Populacija i uzorak

Sadržaj predavanja

• Šta je populacija, šta je uzorak a šta uzorkovanje?

• Statističko zaključivanje

• Klasifikacija uzoraka: sa i bez verovatnoće, sa i bez zamenjivanja

• Uzoračke raspodele verovatnoća

– Uzoračka raspodela aritmetičkih sredina uzoraka, Centralna granična teorema

– Uzoračka raspodela proporcija uzoraka

– Uzoračka raspodela varijansi uzoraka

Šta je populacija?

Populacija

• skup svih istovrsnih

elemenata (jedinica

posmatranja: ljudi,

objekata, dogadjaja) koji

imaju neku zajedničku

karakteristiku od interesa

Ciljna/uzoračka populacija

• Ciljna populacija: skup elemenata za koji želimo da generalizujemo zaključak.

• Uzoračka populacija: populacija koja je dostupna i koja predstavlja ciljnu populaciju (blisko koliko je to moguće), i iz koje potiče uzorak .

Šta je uzorak?

CILJNA POPULACIJA

UZORAČKA POPULACIJA

UZORAK Uzorak –

podskup osnovnog skupa

(izabran na neki način)

Cilj i primena u statistici: ispitivanje određene osobine i generalizacija zaključka na populaciju

Šta je uzorkovanje?

Uzorkovanje

• Proces odabira reprezentativnog dela cele populacije.

• Sastavni deo istraživačke metodologije.

Element, jedinica posmatranja

• Osnovna jedinica o kojoj se informacije sakupljaju.

Reprezentativnost • Reprezentativan uzorak

poseduje karakteristike slične onima u populaciji.

• Preduslovi reprezentativnosti: 1. Način izbora statističkih jedinica

u uzorak mora biti nezavisan od vrednosti posmatranog obeležja.

2. Verovatnoća statističkih jedinica da uđu u uzorak mora biti unapred poznata.

• Pristrasan uzorak – izabran na takav način da su neke jedinice iz uzoračke populacije imale veću verovatnoću da uđu u uzorak.

Tehnike uzorkovanja

• Sa verovatnoćom (slučajni)

• Bez verovatnoće (neslučajni)

Slučajni/ Neslučajni uzorak

Slučajni uzorak

• Slučajna selekcija

jedinica.

• Svaka jedinica u

populaciji ima poznatu

(jednaku i nezavisnu)

verovatnoću (šansu) da

uđe u uzorak.

Neslučajni uzorak

• Nije slučajna selekcija

jedinica.

• Nije poznata verovatnoća

jedinica posmatranja u

osnovnom skupu da budu

izabrane za uzorak.

Prost slučajni uzorak

1. Jedinice posmatranja imaju podjednaku verovatnoću da uđu u uzorak.

2. Uključuje definisanje populacije i identifikaciju uzoračkog okvira.

3. Vremenski je zahtevno. 4. Moze biti i nemoguće dobiti

kompletnu listu uzoračke populacije.

5. Izbor jedinica iz uzoračkog okvira može se uraditi uz pomoć kompjuterski generisanog procesa odabiranja ili tablice slučajnih brojeva.

• Uzorkovanje sa zamenom – nakon što je element izabran, zamenjuje se i slučajno se odabira drugi element. Ovo može dovesti do toga da isti element bude izabran više puta.

• Češće se primenjuje uzorkovanje bez zamene. Obezbeđuje da, na svakom koraku, svaki element koji je preostao u populaciji ima istu verovatnoću da će biti izabran.

Zaključci o populaciji se mogu doneti...

...odabirom reprezentativnog uzorka iz populacije

Sistematski uzorak

• Jedinice posmatranja se biraju sa liste uzoračke populacije izborom svake K-te jedinice.

• K – korak izbora (uzorački interval), zavisi od veličine liste I željene veličine uzorka.

• K = N / n, gde je N veličina uzoračke populacije, a n veličina uzorka

• Nakon što je prva jedinica odabrana (slučajni početak) automatski se biraju ostale.

• Može dati korisne informacije ako kod jedinica u uzoračkoj populaciji postoji uređenost po intenzitetu posmatrane karakteristike.

• Nije pogodan ako postoje ciklične varijacije posmatrane karakteristike.

