phƯƠng phÁp giẢi toÁn tÍch phÂn - trẦn bÁ hÀ

8/9/2019 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ

1/257

Trần Bá HàGiảo viên chuyên Toán

Tu nghiệp tại: Instiỉut de Recherche Pour ưenseignement ơes Mathématiques

Paris-France

Phuoìig phấp

Giải toánTÍCH PHÂN

v ' Dành cho HS lớp 12 chương trình cơ bản vằ nâng cao. ■/" Nâng cao kĩ nãng giải các dạng .bậi thường gập.

Chuẩn bị cho các kì thí quốc gia do Bộ GD&ĐT tổ chức.

3DGMÃ

NHÀXUẤTbAMSẠI1ỌC QDÍCIIA HÀNÚI

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/257



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/257

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm giúp học sinh tự học, tựbồi dưỡng kiên thức, Ịárịănggiải tọần

tích phân lớp 12 theo chưcmg trình phân ban của bộ giáo đục và đảo

tạo. Chửng tôi biên soạn tập sách: "Phương phấp giải toấn Tích phân". Sách được soạn theo đúng câu trúc của sách giáo khoa phân bán cùa Bộ

giáo dục đào tạo. Tập sách này gồm 2 phần:

Phần 1: Gồm các vân đề cơ bản của Nguyên hàm và tích phân,

trong phần này chứng tôị tành bày các vâỉh đề theo trình tự của sách

giáo khoa, mỗi vẵh đề đều được .trình bày các phần: '

- TÓÌXI tắt K thuyết.

- Các dạng bài tập áp dụng (mỗi dạng đểu có: phương pháp giải,

bài tập áp dụng - bài tập tự luyện (có hướng đẫn - đáp sổ).

- Bài tập tổng hợp.

Phầii 2: Cấc chụyên đề liên quan các vấn đề cơ bấn.'để bổ trợ kíềh

thức và phương pháp giải toán nhằm giúp học sình ĩuỹện tập giải quyết

tốt các vâri đê' ở phần 1. 'r

Râìt mong sự góp ý của độc giả và đổng nghiẹp.để lẩn xuâ't bản sau

được tốt hơn. ■ ■

Mọi ý kiên đóng góp xin liên hệ:- Trung tâm sãeh giáo ãục Ânpha

225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp. HCM.- Công ti sách - thiế t bị giấo ảục Anpha

- 50 Nguyễn VănSăng, Quận Tân Phú, TP.HCM

ĐT: 08.62676463, 38547464.

Email: [email protected] .

Xin trân trọng. cảm

Trần Bá Hà

Giáo viên THPTChyên Lê Quý Đôn-Đà Nang

• Tu:nghiệp.tại:ĩusfịỳutâ£^ểchercỉĩệ

• ■-VV-'’ Pour É^r^ệỉ^ểmeniẩesẶíai^ti^tícịụếs: ■ '■ ^ ' : Páris-Fráhcé

\



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




4/257



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/257

PHẦN I: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

VÀ ÚNG DỤNG

§1. NGUYỄN HÀM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa; cho biựĩi số ý = f(x} Iiên tục trên khoảịig p ' "

F(x) là ngiiyên hànỊ CUá JỆx) trên Đ khi và đẩ khi: F'(x) =̂ f x̂) Vx e D

2. Tính chất CO'bản: ;

+ Nếu F(x) là một ĩ^ỹên- hàrá cùà f(x)§tren Đ::thì F(x) + C cùng là

nguyên hàm của f(x) trên-D (C là hằng số)+ Neu F(x) và G(x) ià các iígụýên hàm của hàm số f(x) ửện -Đthi tồn tại

hằng số c để 0 (x) = F(x) G ; -V :i c; ị :"+-Ký hiệu: ff(x)dx-: F(x) + c (là ho hgùỵêÌỊ̂ ham cuầíhạm sồ f(x))

' '■4í:̂NTếii‘íCx)--y!̂ . A ' '

: . Í Ị ^ x ) ; ^ ' i g ( x ) d x / :•:/‘:-

:-v; • : Ệ:-&ỆíịỂ : •

' •-•••-* ’Neụ ff(x)cbế= F(x) 4 c?thi jf(ax + b)dx = J-'f / ■■ ■}* £.

+ Mọi ham sọ ỉiên ịụể treii D: đều cọ nguyên'hàm trên Đ: : \:

3 . B ả n g c ồ n g t h ứ c n g ụ y ê n h à m ccr : b ầ n : Ị - y f ) ỳ ù .

■'íđx W 'Ệ - S ể : ỷ í 'Ế - ịk - , ' a+i A.’V'V' ■

Jxađx = ■. ■ -T.C (a *̂1). :Ja^dx - ^ & Ế C . .

. J— = l n | x | + C - ' ■■•.'-'-v c lhac ' ■• '

2. -■•■•■ ...■■Vfer-sr- dx:= tanx + c . ■

■- Jsinkxdx - ——coskx t 'G (kr^M))^... •:...k,

. ;}^cosy%}& •ầỊrỉ.̂ .;0'í::u"- •'

.,. - - - 7.d^=,̂ GC>ix.+, c-̂7 ỷy::sư-ỷ'r■£ ‘Ỳ'/'~~À*

4 V̂'T

5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/257

n. CÁC DẠNG TOÁN c ơ BẢN:

Bài 1: Chứng minh: F(x) = ln(x + VX2 + 1 ) là một nguyên hàm cùa:

f(x) = -p= i=trê n R.

Giải:

Dy = R vì X+ Vx2+ ĩ > 0, Vx e R

1 x1 + - ị -F ’(x) = ----y- = = . = .. - = f(x) Vx € R

•XH-Vx2 +1 VX2 + 1

Vậy F(x) = ln(x +Vx2 +1) là một nguyên hàm cùa f(x) trên R.

Bài 2: Chứng minh F(x) = xsinx + cosx là một nguyên hàm của:

f(x) = xcosx trên R.

Giải:

F ’(x) = sinx + xcosx —sinx = xcosx Vx e. R.

Vậy:F(x) = xsinx+ cosx là một nguyên hàm của f(x) = xcosx.

2 ' 1

Bài 3: Chứng minhF(x) = — J= là mội nguyên hàmcủa hàm sô f(x) = ——= yjx xvx

trên (0; co)

Giải;

F '(x) = -2 iV f i ì - 1= - 2 Í - i |x 3 = -± = = f(x), Vx s (0; oo)

—2 1 Vậy F(x) = là một nguyên hàm của f(x) = — Ị-~ AUiu y t l ig u j VII IICUII wua M/VS ----

VX XV X

Bài 4: Chứng minh hàm số F(x) = — Ỉ-T-------- — là một nguyên hàm của3 cos X cos X

hàmsố:f(x) = ^ 4 ^ ưênmiềnD = R \ { - +k7t;keZ}cos X 2

6



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/257

Vx ^ — + k7t, ta có:2

•n >y'„\ _ s in x s in x s i n x ( l - COS2 x) s i n 3 x _ .--------- 2 = -------— = 4~ = f(x)COS X COS X COS X COS X

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Bài 5: Chứng minh F(x) = XIn + 21n(4 - X2) làmôt nguyên hàm của2 - x

hàm số: f(x) = ln 2 + x ữên (-2; 2)2 “■X

Giải:

rp i , 2 + x 4x 4x , 2 + x v ^ ̂_ Ta có: F (x) = ln^— + ■ - = ln^—- = f(x), Vx e (-2; 2)

2 - x 4 - x 4 - X 2 - xDo đó: F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Giải:

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = cosxcos3x

Giải:

f(x) = —[cos4x + cos2x]

Jf(x)dx = —J(cos4x + cos2x)đx = —[—sin4x + Ìsin2x] + c. 2 2 4 2

- ™ , V , „ X x -1Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của f(x) =

f(x)= 1-

x + 1

Giải:

2

x + 1

íf(x)dx = J(1 -— -—)dx = X —21n ỊX + 1 1+ c. x + 1

7



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




8/257

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = xe*2.

Giải:

Ixe*2dx = —fe*2d(x2) = —e*2 +c.J 2 J 2

r 2 ' 7CBài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm sô f(x) = cot Xbiêt F( —) = 0.

