pripreme septembar

5/28/2018 pripreme septembar

1/258

1

Matematikaprvi razred strune kole


2/258

2


3/258

3

Mjeovita srednja kolaHazim abanovi

Visoko

Predmet: Matematika

Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole

PRIPREMAza izvoenje asa

as: 1.Nastavna jedinica: Upoznavanje sa Nastavnim planom i programom

Tip asa: Uvodni as

Nastavne metode: MonolokaOblici rada: Frontalni

Cilj asa: Upoznati uenikesa planom i programom Matematike i nainom rada naasovima

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Upoznati uenike sa nastavnim sadrajima koji ese obraivati u nastavi fizike

prvog razreda

Odgojni zadatak: Izgraditi kod uenika nauni pogled na svijetFunkcionalni zadatak: Pripremiti uenike za budui nain rada na asovima fizike

Literatura:

Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo


4/258

4

TOK ASA

Uvodni dio(3 min.)

Predstavljam se uenicima,upoznajem ih ukratko sa predmetom matematike i znaajem nastavnogpredmeta u okviru srednjokolskog obrazovanja, a posebno znaajem za struku.

Glavni dio (40 min.)

Ukratko uenike upoznajem sa nastavnim sadrajima koji e se obraivati u nastavi matematike u prvomrazredu strune kole. Uenicima predlaem da sa table prepiu kratki pregled oblasti koje su predviene

Nastavnim planom i programom za prvi razred strune kole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanjuudbenika i zbirke) provjeriti da li im udbenikodgovara.

Prva oblast koja e se raditi je Skupovi brojeva. U okviru ove oblasti radiemo sljedee:

Skup prirodnih brojeva , osobine i operacije u tom skuputu emo govoriti o Peanovim aksiomama,operacijama u skupu prirodnih brojeva i osobinama operacija sabiranja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja.

Skup cijelih brojeva Ovdje govoriti i cijelom broju, razlozima za uvoenje cijelih brojeva, operacijamasa cijelim brojevima i njihovim osobinama.

Skup racionalnih brojeva Govoriemo razlozima za uvoenje racionalnih brojeva, pojmu rasionalnogbroja i osnovnim raunskim operacijama sa racionalnim brojevima.

Skup realnih brojeva Govoriemo o razlozima za uvoenje realnih brojeva, definisati iracionalne irealne brojeve i razmotriti operacije sa realnim brojevima i njihove osobine..

Druga oblast koja e se obraivati u prvom razredu Algebarski izrazi. U okviru ove oblasti radiemo

sljedee:StepeniGovoriemo o pojmu stepena, osobinama stepena i nauiemo kako se izvode osnovne operacijesa stepenima (sabiranje, oduzimanje, mnoenje i dijeljenje). Pri tome emo provjeriti kada se mogu, a kadane mogu, izvoditi pojedine operacije sa stepenima.

Monomita su monomi, koje su njihove osnovne osobine, kad se mogu sabirati i oduzimati i kako se toradi, kako se monomi mnoe i dijele..

Polinomita su polinomi, koje su im osnovne osobine i kako se izvode raunske operacije sa polinomima.

Trea oblast je Geometrija u ravni. U okviru ove oblasti radiemo sljedee:

Osnovni i izvedeni pojmovi u geometrijikoji su pojmovi osnovni, a koji izvedeni, kako se deduktivnommetodom izvodi geometrija u ravni, ta je euklidska geometrija. Definisaemo najvanije geometrijskefigure u ravni.

etvrta oblast je Izometrije u ravni. Tu emo prouiti osnovne izometrije u ravni (translaciju, rotaciju,centralnu i osno simetriju) i njihove osobine.

Peta oblast je Pravougli koordinatni sistem u ravni, gdje emo nauiti metodu koordinata, funkcije

direktne i obrnute proporcije i njihove grafike i osobine, kao i linearnu funkciju.


5/258

5

esta oblast je Linearne jednaine, nejednaine i sistemi, gdje emo definisati i nauiti rjeavati linearnejednaine sa jednom nepoznatom, linearne nejednaine sa jednom nepoznatom i sistem od dvije linearnejednaine sa dvije nepoznate.

Zavrnidio (2 min.)

Zakljuiemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program matematike za prvi razred strune kole,najbolje odgovara Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla

Krili, IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo

Napominjem uenicima da, kada kupuju udbenik, obavezno pogledaju da li on sadri sve oblasti koje sunapisane na tabli.

Plan table

MATEMATIKA

SKUPOVI BROJEVA

ALGEBARSKI IZRAZIGEOMETRIJA U RAVNI

IZOMETRIJA U RAVNIPRAVUOGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI

LINEARNE JEDNAINE, NEJEDNAINE I SISTEMI

Matematika sa zbirkomzadataka za prvi razredsrednje kole

Meliha Ali, Lejla Krili,


6/258

6


7/258

7


Visoko

Predmet: Matematika



as: 2.Nastavna jedinica: Osnovni pojmovi u matematici, definicija, aksioma, teorema, dokaz

Tip asa: Obrada novog gradiva

Nastavne metode: Monoloka, dijalokaOblici rada: Frontalni, individualni

Cilj asa: Upoznati uenike sadeduktivnim nainom zasnivanja matematuike teorije

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti daje matematika deduktivna nauka i razumjeti ta to znai.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost

promatranja, opisivanja, uoavanja i biljeenja

Literatura:



8/258

8

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)

Pitam uenike ta odranije znaju o pojmovima u matematici kao to su npr. Taka, prava, ravan, prostor,poluprava, trougao, krug itd.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov

Osnovni i izvedeni pojmovi u matematici


U zasnivanju neke naune teorije mogue je primijeniti jedan od dva osnovna pristupa:

- Induktivni pristupod posebnog ka optem na osnovu nekoliko pojedinanih sluajeva u kojimaje neto tano zakljuujemo da je to uvijek tano. Na primjer, mjerenjem temperature tokomnekoliko dana u mjesecu julu mogli bi zakljuiti da se temperatura u nekoj oblasti kree u rasponuod 25C do 35C. Problem je u tome to bi se mjerenjem temperature u istoj oblasti u decembrudobile znatno nie temperature. Dakle, problem induktivne metode je u tome to nije pouzdana.

Dobra strana je u tome to je lake doi do zakljuka.- Deduktivni pristupod opteg ka posebnomprvo se izvodi pravilo/zakon koji treba da vrijediuvijek, tj. u optem sluaju, a zatim se izvedeno pravilo primjenjuje na pojedinane sluajeve.Prednost je u tome to je ova metoda pouzdanija, a nedostatak u tome to je mnogo tee doi donekog tvrenja.

Matematika je deduktivna nauka, to znai da se prvo izvode i dokazuju opti zakoni i principi, koji sezatim primjenjuju na pojedinane sluajeve.

Pri uspostavljanju matematike teorije moramo raditi sa nekim matematikim pojmovima, kao to su broj,skup, prava, krug, trougao, taka, itd. Sve ove pojmove bi u principu trebali da definiemo, da bi znali ta

predstavljaju ti pojmovi, koje su im osobine i kako raditi sa njima.

Definicija bi trebala da sadri opte obiljeje (koje ukazuje na zajednike osobine tog pojma sa slinimpojmovima u klasi) i specifino obiljeje (po kojima se pojam koji definiemo razlikuje od ostalih pojmovaiz klase). Kad npr. definiemo jednakokraki trougao kao trougao ije su dvije susjedne stranice jednake,ondaje opte obiljeje to da jednakokraki trougao pripada skupu (klasi) trouglova, a specifino obiljeje jeto da su mu dvije susjedne stranice jednake.

Definicija treba da bude to jednostavnija, da opte obiljeje bude to ue, a da specifino obiljeje sadrito manje osobina.

Na primjer, ako definiemo kvadrat, neemo rei da je to etverougao (preiroko opte obiljeje) kome susve etiri stranice jednake i meusobno okomite,a dijagonale okomit i polove se (previe osobina uspecifinom obiljeju). Kvadrat emo definisati kao pravougaonik kome su susjedne stranice jednake. To

je najue mogue opte obiljeje sa najmanjim skupom osobina u specifinom obiljeju. Na taj nain jenajlake prepoznati ta je kvadrat, a dodatne osobine kvadrata se lako izvodeiz navedenih.