Stratifikovani uzorak

• Primenjuje se kod heterogenih populacija u odnosu na neku varijablu npr. starosna grupa, pol, geografska lokacija (stratifikujuća varijabla).

• Populacija se deli na stratume iz kojih se bira slučajni uzorak.

• Osigurava da je svaka subpopulacija odgovarajuće zastupljena u uzorku.

Klaster uzorak

• podela populacije na klastere (grupe)

• zatim se na slučajan način biraju klasteri koji ulaze u uzorak (tako da se na slučajan način biraju grupe - klasteri, a ne individue)

• koristan kada je populacija velika ili geofraski široko rasprostranjena

Uzorkovanje bez verovatnoće

Karakteristike uzorkovanja

• Elementi uzorka su odabrani na bazi sopstvene procene istraživača.

• Rezultati sprovođenja ovih tehnika su pristrasni.

• Nedostaje objektivnost u odabiru uzoraka.

• Uzorci nisu pouzdani.

• Ove tehnike su pogodne i ekonomične za korišćenje.

Generalizacija zaključaka

• Valjanost generalizacije zaključaka sa neslučajnih uzoraka na osnovni skup ostaje nepoznata.

Tipovi uzoraka bez verovatnoće

Prigodni uzorak

• Izbor lako dostupnih jedinica posmatranja.

Namerni uzorak

• Istraživač bira one jedinice posmatranja za koje smatra da reprezentuju osnovni skup.

• Koristan za pilot studije.

Kvota uzorak

Podela populacije na kategorije, npr. po polu, i neslučajan odabir ispitanika iz tih kategorija prema unapred utvrđenom broju (kvota).

Proces uzorkovanja

Definisati Populaciju

Odrediti uzorački okvir

Izabrati način uzorkovanja

Uzorci sa verovatnoćom Uzorci bez verovatnoće

Odrediti veličinu uzorka

Pristupiti realizaciji

Parametri, statistike tj. parametri populacije i uzoračke statistike

• Parametri populacije su nepoznati i nepristupačni za merenje. – Npr, prosečna visina muškaraca u

Srbiji (18+) je nepoznata i nemerljiva

• Zbog toga računamo uzoračku statistiku koja se odnosi na parametar od interesa, i donosimo zaključak.

1. Parametar – statistička mera date varijable u populaciji

2. Uzoračka statistika – statistička mera date varijable u uzorku

Statistička mera

Parametri populacije

Uzoračke statistike

Aritmetička sredina

x

Varijansa 2 sd2

Standardna devijacija

sd

Proporcija p

Uzoračke raspodele verovatnoća

• Uzoračka raspodela verovatnoća je raspodela verovatnoća neke statistike.

• Uzoračka raspodela verovatnoća dobija se na osnovu raspodele svih mogućih vrednosti iste statistike kreiranih u svim mogućim slučajnim uzorcima iste veličine koji su izabrani na isti način iz iste populacije.

Uzoračke raspodele verovatnoća

Uzoračka raspodela uzoračkih

aritmetičkih sredina

Uzoračka raspodela uzoračkih proporcija

Uzoračka raspodela uzoračkih varijansi

Uzoračka raspodela aritmetičkih sredina, proporcija, varijansi svih uzoraka iste veličine izabranih na isti način iz iste populacije.

Kreiranje uzoračke raspodele

• Podaci o populaciji …

• Veličina populacije N=4

• Slučajna promenljiva, X,

je starost osobe

• Vrednosti X su:

18, 20, 22, 24 (godina)

A B C D

(nastavak)

Parametri, zbirne mere, populacione raspodele:

Kreiranje uzoračke raspodele

214

24222018

N

1μ

i iX

2.236μ)(1

σ 2 i iXN

1va

2ga

Opservacija

Ops 18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

16 mogućih uzoraka (uzorkovanje sa vraćanjem)

Formirajmo sve moguće uzorke veličine n = 2

1ca 2ga Opservacija

Ops 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

(nastavak)

Kreiranje uzoračke raspodele

16 uzoračkih aritmetičkih sredina

1va 2ga Opservacija

Ops 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

Uzoračka raspodela svih uzoračkih aritmetičkih sredina

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

P(X)

X

Raspodela uzoračkih aritmetičkih sredina

16 uzoračkih aritmetičkih sredina

_

Kreiranje uzoračke raspodele (nastavak)