4

Giải:

1 sm2X

jcot2xdx = j(l + cot2X- l)dx = J(-“ ---- l)dx = -cồíx —X + c

F(x) = -cotx - X+ C; F(—) = 0 o —1 —“ + c = 04 4

Hay c = 1 + —. Vây: F(x) - -cotx - X + 1 + —.4 ' 4

Bài 2: Cho f(x) = sin3x(l + cotx) + cos3x(ĩ + tanx)

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) = 1.4

Giải:

Rút gọn f(x) ta cỏ: f(x) = sinx + cosx

íf(x)dx = sinx —cosx + c => F(x) = sinx —cosx + c

F(—) = SÙI—- cos— +c = l< » c = l4 4 4

Vậy.F(x) = sinx —cosx + 1.Bài 3: Cho f(x) = ----- ------ . Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) = 0.

l + cos2x 3

Giải:

f(x) = — ỉ— = — L _ l + cos2x 2cos X

8



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




9/257

2

F(x) - —tanx + c 2

F ( -) = 0 < » i .V 3 + c = 0 = > c = - — v 3 ' 2 2

Vậy F(x) = itanx - y .

Bài 4: Cho f(x) = — -, F(x) là môt nguyên hàxn của f(x) tìioả: F(2)X —1

TínhF(5).

Giải:

f(x) = —-— => F(x) = ln ỊX—11+ c x -1

F(2) = l o C = 0=> F(x) = In IX—1 í

Do đó F(5) = ln4 = 2In2.

Bàỉ 5: Cho f(x) = Vcos4 x + 4sin2 x .

Tun nguyên hàm F(x) của f(x) biét: F(—) =4 4

Giải:f(x) = yjCOS4 X+ 4(1 - cos2 x) - 2 — cos^ = —(3 —cos2x)

2

F(x) = - (3x - - sin2x) + c

F ( - ) = — - - + c = - - < * c = ~ — 4 8 4 4 8

Do đó F(x) = —(3x - —sin2x) - — .

2 2 8Bài 6:

a) Chung minh F(x) = tanx ln(sinx) + Xlà một nguyên hàm của:

f(x) = (1 + tan^) ln(sìnx) ừên (0; —)2

b) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) - — 4 4



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/257

a) Vx e (0; —) , F'(x) = — \ —ln(sinx) - - ^ ^ tanx +1 2

Giải:

COS2 X sm xF '(x) = (1 + tan2x) ln(sinx) = f(s)Vậy F(x) là một nguyên hàm cùa f(x)

1 V ^ \ _ TU , _ TU 4 / • 71 V7Ĩ. n _ 7Ĩ

b) F(—) = —tan—ỉn(sin—) + — + c = — 4 4 4 4 4 4

c = - Jn— = ln ^2

Do đó F(x) = tanx ln(srâx) + In V .

Bài 7: Cho f(x) = — .s i n X

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm

6

f ( x ) = -s i n 2 X

Giải:

F(x) = -cotx + c

ĐỒ thị y = F,(x) đi qua M (- ; 0 )^ > F (-) = 07 6 6

-cot— + c = 0 c = cot—= \Ịầ 6 v 6

Vậy F(x) = -cotx + \/3.

Bài 8: Cho biết F(x) = ——- ỉà nguyên hàm cùa f(x). Tìm. f(x -1) x + 1

f(x) = F'(x) ==Ỉ £ z i í = 2V x + l J ( x + 1 )2

Giải:

Do đó: f(x - 1) =

10



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/257

B àil: Tính / ( x - l ^ - ^ d x

Giải:

Đặt u = X2 —2x + 3 => u' = 2(x —1)

J(x - l)ex2~2x+3dx = - Jeuu'dx = - JeMu = ~ e ^ -2x+3 + c.2 2 2

Bài 2: Tính f(l + còtz2x) e^^dx

Giải:

2u = C0t2x => u' = ----- 9— = —2(1 + cot22x)

sin 2x

1(1 + cot22x) eMt2xcLx = ——íea.u'dx = eMt2K+ c

2 2Bài 3: Tínhlxsinxdx

Giải:

Đặt u = X => d u d x

dv = sinxdx n>v = -cosx

Do đỏ: Ịxsinxdx = —xcosx + jcosxdx = —xcosx + sinx + c

Bài 4: Tính J(x - l)exdx

Giải:Đặt: u = X —ĩ => đu = dx

dv = exdx => V = ex

Do đó: J(x —l)exdx = (x —De* —Je*dx = (x —l)ex —e* + c

= (x —2)ex + c.

Bài 5: Tính Jxlnxdx

Giải:

Đặt u = Inx => du = — X

dv = xdx => V = — 2

Dođó: fxlnxdx = — ln x - Ị—dx = — ln x - — + C.■» 2 J2 2 4

Bài 6: Tính jx3(2 - 3x2)8dx

11



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




12/257

Đặt t = (2 —3X2) => dt = -6xdx

Íx3(2 - 3xz)sdx = íx2 (2 - 3x2)8xdx

=

= — t10——t9 + c = — (2- 3x 2)10——(2 -3 x 2)5 +c .180 81 180 81

m. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM

A. BÀI TẬP Tự LUẬN

Bài 1: Cho f(x) = x-v/3-x . Tìm a, b5c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) V3- X

là một nguyên hàm của f(x).

Giải:Ta có: Dy = (—oo; 3]

F'(x) = (2ax + b) a*2+_bx+c + (12a- 3b)x + 6b- c2^3-X V -X

F(x) là nguyên hàm của f(x) F '(x) = f(x), Vx e Dy

o -õax2 + (12a —3b)x + 6b —c = 2x(3 —x), Vx í 3

r\x 1*4.+ _ 2 u _ 2 _ 12Đông nhât ta có: a = —; b = - —; c = .

5 5 5Bài 2: Cho f(x) = cos4x - sin̂ x. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) = 0

Giải:

f(x) = cos^x —sinSc = Sícos ̂—sin2x)(cos2x + sin2*:)

f(x) = cos2x => F(x) = —sin2x + c2

F(—) = 0 —sin— + c = 0 c =6 2 3

Vậy F(x) = -sin2x

Bài 3: Cho f(x) = -■ - * - . Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biếtV5x + 3 -v ỗ x + l

F(0) = 0.

Giải:

12



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/257

Giải:

Do đó: F(x) = — v 15

1 1(5x + + (5x +

(5x + 3)z -^5x + ĩ

F(0) = 0 — v ' 15

3 3

32+12 + c = 0

« • — Ĩ3>/3+lT+C = 0 o C = - — —

15*- J 15

Vậy F(x) = — | (̂5x + 3>\/5x + 3 + (5x + l)Võx + lJ - ^.

Bài 4: Tìm hàm số y = f(x) nếu biết:

f ’(x) = ax + Ặ ; f(- l) = 2; f(l) = 4 và f ’(1) = 0.X

Giải:

Ta có: f ’(x) = BX+ \ f(x) = —— —+ cX 2 X

Từ giả thiết ta cỏ:

—+ b + c = 2 2

—- b + c =4 2a + b = 0

Giải hê ta có: a - 1, b = -1 , c = — 2

V 2 1 ^Vâyf(x)= — +■ 2 x 2

Bài 5: Tim hàm số y - f(x) biết ràng: f '(x) = 4 Vx - X và f(4) = 0.

13



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/257

Giải,

ỉ '(x) = 4x2-x=>f(x) = 4.“ - — + c3 22

f(4) = 0 O “ - 8 + C = 0 o C = -3

403

Bài 6: Tìm hàm số y - f(x) biết rằng: f ’(x) = ệ/x + X3 + 1 và f(l) = 2.

f'(x) = Xs + X3 +1 => f(x) =” + — + x + c4 43

f(x) = - x \ / x +—X4 + X + C 4 4

f(l) = 2 < » - + - + l + c = 2 « > c = l, 4 4 .

Vây f(x) —— xy/x + — X4 + X+ 1.4 4

Bài 7: Chứng minh F(x) = ịXỉ —ln(l + ỊXI) là một nguyên hàm của:

Giải.

. Khi X > 0: F '(x) —1 —

Giải:

1 X = f(x)1+x 1+x

Tại X = 0:

. Khi X < (

lníi 4-A x ) — = 1 -1 = 0

14



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




15/257

Do đó: F '(0) = 0. Vậy F '(x) =

------ khix>01 + x0 khi X= 0

khi X < 01 —X

Hay: F '(x) - = f(x)l+lxl


Bài 8: Tim hàm số y —f(x) biết rằng f '(x) = tanx.sin2x và f(

Giải:

f '(x) = tanx.sừi2x =sm x

cosx

-2sinxẹosx = 2sin2x

1 .o f T(x) = 1 - cos2x => f(x) = X- —sin2x + c

r/ ft V_ 71 71 1 . s-ị _ ft , _ 1f(—) = - » - - - + C = - « C = - -

4 4 4 2 4 2

Vây: f(x) = X- Ỉsin2x - —.2 2

Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số

, V_ sin X - cos Xa) f(x) = —

sin X+ cos Xb) f(x) = cot2(2x + —)

4

Giải:

a) íf(x)đx = - fã(sm x —cosx) = -In ỉsin X + COSx| + cJ J sin x + cosx

b) f(x) = cot2 Í2x + —ì = ------- -------sin (2x + —)

41 d(2x + —)

Do đó: |f (x)dx= —J------------ — dx-Jdxsin x(2x + —)

íf(x)đx = cot(2x + —) - X+ c.

