prawa potęgowe i samoorganizująca się...

Prawa potęgowei samoorganizująca się krytyczność

Katarzyna Sznajd-Weron

Przystawka: Masa krytyczna (2004)

• Wybuch jądrowy: masa krytyczna

materiału rozszczepialnego

• Rowerzyści: nieformalny ruch

społeczny, zbiera się grupa rowerzystów

i ich wspólnie przejeżdża przez miasto

• Dyfuzja innowacji: krytyczna liczba

„zaadoptowanych” konsumentów

• Fala meksykańska: metafora

społecznego kolektywnego zachowania

© 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

Przejścia fazowe wokół nas

ciągłe przejście

fazowe

nieciągłe

przejście fazowe

Lód – faza stała

woda – faza ciekła

para – faza gazowa

PUNKT KRYTYCZNY


Sylwester w górach i jajka


Nieciągłe przejścia fazowe


Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe


Nieciągłe przejście fazowe


Jak działają ogrzewacze rąk?


Ciągłe przejście fazowe

Ciągłe przejścia fazowe wokół nas

Perkolacja


Perkolacja site

• Rozważmy sieć dwuwymiarową L na L

• Każde miejsce sieci jest zajęte niezależnie

z prawdopodobieństwem p

• Klaster – grupa zajętych węzłów

znajdujących się wzajemnie w najbliższym

sąsiedztwie (rozmiar s)

Krytyczność w modelu perkolacji

Próg perkolacji - najmniejsza koncentracja zapełnionych węzłów na sieci, przy której powstaje nieskończony klaster.

Wyniki dla sieci 2D

Parametr

porządku

Próg perkolacji nie jest uniwersalny!

sieć site bond

heksagonalna 0.696 2 0.652 71

kwadratowa 0.592 75 0.500 00

trójkątna 0.500 00 0.347 29

diamond 0.428 0.388

Prosta

kubiczna

0.311 7 0.249 2

BCC 0.245 0.178 5

FCC 0.198 0.119

Wykładniki krytyczne - uniwersalność

Co to jest punkt krytyczny?

2

2

)(

)/exp()(

d

c

cc

drii

rrGTT

TTTT

r

rSSrG

Funkcja korelacyjna promień korelacji

punkt krytyczny

autostrady Linie lotnicze

Prawa potęgowe w sieciach

Skala podwójnie logarytmiczna

'log'

log',log'

logloglog

bxay

xxyy

xbay

xay b

nachylenie prostej

Jakie są różnice?

• Zarobki ludzi – prawo potęgowe

• Wzrost ludzi – eksponenta

? ?

Prawo potęgowe

?

eksponenta

Rozkład wielkości dochodów osób fizycznych w Japonii

Źródło: 青山秀明

2

Skalowanie allometryczne

Wikipedia: Allometry is the study of the relationship of body size to shape, anatomy, physiology and finally behaviour.

Co się jeszcze skaluje?

Co się jeszcze skaluje u zwierząt?

• Zależność tempa metabolizmu od masy ciała (u ssaków b=0.74)

• Masa jaja od masy ciała ptaków (b=0.77)

• Czas inkubacji od masy ciała (b=0.165)

• Długość życia ssaków w niewoli od masy ciała (b=0.2)

• Długość życia od wielkości mózgu

• …

Prawo Zipfa

Profesor lingwistyki (germanistyki) na HarvardzieGeorge Kingsley Zipf (1902-1950), rozkład słów:

Przykład: 423 artykułów z TIME (245,412 słów):1) "the" – 15861(częstość 9%) 2) "of" – 7239 3) "to" – 6331

1, aiP a

i

Prawo Zipfa dla języka angielskiego

Diagnozowanie schizofrenii

• Halucynacje, urojenia, trudności w komunikacji

• Apatia, nieuwaga, otępienie

• Ubóstwo mowy

• Wykładnik w analizie Zipfa a<0.7

Wyniki Brylinga i Fishera 2004

• Wszystkie książki Tolkiena a=1.47895

• Książki Sapkowskiego: Czas pogardy, Ostatnie życzenie & Miecz a=0.92197

• Program: Model Zipf.exe

Wszechobecne prawo Zipfa

• Liczba ludności w miastach

• Częstość nazwisk w książce telefonicznej

• Dochody przedsiębiorstw

• Liczba spółek w państwach

• Rozkład trzęsień Ziemi

• Rozkład wielkich wymierań

a

i iP

Prawo Zipfa w muzyce

Częstość interwału o długości i półtonów:1. Toccata fis-moll Bacha b=1.342. Sonata F-dur Mozarta b=1.733. Invention nr 1 C-dur Bacha b=2.424. Stockhausena (współczesna) - nie ma Zipfa

Interwały w półtonach

Poprawione prawo Zipfa (Mandelbrot)

J.J. Ramsden, G. Kiss-Haypal, Physica A 277 (2000) 220: Rozkład wielkości firm w 20 różnych Państwach (1994)

t

R RPs /1)(

ranga

Kondycja ekonomiczna Państw na podstawie wykładnika t

Węgry 1.40

Stany Zjednoczone 1.25

Chiny 1.20

Francja 1.06

Austria 1.04

Hiszpania 0.98

Norwegia 0.97

Niemcy 0.96

Belgia 0.91

Szwajcaria 0.91

Dania 0.88

Brazylia 0.86

Izrael 0.85

Japonia 0.85

Włoch 0.85

Wielka Brytania 0.83

Szwecja 0.79

Kanada 0.75

Holandia 0.65

10-2

10-1

100

100

101

102 Technologiczne ($10B)

Naturalne ($100B)

Źródło: John Doyle

100 największych katastrof XX w.