Definicija ne smije da koristi pojmove koji nisu poznati tj. definisani ranije, niti smije biti u suprotnosti sa

nekim od definisanih pojmova. Ovdje se oito javlja problem u tim to je oito da ne moemo ba svedefinisati. Zato neke pojmove uzimamo kao osnovne pojmove.

Osnovni pojmovi su pojmovi koji se ne definiu, ve se uzimaju kao unaprijed (intuitivno) poznati. To sunpr. taka, prava, ravan, broj, skup itd.

Izvedeni pojmovi se definiu pomou osnovnih, kao i ve definisanih pojmova. To su npr. poluprava, ugao,podskup itd.

Zavrnidio (5 min.)


9/258

9

Ponavljam osnovne i izvedene pojmove u matematici, u emu se razlikuju osnovni i izvedeni pojmovi, tasu aksioma i teorema, navodim primjere osnovnih i izvedenih pojmova, aksioma i teorema.

Plan table

Osnovni i izvedeni pojmovi u matematici

- Induktivni pristup- Deduktivni pristup- Osnovni pojmovi- Izvedeni pojmovi- Aksiome

- Teoreme


10/258

10


11/258

11


Visoko

Predmet: Matematika



as: 3.Nastavna jedinica: Skupovi brojeva, skup i definicija i operacije u njimaTip asa: Obrada novog gradiva


Cilj asa: Upoznati uenike sa skupovima brojeva i osobinama raunskih operacija

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti kako se uvode skupovi brojeva, kako se ispituju osobine tih skupova,

podsjetiti seosnovnih raunskih operacija sa brojevima, kako se izvode i kojeosobine imaju.

Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost


Literatura:

Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,

IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo


12/258

12

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)

Ponavljam gradivo o kojem smo priali na pretodnom asu. Uenicima postavljam pitanja za ponavljanje:

Pitanje: ta je induktivnipristup?

Odgovor: Induktivni pristup je pristup odposebnog ka optem.

Pitanje: ta je deduktivni pristup?

Odgovor: Deduktivni pristup je pristup od opteg ka posebnom.

Pitanje: ta je osnovni pojam?

Odgovor: Osnovni pojam je pojam koji se ne definie, ve se uzima kao unaprijed poznat.

Pitanje: ta je izvedeni pojam?

Odgovor: Izvedeni pojam je pojam koji se definie preko osnovnog i ve izvedenog pojma.

Pitanje: ta je aksioma?Odgovor: Aksioma je tvrenje koje se ne dokazuje, ve se uzima kao unaprijed tano.

Pitanje: ta je teorema?

Odgovor: Teorema je tvrenje koje se dokazuje preko aksioma i ve dokazanih teorema.

Pitanje: ta znai dokazati tvrdnju?

Odgovor: Dokazati tvrdnju znai primjenom matematike logike tu tvrdnju svesti na aksiome i vedokazana tvrenja, ili na oigledno tano tvrenje.

Pitanje: ta jecirculus vitiosus?

Odgovor: Circulus vitiosus (kruna logika greka) je greka pri dokazivanju, kada se tvrdnja dokazujepreko neega to tek treba dokazati.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslov:

Skupovibrojeva, skup i


13/258

13


Ve nam je poznato da je skup prirodnih brojeva skup 1,2,3,4,5,6,7,...

. Meutim, taj nain ne

definie nedvosmisleno skup prirodnih brojeva.

Italijanski matematiar Giuseppe Peano (1858 1932)je skup pri rodnih brojeva defi nisao preko pet

aksioma, koje su danas poznate kao Peanove aksiome:

(1) Jedinica je pri rodan broj 1

(2) Svaki pri rodan broj ima neposrednog sl jedbenika ' : 'n n n n

(3) Jedinica ni je slj edbenik ni jednog pri rodnog broja ' 1n

(4) Ako dva prirodna broja imaju jednake neposredne sljedbenike, onda su oni jednaki

, ' 'm n m n m n

(5) Ako neki podskup skupa pri rodnih brojeva sadri broj 1 i uz to sadri sljedbenih svakog svojegelementa, onda je taj skup jednak skupu pr ir odnih brojeva

: 1 'M M n M n M M

U skupun prirodnih brojeva definiu se etiri osnovne raunske operacije: sabiranje, oduzimanje,mnoenje i dijeljenje. Ove raunske operacije mogu imate neke od sljedeih osobina:

1. Zatvorenost ,a b a b

2. Komutativnost a b b a

3. Asocijativnost a b c a b c

4. Li jeva distributivnost a b c a b a c

5. Desna distributivnost a b c a c b c

6. Neutraln i element a n a

7. I nverzni element a a n

Osobine sabiranja:

1. Sabiranje je zatvoreno u skupu prirodnih brojeva ,a b a b

2. Sabiranje je komutativno a b b a

3. Sabiranje je asocijativno a b c a b c

4. Sabiranje nema neutralnog elementa u skupu prirodnih brojeva :n a n a

5. Sabiranje nema inverznog elementa u skupu prirodnih brojeva :a a a n

Na primjer:

2 5 7

2 5 5 2

7 7

2 5 3 2 5 3

2 8 7 3

10 10


14/258

14

Osobine oduzimanja:

1. Oduzimanje nije zatvoreno ,a b a b (npr. 2 5 )

2. Oduzimanje nije komutativno a b b a

npr. 5 2 2 5 jer 5 2 3 a 2 5 33

3. Oduzimanje nije asocijativno a b c a b c

15 8 3 15 8 3

15 5 7 3

10 4

4. Oduzimanje nema neutralnog elementa u skupu prirodnih brojeva :n a n a

5. Oduzimanje nema inverznog elementa u skupu prirodnih brojeva :a a a n

Osobine mnoenja:

1. Mnoenje je zatvoreno u ,a b a b 2. Mnoenje je komutativno a b b a

3. Mnoenjeje asocijativno a b c a b c

4. Mnoenje je lijevo distributivno prema sabiranju a b c a b a c

5. Mnoenje je lijevo distributivno prema oduzimanju a b c a b a c

6. Mnoenje je desno distributivno prema sabiranju a b c a c b c

7. Mnoenje je desno distributivno prema oduzimanju a b c a c b c

8. Neutralni element za mnoenje je broj 1 1a a a

9. Mnoenje nema inverznog elementa a a a n

Osobine dijeljenja:

1. Dijeljenje nije zatvoreno u , :a b a b

2. Dijeljenje nije komutativno : :a b b a

3. Dijeljenje nije asocijativno : : : :a b c a b c

4. Dijeljenje nije lijevo distributivno prema sabiranju : : :a b c a b a c

5. Dijeljenje nije lijevo distributivno prema oduzimanju : : :a b c a b a c

6. Dijeljenje je desno distributivno prema sabiranju : : :a b c a c b c

7. Dijeljenje je desno distributivno prema oduzimanju : : :a b c a c b c

8. Neutralni element za dijeljenje je broj 1 :1 ali 1:a a a a a

9. Dijeljenje nema inverznog elementa :a a a n

Da bi oduzimanje brojeva bilo zatvoreno, odnosno da bi mogli da oduzimamo bilo koji prirodan broj,

uvodimo skup cijelih brojeva . Negativno cijeli brojevi nanose se na brojnu osu na suprotnu stranu od

pozitivnih cijelih brojeva.

U skupu cijelih brojeva sabiranje ima neutralni element (broj 0) i inverzni element (broj a , suprotan od

broja a ). Neutralni element za oduzimanje je broj 0, dok je inverzni element broja aisti taj broj a.

Napominjem uenike da se podsjete pravila izvravanja raunskih operacija sa cijelim brojevima iz osnovnekole:

Sabiranje:


15/258

15

- Dva broja jednakih predznaka sabiramo tako to prepiemo zajedniki predznak i saberemoapsolutne vrijeednosti brojeva

- Dva broja suprotnih predznaka sabiramo tako to prepiemo predznak broja sa veom apsolutnomvrijednou i od vee apsolutne vrijednosti oduzmemo manju.

