power point integrasi numerik

8/16/2019 power point integrasi numerik

1/49

INTEGRASINUMERIK ADITYA YUDHA PERDANA


2/49

INTEGRASI NUMERIK

Di dalam kalkulus, terdapat dua halpentin !aitu interal dan

turunan"deri#ati#e$ Peninteralan numerik merupakan

alat atau %ara !an diunakan &lehilmu'an untuk memper&leh (a'a)an

hampiran "apr&ksimasi$ daripeninteralan !an tidak dapatdiselesaikan se%ara analitik*


3/49

INTEGRASI NUMERIK

+unsi !an dapat dihitun interaln!a

+unsi !an rumit misal

C x x xdx x

C xdx x

C baadxbax

C baa

dxbax

C a

edxe

C n

axdxax

axax

nn

+−=

+=

++=+

++−=+

+=

+

+

=

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ +

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

dxe

x

x x5.02

0

23

sin5.01

)1cos(2∫

+

++


4/49

INTEGRASI NUMERIK

Perhitunan interal adalahperhitunan dasar !an diunakan

dalam kalkulus, dalam )an!akkeperluan*

diunakan untuk menhitun luasdaerah !an di)atasi &leh -unsi ! .

-"/$ dan sum)u /* Penerapan interal menhitun luas

dan #&lume0#&lume )enda putar


5/49

Dasar Pengintegralan Numerik Dasar Pengintegralan Numerik

Penjumlahan berbobot dari nilaifungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

i

i

b

a

x f c x f c x f c

x f cdx x f

+++=

≈∑∫ =

x 0 x 1 x n x n-1 x

f ( x )


6/49

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Dasar PengintegralanDasar Pengintegralan

Numerik Numerik Melakukan peninteralan pada )aian0)aian ke%il,seperti saat a'al )ela(ar interal 1 pen(umlahan )aian0)aian*

Met&de Numerik han!a men%&)a untuk le)ih %epat danle)ih mendekati (a'a)an eksak*


7/49

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx x f dx x f I b

a n

b

a ∫≅ )()(

Nilai ampiran f ( x ) den!an polinomialn

n

1n

1n10n x a x a x aa x f )(

Dasar PengintegralanDasar Pengintegralan

Numerik Numerik


8/49

INTEGRASI NUMERIK

2uas daerah !andiarsir 2 dapat

dihitun denan 2 .

( )∫ b

a

dx x f


9/49

Metode Integral

Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35


10/49

Metode Integral

Reimann 2uasan !an di)atasi ! . -"/$ dan sum)u /

2uasan di)ai men(adi N )aian pada rane / .3a,)4

Kemudian dihitun 2i luas setiap perseipan(an dimana 2i.-"/i$*

i x∆


11/49

Metode Integral

Reimann 2uas keseluruhan adalah (umlah 2i

dan dituliskan

Dimana

Didapat

( ) ( ) ( ) ( )

( ) in

i

i

n

n

x x f

x x f x x f x x f x x f L L L L L

∆=

∆++∆+∆+∆=++++=

∑=0

3221100

210

.....

( ) ( )

∑∫ ==

n

ii

b

a

x f hdx x f 0

h x x x x n =∆==∆=∆=∆ ...210


12/49

5&nt&h

Hitun luas !an di)atasi ! . /6 dansum)u / untuk rane / . 37,84

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

∫ 1

0

2dx x2 .


13/49

5&nt&h

Denan menam)il h.7*8 maka diper&leh ta)el

Se%ara kalkulus

Terdapat kesalahan e . 7,9:;07,999 . 7,7;6

( )

( )( ) 3"5#0"5#31.0

00.1"1.0$%.0%&.03$.025.01$.00&.00%.001.001.0

)(.10

0

==++++++++++=

= ∑=i

i x f h L

.....3333#0|3

1 10

31

0

2 === ∫ xdx x L


14/49

Algoritma Metode

Integral Reimann: De


15/49

Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0i

i

b

a

x f x f 2

h

x f c x f c x f cdx x f

∑

=

x 0 x 1 x

f ( x )

L(x)