15



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/257

Bài 10: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:cotx

a) f(x) = cot5x; b) f(x) =1 + sin X

Giải:

\ fCos5x ,_ f(l - sin2 x)2 ,, ..a) icot xdx = —~ - d x = ----------- d(sinx)

J J sin X J sin X

= .(ỊtTTT----^ - + ~ \ - ) d ( s ia x )sinx sin X sin x )

= lnỊsinxl +— \ --------- -̂7 — + c.sin X 4sin X

. . r cotx - r cosx . r cosxsừis x ,b) ■ ■dx= -------— ------------------------- — dx= — ------ g— àx

I / 1 1 1 I

Bài 11: Tính 1 =

*sin x(l + sin9 x) ■*sin9 x(l + sin9 x)

_ 1 / d(sin9 x) ì _ _1 / __ Ị _______ 1

9 -^sin9x(l + sin9x)J 9 *^sin9 X 1 + sin9 5 _ 1, sin9X ^= - I n — z +c.

9 1 + sin X

dxrínhl = - 7 = ---------— ----------------v2 + sin X —cos X

Giải:dx _ I dx

yỈ2 - V2cos(x + VãỊ^l-cos(x + —)j

J/X .dx 1 ị- 2 + 8

V sin2(—+ —) ^ sin2(—+ —)2 8 2 8

1 - J

I 1 o tf * +l ì + C.& u s)

Bài 12:. TínhJ= J- ^ T COS X. cos(—+ x)

Giải:

‐ ì sin — = 1 4

! 71 Jsin — cos X cos(x + —)

16

d(sin9 x)



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




17/257

J=

J= V

1 -d(cos(x + —)r 4. n

sin— 4

J 7Ecos(x + —)

•d(cosx)cosx

ln|cos x |- ln cosf x + — + c

J= V In cosx

cos(x + — + c.

Giải:

k = —|(V2x +T - 42x - l)dx

\ J(2x +1)2 d(2x +1) - ị J(2x -1)2 d(2x -1)2 J ■ 2

= —£(2x + l)-\/2x + 1 -( 2 x -l ) \ /2 x - l j + c .

Bài 14: Tính A = J-

dxx l n 5 X

Giải:

Đăt t = Inx => dt = — X

A ' _ r d t 1 n 1 nA - I—T" — ---- —+ C — ------- 7— f"c.

J t 5 4t 4 In X

Bài 15: Tính B = Jx2V 2-x3dx

Giải:

Đặt t —2 - X3 => dt = -3 x2dx o- x2dx = - —dt3

B = - - ft2dt = - Í Ĩ -Ậ + c = - - ( 2 - x3)n/2-x3 + c. s J Q 7

17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/257

dxBài 16: Tính c = f— = _ J(l-x)v/ĩ

Giải:

Đặt t = yjx => t2= X ==>2tdt = dx

Q= Ị 2tdt - g f dt

J (l - t 2)t J (i-t )(l + t)~ 1 + t „ , 1 + Vx

j f— + - Mi - t j

dt

= ln1 - t

+ c = lnl~Vx

Bài 17: Tính D =

+ c.

( x - l ) a

Giãi:

Đặt t = x - l o x = t+ l=>dx = dt

- rf‘ ± £ dt . j t e - 4 4t5 Ji ts t4 t5

dt

D = - - L ~ L _ J _ + C = - 2t 3t 4t

Bài 18: Tính E = /sin3xcos4xdx.

1 2 - J _ + C2(x -1 )2 3(x - 1)3 4(x - 1)4

Giải:E = -jsin2x cos4xd(cosx) =-1(1 - cos^cos^dCcosx)Đặt t = cosx => E = -J(l —t^tMt —j(-t4 + te)dt

E = ——t5+ —t7+ c = ——cos5x + —cos7x + c.5 7 5 7

Bài 19: Tiah I Ịsin X"s/2cosx-ldx.

Giải:Đặt t = 2cosx —1 => dt = —2sinxdx

sinxdx = - —dt 2

3

= - ị h* ảt= -~+ c = - í tJ t+c2 J 2 3 3

2

Hay I = (2cosX- l)V2cosx - 1 4- c.3

18



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




19/257

. tansBài 20: Tính f— -—dx.

J cos X

Đặt t = tanx => đt =

Giải:

dxCOS2 X

f - ^ - d x = fetdt = et +C = etanx+C.J COS X J

Bài 21: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hãy tìm họ nguyên

hàm của các hàm số:

a )y= Vxlnx b) y = X.e-x.

Giãi:

a) Đặt u = lnx => du = — X

dv = Vx dx :=> V = W x3

jVxlnxdx = —xVx ln x - —jVxdx

ỊVx In xdx = —xVx In X- —x-s/s + c.J 3 9

b) Đặt u = X=> du = dx

dv = e~*dx => V = - e “*

íxe^đx = —xe-* + Je~*dx = —xe-* —e“* + c = —(x + 1)6“* + c.

Bài 22: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hãy tìm họ nguyên

hàm của:

a) y = Xsin— b) y = x^lnSx.

Giải:

a) Đặt u - X=> du = dx

dv = sm ^ dx => V= —2cos(^r)2 2

Íxsin-Ẹdx = —2xcos— +2jcos—dx - —2xcos— + 4s in— + c .2 2 2 2 2

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/257

b) Đặt u = ln3x => đu = — X

, 21 = X3dv = xd x= >v = — 3

fx2ln3xdx = — ln 3 x -—fx2dx + c = — ln3x- J 3 3 J 3

Bài 23: Đặt In = jxnexdx

a) Chứng minh: In = x“ex- , Vn e N*

b)TmhI2.Giải:

a) I_ = Jxa~1eKdx => (In_j)' = Xn-1.ex

Ta CÓ: [x“ex —nljjJ' = Ĩ.X0"1. ex + e*xn —n.x11-1. Do đó: - nlj ĵ = je^d x = In (đpcm).

b) I3= Jx3exdx11 = xex —10= xex — ex = (x —l)ex + c12= X2ex —2Ij = —2(xex - e*) + cĩ2 = (x2- 2x + 2) ex + c.

Bài 24: Tính J-xdxsin2 X

Giải:

Đặt u = X=> đu = đx

, _ dx „ ^dv = — ị — => V = —cotx sin X

Do đó: f xĉ - _ xcotx + fcotxdx = -scotx + J sin X :

Bài 25: Tính J- f o ^ dx.

= —xeotx + In Isinx ị + c. fln(sin x)

cos2x

Giải:Đặt u = ln(sinx) => du = cotxdx

, dxdv = — r — => V = tanx

cos X

Do đó: x) (Jx _ tan x x) - X+ c, J COS X

;x = ex. X11

d(sin x)

sinx

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




21/257

B à i 26 : T í n h ĩ = J-cosx .

Xét 3=1 t

cosx + sinx

sinx

■dx.

Giải:

■đx

'cosx+sinx Ta có: I + J = ídx = X + c

T T _ f C o s x - s i n x , r, (s in x + c o sx ) I . I _ I - J = —— ---- ;----dx= Id--------------------------------------------------=

J cos X + s in X J cos X + s in X

Do đó: I = —(x + In Isinx + cosx I) + c. z

B à i 2 7 : T í n h I = f s i n ^x g+ d x ( a l à h ằ n g s ố) . J COS X

Giải:SŨ1X. COSa + sin a COS X

cos2 Xdx

- d ( c o s x ) f d ( s i n x )

1 + sinx

— c o s a I-------------+ s i n a — — Jl-si:cos2 X S1Ĩ12 X

cos a 1 _ ,------ +—sin a Inc o s x 2 1 —sinX

+ c.

B à i 2 8 : T í n h I = J exl n ( l + e *)d x.

Đ ặ tu = l n ( l + e x)

d v = e xd x

d u =•l + e x

Giải:

■dx

I = e xl n ( l + e*) - p

V = e

x\2(ex) -dx

= e *ln ( l + e*) -

+ e

e*(ex + l ) - e * dx+ e

= e xl n ( l + e*) - e x + f - i — d xJ 1 + e x

= 6*111(1 + e*) - e* + ln(ex + 1) + c = (ex + l ) ln (e x + 1) - e x + c.

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/257

Bài 29: Tính A = f— JỠỈ1

s i n 4 Xđ x .

