Abstract The search of more robust solutions for multiple-input multiple-output (MIMO) process control has motivated the development of complex modeling and control techniques for such systems. In this work the performance of a distributed controller (Distributed Model Predictive Control DMPC) versus a centralized solution (Model Predictive Control, MPC) are compared when faults in sensors and actuators occur. Preliminary results show that for faults in actuators the distributed solution has a better response but it requires more calculation time.

Keywords Fault Tolerance, Model Predictive Control, Distributed MPC, Continuous Stirred Tank Reactor.

I. INTRODUCCION ISTEMAS a gran escala, espacialmente distribuidos o sistemas en red, pueden ser difciles de controlar debido a

la complejidad de la comunicacin, la necesidad de cmputo requerida, o la prdida de robustez cuando se confa en un solo controlador centralizado. Motivado por estas dificultades se han desarrollado diferentes alternativas de control que dividen el sistema en subsistemas controlados por agentes [1] ya sea de manera independiente (estrategia descentralizada) o comunicados entre s (estrategia distribuida). Por su parte el Control Predictivo basado en Modelos (conocido en ingls como Model Predictive Control, MPC) ha demostrado su eficacia y versatilidad frente al control PID para la industria de procesos, debido a su capacidad para manejar mltiples variables, restricciones y requerimientos de optimizacin que lo convierten en un buen candidato para implementar estrategias no centralizada [2]. El objetivo de este trabajo es evaluar la conveniencia de aplicar una estrategia DMPC (Distributed Model Predictive Control) analizando su robustez ante fallas en los sensores y/o actuadores del sistema. Como caso de estudio consideramos un sistema comnmente empleado en la investigacin de MPC y sus variantes, el Reactor tipo Estanque Agitado (Continuous Stirred Tank Reactor, CSTR) [3][6].

En la seccin 2 de este artculo se presentan de manera resumida los fundamentos de Control Predictivo. A continuacin, en la seccin 3, se resumen los conceptos de Control Distribuido. En la seccin 4 se presenta la metodologa usada para evaluar la robustez ante fallas Luego, en la seccin 5 se presenta el caso de estudio DMPC, aplicado

Este estudio fue financiado por el Proyecto Fondecyt N1120047, Distributed Hybrid Model Predictive Control for Mineral Processing.

B. Lagos, Pontificia Universidad Catlica de Chile, Santiago, Chile, balagos@uc.cl

A. Cipriano, Pontificia Universidad Catlica de Chile, Santiago, Chile, aciprian@ing.puc.cl

a un reactor qumico tipo estanque agitado. La seccin 6 incluye las conclusiones del trabajo realizado.

II. FUNDAMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO BASADO EN MODELOS (MPC)

El MPC corresponde a un conjunto de tcnicas de control que tienen en comn el uso del modelo dinmico de un sistema, informacin sobre acciones previas de control y la optimizacin, considerando restricciones, de una funcin de costos sobre un horizonte de prediccin [7], [8].

Una manera de implementarlo es resolviendo un problema de optimizacin cuadrtica (en ingls Quadratic Program, QP) en cada instante de control usando una funcin objetivo que minimiza el error entre las salidas y una referencia deseada y que adems minimiza las variaciones en las acciones de control, esto es:

( ){ } ( ) ( ) ( )1 2 2

: 1 0min 1 1

N

ref RQk k N i

k i y k k i

+ =

+ + + + +u y u

(1)s.a.

( ) ( ) ( )1k i A k i B k i+ + = + + +x x u( )( )k i C k i+ = +y x

( ) ( )1 ( 1 )k i k i k i+ = + + +u u u {0,..., 1}i N ( )1min maxk i + + y y y

( )min maxk i + u u u En cada iteracin se requiere tener como informacin las acciones de control aplicadas con anterioridad y el estado en el instante anterior. Consideraremos que las variables de estado x pueden estimarse por medio de un Filtro de Kalman a partir de mediciones de las salidas y y las entradas u.

III. FUNDAMENTOS MPC DISTRIBUIDO (DMPC) Cuando se desea controlar un sistema de Mltiples Entradas y

Mltiples Salidas (MIMO) una opcin es dividir el trabajo entre diferentes agentes que controlen secciones del sistema general. Controlar cada subsistema de manera independiente considerando las interacciones con otros subsistemas como perturbaciones se denomina solucin descentralizada; en cambio si se consideran acoplamientos entre subsistemas y comunicacin entre agentes, la estrategia se denomina solucin distribuida, ver Fig. 1.

