pismeni ispit iz matematike 1 - university of belgrade...univerzitet u beogradu 17.01.2018....

UNIVERZITET U BEOGRADU 17.01.2018.GRA�EVINSKI FAKULTET

PISMENI ISPIT IZ MATEMATIKE 1

1. Date su matrice

A =

3a+ 1 3 33 3a+ 1 33 3 3a+ 1

i B =

0 3 33 0 23 2 0

.a) U zavisnosti od realnog parametra a rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 1 1 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(C), gde je f(x) = xn+n i C = A−B, za a = 0.

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ 2y + z = 2 i β : x+ y + z = 3.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(1, 2, 3) u odnosu na pravu p. Odrediti

projekciju taqke A′ na ravan α.

b) Prava q se nalazi u preseku ravni α i β. Odrediti me�usobni polo�aj

pravih p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) = (x+ 1)e1/(x−1) i g(x) = arctgx− 1

x+ 1

a) Oblast definisanosti funkcije h(x) := g(x)/f(x) +√lnx2.

b) Nule i znak funkcije g.

v) Asimptote funkcije f .

g) Prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g.

4. Odrediti slede�e integrale:

a)

∫cosx · sin sinx

sin3 sinx+ cos3 sinxdx b)

∫2ex + 3e2x + 2e3x√

2ex − e2xdx.



1. Date su matrice

A =

a+ 2 2 22 a+ 2 22 2 a+ 2

i B =

a+ 11 0 00 0 a+ 20 a+ 2 0


A · [x y z ]T = [ 0 (a− 2) (a− 2)2 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(C), gde je f(x) = x2018 i C = A+B, za a = −2.

2. Date su prava p : x = −y = z i ravni α : x+3y+ z = 3 i β : x+ y+ z = 3.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(3, 2, 1) u odnosu na ravan α. Odrediti

projekciju taqke A′ na ravan p.


pravih p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) =x2 + 1

x− 1

√x2 − 1

x4 + x2 + 1i g(x) = arctg

1 + 2x

1 + 3x

a) Oblast definisanosti funkcije h(x) :=√g(x) + ln(f(x)) + ln(x2).

b) Nule i znak funkcije f .



4. Izraqunati slede�e integrale:

a)

∫ln5 x

x(ln4 x+ ln2 x− 2)dx b)

∫cosx

√sin2 x+ sinx dx.



1. Date su matrice

A =

3 3 a2 + 33 a2 + 3 3

a2 + 3 3 3

i B =

0 1 21 0 21 2 0


A · [x y z ]T = [ a2 + 3 a2 − 3 a2 + 3 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(C), gde je f(x) = x2·1009 i C = A−B, za a = 0.

2. Date su prava p : x = −y = z i ravni α : 5x+ y+5z = 5 i β : x+ y+ z = 5.

a) Odrediti pravu p′ koja je simetriqna pravoj p u odnosu na ravan α.


pravih p′ i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) =x2 − 1

x2 + 1arctg

x2 + 1

x2 − 1i g(x) = x+ ln

x3 + 1

x3 − 1

a) Oblast definisanosti funkcije h(x) := 17√g(x) + ln3(f(x)) + ln(x2018).

b) Nule i znak funkcije f .




a)

∫arctg6 x

(x2 + 1)(arctg4 x+ arctg2 x− 2)dx b)

∫e5x + ex√

e4x − e3x + e2xdx.



1. Data je matrica

A =

1 1 a− 11 a− 1 1

a− 1 1 1


A · [x y z ]T = [ a+ 1 a+ 1 a+ 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(A), gde je f(x) = x8·6·2018 + 1, za a = 1.

