13. integrasi numerik 3

8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3

1/57

Integrasi Numerik 3


2/57

Penggunaan Ekstrapolasi untuk Integrasi

• Misalkan I (h) adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarakantara titik data adalah h (h < 1).

• Dari persaman galat kaidah integrasi (trapesium, Simpson1/3, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde:

• dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunakan hyang semakin kecil, seperti yang ditunjukkan oleh diagramgaris berikut:

• Nilai sejati integrasi adalah bila h = 0, tetapi pemilihan h = 0tidak mungkin kita lakukan di dalam rumus integrasi numerik

sebab ia akan membuat nilai integrasi sama dengan 0.

• Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yanglebih baik dengan melakukan ekstrapolasi ke h = 0.


3/57

Ekstrapolasi Richardson

• Pandang kembali kaidah trapesium

• yang dapat ditulis sebagai

(1)

• dengan I (h) adalah integrasi dengan menggunakankaidah trapesium dengan jarak antar titik selebar h dan

• Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kitaditulis sebagai

(2)


4/57


• dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung

pada h. Nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galatkaidah integrasi, misalnya

kaidah trapesium, q = 2

kaidah titik-tengah, q = 2

kaidah 1/3 Simpson, q = 4• Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai

integrasi yang lebih baik (improve) dibandingkan dengan

I .

• Misalkan J adalah nilai integrasi yang lebih baikdaripada I dengan jarak antar titik adalah h:(3)

)( 2hO

)( 2hO

)( 4

hO


5/57


• Ekstrapolasikan h menjadi 2h, lalu hitung integrasi

numeriknya

(4)

• Eliminasikan C dengan menyamakan (3) dan (4)

• sehingga diperoleh

(5)

• Sulihkan (5) ke (3) untuk memperoleh(6)


6/57


• Perhatikanlah bahwa jika pernyataan di atas dibalik, kita

telah melakukan ekstrapolasi menuju h = 0, yaitu kitahitung I(2h) lalu hitung I(h).

• Urutan pengerjaan (I(2h) atau I(h) lebih dulu) tidakmempengaruhi solusi akhirnya.

• Sebagai contoh, bila I (h) dan I (2h) dihitung dengankaidah trapesium (q = 2), maka ekstrapolasi Richardson-

nya adalah

(7)


7/57


• dan bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah 1/3

Simpson (q = 4), maka ekstrapolasi Richardson-nyaadalah

(8)

• Perhatikanlah bahwa suku 1/3 [ I(h) - I(2h) ] pada

persamaan (P.7) dan suku 1/15 [I(h) - I(2h)] padapersaman (P.8) merupakan faktor koreksi.

• Artinya, nilai taksiran integrasi I(h) dapat ditingkatkanmenjadi nilai yang lebih baik dengan menambahkan

faktor koreksi tersebut.


8/57


Contoh:

• Hitung kembali integral

• dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson, yangdalam hal ini I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah

trapesium dan h = 0.125.

• Penyelesaian:Jumlah selang: n = (1 - 0)/0.125 = 8

Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125:


9/57


• I (h) adalah nilai integrasi dengan kaidah

trapesium menggunakan h = 0.125:


10/57


• I (2h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium

menggunakan 2h = 0.250:

• Nilai integrasi yang lebih baik, J , diperoleh denganekstrpolasi Richardson:

• yang dalam hal ini, q = 2, karena I (h) dan I (2h) dihitungdengan kaidah trapesium (yang mempunyai orde galat =

2)


11/57


• Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah

0.69315. Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya:

• yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena,f (0.69314718) = 0.69315, hasilnya tepat sama dengannilai integrasi yang dihitung dengan ekstrapolasi

Richardson.


12/57

Metode Romberg

• Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan

ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilaiintegrasi yang semakin baik.

• Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasiRichardson akan menaikkan order galat pada hasil

solusinya sebesar dua:

• Misalnya,bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidahtrapesium yang berorde galat , maka ekstrapolasi

Richardson menghaslkan kaidah Simpson 1/3 yangberorde

• Selanjutnya, bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidahSimpson 1/3, ekstrapolasi Richardson menghaslkan

kaidah Boole yang berorde

)( 2hO

)( 4hO

)( 6

hO


13/57

Metode Romberg

• Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson:

• Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakansebagai

• yang dalam hal inih = (b - a)/n

• dan

A k = Perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapesiumdan jumlah pias

• Orde galat Ak adalah O(h2)


