polígonos topologia
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Polgonos1
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Polgonos2
PolgonosUn polgono es una figuraplanacon lados rectos. La palabra
polgono procede del griego y quiere decir muchos (poly) y angulos
(gonos).
Es un polgono?
Los polgonos son formas bidimensionales. Estn hechos con lneas rectas, y suforma es "cerrada" (todas las lneas estn conectadas).
Polgono(lados rectos)
Noes un polgono(tiene una curva)
Noes un polgono(abierto, no cerrado)
Elementos de un polgono
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Polgonos3
Los elementos ms importantes de un polgono regular son:centro, radio, lado y apotema.
Centro,el punto que equidista de los vrtices.
Radio R, es el segmento que une el centro con un vrtice.
Apotema a, segmento que une el centro con el punto medio de unlado.
Tipos de polgonos
Simple o complejo
Un polgono simpleslo tiene un borde que no se cruza con l mismo.Uno complejose interseca consigo mismo!
Polgono simple(este es unpentgono)
Polgono complejo(tambin es un
pentgono)
Cncavo o convexo
Un polgono convexono tiene ngulos que apunten hacia dentro. En concreto, losngulos internos no son mayores que 180.
Centro
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Polgonos4
Si hay algn ngulo interno mayor que 180 entonces es cncavo. (Paraacordarte: cncavo es como tener una "cueva")
Regular o irregular
Si todos los ngulos son iguales y los lados tambin, es regular, si no es irregular
Dnde los encontramos?
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Ms Ejemplos
Nombres de polgonosSi es regular...
Nombre Lados Forma ngulo interiorTringulo (o trgono) 3 60
Cuadriltero (o tetrgono) 4 90
Pentgono 5 108
Hexgono 6 120
Heptgono(o Septgono) 7 128.571
Octgono 8 135
Nongono (or enegono) 9 140
Decgono 10 144
Endecgono (or undecgono) 11 147.273
Dodecgono 12 150
Tridecgono 13 152.308Tetradecgono 14 154.286Pentadecgono 15 156Hexadecgono 16 157.5Heptadecgono 17 158.824Octadecgono 18 160Eneadecgono 19 161.053
Icosgono 20 162Triacontgono 30 168
Tetracontgono 40 171
Polgono complejo(un "polgono estrellado",
eneste caso unpentagrama)
Octgonocncavo
Hexgonoirregular
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Polgonos6
Pentacontgono 50 172.8Hexacontgono 60 174Heptacontgono 70 174.857Octacontgono 80 175.5Eneacontgono 90 176
Hectgono 100 176.4Chiligono 1,000 179.64Mirigono 10,000 179.964Meggono 1,000,000 ~180
Googolgono 10100 ~180n-gono n (n-2) 180/ n
ngulos interiores de polgonos
Un ngulo interior es un ngulo dentro de una figura.
Pentgono
Para polgonos con 13 lados o ms, sepuede escribir (y es ms fcil) "13-gono", "14-gono"... "100-gono",etc.
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Un pentgono tiene 5 lados, y se puede dividiren tres tringulos, as que ...
... sus ngulos interiores suman 3 180 =540
Y si es regular (todos los ngulos son iguales), cadauno mide 540/ 5 = 108
(Ejercicio: asegrate de que cada tringulo aqu
suma 180, y comprueba que los ngulos interiores
del pentgono suman 540)
La regla generalAs que cada vez que aadimos un lado ms (de tringulo a cuadriltero, apentgono, etc) sumamos otros 180al total:
Si es regular...
Figura LadosSuma de los
ngulos interioresForma Cada ngulo
Tringulo 3 180 60
Cuadriltero 4 360 90
Pentgono 5 540 108
Hexgono 6 720 120
... ... .. ... ...
Cualquier
polgonon (n-2) 180 (n-2) 180/ n
La ltima lnea puede ser un poco difcil de entender, as que vamos a ver unejemplo.
Ejemplo: Qu pasa con un decgono (10 lados)?
Suma de los ngulos interiores = (n-2) 180= (10-2)180 = 8180 = 1440
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Polgonos8
Y, si es regular, cada ngulo interior = 1440/10 = 144
ngulos exteriores de polgonosUn ngulo exterior es un ngulo entre un lado de una figura y la lnea
que se extiende desde el lado siguiente.
