prezentacja programu powerpointwozniak/optyka_instrumentalna_pliki/wyklad optyka... · - dla...

OPTYKA INSTRUMENTALNA

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Katedra Optyki i Fotoniki

Wydział Podstawowych Problemów Techniki

Politechnika Wrocławska

http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ Pokój 27 bud. A-1

Wykłady 2 i 3: ABERRACJE: odwzorowanie stygmatyczne; eikonał; aberracje geometryczne III rzędu (Seidla): sferyczna,

koma, astygmatyzm i krzywizna pola; dystorsja; aberracje chromatyczne: położenia i powiększenia, korekcja (dublet

achromatyczny, apochromat); ocena jakości odwzorowania (aberracje aperturowe i polowe; diagram śladowy)

Dr hab. inż. Władysław Artur WoźniakOptyka instrumentalna

Wprowadzenie

Warunki zaliczenia:- Pozytywna ocena z ćwiczeń jako WARUNEK przystąpienia do egzaminu oraz ewentualna

„korekta” oceny (0,5)

- OBECNOŚCI! (min. 7)

- Dwa terminy egzaminów w sesji: 7 i 14 lutego (piątki), godziny 9-11, sale?

7.02 (piątek)

godz. 9-11

sala 322 A-1

14.02 (piątek)

godz. 9-11

sala 314 A-1


Wprowadzenie

W poprzednim odcinku:

- Wprowadzenie, warunki zaliczenia, literatura;

- Światło: Fala? Fotony? Promienie?! => Optyka geometryczna;

- Promienie charakterystyczne, przysłony, źrenice, luki; otwór względny; winietowanie;

- Powiększenia;

- Głębia ostrości;

- Zdolność rozdzielcza: definicje, kryteria.


Odwzorowanie stygmatyczne

Rozważając odbicie i załamanie światła na powierzchni zwierciadła/soczewki

zakładaliśmy, że kąty, jakie tworzą promienie świetlne z osią optyczną są małe – można

stosować tzw. przybliżenie paraksjalne, zastępując sinus kąta jego wartością (oczywiście,

w radianach!).

Korzystając z praw załamania można pokazać, że istnieje zależność położenia obrazu

od położenia przedmiotu, która to zależność jest funkcją (stałych) parametrów układu

(promień krzywizny, współczynniki załamania) ale też kątów, jakie tworzą promienie

świetlne z osią optyczną:

Aby położenie obrazu NIE zależało od tych kątów

(czyli: aby WSZYSTKIE promienie skupiły się w tym

samym punkcie!), musi być spełniony warunek:



Okazuje się, że powyższy warunek spełniony jest tylko w 3 sytuacjach:

a) punkt przedmiotowy leży w środku sfery – wtedy obrazem jest również środek sfery;

b) punkty leżą na powierzchni sferycznej – ich obrazami są te same punkty;

c) punkty leżą na sferze opisanej równaniem:

Wtedy ich obrazy leżą na sferze opisanej równaniem:

a b

c

Rybie oko Maxwella!?



Ostatni z warunków :

c) punkty leżą na sferze opisanej równaniem:

i wtedy ich obrazy leżą na sferze opisanej równaniem:

wykorzystywany jest np. przy konstrukcji obiektywów mikroskopowych –

punkty P i P’ to punkty aplanatyczne.

Takie właśnie odwzorowanie – gdy punkt w przestrzeni przedmiotowej odwzorowany jest

dokładnie w jeden punkt w przestrzeni obrazowej, niezależnie od tego, które promienie

świetlne rozważamy, nazywane jest odwzorowaniem stygmatycznym (bezaberracyjnym).


Aberracje geometryczne trzeciego rzędu

Powierzchnia fali świetlnej, rozchodzącej się z punktu P w przestrzeni przedmiotowej jest

sferą. Czoło tej fali po przejściu przez układ optyczny (oprócz tego, że jest „obcięte” – stąd

właśnie wspomniane wcześniej ograniczenie dyfrakcyjne!) nie ma już kształtu sfery. Przedmiot

odwzorowany jest w tzw. plamkę aberracyjną, której kształt i rozmiary zależą od układu

optycznego i położenia przedmiotu.