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+2y+3z = 4 i β : 4x+3y+2z = 1.

a) Neka je A, odnosno B, taqka prodora prave p kroz ravan α, odnosno ravanβ. Odrediti ravan koja sadr�i koordinatni poqetak i taqke A i B.

b) Prava q se nalazi u preseku ravni α i β. Pokazati da su prave p i qmimoilazne, a potom odrediti jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) = (x− 1)ex−1 i g(x) = x2 + lnx2 − 1

x2 + 1

Odrediti:

a) oblast definisanosti funkcije h(x) := 4√f(x) + arctg(x−1) + sin(g(x)),

b) asimptote funkcije f ,

v) lokalne ekstremume i intervale monotonosti funckije g,

g) prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije f .


a)

∫9 sinx cosx

(sinx+ 2)(sin2 x+ sinx+ 7)dx b)

∫ln4 x+ ln3 x+ lnx+ 1

x√ln2 x+ lnx+ 1

dx.



1. Data je matrica

A =

1 2a+ 2 31 2 3a+ 3

a+ 1 2 3


A · [x y z ]T = [ 3a+ 3 2a+ 2 a+ 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(A), gde je f(x) = xn + 2018, za a = 0.

2. Date su ravan α : x+ y+ z = 0 i prave p : x = y = 1+ z i q : 1−x = y = z.

a) Pokazati da su prave p i q mimoilazne, a potom odrediti jednaqinu za-

jedniqke normale. Da li je rastoja�e izme�u pravih p i q ve�e od 1?

b) Taqka A se nalazi u preseku ravni α i prave p, a taqka B u preseku ravni

α i prave q. Odrediti sve one taqke koje su podjednako udaene od A i B.

3. Date su funkcije

f(x) =3√x3 + x− 3

√x3 − x i g(x) =

ex2+x

x2 + x+ 2018.

Odrediti:

a) oblast definisanosti funkcije h(x) := cos(f(x)) + xx + ln(g(x)− 2018).

b) nule i znak funkcije f ,

v) asimptote funkcije f ,

g) lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.


a)

∫3e2x − 2ex

e3x − e2x − 4dx b)

∫(tg x− 1)(tg2 x+ 1)

cos2 x√tg2 x− tg x+ 1

dx.



1. Data je matrica

A =

1 1 a+ 12 2a+ 2 2

3a+ 3 3 3


A · [x y z ]T = [ a+ 3 2a+ 2 3a+ 1 ]T .

b) Odrediti vrednost izraza f(A), gde je f(x) = x2018 − 2018, za a = 0.

2. Date su ravni α : x + y + z = 0, β : x − y + z = 0 i γ : x = z. U preseku

ravni α i γ se nalazi prava p, a u preseku ravni β i γ prava q.

a) Ispitati me�usobni polo�aj pravih p i q. Ukoliko se prave seku prona�ikoordinate preseqne taqke, a ako su prave p i q mimoilazne odrediti

jednaqinu zajedniqke normale.

b) Prava p′ je projekcija prave p na ravan γ. Odrediti ugao koji zaklapaju

prave p′ i q.

3. Date su funkcije

f(x) = (x− 1)e−1/x i g(x) = 4x+ ln4 + x2

4− x2.

Odrediti:

a) oblast definisanosti funkcije h(x) := ln(f(x)) +√ln(x) · g(x),

b) nule i znak funkcije f ,

v) asimptote funkcije f ,

g) prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g.


a)

∫1 + cos x− sinx

1− cosx+ sinxdx b)

∫(e2x − 2)(ex − 1)√

e2x − ex + 1·e2x dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

a− 2 2 22 a− 2 22 2 a− 2b

.a) Ako je b = 1, u zavisnosti od realnog parametra a rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 2 a+ 2 2 ]T .

b) Ako je a = 5, u zavisnosti od realnog parametra b, primenom teoreme Kroneker {

Kapelija rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 1 2 1 ]T .

v) Ako je a = b = 1 i p (x) = x2019 + 18, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ 3y + z = 4 i β : x− y + z = 0.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(3, 2, 1) u odnosu na pravu p. Odrediti projekcijutaqke A′ na ravan α.

b) Prava q se nalazi u preseku ravni α i β. Odrediti me�usobni polo�aj pravih

p i q. Ako su iste mimoilazne, odrediti jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) = arctg1− x1 + x

i g(x) =1

x(1 + ln x).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := ln(f(x)) + 2019√g(x) · ln2 x2.

b) Odrediti asimptote funkcije f .

v) Odrediti lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.

g) Skicirati grafike funkcija arcsin(x), log2019 x i arcctg(x).

