1

Concorrenza oligopolistica

Cap. 7 - Cabral

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L’interazione strategica

In monopolio e concorrenza le imprese nel

prendere le loro decisioni non devono preoccuparsi

delle reazioni dei loro concorrenti.

Oligopolio: poche imprese

Interdipendenza strategica tra i concorrenti: una certa

azione dell’impresa 1, probabilmente influenzerà i

profitti dell’impresa 2, per questo quando l’impresa 1

prende le sue decisioni deve tener conto della

possibile reazione dell’impresa 2.

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Modelli di oligopolio

Esistono tre modelli principali di oligopolio Cournot

Bertrand

Stackelberg

Si distinguono in base alla variabile strategica scelta dalle imprese

alla tempistica con cui si svolge il gioco

In questa sezione ci concentriamo sul modello di

Cournot

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Il modello di Cournot

• Due imprese (1 e 2)

• Variabile strategica: livello di produzione (q)

• Gioco simultaneo uni-periodale e non

cooperativo: le imprese scelgono

simultaneamente e in maniera indipendente

qi

• Obiettivo dell’impresa: massimizzare il proprio

profitto in funzione del comportamento atteso

da parte dell’impresa rivale

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Due imprese producono uno stesso bene (Cournot prese il caso

dell’acqua minerale)

La domanda per questo prodotto è

P = A - BQ = A - B(q1 + q2) dove q1 è l’output dell’impresa 1 e q2 quello della 2

I costi marginali sono uguali e costanti per entrambe = c

Per ottenere la curva di domanda di una delle due imprese

trattiamo l’output dell’altra come una costante

Così anche per l’altra impresa, la domanda è perciò:

P = (A – Bq2) – Bq1

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Il problema di massimizzazione dell’impresa 1

𝜋1 = 𝐴 − 𝐵𝑞1 − 𝐵𝑞2 − 𝑐 ∗ 𝑞2

Massimizziamo il profitto

𝜕𝜋1

𝜕𝑞1= 𝐴 − 2𝐵𝑞1 − 𝐵𝑞2 − 𝑐 = 0

𝑞1 =𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2𝑞2

𝒇𝒖𝒏𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒊 𝒓𝒆𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒍𝒍′𝒊𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂 𝟏

La quantità ottimale dell’impresa 1 dipende dalla

quantità prodotta dall’impresa 2.

Le due imprese sono simmetriche per cui:

𝑞2 =𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2𝑞1

𝒇𝒖𝒏𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒊 𝒓𝒆𝒂𝒛𝒊𝒐𝒏𝒆 𝒅𝒆𝒍𝒍′𝒊𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂 𝟐

7

𝑞1 =

𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2𝑞2

𝑞2 =𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2𝑞1

Le due imprese sono simmetriche q1 = q2

𝑞1 =𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2𝑞1

𝑞1 +1

2𝑞1 =

𝐴−𝑐

2𝐵

𝑞1∗ =𝐴−𝑐

3𝐵

𝑞2∗ =𝐴−𝑐

3𝐵 𝑃∗ =

𝐴+2𝑐

3

8

Cournot con n imprese

P = A - BQ = A - B(qi+Q-i)

Dove 𝑄−𝑖 = 𝑞𝑖𝑛𝑖=2

= n − 1 q con imprese simmetriche

Il problema di massimizzazione

dell’impresa i diventa:

𝜋𝑖 = 𝐴 − 𝐵𝑞𝑖 − 𝐵𝑄−𝑖 − 𝑐 ∗ 𝑞𝑖

𝜕𝜋𝑖

𝜕𝑞𝑖= 𝐴 − 2𝐵𝑞𝑖 − 𝐵𝑄−𝑖 − 𝑐 = 0

𝑞𝑖 =𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2𝑄−𝑖

𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑖

9

Con imprese simmetriche 𝑄−𝑖 = (𝑛 − 1)𝑞𝑖

Otteniamo quindi la quantità ottimale dell’impresa i:

𝑞𝑖 =𝐴−𝑐

2𝐵−

1

2(𝑛 − 1)𝑞𝑖

𝑞𝑖 ∗=𝐴−𝑐

𝐵 𝑛+1 𝑄 = 𝑛 ∗

𝐴−𝑐

𝐵(𝑛+1)

𝑃∗ = 𝐴 − 𝐵 𝑛 ∗𝐴−𝑐

𝐵 𝑛+1= 𝐴 − 𝑛

𝐴−𝑐

𝑛+1=

𝐴+𝑛𝑐

𝑛+1

All’aumentare di n il prezzo tende al costo

marginale.

𝜋𝑖 =𝐴+𝑛𝑐

𝑛+1− 𝑐 ∗

𝐴−𝑐

𝐵 𝑛+1=

(𝐴−𝑐)2

𝐵(𝑛+1)2

10

Duopolio di Cournot con imprese asimmetriche

Ipotizziamo questa volta che c1

11

Duopolio di Cournot con imprese asimmetriche

L’output totale è Q* = (2A - c1 - c2)/3B

Ricordate che la domanda è P = A - B.Q

Il prezzo è P* = A - (2A - c1 - c2)/3 = (A + c1 +c2)/3

Profitti impresa 1: (P* - c1)qC

1 = (A - 2c1 + c2)2/9

Profitti impresa 2: (P* - c2)qC

2 = (A - 2c2 + c1)2/9

L’impresa con il costo marginale minore avrà l’output

maggiore (cioè la quota di mercato maggiore)

Si produce inefficientemente: l’impresa a basso costo

dovrebbe produrre tutto l’output

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Il modello di Cournot e la concentrazione del mercato

Ipotizziamo n imprese con differenti costi marginali

La condizione di massimizzazione per l’impresa i:

𝐴 − 2𝐵𝑞𝑖− 𝐵𝑄−𝑖 − 𝑐𝑖 = 0

Che possiamo esprimere come:

𝐴 − 𝐵𝑞𝑖 − 𝐵𝑄−𝑖𝑃

− 𝐵𝑞𝑖 − 𝑐𝑖 = 0

da cui 𝑃 − 𝑐𝑖 = 𝐵𝑞𝑖

divido primo e secondo membro per P e moltiplico il secondo

membro per Q/Q:

𝑃−𝑐𝑖

𝑃=

𝑞𝑖

𝑄𝐵𝑄

𝑃 𝐿𝑖 =

𝑠𝑖

𝜀

L’indice di Lerner della singola impresa dipende dalla sua quota

di mercato. Data l’elasticità della domanda quanto più grande è la

quota di mercato tanto maggiore è il potere di mercato.

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Indice di Lerner e concentrazione Determiniamo l’indice di Lerner per l’industria:

Moltiplichiamo primo e secondo membro per la quota di

mercato della singola impresa i:

𝑠𝑖𝑃−𝑐𝑖

𝑃=

𝑠𝑖2

𝜀

Industria: sommatoria delle singole imprese

𝑠𝑖𝑃−𝑐𝑖

𝑃=

𝑠𝑖2

𝜀𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 Prezzo ed elasticità sono costanti

nella sommatoria e la sommatoria di si è uguale ad 1 per cui:

1 −1

𝑃 𝑠𝑖𝑐𝑖 =

𝑠𝑖2

𝜀𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 ;

Indichiamo con 𝑐 il costo marginale medio dell’industria, ottenuto come la media ponderata con le quote di mercato dei

costi marginali delle singole imprese.

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Indice di Lerner e concentrazione La sommatoria delle quote di mercato elevate al quadrato

non è altro che l’indice di Herfindahl-Hirschman (H-H)

che è una misura della concentrazione del mercato.

L’indice di H.-H. varia tra 0 e 1, dove il valore massimo

corrisponde a una situazione di completo monopolio,

mentre valori molto bassi si ottengono in mercati nei quali

c’è un numero elevato di imprese, ciascuna delle quali

detiene una piccola fetta di mercato.

𝑃−𝑐

𝑃=

𝐻𝐻

𝜀

Fermo restando le ipotesi da cui siamo partiti, da tale

relazione possiamo dedurre che tanto più concentrato è il

mercato tanto più alto sarà il potere di mercato in tale

industria.

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Modelli di base: La concorrenza di prezzo Bertrand

Prendiamo in considerazione un duopolio, due imprese

identiche:

A1) hanno gli stessi costi marginali costanti c e nessun costo

fisso;

A2) offrono prodotti omogenei; la domanda di mercato è

decrescente, Q = D(p);

A3) partecipano ad un gioco on –shot (giocano una sola volta) e

simultaneo e non cooperativo, cioè fissano simultaneamente e

indipendentemente il prezzo a cui vendono il prodotto;

A4) non hanno vincoli di capacità produttiva, ogni impresa può

servire l’intero mercato.

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Data la domanda di mercato e l’omogeneità del

prodotto, la domanda che si rivolge alla singola

impresa, per esempio l’impresa 1 sarà:

𝐷1 (𝑝1, 𝑝2) =

0 𝑠𝑒 𝑝1 > 𝑝2𝐷(𝑝1) 𝑠𝑒 𝑝1 < 𝑝2𝐷(𝑝1)

2 𝑠𝑒 𝑝1 = 𝑝2

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Equilibrio di Bertrand (1)

L’equilibrio su tale mercato corrisponde ad una

coppia di prezzi

𝑝1∗, 𝑝2∗ 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑐ℎ𝑒 𝜋1 (𝑝1∗, 𝑝2∗) > 𝜋1′(𝑝1, 𝑝2∗)

𝜋2 (𝑝1∗, 𝑝2∗) > 𝜋2′(𝑝1∗, 𝑝2)

Tale coppia di prezzi sarà:

𝑝1 = 𝑝2 = 𝑐

Vediamo perché:

Consideriamo tutte le possibili coppie di prezzi e

verifichiamo se esiste, per almeno una delle due

imprese, una deviazione profittevole dalla situazione

considerata.

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Equilibrio di Bertrand (2) L’equilibrio si avrà in corrispondenza di una coppia

di prezzi a partire dal quale nessuna delle due

imprese avrà convenienza a deviare (Equilibrio di

Nash)

Possiamo restringere la scelta dei prezzi per ciascun

giocatore nell’intervallo 𝑐, 𝑝 dove 𝑝 è il prezzo per il quale si annulla la domanda.

Consideriamo i seguenti casi:

1) 𝑝1 = 𝑝2 > 𝑐.

1) Non può essere un equilibrio: ciascuna impresa

ha un incentivo a ridurre leggermente il prezzo in

modo da ottenere l’intera domanda.

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2) 𝑝1 > 𝑝2 > 𝑐

2) Non può essere un equilibrio: L’impresa 1 non

vende nulla, ma ha un incentivo a ridurre leggermente

il prezzo al di sotto dell’impresa 2 e reailizzare profitti

positivi.

3) 𝑝1 > 𝑝2 = 𝑐

3) Non può essere un equilibrio: L’impresa 1 realizza

profitti nulli, allo stesso modo non realizza profitti

positivi riducendo il prezzo leggermente al di sotto

dell’impresa 2 (realizzerebbe profitti negativi). Pertanto

p1 è una risposta ottima a p2. P2 però non è una risposta

ottima a p1 perché l’impresa 2 potrebbe ottenere profitti

positivi aumentando leggermente il prezzo al di sopra

del costo marginale ma al di sotto di p1.

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Il paradosso di Bertrand

Ultima combinazione da considerare:

4) 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑐

Unico equilibrio: Ciascuna impresa realizza

profitti nulli, ma non può migliorare la propria

situazione né aumentando il prezzo né

diminuendolo. Questa combinazione di prezzi

rappresenta un equilibrio.

Paradosso di Bertrand. Nonostante l’industria

sia altamente concentrata (due imprese) le

imprese fissano un prezzo pari al costo

marginale realizzando profitti nulli

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Come “sfuggire” al paradosso di Bertrand? Il modello di Bertrand chiarisce che la

competizione sui prezzi è molto diversa da quella

sulle quantità

Dato che molte imprese stabiliscono i prezzi (e

non le quantità), ciò è una critica all’approccio di

Cournot.

Modificare alcune ipotesi del modello:

– Vincoli di capacità produttiva

– Differenziazione del prodotto

– Collusione (via interazione ripetuta nel tempo)

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Ipotesi troppo restrittive?

Le ipotesi del modello sono alquanto stringenti.

Rimuovendo di volta in volta una o alcune di tali

ipotesi si ottengono equilibri caratterizzati da prezzi

di equilibrio maggiori del costo marginale con

profitti positivi per le imprese.

In ogni caso il modello rappresenta un punto di

riferimento, corrispondente al limite inferiori dei

prezzi che in un contesto oligopolistico si possono

determinare quando la concorrenza assume la sua

forma più intensa.

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I vincoli di capacità un esempio Affinché in equilibrio si abbia p = c, entrambe le imprese

devono avere capacità sufficiente da coprire l’intera domanda a p = c

Ma quando p = c ottengono solo metà del mercato

Perciò, a p = c, c’è un enorme eccesso di capacità

I vincoli di capacità possono dunque influenzare l’equilibrio

Consideriamo un esempio:

La domanda di noleggio barche a vela giornaliera in una località marina è:

Q = 50 – 0.1P

Q è il numero di velisti e P il prezzo giornaliero del noleggio

due imprese che noleggiano barche a vela: impresa 1 con capacità giornaliera 5 e impresa 2 con capacità giornaliera 10 (le capacità sono fisse)

il costo marginale del servizio è €100 per entrambe le imprese.

24

Esempio

Il prezzo P = c = €100 è un equilibrio?

la domanda totale a P=100 è 40, ben oltre la capacità

Supponete che entrambe le stazioni pongano P = €100: entrambe

hanno dunque domanda di 20 barche a vela da noleggiare, ma

l’impresa 1 ne potrà soddisfare 5 e l’impresa 2 solo 10.

Considerate impresa 1: aumentando i prezzi perde parte della domanda

ma dove possono andare? Non certo presso l’impresa 2.

alcuni velisti non si rivolgeranno all’impresa 1 con i maggiori

prezzi.

L’impresa 1 sta facendo profitti sui velisti rimanenti tramite un

prezzo superiore a C’

perciò P = €100 non può essere un equilibrio

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Esempio. Prezzo di equilibrio? Supponete ci sia razionamento efficiente

vengono serviti i turisti con la più alta disponibilità a

pagare

Supponiamo che l’imprea 1fissi un prezzo pari:

P = €350 P(5+10)= (50-15)/0.1=350

domanda totale = 15 = capacità totale

perciò impresa 1 ottiene 5 clienti.

P=350 è ottimale per l’impresa 2?

la domanda residuale per impresa 2 è Q = 45 – 0.1P

ossia P = 450 – 10 Q

Il ricavo marginale sarà:

RM2=450-20Q

26

Esempio

Domanda residuale e R’: Prezzo

Quantità

Domanda

10

€450

€350

€150

€100 C’

R’

• Supponete Impresa 2 ponga

P = €350. Vuole cambiare?

• dato che R’ > C’ l’impresa 2

non vuole alzare i prezzi e

perdere clienti

– dato che Q2 = 10 l’impresa 2

impiega tutta la capacità e

non vuole ridurre i prezzi

• La stessa logica vale per l’impresa 1, perciò P = €350 è

equilibrio di Nash per questo gioco

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Bertrand vs Cournot: un primo confronto

• I due modelli partono da ipotesi simili, ma arrivano a risultati

ben diversi!

• L’unica ipotesi diversa è la variabile su cui le imprese competono: quantità

o prezzo

• In Cournot, le imprese hanno profitti positivi e il livello dei profitti è

negativamente correlato con il numero delle imprese presenti sul

mercato

• In Bertrand, le imprese hanno profitti nulli anche quando ci sono solo

2 imprese

• Confronto con la realtà (molto approssimativo!):

– l’ipotesi di competizione sui prezzi (Bertrand) sembra più realistica ...

– … ma il risultato di Cournot sembra più realistico ...

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Bertrand vs. Cournot: quale modello è più appropriato?

• Per descrivere la realtà servono modelli più complessi, ma le intuizioni

di fondo restano valide ...

• Pensiamo a un modello descritto da un gioco a due stadi, in cui si ha:

– una decisione di lungo periodo (primo stadio del gioco)

– una decisione di breve periodo (secondo stadio del gioco: la decisione sarà

influenzata dalla decisione presa nel primo stadio)

– Pensiamo a quantità e prezzo come a due decisioni sequenziali … quale decisione

viene presa per prima?

– E’ più facile per un’impresa modificare la quantità prodotta (e quindi la capacità

produttiva) oppure il prezzo?

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Bertrand vs. Cournot: quale modello è più appropriato?

• Es. industria del cemento, delle automobili, dei computer… E’ più

difficile modificare la capacità produttiva (decisione di lungo

periodo) piuttosto che i prezzi (decisione di breve periodo)

– In questi casi, Cournot è il modello più appropriato

– Si può dimostrare che con vincoli di capacità produttiva, la competizione

sui prezzi (à la Bertrand) porta ai risultati di Cournot!

• Es. industria dei software, dei servizi bancari e assicurativi …

aumentare la quantità prodotta è questione di un attimo! Modificare i

prezzi può richiedere più tempo

– In questi casi, Bertrand è il modello più appropriato!

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Analisi di statica comparata

• I modelli sopra descritti sono modelli statici

• Statica comparata: permette di confrontare equilibri diversi a cui

conducono i modelli di Cournot e Bertrand supponendo che vi sia

una variazione in qualche dato fondamentale del modello

• Es: cosa succede se o il MC di produzione di una delle due imprese

o di entrambe? Occorre sempre guardare alle variazioni indotte nelle

funzioni di reazione

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Esempio

Aumento dei costi marginali per entrambe le imprese

• Consideriamo due imprese simmetriche che competono alla

Cournot con c=400 dove il costo del lavoro incide per il

50% e il costo dell’energia per il 50%.

• In seguito ad un aumento del prezzo dell’energia dell’30%

quale sarà l’effetto sul prezzo del bene?

• Sappiamo che 𝑃 =𝐴+2𝑐

3 perciò un incremento del costo

marginale sui prezzi sarà pari a : 𝜕𝑃

𝜕𝑐=

2

3

• nel nostro esempio:

• L’incremento del costo marginale sarà pari a:

• 50%*30%*400=60

• L’incremento del prezzo sarà pari a:

• 60*2/3=40

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Esempio

Una variazione del tasso di cambio

Due produttori di motoscouter, uno in Europa e uno

negli USA.

Entrambi servono il mercato USA

Inizialmente il tasso di cambio e =100€/$ (exchange

rate €/$),

p = 24

Inoltre, cEU = €1200, cUSA = $12.

Domanda: qual è l’impatto sulla quota di mercato del

produttore europeo di una svalutazione dell’euro

rispetto al dollaro del 50% (€/$=150)?

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Esempio

Una variazione del tasso di cambio

Prima della svalutazione le due imprese hanno lo stesso costo

marginale e quindi la stessa quota di mercato:

cEU = €1200 convertito in $:

cEU = €1200*1/e =$12

cUSA = $12.

In seguito alla svalutazione l’impresa europea ha un costo

inferiore:

cEU = €1200*1/e =$8

cUSA = $12.

Per cui le due imprese produrranno:

𝑞𝐸𝑈 =𝐴−2𝑐1+𝑐2

3𝐵; 𝑞𝑈𝑆𝐴 =

𝐴−2𝑐2+𝑐1

3𝐵

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Esempio

Una variazione del tasso di cambio

La quota di mercato dell’impresa europea sarà:

𝑠𝐸𝑈 =𝑞𝐸𝑈

𝑞𝐸𝑈+𝑞𝑈𝑆𝐴=

𝐴−2𝑐𝐸𝑈+𝑐𝑈𝑆𝐴

2𝐴−𝑐𝐸𝑈−𝑐𝑈𝑆𝐴=

𝐴−16+12

2𝐴−20

=𝐴−4

2𝐴−20

Determiniamo A. Se il prezzo era 24 e i costi marginali pari a

12 per entrambe le imprese, in equilibrio il prezzo era pari a:

𝑃∗ =𝐴+2𝑐

3 sostituendo i nostri valori avremo:

24 =𝐴+24

3 72 = 𝐴 + 24; 𝐴 = 48

𝑠𝐸𝑈 =48−4

96−20=

44

76= 58%