Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I

1. Cijev mase 2000 kg, s centrom mase u tački G, visi na dvačelična užeta AB i AC, kao što je prikazano na slici desno.Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine užadi,

b) maksimalnu težinu cijevi koju užad mogu ponijeti,ako je dozvoljeni napon užadi 500 MPa, a stepensigurnosti 3.

Ostali podaci: dAB = 12 cm, dAC = 10 cm, EAB = EAC =200 GPa, LAB = 1 m, LAC = 1.25 m.

can be

determined by considering the equilibrium of the hook for which the free-body

A

C

GB

308 458

(15+10=25%)

2. Vratilo ABC, koje se sastoji od dijela AB od čelika,prečnika 30 mm, i dijela BC od mesinga, prečnika 45 mm,uklješteno je na oba kraja i opterećeno kao na slici desno.Treba odrediti:

a) reakcije oslonaca,

b) napone u pojedinim segmentima vratila,

c) ugao uvijanja presjeka C u odnosu na presjek B.

680 N m

B

C

A

1.60 m

0.75 m

(15+5+5=25%)

3. Za vratilo kružnog poprečnog presjeka, opterećeno kao naslici desno, odredi minimalne dimenzije presjeka, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 150 MPa, a dozvo-ljeni tangencijalni napon τdoz = 80 MPa.

A B

200 mm

450 N

150 N

300 N

200 mm400 mm 300 mm

(25%)

4. Cijev vanjskog prečnika 20 mm i unutrašnjeg prečnika 16mm opterećena je kao na slici desno. Odrediti napone kojivladaju u tačkama A i B.

450 N

450 N

100 mm

AB

150 mm

150 mm

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Jul-01

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I

1. Mehanizam je opterećen silom od 18 kN, kao što jeprikazano na slici desno. Ako je veza BD izrađena odčelika i dimenzija 25× 15 mm, odrediti:

a) napon, deformaciju i promjenu dužine veze BD,

b) maksimalnu silu koju sistem može podnijeti, ako jedozvoljeni napon veze BD 300 MPa, a stepen sig-urnosti 2.5.

18 kN

308

150

300

D

C

B

A

208

(10+15=25%)

2. Električni motor prenosi moment uvijanja od 2.4 kNm kaona slici desno. Za date podatke:

a) skicirati dijagram momenata uvijanja od A do E,

b) izračunati ugao uvijanja u dijelu vratila BC, ako jedužina dijela BC 0.3 m,

c) izračunati stepen sigurnosti u dijelu CD, ako je doz-voljeni napon na uvijanje 250 MPa.

Fig. P3.13

54 mm

46 mm

46 mm

40 mm

A

B

C

D

E

TB = 1.2 kN · m

TC = 0.8 kN · m

TD = 0.4 kN · m

(5+10+10=25%)

3. Za gredu kružnog poprečnog presjeka, opterećenu kao naslici desno, odredi minimalne dimenzije presjeka, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 200 MPa, a dozvo-ljeni tangencijalni napon τdoz = 100 MPa.

BA

C D

20 kN/m

50 kN 50 kN

0.8 m 0.8 m 2 m

(25%)

4. Cijev ABCD, unutrašnjeg prečnika 170 mm i vanjskogprečnika 190 mm, sastoji se od vertikalnog dijela AB,dužine L = 1.85 m, horizontalnog dijela BC dužine b1 =1.1 m i horizontalnog dijela CD dužine b2 = 0.67 m. Cijevje opterećena u tački D silom P = 10 kN, kao što je datona slici desno.Odrediti tangencijalne i normalne napone u presjeku A, utački koja leži na površini cijevi na pozitivnom dijelu z0ose.

z0

y0

A x0

B

L

C

H

D

P

b1

b2 uppressed from the eBook and/or eChapter(s). Editorial re

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Sep-02

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I

1. Luster mase 50 kg visi na užadima AB i BC, prečnika 3i 4 mm, respektivno, kao što je dato na slici desno (ugaoθ = 45 ◦). Odrediti:

a) napone u užadima,

b) maksimalnu težinu lustera ako je dozvoljeni napon uužadima 150 MPa. B

A

C

308

u

(10+15=25%)

2. Čelično šuplje vratilo dužine 1 m, vanjskog prečnika 40 mm i unutrašnjeg precnika 32 mm, opterećeno jemomentom uvijanja od 100 Nm.Odrediti:

a) napon na vanjskom i unutrašnjem prečniku vratila,

b) ugao uvijanja vratila,

c) maksimalan moment uvijanja, ako je stepen sigurnosti 3, a granica tečenja materijala 350 MPa.

(10+5+10=25%)

3. Za gredu kružnog poprečnog presjeka, opterećenu kao naslici desno, odredi minimalan precnik presjeka, ako je doz-voljeni napon na savijanje σdoz = 150 MPa, a dozvoljenitangencijalni napon τdoz = 70 MPa. A B

C

1.5 m 1.8 m

100 N/m200 N/m

F1–2

(25%)

4. Za dio opterecen kao na slici desno, izračunaj (maksi-malne) vrijednosti tangencijalnih i normalnih napona kojivladaju u presjeku B, a koje pojedinačno izazivaju vanjskaopterecenja. Dio je konstantnog punog kružnog presjekaprečnika 50 mm.

0.75 m

50 N

1.25 m

B

A

0.5 m

C

D

70 N?m

30 N

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Sep-23

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I

1. Štapni sistem, sastavljen od aluminijumskog (1) i celicnog(2) štapa kvadratnih poprecnih presjeka, opterećen je kaona slici desno. Treba odrediti:

a) napon, izduženje i deformaciju u segmentima AB iCD,

b) promjenu temperature dijela (1), tako da ukupno iz-duženje štapnog sistema bude jednako nuli.

Podaci: B1 = 50 mm, B2 = 40 mm, L1 = L2 = 600 mm,LAB = 300 mm, FA = 50 kN, FB = 120 kN, FC = 40kN, FD = 30 kN, E1 = 70 GPa, E2 = 200 GPa, αAC =13 · 10−6 1/◦C.

B2

A

B CD

FB

L1 L2

1 2

FA

LABFC

(15+10=25%)

2. Puno aluminijumsko vratilo dužine 1 m, prečnika 40 mm, prenosi moment uvijanja od 80 Nm. Odrediti:

a) stepen sigurnosti vratila na uvijanje, ako je maksimalni napon materijala 150 MPa.

b) unutrašnji precnik zamjenskog celicnog vratila, istih ostalih dimenzija, koje ostvaruje isti ugao uvijanja.

(12.5+12.5=25%)

3. Za gredu pravougaonog poprečnog presjeka, odnosa visinei širine 2, opterećenu kao na slici desno, odredi minimalnedimenzije presjeka, ako je dozvoljeni napon na savijanjeσdoz = 12 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 2MPa.Podaci: LAC = 1 m, LBC = 0.5 m, FB = 0.5 kN, q = 1kN/m, MA = 1 kNm.

CA

LAC

q

FB

LBCB

MA

(25%)

4. Za dio opterecen kao na slici desno (P = 900 N, F =600 N), izračunaj vrijednosti tangencijalnih i normalnihnapona koji vladaju u tackama A i B (obje tacke se nalazena liniji simetrije). Dio je pravougaonog poprecnog pres-jeka dimenzija 12× 18 mm.

a aA

P

F

B

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Okt-06

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

1. Štapni sistem, dat na slici desno, sastavljen je od čeličnihštapova AC, promjera 10 mm, i AB, promjera 8 mm. Sis-tem je opterećen silom P = 5 kN. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine štapova,

b) stepene sigurnosti za pojedine štapove, ako je granicatečenja 250 MPa.

c) maksimalnu silu, ako je stepen sigurnosti 2 i granicatečenja 250 MPa.

Ostali podaci: LAB = LAC = 1 m, E = 200 GPa.P

B

AC458

(15+5+5=25%)

2. Čelično vratilo AD, sastavljeno od dva dijela 1 i 2,opterećeno je kao na slici desno. Treba uraditi sljedeće:

a) naći napone u pojedinim segmentima vratila,

b) naći ugao uvijanja presjeka B u odnosu na presjekD u stepenima,

c) odrediti minimalan prečnik vratila 1, ako je dozvo-ljeni napon τdoz = 150 MPa.