16/49

Aturan !omposisiAturan !omposisiTrapesiumTrapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni 10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2

h

x f x f 2

h x f x f

2

h x f x f

2

h

dx x f dx x f dx x f dx x f

n

1n

2

1

1

0

∫

x 0 x 1 x

f ( x )

x 2h h x 3h h x 4

n

abh

=


17/49

Metode Integrasi

Trapezoida

++= ∑

−

=n

n

ii f f f

h L

1

10 2

2

( ) ( )( )

( ) iiii

iiii

x f f L

atau

x x f x f L

∆+=

∆+=

+

+

.21

.2

1

1

1

∑−

==

1

0

η

ii L L

( ) ( )nnn

i

ii f f f f f h

f f h L +++++=+= −−

=+∑ 1210

1

0

1 2...22

22

1


18/49

Algoritma Metode

Integrasi Trapezoida De


19/49

Aturan "impson #$%Aturan "impson #$% Aproksimasi dengan fungsi parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0i

i

b

a

x f x f 4 x f 3

h

x f c x f c x f c x f cdx x f

∑

=

x 0 x 1 x

f ( x )

x 2h h

L( x )


20/49

=

=

===

=

=

1 x x

0 x x

1 x x

h

dx d

h

x x

2

abh

2

ba

x b x a x let

x f x x x x

x x x x

x f x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x L

2

1

0

1

120

2

1202

10

1

2101

200

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()(

))((

))(()(

)()(

)()()()(

)( 212

0 x f

2

1 x f 1 x f

2

1 L

=

Aturan "impson #$%Aturan "impson #$%


21/49

)(

)(

)()()(

)(

)( 212

0 x f 2

1

x f 1 x f 2

1

L

=

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

2

1

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2)()1)(

)1(2

)()()(

−

−−

−

−−

++

−+−=

++−+

−=≈

∫ ∫

∫ ∫ ∫

ξ ξ h x f

ξ ξ h x f

ξ ξ h x f

dξ ξ ξ

h

x f dξ ξ ( h x f

dξ ξ ξ h

x f dξ Lhdx x f b

aξ

)()()()(210

b

a

x f x f 4 x f 3

hdx x f

Aturan "impson #$%Aturan "impson #$%


22/49

Aturan !omposisiAturan !omposisi

"impson"impson

x 0 x 2 x

f ( x )

x 4h h x n-2h x n

n

abh

=

…...

h x 3 x 1 x n-1


23/49

Metode Integrasi

"impsonDenan menunakan aturan

simps&n, luas dari daerah !an

di)atasi -unsi !.-"/$ dan sum)u> dapat dihitun se)aai )erikut

atau dapat dituliskan denan

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn f f

h

f f

h

f f

h

f f

h

f f

h

f f

h

L ++++++++++++=

−−− 112%3322110 2

32

3...2

32

32

32

3

+++= ∑∑ n

genapi

i

ganjil i

i f f f f h

L

0 2%3

N . 7 1 n

2 . 28 ? 29 ? 2; ? * * * ? 2n

5


24/49

5ara II"@uku Rinaldi Munir$

P&lin&m interp&lasi Ne't&n0Gre&r!dera(at 6 !an melalui ketia titik ts)

0

2

2000

2

2002 '2

)()(

'2

)()()( f

h

h x x f

h

x f x f

h

h x x x f

h

x x f x p ∆

−++=∆

−+∆+=


25/49

5ara II

"@uku Rinaldi Munir$ Interasikan p6"/$ pd selan 37,6h4

02

00

0

2

00

0

22

2

3

0

2

0

2

00

2

2

2

2

3

0

2

0

2

0

0

2

200

2

0

2

2

0

322

3

%22

%

%

$

"