Nota: si sumas los ngulos interiores y exteriores sale el ngulo de una lnea recta,180. (Verngulos suplementarios)
Los ngulos exteriores de un polgono suman 360
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Polgonos9
En otras palabras, los ngulos exteriores suman una vuelta
completa
Pinsalo de esta manera: las lneas van cambiando de
direccin y al final vuelven al principio.
(Ejercicio: prueba a hacerlo con un cuadrado o algn
polgono con forma extraa)
Nota: esta regla slo se aplica apolgonos simples
Tringulo
DEFINICION Y PROPIEDADES
Un tringulo es un polgono que tiene 3 lados,
y por tanto tres ngulos.
Cada ngulo se denota por una letra mayscula
y los lados por letras minsculas.
El lado a, es el opuesto al ngulo A
Intenta que los ngulos midan 90, 60 y 30
aproximadamente.
El valor de los lados y el de los ngulos, no puedeser cualquier nmero, en todo tringulo se cumple:
LOS NGULOS INTERIORES DE UN TRINGULO SUMAN 180
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Polgonos10
90 + 60 + 30 = 180 80 + 70 + 30 = 180
En este tringulo es verdad!Vamos a inclinar una lnea 10 ...
Tambin funciona, porque un
ngulo aument10, perootro disminuy10
LA LONGITUD DE CADA LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOSOTROS
Estas dos propiedades son muy importantes,pero el tringulo tiene una propiedad aun msimportante, la rigidez.
Un sencillo ejemplo:
Con tres varillas iguales podemos formar un tringulo, que no sedeforma.
Con cuatro varillas iguales, el cuadriltero que se forma, puededeformarse, no es rgido.
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Polgonos11
El tringuloes el polgono ms simple. Si observas a tu alrededor comprobars que ms objetos de losque imaginabas tienen forma de tringulo.
El tringulo es el polgono ms sencillo: tiene tres lados y tres ngulos.
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Polgonos12
Estas dos clasificaciones no son excluyentes, es decir, que un tringulo puede ser a la vez
acutngulo e issceles; o puede ser escaleno y a la vez obtusngulo, etc.
Teorema de Pitgoras
Hace aos, un hombre llamado
Pitgoras descubri un hecho
asombroso sobre tringulos:
Si el tringulo tiene un ngulo recto(90)...
... y pones un cuadrado sobre cada unode sus lados, entonces...
... el cuadrado ms grande tiene exactamente lamisma reaque los otros dos cuadrados juntos!
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Polgonos13
El lado ms largo del tringulo se llama "hipotenusa", as que la definicin formales:
En un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "tringulo
rectngulo" a un tringulo con un ngulo recto)
Entonces, el cuadrado de a (a) ms el cuadrado de b(b) es igual al cuadrado de c (c):
a2+ b2= c2
Seguro...?
Veamos si funciona con un ejemplo. Un tringulo de lados "3,4,5" tiene un ngulorecto, as que la frmula debera funcionar.
Por qu es til esto?
Si sabemos las longitudes de dos ladosde un tringulo con un ngulo recto, el
Teorema de Pitgoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (Perorecuerda que slo funciona en tringulos rectngulos!)
Cmo lo uso?
Veamos si las reas sonla misma:
32+ 42= 52
Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25
S, funciona!
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Polgonos14
Escrbelo como una ecuacin:
a2+ b2= c2
Ahora puedes usarlgebrapara encontrar el valor que falta, como en estosejemplos:
a2+ b2= c2
52+ 122= c2
25 + 144 = 169
c2= 169
c = 169
c = 13
a2+ b2= c2
92+ b2= 152
81 + b2= 225
Resta 81 a ambos lados
b2= 144
b = 144
b = 12
Nota histrica: aunque se llama Teorema de Pitgoras,
tambin lo conocan los matemticos indios, griegos,
chinos y babilonios antes de que l viviera!
Cuadriltero
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Polgonos15
Los cuadrilteros sonpolgonos,es decir, figuras geomtricas planas limitadas por lneas
rectas, que tienen los siguientes elementos: cuatro lados, cuatro vrtices, cuatro ngulos
interiores y cuatro ngulos exteriores. Adems, la suma de todos sus ngulos interiores es de
360.
