1, . . . ...,n . Ca urmare,

probabilitatea ca masina M sa nu aiba nici un defect este

41

P E E P E

P E P E r r r

En

n nn

0 11 1 0 01

1 11 111

1001

1001

100

,

... ... .

,...,

Aplicatie la problema distributiei bilelor.

Exemplele din paragraful 2.1 indica larga aplicabilitate a modelului privind introducerea

in mod aleator a r bile in n une. Ne propunem, acuma, o discutie pe baza acestui model

presupunand, fireste, ca fiecare dintre cele nr distributii posibile au probabilitatea n

-r . Cele mai

importante proprietati ale unei distributii particulare sunt exprimate prin numerele de

reprezentare r1, . . . , rn unde ri este numarul de bile din urna i. Avem

(2.8) r1 + r2 + .... rn = r , r i 0 ; 1 i n .

Convenim sa tratam bilele in ideea ca nu le putem distinge. Atunci, distributia lor este

complet descrisa de numerele de reprezentare ri , 1 i n; iar doua distributii se pot distinge

numai daca n-uplele ordonate corespunzatoare (r1, . . . , rn) nu sunt identice. Un prim rezultat este

continut in lema urmatoare.

Lema 2.2.1. Numarul de distributii distincte (adica numarul de solutii diferite ale

ecuatiei (2.8) este

An r

rn r

nr n,

1 11

Numarul de distributii distincte in care nici o urna nu ramane vida este rn

11

.

Demonstratie. Cazul r 100, n 4, a fost folosit in partea a doua a exemplului 2.1.4. Sa

folosim, acum, forma simpla a reprezentarii celor n urne prin spatii situate intre n1 bare, iar

bilele prin asteriscuri . Astfel, scrierea este folosita in mod simbolic pentru o

distributie a r 8 bile in n 6 urne cu numerele de reprezentare 3, 1, 0, 0, 0, 4. Un asemenea

simbol in mod necesar incepe si se termina cu o bara, dar cele n - 1 bare care raman si cele r

asteriscuri pot sa apara intr-o ordine arbitrara. In acest fel, apare clar ca numarul de distributii

distincte este egal cu numarul de moduri in care se pot selectiona r locuri din n r - 1 posibilitati,

adica n r

r

1.Pentru a doua parte a lemei se observa ca, prin conditia ca nici o urna sa nu fie

vida, se impune ca doua bare sa nu fie adiacente. Cele r asteriscuri permit r-1 spatii, din care n-1

ar fi ocupate de bare. Astfel avem rn

11

posibilitati si lema este dovedita.

Exemplul 2.2.4. Exista r

55

rezultate distincte ale unei aruncari cu r zaruri identice.

Exemplul 2.2.5. (Derivatii partiale).

42

Derivatiile partiale de ordinul r ale unei functii analitice f x xn1,..., de n variabile nu

depinde de ordinea de derivare ci numai de numarul de ori in care apare fiecare variabila. Astfel,

fiecare variabila corespunde unei urne si, deci, exista n r

r

1 derivate partiale diferite de

ordinul r. De exemplu o functie de trei variabile are 15 derivate partiale de ordinul patru si 21

derivate partiale de ordinul cinci.

Exemplul urmator ilustreaza o metoda extrem de simpla si obisnuita in rezolvarea multor

probleme de analiza combinatorie.

Exemplul 2.2.6. (Configuratiile a r7 bile in n7 urne).

[Urnele ar putea fi interpretate ca zile ale saptamanii, iar bilele ca vizite, scrisori,

accidente etc.t. Sa consideram distributiile cu numerele de reprezentare 2, 2, 1, 1, 1, 0, 0, care

apar intr-o ordine arbitrara . Aceate sapte numere de reprezentare indica o partitie a celor sapte

urne in trei subpopulatii (categorii) constand respectiv din cele doua ocupate de cate doua bile,

urmatoarele trei ocupate de cate o bila si ultimele doua urne goale. O asemenea partitie in trei

grupe de marimi 2,3 si 2 se poate efectua in 7

2!3!2!!

moduri. Fiecarei atribuiri particulare a

numerelor de reprezentare celor sapte urne ii corespund 7

2!2!1!1!1!0 07

2!2!!

! !!

distributii

diferite ale celor r7 bile in cele sapte urne. In consecinta, numarul total de distributii astfel incat

numerele de reprezentare sa coincida cu 2,2,1,1,1,0,0, intr-o ordine este 7

2!3!2!7

2!2!!

.

Este bine de retinut ca acest rezultat a fost obtinut printr -o dubla aplicare a formulei

(2.9) n

r r rk

!! !... !1 2

adica, atat bilelor cat si urnelor. Bineinteles ca acelasi rezultat poate fi obtinut si scris in mai

multe moduri, dar metoda prezentata furnizeaza cea mai simpla tehnica, obisnuita pentru o mare

varietate de probleme. Pentru completa ilustrare a metodei dam, in tabelul de mai jos, toate

configuratiile posibile ale numerelor de reprezentare in cazul r n 7 si probabilitatile

corespunzatoare.

Numere de

reprezentare

Numarul de aranjamente egale

cu 7! 7! impartite prin

Probabilitatea (Numarul

de aranjamente impartit

prin 77)

1,1,1,1,1,1,1 7! .1! 0,006120

2,1,1,1,1,1,0 5! . 2! 0,128518

2,2,1,1,1,0,0 2!3!2! . 2!2! 0,321295

2,2,2,1,0,0,0 3!3! . 2!2!2! 0,107098

3,1,1,1,1,0,0 4!2! . 3! 0,107098

3,2,1,1,0,0,0 2!3! . 3!2! 0,214197

43

3,2,2,0,0,0,0 2!4! . 3!2!2! 0,026775

3,3,1,0,0,0,0 2!4! . 3!3! 0,017850

4,1,1,1,0,0,0 3!3! . 4! 0,035699

4,2,1,0,0,0,0 4! . 4!2! 0,026775

4,3,0,0,0,0,0 5! . 4!3! 0,001785

5,1,1,0,0,0,0 2!4! . 5! 0,005355

5,2,0,0,0,0,0 5! . 5!2! 0,001071

6,1,0,0,0,0,0 5! . 6! 0,000357

7,0,0,0,0,0,0 6! . 7! 0,000008

Tabelul 2.4

Distributiile aleatoare a 7 bile in 7 urne

Observatii.

10. Am folosit mai sus termenul de populatie nu n indivizi pentru a semnifica o totalitate

de n elemente fara a lua in consideratie ordinea lor. Astfel, doua populatii sunt considerate

diferite daca exista un element continut in una, dar nu si in cealalta. Extragand r elemente dintr-o

populatie data cu n indivizi se formeaza o subpopulatie cu r indivizi. Se poate arata fara

dificultate ca o populatie cu n indivizi poseda nr

subpopulatii diferite cu r n indivizi.

20. Referitor la numerele (2.2), numite si coeficienti multinomiali si care se intalnesc

frecvent in statistica matematica, precizam ca acestea se leaga de urmatoarea teorema: fie r1, . . .

,rk intregi astfel incat r r r nk1 2 ... . Numarul de moduri in care o populatie cu n indivizi

poate fi impartita in k parti ordonate (adica partitionata in k subpopulatii) din care prima

contine r1 elemente, a doua r2 elemente, etc. este

n

r r rk

!! !... !1 2

adica tocmai (2.9).

In incheierea acestui paragraf vom da cateva detalii referitor la statisticile Bose-Einstein

si Fermi-Dirac, prima invocata deja la inceputul paragrafului.

Am presupus mai sus, ca fiecare dintre cele nr distributii posibile are probabilitatea n

-r.

Este interesant ca faptele si experientele i-au constrans pe fizicieni sa abandoneze aceasta ipoteza

si sa atribuie probabilitatile in diferite moduri.

Sa consideram un sistem mecanic din r particule care nu se pot distinge intre ele. In

mecanica statistica se obisnuieste sa se subimparta spatiul fazelor intr-un numar mare, n, de

regiuni mici sau celule astfel incat fiecare particula este repartizata intr-o celula. In acest mod,

starea intregului sistem este descrisa in termenii unei distributii aleatoare a r particule in n celule.

Pentru moment, s-ar parea (cel putin cu o definitie adecvat a celor n celule) ca toate cele nr

aranjamente ar avea probabilitati egale. Daca acest lucru este adevarat, fizicienii vorbesc despre

statistica Maxwell-Boltzmann (evident, termenul statistica are aici un sens specific fizicii). S-au

44

facut numeroase incercari pentru a dovedi ca particulele fizice se comporta potrivit statisticii

Maxwell-Boltzmann, dar teoriile moderne au aratat, fara indoiala ca aceasta statistica nu se

aplica oricaror particule cunoscute. Deci, in nici un caz, nu ne putem astepta ca toate

aranjamentele nr sa fie aproximativ egal probabile. Au fost astfel introduse doua modele

probabiliste diferite, fiecare descriind in mod satisfacator comportarea unui tip de particule. Nici

unul dintre ele nu are caracter universal si cum, justificarea oricarui model depinde de succesul

pe care-l are, este posibil ca intr-o buna zi sa se introduca un al treilea model pentru anumite

feluri de particule.

Prin urmare, consideram r particule nedistincte intre ele si n celule. Prin statistica Bose-

Einstein se intelege ca se considera numai aranjamente distincte si ca fiecaruia i se atribuie

probabilitatea (2.10)

n r 1r

1

Din mecanica statistica se stie ca aceasta presupunere ramane adevarata pentru fotoni,

nuclei si atomi care contin un numar par de particule elementare. Pentru a descrie alte particule

trebuie sa se introduca o noua posibilitate de atribuire a probabilitatilor.

Statistica Fermi-Dirac se bazeaza pe urmatoarele ipoteze: 10 este imposibil ca doua sau

mai multe particule sa fie in aceeasi celula; 20 toate aranjamentele distincte care satisfac prima

conditie au probabilitati egale. Prima ipoteza cere ca r n. Un aranjament este atunci

descris complet enuntand care dintre cele n celule contine o particula si, intrucat exista r

particule, celulele corespunzatoare pot fi alese in nr

moduri. Deci, exista in total

nr

aranjamente posibile, fiecare avand probabilitatea

nr

1

. Acest model se aplica la electroni,

neutroni si protoni.

Avem, prin urmare, un exemplu instructiv privitor la imposibilitatea selectionarii sau

justificarii modelelor probabilitate prin discutii purtate apriori in conditii cu totul generale. De

fapt, prin nici un rationament pur nu s-ar putea spune ca fotonii si protonii nu s-ar supune

acelorasi legi de probabilitate.

In concluzie, deci, putem spune ca probabilitatea ca celulele cu numarul de ordine 1, 2, 3

, ..., n sa contina r1, r2, r3, . . . , rn bile respectiv (unde r1 r2 r3+ . . . rn1) este egala cu

r

r r rn

n

r!! !... !1 2

in cazul statisticii Maxwell-Boltzmann (este bine de retinut ca statistica Maxwell-Boltzmann

este, de altfel, termenul folosit de fizicieni pentru ceea ce noi numim introducerea in mod

intamplator a bilelor in urne). Aceasta probabilitate este dat de (2.10) in cazul statisticii Bose-

Einstein si este egala cu nr

1

din statistica Fermi-Dirac cu conditia ca fiecare rj sa fie egal cu 0

sau 1.

45

Exemplul 2.2.7.

Fie n5, r3. Atunci aranjamentul * * * are probabilitatea 6

125135

110

, ,sau

dupa cum se considera statistica Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein sau Fermi-Dirac respectiv.

Exemplul 2.2.8.

O carte contine n simboluri (litere), din care r sunt tiparite gresit. Distributia greselilor

de tipar corespunde unei distributii a r bile in n urne, nici o urna necontinand mai mult de o bila.

Este, prin urmare, normal sa presupunem ca, aproximativ, greselile de tipar se supun, statisticii

Fermi-Dirac .

Aplicatii

2.3. Se arunca doua zaruri. Care este probabilitatea ca la o aruncare sa apara dubla (6,6) ?

Solutie. Se considera campul de evenimente

11 16 61 6 6, ,..., , ,..., , ,..., , , P

si se presupune ca evenimentele elementare sunt egal probabile. Or, card 36. Ca urmare,

P 6 6 136

, .

Se putea proceda la rezolvarea acestei probleme considerand campul

' , ,... , , ' 1 2 6 P P unde P i' 16

, asociat experientei aruncarii unui zar si campul

produs ' ' , ' ' , ' ' P P P . .

Ca urmare, P P P P' ' , ' ' 6 6 6 6 16

16

136

.

2.4. Se arunca doua zaruri. Care este probabilitatea ca la o aruncare ambele zaruri sa

prezinte fete avand un numar par de puncte.

Solutie. In campul , ,P P considerat in problema precedenta, evenimentul in cauza

este A 2 2 2 4 26 4 2 4 4 4 6 6 2 6 4 6 6, , , , , , , , , , , , , , , , , .

Ca urmare, P A cardAcard

936

14

.

Daca consideram campurile ' , ' , 'P P ' ' , ' ' , ' ' P P P evenimentul

care ne intereseaza este

A’= ({2}{2}) ({2}{4}) ({2}{6}) ... ({6}{2}) ... ({6}{6})

Deci

P’P’(A’) = P’P’({2}{2}) + ... + P’P’({6}{6}) = 9((1/6).(1/6)) = 1/4 .

2.5. Se presupune ca numerele 1,2, . . . , n sunt asezate la intamplare. Care este

probabilitatea ca numerele 1, 2 sa fie asezate consecutiv in ordine crescatoare ?

46

Solutie. Sa indicam cu ,P campul de evenimente asociat problemei. Un

eveniment elementar este 1 ,..., n unde este o permutare a numerelor 1, 2, . . .

, n . Ca urmare, cardn! . Sa observam, in continuare, ca perechea 1, 2 poate ocupa n-1 locuri

in sirul celor n numere si ca alaturi de numerele 1, 2 celelalte numere pot fi asezate in (n-2)!

moduri.

Asadar indicand cu A evenimentul respectiv, avem cardA(n-1).(n-2)! (n-1)!. Prin

urmare, P(A) cardA / card (n-1)! / n! 1/n.

2.6. O carte de telefon contine toate numerele formate cu cate sase cifre dintre cifrele 0,

1, 2, ..., 9. Sa se determine probabilitatea ca un numar ales la ;intamplare sa fie alcatuit:

a) din cifre distincte;

b) din cifre consecutive;

c) prima cifra sa fie 1.

Solutie. Sa indicam cu multimea tuturor numerelor de telefon. Numarul elementelor lui

este 106 si reprezinta numarul aranjamentelor cu repetitie care se pot forma cu 10 cifre luate

cate 6. Sa notam acest numar prin simbolul (A6

10).

Pentru a da raspunsul la punctul

a) trebuie sa determinam numarul elementelor multimii A alcatuita din toate numerele de

telefon formate cu cate 6 cifre distincte din cele 10 numere. Acest numar coincide cu numarul

aranjamentelor ce se pot forma cu 10 elemente luate cate 6, adica cu numarul A106 1098765 . . . . . .

Ca urmare,

P A cardAcard

AA

106

106

01512, .

b). Fie B multimea numerelor de telefon alcatuita din sase cifre consecutive.

Evident, B 01 23 4 5 5 4 3 210 4 56 7 8 9 98 7 6 5 4, , , , , , , , , , , ,..., , , , , , , , , , , , .Deci cardB10.

Asadar, P B cardBcard

1010

10 0 0000165 , .

c). Fie C multimea tuturor numerelor care incep cu cifra 1. Numarul elementelor

multimii C este egal cu numarul aranjamentelor cu repetitie a cifrelor 0,2,3,4,5,6,7,8,9 luate cate

cinci.

Prin urmare, cardC A 95 59 , de unde P C cardC

card

9 10 0 0590495 6 , .

2.7. Cu liftul unei cladiri, avand n etaje, urca k persoane, k n. Care este probabilitatea

ca la fiecare etaj sa opreasca cel mult o persoana ?.

Solutie. Sa notam cu e1, . . . , en etajele si cu x1, . . . , xk personale. Fie multimea

tuturor opririlor posibile ale liftului dictate de cele k persoane. Aceasta multime coincide cu

multimea aplicatiilor multimii K = {1, ..., k} in multimea N n 1,..., ; deci

card cardN nk .

47

Deoarece la fiecare etaj poate opri cel mult o persoana, numarul opririlor este dat de

nkA . Prin urmare, p A

nnk

k .

2.3. Camp de probabilitate complet aditiv

In paragraful 2.1 am aratat ca orice algebra Boole L, completa, poate fi aplicata

izomorf pe un corp complet (corp borelian) de parti ale unei multimi infinite , convenabil

aleasa. Astfel, teorema 2.1.4 ne-a permis sa luam drept model, care sa descrie campurile de

evenimente cu un numar infinit de stari, campurile (, K()) unde K() sunt corpuri

complete de parti ale multimii P() a partilor multimii .

Or, prin izomorfismul de care este vorba in teorema invocata, algebra L se identifica cu

K() si, ca urmare, K() afortiori este ea insasi o algebra boole completa, deci are

proprietati mult mai tari decat cele cerute in definitia 2.1.7.

Faptul este aparent deoarece se pote demonstra urmatorul rezultat pe care il formulam in

Teorema 2.3.1. Orice corp complet K() de parti ale unei multimi infinite este o

algebra completa.

Faptul rezulta direct din definitia 2.1.7 observand ca avem x xI I

pentru orice

familie cel mult numerabila {X}I de elemente XK(), ( vezi definitia 2.1.6).

De asemenea, din = rezulta K() si ca joaca rolul elementului total;

distributivitatea operatiei “” fata de “” apare ca o proprietate naturala a operatiilor “”, “” ,

in K().

In plus, in K() se gasesc si multimile

lim sup

lim inf

x x

x xrr

1

1

daca {X}I este o familie cel mult numerabila de elemente din K().

Un mijloc cu ajutorul caruia putem asocia la familii de parti ale unei multimi

infinite , corpuri complete, este urmatorul :

Fie F o familie arbitrara de parti ale multimii . Cum intersectia unui numar oarecare de

corpuri complete ale multimii este un corp complet, corpul pe care il asociem, in

mod unic, familiei F este intersectia tuturor corpurilor multimii care cuprind familia F.

Acest corp complet este cunoscut sub numele de corpul generat de familia F.

Definitia 2.3.1. Fie (, K()) un camp infinit de evenimente. O probabilitate pe campul

(, K()) este, prin definitie, o aplicatie P : K() [0, 1]

cu proprietatile

a) P()1

48

b) P ( ) ( )x P xI I

oricare ar fi familia {X}I cel mult numerabila de evenimente incompatibile din K() 9)

.

Direct din definitia 2.3.1 rezulta ca aplicatia P : K()0,1 are urmatoarele proprietati :

Teorema 2.3.2. 1) P( ) 0 ;

2) Daca XY si X,Y P(), atunci P(X) P(Y) ;

2’) Daca XY si X,Y P(), atunci P(Y-X) P(Y)-P(X) ;

3) P X P X( ) ( ) 1 ;

4) Daca multimea I este numerabila, seria P xI

( )

este convergenta.

Proprietatile 1), 2), 3) ale probabiltatii P rezulta imediat deoarece, daca luam card I 0,

deci daca presupunem ca multimea I este finita, conform lui b) rezult a

P P P( ) ( ) ( ) 2

de unde P( ) 0 .

Din P X X P X P X( ) ( ) ( ) 1 rezulta 3); iar 2) urmeaza din observatia ca avem

Y X Y X Y ( ) .

Daca in 2) luam Y, avem P(X)P()1 si, deci, 4) are loc daca avem card I 0. In

adevar, pentru orice numar natural n

X Xn

I

1

si, ca urmare, sirul

S P X P Xnn

I

( ) ( )

1

1

este monoton si marginit, deci convergent.

O proprietate importanta a probabilitatii P, pe (, K()), este exprimata in teorema 2.3.3.

cunoscuta sub numele de teorema de continuitate.

Teorema 2.3.3. Daca XN 10)

este un sir monoton descrescator de elemente

apartinand campului (,K()), deci daca X1X2 ... Xn ... si daca XN

, atunci

lim ( )

P X 0.

Demonstratie. Intr-adevar, este lesne de vazut ca dandu-se nN avem

X X X X X ( ) ( )1 1 2

si, in particular,

X X X X X1 1 2 2 3 ( ) ( )

9 ) Familia {X}I se spune ca este alcatuita din evenimente incompatibile daca pentru orice 1, 2 I , cu 1 2

avem X 1 X2 = . 10)

N = {1,2,3, ...}

49

Insa evenimentele {XX+1}N fiind incompatibile, avem

P X P X Xi ii

( ) ( )1 11

ceea ce ne spune ca seria P X Xi ii

( )

11

este convergenta. Drept urmare,

lim ( ) lim ( ( ))

P X P X Xi

1 0

ceea ce era de aratat.

Corolarul 2.3.1. Daca XN este un sir monoton descrescator, atunci

lim ( ) ( )

P X P XN

.

Pentru a verifica ca proprietatea exprimata in corolarul 2.3.1. este adevarata sa punem

X XN

si sa observam ca sirul YN cu Y X X este un sir care indeplineste

conditiile teoremei 2.3.3. Drept urmare,

lim ( )

P Y 0 .

Insa

P Y P X X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) .

In adevar,

X X X X X ( ) ( )

de unde P X P X P X X( ) ( ) ( ) pentru ca XX.

Asadar P X X P X P X( ) ( ) ( ) si trecand la limita obtinem

lim ( ) ( )

P X P X 0

adica lim ( ) ( ) ( )

P X P X P XN

.

Sa presupunem, acum, ca se da un sir monoton crescator, adica XX, N. Atunci,

sirul evenimentelor contrare ( ) ( )X K este monoton descrescator, adica

( ) ,X X N 1 . Deci , pentru acest sir, in virtutea corolarului 2.3.1. avem

lim ( ) ( )

P X P XN

.

Deoarece

X X NN N

,

si P X P X N( ) ( ), 1

rezulta ca P X P X P XN N N

( ) ( ) ( )

1 .

50

Deci

lim ( ) lim ( ( )) ( )

P XX P X P XN

1 1

adica

lim ( ) ( )

P X P XN

.

Obtinem astfel

Corolarul 2.3.2. Daca XN este un sir monoton crescator, atunci

lim ( ) ( )

P X P XN

.

Corolarul 2.3.3. Daca XN este o multime cel mult numerabila de evenimente

apartinand campului de evenimente (K()), atunci P X P XI I

( ) ( )

.

Demonstratie. Daca multimea I este finita, proprietatea este evidenta si ne convingem

imediat daca observam ca, in cazul a doua evenimente X1,X2 avem

P X P X X X P X X( ) ( ( )) ( )1 1 1 2 1 2

P X P X X X P X X( ) ( ( )) ( )2 2 1 2 1 2

P X X P X X X P X X P X X X( ) ( ( )) ( ) ( ( ))1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 .

Daca IN, sirul Xn

n N

1

este un sir monoton crescator deci, conform corolarului 2.3.2. ,

lim ( ) ( )n

nP X P X

1 1

.

Insa P X P Xn n

( ) ( )

1 1

astfel ca P X P X P X P Xn

n

n( ) lim ( ) lim ( ) ( )

1 1 1 1

ceea ce era de aratat.

Prin urmare, probabilitatea este o functie subaditiva daca evenimentele considerate sunt

oarecare si este complet aditiva in cazul evenimentelor incompatibile doua cate doua.

Definitia 2.3.2. Campurile de evenimente ( K()), pe care s-a definit o probabilitate P

in sensul definitiei 2.3.1, se noteaza ( K(), P) si se numesc campuri de probabilitate complet

aditive.

Exemple

2.3.1. Fie R multimea numerelor reale si fie B corpul borelian ( - corpul) generat de

multimea intervalelor deschise. (R, B) este un camp de evenimente. Daca X B si este

indicatorul multimii, aplicatia

P : B R

51

definita prin conditia P X x e dxxx

R( ) ( )

1 2

este o probabilitate pe campul (R, B), deoarece e dxx

2

si

XI

XI

daca

multimea I este cel mult numarabila, iar familia XI este alcatuita din evenimente

incompatibile .

2.3.2. Fie Rn = R ... R

n (n factori) spatiul euclidian n dimensional si fie B

n corpul

borelian ( - corpul) generat de multimea intervalelor deschise 11)

din Rn. (R

n, B

n) este un camp

de evenimente. Daca f este o functie reala definita pe Rn si, daca f este integrabila Riemann astfel

incat sa avem

(2.11) f x x dx dxn n

Rn( ,..., ) ...1 1 1

si daca punem

(2.12) P X x x f x x dx dxn n n

Rn( ) ( ,..., ) ( ,..., ) ...

1 1 1

unde x este indicatorul multimii XBn atunci, P este o probabilitate pe (R

n,B

n).

Daca E este o multime boreliana din Rn (adica daca EB

n) si f este o functie reala

integrabila Reimann definita pe E, care satisface la conditia (2.11) definind P(X) conform

formulei (2.12), unde

XK{XBnXE}

atunci, E,K,P este un camp de probabilitate complet aditiv.

2.3.3. Daca E este o multime boreliana din Rn

si daca dx dxn

E

1... este finita atunci, daca

punem P xdx dxdx dx

nx

nE

( )......

1

1 unde XK{XBnXE atunci, E,K,P este un camp de

probabilitate complet aditiv. Acest rezultat sta la baza teoriei probabilitatilor in geometrie.

[Integrala dx dx n

E

1... este gandita, aici, ca integrala de volum in sensul analizei clasice. Anumite

considerente de natura generala au impus, drept instrument eficient de investigare in teoria

probabilitatilor, integrala in sensul lui Lebesgue.]

2.3.4. Fie EiiI o multime numerabila si piiI o multime de numere reale pozitive

cu proprietatea pii I 1. Daca, pentru orice XP(E), punem P x p j

j J( )

unde

JI este multimea care indexeaza submultimea XE atunci, (E, P(E), P) este un camp de

probabilitate complet aditiv.

11

) Un interval deschis este o multime I = {x1 ... xn : a1x1b1 , ..., anxnbn} unde a1 , ..., an , b1 , ..., bn sunt numere

reale

52

2.4. Modele clasice in teoria probabilitatilor

In acest paragraf se considera unele modele din teoria probabilitatilor, anume: Modelul

lui Bernoulli, modelul lui Poisson, modelul bilei neintoarse. Aceste modele cunoscute si sub

numele de scheme clasice, apar frecvent in aplicatii.

Modelul lui Bernoulli consta dintr-o urna in care se afla N bile, din care n sunt de culoare

alba, iar restul de culoare neagra, bilele neputandu-se distinge decat prin culoare. Se extrag

succesiv din urna N1 bile punandu-se de fiecare data bila inapoi in urna. Se cere probabilitatea

evenimentului ca, printre cele N1 bile extrase, n1 sa fie de culoare alba.

Pentru a evalua probabilitatea evenimentului in cauza sa observam, mai intai, ca

probabilitatea de a extrage din urna bila alba este p nN

. Evenimentul contrar are deci

probabilitatea q1-p.

Asociem problemei campul de probabilitate (A, A , P(), P), unde A este

evenimentul bila extrasa este alba, A este evenimentul contrar, P(A) p, P( A )1-pq si

consideram campul produs

)(...),)(,( 11111 factoriNundePP

NNNN

Un eveniment elementar apartinand acestui camp este de forma ( , , )x xN1 1unde xi

este sau o bila alba sau o bila neagra si, drept urmare, P x x p qNN

n N n11

1 1 11, , daca

extractia ( , , )x xN1 1 cuprinde n1 bile albe.

In campul ( , ( ) ) N NP1 1 exista CN

n

1

1 12) evenimente elementare de tipul indicat mai sus

si fie E multimea aceastora. E fiind evenimentul care ne intereseaza, avem

P E C p qNNn n N n1

11 1 1 1( ) ceea ce constituie raspunsul la chestiunea pusa.

In esenta modelul lui Bernoulli poate fi asimilat cu orice experienta careia ii corespunde

un camp de probabilitate finit (A, A , P(), P), unde A si A sunt evenimente contrare,

P(A) p, P( A )q, cu pq1, impreuna cu problema determinarii probabilitatii evenimentului E,

repetand experienta in aceleasi conditii de N ori ( adica evenimentul A sa aiba loc de nN ori).

Notand cu PN(n,p) probabilitatea evenimentului E avem

(2.13) P n p C p qN Nn n N n( , ) .

Inainte de a trece la o generalizare a modelului lui Bernouli observam ca numarul PN(n,p)

este termenul n1 in dezvoltarea binomului (pq)N sau este tocmai coeficientul puterii a n-a a

variabilei t in dezvoltarea binomului (ptq)N.

12)

CN

n

1

1 reprezinta numarul combinarilor ce se pot forma cu N1 obiecte luate cate n1N1 :

CA

n

N

n N nN

n N

n

1

1 1

1

1

1

1 1 1

!

!

!( )!

53

Fie dat un sir cunoscut de probabilitati

(2.14) P0, P1, P2, ..., Pn

si 0 n acel numar intreg pentru care P, din sirul precedent, are cea mai mare valoare, cu

alte cuvinte evenimentul cu probabilitatea P are cea mai mare sansa de realizare. Numarul se

numeste, din acest motiv, valoarea cea mai probabila. Ne propunem sa cercetam cate valori

corespund acesteia.

Fie un element din sirul 0,1,2,...,n. Atunci,

P C p q i P C p qnn

nn

[ 11 1 1

de unde se obtine

PP

C p qC p q

nn

p qn

n p qn p

qn

n

nn

nn

11 1 1

21 1

1 1 1!!( )!

( )!( )!!

.

Prin urmare, daca

P

Pn p

q

1

11

sirul initial de proba bilitati (2.14) este crescator. Deci, in acest caz avem qnp-pp. Dar

pq, astfel ca (1-q)np-pp, adica npp.

Daca, insa,

P

Pn p

q

1

11

se obtine, in aceeasi maniera, npp, caz in care sirul initial de probabilitati (2.14) este

descrescator.

Dar, in general, npp este un numar intreg. Deoarece P este cea mai mare valoare din

sirul (2.14), rezulta ca este numarul intreg cel mai apropiat de valoarea npp care indeplineate

conditia npp. Prin urmare, avem np-q npp, adica se gaseste pentru o valoare

unica. Se gasesc doua valori numai intr-un singur caz, anume cand npp este intreg, caz in care

si np-q este numar intreg. Deci, valoarea cea mai probabila se apropie foarte mult de valoarea

medie np care, insa, nu corespunde unei proprietati generale a variabilelor aleatoare.

Modelul general al lui Bernoulli priveste extractiile repetate dintr-o urna alcatuita din bile

de diverse culori. Stiind ca probabilitatea scoaterii bilei de culoarea i1,2,...,k este p i,

(p1...pk=1), se cere probabilitatea ca, in N extractii succesive, cu reintroducerea bilei extrase, n1

bile sa aiba culoarea 1, n2 bile sa aiba culoarea 2, ..., nk bile sa aiba culoarea k. Evident,

Nn1...nk.

Indicand cu PN(n1,...,nk) probabilitatea evenimentului in discutie avem

(2.15) P n nN

n np pN k

k

nknk( ,..., )

!!... !

...11

11 .

Se obtine aceasta formula luand produsul cartezian de N ori al campului (A1,...,Ak

P(), P) unde P(Ai)pi, i1,2,...,k si calculand probabilitatea evenimentului elementar de forma

(x1, ..., xN) unde n1 dintre evenimentele x1, ..., xN coincid cu evenimentul A1, n2 coincid cu

54

evenimentul A2, etc. Expresia din (2.15) este tocmai termenul general din dezvoltarea

polinomului (p1+ ... +pk)N .

Modelul lui Poisson.

Se considera N urne U1,...,UN, fiecare continand bile de doua culori, de exemplu albe si

negre. Presupunand ca probabilitatea evenimentului Ai, de a extrage o bila alba din urna Ui, este

pi, iar a evenimentului contrar A i este qi (pi qi1), se cere probabilitatea evenimentului ca,

extragand din cele N urne cate o bila, sa ontinem n bile albe.

Indicand cu E acest eveniment, determinarea probabilitatii acestuia se obtine imediat

aplicand, din nou, tehnica produselor carteziene. Este sufucient sa asociem campurilor

iAi,A i P(i), Pi(Ai)pi, Pi(Ai)=qi

campul

1... N, P(1...N), P1...PN.

Se constata ca

(2.16) P E p p q qi i n i n i N( ) ... ...

1 1

unde suma se ia dupa toate combinarile in ordine naturala ale numerelor 1,2,...,N.

De exemplu, pentru N4, n2, avem

P(E)p1p2q3q4p1p3q2q4p1p4q2q3p2p3q1q4p2p4q1q3p3p4q1q2 .

Sa observam ca, in formula (2.16), P(E) este coeficientul puterii a n-a a nedeterminatei t

in produsul

(p1t+q1)(p2t+q2) ... (pNt+qN)

si ca modelul lui Bernouli se obtine din cel al lui Poisson daca se considera urnele U1,...,UN

identice.

Modelul bilei neintoarse.

Se considera o urna care contine N bile din care a sunt de culoare alba iar celelalte de

culoare neagra. Din urna se extrag dintr-o data n bile. Se cere sa se calculeze probabilitatea ca

printre cele n bile extrase sa fie albe. Altfel spus: se fac n extrageri, dupa fiecare extragere

neintroducandu-se bila inapoi in urna. Indicand cu E evenimentul in cauza, obtinem

(2.17) P EC C

Ca N a

n

Nn( )

.

Justificarea acestei formule se poate face imediat daca apelam la calculul probabilitatilor

in campuri de evenimente cu evenimente egal posibile. Pentru aceasta sa numerotam bilele

punand A1, ..., Aa, Ba1, ..., BN. Numarul extragerilor a n bile din N este dat de CNn .

Asociind problemei campul de evenimente ( P()), unde este multimea tuturor n-

plelor alcatuite cu cate n bile din cele N, un eveniment elementar are drept probabilitate numarul

1CN

n .

55

Un caz favorabil, deci un eveniment elementar apartinand evenimentului E, este alcatuit

dintr-o combinatie de elemente din cele a bile albe urmata de o combinatie de n- bile din cele

N-a bile negre. Asadar card E C Ca N an si, drept urmare, P(E) (card E)/(card ) =

C C

C

a N a

n

N

n

,

ceea ce era de aratat.

Modelul bilei neintoarse se poate generaliza. Aceasta generalizare se refera la o urna

alcatuita din bile de culorile 1,2,...,k. Daca n i desemneaza numarul bilelor de culoarea i si

n1...nkN, se cere probabilitatea evenimentului ca intr-o extractie, dintr-o data, a n N bile ,

1 bile sa fie de culoarea 1, 2 de culoarea 2, ... , k de culoarea k, (1...kn).

Procedand la fel ca in cazul precedent se constata ca probabilitatea evenimentului

respectiv E este data de formula

(2.18) P EC C C

Cn n nk

k

n nkk

( )

11

22

11

Aplicatii

2.8. Se arunca o moneda de 8 ori. Care este probabilitatea ca stema sa apara de 6 ori?

Solutie. Se aplica schema lui Bernoulli. Probabilitatea ceruta este coeficientul puterii a 6-

a a nedeterminateei t in 12

12

8

t

. Deci, p C

8

66 41

212

.

2.9. Un tintas nimereste tinta de 7 ori din 9 trageri. Sa se calculeze probabilitatea ca el sa

nimereasca tinta de 8 ori consecutiv.

Solutie. Schema lui Bernoulli ne da pentru p7/9, q2/9, N8 : p(7/9)8.

2.10. Se arunca doua zaruri de 15 ori. Sa se calculeze probabilitatea ca dubla 6 sa apara

cel putin o data. Sa se determine si probabilitatea ca dubla 6 sa apara cel putin de doua ori.

