Perdidas distribuidas y de entrada en tubos para números de Reynolds moderados

Gabriel Echávez Aldape Luis Alfonso Ortiz Núñez

Universidad Nacional Autónoma de México

En sistemas de riego localizado -en el campo de la medicina y en las redes de distribución de agua potable- se presentan flujos con números de Reynolds pequeños. Dado que al inicio del tubo el flujo no está aún establecido, la ley de Hagen-Poiseuille no es suficiente para represen- tar las pérdidas distribuidas y por tanto es necesario introducir una pérdida adicional debida a la energía utilizada para acelerar el flujo en la parte central del conducto. Por otra parte, tampo- co hay información acerca de los coeficientes de pérdida por entrada para números de Rey- nolds moderados < Re <

En este trabajo se presentan los resultados de una investigación experimental para determi- nar los coeficientes de pérdidas distribuidas y locales para un tipo de conexión y varias longitu- des, diámetros y temperaturas, en un rango de números de Reynolds moderados. Se encontró que una C comprendida entre y es mejor que el de la ecuación de Hagen-Poiseuille y que los coeficientes de pérdidas por entrada para emisores de mm de diámetro son de

y de para los de mm en el rango de Re

Palabras clave: flujo laminar, Reynolds moderados, riego por goteo, emisores, pérdidas de carga.

Introducción

A pesar de su importancia hay poca información acer- ca de los coeficientes de pérdidas distribuidas y loca- les para números de Reynolds moderados (100 Re 2000). Aunque en este rango tradicionalmente se ha aceptado que las pérdidas distribuidas por cortante (o fricción) a lo largo del conducto siguen la ecuación de Darcy-Weisbach con el coeficiente de pérdidas dado por la ley de Hagen-Poiseuille f = como al inicio del tubo el flujo no está aún establecido, esta ley no es suficiente para representar las pérdidas distribuidas y es necesario introducir una pérdida adicional debida a la energía utilizada para acelerar el flujo en la parte central del conducto (Prandlt y Tietjens, 1934; Schlich- ting, 1979). Por otra parte, prácticamente no hay infor- mación acerca de los coeficientes de pérdidas locales por entrada en las conexiones entre tubos de diferente diámetro.

Así, como se puede ver en ldelchik (1994) y en Mi- ller el problema está bien estudiado para diver- sas geometrías y distintas clases de conexión para nú-

meros de Reynolds mayores a diez mil; en cambio, no se reportan resultados para Reynolds menores. Espe- cíficamente, en la conexión de un tubo pequeño a uno mayor no hay valores publicados que permitan hacer consideraciones o diseños adecuados.

En este trabajo se presentan los resultados de una investigación experimental para determinar los coefi- cientes de pérdidas distribuidas y locales para un tipo de conexión, en un rango de números de Reynolds moderados Re variando la longitud del conducto, su diámetro y la temperatura.

Antecedentes

En el diseño de riego por goteo es necesario conocer los coeficientes de pérdidas distribuidas en tubos de pequeño diámetro (3 a mm) y longitud intermedia (0.5 a m), así como los de pérdidas locales debi- das a conexiones. Por ejemplo, como mencionan Ro- drigo et a/. en un emisor de tipo de "largo con- ducto", también conocido como microtubo, la pérdida de carga tiene lugar en un largo conducto (de hasta

m de longitud) y de pequeño diámetro (de a mm). El flujo dentro del emisor es laminar, pero debido a la influencia de entrada y salida, las fórmulas teóricas que podrían aplicarse no se ajustan a la realidad.

Esta falta de ajuste se debe a que el cortante varía desde un valor máximo al inicio del conducto hasta un valor constante al establecerse el flujo y, además, a que la pérdida por entrada, en ese rango de números de Reynolds, está en función tanto de las fuerzas de inercia como de presión y viscosas (Panton, de tal manera que el patrón de flujo cambia al variar el número de Reynolds, por lo que una solución analítica es difícil y hay que recurrir a la experimentación.