P* - obraz stygmatyczny;

i - aberracje podłużne promienia;

Pi’-P* - aberracje poprzeczne promienia;



Bieg promienia przez układ optyczny – oznaczenia:

xy – płaszczyzna przedmiotowa;

- płaszczyzna źrenicy wejściowej; - to współrzędne biegunowe;

’’ - płaszczyzna źrenicy wyjściowej;

x’y’– płaszczyzna obrazowa obrazu bezaberracyjnego (płaszczyzna Gaussa);

l – aberracja poprzeczna (jej składowe to x’ i y’);

P* - obraz bezaberracyjny; P’ – obraz aberracyjny.

Biegunowy układ współrzędnych

(dlaczego taki?):

ksi

eta



KOMPUTERY = możliwość „śledzenia” biegu promienia świetlnego (tzw. ray tracing).

ALE:

- Kiedyś komputerów nie było, a ludzie jakoś dobre układy optyczne konstruowali;

- Warto mieć jakieś możliwości obliczeń „wstępnych”.

PIERWSZA (historycznie) metoda przybliżonego wyznaczania aberracji – metoda Seidla

(Seidela) = teoria aberracji trzeciego rzędu.

Skąd taka nazwa?

Współcześnie teoria aberracji służy tylko do obliczeń wstępnych i przybliżenie trzeciorzędowe

wystarcza – do właściwego projektowania układów optycznych, a w szczególności ich

optymalizacji, służą wyspecjalizowane programy komputerowe.



W przypadku potrzeby uwzględnienia następnych wyrazów rozwinięcia, posługujemy się

pojęciem eikonału = funkcji opisującej drogę optyczną promienia poprzez układ

optyczny, który to eikonał rozwija się również w szereg potęgowy.

Jeżeli obraz jest bezaberracyjny, to wszystkie promienie zbiegają się w jednym punkcie

a ponadto drogi optyczne, liczone wzdłuż każdego promienia, są jednakowe.

Matematycznie oznacza to, że pochodne eikonału względem zmiennych, określających

punkt przebicia źrenicy wejściowej przez dany promień, są równe zeru.

Rozwinięcie Seidla jest parametryzowane biegunowymi współrzędnymi źrenicy

wejściowej, dogodnymi w przypadku pełnej symetrii kołowej. Oko nie ma takiej symetrii

– tam stosować można np. wielomiany Zernikego (później).



Wzory Seidla na aberrację poprzeczną:

A,B,C,D,E – współczynniki, zależne od

parametrów układu (promieni krzywizn,

współczynników załamania, położenia

przysłon, źrenic.



ABERRACJA SFERYCZNA

A0, pozostałe współczynniki równe zeru.

Aberracja sferyczna nie zależy od położenia

przedmiotu względem osi optycznej (inaczej:

odległości od niego, y).

Wiązka promieni przebijająca źrenicę wejściową

w punktach o tej samej odległości od osi

optycznej (stałe ) przecina płaszczyznę obrazu w

punktach również leżących na okręgu o środku w

punkcie P* (obraz gaussowski).



ABERRACJA SFERYCZNA

P* - obraz gaussowski wyznaczony przez promienie przyosiowe;

Bieg promieni w płaszczyźnie merydionalnej

Aberracja sferyczna jest największa, gdy promienie

przechodzą przez brzegi źrenicy wejściowej.

Linia przerywana – miejsce, w którym plamka

aberracyjna jest najmniejsza; można pokazać, że

płaszczyzna ta znajduje się w odległości ¾ s’max a jej

średnica wynosi ¼ średnicy plamki w płaszczyźnie

Gaussa1.

1Błąd na rysunku w podręczniku!



ABERRACJA SFERYCZNA



Zbiór punktów wzajemnego przecięcia się sąsiednich

promieni w przestrzeni obrazowej tworzy diakaustykę.

Jej odpowiednikiem przy odbiciu promieni od zwierciadła

jest katakaustyka.

Zwróćmy uwagę, że na pokazanej symulacji celowo wybrano

za dużą średnicę przysłony aperturowej i w rezultacie część

promieni ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu

wewnątrz soczewki – no i co z tego?