Solutie. Se considera campul de probabilitate (A,A , P(), P). Daca A este

evenimentul ca dubla 6 sa apara cel putin o data, iar A evenimentul ca dubla 6 sa nu apara

niciodata atunci, deoarece aruncarile sunt independente, avem P(A)=(35/36)15

. Ca urmare,

P(A)1-P(A)=1-(35/36)15

. Pentru a da raspunsul la cel de-al doilea punct fie E evenimentul ca

dubla 6 sa apara cel mult o data si E1 evenimentul ca dubla 6 sa apara o singura data. Deoarece

evenimentele E1 si A sunt incompatibile rezulta P(E)=P(E1A)=P(E)+P(A).

Prin urmare, obtinem P(E)(35/36)15

+ C151

14136

3526

.

Asadar, notand cu D evenimentul ca dubla 6 sa apara cel putin de doua ori rezulta, in fina l,

P(D)1-

14

1

15

15

36

35

36

1

36

35

C

2.11. O urna contine 5 bile albe si 3 negre, o alta urna 6 bile albe si 2 negre, iar a treia, 7

albe si una neagra. Sa se determine probabilitatea evenimentului ca, extragand din fiecare urna

cate o bila, sa obtinem doua bile albe si una neagra.

56

Solutie. Se aplica schema lui Poisson. Se ia p15/8, q13/8, p26/8, p37/8, q31/8 si se

inlocuiesc in formula pp1p2q3p1p3q2p2p3q1

lucru echivalent cu determinarea coeficientului puterii a doua a variabilei t din produsul

58

38

68

28

78

18

t t t

.

2.12.. Un magazin vinde in cursul unei saptamani 2600 bucati dintr-o marfa primita de la

fabricile A, B, C in urmatoarele cantitati. De la fabrica A 3600 bucati, de la fabrica B 2000

bucati, iar de la fabrica C 4200 bucati. Marfa fiind de aceeasi calitate, sa se determine

probabilitatea ca 820 bucati din marfa vanduta sa fie de la fabrica A, 500 bucati de la fabrica B si

restul de, 1280 bucati, de la fabrica C.

Solutie. Se aplica schema lui Bernoulli, cazul general. Se ia p13000/980015/49,

p22600/980013/48, p34200/980021/49, n1820, n2500, n31280 si se aplica formula

P n n nN

n n nN ( , , )!

! ! !1 2 31 2 3

, unde Nn1n2n3.

2.13..Intr-un lot de 100 piese, sase piese au defecte remarcabile, patru piese sunt rebuturi,

iar restul sunt piese bune. Din acest lot se iau, la intamplare, 10 piese. Care este probabilitatea ca

din piesele extrase sapte sa fie bune, doua sa aiba defecte remarcabile si una sa fie rebut ?

Solutie. Se aplica schema bilei neintoarse, cazul general (urna cu bile de mai multe

culori). Se ia in formula (2.18), k3, n16, n24, n390, 11, 22, 37.

2.14. Intr-o grupa de 30 studenti, 18 sunt baieti, iar restul fete. La un examen sunt

introdusi in sala loturi de cate 10 candidati. Care este probabilitatea ca intr-un lot sa fie 4 fete si

restul baieti?

Solutie. Se aplica schema bilei neintoarse. Se ia in formula (2.18), k2, n118, n212,

16, 24. Obtinem pC C

C 18

6124

3010 0 9, .

2.15. La loterie, din N numere se extrag n. Care este probabilitatea de a obtine numere

stabilite dinainte?

Solutie. Se aplica formula (2.17), unde luam n. In cazul extragerii Loto, N90, n45,

3, daca se participa la joc cu un bilet de trei numere.

2.5. Formule utile in aplicatiile teoriei probabilitatilor. Probabilit ati conditionate.

In acest paragraf se prezinta situatii tipice care pot sa apara in aplicatii. Se introduc, in

continuare, notiunile de probabilitate conditionata, de evenimente independente si se da formula

lui Bayes. Se stabileste, de asemenea, inegalitatea lui Boole.

Fie (, P(), P) un camp finit de probabilitate si fie A1, ...,An un sistem de n evenimente

din acest camp, (Ai P()). Se stie ca, daca evenimentele A1,...,An sunt incompatibile, avem

(2.19) P A P Aii

ni

i

n

1 1( ) .

57

Problema care se pune este aceea de a vedea ce se intampla in cazul general, anume in

cazul cand evenimentele A1, ..., An sunt oarecare.

Pentru simplificare sa luam cazul a doua evenimente A1, A2 si fie A1A2 intersectia lor.

Observam ca

A A A A A1 1 2 1 2 ( ) ( )

A A A A A2 2 1 1 2 ( ) ( )

A A A A A A A A1 2 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( )

In virtutea formulei (2.19) avem

(2.19’) P A P A A P A A( ) ( ) ( )1 1 2 1 2

(2.19”) P A P A A P A A( ) ( ) ( )2 2 1 1 2

(2.19’”) P A A P A A P A A P A A( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2

deci

(2.20) P A A P A P A P A A( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

formula care leaga, intre ele, probabili tatile evenimentelor A1, A2, A1A2, A1A2.

In cazul a trei evenimente avem

(2.21) P(A1 A2 A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) -

- P(A1 A2) - P(A1 A3) -P(A2 A3) +

+ P(A 1 A2 A3) ;

iar in cazul a n evenimente A1,...,An , prin recurenta, obtinem formula lui Poincaré

(2.22)

)...()1(...

)()()(

21

1

1121 321

32121

n

n

n

ii

n

iii

iiiii

n

i

i

n

ii

AAAP

AAAPAAPAPAP

III

IIIU

formula care arata ca, in calculul evenimentului A ii

n

1, este necesara cunoasterea tuturor

evenimentelor intersectiei. Atragem atentia ca formula (2.22) poate fi utilizata si in cazul cand

evenimentele A1,...,An sunt luate dintr-un camp de probalibitate complet aditiv (vezi paragraful

2.3).

O margine inferioara a probabilitatii intersectiei a n evenimente A1,...,An P() este data

de inegalitatea

(2.23)

n

i

in nAPAAAP1

21 )1()()..( III

cunoscuta sub numele de inegalitatea lui Boole.

Pentru a o obtine sa punem formula (2.20) sub forma

(2.24) P A A P A P A P A A( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

si sa tinem seama ca 0P(A1A2).

Ca urmare, avem

(2.25) P A A P A P A( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 .

58

Aplicand inegalitatea (2.25) in cazul a trei evenimente A1, A2, A3, gasim

(2.26) P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 2

si, prin inductie, rezulta inegalitatea (2.23).

Un exemplu de aplicare a acestei inegalitati, in cazul n3, este urmatorul.

La un examen un candidat trebuie sa treaca trei probe A,B,C. Stiind ca sansa acestuia de

a trece proba A este de 0,92, proba B este de 0,86 si proba C este de 0,98, candidatul se intreaba

ce sansa globala are de a promova exemenul. Pentru evaluarea sansei, aplicand inegalitatea lui

Boole, el constata ca

p0,860,89-20,66

fapt care spune ca pregatirea sa nu este prea stralucita.

Aplicatie.

O forma echivalenta a inegalitatii lui Boole se obtine utilizand contrarele evenimentelor

considerate. Astfel , P(A i) 1 P A i( ) si, deci,

P A P A n P Aii

ni

i

ni

i

n( ) ( ) ( )

1 1 1

1 .

Atunci,

n

i

n

i

iin APnAPnAAAP1 1

21 )(11)()...( III

Prin urmare, inegalitatea lui Boole se mai poate scrie in felul urmator

(2.27)

n

i

in APAAAP1

21 )(1)...( III .

Sa revenim, acum, la formula (2.19’) pe care sa o scriem astfel

(2.19IV

) P A A P A P A A( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 .

Avem, astfel, o formula care evalueaza probabilitatea ca, din ansamblul de evenimente

A1, A2, numai evenimentul A1 sa aiba loc.

Daca suntem in prezenta a trei evenimente A1, A2, A3, probabilitatea ca dintre aceste

evenimente sa aiba loc numai evenimentul A1 este data de

)()()()(

)()()()(

)()()())(()())((

32131211

32131211

312113211321

AAAPAAPAAPAP

AAAPAAPAAPAP

AAAAPAPAAAPAPAAAP

IIII

IIII

IUIUIUI

iar, in cazul a n evenimente A1, A2, ..., An, obtinem

(2.28)

)...()1(

...)()()())...((

21

1

11

2

121 21

21

n

n

ii

ii

i

n

i

n

AAAP

AAAPAAPAPAAAP

III

IIIUUI

sumele fiind luate de la 2 la n.

59

Daca ne intereseaza probabilitatea realizarii unui eveniment oarecare din cele n

evenimente A1, A2, ..., An, de exemplu a evenimentului Ak, si numai a acestuia, consideram

formula

(2.28’)

)......()(

...)()()(

)())......((

21

1

1

111

321

1

321

21

1

211

nk

n

iiik

kiiii

iik

kiii

ik

n

kii

knkkk

AAAAPi

AAAAPAAAPAAP

APAAAAAP

IIIII

IIIIII

UUUUUI

Rationamentele facute mai sus pot fi adaptate imediat la perechi de evenimente, terne de

evenimente, etc.

De exemplu, daca ne intereseaza probabilitatea ca din ansamblul evenimentelor A1,...,An

sa se realizeze evenimentul A1 A2, problema se rezolva imediat si avem

)...()1()(

)()())...()(

21

1

21

3

21

3

2114321

21

21

1

n

n

ii

ii

i

n

i

nn

AAAPAAAAP

AAAPAAPAAAAAAP

IIIIII

IIIIIIIII

Notand cu ))......(( 111)( niiii AAAAAPP UUUUUI probabilitatea ca, dintre

evenimentele A1,...,An, sa aiba loc numai evenimentul A i, numarul

(2.29) P(1) P(1) P(n)

evalueaza probabilitatea ca, din ansamblul evenimentelor A1,...,An, sa se verifice unul si numai

unul, fara ca acesta sa fie explicitat in mod expres.

Inlocuind in (2.29) valorile probabilitatilor P (i), obtinem

(2.29’) P(1)

T1 - 2T2 3T3 -4T4 ...(-1)n-1

nTn

unde T P A T P A A T P A Ai ii i

i n n1 2 111 2

2

( ), ( ), , ( ) si avem expresia

explicita a numarului P(1)

.

Indicand cu P(i,j) probabilitatea ca, din ansamblul evenimentelor A1,...,An, sa se realizeze

simultan numai evenimentele Ai, Aj, numarul

P(2) P(1,1) P(1,2) P(n-1,n)

desemneaza probabilitatea ca numai doua dintre evenimentele A1,...,An sa se verifice simultan,

fara ca acestea sa fie specificate in mod expres.

Procedand la fel se pot introduce probabilitatile

P(i,j,k), P(i,j,k,l), ....,P(3)

, P(4)

, .... , etc.

Astfel numarul

(2.30) P r P(r)

P(r1)

... P(n)

evalueaza probabilitatea ca cel putin r dintre evenimentele A1,...,An sa se verifice. Determinarea

efectiva, pe cale directa, a acestei probabilitati este dificila si va fi data mai tarziu. Exprimarea ei

ca functie de probabilitatile T1, T2, ..., Tn, introduse mai sus, este

(2.31) n

rn

n

rns

sr

s

rrrr TCCTCTP

111

1 )1(...)1(... .

60

In particular, pentru r=1, obtinem

(2.31’) n

n TTTTP 1

3211 )1(...

formula care evalueaza probabilitatea ca cel putin unul dintre evenimentele A1,...,An sa se

realizeze.

Sa revenim la campul de probabilitate (, P(), P) si fie A P() supus conditiei P(A)

0.

Daca indicam prin PA aplicatia PA : P() R definita prin conditia

(2.32) P B P A BP A

BA ( ) ( )( )

, P() ,

PA este o probabilitate pe campul de evenimente (, P()).

Definitia 2.5.1. Probabilitatea PA introdusa mai sus, pe campul de evenimente (, P()),

poarta numele de probabilitate indusa de evenimentul A, iar (, P(), PA) se numeste camp de

probabilitate indus de evenimentul A P() pe campul de evenimente (, P()).

Numarul PA(B), asociat evenimentului B P(), exprimat in formula (2.32) poarta

numele de probabilitate a evenimentului B conditionata de evenimentul A.

Conform formulei (2.32) avem

(2.33) P(AB)P(A) PA(B)P(B) PB(A)

daca A,B P() si P(A) P(B)0; iar, daca A1,...An sunt n evenimente apartinand campului de

evenimente (, P()), printr-un calcul direct se poate arata ca avem

(2.34) 0)...(

)()...()()()...(

121

...3211 11211

n

nAAAAAn

AAAdacaP

APAPAPAPAAPn

III

II III

In adevar, conditia

0)...( 121 nAAAP III

implica ,...,0)(,0)( 211 AAPAP I 0)...( 121 nAAAP III13)

.

Deci

P(A1) P(A1)

)...(/)...()(

...................................................................

)(/)()(

)(/)()(

111...

213213

1212

11

21

1

nnnAA

AA

A

AAPAAPAP

AAPAAAPAP

APAAPAP

nIIII

III

I

II

I

de unde prin simpla inmultire obtinem formula (2.34). Aceasta formula mai este cunoscuta ca

formula de inmultire a probabilitatilor.

Fie, din nou campul de probabilitate complet aditiv (, P(), P) si fie E1E2...En

o descompunere a evenimentului sigur in evenimente incompatibile.

13)

Daca P(A1A2 ... An-1)0, inseamna ca A1A2 ... An-1 (adica nu este un eveniment imposibil). Deci,

exista cel putin un eveniment care apartine fiecaruia dintre evenimentele A1, A2, ..., An-1 si P()0. Aceasta implica

P(A1)0, P(A1A2)0, ..., P(A1A2 ... An-2)0, P(A1A2 ... An-1)0.

61

Definitia 2.5.4. Un sistem de n evenimente incompatibile E1,...En P(), care realizeaza

o descompunere a evenimentului sigur, se spune ca constituie un sistem complet de evenimente

in campul de probabilitate (, P(), P).

Daca AP() atunci, A(AE1)(AE2)...(AEn) si suntem in prezenta

descompunerii evenimentului A in evenimentele incompatibile AE1, ..., AEn ( vezi definitia

2.2.3).

Cu alte cuvinte, evenimentele E1, ..., En alcatuiesc un sistem complet de evenimente daca

un experiment pune in evidenta unul si numai unul dintre ele.

Drept urmare,

P(A)P(AE1)...P(AEn)

si, deoarece

(2.32’) P(AEi)P(A) PA(Ei)P(Ei) PEi (A)

rezulta formula

(2.35) P A P E P Ai Ei

n

i( ) ( ) ( )

1

numita formula probabilitatii totale, cu ajutorul careia se poate determina probabilitatea unui

eveniment A daca se cunosc probabilitatile evenimentelor Ei, (P(Ei)0), si probabilitatile

evenimentului A conditionate de evenimentele Ei.

Daca in (2.33’) tinem seama de (2.35) obtinem

(2.36) P EP E P A

P E P AA i

i E

ii

nE

i

i

( )( ) ( )

( ) ( )

1

egalitate care in literatura de specialitate este cunoscuta sub numele de formula lui Bayes, prin

care avem probabilitatile evenimentelor E i conditionate de evenimentul A.

In unele aplicatii este util sa punem formula (2.36) sub forma

(2.36’) P EP A E

P A EA i

i

ii

n( )( )

( )

1

Sa revenim, din nou, la campul de probabilitate (, P(), P) si fie AP() un

eveniment supus conditiei P(A)0. Odata cu campul de probabilitate indus de evenimentul A

peste (, P()), adica odata cu campul (, P(), PA) sa consideram si campul (A , P(A), PA).

Cum, P A P A AP AA ( ) ( )

( ) 1, in acest camp rolul evenimentului sigur este jucat de evenimentul

A. Daca B P() atunci, AB P() si PA(B)PA(AB). Insa ABB. Ca urmare,

probabilitatea evenimentului B conditionata de evenimentul A, deci numarul PA(B) poate fi

interpretat ca masurand sansa realizarii evenimentului B dupa ce evenimentul A a avut loc.

Aceasta interpretare este deosebit de utila in explicatii.

Consideratiile facute mai sus pot fi adaptate, cu unele modificari specifice, si la campuri

de probabilitate complet aditive.

62

Fie (, P(), P) un astfel de camp si fie A K() un eveniment cu proprietatea P(A)0.

Atunci fiecarui B K() i se poate asocia numarul

P B A P B P A BP AA( / ) ( ) ( )( )

care, si in acest caz, poarta numele de probabilitatea evenimentului B conditionata de

evenimentul A.

Sa observam ca P i P B P BA AI

AI

( ) [ ( ( )

1

oricare ar fi familia cel mult

numerabila B I de evenimente incompatibile din K().

Intr-adevar,

I

A

III

IA

A

BPAP

BAP

AP

BAP

AP

BAP

BP

si

AP

AP

AP

APP

)(

)(

)(

)(

(

)(

)(

)(

1)(

)(

)(

)()(

III

I

UUU

Prin urmare , (, K(), PA), este un camp de probabilitate complet aditiv, pe care il vom

numi, la fel cum am facut in cazul campurilor de probabilitate finite (definitia 2.5.1.), camp de

probabilitate indus de evenimentul A pe campul borelian de evenimente (, K()), iar PA

probabilitatea indusa de evenimentul A.

Presupunand ca o familie cel mult numerabila E I , de evenimente incompatibile,

realizeaza o descompunere a evenimentului sigur , daca

EI

atunci, oricare ar fi

aK() avem

(2.35’) P A P B P ABI

( ) ( ) ( )

si suntem in prezenta formulei totale adaptata cazului campurilor complet adtive. Ne dam seama

de valabilitatea formulei (2.36’) daca observam ca

A A BI

( )

si, astfel, formula lui Bayes are un corespondent in cazul campurilor de probabilitate complet

aditive.

In adevar, daca P(A)0 si P(B)0 pentru toti I, atunci, din

P A P B P B P AA B( ) ( ) ( ) ( ) ,

conform formulei (2.35’) obtinem

(2.36”) P BP B P A

P B P AA

B

BI

( )( ) ( )

( ) ( )

.

63

De asemenea, se poate formula inegalitatea lui Boole intr-un camp de probabilitate

complet aditiv dupa cum urmeaza:

Daca {X}I este o familie numerabila de evenimente din campul de probabilitate complet

aditiv (, K(), P), atunci

P X P XI I

1 ( ) .

Intr-adevar, se stie ca X XI I

.

Deci, 1

P X P X P XI I I

.

Dar, in virtutea corolarului 2.3.3, avem

P X P XI I

( ).

In felul acesta, se obtine

1

P X P XI I

( )

sau

P X XI I

1 .

2.6. Independenta stochastica. Extractii repetate.

Din formula (2.32) se poate constata ca, dandu-se evenimentele A si H, probabilitatea

P(A|H) nu este, in general, egala cu probabilitatea absoluta P(A). In termeni mai putin precisi se

poate spune ca, daca H se realizeaza, informatia obtinuta influenteaza felul in care privim

evenimentul A. Numai cand P(A|H)P(A) aceasta informatie nu permite nici o interpretare

asupra aparitiei lui A. In acest caz, vom spune ca A este independent stochastic de H. Putem

scrie conditia P(A|H)P(A) in forma

(2.37) P(AH)P(A)P(H) .

Aceasta ecuatie este simetrica in A si H si arata ca, daca A este independent stochastic de H, la

fel este si H fata de A. Este preferabil, deci, sa pornim de la

Definitia 2.6.1. Doua evenimente A si H se spune ca sunt stochastic independente ( pe

scurt independente) daca are loc relatia (2.37).

Aceasta definitie este, de asemenea, acceptata daca P(H)0, caz in care P(A|H) nu este

definita. Precizam ca termenul independent statistic, intalnit, uneori, in literatura, este sinonim cu

independent stochastic.

Exemplul 2.6.1. Se consideram un pachet cu carti de joc din care sa scoatem o carte la

intamplare. Din motive de simetrie ne asteptam ca evenimentele “trefla” si “as” sa fie

64

independente. De fapt, probabilitatile lor sunt 1/4 si 1/13, iar probabilitatea realizarii lor

simultane este 1/52.

Exemplul 2.6.2. Se arunca doua zaruri identice. Evenimentele “fata 1 la primul zar” si “fata cu

un numar par la al doilea zar” sunt independente. Probabilitatea realizarii lor simultane este 3/36,

adica 1/12, si reprezinta produsul probabilitatilor acestor evenimente, adica 1/6 si respectiv 3/6.

Exemplul 2.6.3. (Distributia sexelor).

Sa consideram familiile care au trei copii si sa notam prin b si f un baiat si respectiv o

fata. Sa presupunem ca fiecare dintre cele 23 posibilitati bbb,bbf,...,fff are probabilitatea 1/8. Fie

H evenimentul “familia are copii de ambe sexe” si A evenimentul “exista cel mult o fata”.

Atunci , P(H)6/8 si P(A)4/8. Realizarea simultana a evenimentelor A si H inseamna una dintre

posibilitatile bbf, bfb, fbb astfel ca P(HA)3/8P(H)P(A). Deci, in familiile cu trei copii, cele

doua evenimente sunt independente.

Este bine sa se retina ca aceasta concluzie nu mai ramane adevarata pentru familiile cu

doi sau patru copii. De exemplu, considerand familiile care au exact doi copii, sa presupunem ca

prima litera indica copilul cel mai mare. Exista urmatoarele patru posibilitati bb, bf, fb, ff , care

constituie evenimente elementare, fiecare avand probabilitatea 1/4. Stiind ca o familie are un

baiat (evenimentul H), care este probabilitatea ca ambii copii sa fie baieti (evenimentul A)? Prin

urmare, evenimentul AH inseamna bb, iar evenimentul H inseamna bb sau bf sau fb. Rezulta,

deci, P(AH)=1/4, in timp ce P(H)=3/4. Atunci, din P(AH)=P(H)P(A|H) se obtine

P(A|H)=1/3. Cu alte cuvinte, o treime dintre familiile cu caracteristica H se pot astepte ca si

evenimentul A sa se realizeze. Este interesant faptul ca multi s-ar astepta ca raspunsul la

intrebarea de mai sus sa fie 1/2. Acesta este,intr-adevar, un raspuns corect dar la alta intrebare,

anume “un baiat este ales la intamplare si se gaseste ca el provine dintr-o familie cu doi copii;

care este probabilitatea ca celalat copil sa fie un baiat?” Acum, diferenta dintre cele doua

chestiuni este explicabila. Nu avem decat sa consideram o lista a familiilor si o lista a copiilor de

sex masculuin. In ultima fiecare familie cu doi copii va fi reprezentata de doua ori, ceeace

explica diferenta dintre cele doua rezultate.

Prin urmare, nu totdeauna este evident daca avem sau nu independenta evenimentelor.

Daca evenimentul H se realizeaza, evenimentul contrar H’ nu se realizeza si reciproc.

Independenaa stochastica implica faptul ca, din realizarea evenimentului H, nu se poate trage

nici o concluzie relativ la A. Deci, independenta stochastica a evenimentelor A si H ar insemna

acelasi lucru ca si independenta lui A si H’ (in virtutea simetriei, la fel ca a evenimentelor A’ si

H si a evenimentelor A’ si H’). Aceasta rezulta cu usurinta folosind relatia P(H’)1-P(A). Daca

relatia (2.37) se pastreaza atunci, pentru ca AH’ A-(AH), se obtine

P(AH’)P(A)-P(AH)=P(A)-P(A)P(H)P(A)(1-P(H))P(A)P(H’),

cum era de asteptat.

Sa presupunem, acum, ca trei evenimente A,B si C sunt independente astfel incat

P(AB)P(A) P(B)

(2.38) P(AC)P(A) P(C)

P(BC)P(B) P(C)

65

S-ar putea crede ca aceasta implica totdeauna independenta unor asemenea perechi de

evenimente cum ar fi A, B, si C. Din pacate , nu totdeauna se intampla astfel. Urmatorul

exemplu va arata ca relatiile (2.38) sunt adevarate dar realizarea simultana a evenimentelor A, B

si C este imposibila, astfel ca A , B si C nu pot fi independente.

Exemplul 2.6.4.

Se arunca doua zaruri si se definesc urmatoarele trei evenimente: A inseamna “fata cu un

numar impar la primul zar”; B inseamna “fata cu numar impar la al doilea zar”; iar C inseamna

“suma impara” ( adica o fata cu un numar par, iar cealalta cu numar impar). Daca fiecare dintre

cele 36 de evenimente elementare are probabilitatea 1/36 atunci, P(A)3/61/2, P(B)3/6=1/2, si

P(C)3/6=1/2. Deci, considerand oricare doua evenimente dintre A, B si C ele vor fi

independente pentru ca

P(AB)1/4P(A) P(B)

P(AC) 1/4P(A) P(C)

P(BC) 1/4P(B) P(C)

Prin urmare, probabilitatea conditionata a fiecaruia dintre evenimentele A, B si C este

egala cu ½, presupunand ca s-a realizat unul dintre celelalte doua evenimente. Totusi, cele trei

evenimente nu pot sa se realizeze simultan pentru ca apaarand la primul zar un numar impar si la

al doilea tot un numar impar, suma lor nu poate fi tot un numar impar. Cu alte cuvinte,

informatia ca “evenimentul A s-a realizat iar B nu s-a realizat”, asigura realizarea lui C si

rationamentul poate fi continuat pentru celelalte combinatii.

Este de dorit sa se rezerve termenul de independenta stochastica pentru cazul cand nu

este posibila nici o implicatie. In aceasta situatie nu este suficient sa se pastreze numai egalitatile

(2.38) ci trebuie, in plus, sa avem si

(2.39) P(ABC) P(A) P(B) P(C).

Aceasta ecuatie asigura independenta evenimentelor A si BC, a evenimentelor B si

AB si a evenimentelor C si AB. Mai mult chiar, acuma se poate dovedi ca si evenimentele A

B si C sunt independente. Pentru aceasta, n-avem decat sa consideram relatia de baza

cunoscuta

P(A1A2)P(A1)P(A2)-P(A1A2)

din care deducem

P(AB)CP(AC)(BC)P(AC)P(BC)-P(ABC).

Aplicand (2.38) si (2.39) in partea dreapta acestei egalitati se obtine

P(AB)CP(A)P(B)-P(A) P(B) P(C)

adica

P(AB)CP(AB) P(C)

Se poate spune, deci, ca orice eveniment care se poate exprima in termeni ai lui A si B va

fi independent de C.

In cazul general a n evenimente, se poate enunta urmatoarea definitie.

66

Definitia 2.6.2. Evenimentele A1, A2, ..., An se numesc independente in totalitate daca,

pentru toate combinatiile 1 i j ... n, se aplica regulile de inmultire urmatoare

(2.40)

)()...()()(

..........................................................

)()()()(

)()()(

2121 nn

kjikji

jiji

APAPAPAAAP

APAPAPAAAP

APAPAAP

IKII

II

I

Prima linie din (2.40) este valabila pentru 2n ecuatti, a doua pentru 3

n ecuatii etc. Prin

urmare, exista 2 3 1 01 1 2 1n nnn n n n n n .... ( ) conditii care trebuie sa fie

satisfacute. Pe de alta parte, cele 2n conditii, continute in prima linie, sunt suficiente pentru a

asigura independenta doua cate doua a evenimentelor. Intregul sistem (2.40) pare sa fie o

multime complicata de conditii dar, de fapt, ne este deloc asa.

Se observa fara greutate, prin inductie, (pornind de la n2 si P(AH’)P(A) P(H’)), ca in

definitia 2.6.2 sistemul (2.40) poate fi inlocuit prin sistemul celor 2n ecuatii obtinute din ultima

ecuatie a sistemului (2.40) prin inlocuirea unui numar arbitrar de evenimente Aj cu evenimentele

lor contrare A’j.

Deosebirea intre independenta in totalitate si independenta doua cate doua a

evenimentelor este de importanta mai mult teoretica decat practica. Ezemple practice de

evenimente independente doua cate doua care nu sunt independente in totalitate, in mod aparent,

nu exista. Posibilitatea unei astfel de aparitii a fost descoperita de S.N. Bernstein si este ilustrata

in exemplul de mai jos.

Exemplul 2.6.5 (S.N. Bernstein).

Fie multimea de evenimente elementare 12,3,4 cu P(i)1/4, pentru i1,2,3,4.

Sa consideram evenimentele A1,2, B1,3, C1,4. Avem, atunci, P(A) P(B) P(C)

1/2 si P(AB) P(BC) P(CA) 1/4 (1/2)(1/2), ceea ce arata ca evenimentele A, B si C

sunt independente doua cate doua. In schimb,

P(ABC)1/4(1/2)3P(A) P(B) P(C) ,

de unde rezulta ca evenimentele A, B si C nu sunt independente in totalitate (sau, pe scurt, nu

sunt independente).

Din definitia 2.6.1 rezulta ca doua evenimente A, B incompatibile, care satisfac conditiei

P(A) P(B)0, nu sunt evenimente independente.

In adevar A,B fiind evenimente incompatibile, avem AB, deci P(AB)0 si, ca

urmare, egalitatea (2.39) nu poate avea loc.

Pentru ca doua evenimente A, B incompatibile sa fie independente trebuie sa avem

(P(A))2(P(B))

20.

In adevar, AB implica P(AB)0, deci P(A) P(B)0 de unde avem P(A)=0 sau

P(B)=0 sau P(A)=P(B)=0, ceeace conduce la (P(A))2(P(B))

20.

67

Direct din definitia 2.6.1 rezulta ca, daca P(A) P(B)0, conditia necesara si suficienta ca

evenimentele A, B sa fie independente este sa avem (folosind relatia (2.32))

PA(B)P(B) respectiv PB(A)P(A).

In particular, invocand definitia 2.6.2 avem

Teorema 2.6.1 Daca A1, A2, ..., An P() sunt evenimente independente atunci, oricare

ar fi subsirul 1 i1 i2 ... in n, are loc egelitatea

(2.41) P(A1A2....An) P(A1) P(A2)... P(An).

Sa stabilim, acum, formula (2.31). De la inceput trebuie sa observam ca probabilitatiile

P(r)

, P(r1)

, ..., P(n)

sunt functii liniare de T r, Tr1, ..., Tn si, deci,

Pr arTr ar1Tr+1 ... anTn unde ar, ..., an sunt constante.

Presupunand ca evenimentele A1, ..., An sunt independente si ca P1P2 .. .Pr 1, Pr

10, ..., Pn0, obtinem Pr 1ar 1, deci ar1. Daca luam P1P2...Pr Pr11, Pr 2 ...Pn0

obtinem

P C a ar r r r 1 11

1 .

In general, daca P1P2...Pr Pr1... Prk 1, Pr k1 ...Pn0 obtinem

1=C a C a C ar k

r

r r k

r

r r k

r k

r k

1

1 ... .

Continuand procesul constatam ca constantele a1, ..., an sunt solutiile sistemului

1...

.....................................

1

1

2

2

1

1

21

1

2

2

2

1

1

1

nr

rn

nr

rn

n

rn

n

rrrr

rr

r

aaCaCC

aaCC

aC

a

de unde rezulta ca

a Cr ss

r ss

( )1 1

si formula este dovedita.

In continuare, ne vom referi la problema extractiilor repetate. Sa observam, in acest scop,

ca notiunea de independenta stochastica, in final, ne da posibilitatea sa formulam, in mod

analitic, conceptul intuitiv de experimente repetate in conditii identice.

Fie un camp de evenimente realizat de un anumit experiment. Fie E1,E2,...

evenimentele elementare ale campului si p1,p2,... probabilitatile lor. Rezultatele posibile a doua

experimente succesive sunt perechile (Ej,Ek), care formeaza un nou camp de evenimente. In

acesta, probabilitatile pot fi atribuite in multe moduri. Daca, insa, experimentatorul precizeaza ca

doua masuratori sunt efectuate in conditii identice atunci, el implica independenta; primul

rezultat, in aceasta situatie, n-ar avea nici o influenta asupra celui de al doilea. Aceasta inseamna

ca cele doua evenimente “primul rezultat este Ej” si “al doilea rezultat este Ek” ar fi independente

stochastic sau ca

(2.42) P E E p pj k j k( , ) .

68

Aceasta egalitate atribuie o probabilitate fiecarei perechi (Ej,Ek). Mai inainte, insa, de a

putea folosi relatia (2.42) ca o definitie a probabilitatilor in noul camp de evenimente, trebuie

aratat ca suma cantitatilor pjpk este egala cu unitatea. Pentru acestea n-avem decat sa observam

ca in suma p pj kkj fiecare termen apare odata si numai odata, astfel ca

1...)...)(( 2121 ppppppj k

kj .

Abia apoi putem accepta (2.42) ca o definitie a probabilitatilor mentionate.

Sa notam prin A si B doua evenimente arbitrare ale campului initial de evenimente, iar

prin (A,B) evenimentul “A a aparut la prima extragere si B la a doua extragere”. Sa presupunem,

mai departe, ca A contine punctele E Ea a1 2, , in timp ce B contine punctele E Eb b1 2

, ,

Atunci, evenimentul (A,B) este reuniunea tuturor perechilor ( , )E Ea bj k si, ca mai inainte, se

observa ca

(2.43) P A B p p p p P A P Ba b a bkjkj

j k j k, ( )( ) ( ) ( ) .

Deci evenimetele A si B sunt independente. Se vede ca (2.42), acceptata ca definitie, impune ca

toate evenimentele la a doua extragere sa fie independente de evenimentele la prima extragere.

Pentru scopurile pe care le urmareste teoria probabilitatilor aceasta descrie “experimente

identice”.

Aceste consideratii se pot aplica, desigur, la r experimente succesive ceeace ne conduce

la definitia urmatoare.

Definitia 2.6.3. Fie multimea evenimentelor elementare E1, E2, ... ale caror

probabilitati corespunzatoare sunt p1, p2, .... Se intelege prin n extractii independente care

corespund campului de evenimente respectiv, acel camp de evenimente ale carui puncte sunt n-

uplele ( , ,..., )E E Ej j jn1 2 cu probabilitatile

(2.44) P[ ( , ,..., )E E Ej j jn1 2] p p pj j jn1 1

... .

Cu alte cuvinte, fiecare punct al noului camp este o selectie de volum n (cu posibile

repetari) de puncte ale campului initial, probabilitatile fiind definite prin relatia (2.44).

Reamintim ca (2.44) nu este singura definitie posibila a acestor probabilitati. Cu alte cuvinte,

extractiile repetate nu sunt in mod necesar independente. Deci, (2.44) defineste extractii

independente sau, in alti termeni, extractii repetate in conditii identice.

Adevarul stabilit in relatia (2.43) poate fi gasit, intr-o forma mai generala, in urmatoarea

teorema privitoare la extractii independente.

Teorema 2.6.1. Presupunem ca un sistem de evenimente A1,A2,...,An este astfel incat

extragerea k decide singura daca evenimentul Ak se realizeaza sau nu; atunci evenimentele

A1,....,An sunt independente in totalitate daca extragerile sunt independente, adica daca (2.44)

ramane adevarata.

Daca contine un numar finit N, de puncte, atunci exista Nn evenimente elementare

( , ,..., )E E Ej j jn1 2. Daca fiecare punct din are probabilitatea 1/N atunci, (2.44) asociaza

69

probabilitatea N-n

cu fiecare punct ( , ,..., )E E Ej j jn1 2. Noua abordare este, in mod conceptural,

preferabila unei asocieri formale de probabilitati egale deoarece ea se aplica atat campurilor de

evenimente cu probabilitati neegale cat si campurilor de evenimente infinite. Ea este

indispensabila teoriei generale a probabilitatilor, unde se considera chiar si o singura extractie ca

fiind prima intr-o secventa eventual infinita. Avem, atunci, de-a face numai cu secvente infinite

(Ej1, Ej2, .....) de rezultate posibile, in acest nou camp probabilitatile fiind definite in conformitate

cu (2.44). Dar la acest aspect ne vom referi mai tarziu.

