Cuprins1 Curs1 31.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Campclasicdeprobabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Probabilitateconditionatasievenimenteindependente . . . . . . . . . . . . 52 CursulII 82.1 Spatiideprobabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Probabilitate. Spatiudeprobabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Probabilitateconditionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 CursulIII 123.1 Variabilealeatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Functiaderepartitieauneivariabilealeatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Variabilealeatoaredetipdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Variabilealeatoaredetipcontinuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 CursulIV 194.1 Variablealeatoareindependente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Caracteristicinumericealevariabileloraleatoarereale . . . . . . . . . . . . . 205 CursulV 235.1 InegalitatealuiCebasev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Covariantasicoecientuldecorelatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 CursulVI 276.1 Convergentaaproapesigura(a.s.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Convergentainprobabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Convergentainrepartitie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.4 Convergentainmedie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.5 LegeaNumerelorMari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 CursulVII 367.1 Functiacaracteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 CursulVIII 428.1 Convergentainrepartitiesilegaturacufunctiacaracteristica. . . . . . . . . 428.2 TeoremaLimitaCentrala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4319 CursulIX 479.1 Elementedestatisticadescriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.2 Elementedebazadestatistica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3 Tabeledevaloriobservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3.1 Datedeselectie,valorideselectie,sondaje . . . . . . . . . . . . . . . 499.4 Reprezentareagracaadatelor1-dimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . 519.4.1 Reprezentareaprinbatoane/bastonase . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.4.2 Reprezentareaprinhistograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.5 Sistematizareadatelorbidimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110CursulX 5310.1 Caracteristicinumericealedistributiilorstatistice . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Corelatiesiregresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.2.1 Dreptederegresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711CursulXI 5811.1 Caracteristicidesondaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.2 Elementedeteoriaestimatieipunctuale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911.3 Metodaverosimilitatiimaxime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.4 Metodamomentelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212CursulXII 6412.1 Vericareaipotezelorstatistice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.2 TestulZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3 TestulT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.4 Putereaunuitest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682Capitolul1Curs11.1 IntroducereTeoriaprobabilitatilor seocupacustudiul fenomenelor aleatoare, deexemplujocuriledenoroc,studiereadurateideviataaunuiindividdintr-oanumitapopulatie,extragereauneibiledintr-ournacubilealbesibegre,siobservareaculorii.Oexperientasenumestealeatoaredacarezultatulsauestesupusintamplarii.Inteoriaprobabilitatilorintalnimnotiuniledeproba,eveniment,probabilitate.Rezultatul unei experientealeatoaresenumesteprobasaucazposibil. Inexperientaarucarii unui zar o data, aparitia fetei cu i puncte este o proba. Avem astfel probele {i}, i =1, 6. Oricearmatielegatadeoexperientaaleatoaredesprecarenuputemspunecas-aprodus saunudecat dupaefectuareaexperientei se numeste eveniment. Inexperientaaruncariiunuizaraparitiauneifetecunumarpardepuncteesteuneveniment.Inacestlimbaj ecareprobaesteuneveniment, numitevenimentelementar, restulevenimentelorindevenimentecompuse. Legatdeexperientaaruncarii unui zaravemurmatoareleevenimenteelementare: {1}, {2}, ..., {6}.DacaAesteevenimentul aparitiei unei fetecuunnumar par depuncte, atunci Aserealizeaza daca si numai daca se realizeaza unul din evenimentele elementare {2}, {4}, {6},decivomscrieA = {2, 4, 6}.Evenimentul care se produce la orice efectuare a unei experiente se numeste evenimentulsigursisenoteazacu. Evenimentulcarenuseproducelanici oefectuareaexperienteisenumesteevenimentul imposibil si senoteazacu . Incazul aruncarii zarului ={1, 2, ..., 6},iarevenimentulaparitieiuneifetecu7puncteeste .FiecareevenimentAlegatdeoexperientaaleatoareesteformatdinmultimeaprobelor(sauaevenimentelorelementare)careduclarealizareasa. Fiecareevenimentesteoparteaevenimentului sigur. Unevenimentelementarcareducelarealizareaevenimentului AsenumestecazfavorabilproduceriiluiA.FiecaruievenimentAlegat deo experienta aleatoare iicorespundeuneveniment careserealizeaza ori de cate ori A nu se realizeaza. Acest eveniment se numeste contrarul lui A sisenoteazacu CAsauA.Daca avem A si Bdoua evenimente, avem evenimentul care se realizeaza atunci cand celputin unul din cele doua se intampla, numit AsauB, notat cu AB. Evenimentul care serealizeazaoridecateoriserealizeazaambelesenumesteAsiBsisenoteazaA B.3Spunem ca doua evenimente sunt incompatibile daca nu se pot realiza simultan, si scriemA B= .DacaAducelarealizarealuiBspunemcaAimplicaB,siscriemA B.DacaA BsiB A,atuncispunemcaAsiBsuntechivalente,sinotamA = B.Consideramnit. (, P()) se numestecampul de evenimenteasociat experienteialeatoare.Evenimenteleelementarepotaveaaceleasisansederealizare-egalposibile,saunu.Exemplu1. a)Laaruncareaunuizarodata,evenimenteleelementaresuntegalposibile.b)Consideramournacarecontine10bilenumerotatedela1la10,primele3bileinddeculoarealba, si restul de7deculoareneagra. Extragemlaintamplareobiladinurnasiobservamculoarea. Evenimenteleelementaresunt:{a}-aparitiauneibilealbe{b}-aparitiauneibilenegreInacestcazevenimenteleelementareunsuntegalposibile.1.2 CampclasicdeprobabilitateFie (, P()) un camp nit de evenimente, cu toate evenimentele egal posibile, = {1, ..., n}. FieA = {i1, ..., ir} .Denit ie1. Numimprobabilitateaevenimentului Araportul dintrenumarul cazurilorfa-vorabileluiAsinumarulcazuriloregalposibile:P(A) =numarulcazurilorfavorabileluiAnumarulcazuriloregalposibile=rn(1.1)FunctiaP : P() [0, ) denitade(1.1) senumesteprobabilitateclasicape, iar(, P(), P)senumestecampclasicdeprobabilitate.CuaceastadenitieavemP({i}) =1n, i 1, n, deci evenimenteleelementaresuntechiprobabile.Proprietat i1. Probabilitateaclasicasatisfaceurmatoareleproprietati:1. 0 P(A) 1, A-eveniment,A 2. P() = 03. A , avemP(A) = 1 P(A)4. A, B ,A BavemP(B \ A) = P(B) P(A),P(A) P(B)5. P(A B) = P(A) + P(B), A, B ,A B= 6. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), A, B 47. A1, A2, ..., Ar P

ni=1Ai

=ni=1P(Ai) 1i 0 (1.4)Demonstrat ie. 1.P(A) = P(A ) = P

A ri=1Ai

= P

ri=1(Ai A)

