pre test - self-study · 2017-10-10 · รัศมี ชิ้นที่ r 2...

ขอสอบ Pre Test FE Camp 6th คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

เกยรตภมจฬาฯ คอเกยรตแหงการรบใชประชาชน Pre-Test- 1

g = 10 m/s2 e = 1.6 x 10-19 C

G = 6.67 x 10-11 Nm2/kg2 c = 3 x 108 m/s

R = 8.314 J/mol·K h = 6.6 x 10-34 J·s

kB = 1.38 x 10-23 J/K kE=0

1

4 = 9 x109 N·m2/C2

NA = 6.0 x 1023 /mol me = 9.1 x 10-31 kg

ขอสอบPre Test

โครงการแนะแนวความถนดทางวศวกรรมสนอง ม.ปลาย ครงท 6 คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

วนเสารท 29 กนยายน พ.ศ. 2555เวลา 08.30 – 10.30น. ชอ-สกล …………………………………………………………… รหสประจ าตวสอบ ………………………… โรงเรยน …………………………………………………………… หองสอบ …………………………………... ค าชแจงในการท าขอสอบ

1. ขอสอบเปนแบบปรนยทงหมด 50 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 100 คะแนน 2. ขอสอบมทงหมด 18 หนา (รวมหนาน) 3. ใหผเขาสอบเขยนชอ-สกล และรหสประจ าตวสอบในชองทก าหนดไวทกชอง 4. ใหฝนค าตอบลงในกระดาษค าตอบทเตรยมไวใหเทานน 5. ไมอนญาตใหผเขาสอบออกจากหองสอบจนกวาเวลาจะหมด 6. เมอสอบเสรจแลว อนญาตใหน าโจทยกลบบานได 7. การทจรตจะเปนสาเหตใหถกตดสทธในการเขารวมโครงการฯ ในทนท 8. คาคงท หากมไดก าหนดเปนอยางอน ใหใชคาตอไปนในการค านวณ



1. ออกแรง F กระท าตอกลองมวล 3 กโลกรม ดงรป ขอใดตอไปนถกตองเมอ คอสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางกลองกบพน

1. ถา 0.75 จะท าใหกลองเรมไถลและหมนไปพรอมๆกน

2. ถา 0.75 จะท าใหกลองเรมหมนกอนไถล

3. ถา 0.75 จะท าใหกลองเรมไถลกอนหมน

4. ถกทง 3 ขอ 5. ผดทกขอ

2. เมอน าแทงอ าพนมาถกบผาขนสตว จะท าใหเกดไฟฟาสถตขน โดยแทงอ าพนเกดเปนประจไฟฟาลบ สวนผาขนสตวเกดประจไฟฟาบวก อยากทราบวามวลของแทงอ าพนและผาขนสตวหลงจากการถใหเกดไฟฟาสถตจะมการเปลยนแปลงอยางไร

1. มวลของทงคเพมขน 2. มวลของทงคลดลง 3. มวลของทงคเทาเดม 4. มวลของแทงอ าพนเพมขน สวนมวลของผาขนสตวลดลง 5. มวลของแทงอ าพนลดลง สวนมวลของผาขนสตวเพมขน

3. จากวงจรไฟฟาในรป ก าลงไฟฟาทสญเสยในตวตานทาน 1 โอหม มคา 4 วตต จงหาแรงเคลอนไฟฟา E

1. 10 โวลต 2. 11 โวลต 3. 12 โวลต 4. 13 โวลต 5. 14 โวลต

F 60 cm

40 cm



4. นอง FECamp#6 กลมหนง ตองการศกษาการเคลอนทของฮารมอนกสอยางงาย โดยการน าลอจกรยานคนหนง มาวางในแนวราบ และตดดนน ามนไวทจดเรมตน ดงรป

หลงจากนน นองๆกไดน าไฟฉายสองลอจกรยานและหมนลอจกรยานดงรป จะเหนเงาบนฉากทางดานขวา เมอพจารณาเงาของดนน ามนบนฉาก จะเหนวาเงาของดนน ามนเคลอนทแบบฮารมอนกสอยางงาย ถาหากไดเกบขอมลการกระจด ความเรว และความเรงของเงาของดนน ามนและน ามาเขยนกราฟ กราฟเหลานน จะมลกษณะเปนอยางไร

1. 2. 3. 4. 5. มขอถกมากกวา 1 ขอ 5. รถยนตคนหนงจอดนงอยทจด x = 0 เมอคนขบเหยยบคนเรงรถคนนเคลอนทดวยความเรง 3 2m / sเปนระยะเวลา 10 วนาท แลวจงขบดวยความเรวคงทเปนระยะเวลา 5 วนาท จากนนจงเรมเหยยบเบรกดวยความหนวง 6 2m / s จนรถหยดนง จงหาวารถจะหยดนงทต าแหนง x เทากบเทาใด

1. 225 m 2. 300 m 3. 375 m 4. 450 m 5. 525 m

การกระจด

เวลา

ความเรง

เวลา

ความเรง5 kg

เวลา

การกระจด

เวลา

+x

- x

ฉาก



6. จากวงจรดงรป ขอใดตอไปนถกตอง

1. ความถของแหลงก าเนดไฟฟาของวงจรน = 1000 Hz 2. ความขดรวม (Impedance) ของวงจรน = 1800 Ω 3. กระแสไฟฟาในวงจร = 0.1 A

4. มมเฟส =

3

4tan 1 โดยมเฟส I ตาม V

5. ก าลงไฟฟาของวงจรน = 10 W 7. ภาชนะทหมฉนวนไวอยางดภายในประกอบดวยหองสองหองซงมปรมาตรเทากนและเทากบ 1.0 L โดยหองทางดานซายบรรจแกสไนโตรเจนไวทอณหภม 500 K และ ความดน 2 atm สวนหองทางดานขวาเปนสญญากาศทอณหภม 500 K ตอมาแผนกนหองทงสองเกดฉกขาดขนท าใหแกสขยายตวจนเตมภาชนะดงภาพ

ขอใดตอไปนไมถกตอง (ก าหนด R = 0.08 L atm/mol K, 1 atm = 1 x 105 Pa และ แกส N2เปน

แกสอดมคต) 1. จ านวนโมลของแกสเทากบ 0.05 mol 2. อณหภมหลงการขยายตวเทากบ 500 K 3. งานจากการขยายตวของแกสมคา 200 J 4. การเปลยนแปลงพลงงานภายใน U ของการขยายตวนมคาเทากบ 0 5. แกสไนโตรเจนเปนแกสอดมคตไดกเพราะทสภาวะดงกลาวมอณหภมสงและความดนต า

~

600 Ω 0.2 H 1 µF

)1000sin(2100 tv



8. วตถ 3 ชนมวลเทากน วางอยบนพนเอยงลน 3 ชนทความสงเดยวกน โดยวตถชนแรกเปนทรงกลมตนรศม R ชนท 2 เปนทรงกลมกลวงรศม R และ ชนท 3 เปนทรงกระบอกยาว l รศม R ดงรป

ทรงกลม ตน ทรงกลมกลวง ทรงกระบอก

เมอปลอยวตถทง 3 ชนพรอมกน วตถชนใดจะไถลถงพนราบเรวทสด

ก าหนด โมเมนตความเฉอยของวตถทง 3 เปน 22mR

5, 22

mR3

และ 21mR

2 ตามล าดบ

1. ทรงกลมตน 2. ทรงกลมลวง 3. ทรงกระบอก 4. พรอมกนทง 3 ชน 5. ขอมลไมเพยงพอ

9. ขอใดเปนสาเหตหลกทท าใหการไฟฟาเลอกผลตและสงระบบไฟฟากระแสสลบใหกบผใชไฟฟา แทนระบบไฟฟากระแสตรง

1. ระบบไฟฟากระแสตรงใหกระแสไฟฟาในทศทางเดยวเทานน 2. ระบบไฟฟากระแสตรงไมมคาตวประกอบก าลง จงไมเหมาะกบระบบสงไฟฟา 3. ระบบไฟฟากระแสตรงจะมการสญเสยก าลงไฟฟาในสายสงมากกวาระบบไฟฟากระแสสลบ 4. ระบบไฟฟากระแสตรงจะกอใหเกดอนตรายกบผใชมากกวาระบบไฟฟากระแสสลบ 5. ถกทกขอ

