pengujian kesetimbangan genetika hardy- weinberg …
TRANSCRIPT
i
PENGUJIAN KESETIMBANGAN GENETIKA HARDY-
WEINBERG DENGAN UJI CHI-SQUARE PEARSON
DAN UJI EKSAK F
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Amanda Alexandra Tanne
NIM: 123114024
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
THE TESTING OF HARDY-WEINBERG’S GENETIC
EQUILIBRIUM USING CHI-SQUARE PEARSON TEST
AND F EXACT TEST
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Amanda Alexandra Tanne
Student Number: 123114024
MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
Tuhan Yesus atas kasih-Nya, berkat, tuntunan dan penyertaannya.
Papa dan Mama tercinta, Robby Tanne dan Leonora
Lawalata.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc., selaku
pembimbing skripsi terbaik.
Siapapun yang berpikir matematika tidak dapat
dihubungkan dengan ilmu lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Kesetimbangan Hardy-Weinberg menegaskan adanya seleksi alam,
mutasi, migrasi, perkawinan yang tidak acak, penyimpangan genetik yang acak,
aliran gen, frekuensi genotip, dan frekuensi alel dari sebuah populasi tetap
konstan dari generasi ke generasi.
Penyimpangan dari proporsi Hardy-Weinberg merupakan hasil dari
kekuatan evolusi seperti perkawinan sedarah, perkawinan yang asortatif dan
ukuran sampel yang kecil. Penyimpangan dari proporsi Hardy-Weinberg diuji
dengan membandingkan perbedaan antara frekuensi genotip yang diobservasi
dengan yang diduga.
Pengujian terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg menggunakan Uji
Chi-Square Pearson dan uji Eksak F. Uji Chi-Square Pearson digunakan untuk
melihat ada tidaknya perbedaan antara frekuensi genotip pengamatan dan
frekuensi genotip harapan dari data. Data yang akan diuji dikategorikan ke dalam
tabel kontingensi. Apabila frekuensi genotip harapan dari data (sel pada tabel
kontingensi) cukup kecil maka digunakan Uji Eksak F. Frekuensi alel dan
frekuensi genotip merupakan dua parameter yang digunakan pada kedua uji
tersebut.
Kata kunci: uji Chi-Square Pearson, uji Eksak F, alel, genotip, frekuensi
pengamatan, frekuensi harapan, kesetimbangan Hardy-Weinberg.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Hardy-Weinberg’s equilibrium states that natural selection, mutation,
migration, non-random mating, random genetic deviation, genetic drift, genotype
frequencies and allele frequencies remain constant from a generation to another
generation.
Deviation from Hardy-Weinberg proportion is the result of evolution
power such as inbreeding, assortative mating and small sample space. The
deviation of Hardy-Weinberg proportion is tested by comparing the difference
between observed genotype frequencies and expected genotype frequencies.
The test of Hardy-Weinberg equilibrium employs Chi-Square Pearson test
and F Exact Test. Chi-Square Pearson test is used to see whether there is any
difference between observed genotype frequencies and expected genotype
frequencies from data. The data which is going to be used is categorized into a
contingency table. If the expected genotype frequencies from data (cell in
contingency table) is rather small, F Exact Test is used. Allele frequency and
genotype frequency are the required parameters for both of the tests.
Keywords: Chi-square Pearson test, F exact test, allele, genotype, observed
frequency, expected frequency, Hardy-Weinberg equilibrium
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur patut penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa
atas segala berkat, rahmat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi yang berjudul “Pengujian
Kesetimbangan Genetika Hardy-Weinberg dengan Uji Chi-Square Pearson dan
Uji Eksak F” ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Tidak dapat dipungkiri bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan
dengan baik karena dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, walaupun
menemui beberapa kendala baik dari dalam maupun luar diri penulis. Oleh sebab
itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M. Sc., selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, pikiran,
tenaga serta memberikan berbagai masukan, arahan dan nasihat kepada
penulis.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi dan
Dosen Pembimbing Akademik yang juga selalu bersedia meluangkan
waktunya untuk memberikan masukan berkenaan dengan perkuliaan.
3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan,
S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Ibu M. V. Any
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
Herawati, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.
selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah banyak membagikan
ilmunya selama masa perkuliahan.
5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas
Sains dan Teknologi yang juga telah banyak membantu dalam proses
administrasi.
6. Kedua orang tua yang sangat ku kasihi untuk setiap dukungan, doa,
dorongan, nasihat, semangat dan kesabarannya hingga terselesaikannya
skripsi ini. Kakak yang ku sayangi untuk semangat dan doanya.
7. Bonifasius Endo Gauh Perdana, partner yang luar biasa yang selalu
memberikan dorongan semangat, mengingatkan dan menguatkan penulis
dalam penulisan skripsi ini. Dewita dan Anggun, sahabat perkuliahan yang
selalu saling mengingatkan dan menyemangati.
8. Sahabat-sahabat Genesis, Odi, Ria, Nirmala dan Dina atas semangatnya
dan kepeduliannya.
9. Teman-teman Program Studi Matematika 2012: Dewita, Anggun, Risma,
Oxi, Putri, Sila, Budi, Rian, Bobi, Happy, Ega, Amalya, Arum, Ajeng,
Ilga, Juli, Tika, Ferny dan Noni yang telah memberikan dukungan dan
kenangan selama perkuliahan.
10. Semua pihak yang telah membantu dengan memberikan bantuan,
semangat dan motivasi hingga terselesaikannya skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan pada skripsi ini,
maka penulis sangat terbuka terhadap kritik dan saran dari pembaca untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .............................................ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .............................................................................. v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................ vi
HALAMAN ABSTRAK .......................................................................................vii
HALAMAN ABSTRACT ................................................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ................................. ix
KATA PENGANTAR ............................................................................................. x
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1
Latar Belakang Masalah........................................................................................... 1
A. Rumusan Masalah .......................................................................................... 4
B. Batasan Masalah ............................................................................................ 4
C. Tujuan Penulisan ............................................................................................ 5
D. Manfaat Penulisan .......................................................................................... 5
E. Metode Penulisan ........................................................................................... 5
F. Sistematika Penulisan ..................................................................................... 5
BAB II LANDASAN TEORI .................................................................................. 8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
A. Pengertian Istilah-istilah dalam Genetika ....................................................... 8
B. Probabilitas ................................................................................................... 25
C. Variabel Acak Diskrit ................................................................................... 26
D. Variabel Acak Kontinu ................................................................................. 32
E. Fungsi Probabilitas Bersama ........................................................................ 36
F. Kovariansi Variabel Acak ............................................................................ 42
G. Distribusi Probabilitas Binomial .................................................................. 47
H. Distribusi Probabilitas Multinomial ............................................................. 52
I. Distribusi Hipergeometrik ............................................................................ 56
J. Distribusi Chi-Square ................................................................................... 62
K. Fungsi Pembangkit Momen.......................................................................... 68
L. Uji Hipotesis ................................................................................................. 72
M. P-value .......................................................................................................... 74
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI MULTINOMIAL, UJI
CHI-SQUARE PEARSON DAN UJI EKSAK F ................................................. 77
A. Penduga Parameter dengan Metode Penduga Kemungkinan Maksimum .... 77
B. Penduga Parameter Distribusi Multinomial ................................................ 79
C. Penduga Kemungkinan Maksimum Lokus yang Tidak Memenuhi HWE .. 81
D. Lokus dengan Lebih dari Dua Alel .............................................................. 84
E. Uji Chi-Square Pearson ............................................................................... 85
F. Uji Eksak Fisher .......................................................................................... 92
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
BAB IV UJI CHI-SQUARE PEARSON DAN UJI EKSAK F TERHADAP
KESETIMBANGAN HARDY-WEINBERG...................................................... 102
A. Tabel Kontingensi ............................................................................................. 103
B. Uji Kesesuaian Chi-Square .............................................................................. 108
C. Uji Eksak F ........................................................................................................ 112
D. Kasus yang Memenuhi Kesetimbangan Hardy-Weinberg ........................... 118
E. Kasus yang Tidak Memenuhi Kesetimbangan Hardy-Weinberg ................ 122
F. Pengujian Kasus Terhadap Kesetimbangan Hardy-Weinberg ..................... 126
BAB V PENUTUP .............................................................................................. 132
A. Kesimpulan ........................................................................................................ 132
B. Saran ................................................................................................................... 133
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 134
LAMPIRAN ......................................................................................................... 136
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kesetimbangan Hardy-Weinberg merupakan salah satu prinsip yang
sangat penting dalam genetika populasi. Castle, Hardy dan Weinberg (1908)
secara independen menemukan prinsip ini. Kesetimbangan Hardy-Weinberg
menegaskan adanya seleksi alam, mutasi, migrasi, perkawinan yang tidak acak,
penyimpangan genetik yang acak, aliran gen, frekuensi genotip, dan frekuensi alel
dari sebuah populasi tetap konstan dari generasi ke generasi. Frekuensi genotip
dapat dinyatakan sebagai fungsi yang sederhana dari frekuensi alel. Prinsip
Hardy-Weinberg secara luas mempelajari penyakit-penyakit manusia untuk
mendeteksi perkawinan sedarah, stratifikasi populasi dan kesalahan pada genetika.
Dugaan frekuensi genotip disebut proporsi Hardy-Weinberg. Penyimpangan dari
proporsi Hardy-Weinberg diuji dengan membandingkan perbedaan antara
frekuensi genotip yang diobservasi dengan yang diduga.
Penyimpangan dari proporsi Hardy-Weinberg merupakan hasil dari
kekuatan evolusi seperti perkawinan sedarah, perkawinan yang asortatif dan
ukuran sampel yang kecil. Perkawinan sedarah merupakan perkawinan dengan
kerabat dekat, perkawinan sedarah dapat mengakibatkan penurunan
heterosigositas pada genom di dalam populasi, hal ini serupa dengan
meningkatnya jumlah genotip homogen pada individu. Perkawinan asortatif
merupakan perkawinan dengan pasangan yang memiliki fenotip yang sama
(perkawinan asortatif positif) atau fenotip yang berbeda (perkawinan asortatif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
negatif). Perkawinan asortatif juga dapat meningkatkan homosigositas dari gen
yang terkait dengan fenotip. Ukuran sampel yang kecil juga dapat meningkatkan
homosigositas di dalam populasi. Pada populasi yang kecil, frekuensi alel dapat
bergeser dari generasi ke generasi, proses ini dikenal dengan pergeseran genetik.
Pergeseran genetik dapat mengakibatkan perubahan acak pada frekuensi genotip,
hal ini bisa melanggar prinsip Hardy-Weinberg. Penyimpangan dari proporsi
Hardy-Weinberg yang berpengaruh pada individu juga dapat memberikan bukti
adanya hubungan antara variasi genetika dan penyakit.
Untuk menguji penyimpangan dari proporsi Hardy-Weinberg di dalam
populasi, digunakan hipotesis nol (H0) yang menunjukkan bahwa tidak ada
perbedaan yang signifikan antara frekuensi genotip yang diobservasi dengan
frekuensi genotip yang diduga terhadap proporsi Hardy-Weinberg. Hipotesis
alternatif (Ha) menunjukkan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan di antara
frekuensi genotip yang diobservasi dengan yang diduga. Pendekatan yang umum
digunakan dalam pengujian Hardy-Weinberg adalah uji kesesuaian Chi-Square
Pearson dan uji Eksak F. Uji kesesuaian Chi-Square Pearson merupakan
pendekatan yang paling umum digunakan untuk menguji penyimpangan proporsi
Hardy-Weinberg.
Akan tetapi asumsi asimtotik dari distribusi Chi-Square Pearson dapat
gagal ketika ukuran sampel terlalu kecil atau kurangnya jumlah genotip masing-
masing sel. Uji kesesuaian Chi-Square Pearson sebaiknya tidak digunakan jika
frekuensi observasi genotip tertentu kurang dari lima (Robert C. Elson, dkk.
2012:23). Uji Eksak F lebih disarankan jika frekuensi harapan genotip kurang dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
1. Uji Chi-Square Pearson
2. Uji Eksak F
lima. Pengujian ini dilakukan dengan menghitung kemungkinan terhadap
hipotesis nol (H0) dari semua kemungkinan kombinasi genotip yang memiliki
frekuensi alel serta ukuran total sampel yang sama dengan sampel yang
diobservasi.
Skripsi ini membahas bagaimana kedua metode pengujian tersebut
diterapkan untuk menilai penyimpangan populasi terhadap kesetimbangan Hardy-
Weinberg. Secara ringkas diagram berikut menggambarkan apa yang akan
dibahas dalam skripsi ini.
PRAKTEK (DALAM
KEHIDUPAN
SEHARI-HARI)
PRAKTEK (DALAM
KEHIDUPAN SEHARI-
HARI)
KESETIMBANGAN
HARDY-WEINBERG
hasil dari kekuatan evolusi
seperti perkawinan sedarah,
perkawinan yang asortatif dan
ukuran sampel yang kecil,
mengakibatkan perubahan acak
pada frekuensi genotip.
seleksi alam, mutasi, migrasi,
perkawinan yang tidak acak,
penyimpangan genetik yang acak,
aliran gen, frekuensi genotip, dan
frekuensi alel dari sebuah
populasi tetap konstan dari
generasi ke generasi.
PENYIMPANGAN
pengujian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini, adalah:
1. Bagaimana prinsip Hardy-Weinberg dalam bidang genetika populasi?
2. Bagaimana penyimpangan-penyimpangan terhadap prinsip Hardy-
Weinberg dirumuskan, diselesaikan dan dianalisa?
3. Bagaimana dasar-dasar matematika uji Chi-Square Pearson dan uji Eksak
F?
4. Bagaimana uji kesesuaian chi-square Pearson dan uji eksak F diterapkan
untuk menguji penyimpangan terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini akan dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut :
1. Kesetimbangan Hardy-Weinberg yang akan dibahas adalah penerapan uji
Chi-Square Pearson dan uji Eksak F dalam pengujian penyimpangan
terhadap prinsip Hardy-Weinberg.
2. Penyimpangan yang dibahas adalah penyimpangan secara umum dan
analisis kasus secara umum, tidak menitikberatkan pada suatu kasus
penyimpangan tertentu.
3. Penyimpangan yang dibahas ialah penyimpangan yang terjadi pada
manusia.
4. Tugas akhir ini tidak menganalisa lebih mendalam mengenai hal-hal selain
yang berhubungan dengan matematika dan statistika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menganalisa
penyimpangan terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg dengan menggunakan
uji kesesuaian Chi-Square Pearson dan uji Eksak F.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah kita
dapat mengetahui tentang proporsi Hardy-Weinberg, penyimpangan-
penyimpangan yang terjadi terhadap proporsi Hardy-Weinberg dan manfaat uji
kesesuaian Chi-Square Pearson dan uji Eksak F dalam pengujian penyimpangan
terhadap prinsip Hardy-Weinberg.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau
jurnal-jurnal yang berkaitan dengan kesetimbangan Hardy-Weinberg,
penyimpangan-penyimpangannya.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Pengertian Istilah-istilah Dalam Genetika
B. Probabilitas
C. Variabel Acak Diskrit
D. Variabel Acak Kontinu
E. Fungsi Probabilitas Bersama
F. Kovariansi Variabel Acak
G. Distribusi Probabilitas Binomial
H. Distribusi Probabilitas Multinomial
I. Distribusi Hipergeometrik
J. Distribusi Chi-Square
K. Fungsi Pembangkit Momen
L. Uji Hipotesis
M. P-value
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI MULTINOMIAL,
UJI CHI-SQUARE PEARSON DAN UJI EKSAK F
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
A. Penduga Parameter dengan Metode Penduga Kemungkinan
Maksimum
B. Penduga Parameter Distribusi Multinomial
C. Penduga Kemungkinan Maksimum Lokus yang Tidak
Memenuhi HWE
D. Lokus dengan Lebih dari Dua Alel
E. Uji Chi-Square Pearson
F. Uji Eksak Fisher
BAB IV UJI CHI-SQUARE PEARSON DAN UJI EKSAK F TERHADAP
KESETIMBANGAN HARDY-WEINBERG
A. Tabel Kontingensi
B. Uji Kesesuaian Chi-Square
C. Uji Eksak F
D. Kasus yang Memenuhi Kesetimbangan Hardy-Weinberg
E. Kasus yang Memenuhi Kesetimbangan Hardy-Weinberg
F. Pengujian Kasus Terhadap Kesetimbangan Hardy-
Weinberg
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pengertian Istilah-istilah dalam Genetika
1. Alel
Tiap organisme berasal dari satu sel. Dalam sel tersebut terdapat bahan
sifat keturunan. Bahan sifat keturunan ini terdapat di dalam inti sel (nucleus).
Di dalam inti sel terdapat kromatin yang banyak sekali menghisap zat warna.
Kromatin merupakan benang-benang halus yang akan berubah menjadi
kromosom pada saat sel sedang giat membelah diri. Kromosom inilah yang
merupakan bahan sifat keturunan. Kromosom terdiri atas dua bagian, yaitu :
1. Kinetokor yang merupakan pusat atau kepala kromosom.
2. Lengan yang merupakan badan kromosom sendiri.
Jika diamati lebih dekat lagi dengan mikroskop, sebuah kromosom akan
terlihat terdiri dari bagian-bagian sebagai berikut :
1. Selaput (membrane), lapisan tipis menyelaputi badan kromosom.
2. Kandung (matrik), mengisi seluruh lengan, terdiri dari satu cairan
yang bening.
3. Kromonema, yakni benang halus yang berada di dalam kandung
(matrik). Kromonema berasal dari benang kromatin sendiri.
Jika sebuah kromosom diamati lebih dekat lagi akan terlihat adanya tali-tali
halus yang berjejer vertikal terhadap poros kromonema. Pada tali-tali halus
inilah terdapat gen, yang merupakan unit terkecil bahan sifat keturunan. Gen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
inilah yang menumbuhkan dan mengatur pertumbuhan suatu karakter. Ada
gen yang bertugas menumbuhkan karakter hidung, ada gen yang mengatur
pertumbuhan bentuk dan warna rambut, ada gen yang mengatur pigmentasi
kulit, gen yang mengatur susunan darah, dll.
Suatu tubuh organisme memiliki kromosom berpasangan yaitu
terdapat sepasang yang homolog (kromosom yang berpasangan pada proses
pembelahan), maka gen juga berpasangan karena gen terletak pada masing-
masing kromosom yang berpasangan itu sendiri. Kedudukan gen pada
kromosom selalu tetap. Untuk setiap individu dari suatu spesies bahkan untuk
setiap kromosom dalam satu tubuh, kedudukan gen selalu tetap. Tempat
kedudukan gen itu diukur berdasarkan berapa jarak gen tersebut dari ujung
kromosom. Tempat kedudukan gen pada kromosom disebut lokus (jamaknya :
loci). Umpamanya ada gen A, lokusnya adalah 28. Artinya, jarak gen tersebut
dari ujung kromosom adalah 28 unit. Setiap sel tubuh kromosom adalah
sepasang, maka gen-gen pada kromosom juga berpasangan. Pasangan-
pasangan gen tersebut terletak pada lokus yang sama.
