tema 3: polígonos polígonos triángulos y cuadriláteros polígonos regulares 1º bachillerato

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Tema 3: Polígonos

Polígonos

Triángulos y cuadriláterosPolígonos regulares

1º bachillerato

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TRIÁNGULOS


4 Polígonos1

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATORectas y puntos notables de los triángulos (I)

• Elementos notables de los triángulos (I)

Altura

Es la perpendicular trazada a un lado desde el vértice opuesto

Ortocentro

Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo

Mediana

Es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto

Baricentro

Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo


4 Polígonos2

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATORectas y puntos notables de los triángulos (II)

• Elementos notables de los triángulos (II)

Mediatriz

Es la perpendicular trazada a un lado por su punto medio

Circuncentro

Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo

Bisectriz

Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales

Incentro

Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo


Altura

Altura de un triángulo es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. Un triángulo tiene tres alturas.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro .

Si unimos los pies de las alturas formamos el Triángulo Órtico, cuyo centro es el ortocentro

RECorDemos...


Mediana.

Mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres medianas. .

A

ma

G

Ma

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro El baricentro de un triángulo es el centro de gravedad del mismo y está a una distancia de los vértices igual a los dos tercios de la longitud total de la correspondiente mediana.

A

ma

G

Ma

TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO:resulta de unir los puntos medios de los lados.

recordemos...


Mediatriz

Mediatriz es la perpendicular trazada por el punto medio de un lado. Un triángulo tiene tres mediatrices.

A

Ma

c

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro ; se llama así por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

A

Ma

c

RECorDemos...


Bisectriz

Bisectriz de un triángulo es, como su propio nombre indica, la recta que divide uno de los ángulos en dos ángulos iguales. Un triángulo tiene tres bisectrices interiores.

Las tres bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto, llamado incentro . Se llama incentro por ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

RECorDemos...


4 Polígonos3

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOOtros triángulos y rectas notables: bisectrices exteriores

• Bisectrices exteriores

Bisectrices exteriores

Son las bisectrices de los ángulos exteriores

El punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita

Los puntos de intersección de las tres bisectrices exteriores de un triángulo son los centros de las circunferencias exinscritas


4 Polígonos4

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOOtros triángulos y rectas notables: triángulos órtico, complementario y podar

• Triángulos órtico, complementario y podarTriángulo órtico

Compuesto por los pies de las tres alturas de un triángulo

Triángulo complementario

Compuesto por los puntos medios de los lados de un triángulo

Triángulo podar respecto de un punto P

Compuesto por los pies de las perpendiculares a los lados trazadas desde P

D

E

P

F

C A

B

E

D F

C

B

A

E

D

F

C

B

A


Triángulo órtico

Triángulo complementario Triángulo podar

Se denomina triángulo podar de un triángulo dado, respecto de un punto P, al triángulo cuyos vértices son los pies de las perpendiculares a los lados trazadas desde el punto P .

A

P

RECorDemos...


b

A

b

A

bA

b

A

bA

b

A

bA

b

A

bA

B

C

c a

b

A

bA

B

C

c a

Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y el ángulo comprendido entre los mismos.

Con centro en el vértice A del ángulo, describir un arco de radio igual a los lados conocidos, el cual corta a los lados del ángulo en B y C, vértices del triángulo.


Construir un triángulo isósceles dada la suma de la altura y uno de los lados iguales, así como el ángulo opuesto a la base.

A

h+c

A

h+c

A

h+c

h+

c

E

A

h+c

h+

c

E

A

A

h+c

h+

c

E

A

A

h+c

h+

c

E

A

AA

h+c

h+

c

E

A

AA

h+c

h+

c

E

A

AA

h+c

h+

c

E

A

A

Se levanta sobre una recta base indefinida una perpendicular de longitud igual a la suma conocida.

Por el extremo E se construye un ángulo igual a la cuarta parte del dado, obteniendo con ello sobre la recta base el vértice B.

El A se determina trazando la mediatriz al segmento E B, Y el C por simetría del B respecto a D, o mediante un arco de centro en A y radio A B.


Construir un triángulo isósceles conocido el semiperímetro y la altura.

h

p

h

p

phM N

A

h

p

phM N

A

h

p

phM N

A

h

p

phM NC

A

h

p

phM NC

A

h

p

phM NC

A

h

p

phM NC

A

B

Trácense la altura A M Y el semiperímetro M N formando ánqulo recto.