10. ในทางอตสาหกรรมมการผลตกรดไนตรก ซงมปฏกรยาเกดขน 3 ขนตอนคอ

3 2 2

2 2

2 2 3 2

4 5 4 6 .................. 1

2 2 ................................... 2

2 ............. 3

g g g l

g g g

g l aq aq

NH O NO H O

NO O NO

NO H O HNO HNO

จงค านวณหาน าหนกของ NH3(หนวยกโลกรม) ทใชในการผลต HNO3 630 กโลกรม สมมตวาในแตละขนตอน มผลผลตรอยละ 80

1. 332 2. 664 3. 928 4. 1548 5. 1921



11. ภาชนะ A, B, C และ D ท าดวยแกวทนความดน X, Y และ Z เปนลนเปด-ปดระหวางภาชนะ ในภาชนะ A และ B บรรจแกส N2และ O2ตามล าดบ สวนภาชนะ C และ D เปนสญญากาศ แลวจงพจารณาขอความตอไปน (ก าหนดให N2+ 2O2 N2O4)

ก. พลงงานจลนเฉลยของแกส N2ในภาชนะ A เทากบ O2ในภาชนะ B ข. เมอเปดลน Y และ Z ให O2แพรไปยง C และ D ทอณหภม 300 K ทภาวะสมดล D จะมความดน

0.303 atm ค. เมอเปดลน X แลวรอจนปฏกรยาเกดขนจนเสรจ ในภาชนะ A และ B จะไมม O2และ N2 เหลออย

ขอความใดถกตอง 1. ก 2. ข 3. ก ข 4. ก ค 5. ก ข ค

12. กลองสองใบมมวล m และ 3m วางอยบนพนราบทไมมแรงเสยดทาน สปรงเบาอนหนงถกตดไวทมวล 3m จากนนมวลทงสองถกกดตดกนผานสปรงโดยมเชอกผกวตถทงสองตดกนไวดงภาพ ถาเชอกทผกวตถทงสองถกตดออก แลววตถมวล 3m เคลอนทไปทางซายดวยอตราเรว 2.00 m/s ถาก าหนดให m = 0.100 kg จงพจารณาขอความตอไปน

ก. เมอตดเชอก มวล m จะเคลอนทไปทางขวาดวยอตราเรว 6.00 m/s ข. พลงงานศกยยดหยนของสปรงกอนตดเชอกมคา 2.40 J ค. หากสปรงมคาคงทสปรงเทากบ 480 N/m แลวจะไดวาสปรงถกกดลงไป 0.10 m

ขอความใดถกตอง 1. ก. 2. ข. 3. ก. และ ข. 4. ก. และ ค 5. ก. ข. และ ค.



13. วศวกรนอยตองการแขวนมวล 500 kg ดวยลวดทมความยาวเดมนอยกวา 2 m แตเมอแขวนมวลแลวลวดจะมความยาวเปน 2 m ดงรป ถาลวดทใชมคามอดลสของยงเทากบ 91 10 2N / m และ ความเคนสงสดทรบไดมคา เทากบ 84 10 2N / m แลว จงหาวา วศวกรนอย จะตองใชลวดทมพนทหนาตด และ ความยาวเทาใดมาใชแขวนมวล

1. A = 1 mm2, L = 1

3 m

2. A = 10 mm2, L = 4

3 m

3. A = 50 mm2, L = 20

11 m

4. A = 50 mm2, L = 21

11 m

5. A = 5 mm2, L = 1 m 14. ในการหาความหนาแนนของแผนเหลกขนาดประมาณ 2 cm x 2 cm ควรใชอปกรณใดในการวดความยาวของแผนเหลก

1. ไมบรรทดยาว 30 cm 2. ตลบเมตร 3. คาลเปอรเวอรเนยร 4. ไมโครมเตอร 5. ไมท

15. ขณะทเดกชายโต ก าลงวงเลนอยกบเจาตบสนขของเขาทสนามหญาหนาบาน เขาไดขวางลกบอลขน

ไปบนฟาดวยความเรว 5 2 m/s ท ามม 45 กบพน จงหาวาเจาตบจะตองวงดวยความเรงคงทเทาไหรจากจดหยดนงจงจะไปคาบลกบอลไดพอดกอนตกถงพนพอด

1. 2 2m / s 2. 5 2m / s 3. 5 2 2m / s

4. 10 2m / s 5. 10 2 2m / s



16. กลองในหนงมมวล 5 กโลกรม วางอยบนพนราบ ออกแรง 50 N กระท าตอกลองในทศท ามม 37 กบแนวราบ พบวากลองเคลอนทดวยความเรวคงท 2 m/s จงหางานของแรงลพธทกระท ากบกลองใบน

1. หาไมได เพราะไมใหสมประสทธความเสยดทานระหวางกลองกบพน 2. 0 J 3. 240 J 4. 300 J 5. ผดทกขอ

17.

จากรป ถาใหสมประสทธแรงเสยดทานสถตระหวางกลองกบพนเปน 0.5 พจารณาขอความตอไปนถกกขอ

ก. ถาผลกกลองดวยแรง P= 50 2 N แลวความเรงของกลองมคาเทากบ 2.5 2m / s ไปทางซาย

ข. ถาดงกลองดวยแรง P= 50 2 N แลวความเรงของกลองมคาเทากบ 2.5 2m / s ไปทางซาย

ค. ถาผลกกลองดวยแรง P= 50 2 N แลวความเรงของกลองมคาเทากบ2.5 2m / s ไปทางขวา

ง. ถาดงกลองดวยแรง P= 50 2 N แลวความเรงของกลองมคาเทากบ 2.52m / s ไปทางขวา

1. 1 ขอ 2. 2 ขอ 3. 3 ขอ 4. 4 ขอ 5. ผดทกขอ 18. ก าหนดลวด 3 เสน มรปรางเปนทรงกระบอกมลกษณะตางๆกนดงน

เสนลวดท วสดของเสนลวด ความยาวเสนลวด เสนผานศนยกลาง 1 A 2L d

2

2 A L

2

d

8

3 B L d

45

P

10 kg



ถาหากน าลวดทง 3 มาตอกบความตางศกยทเทากน จงเรยงล าดบปรมาณกระแสไฟฟาทไหลผานลวดทง 3 เสนจากมากไปนอย เมอสภาพน าไฟฟาของวสด B มคาเปน 2 เทาของวสด A

1. เสนท 1, 3, 2 2. เสนท 2, 1, 3 3. เสนท 1, 3, 2 4. เสนท 2, 3, 1 5. เสนท 3, 1, 2

19. อเลกตรอนมประจไฟฟา e มมวล m เคลอนทดวยความเรว v ผานสนามแมเหลกทมความเขม B โดยทศของความเรวตงฉากกบทศของสนามแมเหลกขอใดตอไปนถกตอง

1. อเลกตรอนจะเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวลดลงจนหยดนง

2. อเลกตรอนจะเคลอนทเปนโปรเจคไทลดวยความเรง evB

m

3. อเลกตรอนจะเคลอนทเปนวงกลมดวยรศม mv

eB

4. อเลกตรอนจะเคลอนทเปนเกลยวแบบ helix โดยมระยะหางระหวางเกลยวเปน 2 m

eB

5. ไมมขอใดถก

20. ถงบรรจของเหลวซงมความหนาแนน มรเลกๆทดานขางของถงซงอยสงจากพนเปนระยะ h ถาถง

ใบนสง H จงหาอตราเรวของล าของเหลวทพงออกจากรน ก าหนดใหรดานขางมพนทนอยมากเมอเทยบกบทผวของของเหลวในถง

1. 2gh 2. gh 3. 2gH

4. gH 5. 2g(H h)

