preparaÇÃo para prova final de matemÁtica 2º ciclo

7/28/2019 PREPARAO PARA PROVA FINAL DE MATEMTICA 2 ciclo

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Preparao para prova final do 2 ciclo

Luis Carrilho

www.obichinhodosaber.com


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PREPARAO PARA PROVA FINAL 2 CICLO MATEMTICA

www.obichinhodosaber.com 1

NDICE POR TEMAS

Nmeros primos e nmeros compostos 2

Critrios de divisibilidade 3

Decomposio em fatores primos 3

Mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum 4

Potncias 4

Conjuntos de nmeros 5Fraes 6

Valores aproximados e arredondamentos 7

Operaes com nmeros racionais no negativos 8

Operaes com nmeros inteiros 9

Expresses numricas 9

Sequncias 10

Proporcionalidade direta 11

Reta, semirreta e segmento de reta 12

ngulos 13

Polgonos 14

Permetros e reas 15

Slidos geomtricos 16

Volumes 17Unidades de volume e capacidade 17

Recolha de dados 18

Representao de dados 19

Tratamento de dados 20


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NMEROS

Nmeros primos e nmeros compostos

Nmero primo: tem apenas dois divisores (o 1 e ele prprio) Nmero composto: tem mais do que dois divisores

Nota: O nmero 1 no primo nem composto.

Exemplos:

Divisores de 2:2 : 1 = 22 : 2 = 1- 2 tem dois divisores (1 e 2), logo um nmero primo.

Divisores de 3:3 : 1 = 33 : 3 = 1- 3 tem apenas dois divisores (1 e 3), logo um nmero primo.

Divisores de 4:

4 : 1 = 44 : 2 = 24 : 4 = 1- 4 tem trs divisores (1, 2 e 4), logo um nmero composto.


Divisores de 6:

6 : 1 = 66 : 2 = 36 : 3 = 26 : 6 = 1- 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), logo um nmero composto.



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Critrios de divisibilidade

Nmeros divisveis por 2: nmeros pares Nmeros divisveis por 3: nmeros cuja soma dos seus algarismos

mltiplo de 3 Nmeros divisveis por 4: nmeros em que os dois ltimos algarismos

formam um nmero mltiplo de 4 Nmeros divisveis por 5: nmeros que terminam em 0 ou 5 Nmeros divisveis por 9: nmeros cuja soma dos seus algarismos

mltiplo de 9 Nmeros divisveis por 10: nmeros que terminam em 0

Exemplo:

2145:- No divisvel por 2 porque no par- divisvel por 3 porque a soma dos seus algarismos mltiplo de 3 (2+1+4+5=12)- No divisvel por 4 porque os dois ltimos algarismos (45) no formam um nmeromltiplo de 4- divisvel por 5 porque termina em 5

- No divisvel por 9 porque a soma dos seus algarismos no mltiplo de 9(2+1+4+5=12)- No divisvel por 10 porque no termina em 0

Decomposio em fatores primos

Para decompor um nmero em fatores primos, comeamos a dividi-lo pelo seudivisor primo mais baixo. De seguida, divide-se o quociente obtido pelo seudivisor primo mais baixo, e assim sucessivamente at chegar ao 1.

Exemplo:

630 = 2 32 5 7


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Mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum

Mximo divisor comum: fatores comuns de menor expoente Mnimo mltiplo comum: fatores comuns de maior expoente e fatores

no comuns

Exemplo:

10500 = 22 3 53 7504 = 23 32 7- m.d.c. (10500,504) = 22 3 7 = 84- m.m.c. (10500,504) = 23 32 7 53 = 63000

Potncias

Numa multiplicao de potncias:

Com bases iguais: somam-se os expoentes e base mantm-se igual Com expoentes iguais: multiplicam-se as bases e o expoente mantm-

se igual

Numa diviso de potncias: Com bases iguais: subtraem-se os expoentes e base mantm-se igual Com expoentes iguais: dividem-se as bases e o expoente mantm-se

igual

Potncia de potncia:

Multiplicam-se os expoentes e a base mantm-se igual.