Trzęsienia Ziemi

• Prawo Gutenberga-Richtera

• Prawo Omoriego

)5.1,1(,

1,

attN

bMMN

a

b

Rozkład pożarów lasów

Pryzmy ryżu

V. Frette et al., Nature 1996

Rozkład lawin ryżu

Wymierania gatunków morskich

-600 -500 -400 -300 -200 -100 00

10

20

30

40

50

czas geologiczny [mln lat]

pro

cent w

ym

iera

ń

Wymierania rodzin i rodzin morskich

Deszcze

Dane zebrane przez Instytut Meteorologii Maxa- Plancka w Hamburgu przy użyciu Micro Rain Radar MMR-2 na wybrzeżu Bałtyckim w okresie styczeń – lipiec 1999.

G. Peters, B. Fischer, T. Andersson, Bor. Env. Res., 2002

Prawa potęgowe dla deszczu

Rozkład wielkości zdarzeń Rozkład przerw między

zdarzeniamiO. Peters, C. Hertlein, and K. Christensen, A complexity view of rainfall.Phys. Rev. Lett. 88, 018701, 1-4 (2002)

O. Peters and K. Christensen, Rain: Relaxations in the Sky. Phys. Rev. E. 66, 036120, 1-9 (2002)

Potęgowe katastrofy – wspólny mechanizm?

• Trzęsienia Ziemi

• Erupcje wulkanów

• Deszcze

• Huragany, Tornada

• Korki Uliczne

• Wybuchy na Słońcu

• Wymierania gatunków

• i … wiele innych

Co oznaczają prawa potęgowe?

• Niezależność od skali – brak typowej skali

• Krytyczność?

b

b

bb

b

a

xn

na

x

a

x

a

xf

cmmnaaa

x

a

xf

0011

01

00

)1001(,

Co oznacza niezależność od skali?

aa

a

a

aa

a

a

a

a

a

r

r

r

rf

rf

rrr

5.0

2

50

200

5

20,150exp

50exp

200exp100

5.0

2

5

20

5

20,15exp

5exp

20exp10

5.0

2

5.0

2,5.1exp

5.0exp

2exp1

?min

max

2,5.0

0

0

0

00

Samoorganizująca się krytyczność (Self-organizing criticality SOC)

• Stały, powolny dopływ energii

• Układ dochodzi do stanu krytycznego charakteryzującego się prawem potęgowym

• Uwalnianie energii – wybuchy poprzedzielane okresami stazy

Samorganizująca się krytyczność

• Pryzma dochodzi do granicznego kąta

• Istnieje graniczny kąt krytyczny

• Dla krytycznego kąta rozkład lawin jest potęgowy

34

Samoorganizacja w naturze

Układ Skorupa Ziemska

Pryzmy Piasku Atmosfera

źródło energii prądy w litosferze

dodanie ziarna Słońce

magazynowanie energii

napięcie energia potencjalna

parowanie wody

próg tarcie tarcie nasycenie

uwolnienie energii

trzęsienie ziemi

lawina deszcz

(Per Bak i inni 1987) – prototyp SOC

(c) 2003 K. Weron

lawina s=4

Prawa potęgowe w modelu pryzm piasku

Model wymierań gatunków (Bak, Sneppen 1993)

• Dobór naturalny (Darwin) - najsłabiej przystosowani mają najmniejszą szansę na przeżycie

• Oddziaływania między gatunkami (np. przez łańcuch pokarmowy) – wpływ zmian sąsiednich gatunków

Model BS krok 2: jak to zrobić?

fitness

0.8 0.6 0.9 0.5 0.4 0.7 0.2 0.4 0.8 0.9 0.3 0.5

0.8 0.6 0.9 0.5 0.4 0.4 0.5 0.2 0.8 0.9 0.3 0.5

0.8 0.6 0.9 0.5 0.4 0.4 0.8 0.1 0.9 0.9 0.3 0.5

Samoorganizacja w modelu BS

Wyniki modelu BS

• Rozkład odległości między kolejnymi zmianami potęgowy – jedni zmieniają się często, inni rzadko (karaluchy)

• Rozkład lawin (wymierań) potęgowy

• Duża aktywność poprzedzielana okresami stazy(punktualizm)

• Nie są potrzebne meteoryty do wielkich wymierań

Samoorganizująca się krytyczność

• Dynamika układ dochodzi do stanu krytycznego

• Stan krytyczny – ewolucja zgodna z ideą punktualizmu

• Prawa potęgowe w rozkładach wielkości zdarzeń i rozkładach interwałów czasowych między zdarzeniami

prawa potęgowe i samoorganizująca się...

Documents