21. น าบรสทธปรมาตร 105 cm3ทอณหภม 33 ๐C และความดน 27 บรรยากาศ ถกท าใหอมตวดวยแกส

3NH ไดสารละลายมความหนาแนน 0.750g/cm3และม 3NH 30% โดยน าหนก จงค านวณหาปรมาตรของ

แกส 3NH ทใชกอนท าใหเปนสารละลาย (ก าหนดใหน าบรสทธ มความหนาแนน 1 g/cm3 ณ อณหภมและ

ความดนทก าหนด และ R = 0.08 atm - L / mol - K) 1. 1.0 L 2. 1.4 L 3. 1.8 L 4. 2.0 L 5. 2.4 L



22. ไคโตซาน เปนพอลเมอรมโครงสรางดงน ขอใดถกตองเกยวกบสารละลายของไคโตซาน

1. เปนพอลเอสเทอร 2. ละลายน าไดดท pH ต า 3. ละลายน าไดดท pH สง 4. เปนโคพอลเมอร 5. เปนสารประเภทกรดคารบอกซลก

23. จงพจารณาสารละลายในแตละขอทมน าเปนตวท าละลาย (Kwของน าเทากบ 1.0 x 10-14)

ก. สารละลาย NaOH 1 x 10-8 M ม pH < 7 ข. สารละลาย HCl 1 x 10-8 M ม pH > 7 ค. สารละลายทม [H+] = 1 x 10-8 M ม pH < 7 ง. สารละลายทม [OH-] = 1 x 10-8 M ม pH > 7 จ. สารละลาย HClO4 1 x 10-6 M ม pH นอยกวา HBrO4 1 x 10-6 M

ขอความใดถกตอง 1. จ 2. ก ข จ 3. ค ง จ 4. ถกทกขอ 5. ไมมขอใดถก

24. จากรป ให r แทนรศมของเฟอง โดย 1 2 4 3 5 6r r r r r r ถาขบเฟอง 1 ดวยอตราเรวเชงมม

เฟอง 6 จะหมนอยางไร

1. หมนทศทางเดยวกนกบเฟอง 1 - มความเรวรอบมากกวาเฟอง 1 2. หมนทศทางเดยวกนกบเฟอง 1 - มความเรวรอบนอยกวาเฟอง 1 3. หมนทศทางตรงขามกบเฟอง 1 - มความเรวรอบมากกวาเฟอง 1 4. หมนทศทางตรงขามกบเฟอง 1 - มความเรวรอบนอยกวาเฟอง 1 5. ผดทกขอ

1

2

3

4 5

6



5.5

10 V

25. นยาม การแปลงวงจรแบบ Delta-Wye

จากวงจร จะได a b3

a b c

R RR

R R R

, a c

2a b c

R RR

R R R

และ b c

1a b c

R RR

R R R

ตามล าดบ

จงหากระแสไฟฟาทไหลผานตวตานทาน 10 ในวงจรขางลางวามคาเทาใด

9 6 12

6 12

1. 0 A 2. 0.25 A 3. 0.5 A 4. 0.75 A 5. 1 A

26. ขอใดตอไปนถกตอง

1. เมอน าเหลกกอนมาตเปนแผนบางๆ เหลกแผนจะลอยน าไดเพราะมมวลนอยกวา 2. การทเรอลอยน า เพราะเกดจากแรงลอยตวของน าชวยพยงน าหนกไวเปนสวนใหญ 3. การทจงโจน าสามารถเดนบนน าได เกดจากแรงลอยตวท าใหเดนบนน าได 4. เครองบนสามารถลอยตวได เ นองจากความเรวใตปกมคานอยกวา ความเรว เหนอปก จงท าใหเกด

แรงยกปก 5. ถกทกขอ

27. ขอใดตอไปนถอวาเปนฉนวนทางไฟฟา

1. น ากลน 2. อากาศ 3. PTFE 4.แกว 5. ถกทกขอ

10



28. วงจรไฟฟาในขอใดทจะใหกราฟสญญาณไฟฟาของ VO เปนดงรป (ถอวาไดโอดทกตว เปนไดโอดในอดมคต) 1. 2. 3. 4. 5. 29. รถคนหนงเคลอนทในแนวเสนตรงจากหยดนงดวยความเรง a(t) = 2t – 2 เมตร/วนาท2จงหาวาหลงจากเวลาผานไป 4 วนาทแลว รถเคลอนทไปดวยการกระจดเทาใด

1. 16

3เมตร 2.

32

3 เมตร 3.

80

3เมตร

4. 10 เมตร 5. 48 เมตร

VO

VS

t

VO + -

0.5VS +

-

0.5VS +

- ~ VO +

- VS

VO +

-

VS ~ VS

~ VO +

-

VO +

-

VS ~



30. จากผงงาน (Flow chart) ตอไปน คาของ sum เมอจบโปรแกรม มคาเทาใด 1. 238 2. 255 3. 256 4. 260 5. 261

Start

a = 6

sum = 0

b = a +4

จรง

เทจ Sum มากกวา 258

ลดคา sum ลง 2

จรง

เพมคา sum ขน 1

End

aนอยกวา 1

เทจ

เพมคา sum ขนอก (a x b) + 2

ลดคา a ลง 1

เพมคา b ขน 1



31. ขอใดไมใชเปนภาพฉายของรปวตถในรปน

1. ภาพฉายดานบน 2. ภาพฉายดานหนา

3. ภาพฉายดานซาย 4. ภาพฉายดานลาง

5. ไมใชภาพฉายของวตถนทกขอ 32. ภาพของวตถในขอใดไมสอดคลองกบภาพฉายทให

1. 2. 3.

4. 5. ไมมขอใดสอดคลองกบภาพฉาย



33. พลาสตกในขอใดเมอน ามาเผาแลวจะท าใหเปนพษตอสงแวดลอมมากทสด 1. พอลเอทลน(PE) 2. พอลโพรพลน(PP) 3. พอลสไตรน(PS) 4. พอลไวนลคลอไรด(PVC) 5. พอลเอสเทอร

34. ให 14 2 14 2A x R log (log x 8) 1 log (log x 3) จงหาผลบวกของสมาชกใน A

1. 512 2. 514 3.1024 4.1026 5.ไมมขอใดถกตอง

35. ให 2 2 2 2

2 2 2 2

3 1 5 1 7 1 199 1S ...

3 1 5 1 7 1 199 1

แลวขอใดถกตอง

1. S (99,100) 2. S (100,101) 3. S (101,102) 4. S (102,103) 5. ไมมขอใดถกตอง

36. ถงทรงกระบอกเสนผานศนยกลาง 18 นว สง 30 นว มน าใสอยสง 18 นว ใสปรซมสเหลยมจตรสยาวดานละ 12 นว สง 20 นว ลงไปในถงทรงกระบอก จงพจารณาวาขอใดตอไปนถกตอง 1. ไมสามารถใสปรซมลงในถงได 2. ระดบน าสงขน 2.83 นว 3. สงขน 4.72 นว 4. สงขน 11.32 นว 5. น าลนออกจากถง

37. ให f เปนฟงกชนซง 2

h 0

f (x 3h) f (x 3h)lim 18x

h

โดยท f (2) 2f (1) 5

จงหาคาของ f (1) f (2) f (3) 1. 17 2. 39 3. 48 4. 67 5. 100

38. ก าหนด 2f (x 2) 5 | x | 1 และg(x 4) 3 5x จงหาคาของ 1 1f (6) 2(gof )(11) g ( 2)

1. -514 2. -106 3. 186

5 4. 298 5. 510



39. คาย FECamp เปนคายวศวะทโดงดงระดบจกรวาล ในแตละปจะมเดก ม.6 ตองการเขาคายนปละนบลานคน พเคนและพคมผกอตงคายจงเลงเหนวา ทางคาย FECamp ควรมการรบเดกเพม พเคนและพคมจงมนโยบายใหรบเดกเพมขนปละ 18 คน ถาคาย FECamp#2 มการรบเดกเขามา 150 คน อยากทราบวา เมอถงคาย FECamp#11 ทางคาย FECampจะมการรบเดกมาเขาคายรวมทงหมดกคน

1. 276 คน 2. 294 คน 3. 312 คน 4. 330 คน 5. 348 คน

40. พจารณาขอความตอไปน ก. มของทงหมด n ชน เปนของเสย x ชน ( x n ) ตองการหยบของขนมา r ชน ( r n ) ความ