Umpamakan ada gen A, yang berperan dalam penumbuhan karakter
pigmentasi kulit secara normal. Gen ini mengalami mutasi, sehingga tak
mampu menghasilkan pigmentasi kulit secara normal atau tak bisa sama
sekali, maka individu dengan kondisi ini disebut albino. Gen A yang
bermutasi kini diberi simbol a. Gen yang bermutasi ini ditulis dengan huruf
kecil karena karakter yang ditumbuhkannya bersifat resesif. Artinya, jika pada
satu tubuh yang sama terdapat gen A dan gen a, maka gen a akan ditutupi atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
dikalahkan oleh gen A. Gen A disebut dominan terhadap a. Kedua gen ini
masih terletak pada lokus yang sama. Gen-gen yang terletak pada lokus yang
sama tetapi memiliki karakteristik yang berbeda tetapi untuk satu tugas yang
sama disebut alel, dengan kata sifatnya yaitu sealel. A sealel dengan a. A
disebut alel dominan, a disebut alel resesif.
Pasangan kedua alel yang sama pada suatu individu (memiliki simbol
yang persis sama) disebut homozigot.
Contoh : AA (homozigot dominan), aa (homozigot resesif)
Pasangan kedua alel yang berbeda pada suatu individu (memiliki simbol yang
berbeda) disebut heterozigot.
Contoh : Aa, Rr’.
2. Frekuensi Alel
Gen pada level populasi dimulai dengan memperhatikan frekuensi,
dengan kata lain seberapa sering varian gen tertentu terjadi pada sebuah
populasi tertentu. Frekuensi tersebut dapat dihitung untuk alel-alel, fenotip
atau genotip. Frekuensi genotip merupakan proporsi dari heterozigot dan dua
tipe dari homozigot di dalam populasi. Frekuensi fenotip dihitung dengan
mengobservasi bagaimana kondisi dari sifat (ciri-ciri) di dalam populasi. Hal-
hal ini memiliki nilai di dalam genetika dalam mengestimasi resiko yang
ditimbulkan oleh kelainan warisan tertentu pada suatu individu ketika tidak
ada riwayat penyakit pada keturunannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Pada level yang lebih luas, pergeseran frekuensi alel di dalam populasi
dapat mengakibatkan perubahan kecil pada susunan genetika, hal ini disebut
dengan evolusi mikro, yang secara kolektif hal ini dapat mengakibatkan
evolusi.
Frekuensi genotip dapat mengalami perubahan jika kondisi-kondisi
berikut terpenuhi, di antaranya :
1. Individu dari satu genotip memiliki kemungkinan untuk
menghasilkan keturunan dengan genotip yang sama, dibandingkan
dengan yang berbeda genotip.
2. Migrasi individu yang terjadi di antara populasi.
3. Terisolasi untuk bereproduksi dalam grup-grup kecil atau terpisah
dari populasi yang lebih besar (hanyutan genetik).
4. Mutasi yang mengakibatkan terbentuknya alel baru dalam suatu
populasi.
5. Individu dengan genotip tertentu lebih berpotensi untuk
menghasilkan keturunan yang layak dan subur pada kondisi
lingkungan yang spesifik daripada individu-individu dengan
genotip yang lain (seleksi alam).
Dalam perkembangan sekarang, kondisi-kondisi di atas, kecuali mutasi,
merupakan hal yang cukup umum terjadi. Oleh karena itu, kesetimbangan
genetika, yaitu tidak terjadinya perubahan pada frekuensi alel merupakan hal
yang jarang terjadi. Ketika evolusi mikro mengubah akumulasi untuk menjaga
dua organisme yang subur dari jenis kelamin yang berbeda di dalam suatu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
populasi dari kesuksesan memproduksi keturunan yang subur secara
bersamaan, evolusi makro, atau bentuk dari spesies yang baru telah terjadi.
3. Menghitung Frekuensi Alel
Perhatikan lokus autosomal (tubuh, tidak bergantung pada jenis
kelamin), frekuensi alel dapat dihitung dengan menggunakan dua cara, yaitu :
1. Cara pertama yaitu menghitung gen :
Frekuensi alel a, diperoleh dengan :
Frekuensi dari alel a, dapat ditulis dengan f(a). Homozigot
memiliki dua dari alel yang diberikan dan heterozigot hanya
memiliki satu, serta banyaknya alel-alel adalah dua kali banyaknya
individu (masing-masing individu membawa dua alel), frekuensi
alel dapat dihitung dengan memperhatikan contoh berikut ini :
Sebagai contoh, distribusi fenotip dari tipe darah MN (alel M dan
N) dari dua ratus orang yang dipilih secara acak di Ohio sebagai
berikut :
Tipe M (genotip MM) = 114
Tipe MN (genotip MN) = 76
Tipe N (genotip NN) = 10
Total = 200
Andaikan p adalah frekuensi relatif alel M
q adalah frekuensi relatif dari N
Maka, p = f(M) = ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
q = f(N) = ( )
( )
secara alternatif, frekuensi relatif dari dua alel M dan N akan
berjumlah satu (p ) Jika diketahui p = 0.76,
maka q = 1 – 0.76 = 0.24.
2. Cara kedua untuk menghitung frekuensi alel yaitu dengan
menggunakan frekuensi genotip. Pada contoh di atas, diperoleh
frekuensi sebagai berikut :
f(MM) = 114/200 = 0.57
f(MN) = 76/200 = 0.38
f(NN) = 10/200 = 0.05
perhitungan nilai p dan q berdasarkan pada frekuensi genotip
adalah sebagai berikut :
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Frekuensi alel dapat dihitung sebagai frekuensi homozigot
ditambah setengah dari frekuensi heterozigot. Dengan contoh di
atas maka p dan q dapat dihitung sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Kedua cara di atas secara aljabar memberikan hasil yang sama
(identik).
4. Kesetimbangan Hardy-Weinberg
Ilmu biologi mendefinisikan evolusi sebagai jumlahan total perubahan
genetika di dalam individu yang merupakan anggota dari kolam gen. Kolam
gen merupakan jumlah keseluruhan alel dalam sebuah populasi tunggal. Hal
ini menunjukkan bahwa efek dari evolusi akan dirasakan oleh individu, tetapi
yang berevolusi di sini adalah populasi secara keseluruhan. Evolusi secara
sederhana merupakan perubahan di dalam frekuensi alel di dalam kolam gen
dari sebuah populasi.
Definisi evolusi ini secara independen dikembangkan oleh Godfrey
Hardy, seorang matematikawan Inggris dan Wilhelm Weinberg, seorang
fisikawan Prancis pada tahun 1908. Mereka menggunakan aljabar untuk
menjelaskan bagaimana frekuensi alel dapat digunakan untuk memprediksi
frekuensi genotip dan fenotip di dalam suatu populasi.
Menurut Hardy dan Weinberg, evolusi tidak akan terjadi jika dalam
suatu populasi memenuhi 7 kondisi, di antaranya :
1. Tidak terjadi mutasi
2. Tidak terjadi seleksi alam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
3. Ukuran populasi yang besar
4. Tidak adanya perkawinan sedarah
5. Perkawinan acak
6. Frekuensi alel yang sama antara laki-laki dan perempuan (setiap
orang memproduksi jumlah keturunan yang sama)
7. Tidak adanya migrasi di dalam atau di luar populasi.
Suatu kondisi di mana ketujuh kondisi di atas dipenuhi disebut
kesetimbangan Hardy-Weinberg.
Kesetimbangan Hardy-Weinberg jarang terjadi pada gen yang
mengafeksi fenotip karena penampilan dan kesehatan organisme yang
mempengaruhi kemampuan reproduksi organisme tersebut. Gen yang
memberi pengaruh pada fenotip dikeluarkan dari populasi pada seleksi alam.
Kesetimbangan Hardy-Weinberg terjadi pada kondisi yang tidak memberi
pengaruh pada fenotip, maka kesetimbangan Hardy-Weinberg hanya
memperhatikan frekuensi genotip di dalam suatu populasi. Dengan kata lain,
jika ketujuh kondisi di atas tidak dipenuhi maka dapat menyebabkan
terjadinya evolusi.
Tabel 2.1. Punnet Square
Alel
A a
p q
Alel A p AA = p
2 Aa = pq
a q Aa = pq aa = q2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Tabel 2.1 menunjukkan bagaimana ekspansi Binomial dapat diperoleh dari
frekuensi alel.
Ekspresi dari genetika populasi di dalam aljabar dimulai dengan persamaan
sederhana ,
dengan p = proporsi alel dominan pada gen
q = proporsi alel resesif pada gen
ekspresi ini secara sederhana mempunyai arti bahwa semua alel dominan dan
semua alel resesif mencakup semua alel-alel untuk gen dalam suatu populasi.
Frekuensi genotip AA atau ditulis dengan f(AA) = p2, frekuensi genotip Aa
atau ditulis dengan ( ) dan frekuensi genotip aa atau
ditulis dengan f(aa) = q2.
Hardy dan Weinberg mendeskripsikan frekuensi genotip-genotip yang
mungkin untuk gen dengan dua alel menggunakan bentuk ekspansi Binomial
dengan p2 = persentase dari individu dengan genotip homozigot dominan
2pq = persentase heterozigot
q2 = persentase dari individu dengan genotip homozigot resesif.
Ekspansi Binomial yang digunakan untuk mendeskripsikan gen di dalam
populasi inilah yang disebut dengan persamaan Hardy-Weinberg. Persamaan
Hardy-Weinberg dapat menunjukkan perubahan pada frekuensi alel yang
dapat menyebabkan evolusi. Sedangkan p2, 2pq, dan q
2 disebut proporsi
Hardy-Weinberg. Jika proporsi genotip tidak mengalami perubahan dari satu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
generasi ke generasi selanjutnya maka gen tidak mengalami evolusi, dengan
kata lain dalam kondisi ini kesetimbangan Hardy-Weinberg terpenuhi.
5. Penyimpangan Hardy Weinberg
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa kesetimbangan Hardy-Weinberg
dipenuhi ketika kondisi-kondisi tertentu terpenuhi. Jika kondisi-kondisi
tersebut tidak dipenuhi dengan kata lain terjadi penyimpangan pada
kesetimbangan Hardy-Weinberg maka akan mengakibatkan perubahan pada
frekuensi alel. Perubahan pada frekuensi alel dapat mengubah frekuensi
genotip. Penyimpangan Hardy-Weinberg dapat disebabkan oleh hal-hal
sebagai berikut :
1. Perkawinan Sedarah
Perkawinan sedarah merupakan perkawinan dengan kerabat
dekat yang mana dapat menyebabkan penurunan heterozigot pada
genom di dalam populasi, dengan kata lain meningkatkan jumlah
genotip homozigot pada individu. Di dalam situasi dimana terdapat
dua alel sederhana, koefisien perkawinan sedarah dilambangkan
dengan F. F dapat dihitung sebagai , dengan merupakan rasio
dari jumlah heterozigot yang diamati dan jumlah heterozigot yang
diamati dibawah asumsi proporsi Hardy-Weinberg. Jika jumlah
heterozigot yang diamati dan diduga bernilai sama di dalam populasi,
maka F akan bernilai 0. Dalam kasus ini, pengujian terhadap
penyimpangan dari proporsi Hardy-Weinberg dan terhadap koefisien
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
perkawinan sedarah (F) yang bernilai 0 adalah ekuivalen, dan
penyimpangan terhadap proporsi Hardy-Weinberg dapat
mengindikasikan perkawinan sedarah di dalam populasi yang mana
koefisien perkawinan sedarah yang bernilai tak 0 dapat
mengindikasikan baik kelebihan heterozigot (F bernilai negatif) atau
kelebihan homozigot (F bernilai positif) dibandingkan dengan proporsi
Hardy-Weinberg yang diduga.
2. Perkawinan Asortatif
Perkawinan asortatif merupakan perkawinan dengan pasangan
yang memiliki fenotip yang sama (perkawinan asortatif positif) atau
fenotip yang berbeda (perkawinan asortatif negatif), yang dalam hal ini
dapat mengakibatkan peningkatan homozigot dari gen yang yang
berasosiasi dengan fenotip. Hubungan antara derajat perkawinan
asortatif pada orang tua diukur dengan menggunakan kovarian
tertimbang.
a. Perkawinan Asortatif Positif
Pola perkawinan tak acak yang paling umum pada manusia
adalah terjadinya pernikahan antar individu yang memiliki fenotip
dengan sifat yang sama. Asortatif merujuk pada
mengklasifikasikan dan memilih karakteristik. Perkawinan asortatif
positif dihasilkan di dalam tiga kemungkinan pola perkawinan
sehubungan dengan sifat genotip yang dikontrol pada dua alel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
autosomal, homozigot dominan dengan homozigot dominan (AA x
AA), heterozigot dengan heterozigot (Aa x Aa) dan homozigot
resesif dengan homozigot resesif (aa x aa). Efek dari perkawinan
asortatif positif adalah meningkatnya jumlah genotip homozigot
(AA dan aa), dan menurunnya genotip heterozigot (Aa) di dalam
populasi seperti pada tabel di bawah ini. Pola kemunginan
pasangan diperoleh dengan rumus ( )
dengan k merupakan
banyaknya alel.
Tabel 2.2. Perkawinan Asortatif Positif
Perkawinan Asortatif Positif Total
Pola kemungkinan pasangan Genotip keturunan harapan
AA Aa aa
AA X AA 4
Aa X Aa 1 2 1
aa X aa 4
Jumlah
(Persentase)
5
42 %
2
16 %
5
42 %
12
100 %
Dengan jumlah keseluruhan adalah
Dengan penjelasan pola kemungkinan pasangan sebagai berikut :
AA /
AA A A
Aa /
Aa A a aa / aa A a
A AA AA A AA Aa a Aa aa
A AA AA a Aa aa a Aa aa
Jumlah AA = 4 Jumlah AA = 1;
Aa = 2; aa =1 Jumlah aa = 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Notasi / merupakan notasi untuk persilangan. Sebagai contoh
notasi AA/AA adalah persilangan antara pasangan alel AA
(homozigot) dengan pasangan alel AA (homozigot).
b. Perkawinan asortatif negatif
Pola perkawinan tak acak yang umum yang lainnya ada
dimana seseorang memilih sifat fenotip pasangan yang berbeda
dengan dirinya. Dalam aturan genetika, ada 6 kemungkinan pola
perkawinan asoratatif negatif yang diperhatikan pada dua alel-alel
autosomal, seperti ditunjukkan pada tabel 2.3.
Tabel 2.3. Perkawinan Asortatif Negatif
Perkawinan Asortatif Negatif Total
Pola Kemungkinan
Pasangan
Dugaan genotip turunan
AA Aa aa
AA X Aa 2 2
AA X aa 4
Aa X AA 2 2
Aa X aa 2 2
aa X AA 4
aa X Aa 2 2
Jumlah
(Persentase)
4
17 %
16
67 %
4
16 %
24
100%
Dengan jumlah keseluruhan pasangan adalah
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Dengan penjelasan pola kemungkinan pasangan sebagai berikut :
AA /
Aa A A AA / aa A A
Aa /
AA A a
A AA AA a Aa Aa A AA Aa
A Aa Aa a Aa Aa A AA Aa
Jumlah AA = 2;
Aa = 2 Jumlah Aa = 4 Jumlah
AA = 2;
Aa = 2
Aa / aa A a aa / AA a a aa / Aa a a
a Aa aa A Aa Aa A Aa Aa
a Aa aa A Aa Aa a aa aa
Jumlah Aa = 2;
Aa = 2 Jumlah Aa = 4 Jumlah
Aa =2;
aa = 2
Efek dari hal ini adalah peningkatan pada frekuensi genotip
heterozigot (Aa) dan menurunnya frekuensi genotip homozigot (AA
dan aa) dalam suatu populasi. Dengan kata lain, perkawinan asortatif
negatif memiliki efek yang berlawanan dengan perkawinan asortatif
positif.
3. Ukuran populasi yang kecil
Ukuran populasi yang kecil juga dapat menyebabkan
peningkatan homozigositas di dalam populasi. Pada populasi yang
kecil, frekuensi alel dapat meloncat dari satu generasi ke generasi
lainnya, proses ini disebut hanyutan genetik. Dalam keadaan ini,
prinsip Hardy-Weinberg dapat dilanggar jika terjadi perubahan acak
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
pada frekuensi genotip sebagai hasil dari hanyutan genetik. Pada
populasi yang terisolasi secara reproduktif, keadaan-keadaan khusus
dapat mengakibatkan perubahan pada frekuensi gen yang independen
sebagai akibat dari mutasi dan seleksi alam. Perubahan ini semata-
mata terjadi sebagai faktor peluang. Semakin kecil populasi, semakin
rentan populasi terhadap perubahan-perubahan tersebut. Feneomena
inilah yang disebut dengan hanyutan genetik.
4. Mutasi
Mutasi merupakan perubahan pada materi genetika. Mutasi
terjadi selama duplikasi DNA pada saat pembelahan sel. Mitosis dan
meiosis merupakan proses mekanikal yang dalam prosesnya terjadi
banyak operasi kompleks yang harus tepat selesai agar duplikasi DNA
dapat terjadi, sehingga mutasi berpotensi terjadi pada saat mitosis dan
meiosis sedang berlangsung.
Ada 4 kategori umum mutasi :
a. DNA yang berbasis substitusi, penyisipan dan penghapusan
b. Persilangan yang tidak sama dan modifikasi struktural
kromosom yang terkait.
c. Inversi dan duplikasi parsial atau lengkap gen
d. Jumlah kromosom yang tak beraturan
Mutasi dapat terjadi secara alami sebagai hasil dari kesalahan pada
replikasi DNA. Mutasi dapat pula diakibatkan oleh radiasi, alkohol,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
litium, merkuri organik dan beberapa bahan-bahan kimia, virus dan
mikroorganisme juga dapat mengakibatkan terjadinya mutasi. Dalam
hal mutasi sebagai subyek dari seleksi alam, mutasi harus ditunjukkan
dalam fenotip dari individu. Walaupun mutasi memproduksi alel
resesif yang mana jarang ditunjukkan pada fenotip, alel resesif menjadi
bagian dari variabilitas yang tersembunyi yang dapat muncul pada
generasi berikutnya. Alel resesif yang berbahaya tersebut ditambah ke
dalam muatan genetik (genetic load). Muatan genetik (genetic load)
merupakan ukuran dari semua alel resesif yang berbahaya di dalam
populasi atau garis keturunan.
5. Seleksi alam
Perubahan pada lingkungan dapat mengubah frekuensi alel
ketika individu-individu dengan fenotip tertentu dapat bertahan hidup
dan bereproduksi daripada yang lain. Pengaruh untuk bertahan hidup
untuk berreproduksi yang disebabkan oleh perubahan lingkungan ini
disebut dengan seleksi alam. Pada seleksi alam, keberhasilan
reproduksi merupakan hal yang penting. Dalam hal ini, meneruskan
alel yang menguntungkan dan membuang alel yang tidak
menguntungkan akan berimbas pada struktur populasi dan dapat
menyebabkan evolusi mikro. Seleksi alam berperan dalam
memunculkan kembali variansi genetika dan hal ini tidak terkontrol
dan tak bisa diprediksi. Seleksi alam dapat dilihat pada penyakit-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
penyakit yang menginfeksi. Jika infeksi membunuh sebelum saat
reproduksi, penyebarannya akan disingkirkan dari kerentanan suatu
individu terhadap infeksi.
6. Aliran gen
Evolusi dapat pula terjadi sebagai hasil dari gen yang ditransfer
dari satu generasi ke generasi selanjutnya. Migrasi yang menyebabkan
terjadinya aliran gen. pengurangan atau penjumlahan orang dapat
dengan mudah mengubah frekuensi kolam gen walaupun tidak ada
mekanisme operasi evolusi. Dampak dari aliran gen adalah adanya
perubahan frekuensi alel dan genotip pada populasi asli.