In discutia de mai sus, s-su considerat numai repetari ale aceluiasi experiment, dar, in

acelasi mod, se pot trata si secventele unor experimente diferite. Daca aruncam, spre exemplu,

mai intai o moneda si, apoi, un zar, presupunem, in mod natural, ca cele doua experimente sunt

independente. Aceasta revine la asocierea probabilitatilor dupa regula produsului. Astfel,

P[(ban,unu)] =12

16

, etc. In acest caz particular, aceasta echivaleaza cu asocierea de

probabilitati egale tuturor celor douasprezece evenimente elementare dar, in general, trebuie

procedat conform cu (2.44).

Definitia 2.6.4. Fie ‘ si “ doua multimi de evenimente E E i E E1 2 1 2' ' " ", ,... [ , ,...

respectiv. Se noteaza probabilitatile corespunzatoare lor prin p p i p p1 2 1 2' ' " ", ,... [ , ,... Secventa

celor doua experimente este descrisa de campul ale carui puncte sunt E Ej k' ", . A spune ca cele

doua experiente succesive sunt independente insemna a defini probabilitatile prin

(2.45) P E E p pj k j k' " ' ", .

Observatie. Notiunile pe care le-am introdus nu sunt specifice teoriei probabilitatilor.

Dandu-se doua multimi de evenimente ‘ si “ cu punctele, notate in general E’ si E”, multimea

tuturor perechilor (E’,E”) se numeste produsul cartezian al lui ‘ si “ si se noteaza prin

‘“. Relatia (2.45) defineste ceeace in mod obisnuit se numeste masura produs a

probabilitatilor evenimentelor din ‘ si “. Am folosit in mod curent cuvantul experiment ca

echivalentul unui camp de evenimente in care s-a definit o probabilitate. In mod similar, secventa

a doua evenimente independente este prescurtarea folosita pentru produsul cartezian al

campurilor de evenimente corespunzatoare cu probabilitati definite de (2.45).

Este bine de retinut si faptul ca reuniunea tuturor perechilor (i,j), unde i si j sunt intregi

pozitivi de la 1 pana la n, formeaza produsul multimii de intregi 1,2,...,n cu ea insasi . De

asemenea, in selectia nerepetata, perechi de forma (i,i) nu sunt permise totusi, asa cum va reiesi

din exemplele urmatoare. Metoda indicata mai sus se aplica si in cazuri ma i complicate.

Exemplul 2.6.6 (Permutari).

Considerand n! permutari ale elementelor a1,a2,....,an, alese ca puncte ale unui camp de

evenimente, putem atribui fiecaruia probabilitatea 1/n!. Putem, insa, considera acelasi camp de

evenimente ca reprezentand n-1 experimente succesive dupa cum urmeaza. Incepem prin a-l scrie

de a1. Primul experiment consta in a-l pune pe a2 ori inainte, ori dupa a1. Odata realizat acest

70

lucru, vom avea trei posibilitati pentru a3 si al doilea experiment consta in a alege dintre acestea,

decizand asupra ordinei relative a lui a1,a2 si a3. In general, dupa ce a1,a2,...,ak sunt asezate intr-o

ordine relativa, se trece la experimentul numarul k constand din selectionarea unuia dintre cele k

1 locuri pentru ak1. Cu alte cuvinte, avem o succesiune de n-1 experiente din care experimentul

numarul k poate avea drept rezultat k alegeri diferite (evenimente elementare), fiecare avand

probabilitatea 1/k. Experimentele sunt independente, adica se inmultesc. Fiecare permutare a

celor n elemente are probabilitatea 12

13

1...n

, in concordanta cu definitia de baza.

Exemplu 2.6.7 (Selectie nerepetata).

Fie populatia (a1,a2,...,an). In selectia nerepetata fiecare alegere elimina un element. Dupa

k pasi mai raman n-k elemente si urmatoarea alegere poate fi descrisa prin specificarea

numarului de locuri ale elementului ales (1,2,...,n-k). In cest mod, considerarea unei selectii

nerepetate de volum r revine la o secventa de r experimente unde primul are n rezultate posibile,

al doilea n-1, al treilea n-2 etc. Atribuim probabilitati egale tuturor rezultatelor experimentelor

individuale si admitem ca cele r experimente sunt independente. Aceasta se rezuma la atribuirea

probabilitatii 1

( )n r fiecarei selectii, in concordanta cu definitia selectiilor aleatoare. (Retinem ca

pentru n100 si r3, selectia (a13,a40,a81) inseamna alegerea numarului 13, a lui 39 si respevtiv

79. La al treilea experiment a fost ales elementul 79 din populatia redusa de n-2 elemente,

rezultatul experimentului al treilea depinzand de primele doua alegeri). Dupa cum se vede,

notiunea de experimente independente repetate ne permite sa studiem selectia ca o secventa de

operatii individuale.

La fel ca in cazul finit, vom spune ca evenimentele A,B,K() sunt independente, daca

P(AB)P(A) P(B) .

Generalizand, evenimentele A1,...,An sunt independente daca oricare ar fi i1,i2,...,ip in

relatia 1i1i2...ip n, avem

p

k

i

p

ki kk

APAP11

)(I

unde am pus

n

k

iii kpAPAPAP

1

)()()....(1

Este clar ca aceasta relatie este necesara pentru independenta evenimentelor A1,A2,...,An

oricare ar fi 1i1i2...ip n. Pentru a arata ca ea este si suficienta trebuie dovedit ca, pentru n

evenimente X1,X2,...,Xn, unde x A Ai i , are loc egalitatea

P X X X P X P X P Xn n( ... ) ( ) ( )... ( )1 2 1 2 .

Daca X1A1, X2A2,...,XnAn, atunci aceasta egalitate rezulta din ipoteza.

Sa presupunem, deci, ca X1A1, X2A2,... Xn-1An-1, XnAn, celelalte cazuri dovedindu-

se in acelasi fel. Avem, astfel:

71

)()()...()(1)()...(

)()()...()()...(

)...()...(

)...()...(

)...(

))(...()...(

)...()...()...(

1111

1111

121121

121121

121

121121

121121121

nnnn

nnn

nnn

nnn

nn

nnnnn

nnnnn

APAPAPAPAPAP

APAPAPAPAP

AAAAPAAAP

AAAAPAAAP

AAAAP

AAAAAPAAAAP

AAAAPAAAAPAAAAP

IIIIIII

IIIIIIII

IIII

UIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

Notiunea de

independenta a unei familii numerabile de evenimente X I din (, K(), P), este data in

Definitie 2.6.5. Vom spune ca familia numerabila de evenimente X I este alcatuita

dun evenimente independente, daca oricare ar fi submultimea finita JI avem

P( XJ

) = P XJ

( )

Teorema 2.6.2. Daca {Xi}iN este un sir de evenimente independente atunci,

P( X ii

1

) = P X ii

( )

1

Demonstatie Acest rezultat este o consecinta imediata a corolarului 2.3.1. Pentru aceasta

sa punem Yn = X ii

n

1

.

Conform definitiei 2.5.4. avem

P(Yn) = P X ii

n

( )

1

.

Pe de alta parte , sirul Yi i N fiind monoton descrescator, avem

lim ( ) (n

n ii

P Y P X

1

si teorema este demonstrata.

2.7. Teorema Borel-Cantelli

Corespondentul proprietatii ascunsa in formula (2.30) este dat, in cazul infinit, in teorema

cunoscuta in literatura de specialitate sub numele de teorema Borel-Cantelli, pe care o formulam

mai jos.

Teorema 2.7.1. (Teorema Borel-Cantelli) Fie X i i N un sir de evenimente apartinand

unui camp de probabilitate (, K(), P) complet aditiv.

(i) Daca seria P X ii

( )

1

este convergenta atunci, probabilitatea realizarii unei

infinitati de evenimente Xi este zero.

(ii) Daca seria P X ii

( )

1

nu este convergenta si daca evenimentele X i i N sunt

independente atunci, probabilitatea realizarii unei infinitati de evenimente Xi este egala cu

unitatea.

72

Demonstatie. Sa observam, mai intai, ca realizarea unei infinitati de evenimente X i ,

i=1,2,3, ... , echivaleaza cu realizarea evenimentului

A= limsupi

i jj ii

X X

1

,

astfel ca, pentru a demonstra teorema, este suficient sa aratam ca P(A)=0 in primul caz si ca

P(A)=1 in al doilea caz .

(i) Cum A X jj i

pentru orice iN, conform corolarului 2.3.3, avem

P(A) P X P Xjj i

jj i

( ) .

Seria P X ii

( )

1

fiind presupusa convergenta, lim (i

jj i

P X

0. Ca urmare, prin trecere la limita,

rezulta P(A) = lim ( )i

jj i

P X

0

si prima parte a teoremei este dovedita.

(ii) In cazul al doilea avem succesiv

P(A)= lim limlim limlim limlimi

jj i i s

jj i

s

i sj

j i

s

i sj

j i

s

P X P X P C X P CX

1 1

Dar, evenimentele X i i N fiind presupuse independente, vor fi independente si evenimentele

contrare astfel ca rezulta

P CX P CX P Xjj i

s

jj i

s

jj i

s

( ) ( ( ))1 .

Insa, din analiza matematica se stie ca, pentru orice 0 x1 avem 1-x e-x

si, deoarece,

P(Xj) satisface aceasta conditie, urmeaza ca 1-P(Xj)eP X j( )

. Dar, atunci, vom avea

( ( )( )

1

P X ejj i

s P X jj i

s

,

si, cum, prin ipoteza seria P X ii

( )

1

nu este convergenta, avem

limlim( )

i s

P X

ej

j i

s

0

Asadar,

limlim ( ( ))i s

jj i

s

P X

1 0

de unde rezulta

limlimi s

jj i

s

P CX

0 .

Dar, in acest caz, P(A)=1 si teorema este complet demonstrata.

73

Nota. Este important de retinut ca partea a doua a teoremei Borel-Cantelli are loc pentru

evenimente independente, ea putand sa nu fie adevarata pentru evenimente arbitrare. De

exemplu, daca Xi=Y pentru orice iN atunci, daca luam 0P(Y)1, rezulta 0P(A)1, caz in care

partea a doua a teoremei nu mai este adevarata.

2.8. Aplicatii

In paragraful de fata ne vom referi la unele aplicatii in teoria ereditatii, care furnizeaza

ilustrari instructive pentru aplicarea modelelor probabiliste simple. Tinand seama de scopul

urmarit, ne vom limita la acele aspecte susceptibile unei tratari din punct de vedere matematic.

Caracterele care se mostenesc depind de purtatori speciali numiti gene. Se impune o

succinta prezentare a unor aspecte legate de structura celulelor pentru a putea avea o privire clara

asupra genelor. celulele somatice sle corpului omenesc au in structura lor 44 de cromozomi

somatici (22 de perechi) si doi cromozomi sexuali: XX pentru femei si XY pentru barbati. Pe

cromozomi se gasesc structuri liniare numite gene. Genele, care sunt raspunzatoare de

transmiterea carcaterelor mostenite, se afla pe cromozomii somatici si pe cei doi cromozomi X.

Se pare ca pe cromozomul Y se gasesc foarte putine gene somatice (daca nu cumva nu se gasesc

de loc; s-ar putea sa se gaseasca o gena anormala care ar transmite caracterul de a vaea par in

cantitate mare in urechi). Astfel, pe cromozomii somatici si pe cei doi comozomi XX, genele

somatice apar perechi. In cel mai simplu caz, gena unei perechi particulare poate admite doua

forme A si a. Atunci, se pot forma trei perechi diferite si, in raport cu aceasta pereche particulara,

organismul apartine unuia dintre cele trei genotipuri AA, Aa, aa (nu exista distinctie, intre Aa si

aA). Fiecare pereche de gene determina un factor transmisibil dar, majoritatea proprietatilor

observabile ale organismelor depind de diversi factori. Pentru unele caracteristici (cum ar fi, spre

exemplu, “culoarea ochilor” si aceea de a fi “stangaci”) influenta unei perechi particulare de

gene este predominanta, in timp ce pentru altele, ca de exemplu inaltimea, efectul este cumulat

de la un numar foarte mare de gene. Ne vom margini, aici, la studiul genotipurilor si mostenirii

caracterelor numai pentru o pereche particulara de gene relativ la care avem trei genotipuri AA,

Aa, aa. In mod frecvent exista N forme diferite A1,A2,...,AN pentru cele doua gene si,

corespunzator N

12

, genotipuri A1A1, A1A2, ..., ANAN. Bineinteles ca teoria se aplica, in acest

caz, cu unele modificari. Calculul urmator se va aplica, de asemenea, intr-un caz special, anume

cand forma A este predominanta si a este respinsa. Se intelege, deci, ca indivizii Aa au aceleasi

proprietati observabile ca si AA, astfel ca numai tipul pur aa prezinta o influenta observabila a

formei a. In natura apar toate nuantele de predominare partiala. Proprietati tipice numai partial

respinse sunt, spre exemplu, “ochi albastri”, “stangacia” etc.

Celulele reproductive, sau gametii, se formeza printr-un proces complex in urma caruia

numarul de cromozomi se va reduce la jumatate. Pentru ovule vom avea 22 de cromozomi

somatici si un cromozom sexual X, iar pentru spermatozoizi vom putea avea doua variante: 22

cromozomi somatici si un cromozom sexual X, sau 22 cromozomi somatici si un cromozom

sexual Y. Organismele de genotipurile pure AA si aa (sau homozigoti) produc, deci, gameti

74

numai de un singur fel, iar organismele de tipul Aa (hibrizi sau heterozigoti) produc gameti A si

a in numar egal. Organismele noi sunt derivate din doi gameti parinti de la care primesc genele.

Prin urmare, fiecare pereche include o gena paterna si una materna, si orice gena poate fi

observata la un stramos particular, in orice generatie, insa eventual mai putin accentuata.

Genotipurilor urmasilor sunt dependente de un proces aleator. In orice imprejurare,

fiecare gena parinteasca poate fi transmisa cu probabilitatea ½, si suntem in cazul cand mai

multe probe succesive sunt independente. Cu alte cuvinte, ne putem imagina genotipurile a n

urmasi ca rezultatul a n probe independente, fiecare dintre ele corespunzand cazului in care sunt

aruncate doua monede. Spre exemplu, genotipurile descendentilor unei imperecheri AaAa sunt

AA, Aa, aa cu probabilitatile respective ¼, ½, ¼. O unire de tipul AAaa poate avea numai Aa-

urmasi, etc.

Privind populatia ca un tot, ne putem imagina unirea partilor ca rezultatul unui al doilea

proces aleator. Ne vom referi aici numai la asa numita imperechere aleatoare definita prin

conditia urmatoare: daca se aleg la intamplare r descendenti din prima generatie filiala atunci,

parintii lor formeaza o selectie aleatoare de volum r, cu eventuale repetari, a populatiei tuturor

perechilor posibile de parinti. Cu alte cuvinte, fiecare descendent este privit ca fiind produsul

unei selectii aleatoare a parintilor, toate selectiile fiind independente in totalitate. Imperecherea

aleatoare este un model idealizat al situatiilor care se intalnesc in multe populatii naturale si in

campul experimental. Insa este de asteptat ca selectivitatea preferentiala (cum ar fi faptul ca

blondul prefera tot blond) este de asteptat sa violeze conditia imperecherii aleatoare. Si

bineinteles ca mai exista asemenea situatii, ele putand fi analizate matematic. Tinand seama de

scopul pe care ni l-am propus vom ramane, insa, in cadrul aspectului aleator.

Deci, genotipul unui urmas este rezultatul a patru alegeri aleatoare independente.

Genotipurile celor doi parinti pot fi selectionate in 33 moduri, iar genele lor in 22 moduri. Insa,

putem sa combinam doua selectii si sa descriem procesul drept unul dintr-o selectie dubla astfel:

genele paterne si materne sunt selectionate fiecare independent si la intamplare din populatia

tuturor genelor purtate de barbati si femei din populatia sursa.

Sa presupunem ca cele trei genotipuri AA, Aa, aa apar printre barbati si femei in aceeasi

proportie u:2v:w. Vom presupune ca u2vw1 si vom spune ca u, 2v, w sunt frecventele

genotip. Sa punem

(2.46) puv, qvw.

In acest fel, numarul genelor de formele A si a sunt ca p:q si, deoarece pq1, vom numi

p si q frecventele gena de forma A si respectiv a. In fiecare dintre cele doua selectii o gena de

forma A este selectata cu probabilitatea p si astfel, datorita presupunerii independentei,

probabilitatea ca un urmas sa fie AA este p2. Genotipul Aa poate sa apara in doua moduri si, prin

urmare, probabilitatea sa este 2pq. Astfel, sub conditia imperecherii aleatoare, un urmas va

apartine genotipurilor AA, Aa sau aa cu probabilitatile

(2.47) u1p2, 2v12pq si respectiv w1q

2.

Exemplul 2.8.1.

(i) Toti parintii sunt Aa (heterozigoti); atunci uw0, 2v1 si pq1/2.

75

(ii) Parintii AA si aa sunt combinati in proportii egale. Atunci, uw1/2, v0 si, din nou,

pq1/2.

(iii) In sfarsit, uw1/4, 2v1/2 si iarasi pq1/2. Deci, in toate cele trei cazuri se obtine, pentru

generatia filiala, u11/4, 2v11/2, w11/4.

Pentru o mai buna intelegere a implicatiilor relatiilor (2.47) sa fixam frecventele gena p si

q (pq 1) si sa consideram toate sistemele de frecvente genotip u, 2v, w, pentru care uvp si

vwq. Toate conduc la acesleasi probabilitati (2.47) pentru prima generatie filiala. Printre ele

exista distributia particulara

(2.48) up2

, 2v2pq, w q2.

Daca frecventele u,v,w din generatia initiala se afla in relatia particulara (2.48) - ca in

cazul (iii) de mai sus - atunci se gaseste, pentru probabilitatile genotipurilor din prima generatie,

u1 u, v1v si w1w. Prin urmare, vom spune ca distributiile genotip de forma (2.48) sunt

stationare. Fiecarui raport p:q ii corespunde o distributie stationara (sau un echilibru).

Relatiile (2.47) dau probabilitatile genotipurilor pentru un individ selectat aleator din

generatia a doua. Intr-o populatie numeroasa trebuie sa ne asteptam ca frecventele genotip reale

sa se apropie de distributia teoretica (o formulare precisa se da cu ajutorul legii numerelor mari si

a teoremei limita centrala care permit sa se estimeze efectul fluctuatiei sansei). Oricare ar fi

distributia u:2v:w in generatia parinteasca, relatiile (2.47) definesc o distributie stationara; in ea

genele A si a apar cu frecventele u1v1uvp si v1w1vwq (conform (2.46)). Cu alte

cuvinte, daca frecventele observate coincid cu probabilitatile calculate atunci, prima generatie

filiala ar avea o distributie genotip stationara care s-ar perpetua fara schimbare in toate

generatiile care o succed. Astfel, pentru populatii numeroase se poate spune ca oricare ar fi

compozitia populatiei sursa realizarea imperecherii aleatoare intr-o generatie produce

aproximativ o distributie genotip stationara cu frecvente gena neschimbate.

De la a doua generatie, nu exista nici o tendinta catre o schimbare sistematica. In

particular, urmeaza ca, pe baza conditiei de imperechere aleatoare, frecventele celor trei

genotipuri trebuie sa fie in proportia p2:2pq:q

2. Aceasta poate fi folosita, acum, in sens invers

pentru verificarea presupunerii asupra imperecherii aleatoare. [G. H. Hardy a aratat ca

frecventele celor trei genotipuri in a n-a generatie sunt trei variabile ale caror valori presupuse

sunt date de (2.47) si nu depind de n. Valorile lor reale vor varia de la generatie la generatie si

formeaza un proces stochastic de tip Markov].

In formularea de mai sus, accentul trebuie pus pe cuvantul “aproximativ” (cum preciza

Hardy). Chiar cu o distributie stationara trebuie sa ne asteptam la putine schimbari de la o

generatie la alta, fapt care sugereaza urmatoarea imagine. Pornind de la o populatie sursa,

imperecherea aleatoare tinde sa stabileasca distributia stationara (2.48) intr-o generatie. Pentru o

distributie stationara, nu exista nici o tendinta spre schimbare sistematica de vreun fel. Insa,

fluctuatiile sansei vor schimba frecventele gena p si q de la generatie la generatie, astfel incat

compozitia genetica va fi usor influentata; nu exista posibilitatea de restabilire a frecventelor

initiale. Din contra, modelul simplificat la care s-a recurs pana acum, ne conduce la concluzia ca,

pentru o populatie limitata ca marime, un genotip Aa pana la urma piere, astfel ca populatia ar

76

apartine eventual unuia dintre tipurile pure AA sau aa. In natura aceasta situatie nu apare in mod

necesar din cauza aparitiei de noi gene prin mutatii, selectie si alte multe efecte. Acestea, pot fi

studiate prin mijloace matematice mai rafinate ( ca lanturi Markov, teoria difuziei).

Este o eroare sa se creada ca legea numerelor mari actioneaza ca un dispozitiv inzestrat

cu memorie care cauta sa se intoarca la starea initiala, multe concluzii gresite putand sa se traga

dintr-o asemenea presupunere (procesele biologice considerate aici sunt tipice unei clase

importante de procese Markov la care, insa, nu ne vom referi aici). Remarcam faptul ca legea lui

Hardy nu se aplica distributiei a doua perechi de gene (spre exemplu “culoarea ochilor” si “a fi

stangaci”) cu noua genotipuri AABB, AABb, ..., aabb. Se manifesta inca o tendinta spre o

distributie stationara, dar echilibrul nu este atins la prima generatie.

Sa ne referim, acum, la cromozomii sexualii X si Y. Astfel, sexul este determinat de doi

cromozomi: femeile sunt XX, iar barbatii XY. Mama transmit, in mod necesar, un cromozom X

(ovulele sunt toate de forma 22+X) si sexul urmasului depinde de cromozomul transmis de tata.

Spermatozoizii se formeaza in numar egal 22+X sau 22+Y. Daca urmasul este baiat sau fata,

aceasta se explica prin variatia sanselor in perioada existentei prenatale.

Se stie ca genele somatice apar in perechi atat pe cromozomii somatici cat si pe

cromozomii X, insa la barbat, care are un singur cromozom X, genele somatice de pe acest

cromozom apar singure. S-a stabilit ca pe cromozomii X sunt situate gene care determina

daltonismul si gene care determina hemofilia. Cu privire la fiecare dintre ele, femeile pot fi inca

clasificate in trei genotipui AA, Aa, aa dar, avand numai o gena, barbatii au numai cele doua

genotipuri A si a. Notam ca un “fiu” are totdeauna cromozomul Y al tatalui asa incat caracterul

de sex nu poate fi mostenit de la tata la fiu. Insa, el poate sa treaca de la tata la “fiica” si de la ea

la nepot.

In continuare, sa generalizam analiza facuta in prima parte a acestui paragraf. Sa

presupunem, din nou, imperecherea aleatoare si fie u, 2v, w respectiv, frecventele genotipurilor

AA, Aa, aa in populatia feminina. Sa presupunem, ca si mai inainte, puw, qvw. Frecventele

celor doua genotipuri masculine A si a sa le notam prin p’ si q’ (1p’q’). Atunci, p si p’ sunt

frecventele genei de forma A in populatia feminina si respectiv masculina. Probabilitatea ca un

descendent feminin sa fie din genotipul AA, Aa, aa va fi notata prin u1, 2v1, w1; probabilitatile

analoage pentru tipurile masculine A si a sunt /

1

/

1 qsip . Deci, un urmas masculin primeste

cromozomul X de la parintele de sex feminin si rezulta

(2.49) qqsipp /

1

/

1 .

Pentru cele trei genotipuri feminine se gaseste ca si in cazul genelor

(2.50) u1pp’, 2v1pq’qp’, w1qq’.

Prin urmare

(2.51) p1 u1v1 (1/2)(p p’), q1 v1w1 (1/2)(q q’).

Acestea pot fi interpretate astfel. Printre descendentii masculini genele A si a apar

aproximativ cu frecventele p si q din populatia materna; frecventele gena printre descendentii de

sex feminin sunt aproximativ p1 si q1, sau semisuma dintre acelea ale populatiilor paterna si

77

materna. Se simte o tendinta spre egalizarea frecventelor gena. De fapt, din (2.49) si (2.51) se

obtine

(2.52) p p p p1 112

' ( ' ) , q q q q1 112

' ( ' ) .

Aceasta inseamna ca imperecherea aleatoare determina intr-o generatie reducerea aproximativ cu

jumatate a diferentelor intre frecventele gena dintre femei si barbati. Insa ea nu elimina

diferentele, ci subzista doar o tendinta spre o reducere urmatoare. In contrast cu legea lui Hardy,

aici nu se intalneste o situatie stationara dupa o generatie. Se pot urmari sistematic schimbarile

de la generatie la generatie omitand fluctuatiile sansei si identificand probabilitatile teoretice

(2.50) si (2.51) cu frecventele corespunzatoare reale in prima generatie filiala. Pentru a doua

generatie se va obtine, prin acelasi procedeu,

(2.53)

p p p p p

q q q q q

2 1 1

2 1 1

12

34

14

12

34

14

( ) '

( ) '

'

'

si, bineinteles, p p q q2 1 2 1' ', . Un numar mai mare de probe ne va conduce la expresia

generala a probabilitatilor pn si qn pentru cazul femeilor descendente din a n-a generatie. Sa

punem

(2.54) = (1/3)(2p+p’) , = (1/3)(2q+q’)

(retinem ca ). Atunci

(2.55)

pp p p p

qq q q q

i p p q q

nn n n

n

nn n n

n

n n n n

1 1

1 1

1 1

21

3 2

21

3 2

'

'

' '

( ) '

( ) '

[ ,

Deci (2.56) p p q qn n n n , , ,' ' .

Frecventele genotip in populatia feminina, ca cele date prin (2.50), sunt

u p p v p q q p w q qn n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 12' ' ' ', , .

Prin urmare, (2.57) u v wn n n 2 22 2, , .

Aceste relatii arata ca exista o tendinta sistematica puternica, de la generatie la generatie, catre o

situatie in care genotipurile A si a apar printre barbati cu frecventele si , genotipurile

feminine AA, Aa, aa avand probabilitatile 2, 2, 2

, respectiv. Convergenta este foarte rapida,

asa cum reiese si din (2.54). Practic, echilibrul va fi atins la a treia sau a patra generatie. Cu

siguranta, putine fluctuatii se vor suprapune peste schimbarile descrise, ultima insa reprezinta

tendinta predominanta.

Concluzia principala este ca, in iopteza imperecherii aleatoare, ne putem astepta ca

genotipurile de sex A si a la barbati si AA, Aa, aa la femei sa apara aproximativ cu frecventele ,

, 2, 2, 2

respectiv, unde .

78

Exemplul 2.8.2.

Multe gene sunt respinse, ceea ce cauzeaza defecte. Fie a o asemenea gena. Atunci toate

a-masculine si aa- feminine fac sa apara defecte. Femeile de tipul Aa pot transmite defectul

urmasului lor fara sa fie afectate ele insele. Deci este de asteptat ca un defect respins care apare

printre barbati cu frecventa sa apara printre femei cu frecventa 2. Deci, daca, spre exemplu, un

barbat dintr-o suta este daltonist, o femeie ar fi afectata din 10.000.

Un exemplu tipic de influenta a selectiei il constituie cazul in care indivizii aa nu pot

reproduce. Aceasta se intampla cand gena a este respinsa in asa fel incat indivizii aa se nasc dar

nu pot supravietui.

Sa presupunem ca are loc imperecherea aleatoare intre indivizii AA si Aa, dar nu de tipul

aa. Fie u, 2v, w frecventele cu care apar genotipurile AA, Aa, aa in populatia totala. Frecventele

corespunzatoare pentru parinti sunt atunci

(2.58) u*u/(1-w) , 2v

* 2v(1-w), w

* 0.

Se poate proceda ca in prima parte a acestui paragraf, dar folosind relatiile (2.58) in loc

de u, 2v, w. Prin urmare, (2.46) se inlocuieste cu

(2.59) p u vw

q vw

1 1, .

Probabilitatile celor trei genotipuri in prima generatie filiala sunt, din nou, date de (2.47)

sau u1p2, 2v12pq, w1q

2.

Ca si mai inainte, pentru a studia schimbarile sistematice de la generatie la generatie,

avem de inlocuit u, v, w, prin u1, v1, w1 obtinand, astfel, probabilitatile u2, v2, w2 pentru a doua

generatie descendenta, etc.

In general, din (2.59) se obtine

(2.60) pu v

wq

vwn

n n

nn

n

n

1 1,

Si (2.61) u p v p q w qn n n n n n n 12

1 122 2, , .

Compararea relatiilor (2.60) si (2.61) arata ca

pu v

wp

q qnn n

n

n

n n

1

1 1

1 21 11

1

si, analog

(2.62) qvw

q

qn

n

n

n

n

11

11 1.

Din (2.62) se poate calcula, in mod explicit, qn. Avem

11

1

1q qn n

de unde rezulta succesiv

1 1 1 1 2 1 1 1

1 11 21

2

q q q q qn

qsau q q

nqw q

nqnn n

, , , , .

79

Se observa ca, incetul cu incetul, genotipul neproductiv (sau nedorit) se elimina dar

procesul este extrem de lent. Pentru q0 sunt necesare zece generatii pentru a reduce frecventa

genelor a la jumatate; frecventa tipului aa se reduce, in acest fel, aproximativ de la 1 la ¼ la suta.

Alte exemple

2.8.3. Se da o urna cu n bile numerotate de la 1 la n. Din urna se extrag succesiv cele n

bile. Numerotand extractiile se cere probabilitatea ca in peocesul extractiei sa se obtina cel putin

o concordanta, anume, ca cel putin o data, la o bila, rangul extractiei sa coincida cu numarul

marcat pe bila.

Solutie. Sa notam cu Ai evenimentul ca la extaractia de indice i sa obtinem bila marcata

cu numarul i. Evenimentul ca in procesul extractiei sa avem cel putin o concordanta este

A1A2An.. Ca urmare, este indicat sa utilizam formula (2.40) si este, deci, necesar sa

determinam probabilitatile evenimentelor Ai, i1,...,n

A A A A A A A Ai i i i i kk1 2 1 2 1 2,..., ... ,..., ... .

Calculul probabilitatii evenimentului Ai. Cele n bile pot fi extrase in n moduri. Cazurile

favorabile evenimentului Ai sunt in numar de (n-1)! deoarece bilele 1,2,...,i-1,i1,...,n pot fi

extrase in (n-1) moduri. Deci

P A nn ni( ) ( )!

!

1 1.

Calculul probabilitatii evenimentului A A i i ni i1 21 1 2, poate fi efectuat ovservand

ca numarul cazurilor favorabile acestui eveniment este (n-2)! pentruca bilele 1,2,...,i1-1 ,i1 +1, ...,

i2 -1,i2 1, ..., n pot fi extrase in (n -2)! moduri. Ca urmare

P A A nn n ni i( ) ( )!

! ( )1 22 1

1

.

Procedand la fel, avem

P A A A n kn n k ni i ik( ... ) ( )!

! ( )...1 21

1

Observand ca

P(Ai)n(1/n)1

P A A Cn ni i n

i i

( )( ) !1 2

1 2

21

1

1

2

.....................................................................

i i

i i i nk

kk

P A A A Cn k n k

11 2

11

1

...( ... )

( )... !, etc.

rezulta

P A A Ann

n( ... )! !

... ( )!1 2

11 12

13

1 1 .

2.8.4. Trei muncitori depasesc norma de lucru cu probabilitatile p10,65, p20,70,

p30,80. Lucrand in echipa ne intrebam:

80

a) Care este probabilitatea ca cel putin unul din muncitori sa depaseasca norma ?

b) Care este probabilitatea ca cel putin doi dintre ei sa depaseasca norm a ?

c) Care este probabilitatea ca numai primul sa depaseasca norma ?

d) Care este probabilitatea ca echipa sa nu depaseasca norma ?

Solutie. Fie Ai, i1,2,3, evenimentele ca fiecare muncitor sa depaseasca norma, deci P(A i)

pi. Pentru solutionarea problemei adoptam ipoteza ca evenimentele Ai sunt independente, deci

P(A1A2) p1p2 0,455, P(A1A3) p1p30,52, P(A2A3) p2p3=0,56 si

P(A1A2A3)p1p2p3=0,364.

Pentru a raspunde la prima intrebare vom calcula probabilitatea evenimentului

A1A2A3.

Utilizand formula (2.22) obtinem P(A1A2A3)p1p2p3-(p1p2p1p3p2p3)p1p2p30,979.

Pentru a raspunde la cea de a doua intrebare, utilizand formula (2.31) unde luam r2,

n3, obtinem

P2p1p2p1p3p2p3- C21 p1p2p30,804.

Utilizand formula (2.28), unde luam n3, obtinem raspunsul la intrebarea a treia, adica

Pp1-(p1p2p1p3) p1p2p30,039.

In ce priveste raspunsul la ultima intrebare, calculam probabilitatea evenimentului

A A A1 2 3 si avem

P( A A A1 2 3 )1-P( A A A1 2 3) 0,029.

2.8.5. Fie A,BP() sau A,BK(). Sa se arate ca urmatoarele propozitii sunt

echivalente

a) Evenimentele A, B sunt independente;

b) Evenimentele A, B sunt independente;

c) Evenimentele A , B sunt independente;

d) Evenimentele A B, sunt independente.

Sa se generalizeze problema la cazul a n evenimente si la cazul a unei infinitati numerabile de

evenimente din K().

Solutie. ab. Din A(A B )(AB) rezulta P(A)P(A B )P(AB)

P(A B )P(A)P(B). Ca urmare, P(A B )P(A)(1-P(B)) P(A)P( B ).

bc. Se inlocuiesc A cu A si B cu B in formula P(A B )P(A) P(B).

cd. Rezulta direct din formula P( A B)P( A ) P(B).

da. Rezulta direct din formula P( A B )P( A ) P( B ) inlocuind A cu A si B cu B .

Trecerea la cazul general XI este imediat, unde I este o multime cel mult

numerabila. Se arata ca, daca X Xi ip1,..., este un numar finit arbitrar de evenimente din familia

XI , independenta familiei XI implica independenta femiliei YI unde XY

sau Y X , alegerea fiind facuta in toate modurile posibile.

De exemplu

81

)()...()()()...())(1(

)()...()()()...(

)...()...()...(

2121

212

2121

pp

pp

ppp

iiiiii

iiiii

iiiiiii

XPXPXPXPXPXP

XPXPXPXPXP

XXXPXXPXXP

IIIIIII

In acest calcul s-a utilizat formula P( A B)P(B)-P(AB).

2.8.6. Se considera patru urne cu infatisari identice. Se stie ca urna U1 contine 7 bile albe

si 2 negre, U2 contine 8 bile albe si 4 negre, U3 contine 10 bile albe si 12 negre iar U4 contine 8

bile albe si 12 negre. Se alege la intamplare o urna si se extrage o bila. Se cere probabilitatea ca

bila extrasa sa fie alba.

Solutie Fie A evenimentul ca bila extrasa sa fie alba si Ei, i1,2,3,4, evenimentul ca bila

extrasa sa fie din urna Ui. Din datele problemei avem P(E1)P(E2) P(E3) P(E4)= 1/4. P(A)

se obtine aplicand formula probabilitatii totale.