นาจะเปนทจะไดของด k ชน (k r ) เทากบ

n x x

k r k

n

r

ข. จดชาย n คน หญง n คน นงบนโตะกลมโดยสลบชายหญงทละ k คน (k | n) จะมวธการจดทงหมด (n 1) !n!k ! วธ ค. ตองการหยบของ k ชน จากของทแตกตางกนทงหมด n ชน โดยหยบทละชนแลวใสคน ความ

นาจะเปนทจะหยบไดของทแตกตางกนทกครงเทากบ k

n(n 1)(n 2)(n 3)...(n k)

n

ขอใดถกตอง 1. ก. ถก 2. ก. และ ข. ถก 3. ก. และ ค. ถก 4. ข. และ ค. ถก 5. ถกทกขอ 41. ก าหนดหกเหลยมดานเทารปท 1 ยาวดานละ a หนวย สรางหกเหลยมดานเทารปทสองซงมจดกงกลางแตละดานอยบนมมของหกเหลยมดานเทารปแรก และสราง หกเหลยมดานเทารปทสามซงจดกงกลางแตละดานอยบนมมของหกเหลยมดานเทารปทสอง ท าเชนนไปเรอยๆ จงพจารณาวา หกเหลยมดานเทารปท n มความยาวเสนรอบรปเทาใด

1. n

2 33 3a

3

หนวย 2. n

3 2 3a

2 3

หนวย

3. n

2 3a

3

หนวย 4. 6a 4 3n หนวย

5. 3a 2 3n หนวย



42. คา x ในขอใดตอนสอดคลองกบสมการ

3arctan sec cot arccos x

6 2 6

1. 0 2. 1arcsin

2 3. arccosec 2

4. arcsec(2) 5. arccot(0)

43. จงหาพนทของอาณาบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy 2sin

2 กบเสนโคง y sinx ในชวง

x [0,2 ]

(ก าหนดให sinxdx cos x C และ

f (u)

f (u)dx dududx

)

1. 2 ตารางหนวย 2. 6 ตารางหนวย 3. 8 ตารางหนวย 4. 4 ตารางหนวย 5. 8 ตารางหนวย

44. ขอใดตอไปนถกตอง

1. จดสดขดสมพทธของ f คอ จดทอนพนธอนดบหนงของ f มคาเปน 0 2. จดวกฤตของ f คอ จดทอนพนธอนดบหนงของ f มคาเปน 0 3. ถา f (x) g(x) x (a,b) แลว f '(x) g '(x) x (a,b)

4. ถา f (x) g(x) x (a,b) แลว b b

a a

f (x)dx g(x)dx

5. มขอถกมากกวา 1 ขอ

45. จงพจารณาวา พนผว 9x2 + 16y2 + z2 = 144 มลกษณะตรงตามขอใด

1. พนผวทรงกระบอก 2. พนผวทรงกรวย 3. พนผวทรงพาราโบลอยด 4. พนผวทรงกลม 5. พนผวทรงร



46. ก าหนดขอมล 499 ตว ไดแก 2, 4, 6, …, 996, 998 จงหาวา 666 เปนเปอรเซนไทลทเทาไรของขอมลทงหมด 1. 66.535 2. 66.6 3. 66.735 4. 66.8 5. 66.935

47. ก าหนด 2n

n 1

a 1a

2

โดยท 1

1a

2 จงหาลมตของล าดบ an

1. 3

4 2. 1 3.

3

2

4. 2 5. หาคาลมตไมได

48. จงหาคาของ f og (1) เมอก าหนด f(1) = 2, g(1) = 1, f '(1) 5 , g '(1) 4 , f ''(1) 3 และ g''(1) 2

1. 3 2. 5 3. 12 4. 20 5. ขอมลไมเพยงพอ

49. ก าหนด 2f (x) 4 x และ 2g(x) 1 x ถา fogR [a,b] จงหาคาของ 2 2a b

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7

50. ขอใดกลาวถกตอง 1. มประโยคทถกตองอย 1 ขอ 2. มประโยคทถกตองอย 2 ขอ 3. มประโยคทถกตองอย 3 ขอ 4. มประโยคทถกตองอย 4 ขอ 5. มประโยคทถกตองอย 5 ขอ

เฉลยขอสอบ Pre Test FE Camp 6th คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

เกยรตภมจฬาฯ คอเกยรตแหงการรบใชประชาชน เฉลยขอสอบ Pre-Test- 1

1. ตอบ ขอ 4. จากโจทย สมมตใหกลองเรมหมน จะได โมเมนทวน = โมเมนตาม

2 2(5)(10)(30 10 ) F(40 10 ) F = 37.5 N (1) และ ถาใหกลองเรมไถล

จะได yF 0

N mg 50 N

และ xF 0

s sF f N 50 (2)

จาก (1), (2) s 0.75

พจารณา แรง F ทดนเพอใหหมน ไมมความเกยวของกบแรงเสยดทานเลย ดงนน ยงแรงเสยดทานมาก กลองกจะหมนกอนไถล แตถาแรงเสยดทานนอย กลองกจะไถลกอนหมน 2. ตอบ ขอ 4. การน าผาขนสตวกบแทงอ าพนมาถกกน ท าใหเกดการถายโอน อเลกตรอน ขน จากโจทยจะไดวา อเลกตรอนถายโอนจากผาขนสตวไปยงแทงอ าพน เมอแทงขนสตวเสยอเลกตรอนไป (อเลกตรอนมมวล) ใหกบแทงอ าพน ดงนน แทงอ าพนมมวลเพมขน สวนผาขนสตวมมวลลดลง 3. ตอบ ขอ 4. จากโจทย P = I2R จะได Iทผานตวตานทาน 1 โอหม คอ 2 A และจากรป สามารถยบวงจรไดดงน

ดงนน ความตางศกยครอม 1 และ 2 โอหม คอ 2(1+2) = 6 V ซงมคาเทากบ V ครอม 4 โอหม จะไดกระแสไหลผาน 6/4 = 1.5 A จะไดกระแสไฟฟาผานตว 2 โอหม คอ 2 + 1.5 = 3.5 A E = 2(3.5) + 4(1.5) = 13V (วนเคอรชอฟฟ loop ขวา)



4. ตอบ ขอ 4. จากโจทย เปนการเคลอนทแบบฮารมอนกสอยางงาย และจดเรมตนททของการเคลอนท ท าใหมการกระจดสงสด ความเรวเปนศนย และความเรงสงสด แตเนองจากความเรงของการเคลอนท จะมทศสวนทางกบการกระจดเสมอ (หรอถาการกระจดเปนบวก ความเรงตองเปนลบ) ดงนน กราฟทเปนไปไดจงมแคขอ 4. ขอเดยว 5. ตอบ ขอ 3.

21

1d 0 (3)(10) 150

2 m

1 1 1v u a t 30 m/s

2 1d v t 150 m 2 1 2v v a t

จะได t = 5 วนาท

23 1 2

1d v t a t

2 = 75 m

x = 0 + d1 + d2 + d3 = 150 + 150 + 75 x = 375 m 6. ตอบ ขอ 3.

จาก )1000sin(2100 tv จะไดวา 1000 rad/s และ Vrms = 1002

2100 V

เนองจาก f 2 ดงนน 1592

1000

2

f Hz --- ขอ 1. ผด

พจารณาตวเหนยวน า 2002.01000 LX L Ω

พจารณาตวเกบประจ 10001011000

116

CX C

Ω

เนองจากวงจรนเปนการตอ RLC แบบอนกรมกน ดงนนเราจะหาความขดรวมของวงจรไดจากสตร

22

CL XXRZ

1000100020060022 Z Ω --- ขอ 2. ผด

จาก V = IZ จะได I = 1.01000

100

Z

V A --- ขอ 3. ถก

จากขอมลทม เราสามารถวาดแผนภาพเฟเซอรของวงจรไดดงน



จะไดวา VAB ท ามมกบ I =

IR

IXIX

V

VV LC

R

LC 11 tantan

3

4tan

600

2001000tantan 111

R

XX LC

โดย I น า VAB --- ขอ 4. ผด ก าลงไฟฟาในวงจรน หาไดจากก าลงไฟฟาทสญเสยใหกบ R ในวงจรเทานน ดงนน P = I2R = 0.12 x 600 = 6 W --- ขอ 5. ผด 7. ตอบ ขอ 3.