Oduzimanje:

Broj boduzimamo od broja atako to broj asaberemo sa brojem suprotnim od broja b a b a b

Mnoenje i dijeljenje:- Dva broja jednakih predznaka mnoimo/dijelimo tako to im mnoimo/dijelimo apsolutne

vrijednosti

- Dva broja suprotnih predznaka mnoimo/dijelimo tako to piemo predznak i mnoimoapsolutne vrijednosti.

Primjeri:

5 7 5 7 12

5 7 7 5 2

5 7 7 5 2

5 4 5 4 20

3 8 3 8 24

5 7 5 7 35

24 : 6 24 : 6 4

18 : 3 18 : 3 6

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje skupa prirodnih brojeva, operacije sa prirodnim i cijelim brojevima i osobine tih

operacija.

Plan table

Skupovi brojeva, skup i

1. 1

2. ' : '

3. ' 1

4. , ' '

5. : 1 '

n n n n

n

m n m n m n

M M n M n M M

1. ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

a b a b

a b b a

a b c a b c

a b c a b a c

a b c a c b c

a n a

a a n

Osobine sabiranja:

1. ,

2.

3.

4.

a b a b

a b b a

a b c a b c

:

5.

n a n a

:a a a n

2 5 7

2 5 5 2

7 7

2 5 3 2 5 3

2 8 7 3

10 10

Osobine oduzimanja:

1. ,

2.

3.4.

a b a b

a b b a

a b c a b c

:

5.

n a n a

:

15 8 3 15 8 3

15 5 7 3

10 4

a a a n


16/258

16


17/258

17


Visoko

Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: I strune kole


as: 4.Nastavna jedinica: Skup definicija, osobine, prikaz racionalnog brojaTip asa: Obrada novog gradiva







Literatura:


TOK ASA


18/258

18

Uvodni dio(5 min.)


Pitanje: Koji su to prirodni brojevi?

Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...

Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?

Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?

Odgovor: Druga Peanova aksioma glasi: Svaki prirodan broj ima svog neposrednog sljedbenika

Pitanje: Kako glasi treaPeanova aksioma?

Odgovor: Trea Peanova aksioma glasi: Jedinica nije neposredni sljedbenik nijednog prirodnog broja.

Pitanje: Kako glasi etvrtaPeanova aksioma?

Odgovor: etvrtaPeanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposrednesljedbenike, onda su oni jednaki.

Pitanje: Kako glasi peta Peanova aksioma?

Odgovor: Peta Peanova aksioma glasi: ako neki podskup skupa prirodnih brojeva sadri jedinicu ineposrednog sljedbenika svakog svog elementa, onda je taj skup jednak skupu prirodnih

brojeva.

Pitanje: Da li je sabiranje komutativno u skupu prirodnih brojeva i ta to znai?

Odgovor: Sabiranje u skupu prirodnih brojeva je komutatovno, to znai da vrijedi a b b a , tj. daredoslijed sabiranja dva prirodna broja moemo zamijeniti.

Pitanje: Koje operacije su asocijativne u skupu prirodnih brojeva?

Odgovor: U skupu prirodnih brojeva su asocijativne operacije sabiranja i mnoenja.


Skup


Skup racionalnih brojeva uvodimo zato to u skupu cijelih brojeva ne moemo uvijek izvriti dijeljenje,odnosno dijeljenje nije zatvoreno u skupu cijelih brojeva. Racionaljan broj uvodimo tako to, u sluaju dase dijeljenje ne moe izvriti, znak dijeljenja zamijenimo razlomakom linijom.

brojnik:

nazivnik

aa b

b

Racionalan broj je kolinik cijelog i prirodnog broja:

,a

q a bb

Skup racionalnih brojeva je skup

| ,a

q a bb


19/258

19

Racionalan broj se moe definisati i kao kolinik dva cijela broja, samo u tom sluaju moramo napomenutida broj u nazivniku ne smije biti jednak nuli.

, , 0a

q a b bb

| , , 0a

q a b bb

Na taj nain smo rijeili zatvorenost sve etiri osnovne raunske operacije. Dakle, u skupu racionalnihbrojeva operacije sabiranja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja su zatvorene.

Moemo definisati reciprone brojeve. To su brojevi iji je proizvod jednak jedinici.

1 2 1q q

Reciproan broj brojaa

b dobijamo zamjenom mjesta brojnuku i nazivniku, ime dobijemo broj

b

a. Dakle,

brojevia

b i

b

a su reciproni, jer vrijedi

1a b

b a

Ovo ujedno znai da je broj reciproan brojuxinverzni element za mnoenje.

Reciproan broj broja aje broj1

a

, a isto tako je reciproan broj broja1

a

broj a. Kaemo da su brojevi ai

1

a

uzajamno (meusobno) reciproni.

Sad i dijeljenje racionalnih brojeva moemo svesti na mnoenje:

1

:p q p q

Odnosno

:

a c a d

b d b c

Operacije sa racionalnim brojevima:

Sabiranje i oduzimanje

a c ad bc

b d bd

(mada u praksi traimo najmanju zajedniki sadrioc za nazivnike, tj. najmanji zajedniki nazivnik zarazlomke koji se sabiraju/oduzimaju)

Mnoenje

a c a c

b d b d

Dijeljenje


20/258

20

:

a c a d a d

b d b c b c

Primjeri:

5 7 5 4 7 3 20 21 20 21 41

6 8 6 4 8 3 24 24 24 24

11 1 11 2 1 3 22 3 199 6 18 18 18

4

15

25

6

2 5 2 5 10

3 3 3 3 9

5 4 5:

6 9 6

9

5 3 5 3 15

4 2 4 2 4 8

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje skupa racionalnih brojeva, operacije sa racionalnim brojevima i osobine tih

operacija.

Plan table

Skup

1 2

brojnik:

nazivnik

,

| ,

, , 0

| , , 0

1

aa b

b

aq a b

b

aq a b

b

aq a b b

b

aq a b b

b

q q

1

1:

:

:

a b

b a

p q pq

a c a d a

c ad bcb d b cb d bd

a c a c

b d b d

a c a d a d

b d b c b c

Primjeri:

5 7 5 4 7 3 20 21 20 21 41

6 8 6 4 8 3 24 24 24 24

11 1 11 2 1 3 22 3 19

9 6 18 18 18

4

15

25

6

2 5 2 5 10

3 3 3 3 9

5 4 5:

6 9 6

9

5 3 5 3 15

4 2 4 2 4 8


21/258

21


Visoko

Predmet: Matematika



as: 5.Nastavna jedinica: Skupovi I i , realna brojana osa








Literatura:

Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje kole, Meliha Ali, Lejla Krili,

IP Svjetlost d.d. zavod za udbenike i nastavna sredstva, Sarajevo


22/258

22

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...

Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?

Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.

Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?




Pitanje: Kako glasi etvrtaPeanova aksioma?Odgovor: etvrtaPeanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposredne

sljedbenike, onda su oni jednaki.



brojeva.






Skup


Razlog za uvoenje skupa realnihbrojeva je zatvaranje operacije korjenovanja.

Kvadrat racionalnog broja je jednak proizvodu tog broja sa samim sobom

2q q q

Kvadratni korijen racionalnog broja qje brojpiji je kvadrat jednak broju q, odnosno

2p q p q

Problem nastaje zato to kvadratni korijen racionalnog broja ne mora biti racionalan broj. Broj je racionalan

ako se moe prikazati kao kolinik cijelog i prirodnog broja. Racionalan broj se isto tako moe predstaviti


23/258

23

decimalnim brojem sa konani mnogo decimala ili sa beskonano mnogo decimala od kojih se dioperiodiki ponavlja, kao npr. 2,35 ili 14,12568568568568568568...

Pokazalo se da broj 2 nije mogue prikazati ni na jedan od navedenih naina. Postoji i dokaz da 2 nije racionalan, ali ga ovdje neemo izvoditi. Dakle:

2

Brojeve koji se ne mogu predstaviti kao kolinik cijelog i prirodnog broja zazivamo iracionalni brojevi.

Skup iracionalnib brojeva oznaavamo sa I.