Podaci: LAB = 0.5 m, LBC = 0.5 m, LCD = 0.5 m,D1 = 35 mm, D1 = 25 mm, TB = 2TC = 3TD = 60 Nm.

�

TC

D2 D1

L1 L2

TD A B

C

D

TB

1 2

LAB

(10+5+10=25%)

3. Za gredu kružnog poprečnog presjeka, opterećenu kao naslici desno, odredi minimalne dimenzije presjeka, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 120 MPa, a dozvo-ljeni tangencijalni napon τdoz = 60 MPa.

A B

1 m 1 m 1 m

900 N

400 N m

(25%)

4. Za dio na slici desno naći normalne i tangencijalne naponeu tački A usljed djelovanja vanjskog opterećenja, ako jeprečnik dijela konstantan i iznosi 30 mm.

CA

z

y

x

300 N 200

75

350 N

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Feb-18

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa B

1. Saksija težine 500 N, obješena je o dva čelična užeta, ABprečnika 1.5 mm i BC prečnika 2 mm, kao što je prikazanona slici desno. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine užadi,

b) stepene sigurnosti za pojedina užad, ako je granicatečenja 350 MPa.

c) maksimalnu težinu saksije, ako je stepen sigurnosti1.5 i granica tečenja 350 MPa.

Ostali podaci: LAB = 0.5 m, LBC = 0.8 m, E = 200 GPa.BC

A

B

C

308

458

(15+5+5=25%)

2. Aluminijumsko vratilo AD, sastavljeno od dva dijela 1 i 2,opterećeno je kao na slici desno. Treba uraditi sljedeće:

a) naći napone u pojedinim segmentima vratila,

b) naći ugao uvijanja presjeka A u odnosu na presjek Cu stepenima,

c) odrediti minimalan prečnik vratila 1, ako je dozvo-ljeni napon τdoz = 100 MPa.

Podaci: LAB = 0.4 m, LBC = 0.4 m, LCD = 0.6 m,D1 = 45 mm, D2 = 40 mm, 2TA = TB = 3TC = 150 Nm.

�

TC

D2 D1

L1 L2

TA A

B

C DTB

1 2

LAB

(10+5+10=25%)

3. Za gredu kvadratnog poprečnog presjeka, opterećenu kaona slici desno, odredi minimalne dimenzije presjeka, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 100 MPa, a dozvo-ljeni tangencijalni napon τdoz = 50 MPa.

AB

2 m 2 m

10 kN 10 kN

15 kN?m

2 m

(25%)

4. Za dio na slici desno naći normalne i tangencijalne naponeu tački B usljed djelovanja vanjskog opterećenja, ako jeprečnik dijela konstantan i iznosi 15 mm.

C

B

z

y

x

240

90

300 N

250 N

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Feb-18

Zadatak A - 1

LAC 1m:= LAB 1m:= α 45°:= E 200GPa:=

dAC 10mm:= AAC

dAC2π⋅

478.54 mm

2⋅=:=

dAB 8mm:= AAB

dAB2π⋅

450.265 mm

2⋅=:=

P 5kN:= ReH 250MPa:=

Rješenje

a)

Pretpostavimo da su oba štapa opterećena zateznim silama

X∑ 0= FAC− FAB cos α( )⋅+ 0=

Y∑ 0= P− FAB sin α( )⋅+ 0=

FABP

sin α( )7.071 kN⋅=:=

FAC FAB cos α( )⋅ 5 kN⋅=:=

σAB

FAB

AAB

140.674 MPa⋅=:=

σAC

FAC

AAC

63.662 MPa⋅=:=

εAB

σAB

E7.034 10

4−

×=:= δAB εAB LAB⋅ 0.703 mm⋅=:=

εAC

σAC

E3.183 10

4−

×=:= δAC εAC LAC⋅ 0.318 mm⋅=:=

b)

SAB

ReH

σAB

1.777=:=

SAC

ReH

σAC

3.927=:=

c)Maksimalna sila se određuje prema štapu AB uz S 2:=

σAB

FAB

AAB

=

P

sin α( ) AAB⋅

=

ReH

S=

Pmax

ReH sin α( )⋅ AAB⋅

S4.443 kN⋅=:=

Zadatak A - 2

D1 35mm:= Io1

D14π⋅

321.473 10

5× mm

4⋅=:= wo1

Io1

D1

2

8.418 103−

× L=:=

D2 25mm:= Io2

D24π⋅

323.835 10

4× mm

4⋅=:=

LAB 0.5m:= LBC 0.5m:= LCD 0.5m:=

E 200GPa:= ν 0.3:= GE

2 1 ν+( )76.923 GPa⋅=:=

TB 60N m⋅:= TC

TB

230 N m⋅⋅=:= TD

TB

320 N m⋅⋅=:=

τdoz 150MPa:=

Rješenje

a) Na osnovu slike se može postaviti uslov ravnoteže (pretpostavimo da TA na vratilo djeluje

prema lijevo):

TA TB+ TC− TD+ 0=

pa je

TA TB− TC TD−+ 50− N m⋅⋅=:=

Mogu se razlikovati tri područja djelovanja konstantnih momenata uvijanja i to:

TAB TA 50− N m⋅⋅=:=

TBC TA TB+ 10 N m⋅⋅=:=

TCD TA TB TC−+ 20− N m⋅⋅=:=

τAB

TAB

Io1

D1

2⋅ 5.939− MPa⋅=:=

τBC

TBC

Io1

D1

2⋅ 1.188 MPa⋅=:=

τCD

TCD

Io2

D2

2⋅ 6.519− MPa⋅=:=

b) Ugao uvijanja presjeka B u odnosu na presjek D

φBC

TBC LBC⋅

G Io1⋅

0.025 °⋅=:=

φCD

TCD LCD⋅

G Io2⋅

0.194− °⋅=:=

φ φBC φCD+ 0.169− °⋅=:= φ 2.949− 103−

×=

c) Minimalan prečnik se određuje prema maksimalnom momentu uvijanja u dijelu 1

τmax

T1max

D1

2

Io1

=

16 T1max⋅

d3π⋅

τdoz<=

d

316 TAB⋅

τdoz π⋅11.929 mm⋅=:=

Zadatak A - 3

LAB 2m:= LAF 1m:= LBM 1m:=

F 900N:= M 400N m⋅:=

σdoz 120MPa:= τdoz 60MPa:=

Id4π⋅

64=

Ad2π⋅

4=

Rješenje

Skicirajmo dijagrame transferzalnih sila i momenata )

i

Fi∑ 0= FA FB+ F− 0= (1)

i

MA∑ 0= FB LAB⋅ M+ F LAF⋅− 0= (2)

Iz (2) sijedi: FB

F LAF⋅ M−

LAB

250 N⋅=:=

Iz (1) slijedi: FA F FB− 650 N⋅=:=

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.6 1.2 1.8 2.4 31− 10

3×

500−

0

500

1 103

×

x, m

F, N

0 0.6 1.2 1.8 2.4 31 10

3×

500

0

500−

1− 103

×

x, m

M, N

mMaksimalni moment savijanja na mjestu djelovanja sile F

Mmax M LAF( ) 650 N m⋅⋅=:=

i vrijedi

Mmaxd

2⋅

I

32Mmax

d3π⋅

σdoz<=

d

332Mmax

π σdoz⋅

38.07 mm⋅=:= Ad2π⋅

41.138 10

3× mm

2⋅=:=

Maksimalna transferzalna sila je u dijelu AF i iznosi

Fmax FA 650 N=:=

τmax4

3

Fmax

A⋅ 0.761 MPa⋅=:= < τdoz

*******************************************************************************************************************

Zadatak A - 4

L1

75mm:= L2

200mm:=

D 30mm:=

AD2π⋅

4706.858 mm

2⋅=:=

ID4π⋅

643.976 10

4× mm

4⋅=:= I

o2I 7.952 10

4× mm

4⋅=:=

Wo

Io

D

2

5.301 103

× mm3

⋅=:=

F1

350N:= F2

300N:=

Rješenje

Sila F1 se redukuje u centar poprečnog presjeka kao

a) Sila smicanja F1 - tangencijalni napon

τA

4

3

F1

A⋅ 660.198 kPa⋅=:=

b) Momenat savijanja F1*L

2

σA

0:=

Sila F2 se redukuje u centar poprečnog presjeka kao

a) Sila zatezanja F2 - normalni napon

τA

F2

A424.413 kPa⋅=:=

b) Momenat savijanja F2*L

1

σA

0:=

Zadatak B - 1

LAB

0.5m:= LBC

0.8m:= αA

30°:= αC

45°:= E 200GPa:=

dAB

1.5mm:= AAB

dAB

2π⋅

41.767 mm

2⋅=:=

dBC

2mm:= ABC

dBC

2π⋅

43.142 mm

2⋅=:=

P 500N:= ReH

350MPa:=

Rješenje

a)