Kaustyka (powierzchnia kaustyczna, z gr. καυστικός, żrący) – hiperpowierzchnia

będąca obwiednią wiązki promieni świetlnych rozchodzących się z ustalonego,

punktowego źródła światła (lub w szczególności z punktu w nieskończoności,

któremu odpowiada równoległa wiązka promieni), odbitych od innej

hiperpowierzchni (mówimy wtedy o kaustyce refleksyjnej lub katakaustyce) lub

załamanych przez pewien układ optyczny (diakaustyka). {Wikipedia}

ABERRACJA SFERYCZNA



ABERRACJA SFERYCZNA

Przykład: pojedyncza soczewka cienka, wykonana z materiału o współczynniku n,

znajdująca się w powietrzu, ma zawsze aberrację sferyczną – najmniejszą, jeżeli stosunek

promieni krzywizn powierzchni sferycznych soczewki wynosi:

Dla n=1,5mamy r2/r1= -6 – soczewka dwuwypukła.

Można całkowicie skorygować aberrację sferyczną w pojedynczej soczewce jeśli jest ona

niesferyczna – w przypadku soczewki płasko-wypukłej, wypukłą powierzchnią musi być hiperboloida

obrotowa.



ABERRACJA SFERYCZNA

W zwierciadle sferycznym aberracja sferyczna występuje zawsze. Można ją zlikwidować

tylko asferyzując powierzchnię:

- Dla przedmiotu leżącego w nieskończoności (fala płaska) – paraboloida;

- Dla przedmiotu w skończonej odległości – elipsoida lub hiperboloida.



KOMA

B0, pozostałe współczynniki równe zeru.

𝛿𝑥′ 2 + 𝛿𝑦′ − 2𝐵𝑦𝜌2 2 = 𝐵𝑦𝜌2 2

Koma zależy liniowo od odległości przedmiotu od

osi y (wielkość pola widzenia) oraz drugiej potęgi

promienia apertury , występuje więc tylko dla

przedmiotów leżących poza osią optyczną.



KOMA

B0, pozostałe współczynniki równe zeru. 𝛿𝑥′ 2 + 𝛿𝑦′ − 2𝐵𝑦𝜌2 2 = 𝐵𝑦𝜌2 2

Gdy punkt przedmiotowy znajduje się na osi y, koma jest

zbiorem okręgów rozmieszczonych wzdłuż osi y’ płaszczyzny

obrazu doskonałego.

Jeden okrąg tworzą promienie, które wychodzą z punktu P

odległego o y od osi i przechodzą przez źrenicę wejściową w

jednakowej odległości od osi optycznej układu.

Promienie okręgów w komie rosną z kwadratem

odległości . Zbiór wszystkich okręgów dla danej wartości y,

ale różnych wartości , tworzy stożek o rozwartości 60º,

zwany komą.

Oznaczenie: r=



KOMA




KOMA


Gdy przedmiot P oddala się od osi, koma rośnie, bo proporcjonalnie do y rosną promienie okręgów i rośnie

ich odległość od obrazu doskonałego.

Zniekształcenie okręgów „czystej komy” w dwóch różnych

płaszczyznach obrazowych, utworzonych przez układ optyczny z

komą i aberracją sferyczną.

Koma występuje na ogół razem z aberracją sferyczną.



KOMA


Układy optyczne, wolne od aberracji sferycznej i komy, nazywają się aplanatami. Układy aplanatyczne

spełniają warunek sinusów Abbego:

𝑦𝑛𝑠𝑖𝑛(𝑢) = 𝑦′𝑛′sin(𝑢′)



KOMA




ASTYGMATYZM I KRZYWIZNA POLA

C0 oraz D0, pozostałe współczynniki równe zeru.

Aberracje te są proporcjonalne do drugiej potęgi pola widzenia (y2) i

pierwszej potęgi promienia apertury ().

Plamka aberracyjna jest elipsą.





Rozpatrzmy bieg promieni w płaszczyźnie merydionalnej (przechodzącej przez y;

równoległej do osi ; =0 albo 180, ale wtedy formalnie ).

Wtedy:

Promień główny wyznacza obraz bezaberacyjny P*. Każdy inny promień

przecina ten promień w punkcie Pm’, a płaszczyznę Gaussa w punkcie P1’.

Wszystkie promienie, wychodzące z jednego punktu przedmiotu (to

samo y) i leżące w płaszczyźnie merydionalnej (niezależnie od ’)

przetną się w ognisku merydionalnym.

