poliedros regulares uncp
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Poliedros regulares Desarrollo del Tetraedro
Desarrollo del cubo
Desarrollo del octaedro
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Desarrollo del dodecaedro
Desarrollo del icosaedro
Desarrollo del prisma
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Desarrollo del ortoedro
Desarrollo de la pirámide
Desarrollo del tronco de pirámide
Desarrollo del cilindro
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Desarrollo del cono
Desarrollo del tronco de cono
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G E O M E T R Í A
Los cuerpos geométricos.
Utilicen este selector para ir a cada tema y volver al principio.Los cuerpos geométricos | Clases de cuerpos geométricos | Los poliedros
Poliedros regulares | Poliedros irregulares | Poliedros curvos Diagrama de los poliedros | Construcción de poliedros
Superficie lateral de los poliedros | Volumen de los poliedros
Los cuerpos geométricos.
Se denominan cuerpos geométricos a aquellos elementos que, ya sean reales o
ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tresdimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.
Las líneas que corresponden a los lados comunes de los diversos planos quecomponen los cuerpos geométricos, se denominan aristas.
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El estudio de los cuerpos geométricos comprende:
Su clasificación; Su diagrama y construcción;
El cálculo de su superficie total; El cálculo de su volumen.
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Clases de cuerpos geométricos.
Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos:
Los poliedros — o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos compuestosexclusivamente por figuras geométricas planas; como por ejemplo el cubo;
Los cuerpos redondos — que son cuerpos geométricos compuestos total oparcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro,
la esfera o el cono.
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Los poliedros.
Los poliedros son cuerpos geométricos que están compuestos exclusivamente porsuperficies planas, que se denominan caras del poliedro. Se distinguen dos clases de
poliedros:
Los poliedros regulares — en los cuales todas las caras son iguales.
Los poliedros irregulares — en los cuales no se trata de que todas sus carassean distintas, sino de que tienen caras que comprenden más de un tipo de
figuras planas (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de unalámpara).
La representaciótricos gráfica de los cuerpos geométricos en general, presenta ladificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el
plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, laperspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.
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Los poliedros regulares.
Los poliedros regulares son cinco:
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El cubo — que está compuesto por seis carascuadradas; motivo por el cual se le conocetambién con el nombre de exaedro regular,
(exaedro = cuerpo con 6 caras).
El tetraedro regular — compuesto por cuatrocaras con forma de triángulos equiláteros.
El octaedro regular — compuesto por ochocaras con forma de triángulos equiláteros, enforma de dos pirámides unidas por sus base.
El icosaedro regular — compuesto por veintecaras con forma de triángulos equiláteros, que
tiene un eje plano exagonal.
El dodecaedro regular — compuesto por doce
caras con forma de pentágono.
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Los principales poliedros irregulares.
Los principales poliedros irregulares son:
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El prisma — que está compuesto por caraslaterales rectangulares (que pueden ser
cuadradas); y bases con forma de triángulo,cuadrado (salvo cuando las caras también lo son,en cuyo caso es un cubo), pentágono, exágono u
otro polígono regular. El prisma oblicuo — que es similar al prima, pero
con dos lados de forma romboidal; por lo cualsolamente puede tener bases cuadradas.
La pirámide recta — compuesto por una base conforma de polígono regular, y lados triangulares
cuya base son los lados del polígono, y unen todossu vértices en un mismo punto, también llamadovértice de la pirámide; el cual se encuentra sobrela perpendicular a la base que pasa por su centro.
La pirámide inclinada — similar a la anterior,pero cuyo vértice se encuentra sobre una
perpendicular a la base que no pasa por sucentro.
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Los principales poliedros redondos.
Los principales poliedros redondos son:
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El cilindro — que está compuesto dos basescirculares y una superficie curva continua,
equivalente a un rectángulo.
El cono — compuesto por una base circular, y una
superficie curva que la rodea y se une en un vérticeque se encuentra sobre la perpendicular a la baseque pasa por su centro.
El cono truncado — que siendo similar a un cono,tiene una base conformada por un plano inclinado,
con lo cual adopta una forma de elipse.
La esfera — que es circular en todos sus planoscentrales.
La semiesfera — que es una esfera que ha sido
cortada por uno de sus planos circulares, demanera que tiene una base circular y una cúpula
esférica.
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Diagrama y construcción de poliedros.
El diagrama de un poliedro, consiste el despliegue detodos sus planos, unidos por un lado común, sobre un
plano único.
Ese despliegue, tendrá dos utilidades principales; una quepermitirá un diseño con el cual construir los poliedros enmateriales apropiados (como cartulina, chapa metálica o
madera laminar), y otra que conducirá al modo decalcular la superficie lateral.
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Construcción de poliedros.
Para lograr la construcción de poliedros, debe procederse a confeccionarun diagrama considerando cuidadosamente las dimensiones de sus planos y
su lados comunes; de manera que ulteriormente sea posible, en el caso de
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utilizar un material que lo permita, realizar pliegues sobre las líneas desusaristas, hasta hacer coincidir los demás bordes y proceder a unirlos como
aristas.
A efectos de poder efectuar la unión de las aristas que son líneas libres en el
diagrama, puede ser necesario agregar a ellas una pestaña; que permitasolaparla con la cara opuesta del arista, mediante el uso de una sustanciaadherente adecuada. Para construir más facilmente poliedros de cartulina,
esas uniones pueden sostenerse mediante cintas adhesivas.