Así, en el desarrollo del sistema de riego presuriza- do de baja carga (RPBC), el cual consta de pequeñas mangueras plásticas que se insertan directamente en la línea lateral, ha sido necesario determinar el valor de los coeficientes de pérdidas distribuidas y localizadas (Echávez y Ortiz, y 1998; Ortiz, ya que como se mencionó en la introducción, en la literatura especializada sólo se reportan los coeficientes de pér- didas para números de Reynolds mayores a diez mil.

Ecuaciones utilizadas

La pérdida de carga, AH, entre un punto ligeramente separado del inicio del emisor (donde la carga de ve- locidad es despreciable) y la salida de éste, se puede expresar como la suma de la pérdida local por entra- da, más la pérdida distribuida, más la carga de veloci- dad, esto es:

donde f e s el coeficiente de pérdidas distribuidas; g, la aceleración gravitacional; L, la longitud del emisor; D, el diámetro interior del emisor; V, la velocidad del agua saliendo por el emisor, y Ke, el coeficiente de pérdida local por entrada.

Obsérvese que el término V2/2g aparece dos ve- ces, uno como la carga de velocidad y el otro como la corrección por energía cinética o corrección de Ha- genbach (Prandlt y Tietjens, debido a la acele- ración que sufre el agua al pasar de una distribución de velocidad uniforme a una parabólica de Poiseuille.

La longitud de esta región de transición, x-o sea la distancia requerida para que se establezca el flujo, en donde además el cortante es mayor que para flujo uni- forme-, puede utilizarse como un indicador proporcio- nal a las pérdidas de fricción y estimarse con la ecua- ción de Schiller (Schlichting, 1979) dada por:

Y

donde v es la viscosidad cinemática del agua y las otras variables ya fueron definidas. No hay que olvidar que esta ecuación fue desarrollada para un rango de números de Reynolds mayores que los de este estu- dio, por lo que su aplicación es sólo cualitativa.

Por lo anterior, y teniendo en cuenta que el coefi- ciente de pérdidas locales Ke es una función descono- cida del número de Reynolds, se propone encontrar experimentalmente una constante C diferente al propuesto por Hagen-Poiseuille, que tome en cuenta las pérdidas tanto en la transición como en el flujo uni- forme y que además permita evaluar el respectivo coeficiente de pérdida local por entrada en forma se- parada, para así lograr describir en forma sencilla al fenómeno.

Instalación experimental

Para estudiar el comportamiento hidráulico de las pér- didas distribuidas y de entrada en emisores para números de Reynolds moderados se construyó una instalación de laboratorio como la que se muestra en la ilustración

La instalación experimental se compone de los si- guientes diez elementos: l ) vertedor circular, de 4” de diámetro; 2) recipiente colector; 3) conducto de PVC de 4”; 4) tubo vertical para permitir la salida de burbu- jas de aire del flujo; 5) reducción de 3”; 6) tubería lateral de 7) unión de la lateral con el emisor; 8) emisor de y de 3/16”, según el caso; 9) limníme- tro, soportado en un marco, utilizado para bajar o subir la salida del emisor y poder variar la carga y, por lo tanto, el gasto; sistema de recirculación de agua conformado por depósito, mangueras y bomba su- mergible 1-MA de HP con el que se mantiene la carga constante.

Conexión ensayada

En las ilustraciones y se muestra la geometría en- sayada, donde la unión con la lateral de mm

se hace introduciendo el tubo, o emisor, de me- nor diámetro de mm y de mm y 3/16”) hasta la mitad de ella.

Pruebas efectuadas

Se realizaron cerca de cien ensayos, cada uno de los cuales se hacía de la siguiente manera: se llenaba de agua el cárcamo pequeño y se encendía la bomba hasta que empezaba a derramar el vertedor circular.