𝛿𝑦′ = 𝐷𝑦2𝜌

𝛿𝑥′ = 0

Z - powiększenie w źrenicach





Teraz rozpatrzmy bieg promieni w płaszczyźnie sagitalnej (prostopadłej do y; równoległej do

osi ; =90 albo 270, ale wtedy formalnie ).

Wtedy:

Promień główny wyznacza obraz bezaberacyjny P*. Każdy inny promień przecina ten promień w punkcie Ps’, a płaszczyznę

Gaussa w punkcie P1’.

𝛿𝑦′ = 0

𝛿𝑥′ = 𝐶𝑦2𝜌

Wszystkie promienie, wychodzące z jednego punktu przedmiotu (to samo y) i leżące w płaszczyźnie sagitalnej

(niezależnie od ’) przetną się w ognisku sagitalnym.

Z - powiększenie w źrenicach





Przebieg wiązki merydionalnej i sagitalnej:

Ogniska wiązki astygmatycznej

Najmniejsza plamka – kołowa,

w połowie odległości miedzy

ogniskami





Dla różnych punktów przedmiotowych (różne y) ogniska merydionalne i

sagitalne leżą na powierzchniach, które w ogólnym przypadku są

paraboloidami obrotowymi – zwykle aproksymujemy je sferami.

Promienie krzywizn odpowiednich sfer zależą od współczynników Seidla:

Zbiór najmniejszych plamek aberracyjnych leży na pośredniej powierzchni,

stanowiącej w przybliżeniu sferę. Jej promień krzywizny równy jest:

Wielkość 1/R to średnia krzywizna pola. Za miarę krzywizny pola przyjmuje się też średnią z Km i Ks.





Wielkość Km - Ks to astygmatyzm.

Astygmatyzm poosiowy to nie aberracja, ale celowo wprowadzany do układu optycznego astygmatyzm,

którego zadaniem jest skorygowanie astygmatyzmu wadliwego układu optycznego (np. oka), który

wprowadza astygmatyzm również dla punktów na osi! Można tego dokonać np. za pomocą soczewki

cylindrycznej.

Układ optyczny, który składa się z wielu soczewek, może mieć skorygowaną krzywiznę pola,

jeżeli spełniony jest tzw. warunek Petzvala:





Astygmatyzm z krzywizną pola

„CZYSTA” KRZYWIZNA POLA

Niech jeszcze C=D

𝛿𝑙′ = 𝛿𝑥′ 2 + 𝛿𝑦′ 2 = 𝐶𝑦2𝜌

W płaszczyźnie obrazu doskonałego są teraz okręgi zamiast

elips; zbiegają się one do punktów (nie odcinków!), ale

punkty te leżą na powierzchni (w przybliżeniu) sferycznej.



DYSTORSJA

E0, pozostałe współczynniki równe zeru.

𝛿𝑥′ = 0 𝛿𝑦′ = 𝐸𝑦3

Aberracje te nie zależą od apertury () natomiast mocno

zależą od wielkości pola (y3).

Aberracja ta nie psuje ostrości obrazu (obrazem punktu jest punkt) ale zniekształca go.

a) Obraz wolny od dystorsji; b) dystorsja beczkowata; c) dystorsja poduszkowata.

Miarą dystorsji może być:



DYSTORSJA



ABERRACJE NIEMONOCHROMATYCZNE (czyli chromatyczne…)

Geneza

Dyspersja – właściwość materiałowa: zależność prędkości fali

(a więc również współczynnika załamania) od częstotliwości,

długości fali albo wektora falowego. Efektem jest…

… Dyspersja – zjawisko rozszczepienia światła

polichromatycznego na monochromatyczne.

Ale Dyspersja to też liczba – parametr, określający liczbowo

dyspersję materiału.



ABERRACJE CHROMATYCZNE



ABERRACJE NIEMONOCHROMATYCZNE (czyli chromatyczne…)

Najczęściej w odwzorowaniu optycznym stosuje się światło białe, będące mieszaniną fal o różnych

długościach. Współczynnik załamania szkieł jest wielkością dyspersyjną – stąd w odwzorowaniu,

wykorzystującym soczewki, pojawiają się aberracje chromatyczne. Nie ma ich w odwzorowaniach

zwierciadlanych!