Aliran gen dapat pula terjadi tanpa migrasi. Ketika wisatawan
berkunjung ke daerah lain dan dengan sukses berpasangan dengan
orang-orang dalam populasi di daerah tersebut, transfer gen terjadi di
antara populasi walaupun wisatawan tersebut kembali ke tempat
asalnya. Aliran gen dapat pula terjadi di antara spesies-spesies.
Misalnya, segmen-segmen DNA dapat ditransfer dari satu spesies ke
spesies lainnya oleh virus-virus sebagaimana mereka menginvasi sel-
sel hewan atau tanaman.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
B. Probabilitas
Definisi 2.1
Ruang sampel dari sebuah percobaan merupakan himpunan yang terdiri dari
semua kemungkinan titik sampel. Ruang sampel dinotasikan dengan S.
Definisi 2.2
Sebuah ruang sampel diskrit memuat berhingga atau tak terhingga terbilang titik
sampel.
Definisi 2.3
Sebuah kejadian di dalam ruang sampel diskrit S merupakan koleksi dari titik-titik
sampel, yang merupakan himpunan bagian dari S.
Definisi 2.4
Misalkan S sebuah ruang sampel yang berasosiasi dengan sebuah percobaan.
Untuk setiap kejadian A pada S (A merupakan himpunan bagian dari S), P(A)
merupakan probabilitas dari A, sehingga memenuhi Aksioma sebagai berikut :
Aksioma 1 : ( )
Aksioma 2: ( )
Aksioma 3: jika , , ,… membentuk barisan dari pasangan pada kejadian di
S, maka
( ) ∑ ( )
Definisi 2.5
Probabilitas bersyarat dari kejadian A, dengan kejadian B yang telah terjadi yaitu
( | ) ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
dengan ( ) . Simbol ( | ) dibaca probabilitas A yang diberikan oleh B.
Definisi 2.6
Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika salah satu dari hal-hal di bawah
ini dipenuhi :
( | ) ( )
( | ) ( )
( ) ( ) ( )
Jika tidak dipenuhi, maka kejadian tersebut tidak saling bebas.
Definisi 2.7
Variabel acak merupakan fungsi bernilai real dengan domainnya berupa ruang
sampel.
Definisi 2.8
Misalkan N dan n secara berturut-turut merepresentasikan banyaknya elemen-
elemen dalam populasi dan sampel. Jika sebarang sampel diambil dan
mengakibatkan masing-masing dari ( ) sampel memiliki probabilitas yang sama,
sampel tersebut dikatakan acak, dan hasilnya disebut sebagai sampel acak.
C. Variabel Acak Diskrit
Definisi 2.9
Sebuah variabel acak Y dikatakan diskrit jika himpunan nilai-nilainya berhingga
atau tak berhingga terbilang nilai-nilai yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Definisi 2.10
Probabilitas variabel acak Y bernilai y, ( ), didefinisikan sebagai jumlahan
dari probabilitas dari semua titik sampel di S yang menentukan nilai y. ( )
juga dinotasikan dengan notasi lain ( ).
Definisi 2.11
Distribusi probabilitas untuk variabel diskrit Y dapat direpresentasikan dengan
sebuah rumus, tabel atau grafik yang menetapkan ( ) ( ) untuk semua
y.
Definisi 2.12
Untuk sebarang distribusi probabilitas diskrit memenuhi hal-hal sebagai berikut:
1. ( ) , untuk semua y
2. ∑ ( ) , penjumlahan untuk semua nilai y yang memiliki probabilitas
tak nol.
Contoh 2.1 :
Seorang supervisor pada sebuah perusahaan memiliki 3 pria dan 3 wanita yang
bekerja pada perusahaan tersebut. Dia ingin memilih 2 pekerja untuk sebuah
pekerjaan yang khusus. Dia akan melakukan pemilihan secara acak agar tidak
menimbulkan bias pada pemilihan. Misalkan Y menotasikan banyaknya wanita
yang dipilih. Tentukan distribusi probabilitas dari Y.
Penyelesaian :
- Percobaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
3 pria, misalkan A, B, C.
3 wanita, misalkan 1, 2, 3.
- Ruang sampel terpilihnya 2 pekerja adalah S = {AB, AC, AC, 1A, 1B, 1C,
2A, 2B, 2C, 3A, 3B, 3C, 12, 13, 23)
Supervisor tersebut dapat memilih 2 pekerja dari 6 pekerja dalam 15 cara. S
memuat 15 titik sampel , yang diasumsikan sama karena sampelnya merupakan
sampel acak.
( ) untuk . Nilai untuk Y yang memiliki probabilitas tak
nol adalah 0, 1, dan 2. Banyaknya cara memilih Y = 0 wanita adalah ( )(
)
karena supervisor harus memilih 0 pekerja dari 3 wanita dan 2 pekerja dari 3 pria.
Maka ada ( )(
) titik sampel pada kejadian Y = 0, dan
( ) ( ) ( )(
)
secara sama,
( ) ( ) ( )(
)
( ) ( ) ( )(
)
atau dengan ( ) . /.
/
( )
.
Akan ditunjukkan bahwa contoh di atas memenuhi definisi 2.12
1. Secara jelas terlihat bahwa ( ) , untuk semua y.
2. ( ) ( ) ( )
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Definisi 2.13
Misalkan Y merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y).
Maka, nilai harapan dari Y, yang disimbolkan dengan E(Y) didefinisikan dengan
( ) ∑ ( )
Teorema 2.1
Misalkan Y merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) dan
( ) merupakan fungsi bernilai real dari Y. Maka nilai harapan dari ( ) yaitu
, ( )- ∑ ( ) ( )
Bukti :
Misalkan variabel acak Y merupakan jumlahan berhingga dari nilai-nilai
Karena fungsi ( ) bukan merupakan fungsi satu-satu, andaikan
( ) mengambil nilai dengan sehingga ( ) merupakan
variabel acak, untuk
, ( ) - ∑
. /
( ) ( )
Dengan menggunakan Definisi 2.13,
, ( )- ∑
( )
∑
{
∑
. /
( )
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
∑ ∑
. /
( )
∑ ( ) ( )
Definisi 2.14
Jika Y merupakan variabel acak dengan rata-rata ( ) , variansi dari variabel
acak Y didefinisikan sebagai nilai harapan dari ( ) , yaitu
( ) ,( ) -
Standar deviasi dari Y merupakan akar pangkat dua positif dari ( )
Teorema 2.2
Misalkan Y merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) dan
c merupakan suatu konstanta. Maka ( )
Bukti :
Perhatikan fungsi ( ) . Dengan menggunakan Teorema 2.1,
( ) ∑ ( )
∑ ( )
Tetapi ∑ ( ) (definisi 2.12), maka ( ) ( )
Teorema 2.3
Misalkan Y merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ),
( ) merupakan fungsi dari Y, dan c merupakan konstanta. Maka
, ( )- , ( )-
Bukti :
Dengan mengunakan Teorema 2.1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
, ( )- ∑ ( ) ( )
∑ ( ) ( )
, ( )-
Teorema 2.4
Misalkan Y merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ( ) dan
( ) ( ) ( ) merupakan sejumlah k fungsi dari Y. Maka,
, ( ) ( ) ( )- , ( )- , ( )- , ( )-
Bukti :
Dengan menggunakan induksi matematika :
f(y)
( ) ( ) ( ) ,dengan k merupakan fungsi dari Y
Akan dibuktikan , ( ) ( )- , ( )- , ( )- dengan
menggunakan induksi matematika.
(i) Langkah awal
Pernyataan benar untuk k = 1, yaitu
, ( )- ∑ ( ) ( ) , ( )-
(ii) Hipotesa
Diandaikan benar untuk k = n, yaitu
, ( ) ( ) ( )- , ( )- , ( )- , ( )-
(iii) Langkah induksi
Akan dibuktikan benar untuk k = n + 1.
, ( ) ( ) ( ) ( )-
∑, ( ) ( ) ( ) ( )- ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
∑, ( ) ( ) ( )- ( ) ∑, ( )- ( )
, ( )- , ( )- , ( )- , ( )-
D. Variabel Acak Kontinu
Definisi 2.15
Misalkan Y menotasikan sebarang variabel acak. Fungsi distribusi dari Y,
dinotasikan dengan ( ), didefinisikan sebagai ( ) ( ) untuk
Definisi 2.16
Jika ( ) merupakan fungsi distribusi, maka
1. ( ) ( )
2. ( ) ( )
3. ( ) merupakan fungsi tak turun dari y. [Jika dan merupakan
sebarang nilai sehingga , maka ( ) ( ) -
Definisi 2.17
Variabel acak Y dengan fungsi distribusi ( ) dikatakan kontinu jika ( )
kontinu untuk
Definisi 2.18
Misalkan ( ) merupakan fungsi distribusi untuk variabel acak kontinu Y. Maka
( ) yaitu
( ) ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
bila turunannya ada, merupakan fungsi probabilitas (fungsi densitas) untuk
variabel acak Y.
Menurut definisi 2.16 dan definisi 2.17, ( ) dapat ditulis sebagai
( ) ∫ ( )
Definisi 2.19
Jika ( ) merupakan fungsi densitas untuk variabel acak kontinu, maka
1. ( ) untuk semua y,
2. ∫ ( )
Contoh :
Misalkan {
Tentukan fungsi densitas untuk Y.
Penyelesaian :
Karena fungsi densitas f(y) merupakan turunan dari fungsi distribusi F(y), jika
turunan berlaku diperoleh
( ) ( )
{
( )
( )
( )
y tidak terdefinisi pada y = 0 dan y = 1.
Akan ditunjukkan jika contoh di atas memenuhi definisi 2.19:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
1. Secara jelas terlihat ( ) untuk semua y.
2. ∫
∫
∫
- ( )
Definisi 2.20
Nilai harapan dari variabel acak kontinu Y, yaitu
( ) ∫
( )
Teorema 2.5
Misalkan ( ) merupakan fungsi dari Y. Maka nilai harapan dari ( ) yaitu
, ( )- ∫ ( )
( )
Bukti : analog dengan bukti Teorema 2.1
Teorema 2.6
Misalkan Y merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas ( ) dan
c merupakan suatu konstanta. Maka ( )
Bukti :
Perhatikan fungsi ( ) . Dengan menggunakan Teorema 2.5,
( ) ∫
( ) ∫ ( )
Tetapi ∫ ( )
(definisi 2.18), maka ( ) ( )
Teorema 2.7
Misalkan Y merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas ( ),
( ) merupakan fungsi dari Y, dan c merupakan konstanta. Maka
, ( )- , ( )-
Bukti :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Dengan mengunakan Teorema 2.5,
, ( )- ∫ ( )
( ) ∫ ( )
( ) , ( )-
Teorema 2.8
Misalkan Y merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas ( ) dan
( ) ( ) ( ) merupakan sejumlah k fungsi dari Y. Maka,
, ( ) ( ) ( )- , ( )- , ( )- , ( )-
Bukti :
Dengan menggunakan induksi matematika :
f(y)
( ) ( ) ( ) ,dengan k merupakan fungsi dari Y
Akan dibuktikan , ( ) ( )- , ( )- , ( )- dengan
menggunakan induksi matematika.
(iv) Langkah awal
Pernyataan benar untuk k = 1, yaitu
, ( )- ∫ ( ) ( ) , ( )-
(v) Hipotesa
Diandaikan benar untuk k = n, yaitu
, ( ) ( ) ( )- , ( )- , ( )- , ( )-
(vi) Langkah induksi
Akan dibuktikan benar untuk k = n + 1.
, ( ) ( ) ( ) ( )-
∫, ( ) ( ) ( ) ( )- ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
∫, ( ) ( ) ( )- ( ) ∫, ( )- ( )
, ( )- , ( )- , ( )- , ( )-
E. Fungsi Probabilitas Bersama
Definisi 2.21
Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit. Fungsi probabilitas bersama
untuk dan ditunjukkan sebagai
( ) ( )
Definisi 2.22
Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas
bersama, maka
1. ( )
2. ∑ ( )
Contoh 2.2:
Misalkan 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 bola
putih dan 5 bola biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y
adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari
X dan Y.
Penyelesaian :
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah ( ) .
Banyaknya cara mengambil 0 bola dari 3 bola merah, 0 bola dari 4 bola putih, dan
3 bola dari 5 bola biru adalah ( )(
)(
) . Diperoleh ( )
Banyaknya cara mengambil 1 bola dari 3 bola merah, 0 bola dari 4 bola putih, dan
2 bola dari 5 bola biru adalah ( )(
)(
) . Diperoleh ( )
, dan
seterusnya.
Banyaknya kemungkinan bola merah dan bola putih yang terambil ditunjukkan
lewat tabel 2.4 di bawah ini.
Tabel 2.4. Peluang Terambilnya Bola Merah dan Putih
P(x,y) x
y 0 1 2 3 Total baris
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220
1 40/220 60/220 12/220 112/220
2 30/220 18/220 48/220
3 4/220 4/220
Total kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1
Definisi 2.23
Untuk sebarang variabel dan , fungsi distribusi bersama ( )
didefinisikan sebagai
( ) ( )
Definisi 2.24
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi
bersama ( ) Jika terdapat fungsi tak negatif ( ) seperti
( ) ∫ ∫ ( )
untuk semua maka dan disebut sebagai
variabel acak kontinu bersama. Fungsi ( ) disebut fungsi probabilitas
bersama.
Definisi 2.25
Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu bersama dengan fungsi
densitas bersama yang dilambangkan dengan ( ), maka
1. ( )
2. ∫ ∫ ( )
Contoh 2.3:
Sebuah perusahaan cokelat mendistribusikan kotak-kotak cokelat yang berisi isian
jenis: krim, kopi dan kacang. Terdapat 2 jenis cokelat yaitu cokelat hitam dan
cokelat putih. Misalkan dipilih secara acak 1 kotak, dan variabel acak X dan Y
menyatakan persentase dari cokelat putih dan cokelat hitam yang berisi krim
dengan fungsi probabilitas bersama sebagai berikut:
( ) {
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Jawab :
1. ( )
2. ∫ ∫
( )
∫ ∫
∫ [
]
∫ [
]
]
Teorema 2.9
Misalkan dan merupakan variabel acak kontinu yang saling bebas dan ( )
dan ( ) hanya merupakan fungsi-fungsi dari dan . Maka,
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti :
Misalkan ( ) menotasikan fungsi densitas bersama dari dan .
( ) ( ) berturut-turut merupakan fungsi dari dan . Oleh karena itu,
menurut definisi dan asumsi bahwa dan bebas diperoleh,
, ( ) ( )- ∫ ∫ ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
∫ ( )
( ) *∫ ( ) ( )
+
∫ ( ) ( )
, ( )-
, ( )-∫ ( ) ( )
, ( )- , ( )-
Definisi 2.26
Misalkan memiliki fungsi distribusi ( ), memiliki fungsi distribusi
( ) dan dan memiliki fungsi distribusi gabungan ( ). Maka dan
dikatakan bebas jika dan hanya jika
( ) ( ) ( )
Untuk setiap pasangan bilangan real ( )
Definisi 2.27
Misalkan ( , , … , ) merupakan fungsi dari variabel acak diskrit, , , …
, yang memiliki fungsi probabilitas ( , , … , ) Maka nilai harapan dari
( , , … , ) adalah
, ( )- ∑
∑∑ ( ) ( )
Jika , , … , merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas
bersama ( ), maka , ( )-
∫
∫ ∫ ( )
( )
Contoh 2.4:
Misalkan dan memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
( ) {
Tentukan E( ).
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi 2.23, diperoleh :
( ) ∫ ∫
( )
∫ ∫
( )
∫
(
+
) ∫
+
Teorema 2.10
Misalkan dan merupakan variabel acak diskrit yang saling bebas dan ( )
dan ( ) hanya merupakan fungsi-fungsi dari dan . Maka,
, ( ) ( )- , ( )- , ( )-
Bukti :
Misalkan ( ) menotasikan fungsi densitas bersama dari dan .
( ) ( ) merupakan fungsi dari dan . Oleh karena itu, menurut definisi
dan asumsi bahwa dan bebas diperoleh,
, ( ) ( )- ∑∑ ( ) ( )
( )
∑∑ ( ) ( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
∑ ( )
( ) *∑ ( )
( )+
∑ ( )
( ) , ( )-
, ( )- , ( )-
Teorema 2.11
Misalkan ( ) merupakan fungsi dari variabel acak dan dan misalkan c
merupakan suatu konstanta. Maka,
, ( )- , ( )-
Bukti : analog dengan bukti Teorema 2.3 dan 2.6
Teorema 2.12
Misalkan dan merupakan variabel acak dan ( ), ( ),
( ) merupakan fungsi dari dan . Maka
, ( ) ( ) ( )-
, ( )- , ( )- , ( )-
Bukti : analog dengan bukti Teorema 2.4 dan 2.8
F. Kovariansi Variabel Acak
Definisi 2.28
Misalkan dan merupakan variabel acak dengan rata-rata dan secara
berturut-turut, kovarian dari dan adalah
( ) ,( )( )-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Teorema 2.13
Jika merupakan variabel acak dengan rata-rata dan berturut-turut,
maka
( ) ,( )( )- ( ) ( ) ( )
Bukti :
Dengan berdasar pada Teorema 2.11 dan Teorema 2.12, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )
Karena ( ) dan ( ) , diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Contoh menghitung kovariansi :
Tentukan kovariansi antara jumlah stok dan jumlah penjualan di
berdasarkan fungsi densitas berikut :
( ) {
Penyelesaian :
dan berdistribusi densitas bersama dengan fungsi ( ).
Maka ( ) ∫ ∫
( ) ∫
.
]
∫
(
+
( ) ∫ ∫
( ) ∫
(
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
( ) ∫ ∫
( ) ∫
(
+
∫
(
]
Menggunakan Teorema 2.13, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
Teorema 2.14
Misalkan dan merupakan variabel acak dengan
( ) dan ( ) Definisikan
∑
∑
untuk konstanta-konstanta dan . Maka beberapa hal
berikut terpenuhi, yaitu :
a. ( ) ∑ .
b. ( ) ∑
( ) ∑∑ ( ),
dengan penjumlahan ganda meliputi seluruh pasang ( ) dengan .
c. ( ) ∑ ∑
( ).
Bukti :
Teorema di atas terdiri dari 3 bagian, bagian (a) mengikuti Teorema 2.11 dan
Teorema. 2.12. Untuk membuktikan bagian (b) digunakan definisi variansi
sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
( ) , ( )- [∑
∑
]
[∑ ( )
]
[∑ ( )
∑∑ ( )( )
]
∑ ( )
∑∑ ,( )( )
-
Dengan menggunakan definisi variansi dan kovariansi, diperoleh
( ) ∑ ( )
∑∑ ( )
Karena ( ) ( ), dapat ditulis dengan
( ) ∑ ( )
∑ ∑
( )
Langkah-langkah yang sama dapat digunakan untuk memperoleh bagian (c).
( ) *, ( )-, ( )-+
*(∑
∑
)(∑
∑
)+
,[∑ ( )
] *∑ ( )
+-
*∑∑ ( )( )
+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
∑∑ ,( )( )
-
∑∑ ( )
Contoh 2.5:
Misalkan , , merupakan variabel acak, dengan ( ) , ( ) ,
( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,
( ) , ( ) . Tentukan nilai harapan dan variansi dari
. Jika . Tentukan ( ).
