preparação para prova final de matemática 9º ano 3º ciclo

PREPARAO PARA PROVA FINAL 3 CICLO MATEMTICA

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Preparao para prova final do 3 ciclo

Luis Carrilho

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1


NDICE

PRINCIPAIS CONTEDOS | 7 ANO E 8ANO

ESTATSTICA ....................................................................................................... 3

Tabela de frequncias ............................................................................................................... 3

Tratamento de dados ................................................................................................................ 3

SEQUNCIAS ..................................................................................................... 4

Termos e ordem .......................................................................................................................... 4

Termo geral .................................................................................................................................. 4

SEMELHANA DE FIGURAS ............................................................................... 5

O que so figuras semelhantes................................................................................................. 5

Razo de semelhana ............................................................................................................... 5

Critrios de semelhana de tringulos .................................................................................... 5

POTNCIAS E NOTAO CIENTFICA .............................................................. 4

Regras das potncias ................................................................................................................. 4

Notao cientfica ..................................................................................................................... 5

FIGURAS GEOMTRICAS E SLIDOS GEOMTRICOS ...................................... 7

reas de polgonos ..................................................................................................................... 7

Soma dos ngulos internos ........................................................................................................ 7

rea e permetro do crculo ...................................................................................................... 7

Volume de slidos ....................................................................................................................... 7

Unidades de volume e de capacidade ................................................................................. 7

RETAS E PLANOS NO ESPAO .......................................................................... 8

Posio relativa entre retas ....................................................................................................... 8

Posio relativa entre planos .................................................................................................... 8

Posio relativa entre uma reta e um plano .......................................................................... 8

SISTEMAS DE 2 EQUAES ............................................................................... 9

Mtodo de substituio ............................................................................................................. 9

Classificao de sistemas de 2 equaes .............................................................................. 9


2


PRINCIPAIS CONTEDOS | 9ANO

PROBABILIDADES ............................................................................................ 10

Mtodos auxiliares de contagem .......................................................................................... 10

Clculo da probabilidade....................................................................................................... 10

FUNES ......................................................................................................... 11

Funo afim............................................................................................................................... 12

Funo de proporcionalidade inversa ................................................................................. 12

Funo quadrtica .................................................................................................................. 12

EQUAES DO 2 GRAU ................................................................................ 12

Casos notveis .......................................................................................................................... 12

Equaes incompletas ............................................................................................................ 12

Equao completa .................................................................................................................. 12

CIRCUNFERNCIA ........................................................................................... 13

Relao entre a amplitude de ngulos e arcos correspondentes ................................... 13

Propriedades ............................................................................................................................. 13

LUGARES GEOMTRICOS ................................................................................ 14

No plano .................................................................................................................................... 14

No espao ................................................................................................................................. 15

NMEROS REAIS .............................................................................................. 16

Conjuntos numricos ................................................................................................................ 16

Operaes com nmeros reais .............................................................................................. 16

Intervalos de nmeros .............................................................................................................. 16

INEQUAES .................................................................................................. 17

Resoluo de inequaes ...................................................................................................... 17

Conjuno e disjuno de inequaes ................................................................................ 17

TRIGONOMETRIA ............................................................................................. 18

Razes trigonomtricas ............................................................................................................ 18

Relaes entre as razes trigonomtricas............................................................................. 18


3


PRINCIPAIS CONTEDOS | 7 ANO E 8ANO

ESTATSTICA

Tabela de frequncias

Frequncia absoluta: nmero de vezes que se repete um dado

Frequncia relativa: quociente entre frequncia absoluta e o nmero

total de dados

Exemplo:

Populao: alunos do 5B

Varivel: notas a matemtica

Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Notas fa fr Fr (%)

1 1 1: 20 = 0,05 5 % (0,05 100)

2 6 6: 20 = 0,3 30 % (0,3 100)

3 6 6: 20 = 0,3 30 % (0,3 100)

4 6 6: 20 = 0,3 30 % (0,3 100)

5 1 1: 20 = 0,3 5 % (0,05 100)

Total 20 1 100 %

Tratamento de dados

Moda: dado que aparece mais vezes

Mdia: quociente entre a soma de todos os dados e o nmero total de

dados

Extremos: valor mnimo e valor mximo

Amplitude: Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo

Exemplo:

Populao: alunos do 5B

Varivel: notas a matemtica

Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Moda: 2, 3 e 4

Mdia: 1 + 2 6 + 3 6 + 4 6 + 5

20 =

1 + 12 + 18 + 24 + 5

20=

60

20= 3

Mnimo: 1

Mximo: 5

Amplitude: 5 1 = 4


4


SEQUNCIAS

Termos e ordem

A cada nmero de uma sequncia chama-se termo e a posio que ocupa

na sequncia chama-se ordem (n).