Exemplos:

45 43 = 4845 25 = 85

45 : 43 = 4245 : 25 = 25

(43)2 = 46


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Conjuntos de nmeros

Naturais:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Inteiros:{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Racionais:{nmeros inteiros} U {nmeros fracionrios}

Nota: Um nmero fracionrio um nmero decimal que pode serrepresentado por uma frao. Para saber se um nmero fracionrioverificamos se uma dzima finita ou dizma infinita no peridica.

Exemplos:

2145

- nmero natural (porque superior a 0 e no tem parte decimal)- nmero inteiro (porque no tem parte decimal)- nmero racional (porque nmero inteiro)

0- No nmero natural (porque inferior a 1)- nmero inteiro (porque no tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero inteiro)

-45- No nmero natural (porque inferior a 1)- nmero inteiro (porque no tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero inteiro)

2,145- No nmero natural (porque tem parte decimal)- No nmero inteiro (porque tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero fracionriodizma finita)

-21,(45) = 21,4545454545...- No nmero natural (porque tem parte decimal)

- No nmero inteiro (porque tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero fracionriodizma infinita peridica)

-21,45135781548...- No nmero natural (porque tem parte decimal)- No nmero inteiro (porque tem parte decimal)- No nmero racional (porque um nmero irracionaldizma infinita noperidica)


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Fraes

As fraes so nmeros racionais representados sob a forma de quocienteentre dois nmeros inteiros. Podem representar uma parte de um todo.

Frao como parte de um todo

Um tero de 1200:

Fraes equivalentes

Para obterfraes equivalentes:

Multiplicam-se ou dividem-se os numeradores e denominadores pelomesmo nmero

Exemplo:

- neste caso multiplicaram-se o numerador e o denominador por 2

Forma irredutvel

Para colocar uma frao na forma irredutvel:

Dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum

Exemplo:

- neste caso o maior divisor comum entre numerador e denominador era o 5, logodividiram-se o numerador e o denominador por 5

1200

400


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Comparao de fraes

Comparar fraes:

Se tiverem o mesmo denominador, a frao maior a que tem maiornumerador

Se tiverem o mesmo numerador, a frao maior a que tem menordenominador

Se tiverem numeradores e denominadores diferentes, obtm-se fraesequivalentes de forma a ter numeradores ou denominadores iguais eseguem-se as regras anteriormente descritas

Exemplos:

,porque

e

Valores aproximados e arredondamentos

Valores aproximados:

Por defeito: no se acrescenta nada ao ltimo algarismo Por excesso: acrescenta-se 1 ao ltimo algarismo

Arredondamentos:

Se o algarismo seguinte ao ltimo for inferior a 5: no se acrescentanada ao ltimo algarismo

Se o algarismo seguinte ao ltimo for igual ou superior a 5: acrescenta-se 1 ao ltimo algarismo

Exemplos:

145,253789456448...- valor aproximado por defeito s unidades: 145 (5+0)- valor aproximado por excesso s unidades: 146 (5+1)

- arredondamento s unidades: 145 (5+0, porque o algarismo seguinte (2) inferior a 5)


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LGEBRA

Operaes com nmeros racionais no negativos

Na adio:o Se as fraes no tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-

se obter fraes equivalentes igualando os denominadoreso De seguida, somam-se os numeradores

Na subtrao:o Se as fraes no tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-

se obter fraes equivalentes igualando os denominadoreso De seguida, subtraem-se os numeradores

Na multiplicao:o Multiplicam-se o numerador da primeira frao com o

numerador da segunda, e o mesmo se faz com osdenominadores (no necessrio denominadores iguais)

Na diviso:o Multiplica-se a primeira frao com o inverso da segunda

Potncia:o Multiplica-se o numerador e o denominador o nmero de vezes

indicado pelo expoente

Exemplos:

()


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Operaes com nmeros inteiros

Quando aparecem dois sinais juntos (+ ou -), deve-se fazer a simplificao daescrita:

Se aparecerem sinais diferentes ( - + ou + -):o Passam a

Se aparecerem sinais iguais (+ + ou - -):o Passam a +

Exemplos:

