nm/p7ana npnn cii nn\/P7ana ; \/anipuruioy iiilcii i^uclci s>e s>vujiin veuunciiiici lij. u iujmatrici nalazi se minimalni element u svakom stupcu i retku. Izvri sesumii anjc 11 iti i ti f tciit tii i icincnaia pO Stupcima i pO redcima, .aittii Se visiredukcija matrice po veoj su m i na nain da se od svakog elementa matrice o a u z m e o a g o v a ra ju c i m in im a ln i e ie m e n t . K e a u K C ija m a tr ic e v rs i se naizmjenino po s tu p c im a i recima, sve dok se ne dobije m a tr ic a koja u svakom retku i stupcu ima najmanje jednu nulu.

Ukoliko je suma minimalnih elemenata po stupcima i recima jednaka, onda je svejedno odakle emo poeti vriti redukciju matrice.

Kada ispunimo uvjet da u svakom retku i stupcu imamo najmanje jednu (ili vie) nula, pristupa se odreivanju nezavisnih nula. Koje predstavljaju potencijalne lokacije za raspored radnih mjesta.

Odreivanje nezavisnih nula moemo poeti po retku ili stupcu, ali je bitno da odreivanje nezavisnih nula vrimo naizmjenino. Kada smo zavrili po retku prelazimo na stupce, itd.

tlknlikn

Nova matrica se formira na slijedei nain:

Kod nepokrivenih elemenata pronae se minimalni element. Taj minimalni element se oduzima od nepokrivenih elemenata. Jedan put nepokriveni elementi ostaju isti, a dvostruko pokrivenima dodaje se minimalni element. Na taj se nain dobije nova matrica u kojoj prema ranije opisanom postupku odreujemo nezavisne nule.

Postupak je zavren kada je broj nezavisnih nula jednak broju radnih mjesta. i-um

/ A. 8 . BILIC. D. BAJIC:

PROJEKTIRANJE PROIZVODNIH SUSTAVA

radnog mjesta. Ove dodatne trokove mogue je ukljuiti u model odluivanja ako se i transportni uinak izrazi u obliku trokova. Naime, tada je trokovima koji su uzrokovani transportnim uinkom potrebno pribrojiti i trokove uzrokovane prilagoavanjem

Ako se neka radna mjesta ne smiju dodijeliti zbog tehnikih razloga nekim lokacijama, npr. zbog vibracija, opasnosti od poara i si., to se modelom moe osigurati na nain da se uvedu beskonano veliki iznosi u matrici transportnog uinka, odnosno matrici trokova.

potrebno je u model odluivanja uvesti toliko fiktivnih radnih mjesta, da matrica transportnog uinka bude kvadratna matrica, a elementi a,, u matrici, za fiktivno radno mjesto imaju vrijednost nula. U suprotnom sluaju, kada je broj raspoloivih lokacija manji

Poseban sluaj moe se pojaviti ako su radna mjesta u svezi samo s jednim objektom.

elementom koji ima minimalnu vrijednost drugog niza, itd. Primjena pouka je mogua ako se udaljenosti i transportni intenziteti zadaju u obliku vektora.

Ovai model moe se primiieniti i za raspored skupina sredstava za proizvodniu ukoliko one nemaju meusobnih transportnih veza, ve su samo povezane s drugim objektima, iako unutar pojedinih skupina mogu postojati transportni odnosi izmeu sredstava za proizvodnju. Model je mogue primijeniti zbog toga jer se ne radi o optimiranju prostome strukture unutar skupine, nego samo o odreivanju optimalne lokacije u ovisnosti od drugih objekata.

Oito ie da ovai model ne uzima u obzir veliine povrina pojedinih radnih mjesta. Stoga, ukoliko radna mjesta imaju razliite veliine povrina, to je u pravilu sluaj, rezultat optimiranja trebat e dodatno prilagoditi ovome uvjetu.

Cjelokupnim linearnim modelom odluivanja dobiva se optimalni prostorni raspored elemenata kod svih prostornih problema, kod kojih elementi koje treba dodijeliti nisu u meusobnoj ovisnosti.

pripadajue lokacije pojedinom radnom mjestu.

Ukoliko se pojavi sluaj daje broj raspoloivih lokacija vei od broja radnih mjesta,

od broia radnih miesta. uvode se fiktivne lokacije s elementima L=!