Pretpostavimo da su oba užeta opterećena zateznim silama

X∑ 0= FAB

− cos αA( )⋅ F

BCcos α

C( )⋅+ 0=

Y∑ 0= P− FAB

sin αA( )⋅+ F

BCsin α

C( )⋅+ 0=

FAB

P

sin αA( )

cos αA( )

cos αC( )

sin αC( )⋅+

366.025 N⋅=:=

FBC

FAB

cos αA( )

cos αC( )

⋅ 448.288 N⋅=:=

σAB

FAB

AAB

207.128 MPa⋅=:=

σBC

FBC

ABC

142.694 MPa⋅=:=

εAB

σAB

E1.036 10

3−

×=:= δAB

εAB

LAB

⋅ 0.518 mm⋅=:=

εBC

σBC

E7.135 10

4−

×=:= δBC

εBC

LBC

⋅ 0.571 mm⋅=:=

b)

SAB

ReH

σAB

1.69=:=

SBC

ReH

σBC

2.453=:=

c)Maksimalna sila se određuje prema štapu AB uz S 1.5:=

σAB

FAB

AAB

=

P

sin αA( )

cos αA( )

cos αC( )

sin αC( )⋅+

AAB

⋅

ReH

S<=

Pmax

ReH

Ssin α

A( )cos α

A( )cos α

C( )sin α

C( )⋅+

AAB

⋅

⋅ 563.259 N⋅=:=

Zadatak B - 2

D1 45mm:= Io1

D14π⋅

324.026 10

5× mm

4⋅=:=

D2 40mm:= Io2

D24π⋅

322.513 10

5× mm

4⋅=:=

LAB 0.4m:= LBC 0.4m:= LCD 0.6m:=

E 70GPa:= ν 0.33:= GE

2 1 ν+( )26.316 GPa⋅=:=

TB 150N m⋅:= TA

TB

275 N m⋅⋅=:= TC

TB

350 N m⋅⋅=:=

τdoz 100MPa:=

Rješenje

a) Na osnovu slike se može postaviti uslov ravnoteže (pretpostavimo da TD na vratilo djeluje

prema desno):

TA TB+ TC− TD− 0=

pa je

TD TA TB+ TC− 175 N m⋅⋅=:=

Mogu se razlikovati tri područja djelovanja konstantnih momenata uvijanja i to:

TAB TA 75 N m⋅⋅=:=

TBC TA TB+ 225 N m⋅⋅=:=

TCD TA TB TC−+ 175 N m⋅⋅=:=

τAB

TAB

Io1

D1

2⋅ 4.192 MPa⋅=:=

τBC

TBC

Io1

D1

2⋅ 12.575 MPa⋅=:=

τCD

TCD

Io2

D2

2⋅ 13.926 MPa⋅=:=

b) Ugao uvijanja presjeka A u odnosu na presjek C

φAB

TAB LAB⋅

G Io1⋅

0.162 °⋅=:= φAB 2.832 103−

×=

φBC

TBC LBC⋅

G Io1⋅

0.487 °⋅=:= φBC 8.495 103−

×=

φ φAB φBC+ 0.649 °⋅=:= φ 0.011=

c) Minimalan prečnik se određuje prema maksimalnom momentu uvijanja u dijelu 1

τmax

T1max

D1

2

Io1

=

16 T1max⋅

d3π⋅

τdoz<=

d

316 TBC⋅

τdoz π⋅22.545 mm⋅=:=

Zadatak B - 3

LAB 6m:= L1 2m:= L2 4m:=

F 10kN:= M 15kN m⋅:=

σdoz 100MPa:= τdoz 50MPa:=

Ib4

12=

A b2

=

Rješenje

Skicirajmo dijagrame transferzalnih sila i momenata

i

Fi∑ 0= FA FB+ 2F− 0= (1)

i

MA∑ 0= FB LAB⋅ M− F L1⋅− F L2⋅− 0= (2)

Iz (2) sijedi: FB

F L1⋅ F L2⋅+ M+

LAB

12.5 kN⋅=:=

Iz (1) slijedi: FA 2F FB− 7.5 kN⋅=:=

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 1.2 2.4 3.6 4.8 620−

10−

0

10

20

x, m

F, kN

0 1.2 2.4 3.6 4.8 620

10

0

10−

20−

x, m

M, kN

mMaksimalni moment savijanja na mjestu djelovanja prve sile F i djelovanja momenta

savijanja M (suprotnog su predznaka)

Mmax M L1( ) 15 kN m⋅⋅=:=

i vrijedi

Mmaxb

2⋅

I

6Mmax

b3

σdoz<=

b

36Mmax

σdoz

96.549 mm⋅=:= A b2

9.322 103

× mm2

⋅=:=

Maksimalna transferzalna sila je u dijelu uz oslonac B i iznosi

Fmax FB 12.5 kN⋅=:=

τmax3

2

Fmax

A⋅ 2.011 MPa⋅=:= < τdoz

*******************************************************************************************************************

Zadatak B - 4

L1

90mm:= L2

240mm:=

D 15mm:=

AD2π⋅

4

176.715 mm2

⋅=:=

ID4π⋅

64

2.485 103

× mm4

⋅=:= Io

2I 4.97 103

× mm4

⋅=:=

Wo

Io

D

2

662.68 mm3

⋅=:=

F1

250N:= F2

300N:=

Rješenje

Sila F1 se redukuje u centar poprečnog presjeka kao

a) Sila smicanja F1 - tangencijalni napon

τB

0:=

b) Momenat savijanja F1*L

2

σA

F1L2

⋅

I

D

2

⋅ 181.083 MPa⋅=:=

Sila F2 se redukuje u centar poprečnog presjeka kao

a) Sila smicanja F2 - tangencijalni napon

τA

4

3

F2

A

⋅ 2.264 MPa⋅=:=

b) Momenat uvijanja F2*L

1

σA

F2L1

⋅

Wo

40.744 MPa⋅=:=

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

1. Kruta poluga AC opterećena je kao na slici desno ipričvršćena je štapovima AB i CD, izrađenih od različitogmaterijala i različitog poprečnog presjeka, ali iste dužineod 1 m. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine štapova,

b) ugao rotacije krute poluge u stepenima,

c) promjenu temperature štapa AB da poluga ostane uhorizontalnom položaju.

Ostali podaci: AAB = 2ACD = 2 cm2, EAB = 70 GPa,ECD = 200 GPa, αAB = 22.2× 10−6 1/◦C.

B

A

D

C

4 kN

6 kN

5 kN

3 m2 m2 m 3 m

(15+5+5=25%)

2. Vratilo AD, sastavljeno od dva dijela 1 i 2, opterećeno jekao na slici desno. Treba uraditi sljedeće:

a) skicirati dijagram uvijanja,

b) izračunati reakcije oslonaca,

c) izračunati ugao uvijanja presjeka B u odnosu napresjek D u stepenima.

Podaci: LAB = 0.5 m, LBC = 0.5 m, LCD = 0.75 m,D1 = 40 mm, D2 = 30 mm, 2TB = TC = 80 Nm, E1 = 200GPa, ν1 = 0.33, E2 = 72 GPa, ν2 = 0.3 .

TC

D2D1

L1 L2

A B

C

D

TB

1 2

LAB

(5+15+5=25%)

3. Za gredu kvadratnog poprečnog presjeka, opterećenu kaona slici desno, odredi minimalne dimenzije presjeka, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 12 MPa, a dozvoljenitangencijalni napon τdoz = 2 MPa.

Podaci: LAB = 0.2 m, LAC = 0.5 m, LAD = 1 m, F = 5kN, q0 = 6 kN/m.