14/57

Metode Romberg

• Sebagai contoh, selang [a, b] dibagi menjadi 64 buah

pias atau upaselang:


15/57

Metode Romberg

• Gunakan A0, A1,...Ak pada persamaan ekstrapolasi

Richardson untuk mendapatkan runtunan B1, B2, ...,Bk ,yaitu

• Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = Bk +

D'h4 + E 'h6 +… dengan orde galat Bk adalah• Selanjutnya, gunakan B1, B2 ,.., Bk pada persamaan

ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan

C 2, C 3,..., C k, yaitu

• Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = Ck + E "h6 + ... dengan orde galat Ck adalah

)( 4

hO

)( 6hO


16/57

Metode Romberg

• Selanjutnya, gunakan C 2, C 3 ,..., C k pada persamaan

ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunanD3 , D4 , ... , Dk , yaitu

• Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = Dk +E "' + ... dengan orde galat Dk adalah )( 8hO

8h


17/57

Metode Romberg

• Dari runtunan tersebut, diperoleh tabel yang dinamakan

tabel Romberg seperti berikut ini:

Contoh• Hitung integral

• dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka

bena.


18/57

Metode Romberg

• Penyelesaian:

Jarak antar titik: h = (1 - 0)/8 = 0.125Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125:


19/57

Metode Romberg

Tabel Romberg:


20/57

Metode Romberg

• Jadi,

• Bandingkan dengan solusi sejati


21/57

Ekstrapolasi Aitken

• ekstrapolasi Richardson yang dapat diringkas sebagai

berikut:

• yang dalam hal ini, h = lebar tiap upaselang atau pias (atau jarak antar titik)

C dan q adalah konstanta dengan q diketahui (C dapat

dieliminir)

I (h) adalah hampiran nilai nilai I

Chq adalah galat dari hampiran nilai I maka


22/57

Ekstrapolasi Aitken

• bagaimana jika q tidak diketahui?

• Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I ,yaitu I(h), I(2h), dan I(4h):

(9)

(10)

(11)

• Eliminasikan nilai C dan q dari (9) dan (10)

(12)


23/57

Ekstrapolasi Aitken

• dan menyamakan persamaan (10) dan (11)

(13)

• (12) sama dengan (13)

(14)

• kali silangkan kedua ruas persamaan (14)

• Atau (15)

ekstrapolasi Aitken


24/57

Ekstrapolasi Aitken

• Sekarang, tinjau kembali:

(16)

(17)

• Bagi persamaan (P.17) dengan persamaan (P1.6)

(18)


25/57

Ekstrapolasi Aitken

• Besaran C pada persamaan (P.18) dapat dihilangkan

menjadi(19)

• Tinjau kembali persamaan (P.15) yang dapat ditulisulang sebagai


26/57

Ekstrapolasi Aitken

• Jadi,

(20)

• yang "mirip" dengan persamaan ekstrapolasiRichardson.

• Ekstrapolasi Aitken akan tepat sama dengan ektrapolasiRichardson jika nilai teoritis

• tepat sama dengan nilai empirik


27/57

Ekstrapolasi Aitken

• Perbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul

bergantung kepada apakah kita mengetahui nilai q atautidak.

• Hal ini diringkas dalam prosedur berikut: – Hitung I (4h), I (2h), dan I (h)

– Hitung nilai empirik

– Hitung nilai teoritik t = 2q (bila q diketahui)

– Jika t teoritik ≠ t empirik harus kita bertanya "mengapa?”

– Gunakan ekstrapolasi Aitken (P.19) dengan nilai empirik t atauekstrapolasi Rihardson (P.15) dengan q.


28/57

Ekstrapolasi Aitken

Contoh

• Hitung sampai lima angka bena denganmenggunakan kaidah 1/3 Simpson (Gunakan h = 1/8)

• Penyelesaian:


29/57

Ekstrapolasi Aitken

• Mengapa t teoritik tidak sama dengan t empirik?Perbedaan ini timbul sebab fungsi turunan

√x tidak terdefinisi di x = 0 (singular).• Karena itu, nilai t teoritik (t = 16) tidak dapat dipegang,

sehingga ekstrapolasi Richardson (P.16) tidak dapat

digunakan untuk menghitung perkiraan nilai integrasi

yang lebih baik.• Jadi, gunakan ekstrapolasi Aitken (P.20) dengan nilai t

empirik untuk menghitung perkiraan nilai integrasi yang

lebih baik:


30/57

Ekstrapolasi Aitken

• Bandingkan solusi ini dengan solusi sejatinya = 0.66667.Perhatikan, kalau kita menggunakan ekstrapolasi

Richardson dengan t teoritik (t = 16), maka solusinya

• yang cukup berbeda jauh dengan solusi eksak. Karenaitu, hasil integrasi dengan ekstrapolasi Aitken yang dapat

diterima, yaitu 0.66668.