4 + 2 = 6-4 + 2 = -2

4 + (-2) = 4 2 = 2-4 + (-2) = -42 = -6

4 - 2 = 2-4 - 2 = -6

4 - (-2) = 4 + 2 = 2-4 - (-2) = -4 + 2 = -6

4 2 = 8-4 2 = -8

4 (-2) = -8-4 (-2) = 8

4 2 = 2-4 2 = -2

4 (-2) = -2-4 (-2) = 2

Expresses numricas

1. Resolvem-se as potncias2. Resolve-se o que est dentro de parenteses3. Resolvem-se as multiplicaes e divises pela ordem em que aparecem4. Resolvem-se as adies e subtraes pela ordem em que aparecem

Exemplo:

42 + (2 + 1 3) 42 2 == 16 + (2 + 1 3) 42 2 == 16 + (2 + 3) 42 2 == 16 + 5 42 2 == 16 + 202 2 == 16 + 201 == 361 =

= 35


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Sequncias

A cada nmero de uma sequncia chama-se termo e a posio que ocupana sequncia chama-se ordem (n).

possvel descobrir qualquer termo de uma sequncia sabendo o seu termogeral.

Exemplos de termos gerais de sequncias:

2, 6, 8, 10, 12, ... 2n (de 2 em 2)

3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3)

4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e comea no 4)

1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1)

0, 1, 2, 3, 4, ... n - 1 (de 1 em 1 e comea no 0)

-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10)

5, 0, -5, -10, -15, ... -5n + 10 (de -5 em -5 e comea no 5)

1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos)

1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos)

Exemplo de como se descobre os termos de uma sequncia atravs do seu termo

geral:

Termo geral:

2 (n + 10)

1 termo (n = 1):

2 (1 + 10)= 2 11 = 22

2 termo (n = 2):

2 (2 + 10)= 2 12 = 24

3 termo (n = 3):

2 (3 + 10)= 2 13 = 26

10 termo (n = 10):

2 (10 + 10)= 2 20 = 40


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Proporcionalidade direta

Razo

Uma razo o quociente entre duas grandezas.

Exemplo:

Razo entre o nmero de bolas verdes e o nmero total de bolas:

- neste caso 2 o antecedente e 5 o consequente

Proporo

Uma proporo uma igualdade entre razes. Numa proporo, o produtodos meios igual ao produto dos extermos (lei fundamental das propores).

Exemplo:

- neste caso 2 e 10 so os extremos,5 e 4 so os meios

Constante de proporcionalidade

Se duas grandezas so diretamente proporcionais, ento existe uma constantede proporcionalidade.

Exemplo:

x 1 2 3y 5 10 15

5 1 = 5 ; 10 2 = 5 ; 15 3 = 5- neste caso a constante de proporcionalidade 5, sendo assimas grandezasx e y so diretamente proporcionais


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GEOMETRIA

Reta, semirreta e segmento de reta

Reta

Uma reta no tem princpio nem fim

Exemplo:

Reta AB ou reta s

Semirreta

Uma semirreta tem princpio mas no tem fim

Exemplo:

Semirreta AB

Segmento de reta

Um segmento de reta tem princpio e fim

Exemplo:

Segmento de reta [AB]

A B

s

A B

A B


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ngulos

Classificao de ngulos

Pares de ngulos

90 > 90 < 90

ngulo reto ngulo agudongulo obtuso

360180

ngulo raso ngulo giro

ngulos alterno internosa = b

ngulos verticalmente opostosa = b

ngulos complementares

a + b = 180

ngulos complementares

a + b = 90

ba

aa

a

b

b

b


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Polgonos

Um polgono um conjunto de segmentos de reta interligados entre si.

Classificao de polgonos

Os polgonos podem ser classificados quanto ao nmero de lados:

Tringulos: 3 lados Quadrilteros: 4 lados Pentgonos: 5 lados

Hexgonos: 6 lados Heptgonos: 7 lados Octgonos: 8 lados Enegonos: 9 lados Decgonos: 10 lados

Polgonos regulares

Um polgono regular tem os lados e os ngulos todos iguais.

Classificao de tringulos

Os tringulos podem ser classificados de duas formas:

Quanto aos lados:o Equiltero (lados todos iguais)o Issceles (2 lados iguais)o Escaleno lados todos diferentes)

Quanto aos ngulos:o Retngulo (um ngulo reto)o Obtusngulo (um ngulo obtuso)o Acutngulo (trs angulos agudos)

A soma dos ngulos internos de um tringulo sempre 180.