P(A) = P(E1)PE1(A)+P(E2)PE2(A)+P(E3)PE#(A)+P(E4)PE4(A)

unde PE1(A) inseamna probabilitatea ca bila alba sa fie scoasa din urna U 1, etc.. In cazul de fata

PE1(A)=7/9, PE2(A)=8/12, PE3(A)=10/22, PE4(A)=8/20.

2.8.7. Trei centre de productie fabrica piese de acelasi tip cu rebuturi de 3%, 2%, 3%.

Piesele se depoziteaza in acelasi loc. Se ia o piesa la intamplare si se constata ca aceasta nu

corespunde stasului. Se intreaba care este probabilitatea ca piesa in cauza sa fi fost fabricata de

cel de-al doilea centru stiind ca o piesa luata la intamplare, din stoc, provine de la primul centru

cu probabilitatea de 0,2, de la al doilea centru cu probabilitatea 0,7, iar de la cel de-al treilea

centru cu probabilitatea 0,1.

Solutie. Fie A evenimentul ca piesa sa fie un rebut si E1, E2, E3 evenimentul ca piesa sa

fie fabricata la centrul C1, C2, C3 respectiv. Evenimentele E1, E2, E3 sunt incompatibile si

formeza un sistem complet. Se aplica formula lui Bayes (2.36), pentru a obtine PA(E2), unde

P(E1) 0,2, P(E2) 0,7, P(E3)0,1, iar P A P A P AE E E1 2 33 100 2 100 3 100( ) / , ( ) / , ( ) / .

82

CAPITOLUL 3

VARIABILE ALEATOARE. CARACTERISTICI NUMERICE.

FUNCTIA DE REPARTITIE.

OBIECTIVE

Variabilele aleatoare, functia de repartitie ale variabilelor aleatoare reprezinta un puternic

instrument de reprezentare a evenimentelor. Gradul de abstractizare este mare. Media si dispersia

unei variabile aleatoare sunt elemente centrale ce caracterizeaza o variabila aleatoare.

La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca:

- Variabile aleatoare: discrete, continue. Operatii cu variabile aleatoare

- Valori medii, dispersii, corelatie

- Functia de repartitie

3.1. Definitii. Exemple.

In capitolul 2 s-au considerat campuri (finite , infinite) de evenimente asociate unor

experiente a caror realizare are caracter aleator. Pe aceste campuri s-a introdus notiunea de

probabilitate, notiune care permite sa masoare numeric sansa de realizare a fenomentului dorit.

Fie (, P()) un camp finit de evenimente si P o probabilitate pe acest camp. Sa ne

amintim ca probabilitatea P este o aplicatie

P: P() 0,1

care satisface cerintele definitiei 2.2.1

Este vorba, deci, de o functie reala definita pe multimea partilor multimii , deci a unei

functii de multime care asociaza unui xP(), numarul real P(X)0,1.

Interesant de semnalat este faptul ca, dat fiind numarul real 0,1, multimea

P x P x 1 ( ) ( ) are un numar finit de elemente sau, eventual, este vida si avem

P 1 ( ) .

Sa consideram acum functii reale definite pe multimea a evenimentelor elementare,

f : R.

Desigur, daca este un numar real oarecare (R), multimea

f x f x 1 ( ) ( ) este un element al multimii care, eventual, poate fi multimea vida si

putem vorbi de probabilitatea evenimentului f P 1 ( ) ( ) .

Definitia 3.1.1. O functie reala definita pe o multime de evenimente elementare se

numeste variabila aleatoare.

In capitolele precedente variabilele aleatoare au constituit o preocupare permanenta cu

toate ca n-a fost folosit acest termen. Variabile aleatoare sunt numarul zilelor de nastere multiple

83

intr-o societate cu n indivizi, al seriilor de realizari in n probe Bernoulli etc. In fiecare caz, exista

o regula unica ce asociaza un numar x cu orice eveniment elementar. Teoria clasica a

probabilitatilor s-a ocupat destul de mult cu studiul posibilitatilor de castig ale unui jucator la un

anume joc, care este din nou o variabila aleatoare. De altfel, fiecare variabila aleatoare poate fi

interpretata ca un castig (sau reusita) al unui jucator real sau imaginar intr -un joc convenabil ales.

Tot variabile aleatoare sunt, spre exemplu, pozitia unei particule care difuzeaza energia,

temperatura etc., din sistemele fizice, dar ele sunt definite in campuri de evenimente care nu mai

sunt discrete.

In cazul unui camp de evenimente discret 1)

se poate reprezenta orice variabila aleatoare

X printr-un tablou in care se enumera intr-o anume ordine toate punctele campului si se asociaza,

apoi, cu fiecare, valoarea corespunzatoare a lui X. [Termenul de variabila aleatoare este putin

confuz, termenul de functie aleatoare parand a fi adecvat intrucat variabila independenta este un

punct in campul de evenimente, adica rezultat al unui experiment].

Fie X o variabila aleatoare si x1,x2,... valorile sale posibile (evitam termenul de domeniu

al lui X pentru multimea punctelor x1,x2,... deoarece in literatura statistica acest termen este

folosit pentru diferenta dintre maximum si minimum lui X). In multe din situatiile urmatoare xj

vor fi intregi. Reuniunea tuturor evenimentelor elementare pe care X admite valoarea fixata xj

formeaza evenimentul care consta in faptul ca Xxj; probabilitatea sa va fi notata prin P(Xxj).

Definitia 3.1.2. Functia

(3.1) P (Xxj) f(xj), j1,2,...

se numeste distributia (probabilista) a variabilei aleatoare X.

Evident,

(3.2) f(xj) 0, f x jj

( )

11

.

Observatie. Pentru o variabila discreta X distributia probabilista este functia f(xj) definita

pe reuniunea valorilor xj admise de X. Atragem atentia asupra distinctiei care trebuie facuta intre

aceasta notiune si notiunea de functie de repartitie care este rezervata functiilor nedescrescatoare

care tind la 0 cand x - si la 1 cand x . Functia de repartitie F(x) a variabilei aleatoare X se

defineste prin relatia

F(x)P(X x) f x jx xj

( )

suma extinzandu-se peste toti xj care nu-l depasesc pe x. Astfel, functia de repartitie a unei

variabile aleatoare poate fi calculata din distributia sa probabilista si reciproc.

Cu terminologia din definitia 3.1.2. putem spune ca, in cazul cand se considera probe

Bernoulli, numarul de realizari Sn este o variabila aleatoare cu distributia probabilista P(k;n.p),

in timp ce numarul probelor pana la prima realizare inclusiv este o variabila aleatoare cu

distribuaia (qk-1

p).

Sa consideram, acum, doua variabile aleatoare X si Y definite pe acelasi camp de

evenimente si sa notam valorile pe care ele le admit respectiv prin x1,x2,..., si y1,y2,...; fie f(xj)

1)

Intelegem prin camp discret de evenimente un camp finit sau numerabil de evenimente.

84

si g(yk) distributiile probabiliste corespunzatoare. Reuniunea punctelor in care sunt satisfacute

ambele conditii Xxj si Yyk formeaza un eveniment a carui probabilitate va fi notata prin

P(Xxj, Yyk).

Functia

(3.3) P(Xxj ,Yyk)p(xj ,yk), (j,k 1,2,3,....)

poarta numele de distributia probabilista comuna a variabilelor X si Y. Ea este cel mai bine

exprimata in forma unui tabel cu doua intrari asa cum sunt exemplificate din tabelele 3.1 si 3.2

de mai jos. In mod evident avem

(3.4) p x y p x yj kj k

j k( , ) , (( , ),

0 1

De altfel, pentru fieacre j fixat

(3.5) p(xj,y1) p(xj,y2)p(xj,y3)P(Xxj)f(xj)

si, pentru fiecare k fixat,

(3.6) p(x1,yk) p(x2,yk)p(x3,yk)P(Yyk)g(yk).

Cu alte cuvinte, adunand probabilitatile din linii si coloane separate se obtin distributiile

probabiliste ale lui X si Y. Ele pot fi exprimate asa cum se arata in tabelele 3.1 si 3.2 si convenim

sa le numim distributii marginale. Adjectivul marginal se refera la forma exterioara a tabelului

cu doua intrari, dar el ne permite si o claritate de ordin stilistic atunci cand distributia comuna a

doua variabile si distributiile individuale (marginale) ale lor apar in acelasi context.

Notiunea de distributie comuna se extinde la sisteme cu mai mult decat doua variabile

aleatoare.

Exemplul 3.1.1. (Distributia aleatoare a 3 bile in 3 urne).

Sa consideram campul de evenimente compus din 27 de puncte definit formal in tabelul

2.1 si sa asociem fiecarui punct probabilitatea 1/27. Sa notam prin N numarul urnelor ocupate si

pentru fiecare i 1,2,3 fie Xi numarul de bile din celula numarului i. Avem astfel o prezenare

descriptiva a problemei. Formal, insa, N este functia care admite valoarea 1 pentru punctele cu

numerele de ordine 1-3; valoarea 2 pentru punctele cu numerele 4-21; iar valoarea 3 pentru

punctele cu numerele 22-27. Prin urmare , distributia probabilista a lui N este definita prin

P(N1) 1/9, P(N3) 2/3, P(N3) 2/9. Distributiile comune ale lui (N,X1) si ale lui (X1, X2)

sunt date in tabelele 3.1 si 3.2.

X1

0 1 2 3 Distributia lui N

1 2q 0 0 q 3q1/9

N 2 6q 6q 6q 0 18q2/3

3 0 6q 0 0 6q2/9

Distributia lui X1 8q 12q 6q q

Tabelul 3.1

Distributia comuna a lui N si X1

85

Se obvserva din tabelul 3.1 cateva dintre valorile caracteristice pe care le vom defini in

acest capitol

M(N) 19/9, M(X1) 1, M(N,X1) 19/9, M(N2) 129/27, M(X

21)45/27,

2(N) 26/81,

2(X1)=2/3, C(N,X1) 0

unde N reprezinta numarul de urne ocupate, X1 numarul de bile din prima urna cand 3 bile sunt

distribuite aleator in 3 urne. Pentru prescurtare q1/27.

X1

0 1 2 3 Distributia lui X2

0 q 3q 3q q 8q

1 3q 6q 3q 0 12q

X2 2 3q 3q 0 0 6q

3 q 0 0 0 q

Distributia lui X1 8q 12q 6q q

Tabelul 3.2

Distributia comuna a lui X1 si X2

Si din acest tabel rezulta urmatoarele valori caracteristice

M(X1) 1, M(X2) 1, M(X1 X2) 2/3, M(X2

1)45/27, M(X2

2)45/27,

2(X1) 2/3,

2(X2) 2/3, C(X1,X2) -1/3.

Aici Xi (i1,2) inseamna numarul de bile din celula i cand se distribuie aleator 3 bile ;n 3

urne. Pentru prescurtare q1/27.

Exemplul 3.1.2. (Aruncarea cu zarul).

In cazul aruncarii unui zar ideal de n ori, sa notam cu X1, X2, X3 respectiv, numarul de

aparitii ale fetei unu, doi si trei. Probabilitatea p(k1,k2,k3) ca in urma celor n aruncari sa rezulte

de k1 ori fata 1, de k2 ori fata doi, de k3 ori fata 3 si de n-k1-k2-k3 ori celelalte fete este data de

repartitia multinomiala pentru p1p2p31/6, p41/2, adica

(3.7)

p k k k nk k k n k k k

n k k k n( , , ) !! ! ! !1 2 3

1 2 3 1 2 33 61 2 3

.

Aceasta este distributia comuna a lui X1,X2,X3. Pastrand k1, k2 fixati si insumand (3.7) pentru

valorile posibile k30,1,2,...,n-k1-k2, se obtine, folosind teorema binomului ,

(3.8)

p k k nk k n k k

n k k n( , ) !! ! !1 2

1 2 1 24 61 2

Aceasta este distributia comuna a lui (X1,X2) care acum apare ca distributie marginala pentru

distributia tripletului X1,X2,X3. [Nu este greu de remarcat ca (3.8) ar fi putut fi obtinuta direct din

repartitia multinomiala]. Sumand (3.8) inca odata pentru toti k2 0,1,..., n-k1, rezulta distributia

lui X1, adica repartitia binomiala cu p1/6.

Exemplul 3.1.3.

Sa consideram o populatie de n elemente impartita in trei clase de volum, respectiv,

n1np1, n2np2 si n3np3 (unde p1p2p31). Sa presupunem ca se alege, la intamplare, o selectie

86

de volum r , si sa notam prin X1 si X2 numarul reprezentantilor in selectie din prima si, respectiv,

a doua clasa. Daca selectia este repetata, P(X1k1, X2k2) este data de repartitia multinomiala

(3.9)

f k k rk k r k k

p p pk k r k k( , ) !! ! !1 2

1 2 1 21 2 3

1 2 1 2

(conform (3.30)). Variabila Xi are repartitia binomiala P(k;r,p i). Daca selectia este nerepetata,

atunci P(X1k1, X2k2) este data de repartitia hipergeometrica dubla

nk

nk

n n nr k k

nr

1

1

2

2

1 2

1 2

(unde k1n1, k2n2, r-k1-k2 n-n1-n2) iar X1 are repartitia hipergeomatrica simpla

nk

n nr k

nr

1 1

.

Exemplul 3.1.4.

Sa consideram , din nou, exemplul precedent dar sa presupunem ca, selectia de volum r,

in loc sa fie fixata apriori, depinde de rezultatul unui experiment aleator. Mai exact, sa

presupunem ca volumul selectiei depinde de o repartitie Poisson. Probabilitatea ca volumul

selectiei sa fie r este p r en

n( , )

!

si, dandu-se selectia de volum r, probabilitatea

(conditionata) ca X1k1 si X2k2 este f(k1,k2) din (3.9). Pentru repartitia probabilista comuna a lui

(X1,X2) avem, atunci

(3.10)

P X k X k ef k k

r

ep p

k kpk

ep p

k k

r

r k kk k k

k

pk k

( , )( , )

!

( ) ( )! !

( )!

( ) ( )! !

( )

1 1 2 21 2

1 2

1 2

3

30

1 1 2

1 2

1 2

1 2 3

3

31 2

Sau P(X1k1,X2k2) p(k1;p1)p(k2;p2).

Sumand dupa k2 se gaseste ca X1 are repartitia Poisson p(k;p1). Repartitia comuna a lui (X1,X2)

ia forma tablei inmultirii celor doua repartitii marginale p(k;p1) si p(k;p2). Exprimam acest

fapt spunand ca X1 si X2 sunt independente.

Cu notatia (3.3) probabilitatea evenimentului Yyk, conditionata de Xxj (cu f(xj)0)

devine

(3.11) )(

),()(

j

kj

jkxf

yxpxXyYP .

87

Este convenabila o forma prescurtata a relatiei (3.11) cum este P(YykX); aceasta

defineste probabilitatea lui Y conditionata de X. Observand tabelele 3.1 si 3.2 se constata ca

probabilitatea conditionata (3.11) este, in general, definita de g(yk). Acaesta arata ca implicatia

poate avea loc de la valorile lui X spre cele ale lui Y si vice versa; cele doua variabile sunt

dependente stochastic. Dependenta cea mai tare se realizeaza cand Y este functie de X, adica

atunci cand valoarea lui X determina in mod unic pe Y. Spre exemplu, daca se arunca o moneda

de n ori, iar X si Y reprezinta numarul de realizari ale valorii si respectiv pajurei, atunci Yn-X.

Analog, cand YX2 se poate calcula Y cu ajutorul lui X. In termenii distributiei comune aceasta

inseamna ca pe fiecare linie toate intrarile, cu exceptia uneia, sunt zero. Daca, pe de alta parte,

p(xj,yk) f(xj)g(yk) pentru toate combinatiile dintre xj si yk, atunci evenimentele Xxj si Yyk

sunt independente; distributia comuna ia forma unui table a inmultiri. In acest caz vorbin despre

variabile aleatoare independente. Ele apar, in special, legate de probe independente; de exemplu,

numerele castigatoare in doua aruncari ale unui zar sunt independente.

Este bine de retinut ca distributia comuna a lui X si Y determina distributiile lui X si Y, dar

distributia comuna a lui X si Y nu poate fi calculata din distributiile lor marginale. Daca doua

variabile aleatoare X si Y au aceeasi distributie, ele pot sau nu pot sa fie independente. Ca

ilustrare, cele doua variabile X1 si X2 din tabelul 3.2 au aceeasi distributie si sunt dependente.

Evident, toate rationamentele facute raman valabile si in cazul mai multor variabile

aleatoare. Sa restrangem totul in definitia urmatoare

Definitia 3.1.3. O variabila aleatoare X este o functie reala definita pe o multime de

evenimente elementare data. Distributia probabilista a lui X este functia definita in (3.1). Daca

doua variabile aleatoare X si Y sunt definite pe aceeasi multime de evenimente elementare,

distributia lor comuna este data de (3.3) si atribuie probabilitati tuturor combinatiilor (x j,yk) de

valori admise de X si Y. Acest concept se extinde, in mod evident, la orice multime finita de

variabile aleatoare X1, X2, ..., Xn definite pe aceeasi multime de evenimente elementare. Aceste

variabile aleatoare se spune ca sunt independente in totalitate daca, pentru orice combinatie a

valorilor (x1,x2,...,xn) admise de ele, are loc relatia

(3.12) P(X1x1,X2x2,...,Xnxn) P(X1x1)P(X2x2)...P(Xnxn) .

In capitolul 2 am definit campul de evenimente care corespunde la n probe independente.

Comparand aceasta cu (3.12) se observa ca, daca Xk depinde numai de rezultatul celei de a k

probe atunci, variabilele X1,...,Xn sunt independente in totalitate. Mai general, daca o variabila

aleatoare U depinde numai de rezultatele primelor k probe, iar o alta variabila V depinde numai

de rezultatele ultimelor n-k probe, atunci U si V sunt independente.

Ne putem imagina o variabila aleatoare ca un marcaj, sau un indicator al punctelor

campului de evenimente. Acest procedeu este obisnuit in aruncarea cu zarul unde fetele sunt

numerotate si se vorbeste despre numere ca fiind rezultatele posibile ale probelor individuale. S-

ar putea spune, deci, ca o variabila aleatoare X este o aplicatie a multimii initiale de evenimente

elementare pe o noua multime ale carei puncte sunt x1, x2,... .

Prin urmare, ori de cate ori f(xj) satisface conditiile (3.2), este natural sa se vorbeasca

despre o variabila aleatoare X, care admite valorile x1,x2,... cu probabilitatile f(x1),f(x2),..., fara

88

alte referiri la vechiul camp de evenimente; campul nou contine punctele x1,x2,... . A preciza o

distributie probabilista inseamna a preciza un camp de evenimente ale carui puncte sunt numere

reale. A vorbi despre doua variabile aleatoare X si Y, cu distributiile f(x j) si g(yk), este alelasi

lucru cu a face referire la un camp de evenimente ale carui puncte sunt perechi de numere (xj,yk)

cu probabilitatile date de relatia P(xj,yk) f(xj)g(yk). In mod similar, pentru campul de

evenimente care corespunde unei multimii de n variabile aleatoare (X1, X2, ..., Xn) se poate lua o

reuniune de puncte (x1,x2,...,xn) din spatiul n-dimensional avand probabilitatile asociate prin

distributia lor comuna. Variabilele aleatoare sunt independente in totalitate daca distributia lor

comuna este data de (3.12).

Exemplul 3.1.5. (Probe Bernoulli cu probabilitati variabile).

Sa consideram n probe independente, fiecare dintre ele avand numai doua rezultate

posibile S (succes, realizare) ai I (nerealizare, insucces). Probabilitatea unei realizari S la proba

de rang k este pk, iar a unei nerealizari I este qk1-pk . Daca pkp, aceasta schema se reduce la

probe de tip Bernoulli. Cel mai simplu mod de a o descrie este de a atribui valorile 1 si 0 lui S si

respectiv I . Modelul este atunci descris in intregime daca spunem ca avem n variabile aleatoare

independente in totalitate Xk cu distributiile P(Xk1) pk, P(Yk0) qk. Aceasta schema este

cunoscuta sub numele de probe de tip Poisson .

Este clar ca aceeasi distributie poate sa apara in legatura cu diferite campuri de

evenimente. Daca, spre exemplu, se spune ca variabila aleatoare X admite valorile 0 si 1 cu

probabilitatile ½, inseamna ca se face referire tacita la un camp de evenimente care consta din

doua puncte 0 si 1. Insa, variabila aleatoare X poate fi definita specificand ca este egala cu 0 sau

1 dupa cum a zecea aruncare a unei monede ( ca sa ne referim la experimentul constand din

aruncarea monedei), face sa se realizeze valoarea (B) sau pajura (M); in acest caz X este definita

intr-un camp de evenimente constand din secvente (BBM...) si avand 210

puncte.

In principiu, exista posibilitatea de a restrange teoria probabilitatilor la campuri de

evenimente definite in termeni ai distributiilor probabiliste de variabile aleatoare. Reducerea

teoriei probabilitatilor la astfel de studii ofera posibilitatea folosirii analizei matematice si

simplificarea teoriei din multe puncte de vedere.

Exemplul 3.1.6.

Fie X o variabila aleatoare cu valorile posibile x1,x2,... si probabilitatile corespunzatoare

f(x1),f(x2),... Oricand ne putem imagina un experiment care sa conduca la X. Spre exemplu, se

imparte discul unei rulete in arcele l1,l 2,... ale caror lungimi se raporta ca f(x1):f(x2): ... Sa ne

imaginam un jucator care primeste suma xj daca ruleta se opreste in dreptul unui punct al arcului

lj. Atunci X reprezinta castigul jucatorului.

In n probe castigurile se presupun a fi n variabile independente cu distributia comuna

f(xj). Pentru a obtine doua variabile cu o distributie comuna data, p(x j,yk), n-avem decat sa

consideram ca la fiecare combinatie (xj,yk) corespunde un arc si sa ne gandim la doi jucatori care

primesc sumele xj si respectiv yk.

Daca X, Y, Z, ... sunt variabile aleatoare definite pe acelasi camp de evenimente, atunci

orice functie F(X,Y,Z,...) este, de asemenea, o variabila aleatoare. Distributia sa poate fi obtinuta

89

din distributia comuna a lui X, Y, Z,... selectionand termenii care corespund combinatiilor lui (X,

Y, Z,... care dau aceeasi valoare a lui F(X,Y,Z,...).

Exemplul 3.1.7.

In exemplul ilustrat prin tabelul 3.2, de mai inainte, suma X1X2 este o variabila aleatoare

care admite valorile 0,1,2,3 cu probabilitatile q, 6q, 12q, 8q (unde q1/27). Produsul X1X2 admite

valorile 0,1,2 cu probabilitatile 15q, 6q, 6q.

3.2. Valori medii

Pentru a simplifica in mod rezonabil lucrurile adesea este necesar sa se descrie

distributiile probabiliste, mai pe scurt, cu ajutorul catorva valori tipice. Mediana xm a distributiei

(3.1) este aceea valoare admisa de X pentru care P(Xxm) ½ si P(Xxm) ½ . Cu alte cuvinte,

xm este ales astfel incat probabilitatile lui X care depasesc pe xm sau sunt mai mici decat xm, sunt

oricat de apropiate de ½.

Insa, dintre valorile tipice media este, de departe, cea mai importanta. Ea permite cea mai

buna tratare din punct de vedere analitic si este preferata de statisticieni datorita proprietatilor

sale. Daca intr-o anumita populatie nk familii au exact k copii, numarul total al familiilor este

nn0n1n2... si numarul total al copiilor mn12n23n3... Numarul mediu al copiilor per

familie este m/n. Analogia intre probabilitati si frecvente sugereaza urmatoarea definitie

Defintia 3.2.1. Fie X o variabila aleatoare care admite valorile x1,x2,... cu probabilitatile

corespunzatoare f(x1), f(x2)... Valoarea medie (sau media) a lui X este definita prin

M(X) x f xk k( )

cu conditia ca seria sa fie absolut convergenta. In acest caz se spune ca X are o medie finita.

Daca x f xk k( ) este divergenta, atunci se spune ca X nu are o medie finita.

Se intelege de la sine ca cele mai multe variabile aleatoare obisnuite au mediile finite

Astfel conceptul n-ar fi practic. Totusi, in legatura cu unele probleme importante de recurenta din

fizica apar variabile aleatoare care nu au medii finite. Vom obisnui, de asemenea, sa vorbim

despre media unei repartitii in loc sa ne referim la o variabila aleatoare corespunzatoare. De

asemenea, notatia M(X) este , in general, acceptata in matematica si statistica. In fizica, ea este

mai suplinita prin notatiile X x, .

Sa ne propunem, acum, sa calculam mediile functiilor de tipul X2. O astfel de functie este

o noua variabila aleatoare care admite valorile xk2 ; in general, probabilitatea lui X

2=xk

2 nu este

f(xk) ci f(xk)+f(-xk) si M(X2) este definita ca o suma de x f x f xk k k

2 ( ) ( ) pentru orice k astfel

incat xk0. In mod evident

(3.14) M(X2) x f xk k

2 ( )

admitand ca seria este convergenta. Acelasi procedeu de selectionare a termenilor conduce la

Teorema 3.2.1. Orice functie g(x) defineste o noua variabila aleatoare g(X). Daca g(X)

are media finita, atunci

(3.15) M(g(X)) g x f xk k( ) ( ) ;

90

seria este absolut convergenta daca si numai daca M(g(X)) exista. Pentru orice constanta a

avem M(aX)aM(X).

Daca pe acelasi camp de evenimente sunt definite mai multe variabile aleatoare X1,...,Xn,

atunci suma lor X1...Xn este o variabila aleatoare. Valorile posibile ale lor si probabilitatiile

corespunzatoare se pot gasi repede din distributia comuna a variabilelor aleatoare, astfel ca se

poate calcula si M(X1...Xn). Un procedeu simplu este furnizat de urmatoarea teorema

Teorema 3.2.2. Daca X1, X2, ..., Xn sunt variabile aleatoare cu mediile cunoscute , atunci

valoarea medie a sumei acestor variabile aleatoare exista si este egala cu suma valorilor medii,

(3.16) M(X1...Xn) M(X1)...M(Xn) .

Demonstatie Este suficient sa se dovedeasca (3.16) pentru doua variabile aleatoare X si

Y, rezultatul general putand fi obtinut prin inductie pe n . Folosind notatia (3.3) putem scrie

M(X)M(Y) x p x y y p x yj j kj k

k j kj k

( , ) ( , ), ,

sumarea extinzandu-se peste toate valorile posibile xj, yk (care nu este necesar sa fie toate

diferite). Cele doua serii sunt convergente; prin urmare , suma lor poate fi rearanjata ca sa devina

( ) ( , ),

x y p x yj k j kj k

care este , prin definitie, media variabilei XY, teorema fiind, astfel,

dovedita.

In mod evident teorema nu mai este adevarata, in general, pentru produsul variabilelor

aleatoare. Spre exemplu, M(X2) este, in general, diferita de (M(X))

2. Astfel, daca se considera

experimentul constand din aruncarea unui zar perfect atunci, fie X variabila aleatoare care ia

valorile de la 1 la 6, fiecare valoare fiind luata cu probabilitatea 1/6. Valoarea medie a lui X este

M(X)(123456)/67/2

in timp ce

M(X2)(149162536)/691/6 .

Totusi, regula de inmultire se pastreaza pentru variabile aleatoare independente.

Teorema 3.2.3. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente cu mediile M(X) si

respectiv M(Y) atunci, produsul lor este o variabila aleatoare cu media finita si

(3.17) M(XY)M(X)M(Y) .

Demonstatie Pentru a calcula M(XY) vom inmulti fiecare valoare posibila x jyk cu

probabilitatea corespunzatoare. Am remarcat anterior faptul ca valorile xk din definitia (3.13) nu

sunt, in mod necesar, diferite. Deci

M XY x y f x g y x f x y g yj k j kj k

j jj

k kk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

rearanjarea dezvoltarii justificandu-se prin faptul ca seriile converg in mod absolut. Teorema este

astfel dovedita. Prin inductie, ea se poate dovedi pentru un numar arbitrar de variabile aleatoare

independente.

91

Desigur ca ar fi foarte util sa dispunem de o relatie care sa dea media unei distributii

probabilistice conditionate. Fie, in acest sens, X si Y doua variabile aleatoare cu distributia

comuna (3.3). Atunci, media conditionata M(Y X) a lui Y de catre X este functia

(3.18) y p Y y X xy p x y

f xk k jk

k j kk

j( )

( , )

( )

cu conditia ca seriile sa convearga in mod absolut si f(x j)0 pentru orice j.

Exemplul 3.2.1. (Distributia binomiala). Fie Sn numarul de realizari in n probe Bernoulli cu

probabilitatea p pentru o realizare. Se stie ca Sn are distributia binomiala b(k;n,p), de unde

M(Sn)= kb k n p np b k n p( ; , ) ( ; , ) 1 1 . Ultima suma include toti termenii repartitiei

binomiale pentru n-1 si, deci, este egala cu 1. Prin urmare , media repartitiei binomiale este

(3.19) M(Sn)np .

Acelasi rezultat ar fi putut fi gasit si printr-o alta metoda care de cele mai multe ori este

foarte comoda. Fie Xk numarul de realizari obtinute in proba de rang k. Aceasta variabila

aleatoare admite numai valorile 0 si 1 cu probabilitatile corespunzatoare q si p. Deci

M(Xk)0q1pp, si, deci,

SnX1X2+ ... Xn.

Se regaseste (3.19) direct din (3.16).

Exemplul 3.2.2. (Repartitia Poisson).

Daca variabila aleatoare X urmeaza repartitia Poisson p(k;) =

k

ke

!

, ( unde

k0,1,2,...) atunci,

M X kp k p k( ) ( , ) ( , ) 1 .

Ultima suma contine toti termenii repartitiei si, prin urmare, este egala cu unitatea. Astfel,

repartitia Poisson are media .

Exemplul 3.2.3. (Repartitia binomiala negativa).

Fie X o variabila aleatoare cu repartitia geometrica P(Xk) qkp unde k0,1,2,... Atunci

M(X) qp(12q3q2...). Dar paranteza din membrul dreapt al acestei egalitati reprezinta

derivata progresiei geometrice qq2q

3... a carei suma este

qq1

. Deci, M(X)=qp(1-q)-2q/p.

Am vazut, insa, in capitolul precedent, ca putem interpreta X ca fiind numarul de nerealizari care

preced prima realizare intr-o secventa de probe Bernoulli. Mai general, s-a studiat campul de

evenimente corespunzator probelor Bernoulli care sunt continuate pana la a n-a realizare. Pentru

rn, fie X1X si fie Xr numarul de nerealizari care urmeaza pe cea de a r-1 realizare si o precede

pe cea de a r-a realizare. Atunci, fiecare X are repartitia geometrica qkp si M(X)q/p. Suma

YrX1Xr este numarul de nerealizari care preced cea de a r-a realizare. Cu alte cuvinte, Yr

este o variabila aleatoare care urmeaza repartitia binomiala negativa definita printr-una din cele

doua formule (3.24) sau (3.25). Urmeaza ca media acestei repartitii binomiale negative este rq/p.

Aceasta se poate verifica prin calcul direct. Din capitolul precedent se observa ca kf(k;r,p)

92

rp-1

qf(k-1;r1,p), iar suma termenilor repartitiei f(k-1;r+1,p) este egala cu unitatea. Si primul

rationament prezinta avantaj intrucat el conduce la rezultat fara sa necesite cunoasterea formei

explicite a distributiei variabilei aleatoare X1Xr.

Exemplul 3.2.4.

Sa consideram o selectie repetata a unei populatii cu N elemente distincte. Datorita

repetitiilor, o selectie aleatoare de volum r va contine, in general, mai putin decat r elemente

distincte. Pe masura ce volumul selectiei creste , elemente noi vor intra in selectie din ce in ce

mai rar. Sa ne indreptam atentia spre selectia de volum Sr necesara pentru a dobandi r elemente

distincte. [Ca un caz special, se poate considera populatia a N365 zile de nastere posibile; aici

Sr reprezinta numarul de oameni selectionati pana in momentul cand selectia contine r zile de

nastere diferite. O interpretare similara este posibila cu introducerea aleatoare a bilelor in urne].

Primul element intra in selectie la prima extragere. Numarul extragerilor de la a doua

extragere pana la extragerea la care un nou element intra in selectie, inclusiv aceasta extragere,

este o variabila aleatoare X; in general, fie Xr numarul extragerilor care urmeaza selectionarii

elementului de rang r pana la selectionarea urmatorului element nou, inclusiv. Atunci,

Sr1X1...Xr-1 este volumul selectiei la momentul cand elementul de rang r intra in selectie.

Odata ce selectia contine k elemente diferite, probabilitatea extragerii unuia nou este, la fiecare

extragere, p N kN

. Numarul Xk al extragerilor pana la extragerea unui nou element, inclusiv

aceasta extragere, este egal cu unu plus numarul nerealizarilor care preced prima realizare in

probele Bernoulli cu p N kN

. Prin urmare, M X qp

NN kk( )

1si, din teorema adunarii

(3.16), rezulta

(3.20)

1

1...

2

1

1

11)(

rNNNNNSM r .

Pentru rN se obtine numarul mediu de extrageri necesar pentru a epuiza intreaga

populatie. Pentru N10 avem M(S10) 29,29,..., iar M(S5) 6,46 ... . Aceasta inseamna ca ne

putem astepta sa acoperim jumatate din populatie in aproximativ sase sau sapte extrageri, in timp

ce pentru a doua jumatate sunt necesare ceva mai mult de 29 extrageri. O aproximare acceptabila

a relatiei (3.20), pentru un N suficient de mare, este

(3.21) M S N NN rr( ) ln 1

.

In particular, pentru orice raport 1 numarul mediu de extrageri necesare pentru a obtine o

selectie care contine aproximativ raportul din intreaga populatie este, pentru N suficient de

mare, cu aproximatie, N ln 11

; numarul mediu de extrageri necesare pentru a avea toate

cele N elemente incluse in selectie este, aproximativ, N lnN. Aceste rezultate, dupa cum se

observa, sunt obtinute fara folosirea repartitiei.

Exemplul 3.2.5. (O problema de estimatie).

93

O urna contine bile numerotate de la 1 la N. Fie X cel mai mare numar extras in n

extrageri cand se aplica o selectie repetata. Evenimentul X k inseamna faptul ca fiecare dintre

cele n numere extrase este mai mic sau egal cu k si, prin urmare, P X k kN

n( )

. Deci

distributia probabilista a lui X este data prin

pk = P(X=k) = P(Xk)-P(Xk-1) = [kn-(k-1)

n]N

-n . .

Rezulta M X kp N k k k N N kkn n n n n n n

k

N

k

N

k

N( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1111 1 1 .

Pentru N sufiicient de mare ultima suma este aproximativ aria marginita de curba yxn de la x0

la xN, adica Nn

n

1

1 . Urmeaza ca pentru N suficient de mare

M(X)

nn

N1

.

Dupa cum se vede aceasta metoda are mare utilitate practica.

Exemplul 3.2.6. (Problema lui Banach).

Reamintim ca in capitolul precedent s-a gasit distributia

ur = 2 1

22

N r

N N r

pentru numarul X de chibrituri ramase in momentul cand fumatorul a constatat ca prima cutie

este goala. Nu avem posibilitatea sa calculam media M(X)m in mod direct dar, urmatoarea cale,

indirecta, pe care o expunem, se aplica in multe cazuri similare. Folosind faptul ca suma valorilor

ur este egala cu unitatea (care nu este prea usor de verificat), se gaseste

(3.22) N m N r u N rN rN rr N rr

N

r

N

( ) ( )2 1

220

1

0

1 .