- จ านวนโมลของแกส PV

RT

(2)(1)

(0.08)(500)

0.05 mol - เนองจากภาชนะหมฉนวน ท าใหไมมการถายเทความรอน นนคอ Q = 0 และเมอแผนกนหองเกดฉกขาดแกสทอยทางหองดานซายจะขยายตวไปทางหองดานขวา แตเนองจากหองดานขวาเปนสญญากาศ (P = 0)

แกสจงขยายตวอยางอสระ (ไมมแรงตานการขยายตว) นนคอ W = 0 (เพราะ W = -P∆V แลว P = 0)

∆U = Q + W = 0 - เนองจากพลงงานภายในของแกสอดมคตขนกบอณหภมอยางเดยวเทานน ท าใหเราทราบไดวาอณหภมกอนการเปลยนแปลงตองเทากบหลงการเปลยนแปลง นนคอ อณหภมหลงการขยายตวมคาเทากบ 500 K - แกสโดยทวไปไมไดมคณสมบตเปนแกสอดมคต แตกสามารถสมมตใหเปนแกสอดมคตไดทอณหภมสงๆและความดนต า เพราะทสภาวะดงกลาว โมเลกลแกสจะอยหางๆกน ท าใหเสมอนวาไมมแรงกระท าตอกน 8. ตอบ ขอ 4. เนองจากพนไมมแรงเสยดทาน วตถจะไมเกดการหมน ดงนน จะไมมพลงงานจลนของการหมน ท าใหวตถทกชนถงพนราบพรอมกน 9. ตอบ ขอ 3. พจารณา P=IV หากสงไฟฟาดวยศกยต าๆ (แรงดนนอย) ไปทางสายไฟ (สายไฟมความตานทาน) จะท าใหสญเสยพลงงานมากกวาสงไฟฟาดวยศกยสงๆ เพราะจะท าใหมกระแสไฟฟามาก ก าลงไฟฟาทสญเสยในสายไฟกมมาก แตถาหากเราสงไปเปนกระแสตรงดวยแรงดนมากๆ พอถงอปกรณไฟฟา จะท าใหเครองใชไฟฟาเสย จงจ าเปนตองใชหมอแปลงซงใชไดเฉพาะไฟฟากระแสสลบ เพอลดใหแรงดนลดลง

I VR

VC

VL

VAB



10. ตอบ ขอ 2. 4NH3 + 5O2 4NO + 6H2O ….(1) 2NO + O2 2NO2 ….(2) 2NO2 + H2O HNO3 + HNO2 ….(3) HNO3 630 kg= 630 / 63 = 10 kmol น า (1) + 2 x (2) + 2(3) จะได 4NH3 + 7O2 4H2O + 2HNO3 + 2HNO2 ….(4) เนองจาก จ านวนโมล NH3 / จ านวนโมลHNO3 = 2 / 1 ดงนนจ านวนโมลNH3ทตองใชคอ 2 x 10 = 20 kmol แตปฏกรยาม 3 ขนแตละขนมรอยละผลได 80

จ านวน NH3ทตองใชคอ 20× 100

80

3 = 39.06 kmol

= 39.06 x 17 kg = 664.02 kg 11. ตอบ ขอ 5. ก. ถก เพราะ ทอณหภมเดยวกนพลงงานจลนเฉลยของแกสเทากนตามทฤษฎจลน ข . ถก เพราะ PtotalVtotal = PBVB + PDVD + PCVC Ptotal(0.3+1.0+2.0) = (1)(1) + 0 + 0 ได Ptotal = 0.303 atm ค. ถก เพราะ จ านวนโมล N2 = PV/RT = (1)(0.5)/R(300) = 0.5/(300R) mol จ านวนโมล O2 = PV/RT = (1)(1)/R(300) = 1.0/(300R) mol นนคอจ านวนโมล O2 เปน 2 เทาของ N2 ท าใหปฏกรยา N2+ 2O2 N2O4เกดไดพอด และจะไดแกส N2O4 = 0.5/(300R) mol 12. ตอบ ขอ 5. ผลรวมโมเมนตมกอนชน = ผลรวมโมเมนตมหลงชน 0 (3)(0.1)( 2) (0.1)v v 6 m/s (ก. ถก) ผลรวมพลงงานกอนชน = ผลรวมพลงงานหลงชน p km k3mE E E

2 21 1(0.1)(6) (0.3)(2)

2 2

2.4 J (ข. ถก)



จาก 2p

1E kx

2

212.4 (480)x

2

x 0.1 m (ค. ถก) 13. ตอบ ขอ 3.

ความเคน F

A

ขอ 1 : 95 10 2N / m

ขอ 2 : 85 10 2N / m

ขอ 3 : 81 10 2N / m

ขอ 4 : 81 10 2N / m

ขอ 5 : 91 10 2N / m จะพบวา ลวดในขอ 1, 2 และ 5 มคา Stress เกดคาสงสดทจะรบได ดงนนจงเหลอแคขอขอ 3 กบ 4

จาก L L

YL 2 L

จะได L = 21

11 m

14. ตอบ ขอ 3. 15. ตอบ ขอ 4. จากโจทย พจารณาการเคลอนท 2 แนว

แนวดง จาก 21s ut at

2

จะได 210 (5 2 sin45 )t ( 10)t

2

t 1 วนาท แนวราบ เนองจากเรมปาลกบอลกบเจาตบวงพรอมกน และไปสนสดพรอมกน ดงนน เจาตบวงใชเวลา 1 วนาท จาก ระยะทางของจานบน = ระยะทางทเจาตบวง



Pcos45

Psin45

mg

N f

จะได 2 21 1 2 2

1 1u t a t u t a t

2 2

2 21 1(0)t a(1) (5 2 cos45 )(1) (0)(1)

2 2

a 10 2m / s 16. ตอบ ขอ 2. พจารณา โจทยบอกวากลองเคลอนทดวยความเรวคงท ดงนน แรงลพธจงเปนศนย จาก W F s แตเนองจากแรงลพธเปนศนย จงท าใหงานเปนศนยดวย 17. ตอบ ขอ 1. พจารณาแรงในแนวแกนราบกบแกนดงดงรป

พจารณา yF 0

Psin45 mg N (1) N = 150 N พจารณา max sf N 75 N

จะเหนวา แรงเสยดทานมคามากกวาแรงผลก ( Pcos45 50 )

วตถจะไมเคลอนท เมอออกแรงผลก 50 2 N

พจารณา P 50 2 N ซงหมายความวามทศตรงขาม (ดงไปทางขวา ท ามม 45 ) จะได Psin45 N mg N = 50 N และจาก max sf N 25 N

จาก xF ma

จะได maxPcos45 f ma

a = 2.5 2m / s หมายเหต การทวตถเคลอนทจะเกดจากแรงภายนอกมากระท า และความเรงทเกดขนจะมทศตามแนวแรงนน



18. ตอบ ขอ 5.

จาก 2

L 4LR

A d

เมอ d เปนความยาวเสนผานศนยกลาง

จะได

21 A A 2

4(2L) 32LR

d d2

,

22 A A 2

L4 128L2R

d d8

3 B B A2 2 2

4(L) 4L 2LR

(d) d d

(จากสภาพน าไฟฟา B เปนสองเทาของ A)

3 1 2R R R

19. ตอบ ขอ 3. จาก F q(v B) evB จะเหนวาแรงทกระท า “ตงฉาก”กบความเรวของอเลกตรอนเสมอ อเลกตรอนจะเคลอนทเปนวงกลม โดยท แรงทเกดขนเปนแรงเขาสศนยกลาง

จาก 2

c

mvF

R

จะได 2mv

evBR

mv

ReB

20. ตอบ ขอ 5.

