integrasi numerik -...

INTEGRASI NUMERIK

Pengantar

Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.

INTEGRASI NUMERIK

Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

Fungsi yang rumit misal :

dxex

x x5.0

2

0

23

sin5.01

)1cos(2

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaa

dxbax

Cbaa

dxbax

Ca

edxe

Cn

axdxax

axax

nn

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

INTEGRASI NUMERIK

Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

i

i

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

x0 x1 xn xn-1 x

f(x)

0

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Dasar Pengintegralan Numerik

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

an

b

a )()(

Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n

n

1n

1n10n xaxaxaaxf

)(

Dasar Pengintegralan Numerik

fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat

fn (x) bisa juga fungsi kubik atau

polinomial yang lebih tinggi

Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK

Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :

L =

b

a

dxxf

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35


Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]

Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). ix


Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

Dimana

Didapat

i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxf

LLLLL

0

3221100

210

...

..

n

ii

b

a

xfhdxxf0

hxxxx n ...210

Contoh

Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

1

0

2dxxL =

Contoh

Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

Secara kalkulus :

Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052

385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

i

ixfhL

.....3333,0|3

1 10

31

0

2 xdxxL

Algoritma Metode Integral Reimann:

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

Tentukan jumlah pembagi area N

Hitung h=(b-a)/N

Hitung

N

iixfhL

0

)(.

Metode Integrasi Trapezoida

Aproksimasi garis lurus (linier)

)()(

)()()()(

10

1100i

1

0i

i

b

a

xfxf2

h

xfcxfcxfcdxxf

x0 x1 x

f(x)

L(x)

Contoh: Aturan Trapesium Hitung integral dari

Solusi eksak

Aturan trapesium

926477.5216)12(4

1

4

1

2

4

0

2

4

0

224

0

2

xe

eex

dxxe

x

xxx

dxxe4

0

x2

%..

..

.)()()(

123579265216

66238479265216

6623847e4024f0f2

04dxxeI

84

0

x2

Aturan Komposisi Trapesium

)()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2

h

xfxf2

hxfxf

2

hxfxf

2

h

dxxfdxxfdxxfdxxfn

1n

2

1

1

0

x0 x1 x

f(x)

x2 h h x3 h h x4

n

abh

Metode Integrasi Trapezoida

iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

.2

1

.2

1

1

1

1

0

iiLL

nn

n

iii fffff

hffhL

1210

1

01 2...22

22

1

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

Definisikan y=f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

Tentukan jumlah pembagi n

Hitung h=(b-a)/n

Hitung

n

n

ii fff

hL

1

10 2

2

function f = example1(x)

% a = 0, b = pi

f=x.^2.*sin(2*x); dxx2sinx

0

2)(


» a=0; b=pi; dx=(b-a)/100;

» x=a:dx:b; y=example1(x);

» I=trap('example1',a,b,1)

I =

-3.7970e-015


I =

-1.4239e-015


I =

-3.8758


I =

-4.6785


I =

-4.8712


I =

-4.9189


I =

-4.9308


I =

-4.9338


I =

-4.9346


I =

-4.9347


I =

-4.9348

» Q=quad8('example1',a,b)

Q =

-4.9348

MATLAB function


n = 2

I = -1.4239 e-15

Exact = -4. 9348

dxx2sinx0

2)(

n = 4

I = -3.8758

Eksak = -4. 9348

dxx2sinx0

2)(

n = 8

I = -4.6785

Eksak = -4. 9348

dxx2sinx0

2)(

n = 16

I = -4.8712

Eksak = -4. 9348

dxx2sinx0

2)(

Hitung integral dari dxxeI4

0

x2

%..)().().(

).().()(.,

%..)().(

)().()().(

)().()(.,

%..)()(

)()()(,

%..)()()(,

%..)()(,

662 9553554f753f253f2

50f2250f20f2

hI250h16n

5010 7657644f53f2

3f252f22f251f2

1f250f20f2

hI50h8n

7139 7972884f3f2

2f21f20f2

hI1h4n

75132 23121424f2f20f2

hI2h2n

12357 66238474f0f2

hI4h1n


» x=0:0.04:4; y=example2(x);

» x1=0:4:4; y1=example2(x1);

» x2=0:2:4; y2=example2(x2);

» x3=0:1:4; y3=example2(x3);

» x4=0:0.5:4; y4=example2(x4);

» H=plot(x,y,x1,y1,'g-*',x2,y2,'r-s',x3,y3,'c-o',x4,y4,'m-d');

» set(H,'LineWidth',3,'MarkerSize',12);

» xlabel('x'); ylabel('y'); title('f(x) = x exp(2x)');

» I=trap('example2',0,4,1)