La mediatriz del segmento A N determina sobre M N el vértice C

obteniéndose el B por simetría de C respecto a M


Construir un triángulo rectángulo isósceles, dada la hipotenusa.

a a a a a B C

A

a B C

A

Con diámetro igual a la hipotenusa, dada, trazar una semicircunferencia. La mediatriz al diámetro determina sobre la semicircunferencia el vértice del ángulo recto.

Todo ángulo inscrito en media circunferencia tiene por valor 90°, puesto que el ángulo inscrito vale la mitad del central correspondiente. De aquí que el arco capaz de un ángulo recto es una semicircunferencia,


Construir un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos.

Trazar por el extremo de uno de ellos una perpendicular de longitud igual al otro cateto.

b

C

Unidos entre sí los dos extremos libres, queda definida la hipotenusa de dicho triángulo.

b

C

b

b

C

b

b

C

bC

B

A

b

C

bC

C

B

A


Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos

a

b+c

a

b+c

b+cD

C

a

b+c

b+cD

C

a

b+c

b+cD

C

a

b+c

b+c

B´

D AC

a

b+c

b+c

a

a

B´

B

D A bC

c

a

b+c

b+c

a

a

B´

B

D A bC

c

a

b+c

b+c

a

a

B´

B

D A bC

c

Se toma un segmento DC igual a la suma b + c de los dos catetos,

construyendo en uno de sus extremos D, un ángulo de 45°, y con centro en el otro ex tremo C se describe un arco de radio igual a la hipotenusa dada

Este arco corta al lado oblicuo del ángulo en el vértice B. El vértice A se obtiene trazando una perpendicular a D C desde B. El punto B' donde el arco también corta a D B, nos proporciona otra solución, que es simétrica a la obtenida.


Construir un triángulo rectángulo dadas la mediana ma y la altura ha correspondientes a la hipotenusa

mª

hª

mª

hª

mª

mª

hª

mª Mª

CB

mª

hª

mª

hª

Mª

CB

mª

hª

mª

hª

Mª

CB

mª

hª

mª

hª

Mª

A

C

A´

B

mª

hª

mª

hª

Mª

A

C

A´

B

mª

hª

mª

hª

Mª

mª mª

A

C

A´

B

mª

hª

mª

hª

Mª

mª mª

A

C

A´

B

Dado que la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide dos veces su mediana correspondiente, el problema se reduce a la construcción de un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa.

Para ello, tómese por hipotenusa un segmento BC igual a dos veces ma describiendo con centro en su

punto medio Ma una

semicircunferencia.

Trazando una paralela a BC a una distancia igual a ha queda determinado, en

su intersección con la semicircunferencia, el vértice A. La intersección A' produce otra solución simétrica.


Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de los cateto

A un segmento DC,igual a la diferencia de catetos conocida,

b-cC

D

b-cC

45ºD

b-c

a

B

C

45ºD

b-c

a

b-c

a

A

B

C

45ºD

b-c

a

b-c

a

A

B

C

45ºD

construir en uno de sus extremos y sobre su prolongación un ángulo de 45°, trazando con centro en el otro extremo, y radio igual a la longitud dada para la hipotenusa, un arco, que cortará al lado libre del ángulo en el vértice B. La perpendicular trazada por_B a la prolongación de DC nos determina el vértice A.


Construir un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes al mismo

B

C

a

B

C

a

a

B

C

a

a

A

B

C

a

a

A

C

B

C

a

aB

A

C

B

C

a

aB

A

C

B

C

a

aB

Situar el lado dado como base del triángulo, construyendo en sus extremos ángulos respectivamente iguales a los dados.


Construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

b

a

Ab

a

A

A

b

a

A

A

Cb

a

A

AB

Cb

a

A

AB

Cb

a

A

AB B´

Cb

a

A

Ab

B B´

C

a

Construir un ángulo igual al dado, transportando sobre uno de sus lados la magnitud de uno d los lados conocidos, obteniendo el punto C.

Con centro en dicho punto y radio igual al otro lado, describir un arco que determinará el tercer vértice del triángulo al cortar al lado tomado como base del triángulo.

Este problema puede tener dos, una o ninguna solución, dependiendo ello de que el lado a sea mayor, igualo menor respectivamente que la distancia del vértice C a la base.


CUADRILÁTEROS


CUADRILÁTERO INSCRIBIBLE

Se llama así al cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia .

En un cuadrilátero inscribible sus ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman 180°.

Recíprocamente, un cuadrilátero que tenga sus ángulos opuestos suplementarios es inscribible.