Una vez estabilizado el flujo y purgadas las tuberías se tomaba la temperatura del agua y se iniciaban las me- diciones captando el volumen de agua, que gotea- ba por el emisor, en un vaso graduado durante un tiempo, t, de seis minutos, permitiendo obtener el gas- to de prueba Q, lo anterior para una cierta altura o car- ga, AH, medida desde el nivel del agua en el vertedor hasta el centro de la boca de salida del tubo emisor; esto implica que las pérdidas dentro del vertedor y en la línea lateral se desprecian por ser de una magnitud muy inferior a las que ocurren en el emisor.

Las diferentes cargas ensayadas se seleccionaban en forma aleatoria para evitar tendencias o errores acumulados y las mediciones se hicieron dentro de un rango de gastos de a I/h por emisor. Una vez ter- minadas las mediciones, de cuatro a diez puntos repe- tidos un mínimo de dos veces cada uno, se volvía a to- mar la temperatura del agua, T, se apagaba la bomba y se drenaba la instalación experimental.

Presentación y discusión de resultados

En las primeras cuatro columnas de los cuadros y se muestran los datos obtenidos y en las siguientes seis columnas se observa el procesamiento de estos datos para obtener la velocidad media, el número de Reynolds, el coeficiente de fricción calculado con la ecuación f = la pérdida distribuida hf, V2/2g), y la pérdida local hL = Ke(V2/2g), despejada de la ecuación

Ahora, si se grafica Q contra A H para cada longitud L, como se muestra en la ilustración se puede ver que los datos siguen una ley aproximadamente lineal, requiriéndose por ejemplo, para emisores de una carga de cm para obtener un gasto de I/h con una

longitud de emisor de m, y una carga de cm para el mismo gasto con una longitud de m.

Obsérvese que las rectas no pasan por el origen debido a que la tensión superficial en la salida del emi- sor hace que para cargas pequeñas la ley ya no sea lineal y que se requiere una carga de alrededor de

mm para iniciar el goteo. Por otra parte, si se dibujan las pérdidas locales

(última columna del cuadro 1) contra la carga de velo- cidad y se hace un ajuste de regresión lineal, la pen- diente de la recta de regresión permite obtener el coe- ficiente de pérdidas de entrada para esta geometría (ilustraciones y 6).

Como se observa en las ilustraciones y aunque los puntos experimentales para cada longitud de man- guera siguen una ley lineal, las pendientes de cada una de ellas varía; lo que sugiere que las pérdidas dis-

tribuidas se podrían representar mejor utilizando un coeficiente C en el numerador de la ley de Hagen- Poiseuille diferente a e igual al valor necesario que hace que estas rectas se colapsen en una sola o, cuando menos, sean paralelas entre ellas.

Así, si para los datos mostrados en la ilustración se utiliza una C se ve cómo los puntos se tien- den a agrupar en una sola recta, o sea que este valor toma en cuenta al flujo en transición y al establecido y, además, permite usar un solo coeficiente de pérdidas locales Ke (ilustración 7).

Repitiendo este mismo procedimiento con todas las mediciones hechas se obtuvieron los valores mostra- dos en el cuadro

A partir del cuadro se puede concluir que, para fi- nes prácticos, en el caso de una conexión a en- trante, como la de la ilustración se recomienda una

Ke de para emisores de mm y de para los de mm en el rango de núme-

ros de Reynolds entre y que es el que se presenta para gastos de dos a ocho litros por hora.

En cuanto a las pérdidas distribuidas, se pueden estimar en forma más precisa utilizando una constante mayor al de la fórmula de Hagen-Poiseuille, según se muestra en el cuadro dependiendo esta cons- tante principalmente de la temperatura del agua, o sea de la viscosidad, lo cual es consistente con un análisis de sensibilidad realizado a la ecuación en el rango experimental de este trabajo (Echávez y Ortiz, 1998).

aumenta el numerador de la ley de Hagen-Poiseuille, C, que depende principalmente de la temperatura del agua, lo que se explica por la dependencia de x con v (ecuación 2) de acuerdo con el análisis de sensibilidad realizado, no mostrado en este trabajo), y se utiliza un coeficiente Ke constante para cada diámetro de emi- sor. Esto toma en cuenta tanto la no uniformidad del flujo en la parte inicial del conducto, como la depen- dencia de ese coeficiente con el número de Reynolds.