Penyelesaian :
, dengan , , dan (Menurut
Teorema 2.13)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )( )
Perhatikan bahwa , dengan dan . Maka diperoleh,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Perhatikan ( ) ( ) dan ( ) ( ). Diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
G. Distribusi Probabilitas Binomial
Beberapa percobaan terdiri dari pengamatan dengan urutan ulangan yang
identik dan saling bebas. Masing-masing ulangan tersebut memberikan hasil yang
terdiri dari dua hasil. Misalnya pada masing-masing tembakan yang mengenai
target hanya ada dua kemungkinan yaitu mengenai target atau meleset. Percobaan
ini dikenal dengan nama percobaan Binomial yang memenuhi beberapa
karakteristik seperti ditunjukkan pada definisi berikut :
Definisi 2.29
Sebuah percobaan Binomial memenuhi beberapa sifat sebagai berikut :
1. Percobaan terdiri dari n ulangan yang identik.
2. Masing-masing ulangan memberikan dua kemungkinan hasil yaitu S
(sukses) atau F (gagal).
3. Probabilitas diperolehnya sukses pada sebuah ulangan tunggal
disimbolkan dengan p dan tetap sama dari satu ulangan ke ulangan lain.
Probabilitas dari gagal disimbolkan dengan q, dengan q = 1 – p.
4. Ulangan-ulangan yang dilakukan saling bebas.
5. Variabel acak yang diperhatikan adalah Y, Y yaitu banyaknya sukses yang
diamati dari n ulangan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Distribusi probabilitas Binomial p(y) diperoleh dengan menerapkan pendekatan
titik sampel untuk menemukan probabilitas banyaknya sukses yang disimbolkan
dengan y.
Definisi 2.30
Variabel acak Y dikatakan berdistribusi Binomial dengan n ulangan dan peluang
sukses p jika dan hanya jika
( ) (
)
Contoh 2.6: Pada genetika, distribusi Binomial dapat dilihat dalam
menentukan probabilitas alel dominan dan resesif dari suatu
individu.
dengan q = 1 - p
Bentuk percobaan Binomial diperoleh dari fakta bahwa hasil dari masing-
masing percobaan merupakan salah satu dari dua kemungkinan hasil dan
probabilitasnya disimbolkan dengan p(y), untuk y = 0, 1, 2, …, n, adalah suku-
suku dari ekspansi Binomial.
( ) ( ) (
) (
) (
) .
Dengan ( ) ( ) (
) ( ) dan secara umum ( ) .
/ .
p(y) memenuhi sifat penting untuk sebuah fungsi probabilitas karena p(y) bernilai
positif untuk y = 0,1,…n dan karena q + p =1 maka diperoleh
p = probabilitas alel dominan
q = probabilitas alel resesif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
∑ ( ) ∑(
) ( )
Teorema 2.15
Andaikan Y merupakan variabel acak Binomial didasarkan pada n ulangan dan
probabilitas suskses disimbolkan dengan p, maka
( ) dan ( )
Bukti :
Definisi 2.31
Misalkan Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y). maka
nilai harapan dari Y, yang disimbolkan dengan E(Y) didefinisikan sebagai :
( ) ∑ ( )
Berdasarkan definisi 2.29 dan definisi 2.30 diperoleh
( ) ∑ ( )
∑ (
)
Perhatikan bahwa bentuk pertama dalam penjumlahan adalah 0, diperoleh
( ) ∑
( )
∑
( ) ( )
Jumlahan pada baris terakhir merujuk pada bentuk distribusi Binomial. Jika faktor
np dikeluarkan dari bentuk jumlahan dan z = y -1, maka diperoleh
( ) ∑( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
∑( )
( )
∑(
)
Perhatikan bahwa p(z) = (
) merupakan fungsi probabilitas Binomial
dengan (n-1) kali ulangan. Diketahui ∑ ( ) , maka diperoleh
( )
Definisi 2.32
Jika Y merupakan variabel acak dengan rata-rata ( ) . Variansi dari variabel
acak Y didefinisikan sebagai nilai harapan dari ( ) . Diperoleh,
( ) ,( ) -
Standar deviasi dari Y adalah akar kuadrat positif dari V(Y).
Teorema 2.16
Misalkan Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y) dan
rata=rata ( ) , maka
( ) ,( ) - ( )
Bukti :
,( ) - , -
( ) ( ) ( ) berdasarkan teorema 2.8.
Perhatikan bahwa merupakan suatu konstanta, diperoleh
( ) ( )
Tetapi ( ), sehingga
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Berdasarkan teorema 2.16, diketahui bahwa ( ) ( ) . dapat
dihitung dengan menemukan nilai dari ( ).
, ( )- ( ) ( ) ( )
( ) , ( )- ( ) , ( )-
Dalam kasus ini,
, ( )- ∑ ( )
( )
y(y-1) akan bernilai 0 ketika y = 0 dan y = 1. Kemudian,
, ( )- ∑
( ) ( )
Dapat dilihat bahwa bentuk penjumlahan di atas sangat mirip dengan probabilitas
Binomial. Faktor ( ) berada di luar penjumlahan dan misalkan z = y – 2
sehingga diperoleh
, ( )- ( ) ∑( )
( ) ( )
( ) ∑( )
( )
( ) ∑(
)
Perhatikan bahwa ( ) ∑ (
) merupakan fungsi probabilitas
Binomial dengan (n-2) ulangan. Maka ∑ ( ) dan
, ( )- ( )
( ) , ( )- ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
dan
( ) ( )
,( ) - ( )
H. Distribusi Probabilitas Multinomial
Sebuah percobaan yang terdiri dari n ulangan untuk variabel acak
Binomial akan memberikan dua hasil untuk masing-masing ulangan. Percobaan
Multinomial merupakan perumuman dari percobaan Binomial dengan banyaknya
kemungkinan hasil lebih dari dua untuk masing-masing ulangan.
Definsi 2.33
Sebuah percobaan Multinomial memenuhi beberapa sifat sebagai berikut :
1. Percobaan terdiri dari n ulangan yang identik.
2. Hasil dari masing-masing ulangan berada pada satu dari sejumlah k kelas
atau sel.
3. Probabilitas untuk hasil pada ulangan tunggal untuk sel i disimbolkan
dengan pi untuk i = 1, 2, …, k tetap sama antara satu ulangan dengan yang
lainnya. Perhatikan bahwa p1 + p2 + p3 + … + pk = 1.
4. Ulangan-ulangan adalah saling independen.
5. Misalkan Y1, Y2, … , Yk merupakan variabel acak, dengan Yi merupakan
banyaknya ulangan dengan hasilnya berada pada sel i. Perhatikan bahwa
Y1 + Y2 + Y3 + … + Yk = n.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Definisi 2.34
Asumsikan bahwa p1, p2, … , pk sedemikian sehingga ∑ dan
untuk i = 1, 2, … , k. variabel acak Y1, Y2, … , Yk dikatakan berdistribusi
Multinomialdengan parameter n dan p1, p2, … , pk jika fungsi probabilitas dari Y1,
Y2, … , Yk diberikan sebagai berikut
( ) ( )
dengan untuk setiap i dan ∑ .
Contoh : Menurut teori genetika, persilangan tertentu sejenis marmot akan
menghasilkan keturunan berwarna merah, hitam, putih dalam
perbandingan 8 : 4 : 4. Menentukan peluang bahwa 5 dari 8 turunan
akan berwarna merah, 2 hitam dan 1 putih dapat menggunakan
distribusi Multinomial sebagai berikut :
Jika Y1 adalah banyaknya marmot berwarna merah dengan p1 = 0.5,
Y2 adalah marmot berwarna hitam dengan p2 = 0.25 dan Y3 adalah
marmot berwarna putih dengan p3 = 0.25, maka
( )
Akan ditunjukkan bahwa contoh di atas memenuhi sifat-sifat distribusi
probabilitas Multinomial :
1. Percobaan terdiri dari n ulangan yang identik.
2. Hasil dari masing-masing ulangan berada pada satu dari 3 kelas.
3. untuk i = 1, 2, 3, dengan p1 + p2 + p3 = 1. Ditunjukkan sbb:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
4. Ulangan-ulangan bersifat indepeden.
5. merupakan banyaknya ulangan dengan hasilnya berada pada sel ke – i.
Dalam contoh ini, i = 1, 2, 3. Ditunjukkan Y1 + Y2 + Y3= n, yaitu :
Banyak percobaan yang melibatkan klasifikasi merupakan percobaan Binomial.
Sebagai contoh : mempelajari bagaimana reaksi tikus ketika diberikan stimulus
tertentu pada eksperimen dalam bidang psikologi. Jika tikus-tikus tersebut
bereaksi terhadap satu dari tiga cara ketika diberikan stimulus, percobaan tersebut
memberi hasil sebuah nomor yang menunjukkan tikus tersebut akan masuk ke
kelas yang mana.
Dari penjelasan di atas ditunjukkan bahwa percobaan Binomial merupakan
kasus khusus dari percobaan Multinomial ketika terdapat kelas yang disimbolkan
dengan k bernilai 2.
Probabilitas dua sel, yaitu p dan q = 1 – p dari percobaan Binomial diganti dengan
probabilitas sejumlah k sel, yaitu p1, p2,…, pk yang merupakan percobaan
Multinomial.
Teorema 2.17
Jika Y1, Y2, … , Yk berdistribusi Multinomial dengan parameter n dan p1, p2,…, pk
maka
1. ( ) ( )
2. Cov( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Bukti :
Misalkan diinterpretasikan sebagai banyaknya ulangan pada sel i. Bayangkan
semua sel, tidak termasuk sel i, digabungkan menjadi sel yang lebih besar.
Kemudian setiap ulangan akan memberi hasil pada sel i atau sel lain selain sel i,
dengan probabilitas berturut-turut dan . Maka berdistribusi
probabilitas Binomial. Sehingga diperoleh,
( ) ( )
Pembuktian dari bagian yang kedua dengan menggunakan Teorema 2.14,
misalkan sebuah percobaan Multinomial sebagai sebuah barisan dari sejumlah n
ulangan yang bebas dan definisikan, untuk s ≠ t,
{
dan
{
Maka,
∑
∑
dan tidak dapat bernilai 1 bersama-sama. Maka, hasil dari selalu
bernilai 0 dan ( ) Untuk mengevaluasi Cov ( ), akan ditunjukkan
sebagai berikut :
( )
( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
( ) ( ) ( ) ( )
Menurut Teorema 2.14, diperoleh
( ) ∑∑ ( )
∑ ( )
∑∑ ( )
∑( )
∑∑
Kovarian yang diperoleh bernilai negatif, yang diduga karena hasil yang bernilai
cukup besar pada sel s akan mengakibatkan nilai pada sel i menjadi kecil.
I. Distribusi Hipergeometrik
Misalkan terdapat sebuah populasi yang terdiri dari sejumlah berhingga N
elemen yang memiliki satu dari dua karakteristik. Elemen-elemen yang berwarna
merah disimbolkan dengan r dan elemen-elemen yang berwarna hitam
disimbolkan dengan b, dengan . Sampel yang terdiri dari sejumlah n
elemen dipilih secara acak dari populasi. Variabel acak Y merupakan banyaknya
elemen yang berwarna merah di dalam sampel. Variabel acak inilah yang
diketahui sebagai distribusi probabilitas hipergeometrik.
Sebuah titik sampel di dalam ruang sampel S akan berkorespondensi
dengan sejumlah n elemen pilihan, beberapa berwarna merah dan beberapa
berwarna hitam. Seperti pada percobaan Binomial, masing-masing titik sampel
dapat dikarakterisasikan dengan sejumlah n-tuple. Elemen-elemen dari sejumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
n-tuple tersebut berkorespondensi pada terpilihnya sejumlah n elemen dari total
N. Jika masing-masing elemen pada populasi diberi nomor dari 1 sampai N, titik
sampel mengindikasikan item-item yang terpilih adalah 5, 7, 8, 64, … , 87. Item-
item ini akan muncul sebagai n-tuple
(5,7,8,64,17,…,87).
n posisi
Jumlahan total dari titik sampel pada S akan berjumlah sama dengan banyaknya
cara memilih himpunan bagian yang terdiri dari sejumlah n elemen dari
keseluruhan N populasi atau ( ). Pengambilan secara acak mengimplikasikan
bahwa semua titik sampel memiliki peluang yang sama. Hal ini menyebabkan
probabilitas dari titik sampel adalah
( )
( )
Jumlahan total dari titik sampel pada kejadian numerik Y=y merupakan
banyaknya titik sampel pada S yang memuat sejumlah y merah dan (n - y) hitam.
Nilai ini dapat diperoleh dengan mengaplikasikan aturan perkalian. Banyaknya
cara memilih sejumlah y elemen yang berwarna merah untuk mengisi posisi y
pada n-tuple yang merepresentasikan sebuah titik sampel merupakan jumlahan
dari banyaknya cara memilih y dari total keseluruhan r atau . /. Jumlahan total
dari banyaknya cara memilih sejumlah (n - y) elemen yang berwarna hitam untuk
mengisi posisi (n - y) yang tersisa pada n-tuple merupakan banyaknya cara
memilih (n - y) elemen yang berwarna hitam dari kemungkinan (N - r) atau .
/.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Banyaknya titik sampel pada kejadian numerik Y=y merupakan jumlahan
banyaknya cara mengkombinasikan sebuah himpunan yang terdiri dari sejumlah y
elemen yang berwarna merah dan sejumlah (n-y) elemen yang berwarna hitam.
Dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh . / .
/. Penjumlahan dari
probabilitas-probabilitas dari titik sampel pada kejadian numerik Y=y
(mengalikan banyaknya titik-titik sampel dengan probabilitas untuk masing-
masing titik sampel) menghasilkan fungsi probabilitas hipergeometri.
Definisi 2.35
Sebuah variable acak Y dikatakan berditsribusi probabilitas hipergeometri jika
dan hanya jika
( ) . / .
/
( )
dengan y merupakan bilangan bulat 0, 1, 2, … , n, dengan batas
Seperti diketahui ( )= 0 jika b > a, hal ini dengan jelas menunjukkan
bahwa p(y) ≥ 0 pada probabilitas hipergeometrik. Fakta bahwa probabiltas
hipergeometri bila dijumlahkan akan bernilai 1 dapat dijelaskan sebagai berikut :
∑.
/ (
) (
)
Bukti :
Mengaplikasikan ekspansi Binomial pada masing-masing faktor pada persamaan
( ) ( ) ( ) diperoleh hasil sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
( ) (
) (
) (
)
(
) (
)
( ) (
) (
) (
)
(
) (
)
( ) (
) (
)
(
) (
)
(
)
Dengan membandingkan koefisien pada kedua sisi, diperoleh
( ) ( ) ( )
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
Akan diberikan bukti bahwa ( )(
) (
)(
) (
)(
) (
),
sebagai berikut :
Pandang koefisien dari ( ) . Dari teorema Binomial diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
( ) ∑ (
)
Sehingga koefisien adalah (
)
Di sisi lain,
( ) ( ) ( )
∑(
)
∑(
)
Agar diperoleh , haruslah , dan smeua pasangan k dan l yang
demikian akan memunculkan suku . Jadi koefisien -nya adalah
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
Dengan , , ,diperoleh
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
∑.
/ (
) (
)
Rata-rata dan variansi dari variabel acak yang berditribusi hipergeometrik dapat
diperoleh dari definisi 2.13 dan definisi 2.14.
p(y) dapat diinterpretasikan sebagai peluang keberhasilan y yang diambil dari
sejumlah n elemen secara acak dengan r adalah sukses dan N – r adalah yang
gagal.
Teorema 2.18
Misalkan Y adalah variable acak yang berdistribusi hipergeometrik, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
( )
( ) .
/ (
) (
)
Bukti :
Akan dibuktikan sifat dari koefisien Binomial. Diketahui bahwa
.
/
( )
dapat ditransformasi menjadi
.
/
( )
( ) ( ( ))
(
) (1)
Variansi dari X (Var(X)) ditunjukkan sebagai berikut :
( ) ∑(
)
( )(
)
( )
dengan mengekspansikan sisi kanan diperoleh
( ) ∑
( )(
)
( )
∑
( )(
)
( )
∑
( )(
)
( )
∑
( )( )
( ) merupakan nilai harapan dari distribusi hipergeometrik,
∑( )(
)
( ) jumlahannya bernilai 1 karena merupakan jumlah keseluruhan dari
semua kemungkinan pada distribusi. Sehingga diperoleh,
( )
∑
( )(
)
( )
∑
( )(
)
( )
Dengan mengaplikasikan persamaan (1) dan ( ) , diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
( )
∑
( )(
)(
)
(
)
∑
(
)(
)
(
)
Untuk , ∑( )(
)( )
( )
merupakan nilai harapan dari distribusi
hipergeometrik, diperoleh
( ) ( )( )
( )
∑( )(
)
( )
merupakan jumlahan keseluruhan probabilitas dari distribusi
hipergeometrik dan bernilai 1. Diperoleh,
( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ( ) )
( )
( )( )
( )
(
)
J. DISTRIBUSI CHI-SQUARE
Untuk membahas distribusi Chi Square, diberikan ilustrasi sebagai berikut:
Misalkan ada 100 bola (n=100) yang dihempaskan di dalam kotak-kotak dan
diketahui p1 = peluang bola masuk ke kotak 1 = 0.1. Berapa banyak bola yang
diduga akan masuk ke dalam kotak 1? Andaikan = banyaknya bola yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
masuk ke kotak 1, maka berdistribusi Binomial sehingga rata-rata (nilai
harapan) diperoleh sebagai berikut :
( ) ( )( )
Menurut distribusi Multinomial (Teorema 2.17), masing-masing dari ni
berdistribusi Binomial dengan parameter n dan pi dan nilai-nilai harapan yang
masuk ke dalam kotak i adalah
( )
Nilai-nilai dari diduga dengan nilai-nilai tertentu dan dikalkulasikan
nilai harapannya untuk masing-masing sel. Jika hipotesis ini benar, banyaknya
masing-masing kotak yang disimbolkan dengan tidak akan memberikan hasil
yang berbeda jauh dengan nilai harapan untuk i = 1,2,…, k.
Dengan kata lain, secara intuitif dapat digunakan statistik uji yang melibatkan
sejumlah k selisih.
( )
Karl Pearson mengajukan sebuah statistik uji, yang merupakan fungsi dari kuadrat
selisih banyaknya pengamatan ( ) dengan nilai-nilai harapannya.
∑, ( )-
( )
∑, -
Untuk n yang besar, mendekati distribusi probabilitas Chi-Square ( ).
Untuk kasus k =2, n2 = n – n1, dan p1 + p2 =1,
∑, ( )-
( )
, -
, -
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
, -
,( ) ( )-
( )
, -
, -
( )
( ) (
( ))
( )
( )
diperoleh ( )
√ ( ). Untuk n yang besar, Z mendekati distribusi normal
standar.
Teorema 2.19 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan , , … , merupakan variabel acak yang berdistribusi independen
dan identik dengan ( ) dan ( ) . Definisikan
∑
√
√
∑
Maka fungsi distribusi untuk konvergen ke fungsi distribusi Normal Standar
ketika . Diperoleh,
( ) ∫
√
Bukti :
Bukti dari teorema limit pusat dipandang dari fungsi pembangkit momen yang
dimiliki oleh variabel acak di dalam sebuah sampel sebagai berikut :
Tuliskan :
√ (
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
√ (∑
)
√ ∑
Karena variabel acak berdistribusi independen dan identik,
juga berdistribusi independen dan identik dengan E( ) dan V( )
Fungsi pembangkit momen dari jumlahan variabel acak independen merupakan
hasil kali masing-masing fungsi pembangkit momen dapat ditunjukkan sebagai
berikut :
∑ ( )
( ) ( )
( ) [ ( )]
dan
( ) ∑
(
√ ) [
(
√ )]
Menggunakan teorema Taylor
( )
( ) ( )
( )
dan karena ( ) ( ) ( ) dan
( ) ( )
( )
( )
Diperoleh,
( ) *
( )
(
√ )
+
*
( )
+
√
Perhatikan bahwa ketika , , ( )
2/2
( ) 2
/2.