A + B = C + D = 180°

Teniendo en cuenta que el valor de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco:

A + B = Ω/2 +β/2=360º/2=180º

CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE:

Se denomina así al cuadrilátero en el que se puede inscribir una circunferencia.

En un cuadrilátero circunscribible la suma de los lados opuestos vale lo mismo.

Recíprocamente, un cuadrilátero cuya suma de lados opuestos valga lo mismo es circunscribible.

A+C=B+D

Teniendo en cuenta que si trazamos desde un punto exterior las tangentes a una circunferencia, las distancias desde el punto exterior a los puntos de tangencia valen lo mismo, es fácil demostrar la igualdad anterior.


4 Polígonos5

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOCuadrilátero inscribible y circunscribible

• Cuadriláteros Inscribible

Cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia

Circunscribible

Es inscribible si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios:

A+B=C+D=180º

A+B=C+D=a/2+b/2=(a+b)/2=360º/2=180º

Cuadrilátero que se puede circunscribir en una circunferencia

Es circunscribible si y solo si la suma de los lados opuestos vale lo mismo

A+B=C+D

E

H

D

O

G

F

AB

C

C

B

O

A

D


4 Polígonos6

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATODivisión de la circunferencia en 3, 6, 12,... partes iguales

Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio

Hexágono

Triángulo equilátero

Dodecágono

Con centro en A y G se trazan dos arcos del mismo radio

Otros polígonos:


4 Polígonos7

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATODivisión de la circunferencia en 4, 8, 16,... partes iguales

Polígono de 4, 8 ó 16 lados, conociendo el radio

Cuadrado

Otros polígonos

Se traza la mediatriz del diámetro AE

Octógono


4 Polígonos8

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATODivisión de la circunferencia en 5, 10,... partes iguales

Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio

Pentágono

Otros polígonos

2. Con centro en M y radio MA se traza un arco. AN es el lado del pentágono

3. Con centro en A y radio AN se traza otro arco

1. Se traza la mediatriz del radio OL

Decágono


4 Polígonos9

Dibujo Técnico



Heptágono

Otros polígonos

Se traza la mediatriz del radio OA

Polígono de catorce lados

El segmento PS es el lado del heptágono


4 Polígonos10

Dibujo Técnico



Eneágono

2. Con centro en J y radio JL se traza otro arco

1. Con centro en K y radio KO se traza un arco

3. Con centro en M y radio MK se traza otro arco

4. AN es el lado del eneágono


4 Polígonos11

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOConstrucción de un pentágono

Polígono de 5 lados, conociendo el lado

1. Se traza la mediatriz de AB

2. Por B se traza la perpendicular a AB

3. Con centro en B y radio AB se traza un arco

4. Con centro en F y radio FG se traza otro arco

5. Con centro en A y radio AH se traza un tercer arco

6. El vértice E se halla trazando dos arcos de radio AB


4 Polígonos12

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOConstrucción de un heptágono



2. Por B se traza la perpendicular a AB

3. Con vértice en A se construye un ángulo de 30º

4. Con centro en A y radio AH se traza un arco

5. Con centro en O y radio OA se dibuja una circunferencia


4 Polígonos13

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOConstrucción de un octógono



2. Con centro en I y diámetro AB se traza una circunferencia

3. Con centro en J y radio JB se traza otra circunferencia

4. Con centro en O y radio OA se traza una tercera circunferencia

5. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB


4 Polígonos14

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOConstrucción de un eneágono



2. Con centro en A y radio AB se traza un arco

3. Con centro en J y radio JB se traza otro arco

4. Con centro en K y radio KJ se traza un tercer arco

5. Se traza la mediatriz de AF

6. Con centro en O y radio OA se traza una circunferencia7. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB


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4 Polígonos15

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOConstrucción de un octógono regular estrellado

Polígonos estrellados (I)1. Se divide la circunferencia en un número de partes iguales

2. Se unen los vértices de manera no consecutiva

El número de polígonos estrellados que hay de un determinado número de vértices es el siguiente:

Siendo:v: Número de vérticesp: Número de polígonos estrelladosn: Forma de unir los vértices

El trazado debe comenzar en un vértice y, recorriendo todos, debe cerrar en el que se comenzó


4 Polígonos16

Dibujo Técnico

2.º BACHILLERATOConstrucción de un eneágono regular estrellado

Polígonos estrellados (II)

Eneágono regular estrellado

Existen dos polígonos regulares estrellados de nueve vértices:

1. Uniendo los vértices de dos en dos

2. Uniendo los vértices de cuatro en cuatro

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