Giải:

XétB = f -sin4 X+ cos4 X

Ta có: A + B = Jdx = X + c

A __ f cos4X - sin 4X ,A - B = j ------- — — dx

cos4X + s in 4 X

A r» _ f COs2x , _ f COSA - B = — ------- dx = 2 I——— I * n ^ 2 —s i1 s in 2X

2

cos2x2 - sin2 2x

dx

_ r _______ d(sin2x) _______ _ 1

^(sin2 x-V 2)(sin2x + V2) 2>/2

Bài 30: a) Tim a, b, c để: —— ~ —- = — ------ — x(x -1) X X +1 X —1

sin 2x - >/2

s i n 2 x + -\/2

b) Tinh: r*2 f x -dx. ; •* J x(x2-1 )

Giải:

V x2-2 x - l a b c (a +b + c)x2+ (c-b )x -aa) — ----- ---------------------------------- ----- — ----- -------x(x -1 ) X x + 1 x - 1 x(x + l)(x - 1)

Đồng nhất ta có:a + b + c = l

-b + c = -2

-a = - l

a = 1

b = l

c = —1

.V fX2—2x —1 , fdx r dx f dxb) h s & d x = J T + & / ĩ r r

= In IXI + In IX+ 11- l n | x - l | + c= In x(x +1)X—1

Bài 31: Chóng minh trên đoạn [-2; 2] hàm số F(x) = - ~ V ( 4 - X 2)33

nguyên hàm của f(x) = 2x. V 4-x 2 .

+ c.

+ c.

là một

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/257

Giải:

Vx e (-2; 2) ta có: F ’(x) = - —.—(4 - X2) 2(-2x)

F '(x) = 2x ^ 4 -x 2 = f(x)

F ,(“ 24) - limF ,(“24) = lim ------------- = Um -( x -2 )V 4 -x 2 =0 == lim —(x - 2)V4 -X 2 = 0 = f'(—2)

_2 / / ._ 2ýỉ ____

F '(21 = lim — ---- -----= lim —(x + 2)^4-X 2 =0 =f'(2)

Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) ừên [-2; 2];

Giải:dx

= 21nIX2 + 5x.+ 6 1+1hỊx + 2| -.lnỊx + 3 | + c.

Bài 33: Tìm một nguyên hàm F(x) cùa hàm sổ f(x) = sin2x. e00̂ x biết rằng:

Ịsin 2xecosSXdx - - |e cos2*đ(cos2 x) = -e005’x+ c

F(x) = - e"*'1 + C = > F (- ) = - l + C = 0 o C = l2

v ậ y F (x )-~ e “**x + 1 .Bài 34: Tim a, b, c để F(x) = (ax2 + bx + c)e“x là một nguyên hàm của hàm số:

f(x) = (—2X2+ 7x —4)e-1.Giải:

F '(x) = {2ax + b)e“x- (ax2+ bx + c)e"x = (-ax2+ (2a - b)x + b - c)e_x

x‘ + 5x + 6

Giải:

23



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/257

Bài 35: Cho f(x) = ( W x ~ f )sin2xl - 2 s m x

Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0) = 1.

Giải;

\ - ( l -4 s in 2x)sin2x , , _ .f(x)-------- —

---- ------= (1 + 2sin x)sin2x1 —2 SÙI X

f(x) = sin2x + 2sin2xsinx = sin2x + cosx —cos2x

/f(x)dx = ——cos2x + sinx —Ậsữi2x + c = F(x).2 2

F(0) = - - + c = 0c= - 2 2

Vậy F(x) = —cos2x + sinx——sin2x + Ạ.2 2 2

Bài 36: Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx^/cosx biết nguyên hàm

triệt tiêu khi X = n.

Giảiĩ

4

Jf(x)dx = - J(cos x)^d(cos x) = - C0̂ X- + c

3

F(x)= - - C O S X %/cosx + c 4

F ( ,r )= - |( - I )$ = ĩ j + c = - | + c4 4

F(tc) = c = — 4

Bài 37: Chứng minh rằng F(x) = -ỊxVl+x2 + ln(xWl+x2)Ị là một nguyên

hàm của f(x) = VI + X2 .

24



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




25/257

Giải:

F '(x) = — 2

1 +

■v/l + x2 + Vĩ + xVl + X2 x +V ĩ + X2

— Vl + X2 = f(x), Vx € R Vi-t-x2 +-pS— +— L =V l + X2 V l + X2


Bài 38: Cho f(x) = sin3x(l + cotx) + cos3x(l + tanx) (0 < X < — )

Tim nguyên hàm F(x) biết F(—) = 0.

Giải: ___ . COSX^I ( s i n x ' i

f(x) = sin X 1 + ——— + COS X 1 + ■^ sinx^ V cosx^

= sin3x + cos3x + sin2xcosx + cos2xsinx = sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + cosx) = sinx + cosx

F(x) = sinx — cosx + c

F(—) = 0 F(x) = sinx - cosx.4

Bài 39: Đê F(x) = (ax + b)ex là nguyên hàm của f(x) = X.ex thì giá trị của a, bbang bao nhiêu?

Giải:F '(x) = (ax + b + a)exĐể F(x) là nguyên hàm của f(x) ta phải có

ía = 1 fa =1F '(x) = f( x )V x e R « (a x + b + a)ex= xex o ị k Ib - -1

Bài 40: Tính I = ị dx

xlnx

„ dxĐặt t = lnx => dt = —

X

1= J— =lnt + c

Giải:

Do đó: Idx

xlnx= l n I n x + c.

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/257

Bài 41: Cho biết íf(x)dx = ln2x + c tím f(x).Giải:

íf(x)dx = l A + c => F(x) = ln2x => f(x) = F ’(x) = .X

Bài 42: Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x) = V x.

Giải:, ọ — ọ _ jVxdx = Jx2d x X 2 +C = — XVX + c.

Bài 43: Cho biết íf(x)dx = — -—- + c tìm f(x). J (x + l f

Giải:

Vì F(x) = — ~ = (x + 1)“2=> F '(x) = —2(x + l)-3(x + 1)2

Hay: f(x) = ~2 -j .(x + 1)

X —XBài 44: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = ---- -.

x + 1 ■Giải:

f(x) = 1 ----- — => F(x) = X—2In ỊX+ 1 Ị + c.x + 1

Bài 45: Cho f(x) = sinx + cosx. Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) = -1.2

Giải:F(x) = sinx - cosx + c

F ( j) = - l o l + C = - l o . C = -2

Vậy F(x) = sinx —cosx-2 .

Bài 46: Cho f(x) = sin2x. Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) —0.6

Giải:

f(x) = sití2x => F(x) - - —cos2x + c2

F (- ) = 0« - - -C O S - + c = 0c=—.6 2 3 4

=> F(x) = cos2x + —.• 2 4

26



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/257

Bài 47: Cho Jf(x)dx = ex+1“ + c. Tìm f(x).Giải:

Ta có: F(x) = ex+lnx—ê .e11̂ = xex

f(x) = F '(x) = (x + l)ex.

Bài 48: Tìm nguyên hảm của f(x) = -x ~ + ̂ + ̂1 + VxGiải:

f(x) = xVx - 1 => F(x) = — - X+ c.5

Bài 49: F(x) = lnX — 1

X + 1là một nguyên hàm của hàm số nào?

Giải:

F(x) = lnX —1

x + F ' ‐ ( + ) 2Ỉ W X-1 x* - r

x + 1

Vây F(x) là nguyên hàm của f(x) = - f -— X - 1

Bài50: Tình Jesỉn2x.sừi2xdx.

Giải:

Je™1** sin2xdx = Je^M Csin2 x) =e5*2*+ c.

Bàỉ 51: Cho f(x) = ----- ------- Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thoả F(—) = 73 .1 - COS2x 6

Giải:

„ 1 1f(x) = ----- ----- = ---- — — l “ C0s2x 2sin X

F(x) = - ” COtX*í-C

F(—) = & < = > --.& + c - Vã c= V3+— - — 6 2 2 2

Vậy F(x)“ - —cotx+2 2

Bài 52: Tim nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sưix—COSX ứioả F(—) = 0.sin X + cos X 4

27



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




28/257

ị F

Giải:n, , _ sin X - cos X (sin X+ COSx)'f(x) = r „ =

sin X + cos X sin X + COSX

F(x) = —In Isinx + cosx I + c

F(—) = -ln-v/2 +C = 0 o h ’>/2 = c o c = Ỉln24 2

F(x) = -In sinx + cosx + —ln2.2

Bài 53: Cho Jf(x)đx = Inx +Vx2 + 1

Giải:

ff(x)dx = in------JL= ' + C => F(x) = In----- ?-....

