pIbo

on ch

omso

mbatแบบฝึกหัด 1.1 ข

1. จงเขียนกราฟเพ่ือตรวจสอบดูว่าล าดับใดเป็นล าดับลู่เข้า หรือลู่ออก

(1) an = 2

nsin π

(2) an = 2

nsinn1 π

(3) an = 1n

5

(4) an = n2n

(5) an = n(1 + (–1)n)

(6) an = n214

(7) an = 4(0.5)n–1

(8) an = n1

32

(9) an = n

34

(10) an = 22

nn

2. ก าหนดล าดับ an = 24

24

133nn2n

ให้อธิบายเหตุผลว่า นักเรียนเห็นด้วยหรือไม่กับวิธีการหาลิมิตของ

ล าดับ anที่แสดงไว้ในกรอบต่อไปนี้ 3. จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของล าดับเพ่ือตรวจสอบว่าล าดับในแต่ละข้อเป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก

(1) an = 3n

8

โดยทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต จะได้ 13)(3nlim

)n (2nlim133nn 2n

lim 4n

2 4n

4

2 4

n

แต่เนื่องจาก )n (2nlim 2 4n

หาค่าไม่ได้ และ 13)(3nlim 4n

ก็หาค่าไม่ได้

ดังนั้น 133nn 2n

lim 4

2 4

n

จึงหาค่าไม่ได้

pIbo

on ch

omso

mbat (2) an =

n

n

78

(3) an = (–1)n

(4) an =

n

213

(5) an = n

14

(6) an = 6n

4 6n

(7) an = 6

5 3n

(8) an = 1 n

n

(9) an =

2n5n 4

(10) an = 1 3n

12n

(11) an = 17n

5n 3n2

(12) an = 35n

7n2

2

(13) an = 2

2

n32n4n

(14) an = 2

2

5n10n13n

(15) an = 1n

1n1

(16) an = 2n

1n

53

(17) an = 2n

1n

332

(18) an = 1n1n

(19) an = 4n

1n2

(20) an = 3 3

2

2n2n

14n

(21) an = n1)( n

pIbo

on ch

omso

mbat (22) an =

2n325n8n2

4. ประโยคต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ จงให้เหตุผล (1) ถ้า an และ bn เป็นล าดับลู่ออกแล้ว (an + bn) เป็นล าดับลู่ออก (2) ถ้า an เป็นล าดับลู่เข้า และ bn เป็นล าดับลู่ออก แล้ว (an + bn) เป็นล าดับลู่ออก

5. ก าหนดล าดับ an = n)12rP(1 โดยที่

an คือ เงินทบต้นเมื่อเวลาผ่านไป n เดือน P คือ เงินต้น r คือ อัตราดอกเบี้ยต่อปี (1) จงหาว่า ล าดับ an เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ (2) จงหา 10 พจน์แรกของล าดับ ถ้าเงินต้นเป็น 9,000 บาท และอัตราดอกเบี้ยเป็น 1.5% ต่อปี 6. บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายปกติของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พนล้านบาท แต่เนื่องจากราคาน้ ามันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยัดงบประมาณ โดยตัดรายจ่ายลดลง 20% ในแต่ละปี (1) จงเขียนงบรายจ่ายเมื่อเวลาผ่านไป n ปี (2) ค านวณงบรายจ่ายของสี่ปีแรกหลังจากถูกตัดงบ (3) ล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือไม่ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

เฉลยแบบฝึกหัด 1.1 ข 1. (1) ลู่ออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1 0

pIbo

on ch

omso

mbat

(2) ลู่เข้า

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –0.333 0 0.2 0 –0.142 0 –0.111 0

(3) ลู่เข้า

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2.5 1.666 1.25 1 0.833 0.714 0.625 0.555 0.5 0.454

pIbo

on ch

omso

mbat

(4) ลู่ออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2 2 2.666 4 6.4 10.666 18.285 32 56.888 102.4

(5) ลู่ออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0 4 0 8 0 12 0 16 0 20

pIbo

on ch

omso

mbat

(6) ลู่เข้า

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 3.5 3.75 3.875 3.937 3.968 3.984 3.992 3.996 3.998 3.999