Termo geral

possvel descobrir qualquer termo de uma sequncia sabendo o seu termo

geral.

Exemplos de termos gerais de sequncias:

2, 4, 6, 8, 10, ... 2n (de 2 em 2)

3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3)

4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e comea no 4)

1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1)

-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10)

1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos)

1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos)

Como se descobre um termo de uma sequncia atravs do seu termo geral:

Termo geral: 2 (n + 10)

2 termo (n = 2):

2 (2 + 10)= 2 12 = 24

Como se descobre se um termo faz parte de uma sequncia:

Termo geral: 2 (n + 10)

O nmero 30 termo da soluo?

2 (n + 10) = 30

2n + 20 = 30

2n = 30 20 2n = 10

n = 10 : 2

n = 5 30 termo da sequncia (termo de ordem 5)


5


SEMELHANA DE FIGURAS

O que so figuras semelhantes

Figuras semelhantes tm a mesma forma e, por isso, ngulos

correspondentes congruentes e lados diretamente proporcionais.

Razo de semelhana

Ampliao

r = L : l > 1

Reduo

r = l : L < 1

Congruncia

r = l : l = 1

Como descobrir o comprimento de lados de figuras semelhantes:

2,5 -------------- 3

1,5 -------------- x

= 1,5 3

2,5=

7,5

2,5= 3

Critrios de semelhana de tringulos

Critrio AA

o dois tringulos so semelhantes se tiverem dois ngulos

correspondentes congruentes

Critrio LLL

o dois tringulos so semelhantes se tiverem trs lados diretamente

proporcionais

Critrio LAL

o dois tringulos so semelhantes se tiverem dois lados diretamente

proporcionais e o ngulo por eles formado congruente

Exemplos:

[ABC] semelhante a [ADE]

segundo o critrio AA pois:

BC = DE e ABC = ADE

[FGH] semelhante a [IJK]

segundo o critrio LLL pois:

5 : 2,5 = 2 : 1 = 4 : 2

[LMN] semelhante a [NOP]

segundo o critrio LAL pois:

4,5 : 3 = 1,5 :1 e LNM = ONP

l l l l L L

2,5

1,5

3

x

A B D

C

E H

G F

K

J I

2 1

2,5 4

5

2

P O

N

M L

3 1

1,5 4,5



POTNCIAS E NOTAO CIENTFICA

Regras das potncias

Na multiplicao:

com bases iguais, a base mantm-se e somam-se os expoentes

com expoentes iguais, o expoente mantm-se e multiplicam-se as bases

4 4 = 4

3 3 = 3

Na diviso:

com bases iguais, mantm-se a base e subtraem-se os expoentes

com expoentes iguais, mantm-se o expoente e dividem-se as bases

4: 4 = 4

3: 3 = 3

Potncia de potncia:

multiplicam-se os expoentes

(4) = 4

Potncia com base negativa:

se o expoente for par, o resultado fica positivo

se o expoente for mpar, o resultado fica negativo

(2) = 4

(2) = 8

Potncia com expoente negativo:

para colocar o expoente positivo coloca-se o inverso da base

(1

3)

= 3

Expoentes 1 e 0:

qualquer nmero elevado a 1 igual a si prprio

qualquer nmero elevado a 0 igual a 1

3 = 3

3 = 1


5


Notao cientfica

Colocar um nmero em notao cientfica:

colocar a vrgula de forma que a parte inteira seja um nmero de 1 a 9,

e no expoente da base 10 colocar o nmero de vezes que andamos

com a vrgula. Se andarmos com a vrgula para a direita o expoente

fica negativo, e se andarmos para a esquerda fica positivo.

0,000000005486 = 5,486 109

1545600000000 = 1,5456 1012

Comparar nmeros em notao cientfica:

se os expoentes das potncias de base 10 forem iguais, ser maior

aquele em que o nmero que antecede a potncia maior

se os expoentes das potncias de base 10 forem diferentes, ser maior

aquele cuja potncia tiver maior expoente

, 109 < , 109

2,584 10 > 5,486 10

Operaes com nmeros em notao cientfica:

multiplicao:

( 10) ( 10) =

= ( ) 10+

(2,54 105) (3,2 103) =

= (2,54 3,2) 105+(3) =

= 8,128 102

diviso:

( 10) ( 10) =

= ( ) 10

(2,54 105) (3,2 103) =

= (2,54 3,2) 105(3)=

= 0,79375 108 =

= 7,9375 107

adio e subtrao:

1. Na adio e subtrao primeiro temos de colocar as potncias de base

10 iguais

2. S depois fatorizamos a expresso, colocando em evidncia a potncia

comum de base 10 e efetuamos os clculos dentro de parnteses

(, ) + (3,2 103)

= ( ) + (3,2 103)

= (254 + 3,2) 103

= 257,2 103

= 2,572 105

(, ) (3,2 103)

= ( ) (3,2 103)

= (254 3,2) 103

= 250,8 103

= 2,508 105



FIGURAS GEOMTRICAS E SLIDOS GEOMTRICOS

reas de polgonos

=

=

2

=

=

2

=

= +

2

=

2

Soma dos ngulos internos

= ( 2) 180

rea e permetro do crculo

= 2 =

Volume de slidos

=

=

3

=3

4

Unidades de volume e de capacidade

Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml

m3 = kl

dm3 = l

cm3 = ml


8


RETAS E PLANOS NO ESPAO

Posio relativa entre retas

Posio relativa entre planos

Posio relativa entre uma reta e um plano

Complanares

(pertencem ao mesmo plano)

Paralelas

Estritamente Paralelas

Coincidentes

Concorrentes

(ou secantes)

Perpendiculares

Oblquas

No complanares

(no pertencem ao mesmo plano)

Paralelos

Estritamente Paralelos

Coincidentes

Concorrentes

(ou secantes)

Perpendiculares

Oblquos

Paralela

Estritamente Paralela

Contida

Concorrente

(ou secante)

Perpendicular

Oblqua


9


SISTEMAS DE 2 EQUAES

Mtodo de substituio

1. Colocar na forma cannica

2. Isolar uma das incgnitas de uma das duas equaes

3. Substituir a incgnita na outra equao pela expresso equivalente

4. Resolver essa equao

5. Substituir a incgnita na outra equao pelo seu valor

6. Resolver essa equao e apresentar o conjunto-soluo

1. {2 = 19 + 2

4( + 2) + = 2 {

2 2 = 194 + 8 + = 2

{2 3 = 19

4 + = 2 8 {

2 3 = 194 + = 6

2. {2 3 = 19 = 6 4

3. {2 3(6 4) = 19

4. {2 + 18 + 12 = 19

{

2 + 12 = 19 18

{14 = 1

{ =1

14

5. {

= 6 4 (1

14)

6. {

= 6 4

14 {

= 42

7

2

7 {

=1

14

= 40

7

C.S.= (1

14;

40

7)

Classificao de sistemas de 2 equaes

Sistema possvel e

determinado

As retas cruzam-se num

ponto, sendo as suas

coordenadas o

conjunto-soluo

Sistema possvel e

indeterminado

As retas so

coincidentes, sendo por

isso indeterminado o

conjunto-soluo

Sistema impossvel

As retas so paralelas, e

como no se intersetam

no existe conjunto-

soluo



PRINCIPAIS CONTEDOS | 9ANO

PROBABILIDADES

Mtodos auxiliares de contagem

Tabela de dupla entrada

Experincia: Num saco com 3 bolas (1 azul, 1 verde e 1 preta) retirar 2 bolas e verificar

a sua cor.

Com reposio:

A V P

A (A,A) (A,V) (A,P)

V (V,A) (V,V) (V,P)

P (P,A) (P,V) (P,P)

- 9 casos possveis

Sem reposio:

A V P

A - (A,V) (A,P)

V (V,A) - (V,P)

P (P,A) (P,V) -

- 6 casos possveis

Diagrama em rvore

Experincia: Num saco com 3 bolas (1 azul, 1 verde e 1 preta) retirar 2 bolas e verificar

a sua cor.

Com reposio:

- 9 casos possveis

Sem reposio:

- 6 casos possveis

Clculo da probabilidade

Lei de La Place

() =

A A V P

V A V P

P A V P

A V P

V A P

P A V

(A,A)

(A,V)

(A,P)

(V,A)

(V,V)

(V,P)

(P,A)

(P,V)

(P,P)

(A,V)

(A,P)

(V,A)

(V,P)

(P,A)

(P,V)


11


FUNES

Do tipo: =

ordenada na

origem, ou seja, onde a

reta intersecta o eixo y

Do tipo: =

declive da reta

=

Do tipo: = +

ordenada na

origem

declive da reta

=1 21 2

Do tipo: =

constante de proporcionalidade

direta

=

Do tipo: =

=

2

Funo Afim

Constante Linear Nem constante nem

linear

Funo de proporcionalidade inversa

Funo quadrtica


12


EQUAES DO 2 GRAU

Casos notveis

( + )2 = 2 + 2 + 2

( )2 = 2 2 + 2

( + )( ) = 2 2

Equaes incompletas

Do tipo: =

42 = 0

2 =0

4

2 = 0

. . = {0}

Do tipo: + =

42 16 = 0

2 =16

4

2 = 4

= 4

. . = {2; 2}

Do tipo: + =

42 16 = 0

(4 16) = 0

= 0 4 16 = 0

= 0 =16

4

. . = {0; 4}

Equao completa

Do tipo: + + =

2 2 8 = 0

=(2) (2)2 4(1)(8)