( ) 2
/2 ( ) 2
/2 = 2/2 karena (
) ( ) .
Jika,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
(
)
Akhirnya,
( )
*
( )
+
( )
Persamaan (2) merupakan fungsi pembangkit momen untuk sebuah variabel acak
normal standar. Menggunakan Teorema 2.23, dapat disimpulkan bahwa
memiliki fungsi distribusi yang konvergen ke fungsi distribusi normal standar.
Z mendekati distribusi normal standarakan ditunjukkan sebagai berikut :
misalkan Y merupakan banyaknya sukses dari n percobaan, sebagai jumlahan dari
sampel yang terdiri dari 0 dan 1, yaitu
∑
dengan
{
Variabel acak untuk adalah bebas (karena percobaan-
percobaannya bebas) dan diperoleh ( ) dan ( ) ( ) untuk
. Ketika n besar,
∑
berdistribusi normal dengan rata-rata ( ) dan variansi ( )
( )
Menurut Teorema 2.19 (Teorema Limit Pusat) jika Y merupakan variabel acak
binomial dengan parameter n dan p, dan jika n besar, maka Y/n mendekati
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
distribusi yang sama dengan U, dengan U berdistribusi normal dengan rata-rata
dan variansi
( )
Secara ekuivalen untuk n yang besar, Y
memiliki distribusi yang sama dengan W, dengan W berdistribusi normal dengan
rata-rata dan variansi ( )
Untuk menunjukkan bahwa berdistribusi Chi-Square diperlukan Teorema 2.20
sebagai berikut :
Teorema 2.20
Misalkan , , … , merupakan sampel acak dengan ukuran n yang
berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi . Maka
merupakan variabel acak normal standar yang independen dengan i = 1, 2, … , n
dan
∑ ∑(
)
berdistribusi Chi Square ( ) dengen derajat bebeas n.
Bukti :
Karena , , … , merupakan sampel acak yang berdistribusi normal dengan
rata-rata dan variansi .
berdistribusi normal standar untuk i = 1,
2,…, n. variabel acak dari bersifat independen karena variabel acak dari juga
independen untuk i = 1, 2, …, n. Fakta bahwa ∑
berdistribusi Chi-Square
( ) dengan n derajat bebas ditunjukkan sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Andaikan berdistribusi normal dengan rata-rata i dan variansi i,
berdistribusi normal standar dengan rata-rata 0 dan variansi 1. Dengan
menggunakan metode Fungsi Pembangkit Momen diperoleh bahwa merupakan
variabel acak yang berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 1. Demikian,
( ) ( )
diperoleh ∑
,
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Persamaan (3) merupakan FPM dari distribusi Chi-Square dengen derajat bebas 1.
Sehingga menurut Teorema Ketunggalan (Teorema 2.23), V berdistribusi Chi-
Square dengan derajat bebas n.
Diperoleh, kuadrat dari sebuah variabel acak normal standar berdistribusi
Chi-Square, maka untuk k=2 dan untuk n yang besar, mendekati distribusi Chi-
Square dengan derajat kebebasan 1.
K. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN (FPM)
Parameter rata-rata dan standar deviasi merupakan ukuran deskriptif
numerik yang cukup penting karena mendeskripsikan hubungan yang luas dengan
variabel acak Y. Kedua parameter tersebut tidak memberikan karakterisasi yang
unik dari Y karena banyak distribusi berbeda dapat menghasilkan rata-rata dan
standar deviasi yang sama. Ukuran deskriptif numerik yang dibahas akan
menentukan p(y).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Definisi 2.36
Momen ke-k dari sebuah variable acak Y didefinisikan sebagai ( ) dan
dinotasikan sebagai .
Definisi 2.37
Nilai harapan dari momen ke-k dari sebuah variabel acak Y didefinisikan sebagai:
,( )
Dinotasikan sebagai .
Definisi 2.38
Fungsi pembangkit momen m(t) dari sebuah variabel acak Y didefinisikan sebagai
berikut:
( ) ( )
Fungsi pembangkit momen dari Y ada jika terdapat sebuah konstanta b yang
positif sehingga m(t) berhingga untuk| | . ( )disebut fungsi pembangkit
momen, melalui ekspansi baris dari , diperoleh
( )
( )
( )
Asumsikan berhingga untuk k = 1, 2, 3, …, diperoleh
( ) ∑ ( ) ∑* ( )
( )
( )
+ ( )
∑ ( )
∑ ( )
∑ ( )
∑ ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Argumen di atas melibatkan pertukaran penjumlahan yang hanya diperoleh jika
m(t) ada. ( ) merupakan fungsi dari semua momen .
merupakan koefisien dari pada ekspansi baris dari m(t).
Teorema 2.21
Jika m(t) ada, maka untuk sebarang bilangan bulat positif k,
( )
+
( )( )
Dengan kata lain, jika terdapat turunan ke-k dari m(t) terhadap t dan pada t = 0,
hasilnya akan menjadi .
Bukti :
( )
atau ( )( ), merupakan turunan ke-k dari m(t) terhadap t. Karena
( ) ( )
diperoleh
( )( )
( )( )
Secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
( )( )
Ketika t = 0 untuk masing-masing turunan di atas, diperoleh
( )( ) ( )
Secara umum dapat ditulis,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
( )( )
Operasi-operasi di atas memuat turunan dan penjumlahan tak berhingga yang
hanya dapat dioperasikan jika m(t) ada.
Teorema 2.22
Misalkan X merupakan variabel acak dengan momen . Misalkan dan
merupakan variabel acak dengan fungsi pembangkit momen ( )dan
( )
yang konvergen ketika | | Maka,
( )
( ) ( )
Secara umum, jika , , … , merupakan variabel acak yang independen
dengan fungsi pembangkit momen ( ) yang konvergen ketika | | , maka
( )
( ) ( )
( )
Jika semua variabel-variabel acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama
misal ( ), maka sisi kanan akan menjadi ( ) .
Bukti :
Bukti dari teorema di atas merujuk pada fakta bahwa nilai harapan dari variabel
acak yang independen merupakan hasil kali nilai-nilai harapan. Jika dan
saling bebas, maka dan juga bebas (untuk suatu t). Diperoleh,
( ) [ ( )]
, -
, - , - ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Teorema 2.23 (Teorema Ketunggalan)
Misalkan X dan Y merupakan variabel acak diskrit yang terdiri dari bilangan bulat
positif tak nol dengan fungsi pembangkit momen MX(t) dan MY(t), masing-
masing konvergen untuk |t| < δ. Maka X dan Y memiliki distribusi yang sama jika
dan hanya jika MX(t) = MY(t) untuk |t| < δ.
Dengan kata lain, distribusi probabilitas diskrit secara “unik” ditentukan oleh
fungsi pembangkit momennya (bila konvergen).
Bukti :
Jika X dan Y memiliki distribusi yang sama maka secara trivial jelas bahwa MX(t)
= MY(t). Untuk bukti arah sebaliknya, akan dibuktikan sebagai berikut :
Jika X dan Y merupakan bilangan berhingga yang tak nol. Misalkan X bernilai tak
nol 0 ≤ < < … < dengan probabilitas positif , … , dan misalkan Y
bernilai tak nol 0 ≤ < < … < dengan probabilitas positif , … , .
Diketahui bahwa fungsi pembangkit momen keduanya sama, berdasarkan teorema
2.19 semua momen bernilai sama seperti ditunjukkan sebagai berikut :
( )
( )
L. UJI HIPOTESIS
Pengujian hipotesis merupakan bagian dari metode ilmiah. Ilmuwan
mengobservasi alam, membuat teori dan menguji teori tersebut berdasarkan hasil
pengamatan. Dalam konteks pengujian hipotesis, Ilmuan membuat sebuah
hipotesis yang berhubungan dengan satu atau lebih parameter populasi, kemudian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
mengambil sampel dari populasi dan membandingkan pengamatannya dengan
hipotesis. Jika pengamatan berbeda dengan hipotesis, maka hipotesis ditolak.
Pengujian hipotesis dilakukan pada teori-teori yang diuji terhadap pengamatan.
Sebagai contoh, misalkan ada seorang kandidat politik, Jones, yang
mengklaim bahwa dia akan memenangkan lebih dari 50 % suara pada pemilihan
walikota dan keluar sebagai pemenang. Jika klaim Jones diragukan, harus
ditunjukkan bahwa Jones tidak dipilih oleh lebih dari 50 % pemilih. Hipotesis
yang mendukung hal ini disebut hipotesis alternatif, yang diperoleh dengan
menunjukkan bahwa kebalikan dari hipotesis alternatif, yang disebut dengan
hipotesis nol, salah.Yang diperhatikan adalah hipotesis alternatif yaitu yang
menyatakan bahwa klaim Jones salah, probabilitas memilih pendukung Jones
kurang dari 0,5, disimbolkan dengan p. Jika dapat ditunjukkan bahwa hipotesis
nol p = 0,5 ditolak ,maka tujuan penelitian telah diperoleh.
Elemen-elemen dari sebuah uji hipotesis statistik adalah
1. Hipotesis nol ( ), merupakan hipotesis yang akan diuji.
2. Hipotesis alternatif ( ), merupakan hipotesis yang akan diterima jika
ditolak.
3. Statistik uji, merupakan fungsi dari ukuran sampel yang akan menjadi
dasar dari keputusan statistik.
4. Daerah penolakan, yang dinotasikan dengan RR, menspefisikasikan nilai
dari statistik uji yang akan digunakan untuk mengevaluasi hipotesis nol.
Jika nilai dari statistik uji terletak pada daerah penolakan RR, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima. Jika nilai dari
statistik uji tidak terletak pada RR, diterima.
Definisi 2.39
Kesalahan tipe I terjadi jika ditolak ketika benar. Probabilitas dari
kesalahan tipe I dinotasikan dengan α. Nilai dari α disebut level dari pengujian.
Kesalahan tipe II terjadi jika diterima ketika salah. Probabilitas dari
kesalahan tipe II dinotasikan dengan β.
M. P-value
P-value atau level signifikansi merupakan probabilitas α dari sebuah
pengujian hipotesis. Seringkali nilai α yang kecil yang lebih disarankan. Seorang
penguji dapat memilih nilai untuk mengimplementasikan pengujiannya,
sedangkan penguji yang lain dapat memilih nilai . Hal ini mungkin
terjadi, misalkan ada dua orang yang menganalisis data yang sama dan sampai
pada kesimpulan yang berbeda. Orang pertama menyimpulkan bahwa hipotesis
nol ditolak pada level signifikansi , sedangkan orang kedua memutuskan
bahwa hipotesis nol diterima pada level signifikansi . Nilai
atau yang sering digunakan dalam sebuah pengujian.
Definisi 2.40
Jika W merupakan sebuah statistik uji, P-value, atau level signifikansi
merupakan level terkecil dari signifikansi yang mengindikasikan bahwa
hipotesis nol ditolak berdasarkan data yang diamati.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Semakin kecil nilai p-value, semakin kuat bukti bahwa hipotesis nol
ditolak. Jika nilai P-value terlalu kecil untuk meyakinkan, maka sebaiknya
hipotesis nol ditolak. P-value merupakan nilai terkecil dari yang dapat menolak
hipotesis nol. Jika nilai yang diinginkan lebih besar atau sama dengan p-value,
hipotesis nol ditolak untuk nilai tersebut. Hipotesis nol seharusnya ditolak untuk
sebarang nilai yang turun sampai dan termasuk dengan p-value. Dengan kata
lain, jika lebih kecil dari p-value, hipotesis nol tidak dapat ditolak.
Contoh perhitungan P-value akan ditunjukkan dengan Contoh 2.7 sebagai berikut:
Contoh 2.7
Diketahui terdapat sampel yang terdiri dari sejumlah n = 15 pemilih. Akan diuji
melawan . Dengan Y merupakan banyaknya pemilih yang
memilih Jones, Y merupakan statistik uji. Bagaimana nilai p-value jika Y = 3?
Interpretasikan hasilnya.
Penyelesaian :
Telah disebutkan bahwa seharusnya ditolak untuk nilai yang kecil dari Y. P-
value untuk pengujian ini adalah * +, dengan Y merupakan distribusi
Binomial dengan n = 15 dan p = 0,5 (daerah yang diarsir ditunjukkan pada
gambar 1). Menggunakan tabel 1, Appendix 3, nilai p-value adalah 0.018.
Karena p-value = 0.018 merepresentasikan nilai terkecil untuk α yang
mengakibatkan hipotesis nol ditolak, seorang penguji yang menspesifikasikan
sebarang nilai untuk α dengan akan menuntun pada penolakan dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
kesimpulan bahwa Jones tidak memiliki suara terbanyak dalam pemilihan. Jika
seorang penguji memilih nilai , hipotesis nol tidak dapat ditolak.
Gambar 2.1
Contoh di atas mengilustrasikan bahwa penyebutan nilai p-value sangat
bermanfaat ketika uji statistik yang sesuai merupakan distribusi diskrit.
Jika ingin menolak hipotesis nol untuk nilai yang kecil dari sebuah
statistik uji W, simbolkan dengan * +, p-value yang berasosiasi dengan
nilai pengamatan dari W diberikan sebagai berikut:
( )
Secara analog, jika ingin menolak hipotesis nol untuk nilai W yang besar,
simbolkan dengan * +, p-value yang berasosiasi dengan nilai
pengamatan dari W diberikan sebagai berikut:
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
BAB III
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI MULTINOMIAL,
UJI CHI-SQUARE PEARSON DAN UJI EKSAK F
A. Penduga Parameter dengan Metode Penduga Kemungkinan Maksimum
Andaikan fungsi kemungkinan bergantung pada k parameter yaitu ,
,… , . Pilihlah yang menduga nilai-nilai dari parameter tersebut yang
memaksimalkan kemungkinkan
| ) Untuk meyakinkan
fakta bahwa fungsi kemungkinan merupakan fungsi dari parameter-parameter ,
,… , , fungsi kemungkinan sering ditulis sebagai ). Umumnya,
fungsi tersebut sering disebut sebagai Penduga Kemungkinan Maksimum atau
disingkat PKM. Metode ini akan ditunjukkan lewat contoh 3.1 sebagai berikut :
Contoh 3.1.
Percobaan binomial terdiri dari sejumlah n percobaan yang dihasilkan pada
pengamatan , ,… , , dengan jika percobaan ke-i sukses dan
jika sebaliknya. Tentukan PKM dari p, dengan p merupakan peluang sukses.
Jawab :
Kemungkinan dari sampel yang diamati merupakan peluang dari pengamatan ,
,… , . Diperoleh,
) | ) ) ∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Akan dicari nilai dari p yang memaksimumkan L(p). Jika , ) )
dan L(p) bernilai maksimum untuk p = 0. Secara analog, jika , )
dan L(p) bernilai maksimum untuk p = 1. Jika , maka )
) bernilai 0 untuk p = 0 dan p = 1, dan kontinu untuk .
Untuk , nilai dari p yang memaksimumkan L(p) dapat diperoleh
dengan menyelesaikan p pada ) .
) merupakan fungsi naik monoton dari ) ) dan )
keduanya bernilai maksimum pada nilai p yang sama.
[ )] [ ) ] ) )
[ )]
(
) ) (
)
Untuk , nilai dari p yang memaksimumkan (atau
meminimumkan) [ )] merupakan solusi dari persamaan
) )
Karena L(p) bernilai maksimum untuk p = 0 ketika y = 0, untuk p = 1 ketika y = n
dan untuk ketika , berapapun nilai pengamatan dari y,
L(p) bernilai maksimum untuk .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
B. Penduga Parameter Distribusi Multinomial
Pendugaan frekuensi populasi dari data yang dikumpulkan dapat dilakukan
dengan menggunakan metode Penduga Kemungkinan Maksimum. Sebagai
contoh, jika terdapat sampel acak dari genotip untuk sebuah populasi, sampel ini
berdistribusi Multinomial karena masing-masing individu memiliki sejumlah
kemungkinan genotip, dan masing-masing individu juga bersifat independen
dalam sampel acak tersebut. Hal ini juga berlaku untuk sampel dari alel. Penduga
Kemungkinan Maksimum akan diperoleh dengan terlebih dahulu memperhatikan
distribusi Multinomial.
Misalkan terdapat ), dengan
∑ dan ∑
dan )
∏
. Parameter
tidak diketahui dan akan diduga. Harus diperhatikan bahwa hanya
terdapat parameter, sehingga dapat ditulis sebagai fungsi dari yang
lainnya, yaitu
Akan dicari Penduga Kemungkinan Maksimum untuk Karena
terdapat parameter untuk diduga, fungsi kemungkinan merupakan fungsi
dari variabel, tidak hanya 1, jadi terdapat variabel yang harus dicari
turunannya. Berikut merupakan notasi dari fungsi probabilitas bersama dari fungsi
kemungkinan :
)
∏
)
) (∏ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
)
)
Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas
adalah dengan menggunakan teknik perkalian Lagrange. Teknik ini dapat
digunakan jika ada batasan untuk parameter, pada kasus ini pembatasnya adalah
∑ Pembatas kemudian dikalikan dengan λ dan ditambahkan ke
persamaan log sebelum dicari turunannya.
) ∑
∑ )
diperoleh
Untuk menyelesaikan k persamaan di atas, k persamaan tersebut dapat
dijumlahkan dan diperoleh
∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
sisi kiri persamaan ini adalah n, dan sisi kanannya adalah Diperoleh yang
dapat dimasukkan kembali pada n persamaan sebelumnya. Diperoleh penduga
sebagai berikut :
Penduga Kemungkinan Maksimum untuk parameter-parameter probabilitas
merupakan proporsi sampel dari individu. Dengan memperhatikan penduga
diperoleh
)
)
merupakan penduga tak bias untuk .
C. Penduga Kemungkinan Maksimum Lokus yang Tidak Memenuhi HWE
Bila 2 alel lokus tidak memenuhi kesetimbangan Hardy-Weinberg, cara
umum untuk memodelkan frekuensi genotip yang juga menunjukkan seberapa
besar penyimpangannya terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg adalah sebagai
berikut
)
) )
) )
Parameter f merupakan ukuran seberapa jauh penyimpangan lokus tersebut dari
kesetimbangan Hardy-Weinberg. Jika f = 0, proporsi di atas memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
kesetimbangan Hardy-Weinberg. Nilai lain dari f memberikan frekuensi genotip
yang berbeda dari frekuensi yang akan diduga terhadap kesetimbangan Hardy-
Weinberg.
Pada model Multinomial, terdapat 2 parameter yang tak diketahui yaitu
dan f. Model tersebut adalah
) [ ) ) )
) ) ]
Fungsi kemungkinan diperoleh sebagai berikut :
)
[
) ]
[ ) )] [ )
) ]
) ) [ ) ]
) ) ) [ ) ]
Mendiferensialkan terhadap dan f, diperoleh
)
)
)
)
)
)
)
dengan membuat kedua persamaan di atas sama dengan nol dan menyelesaikan
sistem dari dua persamaan di atas untuk kedua parameter dan f diperoleh
) ) (1)
) (2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Penduga untuk merupakan pendugaan perhitungan gen seperti persamaan (2).