(7) ลู่เข้า

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

pIbo

on ch

omso

mbat

(8) ลู่เข้า

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.666 0.816 0.873 0.903 0.922 0.934 0.943 0.950 0.955 0.960

(9) ลู่ออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an –1.333 1.777 –2.370 3.160 –4.213 5.618 –7.491 9.988 –13.318 17.757

pIbo

on ch

omso

mbat

(10) ลู่เข้า

.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.25 0.333 0.3 0.222 0.147 0.090 0.053 0.031 0.017 0.009

2. ไม่เห็นด้วย เพราะเป็นการสรุปที่ไม่ถูกต้อง ถ้า xn และ yn เป็นล าดับ การที่จะกล่าวว่า

nn

nn

n

nn ylim

xlimyx

lim

ได้นั้น ข้อตกลงเบื้องต้นเกี่ยวกับ nn

xlim

และ nnylim

ต้องเป็นจริง

ก่อน ข้อก าหนดเบื้องต้นนั้นคือ nnxlim

และ nn

ylim

ต้องหาค่าได้

ในกรณีนี้ ต้องจัดรูป an และ bn ก่อนการใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิต ดังนี้

pIbo

on ch

omso

mbatจาก

133nn2n

4

24

= )

n13(3n

)n1(2n

44

24

= 4

2

n133n12

และเนื่องจาก )n1(2lim 2n

= 2 และ )n13(3lim 4n

= 3

ดังนั้น 133nn2n

lim 4

24

n

=

4n133n12

lim2

n

= )

n13(3lim

)n1(2lim

4n

2n

=

32

3. (1) 3n8

limn

= n1

lim38

n = (0)

38 = 0

ดังนั้น ล าดับ an = 3n8 เป็นล าดับลู่เข้า

(2) จาก n

n

78 =

n

78

จะได้ n

n

n 78

lim

= n

n 78

lim

n

n 78

lim

หาค่าไม่ได้ เพราะ

78 1

ดังนั้น ล าดับ an = n

n

78 เป็นล าดับลู่ออก

(3) (−1)n = 1 เมื่อ n เป็นจ านวนคู่ และ (−1)n = –1 เมื่อ n เป็นจ านวนคี่ ดังนั้น ล าดับ an = (–1)n ไม่มีลิมิต และเป็นล าดับลู่ออก

(4) n

n 21

lim3

=

n

n 21

3lim

= 3(0) = 0

ดังนั้น ล าดับ an = n

213

เป็นล าดับลู่เข้า

(5) เนื่องจาก 4limn

= 4 และ n1

limn

จะได้

n14lim

n =

n1

lim4limnn

= 4 + 0 = 4

ดังนั้น ล าดับ an = n14 ป็นล าดับลู่เข้า

pIbo

on ch

omso

mbat(6) จาก

6n4 6n =

6n4

6n6n

= 3n2 1

และเนื่องจาก 1limn

= 1 และ

3n2

limn

= 0

จะได้

6n4 6n

limn

=

3n2 1lim

n

= 3n2

lim1limnn

= 1 – 0 = 1

ดังนั้น ล าดับ an = 6n

4 6n เป็นล าดับลู่เข้า

(7) เมื่อ n มีค่าเพ่ิมข้ึน ค่าของพจน์ที่ n ของล าดับนี้จะเพ่ิมข้ึน และไม่เข้าใกล้จ านวนใด จ านวนหนึ่ง

