Physik A – VL7 (23.10.2012)

Kräfte und Kräfte-Gleichgewichte, Newton’sche Axiome

• Kräfte

• Kräfte-Gleichgewichte

• Hebel und Drehmoment

• Die Newton’schen Axiome

Kräfte

Die Kraft - ist eine gerichtete physikalische Größe (ein Vektor!)

- kann Körper beschleunigen oder verformen

(Beispiel: Zentripetalkraft, Gravitationskraft)

- kann Arbeit verrichten und die Energie eines Körpers ändern

Formelzeichen: F

Einheit: Newton, N = kgm s -2

Messung von Kräften meist über die Eigenschaft Körper verformen zu können:

Elastische Auslenkung von Federn durch Kräfte Federwaage

Kräfte

Das Kraftgesetz der Federauslenkung – Die Federwaage

• der Formänderung von Federn entspricht eine messbare

Längenänderung

• die Verlängerung s ist proportional zur wirkenden Kraft

(nur bei reversibler Verformung der Feder! Bei Überdehnung der

Feder (= irreversible Verformung) gilt diese Proportionalität

nicht mehr!)

Die Federkraft

• die Feder setzt der Verformung einen Widerstand entgegen, die Federkraft.

• die Feder verformt sich, bis Federkraft und wirkende (zu messende) Kraft

gleich groß sind

Kräftegleichgewicht

Kräfte

Das Hook‘sche Gesetz der Federkraft

• der Formänderung von Federn entspricht eine messbare Längenänderung

• die Verlängerung s ist proportional zur wirkenden Kraft: FF s

D = Federkonstante, Einheit: [Nm-1]

sDFF sDFF

vektoriell:

Hook‘sches Gesetz

Kräfte

Gewichtskraft und Gravitation

• Ursache jeder Gewichtskraft ist die Gravitation

Gravitation: Massen ziehen sich an

• Ursache der Anziehung:

Kraft parallel zur Verbindungslinie der Massen

• Kraft ist proportional zur Masse

…aus anderen Experimenten:

• Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes

Experiment zur Messung

der Gewichtskraft

Gravitation

2

21

r

mmGFG

Gravitationsgesetz : Gravitationskraft

Proportionalitätskonstante:

Gravitationskonstante

2

2111068,6

kg

NmG

Kräfte

Gewichtskraft und Gravitation auf der Erde

• Die Gewichtskraft auf der Erde wird durch Masse und den Radius der Erde bestimmt

Berechnung der auf eine Masse von m1 = 1 kg wirkenden Gewichtskraft in 1 m und 10 km Höhe:

Erdradius r = 6,38106 m, Erdmasse m2 = 5,971024 kg

N 81,9

m1038,6

kg1097,5kg 1

kg

Nm1068,6

26

24211

2

21

r

mmGFG

N 77,9

m101038,6

kg1097,5kg 1

kg

Nm1068,6

2246

24211

2

21km 10

r

mmGFG

• Masse der Erde konstant und Abstandsabhängigkeit meistens vernachlässigbar:

Gewichtskraft ist nur noch proportional zur Masse des Probekörpers

Gewicht fällt mit Fallbeschleunigung

kg

N81,9

2

,2

1

r

mG

m

F ErdeG gmFG

Kräfte-Gleichgewichte

• zwei gleichgerichtete Kräfte addieren sich:

• zwei Kräfte in beliebige (verschiedene) Richtungen:

Vektoraddition = Kräfte-Parallelogramm

1F

2F

21 FFFres

1F

2F

21 FFFres

• zwei entgegengesetzte Kräfte können sich aufheben:

1F

2F

21 FFFres

Kräfte-Gleichgewichte

Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn ihr Kräftepolygon geschlossen ist

• Allgemein: beliebig viele Kräfte in beliebige (verschiedene) Richtungen:

Vektoraddition = Kräftepolygon

1F 2F

4321 FFFFFres

3F

4F

Anwendung einer Kraft gleicher Größe aber entgegengesetzt der

resultierenden Kraft : resF

Das Kräftesystem steht im Gleichgewicht!