LAC

LAD

A C D

FLAB

B

q0

(25%)

4. Pilni list ručne pile na slici desno, zategnut je silom 40 N.Odrediti napone koji vladaju u tačkama A i B.

75 mm

50 mm

8 mm

3 mm

3 mm

8 mm

A

B100 mm

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Jun-17

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa B

1. Kruta poluga AC opterećena je kao na slici desno ipričvršćena je štapovima AB i CD, izrađenih od različitogmaterijala i različitog poprečnog presjeka, ali iste dužineod 0.8 m. Odrediti:

a) napone, deformacije i promjenu dužine štapova,

b) ugao rotacije krute poluge u stepenima,

c) promjenu temperature štapa CD da poluga ostane uhorizontalnom položaju.

Ostali podaci: AAB = 2ACD = 2 cm2, EAB = 70 GPa,ECD = 200 GPa, αCD = 12× 10−6 1/◦C.

B

A

D

C

5 kN

15 kN

4 m6 m 4 m

(15+5+5=25%)

2. Vratilo AD, sastavljeno od dva dijela 1 i 2, opterećeno jekao na slici desno. Treba uraditi sljedeće:

a) skicirati dijagram uvijanja,

b) izračunati reakcije oslonaca,

c) izračunati ugao uvijanja presjeka A u odnosu napresjek C u stepenima.

Podaci: LAB = 0.4 m, LBC = 0.4 m, LCD = 0.5 m,D1 = 50 mm, D2 = 40 mm, TB = 3TC = 60 Nm, E1 = 100GPa, ν1 = 0.35, E2 = 200 GPa, ν2 = 0.33 .

TC

D2D1

L1 L2

A

B

C DTB

1 2

LAB

(5+15+5=25%)

3. Za gredu kružnog poprečnog presjeka, opterećenu kao naslici desno, odredi minimalne dimenzije presjeka, ako jedozvoljeni napon na savijanje σdoz = 10 MPa, a dozvoljenitangencijalni napon τdoz = 1.5 MPa.

Podaci: LAB = 0.3 m, LBC = 0.2 m, LBD = 0.4 m,MC = 1 kNm, q0 = 10 kN/m.

LBC

LBD

B C D

LAB

A

MCq0

(25%)

4. Vijak steznika pravi silu od 2 kN na element koji se steže.Odrediti tangencijalne i normalne napone u sredini i nagornjoj površini poprečnog presjeka a − a, ako je presjekpravougaonik stranica 12× 18 mm.

100 mm

18 mm

a

a

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Jun-17

Zadatak A - 1

L1 2m F1 4kN AAB 2cm2

LAB 1m EAB 70GPa

L2 4m F2 6kN ACD 1cm2

LCD 1m ECD 200GPa

L3 7m F3 5kN αAB 22.2 106

1

Δ°C

L4 10m

Rješenje

a)Pretpostavimo da su oba štapa opterećena zateznim silama i postavimo jednačineravnoteže

Y 0= FAB FCD F1 F2 F3 0= (1)

MA 0= F1 L1 F2 L2 F3 L3 FCD L4 0= (2)

FCD

F1 L1 F2 L2 F3 L3 L4

6.7 kNIz (2) je

Iz (1) je FAB F1 F2 F3 FCD 8.3 kN

σAB

FAB

AAB41.5 MPa εAB

σAB

EAB5.929 10

4 δAB εAB LAB 0.593 mm

σCD

FCD

ACD67 MPa εCD

σCD

ECD3.35 10

4 δCD εCD LCD 0.335 mm

b) φ atanδCD δAB

L4

1.477 103

° u smjeru suprotnom od kretanjakazaljke na satu

c) αAB LAB ΔT δCD δAB=

ΔTδCD δAB

αAB LAB11.615 Δ°C

Zadatak A - 2

D1 40mm Io1

D14

π

322.513 10

5 mm

4

D2 30mm Io2

D24

π

327.952 10

4 mm

4

LAB 0.5m LBC 0.5m LCD 0.75m

E1 200GPa ν1 0.33 G1

E1

2 1 ν1 75.188 GPa

E2 72GPa ν2 0.3 G2

E2

2 1 ν2 27.692 GPa

TB 40N m TC 2TB 80 N m

Rješenje

a) Na osnovu pretpostavke da momenti u uklještenjima imaju pozitivan smjer okretanja imamojednačinu ravnoteže

TA TB TC TD 0=

Mogu se razlikovati tri područja djelovanja konstantnih momenata uvijanja i to:

TAB TA=

TBC TA TB=

TCD TA TB TC= TD=

b) Problem je statički neodređen pa se jedna od nepoznatih može dobiti na osnovudijagrama uvijanja i činjenice da je ukupan ugao uvijanja jednak nuli, tj.

φAB φBC φCD 0=

TAB LAB

G1 Io1

TBC LBC

G1 Io1

TCD LCD

G2 Io2 0=

TA LAB

G1 Io1

TA TB LBC

G1 Io1

TA TB TC LCD

G2 Io2 0=

TA

G1 Io1 LCD TB G2 Io2 LBC TB G1 Io1 LCD TC

G2 Io2 LAB G1 Io1 LCD G2 Io2 LBC 31.931 N m

TD TA TB TC 8.069 N m

c)

φBD φBC φCD=

φBD

TA TB LBC

G1 Io1

TA TB TC LCD

G2 Io2 0.048 °

Zadatak A - 3

LAB 0.2m LAC 0.5m LAD 1m LCD LAD LAC 0.5 m

F 5kN q0 6kN

m

σdoz 12MPa τdoz 2MPa

I b4

= A b2

=

Rješenje

Skicirajmo dijagrame transferzalnih sila i momenata

i

Fi 0= FA FC F1

2q0 LCD 0= (1)

i

MA 0= F LAB FC LAC1

2q0 LCD LAC

2

3LCD

0= (2)

Iz (2) sijedi: FC

1

2q0 LCD LAC

2

3LCD

F LAB

LAC0.5 kN

Iz (1) slijedi: FA1

2q0 LCD F FC 4 kN

Dijagrami sila i momenata savijanja

0 0.2 0.4 0.6 0.8 16

4

2

0

2

x, m

F, k

N

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

x, m

M, k

Nm

Maksimalni moment savijanja na mjestu djelovanja sile F

Mmax M LAB 800 N m

i vrijedi

Mmaxb

2

I

6Mmax

b3

σdoz=

b

36Mmax

σdoz73.681 mm A b

25.429 10

3 mm

2

Maksimalna transferzalna sila je u dijelu AB i iznosi

Fmax FA 4 103

N

τmax3

2

Fmax

A 1.105 MPa < τdoz

*******************************************************************************************************************

Zadatak A - 4

L1 100mm L2 50mm L3 75mm

b 3mm h 8mm

A b h 24 mm2

Ib h

3

12128 mm

4

F 40N

Rješenje

Djelovanje pilnog lista na okvir pile svodi se na djelovanje sile F ulijevo na desnom kraju,odnosno udesno na lijevom kraju (gdje je ručka).

Tačka A

Sila F, posmatrajući desnu stranu, se u presjeku s tačnom A redukuje na silu pritiska imoment savijanja u smjeru kretanja kazaljke na satu:

a) Sila pritisak F - normalni napon

σAzF

A1.667 MPa

b) Momenat savijanja F*L1

σB

F L1

I

h

2 125 MPa (zatezanje)

Tačka B

Sila F, posmatrajući desnu stranu, se u presjeku s tačnom B redukuje na silu smicanja imoment savijanja u smjeru kretanja kazaljke na satu:

a) Sila smicanja F - tangencijalni napon - jednak nuli, jer je tačka B na ivici

b) Momenat savijanja F*L2

σB

F L2

I

h

2 62.5 MPa (zatezanje)

Zadatak B - 1

L1 6m F1 5kN AAB 2cm2

LAB 0.8m EAB 70GPa

L2 10m F2 15kN ACD 1cm2

LCD 0.8m ECD 200GPa

L3 14m αCD 12 106

1

Δ°C

Rješenje

a)Pretpostavimo da su oba štapa opterećena zateznim silama i postavimo jednačineravnoteže

Y 0= FAB FCD F1 F2 0= (1)

MA 0= F1 L1 F2 L2 FCD L3 0= (2)