31/57

Integral Ganda

• Dalam bidang teknik, integral sering muncul dalam

bentuk integral ganda dua (atau lipat dua) atau integralganda tiga (lipat tiga).

• Misalkan kita tinjau untuk integral lipat dua. Integral lipatdua didefinisikan sebagai

(21)

• Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitungvolume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang

alasnya adalah berupa bidang yang dibatasi oleh garis-garis x = a, x = b, y = c, dan y = d.

• Volume benda berdimensi tiga adalah

V = luas alas x tinggi


32/57

Integral Ganda

• Kaidah-kaidah integrasi numerik yang telah kita bahas

dapat dipakai untuk menghitung integral ganda.• Jika pada fungsi dengan satu peubah, y = f ( x ), luas

daerah dihampiri dengan pias-pias yang berbentuk

segiempat atau trapesium, maka pada fungsi dengan

dua peubah, z = f ( x , y ), volume ruang dihampiri denganbalok-balok yang berbentuk segiempat atau trapesium.

• Solusi integral lipat dua diperoleh dengan melakukanintegrasi dua kali, pertama dalam arah x (dalam hal ini

nilai, nilai y tetap), selanjutnya dalam arah y (dalam halini, nilai x tetap), atau sebaliknya.


33/57

Integral Ganda

• Dalam arah x berarti kita menghitung luas alas benda,

sedangkan dalam arah y berarti kita mengalikan alasdengan tinggi untuk memperoleh volume benda.

• Tinggi benda dinyatakan secara tidak langsung dengankoefisien-koefisien wi pada persamaan (P.20).

• Misalkan integrasi dalam arah x dihitung dengan kaidahtrapesium, dan integrasi dalam arah y dihitung dengan

kaidah Simpson 1/3. Maka


34/57

Integral Ganda

(22)

• dengan

Δ x = jarak antar titik dalam arah x ,Δy = jarak antar titik dalam arah y ,n = jumlah titik diskrit dalam arah x ,

m = jumlah titik diskrit dalam arah y .


35/57

Integral Ganda

Contoh

• Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut:

• Hitung

• Penyelesaian:

Misalkan- dalam arah x kita gunakan kaidah trapesium

- dalam arah y kita gunakan kaidah Simpson 1/3


36/57

Integral Ganda

• Dalam arah x (y tetap):


37/57

Integral Ganda

• Dalam arah y :

• Jadi

• Cara perhitungan integral ganda dua di atas dapatdirampatkan (generalized ) untuk integral ganda tiga

• maupun integral ganda yang lebih tinggi.


38/57

Kuadratur Gauss

• kita telah membahas kaidah integrasi yang berbasis titik-

titik data diskrit dengan metode Newton-Cotes.• Sebelum melakukan perhitungan integrasi, kita harus

membentuk tabulasi titik-titik diskrit yang berjarak sama.

• Titik-titik diskrit tersebut harus berawal dan berakhir di

ujung-ujung selang a dan b.• Trapesium-trapesium yang menghampiri daerah

integrasi harus berawal dan berakhir di ujung-ujung

selang tersebut.

• Batasan ini mengakibatkan galat yangdihasilkan dengan mekanisme ini ternyata cukup besar.


39/57

Kuadratur Gauss

• Misalnya bila kita menggunakan kaidah trapesium untuk

menghitung

• maka daerah integrasi dalam selang [-1, 1] (Gambar 1)dihampiri dengan sebuah trapesium yang luasnya

adalah(23)

• dengan h = (1-(-1)) = 2.


40/57

Kuadratur Gauss

• Perhatikan kembali bahwa persamaan (P.23) dapat

ditulis sebagai

• dengan a = -1, b = 1, c 1 = c 2 = h/2 = 2/2 = 1.


41/57

Kuadratur Gauss

• Pendekatan integrasi yang berbeda dengan metode

Newton-Cotes dikembangkan oleh Gauss dandinamakan metode kuadratur Gauss (Gaussian

Quadrature).

• Dengan metode kuadratur Gauss, batasan-batasan yang

terdapat pada metode NewtonCotes kuadraturdihilangkan.