B. Lagos and A. Cipriano, Senior Member, IEEE

Performance Evaluation of a Distributed MPC Strategy Applied to the Continuous Stirred Tank

Reactor

S

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 6, JUNE 2015 1921

Figura 1. Diferentes arquitecturas de control. Fuente [7]. En los ltimos aos se han propuesto diferentes alternativas de control predictivo distribuido (DMPC) [1], [7][10]. La Tabla I muestra una clasificacin propuesta en [9].

Para este trabajo se escogi la metodologa descrita en [11], que corresponde a una metodologa DMPC Iterativo Cooperativo. El problema de control ptimo considera comunicacin entre ellos y la funcin objetivo es global, por lo que la solucin tiende al ptimo de Pareto.

Suponiendo que el sistema tiene al menos 2 entradas y 2 salidas, ste se puede dividir en M subsistemas, cada uno asociado a cierta cantidad de entradas y salidas, de manera que no se repitan en cada subsistema:

( ) ( )1 1( ) ( )

( ) ( )

k kk k

k k

= =

M M

y uy u

y u

(2)

La estrategia de solucin utilizada consiste en que en cada iteracin k , cada agente resuelve el problema de optimizacin con toda la informacin disponible (estado actual y secuencia de control dada por los dems agentes), minimizando una funcin objetivo global, y obteniendo la secuencia de control para el subsistema al que est asociado. Las soluciones son comunicadas, ponderadas entre s y sometidas a una nueva iteracin, hasta alcanzar una condicin de trmino o mximo nmero de iteraciones. Este esquema tiende a la solucin centralizada mientras ms iteraciones se realicen. En cada ( 1)p + -sima iteracin cada subsistema i resuelve el problema de optimizacin descrito en la seccin 1.1, pero aadiendo la siguiente restriccin de igualdad, donde [p]ju corresponde a valores factibles para las entradas de los subsistemas j i :

( ) { }[ ]: 1 1, ,pj jk k N j i M+ = u u (3)La solucin a estos problemas de optimizacin en paralelo se denota como ( )* : 1i k k N+ u . Dada una iteracin factible [ ] ( ): 1pi k k N+ u la siguiente iteracin queda definida por una actualizacin convexa, la cual se explica grficamente en la Fig. 2.

[ ] ( ) ( ) [ ] ( )1 : 1 : 1 (1 ) : 1p pi i i i ik k N k k N k k N + + = + + + *u u u{ }

11 , 0 1, ,

M

i ii

i M =

= (4)

Figura 2. Paso convexo desde [ ] [ ]( )p p1 2u ,u hacia [ ] [ ]( )p 1 p 11 2u , u+ + . Fuente [12]. Las iteraciones p continan hasta alcanzar cierto acuerdo entre agentes, ya sea por haberse alcanzado un nmero mximo de iteraciones maxp o bien por el cumplimiento de un criterio de convergencia iterativo para la funcin de costos del tipo ( ) ( ), , 1V k p V k p + < . Si bien la estrategia converge a la solucin centralizada, esta no llega a ser exactamente igual por lo que su solucin es

Centralizada

Descentralizada

Distribuida

Controlador 2

SubsistemaS1

SubsistemaS2

uk

uk

yk

yk

SistemaReferencias

yk

Referenciasyk

Controlador 1

x kuk

x kuk

SubsistemaS1

SubsistemaS2

uk

uk

yk

yk

Sistema

Controlador

Referenciasyk

Referenciasyk

x kuk

x kuk

Controlador 2

SubsistemaS1

SubsistemaS2

uk

uk

yk

yk

SistemaReferencias

yk

Referenciasyk

Controlador 1

x kuk

x kuk

x kuk

x kuk

, ,

,

,

Solucin del agente 2

Iteracin Actual Solucin del agente 1

Siguiente Iteracin

TABLA I. CLASIFICACIN DE ALGORITMOS DMPC.