4. Izraqunati slede�e integrale:∫sin cosx sinx

sin3 cosx− cos3 cosxdx,

∫3x2 − 2x+ 3√

x2 − 2xdx i

∫ex ln

ex − 1

ex + 1dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a+ 1 a+ 1a− 1 −1 a− 1a+ 1 a+ 1 1− b2


A · [x y z ]T = [ a+ 1 a− 1 a+ 1 ]T .



A · [x y z ]T = [−1 0 1 ]T .

v) Ako je a = b = 0 i p (x) = xn + n, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = −y = z, ravan α : x+ y + z = 3 i taqka A(1, 1, 1).

a) Da li taqka A pripada projekciji prave p na ravan α?

b) Odrediti sve one taqke koje se nalaze na pravoj p i qije je rastoja�e od ravni αjednako

√3, a potom i rastoja�e taqke A od prave p.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 − 1−

√x2 + 1 i g(x) = (1 + x) ln(1− x2).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := arctg(f(x)) +√g(x) + arcsin(x2019).


v) Odrediti prevojne taqke i intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije g.

g) Skicirati grafike funkcija arcsinx, arctg x i (0.2019)x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫sinx

cos4 x− cos3 x− cosx+ 1dx,

∫(1 + x)

√2x− x2 dx i

∫arctg

1 +√x

1−√xdx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a− 1 a− 1a− 1 a+ 1 a+ 1a− 1 a+ 1 2− b


A · [x y z ]T = [−1 − 1 − 1 ]T .



A · [x y z ]T = [−1 − 1 − 1 ]T .

v) Ako je a = 0, b = 1 i p (x) = x2019 + 2019, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ 3y + z = 3 i β : x+ y + z = 2.

a) Taqka A′ je simetriqna taqki A(1, 0, 1) u odnosu na pravu p. Da li je taqka A′

bli�a ravni α ili ravni β?


p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) = (2x+ 1)e2x−1 i g(x) = arctg2x+ 1

2x− 1.

a) Odrediti domen funkcije h(x) := ln(f(x) · g(x)) + ln√lnx+ 2019.



g) Skicirati grafike funkcija arcctg x, arctg x i (16 + 3 + 2019)x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫ex cos ex

sin4 ex − 3 sin3 ex + sin2 ex + 4dx,

∫3x+ x3√2x+ x2

dx i

∫arctg

1−√x

1 +√xdx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a+ 1 a+ 1a+ 1 a− 1 a− 1a+ 1 a− 1 3− b


A · [x y z ]T = [−1 1 − 1 ]T .



A · [x y z ]T = [ 1 − 1 1 ]T .

v) Ako je a = 0, b = 2 i p (x) = xn + xn−1 − 1, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = −y = z i ravni α : x− 3y + z = 3 i β : x− y + z = 1.

a) Taqka A′ je projekcija taqke A(1, 0, 1) na pravu p. Odrediti projekcije taqke A′

na ravni α i β.


p i q. Ukoliko se iste seku, prona�i koordinate preseqne taqke.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 − 1−

√x2 + 1 i g(x) = ln

x2 − 1

x2 + 1.

a) Odrediti domen funkcije h(x) := 7√f(x) + 6

√g(x) + 2019

√f(x) + g(x).



g) Skicirati grafike funkcija arcsinx, arccosx i tg x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫x dx

x8 − 3x6 + x4 + 4,

∫1 + x2 + x4√1 + x+ x2

dx i

∫(sin lnx+ cos lnx) dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

1 a 2aa 2a 3a2a 3a a+ b


A · [x y z ]T = [ a a a ]T .