;• x + vx2 + 1 x + vx2+ lF(x) “ -ln(x + Vx2+1)

f(x) = F'(x )= - (x + ̂ xZ + 1)' - 1

Bài 54: Cho f(x) = -

XW x2 +1 Vx2 +1

1sin2 Xcos2 X

f(x) = -

. Tìm nguyên hàm của f(x).

Giả/:

1sin2 Xcos2 X sin2 X COS2 X

F(x) = -cotx + tanx + c. dx

Bài 55: Tính J'

f(x) =

X - 3x + 2

1 1

Giải:

1X - 3x + 2 x - 2 X -1

Jf(x)dx = In i X - 2 1- In IX- 1 1 + c = In

Bài 56: Tính Ịxcosxdx.

X - 2

X —1+ c.

Giải:

íxcosxdx = jxd(sinx) = xsinx - ísinxdx = xsinx + cosx + c.

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/257

Bài 57: Cho biết F(x) là nguyên hàm của f(x) = — và F(2) = 2 tìm F(-2).

Giải:

f(x) = - => F(x) = In IX —11 + c

X—1F(2) = ìnl + c = c = 2=> F(x) = 2 + In IX- 1 1

F(-2) = 2 + In I-3 Ị = 2 + ln3.

Bài 58: Tính fX-^ -dx.1+ X

Giải:

|xM x= ljdO±iE!) = l ln|1 + x4| + c . + 4 1 + 4 ' 1

Bài 59: Cho biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = — và đồ ứiị y = F(x)COS X

cắt Ox tại điểm X= — xác định F(x).

Giải:

f(x) = => F(x) = tanx + cCOS X

Đồ thị y = F(x) cắt Oxíại x= — «• F(—) = 0 c = —1

F(x) = tanx—1.Bài 60: Cho biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = tanx.sin2x thoả

F ( ĩ ) = í . T ì m F ( x ) .4 4

Giẩi:

f(x) = tanx.sin2x = 2sìn2x = 1 - cos2xF(x) = X — —sin2x + c

2

F ( - )= - - - ỉ + c = -4 4 4 2 4

c - —=> F(x) = X - — sín2x + — .2 w 2 2

29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/257

Bài 61: Tìm nguyên hàm của f(x) = sin3x sin2x.Giải:

f(x) - sin3x.sin2x = 2sin4x.cosx

Jf(x)dx = 2jsin4xd(sinx) = —sin5x + c.5

Bài 62: Tính jW x + lđx .

Giải:

Đặt t = Vx+1 o X= t2 - 1 => dx = 2tdt

jW x + ldx = 2 J(t2 - l)t2dt =—t5——t3 + c5 3

=—(x + l)2VxTĨ - —(x + l)Vx + l + c.5 3

Bài 63: Tính h — ^

yjx + l + y j x - l Giải:

c dx rVx + l - V x - 1 27 = 7----- = ------------------ dx = —

Vx+1+VX-1 2 3

3 3"

(x + 1)2 - ( x - 1 ) 2 + c.

Bài 64: Cho jf(x)đx = Inịcoskxị + c . Tim f(x).J£

Giải:

F(x) = -ilnfcoskx! =>f(x) = F'(x) = — [ k kv coskx )

f(x) = tankx.

Bài 65: Tính p ^ Ễ -đ x .VX

Giải:

Đặt u = Vx => -^r = 2đuVX

rsinVx , _ e . ̂ _ Ị— — 7==—dx =2 sin udu = -2 eos u + c = -2 COSVX + c. Vx J

Bài 66: Tính r xdxCOS 2x2

Đặt u = 2s2 du = 4xdx

J— 2X 2 dx = Ặ I = —tanu + c = —tan2x2+ c.J COS 2x 4 J cos u 4 4

30



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/257

B. BÀI TẬP Tự LUYỆN

Bài 1: Tìm họ nguyên hảm của các hàni số sau:

a) f(x) = x(l - 2X2)2001

1 b)f(x) =■n/x + 1 + V x-1

c) f(x) = X+ Vx + 1

d) f(x) = -

đ) f(x) = —

e)f(x) =

2x

XW x2 -1

2x

K+ Vx2-1

11 + 8*

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) f(x) = cos3x.cos3x

sinx

b) f(x) = l + sin2xc) f(x) = (sin6x + cosex)cos4x.

Bài 3: Chứng minh F(x) = — 2

xVx2 + a + aln |x -h/x2+aj

hàm của f(x) = VX2 4- a

Suy ra họ nguyên hàm của g(x) = Vx2 +1.

-3x2+ 3x + 5Bài 4: Cho y = X3 -3 x + 2

a) Um A, B, c để y -(x-1)2

b) Tìm Ỉ1Ọnguyên hàm của y.

B c+— —+ ■x-1 X+ 2

Bài 5: Chứng minh F(x) =

là nguyên hàm của f(x)

X2 X2 ——ln x ---- khi X> 0

khi X = 0

x ln x - —- kid X>04

Bài 6: Tim họ nguyên hàm của f(x) =

khi X= 0

xz -1

là một nguyên

(x + 5x + l)(x - 3x +1)

31



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




32/257

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = tan Ịx + u cot ụx + —J .

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của:

a)f(X) = | ị ^ b ) f (x )= - ^— X -X X -X

\ r / \ — x f / ^— x


33/257

F(x) =2>/2

.In tan2(sinx + cosx)

c) F(x) = — sin4x + — sin8x + — + c .32 128 16

Bài 3:Tính F '(x) rút gọn

jVx2 + ldx = — x-v/x2+1 + ln(x + Vx2+1)2 -

Bài 4:

Đồng nhất đa thức ta được A = 3, B - 2 , C - 1

+ c

F(x) = --------+ ln(x - 1)2+ In i X + 2 ị + c.X—1

Bài 5:

Vx>0,F'(x) = x lnx + — —= x lnx = f(x) 2 x 8

F'((T) = lim f - l n x - - Ì = lim

f ̂

Ins- lim —

x-»+4

lim —”— ox->o z= 0 .

Bài 6:

nu* ư u x2- l A x + BPhan tích ------------- ‘ — ---------------------- +*

(x + 5x + l ) ( x - 3x +1) X + 5x +1

Đồng nhất ta có A = —, B = , c = —, D = — 4 8 4 8

F(x) = - —In v 8

X + 5 x + 1

X —3x +1+ c

+ c .

Cx + D

? - 3x +1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




34/257

s r n f x + —i . c o s i x + —ì s i n Í 2 x + —1 + s in - ^

Bài 7: Biến đỗi f(x) = — I— 3( )— = — ; ;------- -cosỊx + l Ị s inỊ x + l ) sm [2x + | ] - s i n |

cos2x + Ậ

2 -1 I 1 -1 I COS2 x1 1 3cos2x“— COS2 x - — 2 COS2 x-^-2 2 2

= 1 + ------£SEJÉ--------= 1 + .

2 - —(ĩ + tan2x) - - —tan22 2 2

d(tan x)=> jf(x)dx = x + 2 [---- Q^an. ; --------J(l-v 3 ta n x )(l +v3 tanx)

= x + -j=r ịf ------------------------ f t --------1d ( ~ j s tan x)v3 \ l - v 3 ta n x 1 + V3tanxj

_ 1 -1 + v3 tan X _ -X + —In ------- ------------+ c .

3 1 + —v/3 tan X

Bài 8:

. rx4 - 2 , fX2 + l , _ f dxa) -T------dx = ----- — d x - ---- r-—

J X - X •* X ■*x(x -1 )

y2 1 !(= — + 2 1 n |x Ị -- ln x 2 - l + C .

2 2

b) f - J £ _ = L £ ^ _ f * U A ln |x 2- l | - l n y + C.X —X X —1 X 2 I I 11

cl f. xdx - r X+1 dx f dx\/x + l WX + 1

= | ( x + 1)V(k + 1)s — f^ (x + l)s + c.

ư 2

d) f(x) = x2—X +1 =>F(x) = —— — + X+ C.3 2

Bài 9:

F(x) = - 2 cosỊx - — + — sin^x - — + — sin^3x - —'Ị+ c.

34



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/257

§2. TĨCH PHÂN

I. TÓM TẮT LÝ TH ƯY Ểr

a ỉiai. số; bất kỳ

thụộc: I. NếiijRi )̂ ỊặỊjn g ^ ạ íiàiii của j'(x) thì tíẹú :̂ Ố’: -F(b) - F(a) được'

• gội là tích phân củá f(x) íừ a đến b vả kýỉủệir: Jf(x)dx = F(x)|b.

-2. Định ty 1 Ghò'hàm! số ỵ ^:f(x) liên tịié^ộng âm trên khoảng I và a, b là haisô thuộc I (a < b);. Diea ticli 'hinh tìiảng ;eong gÌĐfi hạn;bơiUĩỒ thi V = f(x),

j ".;írục Ox yàĩiai đương ihãng x = a, X- 0 là: yỵ/'-' ' ..

