practica q jma

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” – UNT MATEMÁTICA 1°

1Gloria Chávez V. – Marcial Vásquez M.

I.E. JOSÉ MARIA ARGUEDAS

MATEMÁTICAPRIMER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

SEGUNDO TRIMESTRE

INICIO: TÉRMINO:

Alumno (a).................................................... ................................................................ Sección: ................... Nº de Orden: ................................ Dirección: .................................................................................................................. Telef.: ............................... E-mail: ........................................................... ................

HORARIO DE CLASES:

HORA LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SÀBADO

Vº Bº …………………...……..………….Lic. VILLANUEVA URBIOLA, Henry

ÁREA DE MATEMÁTICA

Vº Bº …………………...……..………….Lic. Odeón Espirilla Quipe

Director

José María Arguedas, 2014

I.E. “José María Arguedas” – Puente Central MATEMÁTICA 1°

2Lic. Villanueva Urbiola, Henry.

VIII UNI D AD:

SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 11

Contenidos

Conjunto de los números racionales.

Definición de un número racional.

Fracciones. Clasificación

Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación y radicación.

Aprendizaje esperado

Identifican al conjunto de los números racionales.

Identifican propiedades de los números racionales a través de ejemplos..

Resuelven problemas que implican cálculos con operaciones de números racionales.

Resuelven operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación con números racionales.

Resuelven operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación, división potenciación y radicación con números racionales.

Resuelven situaciones problemáticas referidas a operaciones con números racionales.

Actitudes ante el curso

Demuestra perseverancia en la búsqueda de soluciones.

Participa en clase con empeño y perseverancia.

Valora la utilidad de las propiedades de las operaciones en la solución de situaciones problemáticas.

Muestra seguridad y confianza en la aplicación de algoritmos.

Resuelve los problemas de más de una forma.

Realiza sus trabajos con orden y limpieza en su cuaderno y su módulo.

Presenta con puntualidad sus trabajos asignados

Cumple las normas de convivencia

Mantiene ordenado el ambiente y el material de su aula.



CONJUNTO DE LOS NÚMEROSRACIONALES (Q)

Los números racionales Q

Los racionales se originaron por la necesidad de dividir

un todo en partes iguales. Por ejemplo si se quiere repartir una

torta

entre 5 personas, lo que le toca a cada uno se representa 1

5donde

el numerador un número entero y el denominador

también es un número entero pero diferente de cero, y lo

que toca a

dos personas se representa por 2( 1

), equivalente a 2

.5 5

Matemáticamente, los números racionales se originaron para salvar

una de las limitaciones de los números enteros en la división, es

decir para poder resolver la ecuación ax = b donde “a” y “b” son

números enteros, estableciéndose el valor de x como b

.a

No es posible representar una secuencia de números racionales, por ser un conjunto muy denso 1, pero podemos expresarlo así:

17 3 2 1 3 7Q = {. . . ; 8

; ... ; -2; ... ; 2

; ... ; -1; ... ; 5

; ... ; 0; ... ; 2

; ... ; +1; ... ; 2

; ... ; +2; ... ; 3

; ... ; +3; . . .}

En el siguiente diagrama

podemos apreciar la relación que existe entre ¿Qué puedes afirmar tras establecer esta relación de los conjuntos de números?

los conjuntos de números

naturales, enteros y racionales.

Q

N Z Q...................................................................

...................................................................

...................................................................1

; 5

;Z N

2 3...................................................................

...................................................................

0; 1; 2; 3; …. . . -3; -2; -1.

6 ; etc.

8...................................................................

...................................................................

...................................................................



1 El conjunto de los números racionales es denso porque entre dos números racionales hay infinitos números raci onales


Los Números Racionales (Q)

1. Número racional

Se define como número racional a todos aquellos que se pueden expresar por la

¿Por qué se denomina número racional?

....................................................................................

formaa

; donde “a” y “b” son númerosb

....................................................................................

....................................................................................enteros, siendo b

0.

Simbólicamente lo definimos así:

Q = { a

/ a Z , b Z b 0}b

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

Ubica en la recta a los siguientes números racionales:

a = 1

; b =5

; c =3

; d = 7

; e = 7

; f =4

; g =7

; h = 16

; i = 1 3

; j = 3

4 2 4 5 10 5 2 5 5 2

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

2. F R A C C I O N E S C o n c e p t o : Es el número que representa una

o más partes de la unidad.

F a

b

Numerador (indica las partes que se consideran)

Denominador (indica las partes que en que se divide la unidad)

donde a Z, b Z b 0


ININTTEERPRRPREETTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA::Tenemos a la unidad o al todo dividida en cinco partes de igual medida.

Cada parte es 1 (total)

5

Parte sombreada es 2 (total)

5

Parte NO sombreada es 3 (total)

5

3. CLCLAASSIIFFIICCAACCIÓIÓNN DDEE LLAASS FFRRAACCCCIIOONNEESS

II.. PPOORR LLAA CCOOMMPPAARARACCIÓIÓNN DDEE SSUUSS TTÉÉRRMMIINNOOSS..3.1. Fracción Propia

Es aquella que representa estrictamente a una parte de la unidad. Se caracterizan porque el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente el resultado es menor que la

unidad. Ejemplo gráfico: Otros ejemplos:

Son fracciones propias:

3 2

; 1 ;

6 ;

3 ; ;

5 4 7 118

aEn general: 1

b a b

3.2. Fracción Impropia Es aquella que representa a unidades completas más otra parte de una unidad. Se caracterizan porque el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente el resultado es mayor que la unidad.

Ejemplo gráfico:

Otros ejemplos:15

; 9 ;

7 ;

19 ; ;

11 5 2 13

En general:a

1 b

a b

IIII.. DDEE AACUCUEERRDDOO AA SSUU DDEENNOOMMIINNAADDOORR..2.1. Fracción Ordinaria o Común

Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.

9 3 1Ej: ; ; ; ; ;

3 11 2

2.2. Fracción Decimal

Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

7 13Ej: ; ; ; ;


10 100

10 15 18

IIIIII.. PPOORR LLAA CCOOMMPPAARARACCIÓIÓNN DDEE LOLOSS DDEENNOOMMIINNAADDOORREESS3.1. Fracciones Homogéneas

Dos ó más fracciones son homogéneas si presentan denominadores diferentes.

Ejemplo: 1

; 3

; 5

; 9

; ;7 7 7 7

3.2. Fracciones Heterogéneas:Dos ó más fracciones son heterogéneas si presentan denominadores diferentes.

2 7 10 13Ejemplo: ; ; ; ; ;

3 5 11 4

IIVV.. PPOORR LLAA RREELLAACCIÓIÓNN DDEE LLOOSS DDIIVVIISSOORREESS DDEE SUSUSS TTÉÉRRMMIINNOOSS4.1. Fracciones Reductibles

Son aquellos cuyos términos no son primos entre sí, es decir tienen divisores comunes. (Admiten ser simplificadas)

Ejemplos:6

; 15

; 8

; 32

; ;9 12 24 10

4.2. Fracciones IrreductiblesSon aquellos cuyos términos son primos entre sí o sea no tiene divisores comunes. (No se pueden simplificar más)

Ejemplos:2

; 3

; 5

; 11

; ;7 10 4 13

VV.. PPOORR SSUU VVAALLOORRFracciones Equivalentes:

Son aquellas que utilizando términos diferentes expresan un mismo valor. Ejemplo:

3

6

9

12 ...

5Fracción Fracciones equivalentes

irreductible

4. CONV ERSIÓN DE UNA FRACC IÓN IM PROP IA A N ÚM ERO M IXTO .

Ejemplos:

7

3

29

6

7 3

(1) 2

29 6

(5) 4

7 2

1

3 3

29 4

5

6 6

Sólo se puede convertir en número mixto a las fracciones impropias.

52

3

5. S I M P L I F I C A C IÓ N D E F R A CC I O N E S :

Proceso que consiste en transformar una fracción reductible en otra equivalente, pero irreductible.

Ejemplos:

El proceso contrario a la simplificación es la AMPLIFICACIÓN.

Simplificar: 90

150

90

150

6. CCOOMMPPAARARANDNDOO FFRARACCCCIIOONNEESS

Simplificar: 126

294

126

294

¡Ahora aprenderemos como determinar cuándo una fracción es >, < o = que otra fracción!

Realizamos La comparación mediante la aplicación de la transposición de términos

(productos cruzados)

5 ……

7

6 8

8×5 …… 6×7

40 < 42

2 ……

3

5 8

8×2 …… 5×3

16 > 15

3 ……

39

7 91

91×3 …… 7×39

273 = 273

Entonces 5

< 7

6 8 Entonces 2

>

3

5 8

Entonces 3

7=

39

91

7. O R DENA C IÓ N D E F R A CC I O N E S :Para realizar la ordenación se procede a dar a las fracciones un común denominador(homogeneizar) y se los ordena ya sea en forma creciente o

decreciente. Ejemplos:

a) Ordenar en forma creciente:1

; 3

; 7

;9

; 1

; 4

2 5 8 2 10 3

1

; 1

;3

; 7

;4

; 9

10 2 5 8 3 2

b) Ordenar en forma decreciente: 60

;52

;105

;35

; 7

120 12 120 14 10


A c t i v i d a d N º 0 1

T RABAJ ANDO CON F R ACC IONES

INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes de resolverlos en los espacios respectivos en forma clara, coherente y ordenada.

1. Según la clasificación por comparación de los denominadores escribe la clase fracciones a

la que corresponde cada grupo:

a) 2

; 4

; 6

3 7 5

b) 3

; 2

; 1

; 5

5 5 5 3

c) 1

; 2

; 3

; 4

7 7 7 7

d) 3

; 3

; 3

; 3

;

3

5 4 7 9 13

Fracciones …………………………




2. Encierra con una circunferencia a las fracciones propias:

3 ;

7 ;

9 ;

3

;

4 ;

7

5 11 5 2 4 5

3. Completar:

a) Si una fracción presenta como elementos a dos números primos entre sí, entonces, se

le conoce como fracción .

b) Fracciones son aquellas cuyos son iguales.

c) Fracción es aquella cuyo numerador es menor que el

d) Las fracciones heterogéneas tienen denominadores

e) Si dos fracciones con elementos diferentes, representan a una misma parte de una unidad,

se les conoce como fracciones

4. En el siguiente grupo de fracciones determina a la menor y a la mayor fracción.

6 ;

5 ;

3 ;

11 ;

4 ;

5

7 4 9 3 2 11

5. En el siguiente grupo de fracciones determina a la menor y a la mayor fracción.


2 ;

1 ;

8 ;

5 ;

6 ;

11

3 7 9 4 7 2

6. Compara a las siguientes fracciones, escribiendo en la línea punteada, el símbolo de

comparación correspondiente.

a) 7

…… 63

b) 3

…… 5

c) 2

…… 3

d) 5

…… 2

9 81 5 6 15 25 9 3

e) 2

…… 1

f) 2 1

……

3g)

2 ……

3h)

2 ……

12

9 10 35 5 5 2 3 13

7. ¿Cuántas fracciones impropias hay en el siguiente grupo de fracciones?

9 ;

7 ;

12 ;

14 ;

6 ;

5

3 2 13 11 7 3

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10

8. ¿Cuántas fracciones reductibles existen en el siguiente grupo de fracciones?

2 ,

8 ,

25 ,

42 ,

15 ,

24

4 32 36 15 32 49

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 24 existen?

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9

e) 10

10. Hallar la diferencia entre los términos de una fracción equivalente a 2/5, sabiendo que la

suma de dichos términos es 28.

a) 10 b) 12

c) 14 d) 16

e) 18

TAREA PARA EL ALUMNO T R A B A J A N D O CON F R A C C I ON E S

INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes de resolverlos en los espacios respectivos en forma clara, coherente y ordenada.

1. Escribe cuatro fracciones equivalentes para cada fracción que se indica a continuación:

a) 2

……………………..3

b) 5

…………………………9

c) 3

7

d) 2

9

2. Escribe los signos =, >, < entre cada par de fracciones:

a) 3/4 5/7 b) 8/5 2/11 c) –3/7 -6/5

d) 3/5 6/10 e) -12/7 18/5 f) 8/7 7/8

3. Ordenar de en forma creciente:a) -3/5, +4/7, -9/2, +1/4, -2/3, +11/6, -4/3, +3/10

b) -2/5, +3/7, -5/2, +1/4, -4/3, +11/6, +1/15

4. Ordenar en forma decreciente:a) +3/4, +4/5, -9/2, +1/10, -2/5, +11/6, -1/3, +7/10

b) +1/4, +3/5, -7/2, +1/10, -1/5, +7/6, -1/3, +3/10

5. Simplificar las fracciones:

c) 1280

d) 500

e) 864

f) 1914

4600 3125 342 33759

COMPRUEBO MIS APRENDIZAJES

Instrucciones: A continuación se te presenta varios ítems con el propósito de que verifiques tu nivel de aprendizaje. Resuelve en el espacio respectivo con honestidad en forma clara, coherente y ordenada. Al finalizar compara tus respuestas con las que tu profesor(a) te dará. Cada problema tiene un valor de 4 puntos.

1. Completar:

a) Fracción es aquella cuyo numerador es menor que el

b) Las fracciones heterogéneas tienen denominadores

c) Si al numerador y al denominador de una fracción se le multiplica por una misma

cantidad diferente de cero se obtiene una fracción

original.

a la

2. Hallar la suma de todos los valores de “a” sabiendo que la fracción a/12 es propia e irreductible.a) 12 b) 13

c) 24 d) 23

e) 20

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreductible?a) 2/4 b) 8/12 c) 49/21 d) 5/6 e) 36/24

4. Simplificar las fracciones:

a) 300

b) 240

600 720

5. Escribe los signos =, >, < entre cada par de fracciones:

a) -1/7 6/5 b) 7/5 1/10 c) – 6/8 - 3/4 d) 8/7 10/9


15

15

15

15

15

SES IÓN DE AP RE ND IZA JE N º 1 2

Contenidos

Operaciones con fracciones:

- Adición, sustracción

- Multiplicación, división

- Potenciación y radicación.

Aprendizaje esperado

Resuelve situaciones problemáticas referidas operaciones de Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación con números racionales.

Actitudes ante el curso

Participa en clase con empeño y perseverancia.

Respeta las participaciones de sus compañeros.

Presenta con puntualidad sus trabajos asignados.

Realiza sus trabajos con orden y limpieza en su cuaderno y su módulo.

Cumple las normas de convivencia

Se presenta cuidadosamente, uniformado, aseado y ordenado.

Manifiesta un trato amable y cordial con las personas de su entorno

ADICIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

I. ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

VVeeaammooss::

Esto se puede resolver así: 1

1

1

1 1 1

3

5 5 5 5 5

35


a) 3

2

5

7 7 7 7

b) 7

2

3

8 8 8 8

II. ADICIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

16

16

124

124

124

124

16

16

16

1 y

1 son fracciones heterogéneas

6 24

1

1

Efectuar: 6 24

M É T OD O I

Multiplicamos los denominadores el resultado viene a ser el denominador de la fracción

suma, luego multiplica en y los resultados parciales lo colocamos en el numerador de la

fracción suma, de esta manera:1

1

2 4(1) 6(1)

3 0

5

6 24 6(24)

1 44 24

M É T OD O I I

Pas o 1 : M.C.M. de los denominadores

6 24 2

3 12 2 M.C.M. (6, 24) = 2 x 2 x 2 x 3

3 6 2 = 24

3 3 3

1 1

Pas o 2 :

x 1

x

1

4(1) 1(1)

5

6 24 24 24


¡Ahora Práctica tú!

¡Usando el método que prefieras!

Efectúa:

a) 4

6

b) 3

1

7 9 20 5

c) 7 5

d) 2 + 2

1

3 3 2

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

aClausura: Si

b

c Q

d Q

a

bc

Qd

Conmutativa: Sia c

Q b d

a c Q

b dc

a

d b

Asociativa: a , c

, e b d f

Q a

b

c e

d f

a c e b d f

Elemento: Neutro:a

Q, existeb

0 Q

ba

0

a b b b

Inverso Aditivo:a a

Q, existe Q b b

a

a 0 b b

b

OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN0

= Se llama fracción nulab

Teniendo como referencia las propiedades resolvemos:

1. El elemento neutro de la adición está representado por:

a) b

b)b

0 c)

b

b b

d) 1

e) N.A.b

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es el inverso aditivo de 3

?4

a) 4

b)

4

3 3

c) 3

4d)

3 e) N.A.

4


ACTIVIDAD N° 2

P RACTI CAMO S L A ADI CIÓ N CO N F RAC CI O NES

INSTRUCCIÓN: Copia en tu cuaderno de trabajo los siguientes situaciones problemáticas y resuélvelos en forma clara, ordenada y coherente.

1. Escribe en las líneas en blanco los símbolos: =, >, <, según corresponda en cada uno de los siguientes casos:

5 6 3 2

6

3 1 1

3

1 2 2 a)

7 7 4 4

b) 7 7

2 3

c) 5 4

3 5

2. Resolver cada uno de los siguientes ejercicio propuestos:

a) 11/ 4 + 1/2 + 2/7 + 3/14

b) 13/20 + 5/8 + (- 6/9) +

7/4 c) 3/8 + 5/12 + 7/10

d) 8/13 + 7/13 + (-3/13)

e) 11 ¼ + 3 ½ + 5 ¾

1f) 1

1 1

3 1

2


INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes copiar en tu cuaderno de trabajo y resolverlos en forma clara, coherente y ordenada.

a) 3/4 + 5/2 + 6/7 + 1/14

b) 12/30 + 4/5 + (- 7/15) +

7/10 c) 5/8 + 7/12 + 9/10

d) 9/11 + 7/11 + (-3/11)

e) 31 ¼ + 23 ½ + 15 ¾

1f) 5

1 1

3 1

3

SUSTRACCIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

I. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

la torta ha sido dividida, en 6 partes de igual tamaño.

Luego si consumimos una porción nos queda.

Uy, qué rica torta…!

Luego: 6

1

6 1

5

6 6 6 6

8

5

*

7 3

9 9 5 5

II. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Observa los siguientes ejemplos: El proceso es igual que en la adición

2 4

4 6

¿Cómo son estas fracciones? Ahora restemos: 4 2 =

6 4

M É TO D O 1 :

Se procede de igual forma que en la suma.

4

2

4( 4) 6(2)

4

1

6 4 6(4)

24 6


M É TO D O 2 :

P a s o 1 : M.C.M. de los denominadores

6 - 4 2

3 - 2 2 M.C.M.(6, 4) = 2 x 2 x 3 = 12

3 - 1 3

1 - 1

P as o 2:4

2

2( 4) 3(2)

2

1

¡Ahora Práctica tú!

× 6 × 4 12

12 6

¡Usando el método que tú

prefieras!

a) 3 2

b) 5

1

4 10 7 2

c) 2 3

5

d) 8 6

7

e) 4 1

3 2

f) 5 1

2 3

7 5 2 4

III. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Al efectuar la adición o sustracción de dos o más fracciones con igual denominador, se escribe primero el denominador común y luego se suman o restan los numeradores.Ejemplos:

a. 3

4

7

8 8 8

b. 3 1

7 5

2 5

5 8

8 3

10 3


8 8 8 8 8 8

c. 7

2

5

1 2

3 3 3 3

d. 4

7

3

1

9 9 9 3

4 - 8 - 10 2

2 - 4 - 5 2

1 - 2 - 5 2

1 - 1 - 5 5

1 - 1 - 1

IV. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Al sumar o restar fracciones de distinto denominador, se trabaja de esta manera:

Ejemplo:

a. Efectuar:1

2

7

2 3 20

Resolución:

Se busca el M.C.M. de los denominadores

2 - 3 - 20 2

1 - 3 - 10 2

1 - 3 - 5 3 M.C.M. (2; 3; 20) = 23 3 5 = 601 - 1 - 1 5

Luego dividimos el M.C.M. entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por du respectivo numerador; teniendo como resultados:

Entonces:1

2

7

30 40 2 1

9 1

1 31

2 3 20 60 60 60

b. Efectuar: 2 1

3

7

4 8 10

Resolución:

Transformando el número mixto a fracción, se tiene:9

3

7

Se busca el M.C.M. de los denominadores

4 8 10

M.C.M. (4; 8; 10) = 23 5 40

Luego dividimos el M.C.M. entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por du respectivo numerador; teniendo como resultados:40 4 9 30

40 8 3 30

40 10 7 28

Entonces 9

3

7

90 15 2 8

7 7

1 3 7

:4 8 10 40 40 40


ACTIVIDAD N° 3

PRACTICAMOS OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS RACIONALES


I. Efectúa las siguientes operaciones:1 5

a) 7

15 d.

4 616 16

3 7 2

1b) 8

1 7

5

3 e. 8 26 6 61 3 1

c) 5 2

3 3

8 5 f. 5 4

7 7 7 2 5 7

II. Efectúa las siguientes operaciones:

3 1 4 3 1d) 2

4

3

3 4 21

a) 4 2 5 5 5 4 4 5

2 1 1

2 2 1 1 2b) e)

8 4 2 8 4 3 6 6 3 3 6 6 3

3 2 6 1 1 3 3 c) 2 3 f) 3 2 7 7 7 7 4 8 4

III. Resuelve:

a) De 4/21 restar 3/14 . b) Restar –11/240 de – 13/120

d) Resta 8/9 de la suma de 5/6 con – 1/12

e) Efectuar:4

1 3

1 2

1

7 2 14

6 2

5 5

10 1

3 9 18

f) Efectuar:

2

3

1

5 10 202

1

5

3 9 6

2 3 4 4 16 3

Efectuar: E = 5 5 25

25

25 20

1 1 2 2 4 1 10 25 5 5 5 5


INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes copiar en tu cuaderno y resolverlos en forma clara, coherente y ordenada.

I. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 6 3

7 1

1 b) 1

1c) 4

2

1 9

5d) 5 1

2

8

5 5

1 1 1 1

3 5

2 1

3

5

4 8 3 9

4 3 e) 2 2 5 f) 5 1 6 2 3 3 2 3 6 8 5 5

8 4 1 1 1 1 3 3 1 g) 2 h) 6 2 9 9 3 4 12 3 5 4 8

II. Desarrolla:

a) Resta 5/9 de la suma de 5/6 con – ½ b) De ¾ restar 7/8

3 1

1 1

2 1

c) Efectuar:

e) Efectuar:

7 2 1 4

4 2

5

1 1

3 6 18

2

3

1

5 10 23

2 1

5

2 9 6

d) Efectuar:

f) Efectuar:

1 1

2 1

3 1

4

3 1

3 1

1 1

3

MULTIPLICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

¡Observa los

siguientes gráficos!

1 4

3 de

1 =

3

4 4 16

La palabra “de” en medio de 2 fracciones funciona como una orden que indica que tenemos que

multiplicar: 1

3

1 3

3

4 4 4 4 16

5

2

7 11

3

1

6 9

5

2

3 7

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:Re gl a de l os si gnos

+ . + = +

a ,

c p ; b 0 y d 0

b d - . - = -3

1

3 + . - = -

5 4 20

Factores Producto.

- . + = -

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES:

A) Para multiplicar fracciones, primero se aplica la regla de signos en la multiplicación y luego se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

B) Cuando sea posible conviene simplificar las fracciones antes de realizar la operación.

Ejemplos:Efectuar:

a. 2

52

5

10

3 7 3 7 21

2 3 2 3 6b. 7 5 7 5 35

c.

8

3

5

7

d. 3 5 3

5

15

7

e. 1

3

9

2 5 11

1 7 7

f. 2 1

3 2

15

3 7 23

g. Hallar los 2

de 205

42

20 2

20

8

85 5 1 1

1

h.Hallar los 6

de 7

de 8

de 187 8 9

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Q

Clausura:a Q

c Q a

x c Q

b d b d

Conmutativa:a Q

c Q a

x c

=

c x

a

b d b d d b

Asociativa: a , c

, e Q

a x

c x

e a

x c

x e

b d f

b d f

b d f

Distributiva: a , c

, e Q

a c

e

a x

c a

x e

b d f b d f b d b f

Elemento Neutro:a Q, existe

b Q a

x b

a

b b b b b

Inverso Multiplicativo:a Q, existe

b Q a

x b

1

OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN::

b a b a

b = 1

b

AACCTTIVIVIIDADADD N°N° 44


I. Efectúa: (simplificando, si se puede previamente, ntes de operar)

a. 1 0

3 5 12 d) 1 2

6

1 8

24

30 40 21 10 22 15 32

4 1 2

1 8 2 5

b. 18

30

21 e)

13 9 36 45 15 20 27

c. 6

4 5

3 5

6 6

24 f)

2 2

2 6

1 5

38

21 44 36 90 15 33

39

19 40

II. Determina:

a) Los3

de 100 b) 1

de 1

de 18 c) Los2

de 1204 2 4 3

d) 1

de 2

de 60 e) 1

de 3 1

f) Los6

de 7

de 8

9

de 12 4

2 3 4 3 7 8 9 10 5

III. Efectúa:

1 1 1 1 1 3 3 1 a) 2 2

b) 3 5

2

3 9 3 9 5 4 17 2

1 1 1 1 1 1 c) 3 1

2

5

1

1 d) 6 3

4 5 8

11

4 5 6 29 5 3 2 4 3 4



I. Efectúa: (simplificando, si se puede previamente, antes de operar)

8 39 15 a) 3 1

7 2 1

3

b)

5 2 8 13 25 14

1 0 6 c) 3

2 1

8

10

d) 3 3

5 2 15 4 7 11

II. Calcular:

a) Los 5

de 2008

d) 1

de 5

de 4

de

249 8 5

b) 1

de 3

de 5 1

2 8 3c) Los

2 de

5 de 12

1

5 8 2

III. Efectúa: (simplificando, si se puede previamente, antes de operar)

a) 3

2

1

b) 2

5

11

7

8 3 5 3 4 8 10

c) 7

4

2 d)

6 1

1

6 1

3

8

14

5

3

3 2

COMPRUEBO MIS APRENDIZAJESInstrucciones: A continuación se te presenta varios ítems con el propósito de que verifiques tu nivel de

aprendizaje. Cópialos en tu cuaderno de trabajo y resuélvelos en forma clara, coherente y ordenada. Al finalizar compara tus respuestas con las que tu profesor(a) te dará. Cada problema tiene un valor de 4 puntos.

Efectuar:

1) 5

14

1

2) 20

50

110

70

4 3 10 30 40 80 100

3) 3

15

7 4)

5

6

6 7

5

14

9

5

6

5) Resuelve:

a) Hallar los 3/4 de 2/7 de 480

b) Hallar los 15/4 de {-7/30[8/21(13/4 - 2/8)]} – 3/4


DIVISIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

M É T O D O 1 :

Por ejemplo, dividir

3 entre 3

5 Dividir entre 3 significa sacar la tercera parte . . .

La tercera parte

Veo que la fracción divisor se invierte y la división se convierte en multiplicación

3 3

5 3 =

5

3

1 =

3 3de es

5 15

3 1 3 1 3

= 5

3

= 5 3

= 15

M É T O D O 2 :Se forma una fracción con numerador y denominador fraccionarios. El cociente es la fracción formada por el producton de extremos entre el producto de medios. Así de esta manera:

44

7

5

4(3)

1 2

4 y 3 extremos; 5 y 7 medios

5 3 7

35(7) 35

LEY DE SIGNOS:

b)

()

a) 5

6

= ¡Ahora, práctica tú usando el

método que prefieras!


a) () c)

()

d)

()

9 5

b) 4

1 1

Cuando se dividen números con signos diferentes el resultado lleva signo (-).

9 3 Cuando se dividen números con signos

iguales el resultado lleva signo (+)

5

ACACTTIIVVIIDDADAD NN°° 55

INSTRUCCIÓN: Resuelve las siguientes situaciones problemáticas en los espacios respectivos en forma clara, coherente y ordenada.

PARTE I

1. Para averiguar las veces que 5

3contiene a

1 , se plantea:

9

a) 5

1

3 9 b) 5

1

3 9

c) 1

5

9 3

d) 5

1

3 9

2. Escribe frente a cada expresión escribe (V) si es verdad o (F) si es falso:

a) 2

3

2

7

5 7 5 3

( ) b) 48

6

87 7

( ) c) 13

2

65

( )8 5 16

3. Efectúa las siguientes divisiones:

a) 1

1 b) 1

2 c) 6

3 3

d) 1 1

3 4 2 5 7 4 4

4. Resuelve:d) [-1/4 (1/2 + 1/6)] ÷ [-1/45 (1/3 – 1/2)] e) (7 × 5/7) ÷ (10/7 - 1/14)

2 2

3 1 3

1

4 3

:

3

3 4 4

5 5 7 11 f)

3

9

4 5 10

g) 1 1

20

2

4

4 5

5

1 242


PARTE II

INSTRUCCIONES: Copia en tu cuaderno de trabajo y resuelve problemas en forma clara, coherente y ordenada.

1. Un tanque contiene 50 litros de un líquido A, 40 litros de un líquido B, 10 litros de un líquido C. Si extraemos 30 L de mezcla. ¿Cuántos litros de líquido B salen?

a) 6 b) 3 c) 5 d) 12 e) 18

2. La mitad de una botella de gaseosa de 1 litro se puede llenar por un caño en 8 segundos. ¿En cuánto tiempo se podrá llenar 3/4 de una botella de un litro?

a) 6 b) 12 c) 16 d) 32 e) N.A.

3. Un niño tiene S/. 140 de propina. Si se sabe que gastó las 3/4 partes de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó?

a) S/. 80 b) S/. 60 c) S/. 75 d) S/. 64 e) N. a.

4. Cierto día Alina reflexionaba diciendo: “la mitad del tiempo que ha pasado desde las 8 am es la quintaparte del tiempo que falta para las 10 pm” ¿Qué hora es?

a) 4 a.m. b) 12 m. c) 4 p.m. d) 10 p.m. e) 1 p.m.

5. Un empresario reparte proporcionalmente las utilidades del mes entre sus socios de la siguiente manera: A Fernando le da la cuarta parte, a César la tercera parte y a Lidia le da la sexta parte, quedándole aún 1800 soles. ¿Cuánto le tocó a César?

a) 1800 b) 1600 c) 3200 d) 2400 e) N. a.

6. Repartir 7810 soles entre 4 personas de tal manera que la segunda recibe 2/5 de la primera, la tercera 3/7 de la segunda y la cuarta 11/13 de lo que recibe la tercera. Entonces, la primera y la segunda tienen en total:

a) 4550 b) 6370 c) 6730 d) 3360 e) 4320

7. ¿Qué parte de 2/3 representa lo que le falta a 2/7 para ser 2/5?

a) 6/25 b) 9/35 c) 3/19 d) 6/35 d) 7/45

8. Un tejido al lavarse pierde 1/20 de su longitud y 1/16 de su anchura. Averiguar cuántos metros de esta tela deben comprarse para obtener después de lavarla 136,80 m2. Si el ancho primitivo de la tela es de 6/5 de metro.

a) 120 b) 128 c) 132 d) 160 e) 146

9. Un tanque puede ser llenado por un 1er. caño en 3 horas por un 2do. caño en 4 horas y un desagüe puede desalojar todo su contenido en 12 horas. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque, si funcionan a la vez los dos caños y se abre el desagüe?

a) 2 h b) 3h c) 4 h d) 6 h e) N. a.

10. ¿Qué hora es cuando los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido?

a) 16 h 36 min b) 16 h 16 min c) 9 h 08 min d) 9 h 36 min



1. Escribe frente a cada expresión escribe (V) si es verdad o (F) si es falso:

a) 2

5

1 0

( ) b)

9

3

1 ( ) c)


6

1 5

2 ( )

3 6 18

5 5 3 7 21 3

2. Efectúa las siguientes divisiones:

e) 2

3f) 1

2

3g) 4

2h) 7

7

3 4 5 5 5 9

i) 6 9

10j)

4

25

k) 6

311

l) 1 8

623

3. Resuelve:a) [-3/4 (1/2 + 5/6)] ÷ [-13/45 (4/3 – 1/2)] c) -120/22 ÷ 60/33

9 : 1

4

5

1 5 12d) 3

6 : 1 1

2

P R OBLE M A S S O B R E F RACC I O N E S

INSTRUCCIONES: Copia en tu cuaderno de trabajo y resuelve problemas en forma clara, coherente y ordenada.

1. De una pieza de tela que tiene 72 m. de longitud. ¿Cuántos retazos de 3/4 m. se pueden cortar?

a) 48 b) 96 c) 27 d) 36 e) N.A.

2. Se desea embotellar 900 litros de gaseosa en botellas de 1 1

litro. ¿Cuántas botellas se necesitarán?2

a) 450 b) 300 c) 600 d) 720 e) N.A.

3. Si se divide la edad de Toño entre 3/2 se obtiene 20 años. ¿Cuál es la edad de Toño?

a) 90 b) 60 c) 30 d) 20 e) N.A.

4. Un automóvil recorre 300 km. en 4 horas. ¿Cuántos km. recorre en 3 1

de hora?3

a) 150 km. b) 250 c) 450 d) 350 e) N.A.

5. Si a los 2/5 de una cantidad se le quita los 2/3 de los 3/7 de la misma cantidad se obtiene los 2/9 de los 4/5 de 909. Hallar la cantidad original.

a) 1638 b) 1234 c) 1414 d) 1242 e) 1534

6. Una señora va al mercado con 340 soles. Si se sabe que ha gastado la tercera parte de los 2/5 de lo que no ha gastado. ¿Cuánto gastó?

a) S/. 300 b) S/. 24 c) S/. 40 d) S/. 260 e) N. a.

n factores

b b b b b b b b b..........b bb

3

3

3

3

POTENCIACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:

5.1. Potencia de exponente natural

La potencia de exponente natural de una fracción es el resultado de multiplicar tantas veces una misma fracción como lo indique su exponente.

a n

a a a a a a a a a..........a a n

Así:

.......... n donde b 0

Ejemplo:

n factores n factores

2 5

3

2

2

2

2

2

32

3 3 3 3 3 243 a n

an

En consecuencia:

5.2. Regla de signos:

b bn

Se cumple las mismas que enunciamos para la potenciación de números enteros.

Ejemplos:

a) 2

2

22 4 32 9 Reg l a d e l o s s i gno s

b)

2 3

23

33

8

27 bpar o impar

Par

p

c)

d)

2 2

2 3

22 4 32 9

23 8 33 27

b b

p

Im par p

5.3. Leyes de exponentes con la potenciación de números racionales

5.3.1 Multiplicación de potencias de bases racionales iguales

a m

a n

a mn

b b b

Ejemplo: a 2

a 3 a

2 3

a 5

b b b b

3 2 2 E

a

4 24

n

n

5.3.2 Potencia de potencia

a

m n

a

mn

b

b

b 0

Ejemplo:

2 2

3

a 23 6

2

3

b

3

5.3.3 Potencia de una multiplicación

a c n

a n

c n

b d b d

Ejemplos:

2 1 3

2 3

1 3

3 5 3 5

4 3 2

Efectúa: 2 3 3

Resolución

4 3 2

42 32 21

E 2 3 3

2 3 3

3

2

2

3

2

2

2 8

3 6

3 2

3 2 2

28 36 32

=

38 26 22

28 38

= 138 28

5.3.4 Potencia de un exponente negativo

an

1

1 a 0

a

Ejemplos:

3

53 1

1

64

1

25

32

2 2

5

2 25 73

1

5 2 4 73

n

2

2

5

RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

1. RADICACIÓN DE FRACCIONES:

La raíz enésima de un número racional es a p p an

otro número racional que elevado a unnúmero llamado índice, nos reproduce otra cantidad denominada radicando.

Donde:

b q q b

a es el radicando

bes el signo operador radical

n es el índice de la raíz p

es la raíz q

Signos en una radicación:

Ejemplos:

9

3

; porque 3

9

4 2 2 4

par

4

2 ; porque

2

4

25 5 5 25

3

impar

3 1

1 ; porque

1

1 no existe en Q

8 2 2 8

par

impar

32 5

2 ; porque

2

32

243 3 3 243

6.1. Regla práctica

Puesto que una fracción es un cociente indicado, se aplica la propiedad distributiva con respecto al cociente.

a n annb b

Ejemplos:

4 16 4 16 2

3

125 3 125 5 81 4 81 3 8 3 8 2

6.2. Exponente fraccionario

b

mSi se tiene:

m

a n n a

m

n a

b

Ejemplos:

7 5 5 3

a

9

m

7 7

2 5

5 2 1 1

2 1 2

9 2

9

3

3

3

4

4

4 2

También, podemos aplicarlo de la siguiente manera:

4 2 9

2

4

4

7 3

3

4 4

7

5 7

6.3. Leyes de la radicación con números racionales

6.3.1 Raíz de una multiplicación

n a

c

n a

n c

b d b d

Ejemplos:

4 2

3

4 2

4

3 3

8

1 3

8 3

1

2

1

5 7 5 7 27 125 27 125 3 5

6.3.2 Potencia de una raíz Potencia de una raíz

m a

n

b b

Ejemplos:

2 3

2 2 2 4 3

3 5

4 4 3 5

81

5 5 25 2 2 16

6.3.3 Raíz de una raíz

m n a

b

mn a

b

Ejemplos:

3 5 2

35 2

15

2 4 3

3 432

3 24

3

7 7 7 5 5 5


7 7

7

ACACTTIIVVIIDDADAD NN°° 66

PRACTICAM OS LA POTE NCIACIÓ N CO N N ÚM EROS RACIONA LES


I. Efectúa:

1 2

1) 2

4

2) 1

3

3) 4

0

4) 0

4

5) 2 3 5 5 7

1 4

1 5

2 7

3 5 7

1 7 7 2

7 8

7 3

7 4

6) 7) 8) 3 5

9 4

2 9) 9

9 9

9 9

5 2

0

5 6 2

3 120 2 6 4 8

10) 2

11)

2 12) 1 1 1 1 1

3

5 2 2 2 2 2

II. Efectúa:

1) 3 27

125) 2) 4

1

6253) 4

16

814) 3

1

275) 5

1

326) 1

9

16

III. Efectuar:

1

2 1 3

1 8 3

1 1 2 3

1 6 1 3

1

2 7 3

16

2

4 1 1) 121 2) 8 3) 64 4) 125 5) 64 6) 64

2

2

3 8

80 12

3 1

2 10 1 1

3 5 4

2

7) 27 1000 8 8) 27 9) 3 10) 25

IV. Calcula:

421

1 1 1 1 a) 243 b) 1 1 1 .........1

7

33

3

2

30

3 4

31

1

c) 8 5 4 d) 3 5 2

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” – UNT MATEMÁTICA 1°3 1 3 4 2

2 3 1 7

3

5 2 1 7 4 4 4 9

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” – UNT MATEMÁTICA 1°8 5 4

6

5

0

6

7

6

0e) 1

3 14

1

5 f)

1

1

1

1

5

3 4 2

4 16 9 3 2 3 2 3 7

1

5

1

1

1 240

21 2

g) 164 h)

16 3

TAREA PARA EL ALUMNOPR ACT I C A M O S L A P OT E N C IA C I Ó N C O N N Ú M E R O S R A C I O N A L E S


I. Resolver las siguientes potencias:

0

2 0

3 2

1 3 2

3 23 3

1

a) 3 b) 4 c) 4 d)

2 e)

47

2 5 6 3

1 2

4

3 2

f) 3 6

10

1

g) 3

2

h) 5

6 7

5

9

II. Resuelve:

5 1 2 1 1 1

2 2 8 3 1 2 3 1 25 2 1

2

2 7 1) 4 2) 49 3) 27 4) 9 5) 216 6) 4 9

1

2 7 11

1

3 1 41

1 26)

8 64

3

27 125

7) 64

8 125 6

8) 4 9

7

9 9

III. Resuelve:

1

1 3

1 2

2 1 3 2 7

4 1 1

2a) 2 b)

1 2 2

2 5 9 3 5 2 2


3

6

6 2

3

1 3

1

7 2 2 c) 3 12

7 10 1 1 1

1 2

d) 9

25 8 21 6 2 4 2 5

7 1

3 6 3

2 e)

3

1

4

16 f) 2

2 3

3

1

5

1

5 10 5 625 3 4 2 16

COMPRUEBO MIS APRENDIZAJES

INSTRUCCIONES: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios con el propósito de que verifiques tu nivel de aprendizaje. Cópialos en tu cuaderno de trabajo y resuélvelos en forma clara, coherente y ordenada. Al finalizar compara tus respuestas con las que tu profesor(a) te dará. Cada ítem tiene un valor de 4 puntos.

1) Aplicando las propiedades respectivas reduce las siguientes expresiones:

a) 3 218

b) 16

9

c) 327

64 d) 3 3 2

318100 36

8 125

2) Efectuar:2 5 / 12 3 / 4

1 / 2 1 / 3

1 3 8

1

4 1 2

3) Efectuar:

4 6 9 9

1

2 2

4) Efectuar:3 5 / 12 3 / 4

1 / 2 1 / 3

4 2 4

3 1 3 1 1

35) Efectuar: 3 3 4


2

OPERACIONES COMBINADAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Antes de efectuar debes tener en cuenta lo siguiente:

Primero deben de cancelarse los símbolos de colección, si los hubiera, efectuando las operaciones contenidas en los mismos, empezando por la parte interna.

Las operaciones combinadas deben resolverse teniendo en cuenta la jerarquía siguiente:

1° Efectuar las operaciones de POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN.

2° Efectuar las operaciones de MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

3° Finalmente efectuar las operaciones de ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.

Si se tienen operaciones consecutivas del mismo orden jerárquico, estas se deben resolver en el orden como se encuentran.

Signos de agrupación:

a) Paréntesis ( )

b) Corchetes [ ]

c) Llaves { }

Criterios de solución

1° Se eliminan los signos de agrupación de adentro hacia fuera.

2° Cumplir la jerarquía indicada de las operaciones combinadas.

3° Utilizar las técnicas operativas o propiedades.

ACACTTIIVVIDAIDADD N°N° 0077

RESOLVEMOS OPERACIONES COMBINADAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES


I. Resolver:

4 4 44 44 44

1) E 5

6 4 .

2)4

4 . 3

4

34 34 34

2 (3)3 1 8 1

20 4 .

5 4

2 3 3 64 5

2 6 5

3) 4)

1 3 12 2 16

2 4 9 3 12 3

3 3

2 45) 1

3 1 3 81 1


6) S 3 3 1

8

5

1

M 2 3 2 2 2 3

4 4 3 2 3

9 2

2

2

5

2

83 4

1

3 1 3 5 1 9 6 9 15 5 57) 2 1 2 . 4 2 5 6 2

8) M 31 1

9) 5

1

7

10)

2 13 4

3 1

4 2

10

4 5 4

1 1

8 21

7 1 0

2

23 1

3

10

4

7

18 6

11) 4 2 3

3 19

12)3

7 64

3 8 25 5

2

2 3 22 5 216

313) 6

1

3 64

14) 1 2

125

5 2 125272 3

4

9

5 1 125 3 3 3

1 15) 6 6

3 216 8

2

5 4

II. Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

1. ¿Cuántas botellas de 3

4de litro se necesitarán para embotellar 108 litros de aceite?

2. Se repartieron los 27

39 de una cantidad de dinero a cierto número de personas tocando a

cada uno 1

8de ella. ¿Cuántas personas recibieron el dinero?

3. Cortando una cuerda de 27 m en pedazos de 3

4metros. ¿Cuántos pedazos resultan?

4. Las 5

8 partes de las frutas que tengo valen S/. 450. ¿Cuánto valen los 4

9de las mismas?

5. Una pelota cae desde un tercer piso de una altura de 10 m. Si en cada rebote alcanza

una altura equivalente a 4

5 de la altura que cayó, ¿qué altura alcanzará al dar el cuarto

rebote?

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” – UNT MATEMÁTICA: 1°

Gloria Chávez Vásquez - Marcial Vásquez Medina.

practica q jma

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