(Da die resultierende Kraft verschwunden ist

= keine Kraftwirkung (Bewegung) auf den Körper)

0i

iF

Kräfte heben sich gegenseitig auf:

Kräfte-Gleichgewichte

x

y

3F

2F

1F

Frage:

Wie groß muss der Winkel γ

für Kräfte-Gleichgewicht sein?

• Beispiel: Drei Gewichtskräfte im Gleichgewicht:

Analyse der Situation:

Welche Kräfte gibt es und in welche Richtungen

wirken sie?

1. Kräftegleichgewicht: (Kräftepolygon!)

321

321

3

1

0

FFF

FFFFi

i

2. Komponenten der Einzelkräfte:

(Anwendung der Winkelbeziehungen)

sin

cos

1

1

,1

,1

1F

F

F

FF

y

x

sin

cos

sin

cos

2

2

,2

,2

2

1

1

,1

,1

1

F

F

F

FF

F

F

F

FF

y

x

y

x

3,3

,3

3

2

2

,2

,2

2

1

1

,1

,1

1

0

sin

cos

sin

cos

FF

FF

F

F

F

FF

F

F

F

FF

y

x

y

x

y

x

g

Kräfte-Gleichgewichte

• Beispiel: Drei Gewichtskräfte im Gleichgewicht:

x

y

3F

g

2F

1F

321 FFF

21

2

2

2

1

2

21

2

3

2 FFFF

FFF

gcos2 21

2

2

2

1

2

3 FFFFF

21

2

2

2

1

2

3

2cos

FF

FFF g

Kräftegleichgewicht: (Kräftepolygon!)

Frage:

Wie groß muss der Winkel γ

für Kräfte-Gleichgewicht sein?

Hebel und Drehmoment

• Kräfte greifen oft entfernt von einer Achse an:

Beispiele: Schildaufhängung, Werkzeuge, Skelett des Menschen

Die Geometrie des Körpers muss beachtet werden !

ausgedehnte starre Körper ! (keine Punktmasse!)

• Eine Kraft, die abseits einer Drehachse wirkt, kann einen Körper in Drehung versetzen:

l

Drehachse

α F1

l

DrehachseF2

F2 erzeugt eine Drehbewegung, F1 nicht

F1

Winkelbeschleunigung

T

T

Winkelgeschwindigkeit

(t)

(t)

M

Drehmoment M

F2

Wirkung hängt von Winkel zwischen Kraft und „Arm“ l (= Hebel) ab.

Wirkung ist maximal für = 90°

Hebel und Drehmoment

Das Drehmoment M

• Drehmomente können die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers ändern

• Kraft F senkrecht auf einen Hebelarm der Länge l:

Betrag des Drehmomentes:

Produkt aus Länge l und Betrag der Kraft F

• Allgemein:

Das Drehmoment ist das Vektorprodukt aus Abstands- und Kraftvektor

FlM

FlM

mit dem Betrag sin FlM

Einheit: [Nm]

Das Hebelgesetz

• Ein Hebel ist ein mechanischer Kraftwandler bestehend aus einem starren

Körper, der eine Drehachse hat:

Bild: Wikipedia

Hebelgesetz: Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm

2211 FlFl

222111 sinsin FlFl

F1

F2

l2 l1

α2 α1

222111 MFlFlM

Eine weitere Bedingung

für Gleichgewicht:

Alle Drehmomente müssen sich kompensieren

0i

i

M

Hebel und Drehmoment

• technische Anwendung des

Hebelgesetzes zur Messung

von Gewichten:

Balkenwaage

Der Schwerpunkt ausgedehnter Körper

• Wirkung einer resultierenden Kraft ausserhalb des Schwerpunktes: Rotation

• Wirkung einer resultierenden Kraft am Schwerpunkt: nur Translation

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob

die Gesamtmasse im Schwerpunkt vereinigt wäre und

die Summe aller äußeren Kräfte dort angreifen würde

Beispiele: Schwerpunkte von Körpern

Schwerpunkt außerhalb

des Körpers

Die Grundgleichungen der Statik

Damit ein System im mechanischen Gleichgewicht ist, müssen

Kräfte und Drehmomente in der Summe Null ergeben.