í' — ụ- ): : Jf(x)dx. •' - •

3. Tmh chất cũa tích phân:Giả sử f(x) va g(x)"ịíien tục ừên l và ã, b, c ĩã ba số Mtkỳ thuộc I. Khi đóta có: ' . ‘ ,

■; ; | ị r ■■' ,■■:■ ->j\.\-.. •' ỉ. •

/rij- 4-, rjf(x}dx = - Ji( x) d x. . ; ; -Ạ>.! -kềỆ fiì^xỆi-.- i^ lổ íý ■: - 'r - ••i'

- ~ ; . f ' .'iff(xidx (x)dx =TJf( x ) d x f a. ■■'.! b ■ ‘a- ■■■V■ ■■í‘--P; '-i\- ,

b / .b y - i - / : ! ■' ■ -; .; . fkf(x)dxi= k (x)dx vớik (=.R ..

'£-■ Í' ■ ■ ■■ ■■■.V- . O , ' ■¥ :- - ; b r.i^i /V. '■

■- ' • >f (f ( - f ff e )d y :-&;fgffijr ; . I \V:/- , b I-1-

n. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BAN:D ạng J : 7in h | fch rphqn Q c^b âĩ Ịbằn g cTmhfighia . ,

Ị ẳ^Ệíc Ĩ Ị / ị p l í ^ l ^ ỉ^^Q^^Mệu-

1 .'Ệ*;-r-f í ' ' r:̂ ';

iÈÊÊÊẾÈÊÈăÊÈÊÊÊằẾỉầMÊịỉM

35



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




36/257

Bài 1: Tính I = J2 _ 3X + X - 2 x +1 dx.

= —+ ln 2 . 8

ĩ ĂGiải:

I=]H-Ặ+ẶMx+lllH+ỉ-£)2. (Ịx

Bài 2: Tính I = f ,1 VX + 1 + \ X - 1

Giải:

I = - RTĨTĨ - V ĩ^ĩ)(fa= ị í(x+ i y j ĩ ĩ ĩ - (X -2 1 3 1

= —(3>/3 - 2yỈ2 - 1 ) . .3 .

k /2Bài 3: Tínhl = J sin3x.cosxdx0

Giải:

1 31/2 1 f 1 1 'ì 1= — J [sin4x + sin2x]dx = - l - - - cos4x--ậs in2xj

Bài 4: Tính ĩ = "f4- ^ci Kf6 s m 2 x c o s2 x

1 =

Giải:

Ị = - ì + l + S - ^ = - j 3 .3 3

l - c o s 2 x ,

Giải:

Bài 5: Tínlil = f ị COS X

rr. l-c o s2 x 2sin2x nj_ 1T a có : ----- ~Ỷ — = ------- — = 2 t a n X.— -

co s X co s X cor

Do đó : I ~ 2 j tan2 xd(tanx) = —tan3X

0 3

cos2 Xk / 4



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




37/257

7/2

Bài 6: Tính I = J COSxvsin2 xdx. j i / 3

Giải:7c / 2 2 t t / 2 2

I = J COSx(sin x)3dx = J (sin x)3d(sin x)r c / 3 7 t / 3

5

- __ (sinx)3

I3

Bài 7: Tinlil =

k /2o . 3/ ■ 2= —sin XV sin X

«/. 3\ : £ j r ■- --

./» 5 ,/3 5 2 4

j ( £ W F ) d x .

Giải:

I —Je 2xdx+je2dx0. 0

I = - I j e-2*đ(-2x) + 2 jeM Ộ0 0 ^

I = —- e -2x +2.e2 2

= — L + 2 >/ e + - - 22e 2

2e 2

3 4 4

Bài 8: CỈ Jf(x)dx = 3và Jf(u)du = 7 - Tính Jf(t)dt -a 0 3

Giải:

Ta CÓ: |f(x)dx + jf(t)d t = jf(u)du0 3 0

Jf(t)dt = Jf(u)du - jf(x)dx = 7 -3 = 4.3 0 0

m KÍỈ 4 sin3 xBài 9: Tính I = f 4 dx

ị 1 + cosx

37



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




38/257

I = 4 ' f*ạ ■- 00


39/257

MBP i111wM

ItsHi

ni n Ệ&B

t z / 4 j z / Z

1= f (cos X- sin x)dx + f (sinx-cosx)dx0 ■ J z / 4

I = (sinx + cosx)|*/4 -( s in x + cosx)|’t/2 = V - 2.

r t / 3 ___ ______________ _ _____________

Bài 3: Tính I = I Vtan2x + cot2x -2 d x .rc/6Giải:

J t / 3 _________________________ x i 3

1= I i/(tan x-co tx)2dx = I |cotx-tanx jdxtc/6 tc/6

t c/ 3 j ĩ / 4 3 t / 3 O —

I = 2 f ịcot2x|đx = 2 f — dx- f C0S —-dx Á U / 6 S ừ l 2 x * /4 S Ì n 2 x

1= 2 lnịsin2x|Ị7C|4-ln|sin2x[|,c/3 =-21n— .

Bài 4: Tính I “ I Vx4 - 2x2 + ldx -2

G/ảĩ:

1= j/(x2-l)2dx= J|x2-l |dx-2 -2

‐

= J(xz- l )dx + j ( l - x 2)dx+j(x2 “ l)dx -2 -1 1

( s > f „ 3 Y ( s V _ X I X X= —— X + X- I + “—-X =4

J-2 V 3 J-1 V3 ) 1Vậy 1 = 4.

I t / 2

Bài 5: Tính I = J (VI+ cos2x - Vl-cos2 xjds —r c / 2

Giải:rc/2

I = y J (Ịcos x| - Ịsin x|)dx- I t / 2

' s/2= yỈ2 J (cosX + sin x)dx 4- J (cosX - sin x)dx

_ - je/2 0

= >/2^(sinx-cosx)|° /2 +(sinx +cosx)p/2j-= >/2(-l + l + 1 -1 ) = 0.

39



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




40/257

Bài 6: Tính I = jjln x| dx.1e

1 eI = J-lnxdx+ Jlnxdx

ỉ 1e

Giải:

Để ý rằng nguyên hàm của lnx là x(lnx - 1)Ị ĩ ie

Do đó: I ——x(lnx -1) Ịị + x(lnx —1) I

^ c o s í x ^ ì ‘

Bài 7: Tính I = f - v ; dx. Vl + sin2x

Giải:

Ta có: Vl + sin2x =yỊ(sìnX+ cosx)2 = Ịsinx + cosxỊ =

* / 4

I= V2 Ị.0 ,

cosíx + —ìl 4j

COS

siní X + — l 4

I t / 4 " ' ' “ I ■ . ịdx=

s“ ( x+ ĩ ]

dX

’ r ■% TU _ 7T TZ . , ^ 7C w Ax e [0 ;- ] — < X + — < — => sừi (x + —) > 0.4 4 4 2 4

Do đó: I = I ■ = lnsinlõ sin(x + —) V, 4

i r / 4

= -ln

7tBài 8: Tính I = jVl + cosxdx.

-v/2 sin X 4-



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




41/257

Bài 9: Tính I = f— JX-1 X —X -1 2

-dx.

Giải:

= 2/ ( ^ - 4 ^ + 3 )= f l f e - ? T ĩ ) fa - 7 *X2 - 4

X +32 1 3

= —ln—. 7 4

■ 4

B àil: Tính I = jmaxjx2 + l;4 x -2 |d x .0

Giải:

Xét f(x) = X2 + 1 - (4x - 2) — X2 - 4x + 3 trên [0, 4]

0 1 3 4Ta CỎ: f(x) + 0 — 0 +

Do đó: maxfx2+ 1, 4x - 2} = X2 + 1 trên [0; 1] u [3; 4]

và maxix2 + 1, 4x - 2}»= 4x - 2 trên [1; 3]1 3 4 a n

Vậy I = J(x2 + l)dx 4- J(4x - 2)dx +J(x2+ l)dx = ——.0 1 z ^

4

Bài2:TứửiI= JmaxỊx2;4x-3|.dx2

Giải:

Xét g(x) = X2 —4x + 3 ữên [2; 4] ta có:

X 1 2 3 4

f(x) o+

— 0 +

41



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




42/257

Do đó: max-Ịx2; 4x - 3} = X2 trên [3, 4]max{x2; 4x —3} = 4x —3 ừên [2, 3}

Í4X-3Hay maxỊx2; 4x - 3} = Ằ 2

xe[2;3]

Xe [3; 4]