TOPOLOGA DE LA RED DE

TRANSMISIN

Parcial: La informacin es transmitida slo entre los agentes cuya dinmica est acoplada entre s Completa: La informacin es transmitida desde un agente a todo el resto

INTERCAMBIO DE INFORMACIN

Iterativo: La informacin es transmitida ms de una vez para cada instante de muestreo (en orden de converger a una decisin) No-Iterativo: La informacin es transmitida una sola vez por cada instante de muestreo

RACIONALIDAD DEL ALGORITMO

Solucin en equilibrio de Nash: Juego no-cooperativo donde las funciones objetivo de cada jugador es diferente de las otras y busca optimizar costos locales. Solucin en equilibrio de Pareto: Juego cooperativo donde la funcin objetivo es la misma para todos los jugadores. Tiende al ptimo centralizado.

1922 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 6, JUNE 2015

subptima. Los detalles para la implementacin se presentan en [13].

IV. ANLISIS DE ROBUSTEZ Para comparar la robustez de los controladores diseados se analiz el efecto que producen fallas en los sensores y fallas en los actuadores. Las fallas en los sensores ( )sif k fueron incluidas al momento de estimar el estado y corresponden a una medicin 0. Las fallas en los actuadores ( )ajf k , incluidas al momento de aplicar las acciones de control a la planta, representan el caso en que el actuador no respondi a la seal y se mantuvo en el valor anterior ( ) ( )( )1k k= u u . En el espacio de estados, las fallas dan origen a las expresiones:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 11 1

11 1

a a

a am m m m

f k u k f k u k

k A k

f k u k f k u k

+ + = +

+ x x B

( ) ( )real k C k=y x

( )( ) ( )

( ) ( )1 1s

real

medidas

p real p

f k y kk

f k y k

=

y

(5)

Tanto ( )ajf k como ( )sif k pueden tomar valores 1 o 0 segn cierta probabilidad de ocurrencia. La Tabla II resume los casos de fallas estudiados para ambos ejemplos.

Como ndice de desempeo se utiliz el error RMS (Root Mean Square) dado por:

( )( )21 ( )N refkRMS

y k y kN

=

= (6)

V. APLICACIN AL REACTOR CONTINUO DE TIPO ESTANQUE AGITADO (CSTR)

El objetivo de este estudio es comparar el desempeo de los controladores MPC y DMPC, basados en un modelo dinmico lineal. Tambin se presenta una comparacin con la solucin descentralizada.

A. Descripcin del proceso

Figura 3. Esquema del proceso con entradas ( 1 2,u u ) y salidas ( 1 2,y y ). El sistema estudiado corresponde a un reactor exotrmico del tipo CSTR (ver Fig. 3), en el cual se produce una reaccin del tipo A B . Las ecuaciones que modelan el proceso son [14][16]:

( ), 1expiA A i AFdC EC C a ydt V RT

= ( ) ( )exp

i hi A c

p p

F UAdT a ET T C T Tdt V C RT C V

= + +

( ), ( ) c c hc i c cc p cdT F UAT T T Tdt V C V

=

(7)

Las variables controladas corresponden a la concentracin del reactante a la salida del reactor AC y la temperatura al interior del reactor T , y las variables manipuladas son el flujo de entrada iF y el flujo de refrigerante cF . Si se iguala el calor extrado por el refrigerante cQ con el calor al interior del reactor rQ en estado estacionario es posible encontrar 3 puntos de operacin de los cuales 2 son estables y uno es inestable [14], [16]. Este fenmeno es ilustrado en la Fig. 4 considerando los parmetros del reactor analizado en [15]:

, ( ) h c i p ch

cp h p c

A U T T C FUAQ T TC V A U C F

+= +

( ) ,( ) expexp

i A iir i

pi

FCF a EQ T T TEV C RT a V F

RT

=

+

(8)

Flujo delRefrigerante

Concentracin de reactante a la salida

Flujo de Alimentacin

Temperatura del reactor

TABLA II. FALLAS EN SENSORES Y ACTUADORES. CASO N FALLA SENSOR

(% DE OCURRENCIA) FALLA ACTUADOR

(% DE OCURRENCIA) 1 0 0 2 40 0 3 80 0 4 0 25 5 40 25 6 80 25 7 0 50 8 40 50 9 80 50 10 0 75 11 40 75 12 80 75

LAGOS AND CIPRIANO : PERFORMANCE EVALUATION OF A DISTRIBUTED 1923

Figura 4: Puntos de operacin presentes en el reactor exotrmico CSTR. Los puntos A y C son estables, el punto B inestable. Linealizando (7) en torno a un punto de operacin estable es posible encontrar una funcin de transferencia como la usada en [17] y que ser usada para este estudio.