Operand asupra coeficientilor binomiali, ultima suma se transforma in

(3.23) ( ) ( )22 1

11

22 1

212

12N0

11

0

11

0

1N r

N rN r

N u r urr

Nr

r

Nr

r

N

.

Ultima suma este identica cu suma care definese M(X)m.. In prima suma apar toti ur, cu

exceptia lui u0 si, deci, termenii adunati dau 1-u0. Astfel, din (3.22) si (3.23) avem

N m N u m

2 12

120( )

Sau m = (2N+1)u0 - 1 = 2 1

2

212

N N

NN

.

Folosind formula lui Stirling ( n n en n! ( )

212

12 ) se obtine

m 2 1

1

2N

.

94

In particular, pentru N50, caz considerat cu ocazia discutiei problemei lui Banach in capitolul

pecedent, se gaseste m7,04... si mediana 6.

3.3. Dispersia

Fie X o variabia aleatoare cu distributia f(xj), si fie r0 un intreg. Daca media variabilei

aleatoare Xr, adica

(3.24) M X x f xrjr

j( ) ( )

exista, atunci ea se numeste momentul de ordin r al lui X in jurul originii. Daca seria nu este

absolut convergenta, spunem ca momentul de ordin r nu exista. Deoarece X Xr r

1 1,

urmeaza ca ori de cate ori exista momentul de ordin r, exista si cel de ordin r-1 si, deci, toate

momentele precedente.

Momentele joaca un rol important in teoria generala dar, in cele ce urmeaza vom folosi

numai momentul de ordinul al doilea. Daca el exista, atunci exista si media

mM(X).

Este, deci, natural sa se intrduca, in locul variabilei aleatoare, abaterea sa de la medie,

adica X-M(X)X-m. Deoarece (x-m)22(x

2m

2) se vede ca momentul de ordinul al doilea al

variabilei aleatoare X-m exista ori de cate ori M(X2) exista. Rezulta, atunci

M((X-m)2) = ( ) ( )x mx m f xj j j

j

2 22 .

Impartind membrul din dreapta in trei sume partiale, rezulta ca el este egal cu M(X2)-

2mM(X)m2M(X

2)-m

2M(X

2)-(M(X))

2 .

Definitia 3.3.1. Fie X o variabila aleatoare cu momentul de ordinul al doilea M(X2) si fie

mM(X) media sa. Se defineste, atunci, un numar numit dispersia lui X prin

(3.25) 2(X)M((X-m)

2)M(X

2)-m

2 .

Radacina patrata pozitiva a sa (sau zero) se numeste abaterea patratica medie a lui X.

Din comoditate, vom vorbi deseori despre dispersia unei distributii fara a mentiona

variabila aleatoare.

Exemple . (i) Daca X admite valorile c, fiecare cu probabilitatea ½, atunci

2(X)c

2.

(ii) Daca X este numarul de puncte obtinute la aruncarea unui zar perfect,

atunci 2(X) 1/6(1

22

23

2...6

2)-(7/2)

235/12.

(iii) Pentru repartitia Poisson p(k;) media este (conform exemplului

3.2.2) si, deci, dispersia este

k2p(k;)-

2kp(k-1;)-

2(k-1)p(k-1;)p(k-1;)-

2

2-

2.

In acest caz media si dispersia sunt egale.

(iv) Pentru repartitia binomiala (conform exemplului 3.2.1) un calcul

similar arata ca dispersia este

k2b(k;n,p)-(np)

2npkb(k-1;n-1,p)-(np)

2np[(n-1)p1]-(np)

2np[(n-1)p+1-np]=npq.

95

Utilizarea notiunii de dispersie va apare treptat, in special, in legatura cu teoremele limita

din capitolul urmator. Deocamdata, se poate constata ca dispersia este o masura mai putin fina a

gradului de imprastiere. De altfel, daca 2(X) (xj-m)

2f(xj) este mic atunci, fiecare termen al

sumei este mic. O valoare xj pentru care xj-m este mare trebuie, prin urmare, sa aiba o

probabilitate mica f(xj). Cu alte cuvinte, in cazul unor dispersii mici sunt improbabile deviatii

mari, de la media m, ale lui X. Invers, insa, o dispersie mare indica faptul ca nu toate valorile

admise de X se gasesc in apropierea mediei.

Urmatoarea interpretare din mecanica este folositoare pentru intelegerea conceptului. Sa

presupunem ca o masa unitate este distribuita pe axa x astfel incat masa f(x j) sa fie concentrata in

punctul xj. Atunci, media m este abcisa centrului de greutate, iar dispersia este momentul de

inertie. In mod clar, distributii diferite de masa pot avea acelasi centru de greutate si acelasi

moment de inertie, dar este bine cunoscut ca cele mai importante proprietati mecanice pot fi

descrise in termeni ai acestor doua cantitati.

Daca X reprezinta o cantitate masurabila, asemenea lungmii sau temperaturii, atunci

valorile sale numerice depind de origine si unitatea de masura. O schimbare a unitatii de masura

inseamna trecerea de la X la o noua variabila aXb, unde a si b sunt constante. Evident ca

2(Xb)

2(X) si, deci,

(3.26) 2(aXb) a

2

2(X) .

Alegerea originii si unitatii de masura este destul de arbitara , astfel ca de multe ori este

cel mai convenabil sa se ia media ca origine si abaterea patratica medie drept unitate. In acest fel

s-a procedat in capitolul precedent cand s-a introdus numarul normalizat de realizari

SS npnpq

nn*

/( )

1 2 . In general, daca X are media m si dispersia 2 (), atunci X-m are media zero

si dispersia 2 . Deci variabila aleatoare

(3.27) X X m*

are media zero si dipersia 1. Ea poarta numele de variabila aleatoare normalizata

corespunzatoare lui X. In limbaj fizic, trecerea de la X la X* ar putea fi interpretata ca

introducerea unor cantitati reduse.

3.4. Corelatie

Fie X si Y doua valiabile aleatoare definite pe acelasi camp de evenimente. Atunci XY

si XY sunt, de asemenea, variabile aleatoare si distributiile lor se pot obtine printr-un

rearanjament simplu al distributiei comune a lui X si Y. Ne propunem sa calculam dispersia

sumei acestor variabile, adica 2(XY). In acest scop, vom introduce notiunea de corelatie

asupra careia vom reveni in acest capitol. Daca distributia coumna a lui X si Y este p(xj,yk)

atunci, media lui XY este data de relatia

(3.28) M(XY)xjykp(xj,yk),

96

bineinteles cu conditia ca seria sa fie absolut convergenta. Dar x yx y

j kj k

2 2

2 si, prin urmare,

M(XY) exista in mod sigur daca M(X2) si M(Y

2) exista. In acest caz exista, de asemenea,

mediile

mxM(X), myM(Y),

iar variabilele X-mx si Y-my au mediile egale cu zero. Pentru produsul lor se obtine

M[(X-mx)(Y-my)] M(XY)-mxM(Y)-myM(X)mxmyM(XY)-mxmy.

Definitia 3.4.1. Corelatia variabilelor aleatoare X si Y se defineste prin relatia

(3.29) C(X,Y) M[(X-mx)(Y-my)] M(XY)-mxmy .

Aceasta definitie are sens ori de cate ori X si Y au dispersii finite. Se stie, insa, din

paragraful 3.2 ca, pentru variabile independente, se are M(XY) M(X)M(Y). Rezulta, deci, din

(3.29)

Teorema 3.4.1. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente atunci, C(X,Y) 0.

Precizam, insa, ca reciproca teoremei nu este adevarata. Spre exemplu, o privire asupra

tabelului 3.1 arata ca cele doua variabile sunt dependente, si totusi corelatia lor tinde catre zero.

Vom reveni asupra acestei chestiuni. Acum vom da o teorema importanta care evidentiaza o

regula de calcul pentru dispersia unei sume de variabile aleatoare independente, cu mare

aplicabilitate practica.

Teorema 3.4.2. Daca X1,...,Xn sunt variabile aleatoare cu dispersii finite 12 2,..., n , iar

SnX1Xn , atunci

(3.30) 2(Sn) = k

k

n

j kj k

C X X2

1

2

( , ),

ultima suma extinzandu-se peste fiecare dintre cele n2

perechi (Xj,Xk) cu jk. In particular,

daca variabilele Xj sunt independente in totalitate atunci, are loc urmatoarea regula de adunare

(3.31) 2(Sn) 1

222 2 ... n .

Demonstratie. Sa punem mkM(Xk) si m(n)

m1mnM(Sn). Atunci Sn - m(n)

=

( )X mk kk

Si (Sn - m(n)

)2 = ( ) ( )( )

,

X m X m X mk kk

j j k kj k

2 2 .

Luand mediile si aplicand regula de adunare se obtine tocmai (3.30). Atunci (3.31) urmeaza din

teorema 3.3.1.

Exemplul 3.4.1. (Repartitia binomiala b(k;n,p)).

In exemplul 3.2.1. variabilele Xk sunt independente in totalitate. Avem

M( X k2 )0

2q

2pp si M(Xk) p. Deci k p p pq2 2 si din (3.31) se observa ca dispersia

repartitiei binomiale este npq. Acelasi rezultat a fost obtinut prin calcul direct in exemplul (iv)

din paragraful precedent.

Exemplul 3.4.2. (Probe Bernoulli cu probabilitati variabile).

97

Fie X1, ...,Xn vairabile aleatoare independente in totalitate astfel incat Xk sa admita

valorile 1 si 0 cu probabilitatile pk si qk1-pk respectiv. Atunci M(Xk) pk si

2 2( )X p p p qk k k k k . Punand, din nou, SnX1Xn , rezulta din (3.31)

(3.32) 2

1( )S p qn k k

k

n

.

Ca si in exemplul 3.1.5, variabila Sn poate fi interpretata ca numarul total al realizarilor

din n probe independente, fiecare dintre ele avand drept rezultat o realizare sau o nerealizare.

Atunci pp p

nn

1 ... este probabilitatea medie a realizarilor si , deci, apare ca naturala

compararea situatiei de fata cu aceea a probelor Bernoulli in care probabilitatea p a unei realizari

ramane constanta. O astfel de comparatie conduce la un rezultat remarcabil. Se poate rescrie

(3.32) sub forma 2 2( )S np pn k . Apoi, este usor de observat (prin calul elementar) ca,

dintre toate combinatiile {pk} astfel incat pknp, suma pk

2 admite o valoare minima cand toti

pk sunt egali. Urmeaza ca, daca probabilitatea medie p a realizarilor este mentinuta constanta,

2(Sn) admite valoarea minima cand p1 ... pnp. Se obtine, astfel, rezultatul surprinzator ca

variabilitatea lui pk, sau lipsa uniformitatii, micsoreaza marimea fluctuatiilor sansei, asa cum

este calculata cu ajutorul dispersiei. De exemplu, numarul anual al incendiilor intr-o comunitate

de oameni poate fi tratat ca o variabila aleatoare; pentru un numar mediu dat, variabilitatea este

maxima daca toate gospodariile au aceeasi probabilitate de a fi cuprinse de incendiu. Sau, dandu-

se o anumita calitate medie p, a n masini, randamentul va fi cel mai neuniform daca toate

masinile sunt la fel.

Exemplul 3.4.3.

Un pachet cu n carti de joc numerotate se aseaza intr-o ordine la intamplare astfel incat

toate cele n! aranjamente sa aiba probabilitati egale. Numarul de perechi (cartile sa se gaseasca

pe locul lor natural) este o variabila aleatoare Sn care admite valorile 0,1,2,...,n. Distributia sa

probabilista a fost, deja, obtinuta anterior; din ea rezulta atat media cat si dispersia acestei

variabile. Urmatoarea cale, pe care o prezentam aici, este, insa, mai simpla si chiar mai

instructiva.

Fie Xk o variabila aleatoare care ia valoarea 1 sau 0, dupa cum cartea numarul k este sau

nu este pe locul k. Atunci, SnXnXn. Dar, fiecare carte poate aparea pe locul k cu

probabilitatea 1/n, astfel ca P(Xk1) 1/n si P(Xk0) (n-1)/n. Prin urmare , M(Xk) 1/n si,

deci, urmeaza ca M(Sn) 1; media este o pereche per pachet. Pentru a gasi 2(Sn) sa calculam,

mai intai, dispersia k a lui Xk

(3.33) k n nnn

22

21 1 1

98

Apoi , calculam M(XjXk). Produsul XjXk este ori 0 ori 1; ultima este adevarata daca atat cartea

numarul j cat si cartea numarul k sunt pe locurile lor proprii, probabilitatea pentru acest caz fiind

1

1n n( ). Deci

(3.34) M X Xn n

iar C X Xn n n n n

j k j k( )( ),

( , )( ) ( )

11

11

1 112 2

Astfel, in final, rezulta

22 21 2

21

11( )

( )S n n

n

n

n nn

.

Dupa cum se vede, atat media cat si dispersia numarului de perechi sunt egale cu 1.

Exemplul 3.4.4. (Selectia nerepetata).

Sa presupunem ca dintr-o populatie care consta din a elemente albe si g elemente galbene

se face o selectie aleatoare nerepatata de volum r. Numarul Sk de elemente albe din selectie este

o variabila aleatoare care urmeaza repartitia hipergeometrica; prin caclul direct se pot obtine

media si dispersia.

Amintim ca repartitia hipergeometrica se obtine pornind de la o populatie de n elemente

dintre care n1 sunt albe si n2n-n1 negre. Se alege, din aceasta populatie, un grup de elemente la

intamplare. Se cere probabilitatea ca grupul de elemente astfel ales sa contina exact k elemente

albe. Desigur k poate sa fie orice intreg intre zero si n1 sau r, care din ele este mai mic. Pentru a

gasi qk, retinem ca grupul de elemente alese contine k elemente albe si r-k elemente negre. Cele

albe pot fi alese in nk1

moduri diferite, iar cele negre in

n nr k

1moduri. Deoarece orice

alegere de k elemente albe poate fi combinata cu orice alegere a elementelor negre, se obtine

q

nk

n nr k

nr

k

1 1

.

Sistemul de probabilitati, astfel definit, se numeste repartitie hypergeometrica. Tinand

seama de faptul ca

nr

nr n r

!!( )!

formula de mai sus se poate rescrie in forma

q

rk

n rn knn

k

1

1

extrem de utila in practica].

99

Aici, preferam, insa, metoda urmatoare. Sa definim variabila aleatoare Xk despre care

admitem ca ia valorile 1 sau 0 dupa cum elementul k din selectie este sau nu este alb (kr).

Probabilitatea ca Xk1 este a/(ag) si, deci,

(3.35) M(Xk) a/(ag), 2(Xk) ag/(ag)

2. .

Apoi , daca jk atunci, XjXk1 daca elementele j si k ale selectiei sunt albe, si XjXk0 in

caz contrar. Probabilitatea lui XjXk 1 este a a

a g a g( )

( )( )

11

si, deci,

(3.36) M(XjXk) a a

a g a g( )

( )( )

11

Si (3.37) C(Xj,Ck)

aga g a g( ) ( )2 1

.

Prin urmare,

M(Sr)

ara g

Si 22 1 1

1( ) arg

( )S

a gr

a gr

.

Intr-o selectie repetata se gaseste aceeasi medie, dar dispersia va fi cu putin mai mare,

adica arg

( )a g 2 .

3.5. Inegalitatea lui Cebîsev 2)

S-a accentuat mai inainte ca dispersia mica conduce la concluzia ca sunt improbabile

deviatii mari de la medie. Aceasta concluzie este accentuata mai mult de inegalitatea lui Cebîsev,

care este extrem de folositaore si constituie un instrument usor de manuit.

Teorema 3.5.1. Fie X o variabila aleatoare cu media mM(X) si dispersia 2. Atunci,

pentru orice t0

(3.38) P X m tt

( ) 2

2

Demonstratie. Dispersia este definita, asa cum am vazut in paragraful 3.3, printr-o serie

de termeni pozitivi

(3.39) M X m x mx m f xjj

j j(( ) ) ( ) ( ) 2 2 22 .

Eliminam toti termenii pentru care xj-mt; aceasta nu poate mari valoarea seriei si, prin

urmare,

(3.40) 2 2 * ( ) ( )x m f xj j

ceea ce dovedeste teorema.

2)

Pafnutii L’vovici Cebîsev, rus, 1821-1894.

100

Inegalitatea lui Cebîsev trebuie privita, mai degraba, ca un instrument teoretic decat ca o

metoda practica de estimare. Importanta acestei inegalitati se datoreste universalitatii sale, dar nu

ne putem astepta ca vreo formulare a sa, oricat de generala ar fi, sa duca la rezultate rasunatoare

in cazuri individuale.

Exemplul 3.5.1.

Pentru repartitia binomiala b(k;n,p) s-a obtinut (conform exemplului 3.3.1) mnp si

2npq. Pentru n suficient de mare se stie ca

(3.41) P S np x npq N x N xn( ( ) ) ( ) ( )/ 1 2 1 .

Inegalitatea lui Cebîsev afirma doar ca membrul stang este mai mic decat 1/x2; deci, evident, o

estimare mai slaba decat 4.(41).

3.6. Inegalitatea lui Kolmogorov 3)

In acest paragraf prezentam o teorema care scoate in evidenta o metoda mult mai rafinata

de estimare in sensul discutat pana acum.

Teorema 3.6.1. Fie X1,...,Xn variabile aleatoare inedependente cu mediile mkM(Xk) si

dispersiile 2k. Se noteaza

(3.42) SkX1Xk

si

m(k)

M(Sk) m1mk ;

(3.43) s Sk k k2 2

12 2 ( ) ... .

Pentru fiecare t0 probabilitatea realizarii simultane a urmatoarealor n inegalitati

(3.44) S m ts k nkk

n ( ) , , ,..,1 2

este cel putin 1-t-2

.

Pentru n1 aceasta teorema se reduce la inegalitatea lui Cebîsev. Pentru n1 inegalitatea

lui Cebîsev margineste, in acelasi fel, probabilitatea unei singure inegalitati Sn-m(n)tsn , astfel

ca inegalitatea lui Kolmogorov este considerabil mai tare.

Demonstratie. Trebuie sa estimam probabilitatea x ca cel putin una dintre inegalitatile

(3.44) sa nu aiba loc. Teorema afirma ca xt-2

. Sa definim n variabile aleatoare Yk dupa cum

urmeaza: Y 1 daca

S m ts

i

S m ts pentruk

n

kk

n

( )

( )

[

, ,...,1 2 1

Y0 pentru toate celelalte puncte. Cu alte cuvinte, Y este egala cu 1 in acele puncte in care cea

de-a inegalitate (3.44) pentru prima data nu este satisfacuta. Atunci, in orice punct particular,

cel mult dintre variabilele Yk este 1, iar suma Y1Y2Yn poate admite valorile 0 sau 1; ea

3)

Andrei Ncolaevici Kolmogorov, rus, 1903-1987.

101

este 1 daca si numai daca cel putin una dintre inegalitatile (3.44) nu este satisfacuta si, prin

urmare

(3.45) xP[ Y1Y2Yn1] .

Deoarece Y1Y2Yn este 0 sau 1, avem Yk1. Inmultind prin (Sn-m(n)

)2 si luand

mediile , se obtine

(3.46) M Y S m sk n

n

nk

n

( ( ) )( )

2 2

1

.

Pentru evaluarea termenilor din partea stanga sa punem

n

k

k

k

n

nk mXmSmSU1

)()( )()()(

Atunci,

(3.47)

M Y S m M Y S m M Y U S m M Y Uk nn

k kk

k k kk

k k( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 22

Insa, Uk depinde numai de Xk1,...,Xn in timp ce Yk si Sk depind numai de X1, . . . , Xk. Deci Uk

este independenta de Y S mk kk

si, prin urmare ,

M Y U S m M Y S m M Uk k kk

k kk

k

0 deoarece M(Uk)0. Astfel, din

(3.47) rezulta

(3.48) M Y S m M Y S mk nn

k kk

2 2.

Dar Yk0 numai daca S m tskk

n , astfel incat Y S m t s Yk kk

n k

2 2 2 .

Deci combinand (3.46) si (3.48) se obtine

s t s M Y Yn n n2 2 2

1 ... .

Cum Y Yn1 ... este egala ori cu 0 ori cu 1, urmeaza ca media membrului drept al inegalitatii

este egala cu probabilitatea x definita in (3.45). Astfel, xt21 asa cum s-a afirmat.

3.7. Raport de corelatie

Fie X si Y doua variabile aleatoare oarecare cu mediile mx si my si dispersiile pozitive,

x2 si y

2. Introducem variabilele aleatoare normalizate corespunzatoare X

* si Y

* definite prin

(3.27).

Prin definitie, corelatia variabilelor X* si Y

* poarta numele de raport de corelatie al

variabilelor aleatoare X si Y si va fi notat prin (X,Y). Astfel, folosind relatia (3.29) se gaseste

(3.49)

X Y C X Y

C X Y

z y, ,

,* * .

102

Se observa ca acest raport de corelatie este independent atat de origine cat si de unitatile

de masura, adica pentru orice constante a1, a2, b1, b2, cu a10, a20, se are

a X b a Y b X Y1 1 2 2 , , .

Se stie din paragraful 3.4 ca C(X,Y)0 ori de cate ori sunt variabile aleatoare

independente. Deci, in acest caz, se are si (X,Y) 0. Este deosebit de important sa se retina ca

reciproca nu este adevarata. De altfel, raportul de corelatie (X,Y) poate sa tinda la zero chiar

daca Y este o functie de X.

Exemple.

(i) Fie X o variabila aleatoare care admite valorile 1, 2 fiecare cu probabilitatea ¼. Fie YX2.

Distributia comuna este data prin egalitatile p(-1, 1) p(1, 1) p(2, 4) p(-2, 4)1/4. Se

constata ca (X,Y) 0 chiar daca exista o dependenta functionala directa a lui Y de X.

(ii) Fie U si V variabile aleatoare independente cu aceeasi distributie si fie XUV, YU-V .

Atunci M(XY) M(U2)-M(V

2) 0 si M(Y) 0. Deci C(X,Y) 0 de unde rezulta ca (X,Y) 0.

Spre exemplu, X si Y pot fi suma si diferenta punctelor rezultate in cazul aruncarii a doua zaruri.

Atunci X si Y sunt ori ambele impare ori ambele pare si, prin urmare, dependente.

Urmeaza ca raportul de corela]ie in nici un caz nu poate fi o masura generala a

dependentei dintre X si Y. Insa, (X,Y) se leaga de dependenta liniara a lui X si Y.

Teorema 3.7.1. Este totdeauna adevarata inegalitatea (X,Y)1; in plus, X Y, 1

numai daca exista constantele a si b astfel incat YaXb, cu exceptia, eventual, a valorilor lui X

cu probabilitatea zero.

Demonstratie. Fie X*

si Y*

variabilele normalizate. Atunci,

2(X

*Y

*) =

*(X

*) 2C(X

*,Y

*) +

2(Y

*) = 2(1 (X,Y) .

Partea stanga a egalitatii nu poate fi negativa; deci X Y, 1 . Pentru X Y, 1 este

necesar ca 2 0X Y* * ceea ce inseamna ca, cu o probabilitate egala cu 1, variabila X*-

Y*

admite numai o valoare. In acest caz X*-Y

*c, (c - constanta) si, prin urmare, YaXc, unde

a

y

x. Un rationament similar se aplica in cazul (X,Y) -1.

3.8. Variabile aleatoare peste un camp de probabilitate complet aditiv

Problema care se pune este urmatoarea: Ce se intampla in cazul campurilor infinite, sau

mai precis pe campuri de probabilitate complet aditive? (vezi definitia 2.3.1).

Fie (, K(), P) un camp de probabilitate complet aditiv si

f : R

o functie reala definita pe . Dandu-se R sa consideram multimea f-

1()xf(x) P(). Cum K() nu coincide cu P(), (K() fiind un -corp de parti ale

multimii P()), se poate intampla sa avem sau f-1

()K() sau

103

f-1

()K() si acesta este cazul general. Daca insa f-1

()K(), putem vorbi de probabilitatea

evenimentului f-1

().

La fel, daca IR este un interval (deschis, inchis, seminchis) sau este o multime oarecare

a dreptei reale, avem sau

f-1

(I)xf(x) IK()

sau

f-1

(I)K()

si aceasta este cazul general.

Din cele infatisate, mai sus, se vede ca functiile reale avand drept domeniu de definitie

multimea se impart in doua clase si anume: acelea care se bucura de proprietatea ca oricare ar

fi XR, f-1

(X)K() si cele care nu au aceasta proprietate.

Fie XR si X. Daca punem

IxXx, I=xXx

observam ca f-1

(X)K() daca f-1

(I)K(), f-1

(I)K() deoarece f-1

(X)f-1

(I)f-1

( I ).

Aceste observatii ne permit sa introducem

Definitia 3.8.1. Fie (,K(),P) un camp de probabilitate complet aditiv. O aplicatie f :

R se spune ca este o variabila aleatoare peste campul (,K(),P) daca pentru orice R

avem f-1

(I)K(), unde IxRx.

Daca (,K(),P) este un camp de probabilitate finit, orice f : R se considera

variabila aleatoare.

Teorema 3.8.1. Fie ,R in relatia . Aplicatia f : R este o variabila aleatoare

peste campul (,K(),P) daca este satisfacuta una din conditiile urmatoare

1) f-1(xRx )K()

2) f-1(xRx )K()

3) f-1(xRx )K()

4) f-1(xRx )K()

5) f-1(xRx )K()

6) f-1(xRx)K()

7) f-1(xRx)K()

Demonstratia teoremei 3.8.1. este o consecinta directa a definitiei 3.8.1. si a proprietatilor

cmpului K() si o propunem drept exercitiu.

Observatia 3.8.1. f-1

(xRx) f() , etc.

Observatia 3.8.2. Fie A. AK() daca si numai daca indicatorul multimii A este o variabila

aleatoare .

Observatia 3.8.3. Atragem atentia ca in acceptia definitiei 3.1.1. variabilele aleatoare nu sunt

toate aplicatiile f : R pentru care avem f-1

(X)K() cu XR arbitrar, ci numai acele functii

reale definite pe cu proprietatea ca avem f-1

(X)K() numai daca XB1 unde B

1 desemneaza

corpul borelian pe R generat de intervalele deschise , (vezi paragraful 2.3).

104

Prin urmare, se poate reformula definitia 3.1.1. in felul urmator

Definitia 3.8.2. Daca Bn este corpul borelian generat de multimile deschise din R

n, atunci

f : Rn este o variabila aleatoare n-dimensiunala daca

f-1

(X)K()

pentru orice parte boreliana XBn. In particular, pentru n1, vom spune ca f este o variabila

aleatoare.

Este imediat rezultatul urmator

Teorema 3.8.2. Daca f,g sunt variabile aleatoare atunci, pentru orice R , fg

este o variabila aleatoare (unde fg desemneaza aplicatia fg : R) pentru care avem

(fg)() f()g() pentru orice . De asemenea, fg este variabila aleatoare pentru

care avem (fg)()=f()f().

Fie f si g doua variabile aleatoare. Are loc urmatorul rezultat

Lema 3.8.1. Daca f,g sunt doua variabile aleatoare, atunci

1). { f()g()}K() ;

2). { f()g()}K() ;

3). {f()=g()}K() .

Intr-adevar, pentru primul caz avem

{f()g()} = { ( ) } { ( ) } fn

mg

n

mn Nm Z

K().

Celelalte doua afirmatii rezulta din faptul ca

{f()g()} = C{g()f()} K()

Si {f()=g()} = {f()g()}{f()g()} K() .

Dintre variabilele aleatoare se disting, ca deosebit de importante in teoria probabilitatilor,

variabilele aleatoare simple.

Definitia 3.8.3. Se numeste variabila aleatoare simpla o variabila aleatoare care ia numai

un numar finit de valori.

In sensul acestei definitii, inseamna ca aplicatia f : R este o variabila aleatoare simpla

daca ia un numar finit de valori v1,v2,...,vn si daca

f()viK() oricare ar fi i1,2,...,n.

Convenim sa notam familia variabilelor aleatoare simple prin S. Astfel, cel mai simplu

exemplu de variabila aleatore simpla este indicatorul IA al evenimentului A. Avem, astfel o

descriere completa a corpului K() prin variabile aleatoare. De asemenea, sa observam ca, daca

fS atunci f va admite o reprezentare sub forma

v II

unde K(), v sunt numere reale, iar I este o multime finita de indici. Desigur, o astfel de

reprezentare nu este unica.

Daca valorile pe care le ia variabila aleatoare fS sunt (a)I si daca

f()a,

105

atunci se poate nota f si in felul urmator

v, I ;

iar daca I1,2,...,n se poate folosi simbolul

v1,1, v2,2, ..., vn,n.

Din aceste consideratii se deduce imediat ca suma , produsul si puterea unor variabile

aleatoare simple sunt, de asemenea, variabile aleatoare simple. In plus, daca fS atunci, fS; iar

daca R atunci fS. Are loc propozitia urmatoare

Propozitia 3.8.1. Daca f este o variabila aleatoare pozitiva, atunci exista un sir crescator

(fi)0i< de variabile aleatoare simple, pozitive, convergent catre f.

Demonstratie. Oricare ar fi n1,2,... sa luam

nfdacan

kfk

dacak

fn

nnnn

)(

)2,..,1(2

1)(

2

1

2

1

)(

.

Prin urmare, fn()S si fn()0 pentru orice . Daca f()n, atunci

f f n n( ) ( ) 1

2

si, in acest caz, lim ( ) ( )n

nf f

. Deoarece sirul (fi)0i, de variabile aleatoare, este crescator,

propozitia este dovedita.

Daca se noteza f sup(f,0) si f inf(f,0) atunci, deoarece ff-(-f

-), rezulta ca orice

variabila aleatoare este limita unui sir de variabile aleatoare simple.

3.9. Functia de probabilitate

Fie (, K(), P) un camp de probabilitate complet aditiv. Fie, de asemenea, 1 o noua

multime de evenimente elementare si sa consideram o aplicatie f : 1. Daca se noteaza prin

K(f)

(1) familia tuturor partilor A1 cu proprietatea ca f-1

(A)K(), atunci este clar ca

K(f)

(1) este un corp borelian.

Pentru orice AK(f)

() se poate acum defini, in mod unic, functia

(3.50) P(f)

(A)P(f-1

(A)) .

Se poate arata ca functia P(f)

(A) definita in (3.50) este o probabilitate pe corpul borelian

K(f)

(1), astfel ca (1, K(f)

(1), P(f)

) este un camp de probabilitate complet aditiv.

Intr-adevar, P(f)

(A)0 pentru orice A K(f)

(1). De asemenea

P(f)

(1)P(f-1

(1))1

deoarece P este o probabilitate pe corpul borelian K(f)

prin ipoteza.

Fie, acum, (A)IK(f)

(1) o familie numerabila de evenimente incompatibile doua cate

doua, adica A’A” pentru ’

” cu

’,

”I.

Atunci,

P(f)

A P f A P f A P f A P AI I I I

f

1 1 1( ) ( ( )) (( )

)

I

106

deoarece, daca ‘,“I si ’

”, atunci

f A f A f A A f 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )' " ' " .

Deci, (1, K(f)

(1), P(f)

) este un camp de probabilitate complet aditiv.

Functia P(f)

definita de (3.50) se numeste functia lui Kolmogorov sau functia de

probabilitate. Ea va interveni, in continuare, in definirea functiei de repartitie a unei variabile

aleatoare.

3.10. Functia de repartitie

Fie f o variabila aleatoare definita pe campul de probabilitate complet aditiv (, K(),

P). Pentru orice numar aR sa punem af(a. Este clar ca, in acest fel, af-1

((-,a)) si

sa notam

(3.51) F(a)P(a)P(f(a) .

Deoarece (-,a)BK(f)

(1) rezulta ca

F(a) P(f(a) P(f-1

(-,a))Pf((-,a))

in virtutea relatiei (3.50).

Definitia 10.1. Pentru orice aR si variabila aleatoare f, functia F(a) data in (3.51) se

numeste functia de repartitie a variabilei aleatoare f.

Proprietatile de baza ale functiei de repartitie sunt date in teorema urmatoare

Teorema 3.10.1. Functia de repartitie F a unei variabile aleatoare f are urmatoarele

proprietati:

1) F( ;

2) F(-0 ;

3) F(a-0F(a) , pentru aR ;

4) F(a)F(b), daca ab cu a,bR.

[Aici s-au utilizat notatiile obisnuite F() )(lim)0()(lim)(),(lim xFaFsiaFFaF

axaxaa

].

Demonstratie.

1) Fie a1a2...an.. un sir monoton crescator de numere reale cu limn

na

. Atunci, (-

,an) (-,an) si, pentru orice numar natural n, avem ( , )

a Rnn N

.

In virtutea corolarului 2.3.2 se obtine

F F a P a P a P Rn

nn

fn

fn

n N

f( ) lim ( ) lim (( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ( )

1 .

2) Fie, acum, a1a2...an... un sir monoton descrescator de numere reale cu limn

na

.

Atunci, (-,an) (-,an) si, pentru orice numar natural n, se are n N

na

( , ) .

107

In baza corolarului 2.3.1. se obtine de data aceasta

F F a P a P a Pn

nn

fn

f

n Nn

f( ) lim ( ) lim (( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ( )

.

3) Fie sirul monoton crescator de numere reale a1a2...an... cu limn

na a

. In acest caz

F(a)P(f)

((-,a)) si F(an)P(f)

((-,an)), astfel ca

F(a)-F(an) P(f)

((-,a))- P(f)

((-,an)) P(f)

([an,a)).

Insa an1,a)an,a) si, pentru fiecare numar natural n, avem a ann N

,

.

Prin urmare,

lim ( ( ) ( )) lim ( , ) , ( )( ) ( ) ( )n

nn

fn

fn

n N

fF a F a P a a P a a P

0

de unde se deduce proprietatea.

4) Fie a,bR cu ab. Atunci (-a)(-,b). Deci

F(a)P(f)

((-,a)) P(f)

((-,b))F(b) .

Sa observam ca, pentru fiecare numar real a s-au considerat, in definitia functiei de

repartitie, numai valorile variabilei aleatoare f strict mai mici decat a. Ne propunem sa vedem ce

se intampla daca se vor lua in consideratie si valorile f()a. Cu alte cuvinte, sa consideram

P(f(a).

In acest caz

P(f(a)P(f)

((-,a),

unde putem scrie intervalele de forma (-,a astfel

(-,a INn n

a

)1

,( .

Dar ( , ) ( , )

an

an

1

1

1

pentru orice numar natural n, astfel ca, in baza corolarului 2.3.1 obtinem

P(f(a)P(f)

((-,a)P(f)

( ( , )

ann N

1)

lim ( , ) lim ( ) ( )( )

nf

nP a

nF a

nF a

1 1 0 .

Iata, deci, ca pentru orice aR se poate scrie

(3.52) F(a0)P(f()a).

Din aceste consideratii rezulta imediat ca

P(f()a) F(a0)) - F(a-0)

oricare ar fi aR. De asemenea, daca a1,a2R si a1a2, atunci

P(a1f()a2) F(a2) - F(a1).

108

Teorema 3.10.2. Daca o functie de repartitie F este continua in fiecare punct xR,

atunci ea este uniform continua pe R.

Demonstratie. Deoarece F(-) F(x) F(), din proprietatiile functiei de repartitie

rezulta ca

0 F(x) 1

pentru orice xR. Se pot determina, atunci, numerele a,bR, cu ab astfel incat sa avem

0 F(x)

2 , daca xa

1-

2 F(x) 1 , daca xb.

F este o functie continua pe a, b si, deci, este uniform continua. Rezulta ca se poate determina

un 0 astfel incat

F(x2)-F(x1)

2

daca x1,x2a,b si x2-x1. Dar, atunci, urmeaza ca x1,x2R si

x2-x1min(, (b-a))

implica

F(x2)-F(x1)

ceea ce dovedeste teorema.

