P R A C E I P P T • I B T P R E P O R T S

Witold Nowacki

Twierdzenie o zupełności

funkcji naprężeńw termosprężystości

1/1967

PAN

INSTYTUT P O D S T A W O W Y C H PROBLEMÓW T E C H N I K I

P O L S K I E J A K A D E M l I N A U K

w_termosgr£żj[stości

Witold Howaeki

1. Wstęp

Rozważymy ciało sprężyste, izotropowe i jednorodne, zajmują-

ce obszar .S ograniczony powierzchnią n . Ciało poddane działa-

niu sił zewnętrznych, i ogrzaniu dozna deformacji. W ciele powsta-

nie pole przemieszczeń 2ć(X,tj oraz pole temperatury t/(X/'i-) >

zależne od położenia punktu X ± czasu f, . Pola te opisane są

układem równań różniczkowych fi]

& = - • & •

Tutaj U~r~lo jest przyrostem temperatury, / jest temperaturą

bezwzględną, le temperaturą stanu naturalnego, w którym tak

odkształcenia jak i naprężenia są równe zeru. Praee A oznaczono

wektor sił masowych, przez O - gęstość. Wielkości U, ż\ są sta-

łymi Lamega dla stanu izotermicznego, a ̂ "oK^f t &ćLzie Kah*Ę-H

jest modulen ściśliwości, a oC^ jest współczynnikiem liniowej

rozszerzalności termicznej. Dalej: &- °/cs » gdzie A o jest

współczynnikiem przewodnictwa cieplnego, a -Cf jest ciepłem właś-

ciwym przy stałej deformacji. Wreszcie /t?=JP''o/\o

o r a* Q

- 2 -

gdzie praoz rv oznaczono ilość ciepła, wytwarzaną w jednostce

objętości i w jednostce czasu. Kropka nad funkcją oznacza jej po-

chodną czaaową: 6'96/dt, ft~V%fótt

Dokonując dekompozycji wektora przemieszczenia sa csęśó po-

tencjalną i solenoidalaą

oraz w podobny sposób rozkładając wektor sił masowych

/i .4/ X

doprowadzamy układ równań. /1.1/ i /1.2/ do postaci

Wprowadziliśmy tu następujące oznaczenia:

Eliainacja temperatury z równań /1.5/ i /1.7/ prowadzi do równań

/i.W

- 3 -

gdsie

Równanie /1.9/ przedstawia podłużną, a równanie /1.10/ poprzeczną

falę termosprężystą.

W klasycznej elaatokinetyee przy założeniu procesu adiabaty-

cznego mamy do czynienia z układem równań przemieszczaniowyeli

/L, 72it+(\i +A<) grttdcUr iZ+ X -f u ,Z1.11/

Występujące w tych równaniach stałe Lamego JUĆ, A d odnoszą

się do stanu adiaBatyosnesot a /2r"^r % A Ó 3 ^ r ~<ft'/far*ĄUr)

4*r={3\r 4-2/Mr)cL , gdzie Uj., \f są stałymi Lamego, miersonymi

w waronkach izotermicznyeh. Przedstawiając prseaiesBOsenie

w postaci /1.3/ otrzymamy następujące równanie falowe:

gdsie

O.Soaigliana [3] oras F.Dubea [4] udowodnili, te przedstawie-

ni* /'f. 3/ pray pomocy potencjałów 7̂ i j[ stanowi supełne roz

wiąaanie jeównań /1.11/» E-Sternberg w pracy £5] przedstawił ar-

gumenty, uzasadniające zupełność rozwiązania generalnego sprzężo-

nych równań tezmosprę&ystości /1.1/ i /1.S/ dla reprezentacji

i założenia, że funkcje ^ i ^ spełniają układ równań /1.9/ i

/'1.10/. Co sprawy tej powrócimy w p.J niniejszej pracy.

- 4 -

Układ, równań /1.1/ i /1-2/ można również rozdzielić na układ

równań niezależnych na innej drodze przez wprowadzenie .funkcji

wektorowej yT i funkcji skalarnej y , związanych z przemiess-

czeniem % i temperaturą w następującej postaci:

gdzie

Funkcje i/ i V powinny spełniać następujące równania:

/

Równania /1.15/ i /1.16/ otrzymuje się prze* podstawienie

/1.13/ i /1.14/ do równań różniczkowych termoaprężystości /1.1/

i 71.2/.

Związki /1.13/ i /1,14/ zostały podane najpierw prze* S.Ealia-

kiego [s] , później na innej drodze przes J.S.Podatrigacza

[?] i D.Rudlgera [sj ,Zauważmy, że związki /1.13/ i /1.14/ są uogólnione na proble-

my termosprężystości funkcji naprężeń, podanych przez A.Jaooyache

[io] dla elastooptyki klasycznej. Jednak sposób wyprowadzenia

związków /1.13/ i /1.14/, stosowanych w pracach [6, 7, 8j nie

zapewnia zupełności rozwiązań. Dowód zupełności rozwiązań dla

przedstawienia /1.13/ i /1.14/ jest podany w p.2.