Para fines prácticos se recomienda utilizar valores medios de Ke de la siguiente forma: para emiso- res de mm y de para los de mm

ambos para Re y temperaturas del agua entre y "C, en el caso de conexiones entrantes en un tubo de mayor diámetro. En cuanto a las pérdidas distribuidas, se pueden usar los valores mostrados en el cuadro

Reconocimientos

Este trabajo se realizó bajo el patrocinio del Fideicomiso de Riesgo Compartido en las Universidades Nacional Autónoma de México, Autónoma de la Laguna y Autónoma de Coahuila, universidades a las que se agradece el apoyo prestado.

Recibido: 17/03/1999 Aprobado: 23/02/2000

Referencias

Echávez A., G. y L.A. Ortiz, "Riego presurizado de baja car- ga", lnforme final de la etapa, FIRCO-UAL, México,

Echávez A., G. y L.A. Ortiz, "Riego presurizado de baja car- ga", lnforme final de la etapa, FIRCO-UAL, México,

Idelchik, I.E., Handbook of hydraulics resistance, tercera edi- ción, CRC Press, Boca Ratón, Florida,

Rodrigo, L.J.R., A.J.M. Hernández, R.A. Pérez y H.J.F. Gon- zález, Riego localizado, Mundi-Prensa, Madrid,

Miller, D.S., "Internal flow systems", BHRA Fluid Engineering Series, vol. Granfield, Inglaterra,

Ortiz, N.L.A., Enfoque experimental para la implantación de un sistema de riego presurizado de baja carga, tesis de maestría, DEPFI-UNAM, México, pp.

Panton, R.L., lncompressible flow, John Wiley Sons, Nueva York,

Prandtl, L. y O.G. Tietjens, Applied hydro and aeromecha- nics, Dover, Nueva York,

Como se ve en la ilustración se encuentra una Schlichting, H., Boundary-layer theory, séptima edición, McGraw-Hill, Nueva York,

Conclusiones

Hay poca información para determinar los coeficientes de pérdidas distribuidas y de entrada para números de Reynolds moderados, de ahí la utilidad de contar con valores como los encontrados en el presente trabajo.

mejor representación de los datos experimentales si se

Abstract

Echávez Aldape, G. L.A. Ortiz Núñez, "Friction and local losses coefficients for pipes with moderate Rey- nolds numbers", Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), vol. XVI, num. page January-March,

When studying the energy losses along pipes of small diameter and moderate length, or in joints between two pipes of different diameter -as it is found in drip irrigation, in the field of medicine or in water supply sys- tems- there are no published data that allow proper decisions making or adequate designs. Besides, since the laminar flow is not fully established, the Hagen-Poiseuille law is not enough to represent the friction losses. It is necessary to introduce an additional term that considers the energy used to accelerate the flow in the central part of the conduit. Despite their importance, there is not enough information about either the friction or the local losses.

In this paper, an experimental investigation to find both, the friction and the local losses coefficients for several lengths and diameters of the pipes and for one type of connection, in the range of low and modera- te Reynolds numbers, is presented. It was found that the Hagen-Poiseuille constant between and is better that the usual and that an entrance loss coefficient of for mm and for mm emitters in the range Re is recommended.

Key words: laminar flow, moderate Reynolds numbers, drip irrigation, emitters, hydraulics losses.

Dirección institucional de los autores:

Gabriel Echávez Aldape Correo electrónico:

Luis Alfonso Ortiz Nuñez Correo electrónico:

Sección de Hidráulica, División de Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria, Apdo. Postal Coyoacán, México, D.F.