• Di sini kita tidak perlu lagi menentukan titik-titik diskrityang berjarak sama, tetapi nilai integrasi numerik cukup

diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) padabeberapa titik tertentu.

• Untuk memberi gambaran tentang kuadratur Gauss,perhatikan Gambar 2.

K d G


42/57

Kuadratur Gauss

• Sebuah garis lurus ditarik menghubungkan dua titik

sembarang pada kurva y = f ( x).• Titik-titik tersebut diatur sedemikian sehingga garis lurus

tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif.

• Luas daerah yang dihitung sekarang adalah luas daerah

di bawah garis lurus, yang dinyatakan sebagai

(25)


43/57

K d t G


44/57

Kuadratur Gauss

• Karena ada empat buah peubah yang tidak diketahui,

maka kita harus mempunyai empat buah persamaansimultan yang mengandung x1, x2, c1, dan c2.

• Di atas telah dikatakan bahwa kaidah trapesiumbersesuaian dengan kuadratur Gauss.

• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengankaidah trapesium akan tepat (galatnya = 0) untuk fungsi

tetap dan fungsi lanjar.

• Misalnya untuk f(x) = 1 dan f(x) = x .

K d t G


45/57

Kuadratur Gauss

• Dari dua buah fungsi tersebut, diperoleh duapersamaan:

(26)

(27)

K d t G


46/57

Kuadratur Gauss

• Kita memerlukan dua buah persamaan lagi agar x 1, x 2,

c 1, dan c 2 dapat ditentukan.• Dari penalaran bahwa kaidah trapesium sejati untuk

fungsi tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini juga

kita perluas dengan menambahkan anggapan bahwa

integrasinya juga sejati untuk

• Sekarang kita menadapatkan dua persamaan tambahan,yaitu

(28)

• dan

(29)

K d t G


47/57

Kuadratur Gauss

• Sekarang, kita sudah mempunyai empat buah

persamaan simultan

• yang bila dipecahkan menghasilkan:

• Jadi,

(30)

• Persamaan (P.30) dinamakan kaidah Gauss-Legendre2-titik.

K d t G


48/57

Kuadratur Gauss

• Dengan kaidah ini, menghitung integral f ( x ) di dalam

selang [-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilaifungsi f di x =1/√3 dan di x = -1√ 3.

• Untuk menghitung integrasi

• kita harus melakukan transformasi:a. selang [a, b] menjadi selang [-1, 1]

b. peubah x menjadi peubah t c. diferensial dx menjadi dt

Selang [a, b] dan [-1, 1] dilukiskan oleh diagram garis berikut:

K d t G


49/57

Kuadratur Gauss

• Dari kedua diagram garis itu kita membuat

perbandingan:

(31)

• Dari persaman (P.31), diperoleh diferensialnya

(32)

K d t G


50/57

Kuadratur Gauss

• Transformasikan

• menjadi

• dilakukan dengan menyulihkan (P.31) dan (P.32) kedalam

K adrat r Ga ss


51/57

Kuadratur Gauss

Contoh

• Hitung integral

• dengan kaidah Gauss-Legendre 2-titik.Penyelesaian:

• Transformasikan

• menjadi

Kuadratur Gauss


52/57

Kuadratur Gauss

• Jadi, dalam hal ini

• Maka

• Dengan demikian

• Nilai integrasi sejatinya adalah:


53/57

Kuadratur Gauss


54/57

Kuadratur Gauss

Kaidah Gauss-Legendre 3-Titik

• Metode Gauss-Legendre 3-Titik dapat ditulis sebagai

• Parameter x 1 , x 2 , x 3 , c 1 , c 2 , dan c 3 dapat ditemukandengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gaussbernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut:

• Dengan cara yang sama seperti pada penurunan kaidahGauss-Legendre 2-titik, diperoleh 6 buah persaman

simultan yang solusinya adalah

Kuadratur Gauss


55/57

Kuadratur Gauss

• Jadi,

(33)

Kuadratur Gauss


56/57

Kuadratur Gauss

Kaidah Gauss-Legendre n -Titik

• Penurunan kaidah Gauss-Legendre 2-titik dan Gauss-Legendre 3-titik dapat dirampatkan untuk menghasilkan

kaidah Gauss-Legendre n-titik

(34)

• Nilai-nilai ci dan xi dapat dilihat pada tabel berikut ini

Kuadratur Gauss


57/57

Kuadratur Gauss

13. integrasi numerik 3

Documents