จากกฎของแบรนลล 2 21 1 1 2 2 2

1 1P v gh P v gh

2 2

ใหพนเปนระดบอางอง

จะได 2 2a a

1 1P (0) gH P v gh

2 2

v 2g(H h)

21. ตอบ ขอ 5. น าบรสทธปรมาตร 105 cm3 จะมน าหนก 105 g สารละลายใหมมปรมาตร V และความหนาแนน 0.75 g/cm3ดงนนจงมมวล 0.75V g



เนองจาก มวลสารละลาย = มวลน า + มวล NH3 0.75V = 105 + (0.3)(0.75V) V(สารละลาย) = 200 cm3

มวล NH3 = 450 g = 450/17 mol จาก PV = nRT (27)Vgas = (450/17)(0.082)(33+273) Vgas = 24.6 L 22. ตอบ ขอ 2. ไมมหมเอสเทอร(-COO-) และ คารบอกซลก(-COOH) แตเนองจากมหมเอมน (-NH2) ซงมสมบต เปนเบส จงสามารถละลายน าไดดท pH ต าๆ 23. ตอบ ขอ 1. ก. NaOHเปนเบส เพราะฉะนน pH > 7 ถงแมจะมความเขมขน 1 x 10-8 M กตาม เพราะน าซงเปนตวท าละลายกจะแตกตวให OH- มาเพมไดเหมอนกน ข. HClเปนกรด เพราะฉะนน pH < 7 ถงแมจะมความเขมขน 1 x 10-8 M กตาม เพราะน าซงเปนตวท าละลายกจะแตกให H+มาเพมไดเหมอนกน ค. ในสารละลายม [H+] = 1 x 10-8นนคอ pH = 8 ง. ในสารละลายม [OH-] = 1 x 10-8นนคอ pOH = 8 หรอ pH = 6 จ. HClO4เปนกรดทแกกวา HBrO4เพราะฉะนนทความเขมขนเทากน HClO4แตกตวได H+มากกวาpH จงต ากวา 24. ตอบ ขอ 1. หมนทศทางเดยวกนกบเฟอง 1 - มความเรวรอบมากกวาเฟอง 1 เนองจาก เมอเฟองขบกน หมนทศตรงขามกน และม v เทากน เมอเฟองเชอมกนดวยสายพาน จะหมนทศเดยวกน v เทากน เมอเฟองอยบนเพลาเดยวกน จะหมนทศทางเดยวกน ดวย เทากน จาก v r จะไดวา เฟอง 6 ). หมนทศทางเดยวกนกบเฟอง 1 - มความเรวรอบมากกวาเฟอง 1



25. ตอบ ขอ 1. จากวงจร เปนวงจรแบบ bridge ท าใหความตางศกยครอมตวตานทาน 10 เปน 0 จาก V IR ท าให I 0 A 26. ตอบ ขอ 2., 4.

1. การทเหลกบางๆลอยน าได เกดจากแรงตงผวเพราะมเสนรอบวงทสมผสผวน าเยอะกวาแบบเปนกอนๆ

2. เนองจากภายในเรอเปนโพรง ท าใหมปรมาตรมาก เมอลอยลงน า จะมปรมาตรสวนทจมน าเยอะ ท าใหมแรงลอยตวมาพยงไว

3. จงโจน า สามารถเดนบนน าไดเพราะมแรงตงผวระหวางขากบผวน า 4. เครองบนลอยตวได เกดจากความเรวใตปกมคา นอยกวาเหนอปก ความดนเหนอปกจะมคานอย

กวาความดนใตปก ท าใหมแรงยกปกขนตามหลกของแบรนลล 27. ตอบ ขอ 5. ทงน ากลน, อากาศ, PTFE และแกว เปนฉนวนไฟฟาทงสน โดย PTFE= Teflon หรอสารเคลอบมน จะพบบนผวของกระทะ ทนความรอนไดด และเปนฉนวนไฟฟา 28. ตอบ ขอ 4.

กราฟของสญญาณไฟฟาจากโจทย เปนกราฟของการตอวงจรเรยงกระแสแบบ bridge rectifier ซงจะท าการเปลยนไฟฟากระแสสลบทมทงสวนทเปนความตางศกยบวกและความตางศกยลบ ใหความตางศกยทตวตานทานอยในชวงความตางศกยบวกทงหมด (กระแสไหลผานตวตานทานในทศทางเดยว) โดยจะอาศยไดโอดชวยบงคบทศทางการไหลของกระแส ตรงกบวงจรในขอ 4. ขอ 1. เปนวงจร half wave rectifier ทมตวเกบประจชวยชารจประจเกบไว ขอ 2. เปนวงจร full wave rectifier จะใหผลเหมอนกบกราฟของโจทย แตความตางศกยสงสดเปน 0.5VS ขอ 3. และ 5. เปนวงจร bridge rectifier แตมตวเกบประจตออยดวย จะใหกราฟสญญาณท smooth กวาน 29. ตอบ ขอ 1. รถเรมเคลอนทจากหยดนง จะไดวา v(0) = 0 จากโจทย a(t) = 2t – 2

dv(t)

dt = 2t – 2

d v(t) = (2t 2)dt v(t) = t2 - 2t + c v(0) = 0 ; v(0) = 0 - 2(0) + c



c = 0

นนคอ v(t) = t2 - 2t จะไดวา ds(t)

dt = t2 - 2t

0

s

s

d s(t) = 4

2

0

(t 2t)dt

(เนองจากโจทยตองการหาการกระจด ดงนน เราสามารถอนทเกรตในชวง 0 ถง 4 ไดเลย ไมจ าเปนตองสนใจวาพนทสวนใดอยเหนอกราฟหรออยใตกราฟ)

s - s0 = 43

2

0

tt

3

s0 = 0 ; s = 16

3 เมตร

30. ตอบ ขอ 2.

เรมตน a = 6, sum = 0 และ b = a+4 ดงนน b = 10 จากนน เราจะมาเขาวงวน (loop) ซงมเงอนไขวาถา a < 1 เมอไร ใหหยดท า loop น

เมอ a = 6 ; sum = 0 + (6 x 10) + 2 = 62 จากนน a = 5,b = 11 เมอ a = 5 ; sum = 62 + (5 x 11) + 2 = 119 จากนน a = 4,b = 12 เมอ a = 4 ; sum = 119 + (4 x 12) + 2 = 169 จากนน a = 3,b = 13 เมอ a = 3 ; sum = 169 + (3 x 13) + 2 = 210 จากนน a = 2,b = 14 เมอ a = 2 ; sum = 210 + (2 x 14) + 2 = 240 จากนน a = 1,b = 15 เมอ a = 1 ; sum = 240 + (1 x 15) + 2 = 257 จากนน a = 0,b = 16 เมอ a = 0 ; ออกจากการท า loop น ได sum = 257

จากนน เราตองมาตรวจสอบเงอนไขวา sum มากกวา 258 จรงหรอเทจ พบวาเปนเทจ ดงนนเราจงลดคา sum ลงอก 2 เพราะฉะนน เมอจบโปรแกรม sum = 257 – 2 = 255 31. ตอบ ขอ 3. จะเหนวาภาพในขอท 3. เสนทางดานซาย ตองเปนเสนลากยาวลงมาถงฐาน และเสนดานขาง (ตรงทตอเสนลงมา) จะเปนเสนประแทน 32. ตอบ ขอ 2. หากดความยาวของฝงขวาในรปของขอท 2. ดๆ จะเหนวายนออกมายาวเกนภาพของโจทย 33. ตอบ ขอ 4.



ถงทรงกระบอก

ปรซมสเหลยมจตรส

18 นว

34. ตอบ ขอ 3.

log14( log2 x - 8) + log14 ( log2 x - 3) = log14 14 ; log2 x – 8 > 0 และ log2 x – 3 > 0

( log2 x – 8 )( log2 x – 3 ) = 14

( log2 x)2 – 11 log2 x + 24 = 14 ( log2 x)

2 – 11 log2 x + 10 = 0

( log2 x – 10 )( log2 x - 1) = 0 log2 x = 10 หรอ log2 x – 1 = 0

** แต log2 x > 8 จากเงอนไขของหลง log เพราะฉะนน log2 x = 10

นนคอ x = 1024 35. ตอบ ขอ 1.