3 4 £ 0

I = J(4x - 3)dx +jx2dx = — 2 3 ^3

Bài 3: Tính I = JminỊx;x2Ịdx.0

Để ý: min(x; X2) =

Giải:

xe[0;ĩ]

|x xe[l;3]

\ % X3 1 X2

Do đó: I = Jx2dx+Jxđx = -Ỵ + -^-0 ' 1 0

1 9 _ 1 . = X33 + 2 2 6 ■

1Bài 1: Chứng minh j

0

C0S7ĨX

-l+x l + x

, Vs e [0, 1]

Do đó: ( C0SĩĩX ds < [ ^ = lnỊx+l|* = ln 2. ị 1+x ổ1+x

Bài 2: Chứng minh —- < ị ^ 0

CLX n

4 + 3cos2 X 8

42



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




43/257

Giải:

X e [0, —] => 0 < cos2̂ < 1 => ị ^ - - — -------< — 2 7 4 + 3 cos X 4

Do dó: > f ; - o V j — 4 Í ; - 0 Ì 71,2 J 0J 4 + 3cos?x ế U J

ji/2 J = > J l á f Ị *


44/257

m. BÀI TẬP TỔNG HỢP

A. BÀI TẬP Tự LUẬN

B à i 1 : T í n h c á c t í c h p h â n s a u :

e X3 + x 2 - 2 x + l1

a) A = J ( l- x - x 2)2dx b) B= J0 . 1

c ) c = f , f e y _____ _ d ) D = f e W e ' - l d x .0JV x 7 ĩ- V ĩ^ ĩ 0J

Giải:1 ' 1

a) A = JCL+ X2 +x 4- 2 x + 2x3-2 x 2)dx= J(x4+2x3-X 2 -2 x + l)dx 0 0

r _ X 5 X 4 X3 2

5 2 3

30

2e3 + 4e - 1 32e2 2b) B=ị(1+x - | +ẩ )dx =(x +lnx +f" ^

c) c - [— T.-.-V— — . = —[í-v/x + 1 +fVx + l - V ^ I 2 P ;

= ỉ J(x + 1)1/2 d(x +1) + J(x -1 )1/2 d(x -1 )2 Li I

= ỉ[ (x +1 ) ^ /^ ĩ + (x - ĩ ) V^TỊỊ2 = |(3V ã - 2n/2 + 1 ).

d) D = jex>/ex - ld (e x) = lJ[(e‘ - l ) + l]Vex - ld (e x)0 0

* J(e“ - 1)3’2 d(e* _1)+ F _1)1/2 d(e*_1)0 0

- -1)5'2+l(e’ -c Ị= ( l(e‘ -1),^ +1(Í

D = —( e - l) 2 + - (e -1 ) V ẽ-L5 3

44



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




45/257

Bài 2: Tính các tích phânJt/2 ji/2

a) I = I sin2x.sin7xđx b) J = [ sin2 X. COS3xdx.-JC/2 0

Giải:.

a) I = — J (cos5x-cos9x)dx =—p 1s in õ x - -^ 1

X 4

SỈĨ13 X s i n 5

-it/2

i t / 2

_ 2 _ 15

n i z / í b) J = I sin2X(l - sin2 xỊ d(sin x) = —

0 V

Bài 3: Tính các tích, phân sau:2 n/2

a) H = j|X2 + 3x —ề|dx b) K = I ỊcosX —sin xị dx.0 0

Giải:1 2

a) Tacó:H = J(-x2 -3 x + 4jdx+ J(x2+ 3x -4jdx0 1

í X3 3x2= + 4x + 1 ------ 1---------- 4x = ỉ> .

1 3 2 J0 u 2 j i / 4 J t /2

b) K= Ị (cosx -sinx)d x+ J (s inx-co sx)dx0 • i t / 4

= (sinx + cosx)|*/4-(cos x-s inx)['*

= 7 2 - 1 - 1 + V2 = 2 ^ 2 - 2 = 2 (7 2 - 1).

Bài 4: Tính các tích phân2 1

a) L = Jmax|x;x2Ịdx b)K = Jm in|ex;e-X|d x . ‐

Giải:

. X3 3x:2 . ^+ — + — — 4x, 3 2 ,0 ^ ' 1

a) max{x;x2} = , X 0 ̂X


46/257

b) min{e*;e-x}= K 1


47/257

B ài8: Tìmxthoả: J(2t-4)dt = 5. 0

Giãi:

J(2t-4)dt = 5 ( t2 -4t) |x =5 o x z- 4 x - 5 = 0 o

0 0 1Bài 9: Tim số thực Kthoả: J(ex - e _x)dx = K - —.

-1 eGiảỉ:

j ( e ‘ -e-*)dx = (e‘ + e - f i = l + l - ỉ - e = 2 - ỉ - e

Do đó ta CÓ: K - —= 2 - —- e c > K = 2 - e . e e

Bài 10: Tính các tícỉipMn sau:

a) I = J (é51** + cosxjcosxds b) J = — dx .0 0e +1

Giải:tĩ /2 1C/2

a) 1= j eSÌEXd(sins)+ J0 0

X = -1X = 5

l + cos2x

b)

= e ^ r ' 2 + — X +—sin2xlo 2|_ 2 J 0

_ _ l[jí"| Jt -= e - l + —— = —+ e - l .

2[_2j 4

I . d ( 6 X + l ì I i ll ( 0 -Ị. 2.J= = In e* +1 = In

J e* +1 I llo ^ 2

Bài 11: Tỉnh các tích phân:

a) A = ”? — dx£ l + cos X

t c / 4

b)B= J

0

cos2x

1 + sin 2x

■dx

Giải:

lt/2-dfcos2x + l)

l - y d ( l + s in2x)= i ln | l + s in2;, } 2 J 1 + sin 2x 21 1

= -In 1 + cos X = In 2.

I"'4 = —In 2.lo 2

47



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




48/257

1 + cos2xdx

Bài 12: Tính I =sin X

Giỗ/.*ir/2 J \2

I = f cot4 X. COS2 xdx = f — -r------ 1 cos2 xdx*/4 ,/A sm X ;

= f ( c o t2x —\-----2cot2 x +COS2 X |dxsin2x )

z/2 rc/2/-* \ Ttl 21I = - J cot2 xd(cotx)-2 J — -^----- ljcbs: + J —-

s / 4 J i / A s * n x ' s / 4

f -v-jit/21 = c ot3 x + 2 c o t x + 2 x + 4 x + —s in 2 x

L 8 . 2 l x 2 4 , 4

_ + 71 _j_ 1 2 - 71 n ^ = 5 U ^4 3 ~ 2 ~ 8 ~ 4 8 ~ 12' Bài 13: Tính các tích phân sau:

a) A = J^x + —+ 2dx b) B = jVx3-2 x 2 + xdx.

Giải:

a) A=‘il^ỹdx=?(VI+í)x= p W Ĩ +2^ ĩ 16 ; 2 -

tu/2 6 _

= - —+ 4 - —- 23 3

A = — + 2.3

b) B= ịyjx(x - 1)2 đx = J]x - lj'Vxdx0 0

1 2B —|( l - x) yfxdx + J(x —l) Vxdx

0 1

= J(x1/2 - x 3/2Ịdx+ J(x3/2 - x 1/2)dx

= ± s ^ ~15 15

48



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




49/257

a) I = Jx^(x +1)3dx0

Bài 14: Tính các tích phân sau:

b)J= J.dx

ịx (x + 1)

Giải:

a) 1= J(x + l - l ) ( x + l)3/2 dx = jf(x + l)5/2-( x + l)3/2]dx0 0 J

= ^ ( x + 1)3 Vx+T--g(x + l)2VxT lj

7 5 7 5 35 35

8

2 X2 - K2 + 1 2dx=J.

2 2 24 r ị _4

+ 352 2 1

dx- f- x 1' x2(x + l) ^x2(x+l) j*x2(x + l)

2 J 2 1 2 2 _ ..= p Ề L _ p z l d x . t t . f iz id x

{X+l I X 'x + l ị X

J = ^l n|x + l | - l n | x | - ỉ j

dx

= L n3 -In2 -—-ln 2 + l 2

J = ln3 —21n2 +2

Bài 15: Tính các tích phân\ T _ V dx 2x —3

X + 4x + 4-dx.