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Cálculo de la superficie lateral de los poliedros.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente engeometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de
superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros,decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de lamedida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio
del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyolado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil
apreciar que la cantidad de cuadrados menores — quepueden considerarse como unidad de medida — es igual
a la multiplicación del número de cuadrados contenidosen dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura elvertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en
la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento
permite establecer que el procedimiento de cálculo desu superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
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La fórmula de cálculo del área del triángulo, es unaderivación de las anteriores, atendiendo a que la diagonalde rectángulos lo divide en dos triángulos; por lo cual lasuperficie de todo triángulo es igual a la mitad de la delpolígono que resultaría de duplicarlo tomando uno de
sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada unade sus diagonales lo convierte en la suma de dos
triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la sumade las superficies de uno de los dos pares de
triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y basemenor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de unode los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura
del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambassuperficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado
entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
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Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares sedetecta la siguiente propiedad fundamental:
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En todos los polígonos regulares, el trazadode sus radios los divide en tantos triángulos
como lados posean; cuyas alturas son iguales alapotema del polígono, y cuyas bases sumadas
son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígonoregular será igual a la suma de las superficies de lostriángulos que lo forman. Extendiendo la fórmula de
cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
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Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de lospuntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el radio es
a la vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de lamedida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe unarelación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia, quees un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra griega PI .
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la
superficie de un polígono regular, se concluye:
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Superficie de los polígonos irregulares.
Cualquier polígono irregular, puede
descomponerse en triágulos, mediante el trazado desus diagonales; o complementando éstas conperpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas queconformen las bases y alturas de esos triángulos,
será posible calcular su superficie; y sumarla paraobtener la superficie total del polígono irregular.
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Desarrollo plano de cuerpos gométricosPage history last edited by [email protected] 11 months, 3 weeks ago
Desarrollo plano de cuerpos geométricos.
A pesar de que el desarrollo plano de cuerpos geométricos no es consideradoun juego como tal, puede ser muy útil para motivar y captar la motivaciónde los alumnos. A partir de manualidades que les resultan entretenidasaprenderan características de los cuerpos geométricos.
Una manera sencilla de calcular el área y el volumen de un cuerpo geométricoes visualizar previamente su desarrollo plano.
Como todos sabemos, los cuerpos geométricos corresponden a una figurageométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones:largo, ancho y alto. Debido a esta característica, existen en el espacio pero sehallan limitados por una o varias superficies.
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Si todas las superficies que lo limitan son llanas y de contorno poligonal, elcuerpo es un poliedro. Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometríaclásica al término, un cuerpo geométrico cuya superficie se compone de unacantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo.
Se clasifican en dos tipos: regulares e irregulares.
Poliedros Regulares:
Los poliedros regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos diedros ytodos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regularesiguales.
Sólo hay cinco poliedros regulares.
Los alumnos pueden utilizar estas figuras para construirlas desde su propiodesarrollo plano.
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El desarrollo plano de estos cuerpos geométricos sería:
Tetraedro.
Cubo.
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Icosaedro.
Octaedro.
Dodecaedro.
Poliedros Irregulares:
Un poliedro irregular está formado por polígonos que no son todos iguales.
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Se clasifican en:
- PIRÁMIDES:
- PRISMAS:
- Cuerpos redondos:
Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos quetienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También sedenominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de unafigura que gira alrededor de un eje.
El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al giraren torno a uno de sus catetos.
En el dibujo, podemos distinguir los elementos de un cono recto:
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El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista
basal y un vértice llamado cúspide.
Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura nocoinciden, el cono es oblicuo.
El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar entorno a uno de sus lados.
El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral
que es curva y 2 aristas basales.
Puedes observar que en el desarrollo en el plano se nos forma un rectángulopara la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la circunferencia queforma las bases y la altura o generatriz
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La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de sudiámetro.
Hemos encontrado un programa para bajar de internet llamado Poly 1.10, yexplica a la perfección el desarrollo de los poliedros.
http://2dmanjon.blogia.com/2004/041501-poly-un-programa-muy-bueno-para-la-geometria.php
Objetivos
- Con este juego se pretende que los alumnos cuando vean el desarrollo planolo identifiquen con la figura plana.
- También se intentará que los alumnos diferencien un prima, pirámide... con
solo mirar el desarrollo plano.
- Ayuda a entender las relaciones entre los diferentes componentes queforman un polígono.
- Aprenden a situarse en el plano.
Criterios de evaluación
- Identificar los diferentes tipos de poliedros regulares.
- Saber representar en el espacio los diferentes poliedros.
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- Es necesario que conozcan bien el poliedro para saber construirlo en elespacio.
Procedimientos de evaluación
- Tomar nota del comportamiento de los alumnos durante la elaboración de latarea. Se tendrá en cuenta la motivación, los buenos modales, el respeto a losdemás.
- Evaluar los diferentes poliedros construidos por los alumnos: importanciade la presentación.
- Se tendrá en cuenta la participación e interés de los alumnos de los alumnosa la hora de realizar las figuras.
- Se tendrá en cuenta el cuidado que le den a los materiales: tijeras,pegamento, poliedros hechos por otros alumnos...
RESUMEN DE LOS ASPECTOS TEORICOS RELACIONADOS CON LA GEOMETRIA DE LOS
CUERPOS SOLIDOS.
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LIC. RAMON DUBOIS DE LA PEÑA