poligonos y poliedros 2014

POLÍGONOS y

POLIEDROS

Al dibujar varios segmentos consecutivosobtendremos una línea poligonal. Un polígono es la regióninterior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Suselementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A lalínea que lo rodea se la llama contorno del polígono.

Triángulo

3 lados

Pentágono

5 lados

Cuadrilátero

4 lados

Hexágono

6 lados

La palabra "polígono" procede del griego y quiere decir muchos (poly) yángulos (gwnos).

Un polígono se considera regular cuando tiene todos sus lados y ángulos

iguales, y por tanto puede ser inscrito y circunscrito en una circunferencia. El centro de

dicha circunferencia se denomina centro del polígono, y equidista de los vértices y lados

del mismo.

POLIGONOS REGULARES

En un polígono regular

convexo, se denomina apotema a

la distancia del centro del polígono

al punto medio de cada lado.

Suponiendo que:

A = Área

n = número de lados

l = longitud de uno de los lados

a = apotema

Se denomina ángulo central de un polígono regular el que tiene como vértice el

centro del polígono, y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados

resulta de dividir 360º entre el número de lados del polígono.

Se denomina ángulo interior, al formado por dos lados consecutivos. Su valor

es igual a 180º, menos el valor del ángulo central correspondiente.

Entonces:

http://www.escolar.com/geometr/03polig.htm








Tipos de triángulos

Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.

equilátero isósceles escaleno

Por la longitud de sus lados se pueden clasificar en:

Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus

vértices miden lo mismo (60º)

Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el

triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.

rectángulo obtusángulo acutángulo

Por la medida de sus ángulos:

Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo

recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º)

Cálculo de la superficie de un triángulo

La superficie o área de un

triángulo se obtiene multiplicando la base

por la altura (donde la altura es un

segmento perpendicular que parte de la

base hasta llegar al vértice opuesto) y

dividiendo en dos.

Suponiendo que:

S = superficie o área

b = base

h = altura

Entonces:

Propiedades de los triángulos.

- Para cualquier triángulo rectángulo cuyos catetos midan a y b, y cuya hipotenusa mida

c, se comprueba el “Teorema de Pitágoras” :

El Teorema de Pitágoras

establece que en un triángulo rectángulo

la suma de los cuadrados de los catetos

es igual al cuadrado de la hipotenusa.

- Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos

de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

- La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180º.

a² + b² = c²

Este teorema fue propuesto por

Pitágoras de Samos (582 a.C. – 496

a.C.), un filósofo y matemático griego.

Mediatriz

Su construcción comienza con

una amplitud del compás mayor que la

mitad del segmento y, pinchando en los

extremos de AB, trazar arcos a un lado y

otro del segmento. La recta CD definida

por los dos puntos de corte es la

mediatriz buscada.

Dado un segmento AB, su mediatriz se define como la recta

perpendicular que pasa por su punto medio.

Altura y Ortocentro

Si se trazan las tres

alturas de un triángulo estas rectas

vuelven a cortarse en un punto para

cualquier triángulo. Este punto se

llama ortocentro.

Se define una altura de un triángulo ABC como aquella

perpendicular a cada lado o su prolongación pasando por el vértice

opuesto a dicho lado.

Por otro lado, este baricentro tiene un

significado físico muy preciso por coincidir

con el centro de gravedad del triángulo o

lugar donde se considera aplicada la

fuerza derivada de su peso.

Mediana y Baricentro

Se llama mediana de un triángulo al segmento que une cada vértice

del mismo con el punto medio del lado opuesto.

Estas medianas también concurren en

un punto que se denomina baricentro y

que muestra dos propiedades que sólo

enunciaremos: En primer lugar, el

baricentro divide a la mediana en dos

partes, una de las cuales es el doble que la

otra.

Bisectriz

Dado un ángulo BAC se llama bisectriz del mismo a la semirrecta

con origen en A y que divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Su construcción se realiza del

siguiente modo. Se pincha con el

compás en A y se marcan los puntos M

y N sobre los lados del ángulo a igual

distancia de A.

Por tanto, AM = AN

A continuación se pincha el compás

en M y luego en N, de manera que se

trazan arcos con una amplitud

cualquiera pero igual en ambos casos,

obteniéndose el punto L. La semirrecta

AL es la bisectriz del ángulo inicial.

La demostración de este hecho se

basa en la igualdad de los triángulos

Triángulo AML = Triángulo ANL

Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Convexo: Todos sus ángulos internos son

menores que 180 grados (todas las puntas

hacia afuera)

Tipos de cuadriláteros convexos regulares

Cuadrado

Rectángulo Rombo

Trapecio

Cóncavo: Uno de sus ángulos es mayor que

180 grados (no todas las puntas hacia afuera)

TRIÁNGULO, HEXÁGONO Y

DODECÁGONO (construcción exacta)

NOTA: Todas las construcciones de este

ejercicio se realizan con una misma abertura

del compás, igual al radio de la circunferencia

dada.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

Comenzaremos trazando dos diámetros

perpendiculares entre sí, que nos determinarán,

sobre la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-4

respectivamente.

A continuación, con centro en 1 y 4 trazaremos

dos arcos, de radio igual al de la circunferencia

dada, que nos determinarán, sobre ella, los puntos

2, 6, 3 y 5. Por último con centro en B trazaremos

un arco del mismo radio, que nos determinará el

punto C sobre la circunferencia dada.

Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el

triángulo inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y

6, obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo

los puntos 3 y C, obtendremos el lado del

dodecágono inscrito; para su total construcción

solo tendríamos que llevar este lado, 12 veces

sobre la circunferencia.

CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción exacta)

NOTA: De esta construcción podemos

deducir, la forma de construir un polígono

de doble número de lados que uno dado.

Solo tendremos que trazar las bisectrices

de los ángulos centrales del polígono

dado, y estas nos determinarán, sobre la

circunferencia circunscrita, los vértices

necesarios para la construcción.


perpendiculares entre sí, que nos

determinarán, sobre la circunferencia dada,

los puntos 1-5 y 3-7 respectivamente.

A continuación, trazaremos las bisectrices

de los cuatro ángulos de 90º, formados por

las diagonales trazadas, dichas bisectrices

nos determinarán sobre la circunferencia los

puntos 2, 4, 6 y 8.

Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7,

obtendremos el cuadrado inscrito. Y uniendo

los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, obtendremos

el octógono inscrito.

PENTÁGONO Y DECÁGONO (construcción exacta)

Para la construcción del pentágono y el

decágono, solo resta llevar dichos lados, 5 y 10

veces respectivamente, a lo largo de la

circunferencia.


perpendiculares entre sí, que nos determinarán

sobre la circunferencia dada los puntos A-B y 1-C

respectivamente. Con el mismo radio de la

circunferencia dada trazaremos un arco de centro

en A, que nos determinará los puntos D y E sobre la

circunferencia, uniendo dichos puntos obtendremos

el punto F, punto medio del radio A-O.

Con centro en F trazaremos un arco de radio

F-1, que determinará el punto G sobre la diagonal

A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono

inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado

del decágono inscrito.

HEPTÁGONO (construcción aproximada)

NOTA: Como puede apreciarse en la

construcción, el lado del heptágono inscrito en

una circunferencia, es igual a la mitad del lado

del triángulo inscrito.

Comenzaremos trazando una diámetro de la

circunferencia dada, que nos determinará sobre

ella los puntos A y B.

A continuación, con centro en A, trazaremos el

arco de radio A-O, que nos determinará, sobre la

circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo dichos

puntos obtendremos el punto D, punto medio del

radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado del

heptágono inscrito.

Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la

circunferencia, para obtener el heptágono buscado.

Como se indicaba al principio de este tema,

partiendo del punto 1, se ha llevado dicho lado, tres

veces en cada sentido de la circunferencia, para

minimizar los errores de construcción.

ENEÁGONO (construcción aproximada)

Procediendo como en el caso del heptágono,

llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la

circunferencia, para obtener el heptágono

buscado.


perpendiculares, que nos determinarán, sobre la

circunferencia dada, los puntos A-B y 1-C

respectivamente.

Con centro en A, trazaremos un arco de radio

A-O, que nos determinará, sobre la

circunferencia dada, el punto D.

Con centro en B y radio B-D, trazaremos un

arco de circunferencia, que nos determinará el

punto E, sobre la prolongación de la diagonal 1-C.

Por último con centro en E y radio E-B=E-A,

trazaremos un arco de circunferencia que nos

determinará el punto F sobre la diagonal C-1. En

1-F habremos obtenido el lado del eneágono

inscrito en la circunferencia.

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO

PENTÁGONO DADO EL LADO (construcción exacta)

Por triangulación, obtendremos los

vértices restantes, que uniremos

convenientemente, obteniendo así el

pentágono buscado.

Comenzaremos trazando la perpendicular

en el extremo 2 del lado, con centro en 2

trazaremos un arco de radio 1-2, que nos

determinará sobre la perpendicular anterior el

punto A.

A continuación, con centro en B,

trazaremos la circunferencia de radio A-B.

Trazaremos la mediatriz del segmento

A-2, que nos determinará su punto medio B.

Uniremos el punto 1 con el punto B, la

prolongación de esta recta, interceptará a la

circunferencia anterior en el punto C, siendo

1-C el lado del estrellado, o diagonal del

pentágono buscado.

HEPTÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción aproximada)

Solo resta construir dicha

circunferencia circunscrita, y obtener los

vértices restantes del heptágono, que

convenientemente unidos, nos

determinarán el polígono buscado.

Siendo el segmento 1-2 el lado del

heptágono, comenzaremos trazando la

mediatriz de dicho lado, y trazaremos la

perpendicular en su extremo 2.

A continuación, en el extremo 1

construiremos el ángulo de 30º, que

interceptará a la perpendicular trazada en

el extremo 2, en el punto D, la distancia 1-

D, es el radio de la circunferencia

circunscrita al heptágono buscado.

Con centro en 1 y radio 1-D, trazamos

un arco de circunferencia que interceptará

a la mediatriz del lado 1-2 en el punto O,

centro de la circunferencia circunscrita.

OCTÓGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Solo resta construir dicha

circunferencia circunscrita, y obtener los

vértices restantes del octógono, que

convenientemente unidos, nos

determinarán el polígono buscado.

Siendo el segmento 1-2 el lado del

octógono, comenzaremos trazando un

cuadrado de lado igual al lado del

octógono dado.

A continuación, trazaremos la mediatriz

del lado 1-2, y una diagonal del cuadrado

construido anteriormente, ambas rectas se

cortan en el punto C, centro del cuadrado.

Con centro en C trazaremos la

circunferencia circunscrita a dicho

cuadrado, dicha circunferencia intercepta a

la mediatriz del lado 1-2, en el punto O,

centro de la circunferencia circunscrita al

octógono buscado.

DECÁGONO DADO EL LADO DEL CONVEXO (construcción exacta)

Solo resta trazar dicha circunferencia

circunscrita, y determinar sobre ella los

vértices restantes del polígono, que

convenientemente unidos nos determinarán

el decágono buscado.

Comenzaremos trazando la perpendicular en

el extremo 2 del lado, con centro en 2

trazaremos un arco de radio 1-2, que nos

determinará sobre la perpendicular anterior el

punto A, trazaremos la mediatriz del

segmento A-2, que nos determinará su punto

medio B, y con centro en B trazaremos la

circunferencia de radio B-A.

Uniendo el punto 1 con el B, en su

prolongación obtendremos el punto C sobre

la circunferencia anterior, siendo 1-C, el radio

de la circunferencia circunscrita al polígono.

A continuación, trazaremos la mediatriz

del lado 1-2, y con centro en 1 un arco de

radio 1-C, que determinará sobre la mediatriz

anterior, el punto O, centro de la

circunferencia circunscrita.

Equiparticiones regulares del plano

Estructuras Poliédricas regulares o sólidos platónicos

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos o

cósmicos, sólidos pitagóricos o perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión,

poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros

convexos, cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el

mismo número de caras, la palabra viene del griego y quiere decir: muchos (poly), lados o

caras (edros).

Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (427–347 A.C.), al que

se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Las particulares propiedades de estos poliedros son conocidas desde la

antigüedad clásica, hay referencias a unas Bolas Neolíticas de piedra labrada encontradas

en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos

en Los elementos de Euclides.

Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro

sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir,

convexidad y regularidad.

Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de

Locri, en el diálogo de Platón dice:

«El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de

icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha

utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo».


Tetraedro


Hexaedro


Octaedro


Dodecaedro


Icosaedro

Estructuras Poliédricas regulares o sólidos arquimedianos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son un grupo de poliedros

convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos.

Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes.

La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes

describió ampliamente estos cuerpos en trabajos que fueron desapareciendo, fue sólo en el

renacimiento cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.

Los sólidos arquimedianos son 13, y a continuación, veremos los más

importantes:

Tetraedro truncado


Cuboctaedro


Cubo truncado


Octaedro truncado


Rombicuboctaedro


Cuboctaedro truncado


Cuboctaedro romo


Icosidodecaedro


Dodecaedro truncado


Icosaedro truncado


Rombicosidodecaedro


Icosidodecaedro truncado


Dodecaedro romo


Ejercicio

Dibujar geométricamente (con instrumentos) en una hoja cada uno de los

siguientes POLIGONOS regulares con lados congruentes (misma medida, 4

cm.)

- Triángulo equilátero (3 lados)

- Cuadrado (4 lados)

- Pentágono (5 lados)

- Hexágono (6 lados)

- Octógono (8 lados)

- Decágono (10 lados)

Primera Parte

Segunda Parte

Reproducir cada una de las figuras en cartón forrado grueso “n” cantidad de

veces, y componer con ellas, combinándolas.

Usando como mínimo 3 de ellas construir una figura cerrada, “poliedros y

polígonos combinados” dodecaedro, icosaedro, etc.

Armarla pegando internamente sus lados con pegote o dejando aletas.

Luego, recubrir todas sus caras con papeles de color pegados con “Stick-

fix”, creando una combinación entre ellos que resalte las formas conjugadas.

Elegir uno de los poliedros como base, (pitagóricos o arquimedianos) y

recomponer tridimensionalmente sobre sus caras.

Ejercicio

poligonos y poliedros 2014

Art & Photos