ดังนั้น ล าดับ an = 6

5 3n เป็นล าดับลู่ออก

(8) จาก 1 n

n

=

n1 1n

n =

n1 1

1

และเนื่องจาก 1limn

= 1 และ n1

limn

= 0

จะได้

1 nn

limn

=

n1 1

1lim

n

=

n1

lim 1lim

1lim

nn

n

= 0 1

1

= 1

ดังนั้น ล าดับ an = 1 n

n

เป็นล าดับลู่เข้า

(9) เนื่องจาก 2n n4

lim

= 0 และ 2n n5n

lim

= 0

จะได้

2n n

5n4lim = 2n2n n

5nlimn

4lim

= 0 + 0 = 0

ดังนั้น ล าดับ an = 2n5n4 เป็นล าดับลู่เข้า

pIbo

on ch

omso

mbat(10) จาก

13n12n

=

n1 3n

n12n

=

n1 3n12

และเนื่องจาก

n12lim

n = 2 และ

n13lim

n = 3

จะได้ 13n12n

limn

=

n13lim

n12lim

n

n

= 32

ดังนั้น ล าดับ an = 13n12n

เป็นล าดับลู่เข้า

(11) an = 17n5n3n2

เป็นล าดับลู่ออก

(12) จาก 35n

7n2

2

=

22

2

n35n

7n

และเนื่องจาก 7limn

= 7 และ

2n n35lim = 5

จะได้ 35n

7nlim 2

2

n =

2n

n

n35lim

7lim

= 57

ดังนั้น ล าดับ an = 35n

7n2

2

เป็นล าดับลู่เข้า

(13) จาก 2

2

n32n4n = 2n

3n24

และเนื่องจาก 4limn

= 4 และ n2

limn

= 0 และ 2n n3

lim

= 0

จะได้

2

2

n n

32n4nlim = 2n n

3n24lim

= 2nnn n3

limn2

lim4lim

= 4 + 0 + 0 = 4

pIbo

on ch

omso

mbatดังนั้น ล าดับ an = 2

2

n32n4n เป็นล าดับลู่เข้า

(14) จาก 2

2

5n 10n13n

=

5n10n

n13n

2

22

= 5

n10

n13 2

และเนื่องจาก

2n n13lim = 3 และ

5

n10

limn

= –5

จะได้

510n13n

lim2

n =

5n10

lim

n13lim

n

2n =

53

ดังนั้น ล าดับ an = 2

2

5n 10n13n

เป็นล าดับลู่เข้า

(15) เนื่องจาก n1

limn

= 0 และ 1n

1lim

n = 0

จะได้

1n1

n1

limn

= 1n

1limn

1lim

nn

= 0 – 0 = 0

ดังนั้น ล าดับ an = 1n

1

n

1

เป็นล าดับลู่เข้า

(16) จาก 2n

1n

53

= 1n

1n

553

=

1n

53

51

จะได้ 2n

1n

n 53

lim

=

1n

n 53

51

lim

= 1n

n 53

lim51

= (0)

51 = 0

ดังนั้น ล าดับ an = 2n

1n

53

เป็นล าดับลู่เข้า

(17) จาก 2n

1n

332

= 2n2n

1n

33

3272

= 1n

1n

31

32

271

และเนื่องจาก

1n

n 32

271

lim = 271 และ

1nn 31

lim = 0

จะได้ 2n

1n

n 332

lim

=

1n

1n

n 31

32

271

lim

= 1nn

1n

n 31

lim32

lim271

pIbo

on ch

omso

mbat = 0(0)

271

= 0

ดังนั้น ล าดับ an = 2n

1n

332

เป็นล าดับลู่เข้า

(18) จาก 1n1n

=

n11n

n11n

=

n11n

11

และเนื่องจาก )n

1(1limn

= 1 และ )n

1(1limn

= 1

จะได้ 1n1n

limn

=

n11lim

n11lim

n

n

ดังนั้น ล าดับ an = 1n1n

เป็นล าดับลู่เข้า

(19) จาก 4n

1n2 = 4n

n11n 2

= 4

n11 2

และเนื่องจาก 2n n11lim

= 1 และ 4lim

n = 4

จะได้ 4n

1nlim

2

n

=

4n11

lim2

n

=

2n n11lim4

1

= 141 =

41

ดังนั้น ล าดับ an = 4n

1n2 เป็นล าดับลู่เข้า

(20) จาก 3 3

2

2n2n14n

=

33

2

n212n

n14n

= 3

3

2

n212

n14

และเนื่องจาก

2n n14lim = 2 และ

3

3n n212lim = 3

pIbo

on ch

omso

mbatจะได้

3 3

2

n 2n2n14n

lim

=

33

2

n

n212

n14

lim

=

33n

2n

n212lim

n14lim

= 32

ดังนั้น ล าดับ an = 3 3

2

2n2n14n

เป็นล าดับลู่เข้า

(21) an = n1)( n เป็นล าดับลู่เข้า

(22) an = 2n3

25n8n2

เป็นล าดับลู่ออก

4. (1) ไม่จริง เช่น ล าดับ an = n และ ล าดับ bn = –n เป็นล าดับลู่ออก แต่ล าดับ (an + bn) = n – n = 0 เป็นล าดับลู่เข้า