2, 2, 3, 3,... I

Unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva:

I

Skup realnih brojeva se moe prikazati na realnoj brojnoj osi. Svaka taka na realnoj brojnoj osi odgovaranekom realnom broju, i svakom realnom broju odgovara neka taka na realnoj brojnoj osi. Izmeu realnih

brojeva i realne brojne ose moe se uspostaviti obostrano jednoznano preslikavanje, kojim se svakomrealnom broju prudruuje talka na realnoj brojnoj osi, i obrnuto. To je osnova na kojoj se zasniva metoda

koordinata.

R6543210-1-2-3-4-5-6

Kako iracionalnom broju pridruiti taku na brojnoj osi? Primjenom Pitagorine teoreme na jednakokraki

pravougli trougao sa stranicama 1 i 1, dobijamo da je duinahipotenuze jednaka 2 , pa taku na brojnoj

osi pridruenu broju 2 moemo dobiti na sljedei nain:

R32210-1

1

1

2

Na slian nain se moe prikazati taka koja odgovara bilo kojem iracionalnom broju. Na primjer,

iracionalnom broju 3 moemo na brojnoj osi pridruiti taku na sljedei nain:

R32310-1

2 1

1

1

3


24/258

24

Za vjebu: Na realnoj brojnoj osi prikazati iracionalne brojeve:

1. 5

2. 6

3. 7

Rjeenja:

1. Za broj 2 25 1 4 1 2 nam treba pravougli trougao sa katetama 1 i 2.

R32 510-1

2

1

5

2. Za broj2

26 4 2 2 2 treba nam pravougli trougao sa katetama 2 i 2

R32210-1

1

1

2

2

6

6


25/258

25

3. Za broj2

27 4 3 2 3 treba nam pravougli trougao sa katetama 2 i 3 .

R32

7

10-1

2 1

1

1

3

2

7


26/258

26

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje skupa racionalnih brojeva, operacije sa iracionalnim i realnim brojevima i osobine

tih operacija. Pojanjavam prikaz iracionalnog broja na realnoj brojnoj osi. Dajem zadatke za domauzadau:Prikazati na realnoj brojnoj osi iracionalne brojeve:

1. 2 28 4 4 2 2

2. 2 210 9 1 3 1

3.2

211 9 2 3 2

Plan table

Skupovi I i

2

2

2

2, 2, 3, 3,...

q q q

p q p q

I

I

R6543210-1-2-3-4-5-6

R32210-1

1

1

2

R32310-1

2 1

1

1

3


27/258

27


Visoko

Predmet: Matematika



as: 6.Nastavna jedinica: Stepen sa cjelobrojnim eksponentomdefinicija, operacijeTip asa: Obrada novog gradiva


Cilj asa: Upoznati uenike sa pojmom i osnovnim osobinama stepena

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen, ta je baza, ta je eksponent i nauiti osnovne osobine

stepena.



Literatura:



28/258

28

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?

Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.

Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?




Pitanje: Kako glasi etvrtaPeanova aksioma?

Odgovor: etvrtaPeanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposrednesljedbenike, onda su oni jednaki.



brojeva.






Stepeni


Proizvod vie jednakih brojeva nazivamo stepen. Stepen emo definisati sljedeom formulom:

puta

.......

- baza

- eksponent

n

n

a a a a

a

n

Uzeemo da je eksponent cijeli broj n .

Napomena: Eksponent 1 se ne mora pisati, ve se podrazumijeva. Dakle, umjesto 1a piemo samo a .

Gdje god ubudue vidimo a , podrazumijevamo da to znai1

a Osobine stepena:


29/258

29

Stepen pozitivnog broja je uvijek pozitivan broj

0 0n

a a

Stepen negativnog broja je pozitivan ako je eksponent paran broj

0, 2 0n

a n k a

Stepen negativnog broja je negativan ako je eksponent neparan broj

0, 2 1 0

n

a n k a

Stepen ija je baza jednaka nuli je jednak nuli pod uslovom da mu je eksponent razliit od nule.

0 0 0na a n

Stepenovanje ima vii prioritet od mnoenja.c

ba znai

cb

a , a ne c

ba .

Stepenovanje nije komutativno

3 22 8 3 9

Stepenovanje nije asocijativno

c cb b

a a

Primjer 1.

Izraunati 82 .

Rjeenje:

82 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

Odavde vidimo da je mogue stepen izraziti preko tzv. rekurzivne formule, tj. tako to se stepen na izrazipreko stepena iji je eksponent za 1 manji od n 1na

1 1n na a a n

Tako je:

2

3

4

1

1

2

3 2

4 3

5 4

1....n

a

a

a

n n

a

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a

Primjer 2.

Izraunati 92

Rjeenje:


30/258

30

Iz primjera 1 vidimo da je 82 256 , tako da je

9 82 2 2 256 2 512

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:1. Izraunati 53 ako se zna da je 43 81 .2. Izraunati 4n , gdje je 2,3,4,5,6,7n

Plan table

Stepeni

3 2

puta

.......

- baza

- eksponent

0 0

0, 2 0

0, 2 1 0

0

2 8

0 0

3 9

c

n

n

n

n

n

n

cb b

a a a a

a

n

n

a a

a n k a

a n k a

a a n

a a

2

3

1

8

8

1

1

2

3 2

4 3

1

9

Primjer 1. 2 ?

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2

16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

1

....

Primjer 2. 2

n

n n

a

a

n n

a

a a a n

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

8

9 8

?

2 256

2 2 2 256 2 512


31/258

31


Visoko

Predmet: Matematika



as: 7.Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima jednakih baza



Cilj asa: Upoznati uenike sa osnovnim operacijama sa stepenima

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen, ta je baza, ta je eksponent i nauiti kako se vre osnovne

operacije sa stepenima.



Literatura:



32/258

32

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)


Pitanje: ta je stepen?

Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojevaputa......

n

na a a a

Pitanje: Da li je stepenovanje komutativno?

Odgovor: Stepenovanje nije komutativno, tj. b aa b .

Pitanje: Da li je stepenovanje asocijativnio?

Odgovor: Stepenovanje nije asocijativno, tj.

c cb ba a

Pitanje: Kakvog je znaka stepen pozivitnog broja?

Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?

Odgovor: Stepen negativnog broja je pozitivan ako mu je eksponent paran broj.

Pitanje: kada je stepen negativnog broja negativan?

Odgovor: Stepen negativnog broja je negativan ako mu je eksponent neparan broj.

Pitanje: Da li mnoenje ima vii prioritet od stepenovanja?

Odgovor: Mnoenje nema vii prioritet od stepenovanja, ve upravo suprotno: stepenovanje ima viiprioritet (prije se radi) od mnoenja.

Pitanje: ta je i kako glasi rekurzivnea formula za stepen?

Odgovor: Rekurzivna formula za stepen je formula za raunanje n-tog stepena preko (n-1)-vog. Onaima oblik: 1n na a a


Operacije sa stepenima jednakih baza


Moemo mnoiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bimogli pomnoiti dva stepena jednakih baza:

puta puta puta

...... ..... ......m n m n

m n m n

a a a a a a a a a a a a

Na primjer:

5 3 8 5 3

5 puta 3 puta 8 puta

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Primjer 1.23 11 23 11 34

a a a a


33/258

33

Primjer 2.

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5a b a b a b a b

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih baza.

:

m

m n

n

a a

a a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a puta

puta

..... m n

m n

n

a a a a

Na primjer:

99 4

4:

a a

a a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

Primjer 3.

23 11 23 11 12:a a a a

Primjer 4.17 17 17 17 0

:a a a a

Sa druge strane, ovo moemo izraunati i bez primjene pravilastepenovanja:

17

17 17:

a

a a 17

a

1

Poto moe biti samo jedan taan rezultat, a oba postupka su ispravni, zakljuujemo da je

01a

Ovo moemo izvesti i u optem sluaju:

:n

n n aa a

na

0

0

11

:n n n n

a

a a a a

Napomena: Ovo vrijedi uz ogranienje da je 0a , jer se nula ne moe stepenovati sa nulom.

Razmotrimo stepen sa negativnim eksponentom:

0

0 1n nn n

aa aa a

Dakle,1

n

n

a

a

Primjer 5.