( )( )

11

22

1 5( ) 1 0.1 1( ) 1 2

1 0.5 1 0.4

U sY s s sU sY s

s s

+ += + +

(9)

Las variables 1 2 e Y Y , 1 2 y U U son desviaciones con respecto al punto de operacin en torno al cual se linealiz. La discretizacin se realiz empelando retencin de orden cero con un periodo de muestreo de 0.01[min]sT = . La formulacin del sistema en espacio de estados se llev a cabo empleando la forma cannica modal [18], la cual asocia un estado a cada polo de la funcin de transferencia. De este modo, el modelo lineal discreto determinado es:

( ) ( )1 ( )k A k B k+ = +x x u ( )( )k C k=y x

0.9048 0 0 00 0.9802 0 00 0 0.9900 00 0 0 0.9753

A

= 0.25 00.125 0 0 0.250 0.25

B

= 0.3807 0 0.199 0 0 0.1584 0 0.1975C

=

(10)

B. Resultados de Simulacin Los parmetros utilizados para el diseo de los controladores

se resumen en la Tabla III. El horizonte de prediccin, la penalizacin del error y el nmero de iteraciones se definieron mediante prueba y error.

Fig. 5, Fig. 6 y Fig. 7 muestran algunos de los casos estudiados. En los grficos, los asteriscos representan los instantes en que se introdujo una falla de sensores (grficos de salidas) y/o de actuadores (grficos de entradas). En el primer caso se incluye en la comparacin una solucin descentralizada. Los controladores descentralizados usan los mismos parmetros y estructura que el centralizado pero considerando las entradas del otro subsistema como una perturbacin medida.

Figura 5: Caso 1, sin fallas.

Figura 6: Caso 8, 40% ocurrencia de falla en Sensores y 50% en Actuadores.

300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

Temperatura del reactor en estado estacionario [R]

Calor

[btu]

Calor al interior del reactor QrCalor Extrado por el refrigerante Qc

A

C

B

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35

0.4

0.45

0.5

0.55

Tiempo [minutos]

Outpu

ts

y1 MPCy1 DMPCy1 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25

0.3

0.35

0.4

Outpu

ts

Tiempo [minutos]

y2 MPCy2 DMPCy2 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.10

0.10.20.30.40.50.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u1 MPCu1 DMPCu1 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u2 MPCu2 DMPCu2 MPCDesc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Tiempo [minutos]

Outpu

ts

y1 MPCy1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Outpu

ts

Tiempo [minutos]

y2 MPCy2 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Inputs

Tiempo [minutos]

u1 MPCu1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u2 MPCu2 DMPC

TABLA III. PARMETROS PARA LOS CONTROLADORES. MPC DMPC

Horizonte de Prediccin/ Control 3 3 Penalizacin del error y1 y2Q ,Q [13,15] [13,15] Penalizacin de las variaciones en la

accin de control [ ]u1 u 2R , R [1,1] [1,1]

N Iteraciones No aplica 10 Periodo de Muestreo para el Control 0.01 [min] 0.01 [min]

1924 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 6, JUNE 2015

Figura 7: Caso 12, 80% ocurrencia de falla en Sensores y 75% en Actuadores. Los valores del error RMS para cada caso se presentan en la Fig. 8.