=Folosindfaptulca(Ai A) (Aj A) = (Ai Aj) A = , i = jobtinemP(A) =ri=1P(Ai A) =ri=1P(A)P(A|Ai)2. AvemP(Ai|A) =P(Ai A)P(A)=P(Ai)P(A|Ai)rj=1P(Aj)P(A|Aj)FieA = {1, 2},B= {2, 3, 4}.P(A|B) =P(A B)P(B)=1/63/6=13= P(A)P(A|B) =P(A B)P(B)=1/63/6=13= P(A)Observam deci ca realizarea sau nerealizarea lui Bnu inuenteaza producerea lui A. Analog,producereasauneproducerealuiAnuinuenteazaproducerealuiB. Intuitiv,AsiBsuntindependente.Denit ie2. Fie(, P(), P)unspatiudeprobabilitateclasica. SpunemcaevenimenteleA, B suntindependentedacaP(A|B) = P(A), P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B), P(B|A) = P(B) (1.5)Observat ie1. AsiBsuntindependentedacasinumaidacaP(A B) = P(A)P(B) (1.6)6Denit ie3. Spunem ca evenimentele A1, ..., Ar sunt independente daca probabilitateaoricareiintersectiiformatecueleesteprodusulprobabilitatilorindividuale:P(Ai1Ai2.... Aik) = P(Ai1)P(Ai2) ... P(Aik), 1 i1 ... ik r, k = 2, r (1.7)Observat ie2. Incazul evenimentelor A, B, C, independentacelor trei setraduceastfel:P(A B)=P(A)P(B), P(A C)=P(A)P(C), P(B C)=P(B)P(C), adicaA, B, Csuntindependentedouacatedoua,siP(A B C) = P(A)P(B)P(C),adicaA, B, Csuntindependente3cate3.Propozit ie 2 (Formula lantului).Fie (, P(), P) spatiu clasic de probabilitate, A1, ..., Ar ,P(A1 A2 ... Ar) > 0. AtunciP(A1 ... Ar) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) ... P(Ar|A1 ... Ar1) (1.8)Demonstrat ie. Avemrelatiileurmatoare:P(A1) = P(A1)P(A2|A1) =P(A1A2)P(A1)P(A3|A1 A2) =P(A1A2A3)P(A1A2)...P(Ar|A1 A2 A3 ... Ar1) =P(A1A2...Ar)P(A1A2...Ar1)deunde,prininmultireseobtinerelatiaceruta.7Capitolul2CursulII2.1 SpatiideprobabilitateFieomultimenevida, P()multimeapartilorlui.Denit ie1. Numimalgebrape oclasa F P()cuurmatoareleproprietati:1. F2. A FavemCA F(F-inchisalacomplementara)3. A1, ..., An, ... Favemn1An F(F-inchisalareuniuninumarabile)Exemplu1. Urmatoarelesuntalgebre: {, }, {, A, CA, }, P().Proprietat i2. Fie Fo-algebrapeste. Atunci1. F2. A1, ..., An, ... Favemn1An F(F-inchisalaintersectiinumarabile)3. A, B FavemA \ B, B \ A FDemonstrat ie. 1. Fsifolosindpunctul2. aldenitieiobtinemcaC= F.2.C(n1An) =n1CAn Fdecin1An F.3. FieA1= A F,A2= CB F,An= F, n 3. Atuncin1An= A CB ... ... = A CB= A \ B FFie M P()osubclasadepartialelui.8Denit ie2. Numim- algebrageneratade M, si onotamcu(M), ceamai mica-algebracareilcontinepe M,adicaF algebra, M F =(M) F.Observat ie1.(M) =Falgebra, MFFExemplu2. Fie = IR, G=multimeadeschisilordinIR.(G) = BIR multimeaborelienelordinIRAnalogBIRk= ({(a1, b1) ... (ak, bk)|ai< bi, i = 1, k,ai, bi IR})Denit ie3. Fiemultimenevidasi Fo-algebrape. Atunci(, F)senumestecampdeevenimente.2.2 Probabilitate. SpatiudeprobabilitateDenit ie4. Fie(, F)campdeevenimente. FunctiaP: F [0, )senumesteproba-bilitatedaca1. P() = 12. A1, ..., An F,Ai Aj= , i = javemP

n1An

=n1P(An)Propozit ie1. Inconditiiledemaisus,aulocurmatoarelerelatii:1. P() = 02. P(A B) = P(A) + P(B), A, B ,A B= 3. P( A) = 1 P(A), A 4. A, B , A B P(B \ A) = P(B) P(A)siP(A) P(B)5. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A, B 6. A1, A2, ..., An avemP

ni=1Ai

=ni=1P(Ai) 1i 0, k. Atunciavem1.P(A) =nk=1P(Ak) P(A|Ak) (2.4)(Formulaprobabilitatiitotale)2.P(Ai|A) =P(Ai) P(A|Ai)nk=1P(Ak) P(A|Ak)(2.5)(FormulaluiBayes)11Capitolul3CursulIII3.1 VariabilealeatoareDenit ie1. Fie(, F, P)spatiudeprobabilitate, (X, X)spatiumasurabil. Functiaf : Xsenumestevariabilaaleatoaredacaf1(B) F, B XDaca(X, X) =(IR, BIR) atunci f se numeste variabilaaleatoare reala. Daca(X, X) =(IRk, BIRk),k IN,atuncifsenumestevariabilaaleatoarevectorialak-dimensionala.Observat ie1. f: IRestevariabilaaleatoaredacasinumaidaca(f< a) F, a IR.Propozit ie1. Fiea IR, r > 0,f, g-variabilealeatoarereale. Atuncia+f, a f, f +g, f g, fr,fg, |f|, max(f, g) sunt variabilealeatoarereale. Daca(fn)n1esteunsirdevariabilealeatoarereale,atunciliminfnfn,limsupnfn, limnfnsuntvariabilealeatoarereale.3.2 FunctiaderepartitieauneivariabilealeatoareFie(, F, P),f: IRvariabilaaleatoare.Denit ie2. FunctiaFf: IR [0, 1],denitaderelatiaFf(x) = P(f< x), x IRsenumestefunctiaderepartitieavariabileialeatoaref.Propozit ie2. Functiaderepartitiesatisfaceurmatoareleproprietati:1. Ffemonotoncrescatoare2. Ffecontinualastanga3.limxFf(x) = 0,limxFf(x) = 112Demonstrat ie. 1. x, y IR,x < yavem(f< x) (f< y)deundeP(f< x) P(f< y) Ff(x) Ff(y)2. TrebuiesaaratamcalimyxFf(y)=Ff(x), x IR. Lapunctul anterioramaratatcaFfemonotoncrescatoare, si cumvaloareasaestedatadeoprobabilitate, estesimarginitade1. Existadecilimyxff(y). Fiexn= x 1n,n IN,xn x. Atunci(f< x 1n) (f< x) limnP(f< x 1n) < P(f< x)decilimyxFf(y) = limnFf(xn) = Ff(x).3. Fiexn= n . Avem(f< n) ( < f< ) = decilimnFf(n) = limnP(f< n) = P() = 1deundelimxFf(x) = 1.Denit ie3. OfunctieF: IR [0, 1]cuproprietatile1. F-monotoncrescatoare2. F-continualastanga3.limxF(x) = 0,limxF(x) = 1senumestefunctiederepartitiepeIR.Observat ie 2. DacaF eofunctiederepartitiepeIR, existauncampdeprobabilitate(, F, P), si o variabila aleatoare f: IR astfel incat Ff= F. Campul de probabilitatesivariabilanusuntunice.Denit ie 4.Fie (, F, P) un spatiu de probabilitate, f= (f1, ..., fk)

: IRko variabilaaleatoarek-dimensionala. FunctiaFf1,...,fk(x1, ..., xk) : IRk [0, 1]dataderelatiaF(f1,...,fk)(x1, ..., xk) = P(f1< x1, ..., fk< xk), (x1, ..., xk) IRksenumestefunctiaderepartitieavariabileialeatoarevectoriale(f1, ..., fk)

.Propozit ie3. 1. Ff1,...,fkestemonotoncrescatoareinraportcuecareargument2. Ff1,...,fkestecontinualastangainraportcuecareargument3.limxiFf1,...,fk= 0, i = 1, ..., klimxiFf1,...,fk= 1, i = 1, ..., k13Observat ie3. FieI= {1, 2, ..., k},J= {i1, ..., ir}I. AtunciF(fi1,...,fir)(xi1, ..., xir) = limxs,sI\JF(f1,...,fk)(x1, ..., xk)Pentruk = 2Ff1(x1) = limx2F(f1,f2)(x1, x2), x1 IRFf2(x2) = limx1F(f1,f2)(x1, x2), x2 IRLafel,pentruk = 3:Ff1(x1) = limx2,x3F(f1,f2,f3)(x1, x2, x3), x1 IRFf1,f2(x1, x2) = limx3F(f1,f2,f3)(x1, x2, x3), x1, x2 IR3.3 VariabilealeatoaredetipdiscretFie(, F, P)unspatiudeprobabilitate,f: IRovariabilaaleatoarereala.Denit ie5. Spunemcafestedetipdiscretdaca Icelmultnumarabila, ai IR, i I,astfelincatf() = {ai|i I}.FieAi=(f=ai),i I, pi=P(Ai), Ai Aj=(f=ai) (f=aj)= ,iI Ai=.Avem1 = P() = P(iIAi) =iIP(Ai)deundeiIpi= 1Denit ie 6. Unei variabile aleatoare reale ii asociemurmatorul tabel, care se numesterepartitiavariabileif:f:

a1a2... ai...p1p2... pi...