FCD

F1 L1 F2 L2 L3

12.857kNIz (2) je

Iz (1) je FAB F1 F2 FCD 7.143kN

σAB

FAB

AAB35.714 MPa εAB

σAB

EAB5.102 10

4 δAB εAB LAB 0.408mm

σCD

FCD

ACD128.571 MPa εCD

σCD

ECD6.429 10

4 δCD εCD LCD 0.514 mm

b) φ atanδCD δAB

L3

4.343 104

° u smjeru kretanja kazaljke na satu

c) αCD LCD ΔT δAB δCD=

ΔTδAB δCD

αCD LCD11.054 Δ°C

Zadatak B - 2

D1 50mm Io1

D14

π

326.136 10

5 mm

4

D2 40mm Io2

D24

π

322.513 10

5 mm

4

LAB 0.4m LBC 0.4m LCD 0.5m

E1 100GPa ν1 0.35 G1

E1

2 1 ν1 37.037 GPa

E2 200GPa ν2 0.33 G2

E2

2 1 ν2 75.188 GPa

TB 60N m TC

TB

320 N m

Rješenje

a) Na osnovu pretpostavke da momenti u uklještenjima imaju pozitivan smjer okretanja imamojednačinu ravnoteže

TA TB TC TD 0=

Mogu se razlikovati tri područja djelovanja konstantnih momenata uvijanja i to:

TAB TA=

TBC TA TB=

TCD TA TB TC= TD=

b) Problem je statički neodređen pa se jedna od nepoznatih može dobiti na osnovudijagrama uvijanja i činjenice da je ukupan ugao uvijanja jednak nuli, tj.

φAB φBC φCD 0=

TAB LAB

G1 Io1

TBC LBC

G1 Io1

TCD LCD

G2 Io2 0=

TA LAB

G1 Io1

TA TB LBC

G1 Io1

TA TB TC LCD

G2 Io2 0=

TA

G1 Io1 LCD TB G2 Io2 LBC TB G1 Io1 LCD TC

G2 Io2 LAB G1 Io1 LCD G2 Io2 LBC 51.455 N m

TD TA TB TC 11.455 N m

c)

φAC φAB φBC=

φAC

TA LAB

G1 Io1

TA TB LCD

G1 Io1 0.041 °

Zadatak B - 3

LAB 0.3m LBC 0.2m LBD 0.4m LAD LAB LBD 0.7 m

MC 1kN m q0 10kN

m

σdoz 10MPa τdoz 1.5MPa

Id

4π

32= A

d2

π

4=

Rješenje

Skicirajmo dijagrame transferzalnih sila i momenata

i

Fi 0= FB FD1

2q0 LAB 0= (1)

i

MB 0= MC FD LBD1

2q0 LAB

1

3 LAB 0= (2)

Iz (2) sijedi: FD

MC1

2q0 LAB

1

3 LAB

LBD 2.875 kN

Iz (1) slijedi: FB1

2q0 LAB FD 4.375 kN

Dijagrami sila i momenata savijanja

0 0.14 0.28 0.42 0.56 0.75

2.5

0

2.5

5

x, m

F, k

N

0 0.14 0.28 0.42 0.56 0.71

0.5

0

0.5

1

x, m

M, k

Nm

Maksimalni moment savijanja na mjestu djelovanja momenta Mc s desne strane

Mmax M LAB LBC ε 575 N m

i vrijedi

Mmaxd

2

I

32Mmax

d3

πσdoz=

d

332Mmax

π σdoz83.667 mm A

d2

π

45.498 10

3 mm

2

Maksimalna transferzalna sila je u dijelu BD i iznosi

Fmax FD 2.875 103

N

τmax4

3

Fmax

A 0.697 MPa < τdoz

*******************************************************************************************************************

Zadatak B - 4

L 100mm

b 12mm h 18mm

A b h 216 mm2

Ib h

3

125.832 10

3 mm

4

F 2kN

Rješenje

Djelovanje sile F je usmjereno vodoravno udesno na desnu hvataljku steznika i ulijevo na lijehvataljku steznika. Ako posmatramo bilo koju od strana, sila F se redukuje u centarpoprečnog presjeka a-a kao sila zatezanja i momenat koji s desne strane djeluje u smjerukretanja kazaljke na satu.

a) Sila zatezanja F - normalni napon za sve tačke poprečnog presjeka

σzF

A9.259 MPa

b) Momenat savijanja F*L - na gornjoj površini poprečnog presjeka ima zatezni karakterdok je u sredini jednak nuli

σsF L

I

h

2 308.642 MPa (zatezanje)

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

1. Štapni sistem, sastavljen od čeličnog (1) i aluminijum-skog (2) cilindričnog štapa, opterećen je kao na slici desno.Treba odrediti:

a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmen-tima sistema,

b) pomjeranje presjeka C u odnosu na presjek A,

c) promjenu temperature dijela 1 tako da dio imadužinu jednaku početnoj. Ostali podaci su neprom-jenljivi i isti kao pod a) i b).

Podaci: D1 = 55 mm, D2 = 25 mm, L1 = L2 = 500 mm, LAB = 200 mm, FA = 50 kN, FB = 70 kN, FD = 120 kN, E1 = 200 GPa, E2 = 72 GPa, αAC = 13 · 10−6 1/◦C.

D2D1

FD

A

B CD

FB

L1 L2

1 2

FA

LAB

(15+5+5=25%)

2. Čelično vratilo ABC opterećeno je kao na slici desno. Akoje prečnik vratila d konstantan, treba odrediti:

a) napon u pojedinim dijelovima vratila,

b) ugao uvijanja presjeka B u odnosu na presjek A,

c) maksimalan unutrašnji prečnik vratila uz nepromi-jenjen vanjski prečnik, ako je dozvoljeni napon nauvijanje τdoz = 150 MPa.

Podaci: d = 30 mm, T = 450 Nm, E = 200 GPa, ν = 0.33.of the

B

A

CT

T2

3

T1

3

1.20 m

1.20 m

(10+5+10=25%)

3. Za gredu pravouogaonog poprečnog presjeka opterećenukao na slici desno, odredi dimenzije poprečnog presjekagrede, ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 15 MPa,a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 2 MPa. Širinapoprečnog presjeka grede je 80 mm.Ostali podaci: LAB = 0.5 m, q = 5 kN/m, M = 1 kNm.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

LAB

M

q

A B

(25%)

4. Vratilo svrdla bušilice za zemlju opterećeno je kao naslici desno. Odrediti normalne i tangencijalne napone utačkama A i B usljed djelovanja vanjskog opterećenja, azatim i najveće normalne i maksimalni tangencijalni naponza tačku B.

Consider the equilibrium of the free-body diagram of the

The cross-sectional area and the polar moment of inertia

Presjek a – a

5 kN

4 kNm

a A

B

a

32 mm

25 mm

zz

y

y

x

(15+10=25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Feb-04

Zadatak A - 1

E1

200GPa:= E2

72GPa:=

L1

500mm:= L2

500mm:=

LAB

200mm:= LBC

L1

LAB

− 300 mm⋅=:=

D1

55mm:= D2

25mm:=

A1

D1

2π⋅

42.376 10

3× mm

2⋅=:= A

2

D2

2π⋅

4490.874 mm

2⋅=:=

FA

50kN:= FB

70kN:= FD

120kN:=

αAC

13 106−

⋅

1

∆°C⋅:=

Rješenje

FAB

FA

− 50− kN⋅=:=

FBC

FAB

FB

− 120− kN⋅=:=

FCD

FBC

120− kN⋅=:=

a)

σAB

FAB

A1

21.045− MPa⋅=:= εAB

σAB

E1

1.052− 104−

×=:=

σBC

FBC

A1

50.509− MPa⋅=:= εBC

σBC

E1

2.525− 104−

×=:=

σCD

FCD

A2

244.462− MPa⋅=:= εCD

σCD

E2

3.395− 103−

×=:=

δAB

FAB

LAB

⋅

E1A1

⋅

0.021− mm⋅=:=

δBC

FBC

LBC

⋅

E1A1

⋅

0.076− mm⋅=:=

δCD

FCD

L2

⋅

E2A2

⋅

1.698− mm⋅=:=

b)

δAC

δAB

δBC

+ 0.097− mm⋅=:=

c)