2

%2

|%$2

'2

)(

)(

f h f h xhf L

f hh

f h xhf L

f h

h

h

h f

h

h xhf L

f h

x

h

x f

h

x x f L

dx f h

h x x f

h

x f L

xdx pdx x f L

h x

x

h

hh

∆+∆+=

∆

−+∆+=

∆

−+∆+=

∆

−+∆+=

∆

−+∆+=

==

==

∫

∫ ∫


26/49

5ara II"@uku Rinaldi Munir$ Meninat

Maka selan(utn!a

010 f f f −=∆

)%(3

33

%

3

33

2

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

f f f h

L

f h

f h

f h

L

f h

f h

f h

hf hf xhf L

f f f h

f f h xhf L

++=

++=

+−+−+=

+−+−+=

0120112010

2 2)()( f f f f f f f f f f +−=−−−=∆−∆=∆


27/49

Aturan "impson %$&Aturan "impson %$& Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0i

i

b

a

x f x f 3 x f 3 x f 8

h3

x f c x f c x f c x f c x f cdx x f

∑

=

x 0 x 1 x

f(x)

x 2h h

L(x)

x 3h


28/49

)())()((

))()(()(

))()((

))()((

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

3

231303

2102

321202

310

1312101

320

0302010

321

x f x x x x x x

x x x x x x x f

x x x x x x

x x x x x x

x f x x x x x x

x x x x x x x f

x x x x x x

x x x x x x x L

=

)()()()( 3210

b

a

b

a

x f x f 3 x f 3 x f 8

h3

3abh ; L(x)dx f(x)dx

=

∫

Error Pemenggalan

3

abh ; f

6480

ab f h

80

3 E 4

545

t

= )()(

)( )()(

Aturan "impson %$&Aturan "impson %$&


29/49

Metode Integrasi

'auss Met&de Ne't&n 5&de "Trape&ida, Simps&n$

)erdasarkan titik6 data diskrit* Denan)atasan

H sama

2uas dihitun dari a sampai )

Menaki)atkan err&r !an dihasilkan %ukup)esar*


30/49

Metode Integrasi

'auss Misal menhitun 2uas denan met&de trape&ida denan

selan 308,84

Persamaan ini dapat ditulis "dise)ut pers Kuadratur Gauss$

Misal /8.08, /6.8 dan %8.%6.8 men(adi m* trape&ida

Karena /8, /6,,%8 dan %6 sem)aran maka kita harus memilih

nilai terse)ut sehina err&r interasin!a min

( )

2

)1()1()1()1(

2

)(

1

1

=

−+≈−+≈= ∫ −

h

f f f f h

dx x f I

)()()( 2211

1

1

x f c x f cdx x f I +≈=

∫ −


31/49

Metode Integrasi 'auss

@aaimana men%ari /8, /6,,%8 dan %6Persamaan di)a'ah

ini dianap memenuhi se%ara tepat )ila empatp&lin&m )erikut di(adikan -unsi interal pada inter#al

interasi 308, 84 -"/$ . 8 B -"/$ . / B -"/$ . /6 B -"/$ . /9

)()()( 2211

1

1

x f c x f cdx x f I +≈= ∫ −

0

32

0

21

1

1

33

22

3

11

1

1

22

22

2

11

1

12211

1

1

21

==+

==+

==+

==+

∫

∫ ∫

∫

−

−

−

−

dx x xc xc

dx x xc xc

dx x xc xc

dxcc

Didapat

3

1

3

1

1

21

21

−==

==

x x

cc


32/49

Metode Integrasi

'auss Persamaan di)a'ah ini dinamakan met&de

Gauss 2eendre 6 titik

)3

1()

3

1()(

1

1

−+=∫

−

f f dx x f


33/49

Transformasi

Rane 3a,)4 308,84

> u -"/$ "u$ d/ du∫

=b

a

i dx x f L )( ∫

−

=1

1

)( duu g Li


34/49

Transformasi

duab

dx

uabba x

aububa x

aabu x

abua x

u

ab

a x

−=

−++=

−++=

+++=++=−

+=

−−

2

2)()(

2

2))(1(2

))(1(22

2

1

a )/

08 8u


35/49

Transformasi

du

uabba

f abduu g ∫ ∫ −−

−++

−=

1

1

1

1 2

)()(

)(2

1

)(

( ))()()(2

1)(

21

21 abuab f abu g ++−−=

∫ −

=1

1

)( duu g Li


36/49

Analisa

Di)andinkan denan met&de Ne't&n05&tes "Trape&ida, Simps&n 8=9, 9=:$met&de Gauss02eendre 6 titik le)ih

sederhana dan e


37/49

Al&ritma Interasi

Kuadratur Gauss denanPendekatan 6 titik De


38/49

5&nt&h S&al


39/49

Met&de Gauss 2eendre

9 Titik

Parameter /8, /6 , /9 ,%8 ,%6 dan %9dapat di%ari

denan mem)uat penalaran )ah'akuadratur Gauss )ernilai tepat untuk C)uah -unsi )erikut