2. Twierdzenie o zupełności rozwiązań

Hieca $*,# i.6(Xjt) będą rozwiązaniem układu równań /1.1/

i /1.2/ w obszarze 5 dla -°°<zf <co , wtedy istniej taka funkcja

wektorowa y i funkcja skalarna y , że przemieszczenie 2tfx,-f)

i temperatura &(X,t) są przedstawione praes /1.13/ i /1.W,

a funkcje Y> i. y spełniają równania falowe /1.15/ i /1.16/.

Na podstawie roewiązania Stokesk-Helmłioltaa istnieją takie

funkcje ^ , ^ j i %(x,-t) ,że

Wstawmy /2.1/ do układu równań różniczkowych termoeprezystoś-

ci /1.1/ i /1.2/. W rezultacie otrzymamy następujące równanie:

/ 2. 2/

Wyeliminujmy z tych. równań temperaturę (9 i posługując się

równaniem /1.16/ otrzymamy w ten sposób równanie

Zdefiniujmy obecnie funkcję (̂ sa pomocą funkcji skalar-

nej ^ oraz funkcji wektorowej ^?

- 6 -

Następni© wstawmy /2.5/ do równania /1.15/ i dokonajmy na tym rów-

naniu operacji różniczkowej D . Otrzymany w rezultacie równanie

Z porównania równań /2.2/ i /2.6/ wynika, te funkcje J1 i

powinny apełniać następujące równania różniczkowe:

/2.8/ Qf= T

Wykonajmy na związku. 72.7/ operację " i uwzględnijmy równanie

Wstawmy "TWJC 8 równania /2.9/ do związku /2.1/. Otrzymamy

w ten sposób równanie przemieszczenia 4C przez funkcje W ,

f -i S <

Zważywszy, ze

przekształcimy operator przy c w związku /2.10/ do postaci

- 7 -

Wstawiając /2.12/ do /2.10/ i uwzględniając wynikającą z /2.5/

s&lesnośc

doprowadzimy /2.10/ do poataoi

zgodnej ze związkiem /1.13/-

Należy jeszcze udowodnić słuszność wzoru /1.14/« W tym celu

dokonajmy na równaniu /1.1/ operację diwergencji i wykorzystajmy

związek d(ń?lC°*VZfi , wynikający z /2.1/, W rezultacie otrzymamy

Następnie wyeliminujmy a równań /2.3/ i /2.17/ fznkcję

wykorzystując równanie /1.16/. W rezultacie otrzymamy równanie

Dokonajmy wreszcie na równaniu /1.16/ operacji diwergencji, co

prowadzi do związku

- 8 -

72.19/ ~-7T7i ckw X = ~

Wstawiając /2.19/ do /2,18/ i wykonując na tym przekształconym

równani u operację ac , doehodzimy do związku

/2.20/

zgodnego z przedstawieniem /1.147. W ten sposób dowód zupełności

został zakończony.

Szczególnym przypadkiem taimospręż/atoścl sprzężonej jest

tzw.techniczna teoria naprężeń cieplnych, w której poznaje się

sprzężenie równań /1.1/ i /1.2/ przez pominięcie wyrazu ndOtfiZ

w równaniu przewodnictwa cieplnego. Łatwo wykazać przyjmując n-0

w równaniach /1.13/ do /1.16/ i wprowadzając funkcję G-D^~

że prawdziwe są następujące związki:

/2.22/ 6 ~

rFunkcje Lr i ic powinny spełniać równania

- 9 -

Wreszcie w przypadku szczególnym elastooptyJd klasycznej mamy

/2.25/ U

gdtie funkcja Q spełnia równanie tofalowe

Zwiąski /2.25/ i /2.26/ zostały podane przez M.Jacovacłiea twierdzenie o zupełności tego rozwiązania przez E.Sternberga iR.A.SSubanksa [ l i] .

3. Związki miedzy potencjałami d,jT a fvmkcjami ^,y-

Roapatramy jednorodny układ równań /1.1/ i /1.2/. Przez wpro«.wadzenie wzorów /I.13/ i /1.14/ doprowadzamy ten układ równań dorósmai falowych

73.2/ Qy~O .