Exemplu1. Searuncaunzarodata. Determinatirepartitiavariabileialeatoarefcaredanumaruldepuncteobtinute. Calculatifunctiaderepartitiecorespunzatoare.Denit ie 7.Fie (, F, P) un spatiu de probabilitate, f= (f1, .., .fk)

: IRko variabilaaleatoarevectoriala. Spunemcafestedetipdiscretdacaf() = {(ai, bj, ..., ck) IRk|i I, j J, ..., k K, I, J, ..., K celmultnumarabile}Pentruk = 2,f= (f1, f2)

avem:Aij= (f1= ai, f2= bj), i I, j Jsi evenimentele respective sunt doua cate doua disjuncte si reuniunea lor dupa toti i si jeste. DeasemeneaiIjJP(Aij) = 114f1\f2... bj.........ai... pij.........Avempi= P(f1= ai), i Isiqj= P(f2= bj), j Jsimaidepartepi= P(f1= ai) = P((f1= ai) ) = P((f1= ai) (jJ(f2= bj))) == P(jJ((f1= ai) (f2= bj))) =jJP(f1= ai, f2= bj) =jJpijAvemastfeljJpij= pi, i I siiIpij= qj, j J.3.4 VariabilealeatoaredetipcontinuuFie(, F, P)unspatiudeprobabilitate,f: IRovariabilaaleatoare.Denit ie8. Spunemcafesteovariabilaaleatoaredetipcontinuudacaexistaf: IR [, 0)astfelincatFf(x) =

xf(t)dt, x IR (3.1)Functiafsenumestedensitateaderepartitieavariabileialeatoaref.Observat ie4. Dinrelatia3.1sepoateobservaca1. Ffestecontinua2.

f(t)dt = 13.F

f(x) = f(x), x IR(cuexceptiauneimultimidemasuranula).Denit ie9. Ofunctie : IR [0, )cuproprietateaca

(x)dx = 1 (3.2)senumestedensitatederepartitie peIR.Observat ie5. DacaesteodensitatederepartitiepeIR, exista(, F, P)unspatiudeprobabilitatesif: IRovariabilaaleatoareastfelincatf= .15Exemplu2. Fiem IR, > 0, : IR IR(x) =1e(xm)222, x IR (3.3)esteodensitatederepartitiepeIR.Denit ie 10.Despre o variabila aleatoare reala fcare are densitatea din exemplul anteriorsespunecaarerepartitianormaladeparametrimsi2sivomscrief N(m, 2).Exemplu3. Fiea > 0sifunctia : IR IRdatadeexpresia(x) =a1a2+ x2, x IR. (3.4)FunctiaesteodensitatederepartitiepeIR.Denit ie11. DespreovariabilaaleatoarefcarearedensitateaderepartitiedinexemplulprecedentspunemcaarerepartitiaCauchydeparametruasivomscrief C(a).Teorema1. Fie(, F, P)unspatiudeprobabilitatesi f: IRovariabilaaleatoarerealadetipcontinuu, cudensitateaf, si P(f (a, b))=1, (a, b) IR. Fiedeasemeneag : (a, b) (, ) ofunctiebijectiva, derivabilaastfel incat g

(x) >0, x (a, b) saug

(x) 0sitrecemlalimitapentrun :0 limnP(|fn + gn(f+ g)| ) limnP(|fnf| 2) + limnP(|gng| 2) = 0decifn + gnPnf+ g.3. Avem |f g| = |f fn(g fn)| |fnf| +|fng|,deunde(|fnf| 0,deunde, trecandlalimitadupa, P(|f g|=0)=1, adicaP(f=g)=1, ceeaceinseamnacaf= g, P a.s.Teorema2. Fie(, F, P) - spatiudeprobabilitate, fn, f : IR, variabilealeatoare,n IN. DacafnPa.s.nfatuncifnPnf. Reciprocnuesteadevarat.Demonstrat ie. Fie(An)n1 F.P(limnAn) = P

n=1k=nAk

= limnP

k=nAk

limnsupknP(An)29deoareceP

k=nAk

P(Ak), k n.Fie > 0arbitrar,An= (|fnf| ). Atunci limnAn, fn() f() limnAn (fn f)deundeP(limnAn) P(fn f) = 0 limnP(An) = 0 fnPnf.6.3 ConvergentainrepartitieFie(, F, P)spatiudeprobabilitate,fn, f: IRvariabilealeatoare,n IN.Denit ie4. Spunemca(fn)n1convergeinrepartitiecatref,siscriemfnrepnfdacaFfn(x) nFf(x), xpunctdecontinuitatepentruFf. (6.3)Teorema3. DacafnPnfatuncifnrepnf.Demonstrat ie. Fiex IRpunctdecontinuitatepentruFf,si> 0. Avem(f< x ) = (f< x ) [(|fnf| ) (|fnf| < )] == [(f< x ) (|fnf| )] [(f< x ) (f < fn< f+ )] (|fnf| ) (f< x ) (fn< f+ ) (|fnf| ) (fn< x + ) =deci(f< x ) (|fnf| ) (fn< x)deundeP(f< x ) P(|fnf| ) + P(fn< x)P(f< x ) limnP(|fnf| ) + limnFfn(x)adicaavemFf(x ) limnFfn(x) (6.4)Acum(fn< x) = (fn< x) [(|fn| ) (|fnf| < )] == [(fm< x) (|fnf| )] [(fn< x) (|fnf| < )] (fnf| ) (f< x + )deciFfn(x) = P(fn< x) P(|fnf| )+P(f< x+) = P(|fnf| )+Ff(x), n IN, > 030TrecandlalimitasuperioaradupanavemlimnFfn(x) limnP(|fnf| ) + Ff(x + )siobtinemlimnFfn(x) Ff(x + ) (6.5)Din(6.4)si(6.5)obtinemFf(x ) limnFfn(x) limnFfn(x) Ffn(x) Ff(x + )si,dincontinuitateafunctieiderepartitieinx,pentru 0,Ff(x) limnFfn(x) limnFfn(x) Ff(x)deundeobtinemlimnFfn(x) = Ff(x), xpunctdecontinuitate fnrepnf6.4 ConvergentainmedieFie(, F, P)spatiudeprobabilitate,fn, f: IRvariabilealeatoare,M(fn),Mr(fn)siMr(f) < .Denit ie 5.Spunem ca (fn)n1 converge in medie de ordin r catre f, si scriem fnmrnfdacalimnM(|fnf|r) = 0 (6.6)Propozit ie2. DacafnmrnfatuncifnPnf. Reciprocnuesteadevarat.Demonstrat ie. Avem,cuinegalitateaMarkov(5.1)P(|g| ) = P(|g|r r) Mr(g)r, > 0undeg= fnf. Atunci0 P(|fnf| ) Mr(fnf)r=M(|fnf|r)rn0decilimnP(|fnf| ) = 0, > 0 fnPnf.316.5 LegeaNumerelorMariSaconsideramournacarecontineabilealbesibbilenegre,siextragemnbile,notandcuf(n)numaruldebilealbeextrase. Observamcaf(n) B)n, p,undep =aa + b, q=ba + b= 1 pM(f(n)) = np, D2(f(n)) = npqAplicandInegalitateaCebasev(5.2)pentruvariabilaaleatoaref(n)nobtinemP

f(n)np

D2

f(n)n

2=pqn2 n0adicaf(n)npPn0f(n)nPnpNotamacumcufn,k- numarul de bile albe extrase laextragereak, k =1, n, care arerepartitiafn,k:

0 1q p

siM(fn,k) = p, D2(fn,k) = pq.Inplusf(n)=nk=1fn,ksiintroducandinrelatiileanterioare,1nnk=1fn,k pPn0deunde1nnk=1fn,k 1nnk=1p =1nnk=1(fn,k p) =1nnk=1[fn,k M(fn,k)]Pn0Denit ie6. Fie(fn)n1sirdevariabilealeatoarereale. Sirul(fn)n1senumestestabilinsensslabdaca1nnk=1[fk M(fk)]Pn0 (6.7)sisenumestestabilinsenstaredaca1nnk=1[fk M(fk)]Pa.s.n0 (6.8)32Teorema4(Markov). Fie(fn)nsirdevariabilealeatoareastfel incatlimn1n2D2

nk=1fk

= 0. (6.9)Atunci(fn)nestestabil insensslab.Demonstrat ie. Fie > 0. AplicandInegalitateaCebasevpentrug=1nnk=1fk,obtinemP

1nnk=1(fk M(fk))

D2

1nnk=1fk

2=1n2D2(nk=1fk)2=1n22D2

nk=1fk

caretindela0cu(6.9),pentruorice > 0.Corolar3. Fie(fn)n1variabilealeatoarenecorelate,astfel incatlimn1n2nk=1D2(fk) = 0. (6.10)Atunci(fn)nestestabil insensslab.Demonstrat ie. Variabileleindnecorelate,avemD2

nk=1fk

=nk=1D2(fk)si,introducandin(6.9)obtinemimediat(6.10).Corolar4. Fie(fn)n1variabilealeatoarerealenecorelate,astfel incatD2(fn) A < , n 1.Atunci(fn)nestestabil insensslab.Demonstrat ie. Avemlimn1n2nk=1D2(fk) 1n2nk=1A = limnAn= 0deci,aplicandCorolarulanteriorobtinemrezultatulcerut.Teorema5(Hincin). Fie(fn)n1variabilealeatoarereale, independentesi identicrepar-tizatecufunctiaderepartitieF si mediam< . Atunci sirul (fn)nestestabil insensslab.Demonstrat ie. Fie> 0, n IN,oarecare.ukdef=

fk, |fk| n0, |fk| > n, vkdef=

0, |fk| nfk, |fk| > n, fk= uk + vk, k 133AvemM(uk) =

nnxdF(x) = mn n

xdF(x) = M(fk) = mD2(uk) = M2(uk) M2(uk) = M2(uk) m2n M2(uk) =

nnx2dF(x) ==

nn|x| |x|dF(x) n

nn|x|dF(x) n

|x|dF(x) nbM

1nnk=1uk

=1nnk=1M(uk) =1nnmn= mnD2

1nnk=1uk

=1n2nk=1D2(uk) nbn2=bnP

1nnk=1uk mn

D2

1nnk=1uk

2bn2Observatie: Fief, g-variabilealeatoare. Avem|f| < a, |g| < b|f+ g| < |f| +|g| < a + bdeci|f+ g| a + b|f| asau|g| badica,intermenideevenimente,(|f+ g| a + b) (|f| a) (|g| b)deundeP(|f+ g| a + b) P(|f| a) + P(|g| b)Aplicamaceastaobservatiepentruf=1nnk=1uk mn,g= mnm,a = b = :P

1nnk=1uk m

2

P

1nnk=1uk mn

+ P(|mnm| )darP(|mnm| ) = 0, n n0datoritaconvergenteiluimnlam. AtunciP

1nnk=1uk m

2

bn2 n01nnk=1uk mPn0 (6.11)AcumcalculamP(vk = 0) =

(|x|n)dF(x) =1n

|x|nndF(x) 1n

(|x|n)|x|dF(x) 1n2=n34P(vk = 0) nk=1P(vk = 0) nk=1n= (6.12)Acumaplicamdinnouobservatiaanterioarapentruf=1nnk=1uk m,g=1nnk=1vk:P

1nnk=1fk m

2

= P

1nnk=1uk m +1nnk=1vk

2

P

1nnk=1uk m

+ P

1n

nk=1vk

P

1nnk=1uk m

+ P

1nnk=1vk = 0

(6.11),(6.12)bn2+ , > 0Amaratatastfelca1nnk=1fkPnm,adicasirul(fn)nestestabilinsensslab.Teorema6(Kolmogorov). Fie(fn)nvariabilealeatoarededispersii nite, independenteastfel incatn=11n2D2(fn) < (6.13)Atunci(fn)nestestabil insenstare.35Capitolul7CursulVII7.1 FunctiacaracteristicaFieFfunctiederepartitiepeIRk.Denit ie1. AplicatiaF: IRkC,F(t) =

IRkeidF(x), t IRk(7.1)senumestefunctiacaracteristica afunctieiderepartitieF.Reamintimcadacat = (t1, ..., tk)

IRk,x = (x1, ..., xk)

IRk,atunci< t, x >=ki=1tixi, ||x|| = < x, x > =

ki=1x2kDeasemenea,ei= cos + i sin si

...

(u + iv)dF=udF+ i

...

vdFDenit ie2. Fie(, F, P) spatiudeprobabilitate, f =(f1, ..., fn)

: IRvariabilaaleatoare, Fffunctiasaderepartitie, numimfunctiacaracteristicaav.affunctiacar-acteristicaarepartitieiFf,notataf: IRkC,dataderelatiaf(t) =

IRkeidFf(x), t IRk(7.2)InbazaTeoremei1din4.2avemf(t) = M

ei

Observat ie1. Fief: IRovariabilaaleatoarereala.36a) f-v.a. detipcontinuu,cudensitateaf. Atuncif(t) =

IReitxf(x)dx (7.3)b) f-v.a. discreta,f() = {xi IR| i I},I-celmultnumarabila,pi= P(f= xi).f(t) =iIeitixi pi, t IR (7.4)Exemplu1. Fievariabilaaleatoarebinomialaf Bn,p. Atunci P(f =k)=Cknpkqnk,k = 0, ..., n. Pebazarelatieidedenitie(7.4)avemf: IR C,f(t) =nk=0eitkCknpkqnk=nk=0Ckn

peit

kqnk=

peit+ q

nExemplu2. Fievariabilaaleatoaref N(0, 1). Avemf: IR C, si curelatiadedenitie(7.3)avemf(t) =12

eitx12ex22dxScriemacum,folosinddezvoltareafunctieiezinserie,f(t) =12

n=0(itx)nn!ex22dx =12n=0(it)nn!

xnex22dx =n=0(it)nn!Mn(f)Acum,deoareceMn(f) = 0, npar,siMn(f) = (2n 1)!!, nimpar,f(t) =n=0(it)2n(2n)!1 3 ... (2n 1) =n=0(it)2n(2n)!(2n)!2n n!=n=0

t22

n1n!= et22Decidacaf N(0, 1),f(t) = et22 .Exemplu3. Fief N(m, 2). Atuncif: IR C,sif(t) =

eitxf(x)dx =12

eitx e(xm)222dxsiefectuandschimbareadevariabilaxm= u,dx = du:f(t) =12

eit(u+m) eu22du = eitm12

eitueu22duEx.2=eitme(t)22= eitmt222.Propozit ie1. FieFofunctiederepartitiepeIRk,Ffunctiasacaracteristica. Atunci1. F(0) = 1372. |F(t)| 1, t IRk3. F(t) = F(t)4. Festeuniformcontinua5. Daca(, F, P)estespatiudeprobabilitate, f, g: IRkvariabilealeatoareinde-pendente,atuncif+g(t) = f(t) g(t), t IRk. (7.5)Demonstrat ie. 1.F(0) =

IRkeidF(x) =

IRkdF(x) = 12.|F(t)| =

IRkeidF(x)

IRk|ei|dF(x) = 1,deoarece |ei| = 1.3.F(t) = M

ei

= M(cos(< t, f>) + i sin(< t, f>)) == M(cos(< t, f>)) iM(sin(< t, f>)) = M(cos(< t, f>)) + iM(sin(< t, f>)) == M(cos(< t, f>) + i sin(i < t, f>)) = M(ei) = F(t).4. Fiet1, t2 IRk.F(t1) F(t2) =

IRkeidF(x)

IRkeidF(x) ==

IRkei

ei1

dF(x)Observatie: |ei1| min(||, 2), IR. Intr-adevar,

ei1

|ei| + 1 = 1 + 1 = 2,si|ei1| = | cos +i sin 1| =

2 sin2 2+ 2 sin 2cos 2i

= 2

sin 2

i cos 2 sin 2

== 2

sin 2

2 ||2= ||Revenind,avem|F(t1) F(t2)|

IRk

ei

ei1

dF(x)

IRkmin(| < t1t2, x > |,2)dF(x)38Fieacum > 0, ||t1t2|| . Atunci|F(t1)F(t2)|

IRkmin(| < t1t2, x > |, 2)dF(x)

IRkmin(||t1t2||||x||, 2)dF(x)

IRkmin(||x||, 2)dF(x) 005.f1+f2(t) = M

ei

= M

ei+i

= M

ei ei

indep.== M

ei

M

ei

= f1(t) f2(t)Propozit ie 2. Fie (, F, P) spatiu de probabilitate, f : IRvariabila aleatoare,Mn(f) < . Atuncifestederivabiladenori,si(n)f(t) = in

xneitxdFf(x), t IR (7.6)Demonstrat ie. Estesucientsaaratampentrun = 1.f(t + h) f(t)h=1h

ei(t+h)xdFf(x)

eitxdFf(x)

=

eitx

eihx1

hdFf(x) ==

eitxeihx1ihxixdFf(x)

|x|dFf(x) 0.Ff(x + h) Ff(x)h(7.9)=12

eitxeit(x+h)ithf(t)dt ==12

eitx1 eithithf(t)dt

|f(t)|dt dFn(x)

IRmcos < t, x > dF(x)

IRmsin < t, x > dFn(x)

IRmsin < t, x > dF(x)42deci

IRmcos < t, x > dFn(x) + i

IRmsin < t, x > dFn(x)

IRmcos < t, x > dF(x) + i

IRmsin < t, x > dF(x)adica

IRm(cos < t, x > +i sin < t, x >)dFn(x)

IRm(cos < t, x > +i sin < t, x >)dF(x)si,maideparte,

IRmeidFn(x)

IRmeidF(x)Rezultan(t) n(t)8.2 TeoremaLimitaCentralaObservat ie3. DensitateaderepartitiearepartitieiN(0, 1)este(x) =12ex22, x IR (8.1)iarfunctiaderepartitiealuiN(0, 1)este : IR [0, 1], (x) =12

xet22dt (8.2)senumestefunctialuiLaplace. Avem(x) = 1 (x), x IR (8.3)Intr-adevar,(x) =12

xet22dt = 1 12

xet22dtt=u= 1 12

xeu22(1)du == 1 12

xet22dt = 1 (x)Observat ie4. DacagesteovariabilaaleatoarecurepartitiaN(0, 1),atuncig(t) = et22 .Inplus,dacaa, b IR,a = 0,atuncif= ag + b sin N(b, a2). Avem,intr-adevar:f(t) = M

eitf

= M

eit(ag+b)

= M

ei(at)g eitb

= eitbM

ei(at)g

= eitb g(at) = eitba2t22Deoarecefunctiacaracteristicadeterminainmodunicrepartitiaobtinemcaf N(b, a2).43Fie(, F, P)spatiudeprobabilitate, fn: IRvariabilealeatoare, n IN. Pre-supunemcaf1, ..., fnsuntindependente,cuD2(fn) < , n 1.Notammk= M(fk),2k= D2(fk),Fk-functiaderepartitiealuifk,k IN,f(n)def=f1 + ... + fn, n IN(8.4)m(n)def=M(f(n)) = M

nk=1fk

=nk=1M(fk) =nk=1mk. (8.5)2(n)def=D2(f(n)) = D2

nk=1fk

=nk=1D2(fk) =nk=12k(8.6)Sndef=1(n)nk=1(fk mk) =f(n)m(n)(n)(8.7)Snsenumesteabaterearedusaalui(fn)n1. > 0,n()def=12(n)nk=1

{xIR| |xmk|(n)}(x mk)2dFk(x) (8.8)Teorema2(TeoremaLimitaCentrala). Cunotatiileanterioareavem:Snrepnf N(0, 1), si limnmax1kn2k2(n)= 0 limnn() = 0, > 0 (8.9)Demonstrat ie. Lipseste.Corolar 7. Fie (fn)n1variabile aleatoareindependente, identic repartizate, de dispersiinite. AtunciSnrefnf N(0, 1).Demonstrat ie. Aratamcan() n0, > 0. Avemmk= M(fk) = m,2k= D2(fk) =2,deci2(n)=nk=12k=nk=12= n2Inplus,fk= f, k IN. Atuncin() =1n2nk=1

(|xm|n)(xm)2dF(x) =12

(|xm|n)(xm)2dF(x) n0, > 0deunde,cuT.L.C.obtinemcaSnrepnf N(0, 1).Observat ie5. Snrepnf N(0, 1)implicaFn(x) = P(Sn< x) n(x), x IRundeFn-functiaderepartitiealuiSn.44Observat ie6. Pentrua, b IR, a < bavemP(a S b) =Fn(b) Fn(a)(b) (a) (8.10)Corolar 8 (Teorema Moivre - Laplace). Fie (fn)n1unsir de variabile aleatoare realeindependente,curepartitiafn:

0 1q p

, p (0, 1),p + q= 1Atuncif1 + ... + fnnpnpqrepnf N(0, 1) (8.11)Demonstrat ie. Avemmk= M(fk) = pdeundeobtinemm(n)=nk=1mk= np2k= M2(fk) M2(fk) = p p2= p(1 p) = pq2(n)=nk=12k=nk=1pq= npqSn=f1 + ... + fnnpnpqConformcorolaruluiprecedentSnrepnf N(0, 1).Observat ie7. DacafesteovariabilaaleatoarecurepartitiaBn,p,atuncif npnpqrepng N(0, 1) (8.12)NeplasaminTh. MoivreLaplace.f1+...+fn(t) = M(eit(f1+...+fn)) = M

nj=1eitfj

=nj=1M(eitfj) ==nj=1fj(t) =nj=1(peit+ q) = (peit+ q)ndecif1 + ... + fn Bn,p.Observat ie 8.Daca f Bn,p, atunci putem considera ca f N(np, npq), pentru n sucientdemare:f npnpq= g N(0, 1) f= npqg + np N(np, npq).45Corolar9. Fie(fn)n1unsirdevariabilealeatoarerealeindependente,> 0,astfel incatM(|fk mk|2+) < , k IN. (8.13)Dacan() =12+(n)nk=1M(|fk mk|2+) n0 (8.14)atunciSnrepnf N(0, 1).Demonstrat ie.n() =12(n)nk=1

(|xmk|>(n))(x mk)2dFk(x) ==12+(n)nk=1

(|xmk|(n))(x mk)2(n)dFk(x) 12+(n)nk=1

(|xmk|(n))(x mk)2|x mk|dFk(s) ==12+(n)nk=1

(|xmk|(n))|x mk|2+dFk(x) 112+(n)nk=1

|x mk|2+dFk(x) ==11(n)nk=1M(|fk mk|2+) =1n() n0Acum,aplicandT.L.C.obtinemconcluzia.Corolar10(Criteriul Leapunov). Fie(fn)n1unsirdevariabilealeatoarerealeindepen-denteastfel incat3k= M(|fk mk|3) < ,k IN. Dacalimn(n)(n)= 0, 3(n)=nk=13k, (8.15)atunciSnrepnf N(0, 1).Demonstrat ie. Seia= 1inCorolarulanterior.46Capitolul9CursulIX9.1 ElementedestatisticadescriptivaStatisticamatematicaseocupacudescriereasi analizanumericaafenomeneloraleatoare,evidentiindparticularitatialeacestoraprivindvolumul,structura,evolutia,precumsilegileprobabilistecareleguverneaza.Studiilestatisticeparcurgurmatoarele4etape:1. denirea obiectului aleatoriu studiat (precizarea unitatilor statistice si intocmirea ches-tionarului,formulareaintrebarilor)2. observarea fenomenului studiat conform celor planicate la etapa precedenta (in aceastaetapa-culegereadatelor)3. descriereastatistica-cuprindegrupareadatelorstatistice(avalorilorobservate),cal-culul unor indicatori numerici pebazadatelor observatepentruaobtineinformatiiprivindfenomenulaletorstudiatsiaputeaformulaipotezeprivindlegiledeprobabil-itatecareguverneazafenomenelealeatoarestudiate4. modelarea matematica - pe baza datelor observate astfelincat instudierea modeluluimatematicrealizatsafolosimcainstrumentTeoriaprobabilitatilor.Primeledouaetapeauuncaracterpreliminar, etapaatreiaestedenumitasistatisticade-scriptiva,iar etapa a patra se numeste statistica matematica,sauinferenta statistica (ratio-nament statistic). In cadrul acestei etape se estimeaza parametrii care apar sau se formuleazaipotezeprivindlegiledeprobabilitatecareguverneazafenomenelealeatoarestudiatesiapoiacesteipotezesevericaprindiversemetodedestatisticamatematica.9.2 ElementedebazadestatisticaDenit ie1. O colectivitate (de lucruri, inte, evenimente, etc) supusa unui studiu statisticse numeste populatie statistica. Elementele sale se numesc indivizi sau unitati statistice. Car-dinaluluneipopulatiistatisticesenumestevolum. Oproprietatecareestecomunatuturorindivizilor senumestecaracteristica. Ocaracteristica, dacasepoatemasura, senumeste47caracteristicacantitativa,iardacaestedataprintr-oinsusiresenumestecaracteristicacali-tativa.Opopulatie Psemodeleazaprinspatiul deprobabilitate(, F, P), unde= P, iarocaracteristicaapopulatiei Pesteasimilatacuovariabilaaleatoaref : X, unde(X, X)estecampdeevenimente.Exemplu1. Vrem sa studiem multimea elevilor unui liceu din punct de vedere al inaltimii.Multimeaeleviloracelui liceuesteopopulatiestatistica, ecareelevesteunindivid, sauounitatestatistica, caracteristicainstudiuf esteinaltimea, Pestemultimeaelevilor, sif: P IR,findocaracteristicadetipcantitativ.Exemplu2. NepropunemsastudiemmultimealocuitorilororasuluiCraiovadinpunctdevedereal culorii ochilor. Pestemultimealocuitorilor Craiovei. Fiecarelocuitor esteunindivid,sauounitatestatistica.X= {negru, albastru, verde, caprui}, f: P X.Pentru Pavemf() X,sifecaracteristicadetipcalitativ.Denit ie 2. Dacaocaracteristicaf primeste omultime cel mult numarabilade valorispunemcaeaestediscreta. Dacaocaracteristicafiavaloriintr-uninterval(a, b),atuncifsenumestecaracteristicadetipcontinuu.Dinpunctdevedereal observarii fenomenului aleatorstudiatavemurmatoareletipurideobservare(culegereadatelor):1. Observarea totala- sunt chestionati toti indivizii populatiei P. Spunemcaamefectuatrecensamantulaceleipopulatii.2. Observareapartiala-sestudiaza(chestioneaza)osubmultimestrictaapopulatiei(seefectueazaunsondaj,sefaceoselectieobtinandunesantion(1, ..., n),devolumn). Dupamodul deprelevareaindiviziloresantionului (n)=(1, ..., n)sondajelesunt:repetate sau bernoulliene atunci cand individul prelevat la un moment dat estereintrodusinpopulatieinainteaprelevariiurmatoruluiindividne-repetate sau ne-bernoulliene atunci cand individul chestionat nu revine inpopulatie3. Observareacurenta-indiviziisuntchestionatipemasuraceintrainpopulatie4. Observareaperiodica-indiviziiuneipopulatiisuntchestionatilaintervaledetimpbinestabilitedinainte.489.3 Tabeledevaloriobservate9.3.1 Datedeselectie,valorideselectie,sondajeFie Popopulatie, (, F, P)spatiul deprobabilitateasociat, siP P,P= {1, ..., N}.Fief: X,(X, X)campdeevenimente,focaracteristicaalui P. Fiex

1= f(1)x

2= f(2)...x

N= f(N)valorileobservate (valoriledeselectie,desondaj,datelestatistice) bazate pe esan-tionul(N)= (1, ..., N)corespunzatorcaracteristiciif. Untabelx

1, x

2, ..........., x

N(*)incaresunttrecutevalorileobservateinordineaaparitieilorsenumestetabelsimplusaunesistematizat.Atuncicandvolumul esantionului este mare,pentru a neputea forma oimagine cat maiapropiata de realitate despre populatia statistica data,din punct de vedere al caracteristiciif,trecemlasistematizareavalorilorobservate.Fiex1, ..., xnvaloriledistinctedintabelul(*),sinotamkinumaruldeindivizidinesan-tionul (N)caroralecorespundevaloareaxi, i =1, n. Intocmimurmatorul tabel (tabelsistematizat):xikikiNx1k1k1Nx2k2k2N.........xikikiN.........xnknknNundekiestefrecventaabsolutaavaloriixi,iarkiNestefrecventarelativa avaloriixi.Observat ie1. k1 + k2 + ... + kn= N,k1N+ ... +knN= 1.Dacafestedetipcontinuusiiavaloriinintervalul(a, b),considerama = a0< a1< .... < ai1< ai< ai+1< ... < am1< am= bIntervalele(ai1, ai]lenumimclasedevalori. Atunci,putemsasistematizam(*)pebazaacestorclaseintr-untabeldefelulurmator:49(ai1, ai] ki(a0, a1] k1(a1, a2] k2......(ai1, ai] ki......(an1, an] knundekireprezintanumarul devalori careseaainclasa(ai1, ai], k1 + ... + km=N(**).Acesttabel senumestetabel sistematizatpentruseriadedate(*), princlasedevalori.Diferentaaiai1= disenumesteamplitudineaclasei(ai1, ai].Inpractica,demulteori,inlocde(**)seconsideratabelultikit1k1t2k2......tiki......tnknundeti=ai1+ai2.Pentruadeterminanumarulclaselordevaloridispunemdedouametode:1. m = 1+ 103 lgN- formula lui Sturges, pentru determinarea numarului de clase de valori.In acest caz toate clasele din (**) au aceeasi amplitudine, adica a1a0= a2a1= ... =amam1= d =bam. Daca (a, b) este innit, se ia d =xmaxxminm, ai= a+id, i = 0, m.2. Luamd=8100(xmax xmin), xmax=maxi=1,nxi, xmin=mini=1,nxi, aI=a + id, i=0, m.Exemplu3. Sa consideramungrup de 30 studenti. Vrem sa studiem acest grup dinpunctdevederealmedieiobtinutelasfarsitulunuiandestudiu.x

1= f(1) = 6,x

2= f(1) = 5,...x

30= f(1) = 3,Dateledeselectiesunt:6,5,2,6,9,10,8,3,6,7,4,7,6,7,8,7,6,7,8,6,8,6,4,4,6,5,9,5,5,3Tabelulsistematizatobtinuteste:50xiki2 13 24 35 46 87 58 49 210 19.4 Reprezentareagracaadatelor1-dimensionale9.4.1 Reprezentareaprinbatoane/bastonasePentruarealizaaceastareprezentaretrebuiesarealizamtabelulsistematizatdupavaloriledistinctesi apoireprezentamintr-unsistemcartezian, peaxaabsciselorvaloriledeselectiedistincte, si apoi indreptul ecareiaseconstruiestepeverticalaunsegmentculungimeaegalacufrecventaabsoluta(relativa)corespunzatoare.Observat ie 2.Atunci cand frecventele absolute sunt mari, lungimile segmentelor construitesealegproportionalecufrecventeleabsolutesaurelative.Figura1(reprezentareadatelor-schitakiversusxi)Pentruexemplulprecedentavemurmatoareareprezentare(f N(6, ))Figura2(dateledinexemplulprecedent)9.4.2 ReprezentareaprinhistogramaAtunci canddatelesuntgrupateinclasedevalori deamplitudini egaleputemreprezentaseria datelor statistice prin histograme. Pe axa Ox se reprezinta clasele si pe verticala, pentruecare,seconstruiesteundreptunghicubazapeclasalacarenereferimsiinaltimeaegalacufrecventaabsolutaaclasei.Daca unimmijloacele bazelor superioare ale acestor dreptunghiuri prinsegmente dedreaptaobtinempoligonulfrecventelorserieidedate(*).9.5 SistematizareadatelorbidimensionaleSeconsideraopopulatiestatistica P,(, F, P)spatiuldeprobabilitateasociatsif,gdouacaracteristici. Dorimsastudiempopulatiastatisticadinpunctdevedereal caracteristiciibidimensionale(f, g)(inaltime,greutate,deexemplu,incazulpopulatieiunuioras).ConsideramP= {1, ..., N}unesantion.(x

i, y

i) = (f, g)(i) = (f(i), g(i)), i = 1, N( )Consideramx1, ..., xmca indvalorile de selectie, distincte, relative la caracteristica f,y1, ..., ynvaloriledeselectie,distincte,relativelacaracteristicag.51Notam cu kijfrecventele absolute de aparitie ale perechilor de valori (xi, yj), i = 1, m, j=1, n.Valorile(***)sesistematizeazadupavaloriledistincteintr-untabel,numitsitabel decontingentadeforma:f\g y1 yi ynx1......xi kij ......xmkm1 kmj kmnundemi=1nj=1kij= N.Pebazavalorilordinacesttabelsemaidenescurmatoarelefrecventemarginale:ki=nj=1kij, i = 1, mkj=mi=1kij, j= 1, ncaresatisfacrelatiaurmatoare:mi=1ki=nj=1kj= N52Capitolul10CursulX10.1 Caracteristici numerice ale distributiilor statisticeFie Popopulatie statistica, (, F, P) spatiul de probabilitate asociat, f : IRocaracteristica,(N)= (1, ..., N) NunesantiondevolumN.Notam prin x

i= f(i), i = 1, Ndatele statistice primare (valorile observate) si x1, ..., xn -datele statistice distincte, cu frecventele absolute corespunzatoare k1, ..., kn (k1+...+kn= N).Astfel,distributiastatistica aluifestef:

x1xnk1kn

sauf:

x1xnp1pn

undepi=kiN, i = 1, n, (p1 + ...pn= 1)Denit ie1. Numimmediadistributieistatisticefsaumediavalorilorstatisticeprimarex

ivaloarea:x =1NNi=1x

i=1Nni=1kixi=ni=1pixi(10.1)Denit ie 2. Numimmoment de ordinr al distributiei statistice f mediaaritmeticaaputerilorralevalorilorobservater=1NNi=1xNi=1Nni=1kixri=ni=1kpixri. (10.2)Denit ie3. Numimmomentcentratdeordinr aldistributieistatisticefcantitatear=1NNi=1(x

ix)r=1Nni=1ki(xix)r=ni=1kipi(xix)r. (10.3)53Momentulcentratdeordindoisenumestedispersiadistributieistatistice:2= 2f=1Nni=1ki(xix)2(10.4)Observat ie1. Avemurmatoarele:2f=1Nni=1(x2i 2xxi + x2) = 221(10.5)Observat ie2. Pentru n mare, calculul valorilor x, 2fpoate destul de greu, de aceea vomfaceurmatoarelenotatii:t

i= x

ia, a IR, xat, i = 1, NdeundeNi=1t

i=Ni=1x

iNi=1a =t = x asaux = t + a,ceeaceneducelaurmatorultabelpentrucalculareamediei:xikiti= xiax1k1t1= x1a.........xikiti= xia.........xnkntn= xna10.2 CorelatiesiregresieCorelatiastudiazalegaturacareexistaintreocaracteristicadependentasi unasaumaimulte caracteristici independente. Regresia furnizeaza o metoda pentru a determina aceastarelatie.Fie Popopulatie,f: P IR,g: P IRdouacaracteristici,(N)= (1, ..., N)unesantion,x

i, y

i, i = 1, nvaloriobservate.(f, g)(i) = (f(i), g(i)) = (x

i, y

i), i = 1, NFie(xi, yi), i=1, m, j =1, ndatelestatisticedistincte, kijfrecventaabsolutaaperechii(xi, yj).mi=1nj=1kij= N, ki=nj=1kij, kj=mi=1kijf\g y1 yi ynx1k11 k1j k1n............xiki1 kij kin............xmkm1 kmj kmn54Denit ie4. Fier1, r2 IN. Scalarulr1r2=1NNi=1(x

i)r1(y

i)r2(10.6)senumestemomentul deordinr1r2al distributiei statisticebidimensionale(f, g). Inplus,avemsir1r2=1Nmi=1nj=1xr1iyr2j(10.7)Observat ie3. Avemr10=1Nmi=1nj=1kijxr1i=1Nmi=1kixr1i= r1f0r2=1Nmi=1nj=1kijyr2j=1Nnj=1kj yr2j= r2gDenit ie5. Scalarulr1r2=1NNi=1(x

ix)r1(y

iy)r2(10.8)senumestemomentul centratdeordinr1r2aldistributieibidimensionale(f, g). Inplusr1r2=1Nmi=1nj=1(xix)r1(yj y)r2kij(10.9)Observat ie4. Avem11= 111001Denit ie6. Numimcoecientdecorelatiealcaracteristiciibidimensionale(f, g)scalarulr =11fg=11

2f2g(10.10)Observat ie5. Deoarecer =mi=1nj=1kij(xix)(yj y)

mi=1ki(xix)2nj=1kj(yj y)obtinemca |r| 1si |r|=1dacasinumaidacaintrefsigexistaorelatiededependentaliniara. Daca |r| = 0atuncifsigsuntnecorelate.Denit ie7. Numimdispersialuigconditionatadef= xi, i = 1, mscalarul2g|xi=1kinj=1kij(yj y)2(10.11)55Analog,dispersialuifconditionatade g= yj, j= 1, neste2f|yj=1kjmi=1kij(xix)2(10.12)Numimmedialuigconditionatadef= xi, i = 1, nscalarulyi=1kinj=1kijyj(10.13)iarmedialuifconditionatade g= yj, j= 1, nestexj=1kjmi=1kijxi(10.14)Numimdispersialuigconditionatadefscalarul2g|f=1Nmi=1ki2g|xi(10.15)iardispersialuifconditionatadegeste2f|g=1Nnj=1kj2f|yj(10.16)Denit ie 8. Curbay =y(x) pe care se gasesc punctele (xi, yi), i =1, mse numestecurbaderegresiealui gasupralui f. Analog, curbax=x(y)pecaresegasescpunctele( xj, yj), j= 1, nsenumestecurbaderegresiealuifasupraluig.Consideramy= y(x) = h(x, 1, ..., s), 1, ..., s IRparametri.VomdeterminaparametriiiastfelincatfunctiaHdenitaprinH(1, ..., s) =Ni=1(y

ih(x

i, 1, ..., s))2(10.17)saeminima. ObservamcaH(1, ..., s) =mi=1nj=1kij(yj h(xi, 1, ..., s))2Parametrii(1, ..., s)seobtincasolutieasistemuluiH1= 0, ...,Hs= 0. (10.18)5610.2.1 DreptederegresieSaconsideramacumcaecuatiacurbeideregresiealuigasupraluifestedeformay= h(x; a, b) = ax + b,cazincarecurbaderegresieesteodreaptasauoportiunededreapta. Pentruadeterminaasibprocedamcamaisus,adicarezolvamsistemul:

Ha= 0Hb= 0undeH(a, b) =mi=1nj=1kij(yj h(xi; a, b))2=mi=1nj=1kij(yj axib)2Inlocuind,obtinemsistemul

2mi=1nj=1kijxi(yj axib) = 02mi=1nj=1kij(yj axib) = 0 mi=1nj=1kijxiyj xmi=1nj=1kijx2i bmi=1nj=1kijxi= 0mi=1nj=1kijyj ami=1nj=1kijxibmi=1nj=1kij= 0Inmultind ambele ecuatii cu1Nsi tinand seama de denitiile momentelor de sondaj obtinem:

1120a 10b = 00110a b = 0=

20a + 10b = 1110a + b = 01ceeaceconducelaa = rgf, b = 0110r = y rgfx (10.19)deundeseobtinecadreaptaderegresiealuigasupraluifareexpresiad1: y y= rgf(x x) (10.20)Analogdreaptaderegresiealuifasupraluigareexpresiad2: x x = rfg(y y) (10.21)Observat ie6. Dacar=0atunci dreptelederegresiesunty=yrespectivx=x. Dacar = 1saur = 1atuncid1= d2.Observat ie7. Drepteled1sid2trecprinG(x, y),centruldegreutatealnoruluidepuncte{(xi, yj) |i = 1, m, j= 1, n}.57Capitolul11CursulXI11.1 CaracteristicidesondajFie Popopulatie, (, F, P)spatiuldeprobabilitateasociat, f: IRocaracteristica.Efectuamunsondaj(bernoullian), (n)=(1, ..., n), xi=f(i)valori deselectie. Acestevaloripotprivitecavalorileanvariabilealeatoareindependente,identicrepartizatecufundefi: n IR, i = 1, n fi((n)) = f(i) = xi, i = 1, nDenit ie1. Fier IN. VariabilaaleatoareMn,r(f) =1nmi=1fri(11.1)senumestemoment desondaj devolumnsi ordinrcorespunzatorvariabilei aleatoaref.Numimmediedesondajdeordinnvariabilaaleatoaref=1nni=1fi(11.2)Numimmoment centrat de sondaj de volumnsi ordinr corespunzator lui f variabilaaleatoare:Mcn,r(f) =1nni=1(fif)r(11.3)Momentul centrat de sondaj de ordin 2 se numeste dispersie de sondaj de volum n corespun-zatoareluifsisenoteazacuS2n:S2n=1nni=1(fif)2(11.4)Observat ie1. Calculeelementareconduclaegalitatea:S2n=1nni=1f2i f2= Mn,2(f) f2(11.5)58Propozit ie1. DacaM(f) = m,D2(f) = 2,atunciM(f) = m, D2(f) =2n , M(S2n) =n 1n2, D2(S2n) =(n 1)2n3M(f4)(n 1)(n 3)n34Demonstrat ie. AvemM(f) = M

1nni=1fi

=1nni=1M(fi) = mD2(f) = M((f m)2) = M

1nni=1(fim)2

==1n2M

ni=1(fim)2+ 21i 0, xat. (12.4)SpunemcafarerepartitiaStudentcungradedelibertate,sinotamf S(n).Denit ie3. Notam cu tn,cuantila de ordin a variabilei fce are repartitia Student S(n).Caincazulprecedent,avemtn,1= tn,.64Saconsideramopopulatiestatisticamodelataprincampuldeprobabilitate(, F, P)sif: IRocaracteristicaaacestei populatii. Presupunemcasecunoasterepartitialuif,abstractiefacanddeunparametru IRk,F(; )(saudensitatea(; ))Exemplu1. f N(m, 2):f(x) = (x; m, 2) =12e(xm)222, x IRf P:f(x) = (x; ) = exx!, x INDenit ie 4.Orice presupunere relativa la repartitia variabilei aleatoare fse numeste ipotezastatistica. Orice metoda pentru vericarea unei ipoteze statistice se numeste test sau criteriu.Atuncicandoipotezastatisticasereferalaunparametruspunemcaipotezastatisticaesteparametrica,iar un test pentru vericarea unei ipoteze parametrice se numestetestparame-tric. Incazcontraravemoipotezastatisticaneparametrica,respectivuntestneparametric.Oipotezastatisticaformatadintr-unsingur element senumesteipotezasimpla, si incazcontrarsespunecaestecompusa.Denit ie5. Dacarepartitialui fdepindede IRksi =0 1, 0 1= ,0 = ,1,atunciH0: 0senumesteipotezanulaH1: 1senumesteipotezaalternativaExemplu2. a) Pentruf N(m, 2),> 0dat,m IRparametru,sim0 IRxat,H0: m = m0ipotezaparametricasimplaH1: m = m0ipotezaparametricacompusab) Consideramacum> 0necunoscut,m IRparametri.H0: m = m0, > 0 ipotezaparametricacompusaH1: m = m0, > 0 ipotezaparametricacompusaDenit ie6. AconstruiuntestpentruvericareaipotezeinuleH0: 0cualternativaH1: 1revinelaadeterminaosubmultimeCIRn,numitaregiunecriticacuniveluldesemnicatie (0, 1),foartemic,astfelincatP((f1, ..., fn) C|H0adevarata) = unde(f1, ..., fn)suntvariabilelealeatoaredesondajdevolumncorespunzatoareluif.O data determinat un astfel de C, convenim sa respingem ipoteza nula H0si sa acceptamipoteza alternativa H1 daca (x1, ..., xn) C. Daca (x1, ..., xn) Cacceptam H0 si respingemH1. Acest test se numeste test pentru vericarea ipotezei nule H0: 0 cu alternativa H1: 1,cuniveluldesemnicatie. Inpracticaseconsidera = 0.1, 0.01, 0.05, 0.02, ...6512.2 TestulZPresupunemf N(m, 2), >0, cunoscut, si m IR, parametrunecunoscut. Neprop-unemsaconstruimuntestcunivelul desemnicatie (0, 1)pentruvericareaipotezeinuleH0: m=m0cuunadinalternativeleH1: m =m0, H

1: m>m0, H

1: m m0Alegem(z1, z2) = (, z1)siobtinemP( < Z< z1| H0-adevarata) = P

f m0/n z1

= (z1) = 1 66adicaP

f m0/n z1

= VomalegedeciregiuneacriticapentruvericareaipotezeinuleH0cualternativaH

1:n > m0,laniveluldesemnicatie:C

=

(x1, ..., xn) IRn| x m0/n z1

(12.6)Dacavalorilemasurate(x1, .., xn) C

respingemipotezanulaH0si acceptamH

1.Daca (x1, ..., xn) C

acceptam H0si respingem H

1. Testul astfel construit se numestetestulZunilateraldreapta.3. PentrucazulincareipotezaalternativaesteH

1: m < m0,seobtineregiuneacriticaC

=

(x1, ..., xn) IRn| x m0/n z

(12.7)12.3 TestulTFie f N(m, 2), m IR, > 0 necunoscut, si e (f1, ..., fn) variabilele aleatoare de sondajdevolumncorespunzatoareluif. Notams2n=1n 1nk=1(fk f)2.Atuncisepoatedemonstracaf msn/n S(n 1)Casi incazul testului Zsearatacaregiuneacriticapentruvericareaipotezei nuleH0:m = m0cualternativaH1: m = m0laniveluldesemnicatieesteC=

(x1, ..., xn) IRn|

x m0 sn/n

tn1;12

(12.8)unde s2n=1n 1ni=1(xix)2iartn1;estecuantiladeordinpentruS(n 1).Daca(x1, ..., xn) CrespingemH0si acceptamH1, altfel acceptamH0si respingemH1. Testul astfel construit se numeste testulTbilateral. Asemanator cu testul Z, construimregiunilecriticepentruipotezelealternativeH

1: m>m0(testul T unilateral dreapta)respectivH

1: m < m0(testulTunilateralstanga):C

=

(x1, ..., xn) IRn|x m0 sn/n tn1;1

(12.9)siC

=

(x1, ..., xn) IRn|x m0 sn/n tn1;

(12.10)6712.4 PutereaunuitestAtunci candfolosimuntestpentruvericareaipotezelorstatisticeputemfacedouatipurideerori:a) detipul 1,atuncicandrespingemH0cutoatecaeaesteadevaratab) detipul 2,atuncicandacceptamH0desiestefalsaDenit ie7. Functia: 1 (0, 1), () = P({(f1, ..., fn) C| H1}), 1(12.11)senumesteputereatestuluicaracterizatderegiuneacriticaC.Saobservamcauntestestecuatatmaibuncucatputereasaestemaimare.Denit ie8. Untestcuputereamaxima, pentruvericareaipotezei nuleH0: 0cualternativaH1: 1,laniveluldesemnicatie,senumestecel maiputernic.Exemplu3. SacalculamputereatestuluiZbilateral:: IR \ {m0} (0, 1),(m) = P((f1, ..., fn) C | H1) = P((f1, ..., fn) C | m = m0) == P

f m0/n

z12| m = m0

= 1 P

f m0/n

< z12|H1

== 1P

z12