αAC

∆T⋅ L1

⋅ δAD

+ 0= δAD

δAC

δCD

+ 1.794− mm⋅=:=

∆T

δAD

αAC

L1

⋅

− 276.071 ∆°C⋅=:=

Zadatak A - 2

d 30mm:= Iod4π⋅

327.952 10

4× mm

4⋅=:=

Wod3π⋅

165.301 10

3× mm

3⋅=:=

LAB 1.2m:= LBC 1.2m:=

T 450N m⋅:=

TA2

3T 300 N m⋅⋅=:= TB T 450 N m⋅⋅=:= TC

1

3T⋅ 150 N m⋅⋅=:=

E 200GPa:= ν 0.33:= GE

2 1 ν+( )⋅

75.188 GPa⋅=:=

τdoz 150MPa:=

Rješenje

a)

TAB TA 300 N m⋅⋅=:= τAB

TAB

Wo

56.588 MPa⋅=:=

TBC TA TB− 150− N m⋅⋅=:= τBC

TBC

Wo

28.294 MPa⋅=:=

b)

φAB

TAB LAB⋅

G Io⋅3.45 °⋅=:=

c)

τ16TAB

1 ψ4

−( ) d3⋅ π⋅

τdoz<=

ψ

4

116TAB

τdoz π⋅ d3

⋅

− 0.888=:= du ψ d⋅ 26.65 mm⋅=:=

Zadatak A - 3

LAB 0.5m:=

q 5kN

m:= M 1kN m⋅:=

σdoz 15MPa:= τdoz 2MPa:=

b 80mm:=

Ib h

3⋅

12= A b h⋅=

Rješenje

Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za gredu ABC.

Reakcije u osloncima A i B (pretpostavlja se da sile FA i F

B djeluju prema gore).

i

Fi∑ 0= FA FB+ q LAB⋅− 0= (1)

i

MB∑ 0= FB LAB⋅

q LAB2

⋅

2− M− 0= (2)

Iz (2) sijedi: FB

q LAB2

⋅

2M+

LAB

3.25 kN⋅=:=

Iz (1) slijedi: FA q LAB⋅ FB− 0.75− kN⋅=:= (pogrešno pretpostavljen

smijer)

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.54−

2−

0

2

4

x, m

F, kN

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51

0.5

0

0.5−

1−

x, m

M, kN

m

Maksimalni moment savijanja je u osloncu B

Mmax M LAB( ) 1 103

× N m⋅⋅=:=

Mmaxh

2⋅

I

6Mmax

b h2

⋅

σdoz<=

h6 Mmax⋅

b σdoz⋅

70.711 mm⋅=:= A b h⋅ 5.657 103

× mm2

⋅=:=

Provjera tangencijalnog napona

Maksimalna transferzalna sila je u osloncu B: Fmax Ftr LAB( ) 3.25 kN⋅=:=

τ3

2

Fmax

A⋅ 0.862 MPa⋅=:= < τdoz

Zadatak A - 4

du

50mm:=

dv

64mm:= ψdu

dv

0.781=:=

A

dv

2π⋅

41 ψ

2−( )⋅ 1.253 10

3× mm

2⋅=:=

Wo

dv

3π⋅

161 ψ

4−( )⋅ 3.23 10

4× mm

3⋅=:=

F 5− kN:=

T 4kN m⋅:=

Rješenje

σA

F

A3.989− MPa⋅=:= σ

BσA

3.989− MPa⋅=:=

τA

T

Wo

123.85 MPa⋅=:= τB

τA

du

dv

⋅ 96.758 MPa⋅=:=

σ1B

σB

2

σB

2

2

τB

2++ 94.784 MPa⋅=:=

σ2B

σB

2

σB

2

2

τB

2+− 98.773− MPa⋅=:=

τmaxB

σ1B

σ2B

−

296.778 MPa⋅=:=

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa B

1. Štapni sistem, sastavljen od aluminijumskog (1) i bron-zanog (2) štapa kvadratnog poprečnog presjeka, opterećenje kao na slici desno. Treba odrediti:

a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmen-tima sistema,

b) pomjeranje presjeka C u odnosu na presjek A,

c) promjenu temperature dijela 2 tako da dio imadužinu jednaku početnoj. Ostali podaci su neprom-jenljivi i isti kao pod a) i b).

Podaci: b1 = 45 mm, b2 = 40 mm, L1 = L2 = 600 mm,FA = 30 kN, FB = 70 kN, FC = 40 kN, E1 = 72 GPa,E2 = 100 GPa, αBC = 18 · 10−6 1/◦C.

b2b1

FC

A

BC

FB

L1 L2

1 2

FA

(15+5+5=25%)

2. Aluminijumsko vratilo ABC opterećeno je kao na slicidesno. Treba odrediti:

a) napon u pojedinim dijelovima vratila,

b) ugao uvijanja presjeka B u odnosu na presjek C,

c) maksimalan prečnik rupe vratila, ako je dozvoljeninapon na uvijanje τdoz = 150 MPa.

Podaci: T1 = 15 kNm, T2 = 5 kNm, E = 72 GPa, ν = 0.3.

1 m

Presjek a–a

La

a

C

B

A

T2

T1

100 mm

80 mm

(10+5+10=25%)

3. Za gredu pravouogaonog poprečnog presjeka opterećenukao na slici desno, odredi dimenzije poprečnog presjekagrede, ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 12 MPa,a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 1 MPa. Visinapoprečnog presjeka grede je 60 mm.Ostali podaci: LAB = 0.6 m, q = 1 kN/m, 2M1 = M2 = 2kNm.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

LAB

M2

q

A B

M1

(25%)

4. Za dio na slici desno naći normalne i tangencijalne naponeu tačkama A i B usljed djelovanja sile 1.2 kN.

a a

750

450

1.2 kN1.5 kN

50

60

A

B

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Feb-04

Zadatak B - 1

E1

72GPa:= E2

100GPa:=

L1

600mm:= L2

600mm:=

b1

45mm:= b2

40mm:=

A1

b1

22.025 10

3× mm

2⋅=:= A

2b2

21.6 10

3× mm

2⋅=:=

FA

30kN:= FB

70kN:= FD

40kN:=

αBC

18 106−

⋅

1

∆°C⋅:=

Rješenje

FAB

FA

30 kN⋅=:=

FBC

FAB

FB

− 40− kN⋅=:=

a)

σAB

FAB

A1

14.815 MPa⋅=:= εAB

σAB

E1

2.058 104−

×=:=

σBC

FBC

A2

25− MPa⋅=:= εBC

σBC

E2

2.5− 104−

×=:=

δAB

FAB

L1

⋅

E1A1

⋅

0.123 mm⋅=:=

δBC

FBC

L2

⋅

E2A2

⋅

0.15− mm⋅=:=

b)

δAC

δAB

δBC

+ 0.027− mm⋅=:=

c)

αBC

∆T⋅ L2

⋅ δAC

+ 0=

∆T

δAC

αBC

L1

⋅

− 2.458 ∆°C⋅=:=

Zadatak B - 2

dv 200mm:= IBC

dv4π⋅

321.571 10

8× mm

4⋅=:=

WBC

dv3π⋅

161.571 10

6× mm

3⋅=:=

du 160mm:= ψdu

dv

0.8=:=

IAB

dv4π⋅

321 ψ

4−( )⋅ 9.274 10

7× mm

4⋅=:=

WAB

dv3π⋅

161 ψ

4−( )⋅ 9.274 10

5× mm

3⋅=:=

LAB 0.3m:= LAC 1m:= LBC LAC LAB− 0.7m=:=

T1 15kN m⋅:= T2 5kN m⋅:=

E 72GPa:= ν 0.3:= GE

2 1 ν+( )⋅

27.692 GPa⋅=:=

τdoz 150MPa:=

Rješenje

a)

TAB T1 1.5 104

× N m⋅⋅=:= τAB

TAB

WAB

16.174 MPa⋅=:=

TBC TAB T2− 1 104

× N m⋅⋅=:= τBC

TBC

WBC

6.366 MPa⋅=:=

b)

φBC

TBC LBC⋅

G IBC⋅

0.092 °⋅=:=

c)

τ1

16TAB

dv3π⋅ 1 ψ

4−( )⋅

τdoz<=

ψmax

4

116TAB

dv3π⋅ τdoz⋅

− 0.984=:= dumax ψmax dv⋅ 196.738 mm⋅=:=

Zadatak B - 3

LAB 0.6m:=

q 1kN

m:= M1 1kN m⋅:= M2 2kN m⋅:=

σdoz 12MPa:= τdoz 1MPa:=

h 60mm:=

Ib h

3⋅

12= A b h⋅=

Rješenje

Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za gredu AB.