Los Cuadrilteros pueden ser cncavos o convexos, dependiendo cunto midan sus ngulosinteriores.
Cuadrilteros Cncavos y Convexos
Un cuadriltero es convexo si todos sus ngulos interiores son menores a 180 (mira la figura
de abajo). Tambin puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar una recta sobre l, la
recta lo cort a lo ms en dos lados.
Un cuadriltero es cncavo, si uno de sus ngulos interiores mide ms de 180. Tambin
puedes darte cuenta si es cncavo, cuando al trazar una recta sobre l, la recta lo corta en msde dos lados.
Lados Consecutivos u Opuestos de un Cuadriltero
Adems, decimos que los lados de un cuadriltero pueden ser: consecutivos, cuando tienen un
vrtice en comn, u opuestos, cuando no tienen ningn vrtice comn.
Recuerda que un vrtice es el punto comn entre los lados.
Las diagonales son los segmentos que unen dos vrtices no consecutivos. Un cuadriltero tiene
2 diagonales.
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Polgonos16
Clasificacin de los Cuadrilteros
De acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadrilteros en:
Paralelogramos:tienen dos pares de lados paralelos.
Trapecios:tienen un par de lados paralelos.
Trapezoides: son los cuadrilteros que no tienen lados paralelos.
PARALELOGRAMO
Un paralelogramo es un cuadriltero que tiene los ladosparalelos dos a dos.
Propiedades:
Los lados opuestos son iguales. Los ngulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios. Las diagonales se cortan en el punto medio
Un paralelogramo puede ser:
Rectngulo. Tiene los ngulos rectos.Lasdiagonales del rectngulo son iguales.
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Polgonos17
Rombo. Tiene los lados iguales.Lasdiagonales del rombo son perpendiculares.
Cuadrado es el paralelogramo que esrectngulo y rombo a la vez.Un cuadradotiene los lados iguales y adems sus ngulos sonrectos. Adems tiene las diagonalesiguales(por ser rectngulo) yperpendiculares(por ser rombo).
TRAPECIO
El trapecio es un cuadriltero que tiene dos lados paralelos, y losotros dos no son paralelos.
Los lados paralelos se denominan Base mayory base menor. La distancia entre los lados paralelos se llama altura.
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Polgonos18
Trapecio Issceles,si los lados no paralelos son iguales.
Trapecio rectngulo si tiene dos ngulos rectos.
Trapecio trisoltero Es aquel que tiene tres lados iguales ocongruentes.
Trapecio escaleno Trapecio con un par de lados paralelospero con todos sus lados de distinta medida.
TRAPEZOIDE.
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Polgonos19
Se denomina trapezoide a un cuadriltero que no tiene ladosparalelos. Por tanto es un cuadriltero sin ms propiedadesadicionales.
Existe un tipo de trapezoide especialmente interesante.
Se llama cometaal cuadriltero con dos pares de lados consecutivosiguales.
Las diagonales son perpendiculares.
Un par de ngulos opuestos son iguales.
El cuadrilterose puede observar atu alrededor en objetos que no
imaginabas.
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Polgonos20
Permetros y reas de los polgonos
Nombre Dibujo Permetro rea
Tringulo
P = Sumade los lados
P = b + c + d p = semipermero
Cuadrado P = 4 a A = a2
Rectngulo P = 2(b + a) A = b a
Rombo P = 4 a
Romboide P = 2(b + c) A = b a
TrapecioP = B + c +
b + d
TrapezoideP = a + b + c
+ dA = Suma de las reas delos dos tringulos
Polgonoregular
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Polgonos21
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1. Indica si los siguientes polgonos son convexos o cncavos:
a) Convexo: todos sus ngulos interiores son menores de 180.
b) Cncavo: el ngulo F es mayor de 180.
c) Cncavo: los ngulos A y D son mayores de 180.
d) Convexo: todos sus ngulos interiores son menores de 180.
2. Clasifica los siguientes tringulos segn sus lados y segn sus ngulos:
a) Issceles y rectngulo. d) Issceles y obtusngulo.
b) Escaleno y obtusngulo. e) Equiltero y acutngulo.
c) Escaleno y acutngulo. f) Escaleno y rectngulo.