Rjeenje se dobiva primjenom jednog pouka iz algebre. Minimalna vrijednost produkta dvaju nizova dobije se ako se element s najveom vrijednou jednog niza, pomnoi s

lokaciia (MML)

ivuii icDii|ciiLiiaiic iiiULiiuc, mauiuc mlciiz,ilcla. pozaialum ui^Luuvnn (^i/i.u|tujL|u) px>-kj

dijagonale aomvamo orijentiranu matncu.

\j uu w.uvmi xnuUciu iukawijci laapuicueua nijcMct o/jitteiia su u krugovima, a iukacije su oznaene iz.vau luuguva.

uuaijciiosu ixmcuu lOKacija lmajujcuiimcnc viijcuiiuau.

Metodom unapnjed odreenih lokacija njeavamo raspored radnih mjesta kod rekonstrukcije pogona gdje nam pojedina radna mjesta moraju ostati na pojedinim lokacijama.

Ta radna mjesta prema mrenom modelu lokacija ostaju fiksna, a ostala se rasporeuju oko njih.

rU.'ilUpiiiv njeSiiValyii*

- formiraju se dviie matrice (rasporeena i nerasoreena radna mjesta, slobodna i zauzeta lf>lcaciia\

- maarskom metodom dobivamo riieenie iz koieg se vidi koie radno mjesto potencijalno pripada na koju lokaci ju. Meutim raspored radnih m jesta na po jedine lokaci je ne vri sejednom nego se vrsi u iteracijama(koracima) i to na sljedei nain:

1 ranrre(tiiin ct ht~- n ilii j j r \,j j

b]g p jc to dobivamo iz prethodno nainjene tablice

z. aKO je D]g p j vei oa ojg onaa se u prvoj iteraciji rasporeauje j-to raano

mjesto

3. ako je bjg p k vei od b]g p j tada rasporeujemo k-to radno mjesto

3. ako su max vnjednosti bjg p j i bfcj pfr jednake tada istovremeno rasporeujemo

j-to i k-to radno mjesto. To vrijedi ako imamo vie j-tih i k-tih radnih mjesta sa istimmaksimumom

- u prvoj iteraciji takoer rasporeujemo i sva ostala radna mjesta koja uzimaju vezu s prethodno rasporeenim radnim mjestima. Time je prva iteracija gotova.

- u drugoj iteraciji formiramo matricu koja je manja za onoliko radnih mjesta i lokacija koie su rasporeene u trrvoi iteraciii.

aaana ie neoriientirana matrica, matrica transortnin intenziteta nnnnvsrsmn?m n r lc i l l/'ilf o i^ iio '

r\uu neorijentirane matrice, matrice intenziteta poznatom metodom (zorajanja) preKo Hiiannnaie dobivamo orijentiranu matricu

u mrenom moaeiu lOKacija rasporeaena mjesta oznaena su u Krugovima, a lokacije su oznaene izvan krugova.

i irialifinosti izmeu lokac-iia imaju iedinar.np vriiednosti

Metodom unaprijed odreenih lokacija rijeavamo raspored radnih mjesta kod rekonstrukcije ooaona adie nam Doiedina radna miesta moraiu ostati na Doiedinim lokacijama.

Ta radna mjesta prema mrenom modelu lokacija ostaju fiksna: a ostala sp rasooreijiu okn h

PnQtynak riieavania:

- formiraju se dvije matrice (rasporeena i nerasoreena radna miesta, slobodna i zauzeta lokacija)

- mnoenjem ovih matrica dobivamo matricu koju rijeavamo maarskom metodom

- maarskom metodom dobivamo rijeenje iz kojeg se vidi koje radno mjesto potencijalno pripada na koju lokaciju. Meutim raspored radnih mjesta na pojedine lokacije ne vri se jednom nego se vri u iteracijama(koracima) i to na sljedei nain:

i . rasporeauju se ova raana mjesta Koja imaju maKsimainu vrijeanosi bjg p j ili b]g pfc to dobivamo iz prethodno nainjene tablice

aKo je bfcj p j vei od bjg p^ onda se u prvoj iteraciji rasporeuje j-to

radno mjesto

3. ako je b ^ p ^ vei od b ]g p j tada rasporeujemo k-to radno mjesto

3. ako su max vrijednosti b jg p j i b y p jednake tada istovremeno

rasDoreuiemo i-to i k-to radno miesto To vrijedi ako imamo vie i-tih i k-tih radnih mjesta sa istim maksimumom

- u prvoi iteraciji takoer rasporeujemo i sva ostala radna miesta koja uzimaju vezu s nrethodno rasDoreenim radnim mjestima. Time ie Drva iteraciia gotova.