2(1)

=2 4 + 32

2

=16 36

2

=16 + 6

2 =

16 6

2

= 11 = 5

. . = {5; 11}

Frmula resolvente:

= 2 4

2



CIRCUNFERNCIA

Relao entre a amplitude de ngulos e arcos correspondentes

Propriedades

Propriedade 1

A ngulos ao centro com a mesma amplitude

correspondem cordas e arcos congruentes

AB = CD, ento AB = CD e AB = CD

Propriedade 2

Um ngulo inscrito numa semicircunferncia tem 90

AB dimetro, ento AB um ngulo reto

Propriedade 3

A reta tangente circunferncia perpendicular ao seu

raio (e dimetro) no ponto de tangncia

AB dimetro, ento CB um ngulo reto

ngulo ao centro ngulo inscrito

ngulo com vrtice no interior da circunferncia

ngulo com vrtice no exterior da circunferncia

A

B

O =

A

B

O =

2

A

B

O

C

D

= +

2

A

B

O

=

2

C

D

A

B

O

C

D

A

B

O

A

B

O

C


14


LUGARES GEOMTRICOS

No plano

Circunferncia

Conjunto de pontos, no plano, cuja distncia ao ponto C

igual a r

Crculo


igual ou inferior a r

Zona interior da circunferncia


inferior a r

Zona exterior da circunferncia


superior a r

Mediatriz

Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos pontos A e B

Zona limitada por uma mediatriz

Conjunto de pontos, no plano, mais prximos do ponto A do

que do ponto B

Circuncentro

Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos pontos A, B

e C (ponto de interseo entre as mediatrizes dos segmentos de reta

[AB], [BC] e [AC])

Bissetriz

Conjunto de pontos, no plano, equidistantes s semirretas AB

e AC

Incentro

Conjunto de pontos, no plano, equidistantes aos segmentos

de reta AB, BC e AC

r

r C

r C

C

r C

A B

A B

A

B

C

A

B

C

A

B

C (ponto de interseo entre as bissetrizes dos segmentos de reta

[AB], [BC] e [AC])


15


No espao

Superfcie esfrica

Conjunto de pontos, no espao, cuja distncia ao ponto C

igual a r

Esfera

Conjunto de pontos, no espao, cuja distncia ao ponto C

igual ou inferior a r

Plano Mediador

Conjunto de pontos, no espao, equidistantes aos pontos A e

B

r

r

A B


16


NMEROS REAIS

Conjuntos numricos

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} nmeros naturais

= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} nmeros inteiros

= {nmeros fracionrios} nmeros racionais

o Dzimas finitas Ex: 1,5

o Dzimas infinitas peridicas Ex: 1,(5)

= {nmeros irracionais} nmeros reais

o Dzimas infinitas no peridicas Ex: 1,568365439875

Operaes com nmeros reais

3 + 2 = 5

32 + 22 = 52

32 + 53 + 23 = 32 + 73

32 (25 4) = 610 122

(2 + 35)2 = (2)2 + 2(2)(35) + (35)2 = 2 + 610 + 9(5) = 2 + 610 + 45 = 47 + 610

(2 + 5)(2 5) = 22 (5)2 = 4 5 = 1

8

2= 4 = 2

Intervalos de nmeros

Condio

Representao geomtrica Intervalo de nmeros

{: 3}

[3 ; +[

{: 3 < 5}

[3 ; 5[

{: 3 1 < 5}

[3 ; 5[

{: 3 1 < 5}

[1 ; +[

3 +

3 5

3 1 5 +

3 1 5 +


17


INEQUAES

Resoluo de inequaes

As inequaes resolvem-se tal como as equaes. No entanto, deve-se ter

ateno aos seguintes casos:

Quando o termo dependente positivo, mantm-se o sentido do sinal

>, , <

2 > 4

>4

2

> 2

Quando o termo dependente negativo, altera-se o sentido do sinal >, , 4

2 < 4

< 4

2

< 2

Conjuno e disjuno de inequaes

Conjuno entre condies -

o Tem como conjunto-soluo a interseo dos conjuntos-soluo

de cada uma das condies -

2 > 4 + 10 10

2 < 4 10 10

4 + 10 10

2 < 4 10 10

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