(2) จริง การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ท าได้ดังนี้ สิ่งที่ก าหนดให้คือ ล าดับ an เป็นล าดับลู่เข้า และ ล าดับ bn เป็นล าดับลู่ออก สมมติว่า “(an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า” เนื่องจากล าดับ an และล าดับ (an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า จึงได้ว่า nn

alim

และ

)b(alim nnn

หาค่าได้ ให้ nn

alim

= A และ )b(alim nnn

= B

พิจารณา )ab(alim nnnn

= nn

blim

และ )ab(alim nnnn

= nnnnn

alim)b(alim

= B – A ดังนั้น nn

blim

หาค่าได้ ซึ่งท าให้ ล าดับ bn เป็นล าดับลู่เข้า

เกิดข้อขัดแย้งกับสิ่งที่ก าหนดให้ จึงสรุปว่า ข้อความที่สมมติว่า “(an + bn) เป็นล าดับลู่เข้า” เป็นเท็จ นั่นคือ (an + bn) ต้องเป็นล าดับลู่ออก

5. (1) nn

)12rP(1lim

= n

n)

12r(1limP

เนื่องจาก 12r1 1 ดังนั้น

n

n 12r1lim

หาค่าไม่ได ้

ดังนั้น an = n

12r1P

ไม่เป็นล าดับลู่เข้า

pIbo

on ch

omso

mbat(2) จาก an =

n

12r1P

ก าหนด r = 1001.5 = 0.015

สิ้นเดือนที่ 1 จะได 1 =

120.01519000 = 9011.25

สิ้นเดือนที่ 2 จะได 2 = 2

120.01519000

= 9022.51

สิ้นเดือนที่ 3 จะได 3 = 3

120.01519000

= 9033.79

สิ้นเดือนที่ 4 จะได 4 = 4

120.01519000

= 9045.08

สิ้นเดือนที่ 5 จะได 5 = 5

120.01519000

= 9056.39

สิ้นเดือนที่ 6 จะได 6 = 6

120.01519000

= 9067.71

สิ้นเดือนที่ 7 จะได 7 = 7

120.01519000

= 9079.05

สิ้นเดือนที่ 8 จะได 8 = 8

120.01519000

= 9090.39

สิ้นเดือนที่ 9 จะได 9 = 9

120.01519000

= 9101.76

สิ้นเดือนที่ 10 จะได 10 = 10

120.01519000

= 9113.13

ดั งนั้ น สิบ พจน์ แรกของล าดั บ คื อ 9011.25, 9022.51, 9033.79, 9045.08, 9056.39, 9067.71, 9079.05, 9090.39, 9101.76, 9113.13 6. (1) ให้ an เป็นงบรายจ่ายปกติที่ถูกตัดลงเมื่อเวลาผ่านไป n ปี

A แทนงบรายจ่ายปกติเป็น 2.5 พันล้านบาท

สิ้นปีที ่1 จะได้ a1 = (A)10020A = A

54

สิ้นปีที ่2 จะได้ a2 =

A

54

10020A

54 = A

54 2

สิ้นปีที ่3 จะได้ a3 = A54

10020A

54 22

= A54 3

สิ้นปีที ่n จะได้ an = A54 n

pIbo

on ch

omso

mbatดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไป n ปี งบรายจ่ายเป็น

n

542.5

พันล้านบาท

(2) งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 1 เป็น (2.5)54 = 2 พันล้านบาท

งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 2 เป็น (2.5)54 2

= 1.6 พันล้านบาท

งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 3 เป็น (2.5)54 3

= 1.28 พันล้านบาท

งบรายจ่ายเมื่อสิ้นปีที่ 4 เป็น (2.5)54 4

= 1.024 พันล้านบาท

ดังนั้น งบรายจ่ายในสี่ปีแรก หลังถูกตัดงบเป็น 2, 1.6, 1.28 และ 1.024 พันล้านบาท ตามล าดับ

(3) เนื่องจาก 54 1 จะได้

n

n 542.5lim

= 0

ดังนั้น ล าดับของงบรายจ่ายนี้เป็นล าดับลู่เข้า --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------