- u drugoj iteraciji formiramo matricu koja je manja za onoliko radnih mjesta i lokacija koje su rasporeene u prvoj iteraciji.

Jeiica Bui

i, V EZA , B, BI I .Ii'- *1. BA.I1C?

r i u i J E K i i K A i ^ j i r K U i Z V u D i ^ i n a l i s i A v n

MODIFICIRANA METODA TROKUTA

ivVM i l iC ii A n A m r T i H l r Tnjk^i iTA Z ? S i * l v i! r n A il?.C61l! j/i f r > r i ll ir ilu li lili t i t t u S u O H i i i UCi-'-- :

(4 ^^) postii onda akn se. veim transportnim inte.n7ite.tima hu . dodijele krae, transportne

uuanenosu. z,a primjenu ove metoae potreono je aerinirati neorijenuranu matricu transportnog

intenziteta.

Algoritam za dodjeljivanje radnih mjesta na rastersku mreu istostraninih trokuta glasi:

1. Rasporede se prva dva radna mjesta.

1.1 U neorijentiranoj matrici odredi se najvei intenzitet transporta (max %) i oznae oba radna

miesta k 1 i izmeu kojih se noiavliiiie

1.1.1 Ako postoji vie maksimalnih bkj, prednost imaju ona radna mjesta k i j koja su u svezi

s naivie ostalih radnih miesta,

1.1.2 Ako je broj ostalih radnih mjesta za sve promatrane k-j parove jednak, odabire se

nroiyvolini nar radnih miesta

1.2 Ova dva radna mjesta rasporede se na dva proizvoljna susjedna vora mree istostraninih

trokuta

a . Kasporeai se snjeaece raano mjesto

2.1 Zbroie se intenziteti transporta koii Dro izlaze iz komuniciranja io nerasporeenih radnih

mjesta s ve rasporeenim radnim mjestima. Zbrajanje se obavija odvojeno za svako jo

nerasporeeno radno mjesto.

.i izaoere se najvei zoroj intenziteta transporta 1 oznaci nerasporeeno radno mjesto koje taj

zbroj uzrokuje.

/._> uvaxo oareueno raono mjesto rasporedi se na jeuan 00 vorova troicume mree, koji

uzrokuje najmanji uinak transporta.

.SA Ako je pripadajue radno mjesto u svezi samo s jednim vec rasporedemm radnim

mjestom, tada kao najpovoljnija mogunost rasporeda, u obzir dolaze svi neposredno

susjedni nezauzeti vorovi. Ako od rasporeda ovog radnog mjesta ovisi lokacija

' drugog radnog mjesta, tj. ako je ono povezano s jo nerasporeenim radnim mjestima,

daljnji postupak odvija se u varijantama. Pri tome svaka varijanta polazi od druge

mogunosti rasporeda pripadajueg radnog mjesta. U obzir se uzimaju samo takve

varijante koje su povoljne, s obzirom na udaljenost s i koje zbog simetrije nisu sline.

2)

2.3.2 Ako je pripadajue radno mjesto povezano s dva ve rasporeena radna mjesta, tada su

nainovoliniie lokaciie oba vora, koia su u neDosrednom susiedstvu s oba radna

mjesta. Ako oba vora jo nisu zauzeta (kao npr. uvijek u 2. koraku) moe se zauzeti

bilo koji od niih. Ako ie slobodan samo iean vor. tada ie to najpovoljnija toka. Ako

su oba vora ve zauzeta, u razmatranje se moraju uzeti sve ostale povoljne toke

mree. Za svaku o ovih toaka izrauna se transportni uinak. Odabere se ona toka,

koja uzrokuje najmanji transportni uinak.

2.3.3 Postupak je isti ako je radno mjesto koje treba rasporediti povezano s vie od dva

rasporeena radna mjesta.

2.4 Kod postojanja vie maksimalnih zbrojeva transportnog intenziteta, odabire se ono radno

mjesto koje je povezano s najvie preostann raamn mjesta, a k o je i oroj ovin raamn mjesta

jednak, odabire se ono radno mjesto koje je povezano s najvie ve rasporeenih radnih

mjesta, a k o je i ovaj nroj jeanak, lzoor je proizvoljan.

3, Druei korak aleoritma D o n a v lia se sve dok se ne rasDorede svih n radnih miesta.

Modificirana metoda trokuta je vrlo pogodna za primjenu elektronikog raunala. Kod malog

broja radnih mjesta, problem se moe rijeiti relativno brzo i bez pomoi raunala. Primjer primjene

modificirane metode trokuta prikazan ja ii nastavim