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Permetros e reas

Quadrado

Retngulo

Tringulo

Crculo

l

c

l

b

l1 l2a

dr

A = c l

P = c + l + c + l

A = l l

P = l + l + l + l

A = P = b + l1 + l2

A = r2

P = d


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Slidos geomtricos

Poliedros

Os poliedros tm apenas faces planas:

Prismas: tm 2 bases e faces laterais retangulareso Prisma triangular(bases triangulares)o Prisma quadrangular(bases quadrangulares)o Prisma pentagonal (bases pentagonais)o ...

Pirmides: tm 1 base e faces laterais triangulareso Pirmide triangular(base triangular)o Pirmide quadrangular(base quadrangular)o Pirmide pentagonal (base pentagonal)o ...

No poliedros

Os no poliedros tm pelo menos uma face curva:

Cilindro: 2 bases e 1 superfcie curva Cone: 1 base e 1 superfcie curva Esfera: 1 superfcie curva

Planificao do cilindro

d (permetro da base)

d

altura do slido


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Volumes

Cubo

Paraleloppedo

Cilindro

Unidades de volume e capacidade

Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml

m3 = kl

dm3

= lcm3 = ml

V = a a a

a

a

lc

V = c l a

V = r2 aa

r


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ORGANIZAO E TRATAMENTO DE DADOS

Recolha de dados

Populao/amostra e censo/sondagem

Quando se realiza um estudo, podemos retirar os dados de toda a populao(sobre o qu ou quem se faz o estudo), ou ento retiramos os dados de umaamostra (parte da populao) para se tirarem concluses sobre o geral.

Num estudo pode-se ento realizar: Um censo: quando se retiram os dados de toda a populao Uma sondagem: quando se retiram dados a partir de uma amostra

Exemplos:

Pretende-se saber o nmero de irmos dos alunos de uma escola. Fez-se um inquritoa 10 alunos de cada turma.- neste caso a populao so os alunos da escola e foi utilizada uma amostra para oestudo (os 10 alunos de cada turma que responderam ao inqurito), sendo portanto

uma sondagem.

Natureza dos dados

A varivel sobre o que se estuda. Podemos classific-la como:

Qualitativa: se se refere a qualidades (os dados so expressos porpalavras)

Quantitativa: se se refere a uma quantidade (os dados so expressospor nmeros)

o Discreta: quantidade atravs de contagemo Contnua: quantidade atravs de medio

Exemplos:

Cor dos olhosvarivel qualitativaNmero de irmosvarivel quantitativa discreta

Alturavarivel quantitativa contnua


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Representao de dados

Tabela de frequncias

Frequncia absoluta: nmero de vezes que se repete um dado Frequcia relativa: quociente entre frequncia absoluta e o nmero

total de dados

Exemplo:

Populao: alunos do 5B Varivel: notas a matemtica Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Notas fa fr Fr (%)

1 1

5 % (0,05 100)

2 6

30 % (0,3 100)

3 6

30 % (0,3 100)

4 6

30 % (0,3 100)

5 1

5 % (0,05 100)

Total 20 1 100 %

Grficos

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5

15%

230%

330%

430%

55%

Grfico de barras Grfico circular


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Diagrama de caule-e-folhas

Quando os dados tm dois ou mais algarismos podem ser representadosatravs de um diagrama de caule-e-folhas

Exemplo:

Populao: alunos do 5B Varivel: altura (cm) Dados: 148, 153, 149, 155, 158, 142, 168, 147, 152, 161, 148, 155, 168, 172, 165, 142,

146, 154, 163, 157

14 2 2 6 7 8 8 915 2 3 4 5 5 7 816 1 3 5 8 817 2

Tratamento de dados

Moda: dado que aparece mais vezes Mdia: quociente entre a soma de todos os dados e o nmero total de

dados Extremos: valor mnimo e valor mximo Amplitude: Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo

Nota: a mdia, os extremos e a amplitude s se verificam quando temos umavarivel quantitativa.

Exemplo:

Populao: alunos do 5B Varivel: notas a matemtica Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3

Moda: 2, 3 e 4

Mdia:

Mnimo: 1

Mximo: 5Amplitude: 51 = 4

preparaÇÃo para prova final de matemÁtica 2º ciclo

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