𝑆 = 2𝑛+1 2+1

2𝑛+1 2−1991

2𝑛 + 1 2 + 1

2𝑛 + 1 2 − 1=

4𝑛2 + 4𝑛 + 2

2𝑛 2𝑛 + 2 =

2𝑛2 + 2𝑛 + 1

𝑛 2𝑛 + 2 =

𝑛 2𝑛 + 2 + 1

𝑛 2𝑛 + 2 = 1 +

1

2

1

𝑛 𝑛 + 1

2𝑛 + 1 2 + 1

2𝑛 + 1 2 − 1

99

1

= 1 +1

2 1

𝑛−

1

𝑛 + 1

99

1

= 99 +1

2 1 −

1

2+

1

2−

1

3+ ⋯+

1

99−

1

100

𝑆 = 99 +1

2 1 −

1

100 = 99 +

1

2

99

100 → นนคอ 𝑆 ∈ 99,100

36. ตอบ ขอ 4. พจารณาลกษณะของปากถงทรงกระบอกซงมลกษณะเปนวงกลม ดงรป ความยาวดานของสเหลยมจตรสทใหญทสดทสามารถบรรจลงในไดวงกลมจะมคาเทากบ 18cos(45 ) = 12.73 นว แตเนองจากหนาตดปรซมทรงสเหลยมจตรสยาวเพยงดานละ 12 นว ดงนน สามารถใสปรซมลงในถงทรงกระบอกได

ตวเลอก 1. ผด พจารณา ปรมาตรของปรซมสเหลยมจตรสเทากบ (122)(20) = 2880 ลบ.นว โดย Engineering sense แลว ปรซมจมลงไปในน าทงชน ดงนน ปรมาตรของปรซมจะไปแทนทน าทงหมด ท าใหระดบน าสงขน โดย ปรมาตรของระดบน าทเพมขน = ปรมาตรของปรซม 2r h = 2880

h = 2

2880

( )(9)

= 11.32 นว



เนองจากระดบน าเดมสง 18 นว และหลงจากใสปรซมลงไป น าสงขน 11.32 นว รวมแลวระดบน าในถงสง 29.32 นว ซงไมลนออกมาจากถง ตวเลอก 5. ผด ระดบน าสงขน 11.32 นว ดงนน ตวเลอก 4. ถกตอง 37. ตอบ ขอ 2.

lim𝑕→0

𝑓 𝑥 + 3𝑕 − 𝑓 𝑥 − 3𝑕

𝑕= 18𝑥2 จากนนให 𝑥 − 3𝑕 = 𝑢 →

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1

ได lim𝑕→0

𝑓 𝑢 + 6𝑕 − 𝑓 𝑢

𝑕= 18𝑥2 ซงกคอ lim

6𝑕→0

𝑓 𝑢 + 6𝑕 − 𝑓 𝑢

6𝑕= 3𝑥2

𝑓 ′ 𝑢 =𝑑𝑓

𝑑𝑢=

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 3𝑥2 → 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝐶

𝑓 2 = 8 + 𝐶 และ 𝑓 1 = 1 + 𝐶

𝑓 2 − 2𝑓 1 = 5 จะได 8 + 𝐶 − 2 1 + 𝐶 = 5 → 𝐶 = 1

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1 ดงนน 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3 = 2 + 9 + 28 = 39

38. ตอบ ขอ 2. จาก f(x2 + 2) = 5|x| + 1 จะไดวา 1f (5 x 1) = x2 + 2 และ g(x + 4) = 3 - 5x จะไดวา 1g (3 5x) = x + 4 พจารณา 1f (6)

จาก 1f (5 x 1) = x2 + 2 แทนคา x = 1 ; 1f (5 1 1) = 1f (6)

= 1 + 2 = 3 พจารณา 1g ( 2) จาก 1g (3 5x) = x + 4 แทนคา x = 1 ; 1g (3 5(1)) = 1g ( 2) = 1 + 4 = 5 เนองจาก (g f )(11) = g f (11) พจารณา f(11) จาก f(x2 + 2) = 5|x| + 1 แทนคา x = 3 ; f(32 + 2) = f(11) = 5|3| + 1 = 16 ไดวา g f (11) = g(16) พจารณา g(16) จาก g(x + 4) = 3 - 5x แทนคา x = 12 ; g(12 + 4) = g(16) = 3 - 5(12) = -57 จะไดวา 1f (6) + 2(g f )(11) + 1g ( 2) = 3 + 2(-57) + 5 = -106 39. ตอบ ขอ 3. จากโจทย พบวา ล าดบทโจทยก าหนดเปนล าดบเลขคณต ซงม a2 = 150 และ d = 18 โจทยตองการหา a11

a11 = a1 + 10d a11 = a2 + 9d = 312 ดงนนจะมการรบเดกมาเขาคาย 312 คน



40. ตอบ ขอ 1. ก. จากโจทยตความไดวา ของทงหมด n ชน ด n - x ชน เสย x ชน หยบขนมา r ชน ความนาจะเปนทไดได ของด k ชน เสย r - k ชน

ดงนน n(E) = n x x

k r k

n(S) = n

r

P(E) =

n x x

k r kn

r

ขอ ก. ถก

ข. พจารณาในการจดชาย n คน หญง n คน เขาสลบทละ k คน (โดย k หาร n ลงตว) เนองจากการพจารณาในรปทวไปอาจจะมองเหนภาพยาก ดงนนจะลองลดความยงยากโดยก าหนดตวเลขกอน ใหมชาย 6 คน หญง 6 คน จดสลบทละ 3 คน ซงการจดจะมจะม 3 ขนตอน คอ - จดชาย (หรอหญงกอนกได) นงรอบโตะกลม จะจดได (6 - 1)! วธ - เลอกทใหหญงเขาไปแทรกระหวางผชาย โดยการแทรกแตละทจะตองใหหญงเขาไปแทรกทละ 3 คน ซงการแทรกจะมวธทหญงเลอกเขาไปแทรกได 3 วธ ดงรป - จดผหญงเขานงตามททเลอก ได 6! วธ ตามกฎการคณ จะไดวา มวธการจดทนงตามเงอนไข (6 1) ! 6 ! 3 วธ ซงในกรณทวไปจะไดเปน (n 1) ! n! k วธ นนคอ ขอ ข. ผด



ค. ในการหยบของทละชน k ครง จากของทงหมด n ชนโดยไมใสคน จ านวนวธทจะไดของทแตกตางกนทง k ครง คอ

n,kP = n !

(n k) ! = n (n 1) (n 2) ... (n k 1) (คณกน k ครง)

ดงนน P(E) = k

n (n 1) (n 2) ... (n k 1)

n

นนคอ ขอ ค. ผด เพราะฉะนน ขอ ก. ถกเพยงขอเดยว 41. ตอบ ขอ 1.

พจารณาสามเหลยม ABC ซงอยระหวางหกเหลยมดานเทารปทหนงกบรปทสอง ดงรป จะพบวามม

^C A B มคาเทากบ 120 องศา ตามกฎของโคไซน จะไดวา a2 = x2 + x2 - 2x(x)(cos120)

แกสมการไดวา x = a

3

พจารณาจากรป ความยาวดานของหกเหลยมดานเทารปทสองจะยาว 2x = 2

a3

ซงถาเราพจารณาตอไป ความยาวดานของหกเหลยมดานเทารปทสามกจะมคาเทากบ 2 2

a3 3

หนวย

นนคอ ความยาวดานของหกเหลยมดานเทารปท n จะมคาเทากบ n 1

2a

3

หนวย

ความยาวเสนรอบรปของหกเหลยมดานเทารปท n จะมคาเทากบ n 1

26a

3

หนวย

ซงถาจดรปจะตรงกบตวเลอก 1

42. ตอบ ขอ 5.