Jika jumlah heterozigot lebih banyak dibandingkan dengan dugaan terhadap
kesetimbangan Hardy-Weinberg, sebagai contoh, jika jumlah genotip
, maka penduga dari f (persamaan (1)) akan menjadi negatif, jika
sebaliknya akan menjadi positif. Penyebut merupakan hasi dari perhitungan alel.
Contoh 3.2 :
Grup gen darah yang lain pada manusia selain sistem ABO adalah golongan darah
MN. Golongan darah ini terdiri dari 2 alel yaitu alel M dan alel N, dan merupakan
kodominan, yang berarti bahwa dengan mengobservasi fenotip dapat
memungkinkan untuk mengetahui genotip. Dengan kata lain, seseorang dengan
tipe darah MN bergenotip MM, MN, atau NN.
Jawab :
Perhatikan data yang ditunjukkan oleh Crow (1986). 208 sampel dari populasi
manusia di Bedouins, diperoleh fenotip sebagai berikut :
Fenotip Genotip Jumlah
M MM 119
MN MN 76
N NN 13
Dengan menggunakan model Multinomial yang memuat parameter f, akan diduga
f untuk populasi tersebut. Dengan menggunakan Penduga Kemungkinan
Maksimum (persamaan (2)), diperoleh :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
)[ ) ]
dan
) ) )
[ ) ][ ) ]
Penduga dari dan merupakan pendugaan perhitungan gen. Penduga dari f
cukup mendekati 0, menunjukkan bahwa frekuensi genotip tidak terlalu jauh
menyimpang dari proporsi Hardy-Weinberg.
D. Lokus dengan Lebih dari Dua Alel
Pengujian terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg pada lebih dari dua
alel memiliki konsep yang sama dengan pengujian terhadap dua alel, tetapi
notasinya berbeda karena terdapat lebih banyak alel dan genotip, Sebagai contoh,
jika terdapat 3 alel, yaitu , dan , hipotesis nol akan menjadi
(
) ( )
( )
(
)
Pengujian terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg untuk lebih dari dua alel
mengikuti proses pengujian untuk dua alel, yaitu sebagai berikut :
1. Menghitung frekuensi alel yang tidak diketahui
2. Bandingan frekuensi pengamatan dan frekuensi dugaan dengan
menggunakan statistik uji Chi-Sqaure.
Derajat bebas untuk statistik uji Chi-Square adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
E. UJI CHI-SQUARE PEARSON
1. Uji Chi-Square
Perhitungan dengan menggunakan distribusi Multinomial kurang praktis,
hal ini mengakibatkan terdapat kesulitan untuk menghitung nilai eksak dari level
signifikansi (probabilitas dari kesalahan tipe I) untuk hipotesis mengenai nilai-
nilai dari . Seorang statistikawan Inggris yang bernama Karl Pearson
menemukan sebuah statistik uji yang sangat berguna untuk pengujian hipotesis
tentang dan memberikan pendekatan distribusi sampling dari statistik
ini. Uji Chi-Square menggunakan data diskrit dengan pendekatan distribusi
kontinu. Untuk menjamin pendekatan yang baik, maka digunakan aturan dasar
yaitu frekuensi harapan tidak boleh terlalu kecil.
Uji Chi-Square Pearson dilakukan dengan menjumlahkan selisih nilai
pengamatan dengan nilai harapan kuadrat terhadap nilai ekspektasi untuk mencari
nilai p atau membandingkan nilai tersebut dengan nilai pada tabel distribusi
dengan derajat kebebasan tertentu. Uji Chi-Square hanya digunakan untuk
menguji apa dua kejadian saling bebas atau tidak
2. Uji Kesesuaian Chi-Square Pearson (Goodness of fit test)
Uji kesesuaian Chi-Square sering juga disebut Uji Chi-Square untuk
sampel yang sederhana.
Hipotesis yang diuji dengan Uji Kesesuaian Chi-Square adalah untuk
melihat ada atau tidaknya perbedaan antara frekuensi pengamatan dari sejumlah k
sel dengan frekuensi harapannya. Frekuensi harapan dari sebuah sel diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
dengan menggunakan teori probabilitas tentang variabel tersebut. Jika hasil dari
Uji Kesesuaian Chi-Square adalah signifikan, dapat disimpulkan bahwa di dalam
populasi yang direpresentasikan oleh sejumlah sampel ada kemungkinan bahwa
terdapat sekurang-kurangnya satu dari sejumlah k frekuensi pengamatan yang
tidak memiliki nilai yang sama dengan frekuensi harapan dari sel tersebut.
Semakin besar nilai n, semakin akurat pendekatan Chi-Square dari distribusi
binomial dan Multinomial.
Uji Kesesuaian Chi-Square didasarkan pada beberapa asumsi sebagai
berikut :
a. Data berupa data kategorial atau nominal.
Data uji memuat frekuensi untuk k kategori.
b. Data merupakan sampel acak dari sejumlah n pengamatan yang
independen. Masing-masing pengamatan hanya dapat direpresentasikan
satu kali di dalam data.
c. Frekuensi harapan dari masing-masing sel berjumlah minimal 5.
Sejumlah n obyek pengamatan yang secara acak dipilih dari sebuah populasi yang
terdiri dari sejumlah N obyek pengamatan dikategorikan ke dalam satu dari k
kategori. Data-data tersebut dibuat dalam bentuk tabel yang terdiri dari sejumlah k
sel, dengan masing-masing sel merepresentasikan satu dari k kategori. Tabel 1
merupakan model umum dari Uji Kesesuaian Chi-Square.
Tabel 3.1
Sel/kategori Jumlahan total pengamatan
Frekuensi pengamatan n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
dengan merupakan sel/kategori ke – i
merupakan banyaknya pengamatan pada sel ke – i
Frekuensi dugaan dari masing-masing sel pada contoh 3.3 dihitung dengan
mengalikan jumlahan total dari probabilitas pengamatan pada sel
tersebut.Persamaan (1) menunjukkan perhitungan dari frekuensi harapan.
) ) )
dengan, n merupakan jumlahan total dari pengamatan
menunjukkan probabilitas dari sebuah pengamatan pada sel ke-i
Probabilitas untuk masing-masing kemungkinan keluaran (dilambangankan
dengan phi, yang merupakan huruf Yunani untuk pi) dapat dikomputasikan
sebagai berikut :
dengan,
r merupakan banyaknya keluaran yang membuat sebuah
pengamatan menjadi suatu pengamatan yang spesifik.
k menunjukkan jumlahan dari semua kemungkinan keluaran pada
setiap percobaan.
Perhitungan untuk uji kesesuaian Chi-Square menunjukkan bahwa frekuensi sel
yang diamati dan diduga diperhatikan anatara satu dan lainnya. Untuk menghitung
frekuensi dugaan dari sebuah sel harus memenuhi satu dari beberapa hal sebagai
berikut :
a. Menggunakan teori probabillitas yang bersesuaian untuk pengujian model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
b. Menggunakan probabilitas yang didasarkan pada data empiris yang telah
tersedia.
Setelah menentukan frekuensi dugaan dari sel, persamaan (4) digunakan
untuk menghitung statistik uji untuk uji kesesuaian Chi- Square.
∑ [ )
]
)
3. Uji Hipotesis
Untuk merujuk pada hipotesis nol dan hipotesis alternatif, omicron (o)
mereperesentasikan frekuensi pengamatan dari sebuah sel pada suatu populasi,
dan epsilon ( ) merepresentasikan frekuensi harapan dari sel di dalam populasi. o
dan E merepresentasikan frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan dari sel ke-
i pada populasi yang diamati. Dengan merujuk pada frekuensi pengamatan dan
fekuensi harapan untuk data sampel, notasi digunakan untuk merepresentasikan
frekuensi pengamatan dari sebuah sel dan merepresentasikan frekuensi harapan
dari sebuah sel.
Hipotesis nol : = untuk semua sel
(pada populasi yang direpresentasikan oleh sampel, untuk masing-masing dari
sejumlah k sel, frekuensi pengamatan dari sebuah sel memiliki nilai yang sama
dengan frekuensi harapan dari sel tersebut. Dengan mengacu pada data sampel,
hal ini mengacu pada prediksi untuk sejumlah k sel )
Hipotesis Alternatif : ≠ untuk sekurang-kurangnya satu sel
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
(pada populasi yang direpresentasikan oleh sampel, setidaknya satu dari sejumlah
k sel frekuensi pengamatan dari sebuah sel tidak bernilai sama dengan frekuensi
dugaan sel tersebut. Dengan melihat pada data sampel, hal ini merujuk pada
prediksi bahwa setidaknya terdapat satu sel dengan ≠ . Menurut hipotesis
alternatif penolakan terhadap tidak hanya terjadi jika terdapat sebuah
perbedaan di antara frekuensi harapan dan frekuensi pengamatan dari sejumlah k
sel. Penolakan terhadap Ho bisa merupakan hasil dari perbedaan antara frekuensi
dugaan dan frekuensi pengamatan dari satu sel, dua sel, … , sejumlah sel
atau sejumlah k sel.)
Langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut :
a. Menentukan hipotesis nol .
b. Menentukan hipotesis alternatif .
c. Menentukan α.
d. Menentukan statistika uji.
e. Menentukan daerah kritis (daerah penolakan ).
f. Perhitungan (melakukan perhitungan terhadap statistik uji dan
membandingkan dengan daerah kritis).
g. Kesimpulan.
4. Perhitungan Statistik Uji
Komputasi pengujian dari Uji Kesesuaian Chi-Square akan ditunjukkan
lewat contoh sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Contoh 3.3:
Seorang pustawakan ingin melihat kesamaan probabilitasseseorang akan
mengambil sebuah buku dari perpustakaan pada masing-masing hari selama 6 hari
dalam seminggu (asumsikan perpustakaan tersebut tutup pada hari Minggu). Dia
mencatat jumlah buku yang dipinjam dalam seminggu dan memperoleh frekuensi
sebagai berikut : Senin 20, Selasa 14, Rabu 18, Kamis 17, Jumat 22, dan Sabtu 29.
Asumsikan tidak diperbolehkan meminjam lebih dari satu buku dalam seminggu.
Apakah data ini mengindikasikan bahwa terdapat perbedaan yang berhubungan
dengan jumlah buku yang dipinjam pada hari yang berbeda?
Jawab :
Langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut :
a. Hipotesis nol ) : tidak ada perbedaan antara frekuensi pengamatan
dan frekuensi harapan dalam populasi.
b. Hipotesis alternatif : terdapat perbedaan antara frekuensi pengamatan
dan frekuensi harapan dalam populasi.
c. α = 0.05
d. Statistik uji :
∑ [ )
]
e. Daerah kritis (daerah penolakan ) :
Hipotesis nol ) ditolak jika >
f. Perhitungan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Pada contoh 3.3 yaitu seseorang akan membawa satu buku dari
perpustakaan pada masing-masing hari selama enam hari dalam satu
minggu (asumsikan hari minggu perpustakaan tutup), dapat diprediksi
bahwa pada masing-masing hari dalam seminggu, probabilitas buku yang
diambil adalah 1/6,
. Jumlahan dari sejumlah k kemungkinan
haruslah bernilai satu, dalam kasus ini karena nilai 1/6 dijumahkan
sebanyak enam kali makan akan berjumlah 1. ∑ . jumlahan total
dari pengamatan yaitu n = 120, frekuensi dugaan dari masing-masing sel
dapat dihitung sebagai berikut : = (120)(1/6) = 20.
Pada tabel 3.2, frekuensi pengamatan dari masing-masing sel ( ) ditulis
pada kolom 2 dan frekuensi harapan dari masing-masing sel ( ) ditulis
pada kolom 3.
Persamaan (4) menunjukkan beberapa hal sebagai berikut :
a. Frekuensi harapan dari masing-masing sel diperoleh dari frekuensi
pengamatan dari sel tersebut. (tabel 3.2 kolom 4)
b. Untuk masing-masing sel, selisih antara frekuensi pengamatan dan
frekuensi harapan dikuadratkan. (kolom 5 tabel 3.2)
c. Untuk masing-masing sel, selisih kuadrat antara frekuensi pengamatan dan
fekuensi harapan dibagi dengan fekuensi dugaan dari sel tersebut. (kolom
6 tabel 3.2)
d. Nilai dari Chi-Square dihitung dengan menjumlahkan semua nilai pada
kolom 6. Pada contoh 3.2, persamaan (4) menunjukkan nilai dari = 6.7.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Tabel 3.2
Sel ( – ) ( – )2
)
1/Senin 20 20 0 0 0
2/Selasa 14 20 -6 36 1.8
3/Rabu 18 20 -2 4 0.2
4/Kamis 17 20 -3 9 0.45
5/Jumat 22 20 2 4 0.2
6/Sabtu 29 20 9 81 4.05
Jumlah 120 120 0 = 6.7
Tabel kritis nilai Chi Square 0.05 untuk df = 5 adalah
g. Kesimpulan.
= 6.7 < , maka Hipotesis nol ) ditolak. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa terdapat perbedaan antara frekuensi pengamatan dan
frekuensi harapan.
F. UJI EKSAK FISHER
Uji Chi-Square hanya digunakan jika tidak ada frekuensi harapan yang
kurang dari 1. Uji Chi-Square digunakan jika tidak lebih dari 20 % dari sel yang
memiliki frekuensi harapan kurang dari 5 (David J. Sheskin. 2000:361). Jika hal-
hal tersebut tidak terpenuhi, maka digunakan Uji Eksak Fisher.
Uji Eksak Fisher merupakan statistik uji yang digunakan dalam
menganalisa tabel kontingensi. Uji Eksak Fisher lebih bersifat eksak, sedangkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
uji Chi-Square lebih bersifat pendekatan. Ronald Fisher, seorang biolog dan
statistikawan, yang menemukan uji ini. Uji Eksak Fisher digunakan untuk
menganalisa sampel yang independen. Himpunan data ini sering disebut tabel
kontingensi R x C, dengan R merupakan banyaknya baris dan C merupakan
banyaknya kolom. Uji Eksak Fisher lebih akurat daripada uji Chi-Square untuk
banyaknya frekuensi harapan yang kecil.
Secara umum, uji Eksak Fisher sering digunakan untuk tabel kontingensi 2
x 2. Uji ini digunakan untuk data kategorikal yang merupakan hasil dari
klasifikasi obyek ke dalam dua kelompok yang saling bebas. Uji Eksak Fisher
digunakan untuk memeriksa signifikansi dari asosiasi (kontingensi) antara dua
jenis klasifikasi. Fisher mengemukakan bahwa uji ini menuntun pada hipotesis nol
tentang independensi antar variabel pada distribusi hipergeometrik dari frekuensi-
frekuensi di dalam tabel kontingensi. Distribusi Hipergeometrik digunakan untuk
menghitung probabilitas data observasi dan semua himpunan data terhadap
hipotesis nol bahwa memiliki proporsi yang sama.
Uji Fisher Eksak menghitung probabilitas eksak dari tabel dengan
frekuensi sel observasi memenuhi asumsi sebagai berikut :
1. Hipotesis nol tentang independensi dipenuhi,
2. Jumlah marginal dianggap tetap.
Argumentasi Uji Eksak Fisher akan ditunjukkan melalui contoh sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Contoh 3.4:
Seorang peneliti melakukan sebuah studi untuk mengevalusi efek dari kondisi
bising terhadap perilaku altruistik. Terdapat 12 subyek yang berpartisipasi dalam
studi ini.Kedua belas subyek tersebut dipilih secara acak untuk dikelompokkan ke
dalam dua kondisi percobaan. Kelompok 1 yang terdiri dari 6 subyek diberikan
percobaan dalam kondisi bising, sedangkan Kelompok 2 yang terdiri dari 6
subyek diberikan percobaan tetapi tidak dalam kondisi bising. Setelah percobaan
yang berlangsung selama 1 jam, seorang lelaki meminta mereka untuk membantu
dia membawa barang bawannya menuju mobilnya. Tercatat 1 dari 6 subyek pada
Kelompok 1 memilih untuk menolong lelaki tersebut, dan 5 dari 6subyekpada
Kelompok 2 memilih untuk menolong lelaki tersebut. Apakah data tersebut
mengindikasikan bahwa kondisi bising berpengaruh terhadap perilaku altruistik?
Jawab :
Data dari contoh di atas dapat diringkas ke dalam bentuk tabel kontingensi 2 x 2
yang ditunjukkan pada tabel 3.3 sebagai berikut :
Tabel 3.3
Kelompok Pilihan Tindakan
Jumlah Menolong Tidak menolong
Kelompok 1 1 5 6
Kelompok 2 5 1 6
Jumlah 6 6 12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Y = banyaknya subyek yang menolong dalam keadaan bising, menurut Y
berdistribusi hipergeometrik sehingga probabilitas Y=1 dapat dihitung sebagai
berikut :
) ) ( )(
)
( )
Atau ekuivalen dengan
)
) merupakan probabilitas satu orang menolong dalam kondisi bising
dari himpunan frekuensi pengamatan pada Tabel 1. Akan dilakukan perhitungan
terhadap tujuh kemungkinan keluaran dari frekuensi sel-sel pengamatan untuk
N=12 dan jumlahan marginal= 6. Ketujuh kemungkinan keluaran ini
merepresentasikan semua kemungkinan keluaran untuk frekuensi-frekuensi sel
jika total marginal dari masing-masing baris dan kolom berjumlah enam. Tujuh
kemungkinan keluaran dari frekuensi sel-sel pengamatan ditunjukkan sebagai
berikut :
Tabel 3.4: Keluaran 1
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 0 6 6
Baris 2 6 0 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Tabel 3.5: Keluaran 2
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 1 5 6
Baris 2 5 1 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
Tabel 3.6: Keluaran 3
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 2 4 6
Baris 2 4 2 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
Tabel 3.7: Keluaran 4
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 3 3 6
Baris 2 3 3 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Tabel 3.8: Keluaran 5
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 4 2 6
Baris 2 2 4 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
Tabel 3.9: Keluaran 6
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 5 1 6
Baris 2 1 5 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
Tabel 3.10: Keluaran 7
Kolom 1 Kolom 2 Jumlah baris
Baris 1 6 0 6
Baris 2 0 6 6
Jumlah kolom 6 6 12
) ) ( )(
)
( )
Dengan demikian, distribusi probabilitas dari Y adalah
) ( ) (
)
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Jika probabilitas dari ketujuh kemungkinan keluaran di atas dijumlahkan,
maka akan bernilai 1.
Secara umum, rumus menghitung probabilitas pada contoh di atas
ditunjukkan melalui Tabel 3.11 sebagai berikut :
Tabel 3.11. Rumus Menghitung Probabilitas
Variabel Y
Total Kategori 1a Kategori 1b
Variabel
X
Kategori 2a a b a + b
Kategori 2b c d c + d
Total a + c b + d N
Untuk mencari probabilitas dari tabel pengamatan, hanya diperlukan untuk
mencari probabilitas dari salah satu sel pada tabel (daripada harus mencari
probabilitas dari empat sel). Gunakan sel (kategori 1a, kategori 2a) dan
menghitung probabilitasnya yang disimbolkan dengan ,
sehingga, untuk menentukan distribusi probabilitas dari y, yaitu P(Y=y), yang
disimbolkan dengan p(y) adalah :
) ) *
+ *
+
*
+
Rumus ) tersebut memiliki bentuk yang sama dengan distribusi
hipergeometrik yang telah ditunjukkan pada definisi 2.35 dengan memenuhi
kondisi berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
Rumus ) di atas ekuivalen dengan rumus sebagai berikut :
) ) ) ) )
Bukti :
* +
) merupakan koefisien binomial dengan distribusi probabilitas
hipergeometrik. Diperoleh :
) *
+ *
+
*
+
)
)
)
)
( ) ))
) ( ) ) ))
) )
) )
( ) ))
) ) ) ) )
dengan N = ( ) )).