5

5

1a

a

Jo emo razmotriti kako moemo stepenovati stepen:


34/258

34

puta puta puta puta puta

puta

..... ..... ..... ..... ..... .....m

n n n n m n

m n n n m n

m

a a a a a a a a a a a a a a a a a

Na primjer:

4

3 3 3 3 3 12 4 3

4 puta 3 puta 3 puta 3 puta 3 puta 12 puta

4 puta

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Primjer 6.

7

5 7 5 35a a a

Moemo ova pravila kombinovati u nova, ako istovremeno iskoristimo vie pravila. Na primjer:

rm n m r n r

p p r

a b a b

c c

Primjer 7.6

7 5 7 6 5 6 42 30

4 3 4 6 3 6 24 18

a b a b a b

c d c d c d

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:

1. 4 3

5 3 2 4?a b a b

2. 2 3

5 4 3 2 2: ?x y z x y z

Plan table


puta puta puta

5 3 8 5 3


23 11 23 11 34

...... ..... ......

Primjer 1.

Primjer

m n m n

m n m n



a a a a

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5

2.

:m

m n

n

a b a b a b a b

a aa a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a putaputa

99 4

4

.....

:

m n

m n

n

a a a a

a aa a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

23 11 23 11 12

17 17 17 17 0

1717 17

Primjer 3.

:

Primjer 4.

:

:

a a a a

a a a a

a

a a

17a0

1

1

:n

n n

a

a

a a

n

a

0

0

11

:

0

n n n n

a

a a a a

a


35/258

35


Visoko

Predmet: Matematika



as: 8.Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima jednakih eksponenata



Cilj asa: Upoznati uenike sa osnovnim operacijama sa stepenima

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen, ta je baza, ta je eksponent i nauiti kako se vre osnovne

operacije sa stepenima.



Literatura:



36/258

36

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojevaputa......

n

na a a a





c cb ba a


Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?






Pitanje: ta je i kako glasi rekurzivnea formula za stepen?

Odgovor: Rekurzivna formula za stepen je formula za raunanje n-tog stepena preko (n-1)-vog. Onaima oblik: 1n na a a




Moemo mnoiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bimogli pomnoiti dva stepena jednakih eksponenata:

puta puta

puta

...... ..... ......nn n

n nn

a b a a a b b b a b a b a b a b

Na primjer:

33 3

3 puta3 puta3 puta

a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b

Primjer 1.


37/258

37

55 5 5

2 5 2 5 10 100 000

Primjer 2.

8 8

2 5 2

3 2

5

3 2

8 8

5

3

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih eksponenata.puta

puta puta

.....: .....

.....

n

nn

n n

n

n n

a a a a a a a aa b

b b b b b b b b

Na primjer:

4 puta

444 4

4

4 puta 4 puta

: a a a a a a a a a a

a bb b b b b b b b b b

Primjer 3.

5

5 5

5

6 66 : 4

4

4

5 5

3

2

Sva pravila stepenovanja (u stvari, sve jednakosti) moemo itati na dva naina; slijeva nadesno (kako sunapisane) i sdesna nalijevo (ako zamijenimo lijevu i desnu stranu). Na ovaj nain dobijamo jo dva

pravila:

Stepenovanje proizvoda:

n n n

a b a b

Primjer:

3 3

5 3 5 153 3 27a a a

Uoiti da 3

53a nije jednako 153a 3

5 153 3a a , ve 1537a

35 15

3 27a a

Stepenovanje kolinika (razlomka, racionalnog broja):

0n n

n

a ab

b b

Primjer:

4 4

4

2 2 16

3 3 81


38/258

38

Zavrnidio (5 min.)


1. 5 3

3 42 3 ?a b ab

2.

4 33 5

2 3

2 6?

3 4

x y

y x

Plan table


puta putaputa

33 3

3 puta3 puta3 puta

55 5 5

8

...... ..... ......

2 5 2 5 10 100000

2

3

nn n

n nn



85 2

2

5

3 2

8 8

puta

puta puta

4 puta

444 4

4

4 puta 4 puta

5

3

.....: .....

.....

:

n

nn

n n

n

n n

a a a a a a a aa b

b b b b b b b b

a a a a a a a a a aa b

b b b b b b b b b b

55 5

5

6 66 : 4

4

4

5 5

3 35 3 5 15

35 15

35 15

4 4

4

3

2

3 3 27

3 3

3 27

0

2 2 16

3 3 81

n n n

n n

n

a b a b

a a a

a a

a a

a ab

b b


39/258

39

Matematikadrugi razred strune kole


40/258

40


41/258

41


Visoko

Predmet: Matematika

Predmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole


as: 1.Nastavna jedinica: Upoznavanje sa Nastavnim planom i programom

Tip asa: Uvodni as

Nastavne metode: MonolokaOblici rada: Frontalni

Cilj asa: Upoznati uenikesa planom i programom matematike i nainom rada naasovima

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Upoznati uenike sa nastavnim sadrajima koji e se obraivati u nastavi

matematike prvog razreda

Odgojni zadatak: Izgraditi kod uenika nauni pogled na svijetFunkcionalni zadatak: Pripremiti uenike za budui nain rada na asovima matematike

Literatura:

Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednjih kola,


42/258

42

TOK ASA

Uvodni dio(3 min.)

Predstavljam se uenicima, upoznajem ih ukratko sa predmetom matematike i znaajem nastavnogpredmeta u okviru srednjokolskog obrazovanja, a posebno znaajem za struku.


Ukratko uenike upoznajem sa nastavnim sadrajima koji e se obraivati u nastavi matematike u drugomrazredu strune kole. Uenicima predlaem da sa table prepiu kratki pregled oblasti koje su predviene

Nastavnim planom i programom za drugi razred strune kole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanjuudbenika i zbirke) provjeriti da li im udbenik.

Stepeni i korijenistepen sa cjelobrojnim eksponentom, ponoviti pravila stepenovanja i nauiti nova,nauiti ta je korijen i kako se izvode operacije sa korijenima, definisati stepen sa racionalnimeksponentom i dovesti u vezu stepene i korijene.

Skup kompleksnih brojevaalgebarski oblik kompleksnog brojaoperacije sa kompleksnim brojem u

algebarskom obliku, predstavljanje kompleksnog broja u Gaussovoj ravni.

Kvadratna funkcija, jednaina i nejednaina nepotpuna i potpuna kvadratna funkcija, njen grafik iosobine, potpuna i nepotpuna kvadratna jednaina i naini rjeavanja, Viete-ove formule, kvadratnitrinom, kvadratne nejednaine i rjeavanje kvadratnih nejednaina.

Osnovi trigonometrijetrigonometrijske funkcije, njihov grafik i osobine, adicione teoreme, rjeavanjepravouglog i kosouglog trougla, trigonometrijske jednaine.

Zavrnidio (2 min.)

Zakljuiemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program fizike za prvi razred strune kole, najboljeodgovara udbenih Matematika sa zbirkom zadataka za drugi razred srednjih kola.

Napominjem uenicima da, kada kupuju udbenik, obavezno pogledaju da li on sadri sve oblasti koje sunapisane na tabli.

Plan table

MATEMATIKA

STEPENI I KORIJENISKUP KOMPLEKSNIH BROJEVAKVADRATNA FUNKCIJA, JEDNAINAI NEJEDNAINAOSNOVI TRIGONOMETRIJE

Matematika sa zbirkomzadataka za drugi razred

srednjih strunih kola


43/258

43


Visoko

Predmet: MatematikaPredmetni nastavnik: Kolainac Senad, prof.Razred: II strune kole


as: 2.Nastavna jedinica: Stepeni sa cjelobrojnim eksponentom, pravila stepenovanja

Tip asa: Ponavljanje


Cilj asa: Ponoviti i podsjetiti se pojma i osnovnih osobina stepena

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Shvatiti ta je stepen i koje su osnovne osobine stepena.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost


Literatura:

Matematika za drugi razred srednjih kola, Abdulah Hodi


44/258

44

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)

Pitam uenike ta odranije znaju o prostoru i vremenu, o poloaju i kretanju tijela, koje vrste kretanjapoznaju, kojih veliina u vezi sa kretanjem se sjeaju.