109

CAPITOLUL 4

REPARTITII STATISTICE SI UNELE PROBLEME INRUDITE

OBIECTIVE

Capitolul poate fi considerat ca apartinand atat statisticii matematice cat si Teoriei

probabilitatilor. Evenimente de tip Binomila sau Poissonian sunt foarte des intalnite in viata de zi

cu zi.

Puntea de legatura dintre Teoria probabilitatilor si statistica matematica este data de legea

numerelor mari, un rezultat deosebit de important. O repartitie fundamentala este cea normala,

repartitie catre care converg si alte repartitii. Legat de convergenta, Teorema Limita De Moivre

La Place este esentiala.

La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca:

- Probabilitatile celor trei repartitii: Binomiala, Poisson, Normala

- Caracteristicile numerice ale celor 3 “legi”

- Legea numerelor mari

- Interpretarea Teoremei Limita de MoivreLaplace

4.1. Repartitia binomiala

Extractiile repetate independente se numesc extractii de tip Bernoulli 1)

daca exista numai

doua rezultate posibile pentru fiecare extragere, posibilitatile lor ramanand aceleasi la toate

extragerile.

Notand cele doua probabilitati prin p si q, ne vom referi la un rezultat, cu probabilitatea p,

ca fiind o realizare “R”, iar la celalalt ca fiind o nerealizare sau un insucces “I”. In mod evident

p si q trebuie sa fie nenegative si

(4.1.) pq1

Campul de evenimente al fiecarei probe individuale este format din doua puncte R si I.

Campul de evenimente a n extractii Bernoulli contine 2n puncte sau succesiuni de n simboluri R

si I, fiecare punct reprezentand un rezultat posibil al experimentului compus. Cum probele sunt

independente, urmeaza ca probabilitatile se inmultesc. Cu alte cuvinte, probabilitatea oricarei

secvente specificate este produsul obtinut prin inlocuirea simbolurilor R si I cu p si q respectiv.

Astfel

P(RRIIRI...IRR) ppqqpq...qpp

Exemplul 4.1.1.

Fie o urna cu a bile albe si n bile negre si sa presupunem ca dupa fiecare extragere se

reintroduce bila extrasa in urna, deci la fiecare extragere urna are aceeasi compozitie.

1)

Jacques Bernoulli (1654-1705) Principala lucrare “Ars conjectandi” publicata postum in 1713.

110

Considerand, in aceasta situatie, extractii aleatoare repetate (care sunt deci independente), avem

imaginea probelor de tip Bernoulli in care probabilitatea p a realizarii unei bile albe este p

a/(an). De multe ori nu intereseaza sa se faca distinctie intre rezultate diferite si se prefera

descrierea oricarui rezultat in mod simplu, cum ar fi A sau non-A. Astfel, la aruncarea unui zar

perfect distinctia intre realizarea fetei unu, R, si nerealizarea ei, I, conduce la probe de tip

Bernoulli cu p1/6, in timp ce distinctia intre par si impar conduce la probe de tip Bernoulli cu

p1/2. Daca zarul nu este perfect (sa zicem neechilibrat), aruncarile seccesive inca mai formeaza

probe de tip Bernoulli, dar probabilitatile corespunzatoare p sunt diferite.

Schema Bernoulli ramane, insa un model teoretic si numai experienta poate arata daca el

este potrivit pentru descrierea diferitelor experimente. Aceasta schema se dovedeste a fi un

model ideal chiar daca nu poate fi niciodata obtinut complet. Spre exemplu, masinile spalat

fabricate in productie de masa pot varia in marime dar, la control, ele sunt clasificate drept

corespunzatoare (R) sau necorespunzatoare (I), dupa cum marimea se incadreaza sau nu in

limitele prescrise. Deci exista multe motive pentru care productia nu se poate conforma schemei

Bernoulli. Masinile sunt supuse schimbarilor si, deci, probabilitatile nu raman constante; exista o

persistenta in mecanismul masinilor si, prin urmare, sunt mai probabile secventele lungi de

derivatii de acelasi fel, in aceasta situatie, decat ar fi fost daca probele erau cu adevarat

independente. Insa, din punct de vedere al controlului de calitate este de dorit ca procesul sa fie

conform schemei lui Bernoulli si este foarte important ca, in anumite limite, se poate face ca

productia sa se comporte in acest mod. Scopul controlului continuu este, deci, de a descoperi cat

mai devreme devierile flagrante de la schema ideala si a le folosi dretp indiciu al unor dificultati

iminente.

De obicei, intereseaza doar numarul total al realizarilor produse intr-o secventa de n

extrageri Bernoulli si nu ordinea acestora. Numarul realizarilor poate fi 0,1,...,n si prima

problema care se pune este sa se determine probabilitatile corespunzatoare. Atunci, evenimentul

din n extrageri rezulta k realizari si n-k nerealizari se poate produce in tot atatea moduri dupa

cum pot fi distribuite k litere R pe n pozitii. Cu alte cuvinte, acest eveniment contine nk

puncte

si, prin definitie, fiecare punct are probabilitatea pkq

n-k. Aceasta dovedeste

Teorema 4.4.4. Fie b(k;n,p) probabilitatea ca, din n probe Bernoulli cu probabilitatea p

pentru realizare si q=1-p pentru nerealizare, sa rezulte k realizari si n-k nerealizari (0kn).

Atunci

(4.2) b(k;n,p)

nk

p qk n k .

In particular, probabilitatea de a nu se produce nici o realizare este qn, iar probabilitatea

de a se produce cel putin o realizare este 1-qn.

Sa privim, acum, pe p ca o constanta si sa notam, prin Sn numarul realizarilor din n probe.

Atunci, b(k;n,p)P(Snk). In terminologia obisnuita Sn este o variabila aleatoare, iar functia

(4.2) este repartitia acestei variabile aleatoare si ne vom referi la ea ca repartitie binomiala.

111

Atributul binomial se refera la faptul ca (4.2.) reprezinta termenul de rang k din dezvoltarea

binomiala (qp)n. Acasta remarca arata, de asemenea, ca b(0;a,p)b(1;n,p)b(n;n,p)

(qp)n1, ceea ce este impus prin insasi notiunea de probabilitate.

Exemplul 4.1.2. (Weldon)

Sa consideram un experiment constand din aruncarea a douasprezece zaruri si sa privim

ca realizari fetele 5 si 6. Daca zarurile sunt perfecte, probabilitatea de a avea o realizare este

p=1/3, iar numarul realizarilor este dat de repartitia binomiala b(k;12,1/3). Tabelul 4.1, de mai

jos, da aceste probabilitati impreuna cu frecventele medii corespunzatoare observate in 26.306

experiente reale.

k b(k;12,1/3) Frecvente

observate

b(k;12, 0,3377)

0 0,007707 0,007033 0,007123

1 0,046244 0,043678 0,043584

2 0,127171 0,124116 0,122225

3 0,211952 0,208127 0,207736

4 0,238446 0,232418 0,238324

5 0,190757 0,197445 0,194429

6 0,111275 0,116589 0,115660

7 0,047689 0,050597 0,050549

8 0,014903 0,015320 0,016109

9 0,003312 0,003991 0,003650

10 0,000497 0,000532 0,000558

11 0,000045 0,000152 0,000052

12 0,000002 0,000000 0,000002

Tabelul 4.1

Ipoteza este buna dar pentru o experienta atat de vasta nu este tocmai potrivita. Este mai

rezonabil sa se presupuna ca zarurile nu sunt perfecte. In acest caz, o realizare cu probabilitatea

p 0,3377 ar fi mai potrivita cu observatiile.

Exemplul 4.1.3.

Daca probabilitatea unei realizari este 0,01, cate probe sunt necesare pentru ca

probabilitatea a cel putin unei realizari sa devina 1/2 sau mai mare ? In acest caz se cauta cel mai

mic intreg n pentru care 1-(0,99)n 1/2, sau -nlog(0,99)log2. Deci n70.

Exemplul 4.1.4.

Sa presupunem ca n10 unitati economice folosesc in mod intermitent energia electrica si

sa cautam a estima ce sarcina totala ar fi de asteptat. Sa ne imaginam (vorbind destul de general)

ca la orice moment fiecare unitate economica solicita o unitate de energie cu aceeasi

probabilitate p. Daca ele lucreaza indepentent, probabilitatea ca, la acelasi moment, k unitati

112

economice sa solocite energia electrica este b(k;n,p). Daca, in medie, o unitate economica

foloseste energia electrica 12 minute pe ora, atunci vom pune p1/5. Deci probabilitatea ca sapte

sau mai multe unitati economice sa solicite curent in acelasi timp este b(7; 10, 0,2)b(10; 10,

0,2) 0,0008643584. Cu alte cuvinte, daca alimentarea este redusa la sase unitati de energie, o

supraincarcare are probabilitatea 0,00086..., adica aproximativ un minut in douazeci de ore.

Probabilitatea ca opt sau mai multe unitati economice sa solicite curent in acelasi timp este

numai 0,0000779264 sau aproximativ de unsprezece ori mai mica.

Sa observam ca, din (4.2.) urmeaza

(4.3.) b k n p

b k n pn k p

kqn p k

kq( , , )

( , , )( ) ( )

11 1 1

Prin urmare, termenul b(k;n,p) este mai mare decat precedentul pentru k(n1)p si este mai mic

pentru k(n1)p. Daca se intampla ca (n1)pm fie un intreg, atunci b(m;n,p) b(b(n-1;n,p).

Exista, deci, un singur intreg n astfel incat

(4.4.) (n1)p-1m(n1)p

si obtinem

Teorema 4.1.2. Pe masura ce k ia valori de la 0 la n, termenii b(k;n.p) mai intai cresc

monoton, iar apoi descresc monoton, atingand valoarea maxima cand kn cu exceptia cazului in

care b(m-1;n,p) b(m;n,p), cand m(n1)p.

Convenim sa numim b(m;n,p) termen central. Deseori m este numit valoarea cea mai

probabilia a realizarilor insa trebuie inteles in sensul ca pentru valori mari ale lui n toti termenii

b(k;n,p) sunt mici. Spre exemplu, in cazul aruncarii unei monede valoarea cea mai probabila a

realizarii banului este 50, dar probabilitatea sa este mai decat 0,08; (in statistica matematica se

arata ca valoarea lui b(m;n,p) este aproximativ egala cu 2 1 2npq /

).

In mod evident, raportul din (4.3.) descreste monoton pe masura ce creste k. Prin urmare,

cand kr1

(4.5.) b k n p

b k n pn r pr q

( , , )( , , )

( )( )

1 1 .

Sa punem aici kr1,...,r si sa inmultim cele inegalitati. Se obtine

(4.6.) b r n p

b r n pn r pr q

( , , )( , , )

( )( )

1.

Pentru rnp fractia din paranteza dreapta ramane mai mica decat unitatea si sumarea dupa

conduce la o serie geometrica finita cu ratia ( )( )n r pr q

1.

Conchidem, deci, ca pentru rnp

(4.7.) b r n p b r n p r qr n p

n r( , , ) ( , , ) ( )

( )

11 10

care ne da probabilitatea de a avea cel putin r realizari. In mod similar rezulta ca, pentru s np

113

(4.8) b n p b s n pn s p

n p s

s

( ; , ) ( ; , )( )

( )

0

1

1

S-a dovedit, astfel

Teorema 4.1.3. Daca rnp, probabilitatea obtinerii a cel putin r realizari satisface

inegalitatea (4.7.); daca snp, probabilitatea obtinerii a cel mult s realizari satisface

inegalitatea (4.8.).

4.2. Legea numerelor mari

Asa cum am mai precizat in cateva randuri, notiunea noastra intuitiva de probabilitate se

bazeaza pe urmatoarea presupunere. Daca in n probe identice evenimentul A apare de ori, si

daca n este suficient de mare, atunci /n se apropie oricat de mult de probabilitatea p a

evenimentului A. Cum o teorie matematica formala cauta totdeauna sa prezinte cat mai exact

fenomenele reale pe care le studiaza, vom interpreta si noi, aici, “extragerile identice” ca

“extrageri de tip Bernoulli” cu p probabilitatea unei realizari. Daca Sn este numarul de realizari

din n extrageri atunci, Sn/n este frecventa relativa a realizarilor si ar fi apropiata de p. Se poate

da, acum, un sens precis acestui fapt. Sa consideram, spre exemplu, probabilitatea ca Sn/n sa

depaseasca p, unde 0 este fixat si arbitrar de mic. Aceasta probabilitate este aceeasi ca si

PSnn(p) si egala cu membrul stang al inegalitatii (4.7) cand r este cel mai mic intreg care

depaseste n(p). Atunci (4.7) implica

(4.9.) P S n p b r n p n p qn qn

( ) ( , , ) ( )

Pe masura ce n creste fractia din membrul al doilea al inegalitatii ramane marginita, in timp ce

b(r;n,p)0 deoarece b(r;n,p)b(k;n,p) pentru fiecare k astfel incat (n1)pkr si exista

aproximativ n astfel de termeni. Urmeaza ca, in timp de n creste, PSnn(p)0. Folosind,

acum, inegalitatea (4.8.) se constata, in acelasi fel, ca P Snn(p-)0. Prin urmare a rezultat ca

(4.10) PSn

pn

1

ceeace inseamna ca daca n este suficient de mare probabilitatea ca, abaterea frecventei relative

a realizarilor fata de p, sa fie in valoare absoluta mai mare decat tinde la zero. Aceasta este o

forma de prezentare a legii numerelor mari, ce serveste ca baza pentru notiunea intuitiva de

probabilitate ca masura a frecventelor relative. Pentru aplicatii practice ea trebuie completata

printr-o estimare mai precisa a probabilitatii situata in partea stanga din (4.10); o asemenea

estimare este furnizata de aproximarea normala a repartitiei binomiale, (4.10) fiind, de fapt, o

consecinta a acesteia.

Obisnuim sa ne referim la (4.10.) ca fiind legea clasica a numerelor mari. Ea, insa,

prezinta un interes destul de limitat, astfel ca ea este inlocuita prin legea tare a numerelor mari,

mai precisa si mai folositoare, la care ne vom referi in cap 12.

Observatie. Se obisnuieste sa se citeasca in legea numerelor mari obiecte pe care ea nu

le implica in mod explicit. Daca indivizii X si Y arunca o moneda perfecta de 10.000 ori se crede,

114

din obisnuinta, ca X va avea un avans de jumatate de timp, aproximativ. Aceasta, insa, nu este

adevarat. Probabilitatea ca X sa conduca in mai putin de 20 probe este mai mare decat

probabilitatea ca numarul probelor in care el conduce sa se gaseasca intre 4990 si 5010, de

exemplu. Legea numerelor mari nu afirma ca frecventa relativa ar fi egala cu probabilitatea ci

numai ca, pentru un numar mare de probe, frecventa acelora in care se realizeaza banul, la orice

moment dat, se apropie oricat de mult de 1/2. Pentru precizare se obisnuieste sa se spuna ca

frecventa relativa tinde in probabilitatea catre p.

4.3. Repartitia Poisson 2)

Multe aplicatii conduc la probe de tip Bernoulli unde, comparativ vorbind, n este mare si

p este mic, in timp ce produsul

(4.11.) np

este de marime moderata. In aceste cazuri, este convenabil sa se foloseasca o formula de

aproximare pentru b(k;n,p) datorata lui Poisson, pe care o vom stabili in cele ce urmeaza. Avem,

deci,

(4.12.) b(0;n,p)(1-p)n

sau, tinand seama de (4.11)

(4.13.) b(0;n,p)(1-(/n))n

Trecand, acum, la logaritmi si folosind dezvoltarea Taylor a logaritmului natural (4.14.)

...32

1ln),,0(ln

,11

...4

1

3

1

2

1)1ln(

2

32

432

nnnnpnb

rezultatcu

ttttt

astfel ca pentru un n suficient de mare

(4.15.) b(0;n,p)e-

,

(semnul inseamna egalitate aproximativa). In plus, din (4.3.) reiese ca, pentru orice k fixat si n

suficient de mare, avem

(4.16.) b k n p

b k n pk pkq k

( , , )( , , )

( )

1

1

Pentru k1 se obtine, de aici si din (4.15.), ca b(1;n,p)e-

. Analog, pentru k2 rezulta

b(2;n,p)

2

2e < iar, in general, prin inductie se gaseste

(4.17.) P(k;n,p)

k

ke

!

Aceasta este cunoscuta aproximatie Poisson a distributiei binomiale. Deoarece este de

dorit sa existe un simbol pentru membrul drept din (4.17.), sa punem

2)

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

115

(4.18.) P(k;)

k

ke

! .

Cu aceasta notatie, P(k;) este o aproximatie pentru b(k;n,/n) cand n este suficient de mare.

Observatie. De fapt, se vede fara greutate ca, daca n si p0 astfel incat np

r\m=ne constant atunci, b(k;n,p) tinde uniform la P(k;) pentru orice k. Am vazut ca distributia

binomiala este definita prin relatia

b(k;n,p)nk

p qk n k

de unde punand p/n rezulta

b(k;n,p)n n n k

k n nn n n k

n k n

k

k

n k

k

k n k( )...( )!

( )...( )!

1 1 1 1 1 1

Prin urmare,

lim ( , , )!

limn

k

n

n k

b k n pk n

1

adica

lim b(k;n,p) k

ke

! .

Exemplul 4.3.1.

In tabelul 4.2, de mai jos, se compara P(k;1) cu repartitia binomiala pentru n100, p1/100.

k b(k;100,1/100 ) p(k;1) Nk

0 0,366032 0,367879 41

1 0,369730 0,367879 34

2 0,184865 0,183940 16

3 0,060999 0,061313 8

4 0,014942 0,015328 0

5 0,002898 0,003066 1

6 0,000463 0,000511 0

7 0,000063 0,000073 0

8 0,000007 0,000009 0

9 0,000001 0,000001 0

Tabel 4.2

Tabelul arata ca aproximarea este satisfacuta pentru multe situatii. (Aici primele coloane

ilustreaza aproximarea Poisson a distributiei binomiale. Ultima coloana contine numarul

grupelor de 100 perechi de cifre aleatoare, in fiecare din ele combinatia (7,7) aparand exact de k

ori) Deci, ca ilustrare, sa luam aparitia combinatiei (7,7) in 100 perechi de cifre aleatoare, care au

distributia binomiala b(k;100,1/100). Atunci, ultima coloana a tabelului de mai sus da rezultatul

116

calculului in 100 grupe de cate 100 cifre aleatoare fiecare. Pentru a obtine frecventele relative

trebuiesc impartiti toti intregii din ultima coloana la 100. Aceste frecvente corespund, in mod

acceptabil, probabilitatilor teoretice.

Exemplul 4.3.2.

Care este probabilitatea pk ca, intr-o societate de 500 oameni, k dintre ei sa fie nascuti in

ziua de Anul Nou ? Daca cei 500 de oameni sunt alesi la intamplare, putem aplica schema a 500

probe Bernoulli, probabilitatea unei realizari fiind p1/365. Atunci

p0(364/365)5000,2537...

Pentru aproximarea Poisson punem 500/3651,3699.... Deci P(0;)0,2541 care

implica o eroare numai la nivelul zecimilor de miimi. Pentru k1,2,3 valorile corecte ale lui pk,

calculate din formula binomiala, sunt p10,3484..., p20,2388..., p30,1089..., p40,0372...,

p50,0101..., p60,0023...

Aproximarile Poisson corespunzatoare sunt P(1;)0,3481..., P(2;)0,2385...,

P(3;)0,1089..., P(4;)0,0373..., P(5;)0,0102..., P(6;)0,0023... Toate erorile sunt de

ordinul zecimilor de miimi.

Exemplul 4.3.3.

Ne referim in acest exemplu la persoanele centenare. La nastere fiecare persoana are o

sansa mica de a trai 100 ani si, intr-o comunitate numeroasa, numarul zilelor de nastere este

mare. Datorita razboiului, accidentelor, epidemiilor, etc., diferite fiinte umane nu sunt

independente stochastic, dar ca o prima aproximatie putem compara n zile de nastere cu n probe

Bernoulli, considerand ca avem o realizare daca moartea survine dupa 100 ani. Intr-o comunitate

stabila unde nici volumul comunitatii nici coeficientul de mortalitate nu sufera schimbari

considerabile, este normal sa ne asteptam ca frecventa anilor in care mor exact k centenari sa fie

aproximativ P(k; ), unde depinde de volumul comunitatii si de gradul de sanatate al acesteia.

Pana acum am folosit expresia Poisson (4.18) numai ca o aproximare convenabila a

distributiei binomiale in cazul cand n este suficient de mare si p este mic. Avem de-a face aici cu

un caz special al faptului remarcabil ca exista cateva distributii deosebit de importante care apar

intr-o varietate surprinzator de mare de probleme cu implicatii in teoria probabilitatilor, cum sunt

repartitia binomiala, repartitia normala (asupra careia nu insistam aici) si repartitia Poisson data

de (4.18) asupra careia vom mai insista inca.

Notam, mai intai, ca adunand ecuatiile (4.18) pentru k1, 1, 2, 3, . . ., se obtine in

membrul drept de e-

ori seria Taylor pentru e . Deci pentru orice k fixat cantitatile P(k;) au

suma egala cu unitatea si, prin urmare, ne putem imagina un experiment ideal in care P(k; este

probabilitatea a avea k realizari. Vom arata, acum, de ce multe experiente fizice si observatii

statistice, in mod natural, conduc la o astfel de interpretare a relatiei (4.18). Adevarata natura a

repartitiei Poisson va aparea numai in legatura cu teoria proceselor stochastice la care nu ne vom

referi in cele de fata.

Sa consideram o secventa de evenimente aleatoare care apar in timp, asa cum sunt

dezintegrarea radioactiva sau apelurile care sosesc la o centrala telefonica. Sa reprezentam

117

fiecare eveniment printr-un punct pe axa timpului si sa urmarim repartitia aleatoare a punctelor.

Exista multe tipuri diferite de asemenea repartitii, studiul lor apartinand domeniului

probabilitatilor continue, aici, insa, ne vom unele conditii fizice care conduc la P(k;) ca

probabilitatea de a gasi k puncte (evenimente) intr-un interval fixat de lungime stabilita.

Asemenea supozitii fizice pe care dorim sa le exprimam matematic se refera la faptul ca

conditiile in care se desfasoara experimentul raman constante in timp si ca intervalele de timp

care nu se suprapun sunt independente stochastic in sensul ca informatia privitoare la numarul de

evenimente dintr-un interval nu dezvaluie nimic cu privire la alt interval. Intr-o teorie

caracterizata prin repartitia continua de probabilitati aceste formulari se pot da direct, dar cum

aici ne referim la o repartitie discreta de probabilitati, vom folosi un model finit aproximativ

trecand apoi la limita. Sa ne imaginam intervalul de timp unitate impartit intr-un numar mare de

intervale, fiecare avand lungimea 1/n. Un subinterval particular este, atunci, ori este vid ori

contine cel putin unul dintre punctele noastre aleatoare (sau evenimente) si convenim sa

consideram aceste doua posibilitati ca nerealizare si respectiv realizare. Probabilitatea pn a

realizarii trebuie sa fie aceeasi pentru toate cele n subintervale, deoarece ele au aceeasi lungime.

Atunci, independenta pe care am presupus-o relativ la intervalele care nu se suprapun implica

faptul ca avem n probe de tip Bernoulli, probabilitatea de a obtine k realizari fiind data de

b(k;n,pn). Se intelege ca numarul realizarilor nu este in mod necesar acelasi cu numarul punctelor

aleatoare, deoarece un subinterval poate contine diferite puncte aleatoare. Insa, este normal sa se

introduca presupunerea suplimentara ca probabilitatea a doua sau mai multor puncte aleatoare,

de-a lungul unui interval de timp foarte scurt, sa fie neglijabila la limita. [Aceasta presupunere

apare implicit in descrierea intuitiva a punctelor aleatoare izolate. Insa, este necesar sa se excluda

posibilitatea ca evenimentele sa apara in dubleti. Spre exemplu, daca evenimentele sunt

accidente de automobil atunci, probabilitatea sa apara doua evenimente intr-un interval scurt de

timp este neglijabila in comparatie cu probabilitatea unui eveniment. Pe de alta parte, un

accident este de natura sa implice doua masini si, daca evenimentele inseamna “o masina lovita”,

atunci ele au sansa sa apara in perechi si presupunerea facut nu se apli cat.

In acest caz, probabilitatea de a gasi k puncte aleatoare in intervalul de timp unitate este

data de limita lim , ,n nb k n p

. Impartind fiecare subinterval in doua parti, de lungime egala, se

obtine pn=2p2n-p2

2n; aceasta relatte exprima faptul ca realizarea intr-un interval de lungime 1/n

inseamna ori realizarea in jumatatea stanga ori realizarea in jumatatea dreapta, ori in ambele.

Urmeaza ca pn 2p2n , ceea ce sugereaza ca npn este monoton crescator. Daca npn atunci,

b(k;n,pn) ~ b(k;n,/n)P(k;) si se gaseste, astfel, (4.18.) ca probabilitatea sa existe un total de k

puncte aleatoare continute in intervalul unitate. Presupunerea npn, nu conduce la vreun

rezultat apreciabil, desi ae implica o infinitate de puncte aleatoare chiar in cel mai mic interval.

Daca in locul intervalului unitate se ia un interval arbitrar de lungime t si se foloseste din

nou o subdivizare in intervale de lungime 1/n, atunci avem de-a face cu probe de tip Bernoulli,

avand aceesi probabilitate pn a realizarii, numarul probelor fiind un intreg mai apropiat de nt

decat de n.

118

Trecerea la limita se face la fel doar ca se obtine t in loc de . Aceasta ne conduce la a

considera

P k t etk

tk

,!

(4.19.)

ca probabilitatea obtinerii a exact k puncte intr-un inteval fixat de lungime t. In particular,

probabilitatea de a nu avea nici un punct intr-un interval de lungime t este

P t e t0, (4.20.)

astfel ca probabilitatea de a avea unul sau mai multe puncte este, deci, 1 -e-t

.

Parametrul este o constanta fizica ce determina densitatea punctelor pe axa t. Cu cat

este mai mare cu atat este mai mica probabilitatea (4.20) de a nu gasi nici un punct intr-un

interval de lungime t. Sa presupunem ca un experiment fizic este repetat de un numar mare N, de

ori, si ca, de fiecare data, socotim numarul evenimentelor dintr-un interval de lungime fixata t.

Fie Nk numarul de repetari a experimentului in urma caruia s -au observat k evenimente. Atunci

N0 N1 N2. . . N.

Numarul total de puncte observate in cele N experimente este

N1 2N2 3N3. . . T (4.21.)

TN

fiind valoarea medie. Daca N este mare, ne asteptam ca

Nk NP(k; t) (4.22.).

[Aceasta sta la baza tuturor aplicatiilor probabilitatii si ii vom da o justificare mai precisa intr-un

cap. 12. Substituind (4.22.) in (4.21.) gasim

tNtt

tNetPtPtPNT t

...

!211...,33,22,1

2

si deci

t TN

(4.23.)

Aceasta relatie da o semnificatie a estimarii lui din observatii si a compararii teoriei cu

experimentele.

Observatie.

S-a considerat pana acum repartitia evenimentelor aleatoare sau punctelor de-a lungul

axei t, dar acelasi rationament se aplica repartitiei punctelor in plan sau in spatiu. In locul

intervalelor de lungime t vom avea domenii de arie sau volum t, iar ipoteza fundamentala va fi

ca, probabilitatea de a gasi k puncte in orice domeniu stabilit sa depinda numai de aria sau

volumul domeniului si nu de configuratia sa. In caz contrar se va rationa in aceleasi ipoteze ca

mai inainte: 10 daca t este mic, probabilitatea de a gasi mai mult decat un punct intr-un domeniu

de volum t este mica in comparatie cu t; 20 domeniile care nu se suprapun sunt in mod reciproc

independente. Pentru a gasi probabilitatea ca un domeniu de volum t sa contina k puncte

aleatoare, impartim domeniul in n subdomenii si aproximam probabilitatea ceruta prin

probabilitatea a k realizari in n probe. Omitand posibilitatea de a gasi mai mult decat un punct in

119

acelasi subdomeniu, presupunerea 10

implica faptul ca eroarea tinde la zero cand n. La

limita se obtine, din nou, repartitia Poisson (4.19). De fapt, stelele in spatiul cosmic, stafidele in

cozonac, semintele de buruiana printre semintele de iarba, defectele intr-o stofa, cirezile de

animale pe camp, toate se distribuie in concordanta cu legea lui Poisson.

In continuare, vom prezenta cateva exemple relative la repartitia Poisson. Se stie probabil

ca repartitia Poisson a devenit cunoscuta ca “legea numerelor mici” sau a “evenimentelor rare”.

Acestea insa, sunt interpretari gresite care s-au dovedit daunatoare realizarii rolului fundamental

al repartitiei Poisson. Exemplele urmatoare vor arata cat de inselatoare sunt cele doua denumiri.

Exemplul 4.3.4. (Dezintegrarea radioactiva).

O substanta radioactiva emite particule; numarul particulelor care ajung intr-o portiune

data a spatiului in timpul t este cel mai bine cunoscut exemplu de evenimente aleatoare care se

supun legii lui Poisson. Bineinteles ca substanta continua sa se descompuna si, cu timpul,

densitatea -particulelor va scadea. Insa, in ceea ce priveste radiul trebuie sa treaca cativa ani

pentru a putea detecta o reducere a substantei, astfel ca pentru perioade relativ scurte conditiile

pot fi considerate constante si putem spune ca avem o realizare ideala a ipotezelor care conduc la

repartitia Poisson. Intr-un renumit experiment3)

a fost observata o substanta radioactiva pe

parcursul a N2608 intervale de timp de 7.5 secunde fiecare si s-a stabilit, pentru fiecare

perioada, numarul particulelor care au ajuns la un contor. Tabelul de mai jos prezinta rezultatele

cu privire la numarul Nk de perioade cu k particule. Numarul total al particulelor este

T = kNk = 10.094, iar media T

N = 3,870 . Valorile teoretice Np(k;3,870)

k

Kn

Np(k;3,870)

0 57 54,399

1 203 210,523

2 383 407,361

3 525 525,496

4 532 508,418

5 408 393,515

6 273 253,817

7 139 140,325

8 45 67,882

9 27 29,189

k10 16 17,075

Total 2608 2608.000

Tabel 4.3

3)

Rutherford, Chadwich si Ellis - “Radiations from radioactive substances”, Cambridge, 1920, p.172.

120

se vede ca sunt apropiate de valorile observate Nk. Pentru a aprecia densitatea fluxului de

particule, este necesara o estimare a marimii probabile a fluctuatiei sansei. De obicei, pentru

aprecierea densitatii fluxului se foloseste criteriul 2 (studiat in statistica matematica drept un

criteriu de baza pentru verificarea ipotezelor statistice) cu ajutorul caruia se constata o abatere

fata de tabelul 4.3, in conditii ideale, cam de 17 dintr -o 100 de cazuri comparabile.

Exemplul 4.3.5.

Ca exemplu de distributie spatiala a punctelor aleatoare vom considera datele statistice

privind bombardarea cu bombe dirijate ( bombe cu autonomie de deplasare) a zonei sudice a

Londrei in timpul celui de-al doilea razboi mondial4)

.

Intreaga suprafata a fost impartita in N576 arii mici de cate t1/4 km2 fiecare,

inregistrandu-se intr-un tabel, ca cel de mai jos, numarul Nk al suprafetelor lovite de k bombe.

K 0 1 2 3 4 5 si mai

multe

Nk 229 211 93 35 7 1

Np(k;

0,9323)

226,74 211,39 98,54 30,62 7,14 1,57

Tabel 4.4

Numarul total al loviturilor de bombe este T kNk 537 , cu media tT/N0,9323...

Aplicarea repartitiei Poisson se face, deci, cu succes. Este interesant de retinut ca s-a crezut ca

exista o tendinta a punctelor de ciocnire de a se ingramadi. Daca acest lucru ar fi fost adevarat,

atunci ar fi existat o frecventa mai mare a suprafetelor avand ori multe lovituri ori nici una si o

diminuare a claselor intermediare. Tabelul 4.4 indica un caracter aleator si omogenitate perfecta

a suprafetelor, el constituind o ilustrare instructiva a faptului bine cunoscut ca, pentru un ochi

neexperimentat, caracterul aleator apare ca o regularitate sau ca o tendinta de aglomerare, de

ingramadire.

Sa consideram, acum, o secventa de n probe Bernoulli. Cat de lunga trebuie sa fie pentru

a depinde de a r-a realizare ? (r este un intreg pozitiv fixat). Numarul total de realizari in n probe

poate fi, bineinteles, mai mic decat r, dar probabilitatea, ca cea de-a r-a realizare sa se produca la

proba n este, in mod clar, independenta de n, depinzand numai de , r si p. Deoarece, in mod

necesar, r este preferabil sa se scrie =k+r.

Probabilitatea ca a r-a realizare sa se produca la proba rk (unde k0,1,2,. . . ) va fi

notata prin f(k;r,p). Ea este egala cu probabilitatea ca exact k nerealizari sa preceada cea de-a

r-a realizare. Acest eveniment apare daca si numai daca printre cele rk-1 probe exista k

nerealizari, iar urmatoarea proba sau cea de-a rk-a, duce la o realizare. Probabilitatile

corespunzatoare sunt

r kk

p qr k

1 1 si p, astfel incat

4)

R.D. Clarke - “An application of the Poisson distribution”, Journal of the Institute of Actuaries, vol. 72, (1946),

p.48

121

f(k;r,p) r kk

p qr k

1 . (4.24.)

Tinand seama de faptul ca pentru orice a0

ak

a kk

k11

obtinem din (4.24.)

f(k;r,p)

rk

p qr k , k0,1,2, . . . (4.25.)

Sa presupunem, mai departe, ca extragerile de tip Bernoulli sunt continuate atat cat este

necesar pentru ca sa depinda de r realizari. Un punct caracteristic este reprezentat printr-o

secventa care contine un numar arbitrar, k, de litere N si exact r litere R, secventa terminandu-se

printr-un R; probabilitatea unui asemenea punct este, prin definitie, prq

k . Trebuie, insa, sa ne

punem intrebarea daca este posibil ca extragerile sa nu se sfarseasca niciodata, adica daca o

secventa infinita de extrageri poate produce mai putin de r realizari.

Atunci, f k r pk

( , , )

0

este probabilitatea ca a r-a realizare sa se produca dupa un numar finit de

extrageri. In consecinta, se poate nesocoti posibilitatea de a avea o secventa infinita cu mai putin

de r realizari daca si numai daca

f k r pk

( , , )

0

1. (4.26.)

Pentru a dovedi ca (4.26.) are loc este suficient sa se observe ca

r

kq k

k

( )0

= (1-q)k = p

-r (4.27.)

Inmultind, acum, (4.27.) cu pr rezulta tocmai (4.26.).

Dupa cum se vede, marimea definita de relatiile (4.24.) sau (4.25.) este nenegativa, iar

(4.26.) are loc pentru orice r pozitiv. Pentru r 0 arbitrar si 0p1, secventa f ( k; r, p ) poarta

numele de repartitie binominala negativa. Cand r este un intreg pozitiv, f ( k; r, p ) poate fi

interpretata ca reapartitia probabilista a timpului de asteptare pentru producerea celei de a r-a

realizari. Ea mai este numita deseori si repartitie Pascal. Pentru r1 se reduce la repartitia

geometrica pqk.