Secara umum kemungkinan keluaran dari frekuensi sel-sel pengamatan dengan
jumlahan marginal tetap, diperoleh dengan cara sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Masing-masing baris dapat berubah-ubah untuk masing tabel. Misalkan jumlahan
total baris 1 adalah , maka
Baris 1
Kolom 1 Kolom 2 Total
Tabel 1 0
Tabel 2 1
Tabel 0
Misalkan jumlahan total baris 2 adalah , maka
Baris 2
Kolom 1 Kolom 2 Total
Tabel 1 0
Tabel 2 1
Tabel 0
Dengan jumlahan total marginal tetap, yaitu Untuk menghitung
frekuensi pengamatan masing-masing tabel, hanya perlu menggabungkan baris 1
dan baris 2 dengan tabel yang bersesuaian.
PERHITUNGAN P-VALUE UNTUK UJI EKSAK F
Akan dilakukan perhitungan P-value untuk contoh 3.4 sebagai berikut :
Nilai probabilitas yang diperoleh untuk contoh 3.4 dengan menggunakan
perhitungan distribusi probabilitas P adalah 0.39. Selain menghitung nilai
probabilitas ini, juga diperlukan untuk mengomputasikan probabilitas untuk
himpunan-himpunan dari frekuensi pengamatan yang lebih ekstrim daripada
frekuensi pengamatan pada Tabel 3.3. Tabel 3.4: Keluaran 1 merupakan hasil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
yang lebih ekstrim daripada kondisi yang ditunjukkan pada Tabel 3.3, karena
Tabel 3.4 menunjukkan bahwa ke-enam subyek pada kondisi yang tidak diberi
perlakuan bising memilih untuk menolong sedangkan ke-enam subyek yang diberi
kondisi bising memilih untuk tidak menolong.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
BAB IV
UJI CHI-SQUARE PEARSON DAN UJI EKSAK F TERHADAP
KESETIMBANGAN HARDY-WEINBERG
Penyimpangan dari proporsi Hardy-Weinberg diuji dengan
membandingkan perbedaan antara frekuensi genotip harapan dan frekuensi
genotip pengamatan. Seperti telah dibahas sebelumnya kondisi-kondisi yang
menyebabkan terjadinya penyimpangan terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg
di antaranya perkawinan sedarah, perkawinan asortatif, ukuran populasi yang
kecil, mutasi, seleksi alam, dan aliran gen.
Untuk menguji penyimpangan terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg
pada sebuah populasi, rumusan hipotesis nol adalah tidak terdapat perbedaan yang
signifikan di antara perhitungan frekuensi genotip pengamatan dan frekuensi
genotip harapan terhadap proporsi Hardy-Weinberg. Rumusan hipotesis
alternatifnya adalah menyatakan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara
perhitungan genotip pengamatan dan frekuensi genotip harapan.
Secara umum langkah-langkah pengujian adalah sebagai berikut :
a. Menentukan hipotesis nol .
b. Menentukan hipotesis alternatif .
c. Menentukan α.
d. Menentukan statistika uji.
e. Menentukan daerah kritis (daerah penolakan ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Untuk uji satu arah, hipotesis nol ditolak jika nilai P-value yang diperoleh
lebih kecil dari taraf signifikansi yang digunakan.
Untuk uji dua arah, hipotesis nil ditolak jika P-value yang diperoleh lebih
kecil dari setengah nilai signifikansi yang digunakan.
Nilai P-value diperoleh dengan menjumlahkan semua peluang yang
kurang dari atau sama dengan peluang dari tabel pengamatan, atau dapat
menggunkaan tabel Fisher.s
f. Perhitungan (melakukan perhitungan terhadap statistik uji dan
membandingkan dengan daerah kritis).
g. Kesimpulan.
Sebelum membahas uji Chi-Square dan uji Eksak F, akan diperlihatkan
terlebih dahulu Tabel Kontingensi yang menjadi perangkat pengujian.
A. Tabel Kontingensi
Dalam statistika, sebuah tabel kontingensi merupakan sebuah tipe tabel
yang berformat matriks yang menunjukkan distribusi frekuensi dari variabel-
variabel pada tabel tersebut. Tabel kontingensi memberikan gambaran dasar
dari hubungan antara dua variabel dan menolong menemukan hubungan di
antara variabel-variabel tersebut. Bentuk tabel kontingensi pertama kali
digunakan oleh Karl Pearson pada tahun 1904.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Tabel kontingensi dibentuk dengan mengklasifikasikan subyek-
subyek ke dalam dua kategori variabel. Dua kategori variabel tersebut adalah
variabel tabel dan variabel pengelompokan. Nilai dari variabel-variabel tabel
digunakan untuk mendefinisikan baris dan kolom dari tabel kontingensi
tunggal. Dua variabel tabel digunakan untuk masing-masing tabel, satu
variabel mendefinisikan baris dari tabel tersebut dan satu variabel lainnya
mendefinisikan kolom. Variabel pengelompokan digunakan untuk membagi
data ke dalam subgrup-subgrup.
Bentuk tabel kontingensi dengan R baris dan C kolom ditunjukkan
pada Tabel 4.1. Misalkan sebagai banyaknya pengamatan untuk baris ke-
i, dengan i = 1, 2, … , R, dan kolom ke-j untuk j = 1, 2, … , C.
Tabel 4.1
Variabel kolom
Kolom 1 … Kolom j … Kolom C Total
Variabel
Baris
Baris 1 … …
… … … … … … …
Baris i … …
… … … … … … …
Baris R … …
Total … …
Banyaknya total untuk baris dan kolom diperoleh sebagai berikut :
∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Banyaknya total frekuensi pada tabel disimbolkan dengan N, diperoleh
dari rumus sebagai berikut :
∑∑
∑
∑
Proporsi untuk nilai-nilai pada Tabel 4.1 diperoleh seperti yang ditunjukkan oleh
Tabel 4.2 sebagai berikut :
Tabel 4.2
Variabel kolom
Kolom 1 … Kolom j … Kolom C Total
Variabel
Baris
Baris 1 … …
… … … … … … …
Baris i … …
… … … … … … …
Baris R … …
Total … …
dengan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Nilai harapan dan proporsi harapan untuk baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan
dengan dan diperoleh dengan rumus sebagai berikut :
Tabel kontingensi dua dimensi dibentuk dengan mengklasifikasikan
obyek-obyek ke dalam dua variabel. Satu variabel memiliki kategori pada baris
dan variabel lainnya memiliki kategori pada kolom. Kombinasi dari kategori sel
dan kolom disebut sel-sel (cells). Untuk menggunakan metode statistika tertentu
pada tabel tersebut, obyek-obyek harus dibentuk dalam satu baris dan kolom
kategori. Pengamatan harus bersifat independen.
Tabel kontingensi yang memiliki dua baris dan dua kolom dinamakan
tabel kontingensi 2 x 2 (Tabel 4.3). Sel-sel pada tabel menunjukkan frekuensi
untuk masing-masing kombinasi baris dan kolom.
Tabel 4.3
Variabel kolom,
Variabel baris, 1 2 Total
Sukses X1 X2 X
Gagal
Total
dengan,
X1 = banyaknya sukses pada kelompok 1
X2 = banyaknya sukses pada kelompok 2
= banyaknya gagal pada kelompok 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
= banyaknya gagal pada kelompok 2
X = X1 + X2, total sukses
= + , total kegagalan
= ukuran sampel dari kelompok 1
= ukuran sampel dari kelompok 2
= + = total ukuran sampel
Misalkan variabel V1 berkategori Sukses dan Gagal dan variabel V2 berkategori 1
dan 2. Tabel di atas dapat menunjukkan banyaknya observasi menurut variabel V1
dan variabel V2 yang dapat dipakai untuk mempelajari asosiasi antara variabel V1
dan V2, atau untuk menguji hipotesis tentang independensi antara variabel V1 dan
V2 dengan memakai statistik Chi-Square.
Bila variabel V1 dan V2 independen, maka proporsi dari kesuksesan akan
sama untuk kedua populasi. Proporsi sampel yang dihitung untuk dua kelompok
akan berbeda karena keadaan tertentu. Masing-masing kelompok akan
memberikan sebuah dugaan dari parameter untuk populasi pada umumnya, yang
disimbolkan dengan π.
Sebuah statistik yang mengkombinasikan dua dugaan yang berbeda
menjadi satu dugaan yang mengestimasi keseluruhan parameter populasi
memberikan informasi yang lebih banyak dibandingan informasi yang diberikan
oleh dua dugaan yang dipisah. Statistik ini disimbolkan dengan ,
merepresentasikan keseluruhan dugaan proporsi sukses untuk dua kelompok yang
telah digabungkan. Dua kelompok yang digabungkan inilah yang merupakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
alasan mengapa banyaknya total dari kesuksesan dibagi dengan total ukuran
sampel. Komplemen dari , merupakan , merepresentasikan dugaan
keseluruhan dugaan proporsi dari kegagalan pada kedua kelompok.Keseluruhan
proporsi dugaan diperoleh dengan rumus sebagai berikut
Perhitungan frekuensi harapan, untuk masing-masing sel yang merupakan
“sukses” (sel-sel yang berada pada baris pertama dari tabel kontingensi) adalah
sebagai berikut:
Perhitungan frekuensi harapan, untuk masing-masing sel yang merupakan “gagal”
(sel-sel yang berada pada baris pertama dari tabel kontingensi) adalah sebagai
berikut:
dengan n merupakan ukuran sampel (total kolom).
B. UJI KESESUAIAN CHI-SQUARE
Uji kesesuaian Chi-Square merupakan pendekatan yang paling sering
digunakan untuk menguji penyimpangan dari kesetimbangan Hardy-Weinberg.
Misalkan kita memiliki sebanyak n sampel, dan notasikan perhitungan genotip
pengamatan dari alel AA, Aa, aa pada sebuah lokus tunggal sebagai ,
statistik uji dari uji kesesuaian Chi-Square ditunjukkan sebagai berikut :
∑( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
( )
Dengan merupakan frekuensi dugaan alel A dari data sampel
.
= frekuensi observasi (pengamatan) baris ke-j
= frekuensi harapan baris ke-j
Uji statistik Chi-Square mengikuti distribusi Chi-Square dengan derajat
bebas . Semakin jauh selisih nilai antara frekuensi pengamatan dan
frekuensi harapan, maka pembilang akan semakin besar, dan pembilang akan
semakin kecil Sjika nilai frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan cukup
dekat. Hal ini menunjukkan bahwa jika hipotesis nol benar. Dengan
kata lain, T berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas sama dengan jumlah
kategori yang digunakan dikurangi satu. Jika parameter yang digunakan belum
diketahui atau akan diduga maka derajat bebasnya adalah , dengan n
merupakan banyaknya parameter yang akan diduga. Statistik uji Chi-Square
mengikuti distribusi Chi-Square secara asimtotik untuk ukuran sampel yang besar.
Asumsi dari distribusi Chi-Square bisa gagal untuk ukuran sampel yang cukup
kecil atau jumlah frekuensi genotip yang kurang pada suatu sel. Pengujian dengan
menggunakan Uji Chi Square Pearson akan ditunjukkan lewat contoh sebagai
berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
Contoh 4.1
Tabel 4.4 menunjukkan frekuensi genotip yang diperoleh ketika tidak
terjadi kesalahan pada genotip.
Tabel 4.4
Baris Genotip
1 AA 85
2 Aa 418
3 aa 497
Langkah-langkah pengujian dengan menggunakan Uji Chi-Square Pearson,
yaitu :
1. Hipotesis nol : {
2. Hipotesis alternatif : hubungan pada hipotesis nol tidak
dipenuhi.
3. α = 0.05
4. Statistik uji
∑
( )
5. Daerah kritis.
Hipotesis nol ditolak jika >
atau jika nilai P-value< α
6. Perhitungan.
, , dan .
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
Frekuensi dugaan alel A yang disimbolkan dengan , diperoleh sebagai
berikut :
Frekuensi harapan genotip diperoleh sebagai berikut :
Genotip AA
Genotip Aa
Genotip aa
Tabel 4.5
Baris Genotip
1 AA 85 86.44
2 Aa 418 415.13
3 aa 497 498.44
Nilai Chi-Square tabel untuk α = 0.05 dengan derajat bebas 1 adalah
3.84.
7. Kesimpulan.
Karena nilai Chi-Square hitung < nilai Chi-Square tabel maka
diterima sehingga tidak ada bukti untuk menolak kondisi kesetimbangan
Hardy-Weinberg.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
C. UJI EKSAK F
Uji eksak F dapat digunakan untuk ukuran sampel yang cukup kecil,
atau jika lebih dari 20 % dari frekuensi genotip pada sel kurang dari 5. Uji
Eksak F merupakan metode untuk menghitung nilai P-value yang akurat untuk
sebuah pengujian dengan tidak berdasar pada distribusi pendugaan. Untuk
pendekatan eksak, sebuah pengujian dilakukan dengan mengomputasikan
probabilitas terhadap hipotesis nol dari semua kemungkinan kombinasi
genotip yang memiliki frekuensi alel dan ukuran sampel yang sama dengan
frekuensi pengamatan. Kemudian, jumlahan dari semua kemungkinan dari
kejadian yang kurang dari atau sama dengan peluang kejadian pengamatan
merupakan nilai eksak P-value. Hipotesis nol ditolak jika nilai P-value kurang
dari nilai pada level signifikansi tertentu.
Misalkan terdapat 2 alel pada sebuah lokus. Model probabilitas untuk
jumlahan genotip dan jumlahan alel adalah
dan
secara berturut-turut. Diperoleh fungsi kepadatan peluang bersama sebagai
berikut,
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
secara berturut-turut.
(statistik uji) dari banyaknya genotip yang diamati dengan
diberikan banyaknya alel adalah
|
(1)
dengan
.
Dapat dilihat Uji Eksak Fisher tidak membutuhkan frekuensi alel. Perhitungan
peluang merupakan fungsi dari banyaknya alel dan genotip yang diamati.
Jumlahan dari rumus peluang kejadian yang kurang dari atau sama dengan
probabilitas dari genotip pengamatan merupakan nilai P-value dari uji Eksak
F.
Berikut merupakan langkah-langkah pengujian Uji Eksak F :
1. Membuat daftar semua kemungkinan himpunan frekuensi genotip yang
memiliki frekuensi alel yang sama dari himpunan data yang diamati.
Perhatikan bahwa satu dari himpunan frekuensi genotip ini akan memiliki
nilai yang sama dengan nilai frekuensi pengamatan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
2. Untuk masing-masing kemungkinan frekuensi genotip ini, gunakan
statistik uji Eksak F untuk memperoleh peluang kejadian yang dimiliki
masing-masing frekuensi genotip. Jumlahan semua kemungkinan
frekuensi genotip ini haruslah bernilai 1.
3. Urutkan nilai probabilitas pada butir 2 dari nilai terkecil ke terbesar.
4. Temukan baris pada tabel pengurutan tersebut yang berkaitan dengan
frekuensi genotip yang diamati. Perhitungan P-value untuk pengujian ini
merupakan jumlahan dari probabilitas tersebut dan semua probabilitas
yang lebih kecil.
Pengujian dengan menggunakan Uji Eksak Fisher akan ditunjukkan dengan
contoh 4.2 sebagai berikut :
Contoh 4.2
Misalkan telah dikumpulkan data dari 20 individu pada satu lokus seperti
ditunjukkan pada tabel 4.6
Tabel 4.6
No. Genotip Frekuensi pengamatan
1 AA 9
2 Aa 8
3 aa 3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Langkah-langkah pengujian dengan menggunakan Uji Fisher Eksak, yaitu :
1. Hipotesis nol : {
2. Hipotesis alternatif : hubungan pada hipotesis nol tidak
dipenuhi.
3. α = 0.05
4. Statistik uji
|
5. Daerah kritis.
Hipotesis nol ditolak jika nilai nilai P-value< α.
6. Perhitungan.
Untuk data pengamatan, banyaknya alel A dan
. Dengan total alel yaitu alel.
Dengan merujuk pada dasar Teori perhitungan P-value untuk uji Eksak
F, yaitu pada Bab 3, subbab Uji Eksak F, dilakukan perhitungan P-value
sebagai berikut:
Tabel 4.7 menunjukkan banyaknya kemungkinan himpunan frekuensi
(relatif) genotip dengan menaruh nilai paling kecil untuk heterozigot
sebagai titik awal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Tabel 4.7. Kemungkinan Frekuensi Genotip
No.
1 13 0 7
2 12 2 6
3 11 4 5
4 10 6 4
5 9 8 3
6 8 10 2
7 7 12 1
8 6 14 0
Untuk memperjelas bagaimana memperoleh nilai-nilai dalam tabel 4.7,
berikut diberikan beberapa contoh :
1. Baris pertama (No. 1) merupakan kondisi dengan nilai heterozigot
paling kecil yaitu 0.
2. Dalam kasus ini untuk mempunyai 26 alel A dan 14 alel a, harus
terdapat 13 genotip AA dan 7 genotip aa.
3. Baris kedua (No. 2) diperoleh dengan menambahkan kolom
heterozigot dengan dua untuk baris-baris setelahnya. (Penambahan
dengan satu akan mengakibatkan jumlahan total alel A dan a yang
ganjil. Sehingga ketika menambahkan dua untuk masing-masing
banyaknya heterozigot, harus mengurangkan satu pada masing-
masing homozigot untuk menjaga jumlah alel yang tetap sama.)
4. Kemungkinan terakhir yaitu ketika banyaknya homozigot resesif
( ) bernilai 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Dengan mengaplikasikan rumus statistik uji (1), diperoleh peluang
kejadian seperti ditunjukkan pada tabel 4.8.
Tabel 4.8
A
k
a
n
d
i
t
u
menunjukkan contoh perhitungan untuk No. 5 dengan menggunakan
statistik uji (1) dengan yaitu
|
Untuk perhitungan nomor-nomor lainnya dengan menggunakan program
Excel.
Dengan mengurutkan peluang kejadian dari yang terkecil hingga terbesar
diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.9.
No.
Peluang kejadian
1 13 0 7 0.0000
2 12 2 6 0.0006
3 11 4 5 0.0145
4 10 6 4 0.1070
5 9 8 3 0.3057
6 8 10 2 0.3669
7 7 12 1 0.1779
8 6 14 0 0.0274
Total Peluang 1.0000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Tabel 4.9
Nilai P-value diperoleh dengan menjumlahkan semua probabilitas yang
kurang dari atau sama dengan probabilitas dari data pengamatan. Sehingga,
diperoleh
Berdasarkan perhitungan di atas diperoleh nilai P-value adalah 0.6331.
7. Kesimpulan.
Karena nilai P-value > α maka diterima, sehingga tidak ada bukti untuk
menolak kondisi kesetimbangan Hardy-Weinberg.