_

Zbirne mere uzoračke raspodele:

Kreiranje uzoračke raspodele (nastavak)

μ2116

24211918X

1)XE(

i

N

1.5816

21)-(2421)-(1921)-(18

μ)X(N

1σ

222

2i

X

Poređenje populacije sa uzoračkom raspodelom

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

p(X)

X 18 20 22 24

A B C D

0

.1

.2

.3

Populacija

N = 4

p(X)

X _

X

σ μX

σ μ

Uzoračka raspodela aritmetičkih sredina; n = 2

_

• 21 = 21

• STANDARDNA GREŠKA (ARITMETIČKE SREDINE) (standardna devijacija uzoračke raspodele svih mogućih aritmetičkih sredina kreiranih u uzorcima koji su na isti način i iste veličine slučajno izabrani iz iste populacije)

x

nx

1,58 =

2,236

n=

2,236

2=

2,236

1, 41=1,58

sX

= SE

Uopštavamo

• Ako je populacija normalno raspodeljena

Normalna

populaciona

raspodela

Normalna uzoračka raspodela sa istom aritmetičkom sredinom

x

x

μ

xμ

Uopštavamo – centralna granična teorema

• Ako populacija nije normalno raspodeljena a uzorak je dovoljne veličine - n ≥ 30 (centralna granična teorema)

Populaciona

raspodela

Uzoračka raspodela (postaje normalna sa porastom n)

x

x

Veća veličina uzorka

Manja veličina uzorka

xμ

μ

n↑

Centralna granična teorema

Kada je veličina uzorka dovoljno velika…

Uzoračka raspodela postaje normalna bez obzira kakva je raspodela populacije.

x

Uopštavamo - Studentova t-raspodela

• Ako populaciona varijansa nije poznata u prethodno navedenim situacijama

• Mali uzorci a populacija je normalno raspodeljena (ili bar simetrično)

• William Gosset, 1908 g., pseudonim Student

• tipična kada je populaciona varijansa nepoznata pa se ocenjuje na osnovu uzoračkih podataka

t =x -m

sd / n

sd2 =1

n-1xi - x( )

2

i=1

N

å

Studentova t - raspodela Normalna raspodela t raspodela, n=2, df=1 t raspodela, n=10, df=9 t raspodela, n=30, df=29

Jedan uzorak ili mnogi? • Da li uvek imamo sve moguće uzorke iste veličine

izabrane na isti način iz iste populacije? – NE, imamo po pravilu samo JEDAN uzorak i jasno nam je da će izračunata statistika verovatno biti različita da smo izabrali neki drugi uzorak.

• U tom jednom uzorku uvek smo sigurni da je SE (standardna greška) mera odstupanja/variranja aritmetičke sredine tog uzorka od aritmetičke sredine populacije.

• Dakle, ne trebaju nam svi mogući uzorci, dovoljan je samo jedan da bi donosili zaključke o populaciji iz koje taj uzorak potiče.

Uzoračka raspodela proporcija

• je populaciona proporcija a je uzoračka proporcija

• Raspodela svih mogućih uzoračkih proporcija ima binomnu raspodelu koja može da se aproksimira normalnom (CGT) kada je:

np(1 – p) > 9

(ili: np≥5 i n(1-p)≥5)

pp

s p

2 =p (1-p )

n

p =x

n

mp = p

Uzoračka raspodela varijansi

• Uzoračka varijansa je:

• Uzoračka raspodela varijansi (s2 ima aritmetičku sredinu σ2

• Ako je populaciona distribucija normalna tada je

• Ako je populaciona distribucija normalna tada promenljiva

ima 2 distribuciju sa n – 1

stepena slobode

n

1i

2

i

2 )x(x1n

1s

2

2

σ

1)s-(n

ms2 =s 2

ss2

2 =2s 4

n-1

2 (hi-kvadrat) raspodela

• uzoračka raspodela varijanse

0 50 100 150

n=9

n=29

n=99

p(

2)

2

Inferencijalna statistika – statistika zaključivanja

• Zaključujemo o parametrima populacije (na osnovu uzoračkih statistika, a sada znamo kako se one raspodeljuju i koliko jedan uzorak odstupa od populacije iz koje potiče).

• Kakav tip zaključaka donosimo?