Reakcije u osloncima A i B (pretpostavlja se da sile FA i F

B djeluju prema gore).

i

Fi∑ 0= FA FB+ q LAB⋅− 0= (1)

i

MB∑ 0= FB LAB⋅

q LAB2

⋅

2− M1+ M2− 0= (2)

Iz (2) sijedi: FB

q LAB2

⋅

2M2+ M1−

LAB

1.967 kN⋅=:=

Iz (1) slijedi: FA q LAB⋅ FB− 1.367− kN⋅=:= (pogrešno pretpostavljen

smijer)

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.12 0.24 0.36 0.48 0.64−

2−

0

2

4

x, m

F, kN

0 0.12 0.24 0.36 0.48 0.62

1

0

1−

2−

x, m

M, kN

m

Maksimalni moment savijanja je u osloncu B

Mmax M LAB( ) 2 103

× N m⋅⋅=:=

Mmaxh

2⋅

I

6Mmax

b h2

⋅

σdoz<=

b6 Mmax⋅

h2σdoz⋅

277.778 mm⋅=:= A b h⋅ 1.667 104

× mm2

⋅=:=

Provjera tangencijalnog napona

Maksimalna transferzalna sila je u osloncu B: Fmax Ftr LAB( ) 1.967 kN⋅=:=

τ3

2

Fmax

A⋅ 0.177 MPa⋅=:= < τdoz

Zadatak B - 4

du

100mm:=

dv

120mm:= ψdu

dv

0.833=:=

A

dv

2π⋅

41 ψ

2−( )⋅ 3.456 10

3× mm

2⋅=:=

Wo

dv

3π⋅

161 ψ

4−( )⋅ 1.757 10

5× mm

3⋅=:=

I

dv

4π⋅

641 ψ

4−( )⋅ 5.27 10

3× m mm

3⋅=:=

F 1.2kN:= L1

450mm:= L2

750mm:=

Rješenje

Smicanje silom F

τA

4

3

F

A⋅

1 ψ+ ψ2

+

1 ψ2

+

⋅ 690.699 kPa⋅=:=

τB

0:=

Savijanje momentom F*L2

σA

0:=

σB

F L2

⋅

I−

du

2⋅ 8.539− MPa⋅=:=

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa C

1. Štapni sistem, sastavljen od aluminijskog (1) i čeličnog (2)štapa opterećen je kao na slici desno. Treba odrediti:

a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmen-tima sistema,

b) pomjeranje presjeka D u odnosu na presjek A.

Podaci: D1 = 60 mm, D2 = 50 mm, L1 = L2 = 350 mm,FA = 70 kN, FB = 45 kN, FD = 25 kN, E1 = 72 GPa,E2 = 200 GPa.

D2D1

FD

A

BD

FB

L1 L2

1 2

FA

(15+5=20%)

2. Aluminijumsko vratilo AD, prečnika d = 20 mm, uklje-šteno je na oba kraja i opterećeno kao na slici desno. Trebaodrediti:

a) reakcije oslonaca,

b) napone u pojedinim segmentima vratila,

c) ugao uvijanja presjeka B u odnosu na presjek C.

Ostali podaci: E = 72 GPa, ν = 0.3.

A

80Nm

80Nm

0.6m

0.75m

0.9m

D

B

C

(20+5+5=30%)

3. Za gredu kružnog poprečnog presjeka opterećenu kao naslici desno, odredi dimenzije poprečnog presjeka grede, akoje dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 10 MPa, a dozvol-jeni tangencijalni napon τdoz = 0.8 MPa.Ostali podaci: LAB = 0.4 m, q = 3 kN/m, M = 2 kNm.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

B A

M

LAB

q

(25%)

4. Za dio na slici desno naći normalne i tangencijalne naponeu tačkama A i B usljed djelovanja sile 1.5 kN.

a a

750

450

1.2 kN1.5 kN

50

60

A

B

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Feb-04

Zadatak C - 1

E1

72GPa:= E2

200GPa:=

L1

350mm:= L2

350mm:=

D1

60mm:= D2

50mm:=

A1

D1

2π⋅

42.827 10

3× mm

2⋅=:= A

2

D2

2π⋅

41.963 10

3× mm

2⋅=:=

FA

70kN:= FB

45kN:= FD

25kN:=

Rješenje

FAB

FA

− 70− kN⋅=:=

FBD

FAB

FB

+ 25− kN⋅=:=

a)

σAB

FAB

A1

24.757− MPa⋅=:= εAB

σAB

E1

3.439− 104−

×=:=

σBD

FBD

A2

12.732− MPa⋅=:= εBD

σBD

E2

6.366− 105−

×=:=

δAB

FAB

L1

⋅

E1A1

⋅

0.12− mm⋅=:=

δBD

FBD

L2

⋅

E2A2

⋅

0.022− mm⋅=:=

b)

δAD

δAB

δBD

+ 0.143− mm⋅=:=

Zadatak C - 2

d 20mm:= Iod4π⋅

321.571 10

4× mm

4⋅=:=

Wod3π⋅

161.571 10

3× mm

3⋅=:=

LAB 0.6m:= LBC 0.75m:= LCD 0.9m:=

TB 80N m⋅:= TC 80N m⋅:=

E 72GPa:= ν 0.3:= GE

2 1 ν+( )⋅

27.692 GPa⋅=:=

Rješenje

a) φAB φBC+ φCD+ 0=

TA LAB⋅

Io G⋅

TA TB−( ) LBC⋅

Io G⋅+

TA TB− TC−( ) LCD⋅

Io G⋅+ 0=

TA

LBC TB⋅ LCD TB⋅+ LCD TC⋅+

LAB LBC+ LCD+

90.667 N m⋅⋅=:=

TA TB− TC− TD− 0=

TD TA TB− TC− 69.333− N m⋅⋅=:=

b)

TAB TA 90.667 N m⋅⋅=:= τAB

TAB

Wo

57.72 MPa⋅=:=

TBC TAB TB− 10.667 N m⋅⋅=:= τBC

TBC

Wo

6.791 MPa⋅=:=

TCD TBC TC− 69.333− N m⋅⋅=:= τBC

TCD

Wo

44.139 MPa⋅=:=

c)

φBC

TBC LBC⋅

G Io⋅1.054 °⋅=:=

Zadatak C - 3

LAB 0.4m:=

q 3kN

m:= M 2kN m⋅:=

σdoz 10MPa:= τdoz 0.8MPa:=

Id4π⋅

64= A

d2π⋅

4=

Rješenje

Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za konzolu AB.

i

Fi∑ 0= FB q LAB⋅− 0= (1)

i

MB∑ 0= M MB−

q LAB2

⋅

2− 0= (2)