Peluang kejadian
13 0 7 0.0000
12 2 6 0.0006
11 4 5 0.0145
6 14 0 0.0274
10 6 4 0.1070
7 12 1 0.1779
9 8 3 0.3057
8 10 2 0.3669
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
D. KASUS YANG MEMENUHI KESETIMBANGAN HARDY-
WEINBERG
Contoh 4.3 merupakan contoh yang menunjukkan bahwa kesetimbangan
Hardy-Weinberg dipenuhi.
Contoh 4.3
Perhatikan sebuah sifat resesif autosomal: jari tengah lebih pendek daripada
jari kedua dan jari keempat. Jika frekuensi alel dominan dan resesif diketahui,
maka frekuensi genotip dapat dihitung, dan dapat melacak sifat tersebut pada
generasi berikutnya. Alel dominan yang disimbolkan dengan D merupakan
panjang jari yang normal, alel resesif yang disimbolkan dengan d
menunjukkan jari tengan yang pendek (Gambar 4.1). Frekuensi alel dominan
dan resesif dapat dideduksi dengan mengobservasi frekuensi homozigot
resesif, karena sifat jari tengah pendek ini hanya merefleksikan satu genotip.
Misalkan 9 dari 100 individu di dalam suatu populasi berjari tengah
pendek, bergenotip dd, frekuensinya adalah 9/100 atau 0.09.
Karena dd bernilai sama dengan , maka q bernilai 0.3. Karena ,
dengan mengetahui bahwa , maka .
Kemudian, dapat dilakukan perhitungan proporsi dari tiga genotip yang akan
muncul ketika gamet-gamet tersebut dikombinasikan secara acak. Diperoleh
hasil sebagai berikut :
a. Homozigot dominan = DD
= 49 persen dari individu pada generasi 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
b. Homozigot resesif = dd
= 9 persen dari individu pada generasi 1
c. Heterozigot
= 42 persen dari individu pada generasi 1
Pada populasi di atas, 9 persen dari individu berjari tengah pendek. Akan
dilihat bagaimana frekuensi genotip pada beberapa generasi selanjutnya.
Asumsikan bahwa orang-orang memilih pasangan dengan tidak
memperhatikan panjang jari. Hal ini mengindikasikan bahwa masing-masing
genotip dari wanita (genotip DD, Dd, dd) akan berpasangan dengan masing-
masing dari genotip pada pria (genotip DD, Dd, dd) dan begitu pula
sebaliknya. Tabel 4.10 mengalikan frekuensi genotip untuk masing-masing
kemungkinan pasangan yang mengarah pada keturunannya dengan proporsi
yang dikenal yaitu 49 persen bergenotip DD, 42 persen bergenotip Dd, dan 9
persen bergenotip dd.
Tabel 4.10
Kemungkinan
pasangan Proporsi di dalam
populasi
Frek. (relatif) Genotip keturunan
Pria Wanita DD Dd dd
0.49 DD 0.49 DD 0.2401
0.49 DD 0.42 Dd 0.1029 0.1029
0.49 DD 0.09 dd 0.0441
0.42 Dd 0.49 DD 0.1029 0.1029
0.42 Dd 0.42 Dd 0.0441 0.0882 0.0441
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Semua
D Semua d
0.42 Dd 0.09 dd 0.0189 0.0189
0.09 dd 0.49 DD 0.0441
0.09 dd 0.42 Dd 0.0189 0.0189
0.09 dd 0.09 dd 0.0081
Jumlah frekuensi (relatif) keturunan 0.49 0.42 0.09
DD Dd dd
Tabel 4.10 tersebut menunjukkan bahwa gen tersebut memenuhi kesetimbangan
Hardy-Weinberg, yaitu frekuensi alel dan frekuensi genotip tidak mengalami
perubahan dari satu generasi ke generasi selanjutnya. Hal ini ditunjukkan dengan
frekuensi relatif yang tidak berubah dari kondisi awal (halaman) dan pada tabel
4.10.
Gambar 4.1
Misalkan p = frekuensi dari D = panjang jari yang normal = 0.7
q = frekuensi dari d = jari tengah yang pendek = 0.3
Generasi 1
Fenotip Jari normal Jari normal Jari tengah
pendek
Genotip DD Dd dd
Frek. genotip
Frek. Gamet 0.49 0.21 0.21 0.09
D
Semua D
d
Semua D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Pasangan populasi secara acak.
Gamet pria
D (p = 0.7) d (q = 0.3)
Gamet
Wanita
D (p = 0.7) dd = Dd =
d (q = 0.3) Dd = dd =
Generasi 2
Jari Normal Jari Normal Jari tengah pendek
DD Dd dd
0.49 0.42 0.09
Pada Gambar 4.1 dapat terlihat bahwa frekuensi genotip tidak mengalami
perubahan dari generasi 1 ke generasi 2.
E. KASUS YANG TIDAK MEMENUHI KESETIMBANGAN HARDY-
WEINBERG
Kasus : (sumber: The Application of Clinical Genetics 2015:8 133-136)
Kepada beberapa keluarga di Meksiko dari anak-anak yang memiliki
ADHD (Gangguan Pemusatan Perhatian dan Hiperaktivitas) akan dilihat apakah
karakter gen ADHD tersebut diturunkan dari orang tua kepada anak-anaknya.
ADHD merupakan kondisi perkembangan yang ditandai dengan kurangnya
perhatian, hiperaktivitas dan impulsivitas dengan tingkat kelaziman sebesar 5.29%
0.70 0.30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
pada masa kanak-kanak, dan dalam beberapa kasus, ADHD tetap ada hingga
dewasa. ADHD dianggap sebagai kelainan multifaktorial karena ADHD
merupakan hasil dari interaksi antara beberapa gen dan faktor lingkungan.
Faraone dkk menduga heretabilitas sebesar 76%, yang merupakan proporsi dari
variansi fenotip yang diduga berasal dari variansi genetik. 24% merepresentasikan
variansi kelainan yang diduga berasal dari variasi lingkungan, dengan kasus
kerabat pasien mungkin memiliki gen pembawa ADHD, akan tetapi tidak
menunjukkan gejala dari kelainan tersebut. Kesetimbangan Hardy-Weinberg
dinilai dari frekuensi genotip VNTR III exon dari gen reseptor dopamine D4
(DRD4). Genotip dari III exon dari 48 bp VNTR mengulangi dari gen DRD4
diperoleh dari reaksi rantai polimerase dari sampel yang terdiri dari 30 orang tua
dengan kasus ADHD. Gen DRD4 relevan pada ADHD karena ekspresinya pada
anterior cingulate, area yang diketahui hubungannya dengan beberapa fungsi
perilaku seperti perhatian dan inhibisi.
Cara memperoleh data: (keterangan : tidak terdapat data asli (raw data))
Orang tua dengan kasus ADHD diambil dari sampel anak-anak yang
terdiagnosa memiliki ADHD, yang diperoleh dari studi tentang kelazimanan
kelainan ini terhadap anak-anak Meksiko usia sekolah (Barris O dkk, data tidak
dipublikasi, 2015). Anak-anak yang dipilih merupakan anak-anak dari sekolah
negeri, karena mereka merepresentasikan 92% dari populasi sekolah dasar di
Meksiko.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
Sampel akhir terdiri dari 30 orang tua, dengan 14 pria dan 16 wanita, dengan rata-
rata usia 49.1 tahun. Para orang tua menjawab kuisioner berdasarkan kriteria
ADHD, dengan hasil yang diperoleh sebagai berikut :
- Rata-rata gejala kurangnya perhatian pada kuisioner ADHD adalah 1.
- Rata-rata gejala hiperaktif adalah 1.22.
- Rata-rata skala WURS (Wender Utah Rating Scale) adalah 21 poin.
Penentuan tipe alel dengan elektroforesis di dalam gel poliakrilamida yang
dikenai perak nitrat. Ukuran alel diperoleh dengan membandingkan pita gel yang
ada dengan pengukur berat molekular.
Pada 60 kromosom yang dianalisis, berikut merupakan frekuensi dari gen
polimorfisme DRD4 yang diamati, yaitu: enam kromosom (c) dengan dua alel
berulang (r) (10%); 1c dengan 3r (1.5%); 36c dengan 4r (60%); 1c dengan 5r
(1.5%); and 16c dengan 7r (27%). Distribusi genotip dari 30 orang tua yaitu dua
orang tua (p) dengan 2r/2r (6.67%); 1p dengan 2r/4r (3.33%); 1p dengan 2r/5r
(3.33%); 1p dengan 3r/4r (3.33%); 15p dengan 4r/4r (50%); 4p dengan 4r/7r
(13.33); and 6p dengan 7r/7r (20%).
Hasil:
Kesetimbangan Hardy-Weiberg dianalisa pada hubungannya dengan
polimorfisme 7r, dengan
q merepresentasikan frekuensi polimorfisme,
p penggabungan dari polimorfisme dengan pengulangan yang sedikit.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Untuk membandingkan frekuensi genotip harapan dan frekuensi pengamatan
digunakan uji Chi-Square dan Eksak Fisher. Diperoleh hasil sebagai berikut :
a. Distribusi genotip dari exon polimorfisme DRD4 III pada orang tua yaitu
2 orang (6.68%) dengan the 2r/2r genotip, satu orang (3.33%) dengan the
2r/4r genotip, satu orang (3.33%) dengan the 2r/5r genotip, satu orang
(3.33%) dengan the 3r/4r genotip, 15 orang (50%) dengan the 4r/4r
genotip, 4 orang (13.33%) dengan the 4r/7r genotip, and 6 orang (20%)
dengan the 7r/7r genotip.
b. Frekuensi gen dari 60 gen diperoleh sebagai berikut: 6 polimorfisme
2r(10%), 1 polimorfisme 3r (1.5%), 36 polimorfisme 4r (60%), 1
polimorfisme 5r (1.5%), and 16 polimorfisme 7r (27%).
c. Frekuensi genotip orang tua tidak memenuhi kesetimbangan Hardy-
Weinberg, dengan , P < 0.01, untuk Eksak Fisher, P = 0.044.
d. Perbedaan statistik menunjukkan nilai yang tinggi dari genotip 7/7.
Kesimpulan:
Pada sampel dari orang tua dengan kasus ADHD, distribusi alel dari gen
DRD4 menunjukkan frekuensi yang tinggi dari polimorfisme 4r DRD4 IIIe,
diikuti oleh polimorfisme 7r DRD4 IIIe. Hal ini diduga karena 4r DRD4 IIIe
merupakan sumber dari gen DRD4 pada manusia, sedangkan polimorfisme 7r
DRD4 IIIe merupakan kejadian mutasi. Berdasarkan model Hardy-Weinberg dan
frekuensi gen, terdapat perbedaan antara frekuensi genotip pengamatan dan
harapan. Ketidakseimbangan ini disebabkan oleh homozigositas polimorfisme 7r
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
DRD4 IIIe yang berlebih, yang mana merupakan gen kandidat ADHD. Mengingat
ketidakseimbangan Hardy-Weinberg ditemukan pada orang tua dengan anak yang
memiliki ADHD, maka dapat diasumsikan bahwa para orang-tua tersebut
mewariskan karakter genetik ADHD pada anak-anaknya, walaupun mereka tidak
terlihat memiliki ADHD.
F. PENGUJIAN KASUS TERHADAP KESETIMBANGAN HARDY-
WEINBERG
Kasus Pengujian Kesetimbangan Hardy Weinberg terhadap Karakter Genetik
Populasi Bedeng 61B Desa Wonokarto Kabupaten Lampung Timur (Penyebaran
Alel Sistem Golongan Darah ABO)
(sumber: journal.uin-alauddin.ac.id/index.php/biogenesis/article/view/480)
Distribusi Responden Berdasarkan Tipe Golongan Darah
No. Tipe Golongan Darah Jumlah Responden
1. A 87
2. B 110
3. AB 23
4. O 135
Total 355
Frekuensi Observasi Genotip pada Populasi Warga Bedeng 61B Desa
Wonokarto
Baris Genotip Probabilitas
1 AA 11
2 AO 75
3 BB 16
4 BO 93
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
5 AB 24
6 OO 136
Akan diuji apakah karakter genetik populasi Bedeng 61B Desa Wonokarto
Kabupaten Lampung Timur (Penyebaran Alel Sistem Golongan Darah ABO)
memenuhi kesetimbangan Hardy-Weinberg dengan menggunakan Uji Chi-Square
dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Hipotesis nol :
{
2. Hipotesis alternatif : hubungan pada hipotesis nol tidak
dipenuhi.
3. α = 0.05
4. Statistik uji
∑( )
5. Daerah kritis.
Hipotesis nol ditolak jika nilai Chi-Square hitung > nilai Chi-
Sqaure tabel atau jika nilai P-value < α
6. Perhitungan.
Tipe golongan darah terdiri dari 3 alel yaitu alel A, B dan 0. Masing-
masing alel tersebut memiliki genotip sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
No. Tipe Gol. Darah Genotip Fenotip
1. A AA
87 AO
2. B BB
110 BO
3. AB AB 23
4. O OO 135
Frekuensi ketiga alel tersebut adalah p (Alel A), q (Alel B), dan r (alel 0),
dengan sebaran frekuensi genotipnya adalah
A B O
p q r
A p
B q
O r
Sehingga diperoleh,
Frekuensi golongan darah A adalah penjumlahan genotip AA, AO dan
OA,yaitu
Frekuensi golongan darah B adalah penjumlahan genotip BB, BO dan OB,
yaitu
Frekuensi golongan darah 0 adalah genotip OO yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
Frekuensi golongan darah AB adalah penjumlahan genotip AB dan BA
yaitu
Akan dilakukan perhitungan untuk probabilitas harapan genotip-genotip di
atas.
Frekuensi harapan alel A
Frekuensi harapan alel B
Frekuensi harapan alel O
Sekarang akan dilakukan perhitungan untuk mencari probabilitas
genotip harapan.
Genotip AA
Genotip AO
Genotip BB
Genotip BO
Genotip AB
Genotip OO
Tabel berikut menunjukkan frekuensi harapan genotip dan jumlah
genotip harapan dari 355 individu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
Baris Genotip Probabilitas
1 AA 10.2595
2 AO 74.834
3 BB 15.655
4 BO 92.442
5 AB 25.347
6 OO 136.462
Tabel Frekuensi Genotip Harapan dan Pengamatan dari Populasi Warga Bedeng
61B
Baris Genotip Probabilitas
Pengamatan
Probabilitas
harapan
1 AA 11 10.2595
2 AO 75 74.834
3 BB 16 15.655
4 BO 93 92.442
5 AB 24 25.347
6 OO 136 136.462
Diperoleh perhitungan dengan menggunakan statistik uji Chi-Sqaure sebagai
berikut :
∑( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
Terhadap hipotesis nol , uji statistik di atas akan berdistirbusi Chi
Square dengan derajat bebas 3. Menurut Tabel 6 Appendix 3, untuk α =
0.05 dan derajat bebas 3, diperoleh nilai 7.81473. P-value menurut
perhitungan dengan menggunkan Excel diperoleh nilai 0.98693.
7. Kesimpulan.
Karena nilai Chi-Square hitung < nilai Chi-Square tabel maka
diterima dan nilai P-value < α, sehingga sehingga tidak ada bukti untuk
menolak kondisi kesetimbangan Hardy-Weinberg.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
BAB V
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1. Kesetimbangan Hardy-Weinberg merupakan salah satu prinsip yang
penting dalam genetika populasi. Kesetimbangan Hardy-Weinberg
merupakan suatu kondisi dengan tujuh hal yang dipenuhi, diantaranya
tidak adanya mutasi, seleksi alam, perkawinan sedarah dan migrasi di
dalam atau di luar populasi, ukuran populasi besar, perkawinan yang
bersifat acak, dan frekuensi alel yang sama antara laki-laki dan
perempuan. Persamaan Hardy-Weinberg yaitu ,
dengan , , merupakan presentase genotip. Proporsi genotip
yang tidak mengalami perubahan dari satu generasi ke generasi
selanjutnya, merupakan kondisi bahwa kesetimbangan Hardy-Weinberg
dipenuhi.
2. Uji Chi-Square dan uji Eksak F merupakan dua uji yang digunakan
untuk menguji penyimpangan terhadap kesetimbangan Hardy-
Weinberg. Uji Chi-Square digunakan dengan membandingkan
frekuensi pengamatan dan fekuensi harapan dari tabel kontingensi. Uji
Eksak digunakan untuk sampel yang kecil dan menghitung nilai p-value
yang bersifat Eksak.
3. Berdasarkan hasil analisis data karakter genetik populai Bedeng 61B
Kab. Lampung Timur menunjukkan bahwa tidak ada bukti untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
menolak kondisi kesetimbangan Hardy-Weinberg dengan menggunakan
Uji Chi-Square.
B. SARAN
1. Uji yang digunakan pada skripsi ini untuk menguji penyimpangan
terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg adalah Uji Chi-Square
Pearson dan Uji Eksak F. Ada beberapa metode lain seperti metode
Linkage Disequilibrium yang juga dapat digunakan untuk menguji
penyimpangan Hardy-Weinberg.
2. Skripsi ini hanya membahas penyimpangan Hardy-Weinberg secara
umum, bagi pembaca yang ingin melanjutkan dapat membahas lebih
dalam tentang hal-hal yang menyebabkan terjadinya penyimpangan
terhadap kesetimbangan Hardy-Weinberg secara lebih mendalam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
DAFTAR PUSTAKA
Bandyopadhyay, Dipankar. (2011). Analysis Of Categorical Data. Medical
University of South Carolina.
Brooker, Robert J. (2009). Genetics Analysis & Principles, Third Edition. New
York: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Foulkes, Andrea S. (2009). Applied Statistical Genetics with R. New York:
Springer.
Futuyama, Douglas J. (2005). Evolution. Sunderland: Sinauer Associates, Inc.
Khoiriyah, Yustin Nur. Desember 2014. Biogenesis. Vol. 2, No. 2. journal.uin-
alauddin.ac.id/index.php/biogenesis/article/view/480. Desember 2014.
Lange, Kenneth. (1997). Mathematical and Statistical Methods for Genetic
Analysis. New York: Springer-Verlag.
Maiste, Paul. (2006). Probability and Statistics for Bioinformatics and Genetics.
Baltimore: Spring.
Satagopan, Jaya M., Robert C. Elston. (2012). Statistical Human Genetics
Methods and Protocol. New York: Springer.
Tamarin, Robert H. (2002). Principles of Genetics, Seventh Edition. New York:
The McGraw-Hill Companies, Inc.
Wackerly, Dennis D., William Mendenhall III., Richard L. Scheaffer. (2008).
Mathematical Statistics with Applications. Belmont: Thomson Higher
Education.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Le. (2012).
Probability & Statistics for Engineer and Scientists, Ninth Edition.
Boston: Pearson Education, Inc.
Weckerly, Dennis D., William Mendenhall III, Richard L. Scheaffer. (2008).
Mathematics Statistics with Applications, Seventh Edition. Belmont:
Thomson Higher Education.
Whitley, Elise., Jonathan Ball. Juni 2002. Critical Care. Vol. 6, No. 3.
https://ccforum.biomedcentral.com/articles/10.1186/cc1493. Maret
2002.
Yatim, Wildan. (1972). Genetika. Bandung: Tarsito
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
LAMPIRAN
Berikut merupakan lampiran untuk Tabel 1, Appendix 3 dan Tabel 6,
Appendix 3 yang digunakan dalam mencari hasil untuk distribusi Binomial dan
Uji Chi-Square Pearson.
(sumber: Wackerly, Dennis D., William Mendenhall III., Richard L. Scheaffer.
(2008). Mathematical Statistics with Applications. Belmont: Thomson Higher
Education.)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI