Matematika Teknik I

Matematika Teknik IIntegral Rangkap 3

Teza Dwi Lutfi (130401112)Rinaldy Valendry (130401114)DefinisiIntegral lipat tiga (triple integrals) merupakan integral biasa/tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali (lakukan iterasi integral sebanyak 3x). Notasi dari integral lipat tiga adalah sebagai berikut:

Definisi

Bentuk di atas adalah bentuk tak tentu dari integral lipat tiga, di mana bisa dilihat bahwa integeral tersebut tidak memiliki batas atas dan batas bawahDefinisiBentuk tentu dari integral lipat tiga dapat dinotasikan sebagai berikut:

Bentuk di atas mempunyai tiga buah batas bawah (x1, y1, dan z1) dan tiga buah batas atas (x2, y2, z2).

Bentuk Tak TentuApabila terdapat integral lipat tiga tak tentu:

Maka penyelesaiannya:Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap x dengan menggangap variabel y dan z konstan.Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y dengan menggangap variabel x dan z konstan.Hasil pada langkah 2 kemudian diintegralkan terhadap z dengan menggangap variabel x dan y konstan.setiap hasil pengintegralan ditambah dengan konstanta sembarang c (c1, c2, dan c3).

Bentuk Tak TentuIlustrasi dari langkah penyeselaian di atas adalah sebagai berikut:

Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian integral lipat tiga sama dengan penyelesaian integral lipat dua, dimulai dari bagian dalam, ke bagian luar.

Bentuk Tak TentuContoh:Selesaikan

Jawab:

Bentuk Tak TentuContoh:Selesaikan

Jawab:

Bentuk TentuApabila terdapat integral lipat tiga bentuk tentu berikut:

Langkah penyelesaiannya:Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap z (dengan menggangap x dan y konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas z = z2 dan batas bawah z = z1.

Bentuk TentuHasilnya kemudian diintegralkan terhadap x, kemudian dihitung nilainya dengan batas atas x = x2 dan batas bawah x = x1.Dari hasil langkah 2 diintegralkan kembali ke y kemudian dihitung nilainya dengan batas atas y = y2 dan batas bawah y = y1.

Bentuk TentuIlustrasi dari langkah penyelesaian di atas adalah:

Dapat disimpulkan bahwa langkah penyelesaian bentuk tentu dengan tak tentu hampir sama, bedanya hanya di bentuk tentu ada batas bawah dan batas atas.

Bentuk TentuContoh:Selesaikan

Jawab:

Bentuk TentuContoh:Selesaikan

Jawab:

Bentuk TentuJawab:

Bentuk TentuContoh:Hitung Integral lipat tiga f (x, y, z) = 2xyz dalam daerah pejal R yang dibatasi oleh tabung z = 2 x2 dan bidang-bidang z = 0, y = x dan y = 0 !Jawab:Ilustrasi dari batas-batas di atas adalah sebagai berikut:Sehingga batas-batasnya adalah:

Bentuk TentuDari batas-batas tersebut, maka bentuk integral lipat tiga tentu-nya adalah sebagai berikut:

Penyelesaian:

Bentuk Tentu

Terimakasih.