Denan %ara !an sama didapat

)()()()( 332211

1

1

x f c x f c x f cdx x f I ++≈= ∫ −

5%3

2

)()()(

)()(1)(

x x f x x f x x f

x x f x x f x f

===

===

53053

&

5

&

"

&

5

321

321

==−=

===

x x x

ccc


40/49

Met&de Gauss 2eendre

9 Titik

( )

++

−=

∫ − 53

&

50

&

"

5

3

&

5)(

1

1

g g g duu g


41/49


42/49

Met&de Gauss n0Titik


43/49

eberapa PenerapanIntegrasi Numerik

Menghitung )uas Daerah erdasarkan'ambar

Menghitung )uas dan *olume enda Putar


44/49

Menghitung )uas Daeraherdasarkan 'ambar

Untuk menhitun luas interal di peta di atas, !an perlu dilakukan adalahmenandai atau mem)uat aris rid pada setiap step satuan h !andin!atakan dalam satu k&tak* @ila satu k&tak me'akili 8 mm, denan skala!an tertera maka )erarti pan(ann!a adalah 877*777 mm atau 877 m*

Pada am)ar di atas, mulai sisi kiri denan rid ke 7 dan sisi kanan rid ke n"dalam hal ini n.66$* Tini pada setiap rid adalah se)aai )erikut

Skala 8877777

7 87;

C

9

8;


45/49

Menghitung )uas Daeraherdasarkan 'ambar

Dari ta)el di atas, luas area dapatdihitun denan menunakan 9ma%am met&de

Denan menunakan met&de interasi Reimann

Denan menunakan met&de interasi

trape&ida

Denan menunakan met&de interasi Simps&n

5.322

15

11$0 =

++= ∑=i i y y y

h L

5.31$

0

== ∑=i

i yh L

%2%3

1$0 =

+++= ∑∑

== genapii

ganjil i

i y y y yh

L


46/49

Menghitung )uas dan*olume enda Putar

2uas )enda putar

&lume )enda putar ∫ =b

a p dx x f L )(2π

[ ]∫ =b

a

p dx x f V 2

)(π


47/49

5&nt&h

Ruan )enda putar dapat di)edakan men(adi F)aian )aian I dan III merupakan )entuk silinder !an tidak

perlu dihitun denan mem)ai0)ai kem)ali ruann!a, )aian II dan I perlu diperhitunkan kem)ali*

@aian I

@aian II

F%m

C %m

%m

86%m

%

m

;%m

I II III I*

satuan dalam%m

π π 5$))(%(2 == I L

π π 1&$))(%( 2 == I V

( ) π π 2"")12(122 == II L

( ) ( ) π π 3%5$12122 2 == II V

h


48/49

5&nt&h

Sedankan untuk menhitun )aian II dan I diperlukanpem)aian area , misalkan denan menam)il h.8 diper&leh

Pada )aian II dan I dan

Denan menunakan interasi trape&ida dapat diper&leh

π π 10"22

2)(%

150 =

++=

∑=ii IV II y y y

h L L

( ) π π 5.11"22

%

1

225

20 =

++== ∑

=ii IV II y y y

hV V

IV II L L = IV II V V =


49/49

5&nt&h

2uas permukaan dari )&t&l adalah

2uas . 8;:*F %m6

&lume )&t&l adalah

&lume . 8:6F*: %m9

%.15"

5$0

10"2""10"5$

==

+++=+++=

π

π π π π

IV III II I L L L L L

π π π π π

$02%

5.11"3%5$5.11"1&$

=+++=

+++= IV III II I V V V V V

power point integrasi numerik

Documents