Aberracje chromatyczne soczewek: skupiającej i rozpraszającej.




Korygowanie aberracji chromatycznych zmierza do uzyskania obrazów dla wszystkich długości

fal w jednej płaszczyźnie. Czy to możliwe?

Aberracje chromatyczne dzielimy na:

- Aberrację chromatyczną położenia;

- Aberrację chromatyczną powiększenia.

NIE

Achromaty – nakładają się na siebie obrazy utworzone przez dwie długości fal;

Apochromaty – nakładają się na siebie obrazy utworzone przez trzy długości fal;

Superachromaty – ciekawe, co też one robią…



ABERRACJA CHROMATYCZNA POŁOŻENIA

Jeżeli światło tworzące obraz składa się z

kilku długości fal, to położenie źrenic

wyjściowych i położenie obrazy będzie dla

tych długości fal różne.

Miarą chromatycznej aberracji podłużnej

jest:

u jest kątem aperturowym w przestrzeni obrazowej.

Miarą chromatycznej aberracji

poprzecznej jest:




Pojedyncza soczewka zawsze obarczona jest aberracją

chromatyczną. Korygować aberracje chromatyczne można

stosując układy wielosoczewkowe, gdzie soczewki wykonane są

ze szkieł różnych gatunków.




Pojedyncza soczewka zawsze obarczona jest aberracją chromatyczną. Korygować

aberracje chromatyczne można stosując układy wielosoczewkowe, gdzie soczewki

wykonane są ze szkieł różnych gatunków.

Achromat (korekcja dla dwóch długości fali)

da się wykonać za pomocą tzw. dubletu –

czyli dwóch soczewek, o przeciwnych mocach

optycznych, zrobionych ze szkieł o wyraźnie

różnych dyspersjach, a więc kronu i flintu.



DUBLET ACHROMATYCZNY

Dla pojedynczej soczewki różnica zdolności zbierających

dla dwóch długości fali jest równa:

Indeksy F i C oznaczają wybrane długości fal, zwykle ze skrajów widma, w tym przypadku są to linie widmowe

wodoru F=486 nm i C= 656 nm.

Jeżeli dla podstawowej długości fali zdolność zbierająca wynosi:

(Jaka to „podstawowa”? Co oznacza „d”?)

to można pokazać, że:

Dublet będzie achromatyczny, gdy:

gdzie to liczba Abbego:

albo inaczej:



DUBLET ACHROMATYCZNY

Łączna zdolność zbierająca dubletu:

Wtedy zdolności zbierające składników takiego dubletu wynoszą:

liczba Abbego

Achromatyczny dublet składa się więc z jednej soczewki skupiającej i

jednej rozpraszającej. Im większa jest różnica w wartościach liczby

Abbego dla tych soczewek, tym mniejsze będą wartości bezwzględne

ich zdolności zbierających (korzystne ze względu na inne aberracje).

Chromatyzm można też skorygować w dublecie wykonanym z tego samego szkła, ale soczewki muszą być rozsunięte

o odległość:

albo inaczej:



APOCHROMAT

Apochromat to układ, w którym zbiegowe obrazowe trzech długości fal są jednakowe.

Przypomnienie: (a może nie było?):

- krony to szkła o nd<1,6 i >60 (czyli niska dyspersja!);

- flinty to szkła o nd>1,55 i <55 (czyli duża dyspersja!);

Można zbudować apochromat również jako dublet (dwie

soczewki), ale jedno ze szkieł musi być szkłem specjalnym –

o bardzo „nietypowej” dyspersji współczynnika załamania.



ABERRACJE CHROMATYCZNE POWIĘKSZENIA

Obrazy przedmiotu utworzone przez światło o różnej długości fali leżą w różnych miejscach i

mają różne wielkości!



ABERRACJE CHROMATYCZNE POWIĘKSZENIA

W rzeczywistości obraz obserwujemy w jednej

płaszczyźnie, dla pewnej „środkowej” długości fali.

Przez chromatyzm powiększenia rozumiemy

wielkość:

Można pokazać, że:

albo:

A więc dla np. dubletu, w którym skorygowano aberrację chromatyczną położenia, nie ma

również aberracji chromatycznej powiększenia.