A · [x y z ]T = [ 1 − 1 1 ]T .

v) Ako je a = 0, b = 1 i p (x) = x28 + 6x+ 2019, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Prava p se nalazi u preseku ravni α : x− 3y + z = 3 i β : x− y + z = 1.

a) Odrediti projekciju taqke A na pravu p.

b) Odrediti me�usobni polo�aj pravih p i q : x = y = z. Ako se prave p i q sekuodrediti koordinate preseqne taqke, a ukoliko su prave mimoilazne odrediti

jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − x+ 1 i g(x) = earctg(1/x).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := f(x) + g(x) + arctg lnx+ ln arctg x.



g) Skicirati grafike funkcija 2x, lnx i arcctg x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫e2x dx

e8x − 3e6x + e4x + 4,

∫−x+ x3 − x5√1 + x2 + x4

dx i

∫ln

1 + x

1− x· x√

1− x2dx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

−1 a− 1 a− 1a+ 1 1 a+ 1a− 1 a− 1 b2 − 1


A · [x y z ]T = [−1 a− 1 − 1 ]T .



A · [x y z ]T = [−1 0 1 ]T .

v) Ako je a = b = 0 i p (x) = xn + n, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z, ravan α : x+ y + z = 3 i taqka A(1, 1, 1).

a) Da li taqka A pripada projekciji prave p na ravan α?

b) Odrediti sve one taqke koje se nalaze na pravoj p i qije je rastoja�e od ravni αjednako

√3, a potom i rastoja�e taqke A od prave p.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + 1−

√x2 − 1 i g(x) = (1 + x) ln(1− x2).

a) Odrediti domen funkcije h(x) := sin24(f(x)) + 8√g(x) + cos(x2019).



g) Skicirati grafike funkcija arccosx, arctg x i (24.08)x.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫dx

cos2 x(tg4 x− tg3 x− tg x+ 1),

∫(1−x)

√2x− x2 dx i

∫arctg

1−√x

1 +√xdx.


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

2− a 2 22 2− a 22 2 2− a


A · [x y z ]T = [ 2 0 2 ]T .

b) Ako je a = 3 i p (x) = x14 + x1 + x2020, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = y = z i ravni α : x+ y + z = 0 i β : x− y + z = 0.

a) Taqka A′ je projekcija taqke A(1, 0, 1) na pravu p. Odrediti projekciju taqke A′

na ravan α.


p i q. Ako su iste mimoilazne, odrediti jednaqinu zajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) = arctgx+ 1

x− 1i g(x) = earctg 1/x.

a) Odrediti domen funkcije h(x) := ln(f(x) · g(x)) + arcsin(x).


v) Odrediti lokalne ekstremume i intervale monotonosti funkcije g.

4. Izraqunati slede�e integrale:∫ex sin ex

sin3 ex − cos3 exdx, i

∫2x2 − 3x+ 2√

x2 − 2xdx


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

3 3 3− a3− a 3 33 3− a 3


A · [x y z ]T = [ 3 0 3 ]T .

b) Ako je a = 0 i p (x) = 2020x2020, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su prava p : x = −y = z, ravan α : x+ y + z = 0 i taqka A(1, 1, 1).

a) Odrediti presek ravni α i β, ako je β ravan koja sadr�i pravu p i taqku A.

b) Odrediti projekciju prave p na ravan α.

3. Date su funkcije

f(x) = ln2x+ 3

3x+ 2i g(x) = e1/x(x− 1) + 2020.

a) Odrediti domen funkcije h(x) := 2020√

(f(x) + arctg(g(x)) + 2020√2020.