(pogrešno pretpostavljen

smijer)Iz (2) sijedi: MB M

q LAB2

⋅

2− 1.76 kN m⋅⋅=:=

Iz (1) slijedi: FA q LAB⋅ 1.2 kN⋅=:=

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.08 0.16 0.24 0.32 0.44−

2−

0

2

4

x, m

F, kN

0 0.08 0.16 0.24 0.32 0.42

1

0

1−

2−

x, m

M, kN

m

Maksimalni moment savijanja je na kraju A

Mmax M 0m( ) 2 kN m⋅⋅=:=

Mmaxd

2⋅

I

32Mmax

d3π⋅

σdoz<=

d

332 Mmax⋅

π σdoz⋅

126.768 mm⋅=:= Ad2π⋅

41.262 10

4× mm

2⋅=:=

Provjera tangencijalnog napona

Maksimalna transferzalna sila je u osloncu B: Fmax Ftr LAB( ) 1.2 kN⋅=:=

τ4

3

Fmax

A⋅ 0.127 MPa⋅=:= < τdoz

Zadatak C - 4

du

100mm:=

dv

120mm:= ψdu

dv

0.833=:=

A

dv

2π⋅

41 ψ

2−( )⋅ 3.456 10

3× mm

2⋅=:=

Io

dv

4π⋅

321 ψ

4−( )⋅ 1.054 10

4× m mm

3⋅=:=

Wo

dv

3π⋅

161 ψ

4−( )⋅ 1.757 10

5× mm

3⋅=:=

I

dv

4π⋅

641 ψ

4−( )⋅ 5.27 10

3× m mm

3⋅=:=

F 1.5kN:= L1

450mm:= L2

750mm:=

Rješenje

Smicanje silom F

τA

0:=

τBs

4

3

F

A⋅

1 ψ+ ψ2

+

1 ψ2

+

⋅ 863.374 kPa⋅=:=

Uvijanje momentom F*L1

τA

F L1

⋅

Wo

3.842 MPa⋅=:=

τBu

F L1

⋅

Io

du

2⋅ 3.202 MPa⋅=:= τ

BukτBs

τBu

+ 4.065 MPa⋅=:=

Savijanje momentom F*L2

σA

F L2

⋅

I

dv

2⋅ 12.808 MPa⋅=:=

σB

0:=

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa D

1. Štapni sistem, sastavljen od bronzanog (1) i čeličnog (2)štapa kvadratnog poprečnog presjeka, opterećen je kao naslici desno. Treba odrediti:

a) napon, izduženje i deformaciju u pojedinim segmen-tima sistema,

b) pomjeranje presjeka D u odnosu na presjek B.

Podaci: b1 = 55 mm, b2 = 50 mm, L1 = L2 = 250 mm,LCD = 100 mm, FA = 10 kN, FC = 40 kN, FD = 50 kN,E1 = 100 GPa, E2 = 200 GPa.

b2b1

FD

A

CBD

FC

L1 L2

1 2

FA

LCD

(15+5=20%)

2. Vratilo AB od bronze, uklješteno je na oba kraja iopterećeno kao na slici desno. Treba odrediti:

a) reakcije oslonaca,

b) napone u pojedinim segmentima vratila,

c) ugao uvijanja presjeka C u odnosu na presjek D.

Podaci: E = 100 GPa, ν = 0.34.

0.15m

0.2m

0.3m

25 mm

12 mmA

B

C

D 680 Nm

(20+5+5=30%)

3. Za gredu kvadratnog poprečnog presjeka opterećenu kao na slici desno, odredi dimenzije poprečnog presjeka grede, ako je dozvoljeni napon na savijanje σdoz = 9 MPa, a dozvoljeni tangencijalni napon τdoz = 0.8 MPa.Ostali podaci: LAC = 0.7 m, LAB = 0.2 m, q = 2 kN/m, M = 1 kNm.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

C A

LAC

q M

LBC B

(25%)

4. Za kliješta na slici desno izračunati normalne i tangenci-jalne napone u tačkama A i B poprečnog presjeka a − ausljed djelovanja sile od 100 N.

Referring to the free-body diagram of the handle shown in

250 mm

100 N

100 N

a

Presjek a – a

a

A

B

C

25 mm

25 mm

10 mm

20 mm7.5 mm

45°

(25%)

Vrijeme izrade - 135 minuta

MF-UNZE, 2015-Feb-04

Zadatak D - 1

E1

100GPa:= E2

200GPa:=

L1

250mm:= L2

250mm:=

LCD

100mm:= LBC

L2

LCD

− 150 mm⋅=:=

b1

55mm:= b2

50mm:=

A1

b1

23.025 10

3× mm

2⋅=:= A

2b2

22.5 10

3× mm

2⋅=:=

FA

10kN:= FC

40kN:= FD

50kN:=

Rješenje

FAB

FA

− 10− kN⋅=:=

FBC

FAB

10− kN⋅=:=

FCD

FAB

FC

− 50− kN⋅=:=

a)

σAB

FAB

A1

3.306− MPa⋅=:= εAB

σAB

E1

3.306− 105−

×=:=

σBC

FBC

A2

4− MPa⋅=:= εBC

σBC

E2

2− 105−

×=:=

σCD

FCD

A2

20− MPa⋅=:= εCD

σCD

E2

1− 104−

×=:=

δAB

FAB

L1

⋅

E1A1

⋅

8.264− 103−

× mm⋅=:=

δBC

FBC

LBC

⋅

E2A2

⋅

3− 103−

× mm⋅=:=

δCD

FCD

LCD

⋅

E2A2

⋅

0.01− mm⋅=:=

b)

δBD

δBC

δCD

+ 0.013− mm⋅=:=

Zadatak D - 2

dAC 12mm:= IoAC

dAC4π⋅

322.036 10

3× mm

4⋅=:=

WoAC

dAC3π⋅

16339.292 mm

3⋅=:=

dCB 25mm:= IoCB

dCB4π⋅

323.835 10

4× mm

4⋅=:=

WoCB

dCB3π⋅

163.068 10

3× mm

3⋅=:=

LAC 0.15m:= LCD 0.2m:= LDB 0.3m:=

TD 680N m⋅:=

E 100GPa:= ν 0.34:= GE

2 1 ν+( )⋅

37.313 GPa⋅=:=

Rješenje

a) φAC φCD+ φDB+ 0=

TA LAC⋅

IoAC G⋅

TA LCD⋅

IoCB G⋅+

TA TD−( ) LDB⋅

IoCB G⋅+ 0=

TA

IoAC LDB⋅ TD⋅

IoCB LAC⋅ IoAC LDB⋅+ IoAC LCD⋅+

61.34 N m⋅⋅=:=

TA TB− TD+ 0=

TB TA TD− 618.66− N m⋅⋅=:=

b)

TAC TA 61.34 N m⋅⋅=:= τAB

TAC

WoAC

180.79 MPa⋅=:=

TCD TA 61.34 N m⋅⋅=:= τBC

TCD

WoCB

19.994 MPa⋅=:=

TDB TCD TD− 618.66− N m⋅⋅=:= τBC

TDB

WoCB

201.652 MPa⋅=:=

c)

φCD

TCD LCD⋅

G IoCB⋅

0.491 °⋅=:=

Zadatak D - 3

LAC 0.7m:= LAB 0.2m:=

q 2kN

m:= M 1kN m⋅:=

σdoz 9MPa:= τdoz 0.8MPa:=

Ib4

12= A b

2=

Rješenje

Posmatrajmo raspodjelu transferzalnih sila i momenata savijanja za konzolu AB.

i

Fi∑ 0= FC q LAC⋅− 0= (1)

i

MB∑ 0= MC M−

q LAC2

⋅

2− 0= (2)

Iz (2) sijedi: MC Mq LAC

2⋅

2+ 1.49 kN m⋅⋅=:=

Iz (1) slijedi: FA q LAC⋅ 1.4 kN⋅=:=

Dijagrami momenata savijanja i sila

0 0.14 0.28 0.42 0.56 0.74−

2−

0

2

4

x, m

F, kN

0 0.14 0.28 0.42 0.56 0.72

1

0

1−

2−

x, m

M, kN

m

Maksimalni moment savijanja je u uklještenju C

Mmax M LAC( ) 1.49 kN m⋅⋅=:=

Mmaxb

2⋅

I

6Mmax

b3

σdoz<=

b

36 Mmax⋅

σdoz

99.777 mm⋅=:= A b2

9.956 103

× mm2

⋅=:=

Provjera tangencijalnog napona

Maksimalna transferzalna sila je u uklještenju C: Fmax Ftr LAC( ) 1.4 kN⋅=:=

τ3

2

Fmax

A⋅ 0.211 MPa⋅=:= < τdoz

Zadatak D - 4

b 7.5mm:= h 20mm:=

A b h⋅ 150 mm2

⋅=:= Ib h

3⋅

125 10

3× mm

4⋅=:=

F 100N:= L1

250mm:= L2

50mm:= L3

25mm:=

Rješenje

Sila koja pritišće cijev

FCL2

⋅ F L1

⋅=

FC

L1

L2

F⋅ 500 N=:=

Smicanje silom FC

τA

0:=

τBs

3

2

FC

A⋅ 5 MPa⋅=:=

Savijanje momentom FC*L

3

σA

FC

L3

⋅

I−

h

2⋅ 25− MPa⋅=:=

σB

0:=