I =

2.3848e+004


I =

1.2142e+004


I =

7.2888e+003


I =

5.7648e+003


I =

5.3559e+003


dxxeI4

0

x2


Aturan Simpson 1/3

Aproksimasi dengan fungsi parabola

)()()(

)()()()()(

210

221100i

2

0i

i

b

a

xfxf4xf3

h

xfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

1 xx

0 xx

1 xx

h

dxd

h

xx

2

abh

2

ba x bx ax let

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxx xf

xxxx

xxxxxL

2

1

0

1

120

2

1202

10

1

2101

200

2010

21

,,

,,

)())((

))((

)())((

))(()(

))((

))(()(

)()(

)()()()(

)( 21

2

0 xf2

1xf1xf

2

1L

Aturan Simpson 1/3

)()(

)()()()(

)( 21

2

0 xf2

1xf1xf

2

1L

1

1

23

2

1

1

3

1

1

1

23

0

1

12

1

0

2

1

1

10

1

1

)23

(2

)(

)3

()()23

(2

)(

)1(2

)()1)(

)1(2

)()()(

ξξhxf

ξξhxf

ξξhxf

dξξξh

xfdξξ(hxf

dξξξh

xfdξLhdxxfb

a

)()()()( 210

b

axfxf4xf

3

hdxxf

Aturan Simpson 1/3

Aturan Komposisi Simpson

x0 x2 x

f(x)

x4 h h xn-2 h xn

n

abh

…...

h x3 x1 xn-1

Metode Integrasi Simpson

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

atau dapat dituliskan dengan:

nnnn ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

L 11243322110 23

23

...23

23

23

23

n

genapii

ganjilii ffff

hL

0 24

3

N = 0 – n

L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

0

2

2000

2

2002!2

)()(

!2

)()()( f

h

hxxf

h

xfxf

h

hxxxf

h

xxfxp


Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

0

2

00

0

2

00

0

22

2

3

0

2

0

2

00

2

2

2

2

3

0

2

0

2

0

0

2

200

2

0

2

2

0

322

3

422

4

4

6

8

2

42

|462

!2

)(

)(

fh

fhxhfL

fhh

fhxhfL

fh

h

h

hf

h

hxhfL

fh

x

h

xf

h

xxfL

dxfh

hxxf

h

xfL

xdxpdxxfL

hx

x

h

hh


Mengingat

Maka selanjutnya

010 fff

)4(3

33

4

3

33

2

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffh

L

fh

fh

fh

L

fh

fh

fh

hfhfxhfL

fffh

ffhxhfL

0120112010

2 2)()( ffffffffff

Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik

)()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0i

i

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

x3 h

)())()((

))()(()(

))()((

))()((

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

3

231303

2102

321202

310

1

312101

3200

302010

321

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxx

xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxL

)()()()( 3210

b

a

b

a

xfxf3xf3xf8

h3

3

abh ;L(x)dxf(x)dx

Error Pemenggalan

3

abh ;f

6480

abfh

80

3E

45

45

t

)(

)()(

)()(

Aturan Simpson 3/8

Metode Integrasi Gauss

Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data

diskrit. Dengan batasan :

H sama

Luas dihitung dari a sampai b

Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.


Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida

Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min

2

)1()1()1()1(2

)(

1

1

h

ffffh

dxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI


Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI

0

32

0

21

1

1

33

22

3

11

1

1

22

22

2

11

1

1

2211

1

1

21

dxxxcxc

dxxxcxc

dxxxcxc

dxcc

Didapat

3

1

3

1

1

21

21

xx

cc


Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

)3

1()

3

1()(

1

1

ffdxxf

Transformasi

Range [a,b] [-1,1]

X u f(x) g(u) dx du

b

a

i dxxfL )(

1

1

)( duugLi

Transformasi

duab

dx

uabbax

aububax

aabux

abuax

u

ab

ax

2

2

)()(

2

2))(1(2

))(1(22

2

1

a b x

-1 1 u

Transformasi

duuabba

fabduug

1

1

1

12

)()()(

2

1)(

1

1

)( duugLi

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug

Analisa

Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi

1

1

)( duug

Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik

Definisikan fungsi f(x)

Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)

Hitung nilai konversi variabel :

Tentukan fungsi g(u) dengan:

Hitung

)(2

1

2

1abuabx

)()()(2

1)(

21

21 abuabfabug

3

1

3

1ggL

Contoh Soal

Metode Gauss Legendre 3 Titik

Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut :

Dengan cara yang sama didapat

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI

543

2

)(;)(;)(

)(;)(;1)(

xxfxxfxxf

xxfxxfxf

53;0;53

9

5;

9

8;

9

5

321

321

xxx

ccc

Metode Gauss Legendre 3 Titik

5

3

9

50

9

8

5

3

9

5)(

1

1

gggduug

Algoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik

Metode Gauss n-Titik

Beberapa Penerapan Integrasi Numerik

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar


Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 10 5

6

3

15

9


Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7322

15

1160

iiyyy

hL

5.7316

0

i

iyhL

74243

160

genapi

i

ganjili

i yyyyh

L

Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Luas benda putar:

Volume benda putar:

b

a

p dxxfL )(2

b

a

p dxxfV2

)(

Contoh :

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu

dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

Bagian I:

Bagian III:

4 cm

6

cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

56)7)(4(2 IL

196)7)(4( 2 IV

288)12(122 IIIL

172812122IIIV

Contoh :

Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Pada bagian II dan IV: dan

Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

10822

2)(4

150

iiIVII yyy

hLL

5.118722

4

1

225

20

iiIVII yyy

hVV

IVII LL IVII VV

Contoh :

Luas permukaan dari botol adalah:

Luas = 1758.4 cm2

Volume botol adalah:

Volume = 13498.86 cm3

4.1758

560

10828810856

IVIIIIII LLLLL

4299

5.118717285.1187196

IVIIIIII VVVVV

integrasi numerik -...

Documents