ABERRACJE CHROMATYCZNE - MIARY


Ocena jakości odwzorowania

Podstawowe parametry optyczne układu (ogniskowe, zbiegowe, powiększenia itp.)

wyznacza się z obliczeń paraksjalnych.

Aby oszacować rzeczywistą jakość odwzorowania układu (poprzez np. aberracje)

wyznacza się rzeczywisty przebieg promieni świetlnych przez układ metodą tzw. ray-

tracingu, korzystając np. ze schematu Federa – obecnie realizowanym na

komputerach.

Ze względu na zależność aberracji od odległości punktu od osi, sposobu przebicia przez

promień świetlny przesłony aperturowej (źrenicy wejściowej/wyjściowej) i kątów, które

tworzą promienie z osią optyczną, dzielimy aberracje na:

- Aberracje aperturowe – gdy przedmiot znajduje się na osi („ważne , nieważne y”):

aberracja sferyczna, chromatyzm położenia, odstępstwo od warunku sinusów;

- Aberracje polowe – gdy przedmiot leży poza osią, zależą one od kąta polowego: koma,

krzywizna pola i astygmatyzm, chromatyzm powiększenia.



ABERRACJE APERTUROWE

Liczymy zbiegowe obrazowe i punkty przecięcia wybranych promieni aperturowych z płaszczyzną

obrazu gaussowskiego.

Należy zadbać o równy podział „pola” źrenicy wejściowej (CZEMU?).



ABERRACJE APERTUROWE

Wykres podłużnej aberracji

sferochromatycznej:

J. Nowak, M. Zając:

?

Można także przedstawić aberrację

poprzeczną, korzystając ze wzoru:

Odstępstwo od warunku sinusów

również można wyliczyć obserwując

przebieg promieni aperturowych:



ABERRACJE POLOWE

Koma merydionalna – liczbowo definiowana jako:

Wykres komy merydionalnej:

(w to kąt widzenia)

Trzeba dla kilku zadanych kątów pola widzenia (czyli dla

różnych zadanych wielkości przedmiotu) przeliczyć bieg

trzech wybranych promieni polowych (rysunek):



ABERRACJE POLOWE

Krzywizna pola i astygmatyzm:

Trzeba przeliczyć bieg promienia głównego. Dla pojedynczej

powierzchni łamiącej wyznaczamy formuły na położenie

ognisk sagitalnego i merydionalnego a następnie liczymy

pożądane wielkości Km i Ks.

Rzeczywiste układy optyczne

mają więcej powierzchni

łamiących – wielkości tm i ts

trzeba przeliczać kolejno.

Wykres astygmatyzmu i krzywizny pola.



DIAGRAM ŚLADOWY

Przepuszczamy przez układ optyczny duuużą ilość promieni wychodzących z punktowego

przedmiotu, dbając o jednorodny (jak?) rozkład promieni w źrenicy wejściowej.

Rozkład energii w plamce aberracyjnej:

Można też policzyć różne MOMENTY rozkładu… Ale trzeba wiedzieć, co one opisują!


Wielomiany Zernikego

Wielomiany Zernikego wykorzystuje się często w optyce do opisu aberracji falowych z tego względu, że mają

one często postać podobną do aberracji w układach optycznych. Mają one jednak szereg bardzo

interesujących właściwości.

Pierwsza cecha związana jest z symetrią obrotową i pozwala przedstawić wielomiany w postaci iloczynu

dwóch funkcji o rozdzielonych zmiennych,

gdzie G(Θ) jest ciągłą funkcją okresową o okresie 2π radianów i spełnia taki warunek, że obrót układu

współrzędnych o kąt α nie zmienia postaci wielomianu.

Druga właściwość wielomianów Zernikego polega na tym, że funkcja radialna R musi być wielomianem

stopnia 2n zmiennej ρ, i nie może zawierać potęg ρ mniejszych niż m.

Trzecią właściwością jest to, że R(ρ) musi być parzyste jeżeli m jest parzyste, i nieparzyste jeżeli m jest

nieparzyste.



Graficzna prezentacja frontu falowego jako odpowiednia suma wielomianów Zernikego

z odpowiednimi współczynnikami

prezentacja programu powerpointwozniak/optyka_instrumentalna_pliki/wyklad optyka... · - dla...

Documents