0 und 0 i

i

i

i MF

…verschiedene Arten von Gleichgewichten:

• stabiles Gleichgewicht: kleine Störungen werden kompensiert

• labiles Gleichgewicht: kleine Störungen zerstören Gleichgewicht

• indifferentes Gleichgewicht: stabil in verschiedenen Lagen

jedes System versucht durch

Abgabe von Energie einen

Gleichgewichtszustand zu

erreichen.

Die Newton’schen Axiome

• alle bisherigen Beobachtungen und alle weiteren Translationsbewegungen

können mit den Newton‘schen Axiomen beschrieben werden.

Isaac Newton (1643 – 1727)

„Die gesamte klassische Mechanik

kann mit

drei einfachen Sätzen

(Axiomen)

vollständig beschrieben werden.“

Axiom:Grundsatz, der keines Beweises bedarf (Duden)

1. Newton’sches Axiom

Kraft Beschleunigung

keine Kraft Ruhe oder konstante Geschwindigkeit

v = const Fres = 0

1. Newton‘sches Axiom

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen

gleichförmigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt oder

die resultierende der angreifenden Kräfte Null ist.

Trägheitsprinzip

Experimentelle Beobachtungen:

• Die Schwerkraft und andere Kräfte können Körper Beschleunigungen.

• Auf Körper in Ruhe oder mit konstanter Geschwindigkeit wirkt keine resultierende Kraft

• Ein Körper behält seinen Bewegungszustand (Richtung, Geschwindigkeit) bei,

wenn nicht äußere Kräfte eine Änderung dieses Zustandes erzwingen.

Folgerung aus dem 1. Newton‘schen Axiom (Trägheitsprinzip):

Die Masse eines Körpers ist ein Maß für die Eigenschaft, sich einer Beschleunigung

zu widersetzen.

= Das System besitzt Trägheit (Beharrungsvermögen, träge Masse)

Experimentelle Beobachtungen: • Beschleunigung a ~ F, ~1/m

2. Newton‘sches Axiom

Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse

und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt.

Aktionsprinzip

2. Newton’sches Axiom

N

s

mkg

2smamF

m

Fa

• Kraft ist die Ursache der Änderung eines Bewegungszustands,

ein Bewegungszustand ändert sich nur durch Krafteinwirkung

Kraft ↔ Beschleunigung

2. Newton’sches Axiom

Verallgemeinerung des 2. Newton‘schen Axioms:

• Kraftwirkung auf ausgedehnte Körper u.U. sehr komplizierte Bewegungen

(Beispiel: „ausbrechendes“ Fahrzeug auf Glatteis: unterschiedliche Reibungs- und

Antriebskräfte für die 4 Reifen)

jeder Teil des Körpers bewegt sich mit einer anderen Geschwindigkeit

und Beschleunigung

Die Newton’schen Axiome gelten für Bewegung des Schwerpunktes

Verallgemeinerung des 2. Newton‘sches Axioms

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunkt eines Körpers bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse im Schwerpunkt

vereinigt wäre und die Summe aller äußeren Kräfte dort angreifen würde.

tSchwerpunkamF

ii

Inertialsysteme

Inertialsystem

Ein Inertialsystem ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit,

d.h. ohne jede Beschleunigung

Folgerung aus dem 1. und 2. Newton‘schen Axiom:

Systeme in Ruhe oder mit gleichförmiger geradliniger Bewegung sind nicht unterscheidbar

Bewegungen in Inertialsystemen als Bezugssystem können mit den Newton’schen

Gleichungen beschrieben werden.

Frage:

Können die Newton’schen Axiome auch in beschleunigten (nicht inertialen)

Bezugssystemen angewendet werden?

Trägheitskräfte / Scheinkräfte

• Trägheitskräfte existieren nur in beschleunigten Bezugssystemen, nicht in Inertialsystemen

• Trägheitskraft sind Scheinkräfte

• Trägheitskräfte sind Folge, nicht Ursache einer beschleunigten Bewegung!

• Betrachtung eines beschleunigten Bezugssystems (kein Inertialsystem)

Beispiel: beschleunigendes Auto, Federkraft (Autositz) auf Person

1. externes Bezugssystem (nicht beschleunigt = Inertialsystem):

→ beschleunigende Kraft und Federkraft des Sitzes im Gleichgewicht

= Person “ruht” im Fahrzeug

2. beschleunigtes Auto als Bezugssystem (kein Inertialsystem)

→ keine beschleunigende Kraft, aber Federkraft des Sitzes! = kein Kräftegleichgewicht !

= Person sollte sich “nach Newton” im Fahrzeug bewegen

Einführung der massenproportionalen Trägheitskraft amF

3. Newton’sches Axiom

• Übt ein Körper auf einen anderen Körper eine Kraft aus, übt auch der andere Körper

auf den ersten eine Kraft aus, mit gleichem Betrag, aber entgegengesetztem Vorzeichen

3. Newton‘sches Axiom

Kräfte treten immer paarweise auf. Die von zwei Körpern aufeinander

ausgeübten Kräfte (Wirkung und Gegenwirkung) sind gleich groß und

einander entgegengerichtet.

Wechselwirkungs- oder Gegenwirkungsprinzip

012211221 FFFF

• Kraft = Gegenkraft: actio = reactio

Egal, ob eine Person zieht oder nicht,

sie übt eine Gegenkraft aus !

Zusammenfassung• Kräfte

Auf Körper wirkende Kräfte beschleunigen oder verformen diese.

Die Messung von Kräften erfolgt meist über die Eigenschaft Körper verformen zu können:

Elastische Auslenkung von Federn durch Kräfte → Federwaage

Das Hook‘sche Gesetz der Federkraft

Ursache jeder Gewichtskraft ist die Gravitation: Massen ziehen sich an

• Kräfte-Gleichgewichte

Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn ihr Kräftepolygon geschlossen ist:

• Hebel und Drehmomente

Bei ausgedehnten starren Körpern: Drehmomente

Hebelgesetz: Kraft mal Kraftarm = Last mal Lastarm

• Grundgleichung der Statik

Gleichgewichtsbedingung: Kräfte & Drehmomente müssen in der Summe Null ergeben

sDFF sDFF

gmFG 2

21

r

mmGFG

, Gravitationskonstante

2

2111068,6

kg

NmG

0i

iF

FlM

sin FlM

222111 MFlFlM

0 und 0 i

i

i

i MF

Zusammenfassung

• Die Newton’schen Axiome

Beschreibung der Mechanik mit drei grundlegenden Axiomen:

1. Newton‘sches Axiom (Trägheitsprinzip)

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinigen gleichförmigen Bewegung, solange

keine Kraft auf ihn einwirkt oder die resultierende der angreifenden Kräfte Null ist.

2. Newton‘sches Axiom (Aktionsprinzip)

Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional

zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt.

Schwerpunktsatz → Verallgemeinerung des 2. Newton‘sches Axioms:

Inertialsysteme, Einführung der massenproportionalen Trägheitskraft

3. Newton‘sches Axiom (Wechselwirkungsprinzip, actio = reactio)

Kräfte treten immer paarweise auf. Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Kräfte (Wirkung

und Gegenwirkung) sind gleich groß und einander entgegengerichtet.

Kraft = Gegenkraft

smamFm

Fa

amFT

tSchwerpunkamF

ii

012211221 FFFF