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Polgonos23
3. Clasifica los siguientes cuadrilteros:
a) Trapecio b) Rectngulo c) Romboide
d) Rombo e) Trapezoide f) Trapecio
g) Romboide h) Rombo i) Rectngulo
j) Cuadrado k) Trapecio l) Trapezoide
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Polgonos24
4. Calcula el rea de los siguientes polgonos regulares expresando el
resultado en : decmetros, metros, decmetros, centmetros y milmetros:
a) Permetro del pentgono: 0.025 dam = 0.25 m = 2.5 dm = 25 cm = 250 mm
b) Permetro del hexgono: 4.8 dam = 48 m = 480 dm = 4800 cm = 48000 mm
c) Permetro del octgono: 0.16 dam = 1.6 m = 16 dm = 160 cm = 1600 mm
d) Permetro del decgono: 0.004 dam = 0.04 m = 0.4 dm = 4 cm = 40 mm
5. Calcular el rea de los siguientes paralelogramos:
6. Calcular el rea de los siguientes cuadrilteros:
7. Calcular el rea de los siguientes tringulos:
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Polgonos25
8. Calcular el rea de los siguientes polgonos regulares:
9. Clasifica el siguiente tringulo segn sus lados.
10.Clasifica el cuadriltero.
11.Calcula el permetro del polgono.
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Polgonos26
12.Calcula el rea del tringulo sabiendo que la base mide 4 cm, los lados iguales miden
6,3 cm y la altura 6 cm.
13.Calcula el rea del cuadriltero.
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Polgonos27
14.COMPLETA LA TABLA
NOMBRE REPRESENTACIONGRAFICA
NUMERODE
LADOS
NUMERO DEDIAGONALES
TRIANGULO
CUADRADO
PENTAGONO
HEXAGONO
HEPTAGONO
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Domin polgonos figurapalabra: En este juego dedomin se deben asociar los polgonos con su nombre.
EL LABERINTO: CALCULANDO REAS
DE POLGONOS:
ENCUENTRAEL MEJOR CAMINO
Se pretende que el alumno calcule de forma rpida las reas de los
tringulos, rectngulos, paralelogramos, trapecios y otros polgonos
sencillos. Se trata de un juego a realizar individualmente; cadaalumno recorre muchos posibles caminos del laberinto, sin poder
volver hacia atrs y va sumando las reas de los polgonos que
recorre e intentando obtener la mayor suma posible. El ganador o
ganadores es el qu, en un tiempo dado, ha obtenido la suma
mayor.
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Polgonos30
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SOP DE LETR SC U A T C E D F G A U D R A D O S H
C O T C U A D R A D O H O T M C N E
Y A O D H H O U J T P A B I L O A X
J T E B E S U O R V G S M P E L V A
H R D P Z C O I O I S O O S A Y K G
E A G O S O A N U W O Y R O B B L O
J P U I X N P G O L L U U S O E A N
L E H J G Z O N O G E T C O N P G O
O C P U K O L U G N A E A E R L O
U I L O M G I M U M O T S O A A S M
I O F H F S S I P G X N M P N E U
N O M U C U A D R I L A T E R O N A
M L A S U A G H P O Y F M O P E O N
H E X B T I O C T A E N T R E A N G
HEXAGONO-DECAGONO-CUADRADO-TRAINGULO-ROMBO-RECTANGULO-TRAPECIO-
PENTAGONO-CUADRILATERO-OCTOGONO.
COLOREA EL DIBUJO BUSACNDO EL COLOR QUE LE CORRESPONDA
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TRIANGULO EQUILATERO ..AMARILLO
OCTOGONO.MARRON
HEPTAGONOVERDE
PENTAGONO..ROSA
ENEAGONO.AZUL
HEXAGONO.VIOLETA
TRAPECIO.NARANJA
ROMBOIDE.NEGRO
TRAINGULO ISOSCELES.. ROJO
TRAPEZOIDE.CELESTE
ROMBO..BLANCO
TRIANGULO ESCALENO. MORADO
INTEGRANTES:
MARQUEZ MARIL
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LAZZARINI JESSICA
SOSA PEREYRA SARA
GALLETTO AGUSTINA