Exemplul 4.3.6. (Problema lui Banach, comunicata de H. Steinhaus ).

Un anume matematician poarta totdeauna o cutie cu chibrite in buzunarul din dreapta al

hainei si una in cel din stanga. Cand vrea sa aprinda un chibrit, el alege o cutie la intamplare,

alegerile succesive constituind, astfel, extrageri de tip Bernoulli cu p 12

. Sa presupunem ca la

inceput, in fiecare cutie, au fost N bete de chibrit si sa consideram momentul in care

matematicianul respectiv descopera, pentru prima oara, ca o cutie este goala. In acel moment,

cealalta cutie poate contine 0, 1, 2, . . . , N chibrituri si fie ur probabilitatile corespunzatoare. Sa

identificam “o realizare” cu o alegere a cutiei din buzunarul stang. Matematicianul va descoperi

122

ca in buzunarul stang are o cutie goala intr-un moment cand cutia din buzunarul drept contine

exact r bete daca si numai daca realizarea N1 este precedata de N-r nerealizari. Probabilitatea

acestui eveniment este f(N-r; N+1, 1/2). Cum acelasi rationament se aplica pentru cutia din

buzunarul drept, rezulta ca probabilitatea cautata este

ur = 2f(N-r;N+1,1

2

2)

N r

N2

-2N+r (4.28.)

Valorile numerice pentru cazul N50 sunt date in tabelul urmator

r ur Ur

0 0.079589 0.079589

2 0.079589 0.159178

3 0.078785 0.237963

4 0.077177 0.315140

5 0.074790 0.389931

6 0.067902 0.529506

7 0.063568 0.593073

8 0.058783 9.651855

9 0.053671 0.705527

10 0.048363 0.753890

11 0.042989 0.796879

12 0.037676 0.834555

13 0.032538 0.867094

14 0.027676 0.894770

15 0.023171 0.917941

16 0.019081 0.937022

17 0.015447 0.952469

18 0.012283 0.964752

19 0.009587 0.974338

20 0.007338 0.981676

21 0.005504 0.987180

22 0.004041 0.991220

23 0.002901 0.994121

24 0.002034 0.996155

25 0.001392 0.997547

26 0.000928 0.998475

27 0.000602 0.999077

28 0.000379 0.999456

29 0.000232 0.999688

123

4.4. Repartitia multinomiala

Repartitia binomiala poate fi generalizata, fara greutate , la cazul a n probe repetate in

mod independent, unde fiecare proba poate avea unul sau mai multe rezultate. Sa notam prin E1,

. . . , Er rezultatele posibile ale fiecarei probe si sa presupunem ca probabilitatea realizarii lui Ei

in fiecare proba este pi ( i 1, . . . , r ). Pentru r 2 avem probe Bernoulli, in general, numerele

pi nu sunt supuse decat conditiei

p pr1 1 . . . , pi 0 (4.29.).

Rezultatul a n probe este o secventa de tipul E2E1E3 . . . Probabliltatea ca in n probe E1 sa

apara de k1 ori, E2 sa apara de k2 ori, etc., este

rk

r

kkk

r

ppppkkk

n...

!!...!

!321

321

21

(4.30.)

Aici ki sunt intregi arbitrari nenegativi care satisfac conditia

k k k nr1 2 ... (4.31.).

Daca r 2, atunci (4.30.) se reduce la repartitia binominala cu p1p, p2q, k1k, k2n-k.

Relatia (4.30.) poarta numele de repartitie multinominala deoarece membrul drept este

termenul general al dezvoltarii multinominale a polinomului p prn

1 ... . Principala sa aplicatie

se intalneste la modelele bazate pe schema bilei intoarse cand elementele se clasifica in mai

mult decat doua categorii ( de exemplu, clasificarea indivizilor dupa profesii).

Exemplul 4.4.1.

Aruncand 12 zaruri, care este posibilitatea de a obtine fiecare fata de doua ori?

Evenimentele E1, . . . , Er reprezinta cele sase fete , ki sunt, fiecare, egali cu 2, iar fiecare p i este

egal cu 16

. Rezulta, deci, 12 2 6 0 00346 12! . ...

Exemplul 4.4.2. ( Selectie) .

Fie o populatie cu N elemente impartita in subclasele E1, . . . , E r de volum, respectiv, Np1,

. . . , Npr. Repartitia multinominala da probabilitatile diferitelor combinatii posibile a unei selectii

repetate de volum n luata din aceasta populatie.

Exemplul 4.4.3. (Probe Bernoulli multiple)..

Doua secvente de probe Bernoulli cu probabilitatile p1, q1 pentru realizari si p2, q2 pentru

nerealizari (sau insuccese), pot fi considerate ca un experiment compus cu patru rezultate

posibile, in fiecare proba, adica combinatiile (R,R), (R,I), (I,R), (I,I). Presupunerea ca cele doua

secvente initiale sunt independente, poate fi exprimata in felul urmator: probabilitatile celor

patru rezultate sunt p1p2,, p1q2., q1p2, si q1q2 respectiv. Daca k1, k2, k3, k4 sunt patru intregi de

suma n, probabilitatea ca in n probe (RR) sa apara de k1 ori , (RI) de k2 ori, etc., este

n

k k k kp q p qk k k k k k k k!

! ! . ! !1 2 3 41 1 2 2

1 2 3 4 1 3 2 4

124

4.5. Repartitia normala. Teorema limita De Moivre-Laplace.

In acest paragraf, vom introduce doua functii deosebit de importante.

Definitia 4.5.1. Functia definita prin

g x ex

1

212

12

2

(4.32.)

se numeste functia densitate normala; iar integrala sa

N x e dyx y

1

212

12

2

(4.33.)

poarta numele de functie de repartitie normala.

Graficul functiei g(x) este o curba descrescatoare, simetrica fata de axa coordonatelor,

avand forma de clopot, asa cum se observa in figura 4.4.1

0,5 φ(x)

0,4

0,3

0,2 0,399

0,1

0 0,242

-3 -2 -1 –0,67 0,67 1 2 3 x

50% din arie

68,3% din arie

95,6% din arie

99.7 % din arie

Fig. 4.1

Precizam ca s-au folosit unitati de masura diferite pe cele doua axe: maximum functiei g(x) este

aproximativ 2 039912

. , astfel ca intr-un sistem cartezian obisnuit curba yg(x) va fi mai

turtita.

125

Lema 4.5.1. Domeniul marginit de graficul functiei g(x) si axa xx’ are aria egala cu

unitatea, adica

g x dx( )

1. (4.34.)

Demonstratie. Se observa ca

g x dx g x g y dxdy e dxdy

x y( ) ( ) ( )

2 121

2

2 2

.

Dar aceasta integrala dubla poate fi exprimata in coordonate polare astfel

12

10

2 12

0

12

0

12 0

2 2 2

d e r dr e r dr er r r

,

ceeace dovedeste lema.

Din definitia 4.5.1 si lema 4.5.1 rezulta ca N(x) creste tot timpul de la 0 la 1. Graficul ei

(figura 4.4.2.) este o curba in form de S cu

N(-x)1-N(x) (4.35)

N(x)

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0,5

0.4

0.3

0.2

0.1

-3 -2 -1 -0.67 0 0.67 1 2 3 x

Fig.4.2.

126

Prezentam in tabelul 4.6 de mai jos, doar ca orientare, valori ale lui N(x) pentru x pozitiv, N(-x)

obtinandu-se din (4.35.).

t

g(t)

N(t)

0.0 0.398942 0.500000

0.1 0.396952 0.539828

0.2 0.391043 0.579260

0.3 0.381388 0.617911

0.4 0.368270 0.655422

0.5 0.352065 0.691462

0.6 0.333225 0.725747

0.7 0.312254 0.758036

0.8 0.289692 0.788145

0.9 0.266085 0.815940

1.0 0.241971 0.841345

1.1 0.217852 0.864334

1.2 0.194186 0.884930

1.3 0.171369 0.903200

1.4 0.149727 0.919243

1.5 0.129518 0.933193

1.6 0.110921 0.945201

1.7 0.094049 0.955435

1.8 0.078950 0.964070

1.9 0.065616 0.971283

2.0 0.053991 0.977250

2.1 0.043984 0.982136

2.2 0.035475 0.986097

2.3 0.028327 0.989276

2.4 0.022395 0.991802

2.5 0.017528 0.993790

2.6 0.013583 0.995339

2.7 0.010421 0.996533

2.8 0.007915 0.997445

2.9 0.005953 0.998134

3.0 0.004432 0.998650

3.1 0.003267 0.999032

3.2 0.002384 0.999312

127

3.3 0.001723 0.999517

3.4 0.001232 0.999663

3.5 0.000873 0.999767

3.6 0.000612 0.999841

3.7 0.000425 0.999892

3.8 0.000292 0.999928

3.9 0.000199 0.999952

4.0 0.000134 0.999968

4.1 0.000089 0.999979

4.2 0.000059 0.999987

4.3 0.000039 0.999991

4.4 0.000025 0.999995

4.5 0.000016 0.999997

Tabelul 4.6

In multe situatii este convenabil sa se cunoasca o estimare elementara pentru 1-N(x) cand

x este suficient de mare. Are loc astfel

Lema 4.5.2. Cand x

1-N(x) 1

2

1

2

1

2

2

( ) x

ex

; (4.36.)

mai exact, pentru fiecare x0 are loc dubla inegalitate

xexN

xxe

xx 1

2

11

11

2

1 22

2

1

2

13

2

1

2

1

(4.37.)

Demonstratie. Se poate verifica, prin diferentiere, ca

dyye

xe

x

yx22

1

2

1

2

1

2

11

2

11

2

1 22

iar integrantul din membrul drept este mai mare decat integrantul din

1 1

212

12

2

N x e dyy

x( )

ceeace dovedeste a doua inegalitate din (4.37.). Prima inegalitate urmeaza in acelasi fel, folosind

drept un nou integrant ey

y

1

24

2

13

[ ] care este mai mic decat ey

12

2

.

Observatie. Termenul functie de repartitie este folosit in literatura matematica pentru

functii nedescrescatoare de variabila x care tind la 0 cand x- si la 1 cand x . In statistica

128

se mai intalneste si termenul functie de repartitie cumulativa, dar adjectivul “cumulativ” este

abuziv.

Functia densitate este o functie nenegativa f(x) a carei integrala extinsa peste intreaga axa

a x-ilor este egala cu unitatea. Integarala de la - la x a oricarei functii densitate este functie de

repartitie.

Functia de repartitie normala este numita adesea repartitie gaussiana , dar ea a fost

folosita in teoria probabilitatilor, mai intai, de DeMoivre si Laplace. Daca se schimba originea si

unitatea de masura, atunci N(x) se transforma in N x ab

; aceasta functie se numeste functie

de repartitie normala cu media a si dispersia b2 .

Sa notam prin Sn numarul realizarilor in n probe Bernoulli, o realizare avand

probabilitatea p. Atunci, b(k;n,p) este probabilitatea evenimentului ca Snk. In practica

intereseaza, in mod obisnuit, probabilitatea evenimentului ca numarul realizarilor sa se gaseasca

intre doua limite fixate initial si . Daca si sunt intregi si , atunci acest eveniment

este definit prin egalitatea Sn , iar probabilitatea sa este

P S b n p b n p b n pn , , , , ... , ,1 (4.38.)

Aceasta suma poate sa aiba multi termeni, astfel ca o evaluare directa, in mod obisnuit,

nu este posibila. Din fericire, ori de cate ori n este mai mare, se poate folosi functia de repartitie

normala pentru a obtine aproximari simple ale probabilitatii (4.38.). Aceasta descoperire se

datoreste lui DeMoivre 5)

si Laplace6)

. Dupa cum se va vedea, importanta sa depaseste domeniul

calculului numeric.

Scopul principal pe care-l urmarim este de a obtine o formula asimptotica pentru

termenul general

b k n p nk n k

p qk n k( , , ) !!( )!

. (4.39.)

Aceasta necesitate se impune datorita dificultatilor considerabile pe care le ridica calculul

lui b(k;n,p) din formula (4.39.). O astfel de formula a fost gasita, mai intai, de DeMoivre (in

1730) pentru cazul special cand p=q=1/2. Ulterior, Laplace a generalizat acest rezultat pentru p

arbitrar diferit de 0 si 1. Se obtine, astfel, urmatoarea teorema limita.

Teorema limita DeMoivre-Laplace.

Daca probabilitatea de aparitie a unui eveniment E in n probe independente este

constanta si este egala cu p (0<p<1) atunci, probabilitatea b(k;n,p), ca in fiecare dintre probe,

evenimentul E sa apara de k ori satisface relatia

b(k;np):1

21

2

2

npqe

x

(4.40.)

cand n, uniform in m, cand x variaza intr-un interval finit, unde x=(k -np)(npq)-1/2

.

5)

Abraham DeMoivre (1667-1754). The doctrine of chance (1718).

129

Demonstratie.

Mai intai, pentru calculul factorialilor din (4.40.) vom folosi formula lui Stirling

n!(2)1/2

nn+1/2

e-n

(unde am folosit semnul “” pentru a indica faptul ca raportul celor doi

membri tinde la 1 cand n). Apoi, din expresia lui x, tinem seama ca

2

1

2

1

)npq(xnqkn

si

)npq(xnpk

(4.41.)

Din formulele (4.41.) urmeaza ca, daca x ramane marginit de doua constante arbitrare a si b

atunci, atat k cat si n-k tind la infinit cand n. Revenind la (4.39.) obtinem succesiv

)kn(2

1)kn(

2

1

k2

1k

2

1

n2

1n

2

1

e)kn()2()!kn(

ek)2(!k

en)2(!n

de unde rezulta

knk

n2

1

)kn(k

n

)kn(k2

n

)!kn(!k

!n

.

Astfel, probabilitatea b(k;n,p) devine

knk

knkn2

1

)kn(k

qpn

)kn(k2

n)p,n;k(b

. (4.42.)

Sa consideram, acum, al doilea factor din (4.42.) pe care il vom calcula trecand la logaritmi si

tinand seama de formulele (4.41.)

2

1

2

12

1

2

1

knkknk

knk

knkn

nq

px1ln)npq(xnq

np

qx1ln)npq(xnp

nq

knln)kn(

np

klnk

kn

nqln

k

npln

kn

nq

k

npln

)kn(k

qpnln

Dar, in conditiile impuse, cantitatile 2

1

np

qx

si

2

1

nq

px

pot fi arbitrar de mici pentru n

suficient de mare, astfel ca pentru cei doi logaritmi se poate folosi dezvoltarea in serie Taylor a

logaritmului natural

6)

Pierre Simon de Laplace (1749-1827). Théorie analytique des probabilités (1812).

130

).11(...,4

1

3

1

2

1)1ln( 432 tttttt

Marginandu-ne la primii doi termeni obtinem

2/3

22

1

2

1

n

1O

np

qx

2

1

np

qx

np

qx1ln

Si .n

1O

nq

px

2

1

nq

px

nq

px1ln

2/3

22

1

2

1

Atunci

.n

1O

nq

ppx

2

1

np

qqx

2

1xx

2

1

n

1O

nq

px)npq(x

2

1

nq

p)npq(x

nq

pxnq

2

1

nq

pxnq

np

qx)npq(x

2

1

np

q)npq(x

np

qxnp

2

1

np

qxnp

)kn(k

qpnln

2/3

2

1

32

1

322

2/3

2

2

12

1

2

1

2

22

1

2

2

12

1

2

1

2

22

1

knk

knkn

Dar, cum am mai precizat, cantitatile 2

1

np

q

si

2

1

nq

p

pot fi arbitrar de mici pentru n suficient de

mare, astfel ca, in final

.n

1Ox

2

1

)kn(k

qpnln

2/1

2

knk

knkn

.

Prin urmare, urmatoarea relatie se pastreaza uniform in x in orice interval finit de variatie a lui x

2

x

knk

knkn 2

e)kn(k

qpn

sau

.1e:)kn(k

qpn2

x

knk

knkn 2

Mai ramane de calculat primul factor din (4.42.). Revenind, din nou, la formulele (4.41.) obtinem

2

1

2

1

2

1

2

1

)npq(xnq)npq(xnp

n

)kn(k2

n (4.43)

131

2

1

2

1

2

1

2

1

nq

px1

np

qx1

1

)npq(

1

.

Al doilea factor din (4.43.) tinde la 1 cand n, in mod uniform, in fiecare interval finit de

variatie al lui x. Prin urmare,

2

1

2

1

)npq(

1

)kn(k2

n

,

si, in final, cand n rezulta

2

x

2

1

2

e

npq2

1)p,n;k(b

Sau

1e

npq2

1:)p,n;k(b 2

x

2

1

2

ceea ce dovedeste teorema.

Exemplul 4.5.1.

Sa se determine b(k;n,p) pentru n=10000, k=40, p=0.005. Din teorema DeMoivre-

Laplace avem

2

2

1

npq

npk

2

1

2

1e

npq2

1)p,n;k(b

.

In cazul de fata

05.7)75,49()npq( 2

1

2

1

iar

42.1

)npq(

npk

2

1

.

Prin urmare,

2

)42.1(

2

1

2

e

205.7

1)p,n;k(b

.

Din tabele rezulta pentru functia

132

2

x

2

1

2

e

)2(

1)x(

valoarea 0.1456, asa incat

0206.005.7

1456.0)p,n;k(b .

Pe de alta parte, calculul probabilitatii b(k;n,p) cu formula (4.39.) da valoarea (cu patru zecimale

exacte)

b(k;n,p)0.0197.

Dupa cum se vede aproximarea data de teorema limita DeMoivre-Laplace este, putem

spune, surprinzator de buna.

Este normal sa ne intrebam, inca, cat de buna este aproximarea probabilitatii b(k;n,p) in

cazul datorat lui DeMoivre, adica p=q=1/2. Vom raspunde la aceasta intrebare prin exemplul

urmator.

Exemplul 4.5.2.

Fie, deci, p=q=1/2 si sa luam acele valori ale lui n pentru care este posibil sa avem xnk=1.

Spre exemplu, pentru n=25 sau 100 sau 400 sau 1156, se obtine xnk=1 daca m=15, 55, 210 sau,

respectiv, 595. Conform teoremei limita DeMoivre-Laplace raportul

1e

npq2

1:)p,n;k(b 2

x

2

1

2nk

cand n . In acelasi timp diferenta celor doua expresii tinde la 0 cand n. In tabelul de mai

jos sunt prezentate rezultatele calculului. Pentru simplificarea scrierii notam impartitorul de mai

sus prin

2

1

nk

npq

)x(.

n b(k;n,p)

2

1

nk

npq

)x( b(k;n,p)-

2

1

nk

npq

)x( b(k;n,p):

2

1

nk

npq

)x(

25 0.09742 0.09676 0.00063 1.0065

100 0.04847 0.04839 0.00008 1.0030

400 0.024207 0.024194 0.000013 1.0004

1156 0.014236 0.014234 0.000002 1.0001

Tabelul 4.7.

Cu notatia din exemplul de mai sus pentru (x), se obtine pentru b(k;n,p) aproximarea de

forma urmatoare

)x()npq()p,n;k(bk

2

1

(4.44.)

133

Introducand notatia k=k-np, sa presupunem ca n si k in asa fel incat 0n

k

si

0n 2

3

k

. In mod evident, ultima conditie o implica pe prima si este similara cu conditia

0

n

x

2

1

3

k . Avem astfel

Teorema 4.5.1. Daca n si k in asa fel incat 0n

x

21

3k atunci, are loc (4.44.). Cu

alte cuvinte, exista doua constante A si B astfel incat

21

31k

k21

n

xBnA1

)(x(npq)

p)n,b(k;

.

In figura 4.5.3. se da o ilustrare a teoremei 4.5.1. pentru cazul n=4, p=0.2 si unde npq este doar

1.6

F

F

F

F 0,3

F

F 0,2

F

F 0,1

F

F

0 1 2 3 4 5 6

Fig. 4.3

Chiar si in acest caz extrem de nefavorabil aproximatia este surprinzator de buna. Astfel,

valorile probabilitatii b(k;10,0.2) pentru k=0,1,...,6 sunt, respectiv, 0.1074; 0.2684; 0.3020;

0.2013; 0,0880; 0.0264; 0.0055; iar aproximatiile corespunzatoare )x()npq(k

2

1

sunt: 0.0904;

0.2307; 0.3154; 0.2307; 0.0904; 0.0189; 0.0021. [In figura 4.5.3., functia in scara da

probabilitatile b(k;10,1/5) a k realizari in 10 probe Bernoulli cu p=1/5. Curba continua da, pentru

fiecare intreg k, aproximatia normala corespunzatoare] .

In mod direct, teorema 4.5.1. conduce la aproximatii simple pentru suma (4.38.). Daca

0x)npq(si0x)npq( 32

1

32

1

, (4.45.)

atunci (4.44.) ramane neschimbata pentru toti termenii din (4.38.) si, prin urmare,

134

)]x(...)x()x([)npq(]S[P1

2

1

n

. (4.46.)

Partea dreapta este o suma Riemann care aproximeaza o integrala [deoarece

2

1k

2

1k

xNxN

reprezinta aria triunghiului cu baza

2

1

k

2

1

k)npq(

2

1xx)npq(

2

1x

si marginit in partea superioara de tangenta la curba y=(x) in x=xk, iar )x()npq(k

2

1

reprezinta

aria dreptunghiului cu aceeasi baza].

Este interesant, deci, de cercetat cat de buna este aceasta aproximare.

In virtutea teoremei valorii medii exista o valoare tk astfel incat

);t()npq(xNxNk

2

1

1k1k

2

1

kk

2

1

k)npq(

2

1xt)npq(

2

1x

. (4.47.)

Atunci,

2

1k

2

1k

xt2

1

k

2

1

xNxNe)x()npq(2k

2k

.

Fie, acum, un >0 arbitrar. Daca conditiile (4.45.) au loc atunci, pentru orice k si n suficient

de mare, se obtine

2

1

k

2

1

kkkk

2

k

2

k)npq(

4

1x)npq(xtxt

2

1xt

2

1

de unde rezulta

2

1k

2

1k

k

2

1

2

1k

2

1k

xNxNe)x()npq(xNxNe (4.48.)

Sumand dupa k, se gaseste ca raportul dintre membrul drept din (4.46.) si

2

1

2

1xNxN

tinde la 1. S-a obtinut, astfel, o noua varianta a teoremei limita DeMoivre-Laplace.

Teorema 4.5.2. (A doua varianta a teoremei limita DeMoivre-Laplace). Daca si

variaza astfel incat conditiile (4.45.) se realizeaza, atunci

P[ Sn ] N x N x

1

2

1

2

(4.49.)

unde xk=(k-np)(npq)-1/2

.

135

Altfel spus, diferenta relativa dintre cei doi membrii ai expresiei (4.49.) tinde la zero

odata cu x npq

3

1

2( )

si x npq

3

1

2( )

.

In particular, (4.49.) se pastreaza daca si sunt marginiti de valori pentru care x si x

raman intr-un interval fixat. Ne vom referi ulterior la cazul in care si sunt atat de mari incat

conditiile (4.45.) nu sunt indeplinite.

Se foloseste (4.49.), in aplicatii statistice, in mod obisnuit intr-un interval in care |x| si

|x| nu sunt mai mari de 3 sau 4. In aplicatii teoretice, adesea este necesar sa se foloseasca (4.49.)

pentru intervale (,) pentru care atat x cat si x sunt mari. In asemenea cazuri, ambii membrii

din (4.49.) sunt mici si este important sa se stie ca raportul lor este apropiat de 1, iar diferenta lor

tinde la zero.

O forma mai simpla a teoremei limita 4.5.2. se obtine daca, in loc de Sn se introduce

numarul redus de realizari definit prin

2

1

n

n

)npq(

npSS

. (4.50.)

Aceasta se reduce la masurarea abaterilor lui Sn fata de np in unitati de (npq)1/2

.

Cantitatea np se numeste media lui Sn, iar (npq)1/2

, abaterea patratica medie a sa. [Aceasta vor fi

introduse in capitolul 11 ].

Inegalitatea Sn inseamna, acum, x

nS x, in timp ce (4.49.) exprima faptul ca,

pentru x<x , fixati si arbitrari,

2

)npq(xN

2

)npq(xN]xSx[P

2

1

2

1

n. (4.51.)

Dar (npq)-1/2

0 cand n, astfel ca membrul drept tinde la N(x)-N(x). Am ajuns astfel la

urmatoarea varianta mai slaba a relatiei (4.49.).

Corolarul 4.5.1. Pentru fiecare < fixati

aNbNb]SP[a n . (4.52.)

Relatia (4.52.) reprezinta forma clasica a teoremei limita a lui Laplace. Omiterea lui

2

)npq( 2

1

in relatia (4.51.) introduce o eroare care tinde la zero cand n, dar care are, in

schimb, o influenta considerabila cand npq are o valoare potrivita.

Principalul fapt evidentiat de (4.52.) este ca, pentru un n mare, probabilitatea din partea

stanga este in mod practic independenta de p. Aceasta ne permite sa comparam fluctuatiile in

serii diferite de probe Bernoulli simple, uzand de unitatile la care ne-am referit mai inainte.

Observatie. Din punct de vedere istoric, (4.52.) este prima teorema limita in teoria

probabilitatilor. Din punct de vedere modern, ea este numai un caz extrem de special al teoremei

limita centrala. [ Nu insistam aici asupra acestei chestiuni]. In statistica, (4.52.) este folosita ca o

136

aproximatie chiar cand npq este relativ mic, cazuri in care este necesara o estimare a erorii. De

fapt, in multe cazuri, eroarea din (4.44.) este mica in comparatie cu eroarea comisa inlocuind

suma din (4.46.) prin integrala. [Aceasta eroare poate fi evitata prin folosirea formulei Euler-

MacLaurin]. Serge Bernstein a consacrat o serie de articole cercetarii erorii in cazul general si a

discutat modul in care sa se modifice definitia lui xt pentru a imbunatati convergenta in (4.49.).

De asemenea, este important de retinut ca teoremele de aproximare sunt valabile numai

daca numarul n de probe este fixat anterior, independent de rezultatul probelor. Daca la un joc de

noroc un jucator se opreste la un moment care-i este favorabil, ultimul sau castig nu poate fi

apreciat dupa aproximarea normala pentru ca, acum, durata jocului depinde de sansa. Pentru

fiecare n fixat este foarte improbabil ca Sn sa fie mare. Insa, intr-o serie lunga de probe chiar cel

mai improbabil lucru nu poate sa nu se produca, astfel ca intr-un joc continuu este practic sigur

ca

nS are o secventa maxima ca ordin de marime.

Exemplul 4.5.3.

Fie p=1/2, n=200, =95, =105. Aici P[95Sn105] poate sa fie interpretata ca

probabilitatea ca, in 200 de aruncari ale unei monede, numarul de aparitii ale valorii are o abatere

de cel mult 5 fata de 100. Se are h=(50)-1/2

=0.141421... si -x-1/2=x+1/2=(5.5)(npq)-1/2

=0.7778...

Din tabele se obtine 56331.0xNxN2

1

2

1

... Valoarea adevarata (obtinuta, de

asemenea, din tabele) este 0.56325... Eroarea este neinsemnat de mica, dar aceasta numai

datorita faptului ca in intervalul in discutie integrala supraestimeaza suma din (4.46.), in timp ce

aproximarea (4.44.) subestimeaza fiecare termen.

Exemplul 4.5.4.

Fie p=1/10, n=500, =50, =55. Valoarea corecta este P[50Sn55]=0.317573... Cum

(npq)-1/2

=(45)-1/2

=0.1490712... se obtine aproximarea N(5,5(npq)-1/2

)-N(0,5(npq)-1/2

)=0.3235...

Eroarea este de aproape 2%.

Exemplul 4.5.5.

Sa se gaseasca un numar a astfel incat, pentru un n mare, inegalitatea |

nS |>a sa aiba o

probabilitate apropiata de ½. Pentru aceasta este necesar ca N(a)-N(-a)=1/2 sau N(a)=3/4. Din

tabelele care dau repartitia normala se obtine ca a=0.6745 si, deci, cele doua inegalitati

|Sn-np|<0.6745(npq)1/2

si |Sn-np|>0.6745(npq)1/2

sunt aproape egal probabile. In particular, probabilitatea ca, in n aruncari ale unei monede,

numarul de aparitii ale valorii sa fie situat intre limitele 2

1

n337.02

n este aproape ½. In mod

similar, se obtine aceeasi probabilitate ca in n aruncari ale unui zar, numarul de aparitii ale fetei 1

sa fie situat in intervalul 2

1

n251.06

n . Probabilitatea ca Sn sa se gaseasca intre limitele

2

1

)npq(2np este aproape N(2)-N(-2)=0.9545...; iar ca sa se gaseasca intre limitele

2

1

)npq(3np este 0.9973...

137

In final, ne vom referi la cazul cand abaterile sunt mari. In mod frecvent este de dorit ca

numarul redus de realizari

nS (conform 4.50.) sa depaseasca un numar dat x. Deci limita

superioara a intervalului este infinita, ceea ce necesita un rationament special pentru a arata ca

teorema limita inca se aplica.

Teorema 4.5.3. Daca n si t variaza ca o functie de n in asa fel incat x, iar

0)npq(x 2

1

3

, atunci

P[Sn* x] 1-N(x) (4.53.)

Tinand seama de (4.36.) aceasta este echivalenta cu

P[Sn* x]

1

xx ( ) (4.54.)

Demonstratie. Sa alegem intregii si in (4.49.) astfel incat x sa fie intre x si x+1, iar

xx+lnx. Atunci 0)npq(x 2

1

3

si (4.49.) ramane, in continuare, adevarata. Prin urmare,

P[ Sn ] [1-N(x)] - [1-N(x)] .

Dar, din (4.36.) si din faptul ca xx+ln x , rezulta ca 1-N(x) este de un ordin de

marime mai mic decat 1-N(x), in timp ce 1-N(x)1-N(x). Deci

P[ Sn ] 1-N(x) . (4.54.)

Pe de alta parte, din (4.44.) si (4.7.) se obtine

)(1

)(1

),;(][

xpqx

xnpq

n

xpnb

np

nSP n

.

Dar 1/(pq) fiind o constanta, iar

)x(N1)x(x

1

,

urmeaza ca membrul drept tinde la zero mai repede decat 1-N(x), ceea ce inseamna ca ]S[Pn

este de un ordin de marime mai mic decat 1-N(x). Acest rezultat, asociat cu (4.54.), conduce la

concluzia ca )x(N1]S[Pn

ceea ce dovedeste teorema.

138

CAPITOLUL 5

Elemente de teoria selectiei

OBIECTIVE

Notiunile de baza ale statisticii matematice (populatie, selectie, valori tipice(empirice) de

selectie) sunt prezentate impreuna ca exemple de natura practica. Datele statistice vor fi

caracterizate cu ajutorul reprezentarilor grafice (poligonul frecventelor, h istograma).

La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca:

- Caracteristici numerice de selectie

- Functia de repartitie de selectie

- Reprezentari grafice

5.1 Selectie. Repartitie empirica.

Colectivitate (populatie) statistica – o multime de elemente (indivizi) ce au in comun o

proprietate, o trasatura.

Caracteristica unei populatii statistice este proprietatea, trasatura care se studiaza din punct de

vedere statistic la populatia aflata in studiu.

Caracteristica se asimileaza cu o variabila aleatoare numita teoretica si notata X. Legile de

repartitie, valorile tipice ale caracteristicii X se numesc legi de repartitie teoretice respectiv

valorile tipice teoretice.

Selectia (esantion, sondaj) este o colectivitate partiala obtinuta prin extragerea la intamplare din

populatia statistica a unui numar n limitat de indivizi si masurarea lor din punctul de vedere al

caracteristicii studiate. Numarul n reprezinta volumul selectiei.

Selectia repetata – individul extras din populatie si supus masurarii din punct de vedere al

caracteristicii studiate se reintroduce in colectivitate inainte de a se extrage urmatorul.

Selectia nerepetata – cazul contrar selectiei repetate.Daca volumul n al selectiei este foarte mic

in raport cu volumul populatiei aflat in studiu nu se mai fac distinctii intre cele doua tipuri de

selectie.

Intr-o selectie realizata, valorile :

observate (masurate) pe indivizii selectiei pot fi considerate ca valori a n variabile aleatoare

independente :

avand aceiasi repartitie teoretica cu cea a caracteristicii X studiate. Variabilele :

se numesc variabile de selectie.

n21 x,...,x,x

n21 X,...,X,X

n21 X,...,X,X

139

Frecventa absoluta vi a valorii xi , obtinuta intr-o selectie realizata de volum n, reprezinta

numarul de aparitie a valorii x i in cadrul selectiei realizate.

Frecventa relativa fi a valorii xi, obtinuta intr-o selectie realizata de volum n, reprezinta raportul

dintre frecventa absoluta vi corespunzatoare valorii x i si volumul n al selectiei,

Frecventa absoluta respectiv relativa cumulata a valorii xi obtinuta intr-o selectie de volum n

reprezinta suma frecventelor absolute, respectiv relative corespunzatoare

valorilor

deci

respectiv

Descrierea si sistematizarea datelor de selectie se face prin asa zisa repartitie a selectiei numita

repartitie empirica a variabilei de selectie sau a variabilei empirice

notata cu

Se disting urmatoarele modalitati de definire a repartitiei empirice :

i)

daca volumul n al selectiei nu este prea mare si toate valorile xi ale variabilei de selectie sunt

distincte, fiecare avand aceiasi frecventa relativa

ii)

cu

nf i

i

ij xx

ij xxj;

jυ

ij xxj;

jf

*X

n

1

nx...

n

1

2x

n

1

1x*X

n21 fff

nx...

2x1x*X

nf i

i

k1,i

k

1

1fi

i nυk

1i

i

k1,ii

i1i*

υ

]a,[aX

140

iii)

in cazul in care valorile rezultate in urma unei selectii realizate,sunt situate intr-un interval [a,b]

al axei reale.

In acest caz se considera o impartire a intervalului [a,b] in r subintervale de lungime egala cu h,

iar frecventa absoluta reprezinta in acest caz numarul valorilor xi ale variabilelor de selectie ce

cad in

O reprezentare mai putin exacta a repartitiei empirice

in acest caz, poate fi si :

unde :

sau

Functia empirica de repartitie

se defineste pentru fiecare

ca raportul

dintre numarul

)a[a, 1 )a,[a 21 b),[a 1-k)a,[a 32

hab...aaaa 1k321

)a,[a i1i

*X

k1,ii

i*

υ

cX

2

1 ii

i

aac

k1,ii

i*

υ

cX

nf i

i

(x)F*

n

x

n

(x)νn

(x)νn

141

de valori xi din selectie mai mici decat x si volumul n al selectiei. Functia empirica de repartitie

reprezinta suma frecventelor relative a valorilor xi care cad la stanga lui x, adica frecventa

relativa a evenimentului

-pentru

avem

-pentru

cu

avem

-pentru

avem

xX*

n

(x)ν(x)F n*

n

n

1

nx...

n

1

2x

n

1

1x*X

n

ii

i

n

xx

nixxxn

i

xx

F

,1

,2,,1

,0

1

*

n21 fff

nx...

2x1x*X

nf i

i

k1,i nυ

k

1i

i

k

1

1fi

i

k1,i

*X

i

i1-i

υ

]a,[a

n

ii

i

j

j

i

n

xx

kixxxf

xx

F

,1

,2,,

,0

1

1

1

*

142

-pentru

avem

Reprezentarea grafica

1. Reprezentarea in batoane

Se masoara pe axa absciselor valorile xi ale variabilelor de selectie, iar in dreptul fiecarei v alori xi

se ridica cate o perpendiculara de lungime egala cu fi (respectiv vi) corespunzatoare valorii xi.