Najavljujem cilj asa. Na vrh table piem naslov

Stepeni


Proizvod vie jednakih brojeva nazivamo stepen. Stepen emo definisati sljedeom formulom:

puta

.......

- baza

- eksponent

n

n

a a a a

a

n

Uzeemo da je eksponent cijeli broj n .

Napomena: Eksponent 1 se ne mora pisati, ve se podrazumijeva. Dakle, umjesto 1a piemo samo a .Gdje god ubudue vidimo a , podrazumijevamo da to znai 1a

Osobine stepena:

Stepen pozitivnog broja je uvijek pozitivan broj

0 0n

a a

Stepen negativnog broja je pozitivan ako je eksponent paran broj

0, 2 0n

a n k a

Stepen negativnog broja je negativan ako je eksponent neparan broj

0, 2 1 0n

a n k a

Stepen ija je baza jednaka nuli je jednak nuli pod uslovom da mu je eksponent razliit od nule.

0 0 0na a n

Stepenovanje ima vii prioritet od mnoenja.c

ba znai

cb

a , a ne

cb

a .

Stepenovanje nije komutativno

3 22 8 3 9

Stepenovanje nije asocijativno

c cb b

a a

Primjer 1.Izraunati 82 .


45/258

45

Rjeenje:

82 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

Odavde vidimo da je mogue stepen izraziti preko tzv. rekurzivne formule, tj. tako to se stepen na izrazipreko stepena iji je eksponent za 1 manji od n 1na

1 1n na a a n

Tako je:

2

3

4

1

1

2

3 2

4 3

5 4

1....

n

a

a

a

n n

a

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a

Primjer 2.

Izraunati 92

Rjeenje:

Iz primjera 1 vidimo da je 82 256 , tako da je

9 82 2 2 256 2 512

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:1. Izraunati 53 ako se zna da je 43 81 .2. Izraunati 4n , gdje je 2,3,4,5,6,7n


46/258

46

Plan table

3 2

puta

.......

- baza

- eksponent

0 0

0, 2 0

0, 2 1 0

0

2 8

0 0

3 9

c

n

n

n

n

n

n

cb b

a a a a

a

n

n

a a

a n k a

a n k a

a a n

a a

Stepeni

2

3

1

8

8

1

1

2

3 2

4 3

1

9

Primjer 1. 2 ?

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2

16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

1

....

Primjer 2. 2

n

n n

a

a

n n

a

a a a n

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

8

9 8

?

2 256

2 2 2 256 2 512


47/258

47


Visoko

Predmet: Matematika



as: 3.Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima

Tip asa: Ponavljanje


Cilj asa: Ponoviti osnovna pravila stepenovanja

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Ponoviti kako se izvode raunske operacije sa stepenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost


Literatura:



48/258

48

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)

Pitam uenike ta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:


Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva.

Pitanje: Kako se rauna stepen?

Odgovor: Stepen se rauna po formuliputa

.......n

n

a a a a

Pitanje: ta je baza stepena?

Odgovor: Baza stepena je broj koji se mnoi.

Pitanje: ta je eksponent stepena?

Odgovor: Eksponent stepena je broj faktora.

Pitanje: Kako glase rekurzivne formule za raunanje stepena?

Odgovor: Rekurzivne formule za raunanje stepena su1

1....

n

n n

a

a a a a a a a

, gdjenmoe biti

bilo koji broj vei od 1





c cb ba a


Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.

Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?







Operacije sa stepenima


49/258

49


Moemo mnoiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bimogli pomnoiti dva stepena jednakih baza:

puta puta puta

...... ..... ......m n m n

m n m n


Na primjer:

5 3 8 5 3



Primjer 1.

23 11 23 11 34a a a a

Primjer 2.

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5a b a b a b a b

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih baza.

:

m

m n

n

a a

a a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a puta

puta

..... m n

m n

n

a a a a

Na primjer:

99 4

4:

a a

a a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

Primjer 3.

23 11 23 11 12:a a a a

Primjer 4.

17 17 17 17 0:a a a a

Sa druge strane, ovo moemo izraunati i bezprimjene pravila stepenovanja:

17

17 17:

a

a a 17

a

1

Poto moe biti samo jedan taan rezultat, a oba postupka su ispravni, zakljuujemo da je

0 1a

Ovo moemo izvesti i u optem sluaju:

:

n

n n a

a a n

a

0

0

11

:n n n n

a

a a a a

Napomena: Ovo vrijedi uz ogranienje da je 0a , jer se nula ne moe stepenovati sa nulom.


50/258

50

Razmotrimo stepen sa negativnim eksponentom:

0

0 1n nn n

a

a a

a a

Dakle,1

n

n

a

a

Primjer 5.

5

5

1a

a

Jo emo razmotriti kako moemo stepenovati stepen:

puta puta puta puta puta

puta

..... ..... ..... ..... ..... .....m

n n n n m n

m n n n m n

m

a a a a a a a a a a a a a a a a a

Na primjer:

43 3 3 3 3 12 4 34 puta 3 puta 3 puta 3 puta 3 puta 12 puta

4 puta

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Primjer 6.

7

5 7 5 35a a a

Moemo ova pravila kombinovati u nova, ako istovremeno iskoristimo vie pravila. Na primjer:

rm n m r n r

p p r

a b a b

c c

Primjer 7.

67 5 7 6 5 6 42 30

4 3 4 6 3 6 24 18

a b a b a b

c d c d c d

Pogledajmo kako bi mogli pomnoiti dva stepena jednakih eksponenata:

puta puta

puta

...... ..... ......nn n

n nn


Na primjer:

33 3

3 puta3 puta3 puta


Primjer 8.

55 5 5

2 5 2 5 10 100 000

Primjer 9.

8 8

2 5 2

3 2

5

3 2

8 8

5

3


51/258

51

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih eksponenata.

puta

puta puta

.....: .....

.....

n

nn

n n

n

n n

a a a a a a a aa b

b b b b b b b b

Na primjer:

4 puta

444 4

4

4 puta 4 puta

: a a a a a a a a a a

a bb b b b b b b b b b

Primjer 10.

5

5 5

5

6 66 : 4

4

4

5 5

3

2

Sva pravila stepenovanja (u stvari, sve jednakosti) moemo itati na dva naina; slijeva nadesno (kako sunapisane) i sdesna nalijevo (ako zamijenimo lijevu i desnu stranu). Na ovaj nain dobijamo jo dva

pravila:

Stepenovanje proizvoda:

n n n

a b a b

Na primjer:

3 3

5 3 5 153 3 27a a a

Uoiti da 3

53a nije jednako 153a 3

5 153 3a a , ve 1537a

35 15

3 27a a

Stepenovanje kolinika (razlomka, racionalnog broja):

0n n

n

a ab

b b

Na primjer:

4 4

4

2 2 16

3 3 81


52/258

52

Zavrnidio (5 min.)


1. 4 3

5 3 2 4?a b a b

2. 2 3

5 4 3 2 2: ?x y z x y z

3. 5 3

3 42 3 ?a b ab

4.4 33 5

2 3

2 6?

3 4

x y

y x

Plan table

puta puta puta

5 3 8 5 3


23 11 23 11 34

...... ..... ......

Primjer 1.

Primjer

m n m n

m n m n



a a a a

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5

2.

:m

m n

n

a b a b a b a b

a aa a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a putaputa

9

9 44

.....

:

m n

m n

n

a a a a

a a

a aa

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

Operacije sa stepenima

23 11 23 11 12

17 17 17 17 0

1717 17

Primjer 3.

:

Primjer 4.

:

:

a a a a

a a a a

a

a a

17

a

0

1

1

:n

n n

a

a

a a

n

a

0

0

11

:

0

n n n n

a

a a a a

a


53/258

53


Visoko



as: 4.Nastavna jedinica: Pojam aritmetikog korijena. Pravila korjenovanja.Tip asa: Obrada novog gradiva


Cilj asa: Nauiti ta je korijen i koje su mu osnovne osobine

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Nauiti kako se izvode raunske operacije sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost


Literatura:



54/258

54

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva.Pitanje: Kako se rauna stepen?