Zauważmy, że w myśl twierdzenia T.Boggio [12] , rozwiąz&nie rów-

nania /3.1/ przedstawić można w postaci

przy caym funkcje c?', ̂ "^powinny spełniać równania

- 10 -

Wstawiając /3.3/ do równania /1.13/ oraz uwzględniając równania

/5.4/ i /3.5/ otrzymamy

Przekształćmy obecnie wyrażenie JT^"" , zważywszy, że .£?= O^D —

-m^y2 i biorąc pod uwagę związek /3.5A Po prostych przekształ-

ceniach przy uwzględnieniu związku /2.11/ otrzymamy

W ten sposób biorąc pod uwagę zależności /3-7/ przedstawimy równa-

nie /3-6/ w postaci

/3.8/ U

zważywszy że

otrzymamy z /3.S/:

/3.9/ if- ^[-7dU(rf")-^rad dOir(rp'}]+ftprądy.

już obecnie sprowadzić związek /3.9/ do poataoi Stokesa

- HeiKb.oltaa

-11 -

Porównanie równań /3.9/ i /3-10/ prowadzi do następującej trans-

formacji:

która wiąże funkeje ̂ , jjf a funkcjami y?) y-7 .

Wykonajmy następnie operację X> na wzorze /1.14/. Otrzymamy

po wykorzystaniu równania /3-5/ następujący związek:

Prsekształćaiy równanie /3.*/» które możemy również aapiaać w posta-

c i :

z?*- ̂ ̂4 v2f* o.Wykorzystując związek /2.11/ otrzymamy

ff3tasriając /3.15/ do 73.13/ 1 uwzględniając równanie /3«2/ docho-

dzimy do równania

- 12 -

Ale wyrażenie w nawiasach, kwadratowych, równa eię ze względu na

/3.11/ funkcji <f> . Mamy zatem

Równanie to jest jednorodnym równaniem przewodnictwa cieplnego

/1.7/.

Pozostaje jeszcze sprawdzić, czy funkcje ^, JT , wyrażone

przez funkcje <P £ y spełniają jednorodne równania falowe

/1.9/ i /1.10/

Łatwo sprawdzić i że

a to ze względu na /3.2/ oraz /3.4/.

Również i

fh o,ze wagledu na równanie /3.5/.

W przypadku teorii naprężeń cieplnych, w której poznaje się

sprzężenie pola temperatury i pola przemieszczeń, otrzymuje się

zamiast transformacji /3.11/ i /3.12/ następującą:

- 13 -

,3.22,

Przemieszczenia 'IL X temperatura & określone są tu przez

związki /2.21/ i /2.22/ i winny spełniać równania jednorodne

Łatwo też wykazać, że funkcje a), 7 " określone związkami /3.21/

i /3.22/ spełniają równania

W przypadku klasycznej elastooptyki wzory /J.21/ i /J.22/ prze-

chodzą w v

,3 .25,

zgodnie z wynikiem otrzymanym przez E.Sternoerga£5] •

-15 -

References

1. M.A.Biot, Taermoelasticity and irreversible taermodynamics,

J.Appl.Phys.,27/1955/.

2. W.Howacki, Some dynamie problems in thermoelasticity, Aroh.

Mech.Stos., 1, H /1959/.

3- C.Somigliana, Sulle espressioni analitiche generała dei mo-

vimenti oseillatori, Atti Reale Accad. Łiao. Roma Ser.5,

1 /1S92/, 111.

4., P.Dutiem, Sur la generalisation d'un theoreme de Clebocłi,

J.Matli.Purea et Appl., 6 /1900/, 215.

5. E.Sternberg, On the integration of tłie equations of motion

In the classical theory of elasticity, Arch.Rat.Mecn.Analy-

sis, 1, 6 /196O/.

6. S.Kaliski, Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii sprę-

żystości i ciał niesprężystych,, Warszawa, PKN, 1957.

7. J»S.Fodstrigaczt Podstawowe rozwiązania nieustalonego za-

gadnienia termosprężystego /w jęz.ukraińskim/, Frikł.Mecłi.,

2, 6 /196O/.

8. D.Rudiger, Bemerkuns aur Integration der thermo-elastischeń

Grundgleicinmgen, Ósterr.Ing.Arch., 1-2, 18 /1964/.

9. B.GalerfcLn, Contributioa a la solution generale du probleme

de la thśorie dana le cas de trois dimensiona, C.H.Acad.Sci.,

Paris, 120 /193O/, 104?.

10. M.Jacovacae, O eztiadere a metodei lui Galerkin pentru sis-

temul eciiatiilor elasticitatii, Bul.stiint.Acad.Hep.Pap.

Roaane, Ser.A, ± /19*9/, 593-

- 16 -

11. E.Stemberg, R.A.Eubanks, On. stres3 ^uastioas for elastoki-

neties and the integration of the repea^ed arare eqza.zi.ajs.,

Quart.Appl.HatH., J£ /1957/, 1*9.

12. T.Boggio, Sull integratione di alctuaa e<i«&sicsi *i^,warl

alle derlvate parziali, Ann.Math.Ser.III, 8 /19O?/, 181.