Giải:

\ ĩ = 3f x + l ~ x H - 3f X + '*'J x ( x - l ) ( x + l ) ~ J x ( x - l ) ( x + l)

• 1= j f—ỉ — jf—ỉ ------ -—ìdx^ x - 1 x j 2 ' t x - l X + 1J

3 3, x - l 1. x - 11 = In - — - —In ——-

X 2 2 x + l 2

I = ln—-I n— In—+—In— 3 2 2 2 2 3

x ( x - l ) ( x + l )dx

I = —ln 2 - —In 3.2 2

49



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




50/257

b) J= lJ _ 2 ^ d x = | ! í i l ậ l Z dx= 2 Ì - ^ - 7 j r ^ - ĩ +4 X + 4 J (x + 2) 0 X + 2 (x + 2)

“ ( 21“ l*+2l+ 7 ĩ ã ) 1 3' 7 = 2 I n ——

2 6

Bài 16: Tính các tích phân2tĩ

a) A = I Vl + sin xdx0

4

b) B = J|x2-3x + 2|dx.-1

Giải:

X Xsm—+ COS— d x

271 17 - \ 2 2 «

a) A = f J sin—+ cos— dx = f — 0J \ l 2 2 ) J 2 2

= ̂ H ( f - f )*= =2̂ 2 ll^ t f "â

,, . X 71Đătt = — 2 43JI/4

A= V J ỊcostỊdt-ít

r t / 2 3 t i/ 4

= V J costdt- J costdt- i t / 4 t c / 2

= 2 >/2[sint|^4 -sin t|“ 4] = 4,/2.

b) B — J(x2 -3 x + 2^dx+ J(“X2 +3x-2jđx+ J(x2 -3 x + 2jdx - 1 1 2

B = I—— — + 2x3 2

B - H .

^ 3 x 1 Q ' —T- + -T— 2xv 3 2

‐ ^

2

ĩ e / 2

Bài 17: Chứng minh: — < Je"“ *rd x ắ - .2e £ 2

Giải:

-1 < -s in 2X < 0 => e-1 < e~s“2* < e° ĩc/2 it/2 jc/ 2 w/2

j e-1dx< j V sin2xdx< J ld x= — ầ J e-shl2xd x< —. ^

í r:



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




51/257

1 V *Bài 18: Chứng minh: 1 - —< fe'x dx 0 1 > e"*2> e' Do đó:

-X

1 1 1 1 1 1 1Je-Xdx < Je_xSdx < Jdx -e-xỊ < Je_x2dx < 11 - —< Je~0 0 0 0 e 0

9 2

Bài 18: Chứng minh: ~ < íex ”xdx£2.e2.Ve 0

Giải:

Xét f(x) = X2 - Xtrên [0, 2] ta có: < f(x) < 24

Do đỏ: e 4 ̂e**-* < e2 => |e “1/4dx £ |e*2_xđx < Je2dx0 0 0

ọ 24 = 2 0 < cos X ắ 1

rt /2 t t /2

sin2x = 2sinxcosx < 2sinx do đó J sin 2xdx á 2 I sin xdx.0 0

ỉt/2 J20: Chứne minh: —< f --------- 7— < —.Bài20: Chứng minh: —< j

4 0 4+ 3cos2X 8

Giải:

~ , 1 1 1Ta có: —£ ---- —-—T— < — 7 4 + 3cos X 4

D o đ 6 : i í i - o ) s ' f — ^ - s ỉ í i - o ì7^2 J jỊ 4 + 3cos X 4^2 J 1ÍỈ2 1 _ ĩí f dx TU

— ^ I14 J0 4 + 3 c o s2 x 8

;2d x ^ l.

51



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




52/257

Bài 21: Chứng minh:rCOSTCX' 1 + x

dx

Giải:

< In 2.

Ta có:

Do đó:

rCOSTCX

I 1 + X

rCOSTCX

l + xdx

o l1 + x o(x + 1) ox + 1

áln ịx + llị1 =ln2.0

Bài 22: Cho f và g là các hàm số liên tục trên [0,1] và có miền giá trị là [0,1].

Jf(x)g(x)đx < Jf(x)dxlí Jg(x)dxì..0 J lo / V.0 )

Chứng minh:

Giải:

fo á f(x).g(x) á f(x) Ịo < f(x).g(x) < g(x)Ta có: V x e[ 0 #l]=> | ° ẩ f(x )á l [ 0 < g ( x ) < 1

1 1Do đó: Jf(x).g(x)dx < Jf(x)dx

0 01 1Jf(x).g(x)dx < |g(x)dx 0 0

'l I2 f l W1=> Jf(x)g(x)dx < |f(x)dx . |g(x)dx

.0 J lo /Lo

Bài 23: Tính I = JmaxỊx3;4x2-3 x |d x .0

Giải:

Xét f(x) - X3 —(4X2 - 3x) = X3 —4X2 + 3x

f(x) = ^(x2 - 4x + 3)

Vx f(x) > 0: m axfx^x2 —3x} = X3

Vx e [1, 3] => f(x) < 0: max{x3;4x2 —3x} = 4X2—3x1 3

Do đó: I = Jx3dx + j(4x2 -3x)đ xft 1



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




53/257

Bài 24: Cho f(x) = Vx + 2-n/x^T + Vx ~2V x^T . Tính: I = jf(x)dx .1

G/ỏ ỉ;

f(x)= J ( v * - l+ l)7 +yjf jx- l - ĩ f = V x - l+ l + |V x - l- l|

í 2 khi 1< X


54/257

a) Xétf(x)sinx

f(x) =

Giảiỉ

Xcos X — sin X

X X“

Xét g(x) —xcosx —sinx => g’(x) = —xsinx

Vx €% %

6 }3

g’(x) < 0 => g(x) nghịch biến

X> — > 0 => g(x) < g(0) = 0 => f (x) < 0 : hàm số f(x) nghìch biến toên 6

% 7C6'"3

maxf(x) = f 6j

3V |2tc

, V 3-73 < v v 3 2ti 7U 2* u 6 J Je n 6

■v/3 n/f sin X 1 ——< —— dx


55/257

Bài 29: Tìm tập hợp các giá trị X để j(2t - l)dt = 2.1

Giải: x x •J(2t- 1)dt = 2 (t2 -t) | = 2 x2- x = 2

o x 2-—X —2 = 0 o x = - l v à x = 2.

Bãi 30» Tmh §13-tn CU3. |V?dx.-1

Giải:

1 . __ 1 . . 0 1 2 jVx2dx = J|x|dx = J-xdx + Ịxdx =-1 -1 -1 0 2

2Bài 31: Tính giá trị của j]x-l|dx.

0

-1

Giải:

j|x - l|dx = J(l - x) dx + |(x - 1) dx = x - “̂ j 0 0 1 /

= 1_ I + 2 - 2 - - + 1= 1 .2 2

2Bài 32: Tính giá trị của Jmin (x, X2) dx .0

Giải:1

2 1 2 X3Jmin(x, X2 )dx = Jx2dx + Jxdx =0 0 1 ' ^

jt/3Bài 33: Tính giá trị của Ị |sin x| dx.

-tt/2

+q = — + 20 4 3

Giải:/ 3 0 s / 3 ....

J |sinx|chc = J -sin xđx+ J sinxđx = cosx|_ /2- [/2 -*/2 0

n/3

1‐

= l - ỉ + l = l . 2 2

ì 2-XA

Ị. = ỊỊ 2 6 ■

____ _ | J i / 3cosx|;

55



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




56/257

JlBài 34: Tính giá trị của jV2 + 2cos2xdx .

0Giải:

I = ị\/2 + 2cos2xdx = jyj2 (l + COS2x)dx = j2ịcos xj dxó 0 0

ĨỈ2 Jt — J cosxdx+ J-cosxdx = 2 sinx|* - shix ]*̂0 ĩi/2 J

I = 2[l + 1] = 4.3 4 4

Bài 35: Cho Jf(u)du = 3và Jf(t)dt = 7 thì giá trị Jf(x)dx.0 0 3

Giảừ 4 0 4 3 4

I = Jf (x)dx = Jf(x)dx+ Jf(x)dx =-Jf(x)dx + Jf (t)dt = -3 + 7 = 4.3 3 0 0 0

Bài 36: Tìm Xthoả f— = 1./ t

Giải:

J ^ =lnI C =lnlxl“ ln2 = 12

o lnịxị = ln2 + 1 = lnăe X- 2e (x > 0).

Bài 37: Tim X thoả Jjxị dx =m .0

Giải:

Nếu m > 0 thì I = j]x|đx = Jxdx = — 0 D 2

m~2

I —m ----= mm = 0 V m = 22 f

m 0 2Nêu m


57/257

Bài 38: Cho f = lna. Tìm a? J2x + 1

Giải:

= —In32

1=J 2x +1 2 ' 2x +1 2 1

I = I r a o —ln3 = Ina a = yịs.2

1/2Bài 39: Cho JC087ĩxdx = m +1. Tìm giá trị của m.

0

II2I COSTIxdx = —sừl7CX

phƯƠng phÁp giẢi toÁn tÍch phÂn - trẦn bÁ hÀ

Documents