Odgovor: Stepen se rauna po formuliputa

.......n

n

a a a a

Pitanje: ta je baza stepena?

Odgovor: Baza stepena je broj koji se mnoi.

Pitanje: ta je eksponent stepena?

Odgovor: Eksponent stepena je broj faktora.

Pitanje: Kako glase rekurzivne formule za raunanje stepena?

Odgovor: Rekurzivne formule za raunanje stepena su1

1....

n

n n

a

a a a a a a a

, gdjenmoe biti

bilo koji broj vei od 1





c cb ba a


Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.

Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?







Korijeni


55/258

55


Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a.

nnb a b a

Broj nje eksponent korijena, a apotkorjena veliina.Ako je potkorjena veliina stepen nekog broja, ondarazlikujemo stepen korijena i stepen potkorjene veliine.

- stepen korijena

- stepen potkorjene veliine

- potkorjena veliina

n m

m

a

n

m

a

Na primjer

3

3

2 8

8 2

Neke osobine korijena:

n n

n n

a a a

Na primjer

77

5 5

ako je 2n n

a a n k

Na primjer

10 10

2424

8 8

5 5 5

ako je 2 1n n

a a n k

Na primjer

5 55

33 3

32 2 2

8 2 2

Korijen pozitivnog broja uvijek je pozitivan.

0 0na a

Na primjer

481 3

Korijen negativnog broja moe se izraunati samo za neparne eksonente korijena, i onda je negativan.

0, 2 1 0na n k a

Na primjer


56/258

56

3

4

27 3

81 nije definisan

Primjer 1.

Izraunati 36

236 6 6

Primjer 2.

Izraunati1

9

1 1

9 3

Primjer 3.

Izraunati81

100

81 9

100 10

Primjer 4.

Izraunati 0,49

0, 49 0, 7

Zavrnidio (5 min.)


Izraunati: 223 31, 8, 5 , 5 , 36 2 25

Plan table

Korijeni

3

3

77

- stepen korijena


- stepen korijena

- stepen potkorjene veliine


2 8

8 2

5 5

nn

n m

m

n nn n

b a b a

n

a

a

n

m

a

a a a

10 10

2424

5 55

33 3

4

3

4

ako je 2

8 8

5 5 5

ako je 2 1

32 2 2

8 2 2

0 0

81 3

0, 2 1 0

27 3

81 nije definisan

n n

n n

n

n

a a n k

a a n k

a a

a n k a

2

Primjer 1.

36 6 6

Primjer 2.

1 19 3

Primjer 3.

81 9

100 10

Primjer 4.

0, 49 0,7


57/258

57


Visoko



as: 5.Nastavna jedinica: Proirivanje i skraivanje korijena.Tip asa: Obrada novog gradiva





Literatura:



58/258

58

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)


Pitanje: ta je korijen?

Odgovor: Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a..Pitanje: Kako se matematiki zapisuje definicija korijena?

Odgovor: Definicija korijena se matematiki zapisuje na sljedei nain: nnb a b a .

Pitanje: emu je jednak n-ti stepen n-tog korijena?

Odgovor: N-tistepen n-tog korijena jednak je potkorjenoj veliini .

Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematikom simbolikom.

Odgovor: n n

n n

a a a .

Pitanje: emu je jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?

Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena jednak je apsolutnoj vrijednosti potkorjene veliine ako je n paranbroj.


Odgovor: ako je 2n n

a a n k .


Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena je jednak potkorjenoj veliini ako je n neparan broj.


Odgovor: ako je 2 1n n

a a n k .


Proirivanje i skraivanje korijena


Korijen proirujemo tako to mu mnoimo eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine istimbrojem.

n pn m m pa a

Primjer 1. Proiriti korijen 5 3a sa 4.

5 5 4 203 3 4 12a a a


59/258

59

Proiriti moemo bilo kojim cijelim pozitivnim brojem.

Primjer 2. Korijen34

a b proiriti do eksponenta 12.

Da bi korijenu34

a b eksponent bio 12, treba ga proiriti sa 12 : 4 3 .

4 33 3 1 3 3 1 3 9 34 4 12a b a b a b a b

Primjer 3. Proiriti korijene 3 26 x y i 5 78 x y do zajednikog eksponenta.

Zajedniki eksponent za ova dva korijena je jednak najmanjem zajednikom sadriocu zabrojeve 6 i 8.

6,82

3, 42

3, 22

3,1 3

1,1

NZS 6,8 2 2 2 3 24

Korijene treba proiriti tako da im eksponenti budu jednaki 24.

Prvi korijen ima eksponent 6, pa emo fga proiriti sa 24 : 6 4 .

3 2 3 4 2 4 12 86 6 4 24x y x y x y

Drugi korijen ima eksponent 8, pa emo ga proiriti sa 24 : 8 3

. 5 7 5 3 7 3 15 218 8 3 24x y x y x y

Primjer 4. Proiriti korijene 22a b i 3 23ab do zajednikog eksponenta

NZS 2,3 66 : 2 3

6 : 3 2

2 3 62 3 2 3 3 6 32 2 8a b a b a b

3 3 2 62 2 2 2 2 2 43 3 9ab a b a b

Korijen se skrauje tako to mu se eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine podijele istimbrojem.

: :n pn m m p

a a

Korijen se moe skratiti sao zajednikim djeliocem brojeva mi n.

Primjer 5. Skratiti korijen16 8 12

a b

Treba nai najvei zajedniki djelioc za brojeve 16, 8 i 12.

16,8,12 2

8,4, 6 2

4,2, 3

NZD 16,8,12 2 2 4


60/258

60

Dakle, korijen16 8 12a b moemo skratiti sa 4.

16 16:48 12 8:4 12:4 2 34a b a b a b

Korijen se korjenuje tako to mu se pomnoe eksponenti.

m n m np pa a

Primjer 6. Korjenovat7i ko+rijen

3 54

x

3 4 35 5 54 12x x x

Zavrnidio (5 min.)


1. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 9 3 2122 , 3a x ab

2. Skratiti korijen 16 3224 x y

3. Korjenovati korijen7 5 3

2a b

Plan table


5 5 4 203 3 4 12

4 33 3 1 3 3 1 3 9 34 4 12

3 2 5 76 8

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

,

6,82

3,42

3,22

3,13

1,1

NZS 6,8 2 2 2 3 24

n pn m m pa a

a a a

a b a b a b a b

x y x y

3 2 3 4 2 4 12 86 6 4 24

5 7 5 3 7 3 15 218 8 3 24

32 2

2 3 62 3 2 3 3 6 3

3 3 2 62 2 2 2 2 2 4

24 : 6 4

24 : 8 3

Primjer 4.

2 , 3

NZS 2,3 6

6 : 2 3

6 : 3 2

2 2 8

3 3 9

x y x y x y

x y x y x y

a b ab

a b a b a b

ab a b a b

16 8 12

16 16:48 12 8:4 12:4 2 34

3 4 35 5 54 12

Primjer 5.

16,8,12 2

8, 4, 6 2

4,2, 3

NZD 16,8,12 2 2 4

Primjer 6.

m n m np p

a b

a b a b a b

a a

x x x


61/258

61


Visoko

Predmet: Matematika



as: 6.Nastavna jedinica: Proirivanje i skraivanje korijena.Tip asa: Utvrivanje


Cilj asa: Ponoviti pojam i osnovne osobine korijena

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Uvjebati izvoenjeraunskih operacija sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost


Literatura:



62/258

62

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a..

Pitanje: Kako se matematiki zapisuje definicija korijena?



Odgovor: N-tistepenn-tog korijena jednak je potkorjenoj veliini .


Odgovor: n n

n n

a a a .





a a n k .

Pitanje: emuje jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?




a a n k .

Pitanje: Kako se korijeni proiruju?

Odgovor: Korijeni se proiruju tako to im seeksponent korijena i eksponent potkorjene veliine

pomnoe istim brojemn pn m m p

a a

.

Pitanje: Kako se korijeni skrauju?