Figura 8: Error RMS para cada caso. El tiempo de clculo promedio por muestreo fue de 0.55 [s] por agente para DMPC y 0.055 [s] para MPC, calculados en un computador con procesador Intel i7-4700HQ 2.4Ghz. C .Evaluacin del Desempeo Para el caso sin fallas se observa que la solucin descentralizada para la salida 1 (Fig. 5, MPCDesc) se aproxima a la centralizada (Fig. 5, MPC), pero pierde efectividad cuando se considera la salida 2. Otro punto en contra de la solucin descentralizada es que exige valores elevados para la variable manipulada 1. Por otra parte se observa que la solucin distribuida (DMPC) tiende a comportarse como la centralizada, que es lo esperado. Para los otros casos se aprecia que un aumento en las fallas de los sensores empeora progresivamente el desempeo del DMPC, mientras la solucin MPC no se ve tan afectada, tanto para los casos sin falla en los actuadores (casos 1, 2 y 3) como con falla (acasos restantes). En cambio, si comparamos el desempeo slo ante fallas de actuadores por separado (casos 4, 7 y 10) vemos que en todos los casos DMPC logra el mejor desempeo. En los casos intermedios el desempeo de los controladores depender de cmo se combinan los aportes ante cada falla, siendo en general las ms crticas las fallas de actuador ya que producen los mayores aumentos en el error, sobre todo pasado el 50% de probabilidad (caso 7 en adelante). En estos casos el DMPC presenta un mejor desempeo que el MPC.

Cabe destacar que cada agente DMPC resuelve un problema QP con 1 variable de optimizacin, ya que la segunda variable est sujeta a una restriccin de igualdad), mientras el controlador MPC resuelve un problema QP con 2 variables de optimizacin. Esta situacin no se refleja en el tiempo de clculo por muestreo del DMPC, que es cerca de 10 veces el tiempo usado en la solucin MPC, debido a las iteraciones de la metodologa distribuida usada.

VI. CONCLUSIONES En el presente trabajo se estudi el desempeo de una estrategia DMPC ante fallas en sensores y actuadores de un reactor qumico. Los resultados obtenidos muestran que para fallas en sensores, sin la presencia de fallas en actuadores, la solucin centralizada presenta un mejor desempeo, pero cuando existen fallas en los actuadores la solucin distribuida alcanza un mejor comportamiento. Sin embargo, un aspecto a considerar es que los factores de penalizacin influyen en los indicadores, pues pueden implicar un uso ms o menos intensivo de los actuadores. Por otra parte, en los casos estudiados DMPC no reduce el tiempo de clculo, posiblemente debido la caracterstica iterativa de la metodologa. A futuro se espera profundizarla evaluacin, considerando sistemas de mayor complejidad y metodologas ms eficientes para la solucin distribuida.

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

Tiempo [minutos]

Outpu

ts

y1 MPCy1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Outpu

ts

Tiempo [minutos]

y2 MPCy2 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Inputs

Tiempo [minutos]

u1 MPCu1 DMPC

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Inputs

Tiempo [minutos]

u2 MPCu2 DMPC

0,000,010,020,030,040,050,060,07

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y MPC y DMPC y MPC y DMPC

LAGOS AND CIPRIANO : PERFORMANCE EVALUATION OF A DISTRIBUTED 1925

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Benjamn Lagos is currently a graduate student in the Master of Science program at the Mechanical Engineering Department, Pontificia Universidad Catlica de Chile (PUC). His thesis consists in the design of a vibration energy harvester prototype to feed wireless sensor networks optimized for heavy duty vehicles. In parallel, Benjamn worked in a research project related to applying distributed

hybrid control strategies in mineral processing. Since 2014 he is member of the research team of the renewable energy company Orbital Wave Energy. His research interests cover model predictive control (MPC) and design, simulation and control of mechatronic systems.

Aldo Cipriano (M74SM95) received the M.Sc. degree in electrical engineering from Universidad de Chile in 1974 and the Ph.D. degree from the Technical University of Munich in 1981. Since 1974 he has been with the Pontificia Universidad Catlica de Chile, where he has been Deann (1998-2004), and Vice Dean (2010-2014) of the Faculty of

Engineering, and and Director for Research, Innovation and Graduate Studies of the College of Engineering (2014-2015), among other duties. He received the AIE-IEEE Award Ingeniero Sobresaliente 2012, For outstanding contributions in Electrical Engineering and Automation and in Engineering Education and Accreditation, the Conicyt Award by obtaining 10 research projects, Fondecyt Regular Competitions 1982-2012, and the IEEE Latinamerica Award, Ingeniero Eminente 2006. He is a Senior Member of the IEEE and a member of the Chilean Academy of Engineering. For many years he has been involved in the design and implementation of a variety of advanced control systems for mineral processing plants. His current research interests include theory and application of hybrid model predictive control.

1926 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 13, NO. 6, JUNE 2015