popisnÉ (deskriptÍvne) charakteristiky

Doc. Ing. Zlata Sojková, CSc. 1

POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY


POPISNÉ (DESKRIPTÍVNE) CHARAKTERISTIKY

- sú číselné charakteristiky, ktoré koncentrovanou formou – jedným číslom – vyjadrujú určitú vlastnosť skúmaného štatistického znaku

(väčšinou sú použiteľné pre kvantitatívne štatistické znaky, len niektoré pre kvalitatívne štatistické znaky)


popisné charakteristiky:- charakteristiky polohy

najviac- charakteristiky variability

používané- charakteristiky šikmosti- charakteristiky špicatosti


1.1.Charakteristiky polohy

alebo stredné hodnoty vyjadrujú určitú úroveň (polohu) znaku, okolo ktorej sú ostatné hodnoty viac či menej koncentrované


charakteristiky polohy:1. priemery - aritmetický - geometrický - harmonickýkaždý môže byť jednoduchý alebo

vážený2. ostatné stredné hodnoty - modus - medián


charakteristiky polohy – vlastnosti: majú byť typickou hodnotou štatist. súboru- musia byť jednoznačne presne definované- pri výpočte sa do úvahy berú všetky

jednotky štat. súboru- majú byť ľahko zistiteľné- mali by slúžiť k porovnávaniu stredných

hodnôt za niekoľko súborov- majú čo najmenej podliehať náhodnostiam

výberu


Priemer predstavuje často rovnomernosť alebonormu, ktorá neexistuje. Keď v priemere každýzje hus, je možné, že niektorí zjedia dve, resp.viac, iní žiadnu.


1.1.1. Priemery

- aritmetický priemer ( napr. priemerná mzda, priemerná denná teplota, atď.)

Priemerná mzda (jednoduchý aritm. priemer) 8 400 Sk 6 500 Sk 9 600 Sk 10 000 Sk 11 200 Sk 12 700 Sk29 200 Sk : 3 = 9 400 Sk 29 200 Sk : 3 = 9 400

Sk9 400 Skpriemer

6 500 Sk

9 400 Skpriemer

10 000 Sk 12 700 Sk

11 200 Sk9 600 Sk8 400 Sk


aritmetický priemeraritmetický priemerjednoduchý

vážený

n – počet pozorovaní x1, x2, x3.....xn

j=1,2,3,....n ni=n

n

x

xn

x

n

jjn

jj

1

1

1

n

nxnx

nx

m

iiim

iii

1

1

1


Príklad: vážený aritmetický priemer Každú známku musíme násobiť (vážiť)

počtom študentov, až potom urobíme súčet (vážený súčet), ktorý podelíme počtom študentovznám. p.št. xi ni

1 12 122 16 323 9 27

spolu 37 71

xi ni xini

x1 n1 x1n1

x2 n2 x2n2

… … …xn nm xnnm

x in iinx

92.1xPriemerna známka bude:


Výpočet aritmetického priemeru z intervalov. rozdelenia početností

Dolná Horná stredy int.hranica hranica ni Ni xi xi*ni

10 6 6 9.75 58.510 10.5 9 15 10.25 92.25

10.5 11 13 28 10.75 139.7511 11.5 17 45 11.25 191.25

11.5 12 21 66 11.75 246.7512 12.5 28 94 12.25 343

12.5 13 15 109 12.75 191.2513 13.5 6 115 13.25 79.5

13.5 14 3 118 13.75 41.2514 2 120 14.25 28.5

Spolu 120 1412.00

Priemer 11,76667Priemerný plat pracovníka predstavuje11 767 Sk


vlastnosti aritmetického priemeru:- stálosť súčtu hodnôt - súčet odchýlok od priemeru sa

rovná 0

- súčet štvorcov odchýlok od priemeru je minimálny

jxxn*

0)( xx j

min)xx( 2j ^


Aritmetický priemer nemáväčšinou žiadny odraz vskutočnosti. Každá priemerná rodina má 2,2 dieťaťa, našťastieto neznamená to, čo vidíme na obrázku.


- geometrický priemergeometrický priemer- používa sa pri časových radoch (rast HDP za tri roky, vývoj inflácie za päť rokov...)

jednoduchý

vážený

n

n

jj

nng xxxxx

1

21 ......

n

m

i

ni

n nm

nng

im xxxxx

1

21 ......


Vývoj HNP SR za rr.95-99 v US$ na obyv a rok.

Rok GNPSR (US$) koeficient koeficient tempo tempo1995 3110 rastu prirastku v % rastu prirastku v %1996 3570 1.148 114.79 0.15 14.791997 3860 1.081 108.12 0.08 8.121998 3870 1.003 100.26 0.00 0.261999 3770 0.974 97.42 -0.03 -2.58

V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. na 108,12%

V roku 1997 oproti r. 96 vzrástol HNP na obyv. o 8,12%


Z jednotlivých koeficientov rastu možno vypočítať:

priemerný koeficient rastu

1-T 2 1-T

1 ...k . k .k k _ 4

k = (1,148.1,081. 1,003 . 0,974) = 1.0493

Za obdobie rr. 95-99 HNP v SR rástol ročne približne o 4,9%


Úloha:

Predpokladajme, že ideme 30 km ďaleko a prvých 15 kmprejdeme rýchlosťou 15 km za hod. a druhých 15 km rýchlosťou 75 km za hod. Akú priemernú rýchlosť sme dosiahli za hodinu?


Harmonický priemer (jednoduchý)

Prvú trať ideme rýchlosťou 15km/hod… k jej prejdeniu potrebujeme práve 1hod. - 60 minút (15/15*60)Druhú trať (15 km) ideme rýchlosťou 75 km/hod….K jej prejdeniu potrebujeme len 12 minút (15/75*60) celková doba jazdy je teda 72 minút. Aritmetický priemer Nás zmýli výslekom (15+75)/2=45km za hodinu. K zisteniu priemernej doby jazdy pre oba úseky potrebujeme 60min+12min= 72/2 = 36 minút pre každý úsek jazdy, čo predstavuje priemernu rýchlosť 25 km / hod.

256

150

7562

751

151

2

)1

(

jx

nx


1.1.2.Ostatné stredné hodnoty

- význam pri nesymetrických rozdeleniach u kvantitatívnych znakov,

- pri kvalitatívnych znakoch

MediánMedián - prostredná hodnota v štatistickom súbore usporiadanom podľa skúmaného znaku

( napr. výška prostredného pracovníka)

x~


MediánMedián je prostredná hodnota v usporiadanomštatistickom súbore. Usporiadame ženy podľa

výšky, a zistíme, ktorá z nich je prostredná.


a) určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je nepárny počet štatistických jednotiek

n- nepárny počet

xi ni N

1 12 122 16 283 9 37

37

2

1~

n

rx 162

137~

xr2~

16 xx

Medián 75.1x~


určovanie mediánu v štat. súbore, v ktorom je párny počet štat. jednotiek

2

1~

n

rx

2~1918 xxx

76.12

77.175.1rx~

xi ni Ni

1 12 122 17 293 9 38

38


c) určovanie mediánu pri intervalovom rozdelení početností

- dá sa určiť len mediánový interval, do ktorého patrí, v rámci tohto intervalu potom medián určíme približne

na základe absolútnych početnostía -dolná hranica medián. intervaluh -rozpätie medián. intervalu -početnosť medián. intervalu

- kumulat. početnosť po medián. interval

x~

x

r

ii

n

nn

hax~

1

1

5.02~

xn~

1

1

r

iin


Výpočet mediánu z interval. rozdel. početností

x

r

ii

n

nn

hax~

1

1

5.02~

Dolná Hornáhranica hranica ni Ni

10 6 610 10.5 9 15

10.5 11 13 2811 11.5 17 45

11.5 12 21 6612 12.5 28 94

12.5 13 15 10913 13.5 6 115

13.5 14 3 11814 2 120

Spolu 120

Mediána 11.5h 0.5(n+1)/2 60.5KP po me 45ni me 21

Medián 11.86905Prostredný plat je 11 869 SK, čo znamená, že 50% pracovníkov má vyšší a 50% pracovníkov nižšší ako 11 869 Sk


ModusModus - - najpočetnejšia alebo najčastejšie sa vyskytujúca hodnota v štat. súbore

- je definovaný v jednovrcholových rozdeleniach početností

x̂

2ˆ xxi ni

1 122 173 9

38


a) bezprostredne sa dá určiť v štat. súbore, ak poznáme individuálne hodnoty znaku x a ich početností

b) v prípade intervalového rozdelenia početnosti sa priamo určí iba modálny interval, t.j. interval s najväčšou početnosťou v štat. súbore. V rámci tohto intervalu sa modus určí:


1. na základe vzťahu početností modálneho a priľahlých intervalovň

a - dolná hranica modálneho intervaluh - rozpätie intervalud0- rozdiel medzi početnosťou modálneho

a predchádzajúceho intervalud1- rozdiel medzi početnosťou modálneho

a nasledujúceho intervalu

10

0ˆdd

dhax

Dolná Hornáhranica hranica ni Ni

10 6 610 10.5 9 15

10.5 11 13 2811 11.5 17 45

11.5 12 21 6612 12.5 28 94

12.5 13 15 10913 13.5 6 115

13.5 14 3 11814 2 120

Spolu 120

Modusx mo 12h 0.5d0 7d1 13

Modus 12.175Najpočetnejším platom je 12 175 Sk


Vzájomná poloha modusu, mediánu a Vzájomná poloha modusu, mediánu a aritmetického priemeru v štat. aritmetického priemeru v štat. súboresúbore

- symetrické rozdelenie

- nesymetrické rozdelenie - pozitívna asymetria - negatívna

asymetria


Porovnanie modusu, mediánu a strednej hodnoty


Intervalové rozdelenie platov

Plat

05

1015202530

10 10.510

1110.5

11.511

1211.5

12.512

1312.5

13.513

1413.5

14

intervaly

abs.

poč

etno

sti

Priemer 11.76667Medián 11.86905Modus 12.175


1.2. Charakteristiky variability

variabilita – menlivosť hodnôt znaku v štatistickom súbore

miery variabilitymiery variability:a) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňujú len

niektoré hodnoty znaku v súbore- variačné rozpätie- kvantilové rozpätie- kvartilové rozpätie- kvartilová odchýlka


b) miery variability, ktorých veľkosť ovplyvňuje každá hodnota znaku v súbore:

- absolútne - priemerná odchýlka - rozptyl - smerodajná (štandardná) odchýlka

- relatívne - pomerná priemerná odchýlka

- variančný koeficient


- rozptylrozptyl – s2 (disperzia, variancia)- druhý centrálny moment, priemerný

štvorec odchýlo k od priemeru, meria variabilitu v druhých mocninách mernej jednotky- preto je neinterpretovateľnýneinterpretovateľný

- počíta sa ako:počíta sa ako:jednoduchý

vážený

2

1

2 )(1

xxn

sn

jj

i

m

ii nxx

ns .)(

1 2

1

2


- Smerodajná Smerodajná (štandardná )(štandardná ) odchýlkaodchýlka- s

vyjadruje variabilitu súboru v pôvodných merných jednotkách

Relatívna miera variability:- variančný koeficientvariančný koeficient – v - meria

variabilitu v % (slúži na porovnávanie variability znakov vo viacerých súboroch

2ss

% 100.x

sv


Variabilita v rozdelení platov

Dolná Horná stredy int.hranica hranica ni xi xi*ni (xi-xpr) (xi-xpr)^2*ni (xi-xpr)^3*ni (xi-xpr)^4*ni

10 6 9.75 58.5 -2.01667 24.4016667 -49.2100278 99.2402226910 10.5 9 10.25 92.25 -1.51667 20.7025 -31.3987917 47.62150069

10.5 11 13 10.75 139.75 -1.01667 13.4369444 -13.6608935 13.8885750811 11.5 17 11.25 191.25 -0.51667 4.53805556 -2.34466204 1.211408719

11.5 12 21 11.75 246.75 -0.01667 0.00583333 -9.7222E-05 1.62037E-0612 12.5 28 12.25 343 0.483333 6.54111111 3.161537037 1.528076235

12.5 13 15 12.75 191.25 0.983333 14.5041667 14.26243056 14.0247233813 13.5 6 13.25 79.5 1.483333 13.2016667 19.58247222 29.0473338

13.5 14 3 13.75 41.25 1.983333 11.8008333 23.40498611 46.4198891214 2 14.25 28.5 2.483333 12.3338889 30.62915741 76.06240756

Spolu 120 1412.00 x 121.466667 -5.57388889 329.0441389

Priemer 11.76667Rozptyl 1.012222smer. Odch. 1.006093Var. koef. 8.55%K.šik. -0.04561K.špic. -0.32378

Variabilita platov meraná smerodajnou odchýlkou predsta-vuje 1 006 Sk, čo znamená, že za predpokladu jednovrcholo-vého približne symetrického rozdel. Platov sa v intervale 11 767 Sk +-1 006 Sk nachádza asi 68% platov pracovníkov.Variabilita platov meraná smerod. odchýlkou predstavuje asi8,55% z priemerneho platu.


Charakteristiky šikmosti:Charakteristiky šikmosti:a) a) Pearsonova miera šikmosti- Pearsonova miera šikmosti- určuje určuje

mieru asymetrie podľa vzájomnej polohy modusu a mieru asymetrie podľa vzájomnej polohy modusu a priemeru- je približnápriemeru- je približná

=0 symetrické rozdelenie

>0 pozitívna asymetria

0 negatívna asymetria

xs

xx ˆ


b) koeficient šikmostib) koeficient šikmosti ( asymetrie ) – je presnejšia (momentová) miera šikmosti, je

bezrozmerné číslo, vyhodnocuje sa :1 = 0 symetrické rozdelenie

1 > pozitívna (ľavostranná) asymetria

1 < negatívna (pravostranná) asymetria3

3,3,1

x

xt s

3

1

3

1 .

)(

sn

xxn

jj

31

3

1

)(

sn

nxxm

iii


1.4.Charakteristika špicatosti

- koeficient špicatostikoeficient špicatosti - 2

bezrozmerné číslo

2 = 0 normálne rozdelenie

2 < 0 plochšie rozdelenie

2 > 0 špicatejšie rozdelenie

3.

)(

4

1

4

2

sn

xxn

jj

3.

)(

41

4

2

sn

nxxm

iii


Koeficient špicatosti

Koeficient šikmosti


Príklady rozdelení Symetrické rozdelenie

0123

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ľ avostranná asymetria

0123

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pravostranná asymetria

0123

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Grafické zobrazenia

0

5

10

15

20

25

MLIECNE VYROBKY

(v y d a j e v Sk / ty z d e n )

ab

so

lutn

a p

oc

etn

ot

( 0- 120>

( 120- 160>

( 160- 200>

( 200- 240>

( 240- 280>

( 280- 320>

( 320- 360>

( 360- 400>

( 400- 440>

( 0-120> (2 .4%)

(120-160> (3 .6%)

(160-200> (6 .0%)

(200-240> (9 .5%)

(240-280> (15.5%)

(280-320> (23.8%)

(320-360> (20.2%)

(360-400> (13.1%)

(400-440> (6 .0%)

MLIECNE VYROBKY

(vydaje v Sk/ t yzden)

0

0. 05

0. 1

0. 15

0. 2

0. 25

MLIECNE VYROBKY

(v y d a j e v Sk / ty z d e n )

rela

tiv

na

po

ce

tno

t

100 140 180 220 260 300 340 380 420

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

MLIECNE VYROBKY

(vydaje v Sk/ t yzden)

kum

ulativ

na r

elativ

na p

ocet

not

100 140 180 220 260 300 340 380 420

popisnÉ (deskriptÍvne) charakteristiky

Documents