4. Izraqunati slede�e integrale:∫x3 + 2x2 + 2x− 3

x3 − x− 6dx i

∫ √sin2 2x− 2 sin 2x cos 2xdx


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

5 + a 5 + a 55 5 55 5 + a 5 + a

.a) (10p) U zavisnosti od realnog parametra a rexiti sistem:

A · [x y z ]T = [ 0 5 + a 0 ]T .

b) (10p) Ako je a = 0 i p (x) = 5x5n + 5, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su ravni α : x+y+z = 0, β : x−y+z = 0 i taqka A(1, 1, 1). Prava p je normalnana ravan α i sadr�i taqku A, a prava q se nalazi u preseku ravni α i β.

a) (5p) Odrediti projekciju taqke A na pravu q.

b) (5p) Ispitati me�usobni polo�aj pravih p i q. Ukoliko se prave seku odreditikoordinate preseqne taqke, a ako su prave p i q mimoilazne prona�i jednaqinuzajedniqke normale.

3. Date su funkcije

f(x) =3√x3 + x2 + x+ 1− 3

√x3 + x2 − x− 1 i g(x) = arctg

x3 − 1

x3 + 1.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := arcctg f(x) + ln g(x) + 2020x2020

.

b) (5p) Odrediti asimptote funkcije f .

v) (5p) Odrediti prevojne taqke i intervale konveksnosti funkcije g.

4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫2e3x + 2ex

e3x + e2x − ex − 1dx i

∫ √cos2 2x+ 2 cos 2x sin 2xdx


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

3 3 3 + 3a3 + 3a 3 3 + 3a3 + 3a 3 3


A · [x y z ]T = [ 0 3 + 3a 0 ]T .

b) (10p) Ako je a = 0 i p (x) = 3x3n + 3, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su ravan α : x + 2y + 3z + 4 = 0 i prave p : x = y = z i q : x = −y = z. Ravan βsadr�i prave p i q.

a) (5p) Odrediti projekciju preseqne taqke pravih p i q na ravan α.

b) (5p) Ispitati me�usobni polo�aj ravni α i β. Ukoliko se ravni seku odreditijednaqinu preseqne prave i ispitati da li se taqka (1, 2, 3) nalazi na takoodre�enoj pravoj.

3. Date su funkcije

f(x) = lnx2 − 2

x2 + 2i g(x) = (x3 + 3)ex

3−3.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := 2020√f(x) + ln2020 g(x) + sin 2020.


v) (5p) Odrediti lokalne ekstreme i intervale monotonosti funkcije g.

4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫2 ln2 x+ 2

x(ln3 x+ ln2 x− lnx− 1)dx i

∫tg4 x+ 4 tg x

cos2 x√tg2 x+ 4 tg x

dx


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

2 2 + 3a 2 + 3a2 2 2

2 + 3a 2 + 3a 2


A · [x y z ]T = [ 0 2 + 3a 0 ]T .

b) (10p) Ako je a = 0 i p (x) = 13x7 + 2020, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su ravan α : x+ 2y + 3z + 4 = 0 i prave p : −x = y = −z i q : x = y = z. Ravan βsadr�i prave p i q.

a) (5p) Odrediti projekciju preseqne taqke pravih p i q na ravan α.


3. Date su funkcije

f(x) =√x2 − x+ 2−

√x2 + x− 2 i g(x) = arctg

x+ 3

x− 3.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := 13√f(x) + 7

√x + 2020

√g(x) .



4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫2 ln2 x+ 2

x(ln3 x+ ln2 x− lnx− 1)dx i

∫sin4(4x) + 4 sin(4x)√sin2(4x) + 4 sin(4x)

cos(4x)dx .


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

3 3 + 2a 3 + 2a3 3 3

3 + 2a 3 + 2a 3


A · [x y z ]T = [ 0 3 + 2a 0 ]T .

b) (10p) Ako je a = 0 i p (x) = x13 + x8 + x2020, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su ravan α : x + y + z = 0 i prave p : x = y = z i q : −x = y = −z. Prave p i qse seku u taqki O, a ravan β sadr�i navedene prave.

a) (5p) Odrediti projekciju taqke O na ravan α.


3. Date su funkcije

f(x) = arctgx2 + 1

x2 − 1i g(x) = ln

x2 − 1

x2 + 1.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := 2020√f(x)g(x) + arcsin(x).