จากโจทย 3arctan sec cot arccos x

6 2

= 6

จดรปไดวา 3sec cot arccos x

6 2

= tan6

B

C

A

a

x

x

B

C

A



3cot arccos x

2

= sec

6

-tan6

cot5

x6

= 2

3 -

1

3

5

x6

= arccot

1

3

x =

5

6 3

x = 2

ซงตรงกบตวเลอก 5 พอด (อนทจรงแลว x อาจเปนไปไดหลายคา แตเพอใหสอดคลองกบค าตอบ จงเลอกเฉพาะ x 0,2 )

43. ตอบ ขอ 3. พจารณาจากรป จะเหนวา อาณาบรดงรปเวณทโจทยตองการจะมคาเทากบ อาณาบรเวณใตเสนโคง

y = 2sin x

2

ในชวง x 0,2 ดงรป

พจารณา x2sin dx

2

ให u = x

2 จะไดวา

du

dx = 1

2 นนคอ

x2sin dx

2

= 2sinu

du1

2

= 4 sin(u)du = -4cos(u) + c

= -4cos x

2

+ c

ดงนน อาณาบรเวณทตองการคอ 2

0

x2sin dx

2

= -4cos2

0

x

2

= 8 ตารางหนวย

44. ตอบ ขอ 4. - จดสดขดสมพทธ สามารถหาไดจากอนพนธอนดบหนงของฟงกชน ซงคาฟงกชนนนอาจจะมคาเปนศนย หรออนพนธอาจไมมคา ณ จดนนกได เชน f(x) = |x| เปนฟงกชนทมจดต าสดสมพทธ (และเปนจดต าสดสมบรณ) ทจด (0, 0) แตวาอนพนธของฟงกชนทจด (0, 0) ไมมคา ดงนน ขอ 1 ผด



- โดยนยาม จดวกฤต คอ จดทมคาอนพนธของฟงกชนเปนศนย หรอ จดทไมสามารถหาคาอนพนธของฟงกชนได ซงเรานยามจดวกฤตขนมาเพอใหสามารถหาคาสดขดสมพทธไดงายขน เนองจากจดวกฤต คอ จดทเราคาดการณวาสามารถเปนจดสดขดสมพทธของฟงกชนนนๆได ดงนน ขอ 2 ผด - โดยความหมายเชงเรขาคณตของอนพนธ อนพนธของฟงกชนทจดใดๆ กคอความชนของฟงกชน ณ จดนนๆ ดงนน ถงแมวา f(x) g(x) ในชวง x (a,b) แตกไมสามารถสรปไดวา f (x) g (x) ในชวงx (a,b) ดงนน ขอ 3. ผด

- ส าหรบ f(x) g(x) ในชวง x (a,b) แลว b

a

f (x)dx b

a

g(x)dx จะเปนจรงเสมอ (เราอาจจะ

พจารณาในลกษณะพนทใตกราฟกได แตในกรณท g(x) < 0 หรอ f(x) < 0 เราจะตองระวง เนองจากคาปรพนธจ ากดเขตจะเปนลบ) ขอ 4 ถก 45. ตอบ ขอ 5. ในการพจารณาลกษณะของพนผวในปรภมสามมต เราควรจะคอยๆพจารณาโดยการพจารณาลกษณะของเสนโคงทเกดจากการตดพนผวดวยระนาบทตงฉากกบแกนพกด ในทนจะพจารณาโดยตดพนผวดวยระนาบทตงฉากกบแกน z จากสมการพนผว 9x2 + 16y2 + z2 = 144 พจารณา บนระนาบ z = 0 ; 9x2 + 16y2 = 144 ไดวา เสนโคงบนระนาบ z = 0 มลกษณะเปนวงร บนระนาบ z = 1 ; 9x2 + 16y2 = 143 เสนโคงบนระนาบ z = 1 มลกษณะเปนวงร ซงถาเราสงเกตจะเหนวาเปนวงรทมขนาดเลกกวาวงรบนระนาบ z = 0 บนระนาบ z = 2 ; 9x2 + 16y2 = 140 เสนโคงบนระนาบ z = 2 มลกษณะเปนวงร ซงมขนาดเลกกวาวงรบนระนาบ z = 1 จะสงเกตวา เมอพจารณาบนระนาบ z = k เมอ k มคามากขนเรอยๆ วงรจะมขนาดเลกลงเรอย ลองพจารณา บนระนาบ z = 12 ; 9x2 + 16y2 = 0 จะไดวา กราฟบนระนาบ z = 12 มเพยงจดเดยว คอจด (0, 0, 12) บนระนาบ z = 13 ; 9x2 + 16y2 = -25 จะเหนวา บนระนาบ z = 13 ไมมจดทสอดคลองกบพนผว นนคอ จะมจดทสอดคลองกบพนผวถงเพยงแค z = 12 ในท านองเดยวกน ถาเราพจารณาบนระนาบ z = k , k < 0 จะพบวามลกษณะคลายกน คอ เมอ k มคาลดลงเรอยๆ วงรจะมขนาดเลกลงเรอยๆ และจะมจดทสอดคลองกบเพนผวถงเพยงแค z = -12 จากขอมลทงหมด เมอเราลองรางกราฟบนระนาบ z = k ตางๆ และลากเสนเชอม จะพบวา กราฟมลกษณะเปนทรงร



46. ตอบ ขอ 2. ในการหาเปอรเซนไทลของขอมลทไมไดมการแจกแจงความถ ต าแหนงของเปอรเซนไทลท r มคา

เทากบ r(N 1)

100

โดยท N คอจ านวนขอมลทงหมด

พจารณา 666 เปนขอมลต าแหนงท 333 ของขอมลทงหมด จะไดวา

r(499 1)

100

= 333

r = 66.6 ดงนน 666 เปนเปอรเซนไทลท 66.6 ของขอมลทงหมด 47. ตอบ ขอ 2. สมบตอยางหนงส าหรบล าดบอนนตทเปนล าดบคอนเวอรเจนต คอ n n 1

n nlim a lim a

จากโจทยจะพบวา เรายงไมทราบวาล าดบทก าหนดใหเปนล าดบคอนเวอรเจนตหรอไม จงลองสมมตใหเปนล าดบคอนเวอรเจนตไปกอน

จาก an+1 =

2na 1

2

Take limit ทงสองขาง ; n 1nlim a

= 2

nnlim a 1

2

ให x = nnlim a

= n 1nlim a

; x = 2x 1

2

แกสมการไดวา x = 1

ซงถาหากเราลองแทนคา a1 = 1

2 ใน an+1 =

2na 1

2

จะพบวา ถาเราแทนไปเรอยๆ an จะไมมทางเกน 1

แนนอน ดงนน an เปนล าดบคอนเวอรเจนตทมลมตเทากบ 1 แนนอน

2 29x 16y 0 , z 12

Z

Y

X

2 29x 16y 144 , z 0

2 29x 16y 140 , z 2



48. ตอบ ขอ 3. โดยหลกการหาอนพนธของฟงกชนประกอบ ถาให f เปนฟงกชนของ u และ u เปนฟงกชนของ x จะ

ไดวา df

dx =

df du

du dx

ในท านองเดยวกน ส าหรบฟงกชนประกอบ (g f )(x) เมอหาอนพนธจะไดวา (g f ) (x) = g f (x) f (x)

จากโจทย จะไดวา (f g) (x) = f g(1) g (1) = f (1) (4) = (3)(4) = 12

49. ตอบ ขอ 5.

𝑔 𝑥 ม 𝑅𝑔 ∈ 0,1

เนองจาก 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 ดงนน เรนจของ 𝑔 จะเปนโดเมนใหกบ 𝑓𝑜𝑔

นนคอ 𝐷𝑓𝑜𝑔 = 0,1 ท าให 𝑅𝑓𝑜𝑔 = 3, 2 → 𝑎2 + 𝑏2 = 7

50. ตอบ ขอ 1. คดโดยลองคอยๆไลตวเลอกไปทละขอ ถาสมมตใหตวเลอก 1. ซงกลาววา มขอถก 1 ขอ เปนตวเลอกทถก จะถกตอง เพราะ ขอทถกกคอตวเลอก 1. ตามทเราสมมตนเอง ถาสมมตใหตวเลอก 2. ซงกลาววา มขอถก 2 ขอ เปนตวเลอกทถก จะเปนไปไมได เพราะ เราใหตวเลอก 2. ถก ซงเปนตวเลอกเดยวทถกตอง ดงนน ตวเลอก 2. ตองผด ถาเราพจารณาไปเรอยๆเชนน จะเหนวา มตวเลอกทถกเพยงขอเดยวคอ ตวเลอก 1.

pre test - self-study · 2017-10-10 · รัศมี ชิ้นที่ r 2...

Documents