Odgovor: Korijeni se skrauju tako to im se eksponent korijena i eksponent potkorjene veliine

podijele istim brojem: :n pn m m p

a a .


Proirivanje i skraivanje korijena- vjeba


63/258

63


Poslije kratkog ponavljanja ranije nauenog gradiva, zadajem uenicima zadatke za uvjebavanje:

1. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 9 3 2122 , 3a x ab

9 9 4 363 4 3 4 4 12 4

12 3 362 3 3 2 3 3 612

9,122

9, 62

9, 33

3, 13

1, 1

9,12 2 2 3 3 36

36 : 9 4

2 2 16

36:12 3

3 3 27

NZS

a x a x a x

ab a b a b

2. Skratiti korijen 16 3224 x y

16 32 16:8 32:8 2 424:8 324

24,16,32 2

12, 8,16 2

6, 4, 8 2

3, 2, 4

NZD 24,16, 32 2 2 2 8

x y x y x y

3. Korjenovati korijen7 5 3

2a b

7 5 7 5 353 3 32 2 2a b a b a b

4. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 6 3 63 24 2 ,a b ab

6 3 34 24

3 6 182 2

24 3 723 3 3 3 3 9 324

2 2

24,18 2

12, 9 2

6 , 9 2

3, 9 3

1, 3 3

1, 1

NZS 12,18 2 2 2 3 3 72

72 : 24 3

2 2 8

a b a b

ab ab

a b a b a b


64/258

64

18 18 4 722 4 2 4 4 8

72 :18 4

ab a b a b

Zavrnidio (5 min.)


1. Proiriti korijene do zajednikog eksponenta 5 43 53 2 3,a b a b

2. Skratiti korijen 12 366 8 x y

Plan table

Proirivanje i skraivanje korijena- vjeba

9 3 212

9 9 4 363 4 3 4 4 12 4

12 3 362 3 3 2 3 3 612

1. 2 , 3

9,12 29, 6 2

9, 3 3

3, 1 3

1, 1

9,12 2 2 3 3 36

36 : 9 4

2 2 16

36 :12 3

3 3 27

a x ab

NZS

a x a x a x

ab a b a b

16 3224

16 32 16:8 32:8 2 424:8 324

7 5 7 5 353 3 3

2.

24,16,32 2

12, 8,16 2

6, 4, 8 2

3, 2, 4

NZD 24,16,32 2 2 2 8

3. 2 2 2

x y

x y x y x y

a b a b a b

6 3 63 24

6 3 34 24

3 6 182 2

24 3 723 3 3 3 3 9 324

18 18 4 722 4 2 4 4 8

3. 2 ,

2 2

24,18 2

12, 9 2

6, 9 2

3, 9 3

1, 3 3

1, 1

NZS 12,18 2 2 2 3 3 72

72 : 24 3

2 2 8

72 : 18 4

a b ab

a b a b

ab ab

a b a b a b

ab a b a b


65/258

65


Visoko

Predmet: Matematika



as: 7.Nastavna jedinica: Mnoenje i dijeljenje korijenaTip asa: Obrada novog gradiva





Literatura:



66/258

66

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Kaemo da je n-ti korijen nekog broja abroj bkoji, stepenovan sa n, daje broj a..

Pitanje: Kako se matematiki zapisuje definicija korijena?



Odgovor: N-tistepenn-tog korijena jednak je potkorjenoj veliini .


Odgovor: n n

n n

a a a .

Pitanje: emu jejednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?




a a n k .





a a n k .


Odgovor: Korijeni se proiruju tako to im seeksponent korijena i eksponent potkorjene veliine

pomnoe istim brojemn pn m m p

a a

.




a a .




67/258

67


Korijeni jednakih eksponenata mnoe se tako to im se pomnoe potkorjene veliine.

n n na b a b

Primjer 1.

3 3 3 35 7 5 7 35

Ako se primijene pravila stepenovanja, moe se zakljuiti da vrijedi:n n nm p r s m r p sa b a b a b

Primjer 2.

4:45 7 3 5 5 3 7 5 8 12 8:4 12:4 2 3 2 34 4 4 4 1a b a b a b a b a b a b a b

Primjer 3.

3 4 5 2 3 5 4 2 8 67 7 7 72 3 2 3 6x y x y x y x y

Korijeni jednakih eksponenata se dijele tako to im se odijele potkorjene veliine.

: :n n n

na

a b a bb

Primjer 4.

6 6 6 618 : 3 18 : 3 6

Primjernom pravila stepenovanja moemo zakljuiti da virjedi

:n n nm p r s m r p sa b a b a b

Primjer 5.

2

8 8 8 85 4 3 9 5 3 4 9 2 58

5:

aa b a b a b a b

b

Ako stepeni nemaju zajedniki eksponent, onda se (slino kao u sluaju razlomaka) proiruju dozajednikog eksponenta.

m n n m mnn m n mm na b a b a b

Primjer 6.

Pomnoiti korijene 65 2 3 44 a b a b

6 4 3 6 25 2 3 4 5 3 2 3 3 2 4 2 15 6 6 8 15 6 6 8 21 144 12 12 12 12a b a b a b a b a b a b a b a b

Primjer 7.

Podijeliti korijene 3 26 92 : 2x y xy

7

3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 9 3 2 4 9 2 3 4 7 16 9 6 3 9 2 18 18 1818 18

8 22 : 2 2 : 2 8 : 4 2

4

xx y xy x y x y x y x y x y x y

y


68/258

68

Zavrnidio (5 min.)

Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vjebanje:Pojednostaviti izraz:

1.8 2 3 3 512

3 2a bc ab c

2.5 7 3 2

18125 3

:6 5

x y z xy z

3.3 4 52 24

2 2ab a b

Plan table

Mnoenje i dijeljenjekorijena

3 3 3 3

5 7 3 5 5 3 7 54 4 4

4:48 12 8:4 12:4 2 3 2 34 1

3 4 5 2 3 5 4 2 8 67 7 7 7

Primjer 1.

5 7 5 7 35

Primjer 2.

Primjer 3.

2 3 2 3 6

n n n

n n nm p r s m r p s

a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b

x y x y x y x y

6 6 6 6

28 8 8 85 4 3 9 5 3 4 9 2 5 8

5

: :

Primjer 4.18 : 3 18 : 3 6

:

Primjer 5.

:

n n n n

n n nm p r s m r p s

m n n m mnn m n mm n

aa b a b

b

a b a b a b

aa b a b a b a b

b

a b a b a b


69/258

69


Visoko



as: 8.Nastavna jedinica: Mnoenje i dijeljenje korijenaTip asa: Utvrivanje


Cilj asa: Ponoviti pojam i osnovne osobine korijena

Zadaci asa:Obrazovni zadatak: Uvjebati izvoenje raunskih operacija sa korijenima.Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zakljuivanja, komuniciranjaFunkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije steenog znanja, razvijati sposobnost


Literatura:



70/258

70

TOK ASA

Uvodni dio(5 min.)



Odgovor: Korijeni se proiruju tako to im seeksponent korijena i eksponent potkorjene veliinepomnoe istim brojem

n pn m m pa a

.




a a .

Pitanje: Kako se mnoe korijeni jednakih eksponenata?

Odgovor: Korijeni jednakih eksponenata se mnoe tako to im pomnoimo potkorjene veliinen n n

a b a b .

Pitanje: Kako se dijele korijeni jednakih eksponenata?

Odgovor: Korijeni jednakih eksponenata se dijele tako to im se podijele potkorjene veliine

: :n n n n

aa b a b

b .

Pitanje: Kakose mnoekorijeni razliitih eksponenata?

Odgovor: Korijeni razliitih eksponenata se mnoe tako to se prvo prvo proire do najmanjegzajednikog eksponenta, a zatim pomnoe po pravilu za mnoenje korijena jednakiheksponenata.

Pitanje: Kakose dijele korijeni razliitih eksponenata?Odgovor: Korijeni razliitih eksponenata se dijele tako to se prvo prvo proire do najmanjeg

zajednikog eksponenta, a zatim podijele po pravilu za dijeljenje korijena jednakiheksponenata.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj asa. Na vrh table piem naslovProirivanje i skraivanje ko

pripreme septembar

Documents