4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫2 ln2 x+ lnx+ 2

x(ln3 x+ 1)dx i

∫(1− sinx)

√1 + sin x+ sin2 x cosx dx .


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

3− 2a 3− 2a 33 3 33 3− 2a 3− 2a


A · [x y z ]T = [ 0 3− 2a 0 ]T .

b) (10p) Ako je a = 0 i p (x) = x22 + x8 + x2020, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su ravan α : x− y+ z = 0 i prave p : x+1 = y+2 = z+3 i q : 3+x = −y = z+5.Prave p i q se seku u taqki O, a ravan β sadr�i navedene prave.



3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + 22−

√x2 − 8x+ 2020 i g(x) = arctg

1

1 + x2.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := sin2020(f(x)) + arcsin(g(x)).



4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫2 sin2 x cosx+ sinx cosx+ 2 cosx

sin3 x+ 1dx i

∫(22x + 2x)2√22x + 2x + 2

dx .


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

2− 2a 2 22− 2a 2− 2a 2− 2a

2 2 2− 2a


A · [x y z ]T = [ 0 2− 2a 0 ]T .

b) (10p) Ako je a = 0 i p (x) = 2020 + x2020, odrediti vrednost izraza p (A).

2. Date su ravan α : x+ y+ z = 0 i prave p : x+ 1 = y+ 2 = z + 1 i q : 1− x = y = 1− z.Prave p i q se seku u taqki O, a ravan β sadr�i navedene prave.

a) (5p) Odrediti simetriqnu taqku taqke O u odnosu na ravan α.


3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − 3x+ 2 i g(x) = ln

x

1 + x2.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := cos2020(f(x)) + arccos(g(x)).



4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫ctg2(2020x) + ctg(2020x) + 2

sin2(2020x) (ctg3(2020x)− 1)dx i

∫(32x + 3x)2√32x − 3x + 3

dx .


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

2− 2a 2− 2a 22 2− 2a 22 2− 2a 2− 2a


A · [x y z ]T = [ 0 2− 2a 0 ]T .


2. Date su ravan α : x+ y+ z = 0 i prave p : x+ 1 = y+ 2 = z + 1 i q : 1− x = y = 1− z.Prave p i q se seku u taqki O, a ravan β sadr�i navedene prave.

a) (5p) Odrediti simetriqnu taqku taqke O u odnosu na ravan α.

b) (5p) Ispitati me�usobni polo�aj ravni α i β. Ukoliko se ravni seku, odreditijednaqinu preseqne prave i ispitati da li se taqka (0, 0, 0) nalazi na takoodre�enoj pravoj.

3. Date su funkcije

f(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 − 3x+ 2 i g(x) = arctg

x− 1

x+ 1.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := arctg(f(x)) + 2020√g(x).



4. (7p+8p) Izraqunati slede�e integrale:∫20203x + 20202x + 2 · 2020x

20203x − 1dx i

∫sin2 x− sinx+ 1√sin2 x+ sinx+ 1

cosxdx .


MATEMATIKA 1

1. Data je matrica

A =

3 3 + 3a 3a+ 33 3 + 3a 3

3 + 3a 3 + 3a 3


A · [x y z ]T = [ 0 3 + 3a 0 ]T .


2. Date su ravan α : x + y + z = 0 i prave p : x = y = z i q : −x = y = −z. Prave p i qse seku u taqki O, a ravan β sadr�i navedene prave.



3. Date su funkcije

f(x) =3√x3 + x2 + x+ 1− 3

√x3 + x2 − x− 1 i g(x) = arctg

x3 − 1

x3 + 1.

a) (5p) Odrediti domen funkcije h(x) := arcctg f(x) + ln g(x) + 2020x2020

.



4. Izraqunati slede�e integrale:∫ex sin ex

sin3 ex − cos3 exdx i

∫2 ln2 x− 3 lnx+ 2

x√ln2 x− 2 lnx

dx.

pismeni ispit iz matematike 1 - university of belgrade...univerzitet u beogradu 17.01.2018....

Documents