2. Poligonul frecventelor absolute (respectiv relative)

Pe axa absciselor se masoara valorile xi , iar pe axa ordonatelor valorile frecventelor absolute vi

(respectiv relative fi). Unind punctele (xi,vi ) (respectiv (xi,vi )) se obtine poligonul frecventelor.

3. Histograma

Se utilizeaza in cazul in care valorile de selectie obtinute sunt situate intr-un interval [a,b], cand

se impune gruparea valorilor xi obtinute pe subintervale (clase)

de lungimi egale.

Pe axa absciselor se considera subintervale

de lungimi egale cu h. Pe fiecare subinterval

considerat ca baza, se ridica un dreptunghi a carui latura (inaltime) este egala cu

respectiv

k

iiiii

ii

j

jn

abx

aacuhkiaxafh

axf

aax

F

,1

,,2,,

,0

11

11

1

0

*

bax

kiaxaf

ax

F

k

ii

i

j

jn

,1

,2,,

,0

1

1

1

*

)a,[a i1-i

]a,(a i1-i

]a,(a i1-i

h

υ i

k1,iif

c*X

2

aac i1i

i

nf i

i

143

In acest fel, aria unui dreptunghi va fi vi respectiv fi .

Pentru o selectie de volum mare, conturul superior al histogramei, ne ofera o imagine suficient

de exacta a graficului densitatii de repartitie teoretice

a variabilei aleatoare (caracteristicii) teoretice X.

5.2 Valori tipice (empirice) de selectie.

Momentul initial (empiric) de selectie de ordin r ,(corespunzator cu repartitia empirica a lui

(1)

(2)

(3)

Media (empirica) de selectie

(4)

(5)

(6)

h

f i

ρ(x)

*X

n

1i

r

i

*

r Xn

1m

k

1i

r

ii

k

1i

r

ii

*

r XfXυn

1m

k

1i

r

ii

k

1i

r

ii

*

r cfcυn

1m

n

1i

i

*

1

* Xn

1Xmm

n

1i

ii

*

1

* XfXmm

n

1i

ii

*

1

* cfn

1Xmm

144

Mediana

Este valoarea caracteristicii care imparte volumul n al selectiei in doua parti egale si se noteaza

cu

Daca n=2k+1 atunci

iar daca n=2k atunci

sau x k+1

sau

Modul sau moda

Este valoarea caracteristicii pentru care frecventa corespunzatoare este maxima si se noteaza cu

Momentul centrat (empiric) de selectie de ordinul r,

(corespunzator cu repartitia empirica a lui X*)

(7)

(8)

(9)

Dispersia de selectie

(10)

*

em

1k

*

e xm

k

*

e xm

2

xx k1k

*

0m

*Νr

n

1i

r

i

r

* )X(Xn

1μ

n

1i

r

ii

n

1i

r

ii

r

* )X(Xf)X(Xυn

1μ

n

1i

r

ii

n

1i

r

ii

r

* )X(cf)X(cυn

1μ

145

(11)

(12)

Exista si alte moduri de a defini dispersia de selectie si anume

(13)

(14)

(15)

daca media teoretica m=M(X) este cunoscuta.

(16)

pentru selectii de volum n<=50.

Raportul

se numeste corectia lui Bessel si avem

n

1i

2

i

2*

2 )X(Xn

1Sμ

n

1i

2

ii

2*

2 )X(XfSμ

n

1i

2

ii

2*

2 )X(cfSμ

n

1i

2

i

2

* m)(Xn

1S

k

1i

2

ii

2

* m)(XfS

k

1i

2

ii

2

* m)(cfS

n

1i

2

i

2 )X(X1-n

1S

1-n

n

146

din relatiile (10) si (16).

Proprietati:

Pentru valorile empirice (1),(4),(10) avem urmatoarele propri etati:

Asimetria

Se noteaza A*

cu si se defineste prin:

Excesul:

Se noteaza cu E* si are formula:

Excesul masoara gradul de turtire al poligonului frecventelor relative.

22 S1-n

ns

rr m)M(m

n

mm)(mD

2

r2r*

r

2

m)XM(

n

σ(X)D

n

1)X(D

222

22 σn

1-n)M(S

n

3μμ

n

)2μ2(μ-

n

μμ)(SD

2

24

2

2

241

2

2422

m)X(S m)X()X(Xn

1S 2

*

n

1i

22

i

2

n

1i

3

i3

*

3* )X(XnS

μA

3)X(X1

3S

μE

n

1i

4

i44

*

4* nS

147

5.3 Aplicatii.

1. Intr-un studiu statistic al rezultatelor obtinute la examenul de matematica de studentii

anului I ai unei Facultati de Stiinte Economice, s-a ales o grupa formata din 35 de studenti.

Mentionand ca pentru cei absenti de la examen, s-a convenit nota 0, situatia notelor

obtinute la examenul de matematica este prezentata in tabelul de mai jos:

Nota(xi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr.

Studenti(vi)

3 0 0 2 5 3 5 5 6 3 3

Sa se determine:

a) frecventa relativa a fiecarei note;

b) repartitia variabilei empirice;

c) functia empirica de repartitie si graficul sau;

d) poligonul frecventelor relative;

e) media si dispersia de selectie.

Solutie :

a)

n=35

b)

nf i

i

0,10i

35

3

n

νf 0

0

0n

νf 1

1 0n

νf 2

2

35

5

n

νf 6

6 35

5

n

νf 4

4

35

2

n

νf 3

3

35

3

n

νf 5

5

35

6

n

νf 8

8

35

5

n

νf 7

7

35

3

n

νf 9

9 35

3

n

νf 10

10

1,10ii

i*

f

xX

35

3

35

3

35

6

35

5

35

5

35

3

35

5

35

200

35

3109876543210

X *

148

c)

0 10

k

ii

i

j

jn

xx

kixxxf

xx

F

,1

,2,,

,0

1

1

1

1

*

10,1

109,35/32

98,35/29

87,35/23

76,35/18

65,35/13

54,35/10

43,35/5

32,35/3

21,35/3

10,35/3

0,0

*

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Fn

ix

*

n F

149

0,20

0,00 11

d)

2. Din productia de becuri a unei intreprinderi, s -au extras la intamplare 200 de becuri, care au

fost testate pentru a afla numarul de ore de functionare. Datele obtinute au fost grupate pe

intervale de timp de cate 20 de ore si sunt date in tabelul urmator :

Timp de

functionare

( ti-1, ti)

1340

1360

1360

1380

1380

1400

1400

1420

1420

1440

1440

1460

1460

1480

1480

1500

1500

1520

1520

1540

Nr de

becuri ( vi)

3 17 30 35 50 24 18 15 7 1

Sa se determine:

a) Repartitia variabilei empirice ;

b) Functia empirica de repartitie;

c) Histograma si poligonul frecventelor relative.

Solutie:

a) Datele de selectie fiind grupate pe intervala de lungime 20 de ore repartitia variabilei de

selectie X* o vom da sub forma

03,635

211)31039685756355423(

35

1xfxν

n

1X

10

0i

ii

10

0i

ii

])03,610(3)03,69(3)03,68(6)03,67(5)03,66(5

)03,65(3)03,64(5)03,63(2)03,60(3[35

1)(xν

n

1

22222

2222n

0i

ii

2

XS

150

unde

este mijlocul intervalului

b) Pentru repartitia data anterior, functia de repartitie este:

Graficul lui

1,10ii

i*

f

xX

2

ttc i1i

i

]t,[t i1i

10

i1i

1i

1j

j

1

*

n

cx1,

2,10i,cxc,f

cx0,

F

1530,1

15301510,200/1999

15101490,200/192

14901470,200/177

14701450,200/159

14501430,200/135

14301410,200/85

14101390,200/50

13901370,200/20

13701350,200/3

1350,0

F*

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

)(F*

n x

200

1

200

7

200

15

200

18

200

24

200

50

200

35

200

30

200

17

200

31530151014901470145014301410139013701350

X *

151

este o functie in scara:

O reprezentare mai exacta a lui 1350 1510

se poate obtine considerand repartitia

caz in care avem:

)(F*

n x

i

ii*

ν

a,[aX

b

a

x1,

2,10i,axa,h

a-xff

x0,

F i1i1-i

i

1i

1j

j

*

n

1540,1

15401520),20/)1520(()200/1()200/199(

15201500),20/)1500(()200/7()200/192(

15001480),20/)1480(()200/15()200/177(

14801460),20/)1460(()200/18()200/159(

14601440),20/)1440(()200/24()200/135(

14401420),20/)1420(()200/50()200/85(

14201400),20/)1400(()200/35()200/50(

14001380),20/)1380(()200/30()200/20(

13801360),20/)1360(()200/17()200/3(

13601340),20/)1340(()200/3(

1340,0

F*

n

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

*

n F

ix

152

Graficul acestei functii de repartitie se obtine din graficul frecventelor relative cumulate printr-o

translatie.

c)

0,30

0,00

1340 1520

Unind mijloacele laturilor de sus dreptunghiurilor se obtine poligonul frecventelor relative fata

de repartitia

de la punctul a).

1,10ii

i*

f

cX

153

CAPITOLUL 6

Elemente de teoria estimatiei

OBIECTIVE

Estimarea parametrilor teoretici ca apar in diverse tipuri de repartitii statistice se face prin

trei metode fundamentale: a momentelor, a verosimilitatii maxime, a intervalelor de incredere.

Aceste estimari vor fi facute pe baza datelor de selectie obtinute in urma studiului

caracteristicilor populatiei date.

La sfarsitul acestui capitol, studentii trebuie sa-si insuseasca:

- Tipuri de estimatii ale parametrilor

- Metode de estimare ale parametrilor

6.1 Estimatii.Tipuri de estimatii.

Consideram o populatie de volum mare si o caracteristica asociata populatiei aflatain studiu

static.Valoriile caracteristicii X sunt repartizate dupa legea unei variabile aleatoare teoreticii

necunoscute si pe care incercam sa la cunoastem prin folosirea unei variabile de

selectie(empirice ) X*.

In multele situatii legea de repartie teoretica se intuieste cu ajutorul reprezantariilor grafice

atasate variabile de selectie X*

si depinde de anumiti parametrii a caror valori sunt necunoscute.

Operatia prin care se evalueaza parametrii necunoscutii ai legii de repartee teoretice se

numeste estimarea parametriilor si ea se face pe baza unei selectii de volum n efectuata din

populatie pe care este considerate variabila X cu legea specifcara care contine parametrul ce

trebuie estimat.

Statistica definita univoc de variabilele de selectie a carei valoare ptr o selectie efectuata

reprezinta o aproximatie a valorii parametrului ø din legea de repartitie teoretica

a populatiei generale ,se numeste estimatia punctuala a parametrului ø.

Tipuri de estimatii

Estimatie nedeplasata

)X,...,X,(XT n21n

)X,...,X,(XTθ n21n

)θF(x,

)X,...,X,(XTθ n21n

154

este o estimatie nedeplasata a parametrului ø din repartitia teoretica daca :

1)

2)

Estimatia deplasata

1)

2)

3)

(deplasarea estimatiei).

Daca Bn>0,atunci

θ este pozitiv deplasata fata de θ

Daca Bn <0,atunci

θ este negativ deplasata fata de θ

Estimatia absoluta corecta

1)

2)

(nedeplasata)

3)

Estimatie corecta

1)

))X,...,X,(XM(T)Tθ)M(( n21nn

)θ)M((

θ)θM(

θ)θM(Bn

)θ(D),θ)M(( 2

θ)θM(

n,))X,...,X,(X(TD)θ(D n21n

22

)θ(D),θ)M(( 2

155

2)

3)

Estimatie consistenta

Avem

adica

converge in probabilitatea catre θ .

Propozitia 1: Daca statistica

este o estimatie a parametrului θ nedeplasata sau deplasata cu

si daca

atunci estimatia θ este o estimatie consistenta.

Teorema 1 (Rao-Cramer)

Daca

este o estimatie nedeplasata a parametrului θ din repartitia teoretica a variabilei X atunci,

unde

se numeste cantitatea de informatie pe o observatie.

n0,θ) (αcu ) θ (αθ))X,...,X,(XM(T)θM( nnn21n

n,0)θ(D 2

0)ε(

1ε)θ)X,...,X,(XTP(lim n21nn

)X,...,X,(XTθ n21n

)X,...,X,(XTθ n21n

0)θ-)θM((limBlimn

nn

0)θ(Dlim 2

n

)X,...,X,(XTθ n21n

)I(n

1)(TD n

2

2

22θ)(x, lnρ

Mθ)(x, lnρ

M) θ I(

156

Conditiile de regularitate necesare aplicarii inegalitatii lui Rao-Cramer sunt:

1)multimea valorilor lui θ formeaza un interval ( a,b ) al axei reale ;

2)

3)

4)

o estimatie nedeplasata a lui θ avem :

5)

Egalitatea in inegalitatea Rao-Cramer are loc in cazul in care θ)(x, ρ verifica ecuatia

Estimatia eficienta sau de minima dispersie este o estimatie nedeplasata

a lui θ pentru care

si

Eficienta estimatiei

a lui θ este raportul,

b)(a,)θ(,θ)ρ(x,θ

b)(a,θ,θ

dFdF

θ

θ

θ

θ)(

1dFθθ

dFθθ

θθ

b)(a,)θ(,θ)(x, lnρθ

M

2

N(x)) θ A(θ)-(x) L )(Aθ)(x, lnρ /

)X,...,X,(XTθ n21

**

n

) θ ( In

1)θ(D

*

2

n

i?1

i

* )L(xn

1θ

)X,...,X,(XTθ n21n

157

unde

este estimatia eficienta a lui θ si avem

Daca

atunci estimatia

a lui θ se numeste asimptotic eficienta.

Proprietate

Orice estimatie eficienta este si consistenta.

Estimatia suficienta

este o estimatie suficienta a parametrului θ daca

1)

(

θ este estimatia corecta)

2)

Propozitia 2.

(1) Media de selectie

)(TD

I(θ(n

1

)θ(D

)(θD)(Teθ)(e

m

22

*2

nnn

*θ

1)(Te0 nn

1)(Te nn n

)X,...,X,(XTθ n21n

)X,...,X,(XTθ n21n

n0,) θ (α), θ (αθ))X,...,X,(XTM()θM( nnn21n

n0,) θ (α,) θ I(n

)) θ (α(1)(TD)θ(D n

2/

mn

22

158

obtinuta printr-o selectie de volum n dintr-o populatie cu caracteristica X este o estimatie

nedeplasata a mediei teoretice m=M(X) a caracteristicii.

(2) Dispersia de selectie

obtinuta printr-o selectie de volum n,dintr-o populatie cu caracteristica X este o estimatie

deplasata a dispersiei teoretice

(3) Dispersia de selectie

obtinuta printr-o selectie de volum n, dintr-o populatie cu caracteristica X este o estimati

nedeplasata a dispersiei teoretice

(4) Daca media teoretica m=M(X) a caracteristicii X este cunoscuta atunci dispersia de selectie

obtinuta printr-o selectie de volum n,dintr-o populatie cu caracteristica X este o estimatie

nedeplasata a dispersiei teoretice

6.2 Metode de determinare a estimatiilor.

Metoda momentelor

Consideram ca pentru caracteristica X aflata sub cercetare statistica, functia de frecventa (in

cazul discret) respectiv densitatea de repartitie (in cazul continuu) este

n

1i

ixn

1x

n

1i

2

i

2 )x - x(n

1s

(X)Dσ 22

n

1i

2

i

2 )x - x(n

1s

n

σ-B,

n

σ-σ)s ( M

2

n

22 2

(X)Dσ 22

2 2 σ)s ( M

n

1i

2

i

2

* m)- x(n

1s

2σ 22

* σ)s ( M

159

si depinde de s parametrii

ce trebuiesc estimati.

Presupunand ca exista si sunt finite momentele initiale pana la ordinul s ale variabilei teoretice

X, metoda momentelor consta in urmatoarele:

(1)Se calculeaza primele s momente de selectie:

sau

sau

(2)Se considera sistemul de s ecuatii:

(3)Daca ecuatiile sistemului sunt independente functional, atunci rezolvand sistemul in raport cu

se obtin solutiile:

ce constituie estimatii ale parametrilor

)θ, ... θ , θ ; X ( f s21

s21 θ, ... θ , θ

n

1i

r

i

*

r xn

1m

k

1i

r

i

k

1i

r

i i

*

r xfxνn

1m

k

1i

r

i i

k

1i

r

i i

*

r s1,r,cfcfn

1m

s1,r),x,...,x,(xmm)θ,...,θ,(θm)M(xm n21

*

r

*

rs21r

r

r

s21 θ, ... , θ , θ

s21 θ, ... , θ , θ

sr ,1),X,...,X,(X))X,...,X,(Xm),...,X,...,X,(X(m n21rn21

*

sn21

*

1rr

160

Metoda verosimilitatii maxime

Functia de verosimilitate

unde

reprezinta densitatea de probabilitate in cazul continuu sau functia de frecventa in cazul discret,

pentru caracteristica X asociata unei populatii aflata in studiu statistic.

Functia de verosimilitate reprezinta densitatea de repartitie respectiv functia de frecventa pentru

vectorul aleator

corespunzator unei selectii de volum n.

Valoarea

a parametrului θ care se obtine se numeste estimatie de verosimilitate maxima a

parametrului θ din legea teoretica.

Valoarea lui

depinde de valorile variabilelor de selectie

deci

Maximul functiei

are loc pentru aceiasi valoare a lui θ care asigura maximul functiei

Deci estimatia de verosimilitate maxima se obtine ca solutie a ecuatiei:

Ecuatia de mai sus se numeste ecuatie de verosimilitate maxima.

Etape :

(1) Se construieste functia de verosimilitate:

θ);(xσθ);x,...,x,(x P i

n

1i

n21

θ);(x

n21 X, ... , X , X

*θ

n21 X, ... , X , X

)X , ... , X , X ( θθ n21

**

θ) ; x, ... , x, x( P n21

θ) ; x, ... , x, x( Pln n21

0θ

θ) ; x( Pln

θ

θ) ; x, ... , x, x( Pln n

1i

1n21

*θ

161

(2)Se calculeaza:

(3) Se considera ecuatia de verosimilitate maxima

(4)Se rezolva ecuatia de la punctul (3) in raport cu θ .

Solutia

obtinuta este o estimatie de verosimilitate maxima.

(5)Se verifica daca

(conditia de maxim).

Teorema2.

Orice estimatie eficienta verifica ecuatia verosimilitatii maxime.

Daca densitatea de probabilitate sau functia de frecventa

depinde de s parametrii, metoda verosimilitatii consta in urmatoarele:

(1)Se construieste functia de verosimilitate:

(2)Se logaritmeaza functia de verosimilitate:

(3)Se considera sistemul de s ecuatii:

(4)Se rezolva sistemul de la punctul (3) si se obtin solutiile

care sunt estimatii asimptotic eficiente ale parametrilor

n

1i

iin21 θ);(xρθ) ; x, ... , x, x( P

n

1i

in21 θ);(xρln θ) ; x, ... , x, x( Pln

(*)0,θ

θ);(xρln

θ

θ) ; x, ... , x, x( Pln n

1i

in21

)X,...,X,(Xθθ n21

**

0)θ;X,...,X,(XPd *

n21

2

)θ,...,θ,θ(x,σ s11

n

1i

s21is21n21 )θ,...,θ,θ;(xρ)θ,...,θ,θ ; x, ... , x, x( P

n

i 1

s21is21n21 )θ,...,θ,θ;(xρln)θ,...,θ,θ ; x, ... , x, x( Pln

n

1i j

s21i

j

s21n21 s(**)j0,1θ

)θ,...,θ,θ;(xlnρ

θ

)θ,...,θ,θ ; x, ... , x, x( Pln

*

s

*

2

*

1 θ , ... , θ , θ

162

Teorema3.

(a) Ecuatia de verosimilitate maxima ( * ) are o solutie

care pentru valori mai mari ale lui n, este repartizata normal cu media m = θ si dispersia

(b) Sistemul de ecuatii (**) are o solutie

care pentru valori mari ale lui n este repartizata normal cu media

si o matrice de covarianta:

Matricea de covarianta a unui vector aleator se defineste astfel:

Metoda intervalelor de incredere

Metoda intervalelor de incredere de estimare a parametrului dintr-o repartitie teoretica a

caracteristicii X, da posibilitatea de a indica un interval despre care se poate afirma cu o

probabilitate cunoscuta ca acopera valoarea parametrului estimat.

Sa presupunem ca efectuand o selectie

s21 θ , ... , θ , θ

2

2

θ

θ)ρ(x,ln Mn

1

I(θ(n

1σ

)X,...,X,(Xθθ n21

**

)θ,...,θ,(θ *

s

*

2

*

1

)θ,...,θ,(θ)m,...,m,(m s21s21

sji,,1)θθ

lnρM(n

1

ji

2

...

)(XD).....X,cov()....,cov(X

................................................................

)X,cov(.... )(XD)....,cov(X

)X,cov()....,cov(X ).......(XD

c

n

2

22n

n22

2

21

n1211

2

nXX

XX

XX

163

de volum n din populatia a carei lege de repartitie teoretica este

, exista doua functii de selectie

cu

astfel incat probabilitatea inegalitatii

sa nu depinda de , adica

, unde nu depinde de .

Pentru o selectie realizata si au valori bine determinate iar pentru foarte apropiat de 1

intervalul ( , ) acopera parametrul necunoscut .

Cu cat intervalul ( , ) este mai mic si probabilitatea este mai aproape de 1 cu atat avem o

indicatie mai precisa cu privire la valoarea constanta a lui .

Daca si sunt asfel incat pentru un dat cu 0< < 1 sa avem:

Se numeste interval de incredere pentru parametrul .

Intervalul de incredere este un interval aleator ale carui limite depind de datele selectiei, in timp

ce parametrul din repartitia teoretica

este o marime constanta dar necunoscuta.

Valoarea = 1- se numeste coeficient de incredere, iar marimea

X,...,X,X n21

θ)(x, ρ

)X,...,X,X ( n21 )X,...,X,X ( n21

))X,...,X,(X )X,...,X,(X ( n21n21P

1))X,...,X,(X )X,...,X,(X ( n21n21P

θ)(x, ρ

164

se numeste lungimea intervalului de incredere. Valoarea = 1-α se numeste prag de

semnificatie.

Un interval de incredere de lungime mica construit cu un coeficient de incredere mare,

estimeaza cu precizie valoarea necunoscuta a parametrului .

6.3 Aplicatii.

1. Repartitia de selectie obtinuta ca rezultat a cantaririi a 800 de bile de otel este data in tabele

de mai jos:

(Xk-

1,

xk)

20

20,5

20,5

21

21

21,5

21,5

22

22

22,5

22,5

23

23

23,5

23,5

24

24

24,5

24,5

25

υk 91 76 75 74 92 83 79 73 80 77

Presupunand ca variabila teoretica X ce reprezinta greutatea in grame a bilelor de otel cantarite

are o repartitie uniforma cu densitatea:

sa se estimeze prin metoda momentelor parametrii 21 θ,θ , pe baza rezultatelor celor 800 de

cantariri.

Solutie:

Estimatiile

12

21θθ

1)θ,θ x;ρ(

2121 θθ)],θ,θ [x

2

θθ mM(x) 21

1

3

θθθθ )M(x

2

121

2

12

21 θ,θ

165

se obtin rezolvand sistemul:

Luand dispersia nedeplasata

avem

*

2

2

221

2

1

*

121

m3

θθθθ

m2

θθ x

03mx4θx2θ

3mθ)θ-x(2)θ-x(2θ-x2θ

*

2

2

2

2

2

*

2

2

22

2

221

)mm(3xm3x4-xxθ *

2

*

1

*

2

221,2

2

n

1i

2

i

2 )x(x1n

1S

n

1)(nsmm

22*

1

*

2

n

1)3(nsxθ1,2

2

n

1)3(nsxθ1,2

1

166

Avem

Din datele problemei prezentate in tabel, rezulta

Iar s=1,44.

Obtinem astfel

iar legea de repartitie va fi

2. Sa se estimeze folosind metoda verosimilitatii maxime, parametrii m si ai repartitiei

normale pentru o selectie oarecare de volum n, stiind ca:

Solutie:

Functia de verosimilitate este:

Logaritmam:

n

1)3(nsxθ1

n

1)3(nsxθ2

0,2

1ρ(x) 96)(19,98;24,x

47,22x

98,191

96,242

0σ,,e2πσ

1σ)m,ρ(x;

2

2m)(x

2σ

1

m

n

1i

2i2

m)(x2σ

1

n

2

n21 e)2π(σ

1)σm,;,x,...,x,P(x

n

1i

2

i2

22

n21 m)(x2σ

1)2ln(

2σln

2)σm,;,x,...,x,P(xln

nn

2σ

167

Sistemul ecuatiilor de verosimilitate va fi:

Rezolvand sistemul in raport cu m si

obtinem:

Avem

este o estimatie corecta dar nu absolut corecta, caci

cu

n

1ii422

n

1ii2

0m)(x2

11

2

n

σ

Pln

0m)(xσ

1

m

Pln

n

1ii xx

n

1m

n

1i

n

1i

22

i

2

i

2

)x(xn

1)(x

n

1sm

mmnn

1)(x

n

1M()mM(

n

1ii

2n

1i

22

i

n

1i

2

i

2 σn

1n)M(s))x-(x

n

1M()m-(x

n

1M()σM(

2

n

σσ)σM(

22

2

n0,n

σ)σ(α

2

n

2σ

168

3. Se cunosc rezultatele

a n=22 masuratori ale unui unghi oarecare in grade:3,1; 3,3; 2,9; 3,0; 3,1; 3,2; 2,8; 2,7; 3,1; 3,2;

2,9; 3,0; 2,9; 3,1; 2,8; 2,9; 3,2; 3,3; 2,9; 3,1; 3,2; 3,0.

a).Presupunand ca rezultatele masuratorilor urmeaza o lege normala, sa se determine un interval

de incredere 98%,(1-α=0,98),pentru media m a populatiei.

b). Sa se determine intervalul de incredere pentru dispersia

Solutie

a).

Din tabela corespunzatoare functiei de repartitie a repartitiei Student cu n-1=21 grade de libertate

deducem conform cu

Intervalul de incredere va fi:

Deci m Є (2,9838 ;4,0798) cu o probabilitate de 0,98.

2221 ,...,, XXX

22

1

0318,322

1

i

ixx

22

1

22

1

222 0303,0)(21

1)(

1

1

i i

ii xxxxn

s

831,221;99,01;2/1 tt n

9838,247,0

174,0831,20318,3

22

0303,0831,20318,3

2221;99,0

s

tx

0798,447,0

174,0831,20318,3

22

0303,0831,20318,3

2221;99,0

s

tx

2σ

169

b). Din tabela corespunzatoare a repartitiei 2χ (anexa 4) cu n-1=21 grade de libertate si in baza

intervalului de incredere avem:

Deci

897,8χχ 2

0,99;21

2

1-n/2;-1

932,38χχ 2

0,01;21

2

1-n/2;

)897,8

0303,021;

932,38

0303,021(2

)07151,0;01634,0(2

170

ANEXA 1

REPARTITIA NORMALA

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595

0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567

0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,08095 0,09483

0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307

0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003

0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540

0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891

0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035

0,8 0,28814 0,29103 0,29673 0,29673 0,29955

0,9 0,31594 0,31859 0,32381 0,32381 0,32639

1,0 0,34134 0,34357 0,33614 0,34849 0,35083

1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286

1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251

1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988

1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507

1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822

1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950

1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907

1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712

1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381

2,0 0,47725 0,47784 0,47831 0,47882 0,47932

2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382

2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745

2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036

2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266

2,5 0,49379 0,49306 0,49413 0,49430 0,49446

2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585

2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693

171

ANEXA 2

FUNCTIA DE REPARTITIE STUDENT CU N GRADE DE LIBERTATE

F n 0,70 0,80 0,90 0,95 0,99 0,999

1 1,963 3,074 6,314 12,706 63,657 636,619

2 1,380 1,886 2,920 4,303 9,925 31,598

3 1,250 1,638 2,359 3,182 5,841 12,941

4 1,190 1,533 2,132 2,776 4,604 8,610

5 1,156 1,476 2,015 2,571 4,032 6,859

6 1,134 1,440 1,943 2,447 3,707 5,959

7 1,119 1,415 1,895 2,365 3,499 5,405

8 1,108 1,397 1,860 2,306 3,355 5,041

9 1,100 1,383 1,833 2,262 3,250 4,781

10 1,093 1,372 1,812 2,228 3,169 4,587

11 1,088 1,363 1,796 2,201 3,106 4,437

12 1,083 1,356 1,782 2,179 3,055 4,318

13 1,079 1,350 1,771 2,160 3,012 4,221

14 1,070 1,345 1,761 2,145 2,977 4,140

15 1,074 1,341 1,753 2,131 2,947 4,073

16 1,071 1,337 1,746 2,120 2,921 4,015

17 1,069 1,333 1,740 2,110 2,898 3,965

18 1,067 1,330 1,734 2,101 2,978 3,992

19 1,066 1,328 1,729 2,093 2,861 3,883

20 1,064 1,325 1,725 2,086 2,845 3,850

21 1,063 1,323 1,721 2,080 2,831 3,819

22 1,061 1,321 1,717 2,074 2,819 3,792

23 1,060 1,319 1,714 2,069 2,807 3,767

24 1,059 1,318 1,711 2,064 2,797 3,745

25 1,058 1,316 1,708 2,060 2,787 3,725

26 1,058 1,315 1,706 2,056 2,779 3,707

27 1,057 1,314 1,703 2,052 2,771 3,690

28 1,056 1,313 1,701 2,048 2,763 3,674

29 1,055 1,311 1,699 2,045 2,756 3,659

30 1,055 1,310 1,697 2,042 2,750 3,646

40 1,050 1,303 1,684 2,021 2,704 3,551

60 1,046 1,296 1,617 2,000 2,660 3,460

120 1,041 1,289 1,658 1,980 2,617 3,373

1,046 1,282 1,645 1,960 2,576 3,291

172

ANEXA 3

REPARTITIA HI-PATRAT

n/α 0,990 0,975 0,950 0,90

0

0,10

0

0,05

0

0,025 0,010 0,001

1 0,0316 0,0398 0,023

9

0,01

58

2,71 3,84 5,02 6,63 10,83

2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,60 5,99 7,38 9,21 13,82

3 0,12 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,24 16,27

4 0,30 0,43 0,71 1,06 7,78 9,49 11,1 13,28 18,46

5 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,0

7

12,8 15,09 20,5

6 0,87 1,24 1,64 2,20 10,6

4

12,5

9

14,0 16,81 22,5

7 1,24 1,69 2,17 2,83 12,0

2

14,0

7

16,0 18,47 24,3

8 1,65 2,18 2,73 3,49 13,3

6

15,5

1

17,5 20,09 26,1

9 2,09 2,70 3,33 4,17 14,6

8

16,9

2

19,0 21,66 27,9

10 2,56 3,25 3,94 4,86 15,9

9

18,3

1

20,5 23,21 29,6

11 3,05 3,82 4,57 5,58 17,2

7

19,6

7

21,9 24,72 31,3

12 3,57 4,40 5,23 6,30 18,5

5

21,0

3

23,3 26,22 32,9

13 4,11 5,01 5,89 7,04 19,8

1

22,3

6

24,7 27,69 34,6

14 4,66 5,63 6,57 7,79 21,0

6

23,6

8

26,1 29,14 36,1

15 5,23 6,26 7,26 8,55 22,3

1

25,0

0

27,5 30,58 37,7

16 5,81 6,81 7,96 9,31 23,5

4

26,3

0

28,8 32,00 39,3

17 6,41 7,56 8,67 10,0

8

24,7

7

27,5

9

30,2 33,41 40,8

18 7,01 8,23 9,39 10,8

6

25,9

9

28,8

7

31,3 34,40 42,3

173

19 7,63 8,91 10,1 11,6

5

27,2

0

30,1

4

32,9 36,19 43,8

20 8,26 9,59 10,9 12,4

4

28,4

1

31,4

1

34,2 37,57 54,3

21 8,90 10,3 11,6 13,2

4

29,6

1

32,6

7

35,5 38,93 468

22 9,54 11,0 12,3 14,0

4

30,8

1

33,9

2

36,8 40,29 48,3

23 10,2 11,7 13,1 14,8

5

32,0

1

35,1

7

38,1 41,64 49,7

24 10,9 12,4 13,8 15,6

6

33,2

0

36,4

1

39,4 42,98 51,2

25 11,5 13,1 14,6 16,4

7

34,3

8

37,6

5

40,6 44,31 52,6

26 12,2 13,8 15,4 17,2

9

35,5

6

38,8

8

41,9 45,64 54,1

27 12,9 14,6 16,2 18,1

1

36,7

4

40,1

1

43,2 46,96 55,5

28 13,6 14,3 16,9 18,9

4

37,9

2

41,3

4

44,5 48,28 56,9

29 14,3 16,0 17,7 19,7

7

39,0

9

42,5

6

45,7 49,59 58,3

30 15,0 16,8 18,5 20,6

0

40,2

6

43,7

7

47,0 50,89 59,7

174

Bibliografie

1. CHUNG, K.L., Elementary Probability Theory with Stochastic Processes Springer-Verlag,

Berlin, 1974.

2. CIUCU, G., TUDOR, C., Probabilitati si Procese Stochastice, Vol. I, II, Ed. Academiei

Romane, Bucuresti, 1979.

3. CUCULESCU, I., Teoria Probabilitatilor, Ed. All, 1998.

4. FELLER, W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. I, John

Wiley&Sons, Inc., New York, London, 1960.

5. FELLER, W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol II, John

Wiley&Sons, Inc., New-York, London, 1966.

6. GIHMAN, I.I., SKOROHOD, A.V., The Theory of Stochastic Processes I, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

7. GIHMAN , I.I., SKOROHOD, A.V., The Theory of Stochastic Processes II, Springer-Verlag, Berlin, 1975.

8. GNEDENKO, B.V., The Theory of Probability, Mir Publishers, Moscow, 1976.

9. HALMOS, P.P., Measure Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

10. HÉRAULT, D., Éléments de théorie moderne des probabilités, Dunod, Paris, 1967.

11. IOSIFESCU, M., MIHOC, GH., THEODORESCU, R., Teoria probabilittilor si statistica

matematica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1966.

12. KEMENY, J.G., SNELL, J.L., Finite Markov Chains, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

13. LOÈVE, M., Probability Theory, Vol. I, Springer-Verlag, New York, Heidelberg Berlin, 1977.

14. LOÈVE, M., Probability Theory, Vol.. II, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1978.

15. ONICESCU, O., MIHOC, GH., IONESCU TULCEA C.T., Calculul probabilitatilor si

aplicatii, Ed. Academiei Romane, Bucuresti, 1956.

16. ONICESCU, O., Principes de logique et de philosophie mathématique, Ed. de l’Academie de

la Roumanie, 1971.

17. ORMAN, G.V., Teoria Probabilitatilor, Ed. Universitatii Brasov, 1977.

18. ORMAN, G.V., COCAN, A., SIMIONESCU, C., Elemente de teoria probabilitatilor si

statistica matematica, Ed. Universitatii Brasov, 1982.

19. ORMAN, G.V., Capitole de Matematici Aplicate, Ed. Albastra, Cluj-Napoca, 1999.

20. PRESTON, C., Random Fields, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

21. ROSENBLATT, M., Random Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1974.

22. SPITZER, F., Principles of Random Walk, Springer-Verlag, 1975.

23. VASILACHE, S., Elemente de teoria multimilor si a structurilor algebrice, Ed. Academiei

R.P.R., 1956.